Графикийн шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич. Онлайн тооцоолуур. Өгөгдсөн цэг дэх функцийн графиктай шулуун шүргэгчийн тэгшитгэл

Дараах зургийг авч үзье.

Энэ нь тодорхой функцийг дүрсэлсэн y = f(x) бөгөөд энэ нь а цэг дээр ялгагдах боломжтой. (a; f(a)) координаттай М цэгийг тэмдэглэв. Графикийн дурын P(a + ∆x; f(a + ∆x)) цэгээр MR таслагч зурсан.

Хэрэв одоо Р цэгийг графикийн дагуу M цэг рүү шилжүүлбэл MR шулуун шугам нь M цэгийг тойрон эргэлдэнэ. Энэ тохиолдолд ∆x тэг болох хандлагатай байна. Эндээс бид функцийн графикт шүргэгчийн тодорхойлолтыг томъёолж болно.

Функцийн графикт шүргэгч

Аргументийн өсөлт тэг болох хандлагатай байдаг тул функцийн графикт шүргэгч нь секантын хязгаарлах байрлал юм. x0 цэгт f функцийн дериватив байгаа нь графикийн энэ цэг дээр байна гэсэн үг гэдгийг ойлгох хэрэгтэй. шүргэгчтүүнд.

Энэ тохиолдолд шүргэгчийн өнцгийн коэффициент нь f’(x0) цэг дэх энэ функцийн деривативтай тэнцүү байх болно. Энэ бол деривативын геометрийн утга юм. x0 цэгт дифференциалагдах f функцийн графикт шүргэгч нь (x0;f(x0)) цэгийг дайран өнгөрөх, f’(x0) өнцгийн коэффициенттэй тодорхой шулуун шугам юм.

Тангенсийн тэгшитгэл

А(x0; f(x0)) цэгийн зарим f функцийн графиктай шүргэгчийн тэгшитгэлийг олж авахыг оролдъё. k налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл нь байна дараагийн харах:

Учир нь бидний налуугийн коэффициент деривативтай тэнцүү байна f'(x0), тэгвэл тэгшитгэл дараах хэлбэрийг авна: y = f'(x0)*x + b.

Одоо b-ийн утгыг тооцоолъё. Үүнийг хийхийн тулд функц нь А цэгээр дамждаг гэдгийг бид ашигладаг.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, эндээс b гэж илэрхийлээд b = f(x0) - f’(x0)*x0 болно.

Бид үүссэн утгыг шүргэгч тэгшитгэлд орлуулна.

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

Дараах жишээг авч үзье: x = 2 цэг дээрх f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 функцийн графиктай шүргэгчийн тэгшитгэлийг ол.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Хүлээн авсан утгыг шүргэгч томъёонд орлуулж, бид дараахийг авна: y = 1 + 4*(x - 2). Хаалтуудыг нээж, ижил төстэй нэр томъёог авчрахад бид: y = 4*x - 7 болно.

Хариулт: y = 4*x - 7.

Шүргэдэг тэгшитгэлийг бүрдүүлэх ерөнхий схем y = f(x) функцийн графикт:

1. x0-г тодорхойлно.

2. f(x0)-г тооцоол.

3. f’(x)-г тооцоол.

Шүргэх нь шулуун шугам юм , энэ нь функцийн графикийг нэг цэгт хүрч, бүх цэгүүд нь функцийн графикаас хамгийн богино зайд байрладаг. Иймд шүргэгч нь функцийн графикт тодорхой өнцгөөр шүргэгчийг дамжуулдаг бөгөөд өөр өөр өнцгөөр байгаа хэд хэдэн шүргэгч шүргэгч цэгээр дамжиж чадахгүй. Функцийн графикт шүргэгч тэгшитгэл болон хэвийн тэгшитгэлийг дериватив ашиглан байгуулна.

Шүргэгчийн тэгшитгэлийг шугамын тэгшитгэлээс гаргаж авсан .

