Бутархайн тодорхой интеграл жишээ. Рационал функцүүдийн интеграл ба тодорхойгүй коэффициентийн арга
Рационал функц нь тооны болон хуваагч нь олон гишүүнт эсвэл олон гишүүнтийн үржвэр болох хэлбэрийн бутархай юм.
Жишээ 1 Алхам 2
.
Бид тодорхой бус коэффициентийг энэ бие даасан бутархайд байхгүй олон гишүүнтүүдээр үржүүлдэг, гэхдээ олж авсан бусад бутархайд байдаг.
Бид хаалтуудыг нээж, хүлээн авсан анхны интегралын тоологчийг олж авсан илэрхийлэлтэй адилтгана.
Тэгш байдлын хоёр хэсэгт бид х-ийн ижил чадалтай нэр томъёог хайж, тэдгээрээс тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлдэг.
.
Бид бүх x-ийг цуцалж, ижил тэгшитгэлийн системийг авна.
.
Тиймээс интегралыг энгийн бутархайн нийлбэр болгон эцсийн өргөтгөл:
.
Жишээ 2 Алхам 2 1-р алхамд бид анхны бутархайг тоологч дахь тодорхойгүй коэффициент бүхий энгийн бутархайнуудын нийлбэр болгон дараах өргөтгөлийг олж авав.
.
Одоо бид тодорхойгүй коэффициентүүдийг хайж эхэлнэ. Үүнийг хийхийн тулд бид функцийн илэрхийлэл дэх анхны бутархайн тоог бутархайн нийлбэрийг бууруулсны дараа олж авсан илэрхийллийн хүртэгчтэй тэнцүүлнэ. Ерөнхий хуваарь:
Одоо та тэгшитгэлийн системийг үүсгэж, шийдвэрлэх хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд бид хувьсагчийн коэффициентийг функцийн анхны илэрхийллийн тоологч дахь зохих зэрэгтэй тэнцүүлж, өмнөх алхам дээр олж авсан илэрхийлэл дэх ижил төстэй коэффициентүүдийг тэнцүүлнэ.
Бид үүссэн системийг шийддэг:
Тэгэхээр эндээс
.
Жишээ 3 Алхам 2 1-р алхамд бид анхны бутархайг тоологч дахь тодорхойгүй коэффициент бүхий энгийн бутархайнуудын нийлбэр болгон дараах өргөтгөлийг олж авав.
Бид тодорхойгүй коэффициентүүдийг хайж эхэлдэг. Үүнийг хийхийн тулд бид функцийн илэрхийлэл дэх анхны бутархайн хуваагчийг бутархайн нийлбэрийг нийтлэг хуваагч болгон бууруулсны дараа олж авсан илэрхийллийн хүртэгчтэй адилтгана.
Өмнөх жишээнүүдийн нэгэн адил бид тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлдэг.
Бид x-ийг багасгаж, тэнцүү тэгшитгэлийн системийг авна.
Системийг шийдэхдээ бид тодорхойгүй коэффициентүүдийн дараах утгыг олж авна.
Бид интегралын эцсийн өргөтгөлийг энгийн бутархайн нийлбэр болгон авна.
.
Жишээ 4 Алхам 2 1-р алхамд бид анхны бутархайг тоологч дахь тодорхойгүй коэффициент бүхий энгийн бутархайнуудын нийлбэр болгон дараах өргөтгөлийг олж авав.
.
Бутархайг энгийн бутархайн нийлбэр болгон задалж, энэ нийлбэрийг нийтлэг хуваагч болгон бууруулсны дараа олж авсан хуваагч дахь илэрхийлэлтэй анхны бутархайг хэрхэн тэнцүүлэх талаар бид өмнөх жишээнүүдээс аль хэдийн мэддэг болсон. Тиймээс зөвхөн хяналтын хувьд бид үүссэн тэгшитгэлийн системийг танилцуулж байна.
Системийг шийдэхдээ бид тодорхойгүй коэффициентүүдийн дараах утгыг олж авна.
Бид интегралын эцсийн өргөтгөлийг энгийн бутархайн нийлбэр болгон авна.
Жишээ 5 Алхам 2 1-р алхамд бид анхны бутархайг тоологч дахь тодорхойгүй коэффициент бүхий энгийн бутархайнуудын нийлбэр болгон дараах өргөтгөлийг олж авав.
.
Бид бие даан энэ нийлбэрийг нийтлэг хуваагч руу авчирч, энэ илэрхийллийн тоог анхны бутархайн тоологчтой тэнцүүлнэ. Үр дүн нь дараахь тэгшитгэлийн систем байх ёстой.
Системийг шийдэхдээ бид тодорхойгүй коэффициентүүдийн дараах утгыг олж авна.
.
Бид интегралын эцсийн өргөтгөлийг энгийн бутархайн нийлбэр болгон авна.
.
Жишээ 6 Алхам 2 1-р алхамд бид анхны бутархайг тоологч дахь тодорхойгүй коэффициент бүхий энгийн бутархайнуудын нийлбэр болгон дараах өргөтгөлийг олж авав.
Бид өмнөх жишээнүүдийн адил энэ хэмжээгээр ижил үйлдлийг гүйцэтгэдэг. Үр дүн нь дараахь тэгшитгэлийн систем байх ёстой.
Системийг шийдэхдээ бид тодорхойгүй коэффициентүүдийн дараах утгыг олж авна.
.
Бид интегралын эцсийн өргөтгөлийг энгийн бутархайн нийлбэр болгон авна.
.
Жишээ 7 Алхам 2 1-р алхамд бид анхны бутархайг тоологч дахь тодорхойгүй коэффициент бүхий энгийн бутархайнуудын нийлбэр болгон дараах өргөтгөлийг олж авав.
.
Үр дүнгийн нийлбэртэй мэдэгдэж буй үйлдлүүдийн дараа дараахь тэгшитгэлийн системийг олж авна.
Системийг шийдэхдээ бид тодорхойгүй коэффициентүүдийн дараах утгыг олж авна.
