1-р эрэмбийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл. Нэг төрлийн дифференциал тэгшитгэл

гэх мэт гайхамшигтай математикийн хэрэгслийн түүхээс эхлэх ёстой гэж би бодож байна дифференциал тэгшитгэл. Бүх дифференциал ба интеграл тооцооллын нэгэн адил эдгээр тэгшитгэлийг 17-р зууны сүүлчээр Ньютон зохион бүтээсэн. Тэрээр өөрийн энэ нээлтийг маш чухал гэж үзсэн тул өнөө үед "Байгалийн бүх хуулиудыг дифференциал тэгшитгэлээр дүрсэлсэн байдаг" гэсэн мессежийг шифрлэсэн байна. Энэ нь хэтрүүлэг мэт санагдаж болох ч үнэн юм. Физик, хими, биологийн аливаа хуулийг эдгээр тэгшитгэлээр дүрсэлж болно.

Математикч Эйлер, Лагранж нар дифференциал тэгшитгэлийн онолыг хөгжүүлэх, бий болгоход асар их хувь нэмэр оруулсан. Тэд 18-р зуунд аль хэдийн их сургуулийн ахлах курст сурч байгаа зүйлээ нээж, хөгжүүлсэн.

Анри Пуанкарегийн ачаар дифференциал тэгшитгэлийг судлах шинэ үе шат эхэлсэн. Тэрээр "дифференциал тэгшитгэлийн чанарын онолыг" бүтээсэн бөгөөд энэ нь нийлмэл хувьсагчийн функцүүдийн онолтой хослуулан топологийн үндэс суурь болох орон зай, түүний шинж чанаруудын шинжлэх ухаанд ихээхэн хувь нэмэр оруулсан юм.

Дифференциал тэгшитгэл гэж юу вэ?

Олон хүмүүс нэг хэллэгээс айдаг боловч энэ нийтлэлд бид энэ маш хэрэгтэй математикийн аппаратын мөн чанарыг нарийвчлан тайлбарлах болно, энэ нь үнэндээ нэрнээс нь харахад тийм ч төвөгтэй биш юм. Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн тухай ярьж эхлэхийн тулд эхлээд энэ тодорхойлолттой угаасаа холбоотой үндсэн ойлголтуудтай танилцах хэрэгтэй. Мөн бид дифференциалаас эхэлнэ.

Дифференциал

Олон хүмүүс энэ ойлголтыг сургуулиас хойш мэддэг байсан. Гэсэн хэдий ч үүнийг илүү нарийвчлан авч үзье. Функцийн графикийг төсөөлөөд үз дээ. Бид үүнийг аль ч сегмент нь шулуун шугамын хэлбэрийг авахаар нэмэгдүүлэх боломжтой. Бие биедээ хязгааргүй ойрхон хоёр цэгийг авч үзье. Тэдний координатын (x эсвэл y) хоорондын ялгаа нь хязгааргүй бага байх болно. Үүнийг дифференциал гэж нэрлэдэг бөгөөд dy (y-ийн дифференциал) ба dx (х-ийн дифференциал) тэмдгээр тэмдэглэнэ. Дифференциал нь хязгаарлагдмал хэмжигдэхүүн биш бөгөөд энэ нь түүний утга, үндсэн үүрэг гэдгийг ойлгох нь маш чухал юм.

Одоо бид дифференциал тэгшитгэлийн тухай ойлголтыг тайлбарлахад хэрэг болох дараагийн элементийг авч үзэх хэрэгтэй. Энэ бол дериватив юм.

Дериватив

Бид бүгд сургуульд байхдаа энэ ойлголтыг сонссон байх. Дериватив нь функцийн өсөлт, бууралтын хурд юм. Гэсэн хэдий ч энэ тодорхойлолтоос олон зүйл тодорхойгүй болно. Деривативыг дифференциалаар тайлбарлахыг хичээцгээе. Бие биенээсээ хамгийн бага зайд байгаа хоёр цэг бүхий функцийн хязгааргүй жижиг сегмент рүү буцъя. Гэхдээ энэ зайд ч гэсэн функц тодорхой хэмжээгээр өөрчлөгдөж чаддаг. Мөн энэ өөрчлөлтийг тайлбарлахын тулд тэд дифференциалуудын харьцаагаар бичиж болох деривативыг гаргасан: f(x)"=df/dx.

Одоо деривативын үндсэн шинж чанарыг авч үзэх нь зүйтэй юм. Тэдгээрийн зөвхөн гурав нь байна:

1. Нийлбэр эсвэл зөрүүний деривативыг деривативын нийлбэр эсвэл зөрүүгээр илэрхийлж болно: (a+b)"=a"+b" ба (a-b)"=a"-b".
2. Хоёрдахь шинж чанар нь үржүүлэхтэй холбоотой. Бүтээгдэхүүний дериватив нь нэг функцийн үржвэр ба нөгөө функцийн деривативын нийлбэр юм: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. Зөрүүний деривативыг дараах тэгшитгэлээр бичиж болно: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Эдгээр бүх шинж чанарууд нь нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийг олоход хэрэгтэй болно.

Мөн хэсэгчилсэн деривативууд байдаг. Бидэнд x ба y хувьсагчдаас хамаарах z функц байна гэж бодъё. Энэ функцийн хэсэгчилсэн деривативыг тооцохын тулд, жишээ нь x-тэй холбоотой, бид y хувьсагчийг тогтмол гэж аваад зүгээр л ялгах хэрэгтэй.

Интеграл

Өөр нэг чухал ойлголт бол интеграл юм. Үнэн хэрэгтээ энэ нь деривативын яг эсрэг зүйл юм. Хэд хэдэн төрлийн интеграл байдаг боловч хамгийн энгийн дифференциал тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бидэнд хамгийн энгийн зүйл хэрэгтэй.

Тэгэхээр бид f-ээс х-ээс ямар нэгэн хамааралтай байна гэж бодъё. Үүнээс бид интегралыг аваад F(x) функцийг (ихэвчлэн эсрэг дериватив гэж нэрлэдэг) авдаг бөгөөд дериватив нь анхны функцтэй тэнцүү байна. Тиймээс F(x)"=f(x). Үүнээс гадна деривативын интеграл нь анхны функцтэй тэнцүү байна.

Дифференциал тэгшитгэлийг шийдэхдээ интегралын утга, функцийг ойлгох нь маш чухал бөгөөд учир нь та шийдлийг олохын тулд тэдгээрийг маш олон удаа авах шаардлагатай болно.

Тэгшитгэл нь шинж чанараасаа хамааран өөр өөр байдаг. Дараагийн хэсэгт бид нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн төрлүүдийг авч үзээд дараа нь тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах болно.

Дифференциал тэгшитгэлийн ангиуд

"Diffurs" нь тэдгээрт хамаарах деривативуудын дарааллаар хуваагдана. Тиймээс эхний, хоёр, гурав, түүнээс дээш дараалал байдаг. Тэдгээрийг мөн хэд хэдэн ангилалд хувааж болно: энгийн ба хэсэгчилсэн дериватив.

Энэ нийтлэлд бид эхний эрэмбийн энгийн дифференциал тэгшитгэлүүдийг авч үзэх болно. Дараах хэсгүүдэд бид жишээ болон тэдгээрийг шийдвэрлэх арга замын талаар ярилцах болно. Эдгээр нь хамгийн түгээмэл төрлийн тэгшитгэлүүд учраас бид зөвхөн ODE-г авч үзэх болно. Энгийн зүйлүүдийг дэд зүйлүүдэд хуваадаг: салангид хувьсагчтай, нэгэн төрлийн ба гетероген. Дараа нь та тэдгээр нь бие биенээсээ хэрхэн ялгаатай болохыг мэдэж, тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах болно.

Нэмж дурдахад эдгээр тэгшитгэлийг нэгтгэж болох бөгөөд ингэснээр бид нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн системтэй болно. Бид мөн ийм системийг авч үзэж, тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах болно.

Яагаад бид зөвхөн эхний дарааллыг авч үзэж байна вэ? Учир нь та энгийн зүйлээс эхлэх хэрэгтэй бөгөөд дифференциал тэгшитгэлтэй холбоотой бүх зүйлийг нэг өгүүллээр тайлбарлах нь ердөө боломжгүй юм.

Салгаж болох тэгшитгэлүүд

Эдгээр нь магадгүй хамгийн энгийн нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл юм. Үүнд дараах байдлаар бичиж болох жишээнүүд багтана: y"=f(x)*f(y). Энэ тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийн тулд үүсмэлийг дифференциалын харьцаагаар илэрхийлэх томъёо хэрэгтэй: y"=dy/dx. Үүнийг ашигласнаар бид дараах тэгшитгэлийг олж авна: dy/dx=f(x)*f(y). Одоо бид шийдлийн арга руу шилжиж болно стандарт жишээнүүд: хувьсагчдыг хэсэг болгон хуваая, өөрөөр хэлбэл y хувьсагчтай бүх зүйлийг dy байрлаж байгаа хэсэг рүү шилжүүлж, x хувьсагчтай ижил зүйлийг хийцгээе. Бид dy/f(y)=f(x)dx хэлбэрийн тэгшитгэлийг олж авах бөгөөд энэ нь хоёр талын интегралыг авах замаар шийдэгддэг. Интегралыг авсны дараа тохируулах шаардлагатай тогтмолыг бүү мартаарай.

