Бернулли аргыг ашиглан тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ. Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл ба Бернулли тэгшитгэл

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл нь үл мэдэгдэх функц болон түүний деривативтай харьцуулахад шугаман тэгшитгэл юм. Энэ нь иймэрхүү байна

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

Энд p(x) ба q(x) - заасан функцууд x-ийн (1) тэгшитгэлийг нэгтгэх шаардлагатай бүсэд тасралтгүй байна.

Хэрэв q(x)\equiv0 бол (1) тэгшитгэлийг дуудна шугаман нэгэн төрлийн. Энэ нь салангид хувьсагчтай тэгшитгэл бөгөөд байна нийтлэг шийдвэр

Y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\баруун)\!,

Нийтлэг шийдвэр нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлолж болно дурын тогтмолыг өөрчлөх арга, энэ нь (1) тэгшитгэлийн шийдлийг хэлбэрээр хайж байгаа явдал юм

Y=C(x)\exp\!\зүүн(-\int(p(x))\,dx\баруун), энд C(x) нь x-ийн шинэ үл мэдэгдэх функц юм.

Жишээ 1. y"+2xy=2xe^(-x^2) тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.Тогтмол өөрчлөлтийн аргыг ашиглая. Ингээд авч үзье нэгэн төрлийн тэгшитгэлЭнэ нэг төрлийн бус тэгшитгэлд харгалзах y"+2xy=0. Энэ нь салгаж болох хувьсагчтай тэгшитгэл юм. Ерөнхий шийдэл нь y=Ce^(-x^2) .

Бид нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг y=C(x)e^(-x^2) хэлбэрээр хайдаг бөгөөд C(x) нь х-ийн үл мэдэгдэх функц юм. Орлуулбал C"(x)=2x, үүнээс C(x)=x^2+C болно. Тэгэхээр нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь y=(x^2+C)e^(-x^) болно. 2) , энд C - интегралын тогтмол.

Сэтгэгдэл.Энэ нь болж магадгүй юм дифференциал тэгшитгэл y-ийн функц болох х дахь шугаман. Ийм тэгшитгэлийн хэвийн хэлбэр нь

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

Жишээ 2.Тэгшитгэлийг шийд \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

Шийдэл.Хэрэв бид x-ийг у-ийн функц гэж үзвэл энэ тэгшитгэл нь шугаман байна:

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

Бид дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг ашигладаг. Эхлээд бид харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийднэ

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

Энэ нь салангид хувьсагчтай тэгшитгэл юм. Үүний ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(const).

Бид тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг x=C(y)e^(\sin(y)) хэлбэрээр хайдаг бөгөөд C(y) нь у-ийн үл мэдэгдэх функц юм. Орлуулж, бид авна

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2yэсвэл C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

Эндээс хэсэг хэсгээр нь нэгтгэх нь бидэнд бий

\эхлэх(зэрэгцүүлсэн)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y))\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y)),\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)

Тэгэхээр,

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.

Энэ тэгшитгэлийг x=C(y)e^(\sin(y)) гэж орлуулснаар бид анхны тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олж авна.

X=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

Анхны тэгшитгэлийг мөн дараах байдлаар нэгтгэж болно. Бид итгэж байна

Y=u(x)v(x),

Энд u(x) ба v(x) нь x-ийн үл мэдэгдэх функцууд бөгөөд тэдгээрийн аль нэгийг нь жишээ нь v(x)-ыг дур мэдэн сонгож болно.

y=u(x)v(x)-г -д орлуулснаар хувиргасны дараа олж авна

Vu"+(pv+v")u=q(x).

v"+pv=0 нөхцлөөс v(x)-ыг тодорхойлохдоо vu"+(pv+v")u=q(x)-аас u(x) функцийг олж, улмаар y=uv-ийн шийдийг олно. тэгшитгэл \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). v(x)-ын хувьд бид тэгшитгэлийн аль ч байнгын шийдлийг авч болно v"+pv=0,~v\not\equiv0.

Жишээ 3.Кошигийн асуудлыг шийд: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

Шийдэл.Бид y=u(x)v(x) хэлбэрээр тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг хайж байна; Бидэнд y"=u"v+uv" байна. y ба y"-ийн илэрхийлэлийг анхны тэгшитгэлд орлуулбал бид дараах байдалтай болно.

X(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1)эсвэл x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

Бид x(x-1)v"+v=0 нөхцөлөөс v=v(x) функцийг олно. Сүүлчийн тэгшитгэлийн аливаа тодорхой шийдийг авч, жишээ нь v=\frac(x)(x-1) ба түүнийг орлуулахад бид u"=2x-1 тэгшитгэлийг олж авах бөгөөд үүнээс u(x)=x^2-x+C функцийг олно. Тиймээс тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл x(x-1)y"+y=x^2(2x-1)болно

Y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1),эсвэл y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

Анхны y|_(x=2)=4 нөхцөлийг ашиглан С-г олох тэгшитгэлийг олж авна 4=\frac(2C)(2-1)+2^2, эндээс C=0; тэгэхээр заасан Коши бодлогын шийдэл нь y=x^2 функц байх болно.

