Зуувангийн тэнхлэгүүд юу вэ. Хоёрдахь эрэмбийн шугамууд. Эллипс ба түүний каноник тэгшитгэл. Тойрог
Зуйван гэдэг нь хавтгай дахь цэгүүдийн байрлал, тэдгээрээс өгөгдсөн хоёр цэг хүртэлх зайны нийлбэр F_1, F_2 нь тогтмол утга (2a) бөгөөд эдгээрийн хоорондох зайнаас (2c) их байна. оноо өгсөн(Зураг 3.36, а). Энэхүү геометрийн тодорхойлолтыг илэрхийлдэг эллипсийн фокусын шинж чанар.
Эллипсийн фокусын шинж чанар
F_1 ба F_2 цэгүүдийг эллипсийн голомт гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийн хоорондох зай нь 2c=F_1F_2 - фокусын урт, сегментийн дунд цэг O F_1F_2 - эллипсийн төв, тоо 2a - эллипсийн гол тэнхлэгийн урт (тус тусад нь, тоо a - эллипсийн гол хагас тэнхлэг). Эллипсийн дурын M цэгийг голомтууд нь холбосон F_1M ба F_2M сегментүүдийг гэнэ. фокусын радиусоноо М. Зуувангийн хоёр цэгийг холбосон шугамыг эллипсийн хөвч гэж нэрлэдэг.
e=\frac(c)(a) харьцааг эллипсийн хазайлт гэнэ. Тодорхойлолтоос (2a>2c) 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
Эллипсийн геометрийн тодорхойлолт, фокусын шинж чанарыг илэрхийлэх нь түүний аналитик тодорхойлолттой тэнцүү байна - эллипсийн каноник тэгшитгэлээр өгөгдсөн шугам:
Үнэхээр тэгш өнцөгт координатын системийг танилцуулъя (Зураг 3.36, в). Эллипсийн төв О-г координатын системийн эхлэл гэж авна; голомтоор дайран өнгөрөх шулуун шугамыг (фокусын тэнхлэг эсвэл эллипсийн эхний тэнхлэг) бид абсцисса тэнхлэг болгон авах болно (үүн дээрх эерэг чиглэлийг F_1 цэгээс F_2 цэг хүртэл); фокусын тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугамыг эллипсийн төвөөр (зуувангийн хоёр дахь тэнхлэг) дайран өнгөрч, бид y тэнхлэг болгон авах болно (y тэнхлэг дээрх чиглэлийг сонгосон байхаар) тэгш өнцөгт системкоординатууд Окси зөв болсон).
Фокусын шинж чанарыг илэрхийлдэг геометрийн тодорхойлолтыг ашиглан эллипсийн тэгшитгэлийг томъёолъё. Сонгосон координатын системд бид голомтын координатыг тодорхойлно F_1(-c,0),~F_2(c,0). Эллипсэд хамаарах дурын M(x,y) цэгийн хувьд бид:
\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.
Энэ тэгш байдлыг координат хэлбэрээр бичвэл бид дараахь зүйлийг авна.
\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.
Бид хоёр дахь радикалыг баруун тал руу шилжүүлж, тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгож, ижил төстэй нөхцөлүүдийг өгнө.
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Зүүн баруун сум ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.
4-т хуваахдаа тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгоно.
A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Зүүн баруун сум~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).
Тэмдэглэх b=\sqrt(a^2-c^2)>0, бид авдаг b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Хоёр талыг a^2b^2\ne0-д хуваавал бид хүрэх болно каноник тэгшитгэлзуйван:
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.
Тиймээс сонгосон координатын систем нь каноник юм.
Хэрэв эллипсийн голомтууд давхцаж байвал a=b тул эллипс нь тойрог болно (Зураг 3.36.6). Энэ тохиолдолд цэг дээр гарал үүсэлтэй аливаа тэгш өнцөгт координатын систем O\equiv F_1\equiv F_2, мөн x^2+y^2=a^2 тэгшитгэл нь О төвтэй, a радиустай тойргийн тэгшитгэл юм.
Буцаж тайлбарласнаар координатууд нь (3.49) тэгшитгэлийг хангасан бүх цэгүүд зөвхөн эллипс гэж нэрлэгддэг цэгүүдийн байршилд хамаардаг болохыг харуулж болно. Өөрөөр хэлбэл, эллипсийн аналитик тодорхойлолт нь эллипсийн фокусын шинж чанарыг илэрхийлдэг геометрийн тодорхойлолттой дүйцэхүйц байна.
Эллипсийн лавлах шинж чанар
Эллипсийн чиглүүлэлтүүд нь каноник координатын системийн ординатын тэнхлэгээс ижил \frac(a^2)(c) зайд параллель өнгөрөх хоёр шулуун шугам юм. c=0-ийн хувьд эллипс нь тойрог байх үед ямар ч директрикс байхгүй (бид чиглүүлэлтүүд хязгааргүй хасагдсан гэж үзэж болно).
0 хазгайтай эллипс
Үнэн хэрэгтээ, жишээлбэл, фокус F_2 ба directrix d_2 (Зураг 3.37.6) нөхцөл \frac(r_2)(\rho_2)=eкоординат хэлбэрээр бичиж болно:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\баруун)
Ухаангүй байдлаас ангижрах, солих e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, бид эллипсийн каноник тэгшитгэлд хүрнэ (3.49). Фокус F_1 ба чиглүүлэлтийн хувьд ижил төстэй үндэслэлийг хийж болно d_1\колон\frac(r_1)(\rho_1)=e.
Туйлын координат дахь эллипсийн тэгшитгэл
F_1r\varphi (Зураг 3.37,c ба 3.37(2)) туйлын координатын систем дэх эллипсийн тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна.
R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)
Энд p=\frac(b^2)(a) нь эллипсийн фокусын параметр юм.
Уг нь туйлын координатын системийн туйлаар эллипсийн зүүн фокус F_1, туйлын тэнхлэгээр F_1F_2 туяаг сонгоцгооё (Зураг 3.37, в). Дараа нь дурын M(r,\varphi) цэгийн хувьд эллипсийн геометрийн тодорхойлолтын (фокусын шинж чанар) дагуу бид r+MF_2=2a байна. Бид M(r,\varphi) ба F_2(2c,0) цэгүүдийн хоорондох зайг илэрхийлнэ (2.8 тайлбарын 2-р хэсгийг үзнэ үү):
\эхлэх(зэрэгцүүлсэн)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)
Тиймээс координатын хэлбэрээр F_1M+F_2M=2a эллипсийн тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна.
R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.
Бид тэгшитгэлийн хоёр талыг дөрвөлжин, радикалыг тусгаарлаж, 4-т хувааж, ижил төстэй нэр томъёог өгнө:
R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Зүүн баруун сум~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.
Бид туйлын радиусыг r илэрхийлж, орлуулалтыг хийнэ e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):
R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Зүүн баруун сум \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1) -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Зүүн баруун сум \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),
Q.E.D.
Зууван тэгшитгэл дэх коэффициентүүдийн геометрийн утга
Зууван (зураг 3.37, а-г үз) координатын тэнхлэгүүдтэй (zllips-ийн орой) огтлолцох цэгүүдийг олцгооё. Тэгшитгэлд y=0 гэж орлуулснаар эллипсийн абсцисса тэнхлэгтэй (фокусын тэнхлэгтэй) огтлолцох цэгүүдийг олно: x=\pm a . Тиймээс эллипс доторх фокусын тэнхлэгийн сегментийн урт нь 2a-тай тэнцүү байна. Энэ сегментийг дээр дурдсанчлан эллипсийн гол тэнхлэг гэж нэрлэдэг бөгөөд a тоо нь эллипсийн гол хагас тэнхлэг юм. x=0-г орлуулахад y=\pm b болно. Иймд эллипсийн дотор хаалттай эллипсийн хоёр дахь тэнхлэгийн сегментийн урт нь 2b-тэй тэнцүү байна. Энэ сегментийг эллипсийн бага тэнхлэг гэж нэрлэдэг ба b тоог эллипсийн бага хагас тэнхлэг гэж нэрлэдэг.
Үнэхээр, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, мөн b=a тэгшитгэл нь зөвхөн эллипс тойрог байх үед c=0 тохиолдолд л гарна. Хандлага k=\frac(b)(a)\leqslant1эллипсийн агшилтын коэффициент гэж нэрлэдэг.
