Урвуу матриц ашиглах. Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх матрицын арга

The онлайн тооцоолууршугаман тэгшитгэлийн системийг шийддэг матрицын арга. Маш их өгдөг нарийвчилсан шийдэл. Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд хувьсагчийн тоог сонгоно. Урвуу матрицыг тооцоолох аргыг сонгоно уу. Дараа нь нүднүүдэд өгөгдлийг оруулаад "Тооцоолох" товчийг дарна уу.

×

Анхааруулга

Бүх нүдийг арилгах уу?

Цэвэр хаах

Өгөгдөл оруулах заавар.Тоонуудыг бүхэл тоо (жишээ нь: 487, 5, -7623 гэх мэт), аравтын бутархай (жишээ нь. 67., 102.54 гэх мэт) эсвэл бутархай хэлбэрээр оруулна. Бутархайг a/b хэлбэрээр оруулах ёстой, энд a ба b нь бүхэл тоо эсвэл аравтын тоо. Жишээ 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 гэх мэт.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх матрицын арга

Дараах шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзье.

Урвуу матрицын тодорхойлолтыг өгвөл бидэнд байна А −1 А=Э, Хаана Э- таних матриц. Тиймээс (4)-ийг дараах байдлаар бичиж болно.

Тиймээс шугаман тэгшитгэлийн системийг (1) (эсвэл (2)) шийдэхийн тулд урвуу тоог үржүүлэхэд хангалттай. Ахязгаарлалтын векторын матриц б.

Матрицын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх жишээ

Жишээ 1. Дараах шугаман тэгшитгэлийн системийг матрицын аргаар шийд.

Жордан-Гаусын аргыг ашиглан А матрицын урвууг олъё. ХАМТ баруун талматрицууд Абичье таних матриц:

Үндсэн диагональ доор байрлах матрицын 1-р баганын элементүүдийг хасъя. Үүнийг хийхийн тулд 2,3 мөрийг 1-р мөрөнд -1/3, -1/3-аар үржүүлж нэмнэ.

Үндсэн диагональ доор байрлах матрицын 2-р баганын элементүүдийг хасъя. Үүнийг хийхийн тулд 3-р мөрийг -24/51-ээр үржүүлсэн 2-р мөрийг нэмнэ.

Үндсэн диагональ дээрх матрицын 2-р баганын элементүүдийг хасъя. Үүнийг хийхийн тулд 1-р мөрийг 2-р мөрийг -3/17-оор үржүүлнэ.

Матрицын баруун талыг тусгаарла. Үүссэн матриц нь урвуу матриц юм А :

Шугаман тэгшитгэлийн системийг бичих матриц хэлбэр: Сүх=б, Хаана

Бүгдийг тооцоод үзье алгебрийн нэмэлтүүдматрицууд А:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Урвуу матрицыг дараах илэрхийллээр тооцоолно.

Үйлчилгээний зорилго. Энэхүү онлайн тооны машиныг ашиглан үл мэдэгдэх (x 1, x 2, ..., x n) -ийг тэгшитгэлийн системд тооцдог. Шийдвэр хэрэгжиж байна урвуу матрицын арга. Үүнд:

• А матрицын тодорхойлогчийг тооцоолсон;
• алгебрийн нэмэлтүүдээр дамжуулан олдог урвуу матриц A-1;
• Excel-д шийдлийн загварыг бий болгосон;

Шийдвэрийг сайт дээр шууд гаргадаг (д онлайн горим) бөгөөд үнэ төлбөргүй байдаг. Тооцооллын үр дүнг Word тайланд үзүүлэв (жишээ форматыг үзнэ үү).

Зааварчилгаа. Урвуу матрицын аргыг ашиглан шийдлийг олж авахын тулд та матрицын хэмжээсийг зааж өгөх хэрэгтэй. Дараа нь шинэ харилцах цонхонд А матриц болон В үр дүнгийн векторыг бөглөнө үү.

Хувьсагчийн тоо 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Мөн матрицын тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийг үзнэ үү.

Шийдлийн алгоритм

1. А матрицын тодорхойлогчийг тооцоолно. Тодорхойлогч нь тэг байвал шийдэл дууссан гэсэн үг. Систем нь хязгааргүй олон тооны шийдэлтэй.
2. Тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай үед урвуу матриц A -1 нь алгебрийн нэмэгдлээр олддог.
3. Уусмалын вектор X =(x 1, x 2, ..., x n) урвуу матрицыг үр дүнгийн В вектороор үржүүлснээр гарна.

