Геометр прогрессийн нийлбэрийг хэрхэн олох вэ. Геометрийн прогресс

Эхний түвшин

Геометрийн прогресс. Цогц гарын авлагажишээнүүдийн хамт (2019)

Тоон дараалал

Ингээд суугаад хэдэн тоо бичиж эхэлцгээе. Жишээлбэл:

Та ямар ч тоо бичиж болно, хүссэн хэмжээгээрээ байж болно (бидний тохиолдолд тэдгээр нь). Хичнээн тоо бичсэн ч аль нь эхнийх, аль нь хоёрдугаарт, цаашлаад сүүлчийнх нь хүртэл хэлж чадна, өөрөөр хэлбэл дугаарлаж болно. Энэ бол тооны дарааллын жишээ юм:

Тоон дараалалнь тоонуудын багц бөгөөд тус бүрд нь өвөрмөц дугаар өгч болно.

Жишээлбэл, бидний дарааллын хувьд:

Томилогдсон дугаар нь зөвхөн нэг дарааллын дугаарт зориулагдсан болно. Өөрөөр хэлбэл, дараалалд хоёр дахь гурван тоо байдаггүй. Хоёрдахь тоо (-дахь дугаар гэх мэт) үргэлж ижил байна.

Тоотой тоог дарааллын --р гишүүн гэнэ.

Бид ихэвчлэн бүхэл дарааллыг ямар нэг үсэг (жишээлбэл,) гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ дарааллын гишүүн бүрийг энэ гишүүний тоотой тэнцүү индекстэй ижил үсэг гэж нэрлэдэг: .

Манай тохиолдолд:

Прогрессийн хамгийн түгээмэл хэлбэр нь арифметик ба геометр юм. Энэ сэдвээр бид хоёр дахь төрлийн талаар ярих болно - геометрийн прогресс.

Бидэнд яагаад геометрийн прогресс, түүний түүх хэрэгтэй байна вэ?

Эрт дээр үед ч гэсэн Италийн математикч, Пизагийн лам Леонардо (Фибоначчи гэгддэг) худалдааны практик хэрэгцээг авч үздэг байв. Лам барааг жинлэхэд хамгийн бага хэдэн жинг тодорхойлох даалгавартай тулгарсан бэ? Фибоначчи өөрийн зохиолууддаа жингийн ийм систем нь оновчтой гэдгийг нотолж байна: Энэ бол хүмүүс геометрийн прогрессийг даван туулах ёстой анхны нөхцөл байдлын нэг бөгөөд үүнийг та сонссон бөгөөд наад зах нь ч мэдэж байсан байх. ерөнхий ойлголт. Сэдвийг бүрэн ойлгосны дараа ийм систем яагаад оновчтой байдаг талаар бодож үзээрэй?

Одоогийн байдлаар амьдралын практикт геометрийн прогресс нь банкинд хөрөнгө оруулалт хийх үед өмнөх хугацаанд дансанд хуримтлагдсан дүнгээс хүүгийн хэмжээг ногдуулах үед илэрдэг. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв та хадгаламжийн банкинд хугацаатай хадгаламжинд мөнгө байршуулсан бол жилийн дараа хадгаламж анхны дүнгээсээ нэмэгдэх болно, өөрөөр хэлбэл. шинэ дүн нь шимтгэлийг үржүүлсэнтэй тэнцүү байх болно. Өөр нэг жил энэ хэмжээ нэмэгдэх болно, өөрөөр хэлбэл. тухайн үед олж авсан дүнг дахин үржүүлнэ гэх мэт. Үүнтэй төстэй нөхцөл байдлыг тооцоолох асуудал гэж нэрлэгддэг нийлмэл хүү- өмнөх хүүг харгалзан дансанд байгаа дүнгээс хувь хэмжээг авна. Бид эдгээр ажлуудын талаар бага зэрэг дараа ярих болно.

Геометрийн прогрессийг ашиглах олон энгийн тохиолдол байдаг. Жишээлбэл, томуугийн тархалт: нэг хүн нэг хүнд халдварласан, тэд эргээд өөр хүнд халдварладаг, улмаар халдварын хоёр дахь давалгаа нь хүн, тэд эргээд өөр нэг хүнд халдварласан ... гэх мэт. .

Дашрамд хэлэхэд санхүүгийн пирамид, ижил MMM нь геометрийн прогрессийн шинж чанарын дагуу энгийн бөгөөд хуурай тооцоолол юм. Сонирхолтой юу? Үүнийг олж мэдье.

Геометрийн прогресс.

Бидэнд тооны дараалал байна гэж бодъё:

Энэ нь амархан бөгөөд ийм дарааллын нэр нь гишүүдийн зөрүүтэй арифметик прогресс гэж та шууд хариулах болно. Ийм зүйл байвал яах вэ:

Хэрэв та дараагийн тооноос өмнөх тоог хасвал шинэ ялгаа (г.м.) авах бүртээ дараалал нь гарцаагүй байгаа бөгөөд анзаарахад хялбар болохыг харах болно - дараагийн тоо бүр өмнөх тооноос хэд дахин их байна!

Энэ төрлийн дарааллыг нэрлэдэг геометрийн прогрессболон тэмдэглэгдсэн байна.

Геометр прогресс ( ) нь эхний гишүүн нь тэгээс ялгаатай, хоёр дахь гишүүнээс эхлэн өмнөх гишүүнтэй тэнцүү, ижил тоогоор үржүүлсэн тоон дараалал юм. Энэ тоог геометр прогрессийн хуваагч гэж нэрлэдэг.

Эхний гишүүн ( ) нь тэнцүү биш бөгөөд санамсаргүй биш гэсэн хязгаарлалтууд. Нэг ч байхгүй гэж бодъё, эхний гишүүн нь тэнцүү хэвээр, q нь хмм .. байг, тэгвэл энэ нь гарч ирнэ:

Энэ бол дэвшил биш гэдгийг хүлээн зөвшөөр.

Таны ойлгож байгаагаар, тэгээс өөр тоо байвал бид ижил үр дүнг авах болно, гэхдээ. Эдгээр тохиолдолд бүх тооны цуврал нь бүгд тэг, эсвэл нэг тоо, үлдсэн бүх нь тэг байх тул ямар ч дэвшил гарахгүй.

Одоо геометр прогрессийн хуваагч, өөрөөр хэлбэл тухай илүү дэлгэрэнгүй ярилцъя.

Дахин хэлье: - энэ бол тоо, дараагийн нэр томъёо бүр хэдэн удаа өөрчлөгдөх вэгеометрийн прогресс.

Энэ нь юу байж болох юм гэж та бодож байна вэ? Энэ нь зөв, эерэг ба сөрөг, гэхдээ тэг биш (бид энэ талаар бага зэрэг өндөр ярьсан).

Бидэнд эерэг зүйл байна гэж бодъё. Манай тохиолдолд, а. Юу секундтэй тэнцүүгишүүн болон? Та үүнд амархан хариулж чадна:

Зүгээр дээ. Үүний дагуу, хэрвээ, дараа нь прогрессийн бүх гишүүд ижил тэмдэгтэй байна - тэд эерэг.

Хэрэв энэ нь сөрөг байвал яах вэ? Тухайлбал, А. Хоёр дахь нэр томъёо гэж юу вэ?

Энэ бол огт өөр түүх юм

Энэ дэвшлийн хугацааг тоолж үзээрэй. Та хэд авсан бэ? Надад бий. Тиймээс, хэрэв тийм бол геометрийн прогрессийн нөхцлийн тэмдгүүд ээлжлэн солигдоно. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв та түүний гишүүдэд ээлжлэн тэмдэглэгдсэн прогрессийг харвал түүний хуваагч сөрөг байна. Энэхүү мэдлэг нь энэ сэдвээр асуудлыг шийдвэрлэхэд өөрийгөө шалгахад тусална.

Одоо жаахан дасгал хийцгээе: аль тоон дараалал нь геометрийн прогресс, аль нь арифметик болохыг тодорхойлохыг хичээ.

Авчихсан? Бидний хариултыг харьцуулна уу:

• Геометрийн прогресс - 3, 6.
• Арифметик прогресс - 2, 4.
• Энэ нь арифметик ч биш, геометрийн прогресс ч биш - 1, 5, 7.

Сүүлчийн прогресс руугаа буцаж, арифметикийн нэгэн адил гишүүнийг олохыг хичээцгээе. Таны таамаглаж байсанчлан үүнийг олох хоёр арга бий.

Бид гишүүн бүрийг дараалан үржүүлдэг.

Тэгэхээр тайлбарласан геометр прогрессийн --р гишүүн тэнцүү байна.

Та аль хэдийн таамаглаж байсанчлан, одоо та өөрөө геометрийн прогрессийн аль нэг гишүүнийг олоход туслах томьёог гаргаж авах болно. Эсвэл та 3-р гишүүнийг хэрхэн үе шаттайгаар олох талаар тайлбарлаж өгчихсөн үү? Хэрэв тийм бол өөрийн үндэслэлийн зөв эсэхийг шалгаарай.

Үүнийг энэ прогрессийн --р гишүүнийг олох жишээгээр тайлбарлая.

Өөрөөр хэлбэл:

Өгөгдсөн геометр прогрессийн гишүүний утгыг өөрөө ол.

Болсон уу? Бидний хариултыг харьцуулна уу:

Бид геометр прогрессийн өмнөх гишүүн бүрээр дараалан үржүүлснээр өмнөх аргынхтай яг ижил тоог авсан гэдгийг анхаарна уу.
"Хувь хүнгүй болгохыг" хичээцгээе. энэ томъёо- үүнийг ерөнхий хэлбэрт оруулаад дараахийг авъя.

Гарсан томъёо нь эерэг ба сөрөг аль алинд нь бүх утгын хувьд үнэн юм. Дараах нөхцлөөр геометр прогрессийн гишүүнийг тооцоолж өөрөө шалгана уу: , a.

Тоолсон уу? Үр дүнг харьцуулж үзье:

Гишүүнтэй адил дэвшлийн гишүүнийг олох боломжтой гэдэгтэй санал нийлнэ, гэхдээ буруу тооцоолол хийх магадлалтай. Хэрэв бид геометр прогрессийн 3-р гишүүнийг аль хэдийн олсон бол томьёоны "таслагдсан" хэсгийг ашиглахаас илүү хялбар зүйл юу байж болох вэ.