Бид интегралын эцсийн өргөтгөлийг энгийн бутархайн нийлбэр болгон авна.
.
Жишээ 8 Алхам 2 1-р алхамд бид анхны бутархайг тоологч дахь тодорхойгүй коэффициент бүхий энгийн бутархайнуудын нийлбэр болгон дараах өргөтгөлийг олж авав.
.
Тэгшитгэлийн системийг олж авахын тулд автоматжуулсан үйлдлүүдэд зарим өөрчлөлтийг хийцгээе. Хиймэл заль мэх байдаг бөгөөд энэ нь зарим тохиолдолд шаардлагагүй тооцооллоос зайлсхийхэд тусалдаг. Бутархайн нийлбэрийг нийтлэг хуваагч руу аваачиж, бид энэ илэрхийллийн хүртэгчийг анхны бутархайн хүрдэгчтэй тэнцүүлж, олж авна.
СЭДЭВ: Интеграци рационал бутархай.
Анхаар! Интеграцийн үндсэн аргуудын нэг болох рационал бутархайн интеграцийг судлахдаа нарийн нотлохын тулд цогц муж дахь олон гишүүнтүүдийг авч үзэх шаардлагатай. Тиймээс зайлшгүй шаардлагатай урьдчилан судлах зарим шинж чанарууд нийлмэл тооболон тэдгээрт хийсэн үйл ажиллагаа.
Хамгийн энгийн рационал бутархайн интеграл.
Хэрвээ П(z) болон Q(z) нь цогцолбор мужид олон гишүүнт байвал рационал бутархай болно. гэж нэрлэдэг зөвзэрэгтэй бол П(z) бага зэрэг Q(z) , ба буруузэрэгтэй бол Р багагүй зэрэг Q.
Аливаа буруу бутархайг дараах байдлаар илэрхийлж болно. 
,
P(z) = Q(z) S(z) + R(z),
а Р(z) – зэрэг нь градусаас бага олон гишүүнт Q(z).
Тиймээс рационал бутархайн интеграл нь зөв бутархай тул олон гишүүнт, өөрөөр хэлбэл хүчний функц, зөв бутархайн интегралд буурдаг.
Тодорхойлолт 5. Хамгийн энгийн (эсвэл анхан шатны) бутархай нь дараах төрлийн бутархай юм.
1) , 2) , 3) , 4) 
.
Тэдгээрийг хэрхэн нэгтгэж байгааг олж мэдье.
3) 
(өмнө нь судалсан).
Теорем 5. Аливаа зөв бутархайг энгийн бутархайн нийлбэрээр (баталгаагүй) илэрхийлж болно.
Дүгнэлт 1. Хэрэв зөв рационал бутархай бөгөөд олон гишүүнтийн язгууруудын дунд зөвхөн энгийн бодит язгуурууд байгаа бол бутархайг энгийн бутархайн нийлбэр болгон тэлэхэд 1-р төрлийн энгийн бутархайнууд л байх болно.
Жишээ 1
Дүгнэлт 2. Хэрэв зөв рационал бутархай бөгөөд олон гишүүнтийн язгуур дунд зөвхөн олон бодит язгуур байвал бутархайг энгийн бутархайн нийлбэр болгон тэлэхэд 1 ба 2-р төрлийн энгийн бутархай л байх болно. :
Жишээ 2
Дүгнэлт 3. Хэрэв зөв рационал бутархай бөгөөд олон гишүүнтийн язгууруудын дунд зөвхөн энгийн нийлмэл нийлмэл язгуурууд байвал бутархайг энгийн бутархайн нийлбэр болгон тэлэхдээ зөвхөн 3-р төрлийн энгийн бутархайнууд байх болно.
Жишээ 3
Дүгнэлт 4. Хэрэв зөв рационал бутархай бөгөөд олон гишүүнтийн язгууруудын дунд зөвхөн олон нийлмэл нийлмэл язгуур байвал бутархайг энгийн бутархайн нийлбэр болгон тэлэхэд 3 ба 4-р бутархайнууд л байх болно. төрөл:
Дээрх өргөтгөлүүдийн үл мэдэгдэх коэффициентийг тодорхойлохын тулд дараах байдлаар ажиллана. Үл мэдэгдэх коэффициент агуулсан өргөтгөлийн зүүн ба баруун хэсгийг үржүүлэв Хоёр олон гишүүнтийн тэгш байдлыг олж авна. Хүссэн коэффициентүүдийн тэгшитгэлийг дараах байдлаар гаргаж авна.
1. тэгш байдал нь X-ийн аль ч утгын хувьд хүчинтэй байна (хэсэгчилсэн утгын арга). Энэ тохиолдолд ямар ч тооны тэгшитгэлийг олж авах бөгөөд тэдгээрийн аль ч м нь үл мэдэгдэх коэффициентийг олох боломжийг олгодог.
2. коэффициентүүд нь X-ийн ижил түвшинд давхцдаг (тодорхойгүй коэффициентүүдийн арга). Энэ тохиолдолд үл мэдэгдэх коэффициентүүд олддог m - үл мэдэгдэх m - тэгшитгэлийн системийг олж авна.
3. хосолсон арга.
Жишээ 5. Бутархайг томруулна уу 
хамгийн энгийн рүү.
Шийдэл:
А ба В коэффициентийг ол.
1 арга зам - хувийн үнэ цэнийн арга:
Арга 2 - тодорхойгүй коэффициентийн арга:
Хариулт: 
Рационал бутархайн интегралчлал.
Теорем 6. Аливаа рационал бутархайн хуваарь нь 0-тэй тэнцүү биш аль ч интервал дээр тодорхой бус интеграл байдаг бөгөөд рационал бутархай, логарифм, арктангенс гэх мэт энгийн функцээр илэрхийлэгдэнэ.
Баталгаа.
Бид оновчтой бутархайг дараах хэлбэрээр төлөөлдөг. 
