Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн х нь магадлалын тархалтын функцээр өгөгддөг. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн
1-р бүлэг. Дискрет санамсаргүй утга
§ 1. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай ойлголт.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль.
Тодорхойлолт : Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь туршилтын үр дүнд өөрийн боломжит багц утгуудаас зөвхөн нэг утгыг авдаг, урьдчилан мэдэгддэггүй, санамсаргүй шалтгаанаас хамаарна.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь дискрет ба тасралтгүй гэсэн хоёр төрөлтэй.
Тодорхойлолт : Х санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дуудна салангид (тасралттай) хэрэв түүний утгуудын багц нь хязгаарлагдмал эсвэл хязгааргүй, гэхдээ тоолж болно.
Өөрөөр хэлбэл, салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудыг дахин дугаарлаж болно.
Та санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тархалтын хуулийг ашиглан тодорхойлж болно.
Тодорхойлолт : Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд ба тэдгээрийн магадлалын хоорондын захидал харилцааг нэрлэдэг.
Х дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг хүснэгт хэлбэрээр өгч болох бөгөөд эхний мөрөнд санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгыг өсөх дарааллаар, хоёрдугаар мөрөнд харгалзах магадлалыг зааж өгсөн болно. эдгээр утгуудаас, өөрөөр хэлбэл.
Энд р1+ р2+…+ рn=1
Ийм хүснэгтийг салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цуваа гэж нэрлэдэг.
Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын багц хязгааргүй бол р1+ р2+…+ рn+… цуваа нийлж, нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байна.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн тархалтын хуулийг графикаар дүрсэлж болно тэгш өнцөгт системкоординатууд (xi;pi), i=1,2,...n-тэй цэгүүдийг дараалан холбосон олон шугамыг байгуулна. Үүссэн мөрийг дуудна түгээлтийн полигон (Зураг 1).
Органик химийн "href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark"> Органик химийн хувьд 0.7 ба 0.8 байна. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг зур - оюутны өгөх шалгалтын тоо. нэвтрүүлэх.
Шийдэл. Шалгалтын үр дүнд тооцсон санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь дараах утгуудын аль нэгийг авч болно: x1=0, x2=1, x3=2.
Эдгээр утгуудын магадлалыг олъё.Үйл явдлыг тэмдэглэ.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" өргөн "259" өндөр "66 src=">
 |
Тиймээс X санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг хүснэгтээр өгөв.
Хяналт: 0.6+0.38+0.56=1.
§ 2. Түгээлтийн функц
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүрэн тодорхойлолтыг мөн тархалтын функцээр өгдөг.
Тодорхойлолт: Х дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц F(x) функцийг дуудсан бөгөөд энэ нь x утга бүрийн хувьд X санамсаргүй хэмжигдэхүүн x-ээс бага утгыг авах магадлалыг тодорхойлдог.
F(x)=P(X<х)
Геометрийн хувьд тархалтын функцийг санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь тоон шулуун дээр x цэгийн зүүн талд байгаа цэгээр дүрсэлсэн утгыг авах магадлал гэж тайлбарладаг.
1)0≤F(x)≤1;
2) F(x) нь (-∞;+∞) дээр буурахгүй функц;
3) F(x) - x= xi (i=1,2,...n) цэгүүдэд зүүнээс тасралтгүй, бусад бүх цэгүүдэд үргэлжилсэн;
4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,
F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн тархалтын хуулийг хүснэгт хэлбэрээр өгвөл:
Дараа нь F(x) тархалтын функцийг дараах томъёогоор тодорхойлно.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">
x≤ x1-ийн хувьд 0,
x1 дээр p1< х≤ x2,
F(x)= x2 дээр p1 + p2< х≤ х3
x> xn-ийн хувьд 1.
Түүний графикийг 2-р зурагт үзүүлэв.
§ 3. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанар.
Математикийн хүлээлт нь чухал тоон шинж чанаруудын нэг юм.
Тодорхойлолт: Математикийн хүлээлт M(X) Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь түүний бүх утгууд ба тэдгээрийн харгалзах магадлалын бүтээгдэхүүний нийлбэр юм.
М(X) = ∑ xiри= x1р1 + x2р2+…+ xnрn
Математикийн хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утгын шинж чанар болдог.
Үл хөдлөх хөрөнгө математикийн хүлээлт:
1)M(C)=C, энд C нь тогтмол утга;
2) M (C X) \u003d C M (X),
3)M(X±Y)=M(X)±M(Y);
4)M(X Y)=M(X) M(Y), энд X,Y нь бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн;
5)M(X±C)=M(X)±C, энд C нь тогтмол утга;
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын дундаж утгын ойролцоо тархалтын түвшинг тодорхойлохын тулд дисперсийг ашиглана.
Тодорхойлолт: тархалт Д ( X ) санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтээс квадрат хазайлтын математик хүлээлт юм.
Тархалтын шинж чанарууд:
1)D(C)=0, энд C нь тогтмол утга;
2)D(X)>0, энд X нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн;
3)D(C X)=C2 D(X), энд C нь тогтмол утга;
4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), энд X,Y нь бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн;
Зөрчлийг тооцоолохын тулд дараах томъёог ашиглах нь ихэвчлэн тохиромжтой байдаг.
D(X)=M(X2)-(M(X))2,
Энд М(Х)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn
D(X) дисперс нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний квадратын хэмжээтэй байдаг бөгөөд энэ нь үргэлж тохиромжтой байдаггүй. Тиймээс √D(X) утгыг мөн санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын тархалтын үзүүлэлт болгон ашигладаг.
Тодорхойлолт: Стандарт хэлбэлзэл σ(X) Х санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дисперсийн квадрат язгуур гэнэ.
Даалгаврын дугаар 2.Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь тархалтын хуулиар өгөгдсөн:
P2, тархалтын функц F(x)-ийг олоод түүний графикийг мөн M(X), D(X), σ(X)-ийг зур.
Шийдэл: Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын магадлалын нийлбэр 1-тэй тэнцүү тул
Р2=1- (0.1+0.3+0.2+0.3)=0.1
F(x)=P(X) тархалтын функцийг ол Геометрийн хувьд энэ тэгш байдлыг дараах байдлаар тайлбарлаж болно: F(x) нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн бодит тэнхлэг дээр x-ийн зүүн талд байгаа цэгээр дүрслэгдсэн утгыг авах магадлал юм. Хэрэв x≤-1 бол (-∞;x) дээр энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний ганц утга байхгүй тул F(x)=0; Хэрэв -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; Хэрэв 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;х) хоёр утга нь x1=-1 ба x2=0 унах; Хэрэв 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; Хэрэв 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; Хэрэв x>3 бол F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0.1 +0.1 +0.3+0.2+0.3=1, учир нь x1=-1, x2=0,x3=1,x4=2 гэсэн дөрвөн утга (-∞;x) ба x5=3 интервалд ордог. https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> x≤-1-д 0, -1 үед 0.1<х≤0, 0-д 0.2<х≤1, F(x)= 1-д 0.5<х≤2, 2 цагт 0.7<х≤3, x>3-д 1 F(x) функцийг графикаар илэрхийлье (Зураг 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" өргөн "158 өндөр = 29" өндөр "29">≈1.2845. §
4. Хоёр гишүүнт тархалтын хууль дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн, Пуассоны хууль. Тодорхойлолт: бином
салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль гэж нэрлэдэг X - n бие даасан давтан туршилтын үед А үйл явдал тохиолдох тоо, тус бүрт А үйл явдал p магадлалтай эсвэл q = 1-p магадлалаар тохиолдохгүй. Тэгвэл Р(Х=m)-А үйл явдал n туршилтаар яг m удаа тохиолдох магадлалыг Бернулли томъёогоор тооцоолно. P(X=m)=Сmnpmqn-m Математикийн хүлээлт, дисперс ба дундаж стандарт хэлбэлзэлХоёртын хуулийн дагуу тархсан X санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дараах томъёогоор олно. https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> А үйл явдлын магадлал - тест бүрт "тав авах" нь ижил бөгөөд 1/6-тай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл P(A)=p=1/6, дараа нь P(A)=1-p=q=5/6, энд - "дусал бол тав биш." Санамсаргүй хувьсагч X нь дараах утгыг авч болно: 0;1;2;3. Бид Бернулли томъёог ашиглан X-ийн боломжит утгуудын магадлалыг олно. P(X=0)=P3(0)=C03p0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; P(X=1)=P3(1)=C13p1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; P(X=2)=P3(2)=C23p2q=3(1/6)2(5/6)1=15/216; P(X=3)=P3(3)=C33p3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. Тэр. X санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль дараах хэлбэртэй байна. Хяналт: 125/216+75/216+15/216+1/216=1. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанарыг олцгооё. M(X)=np=3 (1/6)=1/2, D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12, Даалгаврын дугаар 4.Автомат машин эд ангиудыг тамгалах. Үйлдвэрлэсэн эд анги нь гэмтэлтэй байх магадлал 0.002 байна. Сонгогдсон 1000 хэсгээс дараах магадлалыг ол. a) 5 гэмтэлтэй; б) дор хаяж нэг нь гэмтэлтэй. Шийдэл:
n=1000 тоо том, гэмтэлтэй эд анги үйлдвэрлэх магадлал p=0.002 бага, авч үзэж буй үйл явдлууд (хэсэг нь гэмтэлтэй болсон) бие даасан байдаг тул Пуассоны томъёо явагдана. Рn(m)= д-
λ
λм λ=np=1000 0.002=2-ийг олъё. a) 5 гэмтэлтэй хэсэг байх магадлалыг ол (m=5): P1000(5)= д-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 б) Дор хаяж нэг гэмтэлтэй хэсэг байх магадлалыг ол. А үйл явдал - "сонгосон хэсгүүдийн дор хаяж нэг нь гэмтэлтэй" нь үйл явдлын эсрэг - "сонгосон бүх хэсгүүд нь гэмтэлтэй биш". Тиймээс P (A) \u003d 1-P (). Тиймээс хүссэн магадлал нь тэнцүү байна: Р(А)=1-Р1000(0)=1- д-2
20
\u003d 1-e-2 \u003d 1-0,13534≈0,865. Бие даасан ажилд зориулсан даалгавар.