Жишээ. Матрицын аргыг ашиглан системийн шийдлийг ол. Матрицыг дараах хэлбэрээр бичье.
Алгебрийн нэмэлтүүд.

A 1,1 = (-1) 1+1

1 2 0 -2

∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2

A 1,2 = (-1) 1+2

3 2 1 -2

∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8

A 1.3 = (-1) 1+3

3 1 1 0

∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1

A 2,1 = (-1) 2+1

-2 1 0 -2

∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4

A 2,2 = (-1) 2+2

2 1 1 -2

∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5

A 2,3 = (-1) 2+3

2 -2 1 0

∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2

A 3.1 = (-1) 3+1

-2 1 1 2

∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5

·

3

-2

-1

X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Шалгалт:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1

Сэдэв 2. ШУГААН АЛГЕБРИЙН ТЭГШИГЧИЛГИЙН СИСТЕМҮҮД.

Үндсэн ойлголтууд.

Тодорхойлолт 1. Систем мшугаман тэгшитгэлүүд nүл мэдэгдэх нь дараах хэлбэрийн систем юм.

хаана ба тоонууд.

Тодорхойлолт 2. Системийн (I) шийдэл нь энэ системийн тэгшитгэл бүр ижил шинж чанартай болдог үл мэдэгдэх олонлогийн багц юм.

Тодорхойлолт 3. Системийг (I) гэж нэрлэдэг хамтарсан, хэрэв энэ нь ядаж нэг шийдэлтэй бол ба хамтарсан бус, хэрэв шийдэл байхгүй бол. Хамтарсан системийг гэж нэрлэдэг тодорхой, хэрэв энэ нь өвөрмөц шийдэлтэй бол, мөн тодорхойгүйөөрөөр.

Тодорхойлолт 4. Маягтын тэгшитгэл

дуудсан тэг, тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

дуудсан нийцэхгүй. Тохиромжгүй тэгшитгэл агуулсан тэгшитгэлийн систем нь нийцэхгүй нь ойлгомжтой.

Тодорхойлолт 5. Шугаман тэгшитгэлийн хоёр системийг нэрлэдэг тэнцүү, хэрэв нэг системийн шийдэл бүр нөгөө системийн шийдэл болж, эсрэгээр хоёр дахь системийн шийдэл бүр эхнийх нь шийдэл болно.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн матриц дүрслэл.

(I) системийг авч үзье (§1-ийг үзнэ үү).

гэж тэмдэглэе:

Үл мэдэгдэх коэффициентийн матриц

Матриц - чөлөөт нэр томъёоны багана

Матриц - үл мэдэгдэх багана

.

Тодорхойлолт 1.Матриц гэж нэрлэдэг системийн үндсэн матриц(I), матриц нь системийн (I) өргөтгөсөн матриц юм.

Матрицын тэгш байдлын тодорхойлолтоор (I) систем нь матрицын тэгш байдалтай тохирч байна.

.

Баруун талматрицын үржвэрийн тодорхойлолтоор энэ тэгш байдал ( тодорхойлолт 3 § 5-ын 1-р бүлгийг үзнэ үү) хүчин зүйлчилж болно:

, өөрөөр хэлбэл

Тэгш байдал (2) дуудсан системийн матриц тэмдэглэгээ (I).

Крамерын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх.

Системд оруулах (I) (§1-ийг үзнэ үү) m=n, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой тэнцүү бөгөөд системийн үндсэн матриц нь ганц биш, i.e. . Дараа нь §1-ээс (I) систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байна

хаана Δ = дет Агол гэж нэрлэдэг системийн тодорхойлогч(Би), Δ биΔ тодорхойлогчоос солих замаар олж авна би th баганаас системийн чөлөөт гишүүдийн багана (I).

Жишээ: Крамерын аргыг ашиглан системийг шийд.

.

Томъёогоор (3) .

Бид системийн тодорхойлогчдыг тооцоолно.

,

,

.

