Хоёр векторын хоорондох өнцгийн косинусыг олох томъёо. Векторуудын цэгэн үржвэр

Скаляр бүтээгдэхүүнвекторууд

Бид векторуудтай үргэлжлүүлэн харьцдаг. Эхний хичээл дээр Дамми нарт зориулсан векторуудБид векторын тухай ойлголт, вектортой үйлдэл, вектор координат, вектортой холбоотой хамгийн энгийн бодлогуудыг авч үзсэн. Хэрэв та хайлтын системээс анх удаа энэ хуудсанд ирсэн бол дээрх танилцуулга өгүүллийг уншихыг зөвлөж байна, учир нь материалыг эзэмшихийн тулд та миний ашигладаг нэр томъёо, тэмдэглэгээтэй танилцах хэрэгтэй. үндсэн мэдлэгвекторуудын тухай, анхан шатны бодлогуудыг шийдвэрлэх чадвартай байх. Энэ хичээл нь сэдвийн логик үргэлжлэл бөгөөд би векторуудын скаляр үржвэрийг ашигладаг ердийн даалгавруудыг нарийвчлан шинжлэх болно. Энэ их ЧУХАЛ үйл ажиллагаа . Эдгээр жишээнүүдийг алгасахгүй байхыг хичээгээрэй, тэдгээр нь ашигтай урамшуулалтай байдаг - дадлага нь танд хамрагдсан материалыг нэгтгэж, аналитик геометрийн нийтлэг асуудлуудыг илүү сайн шийдвэрлэхэд тусална.

Вектор нэмэх, векторыг тоогоор үржүүлэх.... Математикчид өөр юм бодож олоогүй гэж бодох нь гэнэн хэрэг болно. Өмнө нь хэлэлцсэн үйлдлүүдээс гадна векторуудтай өөр хэд хэдэн үйлдлүүд байдаг, тухайлбал: векторуудын цэгэн үржвэр, векторуудын вектор үржвэрТэгээд векторуудын холимог бүтээгдэхүүн. Векторуудын скаляр үржвэр нь бидэнд сургуулиас танил болсон, бусад хоёр бүтээгдэхүүн нь дээд математикийн курст хамаардаг. Сэдвүүд нь энгийн, олон асуудлыг шийдэх алгоритм нь энгийн бөгөөд ойлгомжтой. Цорын ганц зүйл. Тохиромжтой хэмжээний мэдээлэл байгаа тул бүх зүйлийг нэг дор эзэмшиж, шийдэхийг оролдох нь зохисгүй юм. Энэ нь дамми нарын хувьд үнэн юм, надад итгээрэй, зохиолч математикийн Чикатило шиг мэдрэхийг огт хүсэхгүй байна. Яахав, математикийн хичээлээс ч биш, мэдээжийн хэрэг =) Илүү бэлтгэлтэй оюутнууд материалаа сонгон ашиглах боломжтой, тодорхой утгаараа дутуу мэдлэгийг "авах" болно би таны хувьд хор хөнөөлгүй Гүн Дракула болно =)

Эцэст нь хаалгаа онгойлгож, хоёр вектор бие биетэйгээ уулзах үед юу болохыг урам зоригтойгоор харцгаая ...

Векторуудын скаляр үржвэрийн тодорхойлолт.
Скаляр бүтээгдэхүүний шинж чанарууд. Ердийн даалгаварууд

Цэгтэй бүтээгдэхүүний тухай ойлголт

Эхлээд тухай векторуудын хоорондох өнцөг. Хүн бүр векторуудын хоорондох өнцөг гэж юу болохыг зөн совингоор ойлгодог гэж би бодож байна, гэхдээ ямар ч тохиолдолд арай илүү дэлгэрэнгүй. Үнэгүй тэгээс бусад векторуудыг авч үзье. Хэрэв та эдгээр векторуудыг дурын цэгээс зурвал олон хүний ​​төсөөлж байсан зураг гарч ирнэ.

Би хүлээн зөвшөөрч байна, би энд нөхцөл байдлыг зөвхөн ойлголтын түвшинд тайлбарласан. Хэрэв танд векторуудын хоорондох өнцгийн нарийн тодорхойлолт хэрэгтэй бол практик асуудлуудыг сурах бичигт хандана уу, энэ нь зарчмын хувьд бидэнд ашиггүй болно. Мөн ЭНД БА ЭНД практик ач холбогдол багатай тул би тэг векторуудыг үл тоомсорлох болно. Би сайтын ахисан түвшний зочдод тусгайлан захиалга өгсөн бөгөөд энэ нь дараагийн мэдэгдлүүдийн онолын хувьд бүрэн бус байна гэж намайг зэмлэж магадгүй юм.

0-ээс 180 градус хүртэл (0-ээс радиан хүртэл) утгыг авч болно. Аналитик байдлаар энэ баримтыг давхар тэгш бус байдлын хэлбэрээр бичсэн болно. эсвэл (радианаар).

Уран зохиолд өнцгийн тэмдгийг орхигдуулж, зүгээр л бичдэг.

Тодорхойлолт:Хоёр векторын скаляр үржвэр нь эдгээр векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусын үржвэртэй тэнцүү ТООН юм.

Одоо энэ бол нэлээд хатуу тодорхойлолт юм.

Бид чухал мэдээлэлд анхаарлаа хандуулдаг:

Зориулалт:скаляр үржвэрийг эсвэл энгийнээр тэмдэглэнэ.

Үйлдлийн үр дүн нь ДУГААР юм: Векторыг вектороор үржүүлэх ба үр дүн нь тоо юм. Үнэн хэрэгтээ, векторуудын урт нь тоо, өнцгийн косинус нь тоо бол тэдгээрийн үржвэр мөн тоо байх болно.

Халаалтын хэдхэн жишээ:

Жишээ 1

Шийдэл:Бид томъёог ашигладаг . IN энэ тохиолдолд:

Хариулт:

Косинусын утгыг эндээс олж болно тригонометрийн хүснэгт. Би үүнийг хэвлэхийг зөвлөж байна - энэ нь цамхагийн бараг бүх хэсэгт шаардлагатай бөгөөд олон удаа хэрэг болно.

Цэвэр математикийн үүднээс авч үзвэл скаляр үржвэр нь хэмжээсгүй, өөрөөр хэлбэл үр дүн нь энэ тохиолдолд зүгээр л тоо юм. Физикийн асуудлын үүднээс авч үзвэл скаляр бүтээгдэхүүн нь үргэлж тодорхой физик утгатай байдаг, өөрөөр хэлбэл үр дүнгийн дараа нэг буюу өөр физик нэгжийг зааж өгөх ёстой. Хүчний ажлыг тооцоолох каноник жишээг ямар ч сурах бичгээс олж болно (томьёо нь яг скаляр бүтээгдэхүүн). Хүчний ажлыг Joules-ээр хэмждэг тул хариултыг тусгайлан бичих болно, жишээлбэл, .

Жишээ 2

Хэрвээ олоорой , ба векторуудын хоорондох өнцөг нь тэнцүү байна.

Энэ бол жишээ юм бие даасан шийдвэр, хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Векторуудын хоорондох өнцөг ба цэгийн бүтээгдэхүүний утга

Жишээ 1-д скаляр үржвэр эерэг, 2-р жишээнд сөрөг байна. Скаляр үржвэрийн тэмдэг юунаас хамаардаг болохыг олж мэдье. Бидний томъёог харцгаая: . Тэг биш векторуудын урт нь үргэлж эерэг байдаг: , тиймээс тэмдэг нь зөвхөн косинусын утгаас хамаарна.

Жич: Доорх мэдээллийг илүү сайн ойлгохын тулд гарын авлага дахь косинусын графикийг судлах нь дээр Функцийн график ба шинж чанарууд. Косинус сегмент дээр хэрхэн ажиллахыг харна уу.

