Цэгийн тооцоо ба түүний шинж чанарууд. Түүврийн математикийн хүлээлт ба дисперсийн тооцоо
Санамсаргүй хэмжигдэхүүн байг Xматематикийн хүлээлттэй мба тархалт Д, гэхдээ эдгээр хоёр параметр нь тодорхойгүй байна. Хэт их хэмжээ Xүйлдвэрлэсэн Нбие даасан туршилтуудын үр дүнд багц Нтоон үр дүн x 1 , x 2 , …, x N. Математикийн хүлээлтийг тооцоолохын тулд ажиглагдсан утгуудын арифметик дундажийг санал болгох нь зүйн хэрэг юм.
| (1) |
Энд гэж x iүр дүнд олж авсан тодорхой утгууд (тоо). Нтуршилтууд. Хэрэв бид бусдыг авбал (өмнөхөөс үл хамааран) Нтуршилт, тэгвэл бид өөр үнэ цэнийг авах нь ойлгомжтой. Хэрэв та илүү ихийг авбал Нтуршилт, бид дахин нэг шинэ үнэ цэнийг авах болно. -ээр тэмдэглээрэй X i-аас үүссэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн битуршилт, дараа нь бодит байдал X iЭдгээр туршилтуудын үр дүнд олж авсан тоонууд байх болно. Энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн болох нь тодорхой байна X iнь анхны санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй ижил магадлалын тархалтын нягттай байх болно X. Үүнийг бид бас авч үздэг санамсаргүй хэмжигдэхүүн X iболон Xjдээр бие даасан байдаг би, тэнцүү биш j(бие биедээ харьцангуй бие даасан янз бүрийн туршилтууд). Тиймээс бид (1) томъёог өөр (статистик) хэлбэрээр дахин бичнэ.
| (2) |
Тооцоолол нь шударга бус гэдгийг харуулъя:
Тиймээс түүврийн дундажийн математик хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний бодит математик хүлээлттэй тэнцүү байна. м. Энэ бол нэлээд таамаглаж болохуйц, ойлгомжтой баримт юм. Тиймээс түүврийн дундаж утгыг (2) санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийн тооцоолол болгон авч болно. Одоо асуулт гарч ирнэ: туршилтын тоо нэмэгдэхийн хэрээр хүлээлтийн тооцооллын зөрүү юу болох вэ? Үүнийг аналитик тооцоо харуулж байна
Математикийн хүлээлтийн үнэлгээний хэлбэлзэл хаана байна (2), ба Д- санамсаргүй хэмжигдэхүүний үнэн дисперс X.
Дээр дурдсанаас харахад энэ нь нэмэгдэж байгаа юм Н(туршилтын тоо) тооцооллын зөрүү багасна, i.e. Бид бие даасан хэрэгжилтийг нэгтгэн дүгнэх тусам хүлээгдэж буй үнэ цэнэд ойртох тусам тооцооллыг олж авдаг.
Математик дисперсийн тооцоо
Өнгөц харахад хамгийн байгалийн тооцоо юм шиг санагддаг
| (3) |
Энд (2) томъёогоор тооцоолно. Тооцоолол нь шударга бус эсэхийг шалгацгаая. Формула (3)-ийг дараах байдлаар бичиж болно.
Бид (2) илэрхийллийг энэ томъёонд орлуулна:
Вариацын үнэлгээний математик хүлээлтийг олцгооё.
| (4) |
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтээс хамаарахгүй тул бид математикийн хүлээлтийг 0-тэй тэнцүү авна, өөрөөр хэлбэл. м = 0.
| (5) | |
| цагт. | (6) |
Статистикийн тооцоолол нь тооцоолсон параметрүүдийг сайн ойртуулахын тулд тэдгээр нь шударга, үр ашигтай, тууштай байх ёстой.
шударга буспараметрийн статистик үнэлгээ гэж нэрлэдэг 
, математикийн хүлээлт нь аливаа түүврийн хэмжээний тооцоолсон параметртэй тэнцүү байна.
Нүүлгэн шилжүүлсэнстатистик үнэлгээ гэж нэрлэдэг 
параметр 
, түүний математикийн хүлээлт нь тооцоолсон параметртэй тэнцүү биш байна.