Жишээ 4. R эсэргүүцэл ба өөрийн индукц L-тэй хэлхээнд гүйдэл i ба цахилгаан хөдөлгөгч хүч Е хооронд хамаарал байдаг нь мэдэгдэж байна. E=Ri+L\frac(di)(dt), энд R ба L тогтмол байна. Хэрэв бид E-г t хугацааны функц гэж үзвэл одоогийн i хүч чадлын шугаман жигд бус тэгшитгэлийг олж авна.

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

Хэзээ тохиолдолд одоогийн хүчийг i(t) ол E=E_0=\text(const)мөн i(0)=I_0.

Шийдэл.Бидэнд байгаа \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). Анхны нөхцөлийг (13) ашиглан бид -аас авна C=I_0-\frac(E_0)(R), тиймээс хүссэн шийдэл байх болно

I(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\баруун)\!e^(-(R/L)t).

Эндээс харахад t\to+\infty үед одоогийн хүч i(t) хандлагатай байна тогтмол утга\frac(E_0)(R) .

Жишээ 5.Шугаман нэг төрлийн бус y"+p(x)y=q(x) тэгшитгэлийн интеграл муруй C_\alpha бүлгийг өгөв.

Шугаман тэгшитгэлээр тодорхойлсон C_\alpha муруйн харгалзах цэгүүдийн шүргэгч нь нэг цэгт огтлолцож байгааг харуул (Зураг 13).

Шийдэл. M(x,y) цэг дээрх дурын C_\alpha муруйн шүргэгчийг авч үзье

\eta-q(x)(\xi-x)=y, энд \xi,\eta нь шүргэгч цэгийн одоогийн координат юм.

Тодорхойлолтоор харгалзах цэгүүдэд х тогтмол, у хувьсагч байна. Харгалзах цэгүүдэд C_\alpha шулуунуудын аль ч хоёр шүргэгчийг авч үзвэл тэдгээрийн огтлолцлын S цэгийн координатыг олж авна.

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

Энэ нь харгалзах цэгүүд дэх C_\alpha муруйнуудын бүх шүргэгч (х тогтмол) нэг цэг дээр огтлолцдог болохыг харуулж байна.

S\!\left(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\баруун).

Систем дэх х аргументыг устгаснаар бид цэгийн байршлын тэгшитгэлийг олж авна S\колон f(\xi,\eta)=0.

Жишээ 6.Тэгшитгэлийн шийдийг ол y"-y=\cos(x)-\sin(x), нөхцөлийг хангаж байна: y нь y\to+\infty-д хязгаарлагдана.

Шийдэл.Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь y=Ce^x+\sin(x) . C\ne0-ийн ерөнхий шийдээс олж авсан тэгшитгэлийн аливаа шийд нь хязгааргүй байх болно, учир нь x\to+\infty-ийн хувьд \sin(x) функц нь хязгаарлагдмал бөгөөд e^x\to+\infty . Үүнээс үзэхэд энэ тэгшитгэл нь x\to+\infty -д хязгаарлагдсан y=\sin(x) өвөрмөц шийдэлтэй бөгөөд үүнийг C=0 цэгийн ерөнхий шийдээс олж авна.

Бернуллигийн тэгшитгэл

Бернуллигийн дифференциал тэгшитгэлшиг харагдаж байна

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, энд n\ne0;1 (n=0 ба n=1-ийн хувьд энэ тэгшитгэл шугаман байна).

Хувьсах орлуулалтыг ашиглах z=\frac(1)(y^(n-1))Бернуллигийн тэгшитгэлийг шугаман тэгшитгэл болгон бууруулж, шугаман тэгшитгэл болгон нэгтгэв.

Жишээ 7.Бернуллигийн y"-xy=-xy^3 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.Тэгшитгэлийн хоёр талыг y^3-т хуваа.

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

Хувьсагчийн өөрчлөлт хийх \frac(1)(y^2)=z\Баруун сум-\frac(2y")(y^3)=z", хаана \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). Орлуулсны дараа сүүлчийн тэгшитгэл нь шугаман тэгшитгэл болж хувирдаг

-\frac(z")(2)-xz=-xэсвэл z"+2xz=2x, ерөнхий шийдэл нь z=1+Ce^(-x^2).

Эндээс бид энэ тэгшитгэлийн ерөнхий интегралыг олж авна

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2)эсвэл y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

Сэтгэгдэл.Бернуллигийн тэгшитгэлийг шугаман тэгшитгэл шиг тогтмол хэмжигдэхүүнийг вариацын аргаар y(x)=u(x)v(x) орлуулах аргаар нэгтгэж болно.

