Тригонометрийн тэгшитгэл тангенс. Тригонометрийн тэгшитгэл

"Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл" сэдвээр хичээл, танилцуулга.

Нэмэлт материал
Эрхэм хэрэглэгчид, санал хүсэлт, санал хүсэлт, санал хүсэлтээ үлдээхээ бүү мартаарай! Бүх материалыг вирусны эсрэг програмаар шалгадаг.

1С-ийн 10-р ангийн "Интеграл" онлайн дэлгүүрийн гарын авлага, симуляторууд
Бид геометрийн асуудлыг шийддэг. Сансарт барих интерактив даалгавар
Програм хангамжийн орчин "1С: Математик байгуулагч 6.1"

Бид юу судлах вэ:
1. Тригонометрийн тэгшитгэл гэж юу вэ?

3. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хоёр үндсэн арга.
4. Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл.
5. Жишээ.

Тригонометрийн тэгшитгэл гэж юу вэ?

Залуус аа, бид аль хэдийн арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенсыг судалж үзсэн. Одоо тригонометрийн тэгшитгэлийг ерөнхийд нь авч үзье.

Тригонометрийн тэгшитгэл– тригонометрийн функцийн тэмдгийн дор хувьсагч агуулагдсан тэгшитгэл.

Бид хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх хэлбэрийг давтана.

1) Хэрэв |а|≤ 1 бол cos(x) = a тэгшитгэл нь шийдтэй байна:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Хэрэв |а|≤ 1 бол sin(x) = a тэгшитгэл нь шийдтэй байна:

3) Хэрэв |a| > 1, тэгвэл sin(x) = a ба cos(x) = a тэгшитгэлийн шийдэл байхгүй 4) tg(x)=a тэгшитгэл нь шийдэлтэй байна: x=arctg(a)+ πk

5) ctg(x)=a тэгшитгэл нь шийдэлтэй байна: x=arcctg(a)+ πk

Бүх томьёоны хувьд k нь бүхэл тоо юм

Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэл нь Т(kx+m)=a, T- дурын тригонометрийн функц хэлбэртэй байна.

Жишээ.

Тэгшитгэлийг шийд: a) sin(3x)= √3/2

Шийдэл:

A) 3x=t гэж тэмдэглээд тэгшитгэлээ дараах хэлбэрээр бичнэ.

Энэ тэгшитгэлийн шийдэл нь: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn болно.

Утгын хүснэгтээс бид дараахь зүйлийг авна: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Хувьсагч руугаа буцъя: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Дараа нь x= ​​((-1)^n)×π/9+ πn/3

Хариулт: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, энд n нь бүхэл тоо. (-1)^n - n-ийн хүчийг хасах нэг.

Тригонометрийн тэгшитгэлийн бусад жишээ.

Тэгшитгэлийг шийд: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Шийдэл:

A) Энэ удаад бид тэгшитгэлийн язгуурын тооцоонд шууд очно.

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Тэгвэл x/5= πk => x=5πk болно

Хариулт: x=5πk, энд k нь бүхэл тоо.

B) Бид 3x- π/3=arctg(√3)+ πk хэлбэрээр бичнэ. arctg(√3)= π/3 гэдгийг бид мэднэ

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Хариулт: x=2π/9 + πk/3, энд k нь бүхэл тоо.

Тэгшитгэлийг шийд: cos(4x)= √2/2. Мөн сегмент дээрх бүх үндсийг олоорой.

Шийдэл:

Бид шийднэ ерөнхий үзэлбидний тэгшитгэл: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Одоо манай сегмент дээр ямар үндэс суурь болохыг харцгаая. k хувьд k=0, x= π/16 хувьд бид өгөгдсөн сегментэд байна.
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 байхад тэд дахин цохив.
k=2-ийн хувьд x= π/16+ π=17π/16, гэхдээ энд бид оноогүй, энэ нь том k-г ч онохгүй гэсэн үг.

Хариулт: x= π/16, x= 9π/16

Шийдвэрлэх хоёр үндсэн арга.

Бид хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлүүдийг авч үзсэн боловч илүү төвөгтэй тэгшитгэлүүд байдаг. Тэдгээрийг шийдвэрлэхийн тулд шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх арга, хүчин зүйлчлэлийн аргыг ашигладаг. Жишээнүүдийг харцгаая.

Тэгшитгэлийг шийдье:

Шийдэл:
Тэгшитгэлээ шийдэхийн тулд бид t=tg(x) гэж тэмдэглэсэн шинэ хувьсагчийг оруулах аргыг ашигладаг.

Орлуулалтын үр дүнд бид дараахь зүйлийг авна: t 2 + 2t -1 = 0

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг ол: t=-1 ба t=1/3

Дараа нь tg(x)=-1 ба tg(x)=1/3, бид хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлтэй болсон, түүний үндсийг олъё.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Хариулт: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Тэгшитгэлийг шийдэх жишээ

Тэгшитгэлийг шийд: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Шийдэл:

Шинжилгээг ашиглая: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Бидний тэгшитгэл нь: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0 болно.

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0 орлуулалтыг танилцуулъя.

Манай квадрат тэгшитгэлийн шийдэл нь язгуурууд: t=2 ба t=-1/2

Дараа нь cos(x)=2 ба cos(x)=-1/2.

Учир нь косинус нэгээс их утгыг авч чадахгүй бол cos(x)=2 нь үндэсгүй болно.

cos(x)=-1/2-ийн хувьд: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Хариулт: x= ±2π/3 + 2πk

Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлүүд.

Тодорхойлолт: a sin(x)+b cos(x) хэлбэрийн тэгшитгэлийг нэгдүгээр зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл гэнэ.

Маягтын тэгшитгэл

Хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл.

Нэгдүгээр зэрэглэлийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид үүнийг cos(x)-д хуваана: Хэрэв тэгтэй тэнцүү бол косинусыг хуваах боломжгүй, энэ нь тийм биш эсэхийг шалгацгаая.
cos(x)=0 байг, тэгвэл asin(x)+0=0 => sin(x)=0, гэхдээ синус ба косинус нь тэгтэй тэнцүү биш, бид зөрчилтэй байгаа тул бид аюулгүй хувааж болно. тэгээр.