1.1
1.2.
Тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь тархалтын хуулиар өгөгдсөн: p4, тархалтын функц F(X)-ийг олоод түүний графикийг, мөн M(X), D(X), σ(X)-ийг зур. 1.3.
Хайрцагт 9 эсгий үзэг байгаа бөгөөд үүнээс 2 нь бичихээ больсон. Санамсаргүй байдлаар 3 эсгий үзэг ав. Санамсаргүй хувьсагч X - авсан эсгий үзэгний тоо. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг зохио. 1.4.
Номын сангийн тавиур дээр санамсаргүй байдлаар байрлуулсан 6 сурах бичиг байгаагийн 4 нь хавтастай. Номын санч санамсаргүй байдлаар 4 сурах бичгийг авдаг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь авсан сурах бичгүүдийн дунд хавтасласан сурах бичгийн тоо юм. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг зохио. 1.5.
Тасалбар нь хоёр даалгавартай. Магадлал зөв шийдвэрэхний даалгавар 0.9, хоёр дахь нь 0.7 байна. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь тасалбар дээрх зөв шийдэгдсэн асуудлын тоо юм. Тархалтын хуулийг зохиож, энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба дисперсийг тооцож, мөн F (x) тархалтын функцийг олоод графикийг байгуул. 1.6.
Гурван буудагч бай руу буудаж байна. Эхний буудлагын хувьд нэг сумаар бай онох магадлал 0.5, хоёр дахь нь - 0.8, гурав дахь нь - 0.7 байна. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь буудагчид тус бүр нэг удаа буудсан тохиолдолд бай онох тоо юм. M(X),D(X) тархалтын хуулийг ол. 1.7.
Сагсан бөмбөгийн тоглогч бөмбөгийг сагсанд шидэхэд шидэлт бүрт онох магадлал 0.8 байна. Оносон болгондоо 10 оноо авдаг бөгөөд алдсан тохиолдолд оноо өгдөггүй. Сагсан бөмбөгчний 3 шидэлт хийхэд авсан онооны X-тоо санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг зохио. M(X),D(X) ба 10-аас дээш оноо авах магадлалыг ол. 1.8.
Картууд дээр үсэг бичдэг, зөвхөн 5 эгшиг, 3 гийгүүлэгч байна. 3 картыг санамсаргүй байдлаар сонгох ба авсан картыг буцааж өгөх болгонд. Санамсаргүй хувьсагч X нь авсан эгшгийн тоо юм. Тархалтын хуулийг зохиож M(X),D(X),σ(X)-ийг ол. 1.9.
Дунджаар гэрээний 60% Даатгалын компанидаатгалын тохиолдол бий болсонтой холбогдуулан даатгалын шимтгэл төлнө. Санамсаргүй байдлаар сонгогдсон дөрвөн гэрээний дунд даатгалын дүнг төлсөн гэрээний тоо болох X санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хуваарилах хуулийг гарга. Энэ хэмжигдэхүүний тоон шинж чанарыг ол. 1.10.
Радио станц нь тодорхой интервалтайгаар хоёр талын холбоо тогтоох хүртэл дуудлагын дохиог (дөрвөөс илүүгүй) илгээдэг. Дуудлагын дохионы хариуг хүлээн авах магадлал 0.3 байна. Санамсаргүй хувьсагч X- илгээсэн дуудлагын дохионы тоо. Тархалтын хуулийг зохиож F(x)-ыг ол. 1.11.
3 түлхүүр байдаг бөгөөд тэдгээрийн зөвхөн нэг нь түгжээнд таардаг. Хэрэв оролдсон түлхүүр дараагийн оролдлогуудад оролцохгүй бол түгжээг нээх оролдлогын тоо X санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хуваарилах хуулийг гарга. M(X),D(X)-ийг ол. 1.12.
Дараалсан бие даасан туршилтууднайдвартай байдлын гурван хэрэгсэл. Тус бүр дараагийн төхөөрөмжөмнөх найдвартай нь батлагдсан тохиолдолд л шалгана. Багаж тус бүрийн тестийг давах магадлал 0.9 байна. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн тархалтын хуулийг шалгасан төхөөрөмжүүдийн тоогоор эмхэтгэ. 1.13
.Х дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь x1=1, x2, x3, and x1 гэсэн гурван боломжит утгатай байна.<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
Цахим төхөөрөмжийн блок нь 100 ижил элементийг агуулдаг. Т хугацааны туршид элемент тус бүрийн бүтэлгүйтлийн магадлал 0.002-той тэнцүү байна. Элементүүд бие даан ажилладаг. T хугацаанд хоёроос илүүгүй элемент бүтэлгүйтэх магадлалыг ол. 1.15.
Сурах бичиг 50 мянган хувь хэвлэгдсэн. Сурах бичиг буруу хавсаргасан байх магадлал 0.0002. Цуглуулга нь дараахь зүйлийг агуулсан байх магадлалыг ол. а) дөрвөн гэмтэлтэй ном, б) хоёроос бага гэмтэлтэй ном. 1
.16.
АТС-д минут тутамд ирж буй дуудлагын тоог Пуассоны хуулийн дагуу λ=1.5 параметртэй хуваарилдаг. Нэг минутын дараа ийм байх магадлалыг ол. a) хоёр дуудлага; б) дор хаяж нэг дуудлага. 1.17.
Z=3X+Y бол M(Z),D(Z)-ийг ол. 1.18.
Хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулиудыг өгөв. Z=X+2Y бол M(Z),D(Z)-ийг ол. Хариултууд:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1.
p3=0.4; x≤-2 хувьд 0, -2 үед 0.3<х≤0, F(x)= 0-д 0.5<х≤2, 2 цагт 0.9<х≤5, x>5-д 1 -1 үед 0.3<х≤0, 0-д 0.4<х≤1, F(x)= 1-д 0.6<х≤2, 2 цагт 0.7<х≤3, x>3-д 1 M(X)=1; D(X)=2.6; σ(X) ≈1.612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> x≤0-д 0, 0-д 0.03<х≤1, F(x)= 1-д 0.37<х≤2, x>2-д 1 M(X)=2; D(X)=0.62 M(X)=2.4; D(X)=0.48, P(X>10)=0.896 1.
8
.
M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(Х) ≈ M(X)=2.4; D(X)=0.96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.
M(X)=2; D(X)=2/3 1.14.
