Дараах функцүүдийн хязгаарыг онлайнаар олоорой. Гайхалтай хязгаарлалтууд. Шийдлийн жишээ

Эхний гайхалтай хязгаарыг дараахь тэгш байдал гэж нэрлэдэг.

\эхлэх(тэгшитгэл)\lim_(\альфа\то(0))\frac(\sin\alpha)(\альфа)=1 \төгсгөл(тэгшитгэл)

$\alpha\to(0)$-ийн хувьд бидэнд $\sin\alpha\to(0)$ байгаа тул эхний гайхалтай хязгаар$\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдлыг илчилнэ. Ерөнхийдөө (1) томъёонд $\alpha$ хувьсагчийн оронд синус тэмдэг болон хуваагч хэсэгт хоёр нөхцөл хангагдсан тохиолдолд дурын илэрхийллийг байрлуулж болно.

1. Синусын тэмдгийн доор болон хуваагч дахь илэрхийллүүд нэгэн зэрэг тэг рүү чиглэдэг, i.e. $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдал байна.
2. Синусын тэмдгийн доор болон хуваагч дахь илэрхийллүүд ижил байна.

Эхний гайхалтай хязгаарын үр дүнг ихэвчлэн ашигладаг:

\begin(тэгшитгэл) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \төгсгөл(тэгшитгэл) \эхлэх(тэгшитгэл) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \төгсгөл(тэгшитгэл) \эхлэх(тэгшитгэл) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \төгсгөл(тэгшитгэл)

Арван нэгэн жишээг энэ хуудсан дээр шийдсэн. Жишээ №1 нь (2)-(4) томъёоны нотолгоонд зориулагдсан болно. Жишээ №2, №3, №4, №5 нь дэлгэрэнгүй тайлбар бүхий шийдлүүдийг агуулдаг. Өмнөх жишээнүүдэд дэлгэрэнгүй тайлбарыг өгсөн тул 6-10-р жишээнд тайлбар багатай эсвэл огт байхгүй шийдлүүдийг агуулсан болно. Шийдэл нь заримыг нь ашигладаг тригонометрийн томъёоүүнийг олж болно.

байгааг анхаарна уу тригонометрийн функцууд$\frac (0) (0)$-ийн тодорхойгүй байдал нь эхний гайхалтай хязгаарыг хэрэглэх ёстой гэсэн үг биш юм. Заримдаа энгийн тригонометрийн хувиргалт хангалттай байдаг - жишээлбэл, үзнэ үү.

Жишээ №1

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha) гэдгийг батал. (\альфа)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\альфа)=1$.

a) $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$ тул:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Учир нь $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ ба $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$, дараа нь:

$$ \lim_(\альфа\то(0))\фрак(\син(\альфа))(\альфа\кос(\альфа)) =\frac(\displaystyle\lim_(\альфа\то(0)) \ frac (\ sin (\ альфа)) (\ альфа)) (\ displaystyle \ lim_ (\ альфа \ to (0)) \ cos (\ альфа)) =\ frac (1) (1) =1. $$

b) $\alpha=\sin(y)$ орлуулгыг хийцгээе. $\sin(0)=0$ тул $\alpha\to(0)$ нөхцөлөөс бидэнд $y\to(0)$ байна. Үүнээс гадна $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$ гэсэн 0-ийн хөрш байдаг тул:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ тэнцүү байх нь батлагдсан.

в) $\alpha=\tg(y)$ орлуулгыг хийцгээе. $\tg(0)=0$ тул $\alpha\to(0)$ болон $y\to(0)$ нөхцөлүүд тэнцүү байна. Нэмж дурдахад $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$ байх 0-ийн хөрш байдаг тул a) цэгийн үр дүнд тулгуурлан бид дараах байдалтай байна:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ тэнцүү байх нь батлагдсан.

a), b), c) тэгшитгэлийг ихэвчлэн эхний гайхалтай хязгаартай хамт ашигладаг.

Жишээ №2

Тооцоолох хязгаар $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( x+7))$.

Учир нь $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ ба $\lim_( x) \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, i.e. мөн бутархайн хүртэгч ба хуваагч нэгэн зэрэг тэг рүү чиглэх хандлагатай байгаа бол энд бид $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдалтай тулгарч байна, өөрөөр хэлбэл. гүйцэтгэсэн. Нэмж дурдахад, синус тэмдгийн дор болон хуваагч дахь илэрхийллүүд ижил (жишээ нь, сэтгэл хангалуун) байгааг харж болно.

Тиймээс хуудасны эхэнд дурдсан хоёр нөхцөл хангагдсан болно. Үүнээс үзэхэд томъёог хэрэглэх боломжтой, өөрөөр хэлбэл. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\баруун))(\frac(x^2-4)(x+ 7) ))=1$.

Хариулах: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\баруун))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

Жишээ №3

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$-г олоорой.

$\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ ба $\lim_(x\to(0))x=0$ тул бид $\frac( хэлбэрийн тодорхой бус байдалтай тулгарч байна. 0 )(0)$, өөрөөр хэлбэл, гүйцэтгэсэн. Гэхдээ синус тэмдгийн доорх болон хуваагч дахь илэрхийлэл таарахгүй байна. Энд хуваагч дахь илэрхийллийг хүссэн хэлбэрт оруулах шаардлагатай. Бид хуваарьт байхын тулд $9x$ илэрхийлэл хэрэгтэй - тэгвэл энэ нь үнэн болно. Үндсэндээ бид хуваарьт 9$-ын хүчин зүйл дутагдаж байна, үүнийг оруулахад тийм ч хэцүү биш, зөвхөн хуваагч дахь илэрхийлэлийг 9 доллараар үржүүлээрэй. Мэдээжийн хэрэг, үржүүлгийг 9 доллараар нөхөхийн тулд та нэн даруй 9 доллараар хувааж, хуваах хэрэгтэй болно.

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\баруун| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9х))(9х) $$

Одоо хуваагч болон синусын тэмдгийн доорх илэрхийлэл ижил байна. $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ хязгаарын хоёр нөхцөл хангагдсан. Тиймээс $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Мөн энэ нь:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Хариулах: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Жишээ №4

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$-г олоорой.