Шүргэгчийн тэгшитгэл, дараа нь функцийн графикийн нормийн тэгшитгэлийг гаргая.

y = kx + б .

Түүний дотор к- өнцгийн коэффициент.

Эндээс бид дараах оруулгыг авна.

y - y 0 = к(x - x 0 ) .

Дериватив утга е "(x 0 ) функцууд y = е(x) цэг дээр x0 налуутай тэнцүү байна к= тг φ цэгээр татсан функцийн графиктай шүргэгч М0 (x 0 , y 0 ) , Хаана y0 = е(x 0 ) . Энэ бол деривативын геометрийн утга .

Тиймээс бид сольж болно кдээр е "(x 0 ) мөн дараах зүйлийг аваарай функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэл :

y - y 0 = е "(x 0 )(x - x 0 ) .

Функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэл зохиохтой холбоотой асуудлуудад (мөн бид удахгүй тэдэн рүү шилжих болно) дээрх томъёоноос олж авсан тэгшитгэлийг багасгах шаардлагатай. шулуун шугамын тэгшитгэл ерөнхий хэлбэрээр. Үүнийг хийхийн тулд та бүх үсэг, тоонуудыг шилжүүлэх хэрэгтэй зүүн талтэгшитгэл, баруун талд тэгийг үлдээгээрэй.

Одоо ердийн тэгшитгэлийн талаар. Ердийн - энэ нь шүргэгчтэй перпендикуляр функцийн график руу шүргэгч цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугам юм. Хэвийн тэгшитгэл :

(x - x 0 ) + е "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

Дулаацахын тулд та эхний жишээг өөрөө шийдэж, дараа нь шийдлийг харахыг хүсч байна. Энэ даалгавар манай уншигчдад “хүйтэн шүршүүр” болохгүй байх гэж найдах үндэслэл бий.

Жишээ 0.Нэг цэг дээрх функцийн графикийн шүргэгч тэгшитгэл ба хэвийн тэгшитгэлийг үүсгэ М (1, 1) .

Жишээ 1.Функцийн графикийн шүргэгч тэгшитгэл ба хэвийн тэгшитгэлийг бич , хэрэв абсцисса шүргэгч байвал .

Функцийн деривативыг олъё:

Одоо бидэнд шүргэгч тэгшитгэлийг олж авахын тулд онолын тусламжид өгөгдсөн оруулгад орлуулах шаардлагатай бүх зүйл байна. Бид авдаг

Энэ жишээнд бид азтай байсан: налуу нь тэг болсон тул тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрт нь тусад нь бууруулах шаардлагагүй болно. Одоо бид ердийн тэгшитгэлийг үүсгэж болно:

Доорх зурагт: бургунд өнгө, шүргэгч функцийн график Ногоон өнгө, улбар шар хэвийн.

Дараагийн жишээ нь бас төвөгтэй биш юм: өмнөх шиг функц нь олон гишүүнт боловч налуу нь тэгтэй тэнцүү биш тул дахин нэг алхам нэмж, тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрт оруулах болно.

Жишээ 2.

Шийдэл. Шүргэх цэгийн ординатыг олъё:

Функцийн деривативыг олъё:

.

Шүргэх цэг дэх деривативын утгыг, өөрөөр хэлбэл шүргэгчийн налууг олъё.

Бид олж авсан бүх өгөгдлийг "хоосон томьёо" -д орлуулж, шүргэгч тэгшитгэлийг авна.

Бид тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрт нь оруулдаг (бид тэгээс бусад бүх үсэг, тоонуудыг зүүн талд цуглуулж, баруун талд тэгийг үлдээдэг):

Бид ердийн тэгшитгэлийг үүсгэдэг:

Жишээ 3.Хэрэв абсцисс шүргэлтийн цэг бол шүргэгчийн тэгшитгэл ба нормальын тэгшитгэлийг функцийн графикт бич.

Шийдэл. Шүргэх цэгийн ординатыг олъё:

Функцийн деривативыг олъё:

.