Аливаа "дифюр"-ийн шийдэл нь х-ийн у-аас хамаарах функц юм (манай тохиолдолд) эсвэл хэрэв тоон нөхцөл байгаа бол тоо хэлбэрээр хариулах болно. Ингээд харцгаая тодорхой жишээбүх шийдэл:

Хувьсагчдыг өөр өөр чиглэлд шилжүүлье:

Одоо интегралуудыг авч үзье. Тэдгээрийг бүгдийг нь интегралын тусгай хүснэгтээс олж болно. Тэгээд бид авах:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Шаардлагатай бол бид "y"-г "x" функцээр илэрхийлж болно. Одоо бид нөхцөлийг заагаагүй бол бидний дифференциал тэгшитгэл шийдэгдсэн гэж хэлж болно. Нөхцөлийг зааж өгч болно, жишээлбэл, y(n/2)=e. Дараа нь бид эдгээр хувьсагчийн утгыг шийдэлд орлуулж, тогтмолын утгыг олно. Бидний жишээнд 1 байна.

Нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл

Одоо илүү хэцүү хэсэг рүүгээ явцгаая. Нэг төрлийн нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг бичиж болно ерөнхий үзэлтэгэхээр: y"=z(x,y). Хоёр хувьсагчийн зөв функц нь нэгэн төрлийн бөгөөд үүнийг x дээр z, y дээр z гэсэн хоёр хамааралд хувааж болохгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн байна уу: бид x=k*x ба y=k*y-г орлуулж байна Өмнө нь бид хэлэх болно: эдгээр жишээг шийдвэрлэх зарчим нь бас маш энгийн.

Бид орлуулалт хийх хэрэгтэй: y=t(x)*x, энд t нь х-ээс бас хамааралтай тодорхой функц юм. Дараа нь бид деривативыг илэрхийлж болно: y"=t"(x)*x+t. Энэ бүгдийг анхны тэгшитгэлдээ орлуулж, хялбарчлахад бид t ба x салж болох хувьсагчтай жишээг олж авна. Бид үүнийг шийдэж t(x) хамаарлыг авна. Бид үүнийг хүлээн авахдаа y=t(x)*x-г өмнөх орлуулалтдаа орлуулна. Дараа нь y-ийн x-ээс хамаарлыг олж авна.

Үүнийг илүү ойлгомжтой болгохын тулд жишээг харцгаая: x*y"=y-x*e y/x .

Солих замаар шалгахад бүх зүйл багасдаг. Энэ нь тэгшитгэл үнэхээр нэгэн төрлийн байна гэсэн үг. Одоо бид өөр нэг орлуулалтыг хийж байна: y=t(x)*x ба y"=t"(x)*x+t(x). Хялбаршуулсаны дараа бид дараах тэгшитгэлийг олж авна: t"(x)*x=-e t. Гарсан жишээг салангид хувьсагчаар шийдэж: e -t =ln(C*x). Бидний хийх ёстой зүйл бол солих явдал юм. t y/x-тэй (эцсийн эцэст хэрэв y =t*x бол t=y/x), бид хариултыг авна: e -y/x =ln(x*C).

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл

Өөр нэг өргөн сэдвийг харах цаг болжээ. Бид нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийх болно. Тэд өмнөх хоёроос юугаараа ялгаатай вэ? Үүнийг олж мэдье. Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр дараах байдлаар бичиж болно: y" + g(x)*y=z(x). z(x) ба g(x) нь тогтмол хэмжигдэхүүн байж болохыг тодруулах нь зүйтэй.

Одоо жишээ нь: y" - y*x=x 2 .

Хоёр шийдэл байгаа бөгөөд бид хоёуланг нь дарааллаар нь авч үзэх болно. Эхнийх нь дурын тогтмолыг өөрчлөх арга юм.

Тэгшитгэлийг ийм байдлаар шийдэхийн тулд эхлээд баруун талыг тэгтэй тэнцүүлж, үүссэн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй бөгөөд энэ нь хэсгүүдийг шилжүүлсний дараа дараах хэлбэртэй болно.

ln|y|=x 2 /2 + C;

y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2 .

Одоо бид C 1 тогтмолыг v(x) функцээр солих хэрэгтэй, үүнийг олох хэрэгтэй.

Деривативыг орлъё:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

Эдгээр илэрхийллийг анхны тэгшитгэлд орлуулна уу:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Зүүн талд хоёр хугацаа цуцлагдаж байгааг харж болно. Хэрэв зарим жишээнд ийм зүйл тохиолдоогүй бол та буруу зүйл хийсэн. Үргэлжлүүлье:

v"*e x2/2 = x 2.

Одоо бид хувьсагчдыг салгах шаардлагатай ердийн тэгшитгэлийг шийдэж байна.

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Интегралыг гаргаж авахын тулд бид энд хэсгүүдээр интегралчлах хэрэгтэй болно. Гэсэн хэдий ч энэ нь бидний нийтлэлийн сэдэв биш юм. Хэрэв та сонирхож байгаа бол ийм үйлдлүүдийг өөрөө хийж сурах боломжтой. Энэ нь хэцүү биш бөгөөд хангалттай ур чадвар, анхаарал халамж тавихад их цаг хугацаа шаарддаггүй.

Нэг төрлийн бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хоёр дахь арга: Бернуллигийн арга руу орцгооё. Аль арга нь илүү хурдан бөгөөд хялбар болохыг та өөрөө шийднэ.

Тэгэхээр энэ аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ орлуулалт хийх хэрэгтэй: y=k*n. Энд k ба n нь х-ээс хамааралтай зарим функцууд юм. Дараа нь дериватив нь иймэрхүү харагдах болно: y"=k"*n+k*n". Бид хоёр орлуулалтыг тэгшитгэлд орлуулна:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Бүлэглэх:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Одоо бид хаалтанд байгаа зүйлийг тэгтэй тэнцүүлэх хэрэгтэй. Хэрэв бид үүссэн хоёр тэгшитгэлийг нэгтгэвэл шийдвэрлэх шаардлагатай нэгдүгээр зэрэглэлийн дифференциал тэгшитгэлийн системийг олж авна.

Бид эхний тэгшитгэлийг энгийн тэгшитгэл болгон шийддэг. Үүнийг хийхийн тулд та хувьсагчдыг салгах хэрэгтэй:

Бид интегралыг аваад: ln(n)=x 2 /2 болно. Хэрэв бид n-ийг илэрхийлбэл:

Одоо бид үүссэн тэгшитгэлийг системийн хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулж байна:

k"*e x2/2 =x 2 .

Мөн хувиргаснаар бид эхний аргын адил тэгш байдлыг олж авна.

dk=x 2 /e x2/2 .

Бид бас задлахгүй цаашдын арга хэмжээ. Эхний дарааллын дифференциал тэгшитгэлийг шийдэх нь ихээхэн бэрхшээл учруулдаг гэдгийг хэлэх нь зүйтэй. Гэсэн хэдий ч, энэ сэдвийг илүү гүнзгийрүүлснээр энэ нь илүү сайн, илүү сайн ажиллаж эхэлдэг.

Дифференциал тэгшитгэлийг хаана ашигладаг вэ?

Бараг бүх үндсэн хуулиудыг бичдэг тул дифференциал тэгшитгэлийг физикт маш идэвхтэй ашигладаг дифференциал хэлбэр, мөн бидний харж буй томъёонууд нь эдгээр тэгшитгэлийн шийдэл юм. Химийн хувьд тэдгээрийг ижил шалтгаанаар ашигладаг: үндсэн хуулиудыг тэдгээрийн тусламжтайгаар гаргаж авдаг. Биологийн хувьд дифференциал тэгшитгэлийг махчин, идэш тэжээл гэх мэт системийн зан төлөвийг загварчлахад ашигладаг. Тэдгээрийг бичил биетний колони гэх мэт нөхөн үржихүйн загварыг бий болгоход ашиглаж болно.

Дифференциал тэгшитгэл танд амьдралд хэрхэн туслах вэ?

Энэ асуултын хариулт нь энгийн: огт биш. Хэрэв та эрдэмтэн эсвэл инженер биш бол тэд танд ашигтай байх магадлал багатай. Гэсэн хэдий ч төлөө ерөнхий хөгжилДифференциал тэгшитгэл гэж юу болох, хэрхэн шийдэгддэгийг мэдэх нь гэмтээхгүй. Дараа нь хүү эсвэл охины асуулт бол "дифференциал тэгшитгэл гэж юу вэ?" чамайг төөрөгдүүлэхгүй. Хэрэв та эрдэмтэн эсвэл инженер бол аливаа шинжлэх ухаанд энэ сэдвийн ач холбогдлыг өөрөө ойлгодог. Гэхдээ хамгийн чухал зүйл бол одоо "1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?" Та үргэлж хариулт өгөх боломжтой. Зөвшөөрч байна, хүмүүс ойлгохоос айдаг зүйлийг ойлгох нь үргэлж сайхан байдаг.