$\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ ба $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$ тул энд бид тодорхойгүй байдлын асуудлыг авч үзэж байна. $\frac(0)(0)$ хэлбэр. Гэсэн хэдий ч анхны гайхалтай хязгаарын хэлбэр эвдэрсэн. $\sin(5x)$ агуулсан тоологчийн хуваарьт $5x$ шаардлагатай. Энэ тохиолдолд хамгийн хялбар арга бол тоологчийг $5x$-д хувааж, нэн даруй $5x$-оор үржүүлэх явдал юм. Нэмж хэлэхэд, бид хуваагчтай ижил төстэй үйлдлийг гүйцэтгэх бөгөөд $\tg(8x)$-г $8x$-оор үржүүлж, хуваах болно:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\баруун| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

$x$-оор багасгаж, $\frac(5)(8)$ тогтмолыг хязгаарын тэмдгээс гаргаснаар бид дараахийг олж авна:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ нь эхний гайхалтай хязгаарт тавигдах шаардлагыг бүрэн хангаж байгааг анхаарна уу. $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$-г олохын тулд дараах томъёог хэрэглэнэ.

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x) )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to) (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Хариулах: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Жишээ №5

$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$-г ол.

$\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ ($\cos(0)=1$ гэдгийг санаарай) ба $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, тэгвэл бид $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдалтай тулгарч байна. Гэсэн хэдий ч эхний гайхалтай хязгаарыг хэрэгжүүлэхийн тулд та синус (томьёог хэрэглэхийн тулд) эсвэл шүргэгч (томьёог хэрэглэхийн тулд) руу шилжих замаар тоологч дахь косинусыг арилгах хэрэгтэй. Та үүнийг дараах хувиргалтаар хийж болно.

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Хязгаар руугаа буцъя:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\баруун| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\баруун) $$

$\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ бутархай нь эхний гайхалтай хязгаарт шаардлагатай хэлбэрт аль хэдийн ойрхон байна. $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ бутархайтай бага зэрэг ажиллаж, үүнийг эхний гайхалтай хязгаарт тохируулъя (тоологч ба синус дор байгаа илэрхийллүүд тохирох ёстойг анхаарна уу):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\баруун)^2$$

Төлөвлөсөн хязгаар руу буцъя:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\баруун)^2\баруун)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\баруун)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Хариулах: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Жишээ №6

$\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$ хязгаарыг ол.

$\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ ба $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$ тул бид $\frac(0)(0)$-ийн тодорхойгүй байдалтай тулгарч байна. Анхны гайхалтай хязгаарын тусламжтайгаар үүнийг нээцгээе. Үүнийг хийхийн тулд косинусаас синус руу шилжье. $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$ тул:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Өгөгдсөн синус хязгаарыг давснаар бид дараахь зүйлийг авна.

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\баруун| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\) frac(\sin(3x))(3x)\баруун)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\баруун)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\зүүн(\frac(\sin(3x))(3x)\баруун)^2)(\displaystyle\lim_(x) \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Хариулах: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Жишээ №7

Хязгаарыг тооцоолох $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ өгөгдсөн $\alpha\neq\ бета доллар.

Дэлгэрэнгүй тайлбарыг өмнө нь өгсөн боловч энд $\frac(0)(0)$-ын тодорхойгүй байдал байгааг бид зүгээр л тэмдэглэж байна. Томъёог ашиглан косинусаас синус руу шилжье

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\альфа-\бета)(2).$$

Дээрх томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг авна.

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\баруун| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ бета(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\альфа+\бета) )(2)\баруун)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\альфа-\бета)(2)\баруун))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\баруун))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac) (\альфа-\бета)(2)\баруун))(x)\баруун)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\баруун))(x\cdot\frac(\альфа+\бета)(2))\cdot\frac(\альфа+\бета)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\баруун))(x\cdot\frac(\альфа-\бета)(2))\cdot\frac(\alpha- \бета)(2)\баруун)=\\ =-\frac((\альфа+\бета)\cdot(\альфа-\бета))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\баруун))(x\cdot\frac(\альфа+бета)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\альфа-\бета)(2)\баруун))(x\cdot\frac(\альфа-\бета)(2)) =-\frac(\ альфа^2-\бета^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\фрак(\бета^2-\альфа^2)(2). $$

Хариулах: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ альфа^2)(2)$.

Жишээ №8

$\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$ хязгаарыг ол.

$\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ ($\sin(0)=\tg(0)=0$) ба $\ гэдгийг санаарай. lim_(x\to(0))x^3=0$, тэгвэл энд бид $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдлыг авч үзэж байна. Үүнийг дараах байдлаар задалж үзье.

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\баруун| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\баруун))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\баруун)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\баруун) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1) ) =\frac(1)(2). $$

Хариулах: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Жишээ №9

$\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$ хязгаарыг ол.

Учир нь $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ ба $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x -) 3)(2)=0$, тэгвэл $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдал байна. Өргөтгөл рүү орохын өмнө хувьсагчийг шинэ хувьсагч тэг болох хандлагатай байхаар өөрчлөх нь тохиромжтой (томьёонд $\alpha \to 0$ хувьсагч байгааг анхаарна уу). Хамгийн хялбар арга бол $t=x-3$ хувьсагчийг нэвтрүүлэх явдал юм. Гэсэн хэдий ч, цаашдын хувиргалтыг хийхэд тохиромжтой байхын тулд (энэ үр ашгийг доорх шийдлийн явцад харж болно) дараах орлуулалтыг хийх нь зүйтэй: $t=\frac(x-3)(2)$. Хоёр орлуулалт хоёуланд нь хамааралтай болохыг анхаарна уу Энэ тохиолдолд, ердөө хоёр дахь орлуулалт нь бутархайтай бага ажиллах боломжийг танд олгоно. $x\to(3)$, дараа нь $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\баруун| =\left|\эхлэх(зэрэгцүүлсэн)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\баруун| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin) (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Хариулах: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Жишээ №10

Хязгаарыг олох $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2)$.

Дахин бид $\frac(0)(0)$-ийн тодорхойгүй байдалтай тулгарч байна. Өргөтгөл рүү шилжихээсээ өмнө шинэ хувьсагч тэг болох хандлагатай байхаар хувьсагчийн өөрчлөлтийг хийх нь тохиромжтой (томьёонд хувьсагч нь $\alpha\to(0)$ байна гэдгийг анхаарна уу). Хамгийн хялбар арга бол $t=\frac(\pi)(2)-x$ хувьсагчийг нэвтрүүлэх явдал юм. $x\to\frac(\pi)(2)$ тул $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\left|\эхлэх(зэрэгцүүлсэн)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\баруун| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\баруун))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\баруун)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Хариулах: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\баруун)^2) =\frac(1)(2)$.

Жишээ №11

Хязгаарыг олох $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\) pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

Энэ тохиолдолд бид эхний гайхамшигтай хязгаарыг ашиглах шаардлагагүй болно. Анхаарна уу: эхний болон хоёр дахь хязгаарт зөвхөн тригонометрийн функцууд болон тоонууд байдаг. Ихэнхдээ ийм төрлийн жишээн дээр хязгаарын тэмдгийн доор байрлах илэрхийллийг хялбарчлах боломжтой байдаг. Энэ тохиолдолд дурдсан хялбаршуулж, зарим хүчин зүйлийг бууруулсны дараа тодорхойгүй байдал арилдаг. Хязгаарын тэмдгийн дор тригонометрийн функцүүд байгаа нь эхний гайхалтай хязгаарыг заавал хэрэглэх гэсэн үг биш гэдгийг харуулах гэсэн ганц зорилготойгоор би энэ жишээг өгсөн.

$\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ тул ($\sin\frac(\pi)(2)=1$) гэдгийг санаарай. $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ ($\cos\frac(\pi)(2)=0$ гэдгийг санаарай), тэгвэл бид тодорхойгүй байдалтай тулгарч байна. $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн. Гэсэн хэдий ч энэ нь бид эхний гайхалтай хязгаарыг ашиглах ёстой гэсэн үг биш юм. Тодорхой бус байдлыг илчлэхийн тулд $\cos^2x=1-\sin^2x$-г анхаарч үзэхэд хангалттай.

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\баруун| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Демидовичийн шийдлийн номонд (No 475) ижил төстэй шийдэл байдаг. Хоёрдахь хязгаарын хувьд энэ хэсгийн өмнөх жишээнүүдийн нэгэн адил бидэнд $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдал бий. Яагаад үүсдэг вэ? Энэ нь $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ ба $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$ байдгаас үүсдэг. Бид эдгээр утгуудыг тоологч ба хуваагч дахь илэрхийллийг хувиргахад ашигладаг. Бидний үйл ажиллагааны зорилго: нийлбэрийг тоологч ба хуваагчаар үржвэр болгон бич. Дашрамд хэлэхэд, ижил төстэй хэлбэр доторх хувьсагчийг өөрчлөх нь ихэвчлэн тохиромжтой байдаг тул шинэ хувьсагч тэг болох хандлагатай байдаг (жишээлбэл, энэ хуудасны №9 эсвэл 10-р жишээг үзнэ үү). Гэсэн хэдий ч, онд энэ жишээхувьсагчийг солих нь утгагүй боловч хэрэв хүсвэл $t=x-\frac(2\pi)(3)$ хувьсагчийн өөрчлөлтийг хэрэгжүүлэхэд хялбар байдаг.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\баруун )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\баруун))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3) ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\баруун))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac) (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3) ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\баруун)\cdot\left( -\frac(1)(2)\баруун)) =-\frac(4 )(\sqrt(3)). $$

Таны харж байгаагаар бид эхний гайхалтай хязгаарыг хэрэглэх шаардлагагүй байсан. Мэдээжийн хэрэг, хэрэв хүсвэл үүнийг хийж болно (доорх тэмдэглэлийг үзнэ үү), гэхдээ энэ нь шаардлагагүй юм.

Эхний гайхалтай хязгаарыг ашиглан ямар шийдэл байх вэ? харуулах/нуух

Эхний гайхалтай хязгаарыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\баруун))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi) )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ баруун))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\ frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\баруун) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\баруун)\cdot\left(-\frac(1)(2)\баруун)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Хариулах: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.

Хязгаарын онол бол нэг хэсэг юм математик шинжилгээ. Хязгаарыг шийдэх олон арван арга байдаг тул хязгаарыг шийдвэрлэх асуудал нэлээд өргөн хүрээтэй байдаг төрөл бүрийн. Нэг буюу өөр хязгаарлалтыг шийдвэрлэх боломжийг олгодог олон арван нюанс, заль мэх байдаг. Гэсэн хэдий ч бид практикт ихэвчлэн тохиолддог хязгаарлалтын үндсэн төрлүүдийг ойлгохыг хичээх болно.

Хязгаарын тухай ойлголтоос эхэлье. Гэхдээ эхлээд түүхэн товч мэдээлэл. Нэгэн цагт 19-р зуунд франц хүн Августин Луис Коши байсан бөгөөд тэрээр математикийн анализын үндэс суурийг тавьж, хатуу тодорхойлолт, ялангуяа хязгаарын тодорхойлолтыг өгсөн. Энэ Коши математикийн анализын асар олон тооны теоремуудыг нотолсон бөгөөд нэг теорем нөгөөгөөсөө илүү жигшүүртэй байдаг тул физик-математикийн факультетийн бүх оюутнуудыг мөрөөдөж, зүүдэлж, хар дарсан зүүд зүүдлэх болно гэж хэлэх ёстой. Үүнтэй холбогдуулан бид хязгаарын хатуу тодорхойлолтыг авч үзэхгүй, харин хоёр зүйлийг хийхийг хичээх болно.

1. Хязгаар гэж юу болохыг ойлгох.
2. Хязгаарлалтын үндсэн төрлүүдийг шийдэж сур.

Шинжлэх ухааны үндэслэлгүй тайлбар өгсөнд хүлцэл өчье, энэ материал нь цайны аяганд ч ойлгомжтой байх нь чухал бөгөөд энэ нь үнэндээ төслийн даалгавар юм.

Тэгэхээр хязгаар нь юу вэ?

Тэгээд тэр даруй эмээгээ яагаад сэгсэрдэг тухай жишээ ....

Аливаа хязгаарлалт нь гурван хэсгээс бүрдэнэ:

1) Алдартай хязгаарын дүрс.
2) Хязгаарлалтын дүрсийн доорх оруулгууд, энэ тохиолдолд . Бичлэгт "х нэгдэлд ханддаг" гэж бичсэн байна. Ихэнх тохиолдолд - яг үнэндээ "x"-ийн оронд бусад хувьсагчууд байдаг. Практик даалгаварт нэгжийн оронд ямар ч тоо, мөн хязгааргүй () байж болно.
3) Хязгаарын тэмдгийн доорх функцууд, энэ тохиолдолд .

Бичлэг өөрөө ингэж уншина: "х нь нэгдмэл байх үед функцийн хязгаар".

Дараахь зүйлд дүн шинжилгээ хийцгээе чухал асуулт"X" гэдэг нь юу гэсэн үг вэ? эрэлхийлдэгэв нэгдэлд? Тэгээд ч "хичээл" гэж юу вэ?
Хязгаарын тухай ойлголт бол ойлголт юм. динамик. Дараалал байгуулъя: эхлээд , дараа нь , , …, , ….
Энэ нь "х эрэлхийлдэгнэг"-ийг дараах байдлаар ойлгох хэрэгтэй - "x" нь утгыг тогтмол авдаг Эдгээр нь нэгдмэл байдалд хязгааргүй ойрхон бөгөөд үүнтэй бараг давхцдаг.

Дээрх жишээг хэрхэн шийдвэрлэх вэ? Дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн функц дэх нэгжийг хязгаарын тэмдгийн дор орлуулахад л хангалттай.

Тиймээс эхний дүрэм нь: Ямар нэгэн хязгаарлалт өгөгдсөн бол эхлээд функцэд дугаарыг залгаад үзээрэй.

Бид хамгийн энгийн хязгаарыг авч үзсэн боловч практик дээр ийм хязгаарлалт байдаг бөгөөд тийм ч ховор биш юм!

Хязгааргүй байдлын жишээ:

Энэ юу болохыг ойлгож байна уу? Энэ нь хязгааргүй өсөх үед тохиолддог, өөрөөр хэлбэл: эхлээд, дараа нь, дараа нь, дараа нь, мөн төгсгөлгүй.

Энэ үед функцэд юу тохиолдох вэ?
, , , …

Тэгэхээр: хэрэв , тэгвэл функц нь хасах хязгааргүй байх хандлагатай байна:

Нэгдүгээр дүрмийн дагуу бид функцэд "x"-ийн оронд хязгааргүйг орлуулж, хариултыг авна.

Хязгааргүй байдлын өөр нэг жишээ:

Дахин хэлэхэд бид хязгааргүй хүртэл нэмэгдэж, функцын зан төлөвийг харна уу:

Дүгнэлт: -ийн хувьд функц нь тодорхойгүй хугацаагаар нэмэгддэг:

Мөн өөр нэг цуврал жишээ:

Дараахь зүйлийг сэтгэцийн хувьд задлан шинжилж, хамгийн энгийн хязгаарлалтуудыг санаарай.

, , , , , , , , ,
Хэрвээ хаа нэгтээ эргэлзэж байвал тооны машин аваад бага зэрэг дасгал хийж болно.
Ийм тохиолдолд дарааллыг бий болгохыг хичээ, , . Хэрэв , тэгвэл , , .

Анхаарна уу: хэд хэдэн тооны дарааллыг бий болгох энэ арга нь буруу боловч хамгийн энгийн жишээг ойлгоход тохиромжтой.

Мөн дараах зүйлд анхаарлаа хандуулаарай. Хязгаарыг дээд талд нь олон тоогоор, эсвэл дор хаяж саяаар өгсөн ч гэсэн: , бүгд адилхан , учир нь эрт орой хэзээ нэгэн цагт "x" ийм асар том утгыг авах бөгөөд тэдэнтэй харьцуулахад сая нь жинхэнэ микроб болно.

Дээрхээс юуг санаж, ойлгох ёстой вэ?

1) Ямар нэгэн хязгаарлалт өгөгдсөн бол эхлээд функцэд тоог орлуулахыг оролдоно.

2) Та хамгийн энгийн хязгаарлалтуудыг ойлгож, нэн даруй шийдвэрлэх ёстой , , гэх мэт.

Одоо бид тоо болон хуваагч нь олон гишүүнт байх үед , функц нь бутархай байх үед хязгаарын бүлгийг авч үзэх болно.

Жишээ:

Хязгаарыг тооцоолох

Манай дүрмийн дагуу бид хязгааргүйг функц болгон орлуулахыг хичээх болно. Бид дээд талд юу авах вэ? Хязгааргүй байдал. Тэгээд доор юу болох вэ? Мөн хязгааргүй. Тиймээс бид хэлбэрийн тодорхойгүй байдал гэж нэрлэгддэг. Хэн нэгэн гэж бодож магадгүй бөгөөд хариулт нь бэлэн байна, гэхдээ дотор ерөнхий тохиолдолЭнэ нь огт тийм биш бөгөөд зарим нэг шийдлийг ашиглах ёстой бөгөөд үүнийг бид одоо авч үзэх болно.

Энэ төрлийн хязгаарыг хэрхэн шийдвэрлэх вэ?

Эхлээд бид тоологчийг хараад хамгийн их хүчийг олно.

Тоолуур дахь хамгийн их хүч нь хоёр байна.

Одоо бид хуваагчийг хараад хамгийн дээд зэрэглэлийг олно.

Хувагчийн хамгийн дээд хүч нь хоёр байна.

Дараа нь бид тоологч ба хуваагчийн хамгийн дээд хүчийг сонгоно: энэ жишээнд тэдгээр нь ижил бөгөөд хоёртой тэнцүү байна.

Тиймээс шийдвэрлэх арга нь дараах байдалтай байна: тодорхой бус байдлыг илрүүлэхийн тулд тоологч ба хуваагчийг хамгийн дээд хэмжээгээр хуваах шаардлагатай.

Хариулт нь энд байгаа бөгөөд энэ нь хязгааргүй биш юм.

Шийдвэр гаргахад юу чухал вэ?

Нэгдүгээрт, хэрэв байгаа бол бид тодорхойгүй байдлыг зааж өгнө.

Хоёрдугаарт, завсрын тайлбар хийх шийдлийг тасалдуулах нь зүйтэй юм. Би ихэвчлэн тэмдгийг ашигладаг, энэ нь ямар ч математикийн утгыг агуулдаггүй, гэхдээ завсрын тайлбарын хувьд шийдэл нь тасалдсан гэсэн үг юм.

Гуравдугаарт, хязгаарт юу, хаана ханддагийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Ажлыг гараар зурсан тохиолдолд дараах байдлаар хийх нь илүү тохиромжтой.

Тэмдэглэлийн хувьд энгийн харандаа ашиглах нь дээр.

Мэдээжийн хэрэг, та үүнээс юу ч хийж чадахгүй, гэхдээ дараа нь багш шийдлийн дутагдлыг тэмдэглэж эсвэл даалгаврын талаар нэмэлт асуулт асууж эхлэх болно. Тэгээд чамд хэрэгтэй юу?

Жишээ 2

Хязгаарыг ол
Дахин тоологч ба хуваагчаас бид хамгийн өндөр зэрэгтэй байна:

Тоолуур дахь хамгийн дээд зэрэг: 3
Хуваагчийн дээд зэрэг: 4
Сонго хамгийн агууүнэ цэнэ, энэ тохиолдолд дөрөв.
Бидний алгоритмын дагуу тодорхойгүй байдлыг илрүүлэхийн тулд тоо болон хуваагчийг хуваана.
Бүрэн дизайнажлын байрууд иймэрхүү харагдаж болно:

Тоолуур ба хуваагчийг хуваа

Жишээ 3

Хязгаарыг ол
Тоолуур дахь "x"-ийн хамгийн их зэрэг: 2
Хуваагч дахь "x"-ийн хамгийн их хүч: 1 (ингэж бичиж болно)
Тодорхой бус байдлыг илрүүлэхийн тулд хүртэгч ба хуваагчийг -д хуваах шаардлагатай. Цэвэр шийдэл нь иймэрхүү харагдаж болно:

Тоолуур ба хуваагчийг хуваа

Бичлэг нь тэгээр хуваагдана гэсэн үг биш (тэгээр хуваах боломжгүй), харин хязгааргүй бага тоогоор хуваагдана.

Тиймээс, маягтын тодорхой бус байдлыг тодруулахдаа бид авч болно хязгаарлагдмал тоо, тэг эсвэл хязгааргүй.

Төрөл бүрийн тодорхойгүй байдлын хязгаарлалт ба тэдгээрийг шийдвэрлэх арга

Дараагийн бүлэг хязгаар нь сая авч үзсэн хязгаартай зарим талаараа төстэй: тоологч ба хуваарьт олон гишүүнт байдаг, гэхдээ "x" нь хязгааргүй байх хандлагатай байхаа больсон, харин эцсийн тоо.

Жишээ 4

Хязгаарыг шийд
Эхлээд бутархайд -1-ийг орлуулахыг оролдъё.

Энэ тохиолдолд тодорхойгүй байдал гэж нэрлэгддэг зүйлийг олж авдаг.

Ерөнхий дүрэм : хэрэв тоологч ба хуваагч дотор олон гишүүнт байгаа бөгөөд хэлбэрийн тодорхойгүй байдал байгаа бол түүнийг задлах тоо болон хуваагчийг үржвэрлэх.

Үүнийг хийхийн тулд ихэнхдээ шийдэх шаардлагатай байдаг квадрат тэгшитгэлба/эсвэл үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглах. Хэрэв эдгээр зүйлс мартагдсан бол хуудас руу зочилно уу Математикийн томъёо, хүснэгтмөн шалгана уу арга зүйн материал Халуун сургуулийн математикийн томъёо. Дашрамд хэлэхэд үүнийг хэвлэх нь хамгийн сайн арга юм, энэ нь маш олон удаа шаардлагатай байдаг бөгөөд цаасан дээрх мэдээллийг илүү сайн шингээдэг.

Тиймээс хязгаараа шийдье

Тоолуур ба хуваагчийг хүчин зүйл болгох

Тоолуурыг үржүүлэхийн тулд квадрат тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй.

Эхлээд бид ялгагчийг олно:

Мөн үүний квадрат язгуур: .

Хэрэв ялгаварлагч нь том бол, жишээ нь 361, бид тооцоолуур, олборлох функцийг ашигладаг. квадрат язгуурхамгийн энгийн тооны машин дээр байна.

! Хэрэв үндэс нь бүрэн олборлогдоогүй бол (энэ нь харагдаж байна бутархай тооцэгтэй таслалтай), ялгаварлагчийг буруу тооцоолсон эсвэл даалгаварт үсгийн алдаа гарсан байх магадлалтай.

Дараа нь бид үндсийг нь олно:

Энэ замаар:

Бүх зүйл. Тоолуурыг хүчин зүйлээр тооцно.

Хуваагч. Хуваагч нь аль хэдийн хамгийн энгийн хүчин зүйл бөгөөд үүнийг хялбарчлах арга байхгүй.

Үүнийг дараах байдлаар богиносгож болох нь ойлгомжтой.

Одоо бид хязгаарын тэмдгийн доор үлдсэн илэрхийлэлд -1-ийг орлуулна.

Мэдээжийн хэрэг, тест, шалгалт, шалгалтанд шийдлийг хэзээ ч ийм нарийн зурдаггүй. Эцсийн хувилбарт загвар нь иймэрхүү харагдах ёстой.

Тоолуурыг үржвэр болгоё.

Жишээ 5

Хязгаарыг тооцоолох

Нэгдүгээрт, "цэвэр" шийдэл

Тоолуур ба хуваагчийг үржвэрлэе.

Тоологч:
хуваагч:



,

Энэ жишээнд юу чухал вэ?
Эхлээд та тоологч хэрхэн илчлэгдэж байгааг сайн ойлгох ёстой, эхлээд бид 2-ыг хаалтанд оруулаад дараа нь квадратуудын зөрүүний томъёог ашигласан. Энэ бол таны мэдэж, үзэх ёстой томъёо юм.

Дараалал ба функцийн хязгаарын тухай ойлголт. Дарааллын хязгаарыг олох шаардлагатай үед дараах байдлаар бичнэ: lim xn=a. Ийм дарааллаар xn нь a руу, n нь хязгааргүй рүү тэмүүлдэг. Дарааллыг ихэвчлэн цуврал хэлбэрээр илэрхийлдэг, жишээлбэл:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Дараалал нь өсөх ба буурах гэж хуваагддаг. Жишээлбэл:
xn=n^2 - нэмэгдэж буй дараалал
yn=1/n - дараалал
Жишээлбэл, xn=1/n^ дарааллын хязгаар:
lim1/n^2=0

x→∞
n→∞ ба 1/n^2 дараалал нь тэг болох хандлагатай тул энэ хязгаар тэг байна.

Ихэвчлэн х хувьсагч нь хязгаарлагдмал хязгаарт чиглэдэг бөгөөд үүнээс гадна х нь а руу байнга ойртож байдаг бөгөөд a-ийн утга тогтмол байдаг. Үүнийг дараах байдлаар бичнэ: limx = a, харин n нь мөн тэг болон хязгааргүй байдлын аль алинд нь чиглэж болно. Хязгааргүй функцүүд байдаг бөгөөд тэдний хувьд хязгаар нь хязгааргүй байх хандлагатай байдаг. Бусад тохиолдолд, жишээлбэл, галт тэрэгний хөдөлгөөнийг удаашруулах функцтэй бол хязгаарыг тэг рүү чиглүүлэх боломжтой.
Хязгаарлалт нь хэд хэдэн шинж чанартай байдаг. Дүрмээр бол аливаа функц зөвхөн нэг хязгаартай байдаг. Энэ бол хязгаарын гол шинж чанар юм. Бусад нь доор жагсаагдсан байна:
* Хэмжээний хязгаар нийлбэртэй тэнцүү байнахязгаар:
lim(x+y)=limx+limy
* Бүтээгдэхүүний хязгаар нь хязгаарын үржвэртэй тэнцүү байна:
lim(xy)=limx*limy
* Хэмжилтийн хязгаар нь хязгаарын хуваарьтай тэнцүү байна:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Тогтмол хүчин зүйлийг хязгаарын тэмдэгээс хасна:
lim(Cx)=C lim x
x →∞ 1 /x функц өгөгдсөн бол түүний хязгаар нь тэг болно. Хэрэв x→0 бол ийм функцийн хязгаар нь ∞-тэй тэнцүү байна.
Тригонометрийн функцүүдийн хувьд эдгээр дүрмүүд байдаг. sin x функц нь тэг рүү ойртох тусам үргэлж нэг рүү чиглэдэг тул ижил төстэй байдал нь үүнд хамаарна:
lim sin x/x=1