Тайлбар 3.9
1. x=\pm a,~y=\pm b шулуунууд нь эллипс байрлах координатын хавтгай дээрх үндсэн тэгш өнцөгтийг хязгаарладаг (Зураг 3.37, а-г үз).
2. Эллипсийг дараах байдлаар тодорхойлж болно тойргийг диаметртэй нь ойртуулах замаар олж авсан цэгүүдийн байрлал.
Үнэн хэрэгтээ тэгш өнцөгт координатын Oxy системд тойргийн тэгшитгэл нь x^2+y^2=a^2 хэлбэртэй байна. 0-ийн коэффициенттэй x тэнхлэгт шахагдсан үед \эхлэх(тохиолдлууд)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(тохиолдлууд) Тойргийн тэгшитгэлд x=x" ба y=\frac(1)(k)y"-г орлуулснаар M(x) цэгийн M"(x",y") зургийн координатын тэгшитгэл гарна. ,y): (x")^2+(\зүүн(\frac(1)(k)\cdot y"\баруун)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} Учир нь b=k\cdot a . Энэ бол эллипсийн каноник тэгшитгэл юм. 3. Координатын тэнхлэгүүд (каноник координатын систем) нь эллипсийн тэгш хэмийн тэнхлэгүүд (зуувангийн үндсэн тэнхлэгүүд гэж нэрлэгддэг) бөгөөд түүний төв нь тэгш хэмийн төв юм. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв M(x,y) цэг нь эллипсэд хамаарна. тэгвэл координатын тэнхлэгүүдтэй харьцуулахад М цэгт тэгш хэмтэй M"(x,-y) ба M""(-x,y) цэгүүд мөн адил эллипсэд хамаарна. 4. Туйлын координатын систем дэх эллипсийн тэгшитгэлээс r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(Зураг 3.37, в-ийг үз), фокусын параметрийн геометрийн утгыг тодруулсан - энэ нь фокусын тэнхлэгт перпендикуляр фокусын дундуур дамждаг эллипсийн хөвчний хагас урт юм ( r = p at \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. Хачирхалтай e нь эллипсийн хэлбэр, тухайлбал эллипс ба тойргийн хоорондох ялгааг тодорхойлдог. e нь том байх тусам эллипс уртасч, e тэг рүү ойртох тусам эллипс тойрогт ойртоно (Зураг 3.38, а). Үнэн хэрэгтээ, e=\frac(c)(a) ба c^2=a^2-b^2 гэж үзвэл бид олж авна. E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\баруун )\^2=1-k^2,
!} Энд k нь эллипсийн агшилтын коэффициент, 0 6. Тэгшитгэл \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1төлөө a
7. Тэгшитгэл \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant bО "(x_0, y_0) цэг дээр төвлөрсөн эллипсийг тодорхойлдог бөгөөд тэнхлэгүүд нь координатын тэнхлэгүүдтэй параллель (Зураг 3.38, в). Энэ тэгшитгэлийг параллель орчуулгыг ашиглан каноник болгон бууруулсан (3.36). a=b=R хувьд тэгшитгэл (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 O цэг дээр төвлөрсөн R радиустай тойргийг дүрсэлдэг"(x_0,y_0) . Эллипсийн параметрийн тэгшитгэлканоник координатын системд хэлбэртэй байна \begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(тохиолдлууд)0\leqslant t<2\pi.
Үнэн хэрэгтээ эдгээр илэрхийллийг (3.49) тэгшитгэлд орлуулснаар бид \cos^2t+\sin^2t=1 гэсэн үндсэн тригонометрийн адилтгалд хүрнэ. Жишээ 3.20.эллипс зурах \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1каноник координатын системд Окси . Хагас тэнхлэг, фокусын урт, хазгай байдал, харьцаа, фокусын параметр, директрисын тэгшитгэлийг ол. Шийдэл.Өгөгдсөн тэгшитгэлийг каноник тэгшитгэлтэй харьцуулж үзвэл хагас тэнхлэгийг тодорхойлно: a=2 - гол хагас тэнхлэг, b=1 - эллипсийн жижиг хагас тэнхлэг. Бид 2a=4,~2b=2 талуудтай, эхэнд төвлөрсөн үндсэн тэгш өнцөгтийг байгуулна (Зураг 3.39). Эллипсийн тэгш хэмийг харгалзан бид үүнийг үндсэн тэгш өнцөгт рүү оруулна. Шаардлагатай бол эллипсийн зарим цэгүүдийн координатыг тодорхойлно. Жишээлбэл, x=1-ийг эллипс тэгшитгэлд орлуулснаар бид олж авна \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \дөрөв \Зүүн баруун сум \дөрөв y^2=\frac(3)(4) \дөрөв \Зүүн баруун сум \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). Тиймээс координаттай цэгүүд \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\баруун)- зуйван хэлбэртэй. Шахалтын харьцааг тооцоол k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); фокусын урт 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); хазгай байдал e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); фокусын параметр p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Бид директорын тэгшитгэлийг бүтээдэг. x=\pm\frac(a^2)(c)~\Зүүн баруун сум~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)). Хоёр дахь эрэмбийн муруйнуудХавтгай дээрх хувьсах координатууд нь тэгшитгэлээр тодорхойлогддог шугамууд гэж нэрлэгддэг xболон yхоёрдугаар зэрэгт агуулагддаг. Үүнд эллипс, гипербол, парабол орно. Хоёрдахь эрэмбийн муруй тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэр нь дараах байдалтай байна. хаана A, B, C, D, E, F- тоонууд ба хамгийн багадаа нэг коэффициент A, B, Cтэгтэй тэнцүү биш байна. Хоёрдахь эрэмбийн муруйтай асуудлыг шийдэхдээ эллипс, гипербол, параболын каноник тэгшитгэлийг ихэвчлэн авч үздэг. Тэдэнд ерөнхий тэгшитгэлээс шилжихэд хялбар байдаг, эллипстэй холбоотой асуудлын 1-р жишээг үүнд зориулах болно. Эллипсийн тодорхойлолт.Зуйван гэдэг нь фокус гэж нэрлэгддэг цэг хүртэлх зайны нийлбэр нь тогтмол бөгөөд голомтын хоорондох зайнаас их байх хавтгай дээрх бүх цэгүүдийн багц юм. Фокусуудыг доорх зурган дээрх шиг тэмдэглэв. Эллипсийн каноник тэгшитгэл нь: хаана аболон б (а > б) - хагас тэнхлэгийн урт, өөрөөр хэлбэл координатын тэнхлэг дээрх эллипсээр таслагдсан сегментүүдийн хагасын урт. Зуувангийн голомтоор дамжин өнгөрөх шулуун шугам нь түүний тэгш хэмийн тэнхлэг юм. Эллипсийн өөр нэг тэгш хэмийн тэнхлэг нь энэ сегменттэй перпендикуляр сегментийн дундуур дайран өнгөрөх шулуун шугам юм. Цэг ОЭдгээр шугамын огтлолцол нь эллипсийн тэгш хэмийн төв буюу зүгээр л эллипсийн төв болдог. Эллипсийн абсцисса тэнхлэг нь цэгүүдээр огтлолцдог ( а, О) ба (- а, О), y тэнхлэг нь ( цэгүүд дээр байна) б, О) ба (- б, О). Эдгээр дөрвөн цэгийг эллипсийн орой гэж нэрлэдэг. Абсцисса тэнхлэг дээрх эллипсийн оройн хоорондох сегментийг түүний гол тэнхлэг, ордны тэнхлэгийг бага тэнхлэг гэж нэрлэдэг. Тэдний эллипсийн дээд хэсгээс төв хүртэлх хэсгүүдийг хагас тэнхлэг гэж нэрлэдэг. Хэрвээ а = б, дараа нь эллипсийн тэгшитгэл хэлбэрийг авна. Энэ бол радиустай тойргийн тэгшитгэл юм а, мөн тойрог нь эллипсийн онцгой тохиолдол юм. Радиусын тойргоос эллипс авч болно а, хэрэв та үүнийг шахаж авбал а/бтэнхлэгийн дагуух удаа Өө
