Онлайнаар шугам хоорондын өнцөг. Онгоц дээрх шулуун шугамын хамгийн энгийн асуудлууд. Шугамын харилцан зохицуулалт. Шугамын хоорондох өнцөг
Математикийн шалгалтанд бэлдэж буй оюутан бүр “Шугасны хоорондох өнцгийг олох нь” сэдвийг давтах нь ашигтай байх болно. Статистик мэдээллээс харахад стереометрийн энэ хэсгийн даалгаврууд нь гэрчилгээжүүлэх шалгалтыг өгөхөд хүндрэл учруулдаг. их тоооюутнууд. Үүний зэрэгцээ шулуун шугамын хоорондох өнцгийг олох шаардлагатай ажлуудыг үндсэн болон профилын түвшинд USE-ээс олж болно. Энэ нь хүн бүр тэдгээрийг шийдвэрлэх чадвартай байх ёстой гэсэн үг юм.
Үндсэн мөчүүд
Орон зайд 4 төрлийн шугамын харилцан зохицуулалт байдаг. Тэд давхцаж, огтлолцож, параллель эсвэл огтлолцож болно. Тэдний хоорондох өнцөг нь хурц эсвэл шулуун байж болно.
Улсын нэгдсэн шалгалт эсвэл жишээлбэл шийдэлд байгаа шугамын хоорондох өнцгийг олохын тулд Москва болон бусад хотуудын сургуулийн сурагчид стереометрийн энэ хэсэгт асуудлыг шийдвэрлэх хэд хэдэн аргыг ашиглаж болно. Та даалгавраа сонгодог бүтээцээр гүйцэтгэж болно. Үүнийг хийхийн тулд стереометрийн үндсэн аксиом, теоремуудыг сурах нь зүйтэй. Оюутан даалгаварыг планиметрийн бодлогод хүргэхийн тулд логик үндэслэлийг бий болгож, зураг зурах чадвартай байх шаардлагатай.
Та энгийн томъёо, дүрэм, алгоритмыг ашиглан вектор-координатын аргыг ашиглаж болно. Энэ тохиолдолд гол зүйл бол бүх тооцоог зөв хийх явдал юм. Школково боловсролын төсөл нь стереометр болон сургуулийн хичээлийн бусад хэсгүүдийн асуудлыг шийдвэрлэх ур чадвараа сайжруулахад тусална.
Тодорхойлолт.Хэрэв хоёр шулуун y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 өгөгдсөн бол эдгээр шулуунуудын хоорондох хурц өнцгийг дараах байдлаар тодорхойлно.
Хэрвээ k 1 = k 2 бол хоёр шулуун зэрэгцээ байна. k 1 = -1/ k 2 бол хоёр шулуун перпендикуляр байна.
Теорем. A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB коэффициентүүд пропорциональ байх үед Ax + Vy + C \u003d 0 ба A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 шулуун шугамууд зэрэгцээ байна. Хэрэв мөн С 1 = λС байвал шугамууд давхцана. Хоёр шугамын огтлолцох цэгийн координатыг эдгээр шугамын тэгшитгэлийн системийн шийдэл болгон олно.
Дамжуулж буй шулуун шугамын тэгшитгэл өгсөн оноо
Энэ шугамд перпендикуляр
Тодорхойлолт. M 1 (x 1, y 1) цэгээр дамжин өнгөрөх ба y \u003d kx + b шулуунтай перпендикуляр шугамыг тэгшитгэлээр илэрхийлнэ.
Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай
Теорем.Хэрэв M(x 0, y 0) цэг өгөгдсөн бол Ax + Vy + C \u003d 0 шугам хүртэлх зайг дараах байдлаар тодорхойлно.
.
Баталгаа.М цэгээс өгөгдсөн шулуун руу буулгасан перпендикулярын суурь нь M 1 (x 1, y 1) цэг байг. Дараа нь M ба M цэгүүдийн хоорондох зай 1:
(1)
x 1 ба y 1 координатуудыг тэгшитгэлийн системийн шийдэл болгон олж болно.
Системийн хоёр дахь тэгшитгэл нь дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл юм өгсөн оноо M 0 нь өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр байна. Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт шилжүүлбэл:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
Дараа нь шийдэж, бид дараахь зүйлийг авна.
Эдгээр илэрхийллийг (1) тэгшитгэлд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олно.
Теорем нь батлагдсан.
Жишээ. Шугаман хоорондын өнцгийг тодорхойлно уу: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = 
; φ= p /4.
Жишээ. 3x - 5y + 7 = 0 ба 10x + 6y - 3 = 0 шулуунууд перпендикуляр болохыг харуул.
Шийдэл. Бид олдог: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, тиймээс шугамууд перпендикуляр байна.
Жишээ. Гурвалжны оройг A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) өгөв. С оройноос татсан өндрийн тэгшитгэлийг ол.
Шийдэл. Бид AB талын тэгшитгэлийг олно. 
; 4 x = 6 y - 6;
2x – 3y + 3 = 0;
Хүссэн өндрийн тэгшитгэл нь: Ax + By + C = 0 эсвэл y = kx + b. k =. Дараа нь y =. Учир нь өндөр нь С цэгээр дамжин өнгөрвөл координатууд нь энэ тэгшитгэлийг хангана. 
үүнээс b = 17. Нийт: . 
Хариулт: 3x + 2y - 34 = 0.