Өмнө дурьдсанчлан, векторуудын хоорондох өнцөг нь дотроо янз бүр байж болно , мөн тэр үед боломжтой дараах тохиолдлууд:

1) Хэрэв буланвекторуудын хооронд халуун ногоотой: (0-ээс 90 градус хүртэл), дараа нь , Мөн цэгийн бүтээгдэхүүн эерэг байх болно хамтран найруулсан, дараа нь тэдгээрийн хоорондох өнцгийг тэг гэж үзэх бөгөөд скаляр үржвэр нь мөн эерэг байх болно. -ээс хойш томьёо нь: .

2) Хэрэв буланвекторуудын хооронд мохоо: (90-ээс 180 градус хүртэл), дараа нь , мөн үүний дагуу, цэгийн бүтээгдэхүүн сөрөг байна: . Онцгой тохиолдол: хэрэв векторууд эсрэг чиглэлүүд, дараа нь тэдгээрийн хоорондох өнцгийг харгалзан үзнэ өргөтгөсөн: (180 градус). Скаляр бүтээгдэхүүн нь мөн сөрөг байна, оноос хойш

Эсрэг заалтууд нь бас үнэн юм:

1) Хэрэв бол эдгээр векторуудын хоорондох өнцөг хурц байна. Эсвэл векторууд нь хамтарсан чиглэлтэй байдаг.

2) Хэрэв бол эдгээр векторуудын хоорондох өнцөг нь мохоо байна. Эсвэл векторууд эсрэг чиглэлд байна.

Гэхдээ гурав дахь тохиолдол нь онцгой анхаарал татаж байна:

3) Хэрэв буланвекторуудын хооронд Чигээрээ: (90 градус), дараа нь скаляр үржвэр нь тэг байна: . Эсрэг заалт нь бас үнэн: хэрэв , тэгвэл . Мэдэгдэлийг дараах байдлаар товчхон томъёолж болно. Хоёр векторын скаляр үржвэр нь зөвхөн векторууд ортогональ байвал тэг болно. Богино математик тэмдэглэгээ:

! Анхаарна уу : Дахин хэлье математик логикийн үндэс: Хоёр талт логик үр дагаврын дүрс тэмдэг нь ихэвчлэн "хэрэв ба зөвхөн бол", "хэрэв л бол" гэж уншдаг. Таны харж байгаагаар сумнууд нь хоёр чиглэлд чиглэгддэг - "Үүнээс хойш үүнийг дагадаг, эсрэгээр - үүнийг дагадаг." Дашрамд хэлэхэд нэг талын дагах дүрсээс юугаараа ялгаатай вэ? Дүрсэнд заасан байдаг зөвхөн тэр, "Үүнээс үүнтэй холбоотой" гэсэн бөгөөд энэ нь эсрэгээрээ байгаа нь үнэн биш юм. Жишээ нь: , гэхдээ амьтан бүр ирвэс биш, тиймээс энэ тохиолдолд та дүрсийг ашиглах боломжгүй. Үүний зэрэгцээ, дүрсний оронд Чадахнэг талын дүрсийг ашиглах. Жишээлбэл, асуудлыг шийдвэрлэх явцад бид векторууд нь ортогональ байна гэж дүгнэсэн болохыг олж мэдсэн. - ийм оруулга нь зөв, бүр илүү тохиромжтой байх болно .

Гурав дахь тохиолдол нь практик ач холбогдолтой юм, учир нь энэ нь векторууд ортогональ эсэхийг шалгах боломжийг олгодог. Бид энэ асуудлыг хичээлийн хоёрдугаар хэсэгт шийдэх болно.

Цэг бүтээгдэхүүний шинж чанарууд

Хоёр вектор байх үеийн нөхцөл байдал руу буцаж орцгооё хамтран найруулсан. Энэ тохиолдолд тэдгээрийн хоорондох өнцөг тэг, , скаляр үржвэрийн томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

Хэрэв векторыг өөрөө үржүүлбэл юу болох вэ? Вектор нь өөртэйгөө таарч байгаа нь ойлгомжтой тул дээрх хялбаршуулсан томъёог ашиглана.

дугаарыг дуудаж байна скаляр квадратвектор бөгөөд гэж тэмдэглэнэ.

Тиймээс, векторын скаляр квадрат нь өгөгдсөн векторын уртын квадраттай тэнцүү байна.

Энэ тэгшитгэлээс бид векторын уртыг тооцоолох томъёог авч болно.

Одоогоор энэ нь тодорхойгүй мэт санагдаж байгаа ч хичээлийн зорилго бүх зүйлийг өөрийн байрандаа тавих болно. Асуудлыг шийдэхийн тулд бидэнд бас хэрэгтэй цэгийн бүтээгдэхүүний шинж чанар.

Дурын векторууд болон дурын тооны хувьд, дараах шинж чанарууд:

1) – солигдох буюу хувирахскаляр бүтээгдэхүүний хууль.

2) – хуваарилалт эсвэл түгээхскаляр бүтээгдэхүүний хууль. Энгийнээр та хаалтуудыг нээж болно.

3) – ассоциатив буюу ассоциативскаляр бүтээгдэхүүний хууль. Тогтмолыг скаляр үржвэрээс гаргаж болно.

Ихэнхдээ бүх төрлийн өмч хөрөнгийг (үүнийг бас нотлох шаардлагатай!) оюутнууд шаардлагагүй хог хаягдал гэж ойлгодог бөгөөд үүнийг шалгалтын дараа шууд цээжилж, аюулгүйгээр мартах хэрэгтэй. Энд хамгийн чухал зүйл бол хүчин зүйлсийг дахин тохируулах нь бүтээгдэхүүнийг өөрчлөхгүй гэдгийг хүн бүр нэгдүгээр ангиасаа мэддэг байх шиг байна: . Дээд математикийн хувьд ийм арга барилаар аливаа зүйлийг хутгах нь амархан гэдгийг би танд анхааруулах ёстой. Тиймээс, жишээлбэл, солих шинж чанар нь үнэн биш юм алгебрийн матрицууд. Энэ нь бас үнэн биш юм векторуудын вектор үржвэр. Тиймээс, та юу хийж чадах, юу хийж чадахгүй гэдгээ ойлгохын тулд хамгийн багадаа математикийн дээд курст тааралдсан шинж чанаруудыг судлах нь дээр.

Жишээ 3

.

Шийдэл:Эхлээд векторын нөхцөл байдлыг тодруулъя. Энэ ямар ч байсан юу вэ? Векторуудын нийлбэр нь сайн тодорхойлогдсон вектор бөгөөд үүнийг -ээр тэмдэглэнэ. Вектор бүхий үйлдлийн геометрийн тайлбарыг нийтлэлээс олж болно Дамми нарт зориулсан векторууд. Вектортой ижил яншуй нь векторуудын нийлбэр ба .

Тиймээс нөхцөлийн дагуу скаляр үржвэрийг олох шаардлагатай. Онолын хувьд та өргөдөл гаргах хэрэгтэй ажлын томъёо , гэхдээ асуудал нь бид векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг мэдэхгүй байгаа явдал юм. Гэхдээ нөхцөл нь векторуудын ижил төстэй параметрүүдийг өгдөг тул бид өөр замаар явах болно:

(1) Векторуудын илэрхийлэлийг орлуулах.

(2) Бид олон гишүүнтийг үржүүлэх дүрмийн дагуу хаалтуудыг нээдэг бүдүүлэг хэллэгийг нийтлэлээс олж болно Нарийн төвөгтэй тооэсвэл Бутархай-рационал функцийг нэгтгэх. Би өөрийгөө давтахгүй =) Дашрамд хэлэхэд, скаляр бүтээгдэхүүний тархалтын шинж чанар нь хаалт нээх боломжийг бидэнд олгодог. Бидэнд эрх бий.