Жишээ 8.Бернуллигийн xy"+y=y^2\ln(x) тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.Дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг хэрэглэцгээе. Харгалзах нэгэн төрлийн xy"+y=0 тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь y=\frac(C)(x) хэлбэртэй байна. Бид тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг y=\frac(C(x)) хэлбэрээр хайдаг. (x) , энд C(x) - анхны тэгшитгэлд орлуулах шинэ үл мэдэгдэх функц байна

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

C(x) функцийг олохын тулд бид салгаж болох хувьсагчтай тэгшитгэлийг олж авах бөгөөд үүнээс хувьсагчдыг салгаж, интегралчлах замаар бид олох болно.

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Баруун сум~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)).

Тэгэхээр анхны тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

Зарим шугаман бус тэгшитгэлАмжилттай олдсон хувьсагчийн өөрчлөлтийн тусламжтайгаар эхний эрэмбийг багасгасан шугаман тэгшитгэлэсвэл Бернуллигийн тэгшитгэлд.

Жишээ 9.Тэгшитгэлийг шийд y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

Шийдэл.Энэ тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичье y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

Тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваах 2\cos^2\frac(y)(2), бид авдаг \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\операторын нэр(tg)\frac(y)(2)+x=0.

Солих \operatorname(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2))энэ тэгшитгэлийг шугаман болгож бууруулна \frac(dz)(dx)+z=-x, ерөнхий шийдэл нь z=1-x+Ce^(-x) .

z-г y-ийн илэрхийллээр орлуулснаар бид энэ тэгшитгэлийн ерөнхий интегралыг олж авна. \operatorname(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

Зарим тэгшитгэлд хүссэн функц y(x) нь интеграл тэмдгийн доор байж болно. Эдгээр тохиолдолд заримдаа энэ тэгшитгэлийг дифференциал тэгшитгэл болгон багасгах боломжтой байдаг.

Жишээ 10.Тэгшитгэлийг шийд x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

Шийдэл.Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг x-тэй харьцуулбал бид олж авна

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (x)эсвэл мэдээллийн эх сурвалж

1-р эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл
Бернуллигийн тэгшитгэл

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

Энд p(x) ба q(x) нь (1) тэгшитгэлийг нэгтгэх шаардлагатай мужид үргэлжилсэн х-ийн функцууд өгөгдсөн.

Хэрэв q(x)\equiv0 бол (1) тэгшитгэлийг дуудна шугаман нэгэн төрлийн. Энэ нь салгаж болох тэгшитгэл бөгөөд ерөнхий шийдэлтэй

y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)\!,

Нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг олж болно дурын тогтмолыг өөрчлөх арга, энэ нь (1) тэгшитгэлийн шийдлийг хэлбэрээр хайж байгаа явдал юм

y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\баруун), энд C(x) нь x-ийн шинэ үл мэдэгдэх функц юм.

Жишээ 1.Тэгшитгэлийг шийд y"+2xy=2xe^(-x^2).

Шийдэл.Тогтмол өөрчлөлтийн аргыг ашиглая. Энэхүү нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлд харгалзах нэгэн төрлийн y"+2xy=0 тэгшитгэлийг авч үзье. Энэ нь салангид хувьсагчтай тэгшитгэл юм. Түүний ерөнхий шийдэл нь y=Ce^(-x^2) хэлбэртэй байна.

Бид нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг y=C(x)e^(-x^2) хэлбэрээр хайдаг бөгөөд C(x) нь х-ийн үл мэдэгдэх функц юм. Орлуулбал C"(x)=2x, үүнээс C(x)=x^2+C болно. Тэгэхээр нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь дараах байдалтай байна. y=(x^2+C)e^(-x^2), энд C нь интегралын тогтмол юм.

Сэтгэгдэл.Дифференциал тэгшитгэл нь у-ийн функцээр x-д шугаман байна. Ийм тэгшитгэлийн хэвийн хэлбэр нь

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

Жишээ 2.Тэгшитгэлийг шийд \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

Шийдэл.Хэрэв бид x-ийг у-ийн функц гэж үзвэл энэ тэгшитгэл нь шугаман байна:

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

Бид дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг ашигладаг. Эхлээд бид харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийднэ

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

Энэ нь салангид хувьсагчтай тэгшитгэл юм. Үүний ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(const).

Бид тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг C(y) нь y-ийн үл мэдэгдэх функц болох хэлбэрээр хайдаг. Орлуулж, бид авна

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2yэсвэл C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

Эндээс хэсэг хэсгээр нь нэгтгэх нь бидэнд бий

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.

Энэ тэгшитгэлийг орлуулах x=C(y)e^(\sin(y)), бид анхны тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг олж авдаг, тиймээс энэ тэгшитгэлийн хувьд:

x=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

Анхны тэгшитгэлийг мөн дараах байдлаар нэгтгэж болно. Бид итгэж байна

y=u(x)v(x),

Энд u(x) ба v(x) нь x-ийн үл мэдэгдэх функцууд бөгөөд тэдгээрийн аль нэгийг нь жишээ нь v(x)-г дур мэдэн сонгож болно.

y=u(x)v(x)-г -д орлуулснаар хувиргасны дараа олж авна

vu"+(pv+v")u=q(x).

v"+pv=0 нөхцлөөс v(x)-ийг тодорхойлохдоо бид -аас олно vu"+(pv+v")u=q(x) u(x) функц ба үүний үр дүнд тэгшитгэлийн y=uv шийдэл \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). v(x)-ын хувьд бид тэгшитгэлийн аль ч байнгын шийдлийг авч болно v"+pv=0,~v\not\equiv0.

Жишээ 3.Кошигийн асуудлыг шийд: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

x(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1)эсвэл x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1),эсвэл y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

Хэзээ тохиолдолд одоогийн хүчийг i(t) ол E=E_0=\text(const)мөн i(0)=I_0.

i(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\баруун)\!e^(-(R/L)t).

Энэ нь t\to+\infty үед i(t) гүйдлийн хүч \frac(E_0)(R) тогтмол утга руу чиглэж байгааг харуулж байна.

Жишээ 5.Шугаман нэг төрлийн бус y"+p(x)y=q(x) тэгшитгэлийн интеграл муруй C_\alpha бүлгийг өгөв.

Шийдэл. M(x,y) цэг дээрх дурын C_\alpha муруйн шүргэгчийг авч үзье

\eta-q(x)(\xi-x)=y, энд \xi,\eta нь шүргэгч цэгийн одоогийн координат юм.

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

Энэ нь C_\alpha муруйнуудын харгалзах цэгүүдийн бүх шүргэгч (x тогтмол) нэг цэг дээр огтлолцдог болохыг харуулж байна.

S\!\left(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\баруун).

Систем дэх х аргументыг устгаснаар бид цэгийн байршлын тэгшитгэлийг олж авна S\колон f(\xi,\eta)=0.

Жишээ 6.Тэгшитгэлийн шийдийг ол y"-y=\cos(x)-\sin(x), нөхцөлийг хангаж байна: y нь y\to+\infty-д хязгаарлагдана.

Бернуллигийн тэгшитгэл

Бернуллигийн дифференциал тэгшитгэлшиг харагдаж байна

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, энд n\ne0;1 (n=0 ба n=1-ийн хувьд энэ тэгшитгэл шугаман байна).

Жишээ 7.Бернуллигийн y"-xy=-xy^3 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.Тэгшитгэлийн хоёр талыг y^3-т хуваа.

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

-\frac(z")(2)-xz=-xэсвэл z"+2xz=2x, ерөнхий шийдэл нь z=1+Ce^(-x^2).

Эндээс бид энэ тэгшитгэлийн ерөнхий интегралыг олж авна

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2)эсвэл y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

Жишээ 8.Бернуллигийн xy"+y=y^2\ln(x) тэгшитгэлийг шийд.

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Баруун сум~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)).

Тэгэхээр анхны тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

Зарим нэг нэгдүгээр зэрэглэлийн шугаман бус тэгшитгэлийг хувьсагчийн амжилттай олсон өөрчлөлтийг ашиглан шугаман тэгшитгэл эсвэл Бернулли тэгшитгэл болгон бууруулж болно.

Жишээ 9.Тэгшитгэлийг шийд y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

Шийдэл.Энэ тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичье y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

Тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваах 2\cos^2\frac(y)(2), бид авдаг \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\операторын нэр(tg)\frac(y)(2)+x=0.

z-г y-ийн илэрхийллээр орлуулснаар бид энэ тэгшитгэлийн ерөнхий интегралыг олж авна. \operatorname(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

Жишээ 10.Тэгшитгэлийг шийд x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

Шийдэл.Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг x-тэй харьцуулбал бид олж авна

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (x)эсвэл \int\limits_(0)^(x)y(t)\,dx=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x^2y(x).

x-ийн хувьд дахин ялгахдаа y(x)\colon-ийн хувьд шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлтэй болно.

y(x)=xy(x)+x^2y"(x)+2xy(x)эсвэл x^2y"(x)+(3x-1)y(x)=0.

Хувьсагчдыг салгаж, нэгтгэснээр бид олдог y=\frac(C)(x^3)e^(-1/x). Энэхүү шийдлийг хялбархан шалгаж болох тул анхны тэгшитгэлийг хангаж байна.

y' + P(x)y = Q(x) хэлбэрийн тэгшитгэлийг P(x) ба Q(x) нь х-ийн мэдэгдэж байгаа функцууд, у функц ба түүний дериватив у'-тай харьцуулахад шугаман байна. нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл.

Хэрэв q(x)=0 бол тэгшитгэлийг шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл гэнэ. q(x)=0 – шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэл.

Шугаман тэгшитгэлийг y = u*v орлуулгыг ашиглан салгаж болох хувьсагчтай хоёр тэгшитгэл болгон бууруулсан ба энд u = u(x) ба v = v(x) нь зарим туслах тасралтгүй функцууд юм.

Тэгэхээр, y = u*v, y’ = u’*v + u * v’ (1),

дараа нь бид анхны тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр бичнэ: u’*v + u * v’ + P(x)*v = Q(x) (2).

Үл мэдэгдэх y функцийг хоёр функцийн үржвэр болгон хайж байгаа тул тэдгээрийн аль нэгийг нь дур мэдэн сонгож, нөгөөг нь (2) тэгшитгэлээр тодорхойлж болно.

v’ + P(x)*v = 0 (3) байхаар сонгоцгооё. Үүний тулд v(x) нь (3) тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн шийдэл байхад хангалттай (C = 0 үед). Энэ шийдлийг олцгооё:

V*P(x); = -;ln |v| = -;v = (4)

(4) функцийг (2) тэгшитгэлд орлуулснаар бид салангид хувьсагчтай хоёр дахь тэгшитгэлийг олж авах бөгөөд үүнээс бид u(x) функцийг олно:

u’ * = Q(x) ; du = Q(x) *; у = +C (5)

Эцэст нь бид:

y(x) = u(x)*v(x) = *( +C)

Бернуллигийн тэгшитгэл:y’ + y = x* y 3

Энэ тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: y’ + P(x)*y = y’’ * Q(x), P(x) ба Q(x) нь тасралтгүй функцууд.

Хэрэв n = 0 бол Бернуллигийн тэгшитгэл нь шугаман дифференциал тэгшитгэл болно. Хэрэв n = 1 бол тэгшитгэл нь салгаж болох тэгшитгэл болно.

Ерөнхийдөө n ≠ 0, 1 үед тэгшитгэл. Бернуллиг орлуулалтыг ашиглан шугаман дифференциал тэгшитгэлд буулгана: z = y 1- n

z(x) функцийн шинэ дифференциал тэгшитгэл нь z" + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x) хэлбэртэй бөгөөд шугаман дифференциалтай ижил аргаар шийдэж болно. 1-р эрэмбийн тэгшитгэл.

20. Дээд зэрэглэлийн дифференциал тэгшитгэл.

Функцийг тодорхой агуулаагүй тэгшитгэлийг авч үзье.

Энэ тэгшитгэлийн дарааллыг орлуулгыг ашиглан нэгээр бууруулна.

Үнэхээр тэгвэл:

Бид дарааллыг нэгээр багасгасан тэгшитгэлийг олж авна.

ялгаа. Хоёрдугаартаас өндөр эрэмбийн тэгшитгэлүүд нь ба хэлбэртэй байна, энд бодит тоо, функц байна f(x)интеграцийн интервал дээр тасралтгүй X.

Ийм тэгшитгэлийг аналитик аргаар шийдвэрлэх нь үргэлж боломжгүй байдаг бөгөөд ихэвчлэн ойролцоо аргыг ашигладаг. Гэсэн хэдий ч зарим тохиолдолд ерөнхий шийдлийг олох боломжтой байдаг.

Теорем.

Ерөнхий шийдэл y 0 интервал дээрх шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл Xтасралтгүй коэффициентүүдтэй Xшугаман хослол юм n LODE-ийн шугаман бие даасан хэсэгчилсэн шийдлүүд дур зоргоороо тогтмол коэффициентүүд , тэр бол .

Теорем.

Нийтлэг шийдвэр yшугаман нэг төрлийн бус дифференциал

интервал дээрх тэгшитгэлүүд Xижил дээр үргэлжилсэн хүмүүстэй

хооронд Xкоэффициент ба функц f(x)хэмжээг илэрхийлнэ

Хаана y 0 нь харгалзах LODE-ийн ерөнхий шийдэл бөгөөд анхны LODE-ийн тодорхой шийдэл юм.

Ийнхүү тогтмол тоотой шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл

хэлбэрээр коэффициент хайж байна , хаана - зарим

түүний хувийн шийдэл, мөн – харгалзах нэгэн төрлийн дифференциалын ерөнхий шийдэл

тэгшитгэл

21. Туршилт, үйл явдал. Үйл явдлын төрлүүд. Жишээ.

Туршилт гэдэг нь үйл явдал тохиолдох тодорхой нөхцлийг бүрдүүлэх явдал юм. Жишээ нь: шоо шидэх

Үйл явдал - нэг буюу өөр туршилтын үр дүн гарах/байхгүй байх; туршилтын үр дүн. Жишээ нь: 2-ын тоог эргүүлэх

Санамсаргүй үйл явдал нь тухайн туршилтын явцад тохиолдож болох эсвэл тохиолдохгүй байж болзошгүй үйл явдал юм. Жишээ нь: 5-аас их тоог эргүүлэх

Найдвартай - өгөгдсөн туршилтын явцад зайлшгүй тохиолддог үйл явдал. Жишээ нь: 1-ээс их буюу тэнцүү тоог эргүүлэх

Боломжтой - өгөгдсөн туршилтын явцад тохиолдож болох үйл явдал. Жишээ нь: 6 дугаарыг эргэлдүүлэх

Боломжгүй - өгөгдсөн туршилтын явцад тохиолдох боломжгүй үйл явдал. Жишээ нь: 7 дугаарыг эргүүлэх

А нь ямар нэгэн үйл явдал байг. Үүний эсрэг үйл явдлаар бид А үйл явдал тохиолдохгүй байгаа үйл явдлыг ойлгох болно. Зориулалт: Ᾱ. Жишээ нь: A – 2-ын тоог өнхрүүлсэн, Ᾱ – өөр ямар ч тоог өнхрүүлсэн

Хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь тохиолдсон нь нөгөө нь ижил шүүх хуралдаанд тохиолдохыг үгүйсгэж байвал А ба В үйл явдлууд нийцэхгүй байна. Жишээ нь: 1 ба 3-ын тоог ижил өнхрүүлгээр авах.

А ба В үйл явдлууд нэг туршилтаар тохиолдох боломжтой бол хамтарсан гэж нэрлэдэг. Жишээ нь: 2-оос их тоо болон 4-ийг нэг өнхрүүлгээр авах.

22. Бүтэн үйл явдлын бүлэг. Жишээ.

Бүрэн бүлэг үйл явдлууд - A, B, C, D, ..., L үйл явдлууд, хэрэв туршилт бүрийн үр дүнд ядаж нэг нь гарцаагүй тохиолдох юм бол цорын ганц боломжтой гэж үздэг. Жишээ нь: шоо дээр 1, 2, 3, 4, 5, 6 гэсэн тоо гарч ирнэ.

23. Үйл явдлын давтамж. Магадлалын статистик тодорхойлолт.

n туршилт явуулъя, А үйл явдал m удаа тохиолдоно. Энэ m:n харьцаа нь А үйл явдал тохиолдох давтамж юм.

Def. Санамсаргүй тохиолдлын магадлал нь өгөгдсөн үйл явдалтай холбоотой тогтмол тоо бөгөөд түүний эргэн тойронд энэ үйл явдлын давтамж нь урт цуврал туршилтуудад хэлбэлздэг.

Магадлалыг туршилтын өмнө, дараа нь давтамжийг тооцдог.

24. Магадлалын сонгодог тодорхойлолт. Үйл явдлын магадлалын шинж чанарууд.

X үйл явдлын магадлал нь А үйл явдалд таатай үр дүнгийн тоог харьцуулсан харьцаа юм нийт тоотуршилтын бүх ижил боломжтой хосоор үл нийцэх, онцгой боломжтой үр дүн. P(A) =

Үйл явдлын магадлалын шинж чанарууд:

Аливаа үйл явдлын хувьд A 0<=m<=n

Нэр томьёо бүрийг n-д хуваахад бид аливаа үйл явдлын магадлалын хувьд А: 0 гарна<=Р(А) <=1

Хэрэв m=0 бол үйл явдал боломжгүй болно: P(A)=0

Хэрэв m=n бол үйл явдал найдвартай болно: P(A)=1

Хэрэв м

25. Магадлалын геометрийн тодорхойлолт. Жишээ.

Магадлалын сонгодог тодорхойлолт нь хязгаарлагдмал тооны энгийн үр дүнг авч үзэхийг шаарддаг, мөн адил боломжтой. Гэвч бодит байдал дээр үр дүнгийн тоо хязгааргүй байдаг тестүүд ихэвчлэн байдаг.

ODA. Хэрэв цэг нь нэг хэмжээст, хоёр хэмжээст эсвэл гурван хэмжээст S мужид санамсаргүй байдлаар гарч ирвэл (хэмжих хэмжээ нь түүний урт, талбай эсвэл эзэлхүүн юм) S хэмжүүрийн энэ мужид түүний харагдах магадлал тэнцүү байна. руу

Энд S нь нийт тоог илэрхийлдэг геометрийн хэмжүүр юм бүгд боломжтой, адилхан боломжтойЭнэ шүүх хурлын үр дүн, мөн С би– А үйл явдалд таатай үр дүнгийн тоог илэрхийлсэн хэмжүүр.

Жишээ 1. R радиустай тойргийг r радиустай жижиг тойрогт байрлуулсан. Том тойрог руу санамсаргүй байдлаар шидсэн цэг мөн жижиг тойрогт унах магадлалыг ол.

Жишээ 2. l урттай хэрчмийг L урттай хэрчимд оруулъя. А үйл явдлын магадлалыг олоорой “Санамсаргүй шидсэн цэг l урттай хэрчим дээр унах”.

Жишээ 3. Тойрог дотор санамсаргүй байдлаар цэгийг сонгоно. Тойргийн төв хүртэлх зай нь хагасаас их байх магадлал хэд вэ?

Жишээ 4.Хоёр хүн үдээс хойш хоёроос гурван цагийн хооронд тодорхой газар уулзахаар тохиролцов. Эхний ирсэн хүн нөгөө хүнээ 10 минут хүлээгээд гараад явчихдаг. Эдгээр хүмүүс заасан цагт, нөгөөгөөсөө үл хамааран хүссэн цагтаа ирэх боломжтой бол уулзах магадлал хэд вэ?

26. Комбинаторикийн элементүүд: Байршил, орлуулах, хослолууд.

1) Өөрчлөлтхязгаарлагдмал олонлогт тогтсон дараалал гэж нэрлэдэг.

Бүх өөр өөр орлуулалтын тоог томъёогоор тооцоолно

2) Байршил-аас nэлементүүд мюу ч гэж нэрлэдэг эмх цэгцтэй m элемент агуулсан үндсэн олонлогийн дэд олонлог.

3) хослол-аас nэлементүүд мюу ч гэж нэрлэдэг эмх замбараагүй элементүүдийг агуулсан үндсэн багцын дэд олонлог.

Бернуллигийн дифференциал тэгшитгэл дараах хэлбэрийн тэгшитгэл юм.
, энд n ≠ 0 , n ≠ 1 , p ба q нь x-ийн функцууд юм.

Бернуллигийн дифференциал тэгшитгэлийг шугаман тэгшитгэлд буулгах замаар шийдвэрлэх

Бернулли дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье.
(1) ,
хаана n ≠ 0 , n ≠ 1 , p ба q нь x-ийн функцууд юм.
Үүнийг y n-д хуваая. y ≠ үед 0 эсвэл n< 0 бидэнд байгаа:
(2) .
Энэ тэгшитгэлийг хувьсагчийн өөрчлөлтийг ашиглан шугаман тэгшитгэл болгон бууруулж болно.
.
Үүнийг үзүүлье. Нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийн дагуу:
;
.
Орлуулж орцгооё (2) болон хувиргах:
;
.
Энэ бол шугаман, z-тэй харьцангуй дифференциал тэгшитгэл юм. Үүнийг шийдсэний дараа n >-ийн хувьд 0 , бид y = тохиолдлыг авч үзэх хэрэгтэй 0 . n > үед 0 , y = 0 нь мөн тэгшитгэлийн шийдэл юм (1) мөн хариултанд оруулах ёстой.

Бернулли аргын шийдэл

Асуулттай тэгшитгэл (1) Мөн Бернуллигийн аргаар шийдэж болно. Үүнийг хийхийн тулд бид хоёр функцийн үржвэр хэлбэрээр анхны тэгшитгэлийн шийдлийг хайж байна.
y = u·v ,
Энд u ба v нь x функцууд юм. x-ээр ялгах:
y' = u' v + u v' .
Анхны тэгшитгэлд орлуулна уу (1) :
;
(3) .
v-ийн хувьд бид тэгшитгэлийн тэгээс бусад шийдлийг авна.
(4) .
тэгшитгэл (4) салангид хувьсагчтай тэгшитгэл юм. Бид үүнийг шийдэж, тодорхой шийдлийг олдог v = v (x). Бид тодорхой шийдлийг орлуулдаг (3) . Энэ нь тэгшитгэлийг хангаж байгаа тул (4) , дараа нь хаалтанд байгаа илэрхийлэл тэг болно. Бид авах:
;
.
Энд v нь х-ийн аль хэдийн мэдэгдэж байсан функц юм. Энэ бол салгаж болох хувьсагчтай тэгшитгэл юм. Бид түүний ерөнхий шийдийг олдог ба үүнтэй хамт y = uv анхны тэгшитгэлийн шийдийг олдог.

Бернулли дифференциал тэгшитгэлийг шийдэх жишээ

Тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл

Өнгөц харахад энэ дифференциал тэгшитгэл нь Бернуллигийн тэгшитгэлтэй төстэй биш юм шиг санагддаг. Хэрэв бид x-г бие даасан хувьсагч, y-г хамааралтай хувьсагч гэж үзвэл (өөрөөр хэлбэл у нь х-ийн функц бол) энэ нь үнэн юм. Гэхдээ хэрэв бид y-г бие даасан хувьсагч, х-г хамааралтай хувьсагч гэж үзвэл энэ нь Бернуллигийн тэгшитгэл гэдгийг амархан харж болно.

Тиймээс бид x нь у-ийн функц гэж таамаглаж байна. Орлуулж үржүүлье:
;
;
(P.1) .
Энэ бол n =-тэй Бернуллигийн тэгшитгэл юм 2 . Энэ нь дээр дурдсан тэгшитгэлээс ялгаатай (1) , зөвхөн хувьсагчийн тэмдэглэгээгээр (y-ийн оронд x). Бид Бернуллигийн аргаар шийддэг. Сэлгээ хийцгээе:
x = u v ,
Энд u ба v нь y-ийн функцууд юм. y-ээр ялгах:
.
Орлуулж орцгооё (P.1):
;
(P.2) .
Бид ямар ч тэгээс өөр функц хайж байна v (y), тэгшитгэлийг хангаж байна:
(P.3) .
Бид хувьсагчдыг ялгадаг:
;
;
.
C = гэж тавьцгаая 0 , учир нь бидэнд тэгшитгэлийн шийдэл хэрэгтэй (P.3).
;
.
Орлуулж орцгооё (P.2)хаалт дахь илэрхийлэл нь тэгтэй тэнцүү байна гэж үзвэл (учир нь (P.3)):
;
;
.
Хувьсагчдыг салгацгаая. u ≠ үед 0 бидэнд байгаа:
;
(P.4) ;
.
Хоёр дахь интегралд бид орлуулалтыг хийнэ:
;
.

y" +a 0 (x)y=b(x)y n дифференциал тэгшитгэлийг нэрлэнэ Бернуллигийн тэгшитгэл.
n=0 байхад шугаман тэгшитгэл, n=1 - салангид хувьсагчтай байх тул n ≠ 0 ба n ≠ 1 гэж үзнэ. (1)-ийн хоёр талыг y n-д хуваа. Дараа нь бид . Энэ илэрхийлэлийг орлуулснаар бид олж авна , эсвэл, энэ нь ижил зүйл, z" + (1-n)a 0 (x)z = (1-n)b(x). Энэ бол бидний хэрхэн шийдэхийг мэддэг шугаман тэгшитгэл юм.

Үйлчилгээний зорилго. Шийдлийг шалгахын тулд онлайн тооцоолуур ашиглаж болно Бернулли дифференциал тэгшитгэл.

Жишээ 1. y" + 2xy = 2xy 3 тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол. Энэ бол n=3-ын хувьд Бернуллигийн тэгшитгэл юм. Тэгшитгэлийн хоёр талыг y 3-т хуваахад бид олддог. Өөрчлөлт хийнэ. Дараа нь тэгшитгэлийг -z гэж дахин бичнэ. " + 4xz = 4x. Энэ тэгшитгэлийг дурын тогтмолыг өөрчлөх аргаар шийдэж, бид олж авна хаана эсвэл ижил зүйл юу вэ, .

Жишээ 2. y"+y+y 2 =0
y"+y = -y 2

y 2-т хуваана
y"/y 2 + 1/y = -1

Бид орлуулалт хийдэг:
z=1/y n-1 , i.e. z = 1/y 2-1 = 1/y
z = 1/y
z"= -y"/y 2

Бид дараахийг авна: -z" + z = -1 эсвэл z" - z = 1

Жишээ 3. xy’+2y+x 5 y 3 e x =0
Шийдэл.
a) Бернулли тэгшитгэлээр шийдэх.
Үүнийг xy’+2y=-x 5 y 3 e x хэлбэрээр үзүүлье. Энэ бол n=3-ын хувьд Бернуллигийн тэгшитгэл юм. Тэгшитгэлийн хоёр талыг y 3-т хуваавал: xy"/y 3 +2/y 2 =-x 5 e x. Бид орлуулалтыг хийнэ: z=1/y 2. Дараа нь z"=-2/y 3 болно. тиймээс тэгшитгэлийг : -xz"/2+2z=-x 5 e x хэлбэрээр бичнэ. Энэ нь нэг төрлийн бус тэгшитгэл юм. Харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг авч үзье: -xz"/2+2z=0
1. Үүнийг шийдэж, бид дараахийг олж авна: z"=4z/x

Интеграцчилснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.
ln(z) = 4ln(z)
z=x4. Бид одоо анхны тэгшитгэлийн шийдлийг y(x) = C(x)x 4 , y"(x) = C(x)"x 4 + C(x)(x 4)" хэлбэрээр хайж байна.
-x/2(4C(x) x 3 +C(x)" x 4)+2y=-x 5 e x
-C(x)" x 5 /2 = -x 5 e x эсвэл C(x)" = 2e x . Интеграцчилснаар бид дараахийг олж авна: C(x) = ∫2e x dx = 2e x +C
y(x)=C(x)y нөхцөлөөс бид: y(x) = C(x)y = x 4 (C+2e x) эсвэл y = Cx 4 +2x 4 e x болно. z=1/y 2 тул: 1/y 2 = Cx 4 +2x 4 e x болно.