Хичээлийн гол бэрхшээлүүд

Энэ сэдвийг ойлгоход тулгарч буй гол асуудал бол функцүүдийг нэгтгэх, ялгах чадвар муутай байдаг. Хэрэв та дериватив болон интеграл авахдаа муу бол үүнийг судалж, эзэмших нь зүйтэй болов уу. өөр өөр аргууднэгтгэх, ялгах, зөвхөн дараа нь өгүүлэлд дурдсан материалыг судалж эхэлнэ.

Өмнө нь (сургуульд) dy/dx фракц хуваагдашгүй гэж заасан байдаг тул dx-г шилжүүлж болно гэдгийг мэдээд зарим хүмүүс гайхдаг. Энд та деривативын талаархи уран зохиолыг уншиж, энэ нь тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед удирдаж болох хязгааргүй бага хэмжигдэхүүнүүдийн харьцаа гэдгийг ойлгох хэрэгтэй.

Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг шийдэх нь ихэвчлэн авч болохгүй функц эсвэл интеграл гэдгийг олон хүмүүс тэр даруй ойлгодоггүй бөгөөд энэ буруу ойлголт нь тэдэнд маш их бэрхшээл учруулдаг.

Та илүү сайн ойлгохын тулд өөр юу судалж болох вэ?

Дэлхийд илүү их умбаж эхлэх нь дээр дифференциал тооцоотусгайлсан сурах бичгээс, тухайлбал, дээр математик шинжилгээматематикийн бус мэргэжлийн оюутнуудад зориулсан. Дараа нь та илүү нарийн мэргэжлийн уран зохиол руу шилжиж болно.

Дифференциалуудаас гадна бас байдаг гэдгийг хэлэх нь зүйтэй болов уу интеграл тэгшитгэл, тиймээс та үргэлж хичээж, сурах зүйлтэй байх болно.

Дүгнэлт

Энэ нийтлэлийг уншсаны дараа та дифференциал тэгшитгэл гэж юу болох, тэдгээрийг хэрхэн зөв шийдвэрлэх талаар ойлголттой болно гэж найдаж байна.

Ямар ч байсан математик бидний амьдралд ямар нэгэн байдлаар хэрэг болно. Энэ нь логик, анхаарлыг хөгжүүлдэг бөгөөд үүнгүйгээр хүн бүр гаргүй байдаг.

f(x,y) функцийг дуудна нэгэн төрлийн функцХэрэв таних нь үнэн бол n хэмжигдэхүүний аргументуудын f(tx,ty) \equiv t^nf(x,y).

Жишээлбэл, f(x,y)=x^2+y^2-xy функц нь хоёр дахь хэмжээсийн нэгэн төрлийн функц юм, учир нь

F(tx,ty)=(tx)^2+(ty)^2-(tx)(ty)=t^2(x^2+y^2-xy)=t^2f(x,y).

n=0 үед бид тэг хэмжээст функцтэй байна. Жишээлбэл, \frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)нь тэг хэмжээсийн нэгэн төрлийн функц, учир нь

(f(tx,ty)=\frac((tx)^2-(ty)^2)((tx)^2+(ty)^2)=\frac(t^2(x^2-y^) 2))(t^2(x^2+y^2))=\frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)=f(x,y).)

Маягтын дифференциал тэгшитгэл \frac(dy)(dx)=f(x,y) f(x,y) нь тэг хэмжээст аргументуудын нэгэн төрлийн функц бол x ба y-ийн хувьд нэгэн төрлийн гэж хэлнэ. Нэг төрлийн тэгшитгэлийг үргэлж дараах байдлаар илэрхийлж болно

\frac(dy)(dx)=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\баруун).

Шинэ шаардлагатай u=\frac(y)(x) функцийг оруулснаар (1) тэгшитгэлийг хувьсагчдыг ялгах тэгшитгэл болгон бууруулж болно.

X\frac(du)(dx)=\varphi(u)-u.

Хэрэв u=u_0 нь \varphi(u)-u=0 тэгшитгэлийн язгуур бол нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдэл u=u_0 эсвэл y=u_0x (эх цэгийг дайран өнгөрөх шулуун) болно.

Сэтгэгдэл.Нэг төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ тэдгээрийг (1) хэлбэр болгон багасгах шаардлагагүй. Та y=ux орлуулалтыг шууд хийж болно.

Жишээ 1.Шийдэх нэгэн төрлийн тэгшитгэл xy"=\sqrt(x^2-y^2)+y.

Шийдэл.Тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичье y"=\sqrt(1-(\зүүн(\frac(y)(x)\баруун)\^2}+\frac{y}{x} !}Тэгэхээр энэ тэгшитгэл нь x ба у-ийн хувьд нэгэн төрлийн болж хувирна. u=\frac(y)(x) , эсвэл y=ux-ийг тавья. Дараа нь y"=xu"+u . Тэгшитгэлд y ба y"-ийн илэрхийлэлүүдийг орлуулснаар бид олж авна x\frac(du)(dx)=\sqrt(1-u^2). Бид хувьсагчдыг ялгадаг: \frac(du)(1-u^2)=\frac(dx)(x). Эндээс бид интеграцчлалаар олно

\arcsin(u)=\ln|x|+\ln(C_1)~(C_1>0), эсвэл \arcsin(u)=\ln(C_1|x|).

C_1|x|=\pm(C_1x) тул \pm(C_1)=C гэж тэмдэглэвэл бид олж авна. \arcsin(u)=\ln(Cx), Хаана |\ln(Cx)|\leqslant\frac(\pi)(2)эсвэл e^(-\pi/2)\leqslant(Cx)\leqslant(e^(\pi/2)). u-г \frac(y)(x) -ээр орлуулбал ерөнхий интеграл гарч ирнэ \arcsin(y)(x)=\ln(Cx).

Эндээс нийтлэг шийдвэр: y=x\sin\ln(Cx) .

Хувьсагчдыг салгахдаа бид тэгшитгэлийн хоёр талыг x\sqrt(1-u^2) үржвэрт хуваасан тул шийдлийг алдаж, энэ бүтээгдэхүүнийг алга болгодог.

Одоо x=0 ба \sqrt(1-u^2)=0 гэж тохируулцгаая. Харин x\ne0 орлуулалтын улмаас u=\frac(y)(x) ба \sqrt(1-u^2)=0 хамаарлаас бид үүнийг олж авна. 1-\frac(y^2)(x^2)=0, эндээс y=\pm(x) . Шууд баталгаажуулалтаар бид y=-x ба y=x функцууд нь энэ тэгшитгэлийн шийдэл мөн гэдэгт итгэлтэй байна.

Жишээ 2.Нэг төрлийн тэгшитгэлийн C_\alpha интеграл муруйн бүлгийг авч үзье. y"=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\баруун). Энэхүү нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлээр тодорхойлсон муруйн харгалзах цэгүүдийн шүргэгч нь хоорондоо параллель байгааг харуул.

Жич:Бид залгах болно тохиромжтой C_\alpha муруй дээрх цэгүүд нь эх үүсвэрээс гарч буй ижил туяан дээр байрладаг.

Шийдэл.Харгалзах цэгүүдийн тодорхойлолтоор бид байна \frac(y)(x)=\frac(y_1)(x_1), тэгэхээр тэгшитгэлийн өөрөө y"=y"_1, энд y" ба y"_1 нь M ба M_1 цэг дээрх C_\alpha ба C_(\alpha_1) интеграл муруйнуудын шүргэгчийн өнцгийн коэффициентүүд юм. (Зураг 12).

Нэг төрлийн болгон бууруулж буй тэгшитгэлүүд

А.Маягтын дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье

\frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(a_1x+b_1y+c_1)\баруун).

Үүнд: a,b,c,a_1,b_1,c_1 тогтмолууд, f(u) нь тасралтгүй функцтүүний аргумент u.

Хэрэв c=c_1=0 бол (3) тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн бөгөөд дээр дурдсанчлан интегралдсан байна.

Хэрэв c,c_1 тоонуудын ядаж нэг нь тэгээс ялгаатай бол хоёр тохиолдлыг ялгах хэрэгтэй.

1) Тодорхойлогч \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)\ne0. h ба k нь тодорхойгүй тогтмол хэвээр байгаа x=\xi+h,~y=\eta+k томъёоны дагуу \xi ба \eta шинэ хувьсагчдыг оруулснаар бид (3) тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулав.

\frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta+ah+bk+c)(a_1\xi+b_2\eta+a_1h+b_1k+c_1 )\ баруун).

Системийн шийдэл болгон h ба k-г сонгох шугаман тэгшитгэл

\эхлэх(тохиолдлууд)ah+bk+c=0,\\a_1h+b_1k+c_1=0\төгсгөл(тохиолдлууд)~(\Дельта\ne0),

Бид нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг олж авна \frac(d\eta)(d\xi)=f\!\зүүн(\frac(a\xi+b\eta)(a_1\xi+b_1\eta)\баруун). Түүний ерөнхий интегралыг олж, \xi-г x-h, \eta-г y-k-ээр сольсноор (3) тэгшитгэлийн ерөнхий интегралыг олж авна.