Хязгааргүй буурдаг геометр прогресс.

Саяхан бид тэгээс их, бага аль аль нь байж болох талаар ярилцсан, гэхдээ байдаг онцгой утгатайүүний доор геометр прогресс гэж нэрлэдэг хязгааргүй буурч байна.

Яагаад ийм нэртэй болсон гэж та бодож байна вэ?
Эхлэхийн тулд гишүүдээс бүрдсэн геометрийн прогрессийг бичье.
Дараа нь хэлье:

Дараагийн нэр томъёо бүр өмнөхөөсөө цөөн байгааг бид харж байна, гэхдээ ямар нэгэн тоо байх уу? Та тэр даруй хариулах болно - "үгүй". Тийм ч учраас хязгааргүй буурдаг - буурдаг, буурдаг, гэхдээ хэзээ ч тэг болдоггүй.

Энэ нь нүдээр ямар харагддагийг тодорхой ойлгохын тулд өөрсдийн дэвшлийн графикийг зурахыг хичээцгээе. Тиймээс, бидний хувьд томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

График дээр бид хараат байдлыг бий болгоход дассан байдаг тул:

Илэрхийллийн мөн чанар өөрчлөгдөөгүй: эхний оруулгад бид геометр прогрессийн гишүүний утга нь түүний дарааллын тооноос хамааралтай болохыг харуулсан бөгөөд хоёр дахь оруулгад бид зүгээр л геометр прогрессийн гишүүний утгыг, мөн дарааллын тоог гэж биш, харин гэж тодорхойлсон. График зурах л үлдлээ.
Танд юу байгааг харцгаая. Миний авсан график энд байна:

Харж байна уу? Функц нь буурч, тэг болох хандлагатай байдаг, гэхдээ үүнийг хэзээ ч давдаггүй, тиймээс энэ нь хязгааргүй буурч байна. График дээр цэгүүдээ тэмдэглэж, координат нь юу гэсэн үг болохыг харцгаая.

Хэрэв эхний гишүүн нь тэнцүү бол геометр прогрессийн графикийг бүдүүвчээр дүрсэлж үзээрэй. Манай өмнөх графикаас юугаараа ялгаатай болохыг шинжилнэ үү?

Та удирдаж чадсан уу? Миний авсан график энд байна:

Одоо та геометр прогрессийн сэдвийн үндсийг бүрэн ойлгосон: та энэ нь юу болохыг мэддэг, түүний гишүүнийг хэрхэн олохыг мэддэг, мөн төгсгөлгүй буурдаг геометрийн прогресс гэж юу болохыг мэддэг болсон тул түүний үндсэн шинж чанарт шилжье.

геометр прогрессийн шинж чанар.

Гишүүдийн өмчийг санаарай арифметик прогресс? Тийм ээ, тийм, энэ прогрессийн гишүүдийн өмнөх болон дараагийн утгууд байгаа тохиолдолд тодорхой тооны прогрессийн утгыг хэрхэн олох вэ. Санаж байна уу? Энэ:

Одоо бид геометрийн прогрессийн нөхцлийн хувьд яг ижил асуулттай тулгарч байна. Ийм томьёог гаргахын тулд зурж, бодож эхэлцгээе. Та харах болно, энэ нь маш амархан, хэрэв та мартвал өөрөө гаргаж ирж болно.

Бидний мэддэг өөр нэг энгийн геометрийн прогрессийг авч үзье. Хэрхэн олох вэ? Арифметик прогрессийн хувьд энэ нь хялбар бөгөөд энгийн боловч энд яаж байна вэ? Үнэн хэрэгтээ геометрийн хувьд ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй - та бидэнд өгсөн утга бүрийг томъёоны дагуу зурах хэрэгтэй.

Та асууж байна, одоо бид үүнийг яах вэ? Тийм ээ, маш энгийн. Эхлэхийн тулд эдгээр томьёог зурган дээр дүрсэлж, үнэ цэнэд хүрэхийн тулд тэдэнтэй янз бүрийн залруулга хийхийг хичээцгээе.

Бид өгөгдсөн тоонуудаас хийсвэрлэж, зөвхөн томъёогоор дамжуулан тэдгээрийн илэрхийлэлд анхаарлаа хандуулах болно. Бид тодруулсан утгыг олох хэрэгтэй жүрж, түүнтэй зэргэлдээх нэр томъёог мэддэг. Тэдэнтэй хамт үйлдвэрлэл явуулахыг хичээцгээе төрөл бүрийн үйл ажиллагаа, үүний үр дүнд бид авч болно.

Нэмэлт.
Хоёр илэрхийлэл нэмэхийг оролдоод үзье:

Энэ илэрхийллээс харахад бид ямар ч байдлаар илэрхийлэх боломжгүй тул өөр хувилбар болох хасах аргыг туршиж үзэх болно.

Хасах.

Таны харж байгаагаар бид үүнээс ч илэрхийлэх боломжгүй тул эдгээр илэрхийлэлийг бие биенээсээ үржүүлэхийг хичээх болно.

Үржүүлэх.

Одоо бидэнд өгөгдсөн геометр прогрессийн нөхцлүүдийг олох ёстой зүйлтэй харьцуулан үржүүлж, бид юу байгааг анхааралтай ажигла.

Би юу яриад байгааг таагаарай? Зөв, олохын тулд бид авах хэрэгтэй Квадрат язгуурХүссэн тоотой зэргэлдээх геометрийн прогрессийн тооноос бие биенээ үржүүлнэ.

Энд байна. Та өөрөө геометрийн прогрессийн шинж чанарыг гаргасан. Энэ томьёог бичээд үзээрэй ерөнхий үзэл. Болсон уу?

Хэзээ нөхцөл байдлыг мартсан бэ? Энэ нь яагаад чухал болохыг бодоод үзээрэй, жишээлбэл, үүнийг өөрөө тооцоолж үзээрэй. Энэ тохиолдолд юу болох вэ? Зөв, бүрэн утгагүй зүйл, учир нь томъёо нь дараах байдалтай байна.

Үүний дагуу энэ хязгаарлалтыг мартаж болохгүй.

Одоо юу болохыг тооцоолъё

Зөв хариулт - ! Хэрэв та тооцоолохдоо хоёрдахь боломжит утгыг мартаагүй бол та маш сайн хүн бөгөөд та шууд сургалтанд хамрагдах боломжтой бөгөөд хэрэв та мартсан бол доор задлан шинжилсэн зүйлийг уншиж, хариултанд яагаад хоёр үндэсийг бичих ёстойг анхаарч үзээрэй. .

Нэг нь утгатай, нөгөө нь утгатай хоёр геометр прогрессоо зурж, хоёуланг нь оршин байх эрхтэй эсэхийг шалгацгаая.

Ийм геометрийн прогресс байгаа эсэхийг шалгахын тулд өгөгдсөн бүх гишүүдийн хооронд ижил байгаа эсэхийг шалгах шаардлагатай юу? Эхний болон хоёр дахь тохиолдлын хувьд q-г тооцоол.

Бид яагаад хоёр хариулт бичих ёстойг харж байна уу? Учир нь шаардлагатай нэр томъёоны тэмдэг нь эерэг эсвэл сөрөг эсэхээс хамаарна! Энэ нь юу болохыг бид мэдэхгүй тул бид хоёр хариултыг нэмэх, хасах хоёроор бичих хэрэгтэй.

Одоо та үндсэн санааг эзэмшиж, геометр прогрессийн шинж чанарын томъёог гаргаж авсан тул олж, мэдэж,

Хариултаа зөв хариулттай харьцуулна уу:

Хэрэв бидэнд хүссэн тооны зэргэлдээх геометрийн прогрессийн гишүүдийн утгыг биш, түүнээс ижил зайд өгвөл яах вэ гэж та юу гэж бодож байна вэ? Жишээлбэл, бид олох хэрэгтэй, мөн өгсөн ба. Энэ тохиолдолд бид гаргаж авсан томъёогоо ашиглаж болох уу? Томьёог анх гаргахдаа хийсэн шиг утга тус бүр нь юунаас бүрдэхийг тайлбарлаж, энэ боломжийг баталгаажуулах эсвэл үгүйсгэхийг хичээгээрэй.
Та юу авсан бэ?

Одоо дахин анхааралтай ажигла.
мөн үүний дагуу:

Эндээс бид томъёо ажиллаж байна гэж дүгнэж болно зөвхөн хөрштэйгөө ч бишгеометр прогрессийн хүссэн нөхцөлтэй, гэхдээ бас хамт тэнцүү зайдгишүүдийн хайж байгаа зүйлээс.

Тиймээс бидний анхны томъёо нь:

Өөрөөр хэлбэл, хэрэв бид эхний тохиолдолд ингэж хэлсэн бол одоо энэ нь аль ч натурал тоотой тэнцүү байж болно гэж хэлж байна. Хамгийн гол нь өгөгдсөн тоо хоёуланд нь адилхан байх явдал юм.

Дадлага хийх тодорхой жишээнүүдзүгээр л маш болгоомжтой байгаарай!

1. , . Хай.
2. , . Хай.
3. , . Хай.

Би шийдсэн? Та маш анхааралтай байж, жижиг зүйл анзаарсан гэж найдаж байна.

Бид үр дүнг харьцуулна.

Эхний хоёр тохиолдолд бид дээрх томъёог тайвнаар хэрэглэж, дараах утгыг авна.

Гурав дахь тохиолдолд нарийвчилсан үзлэгээр серийн дугааруудбидэнд өгсөн тоонууд нь бидний хайж буй тооноос ижил зайд биш гэдгийг бид ойлгож байна: энэ нь өмнөх тоо боловч байрлалд хасагдсан тул томъёог хэрэглэх боломжгүй юм.

Үүнийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ? Энэ нь үнэндээ санагдаж байгаа шиг тийм ч хэцүү биш юм! Бидэнд өгөгдсөн болон хүссэн тоо бүр юунаас бүрдэж байгааг та бүхэнтэй хамт бичье.

Тиймээс бидэнд байгаа ба. Тэдэнтэй юу хийж болохыг харцгаая. Би хуваахыг санал болгож байна. Бид авах:

Бид өгөгдлийг томъёонд орлуулна:

Дараагийн алхам бол бид үүнийг хийх ёстой шоо үндэсхүлээн авсан дугаараас.

