2 цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэл. Өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл: жишээ, шийдэл

Хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэл.
Чиглэлийн вектор шулуун байна. Ердийн вектор

Хавтгай дээрх шулуун шугам бол хамгийн энгийн шугамуудын нэг юм геометрийн хэлбэрүүд, бага ангиасаа танил болсон бөгөөд өнөөдөр бид аналитик геометрийн аргуудыг ашиглан үүнийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах болно. Материалыг эзэмшихийн тулд шулуун шугам барих чадвартай байх шаардлагатай; аль тэгшитгэл нь шулуун шугам, тухайлбал эхийг дайран өнгөрөх шулуун шугам, координатын тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг тодорхойлохыг мэдэх. Энэ мэдээлэлгарын авлагаас олж болно График ба энгийн функцүүдийн шинж чанарууд, Би үүнийг matan зориулж бүтээсэн, гэхдээ тухай хэсэг шугаман функцмаш амжилттай, дэлгэрэнгүй болсон. Тиймээс, эрхэм цайны савнуудаа эхлээд тэнд дулаацаарай. Үүнээс гадна танд байх хэрэгтэй үндсэн мэдлэгтухай векторуудэс бөгөөс материалын талаарх ойлголт бүрэн бус байх болно.

Энэ хичээлээр бид хавтгайд шулуун шугамын тэгшитгэлийг бичих аргуудыг авч үзэх болно. Би танд практик жишээг үл тоомсорлохгүй байхыг зөвлөж байна (энэ нь маш энгийн мэт санагдаж байсан ч) би тэдэнд анхан шатны болон чухал баримтууд, ирээдүйд шаардагдах техникийн аргууд, түүний дотор дээд математикийн бусад хэсгүүдэд.

• Налуутай шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?
• Хэрхэн ?
• Шулууны ерөнхий тэгшитгэлээр чиглэлийн векторыг хэрхэн олох вэ?
• Цэг ба хэвийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?

мөн бид эхэлнэ:

Налуутай шугамын тэгшитгэл

Шулуун шугамын тэгшитгэлийн алдартай "сургууль" хэлбэрийг нэрлэдэг налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл. Жишээлбэл, шулуун шугамыг тэгшитгэлээр өгвөл түүний налуу: . Геометрийн утгыг анхаарч үзээрэй өгөгдсөн коэффициентболон түүний үнэ цэнэ нь шугамын байршилд хэрхэн нөлөөлдөг вэ:

Энэ нь геометрийн явцад батлагдсан шулуун шугамын налуу нь өнцгийн тангенсэерэг тэнхлэгийн чиглэлийн хоорондба өгөгдсөн шугам: , мөн булан нь цагийн зүүний эсрэг "эрэггүй" байна.

Зургийг эмх замбараагүй болгохгүйн тулд би зөвхөн хоёр шулуун шугамын өнцөг зурсан. "Улаан" шулуун шугам ба түүний налууг анхаарч үзээрэй. Дээр дурдсанчлан: ("альфа" өнцгийг ногоон нумаар заана). Налуутай "цэнхэр" шулуун шугамын хувьд тэгш байдал нь үнэн юм ("бета" өнцгийг хүрэн нумаар тэмдэглэсэн). Хэрэв өнцгийн тангенс мэдэгдэж байгаа бол шаардлагатай бол олоход хялбар болно болон буланашиглах замаар урвуу функц- артангенс. Тэдний хэлснээр гарт тригонометрийн хүснэгт эсвэл тооцоолуур байдаг. Энэ замаар, налуу нь шулуун шугамын х тэнхлэгт налуугийн түвшинг тодорхойлдог.

Үүний зэрэгцээ энэ нь боломжтой юм дараах тохиолдлууд:

1) Хэрэв налуу нь сөрөг байвал: , дараа нь шугам нь дээрээс доошоо явна. Жишээ нь зураг дээрх "цэнхэр", "час улаан" шулуун шугамууд юм.

2) Хэрэв налуу эерэг байвал: , дараа нь шугам нь доороос дээш гарна. Жишээ нь зураг дээрх "хар", "улаан" шулуун шугамууд юм.

3) Хэрэв налуу нь тэгтэй тэнцүү бол: , тэгшитгэл нь хэлбэрийг авах бөгөөд харгалзах шугам нь тэнхлэгтэй параллель байна. Жишээ нь "шар" шугам юм.

4) Тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамын гэр бүлийн хувьд (зураг дээр тэнхлэгээс бусад жишээ байхгүй) налуу байдаггүй (90 градусын тангенс тодорхойлогдоогүй).

Налуугийн модуль их байх тусам шугамын график илүү эгц болно.

Жишээлбэл, хоёр шулуун шугамыг авч үзье. Эндээс шулуун шугам нь илүү эгц налуутай байна. Модуль нь тэмдгийг үл тоомсорлох боломжийг танд сануулж байна, бид зөвхөн сонирхож байна үнэмлэхүй утгуудөнцгийн коэффициентүүд.

Хариуд нь шулуун шугам нь шулуун шугамаас илүү эгц байдаг. .

Үүний эсрэгээр: налуугийн модуль бага байх тусам шулуун шугам нь тэгш болно.

Шулуун шугамын хувьд тэгш бус байдал нь үнэн тул шулуун шугам нь халхавчаас илүү юм. Хөхөрсөн, овойлт тарихгүйн тулд хүүхдийн слайд.

Энэ яагаад хэрэгтэй вэ?

Зовлон зүдгүүрээ уртасга. Дээрх баримтуудыг мэдэх нь алдаагаа, ялангуяа график зурахдаа алдаагаа шууд олж харах боломжийг олгоно - хэрэв зураг нь "ямар нэгэн зүйл буруу болсон" бол. Энэ нь танд зүйтэй юм шуудЖишээ нь, шулуун шугам нь маш эгц бөгөөд доороос дээш явдаг, шулуун шугам нь маш хавтгай, тэнхлэгт ойрхон, дээрээс доош явдаг нь тодорхой байв.

Геометрийн асуудлуудад хэд хэдэн шулуун шугамууд ихэвчлэн гарч ирдэг тул тэдгээрийг ямар нэгэн байдлаар тэмдэглэхэд тохиромжтой.

Тэмдэглэгээ: шулуун шугамыг жижиг латин үсгээр тэмдэглэнэ: . Алдартай сонголт бол байгалийн доод үсэгтэй ижил үсгийн тэмдэглэгээ юм. Жишээлбэл, бидний саяхан авч үзсэн таван мөрийг дараах байдлаар тэмдэглэж болно .

Аливаа шулуун шугам нь хоёр цэгээр тодорхойлогддог тул дараахь цэгүүдээр тэмдэглэж болно. гэх мэт. Тэмдэглэгээ нь цэгүүд нь шугаманд харьяалагддаг гэдгийг тодорхой харуулж байна.

Жаахан тайвшрах цаг:

Налуутай шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?

Хэрэв тодорхой шугамд хамаарах цэг ба энэ шугамын налуу нь мэдэгдэж байгаа бол энэ шугамын тэгшитгэлийг дараах томъёогоор илэрхийлнэ.

Жишээ 1

Хэрэв цэг нь энэ шулуун шугамд хамаарах нь мэдэгдэж байгаа бол налуутай шулуун шугамын тэгшитгэлийг зохио.

Шийдэл: Бид томьёоны дагуу шулуун шугамын тэгшитгэлийг зохио . AT Энэ тохиолдолд:

Хариулт:

Шалгалтүндсэн байдлаар гүйцэтгэсэн. Эхлээд бид үүссэн тэгшитгэлийг хараад бидний налуу байрандаа байгаа эсэхийг шалгаарай. Хоёрдугаарт, цэгийн координат нь өгөгдсөн тэгшитгэлийг хангасан байх ёстой. Тэдгээрийг тэгшитгэлд оруулъя:

Зөв тэгш байдлыг олж авсан бөгөөд энэ нь цэг нь үүссэн тэгшитгэлийг хангаж байна гэсэн үг юм.

Дүгнэлт: Тэгшитгэл зөв олдсон.

Илүү төвөгтэй жишээ бие даасан шийдвэр:

Жишээ 2

Шулууны тэнхлэгийн эерэг чиглэлд налуу өнцөг нь , цэг нь энэ шулуунд хамаарах нь мэдэгдэж байвал шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Хэрэв танд асуудал байгаа бол дахин уншина уу онолын материал. Илүү нарийн, илүү практик, би олон нотлох баримтыг алдаж байна.

дуугарлаа Сүүлийн дуудлага, төгсөлтийн үдэшлэг унтарч, хаалганы гадна талд байна гэрийн сургуульБид үнэндээ аналитик геометрийг хүлээж байна. Хошигнол дууслаа... Магадгүй дөнгөж эхэлж байгаа байх =)

Дурсамжтайгаар бид танил тал руу бариулыг даллаж, шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлтэй танилцдаг. Аналитик геометрийн хувьд яг үүнийг ашиглаж байгаа тул:

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна: , зарим тоо хаана байна. Үүний зэрэгцээ коэффициентүүд нэгэн зэрэгтэгшитгэл утгаа алддаг тул тэгтэй тэнцүү биш байна.

Костюм өмсөж, налуутай тэгшитгэлийг уяцгаая. Эхлээд бид бүх нөхцөлийг шилжүүлдэг зүүн тал:

"x"-тэй нэр томъёог эхний ээлжинд оруулах ёстой:

Зарчмын хувьд тэгшитгэл нь аль хэдийн хэлбэртэй байна , гэхдээ математикийн ёс зүйн дүрмийн дагуу эхний нэр томъёоны коэффициент (энэ тохиолдолд ) эерэг байх ёстой. Өөрчлөгдсөн тэмдгүүд:

Үүнийг санаарай техникийн шинж чанар! Бид эхний коэффициентийг (ихэнхдээ) эерэг болгодог!

Аналитик геометрийн хувьд шулуун шугамын тэгшитгэлийг бараг үргэлж ерөнхий хэлбэрээр өгөх болно. За, шаардлагатай бол үүнийг налуутай "сургууль" хэлбэрт оруулахад хялбар байдаг (y тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамуудаас бусад).

Юу гэж өөрөөсөө асууцгаая хангалттайшулуун шугам барихыг мэдэх үү? Хоёр оноо. Харин энэ бага насны хэргийн талаар дараа нь, одоо сумны дүрэм нь зөөгч. Шулуун шугам бүр нь "дасан зохицоход" хялбар байдаг тодорхой налуутай. вектор.

Шугамтай параллель байх векторыг тухайн шугамын чиглэлийн вектор гэнэ.. Мэдээжийн хэрэг, аливаа шулуун шугам нь хязгааргүй олон чиглэлтэй векторуудтай бөгөөд тэдгээр нь бүгд коллинеар байх болно (хамтран чиглүүлэх эсэх нь хамаагүй).

Би чиглэлийн векторыг дараах байдлаар тэмдэглэнэ: .

Гэхдээ нэг вектор нь шулуун шугам барихад хангалтгүй, вектор нь чөлөөтэй бөгөөд онгоцны аль ч цэгт холбогддоггүй. Тиймээс шугамд хамаарах зарим цэгийг мэдэх шаардлагатай.

Цэг ба чиглэлийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?

Хэрэв шугамд хамаарах тодорхой цэг ба энэ шугамын чиглүүлэгч вектор мэдэгдэж байгаа бол энэ шугамын тэгшитгэлийг дараах томъёогоор эмхэтгэж болно.

Заримдаа үүнийг дууддаг шугамын каноник тэгшитгэл .

Хэзээ юу хийх вэ координатуудын нэгтэг бол бид доорх практик жишээг авч үзэх болно. Дашрамд хэлэхэд, анхаарна уу - хоёулаа нэгэн зэрэгТэг вектор нь тодорхой чиглэлийг заагаагүй тул координатууд тэг байж болохгүй.

Жишээ 3

Цэг ба чиглэлийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич

Шийдэл: Бид томьёоны дагуу шулуун шугамын тэгшитгэлийг зохио. Энэ тохиолдолд:

Пропорцын шинж чанарыг ашиглан бид бутархай хэсгүүдээс сална.

Тэгээд бид тэгшитгэлийг авчирдаг ерөнхий үзэл:

Хариулт:

Ийм жишээн дээр зурах нь дүрмээр бол шаардлагагүй, гэхдээ ойлгохын тулд:

Зураг дээр бид эхлэх цэг, анхны чиглэлийн вектор (энэ нь хавтгай дээрх аль ч цэгээс хойшлогдож болно) болон баригдсан шугамыг харж байна. Дашрамд хэлэхэд, олон тохиолдолд шулуун шугам барих нь налуу тэгшитгэлийг ашиглан хамгийн тохиромжтой байдаг. Бидний тэгшитгэлийг хэлбэрт шилжүүлэхэд хялбар бөгөөд шулуун шугам барихын тулд ямар ч асуудалгүйгээр дахин нэг цэгийг сонгоно.

Хэсгийн эхэнд дурьдсанчлан шулуун нь хязгааргүй олон чиглэлийн векторуудтай бөгөөд тэдгээр нь бүгд хоорондоо уялдаатай байдаг. Жишээлбэл, би ийм гурван вектор зурсан: . Аль чиглэлийн векторыг сонгохоос үл хамааран үр дүн нь үргэлж ижил шулуун шугамын тэгшитгэл байх болно.

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг цэг ба чиглүүлэх вектороор байгуулъя.

Пропорцийг задлах:

Хоёр талыг -2-т хувааж, танил тэгшитгэлийг гарга.

Хүссэн хүмүүс мөн адил векторуудыг туршиж үзэх боломжтой эсвэл бусад коллинеар вектор.

Одоо урвуу асуудлыг шийдье:

Шулууны ерөнхий тэгшитгэлээр чиглэлийн векторыг хэрхэн олох вэ?

Маш энгийн:

Хэрэв шугам нь ерөнхий тэгшитгэлээр өгөгдсөн бол тэгш өнцөгт системкоординат, тэгвэл вектор нь өгөгдсөн шугамын чиглэлийн вектор болно.

Шулуун шугамын чиглэлийн векторуудыг олох жишээ:

Энэхүү мэдэгдэл нь бидэнд хязгааргүй олонлогоос зөвхөн нэг чиглэлийн векторыг олох боломжийг олгодог боловч бидэнд илүү их зүйл хэрэггүй. Хэдийгээр зарим тохиолдолд чиглэлийн векторуудын координатыг багасгахыг зөвлөж байна.

Тиймээс, тэгшитгэл нь тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг зааж өгсөн бөгөөд үр дүнд нь жолоодох векторын координатуудыг -2-т хувааж, яг үндсэн векторыг жолооны вектор болгон авна. Логикийн хувьд.

Үүний нэгэн адил тэгшитгэл нь тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг тодорхойлж, векторын координатыг 5-д хуваахад бид ort-ыг чиглэлийн вектор болгон авна.

Одоо гүйцээцгээе жишээ 3 шалгах. Жишээ нь дээшилсэн тул бид цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг хийсэн гэдгийг би танд сануулж байна.

Нэгдүгээрт, шулуун шугамын тэгшитгэлийн дагуу бид түүний чиглүүлэх векторыг сэргээнэ. - бүх зүйл зүгээр, бид анхны векторыг авсан (зарим тохиолдолд энэ нь анхны вектортой давхцаж болох бөгөөд үүнийг харгалзах координатын пропорциональ байдлаар харахад хялбар байдаг).

Хоёрдугаарт, цэгийн координат нь тэгшитгэлийг хангах ёстой. Бид тэдгээрийг тэгшитгэлд орлуулна:

Зөв тэгш байдлыг олж авсан бөгөөд үүнд бид маш их баяртай байна.

Дүгнэлт: Ажлыг зөв гүйцэтгэсэн.

Жишээ 4

Цэг ба чиглэлийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд шийдэл, хариулт. Саяхан авч үзсэн алгоритмын дагуу шалгалт хийх нь зүйтэй юм. Ноорог үргэлж (боломжтой бол) шалгахыг хичээ. 100% зайлсхийх боломжтой алдаа гаргах нь тэнэг хэрэг юм.

Чиглэлийн векторын координатуудын нэг нь тэг байвал үүнийг хийх нь маш энгийн:

Жишээ 5

Шийдэл: Баруун талын хуваагч нь тэг учраас томьёо буруу байна. Гарах гарц байна! Пропорцын шинж чанарыг ашиглан бид томъёог хэлбэрээр дахин бичиж, үлдсэн хэсэг нь гүн гүнзгий нүхний дагуу эргэлддэг.

Хариулт:

Шалгалт:

1) Шулууны чиглэлийн векторыг сэргээнэ үү:
– үүссэн вектор нь анхны чиглэлийн вектортой коллинеар байна.

2) Тэгшитгэл дэх цэгийн координатыг орлуулна.

Зөв тэгш байдлыг олж авна

Дүгнэлт: ажлыг зөв гүйцэтгэсэн

Ямар ч байсан ажиллах бүх нийтийн хувилбар байгаа бол яагаад томьёогоор зовоод байгаа юм бэ гэсэн асуулт гарч ирнэ. Хоёр шалтгаан бий. Нэгдүгээрт, бутархайн томъёо санах нь хамаагүй дээр. Хоёрдугаарт, бүх нийтийн томъёоны сул тал нь төөрөгдүүлэх эрсдэл мэдэгдэхүйц нэмэгддэгкоординатыг орлуулах үед.

Жишээ 6

Цэг ба чиглэлийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг зохио.

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм.

Хаа сайгүй байдаг хоёр цэг рүү буцъя:

Хоёр цэг өгсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?

Хэрэв хоёр цэг мэдэгдэж байгаа бол эдгээр цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах томъёогоор эмхэтгэж болно.

Үнэн хэрэгтээ энэ бол нэг төрлийн томъёо бөгөөд яагаад гэвэл: хэрэв хоёр цэг мэдэгдэж байгаа бол вектор нь энэ шугамын чиглэлийн вектор болно. Хичээл дээр Дамми нарт зориулсан векторуудбид авч үзсэн хамгийн энгийн даалгавар– хоёр цэгээс векторын координатыг хэрхэн олох вэ. Энэ асуудлын дагуу чиглэлийн векторын координатууд:

Анхаарна уу : цэгүүдийг "солилцож" болох ба томъёог ашиглана . Ийм шийдвэр нь тэнцүү байх болно.

Жишээ 7

Хоёр цэгээс шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич .

Шийдэл: Томъёог ашиглана уу:

Бид хуваагчдыг самнадаг:

Тэгээд тавцангаа холь:

Одооноос салах цаг нь болсон бутархай тоо. Энэ тохиолдолд та хоёр хэсгийг 6-аар үржүүлэх хэрэгтэй.

Хаалтуудыг нээгээд тэгшитгэлийг сана:

Хариулт:

Шалгалттодорхой байна - эхний цэгүүдийн координатууд нь үүссэн тэгшитгэлийг хангах ёстой.

1) Цэгийн координатыг орлуулна уу:

Жинхэнэ тэгш байдал.

2) Цэгийн координатыг орлуулна:

Жинхэнэ тэгш байдал.

Дүгнэлт: шулуун шугамын тэгшитгэл зөв байна.

Хэрвээ ядаж нэгоноо нь тэгшитгэлийг хангахгүй бол алдаа хайх.

Энэ тохиолдолд график баталгаажуулалт хийхэд хэцүү гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, учир нь шугам барьж, цэгүүд нь түүнд хамаарах эсэхийг харах нь зүйтэй юм. , тийм ч амар биш.

Би дахиад хэдэн онцлох болно. техникийн асуудалшийдлүүд. Магадгүй энэ асуудалд толин тусгал томъёог ашиглах нь илүү ашигтай байж болох юм мөн ижил онооны хувьд тэгшитгэл хийх:

Цөөн тооны бутархай байдаг. Хэрэв та хүсвэл шийдлийг эцэс хүртэл дуусгаж болно, үр дүн нь ижил тэгшитгэл байх ёстой.

Хоёрдахь зүйл бол эцсийн хариултыг харж, үүнийг илүү хялбарчилж чадах эсэхийг харах явдал юм. Жишээлбэл, тэгшитгэлийг олж авбал үүнийг хоёроор багасгахыг зөвлөж байна: - тэгшитгэл нь ижил шулуун шугамыг тогтооно. Гэсэн хэдий ч энэ бол аль хэдийн ярианы сэдэв юм шулуун шугамын харилцан зохицуулалт.

Хариу хүлээж авлаа Жишээ 7-д, би тэгшитгэлийн БҮХ коэффициентүүд 2, 3 эсвэл 7-д хуваагдах эсэхийг шалгасан. Гэсэн хэдий ч ихэнхдээ ийм бууралтыг шийдлийн явцад хийдэг.

Жишээ 8

Цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич .

Энэ бол бие даасан шийдлийн жишээ бөгөөд энэ нь тооцооллын техникийг илүү сайн ойлгож, боловсруулах боломжийг танд олгоно.

Өмнөх догол мөртэй төстэй: хэрэв томъёонд байгаа бол хуваагчийн аль нэг нь (чиглэлийн вектор координат) алга болж, бид үүнийг дахин бичнэ. Дахин хэлэхэд тэр хичнээн эвгүй, төөрөгдөлтэй харагдаж эхэлснийг анзаараарай. би олж харахгүй байна онцгой утгажолоодох практик жишээнүүд, учир нь бид ийм асуудлыг аль хэдийн шийдсэн (5, 6-р дугаарыг үзнэ үү).

Шулуун шугамын хэвийн вектор (хэвийн вектор)

Ердийн гэж юу вэ? Энгийн үгээр хэлбэл, хэвийн нь перпендикуляр байна. Өөрөөр хэлбэл, шугамын хэвийн вектор нь өгөгдсөн шулуунтай перпендикуляр байна. Аливаа шулуун шугамд тэдгээрийн хязгааргүй тооны (түүнчлэн чиглүүлэх векторууд) байх нь ойлгомжтой бөгөөд шулуун шугамын бүх хэвийн векторууд нь коллинеар байх болно (хоорондын чиглэлтэй эсэх нь хамаагүй).

Тэдэнтэй харьцах нь чиглэлийн векторуудтай харьцуулахад илүү хялбар байх болно:

Тэгш өнцөгт координатын системд шулуун шугамыг ерөнхий тэгшитгэлээр өгсөн бол вектор нь энэ шулууны хэвийн вектор болно.

Хэрэв чиглэлийн векторын координатыг тэгшитгэлээс болгоомжтой "сугалах" шаардлагатай бол хэвийн векторын координатыг "арилгаж" болно.

Хэвийн вектор нь шугамын чиглэлийн вектортой үргэлж ортогональ байна. Бид эдгээр векторуудын ортогональ байдлыг ашиглан шалгах болно цэгийн бүтээгдэхүүн:

Би чиглэлийн вектортой ижил тэгшитгэл бүхий жишээг өгөх болно.

Нэг цэг ба хэвийн векторыг мэддэг шулуун шугамын тэгшитгэлийг бичих боломжтой юу? Энэ нь боломжтой юм шиг санагдаж байна. Хэрэв хэвийн вектор нь мэдэгдэж байгаа бол хамгийн шулуун шугамын чиглэлийг мөн өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог - энэ нь 90 градусын өнцөг бүхий "хатуу бүтэц" юм.

Цэг ба хэвийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?

Хэрэв шугамд хамаарах зарим цэг ба энэ шугамын хэвийн векторыг мэддэг бол энэ шугамын тэгшитгэлийг дараах томъёогоор илэрхийлнэ.

Энд бүх зүйл бутархай болон бусад гэнэтийн зүйлгүйгээр өнгөрөв. Энэ бол бидний ердийн вектор юм. Таалагдлаа. Бас хүндэлдэг =)

Жишээ 9

Цэг ба хэвийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг зохио. Шулуун шугамын чиглэлийн векторыг ол.

Шийдэл: Томъёог ашиглана уу:

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг олж, шалгацгаая.

1) Тэгшитгэлээс хэвийн векторын координатыг "хасах": - тийм ээ, үнэхээр анхны вектор нь нөхцөлөөс (эсвэл вектор нь анхны вектортой конлинеар байх ёстой) авсан болно.

2) Тухайн цэг нь тэгшитгэлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгана уу:

Жинхэнэ тэгш байдал.

Тэгшитгэл зөв гэдэгт итгэлтэй болсны дараа бид даалгаврын хоёр дахь, хялбар хэсгийг дуусгах болно. Бид шулуун шугамын чиглэлийн векторыг гаргаж авдаг.

Хариулт:

Зураг дээр нөхцөл байдал дараах байдалтай байна.

Сургалтын зорилгоор бие даасан шийдлийн ижил төстэй даалгавар:

Жишээ 10

Цэг ба хэвийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг зохио. Шулуун шугамын чиглэлийн векторыг ол.

Эцсийн хэсэгЭнэ хичээлийг хавтгай дээрх шулуун шугамын нийтлэг биш боловч чухал төрлийн тэгшитгэлүүдэд зориулах болно

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл.
Параметр хэлбэрийн шулуун шугамын тэгшитгэл

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл нь тэгээс өөр тогтмолууд гэсэн хэлбэртэй байна. Зарим төрлийн тэгшитгэлийг энэ хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй, жишээлбэл, шууд пропорциональ (чөлөөт нэр томъёо нь тэг бөгөөд баруун талд нь нэгийг авах арга байхгүй тул).

Энэ нь дүрслэлээр хэлбэл "техникийн" төрлийн тэгшитгэл юм. Ердийн даалгавар бол хийх явдал юм ерөнхий тэгшитгэлшулуун шугамыг сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл хэлбэрээр илэрхийлнэ. Яагаад тохиромжтой вэ? Шулуун шугамын сегмент дэх тэгшитгэл нь координатын тэнхлэгүүдтэй шулуун шугамын огтлолцлын цэгүүдийг хурдан олох боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь дээд математикийн зарим асуудалд маш чухал юм.

Шугамын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг ол. Бид "y"-г дахин тохируулах ба тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна. Хүссэн цэгийг автоматаар авна: .

Тэнхлэгтэй адилхан шугам нь у тэнхлэгтэй огтлолцох цэг юм.

"Геометрийн алгоритмууд" цувралын хичээл

Сайн байна уу эрхэм уншигч!

Өнөөдөр бид геометртэй холбоотой алгоритмуудыг сурч эхэлнэ. Тооцооллын геометртэй холбоотой компьютерийн шинжлэх ухаанд олон тооны олимпиадын асуудал байдаг бөгөөд ийм асуудлыг шийдвэрлэх нь ихэвчлэн бэрхшээлтэй байдаг.

Хэд хэдэн хичээлээр бид тооцооллын геометрийн ихэнх асуудлыг шийдвэрлэхэд үндэслэсэн хэд хэдэн үндсэн дэд бодлогыг авч үзэх болно.

Энэ хичээлээр бид програм бичих болно шулуун шугамын тэгшитгэлийг олохөгөгдсөнөөр дамжин өнгөрөх хоёр цэг. Геометрийн асуудлыг шийдэхийн тулд тооцооллын геометрийн талаар тодорхой мэдлэгтэй байх шаардлагатай. Бид хичээлийнхээ нэг хэсгийг тэдэнтэй танилцахад зориулах болно.

Тооцооллын геометрийн мэдээлэл

Тооцооллын геометр нь геометрийн асуудлыг шийдвэрлэх алгоритмыг судалдаг компьютерийн шинжлэх ухааны салбар юм.

Ийм асуудлын анхны өгөгдөл нь хавтгай дээрх цэгүүдийн багц, сегментийн багц, олон өнцөгт (жишээлбэл, оройнуудын жагсаалтыг цагийн зүүний дагуу жагсаасан) гэх мэт байж болно.

Үр дүн нь аль нэг асуултын хариулт (жишээ нь сегментэд хамаарах цэг, хоёр сегмент огтлолцож байна уу, ... гэх мэт) эсвэл зарим геометрийн объект (жишээлбэл, холбогч хамгийн жижиг гүдгэр олон өнцөгт) байж болно. оноо өгсөн, олон өнцөгт талбай гэх мэт).

Тооцооллын геометрийн асуудлуудыг бид зөвхөн хавтгайд, зөвхөн декартын координатын системд авч үзэх болно.

Вектор ба координат

Тооцооллын геометрийн аргыг хэрэглэхийн тулд геометрийн дүрсийг тооны хэл рүү хөрвүүлэх шаардлагатай. Хавтгай дээр цагийн зүүний эсрэг эргэх чиглэлийг эерэг гэж нэрлэдэг декартын координатын систем өгөгдсөн гэж бид таамаглах болно.

Одоо геометрийн объектууд аналитик илэрхийлэлийг хүлээн авдаг. Тиймээс цэгийг тогтоохын тулд түүний координатыг зааж өгөхөд хангалттай: хос тоо (x; y). Сегментийг түүний төгсгөлийн координатыг зааж өгч болно, шулуун шугамыг хос цэгийн координатыг зааж өгч болно.

Гэхдээ асуудлыг шийдэх гол хэрэгсэл нь векторууд байх болно. Тиймээс тэдний талаарх зарим мэдээллийг танд сануулъя.

Шугамын сегмент AB, ямар нэг санаа байна ГЭХДЭЭэхлэл (хэрэглэх цэг), цэгийг авч үзсэн AT- төгсгөлийг вектор гэж нэрлэдэг ABболон аль нэгийг нь, эсвэл тодоор тэмдэглэнэ жижиг үсэг, Жишээлбэл а .

Векторын уртыг (өөрөөр хэлбэл харгалзах сегментийн урт) тэмдэглэхийн тулд бид модулийн тэмдгийг ашиглана (жишээлбэл, ).

Дурын вектор нь түүний төгсгөл ба эхлэлийн харгалзах координатуудын зөрүүтэй тэнцүү координаттай байна.

,

энд цэгүүд Аболон Б координаттай байна тус тус.

Тооцооллын хувьд бид ойлголтыг ашиглах болно чиглэсэн өнцөг, өөрөөр хэлбэл векторуудын харьцангуй байрлалыг харгалзан үзсэн өнцөг.

Векторуудын хооронд чиглэсэн өнцөг а болон б эргэлт нь вектороос хол байвал эерэг а вектор руу б эерэг чиглэлд (цагийн зүүний эсрэг) хийгддэг ба нөгөө тохиолдолд сөрөг байна. Зураг 1а, зураг 1б-г үзнэ үү. Мөн хос вектор гэж хэлдэг а болон б эерэг (сөрөг) чиглэсэн.

Тиймээс чиглүүлсэн өнцгийн утга нь векторуудыг тоолох дарааллаас хамаардаг бөгөөд интервал дахь утгыг авч болно.

Тооцооллын геометрийн олон асуудалд векторуудын вектор (хашуу эсвэл псевдоскаляр) бүтээгдэхүүн гэсэн ойлголтыг ашигладаг.

a ба b векторуудын вектор үржвэр нь эдгээр векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синусын үржвэр юм.

.

Координат дахь векторуудын вектор үржвэр:

Баруун талын илэрхийлэл нь хоёр дахь эрэмбийн тодорхойлогч юм:

Аналитик геометрийн тодорхойлолтоос ялгаатай нь энэ нь скаляр юм.

Гарын үсэг зурах вектор бүтээгдэхүүнбие биентэйгээ харьцуулахад векторуудын байрлалыг тодорхойлно.

а болон б эерэг хандлагатай.

Хэрэв утга нь бол векторын хос болно а болон б сөрөг хандлагатай.

Тэг биш векторуудын хөндлөн үржвэр нь зөвхөн, хэрэв тэдгээр нь коллинеар байвал тэг болно ( ). Энэ нь тэдгээр нь нэг шугам дээр эсвэл зэрэгцээ шугам дээр байрладаг гэсэн үг юм.

Илүү төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай зарим энгийн даалгавруудыг авч үзье.

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг хоёр цэгийн координатаар тодорхойлъё.

Хоёр өөр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын координатаар өгөгдсөн тэгшитгэл.

Шулуун дээр координаттай (x1;y1) ба координаттай (x2; y2) хоёр давхцахгүй цэг өгье. Үүний дагуу эхлэл нь цэг дээр, төгсгөл нь цэг дээр байгаа вектор нь координаттай (x2-x1, y2-y1) байна. Хэрэв P(x, y) нь манай шулуун дээрх дурын цэг бол векторын координат нь (x-x1, y - y1) болно.

Хөндлөн үржвэрийн тусламжтайгаар векторуудын коллинеар байх нөхцөлийг дараах байдлаар бичиж болно.

Тэдгээр. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Бид сүүлчийн тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичнэ.

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Тиймээс шулуун шугамыг (1) хэлбэрийн тэгшитгэлээр өгч болно.

Даалгавар 1. Хоёр цэгийн координатыг өгөв. Түүний дүрслэлийг ax + by + c = 0 хэлбэрээр ол.

Энэ хичээлээр бид тооцооллын геометрийн зарим мэдээлэлтэй танилцсан. Бид хоёр цэгийн координатаар шулууны тэгшитгэлийг олох асуудлыг шийдсэн.

Дараагийн хичээлээр бид тэгшитгэлээрээ өгөгдсөн хоёр шулууны огтлолцлын цэгийг олох програм бичнэ.

Хавтгай дээрх шугамын тэгшитгэл.

Мэдэгдэж байгаагаар хавтгай дээрх аливаа цэг нь зарим координатын систем дэх хоёр координатаар тодорхойлогддог. Координатын систем нь суурь ба гарал үүслийн сонголтоос хамааран өөр өөр байж болно.

Тодорхойлолт. Шугамын тэгшитгэлнь энэ шулууныг бүрдүүлж буй цэгүүдийн координатуудын хоорондын y = f(x) хамаарал юм.

Шугамын тэгшитгэлийг параметрийн аргаар илэрхийлж болохыг анхаарна уу, өөрөөр хэлбэл цэг бүрийн координат бүрийг бие даасан параметрээр илэрхийлнэ. т.

Ердийн жишээ бол хөдөлж буй цэгийн замнал юм. Энэ тохиолдолд цаг хугацаа нь параметрийн үүрэг гүйцэтгэдэг.

Хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Тодорхойлолт. Хавтгай дээрх дурын шугамыг нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлээр өгч болно

Ah + Wu + C = 0,

үүнээс гадна A, B тогтмолууд нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш, i.e. A 2 + B 2  0. Энэ нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлийг нэрлэнэ шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл.

A, B, C тогтмолуудын утгуудаас хамааран дараахь онцгой тохиолдлууд боломжтой.

C \u003d 0, A  0, B  0 - шугам эхийг дайран өнгөрдөг

A \u003d 0, B  0, C  0 (By + C \u003d 0) - шугам нь Ox тэнхлэгтэй параллель байна

B \u003d 0, A  0, C  0 ( Axe + C \u003d 0) - шугам нь Oy тэнхлэгтэй параллель байна

B \u003d C \u003d 0, A  0 - шулуун шугам нь Ой тэнхлэгтэй давхцаж байна

A \u003d C \u003d 0, B  0 - шулуун шугам нь Ox тэнхлэгтэй давхцдаг

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг өгөгдсөн анхны нөхцлөөс хамааран янз бүрийн хэлбэрээр үзүүлж болно.

Шулуун шугамын цэг ба хэвийн векторын тэгшитгэл.

Тодорхойлолт. Декартын тэгш өнцөгт координатын системд (A, B) бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй вектор нь Ax + By + C = 0 тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр байна.

Жишээ.Векторт перпендикуляр А (1, 2) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол. (3, -1).

A \u003d 3 ба B \u003d -1 дээр шулуун шугамын тэгшитгэлийг зохиоё: 3x - y + C \u003d 0. С коэффициентийг олохын тулд өгөгдсөн А цэгийн координатыг үүссэн илэрхийлэлд орлуулна.

Бид авна: 3 - 2 + C \u003d 0, тиймээс C \u003d -1.

Нийт: хүссэн тэгшитгэл: 3x - y - 1 \u003d 0.

Хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Орон зайд M 1 (x 1, y 1, z 1) ба M 2 (x 2, y 2, z 2) гэсэн хоёр цэгийг өгвөл эдгээр цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл:

Хэрэв хуваагчийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү бол харгалзах тоог тэгтэй тэнцүүлэх ёстой.

Хавтгай дээр дээр бичсэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хялбаршуулсан болно.

хэрэв x 1  x 2 ба x \u003d x 1, хэрэв x 1 \u003d x 2 бол.

Бутархай
=k гэж нэрлэдэг налуугийн хүчин зүйлЧигээрээ.

Жишээ.А(1, 2) ба В(3, 4) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Дээрх томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.

Шулуун шугамын цэг ба налуугийн тэгшитгэл.

Ax + Vy + C = 0 шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.

болон томилох
, дараа нь үүссэн тэгшитгэлийг дуудна налуутай шулуун шугамын тэгшитгэлк.

Цэг дээрх шулуун шугам ба чиглүүлэх векторын тэгшитгэл.

Хэвийн вектороор дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг авч үзэх цэгтэй зүйрлэснээр та цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугам болон шулуун шугамын чиглүүлэх векторыг зааж өгч болно.

Тодорхойлолт. Тэг биш вектор бүр ( 1 ,  2), бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь A 1 + B 2 = 0 нөхцөлийг хангасан бол шугамын чиглүүлэх вектор гэнэ.

Ah + Wu + C = 0.

Жишээ.Чиглэлийн вектор бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол (1, -1) ба А(1, 2) цэгээр дамжин өнгөрнө.

Бид хүссэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр хайх болно: Ax + By + C = 0. Тодорхойлолтын дагуу коэффициентүүд нь дараахь нөхцлийг хангасан байх ёстой.

1A + (-1)B = 0, өөрөөр хэлбэл. A = B.

Дараа нь шулуун шугамын тэгшитгэл нь: Ax + Ay + C = 0, эсвэл x + y + C/A = 0 хэлбэртэй байна.

x = 1, y = 2 үед бид С/A = -3, i.e. Хүссэн тэгшитгэл:

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд Ah + Wu + C = 0 C 0 байвал –C-д хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.
эсвэл

, хаана

Коэффициентийн геометрийн утга нь коэффициент юм ань шугамын х тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат ба б- шулуун шугамын Ой тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат.

Жишээ. x - y + 1 = 0 шулууны ерөнхий тэгшитгэл өгөгдсөн. Энэ шулууны тэгшитгэлийг хэрчмүүдээс ол.

C \u003d 1,
, a = -1, b = 1.

Шулуун шугамын хэвийн тэгшитгэл.

Ax + Wy + C = 0 тэгшитгэлийн хоёр тал нь тоонд хуваагдвал
гэж нэрлэдэг хэвийн болгох хүчин зүйл, тэгвэл бид авна

xcos + ysin - p = 0 –

шулуун шугамын хэвийн тэгшитгэл.

Нормчлох хүчин зүйлийн  тэмдгийг С байхаар сонгох ёстой< 0.

p нь эхлэлээс шулуун шугам руу унасан перпендикулярын урт,  нь Окс тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй энэ перпендикуляраас үүссэн өнцөг юм.

Жишээ. 12x - 5y - 65 \u003d 0 шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл өгөгдсөн. Үүнийг бичих шаардлагатай. янз бүрийн төрөлЭнэ шугамын тэгшитгэлүүд.

сегмент дэх энэ шулуун шугамын тэгшитгэл:

Энэ шугамын налуутай тэгшитгэл: (5-д хуваах)

шулуун шугамын хэвийн тэгшитгэл:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p=5.

Шулуун шугам бүрийг сегмент дэх тэгшитгэлээр төлөөлж болохгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, жишээлбэл, тэнхлэгүүдтэй параллель эсвэл эхийг дайран өнгөрөх шулуун шугамууд.

Жишээ.Шулуун шугам нь координатын тэнхлэг дээрх тэнцүү эерэг сегментүүдийг таслав. Эдгээр хэрчмүүдээс үүссэн гурвалжны талбай 8 см 2 бол шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; - дөрөв.

a = -4 нь асуудлын нөхцөлтэй тохирохгүй байна.

Нийт:
эсвэл x + y - 4 = 0.

Жишээ.А (-2, -3) цэг ба эхийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
, энд x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Хавтгай дээрх шугамуудын хоорондох өнцөг.

Тодорхойлолт. Хэрэв хоёр шулуун y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 өгөгдсөн бол эдгээр шулуунуудын хоорондох хурц өнцгийг дараах байдлаар тодорхойлно.

.

Хэрвээ k 1 = k 2 бол хоёр шулуун зэрэгцээ байна.

k 1 = -1/k 2 бол хоёр шулуун перпендикуляр байна.

Теорем. Ax + Vy + C = 0 ба А шулуун шугамууд 1 x + B 1 y + C 1 А коэффициентүүд пропорциональ байх үед = 0 параллель байна 1 =  А, Б 1 =  B. Хэрэв бас C 1 =  C, дараа нь шугамууд давхцдаг.

Хоёр шугамын огтлолцох цэгийн координатыг эдгээр шугамын тэгшитгэлийн системийн шийдэл болгон олно.

Дамжуулж буй шулуун шугамын тэгшитгэл өгсөн оноо

энэ шугамд перпендикуляр.

Тодорхойлолт. M 1 (x 1, y 1) цэгээр дамжин өнгөрөх ба y \u003d kx + b шулуунтай перпендикуляр шугамыг тэгшитгэлээр илэрхийлнэ.

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай.

Теорем. Хэрэв M цэг бол (x 0 , y 0 ), тэгвэл Ax + Vy + C = 0 шугам хүртэлх зайг тодорхойлно

.

Баталгаа. М цэгээс өгөгдсөн шулуун руу буулгасан перпендикулярын суурь нь M 1 (x 1, y 1) цэг байг. Дараа нь M ба M цэгүүдийн хоорондох зай 1:

x 1 ба y 1 координатуудыг тэгшитгэлийн системийн шийдэл болгон олж болно.

Системийн хоёр дахь тэгшитгэл нь өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр M 0 цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл юм.

Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт шилжүүлбэл:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

Дараа нь шийдэж, бид дараахь зүйлийг авна.

Эдгээр илэрхийллийг (1) тэгшитгэлд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олно.

.

Теорем нь батлагдсан.

Жишээ.Шугамануудын хоорондох өнцгийг тодорхойлно уу: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tg =
;  = /4.

Жишээ. 3x - 5y + 7 = 0 ба 10x + 6y - 3 = 0 шулуунууд перпендикуляр болохыг харуул.

Бид олдог: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, тиймээс шугамууд перпендикуляр байна.

Жишээ.Гурвалжны оройг A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) өгөв. С оройноос татсан өндрийн тэгшитгэлийг ол.

Бид AB талын тэгшитгэлийг олно.
; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Хүссэн өндрийн тэгшитгэл нь: Ax + By + C = 0 эсвэл y = kx + b.

k = . Дараа нь y =
. Учир нь өндөр нь С цэгээр дамжин өнгөрвөл координатууд нь энэ тэгшитгэлийг хангана.
үүнээс b = 17. Нийт:
.

Хариулт: 3x + 2y - 34 = 0.

Сансар дахь аналитик геометр.

Орон зай дахь шугамын тэгшитгэл.

Огторгуй дахь шулуун шугамын тэгшитгэл ба

чиглэлийн вектор.

Дурын шугам ба векторыг ав (m, n, p) өгөгдсөн шугамтай параллель байна. Вектор дуудсан чиглүүлэгч векторЧигээрээ.

Шулуун дээр дурын M 0 (x 0 , y 0 , z 0) ба M(x, y, z) хоёр цэгийг авъя.

z

М1

Эдгээр цэгүүдийн радиус векторуудыг гэж тэмдэглэе болон , энэ нь ойлгомжтой - =
.

Учир нь векторууд
болон collinear байвал хамаарал үнэн болно
= t, энд t нь зарим параметр юм.

Нийтдээ бид дараахь зүйлийг бичиж болно. = + т.

Учир нь Энэ тэгшитгэл нь шулуун дээрх дурын цэгийн координатаар хангагдвал үүссэн тэгшитгэл нь шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэл.

Энэ вектор тэгшитгэлийг координат хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Энэ системийг хувиргаж, t параметрийн утгыг тэнцүүлэх замаар бид олж авна каноник тэгшитгэлорон зай дахь шулуун шугам:

.

Тодорхойлолт. Чиглэлийн косинусуудшууд нь векторын чиглэлийн косинусууд юм , үүнийг дараах томъёогоор тооцоолж болно.

;

.

Эндээс: m: n: p = cos : cos : cos.

m, n, p тоонуудыг дууддаг налуугийн хүчин зүйлүүдЧигээрээ. Учир нь нь тэг биш вектор бөгөөд m, n, p нь нэгэн зэрэг тэг байж болохгүй, гэхдээ эдгээр тоонуудын нэг эсвэл хоёр нь тэг байж болно. Энэ тохиолдолд шулуун шугамын тэгшитгэлд харгалзах тоог тэгтэй тэнцүүлэх ёстой.

Сансар огторгуй дахь шулуун шугамын тэгшитгэл

хоёр цэгээр дамжуулан.

Хэрэв дурын хоёр цэг M 1 (x 1, y 1, z 1) ба M 2 (x 2, y 2, z 2) нь огторгуйд шулуун шугам дээр тэмдэглэгдсэн бол эдгээр цэгүүдийн координатууд нь тэгшитгэлийг хангах ёстой. дээр авсан шулуун шугам:

.

Үүнээс гадна M 1 цэгийн хувьд бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

.

Эдгээр тэгшитгэлийг хамтад нь шийдснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.

.

Энэ бол огторгуйн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл юм.

Орон зайн шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл.

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг хоёр хавтгайн огтлолцох шугамын тэгшитгэл гэж үзэж болно.

Дээр дурдсанчлан вектор хэлбэрийн хавтгайг тэгшитгэлээр өгч болно.

+ D = 0, хаана

- онгоц хэвийн; - хавтгайн дурын цэгийн радиус-вектор.

Шулуун шугамыг M 1 (x 1; y 1) ба M 2 (x 2; y 2) цэгүүдийг дайруул. M 1 цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл нь y- y 1 \u003d хэлбэртэй байна. к (x - x 1), (10.6)

хаана к - одоог хүртэл тодорхойгүй коэффициент.

Шулуун шугам нь M 2 (x 2 y 2) цэгээр дамждаг тул энэ цэгийн координат нь тэгшитгэлийг (10.6) хангасан байх ёстой: y 2 -y 1 \u003d к (x 2 -x 1).

Эндээс бид олсон утгыг орлуулахыг олно к (10.6) тэгшитгэлд бид M 1 ба M 2 цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг олж авна.

Энэ тэгшитгэлд x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 гэж таамаглаж байна.

Хэрэв x 1 \u003d x 2 бол M 1 (x 1, y I) ба M 2 (x 2, y 2) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугам нь у тэнхлэгтэй параллель байна. Түүний тэгшитгэл нь x = x 1 .

Хэрэв y 2 \u003d y I бол шулуун шугамын тэгшитгэлийг y \u003d y 1 гэж бичиж болно, M 1 M 2 шулуун нь x тэнхлэгтэй параллель байна.

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл

Шулуун шугамыг Ox тэнхлэгийг M 1 (a; 0) цэг дээр, Ой тэнхлэгийг M 2 (0; b) цэг дээр огтолцгооё. Тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно.
тэдгээр.
. Энэ тэгшитгэл гэж нэрлэдэг сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл, учир нь a ба b тоонууд нь координатын тэнхлэгүүдийн аль сегментийг шулуун шугамаар таслахыг заадаг.

Өгөгдсөн векторт перпендикуляр өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл

Өгөгдсөн тэг биш n = (A; B) векторт перпендикуляр Mo (x O; y o) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг олъё.

Шулуун шугамын дурын M(x; y) цэгийг авч M 0 M (x - x 0; y - y o) векторыг авч үзье (1-р зургийг үз). n ба M o M векторууд перпендикуляр тул тэдгээрийн скаляр үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байна: өөрөөр хэлбэл,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

(10.8) тэгшитгэлийг дуудна Өгөгдсөн векторт перпендикуляр өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл .

Шугаманд перпендикуляр n = (A; B) векторыг хэвийн гэнэ Энэ шугамын хэвийн вектор .

Тэгшитгэлийг (10.8) гэж дахин бичиж болно Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

Энд А ба В нь хэвийн векторын координат, C \u003d -Ax o - Vu o - чөлөөт гишүүн. Тэгшитгэл (10.9) шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл юм(2-р зургийг үз).

Зураг 1 Зураг 2

Шулуун шугамын каноник тэгшитгэлүүд

,

Хаана
шулуун өнгөрөх цэгийн координат ба
- чиглэлийн вектор.

Хоёр дахь эрэмбийн муруйнууд Тойрог

Тойрог нь өгөгдсөн цэгээс ижил зайд орших хавтгайн бүх цэгүүдийн багцыг төв гэж нэрлэдэг.

Радиустай тойргийн каноник тэгшитгэл Р цэг дээр төвлөрсөн
:

Ялангуяа гадасны төв нь гарал үүсэлтэй давхцаж байвал тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.

Зууван

Зуйван гэдэг нь хавтгай дээрх цэгүүдийн багц бөгөөд тэдгээрээс өгөгдсөн хоёр цэг хүртэлх зайны нийлбэр юм. болон фокус гэж нэрлэгддэг , тогтмол утга юм
, голомтын хоорондох зайнаас их байна
.

Голомтууд нь Үхрийн тэнхлэг дээр, гарал үүсэл нь голомтуудын дунд байрладаг эллипсийн каноник тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
Г деа гол хагас тэнхлэгийн урт;б нь бага хагас тэнхлэгийн урт (Зураг 2).

Евклидийн геометрийн шулуун шугамын шинж чанарууд.

Ямар ч цэгээр зурж болох хязгааргүй олон шугам байдаг.

Дурын хоёр давхцаагүй цэгээр дамжин зөвхөн нэг шулуун шугам байна.

Хавтгай дээрх давхцаагүй хоёр шулуун нэг цэг дээр огтлолцдог, эсвэл огтлолцдог

зэрэгцээ (өмнөхөөс хойш).

3D орон зайд гурван сонголт байдаг. харьцангуй байрлалхоёр шулуун шугам:

• шугамууд огтлолцдог;

• шулуун шугамууд зэрэгцээ байна;

• шулуун шугамууд огтлолцдог.

Чигээрээ шугам- нэгдүгээр эрэмбийн алгебрийн муруй: декартын координатын системд шулуун шугам

хавтгайд нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлээр (шугаман тэгшитгэл) өгөгдөнө.

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл.

Тодорхойлолт. Хавтгай дээрх дурын шугамыг нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлээр өгч болно

Ah + Wu + C = 0,

ба тогтмол А, Бнэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш. Энэ эхний эрэмбийн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг ерөнхий

шулуун шугамын тэгшитгэл.Тогтмолуудын утгуудаас хамаарна А, Бболон FROMДараах онцгой тохиолдлууд боломжтой.

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- шугам нь гарал үүслээр дамждаг

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( By + C = 0)- тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам Өө

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам OU

. B = C = 0, A ≠ 0- шугам нь тэнхлэгтэй давхцаж байна OU

. A = C = 0, B ≠ 0- шугам нь тэнхлэгтэй давхцаж байна Өө

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах байдлаар илэрхийлж болно янз бүрийн хэлбэрүүдямар ч өгөгдсөнөөс хамаарна

анхны нөхцөл.

Шулуун шугамын цэг ба хэвийн векторын тэгшитгэл.

Тодорхойлолт. Декартын тэгш өнцөгт координатын системд (A, B) бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй вектор.

шугаманд перпендикуляр тэгшитгэлээр өгөгдсөн

Ah + Wu + C = 0.

Жишээ. Цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол A(1, 2)векторт перпендикуляр (3, -1).

Шийдэл. A \u003d 3 ба B \u003d -1 дээр шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя: 3x - y + C \u003d 0. С коэффициентийг олохын тулд

гарсан илэрхийлэлд өгөгдсөн А цэгийн координатыг орлуулна.Тиймээс: 3 - 2 + С = 0 болно.

C = -1. Нийт: хүссэн тэгшитгэл: 3x - y - 1 \u003d 0.

Хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Орон зайд хоёр цэг өгье M 1 (x 1 , y 1 , z 1)болон M2 (x 2, y 2, z 2),тэгээд шулуун шугамын тэгшитгэл,

Эдгээр цэгүүдээр дамжин өнгөрөх:

Хэрэв хуваагчийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү бол харгалзах тоог тэгтэй тэнцүүлэх ёстой. Дээр

хавтгай, дээр бичсэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хялбаршуулсан:

хэрэв x 1 ≠ x 2болон x = x 1, хэрэв x 1 = x 2 .

Бутархай = кдуудсан налуугийн хүчин зүйл Чигээрээ.

Жишээ. А(1, 2) ба В(3, 4) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. Дээрх томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.

Шулуун шугамын цэг ба налуугийн тэгшитгэл.

Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл Ah + Wu + C = 0хэлбэрт оруулах:

болон томилох , дараа нь үүссэн тэгшитгэлийг дуудна

к налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл.

Цэг дээрх шулуун шугам ба чиглүүлэх векторын тэгшитгэл.

Хэвийн вектороор дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг авч үзэх цэгтэй зүйрлэснээр та даалгаврыг оруулж болно

цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугам ба шулуун шугамын чиглэлийн вектор.

Тодорхойлолт. Тэг биш вектор бүр (α 1 , α 2), бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь нөхцөлийг хангадаг

Aα 1 + Bα 2 = 0дуудсан шулуун шугамын чиглэлийн вектор.

Ah + Wu + C = 0.

Жишээ. А(1, 2) цэгийг дайран өнгөрөх чиглэлийн вектор (1, -1) бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. Бид хүссэн шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр хайх болно. Ax + By + C = 0.Тодорхойлолтын дагуу,

Коэффициент нь дараахь нөхцлийг хангасан байх ёстой.

1 * A + (-1) * B = 0, өөрөөр хэлбэл. A = B.

Дараа нь шулуун шугамын тэгшитгэл дараах хэлбэртэй байна. Ax + Ay + C = 0,эсвэл x + y + C / A = 0.

цагт x=1, y=2бид авдаг C/ A = -3, өөрөөр хэлбэл Хүссэн тэгшитгэл:

x + y - 3 = 0

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл.

Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд Ah + Wu + C = 0 C≠0 байвал -C-д хуваавал бид дараахь зүйлийг авна.

эсвэл , хаана

Коэффициентийн геометрийн утга нь a коэффициент нь огтлолцох цэгийн координат юм

тэнхлэгтэй шулуун Өө,а б- шугамын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат OU.

Жишээ. Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг өгөв x - y + 1 = 0.Энэ шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрчмээр ол.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

хэвийн тэгшитгэлЧигээрээ.

Хэрэв тэгшитгэлийн хоёр тал Ah + Wu + C = 0тоогоор хуваах гэж нэрлэдэг

хэвийн болгох хүчин зүйл, тэгвэл бид авна

xcosφ + ysinφ - p = 0 -шулуун шугамын хэвийн тэгшитгэл.

Хэвийн хүчин зүйлийн ± тэмдгийг сонгох ёстой μ * C< 0.

Р- эхлэлээс шугам хүртэл унасан перпендикулярын урт;

а φ - тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй энэ перпендикуляраас үүссэн өнцөг Өө.

Жишээ. Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл өгөгдсөн 12x - 5y - 65 = 0. Төрөл бүрийн тэгшитгэл бичихэд шаардлагатай

энэ шулуун шугам.

Сегмент дэх энэ шулуун шугамын тэгшитгэл:

Энэ шулууны налуутай тэгшитгэл: (5-д хуваах)

Шулуун шугамын тэгшитгэл:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Шулуун шугам бүрийг сегмент дэх тэгшитгэлээр төлөөлж болохгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, жишээлбэл, шулуун шугамууд,

тэнхлэгүүдтэй параллель буюу эхийг дайран өнгөрөх.

Хавтгай дээрх шугамуудын хоорондох өнцөг.

Тодорхойлолт. Хэрэв хоёр мөр өгөгдсөн бол y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, дараа нь эдгээр шугамын хоорондох хурц өнцөг

гэж тодорхойлох болно

Хэрэв хоёр шугам зэрэгцээ байна k 1 = k 2. Хоёр шугам перпендикуляр байна

хэрэв k 1 \u003d -1 / k 2 .

Теорем.

Шууд Ah + Wu + C = 0болон A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0коэффициентүүд пропорциональ байх үед параллель байна

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Хэрэв бас С 1 \u003d λС, дараа нь шугамууд давхцана. Хоёр шугамын огтлолцох цэгийн координатууд

Эдгээр шугамын тэгшитгэлийн системийн шийдэл гэж олддог.

Өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл нь өгөгдсөн шулуунтай перпендикуляр байна.

Тодорхойлолт. Нэг цэгээр дамжин өнгөрөх шугам М 1 (x 1, y 1)ба шугамд перпендикуляр y = kx + b

тэгшитгэлээр илэрхийлнэ:

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай.

Теорем. Хэрэв оноо өгсөн бол M(x 0, y 0),дараа нь шугам хүртэлх зай Ah + Wu + C = 0гэж тодорхойлсон:

Баталгаа. Гол нь байя М 1 (x 1, y 1)- перпендикулярын суурь нь цэгээс унасан Мөгөгдсөн төлөө

шууд. Дараа нь цэгүүдийн хоорондох зай Мболон М 1:

(1)

Координатууд x 1болон 1тэгшитгэлийн системийн шийдийг олж болно:

Системийн хоёр дахь тэгшитгэл нь өгөгдсөн M 0 цэгийг перпендикуляраар дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл юм.

өгөгдсөн шугам. Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт шилжүүлбэл:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

Дараа нь шийдэж, бид дараахь зүйлийг авна.

Эдгээр илэрхийллийг (1) тэгшитгэлд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олно.

Теорем нь батлагдсан.