1.22e-0.2≈0.999 1.15.
a) 0.0189; b) 0.00049 1.16.
a) 0.0702; b) 0.77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. 2-р бүлэг Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн
Тодорхойлолт: Үргэлжилсэн
бүх боломжит утгууд нь тоон тэнхлэгийн төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй интервалыг бүрэн дүүргэх утгыг нэрлэнэ үү. Мэдээжийн хэрэг, тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын тоо хязгааргүй байдаг. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг түгээлтийн функц ашиглан тодорхойлж болно. Тодорхойлолт:Ф түгээлтийн функц
Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь утга тус бүрээр тодорхойлогддог F(x) функц юм. Түгээлтийн функцийг заримдаа хуримтлагдсан тархалтын функц гэж нэрлэдэг. Түгээлтийн функцийн шинж чанарууд:
1)1≤F(x)≤1 2) Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд тархалтын функц нь аль ч цэг дээр тасралтгүй бөгөөд тусдаа цэгүүдээс бусад газар бүрт дифференциалагдах боломжтой. 3) Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн (a; b), [a; b), [a; b] интервалуудын аль нэгэнд орох магадлал нь F (x) функцийн утгуудын зөрүүтэй тэнцүү байна. a ба b цэгүүдэд, өөрөөр хэлбэл. П(а<Х 4) Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нэг утгыг авах магадлал 0 байна. 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 Түгээлтийн функцийг ашиглан тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг зааж өгөх нь цорын ганц зүйл биш юм. Бид ойлголтыг танилцуулж байна түгээлтийн нягтралмагадлал (тархалтын нягт). Тодорхойлолт
:
Магадлалын нягт
е
(
x
)
тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь түүний тархалтын функцийн дериватив, өөрөөр хэлбэл: Магадлалын тархалтын нягтыг заримдаа дифференциал тархалтын функц эсвэл дифференциал тархалтын хууль гэж нэрлэдэг. f(x) магадлалын тархалтын нягтын графикийг нэрлэнэ магадлалын тархалтын муруй
.
Магадлалын нягтын шинж чанарууд:
1) f(x) ≥0, xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" өндөр байх үед ="62 src="> 0 нь x≤2, f(x)= c(x-2) 2-т<х≤6, x>6-д 0. Олно: a) c-ийн утгыг; б) тархалтын функц F(x) ба түүний графикийг байгуулах; в) Р(3≤х<5) Шийдэл:
+
∞ a) Нормчиллын нөхцлөөс c-ийн утгыг ол: ∫ f(x)dx=1. Тиймээс -∞ https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 x хэрэв 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))= 1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2; Gif" width="14" height="62"> x≤2-д 0, F (x) \u003d (x-2) 2/16 дээр 2<х≤6, x>6-д 1. F(x) функцийн графикийг 3-р зурагт үзүүлэв https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> x≤0-д 0, F (x) \u003d (3 arctg x) / π 0-д<х≤√3, x>√3-ийн хувьд 1. f(x) дифференциал тархалтын функцийг ол. Шийдэл:
f (x) \u003d F '(x) тул https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" өргөн "118" өндөр "24"> Тарсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд өмнө нь авч үзсэн математикийн хүлээлт ба дисперсийн бүх шинж чанарууд нь тасралтгүй хэмжигдэхүүнүүдэд мөн хүчинтэй байна. Даалгаврын дугаар 3.Санамсаргүй хувьсагч X өгөгдсөн дифференциал функц f(x): https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2 X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞ D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 +x3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. Бие даасан шийдлийн даалгавар.
2.1.
Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь тархалтын функцээр өгөгдөнө. x≤0-д 0, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤ π/6-д 0, F(х)= - π/6 үед cos 3x<х≤ π/3, x> π/3 хувьд 1. f(x) дифференциал тархалтын функцийг мөн түүнчлэн ол Р(2π /9<Х< π /2). 2.3.
x≤2-д 0, f(x)= 2-т x-тэй<х≤4, x>4-д 0. 2.4.
Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь тархалтын нягтаар өгөгдөнө. x≤0-д 0, f(х)= 0-д с √х<х≤1, x>1-д 0. Олно: a) c тоо; b) M(X), D(X). 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39">х, x үед 0. Олно: a) F(x) ба түүний графикийг зурах; b) M(X),D(X), σ(X); в) дөрвөн бие даасан туршилтын үед X утга нь интервалд хамаарах утгаас яг 2 дахин их байх магадлал (1; 4). 2.6.
Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн магадлалын тархалтын нягтыг дараах байдлаар өгөв. f (x) \u003d 2 (x-2) нь x, x үед 0. Олно: a) F(x) ба түүний графикийг зурах; b) M(X),D(X), σ(X); в) бие даасан гурван туршилтанд X утга нь интервалд хамаарах утгыг яг 2 дахин их авах магадлал. 2.7.
f(x) функц нь дараах байдлаар өгөгдсөн. https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" өргөн="43" өндөр="38 src=">.jpg" өргөн="16" өндөр="15">[-√ 3/2; √3/2]. 2.8.
f(x) функц нь дараах байдлаар өгөгдсөн. https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" өргөн="45" өндөр="36 src="> .jpg" өргөн="16" өндөр="15">[- π /дөрөв ; π /4]. Ол: a) ямар нэг санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн магадлалын нягтрал байх функц байх c тогтмолын утгыг; б) тархалтын функц F(x). 2.9.
(3;7) интервал дээр төвлөрсөн Х санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг F(х)= тархалтын функцээр өгөгдөнө. Ийм магадлалыг ол санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь дараах утгыг авна: a) 5-аас бага, б) 7-оос багагүй. 2.10.
Санамсаргүй хувьсагч X, интервал дээр төвлөрч (-1; 4), F(x)= тархалтын функцээр өгөгдсөн. Ийм магадлалыг ол санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь дараах утгыг авна: a) 2-оос бага, б) 4-өөс багагүй. 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">. Олно: a) c тоо; b) M(X); в) магадлал P(X > M(X)). 2.12.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дифференциал тархалтын функцээр тодорхойлно. https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" өргөн="60" өндөр="38 src=">.jpg" өргөн="16 өндөр=15" өндөр="15"> . Олно: a) M(X); б) магадлал Р(Х≤М(Х)) 2.13.
Хугацааны хуваарилалтыг магадлалын нягтралаар тодорхойлно. https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> x ≥0. f(x) нь үнэхээр магадлалын нягтын тархалт гэдгийг батал. 2.14.
Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн магадлалын тархалтын нягтыг дараах байдлаар өгөв. https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" өргөн "174" өндөр "136 src="> (зураг 4) 2.16.
Х санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хуулийн дагуу хуваарилдаг. зөв гурвалжин» интервалд (0;4) (Зураг 5). Бүх бодит тэнхлэг дээрх f(x) магадлалын нягтын аналитик илэрхийллийг ол. Хариултууд
x≤0-д 0, f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤ π/6-д 0, π/6 үед F(x)= 3sin 3x<х≤ π/3, x> π/3-ийн хувьд 0. Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь тодорхой интервал (a;b) дээр жигд тархалтын хуультай бөгөөд хэрэв магадлалын тархалтын нягт f(x) нь энэ интервал дээр тогтмол бөгөөд 0-тэй тэнцүү бол X-ийн бүх боломжит утгууд хамаарах болно. түүний гадна, өөрөөр хэлбэл. x≤a-ийн хувьд 0, a-ийн хувьд f(x)=<х x≥b-ийн хувьд 0. f(x) функцийн графикийг зурагт үзүүлэв. нэг F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(Х)=. Даалгаврын дугаар 1.Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн сегмент дээр жигд тархсан байна. Олно: a) магадлалын тархалтын нягт f(x) ба түүний графикийг байгуулах; б) тархалтын функц F(x) ба түүний графикийг байгуулах; c) M(X),D(X), σ(X). Шийдэл:
a=3, b=7 гэсэн дээр дурдсан томьёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олно. https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> 3≤х≤7, x>7-д 0 Түүний графикийг байгуулъя (Зураг 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> x≤3-д 0, F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">fig.4 D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> x-д 0<0, f(х)= λе-λх х≥0 үед. Экспоненциал хуулийн дагуу тархсан X санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийг дараах томъёогоор тодорхойлно. https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">fig..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ(X)= Тиймээс математикийн хүлээлт ба стандарт хазайлт экспоненциал тархалтхоорондоо тэнцүү байна. X-ийн (a;b) интервалд орох магадлалыг дараах томъёогоор тооцоолно. Р(а<Х Даалгаврын дугаар 2.Төхөөрөмжийн ажиллах хугацаа дунджаар 100 цаг байна. Төхөөрөмжийн ажиллах хугацаа нь экспоненциал тархалтын хуультай гэж үзвэл дараахь зүйлийг ол. a) магадлалын тархалтын нягт; б) түгээлтийн функц; в) төхөөрөмжийн гэмтэлгүй ажиллах хугацаа 120 цагаас хэтрэх магадлал. Шийдэл:
Нөхцөлөөр математикийн тархалт M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> x-д 0"<0, a) x≥0-ийн хувьд f(x)= 0.01e -0.01x. b) x-ийн хувьд F(x)= 0<0, x≥0 үед 1-e -0.01x. в) Хүссэн магадлалыг түгээлтийн функцээр олно. P(X>120)=1-F(120)=1-(1-e-1.2)=e-1.2≈0.3. §
3.Хэвийн хуваарилалтын хууль Тодорхойлолт:
Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X байна хэвийн тархалтын хууль (Гауссын хууль),
Хэрэв түүний тархалтын нягт нь дараах хэлбэртэй байвал: Энд m=M(X), σ2=D(X), σ>0. Хэвийн тархалтын муруйг нэрлэнэ хэвийн буюу гауссын муруй
(зураг 7) Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэвийн хуулийн дагуу тархсан тархалтын функцийг Лаплас функцээр Ф (х) томъёогоор илэрхийлнэ. Лаплас функц хаана байна. Сэтгэгдэл:
Ф(х) функц нь сондгой (Ф(-х)=-Ф(х)), үүнээс гадна x>5 бол Ф(х) ≈1/2 гэж үзэж болно. F(x) тархалтын функцийн графикийг зурагт үзүүлэв. найм https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" өргөн "218" өндөр "33"> Тийм магадлал үнэмлэхүй үнэ цэнэхазайлт бага байна эерэг тооδ-ийг дараах томъёогоор тооцоолно. Ялангуяа m=0-ийн хувьд тэгшитгэл үнэн байна: "Гурван сигма дүрэм"
Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь m ба σ параметрүүдтэй хэвийн тархалтын хуультай бол түүний утга (a-3σ; a+3σ) интервалд байх нь бараг тодорхой болно, учир нь https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" өргөн "157" өндөр "57 src=">a) б) томъёог ашиглая: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" өргөн "369" өндөр "38 src="> Ф(х) функцийн утгын хүснэгтээс харахад Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413 гэж олно. Тиймээс хүссэн магадлал нь: P(28 Бие даасан ажилд зориулсан даалгавар
3.1.
Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн (-3;5) интервалд жигд тархсан байна. Олно: б) тархалтын функц F(x); в) тоон үзүүлэлтүүд; d) магадлал P(4<х<6). 3.2.
Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн сегмент дээр жигд тархсан байна. Олно: a) тархалтын нягт f(x); б) тархалтын функц F(x); в) тоон үзүүлэлтүүд; г) магадлал Р(3≤х≤6). 3.3.
Хурдны замд автомат гэрлэн дохио суурилуулсан бөгөөд тээврийн хэрэгсэл ногоон гэрэл 2 минут, шар 3 секунд, улаан 30 секунд асдаг гэх мэтчилэн автомашин хурдны замаар санамсаргүй байдлаар өнгөрдөг. Машин гэрлэн дохионы хажуугаар зогсолтгүй өнгөрөх магадлалыг ол. 3.4.
Метроны галт тэрэг 2 минутын зайтай тогтмол явдаг. Зорчигч санамсаргүй байдлаар тавцан руу ордог. Зорчигч галт тэргийг 50 секундээс илүү хүлээх магадлал хэд вэ? Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг ол - галт тэрэгний хүлээх хугацаа. 3.5.
Түгээлтийн функцээр өгөгдсөн экспоненциал тархалтын дисперс ба стандарт хазайлтыг ол. X үед F(x)= 0<0, x≥0-д 1-e-8x. 3.6.
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь магадлалын тархалтын нягтаар өгөгдөнө. x үед f(x)=0<0, x≥0 үед 0.7 e-0.7x. a) Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг нэрлэнэ үү. б) Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний F(X) тархалтын функц болон тоон шинж чанарыг ол. 3.7.
Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь магадлалын тархалтын нягтаар өгөгдсөн экспоненциал хуулийн дагуу тархдаг. x үед f(x)=0<0, x≥0 үед 0.4 e-0.4 x. Туршилтын үр дүнд X интервалаас (2.5; 5) утгыг авах магадлалыг ол. 3.8.
Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь тархалтын функцээр өгөгдсөн экспоненциал хуулийн дагуу хуваарилагдана. X үед F(x)= 0<0, x≥0 үед 1-0.6x Туршилтын үр дүнд X интервалаас утгыг авах магадлалыг ол. 3.9.
Ердийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба стандарт хазайлт нь 8 ба 2 байна.Ол: a) тархалтын нягт f(x); b) туршилтын үр дүнд X интервалаас (10;14) утгыг авах магадлал. 3.10.
Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь дунджаар 3.5, дисперс 0.04-тэй тархсан байдаг. Олно: a) тархалтын нягт f(x); б) туршилтын үр дүнд X интервалаас утгыг авах магадлал. 3.11.
Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь M(X)=0, D(X)=1 гэсэн хэвийн тархалттай байна. |X|≤0.6 эсвэл |X|≥0.6 үйл явдлын аль нь илүү өндөр магадлалтай вэ? 3.12.
X санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь M(X)=0 ба D(X)=1-ээр хэвийн тархсан байдаг. Нэг тестийн аль интервалаас (-0.5;-0.1) эсвэл (1;2) илүү их утгыг авах вэ магадлал? 3.13.
Хувьцааны одоогийн үнийг M(X)=10den-тай хэвийн тархалтыг ашиглан загварчилж болно. нэгж ба σ (X)=0.3 ден. нэгж Олно: a) одоогийн хувьцааны үнэ 9.8 денээс байх магадлал. нэгж 10.4 ден хүртэл. нэгж; б) "гурван сигма дүрэм" -ийг ашиглан хувьцааны одоогийн үнэ ямар хил хязгаарыг олох болно. 3.14.
Бодисыг системчилсэн алдаагүйгээр жинлэнэ. Санамсаргүй жинлэлтийн алдаа нь σ=5r язгуур-дундаж квадратын харьцаатай хэвийн хуульд хамаарна. Дөрвөн бие даасан туршилтанд гурван жинлэлтийн алдаа 3r үнэмлэхүй утгад гарахгүй байх магадлалыг ол. 3.15.
Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь M(X)=12.6-тай хэвийн тархалттай байна. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн (11.4;13.8) интервалд орох магадлал 0.6826 байна. σ стандарт хазайлтыг ол. 3.16.
X санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь M(X)=12 ба D(X)=36-тай хэвийн тархсан байна. Туршилтын үр дүнд 0.9973 магадлалтай X санамсаргүй хэмжигдэхүүн унах интервалыг ол. 3.17.
Автомат машинаар үйлдвэрлэсэн эд анги нь түүний хяналттай параметрийн X хазайлт нь нэрлэсэн утгаас модулийн хэмжлийн 2 нэгжээс хэтэрсэн тохиолдолд гэмтэлтэй гэж тооцогддог. X санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь M(X)=0, σ(X)=0.7 байхаар хэвийн тархсан гэж үздэг. Машин нь гэмтэлтэй эд ангиудын хэдэн хувийг гаргадаг вэ? 3.18.
Нарийвчилсан параметрийн X нь нэрлэсэн утгатай тэнцүү 2 математик хүлээлт, 0.014 стандарт хазайлтаар хэвийн тархсан байна. Х-ийн нэрлэсэн үнийн модулийн хазайлт нэрлэсэн үнийн дүнгийн 1%-иас хэтрэхгүй байх магадлалыг ол. Хариултууд
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" өргөн "14" өндөр "110 src="> b) x≤-3-ийн хувьд 0, F(x)=зүүн"> 3.10.
a)f(x)=, b) Р(3.1≤Х≤3.7) ≈0.8185. 3.11.
|x|≥0.6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
a) Р(9.8≤Х≤10.4) ≈0.6562. 3.14.
0,111. 3.15.
σ=1.2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%. Санамсаргүй хувьсагч
янз бүрийн нөхцөл байдлаас шалтгаалан тодорхой утгыг авч чаддаг хувьсагч юм санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тасралтгүй гэж нэрлэдэг
, хэрэв энэ нь ямар нэг хязгаарлагдмал эсвэл хязгааргүй интервалаас ямар нэгэн утгыг авч чадвал. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд бүх боломжит утгыг тодорхойлох боломжгүй тул тодорхой магадлалтай холбоотой эдгээр утгуудын интервалыг тэмдэглэв. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн жишээ нь: өгөгдсөн хэмжээ болгон хувиргасан хэсгийн диаметр, хүний өндөр, сумны тусгал гэх мэт. Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд функц Ф(x), ялгаатай дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд, хаана ч үсрэлт байхгүй бол тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний дурын нэг утгын магадлал тэгтэй тэнцүү байна. Энэ нь тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд түүний утгуудын хоорондох магадлалын хуваарилалтын талаар ярих нь утгагүй гэсэн үг юм: тэдгээр нь тус бүр нь тэг магадлалтай байдаг. Гэсэн хэдий ч тодорхой утгаараа тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын дунд "илүү их, бага магадлалтай" байдаг. Жишээлбэл, санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга - санамсаргүй байдлаар тааралдсан хүний өндөр - 170 см - 220 см-ээс илүү магадлалтай гэдэгт хэн ч эргэлзэх магадлал багатай боловч нэг болон бусад утга нь практикт тохиолдож болно. Зөвхөн тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдэд утга учиртай тархалтын хуулийн хувьд тархалтын нягт буюу магадлалын нягтын тухай ойлголтыг нэвтрүүлсэн. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн ба дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд тархалтын функцийн утгыг харьцуулан авч үзье. Тиймээс санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц (дискрет ба тасралтгүй) эсвэл интеграл функцсанамсаргүй хэмжигдэхүүний утга гарах магадлалыг тодорхойлох функц гэнэ Xхязгаарын утгаас бага буюу тэнцүү X. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын цэгүүдэд x1
, x 2
, ..., xби,...магадлалын төвлөрсөн масс х1
, х 2
, ..., хби,..., мөн бүх массын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байна. Энэ тайлбарыг тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тохиолдол руу шилжүүлье. 1-тэй тэнцүү масс нь салангид цэгүүдэд төвлөрдөггүй, харин x тэнхлэгийн дагуу тасралтгүй "түрхдэг" гэж төсөөлөөд үз дээ. Үхэрзарим жигд бус нягтралтай. Аливаа сайт дээр санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг цохих магадлал Δ xЭнэ хэсэгт хамаарах масс, энэ хэсгийн дундаж нягтыг масс ба уртын харьцаа гэж тайлбарлах болно. Бид магадлалын онолд тархалтын нягт гэдэг чухал ойлголтыг дөнгөж сая танилцууллаа. Магадлалын нягт е(x) тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь түүний тархалтын функцийн дериватив юм. Нягтын функцийг мэдсэнээр бид тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга нь хаалттай интервалд хамаарах магадлалыг олж болно [ а; б]: тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн байх магадлал Xинтервалаас дурын утгыг авна [ а; б], -ээс хүртэлх муж дахь түүний магадлалын нягтын тодорхой интегралтай тэнцүү байна аөмнө б: Энэ тохиолдолд функцийн ерөнхий томьёо Ф(x) нягтын функц мэдэгдэж байгаа тохиолдолд хэрэглэж болох тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалт е(x)
: Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягтын графикийг түүний тархалтын муруй гэж нэрлэдэг (доорх зураг). Зургийн талбай (зураг дээр сүүдэрлэсэн), муруйгаар хязгаарлагдсан, цэгүүдээс татсан шулуун шугамууд аболон бабсцисса тэнхлэгт перпендикуляр, мөн тэнхлэг Өө, графикаар тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгын магадлалыг харуулна X-ийн хүрээнд байна аөмнө б. 1. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн интервалаас ямар нэгэн утгыг авах магадлал (мөн функцийн графикаар хязгаарлагдсан зургийн талбай) е(x) ба тэнхлэг Өө) нэгтэй тэнцүү байна: 2. Магадлалын нягтын функц нь сөрөг утгыг авч чадахгүй. мөн тархалтын оршин тогтнохоос гадна түүний утга тэг байна Түгээлтийн нягт е(x), түүнчлэн түгээлтийн функц Ф(x), нь тархалтын хуулийн нэг хэлбэр боловч тархалтын функцээс ялгаатай нь бүх нийтийнх биш: тархалтын нягтрал нь зөвхөн тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдэд л байдаг. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын практикт хамгийн чухал хоёр төрлийг дурдъя. Хэрэв тархалтын нягтын функц е(x) зарим төгсгөлтэй интервал дахь тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн [ а; б] тогтмол утгыг авна C, мөн интервалаас гадуур тэгтэй тэнцүү утгыг авна, тэгвэл энэ хуваарилалтыг жигд гэж нэрлэдэг . Хэрэв тархалтын нягтын функцийн график нь төвийнхтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байвал дундаж утгууд нь төвийн ойролцоо төвлөрч, төвөөс холдох үед дунджаас илүү ялгаатай байдаг (функцийн график нь 2-ын зүсэлттэй төстэй) хонх), дараа нь энэ тархалтыг хэвийн гэж нэрлэдэг . Жишээ 1Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын функц нь мэдэгдэж байна. Онцлогоо олох е(x) тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягт. Хоёр функцийн графикийг зур. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн 4-8 хооронд ямар ч утгыг авах магадлалыг ол: . Шийдэл. Бид магадлалын тархалтын функцийн деривативыг олох замаар магадлалын нягтын функцийг олж авна. Функцийн график Ф(x) - парабол: Функцийн график е(x) - шулуун шугам: Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн 4-8 хооронд ямар ч утгыг авах магадлалыг олцгооё. Жишээ 2Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягтын функцийг дараах байдлаар өгөв. Хүчин зүйлийг тооцоолох C. Онцлогоо олох Ф(x) тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалт. Хоёр функцийн графикийг зур. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн 0-ээс 5 хүртэлх хугацаанд ямар ч утгыг авах магадлалыг ол: . Шийдэл. Коэффицент Cмагадлалын нягтын функцийн 1-р шинж чанарыг ашиглан бид олж мэднэ: Тиймээс тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягтын функц нь: Интеграцчилснаар бид функцийг олдог Ф(x) магадлалын тархалт. Хэрвээ x < 0
, то
Ф(x) = 0. Хэрэв 0< x < 10
, то x> 10, тэгвэл Ф(x) = 1
. Тиймээс магадлалын тархалтын функцийн бүрэн бичлэг нь: Функцийн график е(x)
: Функцийн график Ф(x)
: Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн 0-ээс 5 хүртэлх утгыг авах магадлалыг олцгооё. Жишээ 3Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягт Xтэгш эрхээр өгөгдсөн байхад . Коэффицентийг ол ГЭХДЭЭ, тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн байх магадлал Xтасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц болох ]0, 5[ интервалаас тодорхой утгыг авдаг X. Шийдэл. Нөхцөлөөр бид тэгш байдалд хүрнэ Тиймээс хаанаас . Тэгэхээр, Одоо бид тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн байх магадлалыг оллоо X]0, 5[ интервалаас дурын утгыг авна: Одоо бид энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийг олж авлаа. Жишээ 4Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягтыг ол X, зөвхөн сөрөг бус утгыг авдаг бөгөөд түүний тархалтын функц Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг түгээлтийн функцийг ашиглан тодорхойлж болно Ф(x)
. Энэ тохиргооны арга нь цорын ганц биш юм. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тархалтын нягт эсвэл магадлалын нягт (заримдаа дифференциал функц гэж нэрлэдэг) гэж нэрлэдэг өөр функцийг ашиглан тодорхойлж болно. Тодорхойлолт 4.1:
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягт Xфункцийг дуудна е
(x)
- тархалтын функцийн анхны дериватив Ф(x)
: е
(
x
)
=
Ф
"(
x
)
.
Энэ тодорхойлолтоос харахад тархалтын функц нь тархалтын нягтын эсрэг дериватив юм. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтыг тодорхойлохын тулд тархалтын нягтыг ашиглах боломжгүй гэдгийг анхаарна уу. Өгөгдсөн интервал дахь тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг цохих магадлал
Тархалтын нягтыг мэдсэнээр бид тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь өгөгдсөн интервалд хамаарах утгыг авах магадлалыг тооцоолж болно. Теорем:
Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X интервалд хамаарах утгыг авах магадлал (а,
б), хүртэлх мужид авсан тархалтын нягтын тодорхой интегралтай тэнцүү байнааөмнөб :
Нотолгоо:Бид харьцааг ашигладаг П(а
≤
Xб)
=
Ф(б)
–
Ф(а).
Ньютон-Лейбницийн томъёоны дагуу Энэ замаар, Учир нь П(а
≤
X б)=
П(а
X б)
, дараа нь бид эцэст нь авна
Геометрийн хувьд үр дүнг дараах байдлаар тайлбарлаж болно. тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн интервалд хамаарах утгыг авах магадлал (а,
б), тэнхлэгээр хязгаарлагдсан муруйн трапецын талбайтай тэнцүү байнаҮхэр, тархалтын муруйе(x) ба шуудx =
аболонx =
б.
Сэтгэгдэл:Ялангуяа, хэрэв е(x)
нь тэгш функц бөгөөд интервалын төгсгөлүүд нь эхтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байна Жишээ.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягтыг өгөгдсөн X Туршилтын үр дүнд гарах магадлалыг ол Xинтервалд хамаарах утгыг авна (0.5; 1). Шийдэл:Хүссэн магадлал Мэдэгдэж буй тархалтын нягтаас тархалтын функцийг олох
Тархалтын нягтыг мэдэх е(x)
, бид түгээлтийн функцийг олж чадна Ф(x)
томъёоны дагуу Үнэхээр, Ф(x)
=
П(X
x) = П(-∞
X x)
.
Үүний үр дүнд, Энэ замаар, Тархалтын нягтыг мэдсэнээр та түгээлтийн функцийг олох боломжтой. Мэдээжийн хэрэг, мэдэгдэж буй тархалтын функцээс тархалтын нягтыг олж болно, тухайлбал: е(x)
=
Ф"(x).
Жишээ.Өгөгдсөн тархалтын нягтын тархалтын функцийг ол: Шийдэл:Томьёог ашиглацгаая
Хэрвээ x
≤
а, дараа нь е(x)
= 0
, Иймээс, Ф(x)
= 0
. Хэрвээ а, тэгвэл f(x) = 1/(b-a),
Үүний үр дүнд, Хэрвээ x
>
б, дараа нь Тиймээс, хүссэн хуваарилалтын функц Сэтгэгдэл:Бид жигд тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийг олж авсан (нэгдмэл тархалтыг үзнэ үү). Тархалтын нягтын шинж чанарууд
Өмч 1:Түгээлтийн нягтрал нь сөрөг бус функц юм: е
(
x
)
≥ 0
. Үл хөдлөх хөрөнгө 2:-∞-аас ∞ хүртэлх муж дахь тархалтын нягтын буруу интеграл нь нэгтэй тэнцүү байна. Сэтгэгдэл:Тархалтын нягтын графикийг нэрлэнэ тархалтын муруй. Сэтгэгдэл:Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягтыг мөн тархалтын хууль гэж нэрлэдэг. Жишээ.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягт нь дараах хэлбэртэй байна. Тогтмол параметрийг олох а. Шийдэл:Түгээлтийн нягтрал нь нөхцөлийг хангах ёстой тул бид тэгш байдлыг хангахыг шаарддаг Эндээс
Бид буруу интегралыг тооцоолно: Тиймээс шаардлагатай параметр Түгээлтийн нягтын боломжит утга
Болъё Ф(x)
нь тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц юм X. Түгээлтийн нягтын тодорхойлолтоор, е(x)
=
Ф"(x)
, эсвэл Ялгаа Ф(x+∆х) -Ф(x)
магадлалыг тодорхойлдог Xинтервалд хамаарах утгыг авна (x,
x+∆х). Ийнхүү тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн интервалд хамаарах утгыг авах магадлалын харьцааны хязгаар (x,
x+∆х), энэ интервалын урт хүртэл (at ∆х→0) цэг дээрх тархалтын нягтын утгатай тэнцүү байна X. Тиймээс функц е(x)
цэг бүрийн магадлалын тархалтын нягтыг тодорхойлно X. Дифференциал тооцооллоос мэдэгдэж байгаагаар функцийн өсөлт нь функцийн дифференциалтай ойролцоогоор тэнцүү байдаг, өөрөөр хэлбэл. Учир нь Ф"(x)
=
е(x)
болон dx = ∆
x, дараа нь Ф(x+∆
x)
-
Ф(x)
≈
е(x)∆
x. Энэ тэгш байдлын магадлалын утга нь дараах байдалтай байна. санамсаргүй хэмжигдэхүүн интервалд хамаарах утгыг авах магадлал (x,
x+∆
x), x цэг дэх магадлалын нягт ба ∆х интервалын уртын үржвэртэй ойролцоогоор тэнцүү байна.. Геометрийн хувьд энэ үр дүнг дараах байдлаар тайлбарлаж болно:
санамсаргүй хэмжигдэхүүн интервалд хамаарах утгыг авах магадлал (x,
x+∆
x), ∆х суурь ба өндөртэй тэгш өнцөгтийн талбайтай ойролцоогоор тэнцүү байнае(x).
Тодорхойлолт 5.1:
Санамсаргүй утга X, энэ нь хоёр утгыг авна 1
болон 0
магадлал бүхий ("амжилт") хба ("бүтэлгүйтэл") q, гэж нэрлэдэг Бернулли: Үүнийг үйлдвэрлэе n
бие даасан туршилт, тус бүр нь үйл явдал Агарч болно, харагдахгүй ч байж болно. Бүх туршилтуудад тохиолдох үйл явдлын магадлал тогтмол бөгөөд тэнцүү байна х(тиймээс харагдахгүй байх магадлал q = 1 -
х). Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье X- үйл явдлын тохиолдлын тоо Аэдгээр туршилтуудад. Санамсаргүй утга Xүнэт зүйлсийг авдаг 0,1,2,…
nБернулли томъёогоор тооцоолсон магадлалаар:
, хаана к = 0,1,2,…
n. Тодорхойлолт 5.2:
биномБернулли томъёогоор тодорхойлогддог магадлалын тархалт гэнэ. Жишээ.Зорилтот руу 3 удаа буудах ба сум болгонд онох магадлал 0.8 байна. Бид санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үздэг X- зорилтот цохилтын тоо. Түүний тархалтын цувралыг ол. Шийдэл:Санамсаргүй утга Xүнэт зүйлсийг авдаг 0,1,2,3
Бернулли томъёогоор тооцоолсон магадлал бүхий, энд n = 3,
х
= 0,8
(цохих магадлал), q
= 1 - 0,8 = = 0,2
(алга болох магадлал). Тиймээс түгээлтийн цуврал дараах хэлбэртэй байна. Том утгын хувьд Бернулли томъёог ашиглана уу nХаргалзах магадлалыг тооцоолоход нэлээд хэцүү тул орон нутгийн Лаплас теоремыг ашигладаг бөгөөд энэ нь үйл явдлын яг тохиолдох магадлалыг ойролцоогоор олох боломжийг олгодог. кнэг удаа nтуршилтын тоо хангалттай их бол туршилт. Орон нутгийн Лаплас теорем: Хэрэв магадлал бол хүйл явдал тохиолдох А
Тайлбар1:Функцийн утгыг агуулсан хүснэгтүүд
Жишээ:Үйл явдал болох магадлалыг ол А
яг ирдэг 80
нэг удаа 400
туршилт бүрт энэ үйл явдал тохиолдох магадлал тэнцүү бол туршилт 0,2.
Шийдэл:Нөхцөлөөр n = 400,
к = 80,
х
= 0,2
, q = 0,8
. Асуудлын өгөгдлөөр тодорхойлсон утгыг тооцоолъё x:
Хэрэв та үйл явдал болох магадлалыг тооцоолохыг хүсвэл Адотор гарч ирнэ nнаад зах нь туршилт к 1
нэг удаа, дахиад үгүй к 2
удаа, дараа нь та Лапласын интеграл теоремыг ашиглах хэрэгтэй: Лапласын интеграл теорем: Хэрэв магадлал бол хүйл явдал тохиолдох Атест бүрт тогтмол бөгөөд тэг ба нэгээс ялгаатай, дараа нь магадлал
тэр үйл явдал А
дотор гарч ирнэ n-аас туршилтууд к 1
өмнө к 2
удаа, ойролцоогоор тодорхой интегралтай тэнцүү Өөрөөр хэлбэл, үйл явдал болох магадлал А
дотор гарч ирнэ n-аас туршилтууд к 1
өмнө к 2
удаа, ойролцоогоор тэнцүү байна хаана
Тайлбар2:Чиг үүрэг
Жишээ:Үүний магадлалыг ол
400
санамсаргүй байдлаар сонгосон эд анги нь чанарын хяналтын шалгалтанд тэнцээгүй байх магадлал нь тэнцүү бол 70-аас 100 хүртэлх хэсгүүдийг шалгана. 0,2.
Шийдэл:Нөхцөлөөр n = 400,
х = 0,2
, q
= 0,8,
к 1
=
70,
к 2
=
100
. Интеграцийн доод ба дээд хязгаарыг тооцоолъё. Тиймээс бидэнд: Хавсралт 2-ын хүснэгтээс харахад бид үүнийг олж мэдсэн
Тайлбар3:Хэд хэдэн бие даасан туршилтуудад (n нь том, p нь жижиг үед) Пуассоны томьёог яг k удаа тохиолдох үйл явдлын магадлалыг тооцоолоход ашигладаг (Пуассоны тархалтыг үзнэ үү). Тодорхойлолт 5.3:
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг хор,Хэрэв түүний хуваарилалтын хууль дараахь хэлбэртэй байвал: Пуассоны санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн жишээ: Цаг хугацааны интервал дахь автомат станц руу залгасан дуудлагын тоо Т.
Зарим цацраг идэвхт бодисын тодорхой хугацааны туршид задрах тоосонцрын тоо Т.
Тодорхой хугацаанд цехэд орж буй зурагтын тоо Ттом хотод .
Том хотын уулзварын зогсоол дээр ирэх машины тоо .
Тайлбар1:Эдгээр магадлалыг тооцоолох тусгай хүснэгтүүдийг Хавсралт 3-т өгсөн болно. Тайлбар2:Хэд хэдэн бие даасан туршилтанд (хэзээ nагуу их, хжижиг) яг тохиолдох үйл явдлын магадлалыг тооцоолох кПуассоны томъёог хэрэглэсний дараа:
Тайлбар3:Хэрэв Пуассоны хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн байгаа бол экспоненциал хуулийн дагуу болон эсрэгээр тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн байх ёстой (экпоненциал тархалтыг үзнэ үү). Жишээ.Үйлдвэр нь бааз руу илгээсэн 5000
сайн чанарын бүтээгдэхүүн. Бүтээгдэхүүнийг тээвэрлэх явцад гэмтэх магадлал тэнцүү байна 0,0002
. Ашиглах боломжгүй яг гурван зүйл сууринд ирэх магадлалыг ол. Шийдэл:Нөхцөлөөр n = 5000,
х
= 0,0002,
к = 3.
Олъё λ: λ =
np= 5000 0.0002 = 1. Пуассоны томъёоны дагуу хүссэн магадлал нь дараахтай тэнцүү байна. Үйл явдал тохиолдох магадлал тус бүрт бие даасан туршилт явуулъя ГЭХДЭЭтэнцүү байна х(0х q
= 1 -
х. Туршилтууд үйл явдал гарч ирмэгц дуусна ГЭХДЭЭ. Тиймээс, хэрэв үйл явдал бол ГЭХДЭЭонд гарч ирэв к-th тест, дараа нь өмнөх к
– 1
Энэ нь шалгалтанд илрээгүй. -ээр тэмдэглээрэй Xсалангид санамсаргүй хэмжигдэхүүн - үйл явдал анх гарахаас өмнө хийх туршилтын тоо ГЭХДЭЭ. Мэдээжийн хэрэг, боломжит утгууд Xбайна бүхэл тоо x 1 = 1, x 2 = 2, ... Эхнийх нь байг к-1
туршилтын үйл явдал ГЭХДЭЭирээгүй, гэхдээ ктест гарч ирэв. Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теоремын дагуу энэхүү "нарийн төвөгтэй үйл явдлын" магадлал,
П
(X =
к) =
q
к -1
х.
Тодорхойлолт 5.4:
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн байна геометрийн тархалтХэрэв түүний хуваарилалтын хууль дараахь хэлбэртэй байвал: П
(
X
=
к
) =
q
к
-1
х
,
хаана
Тайлбар1:Таамаглаж байна к = 1,2,…
, бид авдаг геометрийн прогрессанхны гишүүнтэй хба хуваагч q (0q. Ийм учраас тархалтыг геометр гэж нэрлэдэг.
Тайлбар2:Мөр
Жишээ.Буу эхний цохилт хүртэл бай руу буудаг. Зорилтот онох магадлал х
= 0,6
. Гурав дахь цохилтонд цохилт өгөх магадлалыг ол. Шийдэл:Нөхцөлөөр х = 0,6,
q
= 1 – 0,6 = 0,4,
к = 3.
Хүссэн магадлал нь дараахтай тэнцүү байна. П
(X = 3) = 0,4
2
0.6 = 0.096. Дараах асуудлыг авч үзье. Намаа гарга Нбүтээгдэхүүнүүд байдаг МСтандарт (МН).
намаас санамсаргүй байдлаар сонгосон nбүтээгдэхүүн (бүтээгдэхүүн бүрийг ижил магадлалтайгаар арилгаж болно), сонгосон бүтээгдэхүүнийг дараагийн бүтээгдэхүүнийг сонгохоос өмнө багцад буцааж өгөхгүй (тиймээс Бернулли томъёо энд хамаарахгүй). -ээр тэмдэглээрэй Xсанамсаргүй хэмжигдэхүүн - тоо мстандарт бүтээгдэхүүн дунд nсонгосон. Дараа нь боломжит утгууд X 0, 1, 2,…, байх болно мин ; Тэднийг шошгож аваад... дээрбие даасан хувьсагчийн утгууд (Fonds), товчийг ашиглана уу ( бүлэг ... ... арга зүйн зааварчилгаа дээрхэрэгжилт практик ажил 5.1 арга зүйнзөвлөмжүүд дээрхэрэгжилт боловсролын төслүүд 5.2 арга зүйнзөвлөмжүүд дээр... мэдрэмж), нэг хэмжээстмөн олон хэмжээст ... Санамсаргүйбүрэлдэхүүн хэсэг хэмжээ... Хамт Хэсэг"Гүйцэтгэл... ... хэсгүүдсурах бичигт. Асуудал шийдэх дээрсэдэв бүр. боловсруулалт арга зүйн зааварчилгаалабораторийн ажилд дээр ... Санамсаргүйба багажийн хэмжилтийн алдаа 1.8 Сэдэв хяналтын ажилболон арга зүйн зааварчилгаа дээр... Бөөм доторх нэг хэмжээстболомжит нүх. ... ... арга зүйн зааварчилгааруу ЛАБОРАТОРИЙН АЖИЛ дээр ... хэмжээ, мөн хамгийн их хэмжээ тоо хэмжээ... массив Санамсаргүйтоо... 3.0 4.0 3.0 -2.5 14.3 16.2 18.0 1.0 a) нэг хэмжээстмассив b) хоёр хэмжээст массив Зураг. 2– Файлуудыг... хэсэгт тайлбарласан Хэсэгхэрэгжүүлсний дараа... Санамсаргүй хувьсагчТуршилт бүрийн үр дүнд санамсаргүй шалтгаанаас хамааран урьд нь үл мэдэгдэх нэг утгыг авдаг хувьсагч гэж нэрлэдэг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг латин том үсгээр тэмдэглэнэ: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг төрлөөр нь ялгаж болно. салангидболон Үргэлжилсэн. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн- энэ бол санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд түүний утга нь тоолж болох, өөрөөр хэлбэл төгсгөлтэй эсвэл тоолох боломжтой. Тооцоолох чадвар гэдэг нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгыг тоолж болно гэсэн үг юм. Жишээ 1
. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн жишээг өгье: a) $n$ шидэлтээр байг онох тоо, энд байж болох утгууд нь $0,\1,\\цэгүүд,\n$ байна. б) зоос шидэх үед унасан сүлдний тоо, энд байж болох утга нь $0,\1,\\цэг,\n$ байна. в) онгоцонд ирсэн хөлөг онгоцны тоо (тооцоох утгын багц). г) бирж дээр ирж буй дуудлагын тоо (тоолж болохуйц утгуудын багц). $X$ салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь $x_1,\dots,\ x_n$ утгуудыг $p\left(x_1\right),\ \dots,\ p\left(x_n\right)$ магадлалтайгаар авч болно. Эдгээр утгууд ба тэдгээрийн магадлалын хоорондын уялдаа холбоог нэрлэдэг дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль. Дүрмээр бол энэ захидал харилцааг хүснэгт ашиглан зааж өгсөн бөгөөд эхний мөрөнд $ x_1, \ цэг, \ x_n $ утгуудыг зааж өгсөн бөгөөд хоёр дахь мөрөнд эдгээр утгуудад тохирох магадлалыг $ байна. p_1,\цэгүүд,\ p_n$. $\begin(массив)(|c|c|) Жишээ 2
. $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг шоо шидэхэд хэдэн оноо авсан болохыг үзье. Ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь $1,\2,\3,\4,\5,\6$ гэсэн утгуудыг авч болно. Эдгээр бүх утгын магадлал 1/6 доллартай тэнцүү байна. Дараа нь $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын хууль: $\begin(массив)(|c|c|) Сэтгэгдэл. $1,\ 2,\ \dots,\ 6$ үйл явдлууд нь $X$ дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулинд үйл явдлын бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг тул магадлалын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү байх ёстой, өөрөөр хэлбэл $\sum( p_i)=1$. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлттүүний "төв" утгыг тодорхойлдог. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд математикийн хүлээлтийг $x_1,\dots,\ x_n$ утгуудын үржвэрийн нийлбэр ба $p_1,\dots,\ p_n$ магадлалын эдгээр утгуудад харгалзах байдлаар тооцно, жишээлбэл: $ M \ зүүн (X \ баруун) = \ нийлбэр ^ n_ (i = 1) (p_ix_i) $. Англи хэлний уран зохиолд $E\left(X\right)$ гэсэн өөр тэмдэглэгээг ашигладаг. Хүлээгдэж буй шинж чанарууд$M\зүүн(X\баруун)$: Жишээ 3
. $2$ жишээнээс $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг олъё. $$M\зүүн(X\баруун)=\нийлбэр^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\(6)-аас дээш)+2\cdot ((1)\(6) )+3\cdot ((1)\(6)-аас дээш)+4\cdot ((1)\(6)-аас дээш)+5\cdot ((1)\(6)-аас дээш)+6\cdot ((1) )\ дээш (6))=3.5.$$ $M\left(X\right)$ нь $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамгийн бага ($1$) ба хамгийн том ($6$) утгуудын хооронд байгааг бид анзаарч болно. Жишээ 4
. $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт $M\left(X\right)=2$-тэй тэнцүү байгаа нь мэдэгдэж байна. $3X+5$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг ол. Дээрх шинж чанаруудыг ашигласнаар бид $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\-г авна. cdot 2 +5=11$. Жишээ 5
. $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт $M\left(X\right)=4$-тэй тэнцүү байгаа нь мэдэгдэж байна. $2X-9$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг ол. Дээрх шинж чанаруудыг ашигласнаар бид $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\-г авна. cdot 4 -9=-1$. Математикийн ижил хүлээлттэй санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд нь дундаж утгуудын эргэн тойронд өөрөөр тархаж болно. Жишээлбэл, хоёр оюутны бүлэгт GPAмагадлалын онолын шалгалтын хувьд 4-тэй тэнцсэн боловч нэг бүлэгт бүгд сайн сурагчид, нөгөө бүлэгт ердөө гурав, онц сурлагатан байсан. Тиймээс санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлтийн эргэн тойронд санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын тархалтыг харуулах ийм тоон шинж чанар шаардлагатай байна. Энэ шинж чанар нь тархалт юм. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт$X$ нь: $$D\зүүн(X\баруун)=\нийлбэр^n_(i=1)(p_i(\зүүн(x_i-M\зүүн(X\баруун)\баруун))^2).\ $$ Англи хэлний уран зохиолд $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ гэсэн тэмдэглэгээг ашигладаг. Ихэнхдээ $D\left(X\right)$ хэлбэлзлийг $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) томъёогоор тооцдог. зүүн(X \баруун)\баруун))^2$. Тархалтын шинж чанарууд$D\зүүн(X\баруун)$: Жишээ 6
. $2$ жишээнээс $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг тооцоолъё. $$D\зүүн(X\баруун)=\нийлбэр^n_(i=1)(p_i(\зүүн(x_i-M\зүүн(X\баруун)\баруун))^2)=((1)\ дээш (6))\cdot (\left(1-3,5\баруун))^2+((1)\(6) дээр)\cdot (\left(2-3,5\баруун))^2+ \цэг +((1)\(6))\cdot (\зүүн(6-3,5\баруун))^2=((35)\(12))\ойролцоогоор 2.92.$$ Жишээ 7
. $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс нь $D\left(X\right)=2$-тэй тэнцүү гэдгийг мэддэг. $4X+1$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг ол. Дээрх шинж чанаруудыг ашиглан бид $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0=-г олно. 16D\ зүүн(X\баруун)=16\cdot 2=32$. Жишээ 8
. $X$-ийн дисперс $D\left(X\right)=3$-тай тэнцүү гэдгийг мэддэг. $3-2X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг ол. Дээрх шинж чанаруудыг ашиглан бид $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)=-г олно. 4D\ зүүн(X\баруун)=4\cdot 3=12$. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тархалтын цуваа хэлбэрээр илэрхийлэх арга нь цорын ганц арга биш бөгөөд хамгийн чухал нь тархалтын цуваа ашиглан тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тодорхойлох боломжгүй тул бүх нийтийнх биш юм. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг илэрхийлэх өөр нэг арга байдаг - түгээлтийн функц. түгээлтийн функц$X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь $F\left(x\right)$ функц бөгөөд $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь $x$ тогтмол утгаас бага утгыг авах магадлалыг тодорхойлдог, өөрөөр хэлбэл $F\left(x\) баруун)$ )=P\left(X< x\right)$ Түгээлтийн функцийн шинж чанарууд: Жишээ 9
. $2$ жишээнээс $X$ дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийн $F\left(x\right)$ тархалтын функцийг олцгооё. $\begin(массив)(|c|c|) Хэрэв $x\le 1$ бол мэдээж $F\left(x\right)=0$ (үүнд $x=1$ $F\left(1\баруун)=P\left(X)< 1\right)=0$). Хэрэв 1 доллар< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$. Хэрэв 2 доллар< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$. Хэрэв 3 доллар< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$. Хэрэв 4 доллар< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$. Хэрэв 5 доллар< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$. Хэрэв $x > 6$ бол $F\left(x\баруун)=P\left(X=1\баруун)+P\left(X=2\баруун)+P\зүүн(X=3\баруун) + P\зүүн(X=4\баруун)+P\зүүн(X=5\баруун)+P\зүүн(X=6\баруун)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$. Тэгэхээр $F(x)=\left\(\эхлэх(матриц))
1.2.
p4=0.1; x≤-1-ийн хувьд 0,
(зураг 5)
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤a-д 0,
,
Ердийн муруй нь x=m шулуунтай харьцуулахад тэгш хэмтэй, x=a үед хамгийн их нь -тэй тэнцүү байна.
,
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц ба магадлалын нягт
.
.
.
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягтын функцийн шинж чанарууд
.
.
.4. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын нягт
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. Тодорхой бус интегралыг олъё:
.
.5. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний ердийн тархалт
5.1. Бернуллигийн тархалт
,
хаана к=0,1.
5.2. Бином тархалт
тэр үйл явдал А
дотор гарч ирнэ nяг тестүүд кудаа, ойролцоогоор тэнцүү (илүү нарийвчлалтай, илүү их n) функцийн утга
,
хаана
,
.
,
Хавсралт 1-д өгөгдсөн ба
.
Чиг үүрэг
стандарт хэвийн тархалтын нягт (хэвийн тархалтыг үзнэ үү).
.
Хавсралт 1-ийн хүснэгтийн дагуу бид олно
.
Дараа нь хүссэн магадлал нь:
,
хаана
болон
.
,
болон
.
Лаплас функц гэж нэрлэдэг (хэвийн тархалтыг үзнэ үү). Функцийн утгыг агуулсан хүснэгтүүд
,
Хавсралт 2-д өгөгдсөн ба
.
;
.
болон
.
Дараа нь шаардлагатай магадлал нь:5.3. Пуассоны тархалт
,
хаана
болон
(тогтмол утга).
,
хаана
,
өөрөөр хэлбэл үйл явдлын тохиолдлын дундаж тоо тогтмол хэвээр байна.
,
санамсаргүй хэмжигдэхүүн X- гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний тоо.5.4. Геометрийн тархалт
.
нийлдэг бөгөөд нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү байна. Үнэхээр цувралын нийлбэр нь
.5.5. Гипергеометрийн тархалт
"Сэтгэлзүйн ерөнхий семинар" хичээлийн сургалт, арга зүйн цогцолбор
Сургалт арга зүйн цогцолборФизикийн чиглэлээр боловсрол, арга зүйн цогцолбор (нэр)
Сургалт арга зүйн цогцолборМэдээлэл зүйн чиглэлээр лабораторийн ажилд зориулсан заавар
Удирдамж
1. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын хууль.
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \цэгүүд & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(массив)$
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
\hline
\end(массив)$2. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт.
3. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс.
4. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц.
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(массив)$
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, \ 1-д< x\le 2,\\
1/3, \ at\ 2< x\le 3,\\
1/2, \ 3-т< x\le 4,\\
2/3, \ at\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ at \ 4< x\le 5,\\
1, \ x > 6-ийн хувьд.
\төгсгөл(матриц)\баруун.$