. Жишээ 1Ерөнхий тэгшитгэлээр өгөгдсөн шугам байгаа эсэхийг шалгана уу Шийдэл. Бид ерөнхий тэгшитгэлийн хувиргалтыг хийдэг. Бид чөлөөт нэр томъёог баруун тал руу шилжүүлэх, тэгшитгэлийн нэр томъёог ижил тоогоор хуваах, бутархайг багасгахыг ашигладаг. Хариулт. Үүссэн тэгшитгэл нь эллипсийн каноник тэгшитгэл юм. Тиймээс энэ шугам нь эллипс юм. Жишээ 2Хэрэв хагас тэнхлэг нь 5 ба 4 байвал эллипсийн каноник тэгшитгэлийг бич. Шийдэл. Бид эллипс ба орлуулах каноник тэгшитгэлийн томъёог харна: хагас гол тэнхлэг нь а= 5, бага хагас тэнхлэг нь байна б= 4. Бид эллипсийн каноник тэгшитгэлийг олж авна. Гол тэнхлэг дээр ногооноор тэмдэглэсэн цэгүүд, хаана дуудсан заль мэх. дуудсан хазгай байдалэллипс. Хандлага б/аэллипсийн "хязгаарлалт" -ыг тодорхойлдог. Энэ харьцаа бага байх тусам эллипс гол тэнхлэгийн дагуу сунадаг. Гэсэн хэдий ч эллипсийн суналтын зэрэг нь ихэвчлэн хазгайгаар илэрхийлэгддэг бөгөөд томъёог дээр дурдсан болно. Янз бүрийн эллипсийн хувьд хазайлт нь 0-ээс 1 хооронд хэлбэлздэг бөгөөд үргэлж нэгээс бага хэвээр байна. Жишээ 3Фокусын хоорондох зай 8 ба гол тэнхлэг 10 бол эллипсийн каноник тэгшитгэлийг бич. Шийдэл. Бид энгийн дүгнэлт гаргадаг: Хэрэв гол тэнхлэг нь 10 бол түүний хагас, өөрөөр хэлбэл хагас тэнхлэг а = 5
, Хэрэв голомтын хоорондох зай 8 бол тоо вфокусын координат нь 4 байна. Орлуулах ба тооцоолох: Үр дүн нь эллипсийн каноник тэгшитгэл юм. Жишээ 4Эллипсийн гол тэнхлэг нь 26, хазгай нь 2 бол түүний канон тэгшитгэлийг бич. Шийдэл. Гол тэнхлэгийн хэмжээ болон хазгай тэгшитгэлийн аль алиных нь дагуу эллипсийн гол хагас тэнхлэг а= 13. Эксцентрисийн тэгшитгэлээс бид тоог илэрхийлнэ в, бага хагас тэнхлэгийн уртыг тооцоолоход шаардлагатай: Бид жижиг хагас тэнхлэгийн уртын квадратыг тооцоолно. Бид эллипсийн каноник тэгшитгэлийг бүтээдэг. Жишээ 5Каноник тэгшитгэлээр өгөгдсөн эллипсийн голомтуудыг тодорхойл. Шийдэл. Тоо олох хэрэгтэй в, энэ нь эллипсийн голомтуудын эхний координатыг тодорхойлдог: Бид эллипсийн фокусуудыг авдаг: Жишээ 6Эллипсийн голомтууд нь тэнхлэг дээр байрладаг Үхэргарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй. Дараах тохиолдолд эллипсийн каноник тэгшитгэлийг бич. 1) голомтуудын хоорондох зай 30, гол тэнхлэг нь 34 байна 2) бага тэнхлэг нь 24, фокусуудын нэг нь (-5; 0) цэг дээр байна. 3) хазгай, голомтын нэг нь цэг дээр байна (6; 0) Хэрэв - эллипсийн дурын цэг (зуувангийн баруун дээд хэсэгт байрлах зурган дээр ногооноор тэмдэглэгдсэн) ба - гол цэгээс энэ цэг хүртэлх зай бол зайны томъёо дараах байдалтай байна. Зуувант хамаарах цэг бүрийн хувьд фокусын хоорондох зайны нийлбэр нь 2-той тэнцүү тогтмол утгатай байна. а. Тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон шулуун шугамууд дуудсан захирлуудэллипс (зураг дээр - ирмэгийн дагуу улаан шугам). Дээрх хоёр тэгшитгэлээс харахад эллипсийн аль ч цэгийн хувьд ийм байна хаана ба энэ цэгийн директрикс хүртэлх зай ба . Жишээ 7Зууван өгөгдсөн. Түүний чиглүүлэлтийн тэгшитгэлийг бич. Шийдэл. Директрисын тэгшитгэлийг судалж үзээд эллипсийн хазайлтыг олох шаардлагатайг олж мэдэв. Үүний бүх өгөгдөл байна. Бид тооцоолно: Бид эллипсийн директрисын тэгшитгэлийг олж авна. Жишээ 8Эллипсийн голомт нь цэг, директрикс нь шулуун байвал түүний каноник тэгшитгэлийг бич. Алгебр, геометрийн лекцүүд. Семестр 1. Лекц 15. Зууван. 15-р бүлэг зүйл 1. Үндсэн тодорхойлолтууд. Тодорхойлолт. Эллипс нь онгоцны GMT бөгөөд фокус гэж нэрлэгддэг онгоцны хоёр тогтмол цэг хүртэлх зайны нийлбэр нь тогтмол утга юм. Тодорхойлолт. Хавтгайн дурын М цэгээс эллипсийн фокус хүртэлх зайг М цэгийн фокусын радиус гэнэ. Тэмдэглэл: Зуйвангийн тодорхойлолтоор бол М цэг нь зөвхөн, хэрэв л бол эллипсийн цэг юм анзаараарай, тэр Эллипсийн тодорхойлолтоор түүний голомтууд нь тогтмол цэгүүд тул тэдгээрийн хоорондох зай нь мөн өгөгдсөн эллипсийн тогтмол утга юм. Тодорхойлолт. Эллипсийн голомтуудын хоорондох зайг фокусын урт гэнэ. Зориулалт: Гурвалжингаас -тэй тэнцүү тоог b гэж тэмдэглэнэ Тодорхойлолт. Хандлага эллипсийн хазгай гэж нэрлэдэг. Эллипсийн хувьд каноник гэж нэрлэх координатын системийг өгөгдсөн хавтгайд танилцуулъя. Тодорхойлолт. Зуувангийн голомтуудын байрлах тэнхлэгийг фокусын тэнхлэг гэж нэрлэдэг. Эллипсийн каноник PDSC-ийг байгуулъя, Зураг 2-ыг үзнэ үү. Бид фокусын тэнхлэгийг абсцисса тэнхлэг болгон сонгож, ординат тэнхлэгийг сегментийн дундуур зурна. Дараа нь голомтууд нь координаттай байна зүйл 2. Эллипсийн каноник тэгшитгэл. Теорем. Эллипсийн каноник координатын системд эллипсийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна. Баталгаа. Бид хоёр үе шаттайгаар нотлох ажлыг гүйцэтгэнэ. Эхний шатанд эллипс дээр байрлах аливаа цэгийн координатууд (4) тэгшитгэлийг хангаж байгааг нотлох болно. Хоёр дахь шатанд бид (4) тэгшитгэлийн аливаа шийдэл нь эллипс дээр байрлах цэгийн координатыг өгдөг болохыг батлах болно. Эндээс (4) тэгшитгэл нь зууван дээр байрлах координатын хавтгайн зөвхөн тэдгээр цэгүүдээр хангагдана. Эндээс болон муруй тэгшитгэлийн тодорхойлолтоос харахад (4) тэгшитгэл нь эллипс тэгшитгэл болно. 