Хэд хэдэн функцэд тодорхойгүй байдал үүсэх хязгаарыг тооцоолохдоо хязгаарыг тооцоолох боломжгүй нөхцөл байдал үүсдэг. цорын ганц гарцэнэ байдлаасаа L'Hopital болсон. Хоёр төрлийн тодорхойгүй байдал байдаг:
* 0/0 хэлбэрийн тодорхойгүй байдал
* ∞/∞ хэлбэрийн тодорхойгүй байдал
Жишээлбэл, хязгаарыг өгсөн дараах төрөл: lim f(x)/l(x), үүнээс гадна f(x0)=l(x0)=0. Энэ тохиолдолд 0/0 хэлбэрийн тодорхойгүй байдал бий. Ийм асуудлыг шийдэхийн тулд хоёр функцийг ялгаж, дараа нь үр дүнгийн хязгаарыг олно. 0/0 хэлбэрийн тодорхойгүй байдлын хувьд хязгаар нь:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (х→0-ийн хувьд)
∞/∞ төрлийн тодорхойгүй байдлын хувьд мөн адил дүрэм үйлчилнэ. Гэхдээ энэ тохиолдолд дараах тэгш байдал үнэн болно: f(x)=l(x)=∞
L'Hospital дүрмийг ашигласнаар та тодорхойгүй байдал гарч ирэх аливаа хязгаарын утгыг олох боломжтой. Шаардлагатай нөхцөлцагт

эзлэхүүн - дериватив олоход алдаа байхгүй байх. Жишээлбэл, (x^2)" функцийн дериватив нь 2x-тэй тэнцүү байна. Эндээс бид дараах дүгнэлтийг хийж болно.
f"(x)=nx^(n-1)

Энэ математик тооцоолуурШаардлагатай бол онлайн танд туслах болно функцийн хязгаарыг тооцоолох. Програм хязгаарлах шийдлүүдасуудлын хариултыг өгөөд зогсохгүй удирддаг нарийвчилсан шийдэлтайлбартай, өөрөөр хэлбэл хязгаарын тооцооны явцыг харуулна.

Энэ хөтөлбөр нь ахлах ангийн сурагчдад хэрэг болох юм ерөнхий боловсролын сургуулиуд-д бэлтгэж байна хяналтын ажилболон шалгалт, шалгалтын өмнө мэдлэг шалгах үед эцэг эхчүүд математик, алгебрийн олон асуудлын шийдлийг хянах. Эсвэл багш хөлслөх эсвэл шинэ сурах бичиг худалдаж авах нь танд хэтэрхий үнэтэй байж магадгүй юм уу? Эсвэл та үүнийг аль болох хурдан дуусгахыг хүсч байна уу? гэрийн даалгаварматематик эсвэл алгебр? Энэ тохиолдолд та манай програмуудыг нарийвчилсан шийдэлтэй ашиглаж болно.

Ингэснээр та өөрөө болон/эсвэл дүү нарынхаа сургалтыг явуулах боломжтой болохын зэрэгцээ шийдвэрлэх шаардлагатай ажлын хүрээнд боловсролын түвшин нэмэгддэг.

Функцийн илэрхийлэл оруулна уу

Хязгаарыг тооцоолох

Энэ даалгаврыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай зарим скриптүүд ачаалагдаагүй, програм ажиллахгүй байж магадгүй нь тогтоогдсон.
Та AdBlock-ийг идэвхжүүлсэн байж магадгүй.
Энэ тохиолдолд үүнийг идэвхгүй болгож, хуудсыг дахин сэргээнэ үү.

Таны хөтөч дээр JavaScript идэвхгүй байна.
Шийдэл гарч ирэхийн тулд JavaScript идэвхжсэн байх ёстой.
Хөтөч дээрээ JavaScript-г хэрхэн идэвхжүүлэх тухай заавар энд байна.

Учир нь Асуудлыг шийдэх гэсэн хүмүүс их байна, таны хүсэлт дараалалд орчихлоо.
Хэдэн секундын дараа шийдэл доор гарч ирнэ.
Хүлээж байгаарай сек...

Хэрэв чи шийдэлд алдаа байгааг анзаарсан, дараа нь та энэ талаар санал хүсэлтийн маягт дээр бичиж болно.
Битгий мартаарай ямар ажлыг зааж өгнөта юуг шийднэ талбаруудад оруулна уу.

Манай тоглоом, таавар, эмуляторууд:

Жаахан онол.

Функцийн хязгаар нь x-> x 0

Зарим X олонлог дээр f(x) функц тодорхойлогдох ба \(x_0 \ in X \) эсвэл \(x_0 \ not in X \) цэг байг.

X-ээс x 0-ээс өөр цэгүүдийн дарааллыг авна.
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
x* руу нийлэх. Энэ дарааллын цэгүүд дэх функцын утгууд нь тоон дарааллыг бүрдүүлдэг
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
мөн түүний хязгаар байгаа эсэх талаар асуулт тавьж болно.

Тодорхойлолт. X аргументийн утгуудын аль нэг дарааллын (1) хувьд A тоог x \u003d x 0 (эсвэл x -> x 0) цэг дэх f (x) функцийн хязгаар гэж нэрлэдэг. x 0-д нийлдэг, x 0-ээс ялгаатай, утгын функцийн харгалзах дараалал (2) нь А тоонд нийлдэг.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

f(x) функц нь x 0 цэг дээр зөвхөн нэг хязгаартай байж болно. Энэ нь дэс дарааллаас үүдэлтэй
(f(x n)) нь зөвхөн нэг хязгаартай.

Функцийн хязгаарын өөр нэг тодорхойлолт байдаг.

ТодорхойлолтХэрэв ямар нэгэн \(\varepsilon > 0 \) тоонд \(\delta > 0 \) байгаа бол бүх \ (x \in X, \; x \neq x_0 \) тэгш бус байдлыг хангах \(|x-x_0| Логик тэмдэг ашиглан энэ тодорхойлолтыг дараах байдлаар бичиж болно.
\((\forall \varepsilon > 0) (\оршдог \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Тэгш бус байдал \(x \neq x_0) болохыг анхаарна уу. , \; |x-x_0| Эхний тодорхойлолт нь хязгаарын тухай ойлголт дээр суурилдаг тооны дараалал, ийм учраас үүнийг ихэвчлэн "дарааллын хэл" гэсэн тодорхойлолт гэж нэрлэдэг. Хоёр дахь тодорхойлолтыг "хэл \(\varepsilon - \delta \)" тодорхойлолт гэж нэрлэдэг.
Функцийн хязгаарын эдгээр хоёр тодорхойлолт нь тэнцүү бөгөөд та тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхэд аль нь илүү тохиромжтой болохыг нь ашиглаж болно.

"Дарааллын хэлээр" функцийн хязгаарын тодорхойлолтыг Гейнегийн дагуу функцийн хязгаарын тодорхойлолт, "хэлний \(\varepsilon -) функцийн хязгаарын тодорхойлолт гэж нэрлэдэг болохыг анхаарна уу. \delta \)"-ийг Кошигийн дагуу функцийн хязгаарын тодорхойлолт гэж бас нэрлэдэг.

X->x 0 - болон x->x 0 + үед функцийн хязгаар

Дараах зүйлд бид функцийн нэг талт хязгаарын тухай ойлголтуудыг ашиглах бөгөөд эдгээр нь дараах байдлаар тодорхойлогддог.

Тодорхойлолт X 0-д нийлэх аливаа дарааллын (1) х n элементүүд нь x 0-ээс их (бага) байвал харгалзах дараалал бол х 0 цэг дэх f (x) функцийн баруун (зүүн) хязгаар гэж А тоог гэнэ. (2) А-д нийлдэг.

Бэлгэдлийн хувьд дараах байдлаар бичигдсэн байна.
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

"\(\varepsilon - \delta \) хэлээр" функцын нэг талын хязгаарын ижил төстэй тодорхойлолтыг өгч болно:

ТодорхойлолтХэрэв ямар нэгэн \(\varepsilon > 0 \) нь \(\delta > 0 \) байгаа бол x 0 цэг дэх f(x) функцийн баруун (зүүн) хязгаар гэж нэрлэгддэг бөгөөд энэ нь бүх x-ийн хувьд хангагддаг. тэгш бус байдал \(x_0 тэмдэгт оруулгууд:

\((\forall \varepsilon > 0) (\оршдог \delta > 0) (\forall x, \; x_0

Сэдэв 4.6 Хязгаарыг тооцоолох

Функцийн хязгаар нь хязгаарын цэг дээр тодорхойлогдсон эсэхээс хамаардаггүй. Гэхдээ үндсэн функцүүдийн хязгаарыг тооцоолох практикт энэ нөхцөл байдал зайлшгүй шаардлагатай.

1. Хэрэв функц нь энгийн бөгөөд хэрэв аргументын хязгаарын утга нь түүний тодорхойлолтын мужид хамаарах бол функцийн хязгаарын тооцоог аргументийн хязгаарын утгыг энгийн орлуулалт болгон бууруулна. хязгаар үндсэн функц f(x) х тэмүүлж байнаа Тодорхойлолтын мужид орсон , x= үед функцийн хувийн утгатай тэнцүү байна а, өөрөөр хэлбэл lim f(x)=f( а) .

2. Хэрэв x хязгааргүйд очдогэсвэл аргумент нь функцийн мужид хамаарахгүй тоо руу чиглэдэг бол ийм тохиолдол бүрт функцийн хязгаарыг олохын тулд тусгай судалгаа шаардлагатай болно.

Хязгаарын шинж чанарт үндэслэн томъёо болгон ашиглаж болох хамгийн энгийн хязгааруудыг доор харуулав.

Илүү хүнд хэцүү тохиолдлуудФункцийн хязгаарыг олох:

тус бүрийг тусад нь авч үздэг.

Энэ хэсэгт тодорхой бус байдлыг илчлэх үндсэн аргуудыг танилцуулах болно.

1. Тухайн үед х тэмүүлж байнаа f(x) функц нь хоёр хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнүүдийн харьцааг илэрхийлнэ

a) Эхлээд та функцийн хязгаарыг шууд орлуулах замаар олох боломжгүй эсэхийг шалгах хэрэгтэй бөгөөд аргумент дахь заасан өөрчлөлтөөр энэ нь хоёр хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүний харьцааг илэрхийлнэ. Бутархайг 0-д чиглэсэн хүчин зүйлээр багасгахын тулд хувиргалтыг хийдэг. Функцийн хязгаарын тодорхойлолтын дагуу х аргумент нь хэзээ ч түүнтэй давхцдаггүй, түүний хязгаарын утга руу чиглэдэг.

Ерөнхийдөө хэрэв функцийн хязгаарыг хайж байгаа бол х тэмүүлж байнаа , тэгвэл x нь утгыг авдаггүй гэдгийг санах хэрэгтэй а, өөрөөр хэлбэл x нь a-тай тэнцүү биш.

b) Безоутын теоремыг хэрэглэсэн. Хэрэв та тоологч ба хуваагч нь х хязгаарын цэг дээр 0 болж хувирдаг олон гишүүнт бутархайн хязгаарыг хайж байгаа бол \u003d а, тэгвэл дээрх теоремын дагуу олон гишүүнт хоёулаа x-т үлдэгдэлгүй хуваагдана. а.

в) Тоолуур эсвэл хуваагч дахь иррационалийг иррациональ илэрхийлэлд нэгтгэсэн тоологч эсвэл хуваагчийг үржүүлэх замаар устгаж, дараа нь хялбаршуулсаны дараа бутархайг багасгана.

d) 1-р гайхалтай хязгаарыг (4.1) ашигладаг.

e) Бид хязгааргүй бага эквивалент теоремыг ашиглан дараах b.m.

2. Тухайн тохиолдол хэзээ х тэмүүлж байнаа f(x) функц нь хоёр хязгааргүй их хэмжээний харьцааг илэрхийлнэ

a) Бутархайн хуваагч ба хуваагчийг үл мэдэгдэх хамгийн дээд зэрэгт хуваа.

б) Ерөнхийдөө та дүрмийг ашиглаж болно

3. Тухайн тохиолдол хэзээ х тэмүүлж байнаа f(x) функц нь хязгааргүй жижиг утгын үржвэрийг илэрхийлнэ

Бутархай нь тоологч ба хуваагч нь нэгэн зэрэг 0 эсвэл хязгааргүй рүү чиглэдэг хэлбэрт хувирдаг, өөрөөр хэлбэл. 3-р тохиолдол 1 эсвэл 2-р тохиолдол болж буурна.

4. Тухайн тохиолдол хэзээ х тэмүүлж байнаа f(x) функц нь хоёр эерэг хязгааргүй их хэмжигдэхүүний зөрүүг илэрхийлнэ

Энэ тохиолдлыг дараах аргуудын аль нэгээр 1 эсвэл 2 зүйл болгон бууруулна.

a) бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруулах;

б) функцийг бутархай хэлбэрт шилжүүлэх;

в) үндэслэлгүй байдлаас ангижрах.

5. Тухайн тохиолдол хэзээ х тэмүүлж байнаа f(x) функц нь суурь нь 1, илтгэгч нь хязгааргүй рүү тэмүүлдэг хүчийг илэрхийлнэ.

Функцийг 2-р гайхалтай хязгаарыг ашиглах байдлаар өөрчилсөн (4.2).

Жишээ.Хай .

Учир нь x 3 руу чиглэдэг, тэгвэл бутархайн хуваагч нь 3 2 +3 *3+4=22, хуваагч нь 3+8=11 гэсэн тоо руу чиглэнэ. Үүний үр дүнд,

Жишээ

Энд бутархайн тоо ба хуваагч нь x 2 руу чиглэж байна 0 (хэлбэрийн тодорхойгүй байдал), бид тоологч ба хуваагчийг хүчин зүйл болгон задалж, lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5)-ийг авна.

Жишээ

Тоолуур ба хуваагчийг тоологчтой холбох илэрхийллээр үржүүлнэ.

Тоолуур дахь хаалтуудыг нээвэл бид олж авна

Жишээ

2-р түвшин Жишээ. Функцийн хязгаарын тухай ойлголтыг эдийн засгийн тооцоонд хэрэглэх жишээг өгье. Ердийн санхүүгийн гүйлгээг авч үзье: хэмжээний зээл олгох С 0 гэсэн нөхцөлтэйгээр тодорхой хугацааны дараа Тдүнг буцаан олгоно С Т. Үнэ цэнийг тодорхойлъё r харьцангуй өсөлттомъёо

r=(S T -S 0)/S 0 (1)

Харьцангуй өсөлтийг үр дүнгийн утгыг үржүүлэх замаар хувиар илэрхийлж болно r 100-аар.

Томъёогоор (1) утгыг тодорхойлоход хялбар байдаг С Т:

С Т= С 0 (1 + r)

Хэд хэдэн хамарсан урт хугацааны зээлээр шийдвэрлэх үед бүтэн жилнийлмэл хүү ашиглах. Энэ нь 1-р жил бол энэ хэмжээнээс бүрддэг С 0 нэмэгдэнэ (1 + r) удаа, дараа нь хоёр дахь жилдээ (1 + r) дахин нэмэгдэнэ С 1 = С 0 (1 + r), тэр бол С 2 = С 0 (1 + r) 2 . Үүний нэгэн адил энэ нь гарч байна С 3 = С 0 (1 + r) 3. Дээрх жишээнүүдээс үүнийг дүгнэж болно ерөнхий томъёохэмжээний өсөлтийг тооцох nНийлмэл хүүгийн схемийн дагуу тооцохдоо жил:

S n= С 0 (1 + r) n.

Санхүүгийн тооцоонд нийлмэл хүүг жилд хэд хэдэн удаа тооцдог схемийг ашигладаг. Үүний зэрэгцээ, энэ нь заасан жилийн ханш rболон жилийн төлбөрийн тоо к. Дүрмээр бол хуримтлалыг тогтмол интервалаар, өөрөөр хэлбэл интервал бүрийн уртаар хийдэг Т кжилийн нэг хэсэг юм. Дараа нь тодорхой хугацаанд Тжил (энд Тбүхэл тоо байх албагүй) С Ттомъёогоор тооцоолно

(2)

Тухайн тоотой ижил бүхэл тоо хаана байна, жишээ нь: Т? бүхэл тоо.

Жилийн ханш ийм байг rболон үйлдвэрлэсэн nтогтмол хугацаанд жил бүр хуримтлал . Дараа нь тухайн жилийн дүн С 0-ийг томъёогоор тодорхойлсон утга хүртэл нэмэгдүүлнэ

(3)

AT онолын шинжилгээмөн санхүүгийн үйл ажиллагааны практикт "тасралтгүй хуримтлагдсан хүү" гэсэн ойлголт ихэвчлэн тулгардаг. Тасралтгүй хуримтлагдсан хүү рүү шилжихийн тулд (2) ба (3) томъёонд тус тус тоо хэмжээг тодорхойгүй хугацаагаар нэмэгдүүлэх шаардлагатай. кболон n(жишээ нь зорилго кболон nхязгаар хүртэл) ба функцууд аль хязгаарт чиглэхийг тооцоол С Тболон Снэг . Энэ процедурыг (3) томъёонд хэрэглэцгээе:

Буржгар хаалтны хязгаар нь хоёр дахь гайхалтай хязгаартай ижил байна гэдгийг анхаарна уу. Үүнээс үүдэн жилийн ханшаар rтасралтгүй хуримтлагдсан хүүгээр, дүн С 1 жилийн 0 нь үнэ цэнэ хүртэл нэмэгддэг С 1 * , энэ нь томъёогоор тодорхойлогддог

С 1 * = С 0 э (4)

Одоо нийлбэрээ гарга С 0 хүүтэй зээлдүүлсэн nжилд нэг удаа тогтмол давтамжтайгаар. Тэмдэглэх r eжилийн эцэст жилийн ханш С 0 нь утга хүртэл нэмэгддэг С 1 * томъёоноос (4). Энэ тохиолдолд бид үүнийг хэлэх болно r e- энэ бол жилийн хүү nжилд нэг удаа, жилийн хувьтай тэнцэх rтасралтгүй хуримтлалтай.(3) томъёоноос бид олж авна

S* 1 \u003d S 0 (1 + r e / n) n

Сүүлчийн томьёо ба томъёоны (4) зөв хэсгүүдийг тэнцүүлэх, сүүлчийнх нь гэж үзвэл Т= 1, бид хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаарлыг гаргаж болно rболон r e:

Эдгээр томъёог санхүүгийн тооцоололд өргөн ашигладаг.