Итгэлийн интервалыг хэрхэн тодорхойлох вэ. Итгэлийн интервал. Эмнэлгийн статистикийн ABC. III бүлэг

Итгэлийн интервалЭдгээр нь өгөгдсөн γ магадлалын хувьд илүү том түүврийн хэмжээтэй энэ интервалд байх статистик хэмжигдэхүүний хязгаарын утгууд юм. P(θ - ε ) гэж тэмдэглэнэ. Практикт γ-ийн итгэлийн магадлалыг γ = 0.9 , γ = 0.95, γ = 0.99 нэгдмэл байдалтай хангалттай ойролцоо утгуудаас сонгодог.

Үйлчилгээний даалгавар. Энэхүү үйлчилгээ нь дараахь зүйлийг тодорхойлдог.

• ерөнхий дундаж итгэлцлийн интервал, дисперсийн итгэлцлийн интервал;
• стандарт хазайлтын итгэлцлийн интервал, ерөнхий бутархайн итгэлцлийн интервал;

Үүссэн уусмалыг дотор нь хадгална Word файл(жишээг үзнэ үү). Анхны өгөгдлийг хэрхэн бөглөх тухай видео заавар доор байна.

Жишээ №1. Нэгдлийн фермд нийт 1000 хонь сүргээс 100 хонийг сонгомол хяргалтад хамруулжээ. Үүний үр дүнд нэг хониноос дунджаар 4.2 кг ноос хяргах нь тогтоогдсон. Нэг хонинд ногдох ноос хяргах дундаж хэмжээг тодорхойлох дээжийн стандарт алдаа, дисперс 2.5 байвал хяргах утга ямар хязгаарт байгааг 0.99 магадлалаар тодорхойлно. Дээж нь давтагдахгүй.
Жишээ №2. Москвагийн хойд гаалийн газрын импортын бүтээгдэхүүний багцаас санамсаргүй дахин дээж авах дарааллаар "А" бүтээгдэхүүнээс 20 дээж авсан. Шалгалтын үр дүнд дээж дэх "А" бүтээгдэхүүний дундаж чийгшил тогтоогдсон бөгөөд энэ нь 1% -ийн стандарт хазайлттай 6% байна.
Импортын бүтээгдэхүүний нийт багц дахь бүтээгдэхүүний дундаж чийгийн хязгаарыг 0.683 магадлалаар тодорхойлно.
Жишээ №3. 36 сурагчийн дунд явуулсан судалгаагаар тэдний уншдаг сурах бичгийн дундаж тоо гарчээ хичээлийн жил, 6-тай тэнцүү болсон. Нэг улиралд оюутны уншсан сурах бичгийн тоог 6-тай тэнцүү стандарт хазайлттай хэвийн тархалтын хуультай гэж үзвэл: A) 0.99 найдвартай, интервалын тооцоог ол. математикийн хүлээлтэнэ санамсаргүй хувьсагч; Б) энэ түүврийн дагуу тооцоолсон нэг улиралд оюутны уншсан сурах бичгийн дундаж тоо математикийн хүлээлтээс хазайх магадлалтай гэж ямар магадлалаар маргаж болох вэ? үнэмлэхүй үнэ цэнэ 2-оос ихгүй байна.

Итгэлийн интервалын ангилал

Үнэлгээ хийж буй параметрийн төрлөөр:

Дээжийн төрлөөр:

1. Хязгааргүй түүвэрлэлтийн итгэлийн интервал;
2. Эцсийн түүврийн итгэлцлийн интервал;

Дээж авахыг дахин дээж авах гэж нэрлэдэг, хэрэв сонгосон объектыг дараагийн объектыг сонгохоос өмнө нийт хүн ам руу буцаавал. Дээжийг давтагдахгүй гэж нэрлэдэг.сонгосон объектыг нийт хүн амд буцааж өгөхгүй бол. Практикт нэг нь ихэвчлэн давтагддаггүй дээжийг авч үздэг.

Санамсаргүй сонголтын дундаж түүврийн алдааны тооцоо

Түүврээс олж авсан үзүүлэлтүүдийн утга ба холбогдох параметрүүдийн хоорондын зөрүү хүн амдуудсан төлөөллийн алдаа.
Ерөнхий болон түүвэр популяцийн үндсэн параметрүүдийн тэмдэглэгээ.

Дундаж алдааны томъёоны жишээ
дахин сонгох		давтагдахгүй сонголт
дундын хувьд	хуваалцахын тулд	дундын хувьд	хуваалцахын тулд

Түүвэрлэлтийн алдааны хязгаар (Δ) хоорондын харьцаа нь тодорхой магадлалтайгаар баталгаажсан P(t),болон дундаж алдаадээж нь дараах хэлбэртэй байна: эсвэл Δ = t μ, энд т– Лапласын интеграл функцийн хүснэгтийн дагуу P(t) магадлалын түвшнээс хамаарч тодорхойлогддог итгэлийн коэффициент.

Тохиромжтой санамсаргүй сонголтын аргаар түүврийн хэмжээг тооцоолох томъёо

"Катрен-Стиль" нь Константин Кравчикийн эмнэлгийн статистикийн талаархи циклийг үргэлжлүүлэн хэвлүүлсээр байна. Өмнөх хоёр өгүүлэлдээ зохиогч, гэх мэт ойлголтуудын тайлбарыг хөндсөн.

Константин Кравчик

Математикч-аналитикч. Анагаах ухаанд статистик судалгааны чиглэлээр мэргэшсэн мэргэжилтэн ба хүмүүнлэгийн ухаан

Москва хот

Маш олон удаа нийтлэлд клиник судалгааТа нууц үг хэллэгтэй таарч болно: "итгэлийн интервал" (95 % CI эсвэл 95 % CI - итгэлийн интервал). Жишээлбэл, өгүүлэлд: "Оюутны t-тест нь ялгааны ач холбогдлыг үнэлэхэд ашиглагдаж, 95% итгэлийн интервалыг тооцоолсон" гэж хэлж болно.

"95% -ийн итгэлцлийн интервал" ямар утгатай вэ, яагаад үүнийг тооцоолох хэрэгтэй вэ?

Итгэлийн интервал гэж юу вэ? - Энэ бол хүн амын жинхэнэ дундаж утгууд буурах муж юм. Юу, "үнэн бус" дундаж үзүүлэлтүүд байдаг уу? Нэг ёсондоо тийм ээ. Нийт популяцийн сонирхлын параметрийг хэмжих боломжгүй гэдгийг бид тайлбарласан тул судлаачид хязгаарлагдмал түүвэрт сэтгэл хангалуун байна. Энэ түүвэрт (жишээлбэл, биеийн жингээр) нэг дундаж утга (тодорхой жин) байдаг бөгөөд үүгээрээ бид нийт хүн амын дундаж утгыг үнэлдэг. Гэсэн хэдий ч бараг л дундаж жинтүүвэрт (ялангуяа жижиг) нийт хүн амын дундаж жинтэй давхцах болно. Тиймээс нийт хүн амын дундаж утгыг тооцоолох, ашиглах нь илүү зөв юм.

Жишээлбэл, гемоглобины хувьд 95% итгэх интервал (95% CI) 110-122 г/л байна гэж бодъё. Энэ нь нийт хүн амын дунд гемоглобины жинхэнэ дундаж утга 95 % байх магадлалтай гэсэн үг бөгөөд 110-122 г/л хооронд хэлбэлзэнэ. Өөрөөр хэлбэл, бид мэдэхгүй дундажНийт хүн амын дунд гемоглобин байдаг боловч бид энэ шинж чанарын утгын хүрээг 95% магадлалтайгаар зааж өгч болно.

Итгэлийн интервал нь ялангуяа бүлгүүдийн хоорондох дундаж утгын ялгаа буюу нөлөөллийн хэмжээ гэж нэрлэгддэг зүйлд хамааралтай.

Бид хоёр төмрийн бэлдмэлийн үр нөлөөг харьцуулсан гэж бодъё: нэг нь зах зээлд удаан хугацаагаар байгаа, нөгөө нь саяхан бүртгэгдсэн. Эмчилгээний курс дууссаны дараа өвчтөнүүдийн судлагдсан бүлэгт гемоглобины концентрацийг үнэлж, статистикийн программ нь хоёр бүлгийн дундаж утгын зөрүү 95% -ийн хооронд байна гэж тооцоолсон. 1.72-14.36 г/л (Хүснэгт 1).

Таб. 1. Бие даасан түүврийн шалгуур
(бүлгүүдийг гемоглобины түвшингээр харьцуулсан)

Үүнийг дараах байдлаар тайлбарлах хэрэгтэй: шинэ эм ууж буй нийт хүн амын зарим өвчтөнд гемоглобин нь аль хэдийн мэдэгдэж байсан эм ууж байсан хүмүүсийнхээс дунджаар 1.72-14.36 г/л-ээр өндөр байх болно.

Өөрөөр хэлбэл, нийт хүн амын дунд гемоглобины дундаж утгын зөрүү 95% -ийн магадлалтайгаар эдгээр хязгаарт багтдаг. Энэ их үү, бага уу гэдгийг судлаач өөрөө л шийднэ. Энэ бүхний гол утга нь бид нэг дундаж утгаараа биш, харин олон тооны утгуудтай ажилладаг тул бүлэг хоорондын параметрийн зөрүүг илүү найдвартай тооцдог.

Статистикийн багцад судлаачийн үзэмжээр итгэлийн интервалын хил хязгаарыг бие даан нарийсгаж эсвэл өргөжүүлж болно. Итгэлийн интервалын магадлалыг бууруулснаар бид хэрэгслийн хүрээг нарийсгадаг. Жишээлбэл, 90% CI-д дундаж үзүүлэлтүүдийн хүрээ (эсвэл дундаж ялгаа) 95% CI-ээс илүү нарийхан байх болно.

Үүний эсрэгээр, магадлалыг 99% хүртэл нэмэгдүүлэх нь утгын хүрээг өргөжүүлдэг. Бүлгүүдийг харьцуулахдаа CI-ийн доод хязгаар нь тэг тэмдгийг давж болно. Жишээлбэл, хэрэв бид итгэлийн интервалын хил хязгаарыг 99 % хүртэл сунгасан бол интервалын хил хязгаар нь -1-ээс 16 г / л хооронд хэлбэлздэг. Энэ нь нийт хүн амд судлагдсан шинж чанарын дундаж хоорондын зөрүү 0 (M=0) гэсэн бүлгүүд байдаг гэсэн үг юм.

Итгэлийн интервалыг статистик таамаглалыг шалгахад ашиглаж болно. Хэрэв итгэлцлийн интервал тэг утгыг давсан бол судлагдсан параметрийн хувьд бүлгүүд ялгаатай биш гэж үздэг тэг таамаглал үнэн болно. Бид хил хязгаарыг 99% хүртэл өргөтгөсөн жишээг дээр дурдсан. Нийт хүн амын хаа нэгтээ бид ямар ч ялгаагүй бүлгүүдийг олсон.

Гемоглобины зөрүүний 95% итгэлийн интервал, (г/л)

Зураг дээр хоёр бүлгийн хоорондох гемоглобины дундаж ялгааны 95% -ийн итгэлцлийн интервалыг шугамаар харуулав. Мөр нь тэг тэмдгийг давсан тул тэгтэй тэнцэх дундаж утгуудын хооронд зөрүү байгаа нь бүлгүүд ялгаатай биш гэсэн тэг таамаглалыг баталж байна. Бүлгүүдийн хоорондын ялгаа нь -2-5 г/л хооронд хэлбэлздэг бөгөөд энэ нь гемоглобин 2 г/л-ээр буурах эсвэл 5 г/л-ээр нэмэгдэх боломжтой гэсэн үг юм.

Итгэлийн интервал - маш чухал үзүүлэлт. Үүний ачаар та бүлгүүдийн ялгаа үнэхээр хэрэгслийн зөрүүгээс үү эсвэл том түүврээс үүдсэн үү гэдгийг харж болно, учир нь том түүврийн хувьд ялгааг олох магадлал багатай харьцуулахад их байдаг.

Практик дээр энэ нь иймэрхүү харагдаж магадгүй юм. Бид 1000 хүнээс дээж авч, гемоглобины түвшинг хэмжиж, дундаж утгуудын хоорондын итгэлцлийн интервал нь 1.2-1.5 г/л байна. Энэ тохиолдолд статистикийн ач холбогдлын түвшин p

Гемоглобины агууламж нэмэгдэж байгааг бид харж байна, гэхдээ бараг мэдэгдэхүйц биш, тиймээс статистикийн ач холбогдол нь дээжийн хэмжээнээс яг тодорхой харагдаж байна.

Итгэлийн интервалыг зөвхөн дундаж үзүүлэлтээр тооцдоггүй, мөн пропорц (болон эрсдэлийн харьцаа) -аар тооцоолж болно. Жишээлбэл, боловсруулсан эмийг ууж байхдаа ангижрах боломжтой өвчтөнүүдийн итгэлцлийн интервалыг бид сонирхож байна. Пропорцын хувьд, өөрөөр хэлбэл, ийм өвчтөнүүдийн эзлэх хувийн жингийн 95% CI нь 0.60-0.80 хооронд байна гэж бодъё. Тиймээс манай анагаах ухаан байгаа гэж хэлж болно эмчилгээний үр нөлөөТохиолдлын 60-80%.

MS дээр бүтээцгээе EXCEL-ийн итгэлцэлтохиолдолд тархалтын дундаж утгыг тооцоолох интервал мэдэгдэж байгаа үнэ цэнэтархалт.

Мэдээж сонголт итгэлийн түвшинхийх ажлаас бүрэн хамаарна. Тиймээс агаарын хөлгийн найдвартай байдалд агаарын зорчигчийн итгэх итгэлийн түвшин нь худалдан авагчийн гэрлийн чийдэнгийн найдвартай байдалд итгэх итгэлээс өндөр байх ёстой.

Даалгаврын томъёолол

-аас гэж бодъё хүн амавсан дээжхэмжээ n. гэж таамаглаж байна стандарт хэлбэлзэл Энэ хуваарилалт мэдэгдэж байна. Үүний үндсэн дээр зайлшгүй шаардлагатай дээжүл мэдэгдэх зүйлийг үнэлэх түгээлтийн дундаж(μ, ) ба тохирохыг байгуулна хоёр талын итгэлийн интервал.

Цэгийн тооцоо

-аас мэдэгдэж байгаачлан статистик(үүнийг нэрлэе X харьц) байна дундаж утгыг шударга бус тооцоолсонэнэ хүн амба N(μ;σ 2 /n) тархалттай байна.

Анхаарна уу: Хэрэв та барих шаардлагатай бол яах вэ итгэлийн интервалхуваарилах тохиолдолд аль биш хэвийн үү?Энэ тохиолдолд аврах ажилд ирдэг бөгөөд энэ нь хангалттай гэж хэлдэг том хэмжээ дээжхуваарилалтаас n бус хэвийн, статистикийн түүврийн тархалт Х авбайх болно ойролцоогоорхаргалзах хэвийн тархалт N(μ;σ 2 /n) параметрүүдтэй.

Тэгэхээр, цэгийн тооцоо дунд түгээлтийн утгуудбидэнд байгаа жишээ дундаж, өөрөөр хэлбэл X харьц. Одоо завгүй байцгаая итгэлийн интервал.

Итгэлийн интервалыг бий болгох

Ихэвчлэн тархалт ба түүний параметрүүдийг мэдсэнээр санамсаргүй хэмжигдэхүүн өгөгдсөн интервалаас утгыг авах магадлалыг тооцоолж болно. Одоо эсрэгээр нь хийцгээе: санамсаргүй хэмжигдэхүүн унах интервалыг ол өгөгдсөн магадлал. Жишээлбэл, өмчөөс хэвийн тархалт 95% -ийн магадлалтайгаар санамсаргүй хэмжигдэхүүн тархсан нь мэдэгдэж байна ердийн хууль, ойролцоогоор +/- 2 хүртэлх интервалд орно дундаж утга(тухай нийтлэлийг үзнэ үү). Энэ интервал нь бидний прототип болж үйлчилнэ итгэлийн интервал.

Одоо бид хуваарилалтыг мэдэж байгаа эсэхийг харцгаая , Энэ интервалыг тооцоолох уу? Асуултанд хариулахын тулд бид түгээлтийн хэлбэр, түүний параметрүүдийг зааж өгөх ёстой.