үр ашигтайстатистик үнэлгээ гэж нэрлэдэг 
параметр 
өгөгдсөн түүврийн хэмжээ 
хамгийн бага хэлбэлзэлтэй байна.
Чинээлэгстатистик үнэлгээ гэж нэрлэдэг 
параметр 
, аль цагт 
тооцоолсон параметрийн магадлалын хандлагатай байна.
өөрөөр хэлбэл аль нэгнийх нь хувьд 
.
Өөр өөр хэмжээтэй түүврийн хувьд арифметик дундаж болон статистик хэлбэлзлийн өөр өөр утгыг авдаг. Тиймээс арифметик дундаж ба статистик дисперс нь математикийн хүлээлт ба дисперстэй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд юм.
Арифметик дундаж ба дисперсийн математик хүлээлтийг тооцоолъё. -ээр тэмдэглээрэй 
санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт 
Энд дараахь зүйлийг санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж үзнэ. 
– S.V., утга нь өөр өөр эзэлхүүний дээжийн хувьд олж авсан анхны утгатай тэнцүү байна 
-аас хүн ам,
-S.V., утга нь өөр өөр эзэлхүүний дээжийн хувьд авсан хоёр дахь утгатай тэнцүү байна 
нийт хүн амын дундаас, ..., 
- Утга нь тэнцүү С.В 
- өөр өөр эзэлхүүний дээжийн хувьд олж авсан утгууд 
нийт хүн амын дундаас. Эдгээр бүх санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь ижил хуулийн дагуу тархсан бөгөөд ижил математикийн хүлээлттэй байдаг.
Томъёо (1)-ээс харахад арифметик дундаж нь математикийн хүлээлтийг шударга бусаар тооцдог, учир нь арифметик дундажийн математик хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлттэй тэнцүү байна. Энэхүү тооцоолол нь бас нийцэж байна. Энэхүү тооцооллын үр ашиг нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын төрлөөс хамаарна 
. Хэрэв, жишээ нь, 
хэвийн тархсан тохиолдолд арифметик дундажийг ашиглан хүлээгдэж буй утгыг тооцоолох нь үр дүнтэй байх болно.
Одоо хэлбэлзлийн статистик тооцоог олцгооё.
Статистикийн дисперсийн илэрхийлэлийг дараах байдлаар хувиргаж болно
(2)
Одоо статистик дисперсийн математик хүлээлтийг олъё
.
(3)
Үүнийг харгалзан үзвэл 
(4)
Бид (3) -аас авдаг -
Статистикийн дисперсийн математик хүлээлт нь дисперсээс нэг хүчин зүйлээр ялгаатай болохыг томъёо (6)-аас харж болно, өөрөөр хэлбэл. нь хүн амын хэлбэлзлийн нэг талыг барьсан тооцоо юм. Энэ нь жинхэнэ үнэ цэнийн оронд байгаатай холбоотой юм 
, энэ нь тодорхойгүй байгаа бол дисперсийг тооцохдоо статистикийн дундаж утгыг ашиглана 
.
Тиймээс бид залруулсан статистик хэлбэлзлийг танилцуулж байна
(7)
Дараа нь зассан статистик дисперсийн математик хүлээлт байна
тэдгээр. залруулсан статистик хэлбэлзэл нь хүн амын хэлбэлзлийн шударга бус тооцоо юм. Үүний үр дүнд хийсэн тооцоолол нь мөн адил байна.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт (хүн амын ерөнхий тархалт) нь ихэвчлэн хэд хэдэн тоон шинж чанараар тодорхойлогддог.
- хэвийн тархалтын хувьд N(a, σ) нь хүлээлт a ба дундаж юм стандарт хэлбэлзэл σ ;
- төлөө жигд хуваарилалт R(a,b) нь энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгууд ажиглагдах интервалын хил хязгаар юм.
Тооцооллыг нэг тоогоор тодорхойлсон бол түүнийг дуудна цэгийн тооцоо. Түүврийн функцын хувьд цэгийн тооцоолол нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд туршилтыг давтан хийх үед түүврээс түүвэрт өөр өөр байдаг.
Онооны үнэлгээ нь ямар ч утгаараа "сайн" байхын тулд хангасан байх ёстой шаардлагуудад хамаарна. тэр шударга бус байдал, үр ашигболон төлбөрийн чадвар.