Тэгшитгэлийг шийд:
Жишээ нь: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Шийдэл:

Нийтлэг хүчин зүйлийг гарга: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Дараа нь бид хоёр тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй:

cos(x)=0 ба cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 хувьд x= π/2 + πk;

cos(x)+sin(x)=0 тэгшитгэлийг авч үзье Бидний тэгшитгэлийг cos(x)-д хуваа.

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Хариулт: x= π/2 + πk ба x= -π/4+πk

Хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?
Залуус аа, эдгээр дүрмийг үргэлж дагаж мөрдөөрэй!

1. a коэффициент нь хэдтэй тэнцүү болохыг харна уу, хэрэв a \u003d 0 бол бидний тэгшитгэл cos (x) (bsin (x) + ccos (x)) хэлбэртэй байх бөгөөд үүний шийдлийн жишээ нь өмнөх хувилбар дээр байна. слайд

2. Хэрэв a≠0 бол тэгшитгэлийн хоёр хэсгийг косинусын квадратаар хуваах шаардлагатай бол бид дараахь зүйлийг авна.

Бид t=tg(x) хувьсагчийн өөрчлөлтийг хийж тэгшитгэлийг авна.

Жишээ №3-ийг шийд

Тэгшитгэлийг шийд:
Шийдэл:

Тэгшитгэлийн хоёр талыг косинусын квадратаар хуваа.

Бид t=tg(x) хувьсагчийн өөрчлөлтийг хийнэ: t 2 + 2 t - 3 = 0

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг ол: t=-3 ба t=1

Дараа нь: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Хариулт: x=-arctg(3) + πk ба x= π/4+ πk

Жишээ №4-ийг шийд

Тэгшитгэлийг шийд:

Шийдэл:
Өөрийнхөө илэрхийлэлийг өөрчилье:

Бид ийм тэгшитгэлийг шийдэж чадна: x= - π/4 + 2πk ба x=5π/4 + 2πk

Хариулт: x= - π/4 + 2πk ба x=5π/4 + 2πk

Жишээ №5-ыг шийд

Тэгшитгэлийг шийд:

Шийдэл:
Өөрийнхөө илэрхийлэлийг өөрчилье:

Бид tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 орлуулалтыг танилцуулж байна.

Манай квадрат тэгшитгэлийн шийдэл нь язгуурууд байх болно: t=-2 ба t=1/2

Дараа нь бид: tg(2x)=-2 ба tg(2x)=1/2 болно
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Хариулт: x=-arctg(2)/2 + πk/2 ба x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Бие даасан шийдлийн даалгавар.

1) Тэгшитгэлийг шийд

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0.5x) = -1.7

2) Тэгшитгэлийг шийд: sin(3x)= √3/2. Мөн сегмент дэх бүх үндсийг [π/2; π].

3) Тэгшитгэлийг шийд: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Тэгшитгэлийг шийд: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Тэгшитгэлийг шийд: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Тэгшитгэлийг шийд: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Тригонометрийн тэгшитгэл бол хамгийн хялбар сэдэв биш юм. Тэд олон янз байдаг.) ​​Жишээ нь:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

гэх мэт...

Гэхдээ эдгээр (болон бусад бүх) тригонометрийн мангасууд нь нийтлэг бөгөөд заавал байх ёстой хоёр шинж чанартай байдаг. Нэгдүгээрт - та итгэхгүй байх болно - тэгшитгэлд тригонометрийн функцууд байдаг.) ​​Хоёрдугаарт: x-тэй бүх илэрхийлэл эдгээр ижил функцүүдийн хүрээнд.Зөвхөн тэнд! Хэрэв x хаа нэгтээ гарч ирвэл гадна,Жишээлбэл, sin2x + 3x = 3,энэ тэгшитгэл байх болно холимог төрөл. Ийм тэгшитгэлийг шаарддаг хувь хүний ​​хандлага. Энд бид тэдгээрийг авч үзэхгүй.

Бид энэ хичээл дээр бас муу тэгшитгэлийг шийдэхгүй.) Энд бид шийдвэрлэх болно Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлүүд.Яагаад? Тийм ээ, учир нь шийдвэр ямар чтригонометрийн тэгшитгэл нь хоёр үе шатаас бүрдэнэ. Эхний шатанд муу тэгшитгэлийг янз бүрийн хувиргалтаар энгийн тэгшитгэл болгон бууруулдаг. Хоёр дахь нь - энэ хамгийн энгийн тэгшитгэлийг шийдсэн. Өөр арга байхгүй.

Тиймээс, хэрэв та хоёр дахь шатанд асуудал гарвал эхний шат онцгой утгаүгүй.)

Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлүүд ямар харагддаг вэ?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Энд а ямар ч тоог илэрхийлнэ. Ямар ч.

Дашрамд хэлэхэд, функц дотор цэвэр x биш, харин зарим төрлийн илэрхийлэл байж болно, тухайлбал:

cos(3x+π /3) = 1/2

гэх мэт. Энэ нь амьдралыг хүндрүүлдэг боловч тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргад нөлөөлөхгүй.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?

Тригонометрийн тэгшитгэлийг хоёр аргаар шийдэж болно. Эхний арга: логик ба тригонометрийн тойрог ашиглах. Бид энэ замыг эндээс судлах болно. Хоёрдахь арга - санах ой, томъёог ашиглах - дараагийн хичээл дээр авч үзэх болно.

Эхний арга нь ойлгомжтой, найдвартай, мартахад хэцүү.) Энэ нь тригонометрийн тэгшитгэл, тэгш бус байдал, бүх төрлийн төвөгтэй стандарт бус жишээнүүдийг шийдвэрлэхэд тохиромжтой. Логик нь ой санамжаас илүү хүчтэй!

Бид тригонометрийн тойрог ашиглан тэгшитгэлийг шийддэг.