Шүргэх цэг дэх деривативын утгыг, өөрөөр хэлбэл шүргэгчийн налууг олъё.

.

Бид тангенсийн тэгшитгэлийг олно:

Тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрт оруулахын өмнө та үүнийг бага зэрэг "самнах" хэрэгтэй: гишүүнийг гишүүнээр нь 4-ээр үржүүлнэ. Бид үүнийг хийж, тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрт нь авчирна:

Бид ердийн тэгшитгэлийг үүсгэдэг:

Жишээ 4.Хэрэв абсцисс шүргэлтийн цэг бол шүргэгчийн тэгшитгэл ба нормальын тэгшитгэлийг функцийн графикт бич.

Шийдэл. Шүргэх цэгийн ординатыг олъё:

.

Функцийн деривативыг олъё:

Шүргэх цэг дэх деривативын утгыг, өөрөөр хэлбэл шүргэгчийн налууг олъё.

.

Бид тангенсийн тэгшитгэлийг олж авна.

Бид тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрт нь авчирдаг:

Бид ердийн тэгшитгэлийг үүсгэдэг:

Шүргэгч ба хэвийн тэгшитгэлийг бичихэд гардаг нийтлэг алдаа бол жишээнд өгөгдсөн функц нь төвөгтэй гэдгийг анзаарахгүй, түүний уламжлалыг энгийн функцийн дериватив болгон тооцох явдал юм. Дараах жишээнүүдийг аль хэдийн авсан болно нарийн төвөгтэй функцууд(харгалзах хичээл шинэ цонхонд нээгдэнэ).

Жишээ 5.Хэрэв абсцисс шүргэлтийн цэг бол шүргэгчийн тэгшитгэл ба нормальын тэгшитгэлийг функцийн графикт бич.

Шийдэл. Шүргэх цэгийн ординатыг олъё:

Анхаар! Энэ функц- төвөгтэй, шүргэгч аргументаас хойш (2 x) нь өөрөө функц юм. Тиймээс бид функцийн деривативыг нийлмэл функцийн дериватив гэж олдог.

Хэзээ нэгэн цагт x 0 нь f (x 0) төгсгөлтэй деривативтай f функцийг өгье. Дараа нь (x 0 ; f (x 0)) цэгийг дайран өнгөрч буй f '(x 0) өнцгийн коэффициенттэй шулуун шугамыг шүргэгч гэж нэрлэдэг.

X 0 цэг дээр дериватив байхгүй бол яах вэ? Хоёр сонголт байна:

1. Графиктай шүргэгч байхгүй. Сонгодог жишээ бол y = |x | функц юм цэг дээр (0; 0).
2. Шүргэх нь босоо болно. Энэ нь жишээлбэл, (1; π /2) цэг дээрх y = arcsin x функцийн хувьд үнэн юм.

Тангенсийн тэгшитгэл

Аливаа босоо бус шулуун шугамыг y = kx + b хэлбэрийн тэгшитгэлээр өгөгдсөн бөгөөд k нь налуу юм. Тангенс нь үл хамаарах зүйл биш бөгөөд x 0 цэг дээр түүний тэгшитгэлийг бий болгохын тулд энэ цэг дэх функц болон деривативын утгыг мэдэхэд хангалттай.

Тэгэхээр хэрчим дээр y = f ’(x) деривативтэй y = f (x) функц өгөгдье. Дараа нь x 0 ∈ (a ; b) аль ч цэг дээр тэгшитгэлээр өгөгдсөн энэ функцийн графикт шүргэгчийг зурж болно.

y = f ’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)

Энд f ’(x 0) нь x 0 цэг дэх деривативын утга, f (x 0) нь функцийн өөрийнх нь утга юм.

Даалгавар. y = x 3 функц өгөгдсөн. x 0 = 2 цэг дээрх энэ функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.

Тангенсийн тэгшитгэл: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Бидэнд x 0 = 2 цэгийг өгсөн боловч f (x 0) ба f '(x 0) утгуудыг тооцоолох шаардлагатай болно.