Одоо бид юу байгааг дахин харцгаая. Бидэнд байгаа, гэхдээ бид олох хэрэгтэй бөгөөд энэ нь эргээд дараахтай тэнцүү байна.

Тооцоолоход шаардлагатай бүх өгөгдлийг бид олсон. Томъёонд орлуулах:

Бидний хариулт: .

Өөр нэг ижил асуудлыг өөрөө шийдэхийг хичээ:
Өгөгдсөн: ,
Олно:

Та хэд авсан бэ? Надад бий - .

Таны харж байгаагаар үнэндээ танд хэрэгтэй зөвхөн нэг томъёог санаарай- . Үлдсэн бүхнээ та ямар ч үед ямар ч хүндрэлгүйгээр татан авч болно. Үүнийг хийхийн тулд хамгийн энгийн геометрийн прогрессийг цаасан дээр бичиж, дээрх томьёоны дагуу түүний тоо бүр юутай тэнцүү болохыг бичнэ үү.

Геометр прогрессийн гишүүний нийлбэр.

Одоо өгөгдсөн интервал дахь геометрийн прогрессийн нөхцлийн нийлбэрийг хурдан тооцоолох боломжийг бидэнд олгодог томъёог авч үзье.

Хязгаарлагдмал геометр прогрессийн гишүүний нийлбэрийн томъёог гаргахын тулд дээрх тэгшитгэлийн бүх хэсгийг үржүүлнэ. Бид авах:

Сайн ажигла: сүүлийн хоёр томъёонд юу нийтлэг байдаг вэ? Тийм шүү, жирийн гишүүд, жишээлбэл, эхний болон сүүлчийн гишүүнээс бусад нь. 2-р тэгшитгэлээс 1-р тэгшитгэлийг хасахыг оролдъё. Та юу авсан бэ?

Одоо геометр прогрессийн гишүүний томьёогоор илэрхийлж, үр дүнгийн илэрхийлэлийг бидний сүүлчийн томъёонд орлуулна уу.

Илэрхийлэлийг бүлэглэх. Та авах ёстой:

Үүнийг илэрхийлэх л үлдлээ:

Үүний дагуу, энэ тохиолдолд.

Хэрвээ? Тэгвэл ямар томьёо ажилладаг вэ? Геометрийн прогрессийг төсөөлөөд үз дээ. Тэр ямархуу хүн бэ? Ижил тоонуудын цуваа зөв байвал томъёо нь дараах байдлаар харагдах болно.

Арифметик болон геометрийн прогрессийн нэгэн адил олон домог байдаг. Тэдний нэг нь шатрыг бүтээгч Сэтийн домог юм.

Шатрын тоглоомыг Энэтхэгт зохион бүтээсэн гэдгийг олон хүн мэддэг. Хинду хаан түүнтэй уулзахдаа түүний оюун ухаан, түүний олон янзын албан тушаалд сэтгэл хангалуун байв. Үүнийг өөрийн харьяат хүмүүсийн нэг нь зохион бүтээсэн болохыг мэдээд хаан түүнийг биечлэн шагнахаар шийджээ. Тэрээр зохион бүтээгчийг дуудаж, хамгийн чадварлаг хүслийг нь биелүүлэхээ амлаж, хүссэн бүхнээ гуйхыг тушаажээ.

Сета эргэцүүлэн бодох цаг хүсч, маргааш нь Сета хааны өмнө гарч ирэхэд тэрээр өөрийн хүсэлтийн хосгүй даруу зангаараа хааныг гайхшруулав. Тэрээр шатрын тавцангийн эхний дөрвөлжинд улаан буудай, хоёр дахь нь улаан буудай, гурав дахь, дөрөв дэх нь улаан буудай гэх мэтийг гуйв.

Хаан уурлаж, зарцын хүсэлт нь хааны өгөөмөр сэтгэлд зохисгүй гэж хэлээд Сэтийг хөөж явуулсан боловч зарц нь самбарын бүх эсүүдэд үр тариагаа авна гэж амлав.

Одоо асуулт гарч ирнэ: геометрийн прогрессийн гишүүдийн нийлбэрийн томъёог ашиглан Сет хэдэн үр тариа авах ёстойг тооцоолно уу?

Ярилцаж эхэлцгээе. Нөхцөлийн дагуу Сэт шатрын самбарын эхний нүдэнд, хоёр дахь, гурав дахь, дөрөв дэх гэх мэт улаан буудайн үр тариа хүссэн тул асуудал нь геометрийн прогрессийн тухай болохыг харж байна. Энэ тохиолдолд юу тэнцүү вэ?
Зөв.

Шатрын самбарын нийт нүд. Тус тусад нь, . Бидэнд бүх өгөгдөл байгаа, зөвхөн томъёонд орлуулж, тооцоолоход л үлддэг.

Өгөгдсөн тооны "масштаб"-ыг дор хаяж ойролцоогоор илэрхийлэхийн тулд бид градусын шинж чанарыг ашиглан хувиргана.

Мэдээжийн хэрэг, хэрэв та хүсвэл тооцоолуур авч, ямар тоо гарахаа тооцоолж болно, хэрэв үгүй ​​бол та миний үгийг хүлээж авах хэрэгтэй: илэрхийллийн эцсийн утга нь байх болно.
Тэр бол:

квиниллион квадриллион тэрбум тэрбум сая мянга.

Фух) Хэрэв та энэ тооны асар ихийг төсөөлөхийг хүсч байвал үр тарианы бүх хэмжээг багтаахын тулд ямар хэмжээтэй амбаар шаардлагатай болохыг тооцоол.
Амбаарын өндөр нь м, өргөн нь м бол түүний урт нь км хүртэл үргэлжлэх ёстой, өөрөөр хэлбэл. Дэлхийгээс Нар хүртэл хоёр дахин хол.

Хэрэв хаан математикт хүчтэй байсан бол тэр эрдэмтэнд үр тариа тоолохыг санал болгож болох юм, учир нь сая үр тариа тоолохын тулд ядаж нэг өдөр уйгагүй тоолох шаардлагатай бөгөөд квинтиллионыг тоолох шаардлагатайг харгалзан үзвэл үр тариаг насан туршдаа тоолох хэрэгтэй болно.

Одоо бид геометр прогрессийн нөхцлүүдийн нийлбэр дээр энгийн бодлогыг шийдэх болно.
5-р ангийн сурагч Вася ханиад томуу туссан ч сургуульдаа явсаар байна. Өдөр бүр Вася хоёр хүнд халдварладаг бөгөөд энэ нь эргээд хоёр хүнд халдварладаг гэх мэт. Ангид ганцхан хүн. Хэдэн өдрийн дараа бүх анги ханиад тусах вэ?

Тиймээс геометрийн прогрессийн анхны гишүүн бол Вася, өөрөөр хэлбэл хүн юм. геометр прогрессийн 3-р гишүүн, энэ бол түүний ирсэн эхний өдөр халдвар авсан хоёр хүн юм. Прогрессийн гишүүдийн нийт нийлбэр нь сурагчдын тоо 5А-тай тэнцүү байна. Үүний дагуу бид ахиц дэвшлийн тухай ярьж байна:

Геометр прогрессийн гишүүний нийлбэрийн томъёонд өгөгдөлөө орлуулъя.

Хэд хоногийн дотор анги бүхэлдээ өвдөнө. Томьёо, тоонд итгэхгүй байна уу? Оюутнуудын "халдвар" -ыг өөрөө дүрслэхийг хичээ. Болсон уу? Энэ нь надад ямар харагдаж байгааг хараарай:

Хэрвээ хүн бүр нэг хүнд халдварлавал, ангид нэг хүн байсан бол сурагчид хэдэн өдөр ханиад хүрэхийг өөрсдөө тооцоол.

Та ямар үнэ цэнийг авсан бэ? Нэг өдрийн дараа хүн бүр өвдөж эхэлсэн.

Таны харж байгаагаар ийм даалгавар, түүнд зориулсан зураг нь пирамидтай төстэй бөгөөд дараагийн ажил бүр нь шинэ хүмүүсийг "аливаа" авчирдаг. Гэсэн хэдий ч, эрт орой хэзээ нэгэн цагт сүүлчийнх нь хэнийг ч татахгүй байх мөч ирдэг. Манай тохиолдолд анги тусгаарлагдсан гэж төсөөлвөл тухайн хүн гинжийг хаадаг (). Тиймээс, хэрэв та өөр хоёр оролцогчийг авчрах юм бол мөнгө өгсөн санхүүгийн пирамид оролцсон бол тухайн хүн (эсвэл ерөнхий тохиолдол) хэнийг ч авчрахгүй, тус тусын хувьд энэ санхүүгийн луйварт хөрөнгө оруулалт хийсэн бүх зүйлээ алдах болно.

Дээр дурдсан бүх зүйл нь буурч эсвэл нэмэгдэж буй геометрийн прогрессийг хэлдэг боловч таны санаж байгаагаар бидэнд онцгой төрөл байдаг - хязгааргүй буурдаг геометрийн прогресс. Гишүүдийн нийлбэрийг хэрхэн тооцох вэ? Мөн энэ төрлийн дэвшил яагаад тодорхой шинж чанартай байдаг вэ? Үүнийг хамтдаа олж мэдэцгээе.

Тиймээс, эхлэгчдэд бидний жишээн дээрх хязгааргүй буурч буй геометр прогрессийн зургийг дахин харцгаая.

Одоо арай эрт гаргасан геометр прогрессийн нийлбэрийн томъёог харцгаая.
эсвэл

Бид юуны төлөө хичээж байна вэ? Энэ нь зөв, тэг рүү чиглэж байгааг график харуулж байна. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь бараг тэнцүү байх үед илэрхийлэлийг тооцоолохдоо бид бараг л авах болно. Үүнтэй холбогдуулан бид хязгааргүй буурч буй геометрийн прогрессийн нийлбэрийг тооцоолохдоо энэ хаалт нь тэнцүү байх тул үл тоомсорлож болно гэж бид үзэж байна.

- томьёо нь хязгааргүй буурах геометр прогрессийн гишүүдийн нийлбэр юм.

ЧУХАЛ!Нөхцөл нь нийлбэрийг олох шаардлагатай гэж тодорхой заасан тохиолдолд л бид хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн гишүүний нийлбэрийн томъёог ашиглана. эцэс төгсгөлгүйгишүүдийн тоо.

Хэрэв тодорхой n тоог зааж өгсөн бол бид n гишүүний нийлбэрийн томъёог, эсвэл эсвэл байсан ч ашигладаг.

Тэгээд одоо дадлага хийцгээе.

1. Геометр прогрессийн эхний гишүүний нийлбэрийг багаар ол.
2. Хязгааргүй буурах геометр прогрессийн гишүүний нийлбэрийг ба-тай ол.

Та маш болгоомжтой байсан гэж найдаж байна. Бидний хариултыг харьцуулна уу:

Одоо та геометрийн прогрессийн талаар бүх зүйлийг мэддэг болсон бөгөөд онолоос практикт шилжих цаг болжээ. Шалгалтанд олдсон хамгийн түгээмэл экспоненциал асуудлууд бол нийлмэл хүүгийн бодлого юм. Тэдний тухай бид ярих болно.

Нийлмэл хүүг тооцох асуудал.

Нийлмэл хүүгийн томьёо гэж та сонссон байх. Чи түүний юу хэлэх гээд байгааг ойлгож байна уу? Хэрэв үгүй ​​​​бол үүнийг олж мэдье, учир нь процессыг өөрөө ойлгосноор та геометрийн прогресс үүнтэй ямар холбоотой болохыг шууд ойлгох болно.

Бид бүгд банк руу очоод байдаг гэдгийг мэддэг өөр өөр нөхцөл байдалхадгаламж дээр: энэ нь хугацаа, нэмэлт засвар үйлчилгээ, хоёртой хувь хэмжээ юм янз бүрийн арга замуудтүүний тооцоо - энгийн бөгөөд төвөгтэй.

FROM энгийн сонирхолбүх зүйл тодорхой, бага байна: хүүг хадгаламжийн хугацаа дуусахад нэг удаа тооцдог. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв бид жилд 100 рубль оруулах тухай ярьж байгаа бол зөвхөн жилийн эцэст л тооцогдох болно. Үүний дагуу хадгаламжийн төгсгөлд бид рубль авах болно.

Нийлмэл хүүнь сонголт юм хүүгийн капиталжуулалт, өөрөөр хэлбэл хадгаламжийн мөнгөн дүнг нэмж, эхний орлогоос бус харин хадгаламжийн хуримтлагдсан дүнгээс орлогын дараагийн тооцоо. Том үсгээр бичих нь байнга тохиолддоггүй, гэхдээ тодорхой давтамжтай байдаг. Дүрмээр бол ийм хугацаа нь тэнцүү бөгөөд ихэнхдээ банкууд сар, улирал эсвэл жил ашигладаг.

Бид жилд бүгд ижил рубль, харин ордыг сар бүр капиталжуулах нь тавьж гэж үзье. Бид юу авах вэ?

Та энд бүх зүйлийг ойлгож байна уу? Үгүй бол алхам алхмаар авч үзье.

Бид банкинд рубль авчирсан. Сарын эцэс гэхэд бидний дансанд рубль болон түүний хүүгээс бүрдэх мөнгө байх ёстой, өөрөөр хэлбэл:

Би зөвшөөрч байна?

Бид үүнийг хаалтнаас гаргаж аваад дараа нь дараах зүйлийг авна.

Зөвшөөрч байна, энэ томъёо нь бидний эхэнд бичсэнтэй илүү төстэй юм. Энэ нь хувь хэмжээг шийдвэрлэх хэвээр байна

Асуудлын нөхцөл байдалд бид жилийн тухай өгүүлдэг. Та бүхний мэдэж байгаагаар бид үржүүлдэггүй - бид хувь хэмжээг хувиргадаг аравтын бутархай, тэр бол:

Тийм үү? Одоо та энэ дугаар хаанаас ирсэн бэ гэж асууж байна. Маш энгийн!
Би давтан хэлье: асуудлын нөхцөл байдал тухай өгүүлдэг ЖИЛ БҮРИЙНхуримтлагдсан хүү САР БҮР. Та бүхний мэдэж байгаагаар, нэг жилийн дараа банк биднээс сар бүр жилийн хүүгийн тодорхой хэсгийг авах болно.

Ойлгосон уу? Одоо хүүг өдөр бүр тооцдог гэж хэлвэл томъёоны энэ хэсэг ямар харагдахыг бичээд үзээрэй.
Та удирдаж чадсан уу? Үр дүнг харьцуулж үзье:

Сайн хийлээ! Даалгавар руугаа буцаж орцгооё: хуримтлагдсан хадгаламжийн дүнгээс хүү тооцож байгааг харгалзан хоёр дахь сард манай дансанд хэдэн төгрөг орохыг бичнэ үү.
Надад юу тохиолдсоныг энд харуулав.

Эсвэл өөрөөр хэлбэл:

Та энэ бүхнээс нэгэн хэв маягийг анзаарч, геометрийн прогрессийг харсан байх гэж бодож байна. Гишүүн нь юутай тэнцэх, өөрөөр хэлбэл, бид сарын эцэст хэдий хэмжээний мөнгө авахыг бичнэ үү.
Тийм үү? Шалгаж байна!

Таны харж байгаагаар, хэрэв та банкинд жилийн турш энгийн хүүтэй мөнгө байршуулбал рубль, нийлмэл ханшаар хийвэл рубль авах болно. Үр ашиг нь бага, гэхдээ энэ нь зөвхөн жилийн хугацаанд л тохиолддог, гэхдээ илүү урт хугацаанд капиталжуулалт нь илүү ашигтай байдаг.

Нийлмэл хүүгийн өөр төрлийн асуудлыг авч үзье. Таны олж мэдсэн зүйл бол таны хувьд энгийн зүйл байх болно. Тиймээс даалгавар нь:

Звезда 2000 онд долларын хөрөнгөөр ​​тус салбарт хөрөнгө оруулалт хийж эхэлсэн. 2001 оноос хойш жил бүр өмнөх оны өөрийн хөрөнгөтэй тэнцэх хэмжээний ашигтай ажиллаж байна. Хэрэв ашгаа эргэлтээс хасаагүй бол 2003 оны эцэст Звезда компани хэр их ашиг авах вэ?

2000 онд Звезда компанийн нийслэл.
- 2001 онд Звезда компанийн нийслэл.
- 2002 онд Звезда компанийн нийслэл.
- 2003 онд Звезда компанийн нийслэл.

Эсвэл бид товчхон бичиж болно:

Бидний хувьд:

2000, 2001, 2002, 2003 он.

Тус тусад нь:
рубль
Хувийг ЖИЛ БҮР өгөгдсөн бөгөөд ЖИЛ БҮРээр тооцдог тул энэ бодлогод бид хуваах эсвэл хуваах боломжгүй гэдгийг анхаарна уу. Өөрөөр хэлбэл, нийлмэл хүүгийн асуудлыг уншихдаа хэдэн хувь, ямар хугацаанд ногдуулахыг анхаарч, дараа нь тооцоогоо үргэлжлүүлнэ үү.
Одоо та геометрийн прогрессийн талаар бүгдийг мэддэг болсон.

Дасгал хийх.

1. Хэрэв мэдэгдэж байгаа бол геометр прогрессийн гишүүнийг ол, ба
2. Хэрэв мэдэгдэж байгаа бол геометр прогрессийн эхний гишүүний нийлбэрийг ол, ба
3. МДМ Капитал 2003 онд долларын хөрөнгөөр ​​тус салбарт хөрөнгө оруулалт хийж эхэлсэн. 2004 оноос хойш жил бүр өмнөх жилийн хөрөнгөтэй тэнцэх хэмжээний ашиг олдог болсон. "MSK" компани мөнгөн гүйлгээ” 2005 оноос тус салбарт 10 мянган ам.долларын хөрөнгө оруулалт хийж, 2006 оноос ашиг олж эхэлсэн. Хэрэв 2007 оны эцэст ашгаа эргэлтээс татан аваагүй бол нэг компанийн дүрмийн сан нөгөө компанийнхаас хэдэн доллараар давсан бэ?

Хариултууд:

1. Асуудлын нөхцөл нь прогресс нь хязгааргүй гэж хэлээгүй бөгөөд түүний тодорхой тооны гишүүдийн нийлбэрийг олох шаардлагатай тул тооцооллыг дараах томъёоны дагуу гүйцэтгэнэ.
2. 
   "MDM Капитал" компани:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - 100%, өөрөөр хэлбэл 2 дахин нэмэгддэг.
   Тус тусад нь:
   рубль
   MSK мөнгөн гүйлгээ:

   2005, 2006, 2007.
   - дахин, өөрөөр хэлбэл дахин нэмэгддэг.
   Тус тусад нь:
   рубль
   рубль

Дүгнэж хэлье.

1) Геометр прогресс ( ) нь эхний гишүүн нь тэгээс ялгаатай, хоёр дахь гишүүнээс эхлэн өмнөх гишүүнтэй тэнцүү, ижил тоогоор үржүүлсэн тоон дараалал юм. Энэ тоог геометр прогрессийн хуваагч гэж нэрлэдэг.

2) Геометр прогрессийн гишүүдийн тэгшитгэл -.

3) ба-аас бусад ямар ч утгыг авч болно.

• хэрэв, дараа нь прогрессийн бүх дараагийн гишүүд ижил тэмдэгтэй байна - тэд эерэг;
• хэрэв, дараа нь прогрессийн бүх дараагийн гишүүд өөр тэмдэг;
• хэзээ - прогрессийг хязгааргүй бууралт гэж нэрлэдэг.

4) , at - геометр прогрессийн шинж чанар (хөрш гишүүд)

эсвэл
, үед (ижил зайтай)

Та үүнийг олохдоо үүнийг мартаж болохгүй хоёр хариулт байх ёстой..

Жишээлбэл,

5) Геометр прогрессийн гишүүдийн нийлбэрийг дараах томъёогоор тооцоолно.
эсвэл

Хэрэв явц нь хязгааргүй буурч байвал:
эсвэл

ЧУХАЛ!Хязгааргүй тооны гишүүний нийлбэрийг олох шаардлагатай гэж нөхцөл нь тодорхой заасан тохиолдолд л бид хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн гишүүний нийлбэрийн томъёог ашиглана.

6) Нийлмэл хүүгийн даалгаврыг мөн геометр прогрессийн 3-р гишүүний томъёогоор тооцоолно. бэлэн мөнгөэргэлтээс хасаагүй:

ГЕОМЕТРИЙН ПРОГРЕСС. ҮНДСЭН ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧ

Геометрийн прогресс( ) нь тоон дараалал бөгөөд эхний гишүүн нь тэгээс ялгаатай бөгөөд хоёр дахь гишүүнээс эхлэн гишүүн бүр нь өмнөхтэй тэнцүү бөгөөд ижил тоогоор үржүүлнэ. Энэ дугаарыг дуудаж байна геометр прогрессийн хуваагч.

Геометр прогрессийн хуваагчба-аас бусад ямар ч утгыг авч болно.

• Хэрэв цаашдын бүх гишүүд ижил шинж тэмдэгтэй байвал эерэг байна;
• хэрэв, дараа нь бүх дараагийн гишүүд нь өөр шинж тэмдэг;
• хэзээ - прогрессийг хязгааргүй бууралт гэж нэрлэдэг.

Геометр прогрессийн гишүүдийн тэгшитгэл - .

Геометр прогрессийн гишүүний нийлбэртомъёогоор тооцоолно:
эсвэл

>>Математик: Геометрийн прогресс

Уншигчдад тав тухтай байлгах үүднээс энэ хэсэг нь өмнөх хэсэгт мөрдсөнтэй яг ижил төлөвлөгөөг дагаж мөрддөг.

1. Үндсэн ойлголтууд.

Тодорхойлолт.Бүх гишүүд нь 0-ээс ялгаатай, хоёр дахь гишүүнээс нь эхлэн өмнөх гишүүнээс ижил тоогоор үржүүлж гаргаж авсан тоон дарааллыг геометр прогресс гэнэ. Энэ тохиолдолд 5-ын тоог геометрийн прогрессийн хуваагч гэж нэрлэдэг.

Иймээс геометр прогресс гэдэг нь харьцаагаар рекурсив өгөгдсөн тоон дараалал (b n) юм.

Тоон дарааллыг хараад энэ нь геометр прогресс мөн эсэхийг тодорхойлох боломжтой юу? Чадах. Хэрэв та дарааллын аль нэг гишүүний өмнөх гишүүнтэй харьцуулсан харьцаа тогтмол гэдэгт итгэлтэй байвал геометрийн прогресс байна.
Жишээ 1

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

Жишээ 2

Энэ бол геометрийн прогресс юм
Жишээ 3

Энэ бол геометрийн прогресс юм
Жишээ 4

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Энэ нь b 1 - 8, q = 1 байх геометрийн прогресс юм.

Энэ дараалал нь мөн арифметик прогресс гэдгийг анхаарна уу (§ 15-аас 3-р жишээг үзнэ үү).

Жишээ 5

2,-2,2,-2,2,-2.....

Энэ бол b 1 \u003d 2, q \u003d -1 гэсэн геометрийн прогресс юм.

Мэдээжийн хэрэг, геометр прогресс нь b 1 > 0, q > 1 (Жишээ 1-ийг үз), хэрэв b 1 > 0, 0 бол буурах дараалал нь өсөх дараалал болно.< q < 1 (см. пример 2).

Дараалал (b n) нь геометрийн прогресс гэдгийг харуулахын тулд дараах тэмдэглэгээ заримдаа тохиромжтой байдаг.

Дүрс нь "геометрийн прогресс" гэсэн хэллэгийг орлоно.
Бид геометрийн прогрессийн нэгэн сонирхолтой бөгөөд нэгэн зэрэг илэрхий шинж чанарыг тэмдэглэж байна.
Хэрэв дараалал бол нь геометрийн прогресс, дараа нь квадратуудын дараалал, өөрөөр хэлбэл. нь геометрийн прогресс юм.
Хоёр дахь геометр прогрессийн хувьд эхний гишүүн нь q 2-тэй тэнцүү байна.
Хэрэв бид b n-ийн дараах бүх гишүүнийг экспоненциалаар хасвал бид төгсгөлтэй геометрийн прогресс болно
Энэ хэсгийн дараагийн догол мөрөнд бид геометр прогрессийн хамгийн чухал шинж чанаруудыг авч үзэх болно.

2. Геометр прогрессийн n-р гишүүний томьёо.

Геометрийн прогрессийг авч үзье хуваагч q. Бидэнд байгаа:

Ямар ч тооны n-ийн хувьд тэнцүү байна гэдгийг таахад хэцүү биш юм

Энэ бол геометр прогрессийн n-р гишүүний томъёо юм.

Сэтгэгдэл.

Хэрэв та өмнөх догол мөрийн чухал тайлбарыг уншаад ойлгосон бол (1) томъёог энэ аргаар батлахыг хичээгээрэй. математикийн индукцяг л арифметик прогрессийн n-р гишүүний томъёонд зориулж хийсэн шиг.

Геометр прогрессийн n-р гишүүний томьёог дахин бичье

ба тэмдэглэгээг танилцуулна уу: Бид y \u003d mq 2, эсвэл илүү дэлгэрэнгүйг авна.
Аргумент x нь экспонентт агуулагддаг тул ийм функцийг экспоненциал функц гэж нэрлэдэг. Энэ нь геометр прогрессийг натурал тооны N олонлог дээр өгөгдсөн экспоненциал функц гэж үзэж болно гэсэн үг юм. Зураг дээр. 96a-д Зураг дээрх функцийн графикийг харуулав. 966 - функциональ график Аль ч тохиолдолд бидэнд байна тусгаарлагдсан цэгүүд(abscissas x = 1, x = 2, x = 3 гэх мэт) зарим муруй дээр хэвтэж байна (хоёр зураг нь ижил муруйг харуулж, зөвхөн өөр өөр байрлалтай, өөр өөр масштабаар дүрсэлсэн). Энэ муруйг экспонент гэж нэрлэдэг. талаар дэлгэрэнгүй экспоненциал функцмөн түүний графикийг 11-р ангийн алгебрийн хичээлээр хэлэлцэх болно.

Өмнөх догол мөрийн 1-5-р жишээнүүд рүү буцъя.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Энэ бол геометрийн прогресс бөгөөд b 1 \u003d 1, q \u003d 3. n-р гишүүний томъёог хийцгээе.
2) Энэ бол n-р гишүүнийг томъёолъё гэсэн геометрийн прогресс юм

Энэ бол геометрийн прогресс юм n-р гишүүний томьёог зохио
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Энэ бол геометрийн прогресс бөгөөд b 1 \u003d 8, q \u003d 1. n-р гишүүний томъёог хийцгээе.
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Энэ нь геометр прогресс бөгөөд b 1 = 2, q = -1 байна. n-р гишүүний томьёог зохио

Жишээ 6

Геометрийн прогресс өгөгдсөн

Бүх тохиолдолд шийдэл нь геометр прогрессийн n-р гишүүний томьёо дээр суурилдаг

a) Геометр прогрессийн n-р гишүүний томъёонд n = 6-г оруулбал бид олж авна

б) Бидэнд байна

512 \u003d 2 9-ээс хойш бид n - 1 \u003d 9, n \u003d 10-ыг авна.

г) Бидэнд байна

Жишээ 7

Геометр прогрессийн долоо ба тав дахь гишүүдийн зөрүү 48, прогрессийн тав, зургаа дахь гишүүдийн нийлбэр мөн 48. Энэ прогрессийн арван хоёр дахь гишүүнийг ол.

Эхний шат.Математик загвар гаргах.

Даалгаврын нөхцлийг дараах байдлаар товч бичиж болно.

Геометр прогрессийн n-р гишүүний томьёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.
Тэгвэл бодлогын хоёр дахь нөхцөлийг (b 7 - b 5 = 48) гэж бичиж болно

Бодлогын гурав дахь нөхцөлийг (b 5 +b 6 = 48) гэж бичиж болно

Үүний үр дүнд бид b 1 ба q хоёр хувьсагчтай хоёр тэгшитгэлийн системийг олж авна.

Энэ нь дээр бичсэн нөхцөл 1)-тэй хослуулан байна математик загвардаалгавар.

Хоёр дахь үе шат.

Эмхэтгэсэн загвартай ажиллах. Системийн хоёр тэгшитгэлийн зүүн хэсгүүдийг тэгшитгэснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.

(бид тэгшитгэлийн хоёр талыг b 1 q 4 илэрхийлэлд хуваасан бөгөөд энэ нь тэгээс ялгаатай).

q 2 - q - 2 = 0 тэгшитгэлээс бид q 1 = 2, q 2 = -1-ийг олно. Системийн хоёр дахь тэгшитгэлд q = 2 утгыг орлуулснаар бид олж авна
Системийн хоёр дахь тэгшитгэлд q = -1 утгыг орлуулснаар бид b 1 1 0 = 48 болно; Энэ тэгшитгэлд шийдэл байхгүй.

Тиймээс, b 1 \u003d 1, q \u003d 2 - энэ хос нь эмхэтгэсэн тэгшитгэлийн системийн шийдэл юм.

Одоо бид геометрийн прогрессийг бичиж болно: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Гурав дахь шат.

Асуудлын асуултын хариулт. b 12-ыг тооцоолох шаардлагатай. Бидэнд байгаа

Хариулт: b 12 = 2048.

3. Хязгаарлагдмал геометр прогрессийн гишүүдийн нийлбэрийн томъёо.

Хязгаарлагдмал геометрийн прогресс байг

Түүний нөхцлийн нийлбэрийг S n-ээр тэмдэглэнэ, өөрөөр хэлбэл.

Энэ нийлбэрийг олох томьёог гаргая.

Хамгийн эхнээс нь эхэлцгээе энгийн тохиолдол, үед q = 1. Дараа нь геометр прогресс b 1 ,b 2 , b 3 ,..., bn нь b 1-тэй тэнцүү n тооноос бүрдэнэ, өөрөөр хэлбэл. прогресс нь b 1 , b 2 , b 3 , ..., b 4 . Эдгээр тоонуудын нийлбэр нь nb 1 байна.