Бид энгийн логик, тригонометрийн тойрог ашиглах чадварыг багтаасан. Чи чадахгүй гэж үү!? Гэсэн хэдий ч ... Тригонометрийн хувьд танд хэцүү байх болно ...) Гэхдээ энэ нь хамаагүй. "Тригонометрийн тойрог ...... Энэ юу вэ?" гэсэн хичээлүүдийг үзээрэй. болон "Тригонометрийн тойрог дээрх өнцгийг тоолох". Тэнд бүх зүйл энгийн байдаг. Сурах бичгээс ялгаатай нь...)

Аа, чи мэдэж байна уу!? Тэгээд бүр "Тригонометрийн тойрогтой практик ажил"-ыг эзэмшсэн!? Баяр хүргэе. Энэ сэдэв танд ойр, ойлгомжтой байх болно.) Хамгийн таатай нь тригонометрийн тойрогт таны аль тэгшитгэлийг шийдэх нь хамаагүй. Синус, косинус, тангенс, котангенс - түүний хувьд бүх зүйл адилхан. Шийдвэрлэх зарчим нь адилхан.

Тиймээс бид аливаа энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг авдаг. Наад зах нь энэ:

cosx = 0.5

Би X-г олох хэрэгтэй байна. Хүний хэлээр ярих юм бол хэрэгтэй косинус нь 0.5 (x) өнцгийг ол.

Бид өмнө нь тойргийг хэрхэн ашигладаг байсан бэ? Бид үүн дээр булан зурсан. градус эсвэл радианаар. Тэгээд тэр даруй харсан Энэ өнцгийн тригонометрийн функцууд. Одоо эсрэгээр нь хийцгээе. Тойрог дээр 0.5-тай тэнцэх косинусыг нэн даруй зур бид харна булан. Хариултыг бичихэд л үлдлээ.) Тийм ээ, тийм!

Бид тойрог зурж, косинусыг 0.5-тай тэнцүү гэж тэмдэглэнэ. Мэдээжийн хэрэг косинусын тэнхлэг дээр. Үүн шиг:

Одоо энэ косинусын бидэнд өгч буй өнцгийг зуръя. Зурган дээр хулганаа аваач (эсвэл таблет дээрх зурган дээр хүрнэ үү). үзнэ үүяг энэ булан X.

Аль өнцгийн косинус 0.5 байх вэ?

x \u003d π / 3

cos 60°= учир( π /3) = 0,5

Зарим хүмүүс эргэлзэж гонгинох болно, тиймээ... Тэд ямар ч байсан бүх зүйл тодорхой байхад тойргийг хашаалах нь үнэ цэнэтэй байсан гэж хэлдэг ... Та мэдээж гонгинож болно ...) Гэхдээ энэ бол алдаа юм. хариулах. Өөрөөр хэлбэл, хангалтгүй. Тойрог мэддэг хүмүүс 0.5-тай тэнцэх косинусыг өгдөг олон тооны өнцөг байсаар байгааг ойлгодог.

Хэрэв та хөдлөх тал OA эргүүлэх бол бүтэн эргэлт хийх, А цэг анхны байрлалдаа буцаж ирнэ. Ижил косинус нь 0.5-тай тэнцүү байна. Тэдгээр. өнцөг өөрчлөгдөнө 360° буюу 2π радиан ба косинус биш.Шинэ өнцөг 60° + 360° = 420° нь мөн бидний тэгшитгэлийн шийдэл байх болно, учир нь

Ийм бүрэн эргэлтүүд хязгааргүй олон байдаг... Мөн эдгээр бүх шинэ өнцөг нь бидний тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл байх болно. Тэгээд бүгдийг нь ямар нэгэн байдлаар бичих хэрэгтэй. Бүгд.Үгүй бол шийдвэрийг тооцохгүй, тийм ээ ...)

Математик үүнийг энгийн бөгөөд дэгжин хийж чадна. Нэг богино хариултанд бичээрэй хязгааргүй олонлогшийдлүүд. Энэ нь бидний тэгшитгэлийн хувьд дараах байдалтай байна.

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Би тайлах болно. Одоо ч бичнэ утга учиртайТэнэг байдлаар нууцлаг үсэг зурахаас илүү сайхан, тийм үү?)

π /3 бидэнтэй ижил өнцөг юм харсантойрог дээр ба тодорхойлсонкосинусын хүснэгтийн дагуу.

2π нь радианаар нэг бүтэн эргэлт юм.

n - энэ бол бүрэн гүйцэд тоо, i.e. бүхэлд ньхувьсгалууд. Энэ нь ойлгомжтой n 0, ±1, ±2, ±3.... гэх мэт байж болно. Богино оруулгад заасны дагуу:

n ∈ Z

n харьяалагддаг ( ∈ ) бүхэл тооны олонлогт ( З ). Дашрамд хэлэхэд, захидлын оронд n үсэг хэрэглэж болно к, м, т гэх мэт.

Энэ тэмдэглэгээ нь та ямар ч бүхэл тоо авч болно гэсэн үг юм n . Хамгийн багадаа -3, хамгийн багадаа 0, хамгийн багадаа +55. Та юу хүсч байна. Хэрэв та энэ дугаарыг хариултдаа оруулбал тодорхой өнцгийг олж авах бөгөөд энэ нь бидний хатуу тэгшитгэлийн шийдэл байх нь дамжиггүй.)

Эсвэл өөрөөр хэлбэл, x \u003d π / 3 хязгааргүй олонлогийн цорын ганц үндэс юм. Бусад бүх үндсийг авахын тулд π / 3 дээр хэдэн ч бүтэн эргэлт нэмэхэд хангалттай. n ) радианаар. Тэдгээр. 2πn радиан.

Бүх зүйл? Үгүй Би ялангуяа таашаалыг сунгаж байна. Илүү сайн санахын тулд.) Бид тэгшитгэлийнхээ хариултуудын зөвхөн хэсгийг л хүлээн авсан. Би уг шийдлийн эхний хэсгийг дараах байдлаар бичнэ.

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - нэг үндэс биш, энэ нь богино хэлбэрээр бичигдсэн бүхэл бүтэн цуврал үндэс юм.

Гэхдээ 0.5-тай тэнцэх косинусыг өгдөг өөр өнцөгүүд байдаг!