Интервалын тооцоохоёр тоогоор тодорхойлогддог - тооцоолсон параметрийг хамарсан интервалын төгсгөлүүд. Тооцоолсон параметр нь тэдгээрээс хэр хол байх талаар ойлголт өгдөггүй цэгийн тооцооллоос ялгаатай нь интервалын тооцоо нь тооцооллын үнэн зөв, найдвартай байдлыг тогтоох боломжийг олгодог.
Математикийн хүлээлт, дисперс ба стандарт хазайлтын цэгийн тооцооллын хувьд түүврийн шинж чанаруудыг түүврийн дундаж, түүврийн дисперс, түүврийн стандарт хазайлтыг тус тус ашиглана.
Үл хөдлөх хөрөнгийн үнэлгээ.
Тооцоолоход шаардлагатай шаардлага бол системчилсэн алдаа байхгүй байх явдал юм. давтан ашиглах үед түүний тооцооллын θ параметрийн оронд ойролцоогоор алдааны дундаж утга тэг байна - энэ нь үл хөдлөх хөрөнгийн үнэлгээ.
Тодорхойлолт. Математикийн хүлээлт нь тооцоолсон параметрийн бодит утгатай тэнцүү бол тооцооллыг шударга бус гэж нэрлэдэг.
Түүврийн арифметик дундаж нь математикийн хүлээлт ба түүврийн дисперсийн үнэн зөв тооцоолол юм. 
- ерөнхий дисперсийн нэг талыг барьсан үнэлгээ Д. Ерөнхий дисперсийн бодит бус үнэлгээ нь тооцоолол юм
Үнэлгээний тогтвортой байдлын шинж чанар.
Тооцооллын хоёр дахь шаардлага - түүний тууштай байдал нь түүврийн хэмжээ нэмэгдэхийн хэрээр тооцоолол сайжирна гэсэн үг юм.
Тодорхойлолт. Зэрэг 
n→∞ гэж тооцоолсон θ параметрт магадлалаар нийлж байвал тууштай гэж нэрлэдэг.
Магадлалын нэгдмэл байдал гэдэг нь түүврийн хэмжээ их байгаа тохиолдолд үнэлгээний бодит утгаас их хэмжээний хазайх магадлал бага байна гэсэн үг юм.
Үр ашигтай тооцооны үл хөдлөх хөрөнгө.
Гурав дахь шаардлага нь ижил параметрийн хэд хэдэн тооцооноос хамгийн сайн тооцоог сонгох боломжийг танд олгоно.
Тодорхойлолт. Шударга бус үнэлэгч нь бүх шударга үнэлэгчийн дунд хамгийн бага хэлбэлзэлтэй байвал үр дүнтэй байдаг.
Энэ нь үр дүнтэй тооцоолол нь параметрийн жинхэнэ утгын талаар хамгийн бага тархалттай байна гэсэн үг юм. Үр дүнтэй тооцоологч үргэлж байдаггүй гэдгийг анхаарна уу, гэхдээ ихэвчлэн хоёр тооцоологчоос илүү үр дүнтэй тооцоологчийг сонгож болно, жишээлбэл, бага тархалттай. Жишээлбэл, N(a,σ) хэвийн ерөнхий олонлогийн үл мэдэгдэх a параметрийн хувьд түүврийн арифметик дундаж болон түүврийн медианыг хоёуланг нь шударга бус тооцоолол болгон авч болно. Гэхдээ түүврийн медианы дисперс нь арифметик дундажийн дисперсээс ойролцоогоор 1.6 дахин их байна. Тиймээс илүү үр дүнтэй тооцоо бол түүврийн арифметик дундаж юм.
Жишээ №1. Хэмжилтийн үр дүн (мм-ээр): 13,15,17 гэсэн нэг төхөөрөмжөөр (системчилсэн алдаагүй) зарим нэг санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэмжилтийн дисперсийн бодит үнэлгээг ол.