Тодорхойлогчийг олж авахын тулд бид тодорхойлогчийн эхний баганыг чөлөөт нэр томъёоны баганаар сольсон; Тодорхойлогчийн 2-р баганыг чөлөөт нэр томъёоны баганаар орлуулж, бид авна; Үүнтэй адилаар тодорхойлогчийн 3-р баганыг чөлөөт нэр томъёоны баганаар сольсноор бид . Системийн шийдэл:

Шугаман тэгшитгэлийн системийг урвуу матриц ашиглан шийдвэрлэх.

Системд оруулах (I) (§1-ийг үзнэ үү) m=nба системийн үндсэн матриц нь ганц биш байна. (I) системийг матриц хэлбэрээр бичье. §2-г үзнэ үү):

учир нь матриц Аганц биш бол урвуу матрицтай ( 1-р бүлгийн теорем 1 §6-г үзнэ үү). Тэгш байдлын хоёр талыг үржүүлье (2) матриц руу, дараа нь

Урвуу матрицын тодорхойлолтоор. Тэгш эрхээс (3) бидэнд байгаа

Системийг урвуу матриц ашиглан шийд

.

гэж тэмдэглэе

Жишээ нь (§ 3) бид тодорхойлогч, тиймээс матрицыг тооцоолсон Аурвуу матрицтай. Дараа нь хүчин төгөлдөр болно (4) , өөрөөр хэлбэл

. (5)

матрицыг олцгооё ( §6 1-р бүлгийг үзнэ үү)

, , ,

, , ,

,

.

Гауссын арга.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг өгье.

. (би)

Системийн (I) бүх шийдлийг олох эсвэл систем нь зөрчилтэй эсэхийг шалгах шаардлагатай.

Тодорхойлолт 1.Системийн анхан шатны өөрчлөлтийг нэрлэе(I) гурван үйлдлийн аль нэг нь:

1) тэг тэгшитгэлийг таслах;

2) l тоогоор үржүүлсэн өөр тэгшитгэлийн харгалзах хэсгүүдийг тэгшитгэлийн хоёр талд нэмэх;

3) системийн тэгшитгэл дэх нэр томьёог сольж, бүх тэгшитгэлд ижил тоотой үл мэдэгдэх нь ижил байр эзэлнэ, өөрөөр хэлбэл. хэрэв жишээлбэл, 1-р тэгшитгэлд бид 2, 3-р гишүүнийг өөрчилсөн бол системийн бүх тэгшитгэлд ижил зүйлийг хийх ёстой.

Гауссын арга нь (I) системийг энгийн хувиргалтын тусламжтайгаар эквивалент систем болгон бууруулж, шийдэл нь шууд олдох эсвэл шийдэгдэхгүй байх явдал юм.

§2-д тайлбарласны дагуу (I) систем нь өргөтгөсөн матрицаар тодорхойлогддог бөгөөд (I) системийн аливаа энгийн хувиргалт нь өргөтгөсөн матрицын элементар хувиргалттай тохирч байна.

.

1) хувиргалт нь матрицын тэг мөрийг устгахтай тохирч, хувиргалт 2) матрицын харгалзах мөрөнд өөр мөр нэмж, l тоогоор үржүүлсэнтэй, хувиргалт 3) матриц дахь баганыг дахин цэгцлэхтэй тэнцүү байна.

Эсрэгээр нь матрицын элементар хувиргалт бүр нь системийн (I) элементийн хувиргалттай тохирч байгааг харахад хялбар байдаг. Дээрхээс шалтгаалан (I) системтэй ажиллахын оронд бид энэ системийн өргөтгөсөн матрицтай ажиллах болно.

Матрицын 1-р багана нь коэффициентүүдээс бүрдэнэ x 1, 2-р багана - коэффициентуудаас x 2гэх мэт. Хэрэв баганыг дахин байрлуулсан бол энэ нөхцлийг зөрчсөн гэдгийг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Жишээлбэл, хэрэв бид 1, 2-р баганыг солих юм бол одоо 1-р баганад коэффициентүүдийг агуулна. x 2, мөн 2-р баганад - коэффициентүүд x 1.

Бид системийг (I) Гауссын аргыг ашиглан шийдэх болно.

1. Матрицын бүх тэг мөрийг, хэрэв байгаа бол (өөрөөр хэлбэл (I) систем дэх бүх тэг тэгшитгэлийг таслана).