1) M(x, y) цэг нь эллипсийн цэг байг, өөрөөр хэлбэл. түүний фокусын радиусуудын нийлбэр нь 2a: Бид координатын хавтгай дээрх хоёр цэгийн хоорондох зайны томъёог ашиглан өгөгдсөн M цэгийн фокусын радиусыг дараах томъёогоор олно. Нэг үндсийг тэгш байдлын баруун тал руу шилжүүлж, квадрат болгоё. Бууруулахад бид дараахь зүйлийг авна. Бид ижил төстэй зүйлийг өгч, 4-ээр багасгаж, радикалыг тусгаарлана. Бид квадрат Хаалтуудыг нээж, богиносго бид хаанаас авах вэ: Тэгш байдлыг (2) ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна. Сүүлийн тэгш байдлыг хуваах 2) Одоо (x, y) хос тоо (4) тэгшитгэлийг хангаж, M(x, y) нь Окси координатын хавтгай дээрх харгалзах цэг байг. Дараа нь (4)-ээс дараах байдалтай байна. Бид энэ тэгшитгэлийг M цэгийн фокусын радиусуудын илэрхийлэлд орлуулна. Энд бид (2) ба (3) тэгш байдлыг ашигласан. Энэ замаар, Одоо (4) тэгшитгэлээс гарч байгааг анхаарна уу Эндээс эргээд ийм зүйл гарч ирнэ Энэ нь тэгшитгэлээс (5) гарч байна Теорем нь батлагдсан. Тодорхойлолт. (4) тэгшитгэлийг эллипсийн каноник тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Тодорхойлолт. Эллипсийн каноник координатын тэнхлэгүүдийг эллипсийн үндсэн тэнхлэгүүд гэж нэрлэдэг. Тодорхойлолт. Эллипсийн каноник координатын системийн гарал үүслийг эллипсийн төв гэж нэрлэдэг. зүйл 3. Эллипсийн шинж чанарууд. Теорем. (Зууйвангийн шинж чанарууд.) 1. Эллипсийн каноник координатын системд бүх эллипсийн цэгүүд тэгш өнцөгт дотор байна 2. Оноо байна 3. Зууван нь ойролцоогоор тэгш хэмтэй муруй юм тэдний гол тэнхлэгүүд. 4. Зуувангийн төв нь түүний тэгш хэмийн төв юм. Баталгаа. 1, 2) Эллипсийн каноник тэгшитгэлээс нэн даруй гардаг. 3, 4) M(x, y) нь эллипсийн дурын цэг байг. Дараа нь түүний координатууд (4) тэгшитгэлийг хангана. Гэхдээ цэгүүдийн координатууд нь (4) тэгшитгэлийг хангаж байгаа тул теоремын өгүүлбэрүүд гарах эллипсийн цэгүүд болно. Теорем нь батлагдсан. Тодорхойлолт. 2a хэмжигдэхүүнийг эллипсийн гол тэнхлэг, a хэмжигдэхүүнийг эллипсийн гол хагас тэнхлэг гэнэ. Тодорхойлолт. 2b хэмжигдэхүүнийг эллипсийн бага тэнхлэг, b хэмжигдэхүүнийг эллипсийн бага хагас тэнхлэг гэнэ. Тодорхойлолт. Эллипсийн гол тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг эллипсийн орой гэж нэрлэдэг. Сэтгэгдэл. Эллипсийг дараах байдлаар барьж болно. Онгоцонд бид заль мэхэнд "хадаас" цохиж, урттай утас бэхлэнэ Хачирхалтай байдлын тодорхойлолтоос харахад ийм байна Бид a тоог засаад c-г тэг рүү чиглүүлье. Дараа нь цагт Одоо л хичээцгээе зүйл 4. Эллипсийн параметрийн тэгшитгэл. Теорем. Болъё нь эллипсийн каноник координатын систем дэх эллипсийн параметрийн тэгшитгэлүүд юм. Баталгаа. Тэгшитгэлийн систем (6) нь тэгшитгэл (4) -тэй тэнцүү гэдгийг батлахад хангалттай, өөрөөр хэлбэл. Тэд ижил шийдэлтэй байдаг. 1) (x, y) нь (6) системийн дурын шийдэл байг. Эхний тэгшитгэлийг a-д, хоёр дахь тэгшитгэлийг b-д хувааж, тэгшитгэлийг хоёуланг нь квадрат болгож, нэмнэ: Тэдгээр. (6) системийн дурын шийдэл (x, y) нь (4) тэгшитгэлийг хангана. 2) Үүний эсрэгээр (x, y) хосыг (4) тэгшитгэлийн шийдэл гэж үзье, өөрөөр хэлбэл. Энэ тэгшитгэлээс координаттай цэг гарч ирнэ Синус ба косинусын тодорхойлолтоос харахад тэр даруй гарч ирдэг Теорем нь батлагдсан. Сэтгэгдэл. А радиустай тойргийг абсцисса тэнхлэгт жигд "шахсан" үр дүнд эллипсийг авч болно. Болъё Энэхүү хувиргалтаар тойргийн цэг бүр нь ижил абсциссатай, гэхдээ арай жижиг ордны тэмдэгтэй хавтгайн өөр цэг рүү "дамждаг". Цэгийн хуучин ординатыг шинэ цэгээр илэрхийлье. тойргийн тэгшитгэлд орлуулна: Эндээс бид дараахь зүйлийг авна. Үүнээс үзэхэд хэрэв "шахалтын" хувиргалтаас өмнө M(x, y) цэг тойрог дээр хэвтэж байвал, өөрөөр хэлбэл. түүний координатууд нь тойргийн тэгшитгэлийг хангаж, дараа нь "шахалтын" хувиргалт хийсний дараа энэ цэг цэг рүү "дамжсан" зүйл 5. Эллипстэй шүргэгч. Теорем. Болъё Дараа нь цэг дээрх энэ эллипстэй шүргэгчийн тэгшитгэл Баталгаа. Шүргэх цэг нь координатын хавтгайн эхний эсвэл хоёрдугаар хэсэгт байрлах тохиолдлыг авч үзэхэд хангалттай. Функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг ашиглая хаана Бид деривативын олсон утгыг шүргэгч тэгшитгэлд (10) орлуулна. бид хаанаас авах вэ: Энэ нь: Энэ тэгшитгэлийг хувааж үзье Үүнийг тэмдэглэх нь зүйтэй Шүргэгчийн тэгшитгэл (8) нь координатын хавтгайн гурав, дөрөв дэх хэсэгт байрлах шүргэгч цэг дээр мөн адил нотлогддог. Эцэст нь (8) тэгшитгэл нь цэгүүд дээрх шүргэгчийн тэгшитгэлийг өгч байгааг бид хялбархан харж болно. Теорем нь батлагдсан. зүйл 6. Эллипсийн толин тусгал шинж чанар. Теорем. Эллипстэй шүргэгч нь шүргэгч цэгийн фокусын радиустай тэнцүү өнцөгтэй байна. Болъё Теоремд ингэж заасан байдаг Энэ тэгш байдлыг фокусаас гарсан эллипсийн гэрлийн туяа тусах, тусгах өнцгийн тэгш байдал гэж тайлбарлаж болно. Энэ шинж чанарыг эллипсийн толин тусгал шинж чанар гэж нэрлэдэг: Эллипсийн фокусаас ялгарах гэрлийн туяа нь эллипсийн толин тусгалаас тусгасны дараа эллипсийн өөр нэг фокусаар дамжин өнгөрдөг. Теоремын баталгаа. (11) өнцгийн тэгш байдлыг батлахын тулд бид гурвалжны ижил төстэй байдлыг нотолж байна Тодорхойлолт. Зууван гэдэг нь хавтгай дахь цэгүүдийн байрлал бөгөөд голомт гэж нэрлэгддэг энэ хавтгайн өгөгдсөн хоёр цэгээс тэдгээрийн тус бүрийн зайны нийлбэр нь тогтмол утга юм (энэ утга нь голомтын хоорондох зайнаас их байх тохиолдолд). Голомтыг тэдгээрийн хоорондох зайгаар - дамжуулан, мөн эллипсийн цэг бүрээс голомт хүртэлх зайны нийлбэртэй тэнцүү тогтмол утгыг (нөхцөлөөр) тэмдэглэе. Фокусууд нь абсцисса тэнхлэг дээр байх ба координатын гарал үүсэл сегментийн дунд хэсэгтэй давхцаж байхаар декартын координатын системийг байгуулъя (Зураг 44). Дараа нь фокусууд дараах координатуудтай болно: зүүн фокус ба баруун фокус. Сонгосон координатын системдээ эллипсийн тэгшитгэлийг гаргая. Үүний тулд эллипсийн дурын цэгийг авч үзье. Эллипсийн тодорхойлолтоор энэ цэгээс голомт хүртэлх зайны нийлбэр нь: Хоёр цэгийн хоорондох зайны томъёог ашиглан бид олж авна. Энэ тэгшитгэлийг хялбарчлахын тулд бид үүнийг хэлбэрээр бичнэ Дараа нь тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгоход гарна эсвэл илт хялбаршуулсаны дараа: Одоо бид тэгшитгэлийн хоёр талыг дахин квадрат болгосны дараа бид дараах байдалтай болно. эсвэл ижил өөрчлөлтүүдийн дараа: Зуйвангийн тодорхойлолт дахь нөхцлийн дагуу эерэг тоо байна. Бид тэмдэглэгээг танилцуулж байна Дараа нь тэгшитгэл дараах хэлбэрийг авна. Зуувангийн тодорхойлолтоор түүний аль нэг цэгийн координат нь (26) тэгшитгэлийг хангана. Харин (29) тэгшитгэл нь (26) тэгшитгэлийн үр дагавар юм. Тиймээс эллипсийн аль ч цэгийн координатыг бас хангадаг. Зууван дээр хэвтэхгүй цэгүүдийн координатууд (29) тэгшитгэлийг хангахгүй байгааг харуулж болно. Тиймээс (29) тэгшитгэл нь эллипсийн тэгшитгэл юм. Үүнийг эллипсийн каноник тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Эллипсийн хэлбэрийг түүний каноник тэгшитгэлийг ашиглан тогтооцгооё. Юуны өмнө, энэ тэгшитгэл нь зөвхөн x ба у-ийн тэгш хүчийг агуулдаг гэдгийг анхаарна уу. Энэ нь хэрэв аль нэг цэг нь эллипсэд хамаарах бол абсцисса тэнхлэгийг тойрсон цэгтэй тэгш хэмтэй цэг, у тэнхлэгийн ойролцоо цэгтэй тэгш хэмтэй цэгүүд мөн багтана гэсэн үг юм. Тиймээс эллипс нь харилцан перпендикуляр тэгш хэмийн хоёр тэнхлэгтэй бөгөөд бидний сонгосон координатын системд координатын тэнхлэгүүдтэй давхцдаг. Эллипсийн тэгш хэмийн тэнхлэгүүдийг эллипсийн тэнхлэгүүд, тэдгээрийн огтлолцлын цэгийг эллипсийн төв гэж нэрлэнэ. Зуувангийн голомтууд байрладаг тэнхлэгийг (энэ тохиолдолд абсцисса тэнхлэг) фокусын тэнхлэг гэж нэрлэдэг. Эхний улиралд эхлээд эллипсийн хэлбэрийг тодорхойлъё. Үүнийг хийхийн тулд бид (28) тэгшитгэлийг y-д хамааруулан шийднэ. Эндээс харахад y нь төсөөллийн утгыг авдаг. 0-ээс a хүртэл өсөхөд y нь b-ээс 0 хүртэл буурна.Эллипсийн эхний улиралд хэвтэж буй хэсэг нь B (0; b) цэгүүдээр хүрээлэгдсэн, координатын тэнхлэгүүд дээр байрлах нум байх болно (Зураг 45). Одоо эллипсийн тэгш хэмийг ашигласнаар бид эллипс нь Зураг дээр үзүүлсэн хэлбэртэй байна гэж дүгнэж байна. 45. Эллипсийн тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг эллипсийн орой гэж нэрлэдэг. Зуйван тэгш хэмээс харахад оройнуудаас гадна эллипс нь өөр хоёр оройтой байна (45-р зургийг үз). Эллипсийн эсрэг талын оройг холбосон сегментүүд болон тэдгээрийн уртыг тус тус эллипсийн том ба бага тэнхлэг гэж нэрлэдэг. a ба b тоонуудыг тус тус эллипсийн гол ба жижиг хагас тэнхлэг гэж нэрлэдэг. Голомтуудын хоорондох зайны хагасын эллипсийн хагас гол тэнхлэгийн харьцааг эллипсийн хазгай гэж нэрлэдэг бөгөөд ихэвчлэн дараах үсгээр тэмдэглэдэг. Учир нь , тэгвэл эллипсийн хазгай нэгээс бага байна: Хачирхалтай байдал нь эллипсийн хэлбэрийг тодорхойлдог. Үнэн хэрэгтээ (28) томъёоноос харахад эллипсийн хазайлт бага байх тусам түүний жижиг хагас тэнхлэг b нь том хагас тэнхлэгээс бага ялгаатай, өөрөөр хэлбэл эллипс бага сунадаг (фокусын дагуу). тэнхлэг). Хязгаарлагдмал тохиолдолд a радиустай тойрог авах үед: , эсвэл . Үүний зэрэгцээ эллипсийн голомтууд нэг цэг дээр нийлдэг - тойргийн төв. Тойргийн хазгай нь тэг байна: Зууван ба тойргийн хоорондох холболтыг өөр өнцгөөс харж болно. a ба b хагас тэнхлэгтэй эллипсийг a радиустай тойргийн проекц гэж үзэж болохыг харуулъя. Өөр хоорондоо ийм a өнцгийг үүсгэдэг P ба Q хоёр хавтгайг авч үзье (Зураг 46). Бид P хавтгайд координатын системийг, Q хавтгайд Oxy системийг нийтлэг гарал үүсэлтэй O ба хавтгайнуудын огтлолцлын шугамтай давхцах нийтлэг абсцисса тэнхлэгийг байгуулна. P хавтгайд тойргийг авч үзье гарал үүсэл ба радиус дээр төвлөрсөн a. Тойргийн дур зоргоороо сонгогдсон цэг, түүний Q хавтгай дээрх проекц, М цэгийн Үхрийн тэнхлэг дээрх проекц нь байг. Энэ цэг нь a ба b хагас тэнхлэгтэй эллипс дээр оршдог болохыг харуулъя. Нарийвчилсан судалгаа хийсний дараа хавтгай дээрх шулуун шугамуудБид хоёр хэмжээст ертөнцийн геометрийг үргэлжлүүлэн судалж байна. Бооцоо хоёр дахин нэмэгдэж, би таныг зууван, гипербол, параболын ердийн төлөөлөл болох үзэсгэлэнт галлерейд зочлохыг урьж байна. хоёр дахь дарааллын шугамууд. Аялал аль хэдийн эхэлсэн бөгөөд эхлээд музейн янз бүрийн давхарт тавигдсан үзэсгэлэнгийн талаар товч мэдээлэл өгье. Хавтгай дээрх шугамыг нэрлэдэг алгебрийн, хэрэв байгаа бол аффины координатын системтүүний тэгшитгэл нь хэлбэрийн нөхцлөөс бүрдэх олон гишүүнт хэлбэртэй байна (бодит тоо, сөрөг бус бүхэл тоо). Таны харж байгаагаар алгебрийн шугамын тэгшитгэл нь синус, косинус, логарифм болон бусад функциональ гоо сайхныг агуулаагүй болно. Зөвхөн "x" ба "y" дотор сөрөг бус бүхэл тооградус. Шугамын дараалалтүүнд орсон нэр томъёоны дээд утгатай тэнцүү байна. Холбогдох теоремын дагуу алгебрийн шугамын тухай ойлголт, түүний дараалал нь сонголтоос хамаардаггүй. аффины координатын систем, тиймээс, хялбар байх үүднээс бид дараагийн бүх тооцооллыг хийгдэнэ гэж үзэж байна Декарт координатууд. Ерөнхий тэгшитгэлХоёрдахь эрэмбийн мөрөнд , хаана гэсэн хэлбэртэй байна Хэрэв бол тэгшитгэл нь хялбарчлагдана Олон хүмүүс шинэ нэр томъёоны утгыг ойлгосон боловч материалыг 100% шингээхийн тулд бид хуруугаа залгуурт наа. Шугамын дарааллыг тодорхойлохын тулд дахин давт бүх нөхцөлтүүний тэгшитгэлүүд ба тэдгээрийн тус бүрийг олно эрх мэдлийн нийлбэрирж буй хувьсагчид. Жишээлбэл: нэр томьёо нь 1-р зэргийн "x" -ийг агуулдаг; Одоо тэгшитгэл яагаад шугамыг тогтоож байгааг олж мэдье хоёрдугаартзахиалга: нэр томьёо нь 2-р зэрэглэлийн "x"-г агуулдаг; Хамгийн их утга: 2 Хэрэв бид тэгшитгэлдээ нэмж нэмбэл, гэж хэлвэл энэ нь аль хэдийн тодорхойлогдох болно гурав дахь дарааллын шугам. 3-р эрэмбийн шугамын тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэр нь хувьсагчийн зэрэглэлийн нийлбэр нь гуравтай тэнцэх нэр томьёоны "бүрэн багц"-ыг агуулдаг нь ойлгомжтой. Нэг буюу хэд хэдэн тохиромжтой нэр томъёог агуулсан тохиолдолд Бид 3, 4 ба түүнээс дээш зэрэглэлийн алгебрийн шугамуудтай, ялангуяа танилцахдаа нэгээс олон удаа ажиллах шаардлагатай болно. туйлын координатын систем. Гэсэн хэдий ч, ерөнхий тэгшитгэл рүү буцаж очоод түүний хамгийн энгийн сургуулийн хувилбаруудыг эргэн санацгаая. Жишээ нь тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрт амархан буулгаж болох парабол, түүнтэй адилтгах тэгшитгэлтэй гипербола юм. Гэсэн хэдий ч бүх зүйл тийм ч жигд биш .... Ерөнхий тэгшитгэлийн мэдэгдэхүйц сул тал нь аль шугамыг тодорхойлох нь бараг үргэлж тодорхойгүй байдаг явдал юм. Хамгийн энгийн тохиолдолд ч гэсэн та үүнийг хэтрүүлэн хэлнэ гэдгийг шууд ойлгохгүй байх болно. Ийм зохион байгуулалт нь зөвхөн нүүр будалтанд сайн байдаг тул аналитик геометрийн явцад ердийн асуудлыг авч үздэг. 2-р эрэмбийн шугамын тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулах. Энэ бол хэдхэн секундын дотор ямар геометрийн объектыг тодорхойлох нь тодорхой болох үед тэгшитгэлийн нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн стандарт хэлбэр юм. Үүнээс гадна каноник хэлбэр нь олон практик асуудлыг шийдвэрлэхэд маш тохиромжтой. Жишээлбэл, каноник тэгшитгэлийн дагуу "хавтгай" шулуун, нэгдүгээрт, энэ нь шулуун шугам гэдэг нь шууд ойлгомжтой, хоёрдугаарт, түүнд хамаарах цэг, чиглэлийн вектор нь энгийн байдлаар харагдаж байна. Мэдээжийн хэрэг, ямар ч 1-р захиалгын шугамшулуун шугамыг илэрхийлнэ. Хоёр давхарт биднийг сахигч байхаа больсон, харин есөн барималаас бүрдсэн илүү олон янзын компани байдаг. Тусгай үйлдлүүдийн тусламжтайгаар аливаа хоёр дахь эрэмбийн шугамын тэгшитгэлийг дараах төрлүүдийн аль нэгэнд нь бууруулна. (болон эерэг бодит тоонууд) 1) 2) гиперболын каноник тэгшитгэл; 3) 4) – төсөөлөлтэйэллипс; 5) - огтлолцсон хос шугам; 6) - хос төсөөлөлтэйогтлолцох шугам (гарал үүсэл дээр огтлолцох цорын ганц бодит цэгтэй); 7) - хос зэрэгцээ шугам; 8) - хос төсөөлөлтэйзэрэгцээ шугамууд; 9) нь давхцаж буй хос шугам юм. Зарим уншигчид жагсаалт бүрэн бус байна гэсэн сэтгэгдэл төрүүлж магадгүй юм. Жишээлбэл, 7-р догол мөрөнд тэгшитгэл нь хосыг тогтоодог шууд, тэнхлэгтэй параллель байх ба асуулт гарч ирнэ: y тэнхлэгтэй параллель шугамуудыг тодорхойлох тэгшитгэл хаана байна вэ? Хариулт: тэр канон гэж тооцогддоггүй. Шулуун шугамууд нь 90 градусаар эргэлдсэн ижил стандарт тохиолдлыг төлөөлдөг бөгөөд ангилалд нэмэлт оруулга нь үндсэндээ шинэ зүйл агуулаагүй тул шаардлагагүй болно. Тиймээс, есөн, зөвхөн есөн төрлийн 2-р эрэмбийн шугам байдаг боловч практик дээр хамгийн түгээмэл нь эллипс, гипербол, парабол. Эхлээд эллипсийг харцгаая. Ердийнх шигээ би асуудлыг шийдвэрлэхэд чухал ач холбогдолтой цэгүүдэд анхаарлаа хандуулдаг бөгөөд хэрэв танд томьёоны нарийвчилсан гаралт, теоремын нотолгоо хэрэгтэй бол жишээлбэл, Базылев / Атанасян эсвэл Александровын сурах бичигт хандана уу. Үг үсгийн алдаа ... "зууван хэлбэрийг хэрхэн бүтээх", "зууван ба зууван хоёрын ялгаа", "элебсийн хазгай" зэрэг сонирхолтой зарим Yandex хэрэглэгчдийн алдааг давтахгүй байхыг хүсье. Зуувангийн каноник тэгшитгэл нь эерэг бодит тоонууд ба гэсэн хэлбэртэй байна. Би эллипсийн тодорхойлолтыг дараа нь томъёолох болно, гэхдээ одоохондоо яриагаа түр завсарлаж, нийтлэг асуудлыг шийдэх цаг болжээ. Тийм ээ, үүнийг аваад зүгээр л зур. Даалгавар нь нийтлэг байдаг бөгөөд оюутнуудын нэлээд хэсэг нь зураг зурах чадваргүй байдаг. Жишээ 1 Тэгшитгэлээр өгөгдсөн эллипсийг байгуул Шийдэл: эхлээд бид тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулна: Яагаад авчрах вэ? Каноник тэгшитгэлийн нэг давуу тал нь шууд тодорхойлох боломжийг олгодог эллипсийн оройнуудцэгүүд дээр байгаа . Эдгээр цэг бүрийн координат нь тэгшитгэлийг хангаж байгааг харахад хялбар байдаг. Энэ тохиолдолд : Энэ эсвэл өөр эллипс хэрхэн харагддагийг хурдан төсөөлөхийн тулд түүний канон тэгшитгэлийн "a" ба "be" утгыг харна уу. Бүх зүйл сайхан, цэвэрхэн, үзэсгэлэнтэй, гэхдээ нэг анхааруулга байна: би програмыг ашиглан зураг зурж дуусгасан. Мөн та ямар ч програмаар зурж болно. Гэсэн хэдий ч хатуу ширүүн бодит байдал дээр алаг цаас ширээн дээр хэвтэж, хулганууд бидний гарыг тойрон бүжиглэдэг. Урлагийн авьяастай хүмүүс мэдээжийн хэрэг маргаж болно, гэхдээ танд бас хулгана (жижиг ч гэсэн) бий. Хүн төрөлхтөн захирагч, луужин, протектор болон зурах бусад энгийн хэрэгслийг зохион бүтээсэн нь дэмий хоосон биш юм. Энэ шалтгааны улмаас бид зөвхөн оройг нь мэддэг тул эллипсийг нарийн зурах боломжгүй юм. Хэрэв эллипс жижиг бол, жишээлбэл, хагас тэнхлэгтэй бол зүгээр. Үүний зэрэгцээ та зургийн масштаб, үүний дагуу хэмжээсийг багасгаж болно. Гэхдээ ерөнхий тохиолдолд нэмэлт оноо олох нь зүйтэй юм. Зууван бүтээх хоёр арга байдаг - геометрийн болон алгебрийн. Богино алгоритм, зураг зурахад ихээхэн эмх замбараагүй байдаг тул би луужин, захирагчаар барих дургүй. Яаралтай тохиолдолд сурах бичгийг уншина уу, гэхдээ бодит байдал дээр алгебрийн хэрэгслийг ашиглах нь илүү оновчтой юм. Ноорог дээрх эллипсийн тэгшитгэлээс бид хурдан илэрхийлнэ: Дараа нь тэгшитгэлийг хоёр функцэд хуваана: Каноник тэгшитгэлээр өгөгдсөн эллипс нь координатын тэнхлэгүүдтэй, түүнчлэн гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байна. Энэ нь гайхалтай юм - тэгш хэм нь бараг үргэлж үнэ төлбөргүй байдаг. Мэдээжийн хэрэг, координатын 1-р улиралтай ажиллахад хангалттай тул бидэнд функц хэрэгтэй байна Зурган дээрх цэгүүдийг (улаан өнгө), бусад нуман дээрх тэгш хэмтэй цэгүүдийг (цэнхэр өнгө) тэмдэглээд бүх компанийг шугамаар сайтар холбоно уу. Зууван бол зууван хэлбэрийн онцгой тохиолдол юм. "Зууван" гэдэг үгийг филистийн утгаар ("хүүхэд зууван зурсан" гэх мэт) ойлгож болохгүй. Энэ бол нарийн томъёолол бүхий математикийн нэр томъёо юм. Энэ хичээлийн зорилго нь аналитик геометрийн стандарт хичээлд бараг анхаарал хандуулдаггүй зууван ба тэдгээрийн төрөл бүрийн онолыг авч үзэхгүй байх явдал юм. Мөн одоогийн хэрэгцээ шаардлагад нийцүүлэн бид зууван хэлбэрийн хатуу тодорхойлолт руу нэн даруй очдог. Зууван- энэ нь хавтгайн бүх цэгүүдийн багц бөгөөд өгөгдсөн хоёр цэгээс тус бүр хүртэлх зайны нийлбэр юм. заль мэхэллипс нь энэ эллипсийн гол тэнхлэгийн урттай тоогоор тэнцүү тогтмол утга юм: . Одоо илүү тодорхой болно: Цэнхэр цэг нь эллипс дээр "унадаг" гэж төсөөлөөд үз дээ. Тиймээс бид эллипсийн аль ч цэгийг авахаас үл хамааран сегментүүдийн уртын нийлбэр үргэлж ижил байх болно. Бидний жишээн дээр нийлбэрийн утга үнэхээр наймтай тэнцэж байгаа эсэхийг шалгацгаая. Эллипсийн баруун оройд "em" цэгийг оюун ухаанаар байрлуулж, дараа нь шалгах шаардлагатай байсан: . Зууван зурах өөр нэг арга бол эллипсийн тодорхойлолт дээр суурилдаг. Дээд математик нь заримдаа хурцадмал байдал, стрессийн шалтгаан болдог тул дахин ачааллыг буулгах цаг болжээ. Нэг цаас эсвэл том картон цаас аваад ширээн дээр хоёр хадаасаар бэхлээрэй. Эдгээр нь заль мэх болно. Хумсны цухуйсан толгойн дээр ногоон утас уяж, харандаагаар бүхэлд нь татна. Харандааны хүзүү нь эллипсэд хамаарах нэгэн цагт байх болно. Одоо харандаагаа цаасан дээр чиглүүлж, ногоон утсыг маш чанга байлга. Эхлэх цэг рүү буцах хүртлээ үйл явцыг үргэлжлүүлээрэй ... маш сайн ... зургийг эмчээс баталгаажуулахын тулд багшид өгч болно =) Дээрх жишээн дээр би "бэлэн" фокусын цэгүүдийг дүрсэлсэн бөгөөд одоо бид тэдгээрийг геометрийн гүнээс хэрхэн гаргаж авах талаар сурах болно. Хэрэв эллипсийг каноник тэгшитгэлээр өгсөн бол түүний голомтууд нь координаттай байна Тооцоолол нь уурын манжингаас илүү хялбар байдаг: ! "ce" гэсэн утгатай бол заль мэхний тодорхой координатыг тодорхойлох боломжгүй юм!Би давтан хэлэхэд энэ бол Фокус бүрээс төв хүртэлх зай(ерөнхий тохиолдолд яг гарал үүсэлтэй байх албагүй). Эллипсийн хазгай байдал нь доторх утгыг авч болох харьцаа юм. Манай тохиолдолд: Зууван хэлбэр нь түүний хазгай байдлаас хэрхэн хамаардаг болохыг олж мэдье. Үүний төлөө зүүн ба баруун оройг засахавч үзэж буй эллипсийн, өөрөөр хэлбэл хагас гол тэнхлэгийн утга тогтмол байх болно. Дараа нь хазгай байдлын томъёо нь дараах хэлбэртэй болно. Нэгдмэл байдлын хазгай байдлын утгыг ойролцоогоор тооцоолж эхэлцгээе. Энэ нь зөвхөн тохиолдолд л боломжтой. Энэ нь юу гэсэн үг вэ? ... заль мэх санаж байна Энэ замаар, эллипсийн хазгай нэгтэй ойр байх тусам эллипс илүү гонзгой байна. Одоо эсрэг үйл явцыг дуурайж үзье: эллипсийн голомт Энэ замаар, Хачирхалтай утга тэг рүү ойртох тусам эллипс илүү их харагддаг... голомтууд нь гарал үүслээр амжилттай дахин нэгдэх үед хязгаарлах тохиолдлыг харна уу: Үнэн хэрэгтээ хагас тэнхлэгийн тэгшитгэлийн хувьд эллипсийн каноник тэгшитгэл нь "a" радиусын гарал үүслийн төвтэй сургуулиас сайн мэддэг дугуй тэгшитгэл рүү рефлексээр хувирдаг хэлбэрийг авдаг. Практикт "ярьдаг" "er" үсэг бүхий тэмдэглэгээг ихэвчлэн ашигладаг:. Радиусыг сегментийн урт гэж нэрлэдэг бөгөөд тойргийн цэг бүрийг радиусын зайгаар төвөөс зайлуулдаг. Зуувангийн тодорхойлолт бүрэн зөв хэвээр байгааг анхаарна уу: голомтууд таарч, тойрог дээрх цэг бүрийн тохирох сегментүүдийн уртын нийлбэр нь тогтмол утга юм. Учир нь голомт хоорондын зай нь аливаа тойргийн хазгай нь тэг байна. Тойрог амархан бөгөөд хурдан бүтээдэг тул өөрийгөө луужингаар зэвсэглэхэд хангалттай. Гэсэн хэдий ч заримдаа түүний зарим цэгүүдийн координатыг олж мэдэх шаардлагатай байдаг, энэ тохиолдолд бид танил замаар явдаг - бид тэгшитгэлийг хөгжилтэй Матан хэлбэрт оруулдаг. Дараа нь бид хүссэн утгыг олно. ялгах боломжтой, нэгтгэхболон бусад сайн зүйлсийг хий. Нийтлэл нь мэдээжийн хэрэг, зөвхөн лавлагааны зориулалттай, гэхдээ энэ ертөнцөд хайргүйгээр яаж амьдрах вэ? Бие даасан шийдэл гаргах бүтээлч даалгавар Жишээ 2 Эллипсийн аль нэг голомт ба хагас жижиг тэнхлэг нь тодорхой бол (төв нь эхэнд байгаа) каноник тэгшитгэлийг зохио. Зурган дээр орой, нэмэлт цэгүүдийг олж, шугам зур. Эксцентриситетийг тооцоол. Хичээлийн төгсгөлд шийдэл, зураг зурах Үйлдэл нэмье: Эллипсийн каноник тэгшитгэл, тухайлбал, энэ муруйн тухай анх дурдсанаас хойш сониуч сэтгэлгээг зовоодог оньсого нь нөхцөл байдал руу буцаж орцгооё. Энд бид эллипсийг авч үзсэн Ийм тэгшитгэл ховор боловч тааралддаг. Мөн энэ нь эллипсийг тодорхойлдог. Мистикийг арилгацгаая: Эллипсийн параметрийн тэгшитгэл
Тооцоолохын тулд ActiveX хяналтыг идэвхжүүлсэн байх ёстой!
Каноник тэгшитгэлээр өгөгдсөн эллипс
, эллипс.
.
.
Бид хамтдаа эллипс дээрх асуудлыг шийдсээр байна
,
.
нь эллипсийн голомтууд, 
нь M цэгийн фокусын радиусууд юм.
тогтмол утга юм. Энэ тогтмолыг ихэвчлэн 2a гэж тэмдэглэнэ.
.
(1)
.
.
үүнийг дагадаг 
, өөрөөр хэлбэл
.
, өөрөөр хэлбэл
.