Өгөгдсөн цэгийг өгөгдсөн чиглэлд дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл. Өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл. Хоёр шугамын хоорондох өнцөг. Хоёр шугамын параллелизм ба перпендикуляр байдлын нөхцөл. Хоёр шугамын огтлолцлын цэгийг тодорхойлох
1. Өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл А(x 1 , y 1) налуугаар тодорхойлогдсон өгөгдсөн чиглэлд к,
y - y 1 = к(x - x 1). (1)
Энэ тэгшитгэл нь нэг цэгээр дамжин өнгөрөх шугамын харандааг тодорхойлдог А(x 1 , y 1), үүнийг цацрагийн төв гэж нэрлэдэг.
2. Хоёр цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл: А(x 1 , y 1) ба Б(x 2 , y 2) дараах байдлаар бичигдсэн байна.
Өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын налууг томъёогоор тодорхойлно
3. Шулуун шугамын хоорондох өнцөг Аболон Бэхний шулуун шугамыг эргүүлэх ёстой өнцөг юм Ахоёр дахь шугамтай давхцах хүртэл эдгээр шугамын огтлолцлын цэгийн эргэн тойронд цагийн зүүний эсрэг Б. Хэрэв хоёр шугамыг налуугийн тэгшитгэлээр өгвөл
y = к 1 x + Б 1 ,
y = к 2 x + Б 2 , (4)
дараа нь тэдгээрийн хоорондох өнцгийг томъёогоор тодорхойлно
Бутархайн дугаарт эхний шулуун шугамын налууг хоёр дахь шулуун шугамын налуугаас хасдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.
Шулуун шугамын тэгшитгэлийг өгөгдсөн бол ерөнхий үзэл
А 1 x + Б 1 y + C 1 = 0,
А 2 x + Б 2 y + C 2 = 0, (6)
тэдгээрийн хоорондох өнцгийг томъёогоор тодорхойлно
4. Хоёр шугамын зэрэгцээ байх нөхцөл:
a) Хэрэв шулуунуудыг налуутай тэгшитгэлээр (4) өгвөл шаардлагатай ба хангалттай нөхцөлТэдний параллелизм нь өнцгийн коэффициентүүдийн тэгш байдалаас бүрдэнэ.
к 1 = к 2 . (8)
б) Шулууныг ерөнхий хэлбэрээр (6) тэгшитгэлээр өгөгдсөн тохиолдолд тэдгээрийн зэрэгцээ байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл нь тэдгээрийн тэгшитгэл дэх одоогийн координат дахь коэффициентүүд нь пропорциональ байх явдал юм.
5. Хоёр шугамын перпендикуляр байх нөхцөл:
а) Шулууныг налуутай тэгшитгэлээр (4) өгсөн тохиолдолд тэдгээрийн перпендикуляр байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл нь тэдгээрийн налуу нь харилцан хэмжигдэхүүн, тэмдгээр эсрэг тэсрэг байх явдал юм.
Энэ нөхцлийг мөн маягтаар бичиж болно
к 1 к 2 = -1. (11)
б) Шулуун шугамын тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр (6) өгсөн бол тэдгээрийн перпендикуляр байх нөхцөл (шаардлагатай ба хангалттай) нь тэгш байдлыг хангах явдал юм.
А 1 А 2 + Б 1 Б 2 = 0. (12)
6. Хоёр шулууны огтлолцох цэгийн координатыг (6) тэгшитгэлийн системийг шийдэж олно. (6) шугамууд зөвхөн хэрвээ огтлолцоно
1. Өгөгдсөн l шулуунтай нэг нь параллель, нөгөө нь перпендикуляр M цэгийг дайран өнгөрөх шулуунуудын тэгшитгэлийг бич.
а. Хоёр шугам өгье.1-р бүлэгт дурдсанчлан эдгээр шугамууд нь хурц ба мохоо байж болох янз бүрийн эерэг ба сөрөг өнцөг үүсгэдэг. Эдгээр өнцгүүдийн аль нэгийг нь мэдсэнээр бид өөр өнцгийг хялбархан олох боломжтой.
Дашрамд хэлэхэд, эдгээр бүх өнцгийн хувьд шүргэгчийн тоон утга ижил, ялгаа нь зөвхөн тэмдэгт байж болно.
Шугамын тэгшитгэл. Тоонууд нь нэг ба хоёрдугаар шугамын чиглүүлэх векторуудын проекцууд юм.Эдгээр векторуудын хоорондох өнцөг нь шулуун шугамаар үүсгэсэн өнцгүүдийн аль нэгтэй тэнцүү байна. Тиймээс векторуудын хоорондох өнцгийг тодорхойлоход асуудал багасна
Энгийн байхын тулд хурц эерэг өнцгийг ойлгохын тулд бид хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийн талаар тохиролцож болно (жишээлбэл, 53-р зураг).
Тэгвэл энэ өнцгийн тангенс үргэлж эерэг байх болно. Тиймээс (1) томъёоны баруун талд хасах тэмдэг гарсан бол бид үүнийг хаях ёстой, өөрөөр хэлбэл зөвхөн үнэмлэхүй утгыг хадгалах ёстой.
Жишээ. Шугамын хоорондох өнцгийг тодорхойлно
(1) томъёогоор бид байна
-тай. Хэрэв өнцгийн аль тал нь түүний эхлэл, аль нь төгсгөл болохыг зааж өгсөн бол өнцгийн чиглэлийг үргэлж цагийн зүүний эсрэг тоолж үзвэл (1) томъёоноос илүү зүйлийг гаргаж авах боломжтой. Зураг дээрээс харахад хялбар байдаг. 53 (1) томъёоны баруун талд олж авсан тэмдэг нь аль нь хурц эсвэл мохоо өнцөг нь эхнийхтэй хоёр дахь шугам болж байгааг заана.
(Үнэхээр 53-р зурагнаас бид эхний ба хоёр дахь чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцөг нь шугамын хоорондох хүссэн өнцөгтэй тэнцүү эсвэл ±180 ° -аар ялгаатай байгааг харж байна.)
г. Хэрэв шулуунууд параллель байвал тэдгээрийн чиглэлийн векторууд нь мөн параллель байна.Хоёр векторын параллелизмын нөхцөлийг ашигласнаар бид гарна!
Энэ нь хоёр шугам зэрэгцээ байх зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл юм.
Жишээ. Шууд
учир нь параллель байна
д. Хэрэв шугамууд перпендикуляр байвал тэдгээрийн чиглэлийн векторууд бас перпендикуляр байна. Хоёр векторын перпендикуляр байдлын нөхцөлийг ашигласнаар бид хоёр шулууны перпендикуляр байдлын нөхцөлийг олж авна.
Жишээ. Шууд
перпендикуляр учир
Параллелизм ба перпендикуляр байдлын нөхцөлтэй холбогдуулан бид дараах хоёр асуудлыг шийднэ.
е. Өгөгдсөн шулуунтай параллель шугамыг цэгээр дамжуулна
Шийдвэрийг ингэж гаргадаг. Хүссэн шугам нь өгөгдсөн шугамтай параллель байх тул түүний чиглүүлэх векторын хувьд бид өгөгдсөн шугамынхтай ижил, өөрөөр хэлбэл А ба В проекц бүхий векторыг авч болно. Дараа нь хүссэн шугамын тэгшитгэлийг бичнэ. хэлбэрээр (§ 1)
Жишээ. Шулуун шугамтай параллель (1; 3) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл
дараагийн байх болно!
g. Өгөгдсөн шулуунтай перпендикуляр цэгээр шугам зур
Энд А проекцтэй векторыг чиглүүлэх вектор болгон авах нь тохиромжгүй, харин түүнд перпендикуляр векторыг ялах шаардлагатай. Иймд энэ векторын проекцийг хоёр вектор перпендикуляр байх нөхцөлийн дагуу, өөрөөр хэлбэл тухайн нөхцөлийн дагуу сонгох ёстой.
Энд хоёр үл мэдэгдэх нэг тэгшитгэл байгаа тул энэ нөхцөлийг хязгааргүй олон аргаар биелүүлж болно.Гэхдээ үүнийг авах нь хамгийн хялбар арга юм.Тэгээд хүссэн шугамын тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичнэ.
Жишээ. Перпендикуляр шугамын (-7; 2) цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл
дараах байх болно (хоёр дахь томъёоны дагуу)!
h. Мөрүүдийг хэлбэрийн тэгшитгэлээр өгсөн тохиолдолд
буланОрон зайн шулуун шугамуудын хооронд бид өгөгдөлтэй параллель дурын цэгээр татсан хоёр шулуун шугамаас үүссэн зэргэлдээх өнцгүүдийн аль нэгийг нэрлэх болно.
Орон зайд хоёр шулуун шугам өгье.
Мэдээжийн хэрэг, шугамын хоорондох φ өнцгийг тэдгээрийн чиглэлийн вектор ба -ын хоорондох өнцөг гэж авч болно. -ээс хойш векторуудын хоорондох өнцгийн косинусын томъёоны дагуу бид олж авна
Хоёр шулууны параллелизм ба перпендикуляр байх нөхцөл нь тэдгээрийн чиглэлийн векторуудын параллелизм ба перпендикуляр байх нөхцөлтэй тэнцүү бөгөөд:
Хоёр шулуун зэрэгцээ байнахэрэв зөвхөн тэдгээрийн тус тусын коэффициент нь пропорциональ байвал, өөрөөр хэлбэл. л 1 зэрэгцээ л 2 зөвхөн зэрэгцээ байвал 
.
Хоёр шулуун перпендикулярхаргалзах коэффициентүүдийн үржвэрийн нийлбэр тэгтэй тэнцүү бол зөвхөн: .
At шугам ба хавтгай хоорондын зорилго
Мөрийг нь тавь г- θ хавтгайд перпендикуляр биш;
г′− шулуун шугамын проекц гθ онгоц руу;
Шулуун шугамын хоорондох өнцгүүдийн хамгийн бага нь гболон г"Бид залгах болно шулуун ба хавтгай хоорондын өнцөг.
Үүнийг φ=( гэж тэмдэглэе. г,θ)
Хэрвээ г⊥θ, тэгвэл ( г,θ)=π/2
Өө→j→к→− тэгш өнцөгт системкоординатууд.
Хавтгай тэгшитгэл:
θ: Сүх+By+cz+Д=0
Шугамыг цэг ба чиглэлийн вектороор өгсөн гэж бид үзэж байна. г[М 0,х→]
Вектор n→(А,Б,C)⊥θ
Дараа нь векторуудын хоорондох өнцгийг олоход л үлддэг n→ ба х→, γ=( гэж тэмдэглэнэ. n→,х→).