Эхлээд функцийн утгыг олъё. Энд бүх зүйл хялбар байдаг: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Одоо деривативыг олъё: f ’(x) = (x 3)’ = 3x 2;
Бид x 0 = 2-г дериватив болгон орлоно: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
Бид нийтдээ: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16 болно.
Энэ бол шүргэгч тэгшитгэл юм.

Даалгавар. x 0 = π /2 цэг дээрх f (x) = 2sin x + 5 функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.

Энэ удаад бид үйлдэл бүрийг нарийвчлан тайлбарлахгүй - бид зөвхөн гол алхмуудыг зааж өгөх болно. Бидэнд байгаа:

f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

Тангенс тэгшитгэл:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

Сүүлчийн тохиолдолд шулуун шугам нь хэвтээ болж хувирав, учир нь түүний өнцгийн коэффициент k = 0. Үүнд буруу зүйл байхгүй - бид зүгээр л экстремум цэг дээр бүдэрсэн.

Ажлын төрөл: 7

Нөхцөл байдал

y=3x+2 шулуун шугам нь y=-12x^2+bx-10 функцийн графиктай шүргэгч байна. Шүргэх цэгийн абсцисса нь тэгээс бага байвал b-г ол.

Шийдлийг харуулах

Шийдэл

y=-12x^2+bx-10 функцийн график дээрх энэ графикийн шүргэгч дамжин өнгөрөх цэгийн абсциссаг x_0 гэж үзье.

x_0 цэг дээрх деривативын утга нь шүргэгчийн налуутай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл y"(x_0)=-24x_0+b=3. Нөгөө талаас шүргэлтийн цэг нь графын аль алинд нь нэгэн зэрэг хамаарна. функц ба тангенс, өөрөөр хэлбэл -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2 тэгшитгэлийн системийг авна \эхлэх(тохиолдлууд) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \төгсгөл(тохиолдол)

Энэ системийг шийдэж, бид x_0^2=1-ийг авах бөгөөд энэ нь x_0=-1 эсвэл x_0=1 гэсэн үг юм. Абсцисса нөхцлийн дагуу шүргэгч цэгүүд тэгээс бага тул x_0=-1, тэгвэл b=3+24x_0=-21.

Хариулт

Ажлын төрөл: 7
Сэдэв: Деривативын геометрийн утга. Функцийн графикт шүргэгч

Нөхцөл байдал

y=-3x+4 шулуун нь y=-x^2+5x-7 функцийн графиктай шүргэгчтэй параллель байна. Шүргэх цэгийн абсциссыг ол.

Шийдлийг харуулах

Шийдэл

Дурын x_0 цэгийн y=-x^2+5x-7 функцийн графикт шулуун шугамын өнцгийн коэффициент нь y"(x_0)-тай тэнцүү байна. Харин y"=-2x+5 нь y" гэсэн утгатай. (x_0)=-2x_0+5 Нөхцөлд заасан y=-3x+4 шулууны коэффициент нь ижил өнцгийн коэффициенттэй тул = гэсэн утгыг олно -2x_0 +5=-3.

Бид дараахийг авна: x_0 = 4.

Хариулт

Эх сурвалж: “Математик. 2017 оны улсын нэгдсэн шалгалтын бэлтгэл. Профайлын түвшин." Эд. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.

Ажлын төрөл: 7
Сэдэв: Деривативын геометрийн утга. Функцийн графикт шүргэгч

Нөхцөл байдал

Шийдлийг харуулах

Шийдэл

Зургаас бид шүргэгч нь A(-6; 2) ба B(-1; 1) цэгүүдээр дамждаг болохыг тодорхойлно. x=-6 ба y=1 шулуунуудын огтлолцох цэгийг C(-6; 1), ABC өнцгийг \alpha гэж тэмдэглэе (зураг дээр хурц байгааг харж болно). Дараа нь AB шулуун шугам нь мохоо тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй \pi -\alpha өнцөг үүсгэнэ.