Хариултаа бичсэн зураг руугаа буцаж орцгооё. Тэр тэнд байна:

Зураг дээр хулганыг хөдөлгөж, үзнэ үүөөр нэг булан мөн 0.5 косинусыг өгдөг.Энэ нь юутай тэнцүү гэж та бодож байна вэ? Гурвалжингууд нь адилхан ... Тийм ээ! Энэ нь өнцөгтэй тэнцүү байна X , зөвхөн сөрөг чиглэлд зурсан. Энэ бол булан -Х. Гэхдээ бид x-г аль хэдийн тооцоолсон. π /3 эсвэл 60°. Тиймээс бид аюулгүйгээр бичиж болно:

x 2 \u003d - π / 3

Мэдээжийн хэрэг, бид бүрэн эргэлтээр олж авсан бүх өнцгийг нэмнэ.

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Энэ бол одоо.) Тригонометрийн тойрогт бид харсан(мэдээж хэн ойлгох вэ)) бүгд 0.5-тай тэнцүү косинусыг өгөх өнцөг. Тэгээд эдгээр өнцгүүдийг товчоор бичлээ математик хэлбэр. Хариулт нь хоёр төгсгөлгүй цуврал үндэс юм:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Энэ бол зөв хариулт юм.

Найдвар, тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий зарчимтойргийн тусламжтайгаар ойлгомжтой. Өгөгдсөн тэгшитгэлээс бид косинусыг (синус, тангенс, котангенс) тойрог дээр тэмдэглэж, харгалзах өнцгийг зурж, хариултыг бичнэ.Мэдээжийн хэрэг, та бид ямар булантай болохыг олж мэдэх хэрэгтэй харсантойрог дээр. Заримдаа энэ нь тийм ч тодорхой биш байдаг. Миний хэлсэнчлэн энд логик хэрэгтэй.)

Жишээлбэл, өөр тригонометрийн тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийцгээе.

0.5 тоо нь тэгшитгэлийн цорын ганц боломжит тоо биш гэдгийг анхаарна уу!) Үүнийг бичих нь надад үндэс, бутархай гэхээсээ илүү тохиромжтой.

Бид ерөнхий зарчмаар ажилладаг. Бид тойрог зурж, тэмдэглэнэ (мэдээж синус тэнхлэг дээр!) 0.5. Бид энэ синустай тохирох бүх өнцгийг нэг дор зурдаг. Бид энэ зургийг авна:

Эхлээд өнцгийг нь авч үзье. X эхний улиралд. Бид синусын хүснэгтийг эргэн санаж, энэ өнцгийн утгыг тодорхойлно. Асуудал энгийн:

x \u003d π / 6

Бид бүрэн хувьсгалуудыг санаж байна, хамт цэвэр ухамсар, бид хариултын эхний цувралыг бичнэ:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ажлын тал нь дууссан. Одоо бид тодорхойлох хэрэгтэй хоёр дахь булан ...Энэ нь косинусуудаас илүү төвөгтэй, тийм ээ ... Гэхдээ логик биднийг аврах болно! Хоёр дахь өнцгийг хэрхэн тодорхойлох вэ х-ээр дамжуулан? Тиймээ амархан! Зурган дээрх гурвалжин нь адилхан, улаан булан X өнцөгтэй тэнцүү байна X . Зөвхөн энэ нь сөрөг чиглэлд π өнцгөөс тоологддог. Тийм учраас улаан өнгөтэй байна.) Мөн хариултын хувьд OX эерэг хагас тэнхлэгээс зөв хэмжсэн өнцөг хэрэгтэй, i.e. 0 градусын өнцгөөс.

Зурган дээр курсорыг аваачиж, бүх зүйлийг харна уу. Зургийг хүндрүүлэхгүйн тулд би эхний буланг арилгасан. Бидний сонирхох өнцөг (ногооноор зурсан) нь дараахтай тэнцүү байх болно.

π - x

x бид үүнийг мэднэ π /6 . Тэгэхээр хоёр дахь өнцөг нь:

π - π /6 = 5π /6

Дахин хэлэхэд бид бүрэн хувьсгалуудыг нэмж санаж, хоёр дахь цуврал хариултыг бичнэ үү.

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Тэгээд л болоо. Бүрэн хариулт нь хоёр цуврал үндэсээс бүрдэнэ.

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Тангенс ба котангенс бүхий тэгшитгэлийг тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ижил ерөнхий зарчмыг ашиглан хялбархан шийдэж болно. Мэдээжийн хэрэг та тригонометрийн тойрог дээр тангенс ба котангенсыг хэрхэн зурахаа мэдэхгүй л бол.

Дээрх жишээнүүдэд би синус ба косинусын хүснэгтийн утгыг ашигласан: 0.5. Тэдгээр. оюутны мэддэг утгын нэг ёстой.Одоо боломжоо өргөжүүлье бусад бүх үнэт зүйлс.Шийдээрэй, шийдээрэй!)

Тиймээс бид дараах тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй гэж үзье.

Богино хүснэгтэд косинусын ийм утга байдаггүй. Бид энэ аймшигтай баримтыг үл тоомсорлодог. Бид тойрог зурж, косинусын тэнхлэг дээр 2/3-ыг тэмдэглэж, харгалзах өнцгийг зурна. Бид энэ зургийг авдаг.

Бид эхлээд эхний улиралд өнцгөөр ойлгож байна. x нь хэдтэй тэнцүү болохыг мэдэхийн тулд тэр даруй хариултыг бичнэ! Бид мэдэхгүй... Бүтэлгүйтэл!? Тайвшир! Математик өөрөө асуудалд ордоггүй! Тэрээр энэ тохиолдолд нуман косинусыг зохион бүтээжээ. Мэдэхгүй? Дэмий. Үүнийг олж мэд. Энэ нь таны бодож байгаагаас хамаагүй хялбар юм. Энэ холбоос дээр "урвуу тригонометрийн функцууд“Үгүй ээ... Энэ сэдэвт илүүц байна.

Хэрэв та мэдэж байгаа бол "X бол косинус нь 2/3" гэж өөртөө хэлээрэй. Тэгээд тэр даруй, арккосины тодорхойлолтоор бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

Бид нэмэлт хувьсгалуудын талаар санаж, тригонометрийн тэгшитгэлийн язгуурын эхний цувралыг тайван бичнэ.