2) Тодорхойлогч \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)=0. Систем (4)-д ерөнхий тохиолдолямар ч шийдэлгүй бөгөөд дээр дурдсан аргыг хэрэглэх боломжгүй; энэ тохиолдолд \frac(a_1)(a)=\frac(b_1)(b)=\lambda, тиймээс (3) тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна \frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(\lambda(ax+by)+c_1)\баруун). z=ax+by-г орлуулснаар салгаж болох хувьсагчтай тэгшитгэл гарна.

Жишээ 3.Тэгшитгэлийг шийд (x+y-2)\,dx+(x-y+4)\,dy=0.

Шийдэл.Шугаман системийг авч үзье алгебрийн тэгшитгэл \эхлэх(тохиолдлууд)x+y-2=0,\\x-y+4=0.\төгсгөл(тохиолдлууд)

Энэ системийн тодорхойлогч \Delta=\begin(vmatrix)\hfill1&\hfill1\\\hfill1&\hfill-1\end(vmatrix)=-2\ne0.

Систем нь x_0=-1,~y_0=3 өвөрмөц шийдэлтэй. Бид орлуулалтыг хийдэг x=\xi-1,~y=\eta+3 . Дараа нь тэгшитгэл (5) хэлбэрийг авна

(\xi+\eta)\,d\xi+(\xi-\eta)\,d\eta=0.

Энэ тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн тэгшитгэл юм. \eta=u\xi-г тохируулснаар бид авна

(\xi+\xi(u))\,d\xi+(\xi-\xi(u))(\xi\,du+u\,d\xi)=0, хаана (1+2u-u^2)\,d\xi+\xi(1-u)\,du=0.

Хувьсагчдыг салгах \frac(d\xi)(\xi)+\frac(1-u)(1+2u-u^2)\,du=0.

Интеграцид бид олдог \ln|\xi|+\frac(1)(2)\ln|1+2u-u^2|=\ln(C)эсвэл \xi^2(1+2u-u^2)=C .

x,~y хувьсагч руу буцъя:

(x+1)^2\зүүн=C_1эсвэл x^2+2xy-y^2-4x+8y=C~~(C=C_1+14).

Жишээ 4.Тэгшитгэлийг шийд (x+y+1)\,dx+(2x+2y-1)\,dy=0.

Шийдэл.Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем \эхлэх(тохиолдол)x+y+1=0,\\2x+2y-1=0\төгсгөл(тохиолдол)нийцэхгүй. Энэ тохиолдолд өмнөх жишээнд ашигласан арга нь тохиромжгүй. Тэгшитгэлийг нэгтгэхийн тулд бид x+y=z, dy=dz-dx орлуулалтыг ашиглана. Тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна

(2-z)\,dx+(2z-1)\,dz=0.

Хувьсагчдыг салгаснаар бид олж авна

Dx-\frac(2z-1)(z-2)\,dz=0иймээс x-2z-3\ln|z-2|=C.

x,~y хувьсагч руу буцаж очоод энэ тэгшитгэлийн ерөнхий интегралыг олж авна

X+2y+3\ln|x+y-2|=C.

Б.Заримдаа y=z^\alpha хувьсагчийг орлуулах замаар тэгшитгэлийг нэгэн төрлийн болгож болно. Энэ нь тэгшитгэлийн бүх гишүүд ижил хэмжээстэй байх үед тохиолддог, хэрэв x хувьсагч нь 1 хэмжигдэхүүн, хувьсагч y - хэмжээ \alpha ба дериватив \frac(dy)(dx) - хэмжээ \alpha-1 гэж томилогдсон.

Жишээ 5.Тэгшитгэлийг шийд (x^2y^2-1)\,dy+2xy^3\,dx=0.

Шийдэл.Сэлгээ хийх y=z^\alpha,~dy=\alpha(z^(\альфа-1))\,dz, энд \alpha нь одоохондоо дурын тоо бөгөөд бид үүнийг дараа сонгох болно. Тэгшитгэлд y ба dy-ийн илэрхийлэлүүдийг орлуулснаар бид олж авна

\alpha(x^2x^(2\alpha)-1)z^(\alpha-1)\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0эсвэл \alpha(x^2z^(3\alpha-1)-z^(\alpha-1))\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0,

x^2z^(3\alpha-1) хэмжээстэй болохыг анхаарна уу 2+3\альфа-1=3\альфа+1, z^(\alpha-1) нь \alpha-1 , xz^(3\alpha) нь 1+3\alpha хэмжээстэй. Бүх нэр томъёоны хэмжилтүүд ижил байвал үүссэн тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн байх болно, i.e. нөхцөл хангагдсан бол 3\альфа+1=\альфа-1, эсвэл \alpha-1 .

y=\frac(1)(z) ; анхны тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

\left(\frac(1)(z^2)-\frac(x^2)(z^4)\right)dz+\frac(2x)(z^3)\,dx=0эсвэл (z^2-x^2)\,dz+2xz\,dx=0.

Одоо тавьцгаая z=ux,~dz=u\,dx+x\,du. Дараа нь энэ тэгшитгэл хэлбэрийг авна (u^2-1)(u\,dx+x\,du)+2u\,dx=0, хаана u(u^2+1)\,dx+x(u^2-1)\,du=0.

Энэ тэгшитгэл дэх хувьсагчдыг салгах \frac(dx)(x)+\frac(u^2-1)(u^3+u)\,du=0. Интеграцид бид олдог

\ln|x|+\ln(u^2+1)-\ln|u|=\ln(C)эсвэл \frac(x(u^2+1))(u)=C.

u-ийг \frac(1)(xy) -ээр орлуулснаар бид 1+x^2y^2=Cy тэгшитгэлийн ерөнхий интегралыг олж авна.

Тэгшитгэл нь бас байна ойлгомжтой шийдэлХэрэв интегралыг хэлбэрээр бичсэн бол C\to\infty цэгийн ерөнхий интегралаас олно y=0 . y=\frac(1+x^2y^2)(C), дараа нь C\to\infty-ийн хязгаарт очно. Тиймээс y=0 функц нь анхны тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл юм.

Таны хөтөч дээр Javascript идэвхгүй байна.
Тооцоолол хийхийн тулд та ActiveX хяналтыг идэвхжүүлэх ёстой!

Нэг төрлийн

Энэ хичээл дээр бид гэж нэрлэгддэг зүйлийг авч үзэх болно Нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл. -тай хамт салгаж болох тэгшитгэлТэгээд шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлэнэ төрлийн алсын удирдлага нь бараг бүх зүйлд байдаг туршилтын ажилдиффузорын сэдвээр. Хэрэв та хайлтын системээс хуудас руу орж ирсэн эсвэл дифференциал тэгшитгэлийг ойлгоход тийм ч их итгэлгүй байгаа бол эхлээд сэдвийн талаархи танилцуулга хичээлээр ажиллахыг зөвлөж байна. Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл. Баримт нь нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх олон зарчим, ашигласан аргууд нь салгаж болох хувьсагчтай хамгийн энгийн тэгшитгэлтэй яг адилхан байх болно.

Нэг төрлийн дифференциал тэгшитгэл болон бусад төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн хооронд ямар ялгаа байдаг вэ? Үүнийг нэн даруй тайлбарлах хамгийн хялбар арга бол тодорхой жишээ юм.

Жишээ 1

Шийдэл:
Юу Нэгдүгээртшийдвэр гаргахдаа дүн шинжилгээ хийх хэрэгтэй ямар чдифференциал тэгшитгэл эхний захиалга? Юуны өмнө "сургуулийн" үйлдлүүдийг ашиглан хувьсагчдыг нэн даруй салгах боломжтой эсэхийг шалгах шаардлагатай юу? Ихэвчлэн энэ шинжилгээг оюун ухаанаар эсвэл ноорог дахь хувьсагчдыг салгах оролдлого хийдэг.

IN энэ жишээнд хувьсагчдыг салгах боломжгүй(хэсгээсээ хэсэг рүү нэр томьёо шидэх, хаалтнаас хүчин зүйлийг нэмэгдүүлэх гэх мэт). Дашрамд хэлэхэд, энэ жишээн дээр үржүүлэгч байгаа тул хувьсагчдыг хувааж болохгүй гэдэг нь тодорхой харагдаж байна.

Асуулт гарч ирдэг: энэ сарнисан асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх вэ?

шалгах хэрэгтэй ба Энэ тэгшитгэл нэг төрлийн биш гэж үү?? Баталгаажуулалт нь энгийн бөгөөд баталгаажуулалтын алгоритмыг дараах байдлаар томъёолж болно.

Анхны тэгшитгэлд:

оронд ньбид орлуулах, оронд ньбид орлуулах, бид деривативт хүрдэггүй:

Ламбда үсэг нь нөхцөлт параметр бөгөөд энд дараах үүрэг гүйцэтгэдэг: хэрэв хувиргалтын үр дүнд БҮХ ламбда-г устгаж, анхны тэгшитгэлийг олж авах боломжтой бол энэ дифференциал тэгшитгэл нэгэн төрлийн байна.

