Дамми нарт зориулсан векторууд. Вектортой үйлдэл. Вектор координат. Вектортой холбоотой хамгийн энгийн асуудлууд. Орон зай дахь векторын координатууд. координат дахь векторууд дээрх үйлдлүүд

Вектор гэдэг нь Евклидийн орон зай дахь шулуун шугамын чиглэсэн сегмент бөгөөд нэг төгсгөлийг (А цэг) векторын эхлэл, нөгөө төгсгөлийг (B цэг) векторын төгсгөл гэж нэрлэдэг (Зураг 1). . Векторуудыг дараах байдлаар тэмдэглэв.

Хэрэв векторын эхлэл ба төгсгөл ижил байвал векторыг дуудна тэг векторболон тэмдэглэсэн 0 .

Жишээ. Хоёр хэмжээст орон зай дахь векторын эхлэл координаттай байг А(12,6) , векторын төгсгөл нь координат болно Б(12.6). Тэгвэл вектор нь тэг вектор байна.

Урт тайрах ABдуудсан модуль (урт, норм) вектор бөгөөд |-ээр тэмдэглэнэ а|. Нэгтэй тэнцүү урттай векторыг нэрлэдэг нэгж вектор. Модулиас гадна вектор нь чиглэлээр тодорхойлогддог: вектор нь чиглэлтэй байдаг Аруу Б. Векторыг вектор гэж нэрлэдэг, эсрэгвектор.

Хоёр векторыг нэрлэдэг collinearхэрэв тэдгээр нь нэг шулуун дээр эсвэл зэрэгцээ шугам дээр хэвтэж байвал. Зураг дээр. Үүнээс хойш 3 улаан вектор коллинеар байна тэдгээр нь нэг шулуун дээр орших ба цэнхэр векторууд нь хоорондоо уялдаатай байдаг, учир нь Тэд зэрэгцээ шугамууд дээр байрладаг. Хоёр коллинеар векторыг нэрлэдэг адил чиглүүлсэнхэрэв тэдгээрийн төгсгөлүүд нь эхлэлийг холбосон шугамын нэг талд орвол. Хоёр коллинеар векторыг нэрлэдэг эсрэг чиглэлүүдхэрэв тэдгээрийн төгсгөлүүд нь эхлэлийг холбосон шугамын эсрэг талд орвол. Хэрэв хоёр коллинеар вектор нэг шулуун дээр оршдог бол нэг векторын үүсгэсэн цацрагуудын аль нэг нь нөгөө векторын үүсгэсэн цацрагийг бүрэн агуулж байвал тэдгээрийг ижил чиглэлтэй гэж нэрлэдэг. Үгүй бол векторуудыг эсрэг чиглэлтэй гэж нэрлэдэг. Зураг 3-т цэнхэр векторууд нэг чиглэлд, улаан векторууд эсрэг чиглэлд байна.

Хоёр векторыг нэрлэдэг тэнцүүхэрэв тэдгээр нь тэнцүү модультай бөгөөд ижил чиглүүлсэн бол. Зураг 2-т векторууд тэнцүү байна, учир нь тэдгээрийн модулиуд нь тэнцүү бөгөөд ижил чиглэлтэй байна.

Векторуудыг дууддаг хавтгайхэрэв тэдгээр нь нэг хавтгайд эсвэл зэрэгцээ хавтгайд хэвтэж байвал.

AT nХэмжээст векторын орон зайд эхлэл цэг нь эхтэй давхцаж байгаа бүх векторуудын олонлогийг авч үзье. Дараа нь векторыг дараах хэлбэрээр бичиж болно.

(1)

хаана x 1 , x 2 , ..., x nвекторын төгсгөлийн цэгийн координатууд x.

(1) хэлбэрээр бичигдсэн векторыг дуудна эгнээ вектор, мөн векторыг дараах байдлаар бичнэ

(2)

дуудсан баганын вектор.

Тоо nдуудсан хэмжээс (дарааллаар) вектор. Хэрвээ тэгвэл векторыг дуудна тэг вектор(учир нь векторын эхлэх цэг ). Хоёр вектор xболон yЗөвхөн тэдгээрийн харгалзах элементүүд нь тэнцүү байвал тэнцүү байна.

Энэ бүлгийн эхний догол мөрийг сургуулийн геометрийн хичээлийн үргэлжлэл гэж үзэж болно. Векторын тухай ойлголттой холбоотой үндсэн тодорхойлолтуудыг бид санаж байна.

Хос цэг гэж нэрлэдэг эмх цэгцтэй, хэрэв та тэдгээрийн талаар аль нь эхнийх нь, аль нь хоёрдугаарт байгааг хэлж чадвал. Дараалсан хос цэгийг тодорхойлно чиглэсэн сегмент.

Тодорхойлолт 1. Чиглүүлсэн сегментийг дуудах болно вектор. Захиалгат хосын эхний цэгийг дуудна эхлэхвектор, хоёр дахь нь - түүний Төгсгөл.

Векторыг тодорхойлохын тулд тэмдэглэгээг ашиглана: , хаана ГЭХДЭЭ– вектор хэрэглэх цэг (векторын эхлэл), цэг ATвекторын төгсгөл; эсвэл ; эсвэл а .

Эхлэл ба төгсгөл нь ижил векторыг нэрлэдэг тэгвектор ба тэмдэглэсэн 0 .

Векторын эхлэл ба төгсгөлийн хоорондох зайг түүний гэнэ урт(түүнчлэн модульэсвэл үнэмлэхүй үнэ цэнэ). Векторын уртыг | гэж тэмдэглэнэ |, эсвэл | а |, эсвэл |
|.

Тодорхойлолт 2. Векторуудыг дуудна collinear, хэрэв тэдгээр нь нэг мөрөнд эсвэл зэрэгцээ шугам дээр байрладаг бол, i.e. тэдгээртэй зэрэгцээ байгаа шугам байдаг. Векторуудыг дууддаг хавтгайХэрэв тэдгээр нь параллель байх хавтгай байгаа бол.

Тодорхойлолт 3. Хоёр векторыг дуудна тэнцүүхэрэв тэдгээр нь хоорондоо уялдаатай байвал ижил чиглэлтэй, ижил урттай байна.

Х Зураг 1-д тэгш байдлын аль нэг нөхцөл нь зөрчигдсөн векторуудыг харуулав: векторууд нь коллинеар биш (Зураг 1). а), векторууд өөр өөр чиглэлд чиглэгддэг (Зураг 1 б), векторууд байна өөр өөр урттай(Зураг 1 in).

Вектор хоорондын тэгш байдлын харилцааны дараах шинж чанаруудыг анхаарна уу.

1.
(рефлекс чадвар).

2. Хэрэв
, дараа нь
(тэгш хэм).

3. Хэрэв
болон
, дараа нь
(дамжуулалт).

4. Хэрэв
, дараа нь
.

5. Аливаа онооны хувьд А, Б, Cганцхан цэг бий Дтиймэрхүү
.

Эхний гурван шинж чанарыг дараах томъёогоор сольж болно: тэгш байдлын харьцаа нь эквивалент харьцаа юм.

Векторуудын тэгш байдлын тухай ойлголт нь тэгш байдлын тухай ойлголтоос, жишээлбэл, тооноос эрс ялгаатай болохыг анхаарна уу. Тоо бүр нь зөвхөн өөртэйгээ тэнцүү, өөрөөр хэлбэл бүх нөхцөл байдалд хоёр тэнцүү тоог нэг, ижил тоо гэж үзэж болно. Векторуудын хувьд нөхцөл байдал өөр байна: тодорхойлолтоор ялгаатай боловч тэнцүү векторууд байдаг. Өгөгдсөнтэй тэнцүү векторыг аль ч цэгээс хойшлуулж болно.

Зарим вектор ав
мөн вектортой тэнцүү бүх векторуудын олонлогийг авч үзье
. Энэ багц гэж нэрлэдэг эквивалент ангивектороор үүсгэгдсэн
. Вектор
тэнцэх ангийн төлөөлөгч юм.

Тодорхойлолт 4. үнэгүй вектор а Бид вектортой тэнцүү бүх векторуудын олонлогийг нэрлэх болно а , өөрөөр хэлбэл бүхэл бүтэн эквивалент анги.

Сургуулийн геометрийн хичээлээс векторыг зэрэгцээ орчуулга гэж үзэж болно гэдгийг мэддэг. Энэ тодорхойлолтыг мөн чөлөөт векторын тодорхойлолт гэж үзэж болно.

Чөлөөт векторын хувьд, тоонуудын хувьд тэгш байдал нь тохирохыг хэлнэ: хоёр вектор нь ижил вектор байвал л тэнцүү байна. Дараах зүйлд вектор гэдэг ойлголтоор бид чөлөөт векторыг хэлж байна.

Векторууд дээрх шугаман үйлдлүүдийг авч үзье. Шугаман үйлдлүүд нь векторуудыг нэмэх, векторыг тоогоор үржүүлэх явдал юм.

О

а Б
C

б

тодорхойлолт 5. Хоёр векторыг өгье а болон б . Тэдэнтэй тэнцүү векторуудыг байгуулъя
болон
(жишээ нь төгсгөлийг хөдөлгө а болон эхлэх б дур зоргоороо цэг рүү AT). Дараа нь вектор
дуудсан нийлбэрвекторууд ба тэмдэглэсэн а + б (Зураг 2).

FROM вектор нэмэх үйлдлийн шинж чанарууд:

Аливаа векторын хувьд а болон б нийлбэр а + б мөн вектор (хаалт).

Аливаа векторын хувьд а болон б гүйцэтгэсэн а + б = б + а (шилжүүлэх чадвар).

Аливаа векторын хувьд а , б болон -тай гүйцэтгэсэн а + (б + -тай ) = (а + б ) + -тай (холбоо).

Векторуудын багц нь тэг вектортой байна 0 , өмчтэй: 0 + а = а ямар ч векторын хувьд а . Солих чадварыг харгалзан бид бичиж болно 0 + а = 0 + а = а (тэг вектор байгаа эсэх).

Аливаа векторын хувьд а вектор байдаг - а , ийм

а + (–а ) = (–а ) + а = 0

(эсрэг вектор байгаа эсэх).

Тодорхойлолт 6. Вектор бүтээгдэхүүна бодит тоон дээрх α-г дурын вектор гэнэ б , нөхцөлийг хангасан:

a) | б | = |α| ∙ | а |;

б) вектор б вектортой коллинеар байна а ;

в) векторууд а болон б α > 0 бол ижил аргаар, α бол эсрэгээр чиглэнэ< 0.

Вектор бүтээгдэхүүн а α тоог α гэж тэмдэглэнэ а .

Шугаман алгебрийн хичээлээс вектор орон зайн хамгийн энгийн шинж чанарууд нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд энэ нь мэдээжийн хэрэг хавтгай ба орон зай дахь векторуудад хамаарна. Жишээлбэл, тэг элементийн өвөрмөц байдал, эсрэг элементийн өвөрмөц байдал, тэгш байдал - а = (–1)а мөн бусад.

Векторыг тоогоор үржүүлэх шинж чанарууд:

1. Дурын α, β тоо болон дурын векторын хувьд а жинхэнэ тэгш байдал

(α β) а = α (β а ).

2. Векторыг нэгээр үржүүлэхэд энэ вектор 1 ∙ өөрчлөгдөхгүй а = а .

3. Аливаа векторын хувьд а 0 ∙ ажиллаж байна а = 0 .

4. Дурын тооны хувьд α, α ∙ 0 = 0 .

Тооноор нэмэх ба үржүүлэх үйлдлийг холбох шинж чанарууд:

1. Дурын α, β тоо болон дурын векторын хувьд а гүйцэтгэсэн

(α + β) а = α а + β а

(тоо нэмэхтэй холбоотой тархалт).

2. Аливаа векторын хувьд а болон б болон дурын тоо α,

α ( а + б ) = α а + α б

(вектор нэмэхтэй холбоотой тархалт).

Тодорхойлолт 7. ялгаахоёр вектор а болон б векторын нийлбэр гэж нэрлэдэг а ба эсрэг талын вектор б , өөрөөр хэлбэл а – б = а + (–б ).

Векторуудыг хасах үйлдлийг нэмэх байдлаар тодорхойлсноор бид хасах үйлдлийг тусдаа үйлдэл гэж үзэхгүй. Мөн векторыг тоонд хуваах үйлдлийг авч үзэх нь утгагүй бөгөөд үүнийг векторыг өгөгдсөн тооны эсрэг үржүүлэх гэж тодорхойлж болно.

Эхний түвшин

Координат ба векторууд. Цогц гарын авлага (2019)

Энэ нийтлэлд та бид хоёр геометрийн олон асуудлыг энгийн арифметик болгон бууруулах боломжтой нэг "шидэт саваа"-ны тухай ярилцаж эхлэх болно. Энэхүү "саваа" нь таны амьдралыг ихээхэн хөнгөвчлөх болно, ялангуяа орон зайн дүрс, хэсэг гэх мэтийг бүтээхдээ итгэлгүй байгаа үед. Энэ бүхэн нь тодорхой төсөөлөл, практик ур чадвар шаарддаг. Бидний энд авч үзэх арга нь бүх төрлийн геометрийн бүтэц, үндэслэлээс бараг бүрэн хийсвэрлэх боломжийг танд олгоно. арга гэж нэрлэдэг "координатын арга". Энэ нийтлэлд бид дараах асуултуудыг авч үзэх болно.

1. Координатын хавтгай
2. Хавтгай дээрх цэг ба векторууд
3. Хоёр цэгээс вектор байгуулах
4. Вектор урт (хоёр цэгийн хоорондох зай).
5. Дунд цэгийн координатууд
6. Векторуудын цэгийн үржвэр
7. Хоёр векторын хоорондох өнцөг

Координатын аргыг яагаад ингэж нэрлэдэгийг та аль хэдийн таамагласан гэж бодож байна уу? Энэ нь геометрийн объектуудтай ажилладаггүй, харин тоон шинж чанараараа (координатууд) ажилладаг тул ийм нэртэй болсон нь үнэн юм. Геометрээс алгебр руу шилжих боломжийг олгодог өөрчлөлт нь координатын системийг нэвтрүүлэхээс бүрддэг. Хэрэв анхны зураг хавтгай байсан бол координат нь хоёр хэмжээст, хэрэв зураг гурван хэмжээст бол координат нь гурван хэмжээст байна. Энэ нийтлэлд бид зөвхөн хоёр хэмжээст тохиолдлыг авч үзэх болно. Өгүүллийн гол зорилго нь координатын аргын зарим үндсэн техникийг хэрхэн ашиглахыг заах явдал юм (Тэд заримдаа улсын нэгдсэн шалгалтын В хэсэгт планиметрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрэг болдог). Энэ сэдвийн дараах хоёр хэсгийг C2 (стереоометрийн асуудал) асуудлыг шийдвэрлэх аргуудын талаар хэлэлцэхэд зориулагдсан болно.

Координатын аргын талаар ярилцаж эхлэх нь хаанаас логиктой байх вэ? Координатын системийн тухай ойлголттой байх. Түүнтэй анх танилцсан үеээ санаарай. 7-р ангид байхдаа та оршихуйг олж мэдсэн юм шиг надад санагдаж байна шугаман функц, Жишээлбэл. Та үүнийг цэгээс нь босгосон гэдгийг сануулъя. Чи санаж байна уу? Та дурын тоог сонгож, томъёонд орлуулж, ийм байдлаар тооцоолсон. Жишээлбэл, хэрэв, тэгвэл, хэрэв, тэгвэл гэх мэт. Үүний үр дүнд та юу авсан бэ? Мөн та координаттай оноо авсан: ба. Дараа нь та "загалмай" (координатын систем) зурж, түүн дээр масштабыг сонгоод (нэг сегментэд хэдэн нүд байх вэ) түүн дээр авсан цэгүүдээ тэмдэглээд дараа нь шулуун шугамаар холбоно. шугам нь функцийн график юм.

Танд бага зэрэг дэлгэрэнгүй тайлбарлах шаардлагатай хэд хэдэн зүйл байна:

1. Зурган дээр бүх зүйл сайхан, авсаархан байхын тулд та ая тухтай байдлыг хангах үүднээс нэг сегментийг сонгодог.

2. Тэнхлэг нь зүүнээс баруун тийш, тэнхлэг нь доороос дээш явдаг гэж үздэг

3. Тэд зөв өнцгөөр огтлолцдог бөгөөд тэдгээрийн огтлолцлын цэгийг эхлэл гэж нэрлэдэг. Энэ нь үсгээр тэмдэглэгдсэн байдаг.

4. Цэгийн координатын тэмдэглэлд жишээлбэл, зүүн талд тэнхлэгийн дагуух цэгийн координатыг хаалтанд, баруун талд нь тэнхлэгийн дагуу байрлуулна. Ялангуяа, зүгээр л цэг гэсэн үг

5. Координатын тэнхлэгт дурын цэгийг тогтоохын тулд түүний координатыг (2 тоо) зааж өгөх шаардлагатай.

6. Тэнхлэг дээр хэвтэж буй аливаа цэгийн хувьд,

7. Тэнхлэг дээр байрлах аливаа цэгийн хувьд,

8. Тэнхлэгийг х тэнхлэг гэж нэрлэдэг

9. Тэнхлэгийг у тэнхлэг гэж нэрлэдэг

Одоо тантай хамт дараагийн алхамаа хийцгээе: хоёр цэгийг тэмдэглэ. Эдгээр хоёр цэгийг шугамаар холбоно. Сумыг цэгээс цэг рүү сегмент зурж байгаа юм шиг тавьцгаая: өөрөөр хэлбэл бид сегментээ чиглүүлэх болно!

Чиглүүлсэн сегментийн өөр нэр юу байдгийг санаж байна уу? Энэ нь зөв, үүнийг вектор гэж нэрлэдэг!

Тиймээс, хэрэв бид цэгийг цэг рүү холбовол эхлэл нь А цэг, төгсгөл нь В цэг байх болно,Дараа нь бид векторыг авна. Чи ч бас 8-р ангидаа энэ бүтээн байгуулалтыг хийж байсныг санаж байна уу?

Векторуудыг цэгүүд шиг хоёр тоогоор тэмдэглэж болно: эдгээр тоог векторын координат гэж нэрлэдэг. Асуулт: Векторын эхлэл ба төгсгөлийн координатыг мэдэх нь координатыг олоход хангалттай гэж та бодож байна уу? Энэ нь тийм гэж харагдаж байна! Мөн үүнийг хийхэд маш хялбар:

Тиймээс векторын цэг нь эхлэл ба төгсгөл тул вектор нь дараах координаттай байна.