(3) Эхний болон сүүлчийн нөхцлүүдэд бид векторуудын скаляр квадратуудыг нягт бичдэг. . Хоёрдахь нэр томъёонд бид скаляр үржвэрийн солигдох чадварыг ашигладаг: .

(4) Бид ижил төстэй нэр томъёог танилцуулж байна: .

(5) Эхний нэр томъёонд бид саяхан дурдсан скаляр квадрат томъёог ашигладаг. Сүүлийн хугацаанд, үүний дагуу ижил зүйл ажилладаг: . Бид хоёр дахь нэр томъёог стандарт томъёоны дагуу өргөжүүлдэг .

(6) Эдгээр нөхцлийг орлуулна уу , мөн эцсийн тооцоог АНХААРУУЛГА хийх.

Хариулт:

Сөрөг утгатайСкаляр үржвэр нь векторуудын хоорондох өнцөг нь мохоо байна гэдгийг харуулж байна.

Асуудал нь ердийн зүйл тул үүнийг өөрөө шийдэх жишээ энд байна.

Жишээ 4

Векторуудын скаляр үржвэрийг олоорой, хэрэв энэ нь мэдэгдэж байвал .

Одоо өөр нэг нийтлэг даалгавар бол векторын уртын шинэ томъёонд зориулагдсан. Энд байгаа тэмдэглэгээ нь бага зэрэг давхцаж байгаа тул тодорхой болгохын тулд би үүнийг өөр үсгээр дахин бичих болно.

Жишээ 5

Хэрэв векторын уртыг ол .

Шийдэлдараах байдалтай байх болно.

(1) Бид векторын илэрхийлэлийг өгдөг.

(2) Бид уртын томъёог ашигладаг: , харин ve илэрхийлэл бүхэлдээ “ve” векторын үүрэг гүйцэтгэдэг.

(3) Бид нийлбэрийн квадратын хувьд сургуулийн томъёог ашигладаг. Энэ нь хэрхэн сониуч байдлаар ажиллаж байгааг анзаараарай: - энэ нь үнэндээ ялгааны квадрат бөгөөд үнэн хэрэгтээ ийм байна. Хүссэн хүмүүс векторуудыг өөрчилж болно: - Нөхцөлүүдийг өөрчлөх хүртэл ижил зүйл тохиолддог.

(4) Дараах нь өмнөх хоёр асуудлаас аль хэдийн танил болсон.

Хариулт:

Бид уртын тухай ярьж байгаа тул хэмжээсийг "нэгж" гэж зааж өгөхөө бүү мартаарай.

Жишээ 6

Хэрэв векторын уртыг ол .

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Бүрэн шийдэлмөн хичээлийн төгсгөлд хариулт.

Бид цэгэн бүтээгдэхүүнээс хэрэгтэй зүйлсийг шахаж гаргасаар байна. Томьёогоо дахин харцгаая . Пропорциональ дүрмийг ашиглан векторуудын уртыг зүүн талын хуваагч руу дахин тохируулна.

Эд ангиудыг сольж үзье:

Энэ томъёоны утга нь юу вэ? Хэрэв хоёр векторын урт ба тэдгээрийн скаляр үржвэр нь мэдэгдэж байгаа бол эдгээр векторуудын хоорондох өнцгийн косинус, улмаар өнцгийг өөрөө тооцоолж болно.

Цэгтэй бүтээгдэхүүн нь тоо мөн үү? Тоо. Векторын урт нь тоо мөн үү? Тоонууд. Энэ нь бутархай нь бас тоо гэсэн үг юм. Хэрэв өнцгийн косинус мэдэгдэж байвал: , дараа нь ашиглана урвуу функцӨнцгийг өөрөө олоход хялбар байдаг: .

Жишээ 7

Хэрэв мэдэгдэж байгаа бол векторуудын хоорондох өнцгийг ол.

Шийдэл:Бид томъёог ашигладаг:

Асаалттай эцсийн шаттооцоололд техникийн аргыг ашигласан - хуваагч дахь үндэслэлгүй байдлыг арилгах. Оновчгүй байдлыг арилгахын тулд тоо, хуваагчийг үржүүлсэн.

Тэгэхээр хэрэв , Тэр нь:

Урвуу утгууд тригонометрийн функцууд-аар олж болно тригонометрийн хүснэгт. Хэдийгээр энэ нь ховор тохиолддог. Аналитик геометрийн асуудалд ихэвчлэн болхи баавгай байдаг бөгөөд өнцгийн утгыг тооцоолуур ашиглан ойролцоогоор олох шаардлагатай байдаг. Үнэндээ бид ийм дүр зургийг нэгээс олон удаа харах болно.

Хариулт:

Дахин хэлэхэд хэмжээсийг - радиан ба градусыг зааж өгөхөө бүү мартаарай. Би хувьдаа "бүх асуултыг шийдвэрлэх" тулд хоёуланг нь зааж өгөхийг илүүд үздэг (хэрэв нөхцөл байдал нь хариултыг зөвхөн радианаар эсвэл зөвхөн градусаар өгөхийг шаарддаггүй бол).

Одоо та илүү төвөгтэй ажлыг бие даан даван туулж чадна:

Жишээ 7*

Векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг өгөгдсөн. , векторуудын хоорондох өнцгийг ол.

Даалгавар нь олон үе шаттай тул тийм ч хэцүү биш юм.
Шийдлийн алгоритмыг харцгаая:

1) Нөхцөлийн дагуу та ба векторуудын хоорондох өнцгийг олох шаардлагатай тул томъёог ашиглах хэрэгтэй. .

2) Скаляр үржвэрийг ол (Жишээ No3, 4-ийг үз).

3) Векторын урт ба векторын уртыг ол (Жишээ No5, 6-г үзнэ үү).

4) Шийдлийн төгсгөл нь жишээ № 7-той давхцаж байна - бид тоог мэддэг бөгөөд энэ нь өнцгийг өөрөө олоход хялбар гэсэн үг юм.

Хичээлийн төгсгөлд товч шийдэл, хариулт.

Хичээлийн хоёр дахь хэсэг нь ижил скаляр бүтээгдэхүүнд зориулагдсан болно. Координатууд. Энэ нь эхний хэсгээс илүү хялбар байх болно.

Векторуудын цэгийн үржвэр,
ортонормаль суурь дээр координатаар өгөгдсөн

Хариулт:

Координатуудтай харьцах нь илүү тааламжтай гэдгийг хэлэх шаардлагагүй.

Жишээ 14

Хэрэв векторуудын скаляр үржвэрийг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Энд та үйлдлийн ассоциацийг ашиглаж болно, өөрөөр хэлбэл тоолохгүй, харин скаляр үржвэрийн гаднах гурвалсан тоог даруй авч, хамгийн сүүлд үржүүлнэ. Шийдэл, хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Хэсгийн төгсгөлд векторын уртыг тооцоолох өдөөн хатгасан жишээ:

Жишээ 15

Векторуудын уртыг ол , Хэрэв

Шийдэл:Өмнөх хэсгийн арга нь дахин санал болгож байна: гэхдээ өөр арга бий:

Векторыг олъё:

Мөн түүний урт нь энгийн томъёоны дагуу:

Цэгтэй бүтээгдэхүүн энд огт хамаагүй!

Энэ нь векторын уртыг тооцоолоход бас ашиггүй:
Зогс. Бид векторын уртын илэрхий шинж чанарыг ашиглах ёстой биш гэж үү? Векторын уртын талаар та юу хэлж чадах вэ? Энэ вектор нь вектороос 5 дахин урт байна. Чиглэл нь эсрэгээрээ, гэхдээ энэ нь хамаагүй, учир нь бид уртын тухай ярьж байна. Мэдээжийн хэрэг, векторын урт нь бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна модульвекторын уртын тоо:
– модулийн тэмдэг нь тухайн тооны боломжит хасахыг “иддэг”.

