Хоёр зэрэгцээ шугамын хоорондох зай: тодорхойлолт ба олох жишээ. Онгоц дээрх шулуун шугамын хамгийн энгийн асуудлууд. Шугамын харилцан зохицуулалт. Шугамын хоорондох өнцөг

Өө-өө-өө-өө-өө ... за, энэ өгүүлбэрийг өөрөө уншиж байгаа юм шиг гашуун юм =) Гэсэн хэдий ч тайвшрах нь туслах болно, ялангуяа би өнөөдөр тохиромжтой хэрэгслүүд худалдаж авсан. Тиймээс, эхний хэсэг рүү орцгооё, нийтлэлийн төгсгөлд би хөгжилтэй байх болно гэж найдаж байна.

Хоёр шулуун шугамын харилцан зохицуулалт

Танхим найрал дуугаар дуулах тохиолдол. Хоёр мөр болно:

1) тохирох;

2) зэрэгцээ байх: ;

3) эсвэл нэг цэгээр огтлолцоно: .

Дамми нарт туслах : уулзварын математик тэмдгийг санаарай, энэ нь маш олон удаа тохиолддог. Оруулах нь шугам нь цэг дээрх шугамтай огтлолцдог гэсэн үг юм.

Хоёр шугамын харьцангуй байрлалыг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Эхний тохиолдлоос эхэлье:

Хэрэв тус тусын коэффициент нь пропорциональ байвал хоёр шугам давхцдаг, өөрөөр хэлбэл, ийм тооны "lambda" байдаг тэгш байдал

Шулуун шугамыг авч үзээд харгалзах коэффициентуудаас гурван тэгшитгэл зохиоё: . Тэгшитгэл бүрээс харахад эдгээр шугамууд давхцаж байна.

Үнэн хэрэгтээ, хэрэв тэгшитгэлийн бүх коэффициентууд -1 (тэмдэг өөрчлөх), тэгшитгэлийн бүх коэффициентийг үржүүлнэ 2-оор бууруулбал ижил тэгшитгэл гарна: .

Шугамууд зэрэгцээ байх хоёр дахь тохиолдол:

Хоёр шугам нь зөвхөн хувьсагчид дахь коэффициентүүд нь пропорциональ байвал зэрэгцээ байна. , гэхдээ.

Жишээ болгон хоёр шулуун шугамыг авч үзье. Бид хувьсагчдын харгалзах коэффициентүүдийн пропорциональ байдлыг шалгана.

Гэсэн хэдий ч энэ нь тодорхой байна.

Гурав дахь тохиолдол, шугамууд огтлолцох үед:

Хэрэв хувьсагчийн коэффициентүүд нь пропорциональ БИШ бол хоёр шугам огтлолцоно, өөрөөр хэлбэл тэгш байдлыг хангасан "ламбда" гэсэн ийм утга БАЙХГҮЙ

Тиймээс шулуун шугамын хувьд бид дараахь системийг бий болгоно.

Эхний тэгшитгэлээс дараах нь , хоёр дахь тэгшитгэлээс: , иймээс, систем нь нийцэхгүй байна(шийдэл байхгүй). Тиймээс хувьсагчид дахь коэффициентүүд нь пропорциональ биш юм.

Дүгнэлт: шугамууд огтлолцдог

Практик асуудлуудад зөвхөн авч үзсэн шийдлийн схемийг ашиглаж болно. Дашрамд хэлэхэд энэ нь бидний хичээл дээр авч үзсэн векторуудыг коллинеар байдлыг шалгах алгоритмтай маш төстэй юм. Векторуудын шугаман (бус) хамаарлын тухай ойлголт. Вектор үндэс. Гэхдээ илүү соёлтой багц байдаг:

Жишээ 1

Шугамануудын харьцангуй байрлалыг ол:

Шийдэлшулуун шугамын чиглүүлэх векторуудын судалгаанд үндэслэн:

a) Тэгшитгэлээс бид шугамын чиглэлийн векторуудыг олно. .

, тэгэхээр векторууд нь коллинеар биш ба шугамууд огтлолцдог.

Ямар ч тохиолдолд би уулзвар дээр заагчтай чулуу тавих болно.

Үлдсэн хэсэг нь чулуун дээгүүр үсэрч, шууд үхэлгүй Кащей руу явна =)

б) Шугамын чиглэлийн векторуудыг ол:

Шугамууд нь ижил чиглэлийн вектортой бөгөөд энэ нь зэрэгцээ эсвэл ижил байна гэсэн үг юм. Энд тодорхойлогч шаардлагагүй.

Мэдээжийн хэрэг үл мэдэгдэхийн коэффициентүүд пропорциональ байхад .

Тэгш байдал үнэн эсэхийг олж мэдье:

Энэ замаар,

в) Шугамын чиглэлийн векторуудыг ол:

Эдгээр векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогчийг тооцоолъё.
, тиймээс чиглэлийн векторууд нь коллинеар байна. Шугамууд нь зэрэгцээ эсвэл давхцаж байна.

Пропорциональ хүчин зүйл "lambda" нь коллинеар чиглэлийн векторуудын харьцаанаас шууд харахад хялбар байдаг. Гэсэн хэдий ч үүнийг тэгшитгэлийн коэффициентүүдээр дамжуулан олж болно. .

Одоо тэгш байдал үнэн эсэхийг олж мэдье. Үнэгүй нөхцөл хоёулаа тэг тул:

Үүссэн утга нь энэ тэгшитгэлийг хангадаг (ямар ч тоо ерөнхийдөө үүнийг хангадаг).

Тиймээс шугамууд давхцдаг.

Хариулт:

Тун удахгүй та хэдхэн секундын дотор авч үзсэн асуудлыг амаар шууд шийдэж сурах болно (эсвэл аль хэдийн сурсан). Энэ тал дээр би ямар нэгэн зүйл санал болгох шалтгаан байхгүй гэж харж байна бие даасан шийдэл, дахиад нэгийг тавих нь дээр чухал тоосгогеометрийн суурь болгон:

Өгөгдсөн шугамтай параллель шугамыг хэрхэн зурах вэ?

Үүнийг мэдэхгүйгээс болж хамгийн энгийн даалгаварБулшинт хулгайчийг хатуу шийтгэв.

Жишээ 2

Шулуун шугамыг тэгшитгэлээр өгөгдсөн. Цэгээр дамжин өнгөрөх параллель шулууны тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл: Үл мэдэгдэх мөрийг үсгээр тэмдэглэнэ. Нөхцөл байдал энэ талаар юу хэлж байна вэ? Шугам нь цэгээр дамждаг. Хэрэв шугамууд зэрэгцээ байвал "ce" шугамын чиглүүлэгч вектор нь "te" шугамыг барихад тохиромжтой байх нь ойлгомжтой.

Бид тэгшитгэлээс чиглэлийн векторыг гаргаж авдаг.

Хариулт:

Жишээний геометр нь энгийн харагдаж байна:

Аналитик баталгаажуулалт нь дараах үе шатуудаас бүрдэнэ.

1) Шугамууд ижил чиглэлтэй вектор байгаа эсэхийг шалгана (хэрэв шулууны тэгшитгэлийг зөв хялбарчлаагүй бол векторууд нь коллинеар байх болно).

2) Тухайн цэг нь үүссэн тэгшитгэлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгана уу.

Ихэнх тохиолдолд аналитик баталгаажуулалтыг амаар хийхэд хялбар байдаг. Хоёр тэгшитгэлийг хар, тэгвэл та нарын ихэнх нь ямар ч зураглалгүйгээр шугамууд хэрхэн зэрэгцээ байгааг хурдан олж мэдэх болно.

Өнөөдөр өөрийгөө шийдэх жишээнүүд нь бүтээлч байх болно. Учир нь та Баба Ягатай өрсөлдөх шаардлагатай хэвээр байгаа бөгөөд тэр бүх төрлийн оньсогоонд дуртай нэгэн.

Жишээ 3

Хэрэв шулуунтай параллель цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг бич

Шийдвэрлэх оновчтой, тийм ч оновчтой бус арга бий. Хамгийн богино зам бол хичээлийн төгсгөлд байдаг.

Бид зэрэгцээ шугамуудтай бага зэрэг ажил хийсэн бөгөөд дараа нь тэдгээрт буцаж очих болно. Мөрүүд давхцах нь сонирхол багатай тул танд сайн мэддэг асуудлыг авч үзье сургуулийн сургалтын хөтөлбөр:

Хоёр шугамын огтлолцох цэгийг хэрхэн олох вэ?

Хэрэв шулуун бол цэг дээр огтлолцвол координатууд нь шийдэл болно шугаман тэгшитгэлийн системүүд

Шугамын огтлолцлын цэгийг хэрхэн олох вэ? Системийг шийд.

Энд танд байна хоёр системийн геометрийн утга шугаман тэгшитгэлхоёр үл мэдэгдэх зүйлтэйЭнэ нь хавтгай дээрх огтлолцсон хоёр шулуун шугам юм (ихэнхдээ).

Жишээ 4

Шугамануудын огтлолцох цэгийг ол

Шийдэл: График болон аналитик гэсэн хоёр аргаар шийдвэрлэх боломжтой.

График аргаЭнэ нь зүгээр л өгөгдсөн шугамуудыг зурж, огтлолцлын цэгийг зургаас шууд олох явдал юм.

Бидний санаа энд байна: . Шалгахын тулд та түүний координатыг шулуун шугамын тэгшитгэл бүрт орлуулах хэрэгтэй бөгөөд тэдгээр нь тэнд, тэнд хоёуланд нь тохирох ёстой. Өөрөөр хэлбэл цэгийн координатууд нь системийн шийдэл юм. Үнэн хэрэгтээ бид графикаар шийдэх арга замыг авч үзсэн шугаман тэгшитгэлийн системүүдхоёр тэгшитгэлтэй, хоёр үл мэдэгдэх.

График арга нь мэдээжийн хэрэг муу биш, гэхдээ мэдэгдэхүйц сул талууд байдаг. Үгүй ээ, гол нь долдугаар ангийн хүүхдүүд ингэж шийдээд байгаа юм биш, гол нь зөв, ЯГ зурахад цаг хугацаа хэрэгтэй. Нэмж дурдахад, зарим шугамыг бүтээх нь тийм ч хялбар биш бөгөөд огтлолцлын цэг нь өөрөө гуч дахь хаант улсын хаа нэгтээ дэвтрийн хуудасны гадна байж болно.

Тиймээс огтлолцох цэгийг аналитик аргаар хайх нь илүү тохиромжтой. Системийг шийдье:

Системийг шийдвэрлэхийн тулд тэгшитгэлийг нэр томъёогоор нэмэх аргыг ашигласан. Холбогдох чадварыг хөгжүүлэхийн тулд хичээлд зочилно уу Тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдэх вэ?

Хариулт:

Баталгаажуулалт нь өчүүхэн зүйл юм - огтлолцлын цэгийн координатууд нь системийн тэгшитгэл бүрийг хангах ёстой.

Жишээ 5

Хэрэв шугамууд огтлолцсон бол тэдгээрийн огтлолцох цэгийг ол.

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Даалгаврыг хэд хэдэн үе шатанд хялбархан хувааж болно. Нөхцөл байдлын шинжилгээ нь дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай байгааг харуулж байна.
1) Шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.
2) Шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.
3) Шугамануудын харьцангуй байрлалыг ол.
4) Хэрэв шугамууд огтлолцсон бол огтлолцох цэгийг ол.

Үйлдлийн алгоритмыг боловсруулах нь геометрийн олон асуудлуудын хувьд ердийн зүйл бөгөөд би үүн дээр дахин дахин анхаарлаа хандуулах болно.

Бүрэн шийдэлмөн хичээлийн төгсгөлд хариулт:

Хичээлийн хоёр дахь хэсэгт ороход хос гутал хараахан элэгдээгүй байна.

Перпендикуляр шугамууд. Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай.
Шугамын хоорондох өнцөг

Ердийн бөгөөд маш их зүйлээс эхэлье чухал ажил. Эхний хэсэгт бид өгөгдсөн шугамтай зэрэгцэн шулуун шугам барихыг сурсан бөгөөд одоо тахианы хөл дээрх овоохой 90 градус эргэх болно.

Өгөгдсөн шугам руу перпендикуляр шугамыг хэрхэн зурах вэ?

Жишээ 6

Шулуун шугамыг тэгшитгэлээр өгөгдсөн. Цэгээр дамжин өнгөрөх перпендикуляр шулууны тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл: Энэ нь таамаглалаар мэдэгдэж байна. Шулуун шугамын чиглэлийн векторыг олох нь сайхан байх болно. Шугамууд перпендикуляр байдаг тул заль мэх нь энгийн:

Тэгшитгэлээс бид хэвийн векторыг "арилгаж": , энэ нь шулуун шугамын чиглүүлэх вектор болно.

Бид шулуун шугамын тэгшитгэлийг цэг ба чиглүүлэх вектороор бүтээдэг.

Хариулт:

Геометрийн ноорог нээцгээе:

Ммм... Улбар шар тэнгэр, улбар шар тэнгис, улбар шар тэмээ.

Шийдлийн аналитик баталгаажуулалт:

1) Тэгшитгэлээс чиглэлийн векторуудыг гаргаж ав мөн тусламжтайгаар векторуудын цэгэн үржвэршугамууд үнэхээр перпендикуляр байна гэж бид дүгнэж байна: .

Дашрамд хэлэхэд та ердийн векторуудыг ашиглаж болно, энэ нь бүр ч хялбар юм.

2) Тухайн цэг нь үүссэн тэгшитгэлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгана уу .

Баталгаажуулалтыг амаар хийхэд хялбар байдаг.

Жишээ 7

Хэрэв тэгшитгэл нь мэдэгдэж байгаа бол перпендикуляр шулуунуудын огтлолцлын цэгийг ол болон цэг.

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Даалгаварт хэд хэдэн үйлдэл байдаг тул шийдлийг цэг болгон цэгцлэх нь тохиромжтой.

Бидний сэтгэл хөдөлгөм аялал үргэлжилсээр байна:

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай

Бидний өмнө голын шулуун зурвас байгаа бөгөөд бидний даалгавар бол хамгийн богино замаар хүрэх явдал юм. Ямар ч саад бэрхшээл байхгүй, ихэнх нь оновчтой замхөдөлгөөн перпендикуляр байх болно. Өөрөөр хэлбэл, цэгээс шулуун хүртэлх зай нь перпендикуляр сегментийн урт юм.

Геометрийн зайг уламжлал ёсоор Грекийн "ro" үсгээр тэмдэглэдэг, жишээлбэл: - "em" цэгээс "de" шулуун шугам хүртэлх зай.

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай томъёогоор илэрхийлнэ

Жишээ 8

Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зайг ол

Шийдэл: Танд хэрэгтэй бүх зүйл бол томъёонд тоонуудыг анхааралтай орлуулж, тооцооллыг хийх явдал юм:

Хариулт:

Зургийг гүйцэтгье:

Цэгээс шугам хүртэлх зай нь улаан сегментийн урттай яг ижил байна. Хэрэв та алаг цаасан дээр 1 нэгжийн масштабаар зураг хийвэл. \u003d 1 см (2 нүд), дараа нь зайг энгийн захирагчаар хэмжиж болно.

Үүнтэй ижил зургийн дагуу өөр ажлыг авч үзье.

Даалгавар бол цэгийн координатыг олох явдал бөгөөд энэ нь шулуунтай харьцуулахад цэгтэй тэгш хэмтэй байна. . Би үйлдлүүдийг бие даан хийхийг санал болгож байна, гэхдээ би шийдлийн алгоритмыг завсрын үр дүнгээр тайлбарлах болно.

1) Шугаманд перпендикуляр шугамыг ол.

2) Шугамануудын огтлолцох цэгийг ол: .

Энэ хоёр үйлдлийг энэ хичээлд дэлгэрэнгүй авч үзсэн болно.

3) Цэг нь сегментийн дунд цэг юм. Бид дунд болон нэг төгсгөлийн координатыг мэддэг. By сегментийн дунд хэсгийн координатын томъёоолох.

Зай нь 2.2 нэгжтэй тэнцүү эсэхийг шалгах нь илүүц байх болно.

Тооцоолоход хүндрэл гарч болзошгүй ч цамхагт микро тооцоолуур нь танд тоолох боломжийг олгодог. энгийн бутархай. Олон удаа зөвлөсөн, дахин санал болгох болно.

Хоёр зэрэгцээ шугамын хоорондох зайг хэрхэн олох вэ?

Жишээ 9

Хоёр зэрэгцээ шугамын хоорондох зайг ол

Энэ бол бие даасан шийдлийн өөр нэг жишээ юм. Бяцхан зөвлөгөө: шийдвэрлэх хязгааргүй олон арга бий. Хичээлийн төгсгөлд дүгнэлт хийж байна, гэхдээ та өөрөө таах гэж оролдсон нь дээр, миний бодлоор та овсгоогоо сайн сарниулж чадсан.

Хоёр шугамын хоорондох өнцөг

Ямар ч булан, дараа нь саатал:


Геометрийн хувьд хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг ЖИЖИГ өнцөг гэж авдаг бөгөөд үүнээс автоматаар мохоо байж болохгүй гэсэн дүгнэлт гарна. Зураг дээр улаан нумаар заасан өнцгийг огтлолцсон шугамуудын хоорондох өнцөг гэж үзэхгүй. Мөн түүний "ногоон" хөрш буюу эсрэг чиглэсэнчас улаан булан.

Хэрэв шугамууд перпендикуляр байвал 4 өнцгийн аль нэгийг нь тэдгээрийн хоорондох өнцөг болгон авч болно.

Өнцөг ямар ялгаатай вэ? Баримтлал. Нэгдүгээрт, буланг "гүйлгэх" чиглэл нь үндсэндээ чухал юм. Хоёрдугаарт, сөрөг чиглэлтэй өнцгийг хасах тэмдгээр бичнэ, жишээлбэл, хэрэв .

Би яагаад ингэж хэлсэн юм бэ? Өнцөг гэдэг жирийн ойлголтоор л явж болох юм шиг байна. Баримт нь бидний өнцгийг олох томъёонд сөрөг үр дүнг амархан олж авах боломжтой бөгөөд энэ нь таныг гайхшруулах ёсгүй. Хасах тэмдэгтэй өнцөг нь үүнээс муу зүйл биш бөгөөд маш тодорхой геометрийн утгатай. Сөрөг өнцгийг зурахдаа түүний чиглэлийг (цагийн зүүний дагуу) сумаар зааж өгөх шаардлагатай.

Хоёр шугамын хоорондох өнцгийг хэрхэн олох вэ?Хоёр ажлын томъёо байдаг:

Жишээ 10

Шугамын хоорондох өнцгийг ол

Шийдэлболон Нэгдүгээр арга

Хоёр мөрийг анхаарч үзээрэй тэгшитгэлээр өгөгдсөн in ерөнхий үзэл:

Хэрэв шулуун бол перпендикуляр биш, дараа нь чиглэсэнТэдний хоорондох өнцгийг дараах томъёогоор тооцоолж болно.

Хуваарьт анхаарлаа хандуулцгаая - энэ нь яг тийм юм скаляр бүтээгдэхүүншулуун шугамын чиглэлийн векторууд:

Хэрэв бол томъёоны хуваагч алга болж, векторууд нь ортогональ, шулуунууд нь перпендикуляр байх болно. Тийм ч учраас томъёолол дахь шугамын перпендикуляр бус байдлын талаар тайлбар хийсэн.

Дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн шийдлийг хоёр үе шаттайгаар хялбархан албан ёсны болгож байна.

1) Тооцоолох скаляр бүтээгдэхүүншулуун шугамын чиглэлийн векторууд:
Тиймээс шугамууд перпендикуляр биш байна.

2) Бид шугамын хоорондох өнцгийг дараах томъёогоор олно.

Ашиглах замаар урвуу функцбулан өөрөө олоход хялбар. Энэ тохиолдолд бид нумын тангенсийн сондгой байдлыг ашигладаг (Зураг 2-ыг үз). График ба энгийн функцүүдийн шинж чанарууд):

Хариулт:

Хариултанд зааж өгнө үү яг үнэ цэнэ, түүнчлэн тооцоолуур ашиглан тооцоолсон ойролцоо утгыг (градус болон радианаар аль алинд нь илүү тохиромжтой).

За, хасах, тэгэхээр хасах, зүгээр. Энд геометрийн дүрслэл байна:

Өнцөг нь сөрөг чиглэлтэй болсон нь гайхах зүйл биш юм, учир нь асуудлын нөхцөлд эхний тоо нь шулуун шугам бөгөөд өнцгийн "мушгирах" нь яг үүнээс эхэлсэн юм.

Хэрэв та үнэхээр эерэг өнцөг авахыг хүсч байвал шулуун шугамыг солих хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл хоёр дахь тэгшитгэлээс коэффициентүүдийг авах хэрэгтэй. , эхний тэгшитгэлээс коэффициентүүдийг авна. Товчхондоо та шууд ярианаас эхлэх хэрэгтэй .

Энэ нийтлэлд координатын аргыг ашиглан хазайсан шугамын хоорондох зайг олоход анхаарлаа хандуулав. Нэгдүгээрт, хазайсан шугамын хоорондох зайны тодорхойлолтыг өгсөн болно. Дараа нь ташуу шугамын хоорондох зайг олох алгоритмыг олж авна. Дүгнэж хэлэхэд жишээний шийдлийг нарийвчлан шинжлэх болно.