Мэдэгдэж байгаагаар, tg(\pi -\alpha) нь f(x) функцын x_0 цэг дэх деривативын утга байх болно. анзаараарай, тэр tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15.Эндээс багасгах томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг авна. tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.

Хариулт

Эх сурвалж: “Математик. 2017 оны улсын нэгдсэн шалгалтын бэлтгэл. Профайлын түвшин." Эд. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.

Ажлын төрөл: 7
Сэдэв: Деривативын геометрийн утга. Функцийн графикт шүргэгч

Нөхцөл байдал

y=-2x-4 шулуун шугам нь y=16x^2+bx+12 функцийн графиктай шүргэгч байна. Шүргэх цэгийн абсцисса нь тэгээс их байвал b-г ол.

Шийдлийг харуулах

Шийдэл

y=16x^2+bx+12 функцийн график дээрх цэгийн абсцисса нь x_0 байг.

Энэ графиктай шүргэгч байна.

x_0 цэг дээрх деривативын утга нь шүргэгчийн налуутай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл y"(x_0)=32x_0+b=-2. Нөгөө талаас шүргэлтийн цэг нь графын аль алинд нь нэгэн зэрэг хамаарна. функц ба шүргэгч, өөрөөр хэлбэл 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Бид тэгшитгэлийн системийг олж авна \эхлэх(тохиолдлууд) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \төгсгөл(тохиолдол)

Системийг шийдэж, бид x_0^2=1-ийг авах бөгөөд энэ нь x_0=-1 эсвэл x_0=1 гэсэн үг юм. Абсцисса нөхцлийн дагуу шүргэгч цэгүүд тэгээс их байх тул x_0=1, тэгвэл b=-2-32x_0=-34 болно.

Хариулт

Эх сурвалж: “Математик. 2017 оны улсын нэгдсэн шалгалтын бэлтгэл. Профайлын түвшин." Эд. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.

Ажлын төрөл: 7
Сэдэв: Деривативын геометрийн утга. Функцийн графикт шүргэгч

Нөхцөл байдал

Зурагт (-2; 8) интервал дээр тодорхойлогдсон y=f(x) функцийн графикийг үзүүлэв. Функцийн графикт шүргэгч нь y=6 шулуунтай параллель байх цэгүүдийн тоог тодорхойл.

Шийдлийг харуулах

Шийдэл

y=6 шулуун шугам нь Ox тэнхлэгтэй параллель байна. Тиймээс функцийн графикт шүргэгч нь Ox тэнхлэгтэй параллель байх цэгүүдийг олно. Энэ график дээр ийм цэгүүд нь экстремум цэгүүд (хамгийн их эсвэл хамгийн бага оноо) юм. Таны харж байгаагаар 4 экстремум цэг байдаг.

Хариулт

Эх сурвалж: “Математик. 2017 оны улсын нэгдсэн шалгалтын бэлтгэл. Профайлын түвшин." Эд. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.

Ажлын төрөл: 7
Сэдэв: Деривативын геометрийн утга. Функцийн графикт шүргэгч

Нөхцөл байдал

y=4x-6 шулуун нь y=x^2-4x+9 функцийн графикийн шүргэгчтэй параллель байна. Шүргэх цэгийн абсциссыг ол.

Шийдлийг харуулах

Шийдэл

Дурын x_0 цэгийн y=x^2-4x+9 функцийн графиктай шүргэгчийн налуу нь y"(x_0)-тай тэнцүү байна. Харин y"=2x-4 нь y"(x_0)= гэсэн үг. 2x_0-4. Нөхцөлд заасан y =4x-7 шүргэгчийн налуу нь 4-тэй тэнцүү. Зэрэгцээ шугамууд нь ижил өнцгийн коэффициенттэй тул 2x_0-4=4 гэсэн утгыг олно.

Хариулт

Эх сурвалж: “Математик. 2017 оны улсын нэгдсэн шалгалтын бэлтгэл. Профайлын түвшин." Эд. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.