Тиймээс:

Хариулт:

Координатаар тодорхойлогдсон векторуудын хоорондох өнцгийн косинусын томъёо

одоо бидэнд байна бүрэн мэдээлэл, ингэснээр вектор хоорондын өнцгийн косинусын өмнө гаргаж авсан томьёо вектор координатаар илэрхийлнэ:

Хавтгай векторуудын хоорондох өнцгийн косинусболон , ортонормаль үндэслэлээр тодорхойлсон, томъёогоор илэрхийлнэ:
.

Сансрын векторуудын хоорондох өнцгийн косинус, ортонормаль үндэслэлээр тодорхойлсон, томъёогоор илэрхийлнэ:

Жишээ 16

Гурвалжны гурван орой өгөгдсөн. Ол (орой өнцөг).

Шийдэл:Нөхцөлийн дагуу зураг зурах шаардлагагүй, гэхдээ:

Шаардлагатай өнцгийг ногоон нумаар тэмдэглэнэ. Сургуулийн тэмдэглэгээг өнцгөөр нэн даруй санацгаая: - Онцгой анхааралдээр дундажүсэг - энэ бол бидэнд хэрэгтэй өнцгийн орой юм. Товчхондоо та энгийнээр бичиж болно.

Зургаас харахад гурвалжны өнцөг нь векторуудын хоорондох өнцөгтэй давхцаж байгаа бөгөөд өөрөөр хэлбэл: .

Шинжилгээг оюун ухаанаар хэрхэн хийхийг сурах нь зүйтэй.

Векторуудыг олцгооё:

Скаляр үржвэрийг тооцоолъё:

Мөн векторуудын уртууд:

Өнцгийн косинус:

Энэ бол миний дамми нарт санал болгож буй даалгаврыг гүйцэтгэх дараалал юм. Илүү дэвшилтэт уншигчид тооцооллыг "нэг мөрөнд" бичиж болно.

"Муу" косинусын утгын жишээ энд байна. Үүссэн утга нь эцсийн биш тул үгүй онцгой утгахуваагч дахь үндэслэлгүй байдлаас ангижрах.

Өнцгийг өөрөө олъё:

Хэрэв та зургийг харвал үр дүн нь нэлээд үнэмшилтэй байна. Шалгахын тулд өнцгийг протектороор хэмжиж болно. Мониторын тагийг гэмтээж болохгүй =)

Хариулт:

Хариуд нь бид үүнийг мартдаггүй гурвалжны өнцгийн талаар асуув(мөн векторуудын хоорондох өнцгийн тухай биш), яг хариултыг зааж өгөхөө бүү мартаарай: болон өнцгийн ойролцоо утгыг: , тооцоолуур ашиглан олсон.

Энэ үйл явцад таалагдсан хүмүүс өнцгийг тооцоолж, каноник тэгш байдлын үнэн зөвийг шалгаж болно

Жишээ 17

Гурвалжин нь орон зайд түүний оройн координатаар тодорхойлогддог. ба талуудын хоорондох өнцгийг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт

Жижиг эцсийн хэсэгскаляр бүтээгдэхүүн мөн "оролцож" байгаа төсөөлөлд зориулагдана:

Вектор дээр векторын проекц. Координатын тэнхлэгүүд дээрх векторын проекц.
Векторын чиглэлийн косинусууд

Векторуудыг авч үзье:

Үүнийг хийхийн тулд векторын эхлэл ба төгсгөлөөс эхлэн векторыг оруулъя перпендикулярвектор руу (ногоон тасархай шугам). Гэрлийн туяа вектор руу перпендикуляр унадаг гэж төсөөлөөд үз дээ. Дараа нь сегмент (улаан шугам) нь векторын "сүүдэр" болно. Энэ тохиолдолд векторын вектор дээрх проекц нь сегментийн УРТ болно. Өөрөөр хэлбэл ТӨСӨЛ БОЛ ТООН.

Энэ ДУГААР нь дараах байдлаар тэмдэглэгдсэн: , “том вектор” нь векторыг илэрхийлнэ АЛЬтөсөл, "жижиг дэд тэмдэгт вектор" нь векторыг илэрхийлнэ АСААЛТТАЙаль нь төлөвлөж байна.

Энэ оруулга нь "a" векторын "be" вектор руу проекц" гэсэн утгатай.

Хэрэв "be" вектор "хэт богино" байвал яах вэ? Бид "be" векторыг агуулсан шулуун шугамыг зурна. Мөн "a" вектор аль хэдийн төлөвлөгдсөн болно "be" векторын чиглэлд, энгийнээр - “be” векторыг агуулсан шулуун шугам руу. Хэрэв "a" вектор гучин хаант улсад хойшлогдвол ижил зүйл тохиолдох болно - энэ нь "be" векторыг агуулсан шулуун шугам дээр амархан проекцлох болно.

Хэрэв өнцөгвекторуудын хооронд халуун ногоотой(зураг дээрх шиг), дараа нь

Хэрэв векторууд ортогональ, дараа нь (проекц нь хэмжээс нь тэг гэж тооцогддог цэг юм).

Хэрэв өнцөгвекторуудын хооронд мохоо(зураг дээр вектор сумыг оюун санааны хувьд дахин зохион байгуулна), дараа нь (ижил урттай, гэхдээ хасах тэмдгээр авсан).

Эдгээр векторуудыг нэг цэгээс зуръя:

Мэдээжийн хэрэг, вектор хөдлөхөд түүний проекц өөрчлөгдөхгүй

Хоёр векторын хоорондох өнцөг , :

Хэрэв хоёр векторын хоорондох өнцөг хурц байвал тэдгээрийн скаляр үржвэр эерэг байна; векторуудын хоорондох өнцөг мохоо бол эдгээр векторуудын скаляр үржвэр сөрөг байна. Тэг биш хоёр векторын скаляр үржвэр нь зөвхөн эдгээр векторууд ортогональ байвал тэгтэй тэнцүү байна.

Дасгал хийх.ба векторуудын хоорондох өнцгийг ол

Шийдэл.Хүссэн өнцгийн косинус

16. Шулуун, шулуун ба хавтгай хоорондын өнцгийн тооцоо

Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцөг, энэ шугамыг огтлолцох ба перпендикуляр биш нь шугам ба түүний энэ хавтгай дээрх проекцын хоорондох өнцөг юм.

Шугаман ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг тодорхойлох нь шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцөг нь огтлолцох хоёр шугамын хоорондох өнцөг юм: шулуун шугам өөрөө ба түүний хавтгай дээрх проекц гэсэн дүгнэлтийг хийх боломжийг олгодог. Тиймээс шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцөг нь хурц өнцөг юм.

Перпендикуляр шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг тэнцүү гэж үзэх ба параллель шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг огт тодорхойлохгүй эсвэл тэнцүү гэж үзнэ.

§ 69. Шулуун шугамын хоорондох өнцгийн тооцоо.

Сансар огторгуй дахь хоёр шулуун шугамын өнцгийг тооцоолох асуудлыг хавтгай дээрхтэй ижил аргаар шийддэг (§ 32). Шугаман хоорондын өнцгийн хэмжээг φ-ээр тэмдэглэе л 1 ба л 2, ψ-ээр дамжин - чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцгийн хэмжээ А Тэгээд б эдгээр шулуун шугамууд.

Дараа нь бол

ψ 90 ° (Зураг 206.6), дараа нь φ = 180 ° - ψ. Мэдээжийн хэрэг, хоёуланд нь cos φ = |cos ψ| тэнцүү байна. Томъёогоор (1) § 20 бидэнд байна

иймээс,

Шугамануудыг тэдгээрийн канон тэгшитгэлээр өгье

Дараа нь шугамын хоорондох φ өнцгийг томъёогоор тодорхойлно

Хэрэв шугамуудын аль нэгийг (эсвэл хоёуланг нь) каноник бус тэгшитгэлээр өгөгдсөн бол өнцгийг тооцоолохын тулд эдгээр шугамын чиглэлийн векторуудын координатыг олж, дараа нь (1) томъёог ашиглана.

17. Зэрэгцээ шулуунууд, Параллель шулуунуудын теоремууд

Тодорхойлолт.Хавтгай дээрх хоёр шугамыг нэрлэдэг Зэрэгцээ, хэрэв тэдэнд нийтлэг зүйл байхгүй бол.

Гурван хэмжээст орон зай дахь хоёр шугамыг дууддаг Зэрэгцээ, хэрэв тэдгээр нь нэг хавтгайд хэвтэж, нийтлэг цэгүүд байхгүй бол.

Хоёр векторын хоорондох өнцөг.

Цэгийн бүтээгдэхүүний тодорхойлолтоос:

.

Хоёр векторын ортогональ байх нөхцөл:

Хоёр векторын коллинеар байх нөхцөл:

.

Тодорхойлолт 5 -аас дагана. Үнэн хэрэгтээ, вектор ба тооны үржвэрийн тодорхойлолтоос энэ нь дараах байдалтай байна. Тиймээс векторуудын тэгш байдлын дүрэмд үндэслэн бид , , , гэж бичдэг . Харин векторыг тоогоор үржүүлсний үр дүнд үүсэх вектор нь вектортой коллинеар байна.

Векторын вектор дээрх проекц:

.

Жишээ 4. Өгөгдсөн оноо , , , .

Цэгтэй бүтээгдэхүүнийг ол.

Шийдэл. координатаар нь тодорхойлсон векторуудын скаляр үржвэрийн томъёог ашиглан бид олдог. Учир нь

, ,

Жишээ 5.Өгөгдсөн оноо , , , .

Төсөл олох.

Шийдэл. Учир нь

, ,

Төсөөллийн томъёонд үндэслэн бид байна

.

Жишээ 6.Өгөгдсөн оноо , , , .

ба векторуудын хоорондох өнцгийг ол.

Шийдэл. Векторууд гэдгийг анхаарна уу

, ,

координатууд нь пропорциональ биш тул тэдгээр нь хоорондоо уялдаатай биш юм.

.

Эдгээр векторууд нь мөн перпендикуляр биш, учир нь тэдгээрийн скаляр үржвэр нь .

Олъё

Булан Бид томъёоноос олдог:

.

Жишээ 7.Ямар векторууд дээр байгааг тодорхойлох collinear.

Шийдэл. Коллинеар байх тохиолдолд векторуудын харгалзах координатууд мөн пропорциональ байх ёстой, өөрөөр хэлбэл:

.

Тиймээс ба.

Жишээ 8. Векторын ямар утгыг тодорхойлох Тэгээд перпендикуляр.

Шийдэл. Вектор ба тэдгээрийн скаляр үржвэр нь тэг байвал перпендикуляр байна. Энэ нөхцлөөс бид олж авна: . Тэр бол, .

Жишээ 9. Хай , Хэрэв , , .

Шийдэл. Скаляр бүтээгдэхүүний шинж чанараас шалтгаалан бид дараах байдалтай байна.

Жишээ 10. ба , хаана ба векторуудын хоорондох өнцгийг ол - нэгж векторууд ба векторуудын хоорондох өнцөг нь 120°-тай тэнцүү байна.

Шийдэл. Бидэнд байгаа: , ,

Эцэст нь бидэнд байна: .

5 Б. Вектор урлагийн бүтээл.

Тодорхойлолт 21.Вектор урлагийн бүтээлвектороор векторыг вектор гэж нэрлэдэг буюу дараах гурван нөхцөлөөр тодорхойлогддог.

1) Векторын модуль нь тэнцүү, энд векторуудын хоорондох өнцөг ба , i.e. .

Үүнээс үзэхэд модуль вектор бүтээгдэхүүнтоогоор талбайтай тэнцүүвекторууд болон хоёр тал дээр баригдсан параллелограмм.

2) Вектор нь вектор тус бүрд перпендикуляр ба ( ; ), i.e. векторууд дээр баригдсан параллелограммын хавтгайд перпендикуляр ба .

3) Векторыг төгсгөлөөс нь авч үзвэл вектороос вектор руу шилжих хамгийн богино эргэлт нь цагийн зүүний эсрэг байхаар чиглэгддэг ( , , векторууд нь баруун гарын гурвалсан хэлбэрийг үүсгэдэг).

Векторуудын хоорондох өнцгийг хэрхэн тооцоолох вэ?

Геометрийг судлахдаа векторын сэдвээр олон асуулт гарч ирдэг. Векторуудын хоорондох өнцгийг олох шаардлагатай үед оюутан тодорхой бэрхшээлтэй тулгардаг.

Үндсэн нэр томъёо

Векторуудын хоорондох өнцгийг харахын өмнө та векторын тодорхойлолт болон вектор хоорондын өнцгийн тухай ойлголттой танилцах хэрэгтэй.

Вектор нь чиглэлтэй сегмент, өөрөөр хэлбэл түүний эхлэл ба төгсгөл тодорхойлогдсон сегмент юм.

Нийтлэг гарал үүсэлтэй хавтгай дээрх хоёр векторын хоорондох өнцөг нь аль нэг векторыг хөдөлгөх шаардлагатай өнцгөөс бага байх болно. нийтлэг цэг, тэдгээрийн чиглэл давхцах хүртэл.

Уусмалын томъёо

Вектор гэж юу болох, түүний өнцөг хэрхэн тодорхойлогддогийг ойлгосны дараа векторуудын хоорондох өнцгийг тооцоолж болно. Үүний шийдлийн томъёо нь маш энгийн бөгөөд түүний хэрэглээний үр дүн нь өнцгийн косинусын утга байх болно. Тодорхойлолтын дагуу энэ нь векторуудын скаляр үржвэр ба тэдгээрийн уртын үржвэрийн коэффициенттэй тэнцүү байна.

Векторуудын скаляр үржвэрийг хүчин зүйлийн векторуудын харгалзах координатын нийлбэрийг өөр хоорондоо үржүүлсэн байдлаар тооцно. Векторын урт буюу түүний модулийг дараах байдлаар тооцоолно Квадрат язгууртүүний координатын квадратуудын нийлбэрээс.

Өнцгийн косинусын утгыг хүлээн авсны дараа та тооцоолуур эсвэл тригонометрийн хүснэгт ашиглан өнцгийн утгыг өөрөө тооцоолж болно.

Жишээ

Векторуудын хоорондох өнцгийг хэрхэн тооцоолохыг олж мэдсэний дараа харгалзах асуудлыг шийдэх нь энгийн бөгөөд ойлгомжтой болно. Жишээлбэл, өнцгийн утгыг олох энгийн асуудлыг авч үзэх нь зүйтэй.

Юуны өмнө шийдэлд шаардлагатай векторын урт ба тэдгээрийн скаляр бүтээгдэхүүний утгыг тооцоолох нь илүү тохиромжтой байх болно. Дээр дурдсан тайлбарыг ашиглан бид дараахь зүйлийг авна.

Хүлээн авсан утгыг томъёонд орлуулснаар бид хүссэн өнцгийн косинусын утгыг тооцоолно.

Энэ тоо нь таван нийтлэг косинусын утгын нэг биш тул өнцгийг олохын тулд та тооцоолуур эсвэл Брадисын тригонометрийн хүснэгтийг ашиглах хэрэгтэй болно. Гэхдээ векторуудын хоорондох өнцгийг олохын өмнө нэмэлт сөрөг тэмдгээс ангижрахын тулд томъёог хялбаршуулж болно.

Нарийвчлалыг хадгалахын тулд эцсийн хариултыг хэвээр үлдээж болно, эсвэл та өнцгийн утгыг градусаар тооцоолж болно. Брадисын хүснэгтийн дагуу түүний утга нь ойролцоогоор 116 градус 70 минут байх бөгөөд тооцоолуур нь 116.57 градусын утгыг харуулах болно.

n хэмжээст орон зайд өнцгийг тооцоолох

Гурван хэмжээст орон зайд хоёр векторыг авч үзэхэд тэдгээр нь нэг хавтгайд ороогүй бол аль өнцгийн тухай ярьж байгааг ойлгоход илүү хэцүү болно. Ойлголтыг хялбарчлахын тулд та тэдгээрийн хоорондох хамгийн бага өнцгийг үүсгэдэг хоёр огтлолцсон сегментийг зурж болно, энэ нь хүссэн хэсэг байх болно. Вектор дотор гурав дахь координат байгаа хэдий ч вектор хоорондын өнцгийг хэрхэн тооцоолох үйл явц өөрчлөгдөхгүй. Векторуудын скаляр үржвэр ба модулиудыг тооцоол, тэдгээрийн хуваарийн нумын косинус нь энэ асуудлын хариулт болно.

Геометрийн хувьд гурваас дээш хэмжээст орон зайтай холбоотой асуудал ихэвчлэн гардаг. Гэхдээ тэдний хувьд хариултыг олох алгоритм нь ижил төстэй харагдаж байна.

0 ба 180 градусын ялгаа

Векторуудын хоорондох өнцгийг тооцоолоход зориулагдсан асуудлын хариултыг бичихэд гаргадаг нийтлэг алдаануудын нэг бол векторуудыг параллель, өөрөөр хэлбэл хүссэн өнцөг нь 0 эсвэл 180 градустай тэнцүү гэж бичих шийдвэр юм. Энэ хариулт буруу байна.

Шийдлийн үр дүнд 0 градусын өнцгийн утгыг хүлээн авсны дараа зөв хариулт нь векторуудыг кодиректор гэж тодорхойлох явдал юм, өөрөөр хэлбэл векторууд ижил чиглэлтэй байх болно. Хэрэв 180 градусыг олж авбал векторууд эсрэг чиглэлд чиглэнэ.

Тодорхой векторууд

Векторуудын хоорондох өнцгийг олсны дараа дээр дурдсан хамтарсан болон эсрэг чиглэлтэй төрлөөс гадна тусгай төрлүүдийн аль нэгийг олж болно.

• Нэг хавтгайд параллель хэд хэдэн векторыг coplanar гэж нэрлэдэг.
• Урт болон чиглэлийн хувьд ижил векторуудыг тэнцүү гэж нэрлэдэг.
• Чиглэлээс үл хамааран нэг шулуун дээр байрлах векторуудыг коллинеар гэж нэрлэдэг.
• Хэрэв векторын урт нь тэг, өөрөөр хэлбэл түүний эхлэл ба төгсгөл давхцаж байвал тэг, нэг бол нэгж гэж нэрлэдэг.

Векторуудын хоорондох өнцгийг хэрхэн олох вэ?

надад туслаач! Би томьёог мэддэг ч тооцоолж чадахгүй байна ((
вектор a (8; 10; 4) вектор b (5; -20; -10)

Александр Титов

Тэдний координатаар тодорхойлсон векторуудын хоорондох өнцгийг стандарт алгоритм ашиглан олно. Эхлээд та a ба b векторуудын скаляр үржвэрийг олох хэрэгтэй: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Энд бид эдгээр векторуудын координатыг орлуулж, тооцоолно.
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Дараа нь бид вектор бүрийн уртыг тодорхойлно. Векторын урт буюу модуль нь түүний координатын квадратуудын нийлбэрийн квадрат язгуур юм.
|а| = үндэс (x1^2 + y1^2 + z1^2) = үндэс (8^2 + 10^2 + 4^2) = үндэс (64 + 100 + 16) = 180-ийн үндэс = 6 үндэс 5
|б| = үндэс (x2^2 + y2^2 + z2^2) = үндэс (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = үндэс (25 + 400 + 100) = үндэс 525-аас = 21-ээс 5 үндэс.
Бид эдгээр уртыг үржүүлдэг. Бид 105-аас 30 үндэс авдаг.
Эцэст нь бид векторуудын скаляр үржвэрийг эдгээр векторуудын уртын үржвэрт хуваана. Бид -200/(105-ын 30 үндэс) эсвэл авна
- (105-ын 4 үндэс) / 63. Энэ нь векторуудын хоорондох өнцгийн косинус юм. Мөн өнцөг нь өөрөө энэ тооны нумын косинустай тэнцүү байна
f = arccos(-4 үндэс 105) / 63.
Хэрэв би бүх зүйлийг зөв тооцоолсон бол.

Векторуудын координатыг ашиглан вектор хоорондын өнцгийн синусыг хэрхэн тооцоолох вэ

Михаил Ткачев

Эдгээр векторуудыг үржүүлье. Тэдний скаляр үржвэр нь эдгээр векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусын үржвэртэй тэнцүү байна.
Өнцөг нь бидэнд мэдэгдэхгүй ч координатууд нь мэдэгддэг.
Үүнийг математикийн хувьд ингэж бичье.
a(x1;y1) ба b(x2;y2) векторуудыг өгье
Дараа нь

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Ярилцъя.
векторуудын a*b-скаляр үржвэр нь эдгээр векторуудын координатын харгалзах координатын үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл x1*x2+y1*y2-тай тэнцүү байна.

|a|*|b|-векторын уртын үржвэр нь √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)-тэй тэнцүү байна.

Энэ нь векторуудын хоорондох өнцгийн косинус нь дараахтай тэнцүү байна гэсэн үг юм.

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Өнцгийн косинусыг мэдсэнээр бид түүний синусыг тооцоолж болно. Үүнийг хэрхэн хийх талаар ярилцъя:

Хэрэв өнцгийн косинус эерэг бол энэ өнцөг 1 эсвэл 4 квадратад байрладаг бөгөөд энэ нь түүний синус эерэг эсвэл сөрөг байна гэсэн үг юм. Гэхдээ векторуудын хоорондох өнцөг нь 180 градусаас бага буюу тэнцүү байх тул түүний синус эерэг байна. Косинус сөрөг байвал бид үүнтэй адил үндэслэлтэй.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Ингээд л болоо)))) ойлгоход амжилт хүсье)))

Дмитрий Левищев

Шууд синус хийх боломжгүй гэдэг нь үнэн биш юм.
Томъёоноос гадна:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Энэ нь бас байдаг:
||=|а|*|б|*нүгэл А
Өөрөөр хэлбэл, скаляр бүтээгдэхүүний оронд та вектор бүтээгдэхүүний модулийг авч болно.

Зааварчилгаа

Хавтгай дээр тэгээс бусад хоёр векторыг нэг цэгээс зурж өгье: координаттай А вектор (х1, у1) В координаттай (х2, у2). Булантэдгээрийн хооронд θ гэж тэмдэглэгдсэн. θ өнцгийн хэмжүүрийг олохын тулд скаляр үржвэрийн тодорхойлолтыг ашиглах хэрэгтэй.

Тэг биш хоёр векторын скаляр үржвэр нь эдгээр векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусын үржвэртэй тэнцүү тоо бөгөөд энэ нь (A,B)=|A|*|B|*cos(θ) юм. ). Одоо та эндээс өнцгийн косинусыг илэрхийлэх хэрэгтэй: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

Хоёр тэгээс өөр векторын үржвэр нь тэдгээрийн харгалзах векторуудын үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү тул скаляр үржвэрийг (A,B)=x1*x2+y1*y2 томъёог ашиглан олж болно. Хэрэв тэгээс өөр векторуудын скаляр үржвэр нь тэгтэй тэнцүү бол векторууд перпендикуляр (тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь 90 градус) бөгөөд цаашдын тооцооллыг орхигдуулж болно. Хэрэв хоёр векторын скаляр үржвэр эерэг байвал тэдгээрийн хоорондох өнцөг болно векторуудхурц ба сөрөг бол өнцөг нь мохоо байна.

Одоо |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²) томъёог ашиглан А ба В векторуудын уртыг тооцоол. Векторын уртыг координатын квадратуудын нийлбэрийн квадрат язгуураар тооцдог.

Скаляр үржвэр ба векторын уртын олсон утгыг 2-р алхамд олж авсан өнцгийн томъёонд орлуулна, өөрөөр хэлбэл cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+y1²)+ √(x2²+y2²)). Одоо утгыг мэдэж, хоорондох өнцгийн хэмжүүрийг олох векторуудта Bradis хүснэгтийг ашиглах эсвэл эндээс авах хэрэгтэй: θ=arccos(cos(θ)).

Хэрэв А ба В векторууд гурван хэмжээст орон зайд өгөгдсөн бөгөөд тус тус (x1, y1, z1) ба (x2, y2, z2) координаттай бол өнцгийн косинусыг олоход нэг координат нэмэгдэнэ. Энэ тохиолдолд косинус: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Хэрэгтэй зөвлөгөө

Хэрэв хоёр векторыг нэг цэгээс зураагүй бол тэдгээрийн хоорондох өнцгийг параллель орчуулгаар олохын тулд эдгээр векторуудын гарал үүслийг нэгтгэх хэрэгтэй.
Хоёр векторын хоорондох өнцөг нь 180 градусаас их байж болохгүй.

Эх сурвалжууд:

• векторуудын хоорондох өнцгийг хэрхэн тооцоолох
• Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцөг

Физик, шугаман алгебрийн хэрэглээний болон онолын олон асуудлыг шийдэхийн тулд векторуудын хоорондох өнцгийг тооцоолох шаардлагатай. Энэхүү энгийн мэт санагдах ажил нь скаляр бүтээгдэхүүний мөн чанар, энэ бүтээгдэхүүний үр дүнд ямар үнэ цэнэ гарч байгааг сайн ойлгохгүй бол олон бэрхшээлийг үүсгэж болзошгүй юм.

Зааварчилгаа

Вектор шугаман орон зай дахь векторуудын хоорондох өнцөг – хамгийн бага өнцөгүед, векторуудын кодиректорт хүрнэ. Векторуудын аль нэгийг эхлэх цэгийнхээ эргэн тойронд зурна. Тодорхойлолтоос харахад өнцгийн утга 180 градусаас хэтрэхгүй байх нь тодорхой болно (алхамыг үзнэ үү).

Энэ тохиолдолд шугаман орон зайд векторуудыг зэрэгцээ шилжүүлэх үед тэдгээрийн хоорондох өнцөг өөрчлөгддөггүй гэж маш зөв гэж үздэг. Тиймээс өнцгийн аналитик тооцооллын хувьд векторуудын орон зайн чиг баримжаа нь хамаагүй.

Цэгийн үржвэрийн үр дүн нь тоо, өөрөөр хэлбэл скаляр юм. Цаашдын тооцоололд алдаа гаргахгүйн тулд (үүнийг мэдэх нь чухал) санаарай. Хавтгай дээр эсвэл векторуудын орон зайд байрлах скаляр бүтээгдэхүүний томъёо нь хэлбэртэй байна (алхамын зургийг үзнэ үү).

Хэрэв векторууд орон зайд байрладаг бол тооцооллыг ижил төстэй байдлаар гүйцэтгэнэ. Ногдол ашигт нэр томъёоны цорын ганц дүр төрх нь өргөдөл гаргагчийн нэр томъёо байх болно, i.e. векторын гурав дахь бүрэлдэхүүн хэсэг. Үүний дагуу векторуудын модулийг тооцоолохдоо z бүрэлдэхүүн хэсгийг харгалзан үзэх шаардлагатай бөгөөд дараа нь орон зайд байрлах векторуудын хувьд сүүлчийн илэрхийллийг дараах байдлаар хувиргана (алхамыг Зураг 6-г үзнэ үү).

Вектор нь өгөгдсөн чиглэлтэй сегмент юм. Векторуудын хоорондох өнцөг нь жишээлбэл, векторын тэнхлэг дээрх проекцын уртыг олох үед физик утгатай байдаг.

Зааварчилгаа

Цэгний үржвэрийг тооцоолох замаар тэгээс өөр хоёр векторын хоорондох өнцөг. Тодорхойлолтоор бүтээгдэхүүн нь урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн үржвэртэй тэнцүү байна. Нөгөө талаас координат (x1; y1) ба b координаттай (x2; y2) хоёр векторын скаляр үржвэрийг тооцно: ab = x1x2 + y1y2. Эдгээр хоёр аргын цэгийн үржвэр нь векторуудын хоорондох өнцөг юм.

Векторуудын урт буюу хэмжээг ол. Бидний a ба b векторуудын хувьд: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

Векторуудын координатыг хосоор нь үржүүлж скаляр үржвэрийг ол: ab = x1x2 + y1y2. Скаляр үржвэрийн тодорхойлолтоос ab = |a|*|b|*cos α, энд α нь векторуудын хоорондох өнцөг юм. Дараа нь бид x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α-г авна. Дараа нь cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Брадисын хүснэгтийг ашиглан α өнцгийг ол.

Сэдвийн талаархи видео

тэмдэглэл

Скаляр үржвэр нь векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн скаляр шинж чанар юм.

Хавтгай бол геометрийн үндсэн ойлголтуудын нэг юм. Хавтгай нь дараах мэдэгдэл үнэн байдаг гадаргуу юм: түүний хоёр цэгийг холбосон аливаа шулуун шугам нь бүхэлдээ энэ гадаргууд хамаарна. Онгоцыг ихэвчлэн α, β, γ гэх мэт Грек үсгээр тэмдэглэдэг. Хоёр хавтгай нь хоёр хавтгайд хамаарах шулуун шугамын дагуу үргэлж огтлолцдог.

Зааварчилгаа

-ийн огтлолцолоор үүссэн α ба β хагас хавтгайг авч үзье. Шулуун шугамаас үүссэн өнцөг a, хоёр талт өнцгийн α ба β хоёр хагас хавтгай. Энэ тохиолдолд нүүрээрээ хоёр өнцөгт өнцөг үүсгэсэн хагас хавтгай, хавтгайн огтлолцох шулуун шугамыг a ирмэг гэж нэрлэдэг. хоёр талт өнцөг.

Хоёр талт өнцөг гэх мэт хавтгай өнцөг, градусаар. Хоёр талт өнцөг үүсгэхийн тулд түүний нүүрэн дээрх дурын О цэгийг сонгох шаардлагатай бөгөөд хоёуланд нь О цэгээр хоёр а туяа татагдана. Үүссэн AOB өнцгийг шугаман хоёр талт өнцөг a гэнэ.

Тэгэхээр V = (a, b, c) вектор ба A x + B y + C z = 0 хавтгайг өгье, энд A, B, C нь хэвийн N-ийн координатууд байна. Дараа нь өнцгийн косинус. V ба N векторуудын хоорондох α нь тэнцүү байна: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

Өнцгийг градусаар эсвэл радианаар тооцоолохын тулд үүссэн илэрхийллээс косинусын урвуу функцийг тооцоолох хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл. arccosine:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

Жишээ нь: олох буланхооронд вектор(5, -3, 8) ба онгоц, өгсөн ерөнхий тэгшитгэл 2 x – 5 y + 3 z = 0. Шийдэл: N = (2, -5, 3) хавтгайн хэвийн векторын координатыг бич. Бүгдийг орлуулах мэдэгдэж байгаа үнэ цэнэөгөгдсөн томъёонд: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0.8 → α = 36.87°.