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Хоёр дахь цуврал үндэс нь хоёр дахь өнцгийн хувьд бараг автоматаар бичигдсэн байдаг. Бүх зүйл адилхан, зөвхөн x (arccos 2/3) хасахтай байна:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Тэгээд бүх зүйл! Энэ бол зөв хариулт юм. Хүснэгтийн утгуудаас ч хялбар. Та юу ч санах шаардлагагүй.) Дашрамд хэлэхэд, нумын косинусын уусмал бүхий энэ зургийг хамгийн анхааралтай ажиглах болно. cosx = 0.5 тэгшитгэлийн зурагнаас үндсэндээ ялгаагүй.

Яг! Ерөнхий зарчимийм учраас энэ нь нийтлэг юм! Би бараг ижилхэн хоёр зураг тусгайлан зурсан. Тойрог нь бидэнд өнцгийг харуулж байна X косинусаар. Энэ нь хүснэгтийн косинус юм уу үгүй ​​юу - тойрог мэдэхгүй. Энэ ямар өнцөг вэ, π / 3, эсвэл ямар нуман косинусыг бид шийдэх ёстой.

Синустай ижил дуу. Жишээлбэл:

Дахин бид тойрог зурж, синусыг 1/3-тай тэнцүү болгож, булангуудыг зурна. Энэ зураг гарч ирэв:

Мөн дахин зураг нь тэгшитгэлийнхтэй бараг ижил байна sinx = 0.5.Дахин бид эхний улиралд булангаас эхэлдэг. Түүний синус нь 1/3 бол х хэдтэй тэнцүү вэ? Асуудалгүй!

Тиймээс эхний багц үндэс бэлэн боллоо.

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Хоёр дахь өнцгийг харцгаая. Хүснэгтийн 0.5 утгатай жишээн дээр энэ нь дараахтай тэнцүү байв.

π - x

Тэгэхээр энд яг адилхан байх болно! Зөвхөн x нь өөр, arcsin 1/3. Тэгээд юу гэж!? Та хоёр дахь үндэсийг аюулгүйгээр бичиж болно:

x 2 = π - нумын 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Энэ бол бүрэн зөв хариулт юм. Хэдийгээр энэ нь тийм ч танил биш юм шиг санагддаг. Гэхдээ энэ нь ойлгомжтой, би найдаж байна.)

Тойрог ашиглан тригонометрийн тэгшитгэлийг ингэж шийддэг. Энэ зам нь ойлгомжтой бөгөөд ойлгомжтой. Тэр бол өгөгдсөн интервал дахь үндсийг сонгох тригонометрийн тэгшитгэлд, тригонометрийн тэгш бус байдалд хадгалдаг хүн юм - тэдгээрийг ерөнхийдөө бараг үргэлж тойрог хэлбэрээр шийддэг. Товчхондоо, стандартаас арай илүү төвөгтэй аливаа ажилд.

Мэдлэгээ амьдралд хэрэгжүүлэх үү?

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх:

Эхлээд энэ нь илүү энгийн, шууд энэ хичээл дээр.

Одоо илүү хэцүү болсон.

Зөвлөгөө: энд та тойргийн талаар бодох хэрэгтэй. Хувь хүний ​​хувьд.)

Тэгээд одоо гаднаас нь мадаггүй зөв ... Тэднийг мөн онцгой тохиолдол гэж нэрлэдэг.

синкс = 0

синкс = 1

cosx = 0

cosx = -1

Зөвлөгөө: Энд та тойрог дотор хоёр цуврал хариулт, хаана нэг хариулт байгааг олж мэдэх хэрэгтэй ... Мөн хоёр хариултын оронд нэгийг хэрхэн бичих вэ. Тийм ээ, ингэснээр хязгааргүй тооны нэг ч үндэс алга болохгүй!)

За, маш энгийн):

синкс = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Зөвлөгөө: Энд та арксинус, арккосин гэж юу болохыг мэдэх хэрэгтэй байна уу? Нуман тангенс, нуман тангенс гэж юу вэ? Ихэнх энгийн тодорхойлолтууд. Гэхдээ үгүй ​​гэдгийг санаарай хүснэгтийн утгуудхэрэггүй!)

Хариултууд нь мэдээж эмх замбараагүй байна):

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2

Бүх зүйл болохгүй байна уу? Энэ нь тохиолддог. Хичээлээ дахин унш. Зөвхөн бодолтойгоор(ийм хуучирсан үг байдаг...) Тэгээд линкээр нь ороод үзээрэй. Гол холбоосууд нь тойргийн тухай юм. Тригонометрийн хувьд үүнгүйгээр - нүдийг нь боосон замыг хэрхэн хөндлөн гарах вэ. Заримдаа энэ нь ажилладаг.)

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурах - сонирхолтой!)

функц болон деривативтай танилцах боломжтой.

Таны хувийн нууц бидэнд чухал. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын бодлогыг уншаад асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг:

• Та сайт дээр өргөдөл гаргахад бид цуглуулж магадгүй янз бүрийн мэдээлэлтаны нэр, утасны дугаар, хаяг зэрэг орно Имэйлгэх мэт.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

• Манайх цуглуулсан хувийн мэдээлэлтантай холбоо барьж, танд мэдэгдэх боломжийг бидэнд олгоно өвөрмөц саналууд, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээ.
• Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээж болно.
• Бид мөн хувийн мэдээллийг аудит хийх, мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийх гэх мэт дотоод зорилгоор ашиглаж болно төрөл бүрийн судалгааүзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, үйлчилгээнийхээ талаар танд зөвлөмж өгөх.
• Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй урамшуулалд оролцох юм бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээлэл өгөх

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

• Шаардлагатай бол - хууль тогтоомжийн дагуу, шүүхийн журмаар, шүүхийн журмаар болон / эсвэл олон нийтийн хүсэлт, хүсэлтийг үндэслэн төрийн байгууллагуудОХУ-ын нутаг дэвсгэр дээр - хувийн мэдээллээ задруулах. Хэрэв бид аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтэд ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой. чухал тохиолдлууд.
• Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх эсвэл худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох гуравдагч этгээдийн өв залгамжлагчид шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, буруугаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хадгалах

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын талаар ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

"A авах" видео хичээл нь танд хэрэгтэй бүх сэдвүүдийг багтаасан болно амжилттай хүргэлт 60-65 оноогоор математикт ХЭРЭГЛЭЭ. Профайлын 1-13-р бүх даалгаврыг математикт ашиглах. Мөн математикийн үндсэн хэрэглээг давахад тохиромжтой. Шалгалтаа 90-100 оноотой өгөхийг хүсвэл 1-р хэсгийг 30 минутанд алдаагүй шийдэх хэрэгтэй!

10-11-р анги, багш нарт зориулсан шалгалтанд бэлтгэх курс. Математикийн шалгалтын 1-р хэсэг (эхний 12 бодлого) болон 13-р асуудал (тригонометр) шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх зүйл. Энэ бол Улсын нэгдсэн шалгалтын 70 гаруй оноо бөгөөд зуун оноотой оюутан ч, хүмүүнлэгч ч тэдэнгүйгээр хийж чадахгүй.

Шаардлагатай бүх онол. Түргэн арга замуудшалгалтын шийдэл, занга, нууц. FIPI Банкны даалгаврын 1-р хэсгийн холбогдох бүх ажлуудад дүн шинжилгээ хийсэн. Уг сургалт нь USE-2018 стандартын шаардлагыг бүрэн хангасан.

Хичээл нь тус бүр 2.5 цагийн 5 том сэдэвтэй. Сэдэв бүрийг эхнээс нь энгийн бөгөөд ойлгомжтойгоор өгсөн болно.

Олон зуун шалгалтын даалгавар. Текстийн бодлого ба магадлалын онол. Асуудлыг шийдэх энгийн бөгөөд санахад хялбар алгоритмууд. Геометр. Онол, лавлах материал, бүх төрлийн USE даалгаврын дүн шинжилгээ. Стереометр. Шийдвэрлэх заль мэх, хэрэгтэй хууран мэхлэлт, орон зайн төсөөллийг хөгжүүлэх. Тригонометрийг эхнээс нь - 13-р даалгавар руу. Шатлахын оронд ойлгох. Нарийн төвөгтэй ойлголтуудын визуал тайлбар. Алгебр. Үндэс, хүч ба логарифм, функц ба дериватив. Уусмалын суурь сорилттой даалгаваруудШалгалтын 2 хэсэг.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

Танилцуулга 2

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга 5

Алгебр 5

Ижил нэртэй тригонометрийн функцүүдийн тэгшитгэлийн нөхцөлийг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх 7

Факторинг 8

Нэг төрлийн тэгшитгэл рүү буулгах 10

Туслах өнцгийн танилцуулга 11

Бүтээгдэхүүнийг нийлбэр 14 болгон хөрвүүлнэ

Бүх нийтийн сэлгээ 14

Дүгнэлт 17

Оршил

Аравдугаар анги хүртэл зорилгодоо хүрэх олон дасгалын үйл ажиллагааны дарааллыг дүрмээр хоёрдмол утгагүйгээр тодорхойлдог. Жишээлбэл, шугаман ба квадрат тэгшитгэл ба тэгш бус байдал, бутархай тэгшитгэл ба квадрат болгон бууруулж болох тэгшитгэл гэх мэт. Дээр дурдсан жишээ бүрийг шийдвэрлэх зарчмыг нарийвчлан шинжлэхгүйгээр бид тэдгээрийг амжилттай шийдвэрлэхэд шаардлагатай ерөнхий зүйлийг тэмдэглэв.

Ихэнх тохиолдолд та ямар төрлийн даалгавар болохыг тодорхойлж, зорилгод хүргэх үйлдлүүдийн дарааллыг санаж, эдгээр үйлдлүүдийг хийх хэрэгтэй. Оюутны тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргыг эзэмшсэн амжилт, бүтэлгүйтэл нь тэгшитгэлийн төрлийг хэр зөв тодорхойлж, түүнийг шийдвэрлэх бүх үе шатуудын дарааллыг санаж байхаас ихээхэн хамаардаг нь ойлгомжтой. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь оюутан ижил төстэй хувиргалт, тооцоолол хийх чадвартай гэж үздэг.

Оюутан тригонометрийн тэгшитгэлтэй тулгарах үед огт өөр нөхцөл байдал үүсдэг. Үүний зэрэгцээ тэгшитгэл нь тригонометр гэдгийг тогтооход хэцүү биш юм. Эерэг үр дүнд хүргэх үйл ажиллагааны чиглэлийг олоход бэрхшээлтэй тулгардаг. Энд оюутан хоёр асуудалтай тулгардаг. By Гадаад төрхтэгшитгэлийн төрлийг тодорхойлоход хэцүү байдаг. Мөн төрлийг нь мэдэхгүй бол хэдэн арван боломжит томъёоноос хүссэн томъёогоо сонгох нь бараг боломжгүй юм.

Оюутнуудад олоход нь туслах зөв замтригонометрийн тэгшитгэлийн нарийн төвөгтэй лабиринт дээр тэдгээрийг эхлээд тэгшитгэлүүдтэй танилцуулж, шинэ хувьсагчийг оруулсны дараа квадрат болгон бууруулна. Дараа нь нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийдэж, тэдгээрт бууруулна. Дүрмээр бол бүх зүйл тэгшитгэлээр төгсдөг бөгөөд үүнийг шийдвэрлэхийн тулд хүчин зүйл болгон хуваах шаардлагатай байдаг зүүн тал, дараа нь хүчин зүйл бүрийг тэгтэй тэнцүүлнэ.

Хичээлүүдэд дүн шинжилгээ хийсэн хэдэн арван тэгшитгэл нь сурагчийг тригонометрийн "далайн" дээр бие даан хөлөглөхөд хангалтгүй гэдгийг ойлгосон багш өөрөөсөө хэд хэдэн зөвлөмж нэмж оруулав.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид дараахь зүйлийг оролдох ёстой.

Тэгшитгэлд орсон бүх функцийг "ижил өнцгөөр" авчрах;

Тэгшитгэлийг "ижил функц" болгон авчрах;

Тэгшитгэлийн зүүн талыг үржүүлэх гэх мэт.

Гэхдээ тригонометрийн тэгшитгэлийн үндсэн төрлүүд, тэдгээрийн шийдлийг олох хэд хэдэн зарчмуудын талаархи мэдлэгийг үл харгалзан олон оюутнууд тэгшитгэл бүрийн өмнө өмнө нь шийдэгдсэнээс бага зэрэг ялгаатай мухардалд орсоор байна. Нэг эсвэл өөр тэгшитгэлтэй байхын тулд юуг хичээх ёстой, яагаад нэг тохиолдолд давхар өнцгийн томьёо, нөгөөд нь хагас өнцөг, гурав дахь нь нэмэх томъёог ашиглах шаардлагатай байгаа нь тодорхойгүй хэвээр байна.

Тодорхойлолт 1.Тригонометрийн тэгшитгэл гэдэг нь тригонометрийн функцүүдийн тэмдгийн дор үл мэдэгдэх зүйлийг агуулсан тэгшитгэл юм.

Тодорхойлолт 2.Тригонометрийн тэгшитгэлд багтсан бүх тригонометрийн функцууд ижил аргументтай байвал ижил өнцөгтэй гэж нэрлэдэг. Тригонометрийн тэгшитгэл нь зөвхөн нэг тригонометрийн функцийг агуулж байвал ижил функцтэй гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 3.Тригонометрийн функцүүдийг агуулсан мономиалын зэрэг нь түүнд багтсан тригонометрийн функцүүдийн чадлын илтгэгчийн нийлбэр юм.

Тодорхойлолт 4.Хэрэв бүх мономиалууд ижил зэрэгтэй байвал тэгшитгэлийг нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг. Энэ зэргийг тэгшитгэлийн дараалал гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 5.Зөвхөн функц агуулсан тригонометрийн тэгшитгэл нүгэлболон cos, тригонометрийн функцтэй харьцах бүх мономиалууд ижил зэрэгтэй, тригонометрийн функцүүд нь ижил өнцөгтэй, мономиалуудын тоо тэгшитгэлийн дарааллаас 1-ээр их байвал нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга.

Тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл нь хоёр үе шатаас бүрдэнэ: тэгшитгэлийг хамгийн энгийн хэлбэрт шилжүүлэх, хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх долоон үндсэн арга байдаг.

I. алгебрийн арга.Энэ аргыг алгебраас сайн мэддэг. (Хувьсагчийг солих, орлуулах арга).

Тэгшитгэлийг шийдэх.

1)

Тэмдэглэгээг танилцуулъя x=2 нүгэл3 т, бид авдаг

Энэ тэгшитгэлийг шийдснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.
эсвэл

тэдгээр. бичиж болно

Шинж тэмдгүүд байгаа тул олж авсан уусмалыг бичихдээ зэрэг
бичих ямар ч утгагүй юм.

Хариулт:

Тэмдэглэх

Бид авдаг квадрат тэгшитгэл
. Үүний үндэс нь тоо юм
болон
. Тиймээс энэ тэгшитгэлийг хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэл болгон бууруулдаг
болон
. Тэдгээрийг шийдэж, бид үүнийг олж мэднэ
эсвэл
.

Хариулт:
;
.

Тэмдэглэх

нөхцөлийг хангахгүй байна

гэсэн үг

Хариулт:

Тэгшитгэлийн зүүн талыг хувиргая:

Тиймээс энэ анхны тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно.

, өөрөөр хэлбэл

Тэмдэглэх
, бид авдаг
Энэ квадрат тэгшитгэлийг шийдэхэд бид дараах байдалтай байна.

нөхцөлийг хангахгүй байна

Бид анхны тэгшитгэлийн шийдлийг бичнэ.

Хариулт:

Орлуулах
Энэ тэгшитгэлийг квадрат тэгшитгэл болгон бууруулна
. Үүний үндэс нь тоо юм
болон
. Учир нь
, дараа нь өгөгдсөн тэгшитгэлүндэсгүй.

Хариулт: үндэс байхгүй.

II. Ижил нэртэй тригонометрийн функцүүдийн тэгшитгэлийн нөхцөлийг ашиглан тэгшитгэлийн шийдэл.

а)
, хэрэв

б)
, хэрэв

онд)
, хэрэв

Эдгээр нөхцлүүдийг ашиглан дараах тэгшитгэлийн шийдлийг авч үзье.

6)

a) зүйлд хэлсэн зүйлийг ашигласнаар бид тэгшитгэл нь зөвхөн хэрэв байгаа бол шийдэлтэй болохыг олж мэдэв
.

Энэ тэгшитгэлийг шийдэж, бид олдог
.

Бидэнд хоёр бүлэг шийдэл байна:

.

7) Тэгшитгэлийг шийд:
.

b) хэсгийн нөхцөлийг ашиглан бид үүнийг гаргаж байна
.

Эдгээр квадрат тэгшитгэлийг шийдэж, бид дараахь зүйлийг олж авна.

.

8) Тэгшитгэлийг шийд
.

Энэ тэгшитгэлээс бид үүнийг гаргаж байна. Энэ квадрат тэгшитгэлийг шийдэж, бид үүнийг олно

.

III. Факторжуулалт.

Бид энэ аргыг жишээн дээр авч үздэг.

9) Тэгшитгэлийг шийд
.

Шийдэл. Тэгшитгэлийн бүх гишүүнийг зүүн тийш шилжүүлье: .

Бид тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа илэрхийлэлийг хувиргаж, хүчин зүйл болгон хуваана.
.

.

.

1)
2)

Учир нь
болон
null утгыг бүү ав

нэгэн зэрэг, дараа нь бид хоёр хэсгийг салгана

-д зориулсан тэгшитгэлүүд
,

Хариулт:

10) Тэгшитгэлийг шийд:

Шийдэл.

эсвэл

Хариулт:

11) Тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл:

1)
2)
3)

,

Хариулт:

IV. Нэг төрлийн тэгшитгэлд буулгах.

Шийдэхийн тулд нэгэн төрлийн тэгшитгэлшаардлагатай:

Түүний бүх гишүүдийг зүүн тийш шилжүүлэх;

Бүх нийтлэг хүчин зүйлсийг хаалтнаас гаргах;

Бүх хүчин зүйлүүд болон хаалтуудыг тэгтэй тэнцүүлэх;

Тэгтэй тэнцүү хаалт нь бага зэрэгтэй нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг өгөх бөгөөд үүнийг дараах байдлаар хуваах ёстой.
(эсвэл
) ахлах зэрэгт;

Хүлээн авсан шийдвэрлэх алгебрийн тэгшитгэлхарьцангуй
.

Жишээнүүдийг авч үзье:

12) Тэгшитгэлийг шийд:

Шийдэл.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваа
,

Тэмдэглэгээг танилцуулж байна
, нэр

Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь:

эндээс 1)
2)

Хариулт:

13) Тэгшитгэлийг шийд:

Шийдэл. Давхар өнцгийн томьёо болон үндсэн зүйлийг ашиглах тригонометрийн ижилсэл, бид энэ тэгшитгэлийг хагас аргумент болгон бууруулна:

Дуртай нөхцлүүдийг бууруулсны дараа бидэнд:

Нэг төрлийн сүүлчийн тэгшитгэлийг хуваах
, бид авдаг

Би томилно
, бид квадрат тэгшитгэлийг авна
, тэдгээрийн үндэс нь тоо юм

Энэ замаар

Илэрхийлэл
цагт алга болдог
, өөрөөр хэлбэл цагт
,
.

Тэгшитгэлийн бидний шийдэлд эдгээр тоо ороогүй болно.

Хариулт:
, .

В. Туслах өнцгийн танилцуулга.

Маягтын тэгшитгэлийг авч үзье

Хаана a, b, c- коэффициентүүд, x- үл мэдэгдэх.

Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваа

Одоо тэгшитгэлийн коэффициентүүд нь синус ба косинусын шинж чанартай байдаг, тухайлбал: тэдгээрийн модуль нэгээс хэтрэхгүй, квадратуудын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байна.

Дараа нь бид тэдгээрийг зохих шошготой болгож чадна
(энд - туслах өнцөг) ба бидний тэгшитгэл дараах хэлбэртэй байна.

Дараа нь

Мөн түүний шийдвэр

Оруулсан тэмдэглэгээг сольж болно гэдгийг анхаарна уу.

14) Тэгшитгэлийг шийд:

Шийдэл. Энд
, тиймээс бид тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваана

Хариулт:

15) Тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл. Учир нь
, тэгвэл энэ тэгшитгэл нь тэгшитгэлтэй тэнцүү байна

Учир нь
, тэгвэл тийм өнцөг байна
,
(тэдгээр.
).

Бидэнд байгаа

Учир нь
, дараа нь бид эцэст нь авна:

.

Маягтын тэгшитгэл нь зөвхөн болон зөвхөн тохиолдолд шийдэлтэй байдаг гэдгийг анхаарна уу

16) Тэгшитгэлийг шийд:

Энэ тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид тригонометрийн функцуудыг ижил аргументтай бүлэглэнэ

Тэгшитгэлийн хоёр талыг хоёр хуваа

Бид тригонометрийн функцүүдийн нийлбэрийг бүтээгдэхүүн болгон хувиргадаг.

Хариулт:

VI. Бүтээгдэхүүнийг нийлбэр болгон хөрвүүлэх.

Тохирох томъёог энд ашигласан болно.

17) Тэгшитгэлийг шийд:

Шийдэл. Зүүн талыг нийлбэр болгон хөрвүүлье:

VII.Бүх нийтийн орлуулалт.

,

Эдгээр томъёо нь бүгдэд үнэн юм

Орлуулах
бүх нийтийн гэж нэрлэдэг.

18) Тэгшитгэлийг шийд:

Шийдэл: солих ба
дамжуулан тэдний илэрхийлэл
болон тэмдэглэнэ
.

Бид авдаг рационал тэгшитгэл
, үүнийг квадрат болгон хувиргасан
.

Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь тоонууд юм
.

Тиймээс асуудлыг хоёр тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хүртэл багасгасан
.

Бид үүнийг олдог
.

Утга харах
өгөгдсөн утгыг орлуулах - шалгах замаар баталгаажуулсан анхны тэгшитгэлийг хангахгүй байна танхны тэгшитгэл рүү.

Хариулт:
.

Сэтгэгдэл. 18-р тэгшитгэлийг өөр аргаар шийдэж болно.

Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг 5-аар хуваана (өөрөөр хэлбэл
):
.

Учир нь
, дараа нь тоо байна
, юу
болон
. Тиймээс тэгшитгэл нь:
эсвэл
. Эндээс бид үүнийг олж мэднэ
хаана
.

19) Тэгшитгэлийг шийд
.

Шийдэл. Функцуудаас хойш
болон
байна хамгийн өндөр үнэ цэнэ 1-тэй тэнцүү бол тэдгээрийн нийлбэр нь 2-той тэнцүү байна
болон
, нэгэн зэрэг, тэр нь
.

Хариулт:
.

Энэ тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ функцүүдийн хязгаарлагдмал байдлыг ашигласан болно.

Дүгнэлт.

"Тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл" сэдвээр ажиллахдаа багш бүр дараах зөвлөмжийг дагаж мөрдөх нь зүйтэй.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг системчлэх.

Тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийх алхмууд, нэг буюу өөр шийдлийн аргыг ашиглах нь зүйтэй гэсэн шинж тэмдгүүдийг өөрөө сонго.

Энэ аргыг хэрэгжүүлэх үйл ажиллагаанд өөрийгөө хянах арга замын талаар бодох.

Судалсан арга тус бүрдээ "өөрийн" тэгшитгэл хийж сур.

Өргөдлийн дугаар 1

Нэг төрлийн буюу бууруулж болох тэгшитгэлийг шийд.

1.	Төлөөлөгч
	Төлөөлөгч
	Төлөөлөгч
5.	Төлөөлөгч
	Төлөөлөгч
7.	Төлөөлөгч
	Төлөөлөгч