2. Матрицын мөрүүдийн дунд сүүлчийнхээс бусад бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү байх мөр байгаа эсэхийг шалгацгаая (ийм мөрийг үл нийцэх гэж нэрлэе). Мэдээжийн хэрэг, ийм шугам нь (I) систем дэх үл нийцэх тэгшитгэлтэй тохирч байгаа тул (I) системд шийдэл байхгүй бөгөөд процесс энд дуусдаг.

3. Матриц нь үл нийцэх мөрүүдийг агуулаагүй байг ((I) системд үл нийцэх тэгшитгэлүүд). Хэрэв a 11 = 0, дараа нь бид 1-р эгнээнд тэгээс бусад зарим элементийг (сүүлийнхээс бусад) олж, 1-р эгнээнд 1-р байранд тэг байхгүй байхаар багануудыг дахин байрлуулна. Одоо бид үүнийг (өөрөөр хэлбэл (I) системийн тэгшитгэл дэх харгалзах нөхцлүүдийг солих болно) гэж үзэх болно.

4. 1-р мөрийг үржүүлж үр дүнг 2-р мөрөнд нэмээд дараа нь 1-р мөрийг үржүүлж 3-р мөрөнд үр дүнг нэмнэ гэх мэт. Мэдээжийн хэрэг, энэ үйл явц нь үл мэдэгдэх зүйлийг арилгахтай адил юм x 1 1-рээс бусад системийн (I) бүх тэгшитгэлээс. Шинэ матрицад бид элементийн доорх 1-р баганад тэгийг авна а 11:

.

5. Матрицын бүх тэг мөрийг зурж, зөрчилтэй мөр байгаа эсэхийг шалгацгаая (хэрэв байгаа бол систем нь нийцэхгүй бөгөөд шийдэл тэнд дуусна). Байх эсэхийг шалгацгаая a 22 / =0, хэрэв тийм бол бид 2-р эгнээнд тэгээс өөр элементийг олж, багануудыг дахин цэгцлэнэ. Дараа нь 2-р эгнээний элементүүдийг үржүүлнэ 3-р мөрийн харгалзах элементүүдээр нэмж, дараа нь 2-р мөрийн элементүүдийг нэмж, 4-р мөрийн харгалзах элементүүд гэх мэтийг доор нь тэг авах хүртэл нэмнэ. 22/

.

Хийсэн арга хэмжээ нь үл мэдэгдэх зүйлийг арилгахтай адил юм x 2 1 ба 2-оос бусад системийн (I) бүх тэгшитгэлээс. Мөрүүдийн тоо хязгаарлагдмал байдаг тул бид хязгаарлагдмал тооны алхмуудын дараа систем нь нийцэхгүй байна, эсвэл бид алхамын матрицтай болно ( тодорхойлолт 2 §7 1-р бүлгийг үзнэ үү) :

,

Матрицад тохирох тэгшитгэлийн системийг бичье. Энэ систем нь (I) системтэй тэнцэнэ.

.

Сүүлийн тэгшитгэлээс бид илэрхийлнэ; -ийг авах хүртэл өмнөх тэгшитгэлд орлуулах, олох гэх мэт.

Тайлбар 1.Тиймээс (I) системийг Гауссын аргаар шийдвэрлэхдээ бид дараах тохиолдлуудын аль нэгэнд хүрнэ.

1. Систем (I) нь нийцэхгүй байна.

2. Матриц дахь мөрийн тоо нь үл мэдэгдэх () тоотой тэнцүү бол систем (I) нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг.

3. Матриц дахь мөрийн тоо нь (I) систем нь хязгааргүй олон шийдтэй байна. бага тооүл мэдэгдэх().

Тиймээс дараах теорем биелнэ.

Теорем.Шугаман тэгшитгэлийн систем нь нэг бол нийцэхгүй, өвөрмөц шийдэлтэй, эсвэл хязгааргүй тооны шийдтэй байдаг.

Жишээ. Гауссын аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийдэх эсвэл түүний нийцэхгүй байгааг нотлох:

б) ;

a) Өгөгдсөн системийг дараах хэлбэрээр дахин бичье.

.

Тооцооллыг хялбарчлахын тулд бид анхны системийн 1 ба 2-р тэгшитгэлийг сольсон (бутархайн оронд бид зөвхөн бүхэл тоогоор ажиллах болно).

Өргөтгөсөн матриц үүсгэцгээе:

.

Ямар ч хоосон мөр байхгүй; үл нийцэх мөр байхгүй, ; 1-ээс бусад системийн бүх тэгшитгэлээс 1-р үл мэдэгдэхийг хасъя. Үүнийг хийхийн тулд матрицын 1-р эгнээний элементүүдийг "-2"-оор үржүүлж, 2-р эгнээний харгалзах элементүүдээр нэмэх нь 1-р тэгшитгэлийг "-2"-оор үржүүлж, 2-оор нэмэхтэй тэнцүү юм. тэгшитгэл. Дараа нь бид 1-р мөрийн элементүүдийг "-3"-аар үржүүлж, гурав дахь мөрийн харгалзах элементүүдээр нэмнэ. Өгөгдсөн системийн 2-р тэгшитгэлийг “-3”-аар үржүүлээд 3-р тэгшитгэлээр нэмье. Бид авдаг

.

Матриц нь тэгшитгэлийн системтэй тохирч байна). - (1-р бүлгийн 3§7-ийн тодорхойлолтыг үзнэ үү).

Ингээд авч үзье шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем(SLAU) харьцангуй nүл мэдэгдэх x 1 , x 2 , ..., x n :

Энэ системийг "нурсан" хэлбэрээр дараах байдлаар бичиж болно.

С n i=1 а ij x j = б би , i=1,2, ..., n.

Матрицыг үржүүлэх дүрмийн дагуу шугаман тэгшитгэлийн авч үзсэн системийг бичиж болно матриц хэлбэр Сүх=б, Хаана

, ,.

Матриц А, баганууд нь харгалзах үл мэдэгдэх коэффициентүүд, мөрүүд нь харгалзах тэгшитгэлийн үл мэдэгдэх коэффициентүүд юм. системийн матриц. Баганын матриц б, элементүүд нь системийн тэгшитгэлийн баруун гар талуудыг баруун талын матриц эсвэл энгийнээр нэрлэдэг. системийн баруун тал. Баганын матриц x Элементүүд нь үл мэдэгдэх үл мэдэгдэхийг нэрлэдэг системийн шийдэл.

хэлбэрээр бичигдсэн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем Сүх=б, байна матрицын тэгшитгэл.

Хэрэв системийн матриц доройтдоггүй, дараа нь урвуу матрицтай ба дараа нь системийн шийдэл нь байна Сүх=бтомъёогоор өгөгдсөн:

x=A -1 б.

ЖишээСистемийг шийднэ үү матрицын арга.

Шийдэлсистемийн коэффициент матрицын урвуу матрицыг олъё

Тодорхойлогчийг эхний мөрийн дагуу тэлэх замаар тооцоолъё.

Учир нь Δ ≠ 0 , Тэр А -1 байдаг.

Урвуу матрицыг зөв олсон.

Системийн шийдлийг олцгооё

Тиймээс, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

Шалгалт:

7. Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн нийцтэй байдлын тухай Кронекер-Капелли теорем.

Шугаман тэгшитгэлийн системхэлбэртэй байна:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.

Энд a i j ба b i (i = ; j = ) өгөгдсөн ба x j нь үл мэдэгдэх бодит тоонууд юм. Матрицын үржвэрийн тухай ойлголтыг ашиглан бид (5.1) системийг дараах хэлбэрээр дахин бичиж болно.

Энд A = (a i j) нь системийн (5.1) үл мэдэгдэх коэффициентүүдээс бүрдэх матриц бөгөөд үүнийг гэж нэрлэдэг. системийн матриц, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T нь үл мэдэгдэх x j ба чөлөөт гишүүн b i-ээс бүрдэх баганын векторууд юм.

Захиалсан цуглуулга nбодит тоонуудыг (c 1 , c 2 ,..., c n) дуудна системийн шийдэл(5.1), хэрэв эдгээр тоонуудыг харгалзах x 1, x 2,..., x n хувьсагчийн оронд орлуулсны үр дүнд системийн тэгшитгэл бүр арифметик ижилсэл болж хувирвал; өөрөөр хэлбэл AC  B байх C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T вектор байвал.

Систем (5.1) гэж нэрлэдэг хамтарсан,эсвэл шийдвэрлэх боломжтой,Хэрэв энэ нь дор хаяж нэг шийдэлтэй бол. систем гэж нэрлэдэг нийцэхгүй,эсвэл шийдвэрлэх боломжгүй, хэрэв шийдэл байхгүй бол.

,

А матрицын баруун талд чөлөөт нэр томъёоны баганыг өгснөөр үүссэнийг гэнэ системийн өргөтгөсөн матриц.

(5.1) системийн нийцтэй байдлын асуудлыг дараах теоремоор шийднэ.

Кронекер-Капелли теорем . Шугаман тэгшитгэлийн систем нь зөвхөн A ба A матрицуудын зэрэглэлүүд давхцаж байвал нийцтэй байна, өөрөөр хэлбэл. r(A) = r(A) = r.

(5.1) системийн шийдлийн M багцын хувьд гурван боломж байна.

1) M =  (энэ тохиолдолд систем нь нийцэхгүй байна);

2) M нь нэг элементээс бүрдэнэ, өөрөөр хэлбэл. систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг (энэ тохиолдолд системийг дуудна тодорхой);

3) M нь нэгээс олон элементээс бүрддэг (дараа нь системийг дууддаг тодорхойгүй). Гурав дахь тохиолдолд (5.1) систем нь хязгааргүй олон шийдтэй байна.

Зөвхөн r(A) = n тохиолдолд л систем өвөрмөц шийдэлтэй байна. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тооноос багагүй байна (mn); хэрэв m>n бол дараа нь m-n тэгшитгэлбусдын үр дагавар юм. Хэрэв 0

Шугаман тэгшитгэлийн дурын системийг шийдэхийн тулд тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой тэнцүү байх системийг шийдэх чадвартай байх хэрэгтэй. Крамер төрлийн системүүд:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

Системийг (5.3) дараах аргуудын аль нэгээр шийддэг: 1) Гауссын арга буюу үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах арга; 2) Крамерын томъёоны дагуу; 3) матрицын арга.

Жишээ 2.12. Тэгшитгэлийн системийг судалж, хэрэв энэ нь нийцэж байвал шийднэ үү.

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

Шийдэл.Бид системийн өргөтгөсөн матрицыг бичнэ.

 .

Системийн үндсэн матрицын зэрэглэлийг тооцоолъё. Жишээлбэл, зүүн дээд буланд байгаа хоёрдугаар эрэмбийн минор = 7  0 байх нь ойлгомжтой. түүнийг агуулсан гурав дахь эрэмбийн насанд хүрээгүй хүмүүс тэгтэй тэнцүү байна:

Үүний үр дүнд системийн үндсэн матрицын зэрэглэл нь 2, i.e. r(A) = 2. Өргөтгөсөн A матрицын зэрэглэлийг тооцоолохын тулд хилийн минорыг авч үзье.

энэ нь өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл r(A) = 3 гэсэн үг. r(A)  r(A) тул систем нь нийцэхгүй байна.

n-р эрэмбийн квадрат матриц байг

А -1 матриц гэж нэрлэдэг урвуу матрицА матрицтай холбоотой, хэрэв A*A -1 = E бол E нь n-р эрэмбийн таних матриц юм.

Таних матриц- зүүн дээд булангаас баруун доод буланд дамжих үндсэн диагональ дагуух бүх элементүүд нэг, үлдсэн хэсэг нь тэг байх ийм дөрвөлжин матриц, жишээлбэл:

урвуу матрицбайж болно зөвхөн квадрат матрицын хувьдтэдгээр. мөр, баганын тоо давхцаж байгаа матрицуудын хувьд.

Урвуу матрицын орших нөхцөлийн теорем

Матриц урвуу матрицтай байхын тулд дан биш байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.

A = (A1, A2,...A n) матрицыг дуудна доройтдоггүй, баганын векторууд шугаман хамааралгүй бол. Матрицын шугаман бие даасан баганын векторуудын тоог матрицын зэрэг гэнэ. Тиймээс урвуу матриц оршин тогтнохын тулд матрицын зэрэглэл нь түүний хэмжээстэй тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай гэж хэлж болно. r = n.

Урвуу матрицыг олох алгоритм

1. Гауссын аргаар тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх хүснэгтэд А матрицыг бичээд баруун талд нь (тэгшитгэлийн баруун талын оронд) Е матрицыг онооно.
2. Жорданы хувиргалтыг ашиглан А матрицыг нэгж баганаас бүрдэх матриц болгон бууруулна; Энэ тохиолдолд E матрицыг нэгэн зэрэг хувиргах шаардлагатай.
3. Шаардлагатай бол анхны хүснэгтийн А матрицын доор E таних матрицыг авахын тулд сүүлчийн хүснэгтийн мөрүүдийг (тэгшитгэл) дахин зохион байгуул.
4. Анхны хүснэгтийн Е матрицын доор байрлах сүүлийн хүснэгтэд байрлах A -1 урвуу матрицыг бич.

Жишээ 1

А матрицын хувьд урвуу А -1 матрицыг ол

Шийдэл: Бид А матрицыг бичээд баруун талд E таних матрицыг оноож, Жорданы хувиргалтуудыг ашиглан А матрицыг E таних матрицад буулгана. Тооцооллыг 31.1-р хүснэгтэд үзүүлэв.

Анхны А матриц болон урвуу матриц А -1-ийг үржүүлж тооцоолол зөв эсэхийг шалгая.

Матрицын үржүүлгийн үр дүнд таних матрицыг олж авсан. Тиймээс тооцоог зөв хийсэн.

Хариулт:

Матрицын тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Матрицын тэгшитгэлүүд дараах байдлаар харагдаж болно.

AX = B, HA = B, AXB = C,

Энд A, B, C нь заасан матрицууд, X нь хүссэн матриц юм.

Матрицын тэгшитгэлийг урвуу матрицаар үржүүлэх замаар шийддэг.

Жишээлбэл, тэгшитгэлээс матрицыг олохын тулд та энэ тэгшитгэлийг зүүн талд үржүүлэх хэрэгтэй.

Иймд тэгшитгэлийн шийдийг олохын тулд урвуу матрицыг олж, тэгшитгэлийн баруун талд байгаа матрицаар үржүүлэх хэрэгтэй.

Бусад тэгшитгэлийг ижил аргаар шийддэг.

Жишээ 2

AX = B тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл: Урвуу матриц нь тэнцүү тул (1-р жишээг үзнэ үү)

Эдийн засгийн шинжилгээнд матрицын арга

Бусадтай хамт тэдгээрийг бас ашигладаг матрицын аргууд. Эдгээр аргууд нь шугаман болон вектор матрицын алгебр дээр суурилдаг. Ийм аргуудыг эдийн засгийн цогц, олон талт үзэгдлийг шинжлэхэд ашигладаг. Ихэнхдээ эдгээр аргуудыг байгууллага, тэдгээрийн бүтцийн хэлтсийн үйл ажиллагаанд харьцуулсан үнэлгээ хийх шаардлагатай үед ашигладаг.

Матрицын шинжилгээний аргыг хэрэглэх явцад хэд хэдэн үе шатыг ялгаж салгаж болно.

Эхний шатандэдийн засгийн үзүүлэлтүүдийн тогтолцоог бүрдүүлж, түүний үндсэн дээр системийн дугааруудыг тус тусад нь мөр болгон харуулсан хүснэгт болох анхны мэдээллийн матрицыг бүрдүүлдэг. (i = 1,2,.....,n), босоо баганад - үзүүлэлтүүдийн тоо (j = 1,2,.....,м).

Хоёр дахь шатандБосоо багана бүрийн хувьд боломжит үзүүлэлтүүдийн хамгийн том утгыг тодорхойлсон бөгөөд үүнийг нэг болгон авна.

Үүний дараа энэ баганад тусгагдсан бүх дүнг хамгийн том утгад хувааж, стандартчилагдсан коэффициентүүдийн матриц үүснэ.

Гурав дахь шатандматрицын бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүд квадрат хэлбэртэй байна. Хэрэв тэдгээр нь өөр өөр ач холбогдолтой бол матрицын үзүүлэлт бүрт тодорхой жингийн коэффициентийг оноодог к. Сүүлчийн үнэ цэнийг шинжээчийн дүгнэлтээр тодорхойлно.

Сүүлийнх дээр, дөрөв дэх үе шатүнэлгээний утгыг олсон Ржөсөлт, бууралтын дарааллаар нь бүлэглэнэ.

Тодорхойлсон матрицын аргуудыг жишээлбэл, янз бүрийн хөрөнгө оруулалтын төслүүдэд харьцуулсан дүн шинжилгээ хийх, түүнчлэн байгууллагын үйл ажиллагааны бусад эдийн засгийн үзүүлэлтүүдийг үнэлэхэд ашиглах ёстой.