Хуваарилалтын хэлбэрийг бид мэднэ хэвийн тархалт(бидний тухай ярьж байгааг санаарай түүврийн хуваарилалт статистик X харьц).

μ параметр нь бидэнд мэдэгддэггүй (үүнийг зөвхөн ашиглан тооцоолох хэрэгтэй итгэлийн интервал), гэхдээ бидэнд тооцоо бий X харьц,үндэслэн тооцсон дээж,ашиглаж болох юм.

Хоёр дахь параметр нь түүврийн дундаж стандарт хазайлт мэдэгдэх болно, энэ нь σ/√n-тэй тэнцүү байна.

Учир нь Бид μ-г мэдэхгүй бол +/- 2 интервалыг байгуулна стандарт хазайлт-аас биш дундаж утга, гэхдээ түүний мэдэгдэж буй тооцооноос X харьц. Тэдгээр. тооцоолох үед итгэлийн интервалбид үүнийг таамаглахгүй X харьц+/- 2 интервалд орно стандарт хазайлтμ-ээс 95% -ийн магадлалтай байх ба интервалыг +/- 2 гэж үзнэ. стандарт хазайлт-аас X харьц 95%-ийн магадлалтайгаар μ-г хамарна - нийт хүн амын дундаж,хаанаас дээж. Эдгээр хоёр мэдэгдэл нь тэнцүү боловч хоёр дахь мэдэгдэл нь бидэнд бүтээх боломжийг олгодог итгэлийн интервал.

Үүнээс гадна бид интервалыг сайжруулдаг: тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн ердийн хууль, 95% магадлал нь +/- 1.960 интервалд багтдаг стандарт хазайлт,+/- 2 биш стандарт хазайлт. Үүнийг томъёогоор тооцоолж болно \u003d NORM.ST.OBR ((1 + 0.95) / 2), см. жишээ файлын хуудасны зай.

Одоо бид бий болгоход үйлчлэх магадлалын мэдэгдлийг томъёолж болно итгэлийн интервал:
"Тийм магадлал хүн ам гэсэн үг-аас байрладаг түүврийн дундаж 1.960" дотор түүврийн дундаж стандарт хазайлт", 95% -тай тэнцүү байна.

Мэдэгдэлд дурдсан магадлалын утга нь тусгай нэртэй байна -тай холбоотойач холбогдлын түвшин α (альфа) энгийн илэрхийллээр итгэлцлийн түвшин =1 -α . Манай тохиолдолд ач холбогдлын түвшин α =1-0,95=0,05 .

Одоо энэ магадлалын мэдэгдэлд үндэслэн бид тооцоолох илэрхийлэл бичнэ итгэлийн интервал:

хаана Zα/2 – Стандарт хэвийн тархалт(санамсаргүй хэмжигдэхүүний ийм утга z, юу П(z>=Zα/2 )=α/2).

Анхаарна уу: Дээд α/2-квантильөргөнийг тодорхойлдог итгэлийн интервал in стандарт хазайлт жишээ дундаж. Дээд α/2-квантиль Стандарт хэвийн тархалтүргэлж 0-ээс их байх нь маш тохиромжтой.

Манай тохиолдолд α=0.05 үед, дээд α/2-квантиль 1.960-тай тэнцэнэ. Бусад чухал түвшний хувьд α (10%; 1%) дээд α/2-квантиль Zα/2 томъёог ашиглан тооцоолж болно \u003d NORM.ST.OBR (1-α / 2) эсвэл хэрэв мэдэгдэж байгаа бол итгэлцлийн түвшин, =NORM.ST.OBR((1+итгэлийн түвшин)/2).

Ихэвчлэн барилга барих үед дундаж утгыг тооцох итгэлийн интервалуудзөвхөн ашиглах дээд α/2-тоо хэмжээмөн бүү ашигла доод α/2-тоо хэмжээ. Учир нь энэ нь боломжтой юм Стандарт хэвийн тархалт x тэнхлэгт тэгш хэмтэй ( түүний тархалтын нягттухай тэгш хэмтэй дундаж, өөрөөр хэлбэл. 0). Тиймээс тооцоо хийх шаардлагагүй бага α/2-квантиль(энэ нь зүгээр л α гэж нэрлэгддэг /2-квантиль), учир нь тэнцүү байна дээд α/2-тоо хэмжээхасах тэмдэгтэй.

Х-ийн тархалтын хэлбэрээс үл хамааран харгалзах санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэдгийг санаарай X харьцтараасан ойролцоогоор зүгээр N(μ;σ 2 /n) (тухай нийтлэлийг үзнэ үү). Тиймээс, in ерөнхий тохиолдол, дээрх илэрхийлэл итгэлийн интервалзөвхөн ойролцоо байна. Хэрэв x-ийг хуваарилсан бол ердийн хууль N(μ;σ 2 /n), дараа нь илэрхийлэл итгэлийн интервалүнэн зөв байна.

MS EXCEL-д итгэх интервалын тооцоо

Асуудлыг шийдье.
Цахим бүрэлдэхүүн хэсгийн оролтын дохионд хариу өгөх хугацаа нь чухал шинж чанартөхөөрөмжүүд. Инженер 95% -ийн итгэлийн түвшинд хариу өгөх дундаж хугацааны итгэлийн интервалыг зурахыг хүсдэг. -аас өмнөх туршлагахариулах хугацааны стандарт хазайлт нь 8 мс гэдгийг инженер мэддэг. Инженер хариу өгөх хугацааг тооцоолохын тулд 25 хэмжилт хийсэн нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд дундаж утга нь 78 мс байв.

Шийдэл: Инженер хариу өгөх хугацааг мэдэхийг хүсч байна электрон төхөөрөмж, гэхдээ тэр хариу өгөх хугацаа нь тогтмол биш, харин өөрийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэдгийг ойлгодог. Тиймээс түүний найдаж болох хамгийн сайн зүйл бол энэ хуваарилалтын параметр, хэлбэрийг тодорхойлох явдал юм.

Харамсалтай нь, асуудлын нөхцөл байдлаас харахад бид хариу өгөх хугацааг хуваарилах хэлбэрийг мэдэхгүй байна (энэ нь заавал байх албагүй) хэвийн). , энэ хуваарилалт бас тодорхойгүй байна. Зөвхөн түүнийг л мэддэг стандарт хэлбэлзэлσ=8. Тиймээс бид магадлалыг тооцоолж, барьж чадахгүй итгэлийн интервал.

Гэсэн хэдий ч бид хуваарилалтыг мэдэхгүй ч гэсэн цаг тусдаа хариу үйлдэлдагуу бид мэднэ CPT, түүврийн хуваарилалт хариу өгөх дундаж хугацааойролцоогоор байна хэвийн(нөхцөл гэж бид таамаглах болно CPTгүйцэтгэдэг, учир нь хэмжээ дээжхангалттай том (n=25)) .

Цаашлаад, дундажэнэ хуваарилалт тэнцүү байна дундаж утганэгж хариу хуваарилалт, i.e. μ. ГЭХДЭЭ стандарт хэлбэлзэлЭнэ тархалтын (σ/√n) -ийг =8/ROOT(25) томъёогоор тооцоолж болно.

Мөн инженер хүлээн авсан нь мэдэгдэж байна цэгийн тооцоопараметр μ нь 78 мс-тэй тэнцүү (X cf). Тиймээс, одоо бид магадлалыг тооцоолж болно, учир нь Бид түгээлтийн хэлбэрийг мэддэг ( хэвийн) ба түүний параметрүүд (Х ср ба σ/√n).

Инженер мэдэхийг хүсч байна хүлээгдэж буй үнэ цэнэхариу өгөх хугацааны хуваарилалтын μ. Дээр дурдсанчлан энэ μ нь тэнцүү байна дундаж хариу хугацааны түүврийн тархалтын хүлээлт. Хэрэв бид ашигладаг бол хэвийн тархалт N(X cf; σ/√n), тэгвэл хүссэн μ нь ойролцоогоор 95%-ийн магадлалтай +/-2*σ/√n мужид байх болно.

Ач холбогдолын түвшинтэнцүү 1-0.95=0.05.

Эцэст нь зүүн ба баруун хилийг олоорой итгэлийн интервал.
Зүүн хүрээ: \u003d 78-NORM.ST.INR (1-0.05 / 2) * 8 / ROOT (25) = 74,864
Баруун хүрээ: \u003d 78 + NORM.ST. OBR (1-0.05 / 2) * 8 / ROOT (25) \u003d 81.136

Зүүн хүрээ: =NORM.INV(0.05/2, 78, 8/SQRT(25))
Баруун хүрээ: =NORM.INV(1-0.05/2, 78, 8/SQRT(25))

Хариулт: итгэлийн интервалцагт 95% итгэлийн түвшин ба σ=8сектэнцүү байна 78+/-3.136 мс

AT Sigma хуудас дээрх жишээ файлмэдэгдэж байгаа нь тооцоо, барилгын хэлбэрийг бий болгосон хоёр талын итгэлийн интервалдур зоргоороо дээжөгөгдсөн σ ба ач холбогдлын түвшин.

CONFIDENCE.NORM() функц

Хэрэв утгууд дээжхүрээнд байна В20: В79 , a ач холбогдлын түвшин 0.05-тай тэнцүү; Дараа нь MS EXCEL томъёо:
=ДУНДЖ(B20:B79)-ИТГЭЛ(0.05,σ, COUNT(B20:B79))
зүүн хилийг буцаах болно итгэлийн интервал.

Ижил хил хязгаарыг дараах томъёогоор тооцоолж болно.
=ДУНДЖ(B20:B79)-NORM.ST.INV(1-0.05/2)*σ/SQRT(COUNT(B20:B79))

Анхаарна уу: TRUST.NORM() функц нь MS EXCEL 2010 дээр гарч ирсэн. MS EXCEL-ийн өмнөх хувилбарууд нь TRUST() функцийг ашигладаг байсан.

Өмнөх дэд хэсгүүдэд бид үл мэдэгдэх параметрийг тооцоолох асуудлыг авч үзсэн анэг тоо. Ийм үнэлгээг "цэг" гэж нэрлэдэг. Хэд хэдэн даалгаврын хувьд зөвхөн параметрийг хайх шаардлагагүй болно атохиромжтой тоон утга, гэхдээ түүний нарийвчлал, найдвартай байдлыг үнэлнэ. Параметрийг орлуулах нь ямар алдаа гаргаж болохыг мэдэх шаардлагатай атүүний цэгийн тооцоо аЭдгээр алдаанууд мэдэгдэж буй хязгаараас хэтрэхгүй гэдэгт бид ямар итгэлтэй байж болох вэ?

Энэ төрлийн асуудал нь цэгийг тооцоолоход цөөн тооны ажиглалтын хувьд ялангуяа хамааралтай байдаг болон доторнь ихэвчлэн санамсаргүй бөгөөд a-г ойролцоогоор a-аар солих нь ноцтой алдаа гаргахад хүргэдэг.

Тооцооллын үнэн зөв, найдвартай байдлын талаар ойлголт өгөх а,

in математик статистикитгэлцлийн интервал болон итгэлийн магадлал гэж нэрлэгддэгийг ашиглана.

Параметрийг авч үзье атуршлагаас үл хамааран тооцоолсон а.Бид энэ тохиолдолд гарч болзошгүй алдааг тооцоолохыг хүсч байна. p магадлал бүхий үйл явдлыг практикт тодорхой гэж үзэхийн тулд хангалттай том p магадлалыг (жишээлбэл, p = 0.9, 0.95 эсвэл 0.99) оноож, s-ийн утгыг олъё.

Дараа нь солих үед гарч болох алдааны практик утгуудын хүрээ адээр а, ± s байх болно; том үнэмлэхүй алдаа нь зөвхөн бага магадлалтайгаар гарч ирнэ a = 1 - p. (14.3.1)-ийг дараах байдлаар дахин бичье.

Тэгш байдал (14.3.2) гэдэг нь p магадлалтайгаар параметрийн үл мэдэгдэх утгыг илэрхийлнэ аинтервалд багтдаг

Энэ тохиолдолд нэг нөхцөл байдлыг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Өмнө нь бид санамсаргүй хэмжигдэхүүн өгөгдсөн санамсаргүй бус интервалд орох магадлалыг олон удаа авч үзсэн. Энд нөхцөл байдал өөр байна: асанамсаргүй биш, харин санамсаргүй интервал / r. Санамсаргүй байдлаар түүний x тэнхлэг дээрх байрлалыг төвөөр нь тодорхойлно а; ерөнхийдөө s-ийн утгыг туршилтын өгөгдлөөр тооцдог тул 2s интервалын урт нь бас санамсаргүй байдаг. Тиймээс, in Энэ тохиолдолд p-ийн утгыг цэгийг "цохих" магадлал гэж тайлбарлах нь дээр аинтервал руу / p, гэхдээ магадлалын хувьд санамсаргүй интервал / p цэгийг хамрах болно а(Зураг 14.3.1).

Цагаан будаа. 14.3.1

магадлалыг p гэж нэрлэдэг итгэлийн түвшин, мөн интервал / p - итгэлийн интервал.Интервалын хил хязгаар хэрэв. a x \u003d a-с ба a 2 = a +ба дуудагддаг итгэлцлийн хил хязгаар.

Итгэлийн интервалын тухай ойлголтын өөр нэг тайлбарыг өгье: үүнийг параметрийн утгын интервал гэж үзэж болно. а,туршилтын өгөгдөлтэй нийцэж байгаа бөгөөд тэдгээртэй зөрчилдөхгүй. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв бид a = 1-p магадлалтай үйл явдлыг бараг боломжгүй гэж үзэхийг зөвшөөрвөл a параметрийн утгууд нь a - a> s нь туршилтын өгөгдөлтэй зөрчилдөж байгааг хүлээн зөвшөөрөх ёстой бөгөөд тэдгээр нь |a - а a t na 2.

Параметрийг авч үзье анэг талыг барьсан тооцоо байдаг а.Хэрэв бид тоо хэмжээний хуваарилалтын хуулийг мэддэг байсан бол а, итгэлийн интервалыг олох асуудал маш энгийн байх болно: s утгыг олоход хангалттай байх болно.

Хэцүү байдал нь тооцооллын хуваарилалтын хуультай холбоотой юм атоо хэмжээний хуваарилалтын хуулиас хамаарна Xулмаар түүний үл мэдэгдэх параметрүүд дээр (ялангуяа параметр өөрөө a).

Энэ бэрхшээлийг даван туулахын тулд бид ойролцоогоор дараах аргыг хэрэглэж болно: s-ийн илэрхийлэл дэх үл мэдэгдэх параметрүүдийг тэдгээрийн цэгийн тооцоолол. Харьцуулбал их тоотуршилтууд П(ойролцоогоор 20 ... 30) энэ техник нь ихэвчлэн нарийвчлалын хувьд хангалттай үр дүнг өгдөг.

Жишээлбэл, математикийн хүлээлтийн итгэлийн интервалын асуудлыг авч үзье.

Үйлдвэрлэе П x,шинж чанарууд нь математикийн хүлээлт юм тболон хэлбэлзэл Д- үл мэдэгдэх. Эдгээр параметрүүдийн хувьд дараахь тооцоог авсан болно.

Үүнд тохирох итгэлцлийн интервал / p бий болгох шаардлагатай итгэлийн түвшин p, математикийн хүлээлтийн хувьд ттоо хэмжээ x.

Энэ асуудлыг шийдэхдээ бид тоо хэмжээг ашигладаг тнийлбэр юм Пбие даасан адил тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн X чмөн төв хязгаарын теоремын дагуу хангалттай том Птүүний тархалтын хууль хэвийн хэмжээнд ойрхон байна. Практикт харьцангуй цөөн тооны нэр томъёо (10 ... 20 дарааллаар) байсан ч нийлбэрийн тархалтын хуулийг ойролцоогоор хэвийн гэж үзэж болно. Бид үнэ цэнийг тооцох болно тердийн хуулийн дагуу хуваарилагдсан. Энэ хуулийн шинж чанарууд - математикийн хүлээлт ба дисперс нь тэнцүү байна тболон

(13-р бүлгийн 13.3-ыг үзнэ үү). үнэ цэнэ гэж бодъё Дбидэнд мэдэгдэж байгаа бөгөөд бид ийм үнэ цэнийг олох болно Ep

6-р бүлгийн (6.3.5) томъёог ашигласнаар (14.3.5)-ын зүүн талын магадлалыг хэвийн тархалтын функцээр илэрхийлнэ.

тооцооны стандарт хазайлт хаана байна т.

Тэгшитгэлээс

Sp утгыг олох:

arg Ф* (x) нь Ф*-ийн урвуу функц юм. (X),тэдгээр. хэвийн тархалтын функц нь тэнцүү байх аргументийн ийм утга X.

Тархалт D,түүгээр дамжуулан үнэ цэнийг илэрхийлдэг а 1P, бид яг таг мэдэхгүй байна; түүний ойролцоо утгын хувьд та тооцооллыг ашиглаж болно Д(14.3.4) болон ойролцоогоор тавина:

Тиймээс итгэлцлийн интервалыг бий болгох асуудлыг ойролцоогоор шийдсэн бөгөөд энэ нь:

Энд gp-ийг (14.3.7) томъёогоор тодорхойлно.

Ф * (l) функцийн хүснэгтэд s p-ийг тооцоолохдоо урвуу интерполяци хийхээс зайлсхийхийн тулд хэмжигдэхүүний утгыг жагсаасан тусгай хүснэгтийг (Хүснэгт 14.3.1) эмхэтгэх нь тохиромжтой.

r-ээс хамаарна. Утга (p нь ердийн хуулийн хувьд дундаж утгыг тодорхойлдог стандарт хазайлт, энэ нь тархалтын төвийн баруун ба зүүн талд байх ёстой бөгөөд ингэснээр үүссэн талбайг цохих магадлал p-тэй тэнцүү байна.

7 p-ийн утгаар итгэлийн интервалыг дараах байдлаар илэрхийлнэ.

Хүснэгт 14.3.1

Жишээ 1. Утга дээр 20 туршилт хийсэн x;үр дүнг хүснэгтэд үзүүлэв. 14.3.2.

Хүснэгт 14.3.2

Хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийн тооцоог олох шаардлагатай X p = 0.8 итгэлийн түвшинд харгалзах итгэлийн интервалыг байгуулна.

Шийдэл.Бидэнд байгаа:

Гарал үүслийг сонгохдоо n: = 10, гурав дахь томъёоны дагуу (14.2.14) бид шударга бус үнэлгээг олно. Д :

Хүснэгтийн дагуу 14.3.1 бид олдог

Итгэлийн хязгаарлалт:

Итгэлийн интервал:

Параметрийн утгууд т,Энэ интервалд байгаа үзүүлэлтүүд нь хүснэгтэд өгсөн туршилтын өгөгдөлтэй нийцэж байна. 14.3.2.

Үүнтэй адилаар хэлбэлзлийн хувьд итгэлцлийн интервалыг байгуулж болно.

Үйлдвэрлэе Псанамсаргүй хэмжигдэхүүн дээр бие даасан туршилтууд Xболон А-аас үл мэдэгдэх параметртэй, мөн дисперсийн хувьд ДШударга бус тооцоог олж авна:

Ойролцоогоор хэлбэлзлийн итгэлийн интервалыг бий болгох шаардлагатай.

(14.3.11) томьёоноос утга нь харагдаж байна Дтөлөөлдөг

хэмжээ Пхэлбэрийн санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд. Эдгээр үнэ цэнэ нь тийм биш юм

бие даасан, учир нь тэдгээрийн аль нэг нь тоо хэмжээг агуулдаг т,бусдаас хамааралтай. Гэсэн хэдий ч үүнийг харуулж болно Птэдгээрийн нийлбэрийн тархалтын хууль мөн хэвийн хэмжээнд ойрхон байна. Бараг цагт П= 20...30 аль хэдийн хэвийн гэж үзэж болно.

Ийм байна гэж үзээд энэ хуулийн шинж чанаруудыг олъё: математикийн хүлээлт ба дисперс. Онооноос хойш Д- тэгвэл шударга бус M[D] = D.

Вариацын тооцоо Д Дхарьцангуй төвөгтэй тооцоололтой холбоотой тул бид түүний илэрхийлэлийг гаралгүйгээр өгдөг.

Энд c 4 - хэмжигдэхүүний дөрөв дэх төв момент x.

Энэ илэрхийлэлийг ашиглахын тулд та 4 ба 2-ын утгыг орлуулах хэрэгтэй. Д(наад зах нь ойролцоогоор). Оронд нь ДТа үнэлгээг ашиглаж болно Д.Зарчмын хувьд дөрөв дэх төв мөчийг түүний тооцоогоор, жишээлбэл, маягтын утгаар сольж болно.

гэхдээ ийм орлуулалт нь маш бага нарийвчлалыг өгөх болно, учир нь ерөнхийдөө хязгаарлагдмал тооны туршилтууд байдаг. өндөр захиалга-аас тодорхойлсон том алдаанууд. Гэсэн хэдий ч практикт хэмжигдэхүүний хуваарилалтын хуулийн хэлбэр нь ихэвчлэн тохиолддог XУрьдчилан мэдэгдэж байгаа: зөвхөн түүний параметрүүд тодорхойгүй байна. Дараа нь бид u4-ийг томъёогоор илэрхийлэхийг оролдож болно Д.

Хамгийн нийтлэг тохиолдлыг авч үзье, хэзээ үнэ цэнэ Xердийн хуулийн дагуу хуваарилагдсан. Дараа нь түүний дөрөв дэх төв мөчийг дисперсийн хувьд илэрхийлнэ (6-р бүлгийн 6.2-ыг үзнэ үү);

ба томъёо (14.3.12) өгнө эсвэл

(14.3.14)-д үл мэдэгдэх зүйлийг орлуулах Дтүүний үнэлгээ Д, бид: хаанаас

u 4 моментийг -ээр илэрхийлж болно Дмөн бусад зарим тохиолдолд тоо хэмжээг хуваарилах үед Xхэвийн биш боловч гадаад төрх нь мэдэгдэж байна. Жишээлбэл, хуулийн хувьд жигд нягтрал(5-р бүлгийг үзнэ үү) бидэнд байна:

Энд (a, P) нь хууль өгөгдсөн интервал юм.

Үүний үр дүнд,

(14.3.12) томъёоны дагуу бид дараахь зүйлийг авна. Бид ойролцоогоор хаанаас олдог

26-ийн утгыг хуваарилах хуулийн хэлбэр нь тодорхойгүй тохиолдолд a /)-ийн утгыг тооцоолохдоо үүнийг (14.3.16) гэж үзэх тусгай үндэслэл байхгүй бол томъёог ашиглахыг зөвлөж байна. хууль нь ердийнхөөс эрс ялгаатай (эерэг эсвэл сөрөг куртозис мэдэгдэхүйц байна).

Хэрэв a /)-ийн ойролцоо утгыг ямар нэг байдлаар олж авсан бол математикийн хүлээлтэд зориулж бүтээсэнтэй ижил аргаар дисперсийн итгэлцлийн интервалыг байгуулж болно.

өгөгдсөн p магадлалаас хамаарах утгыг Хүснэгтээс олно. 14.3.1.

Жишээ 2. Санамсаргүй хувьсагчийн дисперсийн хувьд ойролцоогоор 80%-ийн итгэлийн интервалыг ол. X 1-р жишээний нөхцөлд, хэрэв энэ нь мэдэгдэж байгаа бол үнэ цэнэ Xхэвийн хэмжээнд ойрхон хуулийн дагуу хуваарилагдсан.

Шийдэл.Утга нь Хүснэгттэй ижил хэвээр байна. 14.3.1:

Томъёоны дагуу (14.3.16)

(14.3.18) томъёоны дагуу бид итгэлийн интервалыг олно.

Дундаж утгын харгалзах хүрээ стандарт хэлбэлзэл: (0,21; 0,29).

14.4. Нормаль хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний параметрүүдийн итгэлийн интервалыг бий болгох нарийн аргууд

Өмнөх дэд хэсэгт бид дундаж болон дисперсийн итгэлцлийн интервалыг бий болгох ойролцоогоор аргуудыг авч үзсэн. Энд бид ижил асуудлыг шийдэх тодорхой аргуудын талаархи санааг өгдөг. Итгэлийн интервалыг үнэн зөв олохын тулд хэмжигдэхүүний хуваарилалтын хуулийн хэлбэрийг урьдчилан мэдэх шаардлагатай гэдгийг бид онцолж байна. x,харин ойролцоо аргыг хэрэглэхэд энэ нь шаардлагагүй.

Санаа нарийн аргуудитгэлцлийн интервалыг бий болгох нь дараах байдлаар буурна. Аливаа итгэлцлийн интервалыг зарим тэгш бус байдлын биелэгдэх магадлалыг илэрхийлсэн нөхцлөөс олдог бөгөөд үүнд бидний сонирхлын тооцоог багтаасан болно. а.Зэрэг хуваарилалтын хууль аерөнхий тохиолдолд хэмжигдэхүүний үл мэдэгдэх параметрүүдээс хамаарна x.Гэсэн хэдий ч заримдаа санамсаргүй хэмжигдэхүүнээс тэгш бус байдлыг дамжуулах боломжтой байдаг аажиглагдсан утгуудын бусад функцэд X p X 2, ..., X х.тархалтын хууль нь үл мэдэгдэх параметрээс хамаардаггүй, зөвхөн туршилтын тоо, хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийн хэлбэрээс хамаарна. x.Ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүн тоглодог том үүрэгматематик статистикт; хэмжигдэхүүнийг хэвийн хуваарилах тохиолдолд тэдгээрийг хамгийн нарийвчлан судалсан x.

Тухайлбал, энэ нь батлагдсан хэвийн тархалттоо хэмжээ Xсанамсаргүй утга

гэж нэрлэгддэг зүйлд хамаарна Оюутны хуваарилалтын хууль-тай П- 1 градусын эрх чөлөө; Энэ хуулийн нягтрал нь хэлбэртэй байна

Энд G(x) нь мэдэгдэж буй гамма функц юм:

Мөн санамсаргүй хэмжигдэхүүн болох нь батлагдсан

-тэй "тархалт % 2" байна П- 1 градусын эрх чөлөө (7-р бүлгийг үзнэ үү), нягтралыг томъёогоор илэрхийлнэ.

Тархалтын (14.4.2) ба (14.4.4) гарал үүслийн талаар ярихгүйгээр бид параметрийн итгэлцлийн интервалыг байгуулахдаа тэдгээрийг хэрхэн ашиглаж болохыг харуулах болно. Тай Д.

Үйлдвэрлэе Псанамсаргүй хэмжигдэхүүн дээр бие даасан туршилтууд x,үл мэдэгдэх параметртэй хэвийн хуулийн дагуу тархсан TIO.Эдгээр үзүүлэлтүүдийн хувьд тооцоолол

Барилга барихад шаардлагатай итгэлцлийн интервалуудхоёр параметрийн хувьд итгэлцлийн түвшин p.

Эхлээд математикийн хүлээлтэд итгэх итгэлийн интервалыг байгуулъя. Энэ интервалыг тэгш хэмтэй авч үзэх нь зүйн хэрэг юм т; интервалын уртын хагасыг s p гэж тэмдэглэнэ. Нөхцөл байхаар sp-ийн утгыг сонгох ёстой

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнээс тэгш байдлын зүүн талд (14.4.5) дамжуулахыг оролдъё тсанамсаргүй хэмжигдэхүүн рүү Т,Оюутны хуулийн дагуу хуваарилагдсан. Үүнийг хийхийн тулд |m-w?| тэгш бус байдлын хоёр хэсгийг үржүүлнэ

эерэг утга руу: эсвэл тэмдэглэгээг ашиглан (14.4.1),

Нөхцөлөөс / p утгыг олох боломжтой / p тоог олъё

(14.4.2) томъёоноос харахад (1) - жигд функц, тэгэхээр (14.4.8) өгнө

Тэгш байдал (14.4.9) нь p-ээс хамаарч утгыг / p-ийг тодорхойлно. Хэрэв танд интеграл утгуудын хүснэгт байгаа бол

дараа нь / p утгыг урвуу интерполяцаар хүснэгтээс олж болно. Гэсэн хэдий ч утгын хүснэгтийг урьдчилан эмхэтгэх нь илүү тохиромжтой. Ийм хүснэгтийг Хавсралтад өгсөн болно (Хүснэгт 5). Энэ хүснэгтэд итгэх магадлал p болон эрх чөлөөний зэрэглэлийн тооноос хамаарч утгуудыг харуулав П- 1. Хүснэгтийн дагуу / p-ийг тодорхойлсны дараа. 5 ба таамаглаж байна

бид итгэлцлийн интервал / p ба интервалын өргөний хагасыг олдог

Жишээ 1. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн дээр бие даасан 5 туршилт хийсэн x,үл мэдэгдэх параметрүүдээр хэвийн тархсан тболон тухай. Туршилтын үр дүнг хүснэгтэд үзүүлэв. 14.4.1.

Хүснэгт 14.4.1

Тооцоолол олох тматематикийн хүлээлтийн хувьд 90% -ийн итгэлийн интервал / p (жишээ нь p \u003d 0.9 итгэх магадлалд тохирох интервал) байгуулна.

Шийдэл.Бидэнд байгаа:

Өргөдлийн 5-р хүснэгтийн дагуу P - 1 = 4 ба p = 0.9-ийг бид олно хаана

Итгэлийн интервал нь байх болно

Жишээ 2. 14.3-р дэд хэсгийн 1-р жишээний нөхцлийн хувьд утгыг авч үзнэ. Xхэвийн тархалттай, тодорхой итгэлийн интервалыг ол.

Шийдэл.Өргөдлийн 5-р хүснэгтийн дагуу бид эндээс олдог P - 1 = 19ir =

0.8 / p = 1.328; эндээс

14.3-р дэд хэсгийн 1-р жишээний шийдэлтэй харьцуулбал (e p = 0.072) зөрүү нь маш бага байгааг бид харж байна. Хэрэв бид нарийвчлалыг хоёр дахь аравтын бутархай хүртэл хадгалах юм бол яг ба ойролцоо аргаар олсон итгэлийн интервалууд ижил байна.

Вариацын итгэлцлийн интервалыг байгуулах ажлыг үргэлжлүүлье. Шударга бус хэлбэлзлийн тооцоог авч үзье

болон илэрхийлэх санамсаргүй хувьсагч Дүнэ цэнээр дамжуулан В(14.4.3) x 2 тархалттай (14.4.4):

Хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг мэдэх V,өгөгдсөн p магадлалтайгаар унах / (1 ) интервалыг олох боломжтой.

хуваарилалтын хууль k n _ x (v) I 7-ийн утга нь зурагт үзүүлсэн хэлбэртэй байна. 14.4.1.

Цагаан будаа. 14.4.1

Асуулт гарч ирнэ: интервал / p-ийг хэрхэн сонгох вэ? Хэмжигдэхүүний тархалтын хууль бол Втэгш хэмтэй байсан (ердийн хууль эсвэл Оюутны тархалт гэх мэт), математикийн хүлээлттэй харьцуулахад /p интервалыг тэгш хэмтэй авах нь зүйн хэрэг. Энэ тохиолдолд хууль k n _ x (v)тэгш бус. Хэмжигдэхүүн гарах магадлалыг тогтоохын тулд /p интервалыг сонгохыг зөвшөөрье Вбаруун ба зүүн талын интервалын гадна (14.4.1-р зурагт сүүдэрлэсэн хэсгүүд) ижил бөгөөд тэнцүү байв.

Энэ шинж чанартай интервал / p байгуулахын тулд бид Хүснэгтийг ашигладаг. 4 програм: энэ нь тоо агуулсан у)тиймэрхүү

тоо хэмжээний хувьд V,х 2-тэй - r эрх чөлөөний зэрэгтэй тархалт. Манай тохиолдолд r = n- 1. Засах r = n- 1 ба хүснэгтийн харгалзах мөрөнд олно. 4 хоёр утга x 2 -нэг нь магадлалд тохирох нөгөө нь - магадлал Эдгээрийг тэмдэглэе

үнэт зүйлс 2 цагтболон xl?Интервал байна y 2,зүүн тийшээ, мөн y~баруун төгсгөл.

Одоо бид D, ба хил хязгаартай дисперсийн хувьд шаардлагатай итгэлцлийн интервалыг /| олно D2,цэгийг хамардаг Д p магадлалтай:

Цэгийг хамарсан ийм интервалыг / (, = (?> b A) байгуулъя Дхэрэв зөвхөн үнэ цэнэ Винтервалд ордог / r. Интервал гэдгийг харуулъя

энэ нөхцлийг хангаж байна. Үнэхээр тэгш бус байдал тэгш бус байдалтай тэнцүү байна

ба эдгээр тэгш бус байдал p магадлалын хамт явагдана. Ийнхүү тархалтын итгэлийн интервал олдож (14.4.13) томъёогоор илэрхийлэгдэнэ.

Жишээ 3. 14.3-р дэд хэсгийн 2-р жишээний нөхцлийн дагуу хэлбэлзлийн итгэлцлийн интервалыг ол. Xхэвийн тархсан.

Шийдэл.Бидэнд байгаа . Өргөдлийн 4-р хүснэгтийн дагуу

бид олдог r = n - 1 = 19

(14.4.13) томъёоны дагуу бид тархалтын итгэлийн интервалыг олно

Стандарт хазайлтын харгалзах интервал: (0.21; 0.32). Энэ интервал нь ойролцоогоор аргаар 14.3-р дэд хэсгийн 2-р жишээнд авсан интервалаас (0.21; 0.29) бага зэрэг давсан байна.

• Зураг 14.3.1-д а-ийн хувьд тэгш хэмтэй итгэх интервалыг авч үзсэн. Ерөнхийдөө бид дараа нь харах болно, энэ нь шаардлагагүй юм.

Энэ нийтлэлээс та дараахь зүйлийг сурах болно.

Юу итгэлийн интервал?

Ямар учиртай юм 3 сигма дүрэм?

Энэ мэдлэгийг хэрхэн амьдралд хэрэгжүүлэх вэ?

Өнөө үед маш олон төрлийн бүтээгдэхүүн, борлуулалтын чиглэл, ажилчид, үйл ажиллагаа гэх мэт мэдээлэл хэт их байгаа тул голыг нь сонгоход хэцүү, энэ нь юуны түрүүнд анхаарч, удирдахын тулд хүчин чармайлт гаргах нь зүйтэй юм. Тодорхойлолт итгэлийн интервалбодит үнэ цэнийн хил хязгаараас давж гарахад дүн шинжилгээ хийх нь ийм арга юм нөхцөл байдлыг тодорхойлоход тусална, чиг хандлагад нөлөөлж байна.Та эерэг хүчин зүйлсийг хөгжүүлж, сөрөг хүчин зүйлийн нөлөөллийг бууруулах боломжтой болно. Энэ технологийг дэлхийн олон алдартай компаниуд ашигладаг.

гэж нэрлэгддэг зүйл байдаг сэрэмжлүүлэг", аль менежерүүдэд мэдэгдэхтодорхой чиглэлд дараагийн үнэ цэнэ гэж заасан давсан итгэлийн интервал. Энэ юу гэсэн үг вэ? Энэ нь энэ чиглэлд байгаа чиг хандлагыг өөрчилж болзошгүй стандарт бус үйл явдал болсон гэсэн дохио юм. Энэ бол дохиотэр рүү үүнийг цэгцлэхийн тулднөхцөл байдал, түүнд юу нөлөөлсөнийг ойлгох.

Жишээлбэл, хэд хэдэн нөхцөл байдлыг авч үзье. Бид 2011 оны 100 нэр төрлийн барааны борлуулалтын таамаглалыг сараар, 3-р сарын бодит борлуулалтыг тооцсон болно.

1. " наран цэцгийн тос» таамаглалын дээд хязгаарыг давж, итгэлийн интервалд ороогүй.
2. "Хуурай мөөгөнцрийн" хувьд урьдчилсан таамаглалын доод хязгаараас давсан.
3. " Oatmeal» дээд хязгаарыг давсан.

Үлдсэн барааны хувьд бодит борлуулалт нь урьдчилан тогтоосон хязгаарт багтсан байна. Тэдгээр. тэдний борлуулалт хүлээлттэй нийцэж байсан. Тиймээс бид хилийн чанадад гарсан 3 бүтээгдэхүүнийг тодорхойлж, хилийн чанадад гарахад юу нөлөөлсөнийг тодорхойлж эхлэв.

1. "Наранцэцгийн тос" -оор бид шинэ зүйлд орлоо худалдааны сүлжээ, энэ нь бидэнд нэмэлт борлуулалтын хэмжээг өгсөн бөгөөд энэ нь дээд хязгаарын гаралтад хүргэсэн. Энэ бүтээгдэхүүний хувьд энэ сүлжээн дэх борлуулалтын таамаглалыг харгалзан оны эцэс хүртэл урьдчилсан тооцоог дахин тооцоолох нь зүйтэй.
2. Хуурай мөөгөнцрийн хувьд машин гааль дээр гацаж, 5 хоногийн дотор хомсдол үүссэн нь борлуулалт буурч, доод хилээс гарахад нөлөөлсөн. Үүний шалтгааныг олж мэдээд энэ байдлыг давтахгүй байхыг хичээх нь зүйтэй болов уу.
3. Oatmeal-ийн хувьд борлуулалтын урамшууллыг эхлүүлсэн бөгөөд энэ нь борлуулалтыг мэдэгдэхүйц нэмэгдүүлж, таамаглалыг хэтрүүлэхэд хүргэсэн.

Бид таамаглалыг хэтрүүлэхэд нөлөөлсөн 3 хүчин зүйлийг тодорхойлсон. Амьдралд үүнээс олон зүйл байж болно.Бодит борлуулалт нь таамаглаж байснаас давж гарахад хүргэдэг хүчин зүйлсийг урьдчилан таамаглах, төлөвлөх нарийвчлалыг сайжруулахын тулд тэдгээрийн урьдчилсан мэдээ, төлөвлөгөөг тусад нь гаргаж, тусад нь гаргах нь зүйтэй. Дараа нь борлуулалтын гол төлөвт үзүүлэх нөлөөллийг харгалзан үзээрэй. Та мөн эдгээр хүчин зүйлсийн нөлөөллийг тогтмол үнэлж, нөхцөл байдлыг илүү сайн болгох боломжтой сөрөг нөлөөллийг бууруулж, эерэг хүчин зүйлийн нөлөөг нэмэгдүүлэх замаар.

Итгэлийн интервалаар бид дараахь зүйлийг хийж чадна.

1. Очих газруудыг тодруул, үүнд анхаарлаа хандуулах нь зүйтэй, учир нь нөлөөлж болзошгүй үйл явдал эдгээр бүс нутагт болсон чиг хандлагын өөрчлөлт.
2. Хүчин зүйлсийг тодорхойлохэнэ нь үнэндээ өөрчлөлтийг бий болгодог.
3. Хүлээн зөвшөөрөх жинтэй шийдвэр(жишээлбэл, худалдан авалтын тухай, төлөвлөхдөө гэх мэт).

Одоо итгэлийн интервал гэж юу болох, үүнийг Excel дээр хэрхэн тооцоолох талаар жишээ ашиглан харцгаая.

Итгэлийн интервал гэж юу вэ?

Итгэмжлэх интервал нь урьдчилан таамаглах хил хязгаар (дээд ба доод) юм Өгөгдсөн магадлалтай (сигма)бодит утгыг авах.

Тэдгээр. Бид таамаглалыг тооцдог - энэ бол бидний гол жишиг үзүүлэлт боловч бодит үнэ цэнэ нь бидний таамаглалтай 100% тэнцүү байх магадлал багатай гэдгийг бид ойлгож байна. Тэгээд асуулт гарч ирнэ ямар төвшин хүртэлбодит утгыг авч болно, одоогийн чиг хандлага хэвээр байвал? Мөн энэ асуулт бидэнд хариулахад тусална итгэлцлийн интервалын тооцоо, өөрөөр хэлбэл - таамаглалын дээд ба доод хязгаар.

Өгөгдсөн магадлалын сигма гэж юу вэ?

Тооцоолох үедитгэлийн интервал бид чадна магадлалыг тогтоосон хитбодит үнэ цэнэ өгөгдсөн таамаглалын хязгаарт багтаан. Үүнийг хэрхэн хийх вэ? Үүнийг хийхийн тулд бид sigma-ийн утгыг тохируулж, хэрэв сигма тэнцүү бол:

3 сигма- тэгвэл итгэлийн интервал дахь дараагийн бодит утгыг онох магадлал 99.7% буюу 300-аас 1 байх буюу эсвэл хил хязгаараас гарах магадлал 0.3% байна.

2 сигма- тэгвэл хил доторх дараагийн утгыг онох магадлал ≈ 95.5%, өөрөөр хэлбэл. магадлал нь 20-оос 1 байна, эсвэл хязгаараас гарах магадлал 4.5% байна.

1 сигма- тэгвэл магадлал ≈ 68.3%, өөрөөр хэлбэл. магадлал нь ойролцоогоор 2-оос 1 байна, эсвэл дараагийн үнэ цэнэ итгэлийн интервалаас гадуур унах магадлал 31.7% байна.

Бид томъёолсон 3 Сигма дүрэм,гэж хэлдэг цохилтын магадлалөөр санамсаргүй утга итгэлцлийн интервал рууөгөгдсөн утгатай гурван сигма нь 99.7%.

Оросын агуу математикч Чебышев гурван сигмын өгөгдсөн утгатай таамаглалын хил хязгаараас давах магадлал 10% байдаг гэсэн теоремыг нотолсон. Тэдгээр. 3 сигма итгэлцлийн интервалд унах магадлал дор хаяж 90% байх ба урьдчилсан мэдээ болон түүний хил хязгаарыг "нүдээр" тооцоолох оролдлого нь илүү чухал алдаатай байдаг.

Excel-ийн итгэлийн интервалыг хэрхэн бие даан тооцоолох вэ?

Excel-ийн итгэлийн интервалын тооцоог (өөрөөр хэлбэл урьдчилсан таамаглалын дээд ба доод хязгаар) жишээн дээр авч үзье. Бидэнд цаг хугацааны цуврал байдаг - 5 жилийн турш сараар борлуулалт. Хавсаргасан файлыг үзнэ үү.

Урьдчилан таамаглалын хил хязгаарыг тооцоолохын тулд бид дараахь зүйлийг тооцоолно.

1. Борлуулалтын таамаг().
2. Сигма - стандарт хазайлтбодит үнэ цэнээс загваруудыг таамаглах.
3. Гурван сигма.
4. Итгэлийн интервал.

1. Борлуулалтын төсөөлөл.

=(RC[-14] (цаг хугацааны цуваа дахь өгөгдөл)-RC[-1] (загварын үнэ цэнэ))^2(квадрат)

3. Сар бүрийн нийлбэр 8-р шатнаас хазайх утгыг Сум((Xi-Ximod)^2), өөрөөр хэлбэл. Жил бүрийн 1, 2-р... нийлбэр дүнг авч үзье.

Үүнийг хийхийн тулд =SUMIF() томъёог ашиглана уу.

SUMIF(мөчлөгийн доторх үеүүдийн тоо бүхий массив (1-ээс 12 сар хүртэл); мөчлөгийн үеийн тооны лавлагаа; анхны өгөгдөл болон утгуудын хоорондын зөрүүний квадрат бүхий массивын лавлагаа үе)

4. 1-ээс 12 хүртэлх мөчлөгийн үе бүрийн стандарт хазайлтыг тооцоол (10-р үе шат). хавсаргасан файлд).

Үүнийг хийхийн тулд 9-р үе шатанд тооцоолсон утгаас бид үндсийг гаргаж аваад энэ мөчлөгийн үеийн тооноос хасах 1 = ROOT((Sum(Xi-Ximod)^2/(n-1)) гэж хуваана.

Excel-д томъёог ашиглацгаая =ROOT(R8 ((Sum(Xi-Ximod)^2)/(COUNTIF($O$8:$O$67 (мөчлөгийн дугаар бүхий массивын лавлагаа); O8 (бидний массив дээр авч үзэх тодорхой мөчлөгийн дугаарын лавлагаа))-1))

Excel томъёог ашиглах = COUNTIFбид n тоог тоолно

Урьдчилан таамагласан загвараас бодит өгөгдлийн стандарт хазайлтыг тооцоолсноор бид сар бүрийн сигма утгыг авсан - 10-р үе шат хавсаргасан файлд.

3. 3 сигма-г тооцоол.

11-р үе шатанд бид сигмын тоог тогтоосон - бидний жишээнд "3" (11-р үе шат). хавсаргасан файлд):

Мөн практик сигма утгууд:

1.64 сигма - хязгаарыг давах 10% магадлал (10-д 1 боломж);

1.96 сигма - хязгаараас гарах магадлал 5% (20-д 1 боломж);

2.6 сигма - хязгаараас гарах магадлал 1% (100-д ​​1).

5) Бид гурван сигма тооцоолно, үүний тулд бид сар бүрийн "сигма" утгыг "3" -аар үржүүлдэг.

3. Итгэлийн интервалыг тодорхойл.

1. Урьдчилан таамаглах дээд хязгаар- өсөлт ба улирлын шинж чанарыг харгалзан борлуулалтын таамаглал + (нэмэх) 3 сигма;
2. Доод урьдчилсан таамаглал- өсөлт, улирлын шинж чанарыг харгалзан борлуулалтын таамаглал - (хасах) 3 сигма;

Урт хугацааны туршид итгэх интервалыг тооцоолоход хялбар болгохын тулд (хавсаргасан файлыг үзнэ үү) бид ашигладаг. Excel томъёо =Y8+VLOOKUP(W8;$U$8:$V$19;2;0), хаана

Y8- борлуулалтын таамаглал;

W8- бид 3 сигма утгыг авах сарын тоо;

Тэдгээр. Урьдчилан таамаглах дээд хязгаар= "борлуулалтын таамаг" + "3 сигма" (жишээ нь, VLOOKUP(сарын тоо; 3 сигма утгатай хүснэгт; харгалзах мөр дэх сарын тоотой тэнцүү сигма утгыг гаргаж авдаг багана; 0)).

Доод урьдчилсан таамаглал= "борлуулалтын таамаг" хасах "3 сигма".

Тиймээс бид Excel-ийн итгэлийн интервалыг тооцоолсон.

Одоо бидэнд бодит үнэ цэнэ нь өгөгдсөн магадлалын сигмагаар унах хил хязгаар бүхий урьдчилсан мэдээ, муж байна.

Энэ нийтлэлд бид сигма ба гурван сигма дүрэм гэж юу болох, итгэлийн интервалыг хэрхэн тодорхойлох, юу ашиглаж болох талаар авч үзсэн. энэ техникдадлага дээр.

Нарийвчлалтай таамаглал, танд амжилт!

Хэрхэн Forecast4AC PRO танд тусалж чаднаитгэлцлийн интервалыг тооцоолохдоо?:

Forecast4AC PRO нь 1000 гаруй цагийн цувралын урьдчилсан таамаглалын дээд эсвэл доод хязгаарыг нэгэн зэрэг автоматаар тооцоолох болно;

График дээрх урьдчилсан таамаглал, чиг хандлага, бодит борлуулалттай харьцуулан таамаглалын хил хязгаарыг нэг товчлуур дээр дарж дүн шинжилгээ хийх чадвар;

Forcast4AC PRO програмд ​​сигма утгыг 1-ээс 3 хүртэл тохируулах боломжтой.

Бидэнтэй нэгд!

Урьдчилан таамаглах, бизнесийн тагнуулын үнэгүй програмуудыг татаж аваарай:

• Novo Forecast Lite- автомат урьдчилсан тооцоо in excel.
• 4 аналитик- ABC-XYZ шинжилгээболон ялгарлын шинжилгээ Excel.
• Qlik SenseШирээний компьютер болон Qlik ViewPersonal Edition - Өгөгдлийн шинжилгээ, дүрслэлд зориулсан BI систем.

Төлбөртэй шийдлүүдийн онцлогуудыг туршиж үзээрэй:

• Novo Forecast PRO- том хэмжээний өгөгдлийн массивын хувьд Excel дээр урьдчилан таамаглах.