Ламбдаг илтгэгчээр нэн даруй бууруулж байгаа нь тодорхой байна.

Одоо баруун талд бид ламбда-г хаалтнаас гаргаж авдаг.

мөн энэ хоёр хэсгийг ижил ламбдагаар хуваана:

Үр дүнд нь БүгдХурганууд зүүд шиг, өглөөний манан шиг алга болж, бид анхны тэгшитгэлийг олж авлаа.

Дүгнэлт:Энэ тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн байна

Нэг төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?

Надад маш сайхан мэдээ байна. Бүх төрлийн нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг нэг (!) стандарт орлуулалт ашиглан шийдэж болно.

"Тоглоом" функц нь байх ёстой солих ажилзарим функц (мөн "x"-ээс хамаарна)болон "x":

Тэд бараг үргэлж товчхон бичдэг:

Ийм орлуулалтаар дериватив нь юу болж хувирахыг бид олж мэдээд бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг ашигладаг. Хэрэв бол:

Бид анхны тэгшитгэлд орлуулна:

Ийм орлуулалт юу өгөх вэ? Энэ солих, хялбаршуулсаны дараа бид баталгаатайбид салж болох хувьсагчтай тэгшитгэлийг олж авна. САНААРАЙанхны хайр шиг :) ба үүний дагуу .

Орлуулсны дараа бид хамгийн их хялбаршуулах ажлыг гүйцэтгэдэг.

"x"-ээс хамаарах функц тул деривативыг стандарт бутархай хэлбэрээр бичиж болно: .
Тиймээс:

Бид хувьсагчдыг салгаж, зүүн талд та зөвхөн "te", баруун талд нь зөвхөн "x"-ийг цуглуулах хэрэгтэй.

Хувьсагчдыг салгаж, нэгтгэж үзье:


Миний анхны хэлснээр техникийн зөвлөгөөнийтлэлээс Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлихэнх тохиолдолд тогтмолыг логарифм хэлбэрээр "томъёолох" нь зүйтэй.

Тэгшитгэлийг нэгтгэсний дараа бид үүнийг хийх хэрэгтэй урвуу солих, энэ нь бас стандарт бөгөөд өвөрмөц юм:
Хэрэв бол
IN энэ тохиолдолд:

20 тохиолдлын 18-19 тохиолдолд нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдийг ерөнхий интеграл хэлбэрээр бичнэ..

Хариулт:ерөнхий интеграл:

Нэг төрлийн тэгшитгэлийн хариултыг яагаад бараг үргэлж ерөнхий интеграл хэлбэрээр өгдөг вэ?
Ихэнх тохиолдолд "тоглоом" -ыг тодорхой илэрхийлэх боломжгүй (ерөнхий шийдлийг олж авах), хэрэв боломжтой бол ерөнхий шийдэл нь ихэвчлэн төвөгтэй, болхи болдог.

Жишээлбэл, авч үзсэн жишээн дээр ерөнхий шийдлийг ерөнхий интегралын хоёр талд логарифмыг жинлэн авч болно.

-За, зүгээр. Хэдийгээр энэ нь бага зэрэг хазайсан хэвээр байгааг та хүлээн зөвшөөрөх ёстой.

Дашрамд хэлэхэд, энэ жишээнд би ерөнхий интегралыг "зохистой" бичээгүй. Энэ бол алдаа биш, гэхдээ "сайн" хэв маягаар ерөнхий интегралыг ихэвчлэн хэлбэрээр бичдэг гэдгийг би танд сануулж байна. Үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлийг нэгтгэсний дараа логарифмгүйгээр тогтмолыг бичих хэрэгтэй (дүрэмд үл хамаарах зүйл энд байна!):

Урвуу орлуулалтын дараа ерөнхий интегралыг "сонгодог" хэлбэрээр авна.

Хүлээн авсан хариултыг шалгаж болно. Үүнийг хийхийн тулд ерөнхий интегралыг ялгах, өөрөөр хэлбэл олох хэрэгтэй далд хэлбэрээр заасан функцийн дериватив:

Тэгшитгэлийн тал бүрийг дараах байдлаар үржүүлснээр бид бутархай хэсгүүдээс сална.

Анхны дифференциал тэгшитгэлийг олж авсан нь шийдлийг зөв олсон гэсэн үг юм.

Үүнийг байнга шалгаж байхыг зөвлөж байна. Гэхдээ нэгэн төрлийн тэгшитгэлүүд нь тааламжгүй байдаг, учир нь тэдгээрийн ерөнхий интегралыг шалгах нь ихэвчлэн хэцүү байдаг - энэ нь маш сайн ялгах техник шаарддаг. Үзсэн жишээн дээр баталгаажуулалтын явцад хамгийн энгийн деривативуудыг олох шаардлагагүй байсан (хэдийгээр жишээ нь өөрөө маш энгийн). Хэрэв та үүнийг шалгаж чадвал шалгаарай!

Жишээ 2

Тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн байдлыг шалгаж, ерөнхий интегралыг ол.

Хариултыг маягт дээр бичнэ үү

Энэ бол жишээ юм бие даасан шийдвэр- ингэснээр та үйлдлийн алгоритмыг өөрөө өөртөө тав тухтай байлгах болно. Та чөлөөт цагаараа шалгалт хийж болно, учир нь... Энд энэ нь нэлээд төвөгтэй бөгөөд би үүнийг танилцуулахаас ч санаа зовсонгүй, тэгэхгүй бол та ийм маньяк руу дахин ирэхгүй байх болно :)

Тэгээд одоо амласан нь чухал цэгсэдвийн эхэнд дурдсан,
Би тод хар үсгээр тэмдэглэх болно:

Хэрэв хувиргах явцад бид үржүүлэгчийг "дахин тохируулна" (тогтмол биш)хуваагч руу орвол бид шийдлээ алдах эрсдэлтэй!

Үнэндээ бид эхний жишээн дээр ийм зүйлтэй тулгарсан дифференциал тэгшитгэлийн талаархи танилцуулга хичээл. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх явцад "y" нь хуваагч дээр гарч ирэв: , гэхдээ мэдээжийн хэрэг DE-ийн шийдэл бөгөөд тэгш бус хувирлын (хуваалтын) үр дүнд үүнийг алдах бүх боломж бий! Өөр нэг зүйл бол үүнийг ерөнхий шийдэлд тогтмолын тэг утгаар оруулсан явдал юм. Хуваарийн "X"-ийг дахин тохируулах нь бас үл тоомсорлож болно, учир нь анхны сарнисан байдлыг хангахгүй байна.

Ижил хичээлийн гурав дахь тэгшитгэлтэй ижил төстэй түүх, үүнийг шийдвэрлэх явцад бид хуваагч руу "унасан". Хатуухан хэлэхэд энэ диффузор нь шийдэл мөн эсэхийг шалгах шаардлагатай байсан уу? Эцсийн эцэст, энэ бол! Гэхдээ энд ч гэсэн "бүх зүйл амжилттай болсон" тул энэ функцийг ерөнхий интегралд оруулсан болно цагт.

Хэрэв энэ нь ихэвчлэн "салгаж болох" тэгшитгэлүүдтэй ажилладаг бол нэгэн төрлийн болон бусад диффузоруудад ажиллахгүй байж магадгүй юм. Өндөр магадлалтай.

Энэ хичээл дээр аль хэдийн шийдсэн ажлуудад дүн шинжилгээ хийцгээе: in Жишээ 1 X-г "дахин тохируулах" байсан боловч энэ нь тэгшитгэлийн шийдэл байж чадахгүй. Гэхдээ дотор Жишээ 2бид хуваагдсан , гэхдээ тэр бас "үүнээс мултарсан": учир нь шийдлүүд алдагдах боломжгүй байсан, тэд зүгээр л энд байхгүй. Гэхдээ" аз жаргалтай тохиолдлууд"Мэдээж би үүнийг зориуд зохион байгуулсан бөгөөд бодит байдал дээр ийм зүйл тохиолдох нь үнэн биш юм.

Жишээ 3

Дифференциал тэгшитгэлийг шийд

Энгийн жишээ биш гэж үү? ;-)

Шийдэл:Энэ тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн байдал нь тодорхой боловч - эхний алхам дээрБид хувьсагчдыг салгах боломжтой эсэхийг ҮРГЭЛЖ шалгадаг. Учир нь тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн боловч түүний доторх хувьсагчдыг амархан салгадаг. Тийм ээ, зарим нь байна!

"Салах чадвар" -ыг шалгасны дараа бид орлуулалт хийж, тэгшитгэлийг аль болох хялбаршуулна.

Бид хувьсагчдыг салгаж, зүүн талд "te", баруун талд "x"-ийг цуглуулдаг.

Тэгээд энд ЗОГС. Хуваахдаа бид хоёр функцийг нэг дор алдах эрсдэлтэй. -ээс хойш эдгээр функцууд нь:

Эхний функц нь тэгшитгэлийн шийдэл болох нь ойлгомжтой . Бид хоёр дахь нь шалгадаг - бид мөн түүний деривативыг диффузордоо орлуулдаг:

– зөв тэгш байдлыг олж авсан нь функц нь шийдэл гэсэн үг.