Сэдвийн талаархи видео

Тэгш тэгшитгэл үүсгэж, түүнээс косинусыг тусгаарла. Нэг томьёоны дагуу векторуудын скаляр үржвэр нь тэдгээрийн уртыг өөр хоорондоо болон косинусаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна. өнцөг, нөгөө талаас - тэнхлэг бүрийн дагуух координатын бүтээгдэхүүний нийлбэр. Хоёр томьёог тэнцүүлэхдээ бид косинус гэж дүгнэж болно өнцөгкоординатын үржвэрийн нийлбэрийг векторуудын уртын үржвэрт харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байх ёстой.

Үүссэн тэгш байдлыг бич. Үүнийг хийхийн тулд та хоёр векторыг тодорхойлох хэрэгтэй. Тэдгээр нь гурван хэмжээст декартын системд өгөгдсөн бөгөөд тэдгээрийн эхлэл цэг нь координатын сүлжээнд байна гэж бодъё. Эхний векторын чиглэл ба хэмжээг (X₁,Y₁,Z₁) цэгээр, хоёр дахь нь - (X₂,Y₂,Z₂), өнцгийг γ үсгээр тэмдэглэнэ. Дараа нь вектор тус бүрийн уртыг жишээлбэл, Пифагорын теоремыг ашиглан координатын тэнхлэг тус бүр дээрх проекцоор үүсгэсэн байж болно: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) болон √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Эдгээр илэрхийллийг өмнөх алхамд томъёолсон томъёонд орлуулснаар та тэнцүү байдлыг авна: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂²) + Y₂² + Z₂² )).

нийлбэр квадрат гэдгийг ашиглана уу синусболон хамтран ажиллах синус-аас өнцөгижил тоо хэмжээ нь үргэлж нэгийг өгдөг. Энэ нь өмнөх алхам дээр олж авсан зүйлийг өсгөх замаар гэсэн үг юм синусквадрат болон нэгээс хасах, дараа нь

Геометрийг судлахдаа векторын сэдвээр олон асуулт гарч ирдэг. Векторуудын хоорондох өнцгийг олох шаардлагатай үед оюутан тодорхой бэрхшээлтэй тулгардаг.

Үндсэн нэр томъёо

Векторуудын хоорондох өнцгийг харахын өмнө та векторын тодорхойлолт болон вектор хоорондын өнцгийн тухай ойлголттой танилцах хэрэгтэй.

Вектор нь чиглэлтэй сегмент, өөрөөр хэлбэл түүний эхлэл ба төгсгөл тодорхойлогдсон сегмент юм.

Нийтлэг гарал үүсэлтэй хавтгай дээрх хоёр векторын хоорондох өнцөг нь тэдгээрийн аль нэг векторыг чиглэлүүд нь давхцах хүртэл нийтлэг цэгийг тойрон хөдөлгөх шаардлагатай хэмжээгээр бага хэмжээтэй байна.

Уусмалын томъёо

Вектор гэж юу болох, түүний өнцөг хэрхэн тодорхойлогддогийг ойлгосны дараа векторуудын хоорондох өнцгийг тооцоолж болно. Үүний шийдлийн томъёо нь маш энгийн бөгөөд түүний хэрэглээний үр дүн нь өнцгийн косинусын утга байх болно. Тодорхойлолтын дагуу энэ нь векторуудын скаляр үржвэр ба тэдгээрийн уртын үржвэрийн коэффициенттэй тэнцүү байна.

Векторуудын скаляр үржвэрийг хүчин зүйлийн векторуудын харгалзах координатын нийлбэрийг өөр хоорондоо үржүүлсэн байдлаар тооцно. Векторын урт буюу түүний модулийг координатын квадратуудын нийлбэрийн квадрат язгуураар тооцдог.

Өнцгийн косинусын утгыг хүлээн авсны дараа та тооцоолуур эсвэл тригонометрийн хүснэгт ашиглан өнцгийн утгыг өөрөө тооцоолж болно.

Жишээ

Векторуудын хоорондох өнцгийг хэрхэн тооцоолохыг олж мэдсэний дараа харгалзах асуудлыг шийдэх нь энгийн бөгөөд ойлгомжтой болно. Жишээлбэл, өнцгийн утгыг олох энгийн асуудлыг авч үзэх нь зүйтэй.

Юуны өмнө шийдэлд шаардлагатай векторын урт ба тэдгээрийн скаляр бүтээгдэхүүний утгыг тооцоолох нь илүү тохиромжтой байх болно. Дээр дурдсан тайлбарыг ашиглан бид дараахь зүйлийг авна.

Хүлээн авсан утгыг томъёонд орлуулснаар бид хүссэн өнцгийн косинусын утгыг тооцоолно.

Энэ тоо нь таван нийтлэг косинусын утгын нэг биш тул өнцгийг олохын тулд та тооцоолуур эсвэл Брадисын тригонометрийн хүснэгтийг ашиглах хэрэгтэй болно. Гэхдээ векторуудын хоорондох өнцгийг олохын өмнө нэмэлт сөрөг тэмдгээс ангижрахын тулд томъёог хялбаршуулж болно.

Нарийвчлалыг хадгалахын тулд эцсийн хариултыг хэвээр үлдээж болно, эсвэл та өнцгийн утгыг градусаар тооцоолж болно. Брадисын хүснэгтийн дагуу түүний утга нь ойролцоогоор 116 градус 70 минут байх бөгөөд тооцоолуур нь 116.57 градусын утгыг харуулах болно.

n хэмжээст орон зайд өнцгийг тооцоолох

Гурван хэмжээст орон зайд хоёр векторыг авч үзэхэд тэдгээр нь нэг хавтгайд ороогүй бол аль өнцгийн тухай ярьж байгааг ойлгоход илүү хэцүү болно. Ойлголтыг хялбарчлахын тулд та тэдгээрийн хоорондох хамгийн бага өнцгийг үүсгэдэг хоёр огтлолцсон сегментийг зурж болно, энэ нь хүссэн хэсэг байх болно. Вектор дотор гурав дахь координат байгаа хэдий ч вектор хоорондын өнцгийг хэрхэн тооцоолох үйл явц өөрчлөгдөхгүй. Векторуудын скаляр үржвэр ба модулиудыг тооцоол, тэдгээрийн хуваарийн нумын косинус нь энэ асуудлын хариулт болно.

Геометрийн хувьд гурваас дээш хэмжээст орон зайтай холбоотой асуудал ихэвчлэн гардаг. Гэхдээ тэдний хувьд хариултыг олох алгоритм нь ижил төстэй харагдаж байна.

0 ба 180 градусын ялгаа

Векторуудын хоорондох өнцгийг тооцоолоход зориулагдсан асуудлын хариултыг бичихэд гаргадаг нийтлэг алдаануудын нэг бол векторуудыг параллель, өөрөөр хэлбэл хүссэн өнцөг нь 0 эсвэл 180 градустай тэнцүү гэж бичих шийдвэр юм. Энэ хариулт буруу байна.

Шийдлийн үр дүнд 0 градусын өнцгийн утгыг хүлээн авсны дараа зөв хариулт нь векторуудыг кодиректор гэж тодорхойлох явдал юм, өөрөөр хэлбэл векторууд ижил чиглэлтэй байх болно. Хэрэв 180 градусыг олж авбал векторууд эсрэг чиглэлд чиглэнэ.

Тодорхой векторууд

Векторуудын хоорондох өнцгийг олсны дараа дээр дурдсан хамтарсан болон эсрэг чиглэлтэй төрлөөс гадна тусгай төрлүүдийн аль нэгийг олж болно.

• Нэг хавтгайд параллель хэд хэдэн векторыг coplanar гэж нэрлэдэг.
• Урт болон чиглэлийн хувьд ижил векторуудыг тэнцүү гэж нэрлэдэг.
• Чиглэлээс үл хамааран нэг шулуун дээр байрлах векторуудыг коллинеар гэж нэрлэдэг.
• Хэрэв векторын урт нь тэг, өөрөөр хэлбэл түүний эхлэл ба төгсгөл давхцаж байвал тэг, нэг бол нэгж гэж нэрлэдэг.