Шийдэл. Шалгуур үзүүлэлтийг тооцоолох хүснэгт.
| x | |x - x cf | | (x - x sr) 2 |
| 13 | 2 | 4 |
| 15 | 0 | 0 |
| 17 | 2 | 4 |
| 45 | 4 | 8 |
энгийн арифметик дундаж(хариуцаагүй хүлээлтийн тооцоо)
Тархалт- түүний дундаж утгын эргэн тойронд тархалтын хэмжүүрийг тодорхойлдог (тархалтын хэмжүүр, өөрөөр хэлбэл дунджаас хазайх - хэвийсэн үнэлгээ).
Вариацын шударга бус үнэлэгч- дисперсийн тууштай тооцоолол (зассан зөрүү).
Жишээ №2. Хэмжилтийн үр дүн (мм-ээр): 4,5,8,9,11 гэсэн нэг төхөөрөмжөөр (системчилсэн алдаагүй) зарим санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэмжилтийн математик хүлээлтийн бодитой үнэлгээг ол.
Шийдэл. m = (4+5+8+9+11)/5 = 7.4
Жишээ №3. Хэрэв түүврийн дисперс D = 180 бол n=10 түүврийн хэмжээтэй S 2 зассан дисперсийг ол.
Шийдэл. S 2 \u003d n * D / (n-1) \u003d 10 * 180 / (10-1) \u003d 200
Туршилтын үр дүнд үндэслэн математикийн хүлээлтийг тооцоолох хэрэгцээ нь туршилтын үр дүнг санамсаргүй хэмжигдэхүүнээр дүрсэлсэн, судалж буй объектын чанарын үзүүлэлтийг энэхүү санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт гэж үзсэн асуудлуудад гарч ирдэг. Жишээлбэл, системийн ажиллах хугацааны математик хүлээлтийг найдвартай байдлын үзүүлэлт болгон авч, үйлдвэрлэлийн үр ашгийг үнэлэхдээ сайн бүтээгдэхүүний тооны математик хүлээлт гэх мэтийг авч болно.
Математикийн хүлээлтийг тооцоолох асуудлыг дараах байдлаар томъёолсон болно. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний үл мэдэгдэх утгыг тодорхойлохын тулд n хэмжилтийг бие даасан, системчилсэн алдаанаас ангид хийх ёстой гэж бодъё. X v X 2 ,..., X х.Математикийн хүлээлтийн хамгийн сайн тооцоог сонгох шаардлагатай.
Практикт математик хүлээлтийн хамгийн сайн бөгөөд хамгийн түгээмэл тооцоо бол туршилтын үр дүнгийн арифметик дундаж юм.
бас дууддаг статистикэсвэл жишээ дундаж.
Тооцооллыг харуулъя t xаливаа параметрийн үнэлгээний бүх шаардлагыг хангасан.
1. (5.10) илэрхийллээс үүдэн гарч байна
өөрөөр хэлбэл оноо t "x- шударга бус тооцоо.
2. Чебышевын теоремийн дагуу туршилтын үр дүнгийн арифметик дундаж нь математикийн хүлээлтэд магадлалаар нийлдэг, өөрөөр хэлбэл.
Иймээс (5.10) тооцоолол нь хүлээлтийн тогтмол тооцоо юм.
3. Үнэлгээний хэлбэлзэл t x,тэнцүү
Түүврийн хэмжээ ихсэх тусам n нь тодорхойгүй хугацаагаар буурдаг. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн Х нь хэвийн тархалтын хуульд захирагддаг бол аль ч хувьд хамааралтай болох нь батлагдсан Пхэлбэлзэл (5.11) нь боломжит хамгийн бага байх ба тооцоолол t x- математикийн хүлээлтийг үр дүнтэй тооцоолох. Тооцооллын зөрүүг мэдэх нь энэ тооцоог ашиглан математикийн хүлээлтийн үл мэдэгдэх утгыг тодорхойлох үнэн зөв байдлын талаар дүгнэлт хийх боломжтой болгодог.
Математикийн хүлээлтийг тооцоолохдоо хэмжилтийн үр дүн ижил нарийвчлалтай байвал арифметик дундажийг ашиглана (D, хэлбэлзэл, би = 1, 2, ..., Пхэмжээс бүрт ижил байна). Гэсэн хэдий ч бодит байдал дээр хэмжилтийн үр дүн тэгш бус байдаг (жишээлбэл, туршилтын явцад хэмжилт хийдэг) ажлуудыг шийдвэрлэх шаардлагатай байдаг. янз бүрийн төхөөрөмж). Энэ тохиолдолд математикийн хүлээлтийн тооцоо нь хэлбэртэй байна
хаана 
нь i-р хэмжилтийн жин юм.
Томъёо (5.12)-д хэмжилт бүрийн үр дүнг өөрийн жингийн хамт оруулсан болно FROM.. Иймд хэмжилтийн үр дүнгийн үнэлгээ t xдуудсан жигнэсэн дундаж.
Үнэлгээ (5.12) нь хүлээлтийг бодитой бус, тууштай, үр ашигтай тооцоолол гэдгийг харуулж болно. Тооцооллын хамгийн бага зөрүүг өгөгдсөн
Компьютерийн загвартай туршилт хийхдээ хэд хэдэн цуврал туршилтын үр дүнгээс тооцоолол олдох ба цуврал бүрийн туршилтын тоо өөр байх үед ижил төстэй асуудал үүсдэг. Жишээлбэл, хоёр цуврал туршилтыг эзлэхүүнтэй хийсэн х 1ба n 2, үр дүнгийн дагуу тооцоолол т xi ба t x _.Математикийн хүлээлтийг тодорхойлох нарийвчлал, найдвартай байдлыг сайжруулахын тулд эдгээр цуврал туршилтуудын үр дүнг нэгтгэдэг. Үүнийг хийхийн тулд (5.12) илэрхийллийг ашиглана уу.
C коэффициентийг тооцоолохдоо D хэлбэлзлийн оронд цуврал тус бүрийн туршилтын үр дүнгээс олж авсан тооцооллыг орлуулна.
Үүнтэй төстэй арга нь тохиолдох магадлалыг тодорхойлоход хэрэглэгддэг санамсаргүй үйл явдалцуврал туршилтын үр дүнгийн дагуу.
Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг тооцоолохын тулд түүврийн дундажаас гадна бусад статистикийг ашиглаж болно. Ихэнхдээ гишүүдийг энэ зорилгоор ашигладаг. вариацын цуврал, өөрөөр хэлбэл захиалгын статистик, үүний үндсэн дээр тооцооллыг бий болгодог.
үндсэн шаардлагуудыг хангах, тухайлбал тууштай байдал, шударга байдал.
Вариацын цувааг агуулсан гэж үзье n = 2кгишүүд. Дараа нь дундаж утгуудын аль нэгийг математикийн хүлээлтийн тооцоо болгон авч болно.
Хаана to-eдундаж
Энэ нь санамсаргүй Х хэмжигдэхүүний тархалтын статистик медианаас өөр зүйл биш, учир нь илэрхий тэгш байдал бий болно.
Статистик медианы давуу тал нь хэвийн бус ажиглалтын нөлөөллөөс ангид байдаг бөгөөд энэ нь эхний дундаж, өөрөөр хэлбэл хамгийн бага ба дундаж үзүүлэлтүүдийн дундажийг ашиглахад зайлшгүй шаардлагатай байдаг. хамгийн том тоовариацын цуврал.
Хачирхалтай түүврийн хэмжээтэй П = 2к- 1 статистик медиан нь түүний дунд элемент, өөрөөр хэлбэл. руу- вариацын цувралын гишүүн Би = x k.
Арифметик дундаж нь математикийн хүлээлтийн үр дүнтэй тооцоолол биш тархалтууд байдаг, жишээлбэл, Лапласын тархалт. Лапласын тархалтын хувьд дундаж утгын үр дүнтэй үнэлгээ нь түүврийн медиан болохыг харуулж байна.
Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн X байгаа нь батлагдсан хэвийн тархалт, тэгвэл хангалттай том хэмжээний түүврийн хувьд статистик медианы тархалтын хууль тоон шинж чанартай хэвийн ойролцоо байна.
(5.11) ба (5.14) томъёог харьцуулж үзэхэд статистикийн дундажийн тархалт нь арифметик дундажийн тархалтаас 1.57 дахин их байна. Тиймээс математикийн хүлээлтийг тооцоолох арифметик дундаж нь статистик медианаас хамаагүй илүү үр дүнтэй байдаг. Гэсэн хэдий ч тооцооллын энгийн байдал, хэмжилтийн хэвийн бус үр дүнд мэдрэмтгий бус (" дээжийн бохирдол") зэргээс шалтгаалан практикт статистикийн медианыг математикийн хүлээлтийг тооцоолоход ашигладаг.
Тасралтгүй тэгш хэмтэй тархалтын хувьд дундаж ба медиан ижил байна гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тиймээс статистик медиан нь зөвхөн санамсаргүй хэмжигдэхүүний тэгш хэмтэй тархалтын хувьд математикийн хүлээлтийн сайн тооцоолол болж чадна.
Халуу тархалтын хувьд статистикийн медиан БиМатематикийн хүлээлттэй харьцуулахад ихээхэн хазайлттай тул түүнийг тооцоолоход тохиромжгүй байна.
Математикийн хүлээлт ба дисперсийн тооцоо.
Бид магадлалын онолын тархалтын параметрийн тухай ойлголттой танилцсан. Жишээлбэл, магадлалын нягтын функцээр өгөгдсөн хэвийн тархалтын хуульд
параметрүүд нь а– математикийн хүлээлт ба астандарт хазайлт юм. Пуассоны тархалтад параметр нь тоо юм a = жишээ нь.
Тодорхойлолт. Онолын тархалтын үл мэдэгдэх параметрийн статистик тооцоо нь түүврийн өгөгдлөөс хамаарах ойролцоо утга юм.(x 1, x 2, x 3,..., x k ; p 1, p 2, p 3,..., p k), өөрөөр хэлбэл, эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн зарим функц.
Энд x 1, x 2, x 3,..., х к- онцлог шинж чанар, p 1, p 2, p 3,..., p kхаргалзах давтамжууд байна. Статистикийн тооцоолол нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм.
-ээр тэмдэглээрэй θ нь тооцоолсон параметр бөгөөд дамжуулан θ * - түүний статистик үнэлгээ. Үнэ цэнэ | θ *–θ | дуудсан үнэлгээний нарийвчлал.Бага байх тусам | θ *–θ |, илүү сайн, үл мэдэгдэх параметрийг илүү нарийн тодорхойлсон.
Гоол θ * байсан практик үнэ цэнэ, энэ нь системчилсэн алдаа агуулаагүй байх ёстой бөгөөд үүний зэрэгцээ хамгийн бага хэлбэлзэлтэй байх ёстой. Түүнчлэн түүврийн хэмжээ ихсэх тусам дур зоргоороо жижиг хазайлт үүсэх магадлал | θ *–θ | 1-тэй ойролцоо байх ёстой.
Дараахь тодорхойлолтуудыг томъёолъё.
1. Математикийн хүлээлт нь M бол параметрийн тооцооллыг шударга бус гэж нэрлэдэг(θ *) тооцоолсон θ параметртэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл
М(θ *) = θ, (1)
ба нөхөх бол
М(θ *) ≠ θ, (2)
2. Хэрэв ямар нэгэн δ > 0 байвал θ* үнэлгээг тогтвортой гэж нэрлэдэг
(3)
Тэгш байдал (3)-ыг дараах байдлаар уншина: тооцоолох θ * магадлалаар нийлдэг θ .
3. Өгөгдсөн n-ийн хувьд хамгийн бага хэлбэлзэлтэй байвал θ* үнэлгээг үр дүнтэй гэж нэрлэдэг.
Теорем 1.Түүврийн дундаж Х В нь математикийн хүлээлтийг бодитой, тууштай үнэлдэг.
Баталгаа. Түүвэр нь төлөөллийн шинж чанартай байг, өөрөөр хэлбэл, нийт хүн амын бүх элементүүд түүвэрт хамрагдах боломж ижил байна. Онцлог утгууд x 1 , x 2 , x 3 ,..., x nбие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн болгон авч болно X 1, X 2, X 3, ..., X nижил тархалт, тоон шинж чанар, түүний дотор тэнцүү математикийн хүлээлттэй а,
Тоо хэмжээ тус бүрээс хойш X 1, X 2, X 3, ..., X pнийт хүн амын тархалттай давхцах тархалттай байна, тэгвэл М(X)= a.Тийм ч учраас
Үүнээс үзэхэд энэ нь тогтвортой тооцоо юм М(X).
Экстремум судалгааны дүрмийг ашигласнаар бид үүнийг бас үр дүнтэй тооцоолол гэдгийг баталж чадна М(X).