Жишээлбэл, хэрэв, тэгвэл векторын координатууд

Одоо эсрэгээр нь векторын координатыг олъё. Үүний тулд бид юуг өөрчлөх хэрэгтэй вэ? Тийм ээ, та эхлэл ба төгсгөлийг солих хэрэгтэй: одоо векторын эхлэл нь цэг дээр, төгсгөл нь цэг дээр байх болно. Дараа нь:

Сайн хараарай, векторуудын хооронд ямар ялгаа байдаг вэ? Тэдний цорын ганц ялгаа нь координат дахь тэмдэг юм. Тэд эсрэгээрээ. Энэ баримтыг ингэж бичжээ.

Заримдаа, аль цэг нь векторын эхлэл, аль нь төгсгөл болохыг тусгайлан заагаагүй бол векторуудыг хоёр том үсгээр биш, харин нэг жижиг үсгээр тэмдэглэдэг, жишээлбэл: гэх мэт.

Одоо жаахан дадлага хийхДараах векторуудын координатыг ол.

Шалгалт:

Одоо асуудлыг арай илүү хэцүү шийдээрэй:

Нэг цэг дээр ча-ха-хаягдалтай вектор торус нь та-тай ко-or-di-on-тай байна. Олоорой-ди-te abs-cis-su цэгүүд.

Бүгд ижил төстэй: Цэгийн координат байцгаая. Дараа нь

Би векторын координат гэж юу болохыг тодорхойлж системийг эмхэтгэсэн. Дараа нь цэг нь координаттай болно. Бид абсциссыг сонирхож байна. Дараа нь

Хариулт:

Та векторуудаас өөр юу хийж чадах вэ? Тийм ээ, бараг бүх зүйл ижил байна энгийн тоонууд(хэрэв та хуваах боломжгүй бол хоёр аргаар үржүүлж болно, тэдгээрийн аль нэгийг бид дараа нь хэлэлцэх болно)

1. Векторуудыг өөр хоорондоо овоолсон байж болно
2. Векторуудыг бие биенээсээ хасаж болно
3. Векторуудыг дурын тэг биш тоогоор үржүүлж (эсвэл хувааж) болно
4. Векторуудыг өөр хоорондоо үржүүлж болно

Эдгээр бүх үйлдлүүд нь нэлээд харааны геометрийн дүрслэлтэй байдаг. Жишээлбэл, гурвалжин (эсвэл параллелограмм) нэмэх, хасах дүрэм:

Векторыг тоогоор үржүүлэх эсвэл хуваах үед сунах, агших эсвэл чиглэлээ өөрчлөх:

Гэсэн хэдий ч, бид энд координат юу болох вэ гэсэн асуултыг сонирхох болно.

1. Хоёр векторыг нэмэх (хасах) үед тэдгээрийн координатын элементийг элемент тус бүрээр нь нэмнэ (хасах). Тэр бол:

2. Векторыг тоогоор үржүүлэх (хуваах) үед түүний бүх координатыг энэ тоогоор үржүүлнэ (хуваагдана).

Жишээлбэл:

· Ко-ор-ди-нат зууны-to-ra-ийн нийлбэрийг ол-ди-.

Эхлээд вектор тус бүрийн координатыг олъё. Тэд хоёулаа ижил гарал үүсэлтэй - гарал үүслийн цэг. Тэдний төгсгөл нь өөр өөр байдаг. Дараа нь, . Одоо бид векторын координатыг тооцоолно Дараа нь үүссэн векторын координатын нийлбэр нь тэнцүү байна.

Хариулт:

Одоо дараах асуудлыг өөрөө шийд.

· Векторын координатын нийлбэрийг ол

Бид шалгаж байна:

Дараах асуудлыг авч үзье: координатын хавтгайд хоёр цэг байна. Тэдний хоорондох зайг хэрхэн олох вэ? Эхний цэг, хоёр дахь нь байг. Тэдний хоорондох зайг гэж тэмдэглэе. Тодорхой болгохын тулд дараах зургийг хийцгээе.

Би юу хийчихэв ээ? Би эхлээд холбогдсон оноо ба, aмөн цэгээс тэнхлэгтэй параллель шулуун зурж, цэгээс тэнхлэгтэй параллель шугам татав. Тэд нэг цэг дээр огтлолцон гайхалтай дүр төрхийг бий болгосон уу? Тэр яагаад гайхалтай юм бэ? Тийм ээ, та бид хоёр бараг бүх зүйлийг мэддэг зөв гурвалжин. За, Пифагорын теорем нь гарцаагүй. Хүссэн сегмент нь энэ гурвалжны гипотенуз, сегментүүд нь хөл юм. Цэгийн координат хэд вэ? Тиймээ, тэдгээрийг зурагнаас олоход хялбар байдаг: Сегментүүд нь тэнхлэгүүдтэй параллель байдаг тул тэдгээрийн уртыг олоход хялбар байдаг: хэрвээ бид сегментүүдийн уртыг тус тусад нь дамжуулан тэмдэглэвэл дараа нь

Одоо Пифагорын теоремыг ашиглая. Бид хөлний уртыг мэддэг тул гипотенузыг олох болно.

Иймд хоёр цэгийн хоорондох зай нь координатуудын квадратын зөрүүний язгуур нийлбэр юм. Эсвэл - хоёр цэгийн хоорондох зай нь тэдгээрийг холбосон сегментийн урт юм. Цэгүүдийн хоорондох зай нь чиглэлээс хамаардаггүй гэдгийг харахад хялбар байдаг. Дараа нь:

Үүнээс бид гурван дүгнэлт гаргаж байна.

Хоёр цэгийн хоорондох зайг тооцоолох талаар жаахан дасгал хийцгээе.

Жишээлбэл, хэрэв, дараа нь ба хоорондын зай

Эсвэл өөрөөр явъя: векторын координатыг ол

Мөн векторын уртыг ол:

Таны харж байгаагаар энэ нь адилхан!

Одоо бие даан бага зэрэг дасгал хий:

Даалгавар: өгөгдсөн цэгүүдийн хоорондох зайг ол:

Бид шалгаж байна:

Нэг томьёоны хувьд арай өөр сонсогдож байгаа хэд хэдэн асуудлыг энд оруулав.

1. Зовхи-to-ra уртын квадратыг олоорой.

2. Зовхины уртаас-ra-ийн Nai-di-te квадрат

Та тэднийг амархан зохицуулж чадна гэж бодож байна уу? Бид шалгаж байна:

1. Мөн энэ нь анхаарал болгоомжтой байх явдал юм) Бид өмнө нь векторуудын координатыг олсон: . Дараа нь вектор координаттай байна. Түүний уртын квадрат нь:

2. Векторын координатыг ол

Дараа нь түүний уртын квадрат нь байна

Ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй, тийм үү? Энгийн арифметик, өөр юу ч биш.

Дараах таавруудыг хоёрдмол утгагүй ангилах боломжгүй бөгөөд тэдгээр нь ерөнхий мэдлэг, энгийн зураг зурах чадварт зориулагдсан болно.

1. Зүссэн дээрх өнцгийн синусыг олох, абсцисса тэнхлэгтэй нэг n-р цэгийг холбоно.

болон

Бид энд яаж үүнийг хийх гэж байна? Та тэнхлэг хоёрын хоорондох өнцгийн синусыг олох хэрэгтэй. Мөн бид синусыг хаанаас хайх вэ? Энэ нь зөв, тэгш өнцөгт гурвалжинд. Тэгэхээр бид юу хийх хэрэгтэй вэ? Энэ гурвалжинг бүтээ!

цэгийн координат оноос хойш ба, дараа нь сегмент тэнцүү байна, ба сегмент. Бид өнцгийн синусыг олох хэрэгтэй. Синус нь эсрэг талын хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа гэдгийг сануулъя

Бидэнд юу хийх үлдэв? Гипотенузыг ол. Та үүнийг хоёр аргаар хийж болно: Пифагорын теорем (хөл нь мэдэгдэж байна!) эсвэл хоёр цэгийн хоорондох зайны томъёог ашиглан (үнэндээ эхний аргатай адил!). Би хоёр дахь замаар явна:

Хариулт:

Дараагийн даалгавар танд илүү хялбар санагдах болно. Тэр - цэгийн координат дээр.

Даалгавар 2.Цэгээс per-pen-di-ku-lar нь abs-ciss тэнхлэг рүү доошилно. Най-ди-тэ абс-цис-су ос-но-ва-ния пер-пен-ди-ку-ла-ра.

Зураг зурцгаая:

Перпендикулярын суурь нь миний хувьд х тэнхлэгтэй (тэнхлэг) огтлолцох цэг юм. Зураг нь координаттай болохыг харуулж байна: . Бид abscissa буюу "X" бүрэлдэхүүн хэсгийг сонирхож байна. Тэр тэнцүү.

Хариулт: .

Даалгавар 3.Өмнөх бодлогын нөхцөлд цэгээс координатын тэнхлэг хүртэлх зайны нийлбэрийг ол.

Хэрэв та цэгээс тэнхлэг хүртэлх зай ямар байхыг мэддэг бол даалгавар нь ерөнхийдөө энгийн зүйл юм. Та мэдэх үү? Би найдаж байна, гэхдээ би танд сануулж байна:

Тэгэхээр, миний зураг дээр, арай өндөрт байрлах, би аль хэдийн ийм перпендикуляр дүрсэлсэн байна уу? Ямар тэнхлэг вэ? тэнхлэг рүү. Тэгээд түүний урт хэд вэ? Тэр тэнцүү. Одоо тэнхлэгт перпендикуляр зурж, уртыг нь ол. Энэ нь тэнцүү байх болно, тийм үү? Дараа нь тэдний нийлбэр тэнцүү байна.

Хариулт: .

Даалгавар 4.Бодлого 2-ын нөхцөлд х тэнхлэгийн ойролцоо цэгтэй тэгш хэмтэй цэгийн ординатыг ол.

Та тэгш хэм гэж юу болохыг зөн совингоор ойлгосон гэж бодож байна уу? Маш олон объектууд байдаг: олон барилга, ширээ, онгоц, олон геометрийн дүрсүүд: бөмбөлөг, цилиндр, дөрвөлжин, ромбус гэх мэт Бүдүүнчлэн хэлбэл, тэгш хэмийг дараах байдлаар ойлгож болно: дүрс нь хоёр (эсвэл түүнээс дээш) ижил хагасаас бүрдэнэ. Энэ тэгш хэмийг тэнхлэг гэж нэрлэдэг. Тэгвэл тэнхлэг гэж юу вэ? Энэ нь дүрсийг харьцангуйгаар ижил хагас болгон "тайрч" болох шугам юм (энэ зураг дээр тэгш хэмийн тэнхлэг шулуун байна):

Одоо даалгавартаа буцаж орцгооё. Бид тэнхлэгт тэгш хэмтэй цэгийг хайж байгаагаа мэдэж байна. Тэгвэл энэ тэнхлэг нь тэгш хэмийн тэнхлэг болно. Тиймээс, тэнхлэг нь сегментийг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваахын тулд бид цэгийг тэмдэглэх хэрэгтэй. Ийм цэгийг өөрөө тэмдэглэхийг хичээ. Одоо миний шийдэлтэй харьцуул:

Та ч мөн адил хийсэн үү? Сайн байна! Олдсон цэг дээр бид ординатыг сонирхож байна. Тэр тэнцүү

Хариулт:

Одоо надад хэлээч, хэсэг бодсоны дараа У тэнхлэгийн хувьд А цэгт тэгш хэмтэй цэгийн абсцисса ямар байх вэ? Таны хариулт юу вэ? Зөв хариулт: .

Ерөнхийдөө дүрмийг дараах байдлаар бичиж болно.

X тэнхлэгийн ойролцоо цэгтэй тэгш хэмтэй цэг нь координаттай байна:

У тэнхлэгийн ойролцоо цэгтэй тэгш хэмтэй цэг нь координаттай байна:

За одоо үнэхээр аймшигтай байна. даалгавар: Эхтэй харьцуулахад цэгтэй тэгш хэмтэй цэгийн координатыг ол. Чи эхлээд өөрийнхөөрөө бодоод дараа нь миний зургийг хар!

Хариулт:

Одоо параллелограммын асуудал:

Даалгавар 5: Оноо нь вер-ши-на-ми-па-рал-ле-ло-грам-ма. Ди-тэ эсвэл-ди-он-ту цэгүүдийг олох.

Та энэ асуудлыг логик болон координатын арга гэсэн хоёр аргаар шийдэж болно. Би эхлээд координатын аргыг хэрэглэж, дараа нь яаж өөрөөр шийдэж болохыг танд хэлье.

Цэгийн абсцисса тэнцүү гэдэг нь тодорхой байна. (энэ нь цэгээс x тэнхлэг рүү татсан перпендикуляр дээр байрладаг). Бид ординатыг олох хэрэгтэй. Бидний дүрс параллелограмм байгаа тул үүнийг ашиглацгаая. Хоёр цэгийн хоорондох зайны томъёог ашиглан сегментийн уртыг ол.

Бид цэгийг тэнхлэгтэй холбосон перпендикулярыг буулгана. Уулзалтын цэгийг үсгээр тэмдэглэнэ.

Сегментийн урт нь тэнцүү байна. (энэ мөчийг хэлэлцсэн асуудлыг өөрөө ол), тэгвэл бид Пифагорын теоремыг ашиглан сегментийн уртыг олох болно.

Сегментийн урт нь түүний ординаттай яг ижил байна.

Хариулт: .

Өөр нэг шийдэл (би үүнийг харуулсан зургийг л өгөх болно)

Шийдлийн явц:

1. Зарцуулах

2. Цэгийн координат ба уртыг ол

3. Үүнийг нотлох.

Өөр нэг тайрах урттай холбоотой асуудал:

Оноо нь-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-angle-no-ka. Түүний дунд шугамын уртыг ол, par-ral-lel-noy.

Гурвалжны дунд шугам гэж юу байдгийг санаж байна уу? Тэгвэл таны хувьд энэ даалгавар бол энгийн зүйл юм. Хэрэв та санахгүй байгаа бол би танд сануулах болно: гурвалжингийн дунд шугам нь эсрэг талын дундын цэгүүдийг холбосон шугам юм. Энэ нь суурьтай параллель бөгөөд хагастай тэнцүү байна.

Суурь нь сегмент юм. Бид түүний уртыг эрт хайх хэрэгтэй байсан, энэ нь тэнцүү байна. Дараа нь дунд шугамын урт нь хагас урт, тэнцүү байна.

Хариулт: .

Тайлбар: Энэ асуудлыг өөр аргаар шийдэж болох бөгөөд үүнийг бид дараа нь авч үзэх болно.

Энэ хооронд танд хэд хэдэн даалгавар байна, тэдэн дээр дадлага хий, тэд маш энгийн боловч координатын аргыг ашиглан "гараа дүүргэхэд" тусалдаг!

1. Цэгүүд гарч ирнэ-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Дунд шугамын уртыг ол.

2. Оноо ба yav-la-yut-xia вер-ши-на-ми па-рал-ле-ло-грам-ма. Ди-тэ эсвэл-ди-он-ту цэгүүдийг олох.

3. Зүссэн хэсгээс уртыг олж, хоёр дахь цэгийг холбоно

4. Ко-ор-ди-нат-ной хавтгай дээрх улаан-шэн-ной фи-гу-рийн талбайг ол-ди-тэ.

5. На-ча-ле ко-ор-ди-нат төвтэй тойрог нэг цэгээр дамждаг. Түүний ra-di-сахлыг олоорой.

6. Nai-di-te ra-di-us тойрог-no-sti, дүрслэх-сан-ной ойролцоо зөв өнцгөөр-но-ка, ямар нэг зүйл-ro-go-ийн дээд-ши-ny хамтран эсвэл - ди-на-чи хамтран-хариулах-гэхдээ

Шийдэл:

1. Трапецын дунд шугам нь суурийнх нь нийлбэрийн хагастай тэнцүү гэдгийг мэддэг. Суурь нь тэнцүү, гэхдээ суурь нь. Дараа нь

Хариулт:

2. Энэ асуудлыг шийдэх хамгийн хялбар арга бол үүнийг анзаарах явдал юм (параллелограммын дүрэм). Векторуудын координатыг тооцоолох ба хэцүү биш: . Вектор нэмэх үед координатууд нэмэгддэг. Дараа нь координатууд байна. Векторын эхлэл нь координаттай цэг тул цэг нь ижил координаттай байна. Ординатыг бид сонирхож байна. Тэр тэнцүү.

Хариулт:

3. Бид хоёр цэгийн хоорондох зайны томъёоны дагуу нэн даруй ажиллана.

Хариулт:

4. Зургийг хараад аль хоёр зургийн хооронд сүүдэрлэсэн хэсэг нь "шахагдсан" болохыг хэлээрэй? Энэ нь хоёр квадратын хооронд хавчуулагдсан байна. Дараа нь хүссэн зургийн талбай нь том дөрвөлжингийн талбайгаас жижиг квадратын талбайг хассантай тэнцүү байна. Хажуу тал жижиг дөрвөлжиннь цэгүүдийг холбосон шугамын хэсэг бөгөөд урт нь юм

Дараа нь жижиг талбайн талбай байна

Бид том дөрвөлжинтэй ижил зүйлийг хийдэг: түүний тал нь цэгүүдийг холбосон сегмент бөгөөд урт нь тэнцүү байна

Дараа нь том талбайн талбай байна

Хүссэн зургийн талбайг дараах томъёогоор олно.

Хариулт:

5. Хэрэв тойрог нь эхийг төв болгож, нэг цэгийг дайран өнгөрвөл түүний радиус яг болно урттай тэнцүүсегмент (зураг зурж, энэ нь яагаад тодорхой болохыг та ойлгох болно). Энэ сегментийн уртыг ол:

Хариулт:

6. Тэгш өнцөгтийг тойруулан хүрээлэгдсэн тойргийн радиус нь диагональын талтай тэнцүү гэдгийг мэддэг. Хоёр диагональуудын аль нэгнийх нь уртыг олцгооё (эцсийн эцэст тэгш өнцөгт нь тэд тэнцүү байна!)

Хариулт:

За, чи бүгдийг зохицуулсан уу? Үүнийг олоход тийм ч хэцүү байгаагүй, тийм үү? Энд зөвхөн нэг дүрэм бий - визуал зураг хийж, түүнээс бүх өгөгдлийг "унших" боломжтой.

Бидэнд маш бага үлдлээ. Би ярихыг хүсч байгаа хоёр зүйл байна.

Энэ энгийн асуудлыг шийдэхийг хичээцгээе. Хоёр оноо өгье. Сегментийн дунд хэсгийн координатыг ол. Энэ асуудлын шийдэл нь дараах байдалтай байна: цэгийг хүссэн дунд нь байг, дараа нь координаттай болно.

Тэр бол: сегментийн дунд хэсгийн координат = сегментийн төгсгөлийн харгалзах координатын арифметик дундаж.

Энэ дүрэм нь маш энгийн бөгөөд ихэвчлэн оюутнуудад хүндрэл учруулдаггүй. Үүнийг ямар асуудал, хэрхэн ашиглахыг харцгаая.

1. Хай-ди-тэ эсвэл-ди-на-ту се-ре-ди-ус-аас-зүсэх, холбох-ня-ю-р цэг ба

2. Цэгүүд нь yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Түүний dia-go-on-lei-ийн дахин-re-se-che-niya-ийн олох-ди-тэ эсвэл-ди-на-ту цэгүүд.

3. Тойргийн төвийг олох-di-te abs-cis-su, дүрслэх-san-noy ойролцоо тэгш өнцөгт-no-ka, орой-ши-бид ямар нэг зүйл-ro-go хамтран эсвэл-ди- на-та хамтран-аас-Vet-stvenno-гэхдээ.

Шийдэл:

1. Эхний даалгавар бол зүгээр л сонгодог. Бид сегментийн дунд цэгийг тодорхойлох замаар нэн даруй ажилладаг. Тэр координаттай. Ординат тэнцүү байна.

Хариулт:

2. Өгөгдсөн дөрвөлжин нь параллелограмм (ромбо ч гэсэн!) гэдгийг харахад хялбар байдаг. Хажуугийн уртыг тооцоолж, бие биентэйгээ харьцуулах замаар үүнийг өөрөө баталж чадна. Параллелограммын талаар би юу мэдэх вэ? Түүний диагональууд нь огтлолцлын цэгээр хуваагддаг! Аа! Тэгэхээр диагональуудын огтлолцох цэг нь юу вэ? Энэ бол аль ч диагональуудын дунд юм! Би ялангуяа диагональ сонгох болно. Тэгвэл цэг нь координаттай байна.Цэгийн ординат нь тэнцүү байна.

Хариулт:

3. Тэгш өнцөгтийг тойрсон тойргийн төв нь юу вэ? Энэ нь түүний диагональуудын огтлолцох цэгтэй давхцдаг. Тэгш өнцөгтийн диагональуудын талаар та юу мэдэх вэ? Тэдгээр нь тэнцүү бөгөөд огтлолцлын цэгийг хагасаар хуваана. Даалгаврыг өмнөх ажил болгон бууруулсан. Жишээлбэл, диагональыг ав. Хэрэв хүрээлэгдсэн тойргийн төв бол дунд нь байна. Би координат хайж байна: Абсцисса тэнцүү байна.

Хариулт:

Одоо бие даан бага зэрэг дадлага хий, би зөвхөн асуудал бүрийн хариултыг өгье, ингэснээр та өөрийгөө шалгах болно.

1. Най-ди-тэ ра-ди-ус тойрог-но-сти, гурвалжингийн ойролцоо дүрслэх-сан-ной-но-ка, хэн нэгний-ро-гогийн оройд ко-ор-ди-но ноён байхгүй байна.

2. Тойргийн төвийг олох-ди-тэ эсвэл-ди-на-ту, гурвалжин-но-ка-ийн ойролцоох сан-ной, орой-ши-бид ямар нэг зүйл-ро-го координатыг дүрсэл.

3. Абс-цисс тэнхлэгт хүрэхийн тулд нэг цэг дээр төвтэй тойрог ямар төрлийн ра-ди-й-са байх ёстой вэ?

4. Олж-ди-тэ or-di-on-тэр цэгийг дахин-re-se-che-ing тэнхлэг болон-аас-тайрах, холбох-nya-yu-th-р цэг болон

Хариултууд:

Бүх зүйл бүтсэн үү? Би үүнд үнэхээр найдаж байна! Одоо - сүүлчийн түлхэлт. Одоо ялангуяа болгоомжтой байгаарай. Миний одоо тайлбарлах материал нь зөвхөн түүнтэй шууд холбоотой биш юм энгийн даалгаваруудБ хэсгээс координатын арга руу шилжих боловч С2 асуудлын хаа сайгүй тохиолддог.

Би амлалтуудынхаа алийг нь хараахан биелүүлээгүй вэ? Би векторууд дээр ямар үйлдлүүдийг танилцуулна гэж амлаж, алийг нь сүүлд нэвтрүүлсэнээ санаж байна уу? Би юу ч мартаагүй гэдэгтээ итгэлтэй байна уу? Мартсан! Векторын үржвэр гэж юу болохыг тайлбарлахаа мартав.

Векторыг вектороор үржүүлэх хоёр арга бий. Сонгосон аргаас хамааран бид өөр шинж чанартай объектуудыг авах болно.

Вектор бүтээгдэхүүн нь нэлээд төвөгтэй юм. Үүнийг хэрхэн хийх, яагаад хэрэгтэй вэ, бид дараагийн өгүүллээр тантай ярилцах болно. Үүнд бид скаляр бүтээгдэхүүн дээр анхаарлаа хандуулах болно.

Үүнийг тооцоолох хоёр арга аль хэдийн байна:

Таны таамаглаж байгаагаар үр дүн нь ижил байх ёстой! Тиймээс эхлээд эхний арга замыг харцгаая:

Координатаар цэгэн бүтээгдэхүүн

Олно: - цэгэн бүтээгдэхүүний нийтлэг тэмдэглэгээ

Тооцооллын томъёо нь дараах байдалтай байна.

Тэр бол скаляр бүтээгдэхүүн= вектор координатын үржвэрийн нийлбэр!

Жишээ:

Хай-ди-тэ

Шийдэл:

Вектор тус бүрийн координатыг ол.

Бид скаляр үржвэрийг дараахь томъёогоор тооцоолно.

Хариулт:

Та харж байна уу, ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй!

За, одоо өөрөө үзээрэй:

Find-di-te scalar-noe pro-from-ve-de-nie зууны-тулд суваг болон

Та удирдаж чадсан уу? Магадгүй тэр бяцхан заль мэхийг анзаарсан болов уу? Шалгацгаая:

Өмнөх даалгаврын адил вектор координатууд! Хариулт: .

Координатаас гадна векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусаар дамжуулан скаляр үржвэрийг тооцоолох өөр нэг арга бий.

ба векторуудын хоорондох өнцгийг илэрхийлнэ.

Өөрөөр хэлбэл, скаляр үржвэр нь векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусын үржвэртэй тэнцүү байна.

Яагаад бидэнд энэ хоёр дахь томьёо хэрэгтэй байна вэ, хэрэв бидэнд эхнийх нь байгаа бол хамаагүй энгийн, ядаж косинус байхгүй. Эхний болон хоёр дахь томъёоноос векторуудын хоорондох өнцгийг хэрхэн олохыг олж мэдэхийн тулд бидэнд хэрэгтэй байна!

Let Дараа нь векторын уртын томъёог санаарай!

Дараа нь би энэ өгөгдлийг цэгийн бүтээгдэхүүний томъёонд оруулбал би дараахь зүйлийг авна.

Гэхдээ нөгөө талаас:

Тэгэхээр бидэнд юу байгаа вэ? Одоо бидэнд хоёр векторын хоорондох өнцгийг тооцоолох томъёо байна! Заримдаа товчхондоо ингэж бичдэг.

Өөрөөр хэлбэл, векторуудын хоорондох өнцгийг тооцоолох алгоритм нь дараах байдалтай байна.

1. Бид координатаар скаляр үржвэрийг тооцоолно
2. Векторуудын уртыг олоод үржүүл
3. 1-р цэгийн үр дүнг 2-р цэгийн үр дүнд хуваана

Жишээн дээр дадлага хийцгээе:

1. Зовхи-ра-ми ба хоорондох өнцгийг ол. Хариултаа градусаар өгнө үү.

2. Өмнөх бодлогын нөхцлөөр векторуудын хоорондох косинусыг ол

Үүнийг хийцгээе: Би чамд эхний асуудлыг шийдвэрлэхэд тусална, харин хоёр дахь асуудлыг өөрөө хийхийг хичээ! Би зөвшөөрч байна? Тэгээд эхэлцгээе!

1. Эдгээр векторууд нь бидний эртний найзууд юм. Бид аль хэдийн тэдний скаляр үржвэрийг авч үзсэн бөгөөд энэ нь тэнцүү байсан. Тэдний координат нь: , . Дараа нь бид тэдгээрийн уртыг олно:

Дараа нь бид векторуудын хоорондох косинусыг хайж байна:

Өнцгийн косинус хэд вэ? Энэ бол булан.

Хариулт:

За, одоо хоёр дахь асуудлыг өөрөө шийдэж, дараа нь харьцуулаарай! Би маш богино шийдлийг өгөх болно:

2. солбицолтой, координаттай.

Дараа нь векторуудын хоорондох өнцөг гэж үзье

Хариулт:

Шалгалтын хуудасны В хэсгийн координатын арга, векторууд дээр шууд даалгавар өгөх нь маш ховор гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Гэсэн хэдий ч C2 асуудлын дийлэнх хэсгийг координатын системийг нэвтрүүлснээр хялбархан шийдэж болно. Тиймээс та энэ өгүүллийг суурь гэж үзэж болох бөгөөд үүний үндсэн дээр бид шийдэх ёстой нэлээд төвөгтэй бүтээн байгуулалтыг хийх болно. сорилттой даалгаварууд.

КОРДИНАТ БА ВЕКТОР. ДУНД ШАТНЫ

Та бид хоёр координатын аргыг үргэлжлүүлэн судалж байна. Сүүлчийн хэсэгт бид хэд хэдэн чухал томъёог гаргаж авсан:

1. Вектор координатыг ол
2. Векторын уртыг ол (өөр нэг хувилбар: хоёр цэгийн хоорондох зай)
3. Векторуудыг нэмэх, хасах. Тэдгээрийг бодит тоогоор үржүүлнэ
4. Сегментийн дунд цэгийг ол
5. Векторуудын цэгийн үржвэрийг тооцоол
6. Векторуудын хоорондох өнцгийг ол

Мэдээжийн хэрэг, координатын бүх арга нь эдгээр 6 цэгт тохирохгүй. Энэ нь аналитик геометр гэх мэт шинжлэх ухааны үндэс суурь болдог бөгөөд та үүнийг их сургуульд сурч мэдэх болно. Ганц мужид асуудлыг шийдэх боломжийг олгох суурийг л бий болгомоор байна. шалгалт. Бид В хэсгийн даалгавруудыг тодорхойлсон. Одоо чанарын хувьд шинэ түвшинд шилжих цаг болжээ! Энэ нийтлэлийг координатын арга руу шилжүүлэх нь зүйтэй гэж үзсэн C2 асуудлыг шийдвэрлэх аргад зориулах болно. Энэ үндэслэл нь тухайн асуудалд юуг олох шаардлагатай, ямар тоогоор тодорхойлогддог. Тиймээс, хэрэв асуултууд байвал би координатын аргыг ашиглах болно.

1. Хоёр хавтгайн хоорондох өнцгийг ол
2. Шугаман ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг ол
3. Хоёр шулууны хоорондох өнцгийг ол
4. Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зайг ол
5. Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зайг ол
6. Шулуун шугамаас хавтгай хүртэлх зайг ол
7. Хоёр шугамын хоорондох зайг ол

Хэрэв асуудлын нөхцөлд өгөгдсөн дүрс нь эргэлтийн бие юм бол (бөмбөг, цилиндр, конус ...)

Координатын аргын тохиромжтой тоонууд нь:

1. куб хэлбэртэй
2. Пирамид (гурвалжин, дөрвөлжин, зургаан өнцөгт)

Мөн миний туршлагаас харахад координатын аргыг хэрэглэх нь зохисгүй:

1. Хэсгийн талбайг олох
2. Биеийн эзэлхүүний тооцоо

Гэсэн хэдий ч координатын аргын гурван "тааламжгүй" нөхцөл байдал практикт маш ховор байдаг гэдгийг нэн даруй тэмдэглэх нь зүйтэй. Ихэнх ажилд энэ нь таны аврагч болж чадна, ялангуяа гурван хэмжээст бүтээцэд тийм ч хүчтэй биш бол (энэ нь заримдаа нэлээд төвөгтэй байдаг).

Миний дээр дурдсан бүх тоонууд юу вэ? Тэд дөрвөлжин, гурвалжин, тойрог гэх мэт хавтгай биш, харин эзэлхүүнтэй болсон! Үүний дагуу бид хоёр хэмжээст биш, харин гурван хэмжээст координатын системийг авч үзэх хэрэгтэй. Энэ нь маш амархан баригдсан: зүгээр л абсцисса ба ординатуудаас гадна бид өөр тэнхлэг болох хэрэглээний тэнхлэгийг нэвтрүүлэх болно. Зурагт тэдгээрийн харьцангуй байрлалыг бүдүүвчээр харуулав.

Тэд бүгд харилцан перпендикуляр, нэг цэг дээр огтлолцдог бөгөөд үүнийг бид гарал үүсэл гэж нэрлэх болно. Абсцисса тэнхлэгийг өмнөх шигээ, ордны тэнхлэгийг - , нэвтрүүлсэн хэрэглээний тэнхлэгийг - гэж тэмдэглэнэ.

Хэрэв өмнө нь хавтгай дээрх цэг бүрийг абсцисса ба ординат гэсэн хоёр тоогоор тодорхойлдог байсан бол орон зайн цэг бүрийг абсцисса, ординат, аппликат гэсэн гурван тоогоор аль хэдийн дүрсэлсэн байдаг. Жишээлбэл:

Үүний дагуу цэгийн абсцисс тэнцүү, ординат нь , хэрэглүүр нь .

Заримдаа цэгийн абсциссыг абсцисса тэнхлэг дээрх цэгийн проекц гэж бас нэрлэдэг, ординат нь ординат тэнхлэг дээрх цэгийн проекц, хэрэглээний тэнхлэг дээрх цэгийн проекцийг хэрэглүүр гэж нэрлэдэг. Үүний дагуу хэрэв цэг өгөгдсөн бол координаттай цэг:

хавтгай дээрх цэгийн проекц гэж нэрлэдэг

хавтгай дээрх цэгийн проекц гэж нэрлэдэг

Байгалийн асуулт гарч ирнэ: хоёр хэмжээст тохиолдлоор гаргаж авсан бүх томьёо нь орон зайд хүчинтэй юу? Хариулт нь тийм ээ, тэд зүгээр л, ижил дүр төрхтэй. Жижиг нарийн ширийн зүйлийн хувьд. Та аль нь болохыг тааварласан гэж бодож байна. Бүх томъёонд бид хэрэглээний тэнхлэгийг хариуцах өөр нэг нэр томъёо нэмэх шаардлагатай болно. Тухайлбал.

1. Хоёр оноо өгвөл: , тэгвэл:

• Вектор координатууд:
• Хоёр цэгийн хоорондох зай (эсвэл векторын урт)
• Сегментийн дунд хэсэг нь координаттай

2. Хоёр вектор өгөгдсөн бол: ба, тэгвэл:

• Тэдний цэгийн бүтээгдэхүүн нь:
• Векторуудын хоорондох өнцгийн косинус нь:

Гэсэн хэдий ч орон зай нь тийм ч энгийн зүйл биш юм. Таны ойлгож байгаагаар дахин нэг координат нэмэх нь энэ орон зайд "амьдрах" дүрсүүдийн спектрийн ихээхэн ялгаатай байдлыг бий болгодог. Цаашид өгүүлэхийн тулд би шулуун шугамын "ерөнхийлөл"-ийг ойролцоогоор танилцуулах хэрэгтэй. Энэ "ерөнхийлэл" нь онгоц байх болно. Та онгоцны талаар юу мэдэх вэ? Онгоц гэж юу вэ гэсэн асуултад хариулахыг хичээгээрэй. Үүнийг хэлэхэд маш хэцүү. Гэсэн хэдий ч бид бүгд энэ нь юу болохыг зөн совингоор төсөөлдөг:

Товчхондоо бол энэ бол огторгуйд нэг төрлийн төгсгөлгүй "навч" юм. "Хязгааргүй" гэдэг нь онгоц бүх чиглэлд сунадаг, өөрөөр хэлбэл түүний талбай нь хязгааргүйтэй тэнцүү гэдгийг ойлгох хэрэгтэй. Гэсэн хэдий ч "хуруунд" гэсэн энэ тайлбар нь онгоцны бүтцийн талаар өчүүхэн ч гэсэн ойлголт өгөхгүй. Мөн бид үүнийг сонирхох болно.

Геометрийн үндсэн аксиомуудын нэгийг санацгаая.

• Шулуун шугам нь хавтгай дээрх хоёр өөр цэгийг дайран өнгөрдөг бөгөөд зөвхөн нэг нь:

Эсвэл түүний сансар дахь аналоги:

Мэдээжийн хэрэг, та өгөгдсөн хоёр цэгээс шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн гаргахаа санаж байгаа бол энэ нь тийм ч хэцүү биш юм: хэрэв эхний цэг нь координаттай бол: хоёр дахь нь шулуун шугамын тэгшитгэл дараах байдалтай байна.

Та 7-р ангидаа үүнийг даван туулсан. Орон зайд шулуун шугамын тэгшитгэл дараах байдалтай байна: координаттай хоёр цэгтэй болъё: , тэгвэл тэдгээрийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл дараах хэлбэртэй байна.

Жишээлбэл, шугам нь цэгүүдийг дайран өнгөрдөг:

Үүнийг хэрхэн ойлгох ёстой вэ? Үүнийг дараах байдлаар ойлгох хэрэгтэй: хэрэв цэг нь координат нь дараах системийг хангаж байвал шулуун дээр байрладаг.

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг бид тийм ч их сонирхохгүй ч шулуун шугамын чиглүүлэх векторын тухай маш чухал ойлголтод анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй. - өгөгдсөн шулуун дээр эсвэл түүнтэй параллель орших ямар ч тэг биш вектор.

Жишээлбэл, хоёр вектор нь шулуун шугамын чиглэлийн векторууд юм. Шулуун дээр хэвтэж буй цэг, түүний чиглүүлэгч вектор байг. Дараа нь шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр бичиж болно.

Дахин хэлэхэд, би шулуун шугамын тэгшитгэлийг тийм ч их сонирхохгүй, гэхдээ чиглэлийн вектор гэж юу болохыг санаж байх хэрэгтэй! Дахин: Энэ нь шулуун дээр эсвэл түүнтэй параллель орших ямар ч тэг биш вектор юм.

Татаж авах хавтгайн гурван цэгийн тэгшитгэлЭнэ нь тийм ч өчүүхэн байхаа больсон бөгөөд ихэвчлэн энэ асуудлыг хичээл дээр авч үзэхгүй ахлах сургууль. Гэхдээ дэмий хоосон! Нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд координатын аргыг ашиглахад энэ техник нь амин чухал юм. Гэсэн хэдий ч таныг шинэ зүйл сурах хүсэл эрмэлзэл дүүрэн байна гэж би бодож байна уу? Түүгээр ч барахгүй аналитик геометрийн хичээлд ихэвчлэн судалдаг техникийг хэрхэн ашиглахаа мэддэг болсон нь та их сургуулийн багшдаа сэтгэгдэл төрүүлэх болно. Ингээд эхэлцгээе.

Хавтгайн тэгшитгэл нь хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэлээс тийм ч их ялгаатай биш, тухайлбал дараахь хэлбэртэй байна.

зарим тоонууд (бүгд тэгтэй тэнцүү биш), харин хувьсагч, жишээлбэл: гэх мэт. Таны харж байгаагаар хавтгайн тэгшитгэл нь шулуун шугамын тэгшитгэлээс (шугаман функц) тийм ч их ялгаатай биш юм. Гэсэн хэдий ч бид тантай юу маргаж байсныг санаж байна уу? Хэрэв бид нэг шулуун дээр оршдоггүй гурван цэгтэй бол тэдгээрээс онгоцны тэгшитгэл өвөрмөц байдлаар сэргээгддэг гэж бид хэлсэн. Гэхдээ яаж? Би танд тайлбарлахыг хичээх болно.

Хавтгай тэгшитгэл нь:

Мөн цэгүүд нь энэ хавтгайд хамаарах тул цэг бүрийн координатыг хавтгайн тэгшитгэлд орлуулахдаа бид зөв таних тэмдгийг олж авах ёстой.

Тиймээс үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийг аль хэдийн шийдэх шаардлагатай байна! Дилемма! Гэсэн хэдий ч бид үүнийг үргэлж таамаглаж болно (үүнд бид хуваах хэрэгтэй). Тиймээс бид гурван үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийг олж авна.

Гэсэн хэдий ч бид ийм системийг шийдэхгүй, харин үүнээс үүдэлтэй нууцлаг илэрхийлэлийг бичнэ.

Өгөгдсөн гурван цэгээр дамжин өнгөрөх онгоцны тэгшитгэл

\[\зүүн| (\begin(массив)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(массив)) \баруун| = 0\]

Зогс! Энэ өөр юу вэ? Зарим маш ер бусын модуль! Гэсэн хэдий ч таны өмнө харж буй объект нь модультай ямар ч холбоогүй юм. Энэ объектыг гуравдахь эрэмбийн тодорхойлогч гэж нэрлэдэг. Одооноос эхлэн та хавтгай дээрх координатын аргыг судлахдаа эдгээр тодорхойлогчтой байнга таарах болно. Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогч гэж юу вэ? Хачирхалтай нь энэ бол зүгээр л тоо. Тодорхойлогчтой ямар тодорхой тоог харьцуулахыг ойлгоход л үлдлээ.

Эхлээд гуравдахь эрэмбийн тодорхойлогчийг дэлгэрэнгүй бичье ерөнхий үзэл:

Зарим тоо хаана байна. Түүнээс гадна эхний индексээр бид мөрийн дугаар, индексээр баганын дугаарыг хэлнэ. Жишээлбэл, өгөгдсөн тоо нь хоёр дахь мөр, гурав дахь баганын огтлолцол дээр байна гэсэн үг юм. Дараах асуултыг тавьцгаая: бид ийм тодорхойлогчийг яг яаж тооцоолох вэ? Өөрөөр хэлбэл, бид үүнийг ямар тоогоор харьцуулах вэ? Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийн хувьд эвристик (харааны) гурвалжны дүрэм байдаг бөгөөд энэ нь дараах байдалтай байна.

1. Үндсэн диагоналын элементүүдийн үржвэр (зүүн дээдээс баруун доош) эхний гурвалжинг үүсгэсэн элементүүдийн үржвэр нь үндсэн диагональд "перпендикуляр" хоёр дахь гурвалжинг үүсгэсэн элементүүдийн үржвэр. диагональ
2. Хоёрдогч диагоналын элементүүдийн үржвэр (баруун дээд булангаас зүүн доод талд) эхний гурвалжны "перпендикуляр" хоёрдогч гурвалжны "перпендикуляр" хоёр дахь гурвалжны элементүүдийн үржвэр. хоёрдогч диагональ
3. Дараа нь тодорхойлогч нь алхам дээр олж авсан утгуудын зөрүүтэй тэнцүү байна

Хэрэв бид энэ бүгдийг тоогоор бичвэл дараах илэрхийлэл гарч ирнэ.

Гэсэн хэдий ч та энэ хэлбэрээр тооцоолох аргыг цээжлэх шаардлагагүй, зүгээр л гурвалжингуудаа толгойдоо хадгалахад л хангалттай бөгөөд юунд юу нэмэгдэж, юунаас юу хасагдах тухай санааг бодоорой).

Гурвалжингийн аргыг жишээгээр тайлбарлая.

1. Тодорхойлогчийг тооцоол:

Юу нэмж, юуг хасахаа олж мэдье.

"Нэмэх"-тэй ирдэг нэр томъёо:

Энэ бол гол диагональ: элементүүдийн бүтээгдэхүүн нь юм

Эхний гурвалжин, "гол диагональтай перпендикуляр: элементүүдийн бүтээгдэхүүн нь

Хоёрдахь гурвалжин, "гол диагональтай перпендикуляр: элементүүдийн бүтээгдэхүүн нь

Бид гурван тоог нэмнэ:

"Хасах" тэмдэгтэй хамт ирдэг нэр томъёо

Энэ бол хажуугийн диагональ: элементүүдийн бүтээгдэхүүн нь юм

Эхний гурвалжин, "хоёрдогч диагональтай перпендикуляр: элементүүдийн бүтээгдэхүүн нь

Хоёр дахь гурвалжин, "хоёрдогч диагональтай перпендикуляр: элементүүдийн бүтээгдэхүүн нь

Бид гурван тоог нэмнэ:

Үлдсэн зүйл бол нэмэх нөхцлийн нийлбэрээс хасах нөхцлийн нийлбэрийг хасах явдал юм.

Энэ замаар,

Таны харж байгаагаар гуравдахь эрэмбийн тодорхойлогчдыг тооцоолоход ямар ч төвөгтэй, ер бусын зүйл байдаггүй. Гурвалжингийн талаар санаж, зөвшөөрөхгүй байх нь чухал юм арифметик алдаа. Одоо өөрийгөө тооцоолж үзээрэй:

Бид шалгаж байна:

1. Үндсэн диагональтай перпендикуляр эхний гурвалжин:
2. Үндсэн диагональтай перпендикуляр хоёр дахь гурвалжин:
3. Нэмэх нөхцлийн нийлбэр:
4. Хажуугийн диагональтай перпендикуляр эхний гурвалжин:
5. Хажуугийн диагональтай перпендикуляр хоёр дахь гурвалжин:
6. Хасахтай нөхцлийн нийлбэр:
7. Нэмэх нөхцлүүдийн нийлбэрээс хасах нөхцлийн нийлбэр:

Энд танд хэд хэдэн тодорхойлогч хүчин зүйл байна, тэдгээрийн утгыг өөрөө тооцоолж, хариулттай харьцуулна уу.

Хариултууд:

За, бүх зүйл тохирсон уу? Гайхалтай, тэгвэл та цаашаа явж болно! Хэрэв бэрхшээл тулгарвал миний зөвлөгөө бол: Интернет дээр тодорхойлогчийг онлайнаар тооцоолох олон тооны програмууд байдаг. Танд хэрэгтэй зүйл бол өөрийн тодорхойлогчийг гаргаж, өөрөө тооцоолж, дараа нь програмын тооцоолсон зүйлтэй харьцуулах явдал юм. Үр дүн нь таарч эхлэх хүртэл гэх мэт. Энэ мөч удахгүй ирэхгүй гэдэгт би итгэлтэй байна!

Одоо өгөгдсөн гурван цэгийг дайран өнгөрөх онгоцны тэгшитгэлийн талаар ярихдаа миний бичсэн тодорхойлогч руу буцъя.

Таны хийх ёстой зүйл бол түүний утгыг шууд (гурвалжингийн аргыг ашиглан) тооцоолж, үр дүнг тэгтэй тэнцүү болгох явдал юм. Мэдээжийн хэрэг, тэдгээр нь хувьсагч тул та тэдгээрээс хамаарах зарим илэрхийлэлийг авах болно. Энэ илэрхийлэл нь нэг шулуун дээр оршдоггүй гурван өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх онгоцны тэгшитгэл болно!

Үүнийг энгийн жишээгээр тайлбарлая:

1. Цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг байгуул

Бид эдгээр гурван цэгийн тодорхойлогчийг бүтээдэг.

Хялбарчлах:

Одоо бид гурвалжны дүрмийн дагуу шууд тооцоолно.

\[(\left| (\begin(массив)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\төгсгөл(массив)) \ баруун| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Тиймээс цэгүүдийг дайран өнгөрөх онгоцны тэгшитгэл нь:

Одоо нэг асуудлыг өөрөө шийдэж үзээрэй, дараа нь бид үүнийг хэлэлцэх болно:

2. Цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэлийг ол

За, одоо шийдлийн талаар ярилцъя:

Бид тодорхойлогч болгодог:

Мөн түүний утгыг тооцоолох:

Дараа нь онгоцны тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Эсвэл бууруулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

Одоо өөрийгөө хянах хоёр даалгавар:

1. Гурван цэгээр дамжин өнгөрөх онгоцны тэгшитгэлийг байгуул.

Хариултууд:

Бүх зүйл таарч байсан уу? Дахин хэлэхэд, хэрэв тодорхой бэрхшээл тулгарвал миний зөвлөгөө бол толгойноосоо гурван оноо ав (нэг шулуун шугам дээр хэвтэхгүй байх магадлал өндөр), тэдэн дээр онгоц барь. Тэгээд өөрийгөө онлайнаар шалгаарай. Жишээлбэл, сайт дээр:

Гэсэн хэдий ч тодорхойлогчдын тусламжтайгаар бид зөвхөн хавтгайн тэгшитгэлийг бүтээх болно. Векторуудын хувьд зөвхөн цэгийн үржвэр тодорхойлогддоггүй гэдгийг би та нарт хэлснийг санаарай. Мөн вектор нь бас бий холимог бүтээгдэхүүн. Хэрэв хоёр векторын скаляр үржвэр нь тоо байх юм бол хоёр векторын вектор үржвэр нь вектор байх бөгөөд энэ вектор нь өгөгдсөн векторуудад перпендикуляр байх болно.

Мөн түүний модуль байх болно талбайтай тэнцүүвекторууд дээр баригдсан параллелограмм ба. Нэг цэгээс шугам хүртэлх зайг тооцоолохын тулд бидэнд энэ вектор хэрэгтэй болно. Векторуудын хөндлөн үржвэрийг хэрхэн тооцоолох вэ, тэдгээрийн координатууд өгөгдсөн бол? Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогч дахин бидэнд туслахаар ирэв. Гэсэн хэдий ч, би хөндлөн үржвэрийг тооцоолох алгоритм руу шилжихээсээ өмнө би уянгын жижиг ухралт хийх ёстой.

Энэ зөрүү нь суурь векторуудад хамаатай.

Тэдгээрийг схемийн дагуу зурагт үзүүлэв:

Тэднийг яагаад үндсэн гэж нэрлэдэг гэж та бодож байна вэ? Баримт нь:

Эсвэл зураг дээр:

Энэ томъёоны хүчин төгөлдөр байдал нь ойлгомжтой, учир нь:

вектор бүтээгдэхүүн

Одоо би хөндлөн бүтээгдэхүүнийг танилцуулж эхэлж болно:

Хоёр векторын вектор үржвэр нь дараах дүрмийн дагуу тооцсон вектор юм.

Одоо хөндлөн үржвэрийг тооцоолох зарим жишээг өгье.

Жишээ 1: Векторуудын хөндлөн үржвэрийг ол:

Шийдэл: Би тодорхойлогчийг гаргаж байна:

Тэгээд би үүнийг тооцоолно:

Одоо би суурь векторуудыг бичихээс эхлээд ердийн вектор тэмдэглэгээ рүү буцах болно.

Энэ замаар:

Одоо оролдоод үз.

Бэлэн үү? Бид шалгаж байна:

Уламжлал ёсоор хоёр хянах даалгавар:

1. Дараах векторуудын хөндлөн үржвэрийг ол.
2. Дараах векторуудын хөндлөн үржвэрийг ол.

Хариултууд:

Гурван векторын холимог бүтээгдэхүүн

Надад хамгийн сүүлд хэрэгтэй барилга бол гурван векторын холимог бүтээгдэхүүн юм. Энэ нь скаляр шиг тоо юм. Үүнийг тооцоолох хоёр арга бий. - тодорхойлогчоор, - холимог бүтээгдэхүүнээр.

Тухайлбал, бидэнд гурван вектор байна гэж бодъё:

Дараа нь гурван векторын холимог үржвэрийг дараах байдлаар тооцоолж болно.

1. - өөрөөр хэлбэл холимог үржвэр нь векторын скаляр үржвэр ба бусад хоёр векторын вектор үржвэр юм.

Жишээлбэл, гурван векторын холимог үржвэр нь:

Үүнийг вектор бүтээгдэхүүн ашиглан өөрөө тооцоолж, үр дүн нь таарч байгаа эсэхийг шалгаарай!

Дахин хэлэхэд - бие даасан шийдлийн хоёр жишээ:

Хариултууд:

Координатын системийн сонголт

За, одоо бидэнд бүгд байна чухал суурьгеометрийн стереометрийн нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэх мэдлэг. Гэсэн хэдий ч, жишээнүүд болон тэдгээрийг шийдвэрлэх алгоритм руу шууд орохын өмнө дараахь асуултанд анхаарлаа хандуулах нь ашигтай байх болно гэж би бодож байна: яг яаж тодорхой дүрсийн координатын системийг сонгох.Эцсийн эцэст энэ бол сонголт юм харьцангуй байрлалСансар огторгуй дахь координатын систем, тоо нь эцсийн дүндээ тооцоолол хэр төвөгтэй болохыг тодорхойлох болно.

Энэ хэсэгт бид дараах хэлбэрүүдийг авч үзэж байгааг танд сануулж байна.

1. куб хэлбэртэй
2. Шулуун призм (гурвалжин, зургаан өнцөгт ...)
3. Пирамид (гурвалжин, дөрвөлжин)
4. Тетраэдр (гурвалжин пирамидтай ижил)

Кубоид эсвэл шоо хэлбэрийн хувьд би дараахь бүтцийг санал болгож байна.

Өөрөөр хэлбэл, би дүрсийг "буланд" байрлуулна. Шоо болон параллелепипед нь маш их юм сайн үзүүлэлтүүд. Тэдний хувьд та түүний оройн координатыг үргэлж хялбархан олох боломжтой. Жишээлбэл, хэрэв (зураг дээр үзүүлсэн шиг)

Дараа нь оройн координатууд нь:

Мэдээжийн хэрэг, та үүнийг санах шаардлагагүй, гэхдээ шоо эсвэл тэгш өнцөгт хайрцгийг хэрхэн байрлуулах нь зүйтэй гэдгийг санах нь зүйтэй.

шулуун призм

Призм бол илүү хортой дүрс юм. Та үүнийг орон зайд янз бүрийн аргаар зохион байгуулж болно. Гэсэн хэдий ч миний бодлоор дараах сонголтууд хамгийн тохиромжтой.

Гурвалжин призм:

Өөрөөр хэлбэл, бид гурвалжны нэг талыг бүхэлд нь тэнхлэгт байрлуулж, нэг орой нь гарал үүсэлтэй давхцдаг.

Зургаан өнцөгт призм:

Өөрөөр хэлбэл, оройн аль нэг нь гарал үүсэлтэй давхцаж, нэг тал нь тэнхлэг дээр байрладаг.

Дөрвөн ба зургаан өнцөгт пирамид:

Шоотой төстэй нөхцөл байдал: бид суурийн хоёр талыг координатын тэнхлэгүүдтэй нэгтгэж, оройн аль нэгийг нь гарал үүсэлтэй хослуулдаг. Цорын ганц жижиг бэрхшээл бол цэгийн координатыг тооцоолох явдал юм.

Зургаан өнцөгт пирамидын хувьд - зургаан өнцөгт призмтэй адил. Гол ажил бол оройн координатыг олох явдал юм.

Тетраэдр (гурвалжин пирамид)

Нөхцөл байдал нь гурвалжин призмийн хувьд миний өгсөнтэй маш төстэй юм: нэг орой нь гарал үүсэлтэй давхцаж, нэг тал нь координатын тэнхлэг дээр байрладаг.

За, одоо та бид хоёр асуудлыг шийдэж эхлэхэд ойрхон байна. Өгүүллийн эхэнд миний хэлсэн зүйлээс та дараах дүгнэлтийг хийж болно: ихэнх C2 бодлогууд нь 2 ангилалд хуваагддаг: өнцгийн бодлого, зайны бодлого. Эхлээд бид өнцгийг олох асуудлыг авч үзэх болно. Тэд эргээд дараахь ангилалд хуваагддаг (төвөгтэй байдал нэмэгдэх тусам):

Булангийн буланг олоход тулгардаг бэрхшээлүүд

1. Хоёр шулууны хоорондох өнцгийг олох
2. Хоёр хавтгайн хоорондох өнцгийг олох

Эдгээр асуудлуудыг дараалан авч үзье: хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг олох замаар эхэлье. Алив, санаж байна уу, та бид хоёр өмнө нь ижил төстэй жишээг шийдэж байсан уу? Та санаж байна, учир нь бидэнд ижил төстэй зүйл байсан ... Бид хоёр векторын хоорондох өнцгийг хайж байсан. Хэрэв хоёр вектор өгөгдсөн бол: ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг хамаарлаас олно гэж би танд сануулж байна.

Одоо бид хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг олох зорилготой байна. "Хавтгай зураг" руу орцгооё:

Хоёр шугам огтлолцоход бид хэдэн өнцөгтэй болох вэ? Аль хэдийн зүйлүүд. Үнэн бол тэдгээрийн зөвхөн хоёр нь тэнцүү биш, бусад нь босоо байрлалтай байдаг (тиймээс тэдэнтэй давхцдаг). Тэгэхээр бид хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг ямар өнцгөөр тооцох ёстой вэ: эсвэл? Энд дүрэм нь: хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөг нь үргэлж градусаас ихгүй байна. Өөрөөр хэлбэл, хоёр өнцгөөс бид хамгийн бага хэмжигдэхүүнтэй өнцгийг сонгох болно. Өөрөөр хэлбэл, энэ зураг дээр хоёр шугамын хоорондох өнцөг тэнцүү байна. Хоёр өнцгийн хамгийн жижигийг нь олох гэж төвөг удахгүйн тулд зальтай математикчид модулийг ашиглахыг санал болгов. Тиймээс хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг дараахь томъёогоор тодорхойлно.

Анхааралтай уншигчийн хувьд танд өнцгийн косинусыг тооцоолоход шаардлагатай эдгээр тоог хаанаас олж авах вэ гэсэн асуулт гарч ирэх ёстой байв. Хариулт: Бид тэдгээрийг шугамын чиглэлийн векторуудаас авах болно! Ийнхүү хоёр шугамын хоорондох өнцгийг олох алгоритм дараах байдалтай байна.

1. Бид 1-р томъёог ашигладаг.

Эсвэл илүү дэлгэрэнгүй:

1. Бид эхний шулуун шугамын чиглэлийн векторын координатыг хайж байна
2. Бид хоёр дахь шугамын чиглэлийн векторын координатыг хайж байна
3. Тэдний скаляр үржвэрийн модулийг тооцоол
4. Бид эхний векторын уртыг хайж байна
5. Бид хоёр дахь векторын уртыг хайж байна
6. 4-р цэгийн үр дүнг 5-р цэгийн үр дүнгээр үржүүлнэ
7. Бид 3-р цэгийн үр дүнг 6-р цэгийн үр дүнд хуваана. Шугамын хоорондох өнцгийн косинусыг бид авна.
8. Хэрэв энэ үр дүн нь өнцгийг яг нарийн тооцоолох боломжийг бидэнд олгодог бол бид үүнийг хайж байна
9. Үгүй бол бид арккосиноор бичдэг

За, одоо даалгавар руу шилжих цаг боллоо: Би эхний хоёрын шийдлийг нарийвчлан харуулах болно, би өөр нэг шийдлийг танилцуулах болно. хураангуй, мөн сүүлийн хоёр асуудалд би зөвхөн хариулт өгөх болно, та тэдгээрийн бүх тооцоог өөрөө хийх ёстой.

Даалгаварууд:

1. Баруун тэт-ра-эд-рэ-д та-ти-ти-ра-эд-ра ба ме-ди-а-ной бо-ко-хоу талын хоорондох өнцгийг ол-ди-тэ.

2. Баруун урагш зургаан-coal-pi-ra-mi-de-д зуун-ро-на-ос-но-ва-ния ямар нэгэн байдлаар тэнцүү, хажуугийн хавирга нь тэнцүү, шулуун хоорондын өнцгийг ол. шугам ба.

3. Баруун гарын дөрвөн чи-реч-коал-ной пи-ра-ми-ды бүх ирмэгийн урт нь хоорондоо тэнцүү байна. Шулуун шугамын хоорондох өнцгийг ол, хэрэв from-re-zok - you-so- that өгөгдсөн пи-ра-ми-ди, цэг нь түүний бо-ко- th хавирга дээр се-ре-ди-болно.

4. Шооны ирмэг дээр-ме-че-ээс цэг хүртэл шулуун ба шулуунуудын хоорондох өнцгийг олох-ди-te.

5. Цэг - шоо Nai-di-te ирмэг дээр se-re-di-тэг шулуун шугам болон хоорондын өнцөг.

Би даалгавруудыг ийм дарааллаар байрлуулсан нь санамсаргүй хэрэг биш юм. Та координатын аргыг ашиглаж эхлэх цаг болоогүй байгаа ч би өөрөө хамгийн "асуудалтай" тоон дээр дүн шинжилгээ хийж, хамгийн энгийн шоотой ажиллахыг танд үлдээх болно! Аажмаар та бүх тоонуудтай хэрхэн ажиллахаа сурах хэрэгтэй, би сэдвээс сэдэв рүү даалгаврын нарийн төвөгтэй байдлыг нэмэгдүүлэх болно.

Асуудлыг шийдэж эхэлцгээе:

1. Миний түрүүн санал болгосны дагуу тетраэдр зураад координатын системд байрлуул. Тетраэдр нь тогтмол байдаг тул түүний бүх нүүр (суурийг оруулаад) нь ердийн гурвалжин юм. Бидэнд хажуугийн уртыг өгөөгүй тул би үүнийг тэнцүү авч болно. Энэ өнцөг нь манай тетраэдр хэр их "сунах" эсэхээс огт хамаарахгүй гэдгийг та ойлгож байна гэж бодож байна. Би мөн тетраэдр дэх өндөр ба медианыг зурах болно. Замдаа би түүний суурийг зурах болно (энэ нь бидэнд бас хэрэг болно).

Би хоёрын хоорондох өнцгийг олох хэрэгтэй байна. Бид юу мэдэх вэ? Бид зөвхөн цэгийн координатыг л мэднэ. Тиймээс бид цэгүүдийн илүү олон координатыг олох хэрэгтэй. Одоо бид бодож байна: цэг нь гурвалжны өндрийн (эсвэл биссектриса эсвэл медиануудын) огтлолцох цэг юм. Цэг бол өндөр цэг юм. Цэг нь сегментийн дунд цэг юм. Дараа нь бид эцэст нь олох хэрэгтэй: цэгүүдийн координат: .

Хамгийн энгийнээс эхэлье: цэгийн координат. Зургийг харна уу: Цэгийн хэрэглээ нь тэгтэй тэнцүү байх нь тодорхой байна (цэг нь хавтгай дээр байрладаг). Ординат нь тэнцүү (учир нь энэ нь медиан юм). Түүний абсциссыг олох нь илүү хэцүү байдаг. Гэсэн хэдий ч үүнийг Пифагорын теоремын үндсэн дээр хялбархан хийж болно: Гурвалжинг авч үзье. Түүний гипотенуз нь тэнцүү ба нэг хөл нь тэнцүү Дараа нь:

Эцэст нь бидэнд байна:

Одоо цэгийн координатыг олъё. Түүний хэрэглүүр дахин тэгтэй тэнцүү байх нь тодорхой бөгөөд ординат нь цэгийнхтэй ижил байна, өөрөөр хэлбэл. Түүний абсциссыг олцгооё. Хэрэв хүн үүнийг санаж байвал энэ нь маш энгийн зүйл юм тэгш талт гурвалжны өндрийг огтлолцох цэгийн харьцаагаар хуваанадээрээс нь тоолж байна. Учир нь:, тэгвэл сегментийн урттай тэнцүү цэгийн хүссэн абсцисса нь:-тэй тэнцүү байна. Тиймээс цэгийн координатууд нь:

Цэгийн координатыг олъё. Түүний абсцисса ба ординат нь цэгийн абсцисса ба ординаттай давхцаж байгаа нь тодорхой байна. Мөн applique нь сегментийн урттай тэнцүү байна. - энэ бол гурвалжны хөлүүдийн нэг юм. Гурвалжны гипотенуз нь сегмент - хөл юм. Үүнийг миний тодоор тэмдэглэсэн шалтгааныг хайж байна:

Цэг нь сегментийн дунд цэг юм. Дараа нь бид сегментийн дунд хэсгийн координатын томъёог санах хэрэгтэй.

Ингээд л бид чиглэлийн векторуудын координатыг хайж болно.

За, бүх зүйл бэлэн боллоо: бид бүх өгөгдлийг томъёонд орлуулна.

Энэ замаар,

Хариулт:

Та ийм "аймшигтай" хариултаас айх ёсгүй: C2 асуудлын хувьд энэ нь нийтлэг практик юм. Энэ хэсэгт байгаа "сайхан" хариултыг хараад гайхах нь дээр. Түүнчлэн, таны тэмдэглэснээр би Пифагорын теорем ба тэгш талт гурвалжны өндрийн шинж чанараас өөр зүйлд хандаагүй. Өөрөөр хэлбэл, стереометрийн асуудлыг шийдэхийн тулд би хамгийн бага стереометрийг ашигласан. Үүний ашиг нь нэлээд төвөгтэй тооцооллоор хэсэгчлэн "унтрасан". Гэхдээ тэд маш алгоритмтай!

2. Ердийн зургаан өнцөгт пирамидыг координатын систем болон түүний суурийн дагуу зур.

Бид ба шугамын хоорондох өнцгийг олох хэрэгтэй. Тиймээс бидний даалгавар нь цэгүүдийн координатыг олоход багассан: . Бид жижиг зургаас сүүлийн гурвын координатыг олох бөгөөд цэгийн координатаар оройн координатыг олох болно. Маш их ажил байна, гэхдээ эхлэх хэрэгтэй!

a) Координат: түүний хэрэглээний болон ординат нь тэг байх нь тодорхой байна. Абсциссыг олъё. Үүнийг хийхийн тулд тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье. Харамсалтай нь бид зөвхөн гипотенузыг л мэддэг бөгөөд энэ нь тэнцүү юм. Бид хөлөө олохыг хичээх болно (учир нь хөлний урт нь хоёр дахин их байх нь бидэнд цэгийн абсцисса өгөх нь тодорхой юм). Бид түүнийг яаж хайх вэ? Пирамидын ёроолд ямар дүрс байгааг санацгаая? Энэ бол ердийн зургаан өнцөгт юм. Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Энэ нь бүх талууд ба бүх өнцөг нь тэнцүү гэсэн үг юм. Бид нэг ийм булан олох хэрэгтэй. Ямар нэгэн санаа байна уу? Маш олон санаа байдаг, гэхдээ томъёо байдаг:

Энгийн n өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр нь .

Тиймээс ердийн зургаан өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр нь градус юм. Дараа нь өнцөг бүр нь тэнцүү байна:

Зургийг дахин харцгаая. Сегмент нь өнцгийн биссектрис гэдэг нь тодорхой байна. Дараа нь өнцөг нь градус байна. Дараа нь:

Тэгээд хаана.

Тиймээс энэ нь координаттай байдаг

б) Одоо бид цэгийн координатыг хялбархан олох боломжтой: .

в) Цэгийн координатыг ол. Түүний абсцисса нь сегментийн урттай давхцаж байгаа тул энэ нь тэнцүү байна. Ординатыг олох нь бас тийм ч хэцүү биш: хэрэв бид цэгүүдийг холбож, шугамын огтлолцлын цэгийг тэмдэглэвэл, үүнийг хэлнэ үү. (энэ нь өөрөө энгийн барилгын ажил). Тэгвэл В цэгийн ординат нь хэрчмүүдийн уртын нийлбэртэй тэнцүү байна. Гурвалжинг дахин харцгаая. Дараа нь

Тэр цагаас хойш цэг нь координаттай болсон

d) Одоо цэгийн координатыг ол. Тэгш өнцөгтийг авч үзээд цэгийн координатууд нь:

д) Оройн координатыг олоход л үлддэг. Түүний абсцисса ба ординат нь цэгийн абсцисса ба ординаттай давхцаж байгаа нь тодорхой байна. Апп олъё. Түүнээс хойш. Тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье. Асуудлын нөхцөлөөр, хажуугийн ирмэг. Энэ бол миний гурвалжны гипотенуз юм. Дараа нь пирамидын өндөр нь хөл юм.

Дараа нь цэг нь координаттай байна:

Ингээд л надад сонирхолтой бүх цэгийн координатууд байгаа. Би шулуун шугамын чиглүүлэгч векторуудын координатыг хайж байна.

Бид эдгээр векторуудын хоорондох өнцгийг хайж байна.

Хариулт:

Дахин хэлэхэд би энэ асуудлыг шийдэхдээ энгийн n өнцөгтийн өнцгийн нийлбэрийн томъёо, мөн тэгш өнцөгт гурвалжны косинус, синусын тодорхойлолтоос бусад нарийн төвөгтэй арга хэрэглэсэнгүй.

3. Пирамидын ирмэгийн уртыг бидэнд дахин өгөөгүй тул би тэдгээрийг нэгтэй тэнцүү гэж үзнэ. Тиймээс, зөвхөн хажуугийн ирмэгүүд биш, БҮХ ирмэгүүд нь хоорондоо тэнцүү тул пирамидын ёроолд бид хоёр дөрвөлжин, хажуугийн нүүрнүүд нь ердийн гурвалжин хэлбэртэй байна. Асуудлын текстэд өгөгдсөн бүх өгөгдлийг тэмдэглэж, ийм пирамид, түүний суурийг хавтгай дээр дүрсэлж үзье.

Бид хоёрын хоорондох өнцгийг хайж байна. Би цэгүүдийн координатыг хайж байхдаа маш товч тооцоо хийх болно. Та тэдгээрийг "шифрлэх" хэрэгтэй болно:

б) - сегментийн дунд хэсэг. Түүний координатууд:

в) Би гурвалжин дахь Пифагорын теоремыг ашиглан сегментийн уртыг олох болно. Би гурвалжин дахь Пифагорын теоремоор олох болно.

Координат:

d) - сегментийн дунд хэсэг. Түүний координатууд нь

e) Вектор координат

f) Вектор координат

g) Өнцөг хайх:

Шоо бол хамгийн энгийн дүрс юм. Та үүнийг өөрөө шийдэж чадна гэдэгт итгэлтэй байна. 4 ба 5-р асуудлын хариултууд дараах байдалтай байна.

Шугаман ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг олох

За, энгийн оньсого хийх цаг дууслаа! Одоо жишээнүүд нь бүр ч хэцүү байх болно. Шугаман ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг олохын тулд бид дараах байдлаар ажиллана.

1. Гурван цэгийг ашиглан бид онгоцны тэгшитгэлийг байгуулна
   ,
   Гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийг ашиглан.
2. Хоёр цэгээр бид шулуун шугамын чиглүүлэх векторын координатыг хайж байна.
3. Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг тооцоолохын тулд бид дараах томъёог ашиглана.

Таны харж байгаагаар энэ томьёо нь бидний хоёр шулууны өнцгийг олоход ашигласан томъёотой маш төстэй юм. Баруун талын бүтэц нь яг адилхан бөгөөд зүүн талд бид өмнөх шигээ косинус биш харин синусыг хайж байна. За, нэг муухай үйлдэл нэмсэн - онгоцны тэгшитгэлийг хайх.

Тавиулахгүй байцгаая шийдвэрлэх жишээ:

1. Ос-но-ва-ни-эм шулуун-миний шагнал-бид-ла-эт-сиа тэнцүү-гэхдээ-ядуу-рен-ни гурвалжин-ник чи-тэр шагналтай-бид тэнцүү. Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг ол

2. Баруун Nai-di-te-ээс тэгш өнцөгт па-рал-ле-ле-пи-пе-дэ шулуун ба хавтгай хоорондын өнцөг.

3. Баруун гарын зургаан нүүрсний призмийн бүх ирмэгүүд тэнцүү байна. Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг ол.

4. Хавирганы баруун талаас Nai-di-te өнцгөөс os-but-va-ni-em бүхий баруун гурвалжин пи-ра-ми-дэ, os-ийн ob-ra-zo-van -ny хавтгай. -но-ва-ния ба шулуун-ми, хавирганы се-ре-ди-нагаар дамжин өнгөрөх ба

5. Дээд талтай баруун дөрвөн өнцөгт пи-ра-ми-дигийн бүх ирмэгийн урт нь хоорондоо тэнцүү байна. Хэрэв цэг нь pi-ra-mi-dy-ийн бо-ко-д-р ирмэг дээр se-re-di-болвол шулуун ба хавтгай хоорондын өнцгийг ол.

Дахин хэлэхэд би эхний хоёр асуудлыг нарийвчлан шийдвэрлэх болно, гурав дахь нь - товч бөгөөд сүүлийн хоёр асуудлыг бие даан шийдвэрлэхийг танд үлдээж байна. Үүнээс гадна, та аль хэдийн гурвалжин ба асуудлыг шийдэх хэрэгтэй болсон дөрвөлжин пирамидууд, гэхдээ призмтэй - хараахан биш.

Шийдэл:

1. Призм, түүнчлэн түүний суурийг зур. Үүнийг координатын системтэй нэгтгэж, асуудлын мэдэгдэлд өгөгдсөн бүх өгөгдлийг тэмдэглэе.

Пропорцийг дагаж мөрдөөгүйд хүлцэл өчье, гэхдээ асуудлыг шийдэхийн тулд энэ нь тийм ч чухал биш юм. Онгоц бол миний призмийн "арын хана" л юм. Ийм хавтгайн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна гэж таахад хангалттай.

Гэсэн хэдий ч үүнийг шууд харуулж болно:

Бид энэ хавтгайд дурын гурван цэгийг сонгоно: жишээлбэл, .

Хавтгайн тэгшитгэлийг хийцгээе.

Танд зориулсан дасгал: энэ тодорхойлогчийг өөрөө тооцоол. Та амжилтанд хүрсэн үү? Дараа нь онгоцны тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Эсвэл зүгээр л

Энэ замаар,

Жишээг шийдэхийн тулд шулуун шугамын чиглүүлэх векторын координатыг олох хэрэгтэй. Уг цэг нь эх цэгтэй давхцаж байгаа тул векторын координатууд нь тухайн цэгийн координатуудтай зүгээр л давхцах болно.Үүний тулд эхлээд цэгийн координатыг олно.

Үүнийг хийхийн тулд гурвалжинг анхаарч үзээрэй. Дээрээс нь өндрийг (энэ нь бас медиан ба биссектрис) зуръя. Тиймээс цэгийн ординат тэнцүү байна. Энэ цэгийн абсциссыг олохын тулд сегментийн уртыг тооцоолох хэрэгтэй. Пифагорын теоремоор бид:

Дараа нь цэг нь координаттай байна:

Цэг нь цэг дээрх "босгосон" юм:

Дараа нь векторын координатууд:

Хариулт:

Таны харж байгаагаар ийм асуудлыг шийдвэрлэхэд хэцүү зүйл байхгүй. Үнэн хэрэгтээ, призм гэх мэт дүрсний "шулуун байдал" нь үйл явцыг арай илүү хялбаршуулдаг. Одоо дараагийн жишээ рүү шилжье:

2. Бид параллелепипед зурж, дотор нь хавтгай ба шулуун шугамыг зурж, мөн түүний доод суурийг тусад нь зурна.

Эхлээд бид хавтгайн тэгшитгэлийг олно: Түүнд байрлах гурван цэгийн координатууд:

(эхний хоёр координатыг тодорхой аргаар олж авсан бөгөөд та хамгийн сүүлийн координатыг зурган дээрээс хялбархан олох боломжтой). Дараа нь бид онгоцны тэгшитгэлийг байгуулна.

Бид тооцоолно:

Бид чиглэлийн векторын координатыг хайж байна: Түүний координат нь тухайн цэгийн координаттай давхцаж байгаа нь тодорхой байна, тийм үү? Координатыг хэрхэн олох вэ? Эдгээр нь хэрэглээний тэнхлэгийн дагуу нэгээр өргөгдсөн цэгийн координатууд юм! . Дараа нь бид хүссэн өнцгийг хайж байна:

Хариулт:

3. Ердийн зургаан өнцөгт пирамид зурж, дараа нь хавтгай ба шулуун шугамыг зур.

Энд онгоц зурах нь бүр асуудалтай, энэ асуудлыг шийдэх нь битгий хэл координатын арга нь хамаагүй! Үүний гол давуу тал нь олон талт байдал юм!

Онгоц гурван цэгийг дайран өнгөрдөг: . Бид тэдгээрийн координатыг хайж байна:

нэг). Сүүлийн хоёр цэгийн координатыг өөрөө харуул. Үүний тулд та зургаан өнцөгт пирамидтай асуудлыг шийдэх хэрэгтэй болно!

2) Бид онгоцны тэгшитгэлийг байгуулна:

Бид векторын координатыг хайж байна: . (Гурвалжин пирамидын асуудлыг дахин үзнэ үү!)

3) Бид өнцгийг хайж байна:

Хариулт:

Таны харж байгаагаар эдгээр ажилд ер бусын хэцүү зүйл байдаггүй. Та зүгээр л үндэстэй маш болгоомжтой байх хэрэгтэй. Сүүлийн хоёр асуудалд би зөвхөн хариулт өгөх болно:

Таны харж байгаагаар асуудлыг шийдэх техник нь хаа сайгүй ижил байдаг: гол ажил бол оройн координатыг олж, тэдгээрийг зарим томъёонд орлуулах явдал юм. Өнцгийг тооцоолох өөр нэг ангиллын асуудлыг авч үзэх нь бидэнд хэвээр байна, тухайлбал:

Хоёр хавтгай хоорондын өнцгийг тооцоолох

Шийдлийн алгоритм нь дараах байдалтай байна.

1. Гурван цэгийн хувьд бид эхний хавтгайн тэгшитгэлийг хайж байна.
2. Бусад гурван цэгийн хувьд бид хоёр дахь хавтгайн тэгшитгэлийг хайж байна.
3. Бид томъёог хэрэглэнэ:

Таны харж байгаагаар томьёо нь өмнөх хоёртой маш төстэй бөгөөд тэдгээрийн тусламжтайгаар бид шулуун шугам, шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг хайж байсан. Тиймээс та үүнийг санахгүй байх болно тусгай ажил. Асуудалд шууд орцгооё:

1. Зөв гурвалжин призмийн үндсэн дээр зуун-ро- тэнцүү, хажуугийн нүүрний диа-го-нал тэнцүү байна. Шагналын суурийн хавтгай ба хавтгай хоорондын өнцгийг ол.

2. Баруун дөрвөн чи-re-coal-noy pi-ra-mi-de-д хэн нэгний бүх ирмэгүүд тэнцүү, дайран өнгөрөх онгоц ба Ко-Сту онгоцны хоорондох өнцгийн синусыг ол. цэг per-pen-di-ku-lyar-гэхдээ шулуун-ми.

3. Энгийн дөрвөн нүүрсний призмд os-no-va-nia-ийн талууд тэнцүү, хажуугийн ирмэгүүд нь тэнцүү байна. Ирмэг дээр нь-me-che-т цэг хүртэл тийм. ба хавтгай хоорондын өнцгийг ол

4. Баруун дөрвөн өнцөгт призмд суурийн талууд тэнцүү, хажуугийн ирмэгүүд нь тэнцүү байна. Ирмэгээс-me-che-ээс цэг хүртэл тийм хавтгай хоорондын өнцгийг олох ба.

5. Шоо дотор ба хавтгайнуудын хоорондох өнцгийн ко-си-нусыг ол

Асуудлын шийдэл:

1. Би ердийн (суурь дээр - тэгш талт гурвалжин) гурвалжин призмийг зурж, үүн дээр асуудлын нөхцөлд гарч ирэх хавтгайг тэмдэглэв.

Бид хоёр хавтгайн тэгшитгэлийг олох хэрэгтэй: Үндсэн тэгшитгэлийг маш энгийнээр олж авсан: та гурван цэгт харгалзах тодорхойлогчийг хийж болно, гэхдээ би тэгшитгэлийг шууд хийх болно.

Одоо тэгшитгэлийг олцгооё Цэг нь координаттай Цэг - Гурвалжны дундаж ба өндөр учир гурвалжин дахь Пифагорын теоремоор олоход хялбар байдаг. Дараа нь тухайн цэг нь координаттай байна: Цэгийн хэрэглүүрийг ол. Ингэхийн тулд тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье

Дараа нь бид дараах координатуудыг авна: Бид онгоцны тэгшитгэлийг байгуулна.

Бид хавтгай хоорондын өнцгийг тооцоолно.

Хариулт:

2. Зураг зурах:

Хамгийн хэцүү зүйл бол перпендикуляр цэгээр дамжин өнгөрөх ямар нууцлаг онгоц болохыг ойлгох явдал юм. За, гол нь юу вэ? Хамгийн гол нь анхаарал болгоомжтой байх явдал юм! Үнэн хэрэгтээ шугам нь перпендикуляр юм. Шугам нь мөн перпендикуляр байна. Дараа нь эдгээр хоёр шулууныг дайран өнгөрч буй онгоц нь шулуунтай перпендикуляр байх бөгөөд дашрамд хэлэхэд, цэгийг дайран өнгөрнө. Энэ онгоц мөн пирамидын оройгоор дамжин өнгөрдөг. Дараа нь хүссэн онгоц - Мөн онгоцыг бидэнд аль хэдийн өгсөн. Бид цэгүүдийн координатыг хайж байна.

Бид цэгээр дамжин тухайн цэгийн координатыг олно. Цэгийн координатууд дараах байдалтай байна гэдгийг жижиг зургаас амархан гаргаж болно: Пирамидын оройн координатыг олохын тулд одоо юу үлдэх вэ? Түүний өндрийг тооцоолох шаардлагатай хэвээр байна. Үүнийг Пифагорын ижил теорем ашиглан хийдэг: эхлээд үүнийг (суурь дээр дөрвөлжин үүсгэдэг жижиг гурвалжингаас) нотлох хэрэгтэй. Нөхцөлөөр бид:

Одоо бүх зүйл бэлэн боллоо: оройн координатууд:

Бид онгоцны тэгшитгэлийг байгуулна:

Та аль хэдийн тодорхойлогчийг тооцоолох мэргэжилтэн болсон. Та амархан хүлээн авах болно:

Эсвэл өөрөөр (хэрэв бид хоёр хэсгийг хоёрын үндэсээр үржүүлбэл)

Одоо онгоцны тэгшитгэлийг олъё:

(Та бид онгоцны тэгшитгэлийг хэрхэн олж авахаа мартаагүй биз дээ? Хэрэв та энэ хасах нь хаанаас ирснийг ойлгохгүй байгаа бол онгоцны тэгшитгэлийн тодорхойлолт руу буцна уу! Энэ нь үргэлж л миний онгоц гарал үүслийнх байсан!)

Бид тодорхойлогчийг тооцоолно:

(Та хавтгайн тэгшитгэл нь цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлтэй давхцаж байгааг анзаарч магадгүй ба! Яагаад гэдгийг бодоорой!)

Одоо бид өнцгийг тооцоолно:

Бид синусыг олох хэрэгтэй:

Хариулт:

3. Нэг төвөгтэй асуулт: тэгш өнцөгт призм гэж юу вэ, та юу гэж бодож байна вэ? Энэ бол зүгээр л таны мэддэг параллелепипед юм! Шууд зур! Та суурийг тусад нь дүрсэлж чадахгүй, эндээс бага зэрэг ашиг тустай:

Бидний өмнө дурдсанчлан онгоцыг тэгшитгэл хэлбэрээр бичсэн болно.

Одоо бид онгоц хийж байна

Бид нэн даруй онгоцны тэгшитгэлийг байгуулна.

Өнцөг хайж байна

Одоо сүүлийн хоёр асуудлын хариултууд:

За, одоо завсарлага авах цаг нь болсон, учир нь та бид хоёр гайхалтай бөгөөд маш сайн ажил хийсэн!

Координат ба векторууд. Ахисан түвшин

Энэ нийтлэлд бид тантай координатын аргыг ашиглан шийдэж болох өөр нэг төрлийн бодлогуудыг авч үзэх болно: зайны бодлого. Тухайлбал, бид дараах тохиолдлуудыг авч үзэх болно.

1. Налуу шугамын хоорондох зайг тооцоолох.

Өгөгдсөн даалгавруудын нарийн төвөгтэй байдал нэмэгдэхийн хэрээр би захиалсан. Хамгийн хялбар нь олох хавтгай хүртэлх зайг заанабөгөөд хамгийн хэцүү нь олох огтлолцох шугам хоорондын зай. Хэдийгээр мэдээжийн хэрэг боломжгүй зүйл гэж байдаггүй! Хойшлуулж болохгүй, нэн даруй эхний ангиллын асуудлыг авч үзье.

Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зайг тооцоолох

Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бидэнд юу хэрэгтэй вэ?

1. Цэгийн координат

Тиймээс, шаардлагатай бүх өгөгдлийг олж авмагц бид дараах томъёог хэрэглэнэ.

Миний сүүлчийн хэсэгт дүн шинжилгээ хийсэн өмнөх асуудлуудаас бид онгоцны тэгшитгэлийг хэрхэн яаж байгуулдгийг та аль хэдийн мэдэж байх ёстой. Шууд ажилдаа орцгооё. Схем нь дараах байдалтай байна: 1, 2 - Би танд шийдвэр гаргахад тусална, зарим талаараа 3, 4 - зөвхөн хариулт, та өөрөө шийдвэр гаргаж, харьцуулна. Эхэлсэн!

Даалгаварууд:

1. Шоо өгөгдсөн. Кубын ирмэгийн урт нь Се-ре-ди-нь-аас зүсэлтээс хавтгай хүртэлх зайг ол

2. Өгөгдсөн баруун-vil-naya four-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe ирмэг зуун-ro-on os-no-va-nia тэнцүү байна. Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зайг олох - ирмэг дээр - se-re-di-.

3. Ос-бут-ва-ни-эмтэй баруун гурвалжин пи-ра-ми-дэ, нөгөө ирмэг нь тэнцүү, нэг зуун-ро-он ос-но-вания тэнцүү байна. Оройноос хавтгай хүртэлх зайг ол.

4. Баруун гарын зургаан нүүрсний призмийн бүх ирмэгүүд тэнцүү байна. Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зайг ол.

Шийдэл:

1. Нэг ирмэгтэй шоо зурж, сегмент ба хавтгайг барьж, сегментийн дунд хэсгийг үсгээр тэмдэглэ.

.

Эхлээд энгийн зүйлээс эхэлье: цэгийн координатыг ол. Түүнээс хойш (сегментийн дунд хэсгийн координатыг санаарай!)

Одоо бид гурван цэг дээр онгоцны тэгшитгэлийг байгуулав

\[\зүүн| (\begin(массив)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(массив)) \баруун| = 0\]

Одоо би зайг хайж эхэлж болно:

2. Бид бүх өгөгдлийг тэмдэглэсэн зургаар дахин эхэлдэг!

Пирамидын хувьд түүний суурийг тусад нь зурах нь ашигтай байх болно.

Би тахианы сарвуу шиг зурсан нь ч биднийг энэ асуудлыг амархан шийдэхэд саад болохгүй!

Одоо цэгийн координатыг олоход хялбар боллоо

Цэгийн координатаас хойш

2. А цэгийн координатууд нь хэрчмийн дунд байдаг тул

Хавтгай дээрх хоёр цэгийн координатыг хялбархан олох боломжтой.Бид хавтгайн тэгшитгэлийг зохиож, хялбаршуулна.

\[\зүүн| (\left| (\begin(массив)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\төгсгөл(массив)) \баруун|) \баруун| = 0\]

Цэг нь координаттай тул зайг тооцоолно:

Хариулт (маш ховор!):

За ойлгов уу? Өмнөх хэсэгт тантай хамт авч үзсэн жишээнүүдийн адил энд байгаа бүх зүйл техникийн шинж чанартай байх шиг байна. Тиймээс хэрэв та тэр материалыг эзэмшсэн бол үлдсэн хоёр асуудлыг шийдэхэд танд хэцүү байх болно гэдэгт би итгэлтэй байна. Би танд зөвхөн хариултуудыг өгөх болно:

Шугамаас хавтгай хүртэлх зайг тооцоолох

Үнэндээ энд шинэ зүйл алга. Шугаман ба хавтгай хоёр бие биенээсээ харьцангуй хэрхэн байрлаж болох вэ? Тэдэнд бүх боломжууд бий: огтлолцох, эсвэл шулуун шугам нь хавтгайтай параллель байна. Өгөгдсөн шулуун огтлолцох шулуунаас хавтгай хүртэлх зай ямар байх ёстой гэж та бодож байна вэ? Ийм зай тэгтэй тэнцэх нь ойлгомжтой юм шиг надад санагдаж байна. Сонирхолгүй хэрэг.

Хоёр дахь тохиолдол нь илүү төвөгтэй юм: энд зай аль хэдийн тэг биш байна. Гэсэн хэдий ч шугам нь хавтгайтай параллель байх тул шугамын цэг бүр энэ хавтгайгаас ижил зайд байна.

Энэ замаар:

Энэ нь миний даалгаврыг өмнөх ажил болгон бууруулсан гэсэн үг юм: бид шулуун дээрх дурын цэгийн координатыг хайж, онгоцны тэгшитгэлийг хайж, цэгээс хавтгай хүртэлх зайг тооцоолж байна. Үнэндээ шалгалтын ийм даалгавар маш ховор байдаг. Би зөвхөн нэг асуудлыг олж чадсан бөгөөд үүн дэх өгөгдөл нь координатын арга нь тийм ч тохиромжтой биш байсан!

Одоо өөр, илүү чухал ангиллын асуудал руу шилжье:

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зайг тооцоолох

Бидэнд юу хэрэгтэй вэ?

1. Бидний зайг хайж буй цэгийн координатууд:

2. Шулуун дээр байрлах аливаа цэгийн координатууд

3. Шулуун шугамын чиглэлийн вектор координат

Бид ямар томъёог ашигладаг вэ?

Энэ бутархайн хуваагч нь танд ямар утгатай вэ, тиймээс тодорхой байх ёстой: энэ нь шулуун шугамын чиглүүлэх векторын урт юм. Энд маш төвөгтэй тоологч байна! Илэрхийлэл нь векторуудын вектор үржвэрийн модуль (урт) гэсэн үг бөгөөд вектор үржвэрийг хэрхэн тооцоолох талаар бид ажлын өмнөх хэсэгт судалсан. Мэдлэгээ сэргээ, энэ нь одоо бидэнд маш их хэрэг болно!

Тиймээс асуудлыг шийдвэрлэх алгоритм нь дараах байдалтай байна.

1. Бид зайг хайж буй цэгийн координатыг хайж байна.

2. Бид зайг хайж буй шулуун дээрх дурын цэгийн координатыг хайж байна.

3. Вектор бүтээх

4. Бид шулуун шугамын чиглүүлэх векторыг байгуулна

5. Хөндлөн үржвэрийг тооцоол

6. Бид үүссэн векторын уртыг хайж байна:

7. Зайг тооцоол:

Бидэнд маш их ажил байгаа бөгөөд жишээнүүд нь нэлээд төвөгтэй байх болно! Тиймээс одоо бүх анхаарлаа төвлөрүүл!

1. Дана бол оройтой баруун гар гурвалжин пи-ра-ми-да юм. Ос-но-ва-ния пи-ра-ми-ды нэг зуун-ро-он тэнцүү, чи-со-та тэнцүү байна. Бо-ко-р ирмэгийн se-re-di-ny-ээс шулуун шугам хүртэлх эдгээр зайг олно уу, энд цэгүүд нь хавирганы се-ре-ди-ны ба co-from- вет. -ствен- гэхдээ.

2. Хавирганы урт ба тэгш өнцөгт-но-пара-рал-ле-ле-пи-пе-да тус тус тэнцүү бөгөөд top-shi-ny-аас шулуун-my хүртэлх зайг Find-di-te.

3. Зургаан нүүрсний баруун призмд сүргийн бүх ирмэгүүд нь цэгээс шулуун шугам хүртэлх зайтай тэнцүү байна.

Шийдэл:

1. Бид бүх өгөгдлийг тэмдэглэсэн цэвэрхэн зураг зурдаг.

Бид танд маш их ажил байна! Бид юуг эрэлхийлж, ямар дарааллаар эрэлхийлэхээ эхлээд үгээр тайлбарлахыг хүсч байна.

1. Цэгүүдийн координат ба

2. Цэгийн координат

3. Цэгүүдийн координат ба

4. Векторуудын координат ба

5. Тэдний хөндлөн бүтээгдэхүүн

6. Векторын урт

7. Вектор үржвэрийн урт

8. хүртэлх зай

За, бидэнд хийх ажил их байна! Ханцуй шамлан орцгооё!

1. Пирамидын өндрийн координатыг олохын тулд цэгийн координатыг мэдэх шаардлагатай.Түүний хэрэглүүр нь тэг, ординат нь абсциссатай тэнцүү. Эцэст нь бид координатуудыг олж авлаа:

Цэгийн координат

2. - сегментийн дунд хэсэг

3. - сегментийн дунд хэсэг

дунд цэг

4. Координат

Вектор координат

5. Вектор үржвэрийг тооцоол.

6. Векторын урт: хамгийн хялбар арга бол сегментийг гурвалжны дунд шугам гэж солих бөгөөд энэ нь суурийн хагастай тэнцүү гэсэн үг юм. Тэгэхээр тийм.

7. Бид вектор бүтээгдэхүүний уртыг авч үзье.

8. Эцэст нь зайг ол:

Хөө, тэгээд л болоо! Би та нарт чин сэтгэлээсээ хэлье: энэ асуудлын шийдэл уламжлалт аргууд(барилга байгууламжаар дамжуулан) илүү хурдан байх болно. Гэхдээ энд би бүх зүйлийг бэлэн алгоритм болгон бууруулсан! Шийдлийн алгоритм танд ойлгомжтой гэж бодож байна уу? Тиймээс үлдсэн хоёр асуудлаа өөрсдөө шийдэж өгөөч гэж хэлье. Хариултуудыг харьцуулах уу?

Дахин хэлэхэд би давтан хэлье: координатын аргыг ашиглахаас илүүтэйгээр эдгээр асуудлыг барилга байгууламжаар шийдвэрлэх нь илүү хялбар (илүү хурдан) юм. Би зөвхөн "юуг ч дуусгахгүй" гэсэн бүх нийтийн аргыг харуулахын тулд ийм шийдлийг харуулсан.

Эцэст нь, асуудлын сүүлийн ангиллыг авч үзье.

Налуу шугамын хоорондох зайг тооцоолох

Энд асуудлыг шийдэх алгоритм нь өмнөхтэй төстэй байх болно. Бидэнд байгаа зүйл:

3. Нэг ба хоёрдугаар шугамын цэгүүдийг холбосон дурын вектор:

Шугамын хоорондох зайг хэрхэн олох вэ?

Томъёо нь:

Тоолуур нь холимог бүтээгдэхүүний модуль юм (бид үүнийг өмнөх хэсэгт танилцуулсан), хуваагч нь өмнөх томьёотой ижил байна (шугамын чиглүүлэгч векторуудын вектор бүтээгдэхүүний модуль, тэдгээрийн хоорондох зай). хайж байна).

Би танд үүнийг сануулах болно

тэгээд зайны томьёог гэж дахин бичиж болно:

Энэ тодорхойлогчийг тодорхойлогчд хуваа! Хэдийгээр үнэнийг хэлэхэд би энд хошигнодоггүй! Энэ томъёо, үнэн хэрэгтээ энэ нь маш төвөгтэй бөгөөд нэлээд төвөгтэй тооцоололд хүргэдэг. Хэрэв би чиний оронд байсан бол би үүнийг зөвхөн эцсийн арга хэмжээ болгон ашиглах байсан!

Дээрх аргыг ашиглан хэд хэдэн асуудлыг шийдэхийг хичээцгээе.

1. Баруун гурвалжин призмийн бүх ирмэгүүд ямар нэгэн байдлаар тэнцүү, шулуун ба хоорондын зайг ол.

2. Баруун урд хэлбэрийн гурвалжин призмийг өгвөл хэн нэгний os-no-va-niya-ийн бүх ирмэг нь Se-che-tion-тэй тэнцүү, нөгөө хавиргаар дамжин өнгөрөх ба се-ре-ди-ну хавирга нь . yav-la-et-sya квадрат-ра-том. Find-di-te dis-sto-I-nie хооронд шулуун-we-mi болон

Би эхнийхийг нь шийднэ, үүний үндсэн дээр та хоёрыг шийднэ!

1. Би призм зурж, ба шугамыг тэмдэглэв

С цэгийн координат: дараа нь

Цэгийн координат

Вектор координат

Цэгийн координат

Вектор координат

Вектор координат

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(массив)(*(20)(l))(\begin(массив)(*(20)(c))0&1&0\төгсгөл(массив))\\(\begin(массив)(*(20) (c))0&0&1\төгсгөл(массив))\\(\эхлэх(массив)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\төгсгөл(массив))\төгс(массив)) \баруун| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Бид ба векторуудын хоорондох хөндлөн үржвэрийг авч үздэг

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(массив)(l)\begin(массив)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(массив)\\\begin(массив) )(*(20)(c))0&0&1\төгсгөл(массив)\\\begin(массив)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\төгсгөл(массив)\төгс(массив) \баруун| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Одоо бид түүний уртыг авч үзье.

Хариулт:

Одоо хоёр дахь даалгавраа анхааралтай хийж үзээрэй. Үүний хариулт нь:.

Координат ба векторууд. Товч тайлбар ба үндсэн томъёо

Вектор нь чиглэсэн сегмент юм. - векторын эхлэл, - векторын төгсгөл.
Векторыг эсвэл гэж тэмдэглэнэ.

Үнэмлэхүй үнэ цэнэвектор - векторыг илэрхийлэх сегментийн урт. гэж тодорхойлсон.

Вектор координатууд:

,
векторын төгсгөлүүд хаана байна \displaystyle a .

Векторуудын нийлбэр: .

Векторуудын бүтээгдэхүүн:

Векторуудын цэгэн бүтээгдэхүүн:

Эцэст нь би өргөн хүрээтэй, удаан хүлээсэн сэдвийг олж авлаа аналитик геометр. Нэгдүгээрт, дээд математикийн энэ хэсгийн талаар бага зэрэг…. Та одоо олон теорем, тэдгээрийн нотолгоо, зураг гэх мэт сургуулийн геометрийн хичээлийг санаж байгаа нь лавтай. Юуг нуух вэ, оюутнуудын нэлээд хэсэг нь дурладаггүй, ихэвчлэн бүрхэг байдаг. Аналитик геометр нь хачирхалтай нь илүү сонирхолтой, хүртээмжтэй мэт санагдаж магадгүй юм. "Аналитик" гэсэн нэр томъёо нь юу гэсэн үг вэ? "Шийдлийн график арга" ба "шийдлийн аналитик арга" гэсэн хоёр тамгатай математикийн эргэлт шууд санаанд орж ирдэг. График аргаМэдээжийн хэрэг, график, зураг зурахтай холбоотой. Аналитикадилхан аргаасуудлыг шийдвэрлэхэд хамаарна голчлоналгебрийн үйлдлээр дамжуулан. Үүнтэй холбогдуулан аналитик геометрийн бараг бүх асуудлыг шийдвэрлэх алгоритм нь энгийн бөгөөд ил тод байдаг тул шаардлагатай томьёог зөв хэрэглэхэд хангалттай байдаг - хариулт бэлэн байна! Үгүй ээ, мэдээжийн хэрэг, энэ нь зураг зурахгүйгээр хийхгүй, үүнээс гадна материалыг илүү сайн ойлгохын тулд би тэдгээрийг хэрэгцээнээс хэтрүүлэхийг хичээх болно.

Геометрийн хичээлийн нээлттэй хичээл нь онолын бүрэн бүтэн байдал гэж үздэггүй бөгөөд энэ нь практик асуудлыг шийдвэрлэхэд чиглэгддэг. Би лекцэндээ зөвхөн миний бодлоор практикийн хувьд чухал зүйлийг л оруулах болно. Хэрэв танд аль нэг дэд хэсгийн талаар илүү дэлгэрэнгүй лавлагаа хэрэгтэй бол би дараах нэлээд хүртээмжтэй ном зохиолыг санал болгож байна.

1) Хэд хэдэн үеийнхэнд танил болсон зүйл, хошигнол биш: Сургуулийн геометрийн сурах бичиг, зохиогчид - Л.С. Атанасян ба компани. Сургуулийн хувцас солих өрөөний энэ гогцоо нь 20 (!) дахин хэвлэлтийг аль хэдийн тэсвэрлэсэн бөгөөд энэ нь мэдээжийн хэрэг хязгаар биш юм.

2) Геометр 2 боть. Зохиогчид Л.С. Атанасян, Базылев В.Т.. Энэ бол уран зохиол юм ахлах сургууль, Танд хэрэгтэй болно эхний боть. Ховор тохиолддог ажлууд миний алсын хараанаас гарч магадгүй, мөн зааварүнэлж баршгүй тусламж үзүүлэх болно.

Хоёр номыг онлайнаар үнэгүй татаж авах боломжтой. Мөн та миний архивыг ашиглаж болно бэлэн шийдлүүд, үүнийг хуудаснаас олж болно Дээд математикийн жишээ татаж авах.

Хэрэгслийн дотроос би дахин өөрийн хөгжлийг санал болгож байна - програм хангамжийн багцаналитик геометр дээр, энэ нь амьдралыг ихээхэн хялбарчилж, маш их цаг хэмнэх болно.

Уншигчид геометрийн үндсэн ойлголт, дүрсүүдийг мэддэг гэж үздэг: цэг, шулуун, хавтгай, гурвалжин, параллелограмм, параллелепипед, шоо гэх мэт. Зарим теоремуудыг санаж байхыг зөвлөж байна, ядаж Пифагорын теорем, сайн уу давтагч)

Одоо бид векторын тухай ойлголт, вектортой үйлдэл, вектор координатыг дараалан авч үзэх болно. Цаашид би уншихыг зөвлөж байна хамгийн чухал нийтлэл Векторуудын цэгийн үржвэр, түүнчлэн Векторуудын вектор ба холимог үржвэр. Орон нутгийн даалгавар нь илүүц байх болно - Энэ талаар сегментийг хуваах. Дээрх мэдээлэлд үндэслэн та боломжтой хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэл-тай шийдлийн хамгийн энгийн жишээнүүд, энэ нь зөвшөөрөх болно геометрийн асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах. Дараах нийтлэлүүд бас тустай. Орон зай дахь хавтгайн тэгшитгэл, Орон зай дахь шулуун шугамын тэгшитгэл, Шулуун ба хавтгай дээрх үндсэн бодлого, аналитик геометрийн бусад хэсгүүд. Мэдээжийн хэрэг, стандарт ажлуудыг замдаа авч үзэх болно.

Векторын тухай ойлголт. үнэгүй вектор

Эхлээд векторын сургуулийн тодорхойлолтыг давтъя. Вектордуудсан чиглүүлсэнтүүний эхлэл ба төгсгөлийг заасан сегмент:

AT Энэ тохиолдолдсегментийн эхлэл нь цэг , сегментийн төгсгөл нь цэг . Вектор нь өөрөө . Чиглэлзайлшгүй шаардлагатай, хэрвээ та сегментийн нөгөө төгсгөл рүү сумыг дахин байрлуулбал вектор гарч ирэх бөгөөд энэ нь аль хэдийн байна. тэс өөр вектор. Физик биеийн хөдөлгөөнтэй векторын тухай ойлголтыг тодорхойлоход тохиромжтой: институтын хаалгаар орох эсвэл хүрээлэнгийн хаалганаас гарах нь огт өөр зүйл гэдгийг хүлээн зөвшөөрөх ёстой.

Онгоцны бие даасан цэгүүдийг орон зай гэж нэрлэхэд тохиромжтой тэг вектор. Ийм вектор нь ижил төгсгөл ба эхлэлтэй байдаг.

!!! Жич: Энд болон доор векторууд нэг хавтгайд байрладаг эсвэл тэдгээрийг сансарт байрладаг гэж таамаглаж болно - танилцуулсан материалын мөн чанар нь хавтгай ба орон зайд хоёуланд нь хүчинтэй байна.

Тэмдэглэл:Олон хүмүүс тэр даруй тэмдэглэгээнд сумгүй саваа руу анхаарлаа хандуулж, дээд талд нь сум тавьсан гэж хэлэв! Энэ нь зөв, та сумаар бичиж болно: , гэхдээ зөвшөөрөгдөх ба Би дараа ашиглах болно гэж тэмдэглэ. Яагаад? Ийм зуршил нь практик талаасаа үүссэн бололтой, миний сургууль, их сургуулийн харваачид хэтэрхий олон янзын, сэгсгэр байсан. AT боловсролын уран зохиолЗаримдаа тэд дөрвөлжин бичигт огтхон ч санаа зовдоггүй, харин тод үсгээр тэмдэглэдэг: , ингэснээр энэ нь вектор гэдгийг илтгэнэ.

Энэ бол хэв маяг байсан бөгөөд одоо вектор бичих аргуудын тухай:

1) Векторуудыг хоёр том латин үсгээр бичиж болно.
гэх мэт. Эхний үсэг байхад зайлшгүйвекторын эхлэлийн цэгийг, хоёр дахь үсэг нь векторын төгсгөлийн цэгийг заана.

2) Векторуудыг мөн жижиг латин үсгээр бичсэн:
Ялангуяа манай векторыг товчлох үүднээс жижиг латин үсгээр дахин тодорхойлж болно.

Уртэсвэл модультэг биш векторыг сегментийн урт гэнэ. Тэг векторын урт нь тэг байна. Логикийн хувьд.

Векторын уртыг модулийн тэмдгээр тэмдэглэнэ: ,

Векторын уртыг хэрхэн олох талаар бид хэсэг хугацааны дараа сурах болно (эсвэл давтан, хэнд зориулж яаж хийх).

Энэ бол бүх сургуулийн сурагчдад танил болсон векторын талаархи энгийн мэдээлэл байв. Аналитик геометрийн хувьд гэж нэрлэгддэг үнэгүй вектор.

Хэрэв энэ нь маш энгийн бол - векторыг дурын цэгээс зурж болно:

Бид ийм векторуудыг тэнцүү гэж нэрлэдэг байсан (тэнцүү векторуудын тодорхойлолтыг доор өгөх болно), гэхдээ цэвэр математикийн үүднээс авч үзвэл энэ нь АДИЛ ВЕКТОР эсвэл үнэгүй вектор. Яагаад үнэгүй гэж? Учир нь асуудлыг шийдвэрлэх явцад та өөр нэг векторыг онгоц эсвэл орон зайн аль ч цэгт "хавсрах" боломжтой. Энэ бол маш сайхан өмч юм! Дурын урт, чиглэлтэй векторыг төсөөлөөд үз дээ - энэ нь хязгааргүй олон удаа "клончлогдох" боломжтой бөгөөд огторгуйн аль ч цэг дээр, үнэндээ энэ нь хаа сайгүй байдаг. Ийм оюутны зүйр үг байдаг: вектор дахь f ** u дахь лектор бүр. Эцсийн эцэст, зүгээр л нэг хийсвэр шүлэг биш, бүх зүйл математикийн хувьд зөв байдаг - векторыг тэнд хавсаргаж болно. Гэхдээ баярлах гэж бүү яар, оюутнууд өөрсдөө илүү их зовдог =)

Тэгэхээр, үнэгүй вектор- энэ бол маш их ижил чиглэлтэй сегментүүд. Догол мөрний эхэнд өгөгдсөн векторын сургуулийн тодорхойлолт нь: "Чилтгэсэн сегментийг вектор гэж нэрлэдэг ..." гэсэн утгатай. тодорхойХавтгай эсвэл орон зайн тодорхой цэгт бэхлэгдсэн өгөгдсөн багцаас авсан чиглүүлсэн сегмент.

Физикийн үүднээс авч үзвэл чөлөөт векторын тухай ойлголт ерөнхийдөө буруу бөгөөд векторын хэрэглээний цэг нь чухал гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Үнэн хэрэгтээ, хамар эсвэл духан дээр ижил хүчээр шууд цохилт өгөх нь миний тэнэг жишээг хөгжүүлэхэд хангалттай бөгөөд өөр өөр үр дагаварт хүргэдэг. Гэсэн хэдий ч, үнэгүй бишвекторууд нь вишматын явцад бас олддог (тэнд очиж болохгүй :)).

Вектортой үйлдэл. Векторуудын коллинеар байдал

Сургуулийн геометрийн хичээлд вектортой хэд хэдэн үйлдэл, дүрмийг авч үздэг. гурвалжны дүрмийн дагуу нэмэх, параллелограммын дүрмийн дагуу нэмэх, векторын ялгаварын дүрэм, векторыг тоогоор үржүүлэх, векторын скаляр үржвэр гэх мэт.Үрийн хувьд бид аналитик геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд онцгой ач холбогдолтой хоёр дүрмийг давтаж байна.

Гурвалжны дүрмийн дагуу вектор нэмэх дүрэм

Дурын тэг биш хоёр векторыг авч үзье ба:

Эдгээр векторуудын нийлбэрийг олох шаардлагатай. Бүх векторуудыг үнэ төлбөргүй гэж үздэг тул бид векторыг хойшлуулдаг Төгсгөлвектор:

Векторуудын нийлбэр нь вектор юм. Дүрмийг илүү сайн ойлгохын тулд түүнд физик утгыг оруулахыг зөвлөж байна: зарим биеийг векторын дагуу, дараа нь векторын дагуу зам гарга. Дараа нь векторуудын нийлбэр нь гарах цэгээс эхэлж, хүрэх цэг дээр дуусах үр дүнд бий болсон замын вектор юм. Үүнтэй төстэй дүрмийг дурын тооны векторын нийлбэрт томъёолсон болно. Тэдний хэлснээр бие нь нийлбэр векторын дагуу хүчтэй зигзаг, эсвэл автомат нисгэгчээр явж болно.

Дашрамд хэлэхэд, хэрэв векторыг хойшлуулсан бол эхлэхвектор , тэгвэл бид эквивалентыг авна параллелограммын дүрэмвектор нэмэх.

Нэгдүгээрт, векторуудын харилцан хамаарлын тухай. Хоёр векторыг нэрлэдэг collinearхэрэв тэдгээр нь нэг шулуун дээр эсвэл зэрэгцээ шугам дээр хэвтэж байвал. Товчхондоо бид параллель векторуудын тухай ярьж байна. Гэхдээ тэдэнтэй холбоотойгоор "конлинеар" гэсэн нэр томъёог үргэлж ашигладаг.

Хоёр коллинеар векторыг төсөөлөөд үз дээ. Хэрэв эдгээр векторуудын сумнууд нэг чиглэлд чиглүүлсэн бол ийм векторуудыг дуудна хамтарсан чиглэлтэй. Хэрэв сумнууд өөр өөр чиглэлд харвал векторууд байх болно эсрэг чиглэсэн.

Тэмдэглэл:векторуудын уялдаа холбоог ердийн параллелизмын дүрсээр бичнэ: , харин нарийвчилсан байдлаар бичих боломжтой: (векторууд хамтран чиглэгддэг) эсвэл (векторууд эсрэгээр чиглэсэн).

ажил 0-ээс өөр тоо бүхий векторын урт нь -тэй тэнцүү, ба векторууд нь -д хамт, эсрэгээр нь чиглэсэн вектор юм.

Векторыг тоогоор үржүүлэх дүрмийг зургаар ойлгоход хялбар байдаг.

Бид илүү дэлгэрэнгүй ойлгодог:

1) Чиглэл. Хэрэв үржүүлэгч сөрөг байвал вектор болно чиглэлээ өөрчилдөгэсрэгээр.

2) урт. Хэрэв хүчин зүйл эсвэл дотор агуулагдаж байвал векторын урт буурдаг. Тэгэхээр векторын урт нь векторын уртаас хоёр дахин бага байна. Хэрэв модулийн үржүүлэгч нэгээс их бол векторын урт нэмэгддэгцагтаа.

3) Үүнийг анхаарна уу бүх векторууд коллинеар байна, нэг векторыг нөгөө вектороор илэрхийлдэг бол жишээ нь, . Урвуу нь бас үнэн юм: хэрэв нэг векторыг нөгөөгөөр илэрхийлэх боломжтой бол ийм векторууд заавал коллинеар байна. Энэ замаар: Хэрэв бид векторыг тоогоор үржүүлбэл коллинеар болно(эх хувьтай харьцуулахад) вектор.

4) Векторууд нь кодиректортой байна. Векторууд нь мөн кодиректортой. Эхний бүлгийн аль ч вектор нь хоёр дахь бүлгийн аль ч векторын эсрэг байна.

Ямар векторууд тэнцүү вэ?

Хоёр вектор нь кодиректортой ба ижил урттай бол тэнцүү байна. Хамтран чиглүүлэх нь векторууд хоорондоо уялдаатай байна гэдгийг анхаарна уу. Хэрэв та: "Хоёр вектор нь хоорондоо уялдаатай, хамтран чиглүүлсэн, ижил урттай бол тэнцүү байна" гэж хэлвэл тодорхойлолт нь буруу (илүүдэл) болно.

Чөлөөт векторын тухай ойлголтын үүднээс авч үзвэл тэнцүү векторууд нь өмнөх догол мөрөнд аль хэдийн яригдсан ижил векторууд юм.

Хавтгай болон орон зай дахь вектор координатууд

Эхний цэг бол хавтгай дээрх векторуудыг авч үзэх явдал юм. Декартын тэгш өнцөгт координатын системийг зурж, гарал үүсэлээс нь салга ганц биевекторууд ба:

Векторууд ба ортогональ. Ортогональ = Перпендикуляр. Би нэр томъёонд аажмаар дасахыг зөвлөж байна: параллелизм ба перпендикуляр байдлын оронд бид үгсийг тус тусад нь ашигладаг. уялдаа холбооболон ортогональ байдал.

Зориулалт:векторуудын ортогональ байдлыг ердийн перпендикуляр тэмдгээр бичнэ, жишээлбэл: .

Харгалзан үзсэн векторуудыг дуудна координатын векторуудэсвэл орц. Эдгээр векторууд үүсдэг суурьгадаргуу дээр. Үндэслэл нь юу вэ, миний бодлоор олон хүнд ойлгомжтой байдаг дэлгэрэнгүй мэдээлэлнийтлэлээс олж болно Векторуудын шугаман (бус) хамаарал. Вектор үндэс.Энгийн үгээр хэлбэл, координатын үндэс, гарал үүсэл нь бүхэл бүтэн системийг тодорхойлдог - энэ нь бүрэн дүүрэн, баялаг геометрийн амьдрал буцалж буй нэгэн төрлийн суурь юм.

Заримдаа баригдсан суурь гэж нэрлэдэг ортонормальХавтгайн суурь: "ortho" - координатын векторууд нь ортогональ байдаг тул "нормчилсан" гэсэн нэр томъёо нь нэгж гэсэн үг, i.e. суурь векторуудын урт нь нэгтэй тэнцүү байна.

Зориулалт:суурь нь ихэвчлэн хаалтанд бичигдсэн байдаг, дотор нь хатуу дарааллаарсуурь векторуудыг жагсаасан, жишээ нь: . Координатын векторууд энэ нь хориотойгазруудыг солих.

Ямар чхавтгай вектор цорын ганц арга замдараах байдлаар илэрхийлсэн:
, хаана - тоогэж нэрлэдэг вектор координатэнэ үндсэн дээр. Гэхдээ илэрхийлэл нь өөрөө дуудсан вектор задралсуурь .

Оройн хоол:

Цагаан толгойн эхний үсгээр эхэлье: . Зураг нь векторыг үндэслэлээр задлахдаа зөвхөн авч үзсэн зүйлсийг ашигладаг болохыг тодорхой харуулж байна.
1) векторыг тоогоор үржүүлэх дүрэм: ба ;
2) гурвалжны дүрмийн дагуу вектор нэмэх: .

Одоо онгоцны өөр аль ч цэгээс векторыг оюун ухаанаараа хойш тавь. Авлига хээл хахууль нь "түүнийг уйгагүй дагах" нь тодорхой. Энд байна, векторын эрх чөлөө - вектор "бүх зүйлийг чамтай хамт авч явдаг." Энэ шинж чанар нь мэдээжийн хэрэг аливаа векторын хувьд үнэн юм. Суурь (чөлөөт) векторуудыг өөрсдөө гарал үүслээс нь салгах шаардлагагүй, нэгийг нь жишээлбэл зүүн доод талд, нөгөөг нь баруун дээд талд зурж болох бөгөөд үүнээс юу ч өөрчлөгдөхгүй нь инээдтэй юм! Үнэн, та үүнийг хийх шаардлагагүй, учир нь багш бас өвөрмөц байдлыг харуулж, гэнэтийн газарт "дамжуулах" болно.

Векторууд нь векторыг тоогоор үржүүлэх дүрмийг яг тодорхой харуулж байна, вектор нь суурь вектортой хамт, вектор нь суурь векторын эсрэг чиглэгддэг. Эдгээр векторуудын хувьд координатуудын аль нэг нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд үүнийг дараах байдлаар нарийн бичиж болно.


Дашрамд хэлэхэд суурь векторууд нь иймэрхүү байна: (үнэндээ тэд өөрсдөө илэрхийлэгддэг).

Мөн эцэст нь: , . Дашрамд хэлэхэд, вектор хасах гэж юу вэ, яагаад би та нарт хасах дүрмийг хэлээгүй юм бэ? Шугаман алгебрийн хаа нэгтээ би хаана санахгүй байна, хасах үйлдэл бол нэмэхийн онцгой тохиолдол гэдгийг би тэмдэглэсэн. Тиймээс "de" ба "e" векторуудын өргөтгөлүүдийг нийлбэр хэлбэрээр тайван бичнэ. . Эдгээр нөхцөл байдалд гурвалжны дүрмийн дагуу хуучин вектор нэмэх нь хэр тодорхой ажиллаж байгааг харуулсан нэр томьёог цэгцэлж, зургийг дагаж мөрдөөрэй.

Маягтын задралыг авч үзсэн заримдаа вектор задрал гэж нэрлэдэг системд ор(жишээ нь нэгж векторын системд). Гэхдээ энэ нь вектор бичих цорын ганц арга биш бөгөөд дараах сонголт түгээмэл байдаг.

Эсвэл тэнцүү тэмдгээр:

Үндсэн векторууд нь өөрөө дараах байдлаар бичигдсэн байдаг: ба

Өөрөөр хэлбэл, векторын координатыг хаалтанд зааж өгсөн болно. Практик даалгаварт бүх гурван бичлэгийн сонголтыг ашигладаг.

Би ярих эсэхдээ эргэлзэж байсан ч би: векторын координатыг өөрчлөх боломжгүй. Эхний ээлжинд хатуунэгж векторт тохирох координатыг бичнэ үү. хатуу хоёрдугаарт ордогнэгж векторт тохирох координатыг бичнэ үү. Үнэн хэрэгтээ, эдгээр нь хоёр өөр вектор юм.

Бид онгоцон дээрх координатуудыг олж мэдсэн. Одоо гурван хэмжээст орон зай дахь векторуудыг авч үзье, энд бүх зүйл бараг ижил байна! Зөвхөн нэг координат нэмэгдэх болно. Гурван хэмжээст зураг зурахад хэцүү байдаг тул би нэг вектороор хязгаарлагдах бөгөөд энгийн байх үүднээс би гарал үүслийг нь хойшлуулах болно.

Ямар ч 3D сансрын вектор цорын ганц арга замортонормаль суурь дээр өргөжүүлэх:
, өгөгдсөн суурь дахь векторын (тоо) координатууд хаана байна.

Зураг дээрх жишээ: . Энд вектор үйлдлийн дүрэм хэрхэн ажилладагийг харцгаая. Эхлээд векторыг тоогоор үржүүлнэ: (улаан сум), (ногоон сум) ба (улаан сум). Хоёрдугаарт, хэд хэдэн, энэ тохиолдолд гурван вектор нэмэх жишээ энд байна: . Нийлбэр вектор нь хөдлөх цэгээс (векторын эхлэл) эхэлж, эцсийн хүрэх цэг дээр (векторын төгсгөл) дуусдаг.

Гурван хэмжээст орон зайн бүх векторууд нь мэдээжийн хэрэг чөлөөтэй бөгөөд векторыг өөр ямар ч цэгээс оюун ухаанаараа хойшлуулахыг хичээ, тэгвэл түүний тэлэлт "үүнтэй хамт үлдэнэ" гэдгийг та ойлгох болно.

Онгоцны хэргийн нэгэн адил бичихээс гадна хаалт бүхий хувилбарууд өргөн хэрэглэгддэг: аль нэг .

Хэрэв задралд нэг (эсвэл хоёр) дутуу байвал координатын векторууд, дараа нь тэдгээрийг тэгээр солино. Жишээ нь:
вектор (нямбай ) - бичих;
вектор (нямбай ) - бичих;
вектор (нямбай ) - бичих.

Үндсэн векторуудыг дараах байдлаар бичнэ.

Энд магадгүй аналитик геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардагдах хамгийн бага онолын мэдлэг байх болно. Магадгүй хэтэрхий олон нэр томьёо, тодорхойлолт байгаа тул би дамминуудыг дахин уншиж, ойлгохыг зөвлөж байна. энэ мэдээлэлдахин. Материалыг илүү сайн ойлгохын тулд үндсэн хичээлийг үе үе авч үзэх нь ямар ч уншигчдад ашигтай байх болно. Коллинеар байдал, ортогональ байдал, ортонормаль суурь, векторын задрал - эдгээр болон бусад ойлголтыг дараах зүйлд ихэвчлэн ашиглах болно. Сайтын материалууд онолын шалгалт, геометрийн коллоквиумыг давахад хангалтгүй гэдгийг би тэмдэглэж байна, учир нь би бүх теоремуудыг сайтар кодчилдог (баталгаагүйгээс гадна) нь илтгэлийн шинжлэх ухааны хэв маягт хохирол учруулах боловч таны ойлголтод нэмэр болно. сэдвийн талаар. Нарийвчилсан онолын мэдээлэл авахыг хүсвэл би таныг профессор Атанасянд бөхийхийг хүсч байна.

Одоо практик хэсэг рүү шилжье:

Аналитик геометрийн хамгийн энгийн асуудлууд.
Координат дахь векторуудтай үйлдлүүд

Харгалзан үзэх ажлууд, тэдгээрийг хэрхэн бүрэн автоматаар шийдвэрлэх талаар сурах нь зүйтэй бөгөөд томъёолол. цээжлэх, зориуд санахгүй ч, өөрсдөө санах болно =) Аналитик геометрийн бусад асуудлууд нь хамгийн энгийн энгийн жишээн дээр үндэслэсэн тул энэ нь маш чухал бөгөөд үүнийг зарцуулах нь ядаргаатай байх болно. нэмэлт цагломбард идэх. Цамцныхаа дээд товчийг бэхлэх шаардлагагүй, олон зүйлийг сургуулиас тань мэддэг.

Материалын танилцуулга нь онгоц болон орон зайн хувьд зэрэгцэн явагдана. Учир нь бүх томъёо ... та өөрөө харах болно.

Хоёр цэг өгсөн векторыг хэрхэн олох вэ?

Хэрэв хавтгайн хоёр цэг өгөгдсөн бол вектор дараах координаттай байна.

Хэрэв орон зайд хоёр цэг өгөгдсөн бол вектор дараах координаттай байна.

Тэр бол, векторын төгсгөлийн координатааста харгалзах координатыг хасах хэрэгтэй вектор эхлэл.

Дасгал:Ижил цэгүүдийн хувьд векторын координатыг олох томъёог бичнэ үү. Хичээлийн төгсгөлд томъёо.

Жишээ 1

Хавтгайд хоёр цэг өгсөн ба . Вектор координатыг ол

Шийдэл:холбогдох томъёоны дагуу:

Эсвэл дараахь тэмдэглэгээг ашиглаж болно.

Гоо сайхны мэргэжилтнүүд дараах байдлаар шийднэ.

Би хувьдаа пянзны эхний хувилбарт дассан.

Хариулт:

Нөхцөл байдлын дагуу зураг зурах шаардлагагүй (энэ нь аналитик геометрийн асуудлуудад тохиолддог) боловч зарим зүйлийг даммидад тайлбарлахын тулд би хэтэрхий залхуу байх болно.

Ойлгох ёстой цэгийн координат ба вектор координат хоорондын ялгаа:

Цэгийн координаттэгш өнцөгт координатын систем дэх ердийн координатууд юм. 5-6-р ангиасаа эхлэн хүн бүр координатын хавтгайд цэгүүдийг хэрхэн зурахаа мэддэг байх гэж бодож байна. Цэг бүр онгоцонд хатуу байр суурь эзэлдэг бөгөөд тэдгээрийг хаашаа ч зөөх боломжгүй.

Ижил векторын координатуудсуурьтай холбоотойгоор түүний өргөтгөл нь энэ тохиолдолд . Аливаа вектор үнэ төлбөргүй байдаг тул шаардлагатай бол бид үүнийг онгоцны өөр цэгээс хялбархан хойшлуулж болно. Сонирхолтой нь, векторуудын хувьд та тэнхлэгийг огт барьж чадахгүй, тэгш өнцөгт координатын систем, танд зөвхөн суурь, энэ тохиолдолд онгоцны ортонормаль суурь хэрэгтэй.

Цэгийн координат ба векторын координатын бичлэгүүд ижил төстэй юм шиг байна: , болон координатын мэдрэмжтуйлын өөр, мөн та энэ ялгааг сайн мэдэж байх ёстой. Энэ ялгаа нь мэдээжийн хэрэг орон зайн хувьд ч үнэн юм.

Ноёд хатагтай нар аа, бид гараа дүүргэж байна:

Жишээ 2

a) Өгөгдсөн оноо ба . векторуудыг олох ба .
б) Оноо өгдөг болон . векторуудыг олох ба .
в) Өгөгдсөн оноо ба . векторуудыг олох ба .
d) Оноо өгдөг. Векторуудыг олох .

Магадгүй хангалттай. Эдгээр нь бие даасан шийдвэр гаргах жишээ юм, тэдгээрийг үл тоомсорлож болохгүй, энэ нь үр дүнгээ өгөх болно ;-). Зураг зурах шаардлагагүй. Хичээлийн төгсгөлд шийдэл, хариултууд.

Аналитик геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд юу чухал вэ?"Хоёр дээр нэмэх нь хоёр тэг" гэсэн гайхалтай алдаанаас зайлсхийхийн тулд МАШ АНХААРАЛТАЙ байх нь чухал. Алдаа гаргасан бол урьдчилан хүлцэл өчье =)

Хэсгийн уртыг хэрхэн олох вэ?

Уртыг аль хэдийн дурдсанчлан модулийн тэмдгээр илэрхийлнэ.

Хэрэв хавтгайн хоёр цэг өгөгдсөн бол сегментийн уртыг томъёогоор тооцоолж болно

Хэрэв орон зайд хоёр цэг өгөгдсөн бол сегментийн уртыг томъёогоор тооцоолж болно

Жич: Харгалзах координатуудыг сольсон тохиолдолд томъёонууд зөв хэвээр байх болно: болон , гэхдээ эхний сонголт нь илүү стандарт юм.

Жишээ 3

Шийдэл:холбогдох томъёоны дагуу:

Хариулт:

Тодорхой болгохын тулд би зураг зурах болно

Шугамын хэсэг - энэ нь вектор биш, мөн та үүнийг хаашаа ч хөдөлгөж чадахгүй нь мэдээж. Нэмж хэлэхэд, хэрэв та масштабаар зурж дуусгавал: 1 нэгж. \u003d 1 см (хоёр тетрадын эс), дараа нь сегментийн уртыг шууд хэмжих замаар хариултыг ердийн захирагчаар шалгаж болно.

Тийм ээ, шийдэл нь богино, гэхдээ хэд хэдэн зүйл байна чухал цэгүүдБи тодруулмаар байна:

Нэгдүгээрт, хариултанд бид хэмжээсийг тогтоосон: "нэгж". Нөхцөл байдал нь ЮУ гэдгийг хэлээгүй, миллиметр, сантиметр, метр, километр. Тиймээс ерөнхий томъёолол нь математикийн чадвартай шийдэл байх болно: "нэгж" - "нэгж" гэж товчилсон.

Хоёрдугаарт, давтан хэлье сургуулийн материал, энэ нь зөвхөн авч үзсэн асуудалд ашигтай биш юм:

анхаарал хандуулах чухал техникийн заль мэх – үржүүлэгчийг үндэс доороос нь гаргах. Тооцооллын үр дүнд бид үр дүнг олж авсан бөгөөд сайн математикийн хэв маяг нь үржүүлэгчийг үндэснээс (боломжтой бол) авах явдал юм. Үйл явц нь илүү дэлгэрэнгүй дараах байдлаар харагдаж байна. . Мэдээжийн хэрэг, хариултыг маягтаар үлдээх нь алдаа биш байх болно - гэхдээ энэ нь багшийн хувьд алдаа бөгөөд ноцтой аргумент юм.

Бусад нийтлэг тохиолдлууд энд байна:

Ихэнхдээ үндэс дор энэ нь хангалттай болж хувирдаг том тоо, Жишээлбэл . Ийм тохиолдолд яаж байх вэ? Тооны машин дээр бид энэ тоо 4: хуваагдах эсэхийг шалгана. Тиймээ, бүрэн хуваагдана, тэгвэл: . Эсвэл энэ тоог дахин 4-т хувааж болох уу? . Энэ замаар: . Тооны сүүлийн орон сондгой тул гурав дахь удаагаа 4-т хуваах боломжгүй нь ойлгомжтой. Есөөр хуваахыг оролдож байна: . Үр дүнд нь:
Бэлэн.

Дүгнэлт:Хэрэв язгуур дор бид бүрэн задлах боломжгүй тоог олж авбал бид язгуураас хүчин зүйлийг гаргаж авахыг оролддог - тооцоолуур дээр бид энэ тоо нь 4, 9, 16, 25, 36, 49, хуваагдах эсэхийг шалгадаг. гэх мэт.

Төрөл бүрийн асуудлыг шийдвэрлэх явцад үндэс нь ихэвчлэн олддог тул бага оноо авах, шаардлагагүй бэрхшээлээс зайлсхийхийн тулд үндсэн дороос хүчин зүйлийг гаргаж авахыг хичээгээрэй.

Үндэс болон бусад хүчнүүдийн квадратыг нэгэн зэрэг давтъя.

Ерөнхий хэлбэрээр зэрэгтэй үйлдлийн дүрмийг сургуулийн алгебрийн сурах бичгээс олж болно, гэхдээ өгөгдсөн жишээнүүдээс бүх зүйл эсвэл бараг бүх зүйл аль хэдийн тодорхой болсон гэж би бодож байна.

Орон зай дахь сегмент бүхий бие даасан шийдлийн даалгавар:

Жишээ 4

Өгөгдсөн оноо ба . Хэсгийн уртыг ол.

Хичээлийн төгсгөлд шийдэл, хариулт.

Векторын уртыг хэрхэн олох вэ?

Хэрэв хавтгай вектор өгөгдсөн бол түүний уртыг томъёогоор тооцоолно.

Хэрэв орон зайн вектор өгөгдсөн бол түүний уртыг томъёогоор тооцоолно .