Одоо q = 1 гэж үзье S n-ийг олохын тулд бид хиймэл аргыг ашигладаг: S n q илэрхийллийн зарим хувиргалтыг хийцгээе. Бидэнд байгаа:

Өөрчлөлтийг хийхдээ бид нэгдүгээрт, геометрийн прогрессийн тодорхойлолтыг ашигласан бөгөөд үүний дагуу (гурав дахь үндэслэлийг үзнэ үү); хоёрдугаарт, мэдээжийн хэрэг илэрхийллийн утга яагаад өөрчлөгдөөгүйг тэд нэмж, хассан (үзэл баримтлалын дөрөв дэх мөрийг үзнэ үү); Гуравдугаарт, бид геометр прогрессийн n-р гишүүний томъёог ашигласан:

Томъёо (1)-ээс бид дараахь зүйлийг олно.

Энэ нь геометр прогрессийн n гишүүний нийлбэрийн томъёо юм (q = 1 тохиолдолд).

Жишээ 8

Хязгаарлагдмал геометрийн прогресс өгөгдсөн

a) явцын гишүүдийн нийлбэр; б) түүний нөхцлийн квадратуудын нийлбэр.

b) Дээр (х. 132-ыг үз) хэрэв геометр прогрессийн бүх гишүүд квадрат байвал эхний гишүүн b 2 ба хуваагч q 2 бүхий геометр прогресс гарна гэдгийг бид аль хэдийн тэмдэглэсэн. Дараа нь шинэ прогрессийн зургаан гишүүний нийлбэрийг тооцоолно

Жишээ 9

Геометр прогрессийн 8-р гишүүнийг ол

Үнэндээ бид дараах теоремыг баталсан.

Эхнийхээс бусад гишүүн (мөн төгсгөлийн дарааллын хувьд сүүлчийнх) нь өмнөх ба дараагийн гишүүний үржвэртэй тэнцүү байвал тоон дараалал нь геометрийн прогресс юм. (геометр прогрессийн шинж чанар).

"Тооны дараалал. Геометрийн прогресс" сэдэвт хичээл, танилцуулга.

Нэмэлт материал
Эрхэм хэрэглэгчид, санал хүсэлт, санал хүсэлт, санал хүсэлтээ үлдээхээ бүү мартаарай! Бүх материалыг вирусны эсрэг програмаар шалгадаг.

9-р ангийн "Интеграл" онлайн дэлгүүрт заах хэрэгсэл, симулятор
Хүчин чадал ба үндэс Функц ба график

Залуус аа, өнөөдөр бид өөр төрлийн дэвшилттэй танилцах болно.
Өнөөдрийн хичээлийн сэдэв бол геометрийн прогресс юм.

Геометрийн прогресс

Тодорхойлолт. Хоёр дахь үеэс эхлэн гишүүн бүр нь өмнөх болон зарим тогтмол тооны үржвэртэй тэнцүү байх тоон дарааллыг геометр прогресс гэнэ.
Дарааллаа рекурсив байдлаар тодорхойлъё: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
b ба q нь тодорхой тоонууд юм. q тоог прогрессийн хуваагч гэж нэрлэдэг.

Жишээ. 1,2,4,8,16... Эхний гишүүн нь нэгтэй тэнцүү геометр прогресс, $q=2$.

Жишээ. 8,8,8,8… Эхний гишүүн нь наймтай геометр прогресс
ба $q=1$.

Жишээ. 3,-3,3,-3,3... Эхний гишүүн нь гурав, геометр прогресс
ба $q=-1$.

Геометрийн прогресс нь монотон шинж чанартай байдаг.
Хэрэв $b_(1)>0$, $q>1$,
дараа нь дараалал нэмэгдэж байна.
Хэрэв $b_(1)>0$ бол $0 Дарааллыг ихэвчлэн дараах байдлаар тэмдэглэнэ: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Арифметик прогрессийн нэгэн адил геометр прогрессийн элементүүдийн тоо төгсгөлтэй байвал уг прогрессийг төгсгөлтэй геометр прогресс гэж нэрлэдэг.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Хэрэв дараалал нь геометр прогресс бол квадрат гишүүний дараалал мөн геометр прогресс болно гэдгийг анхаарна уу. Хоёрдахь дараалалд эхний гишүүн $b_(1)^2$ ба хуваагч $q^2$ байна.

Геометр прогрессийн n-р гишүүний томьёо

Геометрийн прогрессийг мөн аналитик хэлбэрээр тодорхойлж болно. Үүнийг хэрхэн хийхийг харцгаая:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Бид загварыг хялбархан харж болно: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Бидний томъёог "геометр прогрессийн n-р гишүүний томъёо" гэж нэрлэдэг.

Бид өөрсдийн жишээн рүү буцаж орцгооё.

Жишээ. 1,2,4,8,16... Эхний гишүүн нь нэгтэй тэнцүү геометр прогресс,
ба $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Жишээ. 16,8,4,2,1,1/2… Эхний гишүүн нь арван зургаан ба $q=\frac(1)(2)$ болох геометр прогресс.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Жишээ. 8,8,8,8… Эхний гишүүн нь найм, $q=1$ байх геометр прогресс.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Жишээ. 3,-3,3,-3,3… Эхний гишүүн нь гурван ба $q=-1$ болох геометр прогресс.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Жишээ. $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $ геометр прогресс өгөгдсөн.
a) $b_(1)=6, q=3$ гэдгийг мэддэг. $b_(5)$ олох.
b) $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$ гэдгийг мэддэг. n-ийг олох.
в) $q=-2, b_(6)=96$ гэдгийг мэддэг. $b_(1)$ олох.
г) $b_(1)=-2, b_(12)=4096$ гэдгийг мэддэг. q-г ол.

Шийдэл.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
б) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ оноос хойш $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
в) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
г) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Жишээ. Геометр прогрессийн долоо, тав дахь гишүүдийн зөрүү 192, прогрессийн тав, зургаа дахь гишүүдийн нийлбэр нь 192. Энэ прогрессийн арав дахь гишүүнийг ол.

Шийдэл.
Бид мэднэ: $b_(7)-b_(5)=192$ ба $b_(5)+b_(6)=192$.
Бид бас мэднэ: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Дараа нь:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Бид тэгшитгэлийн системийг авсан:
$\begin(тохиолдол)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\төгсгөл(тохиолдол)$.
Тэгшүүлснээр бидний тэгшитгэлүүд:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Бид q хоёр шийдлийг авсан: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Хоёр дахь тэгшитгэлд дараалан орлуулна уу:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ шийдэл байхгүй.
Бид үүнийг авсан: $b_(1)=4, q=2$.
Арав дахь гишүүнийг олъё: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Хязгаарлагдмал геометр прогрессийн нийлбэр

Бидэнд хязгаарлагдмал геометрийн прогресс байна гэж бодъё. Арифметик прогрессийн хувьд түүний гишүүдийн нийлбэрийг тооцоолъё.

$b_(1),b_(2),...,b_(n-1),b_(n)$ гэсэн хязгаарлагдмал геометр прогресс өгье.
Түүний нөхцлийн нийлбэрийн тэмдэглэгээг танилцуулъя: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
$q=1$ байх тохиолдолд. Геометр прогрессийн бүх гишүүд эхний гишүүнтэй тэнцүү бол $S_(n)=n*b_(1)$ болох нь тодорхой байна.
Одоо $q≠1$ тохиолдлыг авч үзье.
Дээрх дүнг q-аар үржүүлнэ.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Жич:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Бид төгсгөлтэй геометрийн прогрессийн нийлбэрийн томъёог олж авлаа.

Жишээ.
Эхний гишүүн нь 4, хуваагч нь 3 бол геометр прогрессийн эхний долоон гишүүний нийлбэрийг ол.

Шийдэл.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Жишээ.
Мэдэгдэж байгаа геометр прогрессийн тав дахь гишүүнийг ол: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

Шийдэл.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365к-1365=1024к-1$.
$341к=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Геометр прогрессийн онцлог шинж чанар

Залуус аа, геометрийн прогресс өгөгдсөн. Түүний дараалсан гурван гишүүнийг авч үзье: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Үүнийг бид мэднэ:
$\ frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Дараа нь:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Хэрэв дэвшил нь төгсгөлтэй бол эхний ба сүүлчийнхээс бусад бүх гишүүний хувьд энэ тэгш байдал хэрэгжинэ.
Хэрэв дараалал нь ямар төрлийн дараалалтай болох нь урьдаас тодорхойгүй боловч мэдэгдэж байгаа бол: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Энэ бол геометрийн прогресс гэж бид итгэлтэйгээр хэлж чадна.

Тооны дараалал нь гишүүн бүрийн квадрат нь түүний хөрш хоёр гишүүний үржвэртэй тэнцүү байх үед л геометр прогресс болно. Хязгаарлагдмал дэвшлийн хувьд энэ нөхцөл нь эхний болон сүүлийн үед хангагдахгүй гэдгийг бүү мартаарай.

Энэ таних тэмдгийг харцгаая: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$-ийг a ба b-ийн геометрийн дундаж гэж нэрлэдэг.

Геометр прогрессийн аль ч гишүүний модуль нь түүний хажууд байгаа хоёр гишүүний геометрийн дундажтай тэнцүү байна.

Жишээ.
$x+2 байхаар х-г ол; 2х+2; 3x+3$ нь геометр прогрессийн дараалсан гурван гишүүн байв.

Шийдэл.
Онцлог шинж чанарыг ашиглая:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ ба $x_(2)=-1$.
Анхны илэрхийлэлд дарааллаар орлуулаарай, бидний шийдлүүд:
$x=2$ байхад бид дараах дарааллыг авсан: 4;6;9 нь $q=1.5$-тай геометр прогресс юм.
$x=-1$-ын тусламжтайгаар бид 1;0;0 дарааллыг авсан.
Хариулт: $x=2.$

Бие даасан шийдлийн даалгавар

1. Геометр прогрессийн найм дахь эхний гишүүнийг ол 16;-8;4;-2 ....
2. 11,22,44... геометр прогрессийн арав дахь гишүүнийг ол.
3. $b_(1)=5, q=3$ гэдгийг мэддэг. $b_(7)$ олох.
4. $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$ гэдгийг мэддэг. n-ийг олох.
5. 3;12;48... геометр прогрессийн эхний 11 гишүүний нийлбэрийг ол.
6. $3x+4 байхаар x-г ол; 2х+4; x+5$ нь геометр прогрессийн дараалсан гурван гишүүн юм.

Математик бол юу юмхүмүүс байгальд болон өөрсдийгөө захирдаг.

Зөвлөлтийн математикч, академич A.N. Колмогоров

Геометрийн прогресс.

Математикийн элсэлтийн шалгалтанд арифметик прогрессийн даалгаврын зэрэгцээ геометр прогрессийн тухай ойлголттой холбоотой даалгаврууд түгээмэл байдаг. Ийм асуудлыг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд та геометрийн прогрессийн шинж чанарыг мэдэж, тэдгээрийг ашиглах чадвар сайтай байх хэрэгтэй.

Энэ нийтлэл нь геометрийн прогрессийн үндсэн шинж чанаруудын танилцуулгад зориулагдсан болно. Мөн ердийн асуудлуудыг шийдвэрлэх жишээг өгдөг, Математикийн элсэлтийн шалгалтын даалгавраас зээлсэн.

Геометр прогрессийн үндсэн шинж чанаруудыг урьдчилан тэмдэглэж, хамгийн чухал томъёо, мэдэгдлүүдийг эргэн санацгаая., энэ үзэл баримтлалтай холбоотой.

Тодорхойлолт.Тоон дарааллыг геометрийн прогресс гэж нэрлэдэг бөгөөд хэрэв хоёр дахь тооноос нь эхлэн тоо нь өмнөхтэй нь тэнцүү бөгөөд ижил тоогоор үржүүлсэн. Энэ тоог геометр прогрессийн хуваагч гэж нэрлэдэг.

Геометрийн прогрессийн хувьдтомъёонууд хүчинтэй байна

, (1)

хаана. Томъёо (1)-ийг геометр прогрессийн ерөнхий гишүүний томьёо гэж нэрлэдэг бөгөөд (2) томьёо нь геометр прогрессийн үндсэн шинж чанар юм: прогрессийн гишүүн бүр нь хөрш гишүүдийнхээ геометрийн дундажтай давхцдаг ба .

Анхаар, Чухамхүү энэ шинж чанараасаа болоод прогрессийг "геометрийн" гэж нэрлэдэг.

Дээрх (1) ба (2) томъёог дараах байдлаар нэгтгэн харуулав.

, (3)

Нийлбэрийг тооцоолохын тулдэхлээд геометр прогрессийн гишүүдтомъёо хамаарна

Хэрэв бид зааж өгвөл

хаана. Учир нь (6) томъёо нь (5) томъёоны ерөнхий дүгнэлт юм.

Хэзээ болон тохиолдолд геометрийн прогрессхязгааргүй буурч байна. Нийлбэрийг тооцоолохын тулдХязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн бүх гишүүдийн томъёог ашиглана

. (7)

Жишээлбэл , (7) томъёог ашиглан нэгийг харуулж болно, юу

хаана. Эдгээр тэгшитгэлийг (7) томъёоноос , (эхний тэгш байдал) ба , (хоёр дахь тэгшитгэл) гэсэн нөхцөлд олж авна.

Теорем.Хэрэв бол

Баталгаа. Хэрэв, тэгвэл,

Теорем нь батлагдсан.

"Геометр прогресс" сэдвээр асуудлыг шийдэх жишээнүүдийг авч үзье.

Жишээ 1Өгөгдсөн: , ба . олох.

Шийдэл.Хэрэв (5) томъёог хэрэглэвэл

Хариулт: .

Жишээ 2 Let ба. олох.

Шийдэл.ба учраас бид (5), (6) томъёог ашиглаж, тэгшитгэлийн системийг олж авдаг

(9) системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг эхнийх нь хуваавал, дараа нь эсвэл . Үүнээс үүдэн гарч байна . Хоёр тохиолдлыг авч үзье.

1. Хэрэв , дараа нь (9) системийн эхний тэгшитгэлээс бид байна.

2. Хэрэв , тэгвэл .

Жишээ 3 Let , and . олох.

Шийдэл.Энэ нь томъёо (2)-аас гарна, эсвэл. Түүнээс хойш, дараа нь эсвэл .

Нөхцөлөөр. Тиймээс . Учир нь ба, тэгвэл энд тэгшитгэлийн систем байна

Хэрэв системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг эхнийх нь хуваавал эсвэл .

Учир нь тэгшитгэл нь нэг тохиромжтой язгууртай. Энэ тохиолдолд системийн эхний тэгшитгэл нь .

(7) томъёог харгалзан бид олж авна.

Хариулт: .

Жишээ 4Өгөгдсөн: ба . олох.

Шийдэл.Түүнээс хойш .

Учир нь , дараа нь эсвэл

(2) томъёоны дагуу бид . Үүнтэй холбогдуулан (10) тэгш байдлаас бид эсвэл .

Гэсэн хэдий ч нөхцөлөөр, тиймээс .

Жишээ 5Энэ нь мэдэгдэж байна. олох.

Шийдэл. Теоремийн дагуу бид хоёр тэнцүү байна

Түүнээс хойш, дараа нь эсвэл . Учир нь .

Хариулт: .

Жишээ 6Өгөгдсөн: ба . олох.

Шийдэл.Томьёог (5) харгалзан бид олж авна

Түүнээс хойш . Түүнээс хойш , ба , дараа нь .

Жишээ 7 Let ба. олох.

Шийдэл.Томъёоны дагуу (1) бид бичиж болно

Иймээс бидэнд эсвэл . Энэ нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд , тиймээс ба .

Хариулт: .

Жишээ 8Хязгааргүй буурах геометр прогрессийн хуваагчийг ол

болон .

Шийдэл. Томъёо (7)-аас дараах байдалтай байнаболон . Эндээс болон асуудлын нөхцөлөөс бид тэгшитгэлийн системийг олж авна

Хэрэв системийн эхний тэгшитгэл квадрат бол, дараа нь үүссэн тэгшитгэлийг хоёр дахь тэгшитгэлд хуваана, тэгвэл бид авна

Эсвэл .

Хариулт: .

Жишээ 9, , дараалал нь геометрийн прогресс болох бүх утгыг ол.

Шийдэл. Let , and . Геометр прогрессийн үндсэн шинж чанарыг тодорхойлсон (2) томъёоны дагуу бид эсвэл гэж бичиж болно.

Эндээс бид квадрат тэгшитгэлийг олж авна, хэний үндэсболон .

Шалгаж үзье: хэрэв, дараа нь , ба ; хэрэв , дараа нь , ба .

Эхний тохиолдолд бидэнд байнаба , хоёр дахь нь - ба .

Хариулт: , .

Жишээ 10тэгшитгэлийг шийд

, (11)

хаана болон.

Шийдэл. Зүүн талтэгшитгэл (11) нь хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн нийлбэр бөгөөд үүнд болон, өгөгдсөн: ба .

Томъёо (7)-аас дараах байдалтай байна, юу . Үүнтэй холбогдуулан тэгшитгэл (11) хэлбэрийг авнаэсвэл . тохиромжтой үндэс квадрат тэгшитгэлбайна

Хариулт: .

Жишээ 11.П дараалал эерэг тоонууд арифметик прогресс үүсгэдэг, a - геометрийн прогресс, энэ нь ямар холбоотой вэ . олох.

Шийдэл.Учир нь арифметик дараалал, дараа нь (арифметик прогрессийн үндсэн шинж чанар). Учир нь, дараа нь эсвэл . Энэ нь гэсэн үг, Энэ нь геометрийн прогресс юм. Томъёоны дагуу (2), дараа нь бид үүнийг бичнэ.

Түүнээс хойш, дараа нь . Энэ тохиолдолд илэрхийлэлэсвэл хэлбэрийг авдаг. Нөхцөлөөр, тэгэхээр тэгшитгэлээсБид хэлэлцэж буй асуудлын өвөрмөц шийдлийг олж авдаг, өөрөөр хэлбэл .

Хариулт: .

Жишээ 12.Нийлбэрийг тооцоолох

. (12)

Шийдэл. Тэгш байдлын хоёр талыг (12) 5-аар үржүүлээд аваарай

Хэрэв бид үүссэн илэрхийллээс (12) хасвал, дараа нь

эсвэл .

Тооцоолохын тулд бид утгыг (7) томъёонд орлуулж, олж авна. Түүнээс хойш .

Хариулт: .

Энд өгөгдсөн асуудлыг шийдвэрлэх жишээнүүд нь элсэлтийн шалгалтанд бэлтгэхэд өргөдөл гаргагчдад хэрэгтэй болно. Асуудлыг шийдвэрлэх аргуудыг илүү гүнзгий судлахын тулд, геометрийн прогресстой холбоотой, ашиглаж болно сургалтын гарын авлагасанал болгож буй уран зохиолын жагсаалтаас.

1. Техникийн их дээд сургуульд элсэгчдэд зориулсан математикийн даалгаврын цуглуулга / Ed. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование, 2013. – 608 х.

2. Супрун В.П. Ахлах сургуулийн сурагчдад зориулсан математик: нэмэлт хэсгүүд сургуулийн сургалтын хөтөлбөр. – М .: Ленанд / URSS, 2014. - 216 х.

3. Медынский М.М. Бүрэн курсдаалгаврууд, дасгалууд дахь анхан шатны математик. Ном 2: Тооны дараалалболон дэвшил. - М .: Эдитус, 2015. - 208 х.

Танд асуух зүйл байна уу?

Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.

материалыг бүрэн буюу хэсэгчлэн хуулбарласан сайтын эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

Энэ тоог геометр прогрессийн хуваагч гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл гишүүн бүр өмнөхөөсөө q дахин ялгаатай байна. (Бид q ≠ 1 гэж таамаглах болно, эс тэгвээс бүх зүйл хэтэрхий өчүүхэн байдаг). Үүнийг харахад амархан ерөнхий томъёо n -геометр прогрессийн гишүүн b n = b 1 q n - 1 ; b n ба b m тоотой гишүүд q n – m удаа ялгаатай.

Аль хэдийн орсон Эртний Египетзөвхөн арифметик төдийгүй геометрийн прогрессийг мэддэг байсан. Жишээлбэл, Ринд папирусын даалгавар: "Долоон нүүр нь долоон мууртай; муур бүр долоон хулгана иддэг, хулгана бүр долоон эрдэнэ шиш иддэг, чих бүр долоон хэмжүүр арвай ургуулдаг. Энэ цувралын тоонууд болон тэдгээрийн нийлбэр нь хэр их вэ?