. Түүнээс гадна сүүлийн гишүүн нь зөв бутархай бөгөөд 5-р теоремоор үүнийг энгийн бутархайн шугаман хослолоор илэрхийлж болно. Тиймээс рационал бутархайг нэгтгэх нь олон гишүүнтийг интеграл болгоход хүргэдэг С(x)
ба эсрэг деривативууд нь теоремд заасан хэлбэртэй байдаг хамгийн энгийн бутархайнууд.
Сэтгэгдэл. Энэ тохиолдолд гол бэрхшээл бол хуваагчийг хүчин зүйл болгон задлах, өөрөөр хэлбэл түүний бүх үндсийг хайх явдал юм.
Жишээ 1. Интегралыг ол
Өмнөх догол мөрөнд дурдсан бүх зүйл нь оновчтой бутархайг нэгтгэх үндсэн дүрмийг боловсруулах боломжийг бидэнд олгодог.
1. Хэрэв рационал бутархай буруу байвал олон гишүүнт ба зөв рационал бутархайн нийлбэрээр илэрхийлэгдэнэ (2-р зүйлийг үз).
Тиймээс буруу рационал бутархай интеграл нь олон гишүүнт ба зөв рационал бутархайн интегралд буурдаг.
2. Зөв бутархайн хуваагчийг хүчин зүйл болгон задлаарай.
3. Зөв рационал бутархайг хамгийн энгийн бутархайн нийлбэр болгон задалдаг. Тиймээс зөв рационал бутархайн интеграл нь энгийн бутархайн интегралд буурдаг.
Жишээнүүдийг авч үзье.
Жишээ 1. олох.
Шийдэл. Интегралын доор буруу рационал бутархай байна. Бүхэл тоог авбал бид авна
Үүний үр дүнд,
Үүнийг тэмдэглээд бид зөв оновчтой бутархайг өргөжүүлдэг
энгийн бутархай болгон:
(томъёо (18)-ыг үзнэ үү). Тийм ч учраас
Тиймээс бид эцэст нь байна
Жишээ 2. Хай
Шийдэл. Интегралын доор зөв рационал бутархай байна.
Үүнийг энгийн бутархай болгон өргөжүүлбэл (томъёо (16)-г үзнэ үү) бид олж авна
Бутархай-рационал функцийн интеграл.
Тодорхойгүй коэффициентүүдийн арга
Бид бутархайг нэгтгэх ажлыг үргэлжлүүлж байна. Бид хичээл дээр зарим төрлийн бутархайн интегралуудыг аль хэдийн авч үзсэн бөгөөд энэ хичээлийг үргэлжлэл гэж үзэж болно. Материалыг амжилттай ойлгохын тулд үндсэн интеграцийн ур чадвар шаардагддаг тул хэрэв та интегралыг дөнгөж судалж эхэлсэн бол, өөрөөр хэлбэл та цайны хүн бол та нийтлэлээс эхлэх хэрэгтэй. Тодорхой бус интеграл. Шийдлийн жишээ.
Хачирхалтай нь, одоо бид интегралуудыг олохоос илүүтэйгээр ... системийг шийдвэрлэхэд оролцох болно. шугаман тэгшитгэл. Үүнтэй холбогдуулан хүчтэйБи хичээлд зочлохыг зөвлөж байна. Тухайлбал, та орлуулах аргуудыг ("сургуулийн" арга, системийн тэгшитгэлийг улирал бүрээр нэмэх (хасах) арга) сайн мэддэг байх хэрэгтэй.
Бутархай рационал функц гэж юу вэ? Энгийн үгээр хэлбэл, бутархай-рационал функц нь олон гишүүнт буюу олон гишүүнтийн үржвэр болох тоо ба хуваагч дахь бутархай юм. Үүний зэрэгцээ, фракцууд нь нийтлэлд хэлэлцсэнээс илүү боловсронгуй байдаг. Зарим бутархайн интеграл.
Зөв бутархай-рационал функцийн интеграл
Шууд жишээ ба бутархай рационал функцийн интегралыг шийдэх ердийн алгоритм.
Жишээ 1
1-р алхам.Рационал бутархай функцийн интегралыг шийдэхдээ бидний ҮРГЭЛЖ хийдэг хамгийн эхний зүйл бол олж мэдэх явдал юм. дараагийн асуулт: бутархай зөв үү?Энэ алхамыг амаар хийдэг бөгөөд одоо би хэрхэн яаж тайлбарлах болно:
Эхлээд тоологчийг хараад олж мэдээрэй ахлах зэрэголон гишүүнт: 
Тоолуурын хамгийн дээд хүч нь хоёр байна.
Одоо хуваагчийг хараад олж мэдээрэй ахлах зэрэгхуваагч. Мэдээжийн хэрэг бол хаалтуудыг нээж, ижил төстэй нөхцөлүүдийг авчрах явдал юм, гэхдээ та үүнийг хялбархан хийж чадна тус бүрхаалт хамгийн дээд зэргийг олно 
ба оюун ухаанаар үржүүлбэл: - ингээд хуваагчийн дээд зэрэг нь гуравтай тэнцүү байна. Үнэхээр хаалтаа нээвэл гурваас дээш зэрэг авахгүй нь ойлгомжтой.
Дүгнэлт: Тоолуурын хамгийн их хүч ХАТУУхуваарийн хамгийн дээд хүчнээс бага бол бутархай зөв байна.
Хэрэв орвол энэ жишээтоологч нь олон гишүүнт 3, 4, 5 гэх мэтийг агуулж байв. зэрэг, дараа нь бутархай байх болно буруу.
Одоо бид зөвхөн зөв бутархай-рационал функцуудыг авч үзэх болно. Тоолуурын зэрэг нь хуваагчийн зэрэгтэй тэнцүү эсвэл их байх тохиолдолд бид хичээлийн төгсгөлд дүн шинжилгээ хийх болно.
Алхам 2Хусагчийг үржвэр болгоё. Бидний хуваагчийг харцгаая: 
Ерөнхийдөө энд аль хэдийн хүчин зүйлсийн бүтээгдэхүүн гарч ирсэн боловч бид өөрөөсөө өөр зүйлийг өргөжүүлэх боломжтой юу? Эрүү шүүлтийн объект нь мэдээжийн хэрэг дөрвөлжин гурвалжин байх болно. Бид квадрат тэгшитгэлийг шийднэ: 
Дискриминант нь тэгээс их байгаа нь гурвалсан тоо нь үнэхээр хүчин зүйлчлэгдсэн гэсэн үг юм.
Ерөнхий дүрэм: Хуваарьт байгаа бүх зүйлийг хүчин зүйлд хуваана
Шийдвэр гаргаж эхэлцгээе:
Алхам 3Тодорхойгүй коэффициентийн аргыг ашиглан бид интеграцийг энгийн (элемент) бутархайн нийлбэр болгон өргөжүүлдэг. Одоо илүү тодорхой болно.
Интеграл функцээ харцгаая: 
Манай том фракцыг хэд хэдэн жижиг хэсэг болгон хувиргах нь сайхан байх болно гэсэн зөн совингийн бодол ямар нэгэн байдлаар урсан орж ирдэг. Жишээлбэл, иймэрхүү: 
Асуулт гарч ирнэ, үүнийг хийх боломжтой юу? Харгалзах теоремыг тайвширч амьсгал аваарай математик шинжилгээБОЛОМЖТОЙ гэж баталж байна. Ийм задрал байдаг бөгөөд өвөрмөц юм.
Зөвхөн нэг л барьдаг, бид коэффициентүүд баяртайБид мэдэхгүй тул нэр нь тодорхойгүй коэффициентүүдийн арга юм.
Та үүнийг таамаглаж байна, дараачийн дохио зангаа, тиймээс бүү хашгир! тэднийг зүгээр л СУРАХ зорилготой байх болно - тэд юу тэнцүү болохыг олж мэдэх.
Болгоомжтой байгаарай, би нэг удаа дэлгэрэнгүй тайлбарлаж байна!
Ингээд бүжиглэж эхэлцгээе: 
Зүүн талд бид илэрхийллийг нийтлэг хуваагч руу авчирдаг.
Одоо бид хуваагчаас найдвартай салж байна (учир нь тэдгээр нь адилхан):
Зүүн талд бид хаалтуудыг онгойлгож, үл мэдэгдэх коэффициентүүдэд хараахан хүрээгүй байна.
Үүний зэрэгцээ бид олон гишүүнтүүдийг үржүүлэх сургуулийн дүрмийг давтана. Би багш байхдаа энэ дүрмийг шулуун царайгаар хэлж сурсан. Олон гишүүнтийг олон гишүүнтээр үржүүлэхийн тулд нэг олон гишүүнт гишүүн бүрийг нөгөө олон гишүүнт гишүүн бүрээр үржүүлэх шаардлагатай..
Тодорхой тайлбарын үүднээс коэффициентүүдийг хаалтанд оруулах нь дээр (хэдийгээр би цаг хэмнэхийн тулд үүнийг хэзээ ч хийдэггүй).
Бид шугаман тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлдэг.
Нэгдүгээрт, бид ахлах зэрэг хайж байна:
Мөн бид системийн эхний тэгшитгэлд харгалзах коэффициентүүдийг бичнэ.
сайн санаж байна дараагийн нюанс . Баруун тал нь огт байхгүй байсан бол юу болох вэ? Ямар ч дөрвөлжин байхгүй бол зүгээр л шоудах уу? Энэ тохиолдолд системийн тэгшитгэлийн баруун талд тэг тавих шаардлагатай болно: . Яагаад тэг гэж? Баруун талд та үргэлж ижил квадратыг тэгтэй холбож болно: Хэрэв баруун талд хувьсагч эсвэл (болон) чөлөөт нэр томъёо байхгүй бол системийн харгалзах тэгшитгэлийн баруун талд тэг тавина.
Системийн хоёр дахь тэгшитгэлд бид холбогдох коэффициентүүдийг бичнэ. 
Эцэст нь, рашаан, бид чөлөөт гишүүдийг сонгодог.
Өө, ... би тоглож байсан. Хошигнолоос гадна математик бол ноцтой шинжлэх ухаан юм. Манай хүрээлэнгийн бүлэгт туслах профессор гишүүдээ тооны шугамаар тарааж, хамгийн томыг нь сонгоно гэж хэлэхэд хэн ч инээгээгүй. Нухацтай ярилцъя. Хэдийгээр ... энэ хичээлийн төгсгөлийг харах хүртэл амьдарсан хүн чимээгүйхэн инээмсэглэх болно.
Систем бэлэн:
Бид системийг шийддэг: 
(1) Эхний тэгшитгэлээс бид үүнийг системийн 2, 3-р тэгшитгэлд илэрхийлж, орлуулна. Үнэндээ өөр тэгшитгэлээс (эсвэл өөр үсэг) илэрхийлэх боломжтой байсан, гэхдээ дотор Энэ тохиолдолд 1-р тэгшитгэлээс яг тодорхой илэрхийлэх нь давуу талтай хамгийн бага магадлал.
(2) Бид 2 ба 3-р тэгшитгэлд ижил төстэй нэр томъёог үзүүлэв.
(3) Бид 2 ба 3-р тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмээд тэгшитгэлийг олж авах бөгөөд үүнээс дараахь зүйл гарч ирнэ.
(4) Бид хоёр дахь (эсвэл гурав дахь) тэгшитгэлд орлуулж, үүнээс бид үүнийг олдог
(5) Орлуулж эхний тэгшитгэлд оруулаад .
Хэрэв танд системийг шийдвэрлэх арга барилд бэрхшээл тулгарвал тэдгээрийг ангид боловсруулаарай. Шугаман тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдэх вэ?
Системийг шийдсэний дараа шалгалт хийх нь үргэлж ашигтай байдаг - олсон утгыг орлуулах бүртсистемийн тэгшитгэлийн үр дүнд бүх зүйл "нийсэх" ёстой.
Бараг ирлээ. Коэффициентийг дараах байдлаар олно. 
Төгсгөлийн дизайндаалгавар нь иймэрхүү харагдах ёстой:
Таны харж байгаагаар даалгаврын гол бэрхшээл нь шугаман тэгшитгэлийн системийг зохиох (зөв!) ба шийдвэрлэх (зөв!) байв. Эцсийн шатанд бүх зүйл тийм ч хэцүү биш: бид тодорхойгүй интегралын шугаман байдлын шинж чанарыг ашиглаж, нэгтгэдэг. Гурван интеграл бүрийн дор бид "чөлөөт" байдаг гэдгийг би та бүхний анхаарлыг татаж байна. нарийн төвөгтэй функц, Би хичээл дээр үүнийг нэгтгэх онцлогуудын талаар ярьсан Тодорхой бус интеграл дахь хувьсагчийг өөрчлөх арга.
Шалгах: Хариултыг ялгана уу:
Анхны интегралыг авсан нь интеграл зөв олдсон гэсэн үг.
Шалгалтын явцад илэрхийлэлийг нийтлэг хуваагч руу авчрах шаардлагатай байсан бөгөөд энэ нь санамсаргүй биш юм. Тодорхой бус коэффициентийн арга ба илэрхийлэлийг нийтлэг хуваагч руу хүргэх арга нь харилцан урвуу үйлдэл юм.
Жишээ 2
Тодорхойгүй интегралыг ол. 
Эхний жишээн дээрх бутархай руу буцъя: 
. Хугацааны хувьд бүх хүчин зүйл ӨӨР БАЙДГИЙГ амархан харж болно. Жишээлбэл, ийм фракц өгвөл яах вэ гэсэн асуулт гарч ирнэ. 
? Энд бид хуваагч буюу математикийн хэллэгээр зэрэгтэй байна. олон хүчин зүйл. Нэмж дурдахад хуваагдашгүй дөрвөлжин гурвалжин байдаг (тэгшитгэлийн ялгаварлагч гэдгийг шалгахад хялбар байдаг. 
сөрөг байна, тиймээс гурвалсан гишүүнийг ямар ч байдлаар хүчин зүйлээр тооцох боломжгүй). Юу хийх вэ? нийлбэр болгон өргөжүүлэх энгийн бутархайшиг харагдах болно 
дээд талд нь үл мэдэгдэх коэффициенттэй эсвэл өөр арга замтай юу?
Жишээ 3
Функц оруулах 
1-р алхам.Бидэнд зөв бутархай байгаа эсэхийг шалгаж байна
Тоолуурын хамгийн их хүч: 2
Хамгийн их хуваагч: 8
, тэгэхээр бутархай зөв байна.
Алхам 2Хуваарьт ямар нэг зүйлийг оруулж болох уу? Мэдээжийн хэрэг биш, бүх зүйл аль хэдийн тавигдсан. Дөрвөлжин гурвалсан нь дээрх шалтгааны улмаас бүтээгдэхүүн болж өргөждөггүй. Сайн байна. Ажил багатай.
Алхам 3Бутархай-рационал функцийг энгийн бутархайн нийлбэрээр төлөөлүүлье.
Энэ тохиолдолд задрал нь байна дараагийн харах:
Бидний хуваагчийг харцгаая:
Бутархай-рационал функцийг энгийн бутархайн нийлбэр болгон задлахдаа гурван үндсэн цэгийг ялгаж салгаж болно.
1) Хэрэв хуваагч нь нэгдүгээр зэрэглэлийн "ганцаардсан" хүчин зүйлийг агуулж байвал (бидний тохиолдолд) дээд талд нь тодорхойгүй коэффициентийг тавьдаг (манай тохиолдолд). Жишээ No 1,2 нь зөвхөн ийм "ганцаардсан" хүчин зүйлсээс бүрдсэн байв.
2) Хэрэв хуваагч нь агуулж байвал олонүржүүлэгч, дараа нь та дараах байдлаар задлах хэрэгтэй. 
- өөрөөр хэлбэл, "x"-ийн бүх зэрэглэлийг эхнийхээс n-р зэрэг хүртэл дараалан эрэмбэлнэ. Бидний жишээн дээр хоёр олон хүчин зүйл байна: болон , миний өгсөн задралыг дахин харж, тэдгээр нь яг энэ дүрмийн дагуу задарч байгаа эсэхийг шалгаарай.
3) Хэрэв хуваагч нь хоёр дахь зэрэгтэй салшгүй олон гишүүнийг агуулж байвал (бидний тохиолдолд ), тоологчийг өргөжүүлэхдээ тодорхойгүй коэффициент бүхий шугаман функцийг бичих хэрэгтэй (манай тохиолдолд тодорхойгүй коэффициент ба ).
Үнэндээ 4-р тохиолдол бас бий, гэхдээ практик дээр энэ нь маш ховор тохиолддог тул би энэ талаар чимээгүй байх болно.
Жишээ 4
Функц оруулах 
үл мэдэгдэх коэффициенттэй энгийн бутархайн нийлбэр.
Энэ бол жишээ юм бие даасан шийдэл. Бүрэн шийдэлмөн хичээлийн төгсгөлд хариулт.
Алгоритмыг чанд дагаж мөрдөөрэй!
Хэрэв та бутархай-рационал функцийг нийлбэр болгон задлах зарчмуудыг олж мэдсэн бол авч үзэж буй төрлийн бараг бүх интегралыг эвдэж болно.
Жишээ 5
Тодорхойгүй интегралыг ол. 
1-р алхам.Мэдээжийн хэрэг, бутархай зөв:
Алхам 2Хуваарьт ямар нэг зүйлийг оруулж болох уу? Чадах. Энд кубуудын нийлбэр байна 
. Үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглан хуваагчийг хүчин зүйлээр ялгах
Алхам 3Тодорхой бус коэффициентийн аргыг ашиглан бид интегралыг энгийн бутархайн нийлбэр болгон өргөжүүлнэ.
Олон гишүүнтийг задлах боломжгүй гэдгийг анхаарна уу (дискриминант сөрөг эсэхийг шалгана уу), тиймээс дээд талд нь зөвхөн нэг үсэг биш, үл мэдэгдэх коэффициент бүхий шугаман функцийг тавьдаг.
Бид бутархайг нийтлэг хуваагч руу авчирдаг:
Системийг үүсгэж, шийдье:
(1) Эхний тэгшитгэлээс бид системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг илэрхийлж, орлуулна (энэ бол хамгийн оновчтой арга юм).
(2) Бид хоёр дахь тэгшитгэлд ижил төстэй нэр томъёог үзүүлэв.
(3) Бид системийн гишүүний хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмдэг.
Систем нь энгийн тул цаашдын бүх тооцоолол нь зарчмын хувьд аман байна. 
(1) Бид олсон коэффициентүүдийн дагуу бутархайн нийлбэрийг бичнэ.
(2) Бид тодорхойгүй интегралын шугаман шинж чанарыг ашигладаг. Хоёр дахь интегралд юу болсон бэ? Та энэ аргыг хичээлийн сүүлийн догол мөрөөс олж болно. Зарим бутархайн интеграл.
(3) Бид шугаман байдлын шинж чанарыг дахин ашигладаг. Гурав дахь интеграл дээр бид бүтэн квадратыг сонгож эхэлдэг (хичээлийн сүүлчийн догол мөр Зарим бутархайн интеграл).
(4) Бид хоёр дахь интегралыг авч, гуравдугаарт бид бүтэн квадратыг сонгоно.
(5) Бид гурав дахь интегралыг авдаг. Бэлэн.
Энэ сэдвээр танилцуулсан материал нь "Рационал бутархай. Рационал бутархайг энгийн (энгийн) бутархай болгон задлах" сэдвийн мэдээлэлд үндэслэсэн болно. Уншихаасаа өмнө ядаж энэ сэдвийг сайтар судалж үзэхийг би танд зөвлөж байна. энэ материал. Үүнээс гадна бидэнд тодорхойгүй интегралын хүснэгт хэрэгтэй болно.
Би танд хэд хэдэн нэр томъёог сануулъя. Тэдгээрийг холбогдох сэдвээр хэлэлцсэн тул энд би товч томъёололоор хязгаарлагдах болно.
$\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ хоёр олон гишүүнтийн харьцааг рационал функц буюу рационал бутархай гэнэ. Рационал бутархай гэж нэрлэдэг зөвхэрэв $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется буруу.
Анхан шатны (хамгийн энгийн) рационал бутархайг рационал бутархай гэж нэрлэдэг дөрвөн төрөл:
- $\frac(A)(x-a)$;
- $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
- $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q)< 0$);
- $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q)< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).
Тайлбар (илүү ихийг хүсэж байна бүрэн ойлголттекст): харуулах/нуух
$p^2-4q нөхцөл яагаад зайлшгүй шаардлагатай вэ?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.
Жишээлбэл, $x^2+5x+10$ илэрхийллийн хувьд бид дараахийг авна: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. $p^2-4q=-15 оноос хойш< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.
Дашрамд хэлэхэд, энэ шалгалтыг хийхийн тулд $x^2$-ийн урд талын коэффициент 1-тэй тэнцүү байх шаардлагагүй. Жишээлбэл, $5x^2+7x-3=0$-ийн хувьд бид дараахь зүйлийг авна: $D=7^2- 4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. $D > 0$ тул $5x^2+7x-3$ илэрхийлэлийг үржвэрлэх боломжтой.
Рационал бутархайн (энгийн ба буруу) жишээнүүд, түүнчлэн рационал бутархайг энгийн хэсэг болгон задлах жишээг олж болно. Энд бид зөвхөн тэдгээрийг нэгтгэх асуудлыг сонирхож байна. Энгийн бутархайн интегралаас эхэлье. Тиймээс дээрх дөрвөн төрлийн энгийн бутархай бүрийг доорх томьёог ашиглан нэгтгэхэд хялбар байдаг. (2) ба (4) төрлийн бутархайг нэгтгэхдээ $n=2,3,4,\ldots$ гэж үздэгийг сануулъя. Томъёо (3) ба (4) нь $p^2-4q нөхцөлийг шаарддаг< 0$.
\begin(equation) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \төгсгөл(тэгшитгэл) \эхлэх(тэгшитгэл) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \төгсгөл(тэгшитгэл) \эхлэх(тэгшитгэл) \int \frac(Mx+N)(x^2) +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \төгсгөл(тэгшитгэл)
$\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$-ийн хувьд $t=x+\frac(p)(2)$ орлуулалт хийгдэх ба үүний дараа үүссэн интеграл болно. хоёр хуваагдана. Эхнийх нь дифференциал тэмдгийн доор оруулах замаар тооцоолох ба хоёр дахь нь $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$ шиг харагдах болно. Энэ интегралыг давталтын хамаарлыг ашиглан авна
\эхлэх(тэгшитгэл) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n, \; n\in N \төгсгөлд(тэгшитгэл)
Ийм интегралын тооцоог 7-р жишээнд (гурав дахь хэсгийг үзнэ үү) шинжилнэ.
Рационал функцээс интегралыг тооцоолох схем (рационал бутархай):
- Хэрэв интеграл нь энгийн бол (1)-(4) томъёог хэрэглэнэ.
- Хэрэв интеграл нь энгийн биш бол түүнийг энгийн бутархайн нийлбэрээр илэрхийлж, дараа нь (1)-(4) томъёог ашиглан интеграци хийнэ.
Рационал бутархайг нэгтгэх дээрх алгоритм нь байна маргаангүй нэр төр- энэ нь бүх нийтийнх юм. Тэдгээр. Энэ алгоритмыг ашигласнаар хүн нэгтгэх боломжтой ямар чрационал бутархай. Тийм ч учраас тодорхой бус интеграл дахь хувьсагчдын бараг бүх орлуулалт (Эйлер, Чебышевын орлуулалт, бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалт) нь ийм орлуулалтын дараа интервалын дор оновчтой бутархай авахаар хийгддэг. Мөн түүнд алгоритмыг хэрэглээрэй. Бид жижиг тэмдэглэл хийснийхээ дараа жишээнүүдийг ашиглан энэ алгоритмын шууд хэрэглээг шинжлэх болно.