БА Бид эдгээр шийдвэрээ алдах эрсдэлтэй.

Нэмж дурдахад хуваагч нь "X" болж хувирав. гэхдээ орлуулах нь тэг биш гэсэн үг юм. Энэ баримтыг санаарай. Гэхдээ! Шалгахаа мартуузай, нь ЭХ дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл юм. Үгүй ээ.

Энэ бүгдийг тэмдэглээд үргэлжлүүлье:

Би хэлэх ёстой, би зүүн талын интеграл нь илүү муу байж болох юм;

Бид баруун талд ганц логарифм цуглуулж, дөнгө шиднэ.

Одоо зүгээр л урвуу орлуулалт:

Бүх нэр томъёог дараах байдлаар үржүүлье.

Одоо та шалгах хэрэгтэй - "аюултай" шийдлүүд ерөнхий интегралд орсон эсэх. Тийм ээ, хоёр шийдлийг ерөнхий интегралд тогтмолын тэг утгад оруулсан болно: , тиймээс тэдгээрийг нэмэлт байдлаар зааж өгөх шаардлагагүй. хариулах:

ерөнхий интеграл:

Шалгалт. Туршилт ч биш, харин цэвэр таашаал :)

Анхны дифференциал тэгшитгэлийг олж авсан нь шийдлийг зөв олсон гэсэн үг юм.

Үүнийг өөрөө шийдэхийн тулд:

Жишээ 4

Нэг төрлийн байдлын тест хийж, дифференциал тэгшитгэлийг шийднэ

Ерөнхий интегралыг ялгах замаар шалгана уу.

Бүрэн шийдэлмөн хичээлийн төгсгөлд хариулт.

Бэлэн дифференциал бүхий нэгэн төрлийн тэгшитгэл өгөх хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Жишээ 5

Дифференциал тэгшитгэлийг шийд

Энэ их сонирхолтой жишээ, зүгээр л бүхэл бүтэн триллер!

ШийдэлБид үүнийг илүү авсаархан загварчилж хэвших болно. Нэгдүгээрт, оюун санааны хувьд эсвэл ноорог дээр бид хувьсагчдыг энд салгах боломжгүй эсэхийг шалгаад дараа нь бид нэгэн төрлийн байдлын тест хийдэг - энэ нь ихэвчлэн эцсийн ноорог дээр хийгддэггүй. (тусгайлан шаардаагүй бол). Тиймээс шийдэл нь бараг үргэлж оруулгатай эхэлдэг: " Энэ тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн тул орлуулалтыг хийцгээе: ...».

Хэрэв нэгэн төрлийн тэгшитгэл нь бэлэн дифференциал агуулсан байвал түүнийг өөрчилсөн орлуулалтаар шийдэж болно.

Гэхдээ би ийм орлуулалтыг ашиглахыг зөвлөдөггүй, учир нь энэ нь гайхалтай үр дүнд хүрэх болно Хятадын ханатанд нүд, нүд хэрэгтэй байгаа дифференциалууд. Техникийн үүднээс авч үзвэл деривативын "тасархай" тэмдэглэгээ рүү шилжих нь илүү ашигтай бөгөөд бид тэгшитгэлийн бүх нөхцлийг дараахь байдлаар хуваана.

Энд бид аль хэдийн "аюултай" өөрчлөлтийг хийсэн!Тэг дифференциал нь тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамын бүлэгт тохирно. Тэд манай DU-ийн үндэс мөн үү? Анхны тэгшитгэлд орлуулъя:

Хэрэв бид хуваахдаа шийдлийг алдах эрсдэлтэй байсан бол энэ тэгш байдал хүчинтэй байна. мөн бид түүнийг алдсан- тэрнээс хойш сэтгэл хангалуун байхаа больсонүүссэн тэгшитгэл .

Хэрэв бид үүнийг тэмдэглэх хэрэгтэй эхэндээтэгшитгэлийг өгсөн , тэгвэл язгуурын тухай яриа байхгүй болно. Гэхдээ бидэнд байгаа, бид үүнийг цаг тухайд нь барьж авсан.

Бид шийдлийг стандарт солих замаар үргэлжлүүлнэ:
:

Орлуулсны дараа бид тэгшитгэлийг аль болох хялбарчилж байна.

Бид хувьсагчдыг ялгадаг:

Энд дахин ЗОГС: хуваахдаа бид хоёр функцээ алдах эрсдэлтэй. -ээс хойш эдгээр функцууд нь:

Эхний функц нь тэгшитгэлийн шийдэл болох нь ойлгомжтой . Бид хоёр дахь нь шалгадаг - бид мөн түүний деривативыг орлуулдаг:

- хүлээн авсан жинхэнэ тэгш байдал, энэ нь функц нь мөн дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл гэсэн үг юм.

Мөн хуваахдаа бид эдгээр шийдлүүдийг алдах эрсдэлтэй. Гэсэн хэдий ч тэд ерөнхий интегралд орж болно. Гэхдээ тэд орохгүй байж магадгүй юм

Үүнийг анхаарч, хоёр хэсгийг нэгтгэцгээе:

Зүүн талын интегралыг стандарт аргаар шийддэг бүтэн квадратыг онцлон тэмдэглэв, гэхдээ энэ нь диффузорт ашиглахад илүү тохиромжтой тодорхойгүй коэффициентийн арга:

Тодорхой бус коэффициентийн аргыг ашиглан бид интегралыг нийлбэр болгон өргөжүүлнэ энгийн бутархай:


Тиймээс:

Интегралуудыг олох нь:

– Бид зөвхөн логарифм зурсан тул тогтмолыг логарифмын доор шахдаг.

Солихын өмнө хялбаршуулж болох бүх зүйлийг дахин хялбарчилж байна:

Гинжийг дахин тохируулах:

Мөн урвуу орлуулалт:

Одоо "алдагдсан зүйлс" -ийн талаар эргэн санацгаая: шийдэл нь ерөнхий интегралд багтсан боловч "кассын хажуугаар өнгөрчээ", учир нь хуваагч болж хувирсан. Тиймээс, хариултанд энэ нь тусдаа хэллэгээр шагнагдсан бөгөөд тийм ээ - алдагдсан шийдлийн талаар бүү мартаарай, энэ нь мөн доор байна.

Хариулт:ерөнхий интеграл: . Илүү олон шийдэл:

Энд ерөнхий шийдлийг илэрхийлэх нь тийм ч хэцүү биш юм:
, гэхдээ энэ нь аль хэдийн шоу болсон.

Гэхдээ шалгахад тохиромжтой. Деривативыг олцгооё:

ба орлуулах В зүүн талтэгшитгэл:

- үр дүнд нь хүлээн авсан баруун хэсэгтэгшитгэл, энэ нь шалгах шаардлагатай зүйл юм.

Дараахь диффузор нь дангаараа:

Жишээ 6

Дифференциал тэгшитгэлийг шийд

Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт. Дадлага хийхийн тулд энд ерөнхий шийдлийг нэгэн зэрэг илэрхийлэхийг хичээгээрэй.

Хичээлийн эцсийн хэсэгт бид энэ сэдвээр хэд хэдэн ердийн даалгавруудыг авч үзэх болно.

Жишээ 7

Дифференциал тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл:Зуурсан замаар явцгаая. Энэ тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн тул орлуулалтыг хийцгээе:

Энд "X" сайн байна, гэхдээ квадрат гурвалжингийн талаар юу хэлэх вэ? Энэ нь хүчин зүйлд задардаггүй тул: , тэгвэл бид шийдлээ алдахгүй нь гарцаагүй. Энэ нь үргэлж ийм байх болно! Зүүн талд байгаа бүтэн квадратыг сонгоод нэгтгэнэ үү:

Энд хялбарчлах зүйл байхгүй тул урвуу орлуулалт:

Хариулт:ерөнхий интеграл:

Жишээ 8

Дифференциал тэгшитгэлийг шийд

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм.

Тэгэхээр:

Тэгш бус хөрвүүлэлтийг ҮРГЭЛЖ шалгана уу (ядаж амаар), Та шийдлүүдээ алдаж байна уу?Эдгээр өөрчлөлтүүд юу вэ? Ер нь ямар нэг зүйлийг богиносгож, хуваах. Жишээлбэл, хуваахдаа функцууд нь дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл мөн эсэхийг шалгах хэрэгтэй. Үүний зэрэгцээ, хуваах үед ийм шалгалт хийх шаардлагагүй болсон - энэ хуваагч тэг рүү ордоггүй тул.

Энд бас нэг нь байна аюултай нөхцөл байдал:

Эндээс салахын тулд DE нь шийдэл мөн эсэхийг шалгах хэрэгтэй. Ихэнхдээ "x" ба "y"-г ийм үржүүлэгч болгон ашигладаг бөгөөд тэдгээрийг багасгаснаар бид шийдэл болж хувирах функцүүдээ алддаг.