(2)
(3)
фокусын тэнхлэгт перпендикуляр.
,
.
.
(4)
.
,
, бид хаанаас авдаг:
.
:
.
, бид тэгш байдлыг олж авдаг (4), p.t.d.
.
.
. Үүний нэгэн адил, 
.
эсвэл 
мөн учир нь 
, тэгвэл дараах тэгш бус байдал үүснэ.
.
эсвэл 
болон
,
.
(5)
, өөрөөр хэлбэл M(x, y) цэг нь эллипсийн цэг гэх мэт.
,
.
. Дараа нь бид харандаа аваад утсыг сунгахад ашигладаг. Дараа нь бид харандааны утсыг онгоцны дагуу хөдөлгөж, утас нь чангалж байгаа эсэхийг шалгаарай.
,
болон 
. Бид авах хязгаарт
эсвэл 
тойрог тэгшитгэл юм.
. Дараа нь 
,
мөн бид хязгаарт эллипс нь шугаман хэсэг болж доройтож байгааг харж байна 
Зураг 3-ын тэмдэглэгээнд.
дурын бодит тоонууд. Дараа нь тэгшитгэлийн систем
,
(6)
.
.
гарал үүсэл дээр төвлөрсөн нэгж радиусын тойрог дээр байрладаг, i.e. нь тригонометрийн тойргийн цэг бөгөөд энэ нь зарим өнцөгт тохирсон байдаг 
:
,
, хаана 
, эндээс (x, y) хос нь (6) системийн шийдэл гэх мэт.
эх цэг дээр төвлөрсөн тойргийн тэгшитгэл юм. Тойргийг абсцисса тэнхлэгт "шахах" нь дараах дүрмийн дагуу хийгдсэн координатын хавтгайг өөрчлөхөөс өөр зүйл биш юм. M(x, y) цэг бүрд бид ижил хавтгайн цэгийг харгалзах байдлаар байрлуулна 
, хаана 
,
нь "шахалтын" хүчин зүйл юм.
.
.
(7)
, координатууд нь эллипсийн тэгшитгэлийг (7) хангадаг. Хэрэв бид жижиг хагас тэнхлэг b-тэй эллипсийн тэгшитгэлийг авахыг хүсвэл шахалтын коэффициентийг авах хэрэгтэй.
.
- эллипсийн дурын цэг
.
харагдаж байна:
.
(8)
. Дээд талын хагас хавтгай дахь эллипсийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.
.
(9)
цэг дээр 
:
цэг дээрх энэ функцийн деривативын утга 
. Эхний улирлын эллипсийг (8) функцийн график гэж үзэж болно. Холбоо барих цэг дэх түүний дериватив ба утгыг олъё:
,
. Энд бид мэдрэгчтэй цэгийн давуу талыг ашигласан 
нь эллипсийн цэг тул түүний координатууд нь эллипсийн тэгшитгэлийг (9) хангадаг, өөрөөр хэлбэл.
.
,
:
.
, учир нь цэг 
Зуувант хамаарах ба координат нь тэгшитгэлийг хангана.
,
:
эсвэл 
, ба 
эсвэл 
.
- холбоо барих цэг 
,
Шүргэх цэгийн фокусын радиусууд, P ба Q нь цэг дээрх эллипс рүү татсан тангенс дээрх фокусын проекцууд юм. 
.
.
(11)
болон 
, аль нь талууд 
болон 
төстэй байх болно. Гурвалжин нь тэгш өнцөгт тул тэгш байдлыг батлахад хангалттай
Хоёрдахь эрэмбийн шугамууд.
Эллипс ба түүний каноник тэгшитгэл. ТойрогАлгебрийн шугамын тухай ойлголт ба түүний дараалал
дурын бодит тоонууд (үржүүлэгчээр бичих нь заншилтай байдаг - "хоёр"), мөн коэффициентүүд нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш байна.
, хэрэв коэффициентүүд нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш бол энэ нь яг тохирно "хавтгай" шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл, илэрхийлдэг эхний захиалгын мөр.
нэр томъёо нь 1-р зэрэглэлд "Y" -ийг агуулна;
нэр томъёонд хувьсагч байхгүй тул тэдгээрийн чадлын нийлбэр нь тэг байна.
нэр томъёо нь хувьсагчдын градусын нийлбэртэй байна: 1 + 1 = 2;
нэр томьёо нь 2-р зэрэглэлийн "y" -ийг агуулдаг;
бусад бүх нэр томъёо - багазэрэг.
, коэффициентүүд нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш байна.
, дараа нь бид ярилцах болно 4-р дарааллын шугам, гэх мэт.Тэгшитгэлийн каноник хэлбэр гэж юу вэ?
Хоёрдахь эрэмбийн шугамын ангилал
нь эллипсийн каноник тэгшитгэл юм;
параболын каноник тэгшитгэл юм;Эллипс ба түүний каноник тэгшитгэл
Хэрхэн эллипс барих вэ?
Шугамын сегментдуудсан гол тэнхлэгэллипс;
шугамын сегмент – бага тэнхлэг;
тоо 
дуудсан хагас том тэнхлэгэллипс;
тоо 
– хагас жижиг тэнхлэг.
бидний жишээнд: .
– эллипсийн дээд нумыг тодорхойлно; 
– эллипсийн доод нумыг тодорхойлно.
. Энэ нь абсцисс бүхий нэмэлт цэгүүдийг олохыг санал болгож байна 
. Бид тооцоолуур дээр гурван SMS дарсан: 
Мэдээжийн хэрэг, хэрэв тооцоололд ноцтой алдаа гарвал энэ нь барилгын ажлын явцад шууд тодорхой болно гэдэг нь таатай байна.
Эхний ноорог нимгэн, нимгэн зурж, дараа нь харандаа дээр дарах нь дээр. Үр дүн нь нэлээд зохистой эллипс байх ёстой. Дашрамд хэлэхэд энэ муруй юу болохыг мэдмээр байна уу?Эллипсийн тодорхойлолт. Эллипсийн голомт ба эллипсийн хазгай
Энэ тохиолдолд голомтын хоорондох зай нь энэ утгаас бага байна: .
Эллипсийн фокусыг хэрхэн олох вэ?
, энэ хаана байна голомт бүрээс эллипсийн тэгш хэмийн төв хүртэлх зай.
Тиймээс голомтын хоорондох зайг эллипсийн каноник байрлалтай холбож болохгүй. Өөрөөр хэлбэл, эллипсийг өөр газар нүүлгэж болох бөгөөд утга нь өөрчлөгдөхгүй байхад голомтууд нь аяндаа координатаа өөрчилнө. Сэдвийг цаашид судлахдаа үүнийг анхаарч үзээрэй.Зуувангийн хазгай байдал ба түүний геометрийн утга
. Энэ нь эллипсийн голомтууд нь абсцисса тэнхлэгийн дагуу хажуугийн орой хүртэл "тархах" болно гэсэн үг юм. "Ногоон сегментүүд нь резин биш" тул эллипс нь тэнхлэг дээр бэхлэгдсэн нимгэн, нимгэн хиам болж хувирах нь гарцаагүй.
бие бие рүүгээ чиглэн төв рүү ойртлоо. Энэ нь "ce"-ийн утга багасч байгаа бөгөөд үүний дагуу хазгай байдал тэг болох хандлагатай байна гэсэн үг юм.
Энэ тохиолдолд "ногоон сегментүүд" эсрэгээрээ "бөглөрч", эллипсийн шугамыг дээш доош "түлхэж" эхэлнэ.
Тойрог бол эллипсийн онцгой тохиолдол юм
дээд хагас тойргийн функц;
доод хагас тойргийн функц юм.Эллипсийг эргүүлж, орчуулна
, гэхдээ практик дээр тэгшитгэлийг хийж чадахгүй 
? Эцсийн эцэст, энд ч бас эллипс шиг харагдаж байна!
Барилга угсралтын үр дүнд манай төрөлх эллипс 90 градусаар эргэлддэг. Тэр бол, 
- энэ бол канон бус оруулгаэллипс 
. Бичлэг!- тэгшитгэл 
тэнхлэг дээр эллипсийн тодорхойлолтыг хангах цэгүүд (фокус) байхгүй тул өөр эллипсийг заагаагүй болно.