Хэрэв өнцөг нь γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .
Хэрэв өнцөг γ>π/2 байвал шаардлагатай өнцөг φ=γ−π/2 байна
sinφ=sin(2π−γ)=cosγ
sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ
Дараа нь, шулуун ба хавтгай хоорондын өнцөгтомъёог ашиглан тооцоолж болно:
sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ап 1+bp 2+cp 3∣ ∣ √А 2+Б 2+C 2√х 21+х 22+х 23
Асуулт 29. Квадрат хэлбэрийн тухай ойлголт. Квадрат хэлбэрийн тэмдэг-тодорхой байдал.
Квадрат хэлбэр j (x 1, x 2, ..., x n) n бодит хувьсагч x 1, x 2, ..., x nхэлбэрийн нийлбэр гэж нэрлэдэг 
, (1)
хаана айж зарим тоонуудыг коэффициент гэж нэрлэдэг. Ерөнхий байдлыг алдалгүйгээр бид үүнийг таамаглаж болно айж = а жи.
Квадрат хэлбэрийг нэрлэдэг хүчинтэй,хэрэв айж
О GR. Квадрат хэлбэрийн матрицкоэффициентуудаас бүрдэх матриц гэж нэрлэдэг. Квадрат хэлбэр (1) нь өвөрмөц тэгш хэмтэй матрицтай тохирч байна 
өөрөөр хэлбэл A T = A. Иймд (1) квадрат хэлбэрийг j () матриц хэлбэрээр бичиж болно. X) = x T Ah, хаана х Т = (X 1 X 2 … x n). (2)
Мөн эсрэгээр аливаа тэгш хэмтэй матриц (2) нь хувьсагчийн тэмдэглэгээ хүртэл өвөрмөц квадрат хэлбэртэй тохирч байна.
Квадрат хэлбэрийн зэрэглэлтүүний матрицын зэрэглэл гэж нэрлэдэг. Квадрат хэлбэрийг нэрлэдэг доройтдоггүй,хэрэв түүний матриц нь ганц биш бол ГЭХДЭЭ. (матриц гэдгийг санаарай ГЭХДЭЭтодорхойлогч нь тэг биш бол доройтдоггүй гэж нэрлэдэг). Үгүй бол квадрат хэлбэр нь доройтдог.
эерэг тодорхой(эсвэл хатуу эерэг) хэрэв
j ( X) > 0 , хэнд ч зориулав X = (X 1 , X 2 , …, x n), Түүнээс гадна X = (0, 0, …, 0).
Матриц ГЭХДЭЭэерэг тодорхой квадрат хэлбэр j ( X) мөн эерэг тодорхойлогдох гэж нэрлэдэг. Иймд эерэг тодорхой квадрат хэлбэр нь өвөрмөц эерэг тодорхой матрицтай тохирч, эсрэгээр.
Квадрат хэлбэрийг (1) гэж нэрлэдэг сөрөг тодорхой(эсвэл хатуу сөрөг) хэрэв
j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), Түүнээс гадна X = (0, 0, …, 0).
Дээр дурдсантай адил сөрөг тодорхой квадрат матрицыг сөрөг тодорхой гэж нэрлэдэг.
Тиймээс эерэг (сөрөг) тодорхой квадрат хэлбэр j ( X) хамгийн бага (хамгийн их) утгад хүрнэ j ( X*) = 0 хувьд X* = (0, 0, …, 0).
Ихэнх квадрат хэлбэрүүд нь тодорхой тэмдэгт биш, өөрөөр хэлбэл эерэг ч биш, сөрөг ч биш гэдгийг анхаарна уу. Ийм квадрат хэлбэрүүд нь координатын системийн эхэнд төдийгүй бусад цэгүүдэд алга болдог.
Хэзээ n> 2, квадрат хэлбэрийн тэмдгийн тодорхой байдлыг шалгахын тулд тусгай шалгуур шаардлагатай. Тэднийг авч үзье.
Томоохон насанд хүрээгүй хүмүүсквадрат хэлбэрийг насанд хүрээгүй гэж нэрлэдэг:
өөрөөр хэлбэл, эдгээр нь 1, 2, … зэрэгтэй насанд хүрээгүй хүмүүс юм. nматрицууд ГЭХДЭЭ, зүүн дээд буланд байрлах бөгөөд тэдгээрийн сүүлчийнх нь матрицын тодорхойлогчтой давхцдаг ГЭХДЭЭ.
Эерэг тодорхой байдлын шалгуур (Сильвестерийн шалгуур)
X) = x T Ahэерэг тодорхой бол матрицын бүх үндсэн насанд хүрээгүй байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай ГЭХДЭЭэерэг байсан, өөрөөр хэлбэл: М 1 > 0, М 2 > 0, …, М н > 0. Сөрөг итгэлтэй байдлын шалгуур Квадрат хэлбэрийн хувьд j ( X) = x T Ahсөрөг тодорхой, тэгш эрэмбийн үндсэн багачууд эерэг, сондгой эрэмбэтэй нь сөрөг байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай, өөрөөр хэлбэл: М 1 < 0, М 2 > 0, М 3 < 0, …, (–1)n
Өө-өө-өө-өө-өө ... за, энэ өгүүлбэрийг өөрөө уншаад байгаа юм шиг байна =) Гэсэн хэдий ч тайвшрах нь туслах болно, ялангуяа би өнөөдөр тохиромжтой хэрэгслүүд худалдаж авсан. Тиймээс, эхний хэсэг рүү орцгооё, нийтлэлийн төгсгөлд би хөгжилтэй байх болно гэж найдаж байна.
Хоёр шулуун шугамын харилцан зохицуулалт
Танхим найрал дуугаар дуулах тохиолдол. Хоёр мөр болно:
1) тохирох;
2) зэрэгцээ байх: ;
3) эсвэл нэг цэгээр огтлолцоно: .
Дамми нарт туслах : уулзварын математик тэмдгийг санаарай, энэ нь маш олон удаа тохиолддог. Оруулах нь шугам нь цэг дээрх шугамтай огтлолцдог гэсэн үг юм.
Хоёр шугамын харьцангуй байрлалыг хэрхэн тодорхойлох вэ?
Эхний тохиолдлоос эхэлье:
Хэрэв тус тусын коэффициент нь пропорциональ байвал хоёр шугам давхцдаг, өөрөөр хэлбэл, ийм тооны "lambda" байдаг тэгш байдал
Шулуун шугамыг авч үзээд харгалзах коэффициентуудаас гурван тэгшитгэл зохиоё: . Тэгшитгэл бүрээс харахад эдгээр шугамууд давхцаж байна.
Үнэн хэрэгтээ, хэрэв тэгшитгэлийн бүх коэффициентууд 
-1 (тэмдэг өөрчлөх), тэгшитгэлийн бүх коэффициентийг үржүүлнэ 
2-оор бууруулбал ижил тэгшитгэл гарна: .
Шугамууд зэрэгцээ байх хоёр дахь тохиолдол:
Хоёр шугам нь зөвхөн хувьсагчид дахь коэффициентүүд нь пропорциональ байвал зэрэгцээ байна. 
, гэхдээ.
Жишээ болгон хоёр шулуун шугамыг авч үзье. Бид хувьсагчдын харгалзах коэффициентүүдийн пропорциональ байдлыг шалгана. 
Гэсэн хэдий ч энэ нь тодорхой байна.
Гурав дахь тохиолдол, шугамууд огтлолцох үед:
Хэрэв хувьсагчийн коэффициентүүд нь пропорциональ БИШ бол хоёр шугам огтлолцоно, өөрөөр хэлбэл тэгш байдлыг хангасан "ламбда" гэсэн ийм утга БАЙХГҮЙ 
Тиймээс шулуун шугамын хувьд бид дараахь системийг бий болгоно. 
Эхний тэгшитгэлээс дараах нь , хоёр дахь тэгшитгэлээс: , иймээс, систем нь нийцэхгүй байна(шийдэл байхгүй). Тиймээс хувьсагчид дахь коэффициентүүд нь пропорциональ биш юм.
Дүгнэлт: шугамууд огтлолцдог
Практик асуудлуудад зөвхөн авч үзсэн шийдлийн схемийг ашиглаж болно. Дашрамд хэлэхэд энэ нь бидний хичээл дээр авч үзсэн векторуудыг коллинеар байдлыг шалгах алгоритмтай маш төстэй юм. Векторуудын шугаман (бус) хамаарлын тухай ойлголт. Вектор үндэс. Гэхдээ илүү соёлтой багц байдаг:
Жишээ 1
Шугамануудын харьцангуй байрлалыг ол: 
Шийдэлшулуун шугамын чиглүүлэх векторуудын судалгаанд үндэслэн:
a) Тэгшитгэлээс бид шугамын чиглэлийн векторуудыг олно. 
.
, тэгэхээр векторууд нь коллинеар биш ба шугамууд огтлолцдог.
Ямар ч тохиолдолд би уулзвар дээр заагчтай чулуу тавих болно.
Үлдсэн хэсэг нь чулуун дээгүүр үсэрч, шууд үхэлгүй Кащей руу явна =)
б) Шугамын чиглэлийн векторуудыг ол: 
Шугамууд нь ижил чиглэлийн вектортой бөгөөд энэ нь зэрэгцээ эсвэл ижил байна гэсэн үг юм. Энд тодорхойлогч шаардлагагүй.
Мэдээжийн хэрэг үл мэдэгдэхийн коэффициентүүд пропорциональ байхад .
Тэгш байдал үнэн эсэхийг олж мэдье: 
Энэ замаар,
в) Шугамын чиглэлийн векторуудыг ол: 
Эдгээр векторуудын координатаас бүрдэх тодорхойлогчийг тооцоолъё. 
, тиймээс чиглэлийн векторууд нь коллинеар байна. Шугамууд нь зэрэгцээ эсвэл давхцаж байна.
Пропорциональ хүчин зүйл "lambda" нь коллинеар чиглэлийн векторуудын харьцаанаас шууд харахад хялбар байдаг. Гэсэн хэдий ч үүнийг тэгшитгэлийн коэффициентүүдээр дамжуулан олж болно. 
.
Одоо тэгш байдал үнэн эсэхийг олж мэдье. Үнэгүй нөхцөл хоёулаа тэг тул:
Үүссэн утга нь энэ тэгшитгэлийг хангадаг (ямар ч тоо ерөнхийдөө үүнийг хангадаг).
Тиймээс шугамууд давхцдаг.
Хариулт:
Тун удахгүй та хэдхэн секундын дотор авч үзсэн асуудлыг амаар шууд шийдэж сурах болно (эсвэл аль хэдийн сурсан). Энэ тал дээр би ямар нэгэн зүйл санал болгох шалтгаан байхгүй гэж харж байна бие даасан шийдэл, дахиад нэгийг тавих нь дээр чухал тоосгогеометрийн суурь болгон:
Өгөгдсөн шугамтай параллель шугамыг хэрхэн зурах вэ?
Үүнийг мэдэхгүйгээс болж хамгийн энгийн даалгаварБулшинт хулгайчийг хатуу шийтгэв.
Жишээ 2
Шулуун шугамыг тэгшитгэлээр өгөгдсөн. Цэгээр дамжин өнгөрөх параллель шулууны тэгшитгэлийг бич.
Шийдэл: Үл мэдэгдэх мөрийг үсгээр тэмдэглэнэ. Нөхцөл байдал энэ талаар юу хэлж байна вэ? Шугам нь цэгээр дамждаг. Хэрэв шугамууд зэрэгцээ байвал "ce" шугамын чиглүүлэгч вектор нь "te" шугамыг барихад тохиромжтой байх нь ойлгомжтой.
Бид тэгшитгэлээс чиглэлийн векторыг гаргаж авдаг.
Хариулт:
Жишээний геометр нь энгийн харагдаж байна: 
Аналитик баталгаажуулалт нь дараах үе шатуудаас бүрдэнэ.
1) Шугамууд ижил чиглэлтэй вектор байгаа эсэхийг шалгана (хэрэв шулууны тэгшитгэлийг зөв хялбарчлаагүй бол векторууд нь коллинеар байх болно).
2) Тухайн цэг нь үүссэн тэгшитгэлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгана уу.
Ихэнх тохиолдолд аналитик баталгаажуулалтыг амаар хийхэд хялбар байдаг. Хоёр тэгшитгэлийг хар, тэгвэл та нарын ихэнх нь ямар ч зураглалгүйгээр шугамууд хэрхэн зэрэгцээ байгааг хурдан олж мэдэх болно.
Өнөөдөр өөрийгөө шийдэх жишээнүүд нь бүтээлч байх болно. Учир нь та Баба Ягатай өрсөлдөх шаардлагатай хэвээр байгаа бөгөөд тэр бүх төрлийн оньсогоонд дуртай нэгэн.
Жишээ 3
Хэрэв шулуунтай параллель цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг бич
Шийдвэрлэх оновчтой, тийм ч оновчтой бус арга бий. Хамгийн богино зам бол хичээлийн төгсгөлд байдаг.
Бид зэрэгцээ шугамуудтай бага зэрэг ажил хийсэн бөгөөд дараа нь тэдгээрт буцаж очих болно. Мөрүүд давхцах нь сонирхол багатай тул танд сайн мэддэг асуудлыг авч үзье сургуулийн сургалтын хөтөлбөр:
Хоёр шугамын огтлолцох цэгийг хэрхэн олох вэ?
Хэрэв шулуун бол 
цэг дээр огтлолцвол координатууд нь шийдэл болно шугаман тэгшитгэлийн системүүд 
Шугамын огтлолцлын цэгийг хэрхэн олох вэ? Системийг шийд.
Энд танд байна хоёр системийн геометрийн утга шугаман тэгшитгэлхоёр үл мэдэгдэх зүйлтэйЭнэ нь хавтгай дээрх огтлолцсон хоёр шулуун шугам юм (ихэнхдээ).
Жишээ 4
Шугамануудын огтлолцох цэгийг ол
Шийдэл: График болон аналитик гэсэн хоёр аргаар шийдвэрлэх боломжтой.
График аргаЭнэ нь зүгээр л өгөгдсөн шугамуудыг зурж, огтлолцлын цэгийг зургаас шууд олох явдал юм. 
Бидний санаа энд байна: . Шалгахын тулд та түүний координатыг шулуун шугамын тэгшитгэл бүрт орлуулах хэрэгтэй бөгөөд тэдгээр нь тэнд, тэнд хоёуланд нь тохирох ёстой. Өөрөөр хэлбэл цэгийн координатууд нь системийн шийдэл юм. Үнэн хэрэгтээ бид графикаар шийдэх арга замыг авч үзсэн шугаман тэгшитгэлийн системүүдхоёр тэгшитгэлтэй, хоёр үл мэдэгдэх.
График арга нь мэдээжийн хэрэг муу биш, гэхдээ мэдэгдэхүйц сул талууд байдаг. Үгүй ээ, гол нь долдугаар ангийн хүүхдүүд ингэж шийдээд байгаа юм биш, гол нь зөв, ЯГ зурахад цаг хугацаа хэрэгтэй. Нэмж дурдахад, зарим шугамыг бүтээх нь тийм ч хялбар биш бөгөөд огтлолцлын цэг нь өөрөө гуч дахь хаант улсын хаа нэгтээ дэвтрийн хуудасны гадна байж болно.
Тиймээс огтлолцох цэгийг аналитик аргаар хайх нь илүү тохиромжтой. Системийг шийдье: 
Системийг шийдвэрлэхийн тулд тэгшитгэлийг нэр томъёогоор нэмэх аргыг ашигласан. Холбогдох чадварыг хөгжүүлэхийн тулд хичээлд зочилно уу Тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдэх вэ?
Хариулт:
Баталгаажуулалт нь өчүүхэн зүйл юм - огтлолцлын цэгийн координатууд нь системийн тэгшитгэл бүрийг хангах ёстой.
Жишээ 5
Хэрэв шугамууд огтлолцсон бол тэдгээрийн огтлолцох цэгийг ол.
Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Асуудлыг хэд хэдэн үе шатанд хуваах нь тохиромжтой. Нөхцөл байдлын шинжилгээ нь дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай байгааг харуулж байна.
1) Шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.
2) Шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.
3) Шугамануудын харьцангуй байрлалыг ол.
4) Хэрэв шугамууд огтлолцсон бол огтлолцох цэгийг ол.
Үйлдлийн алгоритмыг боловсруулах нь геометрийн олон асуудлуудын хувьд ердийн зүйл бөгөөд би үүн дээр дахин дахин анхаарлаа хандуулах болно.
Бүрэн шийдэлмөн хичээлийн төгсгөлд хариулт:
Хичээлийн хоёр дахь хэсэгт ороход хос гутал хараахан элэгдээгүй байна.
Перпендикуляр шугамууд. Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай.
Шугамын хоорондох өнцөг
Ердийн бөгөөд маш их зүйлээс эхэлье чухал ажил. Эхний хэсэгт бид өгөгдсөн шугамтай зэрэгцэн шулуун шугам барихыг сурсан бөгөөд одоо тахианы хөл дээрх овоохой 90 градус эргэх болно.
Өгөгдсөн шугам руу перпендикуляр шугамыг хэрхэн зурах вэ?
Жишээ 6
Шулуун шугамыг тэгшитгэлээр өгөгдсөн. Цэгээр дамжин өнгөрөх перпендикуляр шулууны тэгшитгэлийг бич.
Шийдэл: Энэ нь таамаглалаар мэдэгдэж байна. Шулуун шугамын чиглэлийн векторыг олох нь сайхан байх болно. Шугамууд перпендикуляр байдаг тул заль мэх нь энгийн:
Тэгшитгэлээс бид хэвийн векторыг "арилгаж": , энэ нь шулуун шугамын чиглүүлэх вектор болно.
Бид шулуун шугамын тэгшитгэлийг цэг ба чиглүүлэх вектороор бүтээдэг.
Хариулт: 
Геометрийн ноорог нээцгээе:
Ммм... Улбар шар тэнгэр, улбар шар тэнгис, улбар шар тэмээ.
Шийдлийн аналитик баталгаажуулалт:
1) Тэгшитгэлээс чиглэлийн векторуудыг гаргаж ав 
мөн тусламжтайгаар векторуудын цэгэн үржвэршугамууд үнэхээр перпендикуляр байна гэж бид дүгнэж байна: .
Дашрамд хэлэхэд та ердийн векторуудыг ашиглаж болно, энэ нь бүр ч хялбар юм.
2) Тухайн цэг нь үүссэн тэгшитгэлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгана уу 
.
Баталгаажуулалтыг амаар хийхэд хялбар байдаг.
Жишээ 7
Хэрэв тэгшитгэл нь мэдэгдэж байгаа бол перпендикуляр шулуунуудын огтлолцлын цэгийг ол 
болон цэг.
Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Даалгаварт хэд хэдэн үйлдэл байдаг тул шийдлийг цэг болгон цэгцлэх нь тохиромжтой.
Бидний сэтгэл хөдөлгөм аялал үргэлжилсээр байна:
Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай
Бидний өмнө голын шулуун зурвас байгаа бөгөөд бидний даалгавар бол хамгийн богино замаар хүрэх явдал юм. Ямар ч саад бэрхшээл байхгүй, ихэнх нь оновчтой замхөдөлгөөн перпендикуляр байх болно. Өөрөөр хэлбэл, цэгээс шулуун хүртэлх зай нь перпендикуляр сегментийн урт юм.
Геометрийн зайг уламжлалт байдлаар "ro" грек үсгээр тэмдэглэдэг, жишээлбэл: - "em" цэгээс "de" шулуун шугам хүртэлх зай.
Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай 
томъёогоор илэрхийлнэ
Жишээ 8
Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зайг ол 
Шийдэл: Танд хэрэгтэй бүх зүйл бол томъёонд тоонуудыг анхааралтай орлуулж, тооцооллыг хийх явдал юм:
Хариулт: 
Зургийг гүйцэтгье: 
Цэгээс шугам хүртэлх зай нь улаан сегментийн урттай яг ижил байна. Хэрэв та алаг цаасан дээр 1 нэгжийн масштабаар зураг хийвэл. \u003d 1 см (2 нүд), дараа нь зайг энгийн захирагчаар хэмжиж болно.
Үүнтэй ижил зургийн дагуу өөр ажлыг авч үзье.
Даалгавар бол цэгийн координатыг олох явдал бөгөөд энэ нь шулуунтай харьцуулахад цэгтэй тэгш хэмтэй байна. 
. Би үйлдлүүдийг бие даан хийхийг санал болгож байна, гэхдээ би шийдлийн алгоритмыг завсрын үр дүнгээр тайлбарлах болно.
1) Шугаманд перпендикуляр шугамыг ол.
2) Шугамануудын огтлолцох цэгийг ол: 
.
Энэ хоёр үйлдлийг энэ хичээлд дэлгэрэнгүй авч үзсэн болно.
3) Цэг нь сегментийн дунд цэг юм. Бид дунд болон нэг төгсгөлийн координатыг мэддэг. By сегментийн дунд хэсгийн координатын томъёоолох.
Зай нь 2.2 нэгжтэй тэнцүү эсэхийг шалгах нь илүүц байх болно.
Тооцоолоход хүндрэл гарч болзошгүй ч цамхагт микро тооцоолуур нь танд тоолох боломжийг олгодог. энгийн бутархай. Олон удаа зөвлөсөн, дахин санал болгох болно.
Хоёр зэрэгцээ шугамын хоорондох зайг хэрхэн олох вэ?
Жишээ 9
Хоёр зэрэгцээ шугамын хоорондох зайг ол
Энэ бол бие даасан шийдлийн өөр нэг жишээ юм. Бяцхан зөвлөгөө: шийдвэрлэх хязгааргүй олон арга бий. Хичээлийн төгсгөлд дүгнэлт хийж байна, гэхдээ та өөрөө таах гэж оролдсон нь дээр, миний бодлоор та овсгоогоо сайн сарниулж чадсан.
Хоёр шугамын хоорондох өнцөг
Ямар ч булан, дараа нь саатал: 
Геометрийн хувьд хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг ЖИЖИГ өнцөг гэж авдаг бөгөөд үүнээс автоматаар мохоо байж болохгүй гэсэн дүгнэлт гарна. Зураг дээр улаан нумаар заасан өнцгийг огтлолцсон шугамуудын хоорондох өнцөг гэж үзэхгүй. Мөн түүний "ногоон" хөрш буюу эсрэг чиглэсэнчас улаан булан.
Хэрэв шугамууд перпендикуляр байвал 4 өнцгийн аль нэгийг нь тэдгээрийн хоорондох өнцөг болгон авч болно.
Өнцөг ямар ялгаатай вэ? Баримтлал. Нэгдүгээрт, буланг "гүйлгэх" чиглэл нь үндсэндээ чухал юм. Хоёрдугаарт, сөрөг чиглэлтэй өнцгийг хасах тэмдгээр бичнэ, жишээлбэл, хэрэв .
Би яагаад ингэж хэлсэн юм бэ? Өнцөг гэдэг жирийн ойлголтоор л явж болох юм шиг байна. Баримт нь бидний өнцгийг олох томъёонд сөрөг үр дүнг амархан олж авах боломжтой бөгөөд энэ нь таныг гайхшруулах ёсгүй. Хасах тэмдэгтэй өнцөг нь үүнээс муу зүйл биш бөгөөд маш тодорхой геометрийн утгатай. Сөрөг өнцгийг зурахдаа түүний чиглэлийг (цагийн зүүний дагуу) сумаар зааж өгөх шаардлагатай.
Хоёр шугамын хоорондох өнцгийг хэрхэн олох вэ?Хоёр ажлын томъёо байдаг:
Жишээ 10
Шугамын хоорондох өнцгийг ол
Шийдэлболон Нэгдүгээр арга
Хоёр мөрийг авч үзье тэгшитгэлээр өгөгдсөнерөнхийдөө: 
Хэрэв шулуун бол перпендикуляр биш, дараа нь чиглэсэнТэдний хоорондох өнцгийг дараах томъёогоор тооцоолж болно. 
Хуваарьт анхаарлаа хандуулцгаая - энэ нь яг тийм юм скаляр бүтээгдэхүүншулуун шугамын чиглэлийн векторууд:
Хэрэв бол томъёоны хуваагч алга болж, векторууд нь ортогональ, шулуунууд нь перпендикуляр байх болно. Тийм ч учраас томъёолол дахь шугамын перпендикуляр бус байдлын талаар тайлбар хийсэн.
Дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн шийдлийг хоёр үе шаттайгаар хялбархан албан ёсны болгож байна.
1) Тооцоолох скаляр бүтээгдэхүүншулуун шугамын чиглэлийн векторууд:
Тиймээс шугамууд перпендикуляр биш байна.
2) Бид шугамын хоорондох өнцгийг дараах томъёогоор олно.
Ашиглах замаар урвуу функцбулан өөрөө олоход хялбар. Энэ тохиолдолд бид нумын тангенсийн сондгой байдлыг ашигладаг (Зураг 2-ыг үз). График ба энгийн функцүүдийн шинж чанарууд):
Хариулт: 
Хариултанд зааж өгнө үү яг үнэ цэнэ, түүнчлэн тооцоолуур ашиглан тооцоолсон ойролцоо утгыг (градус болон радианаар аль алинд нь илүү тохиромжтой).
За, хасах, тэгэхээр хасах, зүгээр. Энд геометрийн дүрслэл байна: 
Өнцөг нь сөрөг чиглэлтэй болсон нь гайхах зүйл биш юм, учир нь асуудлын нөхцөлд эхний тоо нь шулуун шугам бөгөөд өнцгийн "мушгирах" нь яг үүнээс эхэлсэн юм.
Хэрэв та үнэхээр эерэг өнцөг авахыг хүсч байвал шулуун шугамыг солих хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл хоёр дахь тэгшитгэлээс коэффициентүүдийг авах хэрэгтэй. 
, эхний тэгшитгэлээс коэффициентүүдийг авна. Товчхондоо та шууд ярианаас эхлэх хэрэгтэй 
.