Нөгөөтэйгүүр, хэрэв ямар нэг зүйл ЭХНЭЭД хуваагч дээр байгаа бол ийм санаа зовох шалтгаан байхгүй. Тиймээс нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн хувьд энэ нь хуваарьт "зарлагдсан" тул функцийн талаар санаа зовох хэрэггүй болно.

Жагсаалтад орсон нарийн ширийн зүйлс нь асуудал нь зөвхөн тодорхой шийдлийг олохыг шаарддаг байсан ч ач холбогдлоо алдахгүй. Бидэнд шаардлагатай тодорхой шийдлийг алдах магадлал бага ч гэсэн бий. Энэ үнэн үү Кошигийн асуудалнэгэн төрлийн тэгшитгэл бүхий практик даалгавруудад үүнийг маш ховор асуудаг. Гэсэн хэдий ч нийтлэлд ийм жишээнүүд байдаг Нэг төрлийн болгон бууруулж буй тэгшитгэлүүд, үүнийг шийдвэрлэх чадвараа бэхжүүлэхийн тулд "өсгий дээр халуун" судлахыг зөвлөж байна.

Мөн илүү төвөгтэй нэгэн төрлийн тэгшитгэлүүд байдаг. Хэцүү байдал нь хувьсагчийн өөрчлөлт, хялбарчлахад биш, харин хувьсагчдыг салгасны үр дүнд бий болсон нэлээд хэцүү буюу ховор интегралд оршдог. Ийм нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдлийн жишээнүүд надад байна - аймшигтай интеграл ба аймшигтай хариултууд. Гэхдээ бид тэдний талаар ярихгүй, учир нь дараагийн хичээлүүдэд (доороос үзнэ үү)Чамайг тамлах цаг надад байсаар байна, би чамайг шинэлэг, өөдрөг байхыг харахыг хүсч байна!

Сайхан сурталчилгаа!

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 2: Шийдэл:Үүний тулд анхны тэгшитгэлд нэг төрлийн тэгшитгэлийг шалгацгаая оронд ньорлуулъя, ба оронд ньорлуулъя:

Үүний үр дүнд анхны тэгшитгэлийг олж авсан бөгөөд энэ нь DE нь нэгэн төрлийн байна гэсэн үг юм.

Одоогийн байдлаар математикийн үндсэн түвшний дагуу ахлах сургуульд математикийг судлахад ердөө 4 цаг (алгебрийн 2 цаг, геометрийн 2 цаг) олгодог. Хөдөө орон нутгийн жижиг сургуулиудад сургуулийн бүрэлдэхүүн хэсэгтэй холбоотойгоор цагийн тоог нэмэгдүүлэхийг хичээж байна. Гэхдээ хэрэв анги нь хүмүүнлэгийн шинж чанартай бол хүмүүнлэгийн хичээлийг судлах сургуулийн бүрэлдэхүүн хэсгийг нэмдэг. Жижиг тосгонд сургуулийн сурагчид тэр ангид сурдаг сонголт байдаггүй; үүнийг сургуульд авах боломжтой. Тэрээр хуульч, түүхч, сэтгүүлч болох бодолгүй (ийм тохиолдол байдаг) инженер, эдийн засагч болохыг хүсдэг тул математикийн улсын нэгдсэн шалгалтыг өндөр оноотой өгөх ёстой. Ийм нөхцөлд математикийн багш одоогийн нөхцөл байдлаас гарах арга замыг хайж олох ёстой бөгөөд Колмогоровын сурах бичигт "нэг төрлийн тэгшитгэл" гэсэн сэдвийг судлах боломжгүй болно. Өнгөрсөн жилүүдэд энэ сэдвийг танилцуулж, бататгахын тулд надад хоёр давхар хичээл хэрэгтэй байсан. Харамсалтай нь манай боловсролын хяналтын шалгалтаас сургууль дээр давхар хичээл хийхийг хориглосон тул дасгалын тоог 45 минут болгож, үүний дагуу дасгалын хүндрэлийн түвшинг дунд зэрэг болгон бууруулсан. Би 10-р ангид энэ сэдвээр хийсэн хичээлийн төлөвлөгөөг та бүхэнд хүргэж байна үндсэн түвшинхөдөөгийн жижиг сургуульд математикийн чиглэлээр суралцдаг.

Хичээлийн төрөл: уламжлалт.

Зорилтот: ердийн нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийдэж сурах.

Даалгаврууд:

Танин мэдэхүйн:

Хөгжлийн:

Боловсролын:

• Даалгавраа тэвчээртэй биелүүлснээр шаргуу хөдөлмөрлөх, хос, бүлгээр ажиллах замаар нөхөрлөлийн мэдрэмжийг бий болгох.

Хичээлийн үеэр

I.Зохион байгуулалтын үе шат(3 мин.)

II. Шинэ материалыг эзэмшихэд шаардлагатай мэдлэгийг шалгах (10 мин.)

Гүйцэтгэсэн даалгаврын цаашдын дүн шинжилгээ хийх гол бэрхшээлийг тодорхойлох. Залуус 3 сонголтыг сонгоно. Даалгавруудыг хүүхдүүдийн хүндрэлийн зэрэг, бэлэн байдлын түвшингээр нь ялгаж, дараа нь самбар дээр тайлбарлана.

1-р түвшин. Тэгшитгэлийг шийд:

1. 3(x+4)=12,
2. 2(х-15)=2х-30
3. 5(2x)=-3x-2(x+5)
4. x 2 -10x+21=0 Хариултууд: 7;3

2-р түвшин. Хамгийн энгийнийг нь шийд тригонометрийн тэгшитгэлба биквадрат тэгшитгэл:

хариултууд:

b) x 4 -13x 3 +36=0 Хариултууд: -2; 2; -3; 3

3-р түвшин.Хувьсагчийг өөрчлөх замаар тэгшитгэлийг шийдвэрлэх:

b) x 6 -9x 3 +8=0 Хариултууд:

III.Сэдвийг дамжуулах, зорилго, зорилтыг тодорхойлох.

Сэдэв: Нэг төрлийн тэгшитгэл

Зорилтот: ердийн нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийдэж сурах

Даалгаврууд:

Танин мэдэхүйн:

• нэгэн төрлийн тэгшитгэлтэй танилцах, ийм тэгшитгэлийн хамгийн түгээмэл төрлүүдийг шийдэж сурах.

Хөгжлийн:

• Аналитик сэтгэлгээг хөгжүүлэх.
• Математикийн ур чадварыг хөгжүүлэх: нэгэн төрлийн тэгшитгэл нь бусад тэгшитгэлээс ялгагдах үндсэн шинж чанаруудыг тодорхойлж сурах, нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ижил төстэй байдлыг янз бүрийн илрэлүүдээр тогтоох чадвартай байх.

IV. Шинэ мэдлэг сурах (15 мин.)

1. Лекцийн мөч.

Тодорхойлолт 1(Тэмдэглэлийн дэвтэрт бичнэ үү). P(x;y)=0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг P(x;y) нь нэгэн төрлийн олон гишүүнт бол нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг.

х ба у хоёр хувьсагчийн олон гишүүнт гишүүний гишүүн бүрийн зэрэг нь ижил k тоотой тэнцүү бол түүнийг нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 2(Зөвхөн танилцуулга). Маягтын тэгшитгэл

u(x) ба v(x)-ийн хувьд n зэрэгтэй нэгэн төрлийн тэгшитгэл гэнэ. Тэгшитгэлийн хоёр талыг (v(x))n-д хувааснаар тэгшитгэлийг олж авахын тулд орлуулалтыг ашиглаж болно.

Энэ нь бидэнд анхны тэгшитгэлийг хялбарчлах боломжийг олгодог. v(x)=0 тохиолдлыг 0-д хуваах боломжгүй тул тусад нь авч үзэх шаардлагатай.

2. Нэг төрлийн тэгшитгэлийн жишээ:

Тайлбарла: яагаад тэд нэгэн төрлийн байдаг, ийм тэгшитгэлийн жишээг өг.

3. Нэг төрлийн тэгшитгэлийг тодорхойлох даалгавар:

дунд өгөгдсөн тэгшитгэлүүдНэг төрлийн тэгшитгэлийг тодорхойлж, сонголтоо тайлбарла:

Сонголтоо тайлбарласны дараа нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхийг харуулах жишээнүүдийн аль нэгийг ашиглана уу.

4. Өөрөө шийдэх:

Хариулт:

b) 2sin x – 3 cos x =0

Тэгшитгэлийн хоёр талыг cos x-д хуваавал 2 tg x -3=0, tg x=⅔ , x=arctg⅔ + болно.

5. Товхимолоос жишээ болгон шийдлийг үзүүл“П.В. Чулков. Сургуулийн математикийн хичээлийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдал. Москвагийн багшийн их сургууль “9-р сарын 1” 2006 х.22.” Боломжтой зүйлсийн нэг Улсын нэгдсэн шалгалтын жишээтүвшин C.

В. Башмаковын сурах бичгийг ашиглан нэгтгэх асуудлыг шийднэ үү

хуудас 183 No 59 (1.5) эсвэл Колмогоровын найруулсан сурах бичгийн дагуу: хуудас 81 No 169 (а, в)

хариултууд:

VI. Туршилт, бие даасан ажил (7 мин.)

1 сонголт	Сонголт 2
Тэгшитгэлийг шийдэх:
a) sin 2 x-5sinxcosx+6cos 2 x=0	a) 3sin 2 x+2sin x cos x-2cos 2 x=0
b) cos 2 -3sin 2 =0	б)

Даалгаврын хариулт:

Сонголт 1 a) Хариулт: arctan2+πn,n € Z; b) Хариулт: ±π/2+ 3πn,n € Z; V)

Сонголт 2 a) Хариулт: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; b) Хариулт: -arctg3+πn, 0.25π+πk, ; в) (-5;-2); (5;2)

VII. Гэрийн даалгавар

Колмогоровын дагуу 169 дугаар, Башмаковын дагуу 59 дугаар.

Үүнээс гадна тэгшитгэлийн системийг шийд:

Хариулт: арктан(-1±√3) +πn,

Лавлагаа:

1. П.В. Чулков. Сургуулийн математикийн хичээлийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдал. – М.: Багшийн их сургууль “Есдүгээр сарын нэгэн”, 2006. 22-р тал
2. А.Мерзляк, В.Полонский, Е.Рабинович, М.Якир. Тригонометр. – М.: “AST-PRESS”, 1998, 389-р тал
3. 8-р ангийн алгебр, Н.Я. Виленкина. – М.: “Гэгээрэл”, 1997 он.
4. 9-р ангийн алгебр, Н.Я. Виленкина. Москва "Гэгээрэл", 2001 он.
5. М.И. Башмаков. Алгебр ба шинжилгээний эхлэл. 10-11-р ангийн хувьд - М.: "Гэгээрэл" 1993 он
6. Колмогоров, Абрамов, Дудницын. Алгебр ба шинжилгээний эхлэл. 10-11 ангийн хувьд. – М.: “Гэгээрэл”, 1990 он.
7. А.Г. Мордкович. Алгебр ба шинжилгээний эхлэл. 1-р хэсэг 10-11-р ангийн сурах бичиг. - М.: "Мнемосине", 2004 он.

1-р эрэмбийн нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд u=y/x орлуулалтыг ашиглана, өөрөөр хэлбэл u нь x-ээс хамаарах шинэ үл мэдэгдэх функц болно. Тиймээс y=ux. Бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг ашиглан y’ деривативыг олно: y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u (х’=1 тул). Тэмдэглэгээний өөр хэлбэрийн хувьд: dy = udx + xdu орлуулсны дараа бид тэгшитгэлийг хялбарчилж, салгаж болох хувьсагчтай тэгшитгэлд хүрнэ.

1-р эрэмбийн нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээ.

1) Тэгшитгэлийг шийд

Бид энэ тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн эсэхийг шалгадаг (Нэг төрлийн тэгшитгэлийг хэрхэн тодорхойлохыг үзнэ үү). Итгэл үнэмшилтэй болсны дараа бид u=y/x орлуулалтыг хийнэ, үүнээс y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Орлуулах: u’x+u=u(1+ln(ux)-lnx). Бүтээгдэхүүний логарифмаас хойш нийлбэртэй тэнцүү байналогарифм, ln(ux)=lnu+lnx. Эндээс

u'x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). Ижил нэр томъёог авчирсны дараа: u’x+u=u(1+lnu). Одоо хаалтуудыг нээ

u’x+u=u+ul·lnu. Хоёр тал нь u-г агуулдаг тул u’x=ul·lnu. u нь х-ийн функц учраас u’=du/dx. Орлуулж үзье

Бид салж болох хувьсагчтай тэгшитгэлийг олж авлаа. Бид хоёр хэсгийг dx-ээр үржүүлж, x·ul·lnu-д хуваах замаар хувьсагчдыг салгаж, x·ul·lnu≠0 үржвэртэй байна.

Нэгтгэцгээе:

Зүүн талд хүснэгтийн интеграл байна. Баруун талд - бид t=lnu орлуулалтыг хийнэ, эндээс dt=(lnu)’du=du/u

ln│t│=ln│x│+C. Гэхдээ ийм тэгшитгэлд C-ийн оронд ln│C│ авах нь илүү тохиромжтой гэдгийг бид аль хэдийн хэлэлцсэн. Дараа нь

ln│t│=ln│x│+ln│C│. Логарифмын шинж чанарын дагуу: ln│t│=ln│Сx│. Тиймээс t=Cx. (нөхцөлөөр, x>0). Урвуу орлуулалт хийх цаг болжээ: lnu=Cx. Мөн өөр нэг урвуу орлуулалт:

Логарифмын шинж чанараар:

Энэ бол тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл юм.

Бид x·ul·lnu≠0 (тиймээс x≠0,u≠0, lnu≠0, эндээс u≠1) бүтээгдэхүүний нөхцөлийг санаж байна. Харин нөхцөлөөс x≠0, u≠1 хэвээр байгаа тул x≠y. Ерөнхий шийдэлд y=x (x>0) орсон нь ойлгомжтой.

2) y(1)=2 анхны нөхцлүүдийг хангасан y’=x/y+y/x тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн интегралыг ол.

Нэгдүгээрт, бид энэ тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн эсэхийг шалгана (хэдийгээр y/x ба x/y нэр томъёо байгаа нь үүнийг шууд бусаар харуулж байна). Дараа нь бид u=y/x орлуулалтыг хийнэ, үүнээс y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Бид үүссэн илэрхийлэлийг тэгшитгэлд орлуулна.

u'x+u=1/u+u. Хялбарчилъя:

u'x=1/u. u нь x-ийн функц учраас u’=du/dx:

Бид салж болох хувьсагчтай тэгшитгэлийг олж авлаа. Хувьсагчдыг салгахын тулд бид хоёр талыг dx болон u-ээр үржүүлж, x-д хуваана (х≠0 нөхцөлөөр, тэгэхээр u≠0 ч гэсэн шийдэл алдагдахгүй гэсэн үг).

Нэгтгэцгээе:

ба хоёр тал нь хүснэгтэн интеграл агуулдаг тул бид шууд олж авна

Бид урвуу орлуулалтыг гүйцэтгэдэг:

Энэ бол тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл юм. Бид анхны нөхцөл y(1)=2-г ашиглан, өөрөөр хэлбэл y=2, x=1-ийг үр дүнгийн шийдэлд орлуулна.

3) Нэг төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий интегралыг ол:

(x²-y²)dy-2xydx=0.

Орлуулах u=y/x, эндээс y=ux, dy=xdu+udx. Орлуулж үзье:

(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. Бид хаалтнаас x²-г гаргаж, хоёр хэсгийг нь хуваана (х≠0 өгсөн):

x²(1-u²)(xdu+udx)-2ux²dx=0

(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. Хаалтуудыг нээж, хялбаршуулна уу:

xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0,

xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. Бид нэр томъёог du болон dx-ээр бүлэглэдэг:

(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. Нийтлэг хүчин зүйлсийг хаалтнаас хасъя:

x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. Бид хувьсагчдыг ялгадаг:

x(1-u²)du=u(u²+1)dx. Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлийн хоёр талыг xu(u²+1)≠0 гэж хуваана (үүний дагуу бид x≠0 (аль хэдийн тэмдэглэсэн), u≠0 шаардлагыг нэмнэ):

Нэгтгэцгээе:

Тэгшитгэлийн баруун талд хүснэгтэн интеграл байна. рационал бутархайзүүн талд бид үүнийг үндсэн хүчин зүйл болгон хуваана:

(эсвэл хоёр дахь интегралд дифференциал тэмдгийг орлуулахын оронд t=1+u², dt=2udu - хэн дуртай нь аль арга нь илүү болохыг солих боломжтой байсан). Бид авах:

Логарифмын шинж чанарын дагуу:

Урвуу солих

Бид u≠0 нөхцөлийг санаж байна. Тиймээс y≠0. C=0 y=0 үед уусмалын алдагдал байхгүй, y=0 нь ерөнхий интегралд орно.

Сэтгэгдэл

Хэрэв та нэр томъёог зүүн талд x-тэй үлдээвэл өөр хэлбэрээр бичсэн шийдлийг авч болно.

Энэ тохиолдолд интеграл муруйны геометрийн утга нь Ой тэнхлэг дээр төвүүдтэй, гарал үүслийг дайран өнгөрдөг тойргийн гэр бүл юм.

Өөрийгөө шалгах даалгавар:

1) (x²+y²)dx-xydy=0

1) Бид тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн эсэхийг шалгасны дараа u=y/x, эндээс y=ux, dy=xdu+udx гэж орлуулна. Нөхцөлд орлуулна: (x²+x²u²)dx-x²u(xdu+udx)=0. Тэгшитгэлийн хоёр талыг x²≠0-д хуваавал (1+u²)dx-u(xdu+udx)=0 болно. Эндээс dx+u²dx-xudu-u²dx=0. Хялбаршуулж хэлэхэд бид дараах байдалтай байна: dx-xudu=0. Иймээс xudu=dx, udu=dx/x. Хоёр хэсгийг нэгтгэж үзье: