Параметрээр өгөгдсөн функцийн дериватив. Параметрээр тодорхойлогдсон функцийн дериватив

Өнөөг хүртэл бид эдгээр шугамын цэгүүдийн одоогийн координатыг шууд холбосон хавтгай дээрх шулуунуудын тэгшитгэлийг авч үзсэн. Гэсэн хэдий ч шугамыг тодорхойлох өөр аргыг ихэвчлэн ашигладаг бөгөөд одоогийн координатыг гуравдагч хувьсагчийн функц гэж үздэг.

Хувьсагчийн хоёр функцийг өгье

t-ийн ижил утгуудад тооцно. Дараа нь t-ийн эдгээр утгуудын аль нэг нь тодорхой утга ба y-ийн тодорхой утгатай тохирч, улмаар тодорхой цэгт тохирно. t хувьсагч нь функцүүдийн тодорхойлолтын мужаас (73) бүх утгуудаар дамжих үед тэгшитгэлийг (73) энэ шугамын параметрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг параметр.

Функцийг урвуу функцтэй гэж үзье (73) тэгшитгэлийн хоёр дахь хэсэгт орлуулснаар бид тэгшитгэлийг олж авна

y-г функцээр илэрхийлэх

Энэ функцийг (73) тэгшитгэлээр параметрийн дагуу өгөгдсөн гэж хэлэхийг зөвшөөрье. Эдгээр тэгшитгэлээс (74) тэгшитгэл рүү шилжихийг параметрийн хасах гэж нэрлэдэг. Параметрээр тодорхойлсон функцуудыг авч үзэхэд параметрийг хасах нь зайлшгүй биш төдийгүй практикт үргэлж боломжгүй байдаг.

Ихэнх тохиолдолд асуух нь илүү тохиромжтой байдаг өөр өөр утгатайпараметрийг оруулаад дараа нь (73) томъёог ашиглан аргумент ба функцийн y-ийн харгалзах утгуудыг тооцоолно.

Жишээнүүдийг харцгаая.

Жишээ 1. Төв нь эх ба R радиустай тойрог дээрх дурын цэг байя. Энэ цэгийн декарт координат х ба у нь туйлын радиус ба туйлын өнцгөөр илэрхийлэгдэх бөгөөд үүнийг бид энд t-ээр тэмдэглэвэл дараах байдлаар ( I бүлгийн § 3, 3 дахь хэсгийг үзнэ үү):

(75) тэгшитгэлийг тойргийн параметрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Тэдгээрийн параметр нь туйлын өнцөг бөгөөд 0-ээс хооронд хэлбэлздэг.

Хэрэв (75) тэгшитгэлийг гишүүнээр нь квадрат болгож нэмбэл ижил байдлын ачаар параметрийг хасч, декартын координатын систем дэх тойргийн тэгшитгэлийг олж авах бөгөөд энэ нь хоёр үндсэн функцийг тодорхойлдог.

Эдгээр функц бүрийг (75) тэгшитгэлээр параметрийн дагуу тодорхойлсон боловч эдгээр функцүүдийн параметрийн муж өөр байна. Тэдний эхнийх нь хувьд; Энэ функцийн график нь дээд хагас тойрог юм. Хоёрдахь функцийн хувьд түүний график нь доод хагас тойрог юм.

Жишээ 2. Эллипсийг нэгэн зэрэг авч үзье

ба эхлэл дээр төвтэй тойрог ба радиус a (Зураг 138).

Зуувангийн M цэг бүрт бид тойргийн N цэгийг холбодог бөгөөд энэ нь М цэгтэй ижил абсциссатай бөгөөд түүнтэй хамт Үхрийн тэнхлэгийн нэг талд байрладаг. N цэгийн байрлал, тиймээс М цэг нь цэгийн туйлын өнцгөөр бүрэн тодорхойлогддог t Энэ тохиолдолд тэдгээрийн нийтлэг абсциссуудын хувьд бид дараах илэрхийллийг олж авна: x = a. Эллипсийн тэгшитгэлээс бид M цэг дээрх ординатыг олно.

М цэгийн ординат ба N цэгийн ординат ижил тэмдэгтэй байх ёстой тул тэмдгийг сонгосон.

Тиймээс эллипсийн хувьд дараах параметрийн тэгшитгэлийг олж авна.

Энд параметр t нь 0-ээс өөрчлөгдөнө.

Жишээ 3. Анхны цэг дээр х тэнхлэгт хүрэх нь тодорхой a) төвтэй, радиус a) тойргийг авч үзье (Зураг 139). Энэ тойрог х тэнхлэгийн дагуу гулсахгүйгээр эргэлддэг гэж үзье. Дараа нь эхний мөчид координатын эхлэлтэй давхцаж байсан тойргийн М цэг нь циклоид гэж нэрлэгддэг шугамыг дүрсэлдэг.

Тойргийн тогтмол цэгийг О байрлалаас M байрлал руу шилжүүлэх үед тойргийн эргэлтийн MSV өнцгийг t параметр болгон авч циклоидын параметрийн тэгшитгэлийг гаргая. Дараа нь М цэгийн координат ба у-ийн хувьд дараах илэрхийлэлүүдийг олъё.

Тойрог тэнхлэгийн дагуу гулсахгүйгээр эргэлддэг тул OB сегментийн урт нь BM нумын урттай тэнцүү байна. BM нумын урт нь a радиус ба төвийн өнцгийн t-ийн үржвэртэй тэнцүү тул . Тийм ч учраас . Гэхдээ иймээс,

Эдгээр тэгшитгэлүүд нь циклоидын параметрийн тэгшитгэлүүд юм. Параметр t 0-ээс тойрог болж өөрчлөгдөхөд нэг бүтэн эргэлт хийнэ. M цэг нь циклоидын нэг нумыг дүрслэх болно.

Энд t параметрийг хасах нь төвөгтэй илэрхийлэлд хүргэдэг бөгөөд бараг боломжгүй юм.

Шугамын параметрийн тодорхойлолтыг механикт ихэвчлэн ашигладаг бөгөөд параметрийн үүргийг цаг хугацаагаар гүйцэтгэдэг.

Жишээ 4. Хэвтээ чиглэлд а өнцгөөр анхны хурдтай буунаас харвасан сумны замналыг тодорхойлъё. Бид агаарын эсэргүүцэл ба сумны хэмжээсийг үл тоомсорлож, үүнийг материаллаг цэг гэж үздэг.

Координатын системийг сонгоцгооё. Координатын гарал үүсэл гэж сумны хошуунаас гарах цэгийг авч үзье. Үхрийн тэнхлэгийг хэвтээ, Ой тэнхлэгийг босоо чиглэлд чиглүүлж, бууны хошуутай нэг хавтгайд байрлуулцгаая. Хэрэв таталцлын хүч байхгүй байсан бол сум шулуун шугамаар хөдөлж, Үхрийн тэнхлэгтэй a өнцгөөр хөдөлж, t цаг хугацааны хувьд t цаг дахь сумны координатууд тус тус тэнцүү байх болно руу: . Таталцлын улмаас сум нь энэ мөчид босоо байдлаар доошоо буух ёстой тул бодит байдал дээр t үед сумны координатыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Эдгээр тэгшитгэлүүд нь тогтмол хэмжигдэхүүнүүдийг агуулдаг. t өөрчлөгдөхөд сумны чиглэлийн цэг дээрх координатууд мөн өөрчлөгдөнө. Тэгшитгэлүүд нь харвах чиглэлийн параметрийн тэгшитгэл бөгөөд параметр нь цаг хугацаа юм

Эхний тэгшитгэлээс илэрхийлж, түүнийг орлуулах

Хоёрдахь тэгшитгэлд бид харвах замын хөдөлгөөний тэгшитгэлийг хэлбэрээр олж авна Энэ бол параболын тэгшитгэл юм.

Далд байдлаар тодорхойлогдсон функцийн дериватив.
Параметрийн дериватив өгөгдсөн функц

Энэ нийтлэлд бид ихэвчлэн олддог өөр хоёр ердийн даалгаврыг авч үзэх болно туршилтууддээд математикийн чиглэлээр. Материалыг амжилттай эзэмшихийн тулд дор хаяж дунд түвшний деривативуудыг олох чадвартай байх ёстой. Та үндсэн хоёр хичээлээр үүсмэл хэрэгслийг эхнээс нь олж сурах боломжтой Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив. Хэрэв таны ялгах чадвар сайн бол явцгаая.

Далд байдлаар тодорхойлогдсон функцийн дериватив

Эсвэл товчоор - дериватив далд функц. Далд функц гэж юу вэ? Эхлээд нэг хувьсагчийн функцийн тодорхойлолтыг санацгаая.

Нэг хувьсагч функцбие даасан хувьсагчийн утга тус бүр нь функцын нэг бөгөөд зөвхөн нэг утгатай тохирч байх дүрэм юм.

хувьсагч гэж нэрлэдэг бие даасан хувьсагчэсвэл маргаан.
хувьсагч гэж нэрлэдэг хамааралтай хувьсагчэсвэл функц .

Одоогоор бид дээр тодорхойлсон функцуудыг авч үзсэн тодорхойхэлбэр. Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Тодорхой жишээнүүдийг ашиглан товч танилцуулга хийцгээе.

Функцийг авч үзье

Бид зүүн талд ганц "тоглогч" байгааг харж байна, баруун талд - зөвхөн "X". Энэ нь функц юм тодорхойбие даасан хувьсагчаар илэрхийлнэ.

Өөр функцийг харцгаая:

Энд хувьсагчид холилдсон байдаг. Түүнээс гадна ямар ч аргаар боломжгүй"Y"-г зөвхөн "X"-ээр илэрхийлнэ. Эдгээр аргууд юу вэ? Тэмдгийг өөрчилснөөр нэр томьёог хэсгээс хэсэг рүү шилжүүлэх, хаалтнаас гаргах, пропорциональ дүрмийн дагуу хүчин зүйл шидэх гэх мэт.Тэгш байдлыг дахин бичиж, “y”-г тодорхой илэрхийлэхийг хичээ: . Та тэгшитгэлийг хэдэн цагийн турш эргүүлж, эргүүлж болно, гэхдээ та амжилтанд хүрэхгүй.

Би танд танилцуулъя: – жишээ далд функц.

Математик шинжилгээний явцад далд функц болох нь батлагдсан байдаг(гэхдээ үргэлж биш), энэ нь графиктай ("хэвийн" функцтэй адил). Далд функц нь яг адилхан байдагэхний дериватив, хоёр дахь дериватив гэх мэт. Тэдний хэлснээр бэлгийн цөөнхийн бүх эрхийг хүндэтгэдэг.

Мөн энэ хичээлээр бид далд тодорхойлогдсон функцийн деривативыг хэрхэн олохыг сурах болно. Энэ тийм ч хэцүү биш! Бүх ялгах дүрэм, дериватив хүснэгт үндсэн функцуудхүчинтэй хэвээр байна. Ялгаа нь нэг өвөрмөц мөчид байгаа бөгөөд үүнийг бид яг одоо авч үзэх болно.

Тийм ээ, би танд сайн мэдээг хэлье - доор дурдсан ажлуудыг гурван замын урд чулуугүйгээр нэлээд хатуу, тодорхой алгоритмын дагуу гүйцэтгэдэг.

Жишээ 1

1) Эхний шатанд бид хоёр хэсэгт цус харвалт хавсаргана.

2) Бид деривативын шугаман байдлын дүрмийг ашигладаг (хичээлийн эхний хоёр дүрэм Деривативыг хэрхэн олох вэ? Шийдлийн жишээ):

3) Шууд ялгах.
Яаж ялгах нь бүрэн ойлгомжтой. Цус харвалтын дор "тоглоом" байгаа газарт юу хийх вэ?

- зүгээр л гутамшигтай болтлоо, функцийн дериватив нь деривативтай тэнцүү байна: .