Ажлын төрөл: 7
Сэдэв: Деривативын геометрийн утга. Функцийн графикт шүргэгч

Нөхцөл байдал

Зурагт y=f(x) функцийн график ба абсцисса x_0 цэгт шүргэгчийг харуулав. x_0 цэг дээрх f(x) функцийн деривативын утгыг ол.

Шийдлийг харуулах

Шийдэл

Зургаас бид шүргэгч нь A(1; 1) ба B(5; 4) цэгүүдээр дамждаг болохыг тодорхойлно. x=5 ба y=1 шулуунуудын огтлолцох цэгийг C(5; 1), BAC өнцгийг \alpha гэж тэмдэглэе (зураг дээр хурц байгааг харж болно). Дараа нь AB шулуун шугам нь Ox тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй \alpha өнцөг үүсгэнэ.

Асаалттай орчин үеийн үе шатболовсролын хөгжил, түүний гол зорилтуудын нэг бол бүтээлч сэтгэлгээтэй хувь хүнийг төлөвшүүлэх явдал юм. Оюутнуудын бүтээлч чадварыг зөвхөн судалгааны үндсэн ажилд системтэй оролцуулж байж хөгжүүлэх боломжтой. Оюутнуудад бүтээлч чадвар, чадвар, авьяас чадвараа ашиглах үндэс суурь нь бүрэн мэдлэг, ур чадвар юм. Үүнтэй холбоотойгоор тогтолцоог бүрдүүлэх асуудал үндсэн мэдлэгСургуулийн математикийн хичээлийн сэдэв бүрийн ур чадвар нь бага ач холбогдолтой биш юм. Үүний зэрэгцээ, бүрэн ур чадвар нь бие даасан даалгаврын бус харин сайтар бодож боловсруулсан системийн дидактик зорилго байх ёстой. Маш их өргөн утгаараасистем гэдэг нь бүрэн бүтэн, тогтвортой бүтэцтэй, харилцан уялдаатай харилцан үйлчлэлийн элементүүдийн цогц гэж ойлгогддог.

Функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг хэрхэн бичихийг оюутнуудад заах аргачлалыг авч үзье. Үндсэндээ шүргэгч тэгшитгэлийг олох бүх асуудал нь тодорхой шаардлагыг хангасан шугамуудын багцаас (багц, гэр бүл) сонгох хэрэгцээ шаардлагаас үүдэлтэй байдаг - тэдгээр нь тодорхой функцийн графикт шүргэгч байдаг. Энэ тохиолдолд сонголт хийх шугамын багцыг хоёр аргаар тодорхойлж болно.

a) xOy хавтгай дээр байрлах цэг (шугамны төв харандаа);
б) өнцгийн коэффициент (шулуун шугамын зэрэгцээ цацраг).

Үүнтэй холбогдуулан системийн элементүүдийг тусгаарлахын тулд "Функцийн графикт шүргэгч" сэдвийг судлахдаа бид хоёр төрлийн асуудлыг тодорхойлсон.

1) өнгөрч буй цэгээр өгөгдсөн шүргэгчтэй холбоотой асуудлууд;
2) түүний налуугаар өгөгдсөн шүргэгч дээрх бодлого.

Шүргэх асуудлыг шийдвэрлэх сургалтыг A.G-ийн санал болгосон алгоритмыг ашиглан явуулав. Мордкович. Түүний үндсэн ялгааӨмнө нь мэдэгдэж байгаа зүйл бол шүргэгч цэгийн абсциссыг a үсгээр (х0-ийн оронд) тэмдэглэдэг тул шүргэгчийн тэгшитгэл нь хэлбэрийг авдаг.