Цагаан будаа. 1. Эртний Египетийн геометрийн прогрессийн бодлого

Энэ даалгавар нь бусад ард түмний дунд өөр өөр цаг үед олон удаа давтагдсан. Жишээлбэл, XIII зуунд бичсэн. Пизагийн Леонардогийн (Фибоначчийн) "Абакийн ном"-д Ром руу явах замд 7 хөгшин эмэгтэй (мэдээж мөргөлчид) гарч ирдэг бөгөөд тус бүр нь 7 луустай, тус бүр нь 7 ууттай байдаг. 7 талхтай, тус бүр нь 7 хутгатай, тус бүр нь 7 бүрээстэй. Асуудал нь хичнээн зүйл байгааг асууж байна.

Геометр прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэр S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . Энэ томъёог жишээлбэл, дараах байдлаар баталж болно: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

b 1 q n тоог S n дээр нэмээд дараахийг гаргая.

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b) 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q .

Эндээс S n (q - 1) = b 1 (q n - 1) бөгөөд бид шаардлагатай томьёог авна.

6-р зуунд хамаарах Эртний Вавилоны шавар шахмалуудын нэг дээр аль хэдийн байдаг. МЭӨ д., нийлбэрийг агуулсан 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Үнэн, бусад хэд хэдэн тохиолдлын адилаар энэ баримтыг вавилончуудад хаана мэддэг байсныг бид мэдэхгүй. .

Хэд хэдэн соёл, тэр дундаа Энэтхэгт геометрийн прогресс хурдацтай хөгжиж байгааг орчлон ертөнцийн агуу байдлын тод бэлгэдэл болгон дахин дахин ашигладаг. Шатрын дүр төрхийн тухай алдартай домогт захирагч зохион бүтээгчиддээ шагналаа өөрөө сонгох боломжийг олгодог бөгөөд тэрээр шатрын эхний үүрэнд байрлуулсан тохиолдолд авах боломжтой тооны улаан буудай авахыг хүсдэг. Шатрын самбар, хоёр дахь нь хоёр, гурав дахь нь дөрөв, дөрөв дэх нь найм гэх мэт тоо хоёр дахин нэмэгдэх бүрт. Владика үүнийг хамгийн ихдээ хэдэн шуудай гэж бодсон ч тэр буруу тооцоолжээ. Шатрын тавцангийн бүх 64 квадратын хувьд зохион бүтээгч нь 20 оронтой тоогоор илэрхийлэгддэг (2 64 - 1) үр тариа хүлээн авах ёстой гэдгийг харахад хялбар байдаг; Дэлхийн гадаргууг бүхэлд нь тарьсан ч ургац хураахад дор хаяж 8 жил шаардлагатай шаардлагатай хэмжээүр тариа. Энэ домог нь шатрын тоглоомд нуугдаж буй бараг хязгааргүй боломжуудын тухай ишлэл гэж заримдаа тайлбарладаг.

Энэ тоо үнэхээр 20 оронтой гэдгийг харахад амархан:

2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1.6 10 19 (илүү нарийвчлалтай тооцоолол нь 1.84 10 19 болно). Гэхдээ энэ тоо ямар оронтой тоогоор төгссөнийг олж мэдэх болов уу?

Хэрэв хуваагч үнэмлэхүй утгаараа 1-ээс их бол геометр прогресс нэмэгдэж, нэгээс бага бол буурч байна. Сүүлчийн тохиолдолд хангалттай том n-ийн хувьд q n тоо дур зоргоороо жижиг болж болно. Өсөн нэмэгдэж буй экспоненциал гэнэтийн хурдацтай өсдөг бол буурч буй экспоненциал мөн адил хурдан буурдаг.

N том байх тусам q n тоо нь тэгээс ялгаатай байх тусам S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) геометрийн прогрессийн n гишүүний нийлбэр нь S \u003d b 1 тоотой ойртох тусам n-тэй тэнцүү байна. / (1 - q) . (Жишээ нь, Ф.Вьет гэх мэт үндэслэлтэй). S тоог хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн нийлбэр гэнэ. Гэсэн хэдий ч олон зууны туршид хязгааргүй тооны гишүүнчлэлтэй БҮХ геометрийн прогрессийн нийлбэр нь ямар утгатай вэ гэсэн асуулт математикчдад хангалттай тодорхойгүй байв.

Жишээлбэл, Зеногийн "Хазах", "Ахиллес ба яст мэлхий" гэсэн апориауудаас геометрийн прогресс буурч байгааг харж болно. Эхний тохиолдолд зам бүхэлдээ (уртыг 1 гэж үзье) 1/2, 1/4, 1/8 гэх мэт хязгааргүй тооны сегментүүдийн нийлбэр гэдгийг тодорхой харуулсан. Энэ нь мэдээжийн хэрэг Хязгааргүй геометр прогрессийн төгсгөлтэй нийлбэрийн талаархи үзэл бодлын үзэл бодол. Гэсэн хэдий ч - энэ нь яаж байж болох вэ?

Цагаан будаа. 2. 1/2 хүчин зүйлтэй ахиц дэвшил

Ахиллесийн тухай апорид нөхцөл байдал арай илүү төвөгтэй байдаг, учир нь энд прогрессийн хуваагч нь 1/2-тэй тэнцүү биш, харин бусад тоотой тэнцүү байна. Жишээлбэл, Ахиллес v хурдтайгаар гүйж, яст мэлхий u хурдаар хөдөлж, тэдгээрийн хоорондох анхны зай нь l байна. Ахиллес энэ зайг l / v хугацаанд гүйх болно, яст мэлхий энэ хугацаанд lu / v зайд шилжих болно. Ахиллес энэ сегментээр гүйх үед яст мэлхий хоёрын хоорондох зай l (u / v) 2 гэх мэт болно. Яст мэлхийг гүйцэх нь эхнийх нь хязгааргүй буурч буй геометрийн прогрессийн нийлбэрийг олох гэсэн үг юм. l нэр томъёо ба хуваагч u / v. Энэ нийлбэр - Ахиллес эцэст нь яст мэлхийтэй уулзах цэг хүртэл гүйх сегмент нь l / (1 - u / v) = lv / (v - u) -тэй тэнцүү байна. Гэхдээ дахин хэлэхэд, энэ үр дүнг хэрхэн тайлбарлах, яагаад энэ нь ямар ч утга учиртай болох нь удаан хугацааны туршид тодорхойгүй байв.

Цагаан будаа. 3. 2/3 коэффициенттэй геометр прогресс

Архимед параболын сегментийн талбайг тодорхойлохдоо геометрийн прогрессийн нийлбэрийг ашигласан. Параболын өгөгдсөн хэрчмийг AB хөвчөөр тусгаарлаж, параболын D цэг дээрх шүргэгчийг AB-тай параллель болго. C нь AB - ийн дунд цэг , E нь АС - ийн дунд , F нь CB - ийн дунд цэг байг . A , E , F , B цэгүүдээр DC-тэй параллель шугам татах; D цэг дээр татсан шүргэгч, эдгээр шугамууд K, L, M, N цэгүүд дээр огтлолцоно. Мөн AD ба DB сегментүүдийг зуръя. EL шулуун нь AD шулууныг G цэгт, параболыг H цэг дээр огтолцгооё; FM шугам нь DB шугамыг Q цэг дээр, параболыг R цэг дээр огтолно. дагуу ерөнхий онолконус хэсгүүд, DC нь параболын диаметр (өөрөөр хэлбэл түүний тэнхлэгтэй параллель сегмент); энэ ба D цэг дээрх тангенс нь параболын тэгшитгэлийг y 2 \u003d 2px хэлбэрээр бичсэн координатын тэнхлэгүүдийн үүрэг гүйцэтгэдэг x ба y (x нь D-ээс өгөгдсөн диаметрийн аль ч цэг хүртэлх зай, y нь a урт юм. Энэ диаметрийн цэгээс параболын зарим цэг хүртэл өгөгдсөн шүргэгчтэй параллель сегмент).

Параболын тэгшитгэлийн ачаар DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, DK = 2DL тул KA = 4LH болно. KA = 2LG тул LH = HG . Параболын АХБ сегментийн талбай нь ΔADB гурвалжны талбай ба AHD ба DRB сегментүүдийн талбайн нийлсэн талбайтай тэнцүү байна. Хариуд нь AHD сегментийн талбай нь AHD гурвалжин ба үлдсэн AH ба HD сегментүүдийн талбайтай ижил тэнцүү бөгөөд тэдгээр нь тус бүртэй ижил үйлдлийг хийж болно - гурвалжин (Δ) болон хуваагдана. үлдсэн хоёр сегмент () гэх мэт:

ΔAHD гурвалжны талбай нь ΔALD гурвалжны талбайн хагастай тэнцүү (тэдгээр нь нийтлэг AD суурьтай бөгөөд өндөр нь 2 дахин ялгаатай) бөгөөд энэ нь эргээд ΔAKD гурвалжин, тиймээс ΔACD гурвалжны талбайн тал хувь. Тиймээс ΔAHD гурвалжны талбай нь ΔACD гурвалжны талбайн дөрөвний нэгтэй тэнцүү байна. Үүний нэгэн адил ΔDRB гурвалжны талбай нь ΔDFB гурвалжны талбайн дөрөвний нэгтэй тэнцүү байна. Тэгэхээр ∆AHD ба ∆DRB гурвалжны талбайг нийлээд авч үзвэл ∆ADB гурвалжны талбайн дөрөвний нэгтэй тэнцүү байна. AH, HD, DR, RB сегментүүдэд хэрэглэсэн энэ үйлдлийг давтан хийснээр тэдгээрээс гурвалжнуудыг сонгох бөгөөд тэдгээрийн талбайг нийлээд авсан ΔAHD ба ΔDRB гурвалжны талбайгаас 4 дахин бага байх болно. хамтдаа, тиймээс ΔADB гурвалжны талбайгаас 16 дахин бага. Гэх мэт:

Ийнхүү Архимед "шулуун шугам ба параболын хооронд хүрээлэгдсэн сегмент бүр нь ижил суурьтай, түүнтэй ижил өндөртэй гурвалжны гуравны дөрөв" гэдгийг баталжээ.