Слогыг матрицын аргаар шийднэ. Крамерын дүрэм. Урвуу матрицын арга
Үйлчилгээний даалгавар. Энэхүү онлайн тооны машиныг ашиглан үл мэдэгдэх (x 1 , x 2 , ..., x n ) -ийг тэгшитгэлийн системд тооцдог. Шийдвэр гарч байна арга урвуу матриц . Үүнд:- А матрицын тодорхойлогчийг тооцоолсон;
- алгебрийн нэмэлтүүдээр урвуу матриц A -1 олддог;
- Excel-д шийдлийн загварыг бий болгосон;
Заавар. Урвуу матрицын аргаар шийдлийг олж авахын тулд матрицын хэмжээсийг зааж өгөх шаардлагатай. Дараа нь шинэ харилцах цонхонд А матриц болон үр дүнгийн вектор В-ийг бөглөнө үү.
Мөн матрицын тэгшитгэлийн шийдлийг үзнэ үү.Шийдлийн алгоритм
- А матрицын тодорхойлогчийг тооцоолно. Тодорхойлогч нь тэг бол шийдлийн төгсгөл. Систем нь хязгааргүй олон тооны шийдэлтэй.
- Тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай үед урвуу матриц A -1-ийг алгебрийн нэмэлтээр олно.
- Шийдвэрийн вектор X =(x 1 , x 2 , ..., x n ) урвуу матрицыг үр дүнгийн В вектороор үржүүлснээр гарна.
Алгебрийн нэмэлтүүд.
| A 1.1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| A 1.3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| A 2.1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| A 2.2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| A 2.3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| A 3.1 = (-1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Шалгалт:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
Ерөнхий тэгшитгэл, шугаман алгебрийн тэгшитгэл ба тэдгээрийн систем, тэдгээрийг шийдвэрлэх аргууд нь математикт онолын болон хэрэглээний аль алинд нь онцгой байр суурь эзэлдэг.
Энэ нь дийлэнх нь физик, эдийн засаг, техник, тэр ч байтугай сурган хүмүүжүүлэх даалгаварянз бүрийн тэгшитгэл, тэдгээрийн системийг ашиглан тодорхойлж, шийдэж болно. AT сүүлийн үедсудлаачид, эрдэмтэд, практик хүмүүсийн дунд онцгой алдартай болсон математик загварчлалбараг бүх сэдвийн хүрээнд, энэ нь объектыг судлах бусад алдартай, батлагдсан аргуудаас илт давуу талтай гэдгээрээ тайлбарлагддаг. өөр мөн чанар, ялангуяа гэж нэрлэгддэг нарийн төвөгтэй системүүд. Маш олон янз байдаг янз бүрийн тодорхойлолтуудонд эрдэмтдийн гаргасан математик загвар өөр өөр цаг хугацаа, гэхдээ бидний бодлоор хамгийн амжилттай нь дараах мэдэгдэл. Математик загвар бол санаа юм тэгшитгэлээр илэрхийлнэ. Тиймээс тэгшитгэл, тэдгээрийн системийг зохиох, шийдвэрлэх чадвар нь орчин үеийн мэргэжилтний салшгүй шинж чанар юм.
Шугаман системийг шийдэх алгебрийн тэгшитгэлХамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг аргууд нь: Крамер, Жордан-Гаусс, матрицын арга юм.
Матрицын аргашийдлүүд - урвуу матрицыг ашиглан тэг биш тодорхойлогчтой шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэх арга.
Хэрэв бид үл мэдэгдэх xi утгуудын коэффициентийг А матрицад бичиж, үл мэдэгдэх утгуудыг X векторт, чөлөөт гишүүдийг В багана векторт цуглуулвал шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг дараах байдлаар бичиж болно. дагадаг матрицын тэгшитгэл A · X = B, зөвхөн А матрицын тодорхойлогч тэгтэй тэнцүү биш тохиолдолд л өвөрмөц шийдэлтэй. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн системийн шийдийг дараах байдлаар олж болно X = А-нэг · Б, хаана А-1 - урвуу матриц.
Матрицын шийдлийн арга нь дараах байдалтай байна.
Системийг зөвшөөр шугаман тэгшитгэл-тай nүл мэдэгдэх:
Үүнийг матриц хэлбэрээр дахин бичиж болно: AX = Б, хаана А- системийн үндсэн матриц, Бболон X- чөлөөт гишүүдийн багана ба системийн шийдлүүд:
Зүүн талд байгаа энэ матрицын тэгшитгэлийг үржүүл А-1 - матрицын урвуу матриц А: А -1 (AX) = А -1 Б
Учир нь А -1 А = Э, бид авдаг X= А -1 Б. Энэ тэгшитгэлийн баруун гар талд анхны системийн шийдлүүдийн багана өгнө. Энэ аргыг хэрэглэх нөхцөл (мөн ерөнхийдөө шийдэл байгаа эсэх). нэгэн төрлийн системҮл мэдэгдэх тоотой тэнцүү тэгшитгэлийн тоо бүхий шугаман тэгшитгэл) нь матрицын доройтолгүй байдал юм. А. Шаардлагатай ба хангалттай нөхцөлэнэ нь матрицын тодорхойлогчийн тэгш бус байдлын тэг юм А: det А≠ 0.
Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн хувьд, өөрөөр хэлбэл вектор байх үед Б = 0 , үнэхээр урвуу дүрэм: систем AX = 0 нь зөвхөн det бол өчүүхэн бус (өөрөөр хэлбэл, тэг биш) шийдэлтэй байна А= 0. Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн ба нэгэн төрлийн бус системийн шийдүүдийн хоорондын ийм холболтыг Фредхолмын хувилбар гэнэ.
Жишээ Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн бус системийн шийдлүүд.
Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн үл мэдэгдэх коэффициентүүдээс бүрдэх матрицын тодорхойлогч нь 0-тэй тэнцүү биш эсэхийг шалгацгаая.
Дараагийн алхам бол тооцоолох явдал юм алгебрийн нэмэлтүүдүл мэдэгдэх коэффициентүүдээс бүрдэх матрицын элементүүдийн хувьд. Тэд урвуу матрицыг олоход хэрэгтэй болно.
The онлайн тооцоолууршугаман тэгшитгэлийн системийг матрицын аргаар шийддэг. Маш их өгсөн нарийвчилсан шийдэл. Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд хувьсагчийн тоог сонгоно. Урвуу матрицыг тооцоолох аргыг сонгоно уу. Дараа нь нүднүүдэд өгөгдлийг оруулаад "Тооцоолох" товчийг дарна уу.
×
Анхааруулга
Бүх нүдийг арилгах уу?
Цэвэр хаах
Өгөгдөл оруулах заавар.Тоонуудыг бүхэл тоо (жишээ нь: 487, 5, -7623 гэх мэт), аравтын тоо (жишээ нь. 67., 102.54 гэх мэт) эсвэл бутархай хэлбэрээр оруулна. Бутархайг a/b хэлбэрээр бичих ёстой, энд a ба b нь бүхэл тоо эсвэл аравтын тоо. Жишээ 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 гэх мэт.
Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх матрицын арга
Дараах шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзье.
Урвуу матрицын тодорхойлолтыг харгалзан үзвэл бид байна А −1 А=Э, хаана Энь таних матриц юм. Тиймээс (4)-ийг дараах байдлаар бичиж болно.
Тиймээс шугаман тэгшитгэлийн системийг (1) (эсвэл (2)) шийдэхийн тулд урвуу тоог үржүүлэхэд хангалттай. Ахязгаарлалтын векторын матриц б.
Шугаман тэгшитгэлийн системийг матрицын аргаар шийдвэрлэх жишээ
Жишээ 1. Дараах шугаман тэгшитгэлийн системийг матрицын аргаар шийд.
А матрицын урвуу утгыг Жордан-Гаусын аргаар олъё. FROM баруун талматрицууд Абичих таних матриц:
Үндсэн диагональ доор байрлах матрицын 1-р баганын элементүүдийг хасъя. Үүнийг хийхийн тулд -1/3, -1/3-аар үржүүлсэн 2,3 мөрийг 1-р эгнээнд нэмнэ.
Үндсэн диагональ доор байрлах матрицын 2-р баганын элементүүдийг хасъя. Үүнийг хийхийн тулд 3-р мөрийг -24/51-ээр үржүүлсэн 2-р мөрийг нэмнэ.
Үндсэн диагональ дээрх матрицын 2-р баганын элементүүдийг хасъя. Үүнийг хийхийн тулд 1-р мөрийг -3/17-оор үржүүлсэн 2-р эгнээнд нэмнэ.
Матрицын баруун талыг тусгаарла. Үүссэн матриц нь урвуу утгатай байна А :
Шугаман тэгшитгэлийн системийг бичих матриц хэлбэр: ax=b, хаана
Матрицын бүх алгебрийн нэмэлтүүдийг тооцоол А:
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 .
|
Урвуу матрицыг дараах илэрхийллээр тооцоолно.
Эхний хэсэгт бид заримыг нь харлаа онолын материал, орлуулах арга, системийн тэгшитгэлийг гишүүнээр нэмэх арга. Энэ хуудсаар дамжуулан сайтад ирсэн бүх хүмүүст эхний хэсгийг уншихыг зөвлөж байна. Магадгүй зарим зочдод материалыг хэтэрхий энгийн гэж үзэх байх, гэхдээ шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх явцад би шийдлийн талаар хэд хэдэн чухал тайлбар, дүгнэлт хийсэн. математикийн асуудлуудерөнхийдөө.
Одоо бид Крамерын дүрмийг, мөн урвуу матриц (матрицын арга) ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдлийг шинжлэх болно. Бүх материалыг энгийн, дэлгэрэнгүй, ойлгомжтой байдлаар танилцуулсан бөгөөд бараг бүх уншигчид дээрх аргуудыг ашиглан системийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах боломжтой болно.
Бид эхлээд хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийн Крамерын дүрмийг нарийвчлан авч үзье. Юуны төлөө? - Эцэст нь хамгийн энгийн системсургуулийн аргаар, улирал нэмэх замаар шийдэж болно!
Баримт нь заримдаа ч гэсэн ийм даалгавар байдаг - хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг Крамерын томъёог ашиглан шийдвэрлэх. Хоёрдугаарт, илүү энгийн жишээ нь Крамерын дүрмийг хэрхэн ашиглах талаар ойлгоход тусална хэцүү тохиолдол– гурван үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийн систем.
Нэмж дурдахад хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системүүд байдаг бөгөөд үүнийг Крамерын дүрмийн дагуу яг шийдэхийг зөвлөж байна!
Тэгшитгэлийн системийг авч үзье
Эхний алхамд бид тодорхойлогчийг тооцоолно, үүнийг нэрлэдэг системийн гол тодорхойлогч.
Гауссын арга.
Хэрэв бол систем нь өвөрмөц шийдэлтэй бөгөөд үндсийг олохын тулд бид өөр хоёр тодорхойлогчийг тооцоолох ёстой.
болон
Практикт дээрх шалгуур үзүүлэлтүүдийг латин үсгээр тэмдэглэж болно.
Тэгшитгэлийн үндэсийг дараах томъёогоор олно.
,
Жишээ 7
Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд 
Шийдэл: Тэгшитгэлийн коэффициентүүд нэлээд том байгааг бид харж байна, баруун талд нь байна аравтын бутархайтаслалтай. Таслал бол математикийн практик даалгаварт маш ховор зочин бөгөөд би энэ системийг эконометрикийн бодлогоос авсан.
Ийм системийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ? Та нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар илэрхийлэхийг оролдож болно, гэхдээ энэ тохиолдолд та ажиллахад туйлын тохиромжгүй аймшигтай гоёмсог фракцуудыг авах нь гарцаагүй бөгөөд шийдлийн загвар нь үнэхээр аймшигтай харагдах болно. Та хоёр дахь тэгшитгэлийг 6-аар үржүүлж, гишүүнийг гишүүнээр нь хасаж болно, гэхдээ энд ижил бутархайнууд гарч ирнэ.
Юу хийх вэ? Ийм тохиолдолд Крамерын томъёонууд аврах ажилд ирдэг.
;
;
Хариулт: ,
Хоёр үндэс нь төгсгөлгүй сүүлтэй бөгөөд ойролцоогоор олддог бөгөөд энэ нь эконометрикийн асуудлуудад нэлээд хүлээн зөвшөөрөгдөхүйц (бүр энгийн зүйл) юм.
Даалгаврыг бэлэн томъёоны дагуу шийддэг тул энд тайлбар хийх шаардлагагүй, гэхдээ нэг анхааруулга байна. Хэрэглэх үед энэ арга, албадмалДаалгаврын хэсэг нь дараах фрагмент юм. "Тиймээс систем нь өвөрмөц шийдэлтэй". Үгүй бол хянагч таныг Крамерын теоремыг үл хүндэтгэсэн гэж шийтгэж магадгүй юм.
Тооны машин дээр хийхэд тохиромжтой шалгах нь илүүц байх болно: бид ойролцоогоор утгыг орлуулна. зүүн талсистемийн тэгшитгэл бүр. Үүний үр дүнд жижиг алдаа гарвал баруун талд байгаа тоонуудыг авах ёстой.
Жишээ 8
Хариултаа энгийн байдлаар илэрхийл буруу бутархай. Чек хийх.
Энэ бол жишээ юм бие даасан шийдвэр(жишээ нь дуусгахмөн хичээлийн төгсгөлд хариулна уу).
Бид гурван үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийн системийн Крамерын дүрмийг авч үзэх болно. 
Бид системийн гол тодорхойлогчийг олдог. 
Хэрэв бол систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй эсвэл зөрчилтэй (шийдэл байхгүй). Энэ тохиолдолд Крамерын дүрэм тус болохгүй, та Гауссын аргыг ашиглах хэрэгтэй.
Хэрэв бол систем нь өвөрмөц шийдэлтэй бөгөөд үндсийг олохын тулд бид өөр гурван тодорхойлогчийг тооцоолох ёстой. 
, 
, 
Эцэст нь хариултыг томъёогоор тооцоолно. 
Таны харж байгаагаар "гурваас гурав" тохиолдол нь "хоёроос хоёр" тохиолдолоос үндсэндээ ялгаатай биш бөгөөд чөлөөт нэр томъёоны багана нь үндсэн тодорхойлогчийн баганын дагуу зүүнээс баруун тийш дараалан "алхдаг".
Жишээ 9
Крамерын томъёог ашиглан системийг шийд. 
Шийдэл: Крамерын томьёог ашиглан системийг шийдье. 
, тиймээс систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг.
Хариулт: 
.
Ер нь бол бэлэн томьёоллоор шийдвэр гарч байгаа болохоор энд дахин тайлбар хэлэх онцлох зүйл алга. Гэхдээ хэд хэдэн тэмдэглэл байна.
Тооцооллын үр дүнд "муу" бууруулж болохгүй бутархайг олж авдаг, жишээлбэл: .
Би дараах "эмчилгээ" алгоритмыг санал болгож байна. Хэрэв гарт компьютер байхгүй бол бид дараах зүйлийг хийнэ.
1) Тооцоололд алдаа гарсан байж магадгүй. Та "муу" цохилттой тулгармагц тэр даруй шалгах хэрэгтэй нөхцөлийг зөвөөр дахин бичсэн байна. Хэрэв нөхцөлийг алдаагүйгээр дахин бичсэн бол өөр мөрөнд (багана) өргөтгөлийг ашиглан тодорхойлогчдыг дахин тооцоолох хэрэгтэй.
2) Хэрэв шалгалтын үр дүнд алдаа гараагүй бол даалгаврын нөхцөлд үсгийн алдаа гарсан байх магадлалтай. Энэ тохиолдолд даалгавраа эцэс хүртэл тайван, болгоомжтой шийдээрэй, тэгээд дараа нь шалгахаа мартуузайшийдвэр гаргасны дараа цэвэр хуулбар дээр зурна. Мэдээжийн хэрэг, бутархай хариултыг шалгах нь тааламжгүй ажил боловч энэ нь ямар ч муу зүйлд хасах дуртай багшийн хувьд зэвүүн маргаан болно. Бутархайтай хэрхэн харьцах талаар жишээ 8-ын хариултанд дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно.
Хэрэв таны гарт компьютер байгаа бол үүнийг шалгахын тулд автоматжуулсан програмыг ашиглана уу, үүнийг хичээлийн эхэнд үнэгүй татаж авах боломжтой. Дашрамд хэлэхэд, програмыг шууд ашиглах нь хамгийн ашигтай байдаг (шийдэл эхлэхээс өмнө) та алдаа гаргасан завсрын алхамаа шууд харах болно! Ижил тооны машин нь матрицын аргыг ашиглан системийн шийдлийг автоматаар тооцдог.