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)-тай харьцуулна уу). Энэхүү арга зүйн арга нь бидний бодлоор оюутнуудад одоогийн цэгийн координат хаана бичигдсэнийг хурдан бөгөөд хялбар ойлгох боломжийг олгодог. ерөнхий шүргэгч тэгшитгэл, холбоо барих цэгүүд хаана байна.

y = f(x) функцийн графикт шүргэгч тэгшитгэл зохиох алгоритм

1. Шүргэх цэгийн абсциссыг a үсгээр тэмдэглэ.
2. f(a)-г ол.
3. f "(x) ба f "(a) -г ол.
4. Олдсон a, f(a), f "(a) тоонуудыг орлуул ерөнхий тэгшитгэлшүргэгч y = f(a) = f "(a)(x – a).

Энэхүү алгоритмыг оюутнууд үйлдлүүдийг бие даан тодорхойлох, хэрэгжүүлэх дарааллыг үндэслэн эмхэтгэж болно.

Практик үүнийг харуулсан дараалсан шийдэлАлгоритмын тусламжтайгаар үндсэн даалгавар бүр нь функцийн графиктай шүргэгч тэгшитгэлийг үе шаттайгаар бичих чадварыг хөгжүүлэх боломжийг олгодог бөгөөд алгоритмын алхамууд нь үйлдлийн лавлах цэг болдог. Энэ хандлага нь П.Я-ын боловсруулсан сэтгэцийн үйлдлийг аажмаар бий болгох онолд нийцдэг. Галперин ба Н.Ф. Талызина.

Эхний төрлийн ажлуудад хоёр үндсэн ажлыг тодорхойлсон.

• шүргэгч нь муруй дээр хэвтэж буй цэгээр дамждаг (1-р асуудал);
• шүргэгч нь муруй дээр хэвтээгүй цэгээр дамжин өнгөрдөг (2-р асуудал).

Даалгавар 1. Функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич М(3; – 2) цэг дээр.

Шийдэл. M(3; – 2) цэг нь шүргэгч цэг юм

1. a = 3 – шүргэгч цэгийн абсцисса.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – шүргэгч тэгшитгэл.

Бодлого 2. М(– 3; 6) цэгийг дайран өнгөрөх y = – x 2 – 4x + 2 функцийн графикт бүх шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл. f(– 3) 6 (Зураг 2) тул M(– 3; 6) цэг нь шүргэлтийн цэг биш юм.

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – шүргэгч тэгшитгэл.

Шүргэх нь M(– 3; 6) цэгээр дамждаг тул координатууд нь шүргэгч тэгшитгэлийг хангана.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Хэрэв a = – 4 бол шүргэгч тэгшитгэл нь y = 4x + 18 болно.

Хэрэв a = – 2 бол шүргэгч тэгшитгэл нь y = 6 хэлбэртэй байна.

Хоёрдахь төрлийн хувьд гол ажлууд нь дараах байдалтай байна.

• шүргэгч нь зарим шулуунтай параллель байна (3-р асуудал);
• шүргэгч нь өгөгдсөн шугам руу тодорхой өнцгөөр дамждаг (бодол 4).

Бодлого 3. y = 9x + 1 шулуунтай параллель y = x 3 – 3x 2 + 3 функцийн графикт бүх шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.

1. a – шүргэгч цэгийн абсцисса.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Гэхдээ нөгөө талаас f "(a) = 9 (параллелизм нөхцөл). Энэ нь 3a 2 – 6a = 9 тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай гэсэн үг юм. Үүний үндэс нь a = – 1, a = 3 (Зураг 3) ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – шүргэгч тэгшитгэл;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – шүргэгч тэгшитгэл.

Бодлого 4. у = 0.5х 2 – 3х + 1 функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг y = 0 шулуун руу 45° өнцгөөр дамжуулж бич (Зураг 4).

Шийдэл. f "(a) = tan 45° нөхцөлөөс бид a: a – 3 = 1 ^ a = 4-ийг олно.

1. a = 4 – шүргэгч цэгийн абсцисса.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – шүргэгч тэгшитгэл.

Бусад аливаа асуудлын шийдэл нь нэг буюу хэд хэдэн гол асуудлыг шийдэхэд хүргэдэг гэдгийг харуулахад хялбар байдаг. Дараах хоёр асуудлыг жишээ болгон авч үзье.