Хуудасны навигаци.

Ташуу зураас хоорондын зай нь тодорхойлолт юм.

Ташуу шугамын хоорондох зайны тодорхойлолтыг өгөхийн өмнө бид хазайсан шугамын тодорхойлолтыг эргэн санаж, хазайсан шугамтай холбоотой теоремыг батална.

Тодорхойлолт.

огтлолцох шулуунуудын аль нэг ба нөгөө шулуунаар дайран өнгөрөх түүнтэй параллель хавтгай хоорондын зай юм.

Хариуд нь шулуун ба үүнтэй параллель хавтгай хоорондын зай нь шугамын зарим цэгээс хавтгай хүртэлх зай юм. Дараа нь хазайсан шугам хоорондын зайг тодорхойлох томъёолол хүчинтэй байна.

Тодорхойлолт.

огтлолцох шугам хоорондын зайнь хазайсан шугамын аль нэг цэгээс нөгөө шулуунаар нэгдүгээр шугамтай параллель өнгөрөх хавтгай хүртэлх зай юм.

a ба b шугамуудыг огтлолцохыг авч үзье. Бид a шулуун дээр тодорхой M 1 цэгийг тэмдэглэж, b шугамаар бид a шулуунтай параллель хавтгайг зурж, M 1 цэгээс M 1 H 1 перпендикулярыг хавтгайд буулгана. Перпендикуляр M 1 H 1 урт нь огтлолцох a ба b шугамуудын хоорондох зай юм.

Хөндлөнгийн шугам хоорондын зайг олох - онол, жишээ, шийдэл.

Огтлолцсон шугамуудын хоорондох зайг олоход гол бэрхшээл нь урт нь хүссэн зайтай тэнцүү сегментийг харах эсвэл барихад оршино. Хэрэв ийм сегментийг барьсан бол асуудлын нөхцлөөс хамааран түүний уртыг Пифагорын теорем, гурвалжны тэгш байдал эсвэл ижил төстэй байдлын тэмдэг гэх мэт ашиглан олж болно. 10-11-р ангийн геометрийн хичээл дээр огтлолцох шугамын хоорондох зайг олохдоо үүнийг хийдэг.

Хэрэв гурван хэмжээст орон зайд Oxyz-ийг нэвтрүүлж, а ба b хазайсан шугамыг өгөгдсөн бол координатын арга нь өгөгдсөн налуу шугамуудын хоорондох зайг тооцоолох ажлыг даван туулах боломжийг олгоно. Үүнийг нарийвчлан шинжилж үзье.

a шулуунтай параллель b шулууныг дайран өнгөрч буй хавтгайг үзье. Дараа нь огтлолцох a ба b шулуунуудын хоорондох хүссэн зай нь тодорхойлолтоор а шулуун дээр хэвтэж буй M 1 цэгээс хавтгай хүртэлх зайтай тэнцүү байна. Тиймээс, хэрэв бид a шулуун дээр байрлах зарим M 1 цэгийн координатыг тодорхойлж, хавтгайн хэвийн тэгшитгэлийг хэлбэрээр авбал бид цэгээс зайг тооцоолж болно. томьёогоор хавтгайд (энэ томъёог цэгээс хавтгай хүртэлх зайг олох өгүүллээс авсан). Мөн энэ зай нь хазайсан шугамын хоорондох хүссэн зайтай тэнцүү байна.

Одоо дэлгэрэнгүй.

Даалгаврыг а шулуун дээр байрлах M 1 цэгийн координатыг олж авах, хавтгайн хэвийн тэгшитгэлийг олох хүртэл багасгасан.

Хэрэв та орон зай дахь шулуун шугамын тэгшитгэлийн үндсэн төрлүүдийг сайн мэддэг бол M 1 цэгийн координатыг тодорхойлоход бэрхшээл гарахгүй. Гэхдээ онгоцны тэгшитгэлийг олж авах талаар илүү дэлгэрэнгүй авч үзэх нь зүйтэй юм.

Хэрэв бид хавтгай өнгөрч буй M 2 цэгийн координатыг тодорхойлж, хавтгайн хэвийн векторыг хэлбэрээр авна. , тэгвэл бид хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлийг гэж бичиж болно.

M 2 цэгийн хувьд хавтгай b шулууныг дайран өнгөрдөг тул b шулуун дээр байрлах дурын цэгийг авч болно. Тиймээс M 2 цэгийн координатууд олдсон гэж үзэж болно.

Онгоцны хэвийн векторын координатыг олж авахад л үлддэг. Энийг хийцгээе.

Онгоц b шугамыг дайран өнгөрч, а шугамтай параллель байна. Иймд хавтгайн хэвийн вектор нь шулуун шугамын чиглүүлэгч векторын аль алинд нь перпендикуляр байна. Дараа нь бид болон вектор болгон авч болно, өөрөөр хэлбэл, . a, b шугамын координат, чиглэлийн векторуудыг тодорхойлж, тооцоолно , бид хавтгайн хэвийн векторын координатыг олох болно.

Тэгэхээр бид хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлтэй байна: .

Онгоцны ерөнхий тэгшитгэлийг хэвийн хэлбэрт оруулж, томьёог ашиглан огтлолцох a ба b шугамуудын хоорондох хүссэн зайг тооцоолоход л үлддэг.

Энэ замаар, огтлолцох a ба b шугамын хоорондох зайг олохын тулд танд хэрэгтэй:

Шийдлийн жишээг авч үзье.