Яаж ялгах вэ
Энд байна нарийн төвөгтэй функц. Яагаад? Синусын дор ганцхан "Y" үсэг байдаг бололтой. Гэхдээ "y" гэсэн ганц үсэг байдаг нь үнэн юм. ӨӨРӨӨ ФУНКЦ ҮҮ(хичээлийн эхэнд байгаа тодорхойлолтыг үзнэ үү). Тиймээс синус нь гадаад функц юм, - дотоод функц. Бид ялгах дүрмийг ашигладаг нарийн төвөгтэй функц :

Бид бүтээгдэхүүнийг ялгадаг ердийн дүрэм :

Энэ нь бас нарийн төвөгтэй функц гэдгийг анхаарна уу. аливаа "хонх, шүгэлтэй тоглоом" нь нарийн төвөгтэй функц юм:

Шийдэл нь өөрөө иймэрхүү харагдах ёстой:


Хэрэв хаалт байгаа бол тэдгээрийг өргөжүүлнэ үү:

4) Зүүн талд бид "Y" гэсэн үндсэн тоотой нэр томъёог цуглуулдаг. IN баруун тал- бусад бүх зүйлийг шилжүүлэх:

5) Зүүн талд бид деривативыг хаалтнаас гаргаж авдаг.

6) Пропорциональ дүрмийн дагуу бид эдгээр хаалтуудыг баруун талын хуваагч руу оруулна.

Дериватив олдсон. Бэлэн.

Аливаа функцийг далд хэлбэрээр дахин бичиж болно гэдгийг тэмдэглэх нь сонирхолтой юм. Жишээлбэл, функц дараах байдлаар дахин бичиж болно: . Мөн саяхан хэлэлцсэн алгоритмыг ашиглан үүнийг ялгаж үзээрэй. Үнэн хэрэгтээ "далд функц" ба "далд функц" гэсэн хэллэгүүд нь нэг утга санаагаараа ялгаатай байдаг. "Далд заасан функц" гэсэн хэллэг нь илүү ерөнхий бөгөөд зөв юм. - энэ функцийг далд хэлбэрээр зааж өгсөн боловч энд та "тоглоом" -ыг илэрхийлж, функцийг тодорхой харуулах боломжтой. "Тоглоом"-ыг илэрхийлэх боломжгүй үед "далд функц" гэсэн хэллэг нь "сонгодог" далд функцийг хэлнэ.

Хоёр дахь шийдэл

Анхаар!Хэрхэн итгэлтэйгээр олохоо мэддэг л бол та хоёрдахь аргатай танилцаж болно хэсэгчилсэн дериватив. Суралцаж эхэлж буй хүмүүс математик шинжилгээмөн цайны аяга уу битгий уншаад энэ цэгийг алгас, тэгэхгүй бол таны толгой бүрэн эмх замбараагүй болно.

Хоёрдахь аргыг ашиглан далд функцийн деривативыг олъё.

Бид бүх нөхцөлийг шилжүүлдэг зүүн тал:

Хоёр хувьсагчийн функцийг авч үзье:

Дараа нь томъёог ашиглан бидний деривативыг олж болно
Хэсэгчилсэн деривативуудыг олцгооё:

Тиймээс:

Хоёрдахь шийдэл нь танд шалгалт хийх боломжийг олгодог. Гэхдээ хэсэгчилсэн деривативыг хожим эзэмшдэг тул "Нэг хувьсагчийн функцийн дериватив" сэдвийг судалж буй оюутан хэсэгчилсэн деривативыг хараахан мэдэхгүй байх ёстой тул даалгаврын эцсийн хувилбарыг бичихийг зөвлөдөггүй.

Өөр хэдэн жишээг харцгаая.

Жишээ 2

Далд өгөгдсөн функцийн деривативыг ол

Хоёр хэсэгт зураас нэмнэ үү:

Бид шугаман байдлын дүрмийг ашигладаг:

Дериватив олох:

Бүх хаалтуудыг нээх:

Бид бүх нөхцөлийг c зүүн тийш, үлдсэнийг нь баруун тийш шилжүүлнэ.

Эцсийн хариулт:

Жишээ 3

Далд өгөгдсөн функцийн деривативыг ол

Бүрэн шийдэлмөн хичээлийн төгсгөлд загвар дизайны загвар.

Ялгахын дараа фракц үүсэх нь ховор биш юм. Ийм тохиолдолд та фракцаас салах хэрэгтэй. Өөр хоёр жишээг харцгаая.

Жишээ 4

Далд өгөгдсөн функцийн деривативыг ол

Бид хоёр хэсгийг зураасанд оруулаад шугаман байдлын дүрмийг ашигладаг.

Нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг ашиглан ялгах ба хуваалтыг ялгах дүрэм :

Хаалтуудыг өргөжүүлэх:

Одоо бид фракцаас салах хэрэгтэй. Үүнийг дараа нь хийж болно, гэхдээ үүнийг шууд хийх нь илүү оновчтой юм. Бутархайн хуваагч нь . Үржүүлэх дээр. Нарийвчилсан байдлаар энэ нь дараах байдлаар харагдах болно.

Заримдаа ялгасны дараа 2-3 фракц гарч ирдэг. Хэрэв бид өөр фракцтай байсан бол жишээлбэл, үйлдлийг давтах шаардлагатай болно - үржүүлэх хэсэг бүрийн нэр томъёо бүрдээр

Зүүн талд нь бид үүнийг хаалтнаас гаргаж авсан:

Эцсийн хариулт:

Жишээ 5

Далд өгөгдсөн функцийн деривативыг ол

Энэ бол жишээ юм бие даасан шийдвэр. Цорын ганц зүйл бол та фракцаас салахаасаа өмнө эхлээд гурван давхар бүтэцтэй фракцаас салах хэрэгтэй болно. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Параметрээр тодорхойлогдсон функцийн дериватив

Стресс битгий хэл энэ догол мөр дэх бүх зүйл маш энгийн. Та бичиж болно ерөнхий томъёопараметрийн хувьд тодорхойлогдсон функц, гэхдээ үүнийг тодорхой болгохын тулд би нэн даруй бичих болно тодорхой жишээ. Параметрийн хэлбэрээр функцийг хоёр тэгшитгэлээр өгөгдөнө: . Ихэнхдээ тэгшитгэлийг буржгар хаалтанд биш, дарааллаар бичдэг: , .

Хувьсагчийг параметр гэж нэрлэдэгмөн "хасах хязгааргүй" -ээс "нэмэх хязгааргүй" хүртэлх утгыг авч болно. Жишээлбэл, утгыг авч үзээд үүнийг хоёр тэгшитгэлд орлуулна уу: . Эсвэл хүний ​​хэллэгээр “х нь дөрөвтэй тэнцүү бол у нь нэгтэй тэнцүү” гэсэн үг. Та координатын хавтгай дээрх цэгийг тэмдэглэж болох бөгөөд энэ цэг нь параметрийн утгатай тохирно. Үүний нэгэн адил та "te" параметрийн аль ч утгын цэгийг олох боломжтой. "Тогтмол" функцтэй адилаар Америкийн индианчуудПараметрээр тодорхойлсон функцийн хувьд бүх эрхийг бас хүндэтгэдэг: та график байгуулах, дериватив олох гэх мэт боломжтой. Дашрамд хэлэхэд, хэрэв та параметрээр тодорхойлогдсон функцийн график зурах шаардлагатай бол миний програмыг ашиглаж болно.

Хамгийн энгийн тохиолдолд функцийг тодорхой илэрхийлэх боломжтой. Эхний тэгшитгэлийн параметрийг илэрхийлье. – ба үүнийг хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна уу: . Үр дүн нь ердийн куб функц юм.

Илүү "хүнд" тохиолдолд энэ заль мэх ажиллахгүй. Гэхдээ энэ нь хамаагүй, учир нь параметрийн функцийн деривативыг олох томъёо байдаг.

Бид "te хувьсагчтай холбоотой тоглоом"-ын деривативыг олдог.

Бүх ялгах дүрэм ба деривативын хүснэгт нь мэдээжийн хэрэг үсгийн хувьд хүчинтэй байдаг. дериватив олох үйл явцад шинэлэг зүйл байхгүй. Хүснэгтийн бүх "X"-ийг "Тэ" үсгээр солих хэрэгтэй.

Бид "te" хувьсагчтай холбоотой x-ийн деривативыг олно.

Одоо олсон деривативуудыг томъёонд орлуулах л үлдлээ.

Бэлэн. Дериватив нь функцын нэгэн адил параметрээс хамаарна.

Тэмдэглэгээний хувьд үүнийг томьёонд бичихийн оронд "Х"-ийн хувьд "ердийн" дериватив тул үүнийг доод тэмдэггүйгээр бичиж болно. Гэхдээ уран зохиолд үргэлж сонголт байдаг, тиймээс би стандартаас хазайхгүй.

Жишээ 6

Бид томъёог ашигладаг

IN энэ тохиолдолд:

Тиймээс:

Параметр функцийн деривативыг олох онцгой шинж чанар нь алхам бүрт үр дүнг аль болох хялбарчлах нь ашигтай байдаг. Тиймээс, авч үзсэн жишээн дээр би үүнийг олохдоо язгуур дор хаалт нээв (хэдийгээр би үүнийг хийгээгүй байж магадгүй). Томъёонд орлуулахад олон зүйл сайн буурах магадлал өндөр байна. Мэдээжийн хэрэг, болхи хариулттай жишээнүүд байдаг.

Жишээ 7

Параметрээр тодорхойлогдсон функцийн деривативыг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм.

Нийтлэлд Деривативтай холбоотой хамгийн энгийн ердийн асуудлуудБид функцийн хоёр дахь деривативыг олох шаардлагатай жишээнүүдийг харлаа. Параметрээр тодорхойлогдсон функцийн хувьд та хоёр дахь деривативыг олох боломжтой бөгөөд үүнийг дараах томъёогоор олно: . Хоёрдахь деривативыг олохын тулд эхлээд эхний деривативыг олох хэрэгтэй гэдэг нь ойлгомжтой.

Жишээ 8

Параметрээр өгөгдсөн функцийн эхний ба хоёрдугаар деривативыг ол

Эхлээд анхны деривативыг олъё.
Бид томъёог ашигладаг

Энэ тохиолдолд:

Бид олсон деривативуудыг томъёонд орлуулна. Хялбарчлах зорилгоор бид тригонометрийн томъёог ашигладаг.

Функцийг хэд хэдэн аргаар тодорхойлж болно. Энэ нь үүнийг тодорхойлоход ашигладаг дүрмээс хамаарна. Функцийг тодорхойлох тодорхой хэлбэр нь y = f (x) юм. Түүний тайлбар боломжгүй эсвэл тохиромжгүй үе байдаг. Хэрэв (a; b) интервалаар t параметрийг тооцоолох шаардлагатай олон хос (x; y) байвал. x = 3 cos t y = 3 sin t системийг 0 ≤ t-тэй шийдэхийн тулд< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Параметр функцийн тодорхойлолт

Эндээс бид t ∈ (a; b) утгын хувьд x = φ (t), y = ψ (t) нь тодорхойлогдсон бөгөөд x = φ (t) -ийн хувьд урвуу функц t = Θ (x) байна. Бид даалгаврын тухай ярьж байна параметрийн тэгшитгэл y = ψ (Θ (x)) хэлбэрийн функцууд .

Функцийг судлахын тулд x-ийн деривативыг хайх шаардлагатай тохиолдол байдаг. y x " = ψ " (t) φ " (t) хэлбэрийн параметрийн тодорхойлогдсон функцийн деривативын томъёог авч үзье, 2 ба n-р эрэмбийн деривативын талаар ярилцъя.

Параметрээр тодорхойлогдсон функцийн деривативын томъёоны гарал үүсэл

Бидэнд x = φ (t), y = ψ (t), t ∈ a-ийн хувьд тодорхойлогдсон, ялгагдах боломжтой; b, энд x t " = φ " (t) ≠ 0 ба x = φ (t) бол t = Θ (x) хэлбэрийн урвуу функц байна.

Эхлээд та параметрийн даалгавараас тодорхой даалгавар руу шилжих хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд та x аргумент байгаа y = ψ (t) = ψ (Θ (x)) хэлбэрийн цогц функцийг авах хэрэгтэй.

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олох дүрэмд үндэслэн бид y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x болохыг олж авна.

Энэ нь t = Θ (x) ба x = φ (t) нь томьёоны урвуу функц болохыг харуулж байна. урвуу функцΘ "(x) = 1 φ " (t) , дараа нь y " x = ψ " Θ (x) · Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .

Ялгаварлах дүрмийн дагуу деривативын хүснэгтийг ашиглан хэд хэдэн жишээг шийдвэрлэх талаар ярилцъя.

Жишээ 1

x = t 2 + 1 y = t функцийн деривативыг ол.

Шийдэл

Нөхцөлөөр бид φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, эндээс φ " (t) = t 2 + 1 ", ψ " (t) = t " = 1 гэсэн утгыг олж авна. Та гарган авсан томъёог ашиглаж, хариултыг дараах хэлбэрээр бичих ёстой.

y " x = ψ " (t) φ " (t) = 1 2 т

Хариулт: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1.

h функцийн деривативтай ажиллахдаа t параметр нь деривативын утгууд болон параметрийн тодорхойлсон функцийн аргументтай холболтыг алдагдуулахгүйн тулд ижил параметрээр х аргументийн илэрхийлэлийг зааж өгдөг. Эдгээр үнэ цэнэ нь аль нь таарч байна.

Параметрээр өгөгдсөн функцийн хоёрдугаар эрэмбийн деривативыг тодорхойлохын тулд та үүссэн функц дээр нэгдүгээр эрэмбийн деривативын томъёог ашиглах хэрэгтэй бөгөөд дараа нь бид үүнийг олж авна.

y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " ( t) 2 φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 .

Жишээ 2

Өгөгдсөн x = cos (2 t) y = t 2 функцийн 2 ба 2-р эрэмбийн деривативуудыг ол.

Шийдэл

Нөхцөлөөр бид φ (t) = cos (2 t), ψ (t) = t 2 болохыг олж мэднэ.

Дараа нь өөрчлөлтийн дараа

φ " (t) = cos (2 т) " = - нүгэл (2 т) 2 т " = - 2 син (2 т) ψ (t) = t 2 " = 2 т

Үүнээс үзэхэд y x " = ψ " (t) φ " (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .

1-р эрэмбийн деривативын хэлбэр нь x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) болохыг олж авлаа.

Шийдвэрлэхийн тулд та хоёрдугаар эрэмбийн дериватив томъёог ашиглах хэрэгтэй. Бид хэлбэрийн илэрхийлэлийг олж авдаг

y x "" = - t нүгэл (2 т) φ " t = - t " · нүгэл (2 т) - t · (нүгэл (2 т)) " нүгэл 2 (2 т) - 2 нүгэл (2 т) = = 1 нүгэл (2 т) - t cos (2 т) (2 т) " 2 син 3 (2 т) = нүгэл (2 т) - 2 т кос (2 т) 2 нүгэл 3 (2 т)

Дараа нь параметрийн функцийг ашиглан 2-р эрэмбийн деривативыг зааж өгнө

x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Үүнтэй төстэй шийдлийг өөр аргыг ашиглан шийдэж болно. Дараа нь

φ " t = (cos (2 т)) " = - нүгэл (2 т) 2 т " = - 2 нүгэл (2 т) ⇒ φ "" t = - 2 нүгэл (2 т) " = - 2 нүгэл (2 t) " = - 2 cos (2 t) · (2 ​​t) " = - 4 cos (2 t) ψ " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 т) " = 2

Эндээс бид үүнийг олж авдаг

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 син (2 т) - 2 т (- 4 cos) (2 т)) - 2 син 2 т 3 = = нүгэл (2 т) - 2 т cos (2 т) 2 с i n 3 (2 т)

Хариулт: y "" x = нүгэл (2 т) - 2 т cos (2 т) 2 с i n 3 (2 т)

Параметрээр тодорхойлогдсон функц бүхий дээд эрэмбийн деривативууд ижил төстэй байдлаар олддог.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу