Косинустай тэгшитгэл. Тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл. Тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ

Хамгийн энгийн шийдэл тригонометрийн тэгшитгэл.

Аливаа түвшний нарийн төвөгтэй тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл нь эцсийн эцэст хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхэд хүрдэг. Энэ тохиолдолд тригонометрийн тойрог дахин хамгийн сайн туслагч болж хувирав.

Косинус ба синусын тодорхойлолтыг эргэн сана.

Өнцгийн косинус нь тухайн өнцгөөр эргэхэд тохирох нэгж тойрог дээрх цэгийн абсцисса (өөрөөр хэлбэл тэнхлэгийн дагуух координат) юм.

Өнцгийн синус нь тухайн өнцгөөр эргэхэд тохирох нэгж тойрог дээрх цэгийн ординат (өөрөөр хэлбэл тэнхлэгийн дагуух координат) юм.

Тригонометрийн тойргийн дагуух хөдөлгөөний эерэг чиглэлийг цагийн зүүний эсрэг хөдөлгөөн гэж үзнэ. 0 градусын эргэлт (эсвэл 0 радиан) нь координаттай (1; 0) цэгтэй тохирч байна.

Бид эдгээр тодорхойлолтыг хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашигладаг.

1. Тэгшитгэлийг шийд

Энэ тэгшитгэл нь ординат нь -тэй тэнцүү тойргийн цэгүүдэд тохирох эргэлтийн өнцгийн бүх утгуудаар хангагдана.

У тэнхлэг дээр ординаттай цэгийг тэмдэглэе.

зарцуулцгаая хэвтээ шугамтойрогтой огтлолцох хүртэл х тэнхлэгтэй параллель байна. Бид тойрог дээр хэвтэж, ординаттай хоёр оноо авна. Эдгээр цэгүүд нь эргэлтийн өнцөг болон радиануудтай тохирч байна:

Хэрэв бид радианд ногдох эргэлтийн өнцөгт тохирох цэгийг орхиж бүтэн тойргийг тойрох юм бол бид нэг радиан дахь эргэлтийн өнцөгт тохирсон, ижил ординаттай цэг дээр ирнэ. Өөрөөр хэлбэл, энэ эргэлтийн өнцөг нь бидний тэгшитгэлийг хангадаг. Бид хүссэн хэмжээгээрээ "сул зогсолтгүй" эргэлт хийж, ижил цэг рүү буцаж очих боломжтой бөгөөд эдгээр бүх өнцгийн утгууд нь бидний тэгшитгэлийг хангана. "Хөдөлгөөнгүй" эргэлтүүдийн тоог үсгээр (эсвэл) тэмдэглэнэ. Бид эдгээр хувьсгалыг эерэг ба сөрөг аль алинаар нь хийж чадах тул (эсвэл ) бүхэл тоон утгыг авч болно.

Өөрөөр хэлбэл, анхны тэгшитгэлийн шийдлүүдийн эхний цуврал нь дараах хэлбэртэй байна.

, , - бүхэл тооны багц (1)

Үүний нэгэн адил хоёр дахь цуврал шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.

, хаана, . (2)

Таны таамаглаж байгаагаар энэ цуврал шийдлүүд нь эргэлтийн өнцөгт тохирох тойргийн цэг дээр суурилдаг.

Эдгээр хоёр цуврал шийдлийг нэг оруулгад нэгтгэж болно:

Хэрэв бид энэ оруулгыг (өөрөөр хэлбэл, бүр) оруулбал эхний цуврал шийдлүүдийг авах болно.

Хэрэв бид энэ оруулгыг (өөрөөр хэлбэл сондгой) оруулбал бид хоёр дахь цуврал шийдлүүдийг авах болно.

2. Одоо тэгшитгэлээ шийдье

Нэгж тойргийн цэгийн абсцисса нь өнцгийг эргүүлснээр олж авсан тул тэнхлэг дээр абсцисс бүхий цэгийг тэмдэглэнэ.

Тойрогтой огтлолцох хүртэл тэнхлэгтэй зэрэгцээ босоо шугамыг зур. Бид тойрог дээр хэвтэж, абсциссатай хоёр оноо авна. Эдгээр цэгүүд нь эргэлтийн өнцөг болон радиануудтай тохирч байна. Цагийн зүүний дагуу хөдөлж байх үед бид сөрөг эргэлтийн өнцгийг олж авдаг гэдгийг санаарай.

Бид хоёр цуврал шийдлийг бичдэг:

(Бид үндсэн бүтэн тойргоос дамжиж зөв цэг рүү хүрнэ, өөрөөр хэлбэл.

Эдгээр хоёр цувралыг нэг нийтлэлд нэгтгэцгээе:

3. Тэгшитгэлийг шийд

Шүргэгчийн шугам нь OY тэнхлэгтэй параллель нэгж тойргийн координат (1,0) цэгийг дайран өнгөрдөг.

Үүн дээр цэгийг 1-тэй тэнцүү ординатаар тэмдэглээрэй (бид аль өнцөг нь 1 байх тангенсыг хайж байна):

Энэ цэгийг эхтэй шулуун шугамаар холбож, шугамын огтлолцох цэгүүдийг нэгж тойрогтой тэмдэглэнэ. Шугаман ба тойргийн огтлолцлын цэгүүд нь эргэх өнцөгтэй тохирч байна.

Бидний тэгшитгэлийг хангадаг эргэлтийн өнцөгт харгалзах цэгүүд хоорондоо радиан зайд оршдог тул шийдлийг дараах байдлаар бичиж болно.

4. Тэгшитгэлийг шийд

Котангентын шугам нь тэнхлэгтэй параллель нэгж тойргийн координаттай цэгээр дамждаг.

Бид котангентын шулуун дээр абсцисса -1 цэгийг тэмдэглэв.

Энэ цэгийг шулуун шугамын эхтэй холбож, тойрогтой огтлолцох хүртэл үргэлжлүүлнэ. Энэ шугам нь тойрог болон радиануудын эргэлтийн өнцөгт тохирох цэгүүдээр огтлолцоно.

Эдгээр цэгүүд бие биенээсээ -тэй тэнцүү зайгаар тусгаарлагдсан тул нийтлэг шийдвэрБид энэ тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно.

Өгөгдсөн жишээнүүдэд хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдлийг харуулсан хүснэгтэн утгыг ашигласан болно. тригонометрийн функцууд.

Гэсэн хэдий ч, тэгшитгэлийн баруун тал нь тийм биш бол хүснэгтийн утга, дараа нь бид утгыг тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэлд орлуулна.

ТУСГАЙ ШИЙДЭЛ:

Ординат нь 0 байгаа тойрог дээрх цэгүүдийг тэмдэглэ.

Ординат нь 1-тэй тэнцүү тойрог дээр нэг цэгийг тэмдэглэ.

Ординат нь -1-тэй тэнцүү тойрог дээр нэг цэгийг тэмдэглэ.

Тэгтэй ойролцоо утгыг зааж өгдөг заншилтай тул бид шийдлийг дараах байдлаар бичнэ.

Абцисс нь 0 байх тойрог дээрх цэгүүдийг тэмдэглэ.

5.
Тойрог дээрх абсцисс нь 1-тэй тэнцүү нэг цэгийг тэмдэглэе.

Тойрог дээрх абсцисс нь -1-тэй тэнцүү нэг цэгийг тэмдэглэ.

Мөн илүү төвөгтэй жишээнүүд:

Аргумент бол синус нь нэг юм

Бидний синусын аргумент нь , тэгэхээр бид дараахь зүйлийг олж авна.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг 3-т хуваа.

Хариулт:

Косинусын аргумент бол косинус тэг болно

Бидний косинусын аргумент нь , тэгэхээр бид дараахийг олж авна.

Үүний тулд бид эхлээд эсрэг тэмдгээр баруун тийш шилжинэ.

Баруун талыг хялбарчлах:

Хоёр хэсгийг -2-т хуваа:

k нь бүхэл тоон утгыг авч болох тул нэр томъёоны өмнөх тэмдэг өөрчлөгдөхгүй гэдгийг анхаарна уу.

Хариулт:

Эцэст нь хэлэхэд "Тригонометрийн тойрог ашиглан тригонометрийн тэгшитгэлийн үндэсийг сонгох" видео хичээлийг үзээрэй.

Үүгээр хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх тухай яриа өндөрлөв. Дараагийн удаа бид хэрхэн шийдвэрлэх талаар ярилцах болно.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

Танилцуулга 2

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга 5

Алгебр 5

Ижил нэртэй тригонометрийн функцүүдийн тэгшитгэлийн нөхцөлийг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх 7

Факторинг 8

Нэг төрлийн тэгшитгэл рүү буулгах 10

Туслах өнцгийн танилцуулга 11

Бүтээгдэхүүнийг нийлбэр 14 болгон хөрвүүлнэ

Бүх нийтийн сэлгээ 14

Дүгнэлт 17

Оршил

Аравдугаар анги хүртэл зорилгодоо хүрэх олон дасгалын үйл ажиллагааны дарааллыг дүрмээр хоёрдмол утгагүйгээр тодорхойлдог. Жишээлбэл, шугаман ба квадрат тэгшитгэл ба тэгш бус байдал, бутархай тэгшитгэл ба квадрат болгон бууруулж болох тэгшитгэл гэх мэт. Дээр дурдсан жишээ бүрийг шийдвэрлэх зарчмыг нарийвчлан шинжлэхгүйгээр бид тэдгээрийг амжилттай шийдвэрлэхэд шаардлагатай ерөнхий зүйлийг тэмдэглэв.

Ихэнх тохиолдолд та ямар төрлийн даалгавар болохыг тодорхойлж, зорилгод хүргэх үйлдлүүдийн дарааллыг санаж, эдгээр үйлдлүүдийг хийх хэрэгтэй. Оюутны тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргыг эзэмшсэн амжилт, бүтэлгүйтэл нь тэгшитгэлийн төрлийг хэр зөв тодорхойлж, түүнийг шийдвэрлэх бүх үе шатуудын дарааллыг санаж байхаас ихээхэн хамаардаг нь ойлгомжтой. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь оюутан ижил төстэй хувиргалт, тооцоолол хийх чадвартай гэж үздэг.

Оюутан тригонометрийн тэгшитгэлтэй тулгарах үед огт өөр нөхцөл байдал үүсдэг. Үүний зэрэгцээ тэгшитгэл нь тригонометр гэдгийг тогтооход хэцүү биш юм. Эерэг үр дүнд хүргэх үйл ажиллагааны чиглэлийг олоход бэрхшээлтэй тулгардаг. Энд оюутан хоёр асуудалтай тулгардаг. By Гадаад төрхтэгшитгэлийн төрлийг тодорхойлоход хэцүү байдаг. Мөн төрлийг нь мэдэхгүй бол хэдэн арван боломжит томъёоноос хүссэн томъёогоо сонгох нь бараг боломжгүй юм.

Оюутнуудад олоход нь туслах зөв замтригонометрийн тэгшитгэлийн нарийн төвөгтэй лабиринт дээр тэдгээрийг эхлээд тэгшитгэлүүдтэй танилцуулж, шинэ хувьсагчийг оруулсны дараа квадрат болгон бууруулна. Дараа нь нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийдэж, тэдгээрт бууруулна. Дүрмээр бол бүх зүйл тэгшитгэлээр төгсдөг бөгөөд үүнийг шийдвэрлэхийн тулд хүчин зүйл болгон хуваах шаардлагатай байдаг зүүн тал, дараа нь хүчин зүйл бүрийг тэгтэй тэнцүүлнэ.

Хичээлүүдэд дүн шинжилгээ хийсэн хэдэн арван тэгшитгэл нь сурагчийг тригонометрийн "далайн" дээр бие даан хөлөглөхөд хангалтгүй гэдгийг ойлгосон багш өөрөөсөө хэд хэдэн зөвлөмж нэмж оруулав.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид дараахь зүйлийг оролдох ёстой.

Тэгшитгэлд орсон бүх функцийг "ижил өнцгөөр" авчрах;

Тэгшитгэлийг "ижил функц" болгон авчрах;

Тэгшитгэлийн зүүн талыг үржүүлэх гэх мэт.

Гэхдээ тригонометрийн тэгшитгэлийн үндсэн төрлүүд, тэдгээрийн шийдлийг олох хэд хэдэн зарчмуудын талаархи мэдлэгийг үл харгалзан олон оюутнууд тэгшитгэл бүрийн өмнө өмнө нь шийдэгдсэнээс бага зэрэг ялгаатай мухардалд орсоор байна. Нэг эсвэл өөр тэгшитгэлтэй байхын тулд юуг хичээх ёстой, яагаад нэг тохиолдолд давхар өнцгийн томьёо, нөгөөд нь хагас өнцөг, гурав дахь нь нэмэх томъёог ашиглах шаардлагатай байгаа нь тодорхойгүй хэвээр байна.

Тодорхойлолт 1.Тригонометрийн тэгшитгэл гэдэг нь тригонометрийн функцүүдийн тэмдгийн дор үл мэдэгдэх зүйлийг агуулсан тэгшитгэл юм.

Тодорхойлолт 2.Тригонометрийн тэгшитгэлд багтсан бүх тригонометрийн функцууд ижил аргументтай байвал ижил өнцөгтэй гэж нэрлэдэг. Тригонометрийн тэгшитгэл нь зөвхөн нэг тригонометрийн функцийг агуулж байвал ижил функцтэй гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 3.Тригонометрийн функцүүдийг агуулсан мономиалын зэрэг нь түүнд багтсан тригонометрийн функцүүдийн чадлын илтгэгчийн нийлбэр юм.

Тодорхойлолт 4.Хэрэв бүх мономиалууд ижил зэрэгтэй байвал тэгшитгэлийг нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг. Энэ зэргийг тэгшитгэлийн дараалал гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 5.Зөвхөн функц агуулсан тригонометрийн тэгшитгэл нүгэлболон cos, тригонометрийн функцтэй холбоотой бүх мономиалууд ижил зэрэгтэй, тригонометрийн функцүүд нь өөрөө ижил зэрэгтэй байвал нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг. тэнцүү өнцөгба мономиалуудын тоо тэгшитгэлийн дарааллаас 1-ээр их байна.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга.

Тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл нь хоёр үе шатаас бүрдэнэ: тэгшитгэлийг хамгийн энгийн хэлбэрт шилжүүлэх, хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх долоон үндсэн арга байдаг.

I. алгебрийн арга.Энэ аргыг алгебраас сайн мэддэг. (Хувьсагчийг солих, орлуулах арга).

Тэгшитгэлийг шийдэх.

Тэмдэглэгээг танилцуулъя x=2 нүгэл3 т, бид авдаг

Энэ тэгшитгэлийг шийдснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.
эсвэл

тэдгээр. бичиж болно

Шинж тэмдгүүд байгаа тул олж авсан уусмалыг бичихдээ зэрэг
бичих ямар ч утгагүй юм.

Хариулт:

Тэмдэглэх

Бид квадрат тэгшитгэлийг авдаг
. Үүний үндэс нь тоо юм
болон
. Тиймээс энэ тэгшитгэлийг хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэл болгон бууруулдаг
болон
. Тэдгээрийг шийдэж, бид үүнийг олж мэднэ
эсвэл
.

Хариулт:
;
.

Тэмдэглэх

нөхцөлийг хангахгүй байна

гэсэн үг

Хариулт:

Тэгшитгэлийн зүүн талыг хувиргая:

Тиймээс энэ анхны тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно.

, өөрөөр хэлбэл

Тэмдэглэх
, бид авдаг
Энэ квадрат тэгшитгэлийг шийдэхэд бид дараах байдалтай байна.

нөхцөлийг хангахгүй байна

Бид анхны тэгшитгэлийн шийдлийг бичнэ.

Хариулт:

Орлуулах
Энэ тэгшитгэлийг квадрат тэгшитгэл болгон бууруулна
. Үүний үндэс нь тоо юм
болон
. Учир нь
, дараа нь өгөгдсөн тэгшитгэлүндэсгүй.

Хариулт: үндэс байхгүй.

II. Ижил нэртэй тригонометрийн функцүүдийн тэгшитгэлийн нөхцөлийг ашиглан тэгшитгэлийн шийдэл.

а)
, хэрэв

б)
, хэрэв

онд)
, хэрэв

Эдгээр нөхцлүүдийг ашиглан дараах тэгшитгэлийн шийдлийг авч үзье.

a) зүйлд хэлсэн зүйлийг ашигласнаар бид тэгшитгэл нь зөвхөн хэрэв байгаа бол шийдэлтэй болохыг олж мэдэв
.

Энэ тэгшитгэлийг шийдэж, бид олдог
.

Бидэнд хоёр бүлэг шийдэл байна:

.

7) Тэгшитгэлийг шийд:
.

b) хэсгийн нөхцөлийг ашиглан бид үүнийг гаргаж байна
.

Эдгээр квадрат тэгшитгэлийг шийдэж, бид дараахь зүйлийг олж авна.

8) Тэгшитгэлийг шийд
.

Энэ тэгшитгэлээс бид үүнийг гаргаж байна. Энэ квадрат тэгшитгэлийг шийдэж, бид үүнийг олно

.

III. Факторжуулалт.

Бид энэ аргыг жишээн дээр авч үздэг.

9) Тэгшитгэлийг шийд
.

Шийдэл. Тэгшитгэлийн бүх гишүүнийг зүүн тийш шилжүүлье: .

Бид тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа илэрхийлэлийг хувиргаж, хүчин зүйл болгон хуваана.
.

1)
2)

Учир нь
болон
null утгыг бүү ав

нэгэн зэрэг, дараа нь бид хоёр хэсгийг салгана

-д зориулсан тэгшитгэлүүд
,

Хариулт:

10) Тэгшитгэлийг шийд:

Шийдэл.

эсвэл

Хариулт:

11) Тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл:

1)
2)
3)

Хариулт:

IV. Нэг төрлийн тэгшитгэлд буулгах.

Шийдэхийн тулд нэгэн төрлийн тэгшитгэлшаардлагатай:

Түүний бүх гишүүдийг зүүн тийш шилжүүлэх;

Бүх нийтлэг хүчин зүйлсийг хаалтнаас гаргах;

Бүх хүчин зүйлүүд болон хаалтуудыг тэгтэй тэнцүүлэх;

Тэгтэй тэнцүү хаалт нь бага зэрэгтэй нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг өгөх бөгөөд үүнийг дараах байдлаар хуваах ёстой.
(эсвэл
) ахлах зэрэгт;

Хүлээн авсан шийдвэрлэх алгебрийн тэгшитгэлхарьцангуй
.

Жишээнүүдийг авч үзье:

12) Тэгшитгэлийг шийд:

Шийдэл.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваа
,

Тэмдэглэгээг танилцуулж байна
, нэр

Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь:

эндээс 1)
2)

Хариулт:

13) Тэгшитгэлийг шийд:

Шийдэл. Давхар өнцгийн томьёо болон үндсэн тригонометрийн ижил төстэй байдлыг ашиглан бид энэ тэгшитгэлийг хагас аргумент болгон бууруулна.

Дуртай нөхцлүүдийг бууруулсны дараа бидэнд:

Нэг төрлийн сүүлчийн тэгшитгэлийг хуваах
, бид авдаг

Би томилно
, бид квадрат тэгшитгэлийг авна
, тэдгээрийн үндэс нь тоо юм

Энэ замаар

Илэрхийлэл
цагт алга болдог
, өөрөөр хэлбэл цагт
,
.

Тэгшитгэлийн бидний шийдэлд эдгээр тоо ороогүй болно.

Хариулт:
, .

В. Туслах өнцгийн танилцуулга.

Маягтын тэгшитгэлийг авч үзье

Хаана a, b, c- коэффициентүүд, x- үл мэдэгдэх.

Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваа

Одоо тэгшитгэлийн коэффициентүүд нь синус ба косинусын шинж чанартай байдаг, тухайлбал: тэдгээрийн модуль нэгээс хэтрэхгүй, квадратуудын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байна.

Дараа нь бид тэдгээрийг зохих шошготой болгож болно
(энд - туслах өнцөг) ба бидний тэгшитгэл дараах хэлбэртэй байна.

Дараа нь

Мөн түүний шийдвэр

Оруулсан тэмдэглэгээг сольж болно гэдгийг анхаарна уу.

14) Тэгшитгэлийг шийд:

Шийдэл. Энд
, тиймээс бид тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваана

Хариулт:

15) Тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл. Учир нь
, тэгвэл энэ тэгшитгэл нь тэгшитгэлтэй тэнцүү байна

Учир нь
, тэгвэл тийм өнцөг байна
,
(тэдгээр.
).

Бидэнд байгаа

Учир нь
, дараа нь бид эцэст нь авна:

Маягтын тэгшитгэл нь зөвхөн болон зөвхөн тохиолдолд шийдэлтэй байдаг гэдгийг анхаарна уу

16) Тэгшитгэлийг шийд:

Энэ тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид тригонометрийн функцуудыг ижил аргументтай бүлэглэнэ

Тэгшитгэлийн хоёр талыг хоёр хуваа

Бид тригонометрийн функцүүдийн нийлбэрийг бүтээгдэхүүн болгон хувиргадаг.

Хариулт:

VI. Бүтээгдэхүүнийг нийлбэр болгон хөрвүүлэх.

Тохирох томъёог энд ашигласан болно.

17) Тэгшитгэлийг шийд:

Шийдэл. Зүүн талыг нийлбэр болгон хөрвүүлье:

VII.Бүх нийтийн орлуулалт.

Эдгээр томъёо нь бүгдэд үнэн юм

Орлуулах
бүх нийтийн гэж нэрлэдэг.

18) Тэгшитгэлийг шийд:

Шийдэл: солих ба
дамжуулан тэдний илэрхийлэл
болон тэмдэглэнэ
.

Бид авдаг рационал тэгшитгэл
, үүнийг квадрат болгон хувиргасан
.

Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь тоонууд юм
.

Тиймээс асуудлыг хоёр тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хүртэл багасгасан
.

Бид үүнийг олдог
.

Утга харах
өгөгдсөн утгыг орлуулах - шалгах замаар баталгаажуулсан анхны тэгшитгэлийг хангахгүй байна танхны тэгшитгэл рүү.

Хариулт:
.

Сэтгэгдэл. 18-р тэгшитгэлийг өөр аргаар шийдэж болно.

Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг 5-аар хуваана (өөрөөр хэлбэл
):
.

Учир нь
, дараа нь тоо байна
, юу
болон
. Тиймээс тэгшитгэл нь:
эсвэл
. Эндээс бид үүнийг олж мэднэ
хаана
.

19) Тэгшитгэлийг шийд
.

Шийдэл. Функцуудаас хойш
болон
байна хамгийн өндөр үнэ цэнэ 1-тэй тэнцүү бол тэдгээрийн нийлбэр нь 2-той тэнцүү байна
болон
, нэгэн зэрэг, тэр нь
.

Хариулт:
.

Энэ тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ функцүүдийн хязгаарлагдмал байдлыг ашигласан болно.

Дүгнэлт.

"Тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл" сэдвээр ажиллахдаа багш бүр дараах зөвлөмжийг дагаж мөрдөх нь зүйтэй.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг системчлэх.

Тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийх алхмууд, нэг буюу өөр шийдлийн аргыг ашиглах нь зүйтэй гэсэн шинж тэмдгүүдийг өөрөө сонго.

Энэ аргыг хэрэгжүүлэх үйл ажиллагаанд өөрийгөө хянах арга замын талаар бодох.

Судалсан арга тус бүрдээ "өөрийн" тэгшитгэл хийж сур.

Өргөдлийн дугаар 1

Нэг төрлийн буюу бууруулж болох тэгшитгэлийг шийд.

1.	Төлөөлөгч
	Төлөөлөгч

	Төлөөлөгч
5.	Төлөөлөгч
	Төлөөлөгч
7.	Төлөөлөгч
	Төлөөлөгч

Таны хувийн нууц бидэнд чухал. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын бодлогыг уншаад асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг:

Та сайт дээр өргөдөл гаргахад бид цуглуулж магадгүй янз бүрийн мэдээлэлтаны нэр, утасны дугаар, хаяг зэрэг орно Имэйлгэх мэт.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

Манайх цуглуулсан хувийн мэдээлэлтантай холбоо барьж, танд мэдэгдэх боломжийг бидэнд олгоно өвөрмөц саналууд, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээ.
Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан танд чухал мэдэгдэл, мессеж илгээж болно.
Бид мөн хувийн мэдээллийг аудит хийх, мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийх гэх мэт дотоод зорилгоор ашиглаж болно төрөл бүрийн судалгааүзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, үйлчилгээнийхээ талаар танд зөвлөмж өгөх.
Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй урамшуулалд оролцох юм бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээлэл өгөх

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

Шаардлагатай бол - хууль тогтоомжийн дагуу, шүүхийн журмаар, шүүхийн журмаар болон / эсвэл олон нийтийн хүсэлт, хүсэлтийг үндэслэн төрийн байгууллагуудОХУ-ын нутаг дэвсгэр дээр - хувийн мэдээллээ задруулах. Хэрэв бид аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтэд ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны талаарх мэдээллийг задруулах боломжтой. чухал тохиолдлууд.
Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх эсвэл худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох гуравдагч этгээдийн өв залгамжлагчид шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, буруугаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хадгалах

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын талаар ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг:

Таныг сайт дээр өргөдөл гаргах үед бид таны нэр, утасны дугаар, имэйл хаяг гэх мэт янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь тантай холбоо барьж, онцгой санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар танд мэдээлэх боломжийг олгодог.
Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан танд чухал мэдэгдэл, мессеж илгээж болно.
Мөн бид үзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, танд үйлчилгээнийхээ талаар зөвлөмж өгөх зорилгоор аудит хийх, мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх, төрөл бүрийн судалгаа хийх зэрэг хувийн мэдээллийг дотоод зорилгоор ашиглаж болно.
Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй урамшуулалд оролцох юм бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээлэл өгөх

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

Шаардлагатай тохиолдолд - хууль тогтоомжийн дагуу, шүүхийн журмаар, шүүхийн журмаар болон / эсвэл ОХУ-ын нутаг дэвсгэр дэх төрийн байгууллагуудын хүсэлт, хүсэлтийн дагуу хувийн мэдээллээ задруулах. Хэрэв бид аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон нийтийн ашиг сонирхлын бусад зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны талаарх мэдээллийг задруулах боломжтой.
Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх эсвэл худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох гуравдагч этгээдийн өв залгамжлагчид шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хадгалах

"Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл" сэдвээр хичээл, танилцуулга.

Нэмэлт материал
Эрхэм хэрэглэгчид, санал хүсэлт, санал хүсэлт, санал хүсэлтээ үлдээхээ бүү мартаарай! Бүх материалыг вирусны эсрэг програмаар шалгадаг.

1С-ийн 10-р ангийн "Интеграл" онлайн дэлгүүрийн гарын авлага, симуляторууд
Бид геометрийн асуудлыг шийддэг. Сансарт барих интерактив даалгавар
Програм хангамжийн орчин "1С: Математик байгуулагч 6.1"

Бид юу судлах вэ:
1. Тригонометрийн тэгшитгэл гэж юу вэ?

3. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хоёр үндсэн арга.
4. Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл.
5. Жишээ.

Тригонометрийн тэгшитгэл гэж юу вэ?

Залуус аа, бид аль хэдийн арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенсыг судалж үзсэн. Одоо тригонометрийн тэгшитгэлийг ерөнхийд нь авч үзье.

Тригонометрийн тэгшитгэл - тригонометрийн функцийн тэмдгийн дор хувьсагч агуулагдах тэгшитгэл.

Бид хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх хэлбэрийг давтана.

1) Хэрэв |а|≤ 1 бол cos(x) = a тэгшитгэл нь шийдтэй байна:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Хэрэв |а|≤ 1 бол sin(x) = a тэгшитгэл нь шийдтэй байна:

3) Хэрэв |a| > 1, тэгвэл sin(x) = a ба cos(x) = a тэгшитгэлийн шийдэл байхгүй 4) tg(x)=a тэгшитгэл нь шийдэлтэй байна: x=arctg(a)+ πk

5) ctg(x)=a тэгшитгэл нь шийдэлтэй байна: x=arcctg(a)+ πk

Бүх томьёоны хувьд k нь бүхэл тоо юм

Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэл нь Т(kx+m)=a, T- дурын тригонометрийн функц хэлбэртэй байна.

Жишээ.

Тэгшитгэлийг шийд: a) sin(3x)= √3/2

Шийдэл:

A) 3x=t гэж тэмдэглээд тэгшитгэлээ дараах хэлбэрээр бичнэ.

Энэ тэгшитгэлийн шийдэл нь: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn болно.

Утгын хүснэгтээс бид дараахь зүйлийг авна: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Хувьсагч руугаа буцъя: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Дараа нь x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Хариулт: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, энд n нь бүхэл тоо. (-1)^n - n-ийн хүчийг хасах нэг.

Тригонометрийн тэгшитгэлийн бусад жишээ.

Тэгшитгэлийг шийд: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Шийдэл:

A) Энэ удаад бид тэгшитгэлийн язгуурын тооцоонд шууд очно.

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Тэгвэл x/5= πk => x=5πk болно

Хариулт: x=5πk, энд k нь бүхэл тоо.

B) Бид 3x- π/3=arctg(√3)+ πk хэлбэрээр бичнэ. arctg(√3)= π/3 гэдгийг бид мэднэ

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Хариулт: x=2π/9 + πk/3, энд k нь бүхэл тоо.

Тэгшитгэлийг шийд: cos(4x)= √2/2. Мөн сегмент дээрх бүх үндсийг олоорой.

Шийдэл:

Бид шийднэ ерөнхий үзэлбидний тэгшитгэл: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Одоо манай сегмент дээр ямар үндэс суурь болохыг харцгаая. k хувьд k=0, x= π/16 хувьд бид өгөгдсөн сегментэд байна.
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 байхад тэд дахин цохив.
k=2-ийн хувьд x= π/16+ π=17π/16, гэхдээ энд бид оноогүй, энэ нь том k-г ч онохгүй гэсэн үг.

Хариулт: x= π/16, x= 9π/16

Шийдвэрлэх хоёр үндсэн арга.

Бид хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлүүдийг авч үзсэн боловч илүү төвөгтэй тэгшитгэлүүд байдаг. Тэдгээрийг шийдвэрлэхийн тулд шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх арга, хүчин зүйлчлэлийн аргыг ашигладаг. Жишээнүүдийг харцгаая.

Тэгшитгэлийг шийдье:

Шийдэл:
Тэгшитгэлээ шийдэхийн тулд бид t=tg(x) гэж тэмдэглэсэн шинэ хувьсагчийг оруулах аргыг ашигладаг.

Орлуулалтын үр дүнд бид дараахь зүйлийг авна: t 2 + 2t -1 = 0

Үндсийг нь олъё квадрат тэгшитгэл: t=-1 ба t=1/3

Дараа нь tg(x)=-1 ба tg(x)=1/3, бид хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлтэй болсон, түүний үндсийг олъё.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Хариулт: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Тэгшитгэлийг шийдэх жишээ

Тэгшитгэлийг шийд: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Шийдэл:

Шинжилгээг ашиглая: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Бидний тэгшитгэл нь: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0 болно.

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0 орлуулалтыг танилцуулъя.

Манай квадрат тэгшитгэлийн шийдэл нь язгуурууд: t=2 ба t=-1/2

Дараа нь cos(x)=2 ба cos(x)=-1/2.

Учир нь косинус нэгээс их утгыг авч чадахгүй бол cos(x)=2 нь үндэсгүй болно.

cos(x)=-1/2-ийн хувьд: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Хариулт: x= ±2π/3 + 2πk

Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлүүд.

Тодорхойлолт: a sin(x)+b cos(x) хэлбэрийн тэгшитгэлийг нэгдүгээр зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл гэнэ.

Маягтын тэгшитгэл

Хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл.

Нэгдүгээр зэрэглэлийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид үүнийг cos(x)-д хуваана: Хэрэв тэгтэй тэнцүү бол косинусыг хуваах боломжгүй, энэ нь тийм биш эсэхийг шалгацгаая.
cos(x)=0 байг, тэгвэл asin(x)+0=0 => sin(x)=0, гэхдээ синус ба косинус нь тэгтэй тэнцүү биш, бид зөрчилтэй байгаа тул бид аюулгүй хувааж болно. тэгээр.

Тэгшитгэлийг шийд:
Жишээ нь: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Шийдэл:

Нийтлэг хүчин зүйлийг гарга: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Дараа нь бид хоёр тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй:

cos(x)=0 ба cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 хувьд x= π/2 + πk;

cos(x)+sin(x)=0 тэгшитгэлийг авч үзье Бидний тэгшитгэлийг cos(x)-д хуваа.

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Хариулт: x= π/2 + πk ба x= -π/4+πk

Хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?
Залуус аа, эдгээр дүрмийг үргэлж дагаж мөрдөөрэй!

1. a коэффициент нь хэдтэй тэнцүү болохыг харна уу, хэрэв a \u003d 0 бол бидний тэгшитгэл cos (x) (bsin (x) + ccos (x)) хэлбэртэй байх бөгөөд үүний шийдлийн жишээ нь өмнөх хувилбар дээр байна. слайд

2. Хэрэв a≠0 бол тэгшитгэлийн хоёр хэсгийг косинусын квадратаар хуваах шаардлагатай бол бид дараахь зүйлийг авна.

Бид t=tg(x) хувьсагчийн өөрчлөлтийг хийж тэгшитгэлийг авна.