Жишээ.

Тэгш өнцөгт координатын систем дэх гурван хэмжээст орон зайд a ба b огтлолцсон хоёр шулуун шугам өгөгдсөн. a мөрийг тодорхойлсон

Баталгаа.

Нэг цэг авч үзье , шугаман дээр байрладаг а, дараа нь цэгийн координат М1тэгшитгэлийг хангана, өөрөөр хэлбэл тэгш байдал, бид хаанаас авсан .

Хэрвээ font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana"> бхэлбэртэй байнаfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana"> мөн хэрэв, дараа нь шугамын хэвийн тэгшитгэл бхэлбэртэй байнаfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">.

Дараа нь цагт font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">цэг хүртэлх зайшулуун руу бтомъёогоор тооцоолно, ба at - томъёоны дагуу

Энэ нь ямар ч үнэ цэнийн хувьд C2зайцэгээс шулуун руу бтомъёог ашиглан тооцоолж болно. Мөн тэгш байдлыг өгсөндээр авсан , дараа нь сүүлчийн томъёо нь хэлбэрийг авнаfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">. Теорем батлагдсан.

2. Зэрэгцээ шулуунуудын хоорондох зайг олох бодлого

Жишээ №1.

Зэрэгцээ шугамуудын хоорондох зайг олболон Шийдэл.

Өгөгдсөн параллель шулуунуудын ерөнхий тэгшитгэлийг олж авна.

Шулуун хувьд үсгийн хэмжээ: 12.0pt line-height:115%;font-family:Verdana">шугааны ерөнхий тэгшитгэлтэй тохирч байна.. Шууд хэлбэрийн параметрийн тэгшитгэлээс дамжуулцгааяfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">энэ мөрийн ерөнхий тэгшитгэл рүү:

үсгийн хэмжээ: 12.0pt line-height:115%;font-family:Verdana">Хувьсах коэффициентууд xболон yолж авсан ерөнхий тэгшитгэлд параллель шугамууд тэнцүү тул бид хавтгай дахь параллель шугамуудын хоорондох зайг тооцоолох томъёог шууд хэрэглэж болно..

Хариулт: үсгийн хэмжээ: 12.0pt line-height:115%;font-family:Verdana">Жишээ №2.

Онгоцонд танилцуулсан тэгш өнцөгт системкоординатууд Оксимөн хоёр зэрэгцээ шугамын тэгшитгэл өгөгдсөнболон . Өгөгдсөн параллель шулуунуудын хоорондох зайг ол.

Шийдэл:

Эхний шийдэл.

Хавтгай дээрх шулуун шугамын каноник тэгшитгэлүүдүсгийн хэмжээ: 12.0pt line-height:115%;font-family:Verdana"> нь цэгийн координатыг нэн даруй бичих боломжийг танд олгоно. М1Энэ мөрөнд хэвтэж байна:үсгийн хэмжээ: 12.0pt line-height:115%;font-family:Verdana">. Энэ цэгээс шугам хүртэлх зайзэрэгцээ шугамуудын хоорондох хүссэн зайтай тэнцүү байна. Тэгшитгэлбайна хэвийн тэгшитгэлшулуун шугам, тиймээс бид цэгээс зайг шууд тооцоолж болношулуун руу font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">:.

Хоёр дахь шийдэл.

Өгөгдсөн параллель шулуунуудын аль нэгний ерөнхий тэгшитгэлийг бидэнд аль хэдийн өгсөнfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">. каноник тэгшитгэлЧигээрээшулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд:. Хувьсах коэффициентүүд xерөнхий тэгшитгэлд өгөгдсөн зэрэгцээ шугамууд тэнцүү байна (хувьсагчтай yкоэффициентүүд нь мөн тэнцүү - тэгтэй тэнцүү), тиймээс та өгөгдсөн зэрэгцээ шугамуудын хоорондох зайг тооцоолох боломжийг олгодог томьёог ашиглаж болно..

Хариулт: 8

3. Гэрийн даалгавар

Өөрийгөө шалгах даалгавар

1. Хоёр зэрэгцээ шугамын хоорондох зайг ол

4. ДҮГНЭЛТ

Бүх зорилго, зорилтуудаа бүрэн биелүүлсэн. "Хэсгээс хоёр хичээл" Харилцан зохицуулалтХавтгай дээрх объектууд” сэдвээр “Цэгээс шулуун хүртэлх зай. Зэрэгцээ шугамын хоорондох зай” гэж координатын аргыг ашиглана. Материалыг оюутнуудад хүртээмжтэй түвшинд сонгосон бөгөөд энэ нь геометрийн асуудлыг илүү энгийн, үзэсгэлэнтэй аргаар шийдвэрлэх боломжийг олгоно.

5. Уран зохиолын жагсаалт

1) , Юдина. 7-9-р анги: боловсролын байгууллагуудад зориулсан сурах бичиг.

2) , Позняк. ЕБС-ийн 10-11-р ангийн сурах бичиг.

3) , Никольскийн математик. Нэгдүгээр боть: Шугаман алгебр ба аналитик геометрийн элементүүд.

4) , Познякийн геометр.

6. APPS

Лавлах материал

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл:

Ah + Wu + C = 0 ,

хаана ГЭХДЭЭболон ATнэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш.

Магадлал ГЭХДЭЭболон ATкоординатууд юм хэвийн вектор шулуун шугам (өөрөөр хэлбэл шулуун шугамд перпендикуляр вектор). At A = 0 тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам Өө, цагт B = 0 тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам О Ю .

At AT0 авна налуу тэгшитгэл :

Цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл ( X 0 , цагт 0) тэнхлэгтэй зэрэгцээ бишӨө, харагдаж байна:

цагт – цагт 0 = м (x – X 0) ,

хаана м – налуу , шүргэгчөгөгдсөн шугамаас үүссэн өнцөг ба тэнхлэгийн эерэг чиглэл Өө .

At ГЭХДЭЭ font-size:12.0pt;font-family:Verdana;өнгө:хар">

хаана а = – C / А , б = – C / Б . Энэ шугам цэгүүдийг дайран өнгөрдөг (а, 0) ба (0, б), өөрөөр хэлбэл координатын тэнхлэгүүдийн уртын сегментүүдийг тасланааболон б .

Хоёр өөр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл (X 1, цагт 1) ба ( X 2, цагт 2):

Шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэл цэгээр дамжин өнгөрөх ( X 0 , цагт 0) ба зэрэгцээ чиглэлийн вектор шулуун (а, б) :

Зэрэгцээ шугамын нөхцөл:

1) шулуун шугамын хувьд Ax + Vy + C = 0 баДx+Эy+Ф = 0: А.Е – Б.Д = 0 ,

2) шулуун шугамын хувьд цагт = м x+ к болон цагт= х x+ q : м = х .

Цэг ба хавтгайтай хамт. Энэ бол огторгуйн дурын хоёр цэгийг холбож чадах хязгааргүй дүрс юм. Шугам үргэлж ямар нэг хавтгайд харьяалагддаг. Хоёр шулуун шугамын байрлал дээр үндэслэн нэгийг нь хэрэглэх ёстой өөр өөр аргуудтэдгээрийн хоорондох зайг олох.

Орон зайд хоёр шугамыг бие биентэйгээ харьцуулах гурван сонголт байдаг: тэдгээр нь зэрэгцээ, огтлолцсон эсвэл. Хоёрдахь хувилбар нь зөвхөн нэг хавтгайд байгаа тохиолдолд л боломжтой бөгөөд хоёр зэрэгцээ хавтгайд хамаарахыг үгүйсгэхгүй. Гурав дахь нөхцөл байдал нь шугамууд өөр өөр зэрэгцээ хавтгайд байрладаг гэж хэлдэг.

Хоёр зэрэгцээ шугамын хоорондох зайг олохын тулд тэдгээрийг дурын хоёр цэг дээр холбосон перпендикуляр сегментийн уртыг тодорхойлох шаардлагатай. Шулуун нь хоёр ижил координаттай байдаг бөгөөд энэ нь тэдгээрийн параллелизмын тодорхойлолтоос үүдэлтэй тул хоёр хэмжээст координатын орон зайд шулуунуудын тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно.
L1: a x + b y + c = 0;
L2: a x + b y + d = 0.
Дараа нь та дараах томъёог ашиглан сегментийн уртыг олох боломжтой.
s = |c - d|/√(a² + b²) бөгөөд C = D үед үүнийг харахад хялбар байдаг, i.e. шулуун шугамын давхцал, зай нь тэгтэй тэнцүү байх болно.

Хоёр хэмжээст координат дахь огтлолцсон шугамуудын хоорондох зай нь утгагүй гэдэг нь тодорхой байна. Гэхдээ тэдгээр нь өөр өөр хавтгайд байрлах үед хоёуланд нь перпендикуляр хавтгайд хэвтэж буй сегментийн уртыг олж болно. Энэ сегментийн төгсгөлүүд нь шугамын аль ч хоёр цэгийн энэ хавтгай дээрх проекц болох цэгүүд байх болно. Өөрөөр хэлбэл, түүний урт нь эдгээр шугамыг агуулсан зэрэгцээ хавтгайн хоорондын зайтай тэнцүү байна. Тиймээс, хэрэв онгоцнууд өгөгдсөн бол ерөнхий тэгшитгэл:
α: A1 x + B1 y + C1 z + E = 0,
β: A2 x + B2 y + C2 z + F = 0,
Шугам хоорондын зайг дараах томъёогоор тодорхойлж болно.
s = |E – F|/√(|А1 А2| + В1 В2 + С1 С2).

тэмдэглэл

Шулуун шугамууд, ялангуяа огтлолцох шугамууд нь зөвхөн математикчдад сонирхолтой биш юм. Тэдний шинж чанар нь бусад олон салбарт ашигтай байдаг: барилга, архитектур, анагаах ухаан, байгальд.

Зөвлөгөө 2: Хоёр зэрэгцээ шугамын хоорондох зайг хэрхэн олох вэ

Нэг буюу хэд хэдэн хавтгайд байгаа хоёр объектын хоорондох зайг тодорхойлох нь геометрийн хамгийн түгээмэл ажлуудын нэг юм. Уламжлалт аргуудыг ашигласнаар та хоёр зэрэгцээ шугамын хоорондох зайг олох боломжтой.

Заавар

Зэрэгцээ шугамууд нь нэг хавтгайд орших ба огтлолцдоггүй эсвэл давхцдаггүй шулуун шугамууд юм. Зэрэгцээ шугамуудын хоорондох зайг олохын тулд тэдгээрийн аль нэг дээр дурын цэгийг сонгоод дараа нь перпендикулярыг хоёр дахь шугам руу буулгана. Одоо зөвхөн үүссэн сегментийн уртыг хэмжихэд л үлддэг. Хоёр зэрэгцээ шулуун шугамыг холбосон перпендикулярын урт нь тэдгээрийн хоорондох зай болно.

Тооцоолсон зайны нарийвчлал нь үүнээс хамаардаг тул перпендикулярыг нэг параллель шугамаас нөгөөд зурах дарааллыг анхаарч үзээрэй. Үүнийг хийхийн тулд зөв өнцгөөр "гурвалжин" зурах хэрэгслийг ашиглана уу. Шугамын аль нэг цэгийг сонгоод, гурвалжны хажуугийн аль нэгийг хавсаргана. зөв өнцөг(хөл), нөгөө талыг өөр шулуун шугамаар тэгшлээрэй. Хурц харандаагаар эхний хөлийн дагуу шугам зурж, эсрэг талын шулуун шугамд хүрнэ.

Параллелограмм нь эсрэг талууд нь параллель, өөрөөр хэлбэл зэрэгцээ шугамууд дээр байрладаг дөрвөлжин юм (Зураг 1).

Теорем 1. Параллелограммын талууд ба өнцгийн шинж чанаруудын талаар.Параллелограммын эсрэг талууд нь тэнцүү, эсрэг талын өнцөг нь тэнцүү, параллелограммын нэг талтай зэргэлдээх өнцгүүдийн нийлбэр нь 180° байна.

Баталгаа. Энэ ABCD параллелограмм дээр диагональ АС зураад ABC ба ADC хоёр гурвалжинг ав (Зураг 2).

Эдгээр гурвалжин тэнцүү, учир нь ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (зэрэгцээ шулуун дээр хөндлөн хэвтэх өнцөг), АС тал нь нийтлэг байдаг. Δ ABC = Δ ADC тэгшитгэлээс AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. Нэг талтай зэргэлдээх өнцгүүдийн нийлбэр, жишээлбэл, A ба D өнцгүүдийн нийлбэр нь 180 ° -тай тэнцүү байна. -зэрэгцээ шугамтай талтай. Теорем нь батлагдсан.

Сэтгэгдэл. Параллелограммын эсрэг талуудын тэгш байдал нь параллелограммуудын зэрэгцээ хэсгүүдийн зүсэлтүүд тэнцүү байна гэсэн үг юм.

Дүгнэлт 1. Хэрэв хоёр шулуун зэрэгцээ байвал нэг шулууны бүх цэгүүд нөгөө шулуунаас ижил зайд байна.

Баталгаа. Үнэхээр || b (Зураг 3).

b шулууны В ба С хоёр цэгээс а шулуунд VA ба CD перпендикуляруудыг зуръя. AB || оноос хойш CD, тэгвэл ABCD зураг нь параллелограмм тул AB = CD болно.

Хоёр зэрэгцээ шугамын хоорондох зай нь нэг шулуун дээрх дурын цэгээс нөгөө шулуун хүртэлх зай юм.

Батлагдсан зүйлээр энэ нь параллель шулуунуудын аль нэг цэгээс нөгөө шугам руу татсан перпендикулярын урттай тэнцүү байна.

Жишээ 1Параллелограммын периметр 122см.Нэг тал нь нөгөөгөөсөө 25см урт.Параллелограммын талуудыг ол.

Шийдэл. Теорем 1-ээр параллелограммын эсрэг талууд тэнцүү байна. Параллелограммын нэг талыг х, нөгөө талыг у гэж тэмдэглэе. Дараа нь $$\left\(\begin(матриц) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matrix)\right.$$ гэсэн нөхцлөөр энэ системийг шийдэж x = 43, y = 18 болно. Тиймээс параллелограммын талууд нь 18, 43, 18, 43 см байна.

Жишээ 2

Шийдэл. 4-р зургийг асуудлын нөхцөлтэй тохирч үзье.

АВ-г х-ээр, ВС-г у-аар тэмдэглэнэ. Нөхцөлөөр параллелограммын периметр нь 10 см, өөрөөр хэлбэл 2(x + y) = 10, эсвэл x + y = 5. ABD гурвалжны периметр нь 8 см. Мөн AB + AD = x + y = 5 байна. , дараа нь BD = 8 - 5 = 3 байна. Тэгэхээр BD = 3 см.

Жишээ 3Нэг нь нөгөөгөөсөө 50° их байгааг мэдэж параллелограммын өнцгүүдийг ол.

Шийдэл. 5-р зургийг асуудлын нөхцөлтэй тохирч үзье.

А өнцгийн хэмжүүрийг х гэж тэмдэглэе. Дараа нь D өнцгийн хэмжүүр нь x + 50 ° байна.

BAD ба ADC өнцгүүд нь дотоод нэг талт, AB ба DC зэрэгцээ шугамууд ба AD зүсэлттэй. Дараа нь эдгээр нэрлэсэн өнцгүүдийн нийлбэр нь 180 ° байх болно, өөрөөр хэлбэл.
x + x + 50 ° = 180 °, эсвэл x = 65 °. Тиймээс ∠ A = ∠ C = 65 °, a ∠ B = ∠ D = 115 °.

Жишээ 4Параллелограммын талууд нь 4.5 дм ба 1.2 дм байна. Хурц өнцгийн оройгоос биссектрис татсан. Параллелограммын урт талыг ямар хэсгүүдэд хуваадаг вэ?

Шийдэл. 6-р зургийг асуудлын нөхцөлтэй тохирч үзье.

AE нь параллелограммын хурц өнцгийн биссектриса юм. Тиймээс ∠ 1 = ∠ 2.