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$
Зарчмын хувьд энэ интегралыг томъёоны механик хэрэглээгүйгээр олж авахад хялбар байдаг. Хэрэв бид интеграл тэмдгээс $7$ тогтмолыг авч $dx=d(x+9)$ гэж тооцвол бид дараахийг авна.
$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9) )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$
Нарийвчилсан мэдээлэл авахын тулд би сэдвийг харахыг зөвлөж байна. Ийм интегралыг хэрхэн шийддэг талаар дэлгэрэнгүй тайлбарласан. Дашрамд хэлэхэд, томъёог "гараар" шийдвэрлэхдээ энэ догол мөрөнд ашигласан ижил өөрчлөлтүүдээр нотлогддог.
2) Дахин хэлэхэд бэлэн томъёо хэрэглэх эсвэл түүнгүйгээр хийх хоёр арга бий. Хэрэв та томьёог хэрэглэвэл $x$ (4-ийн тоо)-ийн өмнөх коэффициентийг хасах шаардлагатай болно гэдгийг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд бид дөрвийг нь хаалтанд ав.
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\баруун)\баруун)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\зүүн(x+\frac(19)(4)\баруун)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\зүүн(x+\frac(19)(4)\баруун)^8). $$
Одоо томъёог хэрэглэх цаг болжээ:
$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\зүүн(x+\frac(19)(4)\баруун)^8)=-\frac(\frac(11)(4) ^8))((8-1)\зүүн(x+\frac(19)(4) \баруун)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\зүүн(x+\frac(19)(4) \баруун)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \баруун )^7)+C. $$
Та томъёог ашиглахгүйгээр хийж болно. Тэр ч байтугай тогтмол $4$-ыг хаалтнаас гаргахгүйгээр. Хэрэв бид $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$ гэдгийг харгалзан үзвэл дараах зүйлийг авна.
$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7) )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$
Ийм интегралыг олох талаар нарийвчилсан тайлбарыг "Орлуулах замаар интеграл (дифференциал тэмдгийн доор танилцуулах)" сэдвээр өгсөн болно.
3) Бид $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$ бутархайг нэгтгэх хэрэгтэй. Энэ бутархай нь $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ бүтэцтэй бөгөөд $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Гэсэн хэдий ч, энэ нь үнэхээр гурав дахь төрлийн энгийн бутархай эсэхийг шалгахын тулд $p^2-4q нөхцөлийг шалгах хэрэгтэй.< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot) 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x) +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Үүнтэй ижил жишээг шийдье, гэхдээ бэлэн томъёог ашиглахгүйгээр. Хугарагчийн деривативыг тоологчд тусгаарлахыг оролдъё. Энэ юу гэсэн үг вэ? Бид $(x^2+10x+34)"=2x+10$ гэдгийг мэднэ. Энэ нь $2x+10$ илэрхийллийг тоологч хэсэгт тусгаарлах ёстой. Одоогийн байдлаар тоологч зөвхөн $4x+7$-г агуулж байна. , гэхдээ энэ нь тийм ч удаан биш. Дараах хувиргалтыг тоологч дээр хэрэглээрэй.
$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$
Одоо тооцоолоход шаардлагатай $2x+10$ илэрхийлэл гарч ирэв. Мөн бидний интегралыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.
$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$
Интегралыг хоёр хувааж үзье. За, үүний дагуу интеграл өөрөө бас "хуваагдсан":
$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2) +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \баруун)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$
Эхлээд эхний интегралын талаар ярилцъя, өөрөөр хэлбэл. ойролцоогоор $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$ тул хуваагч дифференциал интегралын дугаарт байрлана. Товчхондоо оронд нь $( 2x+10)dx$ илэрхийллийн бид $d(x^2+10x+34)$ бичнэ.
Одоо хоёр дахь интегралын талаар хэдэн үг хэлье. Хусагч дахь бүтэн квадратыг ялгаж үзье: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Үүнээс гадна бид $dx=d(x+5)$-г харгалзан үздэг. Одоо бидний өмнө нь олж авсан интегралуудын нийлбэрийг арай өөр хэлбэрээр дахин бичиж болно.
$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$
Хэрэв бид эхний интегралд $u=x^2+10x+34$ өөрчлөлт хийвэл $\int\frac(du)(u)$ хэлбэрийг авч дараахийг авна. энгийн програм-аас хоёр дахь томьёо. Хоёрдахь интегралын хувьд $u=x+5$ орлуулах боломжтой бөгөөд дараа нь $\int\frac(du)(u^2+9)$ хэлбэрийг авна. тэр хамгийн цэвэр устодорхойгүй интегралын хүснэгтээс арваннэгдүгээр томьёо. Тиймээс интегралуудын нийлбэр рүү буцаж ирэхэд бид дараахь зүйлийг авна.
$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5) )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$
Бид томъёог хэрэглэхтэй ижил хариулт авсан бөгөөд энэ нь үнэндээ гайхмаар зүйл биш юм. Ерөнхийдөө томьёо нь энэ интегралыг олоход ашигласан аргуудаар нотлогддог. Анхааралтай уншигч энд нэг асуулт байж магадгүй гэж би бодож байна, тиймээс би үүнийг томъёолох болно:
Асуулт 1
Хэрэв бид тодорхой бус интегралын хүснэгтээс $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$ интегралд хоёрдахь томьёог хэрэглэвэл бид дараахийг авна.
$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$
Модуль яагаад шийдэлд алга болсон бэ?
№1 асуултын хариулт
Асуулт нь бүрэн хууль ёсны юм. R$ дахь дурын $x\2-ийн $x^2+10x+34$ илэрхийлэл тэгээс их учраас модуль байхгүй байсан. Үүнийг хэд хэдэн аргаар харуулахад маш хялбар байдаг. Жишээ нь, $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ ба $(x+5)^2 ≥ 0$, дараа нь $(x+5)^2+9 > 0$ . Бүтэн квадратыг сонгохгүйгээр өөр аргаар шүүж болно. $10^2-4\cdot 34=-16 тул< 0$, то $x^2+10x+34 >R$-д ямар ч $x\-д 0$ (хэрэв энэ логик гинж нь гайхмаар байвал харахыг зөвлөж байна. график аргашийдлүүд квадрат тэгш бус байдал). Ямар ч байсан $x^2+10x+34 > 0$, дараа нь $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, i.e. та модулийн оронд ердийн хаалт ашиглаж болно.
№1 жишээний бүх цэгүүд шийдэгдсэн бөгөөд зөвхөн хариултыг бичихэд л үлддэг.
Хариулт:
- $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
- $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
- $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x) +5)(3)+C$.
Жишээ №2
$\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$ интегралыг ол.
Эхлээд харахад $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ интеграл нь гурав дахь төрлийн энгийн бутархайтай маш төстэй, өөрөөр хэлбэл. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ руу. Ганц ялгаа нь $x^2$-ын урд $3$ гэсэн коэффициент байгаа боловч коэффициентийг арилгахад удаан хугацаа шаардагдахгүй (хаалтнаас). Гэсэн хэдий ч энэ ижил төстэй байдал илт харагдаж байна. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ бутархайн хувьд $p^2-4q нөхцөл< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.
Бидний $x^2$-ын өмнөх коэффициент нэгтэй тэнцүү биш тул $p^2-4q нөхцөлийг шалгана уу.< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадрат тэгшитгэл$x^2+px+q=0$. Хэрэв ялгаварлагч нь тэгээс бага бол $x^2+px+q$ илэрхийллийг хүчин зүйлээр ялгах боломжгүй. Бутархайнхаа хуваарьт байрлах $3x^2-5x-2$ олон гишүүнтийн дискриминантыг бодъё: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Тэгэхээр $D > 0$, тэгэхээр $3x^2-5x-2$ илэрхийллийг хүчин зүйлээр ангилж болно. Энэ нь $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ бутархай нь гурав дахь төрлийн энгийн бутархай биш бөгөөд $\int\frac(7x+12)( интегралд хамаарна гэсэн үг юм. 3x^2- 5x-2)dx$ томьёог зөвшөөрөхгүй.
Хэрэв өгөгдсөн рационал бутархай нь энгийн биш бол түүнийг энгийн бутархайн нийлбэрээр илэрхийлж, дараа нь нэгтгэх ёстой. Товчхондоо, Trail-ийн давуу талыг ашиглах. Рационал бутархайг хэрхэн энгийн бутархай болгон задлах талаар дэлгэрэнгүй бичсэн болно. Хүсэгчийг хүчин зүйлээр ялгаж эхэлцгээе.
$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \ \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\баруун)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\баруун)(x-2). $$
Бид дэд дотоод фракцыг дараах хэлбэрээр төлөөлдөг.
$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\баруун)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\зүүн(x+\frac(1)(3)\баруун)(x-2)). $$
Одоо $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ бутархайг анхан шатны нэгж болгон өргөжүүлье:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\зүүн(x+\frac(1)(3)\баруун)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\зүүн(x+\frac(1)(3)\баруун))(\зүүн(x+) \frac(1)(3)\баруун)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\зүүн(x+\frac(1)( 3)\баруун). $$
$A$ ба $B$ коэффициентүүдийг олохын тулд хоёр стандарт арга байдаг: тодорхойгүй коэффициентийн арга ба хэсэгчилсэн утгыг орлуулах арга. $x=2$, дараа нь $x=-\frac(1)(3)$-г орлуулах замаар хэсэгчилсэн утгыг орлуулах аргыг хэрэглэцгээе:
$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\зүүн(x+\frac(1)(3)\баруун).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\зүүн(2+\frac(1)(3)\баруун); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \баруун)+4=A\зүүн(-\frac(1)(3)-2\баруун)+B\зүүн (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\баруун); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$
Коэффицентүүд олдсон тул зөвхөн дууссан өргөтгөлийг бичихэд л үлддэг.
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\зүүн(x+\frac(1)(3)\баруун)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$
Зарчмын хувьд та энэ оруулгыг орхиж болно, гэхдээ би илүү нарийвчлалтай хувилбарт дуртай:
$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\зүүн(x+\frac(1)(3)\баруун)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$
Анхны интеграл руу буцаж очоод бид үүссэн өргөтгөлийг түүн рүү орлуулна. Дараа нь бид интегралыг хоёр хувааж, тус бүрт томъёог хэрэглэнэ. Би интеграл тэмдгийн гаднах тогтмолуудыг нэн даруй гаргахыг илүүд үздэг.
$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\баруун)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\баруун)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\баруун)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$
Хариулт: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\баруун| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.
Жишээ №3
$\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$ интегралыг ол.
Бид $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$ бутархайг нэгтгэх хэрэгтэй. Тоолуур нь хоёрдугаар зэргийн олон гишүүнт, хуваагч нь гуравдугаар зэргийн олон гишүүнт юм. Тоолуур дахь олон гишүүнтийн зэрэг нь хуваагч дахь олон гишүүнтийн зэрэгтэй харьцуулахад бага байдаг тул өөрөөр хэлбэл. 2 доллар< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:
$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x) +4)-\frac(1)(x-9). $$
Бид зүгээр л өгөгдсөн интегралыг гурав болгон хувааж, тус бүр дээр томъёог ашиглах хэрэгтэй. Би интеграл тэмдгийн гаднах тогтмолуудыг нэн даруй гаргахыг илүүд үздэг.
$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \баруун)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$
Хариулт: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.
Энэ сэдвийн жишээнүүдийн шинжилгээний үргэлжлэлийг хоёрдугаар хэсэгт байрлуулсан болно.