Хоёр дахь тэмдэглэл. Үе үе тэгшитгэлд зарим хувьсагч байхгүй системүүд байдаг, жишээлбэл: 
Энд эхний тэгшитгэлд хувьсагч байхгүй, хоёрдугаарт хувьсагч байхгүй. Ийм тохиолдолд гол тодорхойлогчийг зөв, болгоомжтой бичих нь маш чухал юм. 
– орхигдсон хувьсагчийн оронд тэг тавина.
Дашрамд хэлэхэд, тооцоолол мэдэгдэхүйц бага байгаа тул тэг байрлаж буй эгнээнд (багана) тэг бүхий тодорхойлогчдыг нээх нь оновчтой юм.
Жишээ 10
Крамерын томъёог ашиглан системийг шийд. 
Энэ бол өөрөө шийдэх жишээ юм (хичээлийн төгсгөлд түүвэр, хариултыг дуусгах).
4 үл мэдэгдэх 4 тэгшитгэлийн системийн хувьд Крамерын томъёог ижил төстэй зарчмын дагуу бичдэг. Та тодорхойлогч шинж чанарууд хичээлээс амьд жишээг харж болно. Тодорхойлогчийн дарааллыг багасгах - 4-р эрэмбийн таван тодорхойлогч нэлээд шийдэгдэх боломжтой. Хэдийгээр даалгавар нь аль хэдийн азтай оюутны цээжинд профессорын гутлыг санагдуулдаг.
Урвуу матриц ашиглан системийн шийдэл
Урвуу матрицын арга нь үндсэндээ онцгой тохиолдол матрицын тэгшитгэл(Заасан хичээлийн 3-р жишээг үзнэ үү).
Энэ хэсгийг судлахын тулд тодорхойлогчдыг өргөжүүлэх, урвуу матрицыг олох, матрицын үржүүлэх ажлыг гүйцэтгэх чадвартай байх шаардлагатай. Тайлбар ахих тусам холбогдох холбоосыг өгөх болно.
Жишээ 11
Системийг матрицын аргаар шийд 
Шийдэл: Бид системийг матриц хэлбэрээр бичнэ.
, хаана 
Тэгшитгэл ба матрицын системийг харна уу. Бид ямар зарчмаар элементүүдийг матрицад бичдэг вэ гэдгийг бүгд ойлгосон байх гэж бодож байна. Цорын ганц тайлбар: хэрэв тэгшитгэлд зарим хувьсагч байхгүй байсан бол матрицын харгалзах газруудад тэгийг оруулах шаардлагатай болно.
Бид урвуу матрицыг дараах томъёогоор олно.
, хаана нь матрицын харгалзах элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдийн шилжүүлсэн матриц юм.
Эхлээд тодорхойлогчтой харьцъя:
Энд тодорхойлогчийг эхний мөрөнд өргөжүүлнэ.
Анхаар! Хэрэв бол урвуу матриц байхгүй бөгөөд системийг матрицын аргаар шийдвэрлэх боломжгүй юм. Энэ тохиолдолд үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах замаар системийг шийддэг (Гауссын арга).
Одоо та насанд хүрээгүй 9 хүүхдийг тооцоолж, насанд хүрээгүй хүмүүсийн матрицад бичих хэрэгтэй 
Лавлагаа:Шугаман алгебр дахь давхар тэмдэгтийн утгыг мэдэх нь ашигтай. Эхний цифр нь тухайн элемент байрлах мөрийн дугаар юм. Хоёр дахь цифр нь тухайн элемент байрлах баганын дугаар юм. 
Өөрөөр хэлбэл, давхар дэд тэмдэг нь элемент нь эхний эгнээ, гурав дахь баганад байгаа бол, жишээлбэл, элемент нь 3-р эгнээ, 2-р баганад байгааг илтгэнэ.
Сэдэв 2. ШУГААН АЛГЕБРИЙН ТЭГШИГЧИЛГИЙН СИСТЕМҮҮД.
Үндсэн ойлголтууд.
Тодорхойлолт 1. систем мшугаман тэгшитгэлүүд nүл мэдэгдэх нь дараах хэлбэрийн систем юм.
хаана ба тоонууд.
Тодорхойлолт 2. Системийн шийдэл (I) нь энэ системийн тэгшитгэл бүр ижил төстэй байдал болж хувирдаг ийм үл мэдэгдэх олонлог юм.
Тодорхойлолт 3. Системийг (I) гэж нэрлэдэг хамтарсанхэрэв энэ нь дор хаяж нэг шийдэлтэй бол ба нийцэхгүйХэрэв шийдэл байхгүй бол. Хамтарсан системийг гэж нэрлэдэг тодорхойхэрэв энэ нь өвөрмөц шийдэлтэй бол, мөн тодорхойгүйөөрөөр.
Тодорхойлолт 4. Төрөл тэгшитгэл
дуудсан тэг, ба хэлбэрийн тэгшитгэл
дуудсан нийцэхгүй. Тохиромжгүй тэгшитгэл агуулсан тэгшитгэлийн систем нь нийцэхгүй нь ойлгомжтой.
Тодорхойлолт 5. Шугаман тэгшитгэлийн хоёр системийг нэрлэдэг тэнцүүхэрэв нэг системийн шийдэл бүр нь нөгөө системийн шийдэл, харин эсрэгээр хоёр дахь системийн шийдэл бүр эхнийх нь шийдэл юм.
Шугаман тэгшитгэлийн системийн матрицын тэмдэглэгээ.
(I) системийг авч үзье (§1-ийг үзнэ үү).
Тэмдэглэх:
Үл мэдэгдэх коэффициентийн матриц
Матриц - чөлөөт гишүүдийн багана
Матриц - үл мэдэгдэх багана
.
Тодорхойлолт 1.Матриц гэж нэрлэдэг системийн гол матриц(I), матриц нь системийн (I) нэмэгдүүлсэн матриц юм.
Матрицын тэгш байдлын тодорхойлолтоор систем (I) нь матрицын тэгшитгэлтэй тохирч байна.
.
Баруун талматрицын үржвэрийн тодорхойлолтоор энэ тэгш байдал ( тодорхойлолт 3 § 5-ын 1-р бүлгийг үзнэ үү) хүчин зүйлчилж болно:
, өөрөөр хэлбэл
Тэгш байдал (2) дуудсан системийн матриц тэмдэглэгээ (I).
Шугаман тэгшитгэлийн системийг Крамерын аргаар шийдвэрлэх.
Системд оруулах (I) (§1-ийг үзнэ үү) m=n, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой тэнцүү бөгөөд системийн үндсэн матриц нь доройтдоггүй, өөрөөр хэлбэл. . Дараа нь §1-ээс (I) систем өвөрмөц шийдэлтэй байна
хаана ∆ = дет Агол гэж нэрлэдэг системийн тодорхойлогч(I), ∆ биΔ тодорхойлогчоос солих замаар олж авна би--р баганаас системийн чөлөөт гишүүдийн баганад (I).
Жишээ нь системийг Крамерын аргаар шийд.
.
Томъёогоор (3)
.
Бид системийн тодорхойлогчдыг тооцоолно.
,
,
.
Тодорхойлогчийг авахын тулд бид тодорхойлогчийн эхний баганыг чөлөөт гишүүдийн баганаар сольсон; Тодорхойлогчийн 2-р баганыг чөлөөт гишүүдийн баганаар сольж, бид олж авна; Үүний нэгэн адил тодорхойлогчийн 3-р баганыг чөлөөт гишүүдийн баганаар сольсноор бид . Системийн шийдэл:
Урвуу матриц ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх.
Системд оруулах (I) (§1-ийг үзнэ үү) m=nсистемийн үндсэн матриц нь доройтдоггүй. Бид системийг (I) матриц хэлбэрээр бичдэг ( §2-г үзнэ үү):
учир нь матриц Амуудаагүй бол урвуу матрицтай ( 1-р бүлгийн теорем 1 §6-г үзнэ үү). Тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүл (2) матриц руу, дараа нь
Урвуу матрицын тодорхойлолтоор . Тэгш эрхээс (3) бидэнд байгаа
Системийг урвуу матриц ашиглан шийд
.
Тэмдэглэх
Жишээн дээр (§ 3) бид тодорхойлогчийг, тиймээс матрицыг тооцоолсон Аурвуу матрицтай. Дараа нь хүчин төгөлдөр болно (4) , өөрөөр хэлбэл
. (5)
матрицыг ол ( §6 1-р бүлгийг үзнэ үү)
, 
, 
,
, 
, 
,
,
.
Гауссын арга.
Шугаман тэгшитгэлийн системийг дараах байдлаар өгье.
. (би)
Системийн (I) бүх шийдлийг олох эсвэл систем нь нийцэхгүй байгаа эсэхийг шалгах шаардлагатай.
Тодорхойлолт 1.Системийн анхан шатны өөрчлөлтийг нэрлэе(I) гурван үйлдлийн аль нэг нь:
1) тэг тэгшитгэлийг хасах;
2) тэгшитгэлийн хоёр хэсэгт нөгөө тэгшитгэлийн харгалзах хэсгүүдийг l тоогоор үржүүлэх;
3) системийн тэгшитгэл дэх нэр томьёог сольж, бүх тэгшитгэлд ижил тоотой үл мэдэгдэх нь ижил байр эзэлнэ, өөрөөр хэлбэл. хэрэв жишээлбэл, 1-р тэгшитгэлд бид 2, 3-р гишүүнийг өөрчилсөн бол системийн бүх тэгшитгэлд ижил зүйлийг хийх ёстой.
Гауссын арга нь (I) системийг энгийн хувиргалтын тусламжтайгаар эквивалент систем болгон бууруулж, түүний шийдлийг шууд олох эсвэл шийдвэрлэх боломжгүй байдлыг тогтоох явдал юм.
§2-д тайлбарласны дагуу (I) систем нь түүний өргөтгөсөн матрицаар тодорхойлогддог бөгөөд (I) системийн аливаа элементар хувиргалт нь өргөтгөсөн матрицын элементар хувиргалттай тохирч байна.
.
1) хувиргалт нь матрицын тэг мөрийг устгахтай, хувиргалт 2) матрицын харгалзах мөрөнд түүний нөгөө мөрийг l тоогоор үржүүлсэнтэй тэнцүү, хувиргалт 3) матриц дахь баганыг дахин зохион байгуулахтай тэнцүү байна.
Эсрэгээр нь матрицын элементар хувиргалт бүр нь системийн (I) элементийн хувиргалттай тохирч байгааг харахад хялбар байдаг. Дээр дурдсан зүйлийг харгалзан бид (I) системтэй ажиллахын оронд энэ системийн нэмэгдүүлсэн матрицтай ажиллах болно.
Матрицын 1-р багана нь at коэффициентээс бүрдэнэ x 1, 2-р багана - коэффициентүүдээс x 2гэх мэт. Багануудыг дахин зохион байгуулах тохиолдолд энэ нөхцөл зөрчигдөж байгааг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Жишээлбэл, хэрэв бид 1, 2-р баганыг солих юм бол одоо 1-р баганад коэффициентүүд байх болно. x 2, мөн 2-р баганад - коэффициентүүд x 1.
Бид (I) системийг Гауссын аргаар шийдэх болно.
1. Матрицын бүх тэг мөрийг (I систем дэх бүх тэг тэгшитгэлийг хасна) хайчилж ав.
2. Матрицын мөрүүдийн дунд сүүлчийнхээс бусад бүх элементүүд нь тэгтэй тэнцүү байх мөр байгаа эсэхийг шалгана уу (ийм мөрийг үл нийцэх гэж нэрлэе). Мэдээжийн хэрэг, ийм шугам нь (I) систем дэх үл нийцэх тэгшитгэлтэй тохирч байгаа тул (I) системд шийдэл байхгүй бөгөөд процесс энд дуусдаг.
3. Матриц нь үл нийцэх мөрүүдийг агуулаагүй байг ((I) системд үл нийцэх тэгшитгэл байхгүй). Хэрвээ a 11 = 0, дараа нь бид 1-р мөрөнд тэгээс ялгаатай зарим элементийг (сүүлийнхээс бусад) олж, 1-р эгнээнд 1-р эгнээнд тэг байхгүй байхаар багануудыг дахин байрлуулна. Одоо бид үүнийг (өөрөөр хэлбэл (I) системийн тэгшитгэлийн харгалзах нэр томъёог сольж байна) гэж таамаглаж байна.
4. 1-р мөрийг үржүүлж үр дүнг 2-р эгнээнд нэмж, дараа нь 1-р эгнээ үржүүлж үр дүнг 3-р эгнээнд нэмнэ гэх мэт. Мэдээжийн хэрэг, энэ үйл явц нь үл мэдэгдэх зүйлийг арилгахтай адил юм x 1 1-ээс бусад системийн (I) бүх тэгшитгэлээс. Шинэ матрицад бид элементийн доорх 1-р баганад тэгийг авна а 11:
.
5. Матрицын бүх тэг мөрийг таслана, хэрэв байгаа бол зөрчилтэй мөр байгаа эсэхийг шалгана уу (хэрэв байгаа бол систем нь зөрчилтэй бөгөөд шийдэл тэнд дуусна). эсэхийг шалгацгаая a 22 / =0, хэрэв тийм бол бид 2-р эгнээнээс тэгээс ялгаатай элементийг олж, багануудыг дахин цэгцлэнэ. Дараа нь бид 2-р эгнээний элементүүдийг үржүүлнэ 
3-р эгнээний харгалзах элементүүдийг нэмж, дараа нь - 2-р эгнээний элементүүдийг дээр нь нэмж, 4-р эгнээний харгалзах элементүүд гэх мэтийг бид тэг авах хүртэл нэмнэ. нь 22 /
.
Гүйцэтгэсэн үйлдлүүд нь үл мэдэгдэх зүйлийг арилгахтай тэнцүү юм x 2 1 ба 2-оос бусад системийн (I) бүх тэгшитгэлээс. Мөрийн тоо хязгаарлагдмал тул тодорхой тооны алхмуудын дараа бид систем нь нийцэхгүй байна, эсвэл бид алхамын матриц руу ирнэ ( тодорхойлолт 2 §7 1-р бүлгийг үзнэ үү) :
,
Матрицад тохирох тэгшитгэлийн системийг бичье. Энэ систем нь системтэй (I) тэнцүү байна.
.
Сүүлийн тэгшитгэлээс бид илэрхийлнэ; бид өмнөх тэгшитгэлд орлуулах, олох гэх мэтийг авах хүртлээ.
Тайлбар 1.Тиймээс (I) системийг Гауссын аргаар шийдвэрлэхдээ бид дараах тохиолдлуудын аль нэгэнд хүрнэ.
1. Систем (I) нь нийцэхгүй байна.
2. Матриц дахь мөрийн тоо нь үл мэдэгдэх () тоотой тэнцүү бол систем (I) нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг.
3. Матриц дахь мөрийн тоо бол систем (I) нь хязгааргүй олон шийдтэй. тооноос багаүл мэдэгдэх().
Тиймээс дараах теорем биелнэ.
Теорем.Шугаман тэгшитгэлийн систем нь нэг бол нийцэхгүй, эсвэл өвөрмөц шийдэлтэй, эсвэл хязгааргүй олон шийдтэй байдаг.
Жишээ. Тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар шийдвэрлэх эсвэл түүний нийцэхгүй байгааг нотлох:
б) 
;
a) Өгөгдсөн системийг дараах хэлбэрээр дахин бичье.
.
Тооцооллыг хялбарчлахын тулд бид анхны системийн 1 ба 2-р тэгшитгэлийг сольсон (бутархайн оронд бид зөвхөн бүхэл тоогоор ийм солилтоор ажиллах болно).
Бид өргөтгөсөн матриц үүсгэдэг:
.
Ямар ч хоосон мөр байхгүй; үл нийцэх шугам байхгүй, ; Бид системийн бүх тэгшитгэлээс 1-р үл мэдэгдэх 1-ийг хасна, 1-ээс бусад. Үүнийг хийхийн тулд бид матрицын 1-р эгнээний элементүүдийг "-2"-оор үржүүлж, 2-р эгнээний харгалзах элементүүдэд нэмэх бөгөөд энэ нь 1-р тэгшитгэлийг "-2"-оор үржүүлж, 1-р тэгшитгэл дээр нэмэхтэй тэнцүү юм. 2-р тэгшитгэл. Дараа нь бид 1-р эгнээний элементүүдийг "-3" -аар үржүүлж, гурав дахь эгнээний харгалзах элементүүдэд нэмнэ, i.e. өгөгдсөн системийн 2-р тэгшитгэлийг "-3"-аар үржүүлээд 3-р тэгшитгэлд нэмнэ. Авах
.
Матриц нь тэгшитгэлийн системтэй тохирч байна). - (1-р бүлгийн 3 § 7-ийн тодорхойлолтыг үзнэ үү).