1. Парабол y = 2x 2 – 5x – 2 шүргэгч шулуун өнцгөөр огтлолцож, тэдгээрийн аль нэг нь абсцисса 3-тай цэгт параболд хүрвэл тэдгээрийн тэгшитгэлийг бич (Зураг 5).

Шийдэл. Шүргэх цэгийн абсцисс өгөгдсөн тул шийдлийн эхний хэсгийг 1-р гол асуудал болгон бууруулна.

1. a = 3 – аль нэг талын шүргэлтийн цэгийн абсцисса зөв өнцөг.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – эхний шүргэгчийн тэгшитгэл.

Эхний шүргэгчийн налуу өнцгийг a гэж үзье. Шүргэгч нь перпендикуляр тул хоёр дахь шүргэгчийн налуу өнцөг болно. Эхний шүргэгчийн y = 7x – 20 тэгшитгэлээс бид tg a = 7 байна. Олъё.

Энэ нь хоёр дахь шүргэгчийн налуу нь тэнцүү байна гэсэн үг юм.

Цаашдын шийдэл нь 3-р гол ажил дээр ирдэг.

B(c; f(c))-ийг хоёр дахь шугамын шүргэлтийн цэг гэж үзье

1. – шүргэлтийн хоёр дахь цэгийн абсцисса.
2.
3.
4.
– хоёр дахь шүргэгчийн тэгшитгэл.

Анхаарна уу. Оюутнууд k 1 k 2 = – 1 перпендикуляр шулуунуудын коэффициентүүдийн харьцааг мэддэг бол шүргэгчийн өнцгийн коэффициентийг илүү хялбар олох боломжтой.

2. Функцийн графикт бүх нийтлэг шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич

Шийдэл. Асуудал нь нийтлэг шүргэгчийн шүргэлтийн цэгүүдийн абсциссыг олох, өөрөөр хэлбэл 1-р гол асуудлыг шийдвэрлэхэд чиглэдэг. ерөнхий үзэл, тэгшитгэлийн систем ба түүний дараагийн шийдлийг зурах (Зураг 6).

1. y = x 2 + x + 1 функцийн график дээр байрлах шүргэгч цэгийн абсциссыг a гэж үзье.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Функцийн график дээр байрлах шүргэгч цэгийн абсциссыг c гэж үзье
2.
3. f "(в) = в.
4.

Шүргэгч нь ерөнхий байдаг тул

Тэгэхээр y = x + 1 ба y = – 3x – 3 нь нийтлэг шүргэгч болно.

Санасан даалгаврын гол зорилго нь оюутнуудыг илүү их зүйлийг шийдвэрлэхдээ гол асуудлын төрлийг бие даан танихад бэлтгэх явдал юм нарийн төвөгтэй даалгавар, тодорхой судалгааны ур чадвар шаарддаг (шинжилгээ хийх, харьцуулах, нэгтгэх, таамаглал дэвшүүлэх чадвар гэх мэт). Ийм даалгаварт гол үүрэг нь бүрэлдэхүүн хэсэг болгон орсон аливаа ажлыг багтаадаг. Түүний шүргэгчийн бүлгээс функцийг олох асуудлыг (1-р бодлоготой урвуу) жишээ болгон авч үзье.

3. y = x 2 + bx + c функцийн графикт y = x ба y = – 2x шүргэгч b ба c шулуунууд юуны хувьд вэ?

y = x 2 + bx + c параболын y = x шулуун шугамын шүргэлтийн цэгийн абсцисса t гэж үзье; p нь y = x 2 + bx + c параболын y = – 2x шулуун шугамын шүргэлтийн цэгийн абсцисса юм. Тэгвэл y = x шүргэгч тэгшитгэл нь y = (2t + b)x + c – t 2 хэлбэртэй, y = – 2x шүргэгч тэгшитгэл нь y = (2p + b)x + c – p 2 хэлбэртэй болно. .

Тэгшитгэлийн системийг зохиож шийдье

Хариулт: