Ховор үйл явдлын хууль. Пуассоны тархалт. MS EXCEL програмын дискрет тархалт

Ингээд авч үзье Пуассоны тархалт, түүний математик хүлээлт, тархалт, горимыг тооцоолъё. MS EXCEL-ийн POISSON.DIST() функцийг ашиглан бид тархалтын функц болон магадлалын нягтын графикуудыг байгуулна. Түгээлтийн параметрийг тооцоолъё, түүний математикийн хүлээлтба стандарт хазайлт.

Эхлээд бид хуваарилалтын хуурай албан ёсны тодорхойлолтыг өгч, дараа нь нөхцөл байдлын жишээг өгдөг Пуассоны тархалт(Англи) Пуассонхуваарилалт) нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тодорхойлоход тохиромжтой загвар юм.

Хэрэв санамсаргүй үйл явдлууд өгөгдсөн хугацаанд (эсвэл тодорхой хэмжээний бодисын дотор) дундаж давтамжтай λ( ламбда), дараа нь үйл явдлын тоо x, Энэ хугацаанд болсон байх болно Пуассоны тархалт.

Пуассоны тархалтын хэрэглээ

Жишээ нь хэзээ Пуассоны тархалтЭнэ нь тохиромжтой загвар юм:

• тодорхой хугацааны туршид утасны станцад хүлээн авсан дуудлагын тоо;
• тодорхой хугацааны туршид цацраг идэвхт задралд орсон тоосонцрын тоо;
• тогтмол урттай даавууны согогийн тоо.

Пуассоны тархалтДараах нөхцөл хангагдсан тохиолдолд тохиромжтой загвар болно.

• үйл явдлууд бие биенээсээ үл хамааран тохиолддог, өөрөөр хэлбэл. дараагийн үйл явдлын магадлал нь өмнөх үйл явдлаас хамаарахгүй;
• үйл явдлын дундаж хурд тогтмол байна. Үүний үр дүнд үйл явдлын магадлал нь ажиглалтын интервалын урттай пропорциональ байна;
• хоёр үйл явдал нэгэн зэрэг тохиолдох боломжгүй;
• үйл явдлын тоо 0 утгыг авах ёстой; 1; 2…

Анхаарна уу: Ажиглах боломжтой зүйл бол сайн мэдээлэл юм санамсаргүй утгаБайгаа Пуассоны тархалт,Энэ нь ойролцоогоор тэнцүү байна (доороос харна уу).

Нөхцөл байдлын жишээг доор харуулав Пуассоны тархалт чадахгүйхэрэглэх:

• нэг цагийн дотор их сургуулийг орхисон оюутнуудын тоо (оюутнуудын дундаж урсгал тогтмол биш тул: хичээлийн үеэр цөөхөн оюутан байдаг, хичээлийн завсарлагааны үеэр оюутнуудын тоо эрс нэмэгддэг);
• Калифорнид жилд 5 баллын далайцтай газар хөдлөлтийн тоо (нэг газар хөдлөлт нь ижил далайцтай газар хөдлөлтийг үүсгэж болзошгүй тул үйл явдлууд нь бие даасан биш юм);
• өвчтөнүүдийн эрчимт эмчилгээний тасагт өнгөрүүлсэн өдрийн тоо (учир нь өвчтөн эрчимт эмчилгээний тасагт байх өдрийн тоо үргэлж 0-ээс их байдаг).

Анхаарна уу: Пуассоны тархалтЭнэ нь илүү нарийвчлалтай салангид тархалтын ойролцоо утгатай: ба .

Анхаарна уу: Харилцааны тухай Пуассоны тархалтТэгээд Бином тархалтнийтлэлээс уншиж болно. Харилцааны тухай Пуассоны тархалтТэгээд Экспоненциал тархалттухай нийтлэлээс уншиж болно.

MS EXCEL дээр Пуассоны тархалт

MS EXCEL-д 2010 оны хувилбараас эхлэн Хуваарилалт Пуассон POISSON.DIST() функц байна, Англи нэр- POISSON.DIST(), энэ нь зөвхөн тухайн хугацаанд юу болох магадлалыг тооцох төдийгүй Xүйл явдал (функц магадлалын нягт p(x), дээрх томъёог харна уу), гэхдээ бас (хамгийн багадаа тухайн хугацаанд байх магадлал xүйл явдал).

MS EXCEL 2010-аас өмнө EXCEL нь POISSON() функцтэй байсан бөгөөд энэ нь мөн тооцоолох боломжийг олгодог. түгээлтийн функцТэгээд магадлалын нягт p(x). POISSON() нь нийцтэй байх үүднээс MS EXCEL 2010 дээр үлдсэн.

Жишээ файл нь график агуулж байна магадлалын нягтын тархалтТэгээд хуримтлагдсан хуваарилалтын функц.

Пуассоны тархалтхазайсан хэлбэртэй (магадлалын функцийн баруун талын урт сүүл) боловч λ параметр нэмэгдэх тусам тэгш хэмтэй болж байна.

Анхаарна уу: ДундажТэгээд тархалт(квадрат) нь параметртэй тэнцүү байна Пуассоны тархалт- λ (харна уу жишээ хуудас файл Жишээ).

Даалгавар

Ердийн хэрэглээ Пуассоны хуваарилалтЧанарын хяналт нь багаж хэрэгсэл эсвэл төхөөрөмжид гарч болзошгүй согогийн тоон загвар юм.

Жишээлбэл, чип дэх согогийн дундаж тоо λ (lambda) 4-тэй тэнцүү бол санамсаргүй байдлаар сонгосон чип нь 2 ба түүнээс цөөн согогтой байх магадлал: = POISSON.DIST(2,4,ҮНЭН)=0.2381

Функцийн гурав дахь параметрийг = ҮНЭН гэж тохируулсан тул функц буцаж ирнэ хуримтлагдсан хуваарилалтын функц, өөрөөр хэлбэл, тоо байх магадлал санамсаргүй үйл явдлууд 0-ээс 4 хүртэлх мужид байх болно.

Энэ тохиолдолд тооцооллыг дараах томъёоны дагуу хийнэ.

Санамсаргүй байдлаар сонгосон микро схем яг 2 согогтой байх магадлал: = POISSON.DIST(2,4,FALSE)=0.1465

Функцийн гурав дахь параметрийг = ХУДАЛ гэж тохируулсан тул функц нь магадлалын нягтыг буцаана.

Санамсаргүй байдлаар сонгосон микро схемд 2-оос дээш согогтой байх магадлал нь дараахтай тэнцүү байна. =1-POISSON.DIST(2,4,ҮНЭН) =0.8535

Анхаарна уу: Хэрэв xбүхэл тоо биш бол томъёог тооцоолохдоо . Томъёо =POISSON.DIST( 2 ; 4; ХУДЛАА)Тэгээд =POISSON.DIST( 2,9 ; 4; ХУДЛАА)ижил үр дүнг буцаана.

Санамсаргүй тоо үүсгэх ба λ тооцоо

λ-ийн утгуудын хувьд >15 , Пуассоны тархалтсайн ойролцоолсон Хэвийн тархалт дараах параметрүүдтэй: μ =λ , σ 2 =λ .

Эдгээр хуваарилалтын хоорондын хамаарлын талаарх дэлгэрэнгүй мэдээллийг нийтлэлээс олж болно. Ойролцоох жишээ, хэзээ боломжтой, ямар нарийвчлалтайгаар тайлбарласан нөхцөлүүд бас бий.

ЗӨВЛӨГӨӨ: Та нийтлэлээс MS EXCEL-ийн бусад түгээлтийн талаар уншиж болно.

Тухайлбал, замын тодорхой хэсэгт долоо хоногт гарч буй зам тээврийн ослын тоог бүртгэдэг. Энэ тоо нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд дараах утгыг авах боломжтой: (дээд хязгааргүй). Зам тээврийн ослын тоо хүссэн хэмжээгээрээ байж болно. Хэрэв бид долоо хоногт ямар нэгэн богино хугацааг, нэг минутыг авч үзвэл, тухайн хугацаанд үйл явдал тохиолдох болно, эсвэл болохгүй. Нэг минутын дотор зам тээврийн осол гарах магадлал маш бага бөгөөд бүх минутын турш ойролцоогоор ижил байна.

Ослын тооны магадлалын хуваарилалтыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

энд m - замын тодорхой хэсэгт долоо хоногт гарсан ослын дундаж тоо; e нь тогтмол 2.718...

Үүнд зориулагдсан өгөгдлийн онцлог шинж чанарууд хамгийн зөв замПуассоны тохирох тархалт дараах байдалтай байна.

1. Цаг хугацааны жижиг интервал бүрийг туршлага гэж үзэж болох бөгөөд үүний үр дүн нь осол ("амжилт") эсвэл байхгүй ("бүтэлгүйтэл") гэсэн хоёр зүйлийн нэг юм. Интервалууд нь маш бага тул нэг интервалд зөвхөн нэг "амжилт" байж болох бөгөөд магадлал нь бага бөгөөд тогтмол байдаг.

2. Нэг том интервал дахь "амжилт"-ын тоо нь тэдний тооноос хамаарахгүй, өөрөөр хэлбэл "амжилт" нь цаг хугацааны интервалаар санамсаргүй байдлаар тархсан байдаг.

3. "Амжилтын" дундаж тоо бүх хугацааны туршид тогтмол байна. Пуассоны магадлалын тархалтыг зөвхөн санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй цаг хугацааны интервалаар ажиллахад төдийгүй согогийг харгалзан үзэхэд ашиглаж болно. замын гадаргуукм аялал эсвэл текстийн хуудасны үсгийн алдаа. Ерөнхий томъёоПуассоны магадлалын тархалт:

Энд m нь нэгж тутамд "амжилт"-ын дундаж тоо юм.

Пуассоны магадлалын тархалтын хүснэгтэд утгуудыг m ба тодорхой утгуудын хувьд хүснэгтэд үзүүлэв

Жишээ 2.7. Утасны станц дээр дунджаар таван минутын дотор гурван утсаар ярих захиалга өгдөг. Таван минутын дотор 0, 1,2, 3, 4 болон дөрвөөс дээш дуудлага захиалах магадлал хэд вэ?

Бид Пуассоны магадлалын тархалтыг хэрэглэнэ, учир нь:

1. Хязгааргүй тооны туршилтууд байдаг, i.e. утсаар ярих захиалга гарч ирэх жижиг хугацаа, магадлал бага, тогтмол байдаг.

2. Утасны ярианы эрэлтийг цаг хугацааны явцад санамсаргүй байдлаар хуваарилдаг гэж үздэг.

3. дундаж гэж үздэг утасны яриаямар ч минутын хугацаанд ижил байна.

Энэ жишээнд 5 минутын дотор захиалгын дундаж тоо 3 байна. Тиймээс Пуассоны тархалт:

Пуассоны магадлалын тархалтын тусламжтайгаар 5 минутын доторх "амжилт"-ын дундаж тоог (жишээлбэл, жишээ 2.7) мэдэж байгаа тул нэг цагийн "амжилт"-ын дундаж тоог олохын тулд та зүгээр л хийх хэрэгтэй. 12-оор үржүүлнэ. Жишээ 2.7-д, нэг цагийн захиалгын дундаж тоо: 3 x 12 = 36. Үүний нэгэн адил, хэрэв та минутанд хийх захиалгын дундаж тоог тодорхойлохыг хүсвэл:

Жишээ 2.8. Дунджаар ажлын долоо хоногийн таван өдөр автомат шугам 3.4 асуудал гардаг. Үйл ажиллагааны өдөр бүр хоёр асуудал гарах магадлал хэд вэ? Шийдэл.

Та Пуассоны хуваарилалтыг ашиглаж болно:

1. Хязгааргүй тооны туршилтууд байдаг, i.e. автомат шугам дээр эвдрэл гарч болзошгүй эсвэл байхгүй байж болох жижиг хугацаа. Цаг хугацаа бүрийн хувьд энэ магадлал бага бөгөөд тогтмол байна.

2. Бодлого нь цаг хугацааны хувьд санамсаргүй байдлаар хуваарилагдсан гэж үздэг.

3. Ямар ч таван өдрийн алдааны дундаж тоог тогтмол гэж үзнэ.

Таван хоногт дунджаар 3.4 асуудал гардаг. Тиймээс өдөрт тулгарч буй асуудлын тоо:

Тиймээс,

Хүсэлтүүд ирж эхэлмэгц: "Пуассон хаана байна? Пуассоны томьёог ашиглах асуудал хаана байна вэ? гэх мэт. Тэгээд би эхэлье хувийн хэрэглээПуассоны тархалт - материалын эрэлт ихтэй холбоотой.

Даалгавар нь маш сайн мэддэг:

Дараагийн хоёр даалгавар нь өмнөх ажлуудаас эрс ялгаатай:

Жишээ 4

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь математикийн хүлээлттэй Пуассоны хуульд захирагддаг. Өгөгдсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь математикийн хүлээлтээс бага утгыг авах магадлалыг ол.

Ялгаа нь энд бид Пуассоны хуваарилалтын тухай ЯГ ЯРИА.

Шийдэл: санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь утгыг авдаг магадлал бүхий:

Нөхцөлийн дагуу, , энд бүх зүйл энгийн: үйл явдал нь гурваас бүрдэнэ нийцэхгүй үр дүн:

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь математикийн хүлээлтээс бага утгыг авах магадлал.

Хариулах:

Үүнтэй төстэй ойлгох даалгавар:

Жишээ 5

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь математикийн хүлээлттэй Пуассоны хуульд захирагддаг. Өгөгдсөн санамсаргүй хэмжигдэхүүн авах магадлалыг ол эерэг утга.

Шийдэл, хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Түүнээс гадна ойртож байнабином тархалт(Жишээ 1-3), Пуассоны тархалтыг олсон өргөн хэрэглээВ онолууд дараалал магадлалын шинж чанаруудын хувьд хамгийн энгийнүйл явдлын урсгал. Би товч хэлэхийг хичээх болно:

Зарим системд програмуудыг хүлээн авахыг зөвшөөрөх ( утасны дуудлага, ирж буй үйлчлүүлэгч гэх мэт). Хэрэглээний урсгал гэж нэрлэдэг хамгийн энгийн, хэрэв энэ нь нөхцөлийг хангаж байвал хөдөлгөөнгүй байдал, үр дагавар байхгүйТэгээд энгийн байдал. Тогтвортой байдал нь хүсэлтийн эрч хүчийг илэрхийлдэг тогтмолмөн өдрийн цаг, долоо хоногийн өдөр болон бусад цаг хугацааны хүрээнээс хамаарахгүй. Өөрөөр хэлбэл, “явсан цаг” гэж байхгүй, “үхсэн цаг” гэж байхгүй. Үр дагавар гарахгүй байгаа нь шинэ хэрэглээний магадлал нь "түүхийн өмнөх үеэс" хамаарахгүй гэсэн үг юм. "Нэг эмээ хэлсэн", бусад нь "гүйж очсон" (эсвэл эсрэгээрээ зугтсан) гэсэн ойлголт байдаггүй. Эцэст нь энгийн байдлын шинж чанар нь ийм шинж чанартай байдаг хангалттай жижигхугацааны интервал бараг боломжгүй хоёр ба түүнээс дээш програмын харагдах байдал. "Хоёр хөгшин эмэгтэй үүдэнд байна уу?" -Үгүй ээ, уучлаарай.

Тиймээс, зарим системд програмын хамгийн энгийн урсгалыг хүлээн ав дунд зэргийн эрчимтэйминут тутамд програмууд (цагт, өдөрт эсвэл дурын хугацаанд). Дараа нь магадлал тодорхой хугацаанд, систем яг ижил хүсэлт хүлээн авах болно:

Жишээ 6

Такси диспетчерийн төв рүү дуудлага хийх нь энгийн Пуассон урсгал бөгөөд цагт дунджаар 30 дуудлага хийдэг. Магадлалыг ол: a) 1 минутын дараа. 2-3 дуудлага ирнэ, б) таван минутын дотор дор хаяж нэг дуудлага ирнэ.

Шийдэл: бид Пуассоны томъёог ашигладаг:

a) Урсгалын хөдөлгөөнгүй байдлыг харгалзан бид 1 минут тутамд дуудлагын дундаж тоог тооцоолно.
дуудлага - дунджаар нэг минутын дотор.

Тохиромжгүй үйл явдлын магадлалыг нэмэх теоремын дагуу:
– 1 минутын дотор удирдлагын өрөөнд 2-3 дуудлага ирэх магадлал.

б) Таван минутын дундаж дуудлагын тоог тооцоол.

Практик олон асуудалд Пуассоны хууль гэж нэрлэгддэг өвөрмөц хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийг шийдвэрлэх шаардлагатай байдаг.

Зөвхөн бүхэл тоо сөрөг бус утгыг авах боломжтой тасархай санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье.

Түүнээс гадна эдгээр утгуудын дараалал нь онолын хувьд хязгааргүй юм.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн тодорхой утгыг авах магадлалыг томьёогоор илэрхийлбэл Пуассоны хуулийн дагуу тархсан хэмжигдэхүүн гэнэ.

a нь Пуассоны хуулийн параметр гэж нэрлэгддэг эерэг хэмжигдэхүүн юм.

Пуассоны хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цуваа нь дараах хэлбэртэй байна.

Юуны өмнө (5.9.1) томъёогоор өгөгдсөн магадлалын дараалал нь тархалтын цуваа байж болох эсэхийг шалгацгаая. бүх магадлалын нийлбэр нэгтэй тэнцүү байна. Бидэнд байгаа:

.

Зураг дээр. 5.9.1-д Пуассоны хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын олон өнцөгтийг харгалзуулна. өөр өөр утгатайпараметр Хавсралт Хүснэгт 8-д янз бүрийн утгыг харуулав.

Пуассоны хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний үндсэн шинж чанарууд болох математикийн хүлээлт ба дисперсийг тодорхойлъё. Математикийн хүлээлтийн тодорхойлолтоор

.

Нийлбэрийн эхний гишүүн (харгалзах) тэгтэй тэнцүү тул нийлбэрийг дараах байдлаар эхэлж болно.

гэж тэмдэглэе; Дараа нь

. (5.9.2)

Тиймээс параметр нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлтээс өөр зүйл биш юм.

Тархалтыг тодорхойлохын тулд эхлээд хэмжигдэхүүний хоёр дахь анхны моментийг олно.

Өмнө нь батлагдсан дагуу

Түүнээс гадна,

Тиймээс Пуассоны хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс нь түүний математик хүлээлттэй тэнцүү байна.

Пуассоны хуулийн дагуу санамсаргүй хэмжигдэхүүн тархсан гэсэн таамаглал үндэслэлтэй эсэхийг шийдэхийн тулд Пуассоны тархалтын энэ шинж чанарыг практикт ихэвчлэн ашигладаг. Үүнийг хийхийн тулд санамсаргүй хэмжигдэхүүний статистик үзүүлэлтүүд-математикийн хүлээлт ба тархалт - туршлагаасаа тодорхойлогддог. Хэрэв тэдгээрийн үнэ цэнэ ойролцоо байвал энэ нь Пуассоны тархалтын таамаглалыг дэмжсэн аргумент болж чадна; Эдгээр шинж чанаруудын огцом ялгаа нь эсрэгээр таамаглалыг эсэргүүцэж байна.

Пуассоны хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь өгөгдсөнөөс багагүй утгыг авах магадлалыг тодорхойлъё. Энэ магадлалыг тэмдэглэе:

Мэдээжийн хэрэг, магадлалыг нийлбэрээр тооцож болно

Гэсэн хэдий ч үүнийг эсрэг үйл явдлын магадлалаас тодорхойлох нь илүү хялбар байдаг.

(5.9.4)

Ялангуяа хэмжигдэхүүн эерэг утгатай байх магадлалыг томъёогоор илэрхийлнэ

(5.9.5)

Пуассоны тархалтын үр дүнд олон дадлагын асуудал үүсдэг гэдгийг бид аль хэдийн дурдсан. Энэ төрлийн ердийн асуудлуудын нэгийг авч үзье.

Ох тэнхлэгт цэгүүдийг санамсаргүй байдлаар тараацгаая (Зураг 5.9.2). Ингэж бодъё санамсаргүй хуваарилалтоноо нь дараах нөхцлийг хангасан байна.

1. Хэсэг дээр тодорхой тооны цэг унах магадлал нь зөвхөн энэ хэрчмийн уртаас хамаарах ба x тэнхлэг дээрх байрлалаас хамаарахгүй. Өөрөөр хэлбэл, цэгүүд нь ижил дундаж нягттай x тэнхлэгт тархсан байна. Энэ нягтыг (өөрөөр хэлбэл, нэгж урт дахь онооны тооны математик хүлээлт) -ээр тэмдэглэе.

2. Цэгүүд нь бие биенээсээ хамааралгүйгээр x тэнхлэгт хуваарилагдсан, i.e. Тухайн сегмент дээр нэг буюу өөр тооны цэг унах магадлал нь тэдгээрийн хэд нь түүнтэй давхцаагүй өөр сегмент дээр унахаас хамаардаггүй.

3. Хоёр ба түүнээс дээш цэгийн жижиг талбайг онох магадлал нь нэг цэгийг онох магадлалтай харьцуулахад маш бага (энэ нөхцөл нь хоёр ба түүнээс дээш оноо давхцах практик боломжгүй гэсэн үг).

Абсцисса тэнхлэг дээр тодорхой урттай сегментийг сонгоод салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье - энэ сегмент дээр унах цэгийн тоог. Боломжит утгууд байх болно

Цэгүүд нь бие биенээсээ хамааралгүйгээр сегмент дээр унадаг тул онолын хувьд хүссэн хэмжээгээрээ байх боломжтой, өөрөөр хэлбэл. цуврал (5.9.6) тодорхойгүй хугацаагаар үргэлжилнэ.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь Пуассоны тархалтын хуультай болохыг баталцгаая. Үүнийг хийхийн тулд сегмент нь яг цэгүүдийг агуулсан байх магадлалыг тооцоолно.

Эхлээд илүү ихийг шийдье энгийн даалгавар. Үхрийн тэнхлэг дээрх жижиг талбайг авч үзээд энэ хэсэгт ядаж нэг цэг унах магадлалыг тооцоолъё. Бид дараах үндэслэлээр тайлбарлах болно. Энэ хэсэгт унах онооны тооны математикийн хүлээлт мэдээж тэнцүү байна (учир нь онооны дундаж нь нэгж уртад унадаг). 3-р нөхцөлийн дагуу жижиг сегментийн хувьд бид хоёр ба түүнээс дээш цэгүүд унах боломжийг үл тоомсорлож болно. Тиймээс тухайн талбайд унасан цэгүүдийн тооны математикийн хүлээлт нь түүн дээр унах нэг цэгийн магадлалтай ойролцоогоор тэнцүү байх болно (эсвэл манай нөхцөлд энэ нь дор хаяж нэг юм).

Тиймээс, хязгааргүй жижиг хүртэл илүү өндөр дараалал, Бид сайт дээр нэг (дор хаяж нэг) цэг унах магадлалыг авч үзвэл , аль нь ч унахгүй байх магадлал нь тэнцүү байна.

Үүнийг ашиглан сегмент дээр яг цэг унах магадлалыг тооцоолъё. Сегментийг урттай тэнцүү хэсгүүдэд хуваа. Хэрэв нэг цэг агуулаагүй бол энгийн сегментийг "хоосон", ядаж нэг цэг байвал "эзлэгдсэн" гэж нэрлэе. Дээр дурдсанчлан сегментийн "завгүй" байх магадлал нь ойролцоогоор тэнцүү байна; "хоосон" байх магадлал нь тэнцүү байна. 2-р нөхцлийн дагуу давхцаагүй сегментүүдэд хамаарах цэгүүд нь бие даасан байдаг тул бидний n сегментийг бие даасан "туршилт" гэж үзэж болох бөгөөд сегмент тус бүрийг магадлалаар "эзлэх" боломжтой. Сегментүүдийн дунд яг "эзлэгдсэн" байх магадлалыг олцгооё. Туршилтын давталтын теоремын дагуу энэ магадлал тэнцүү байна

эсвэл, илэрхийлнэ,

(5.9.7)

Хангалттай том үед энэ магадлал нь хэрчим дээр яг цэг унах магадлалтай ойролцоогоор тэнцүү байна, учир нь сегмент дээр хоёр ба түүнээс дээш цэг унах магадлал маш бага байдаг. олохын тулд яг үнэ цэнэ, та илэрхийлэл дэх (5.9.7) хязгаарт очих хэрэгтэй:

(5.9.8)

Хязгаарын тэмдгийн доорх илэрхийллийг хувиргая:

(5.9.9)

(5.9.9) илэрхийлэл дэх эхний бутархай ба сүүлчийн бутархай хуваагч нь нэгдмэл байх хандлагатай байгаа нь ойлгомжтой. Илэрхийлэл нь үүнээс хамаардаггүй. Сүүлийн бутархайн тоог дараах байдлаар хувиргаж болно.

(5.9.10)

Хэзээ ба илэрхийлэл (5.9.10) нь . Ийнхүү хэрчимд яг таарах цэгүүдийн магадлалыг томъёогоор илэрхийлдэг болох нь батлагдсан

хаана, өөрөөр хэлбэл. Х-ийн утгыг Пуассоны хуулийн дагуу параметрээр хуваарилна.

Утга нь сегмент дэх онооны дундаж тоо гэдгийг анхаарна уу.

Magnitude (X-ийн утга эерэг утгатай байх магадлал). энэ тохиолдолдсегмент дээр дор хаяж нэг цэг унах магадлалыг илэрхийлнэ.

Тиймээс, Пуассоны тархалт нь зарим цэгүүд (эсвэл бусад элементүүд) бие биенээсээ үл хамааран санамсаргүй байрлалыг эзэлдэг бөгөөд зарим хэсэгт унах цэгүүдийн тоог тоолдог гэдэгт бид итгэлтэй байна. Манай тохиолдолд ийм "бүс" нь абсцисса тэнхлэг дээрх сегмент байв. Гэсэн хэдий ч бидний дүгнэлтийг хавтгай дээрх цэгүүдийн тархалт (цэгүүдийн санамсаргүй хавтгай талбар) ба орон зайд (цэгүүдийн санамсаргүй орон зайн талбар) хуваарилалтын тохиолдолд хялбархан сунгаж болно. Хэрэв нөхцөл хангагдсан бол дараахь зүйлийг батлахад хэцүү биш юм.

1) цэгүүд нь дундаж нягтралтай талбайд статистикийн хувьд жигд тархсан;

2) цэгүүд нь бие даан давхцаагүй бүс нутагт ордог;

3) цэгүүд хос, гурвалсан гэх мэт биш дангаараа гарч ирдэг бол аль ч хэсэгт (хавтгай эсвэл орон зайн) унасан цэгүүдийн тоог Пуассоны хуулийн дагуу хуваарилна.

тухайн талбайд унасан онооны дундаж тоо хаана байна.

Хавтгай хайрцагны хувьд

бүс нутгийн нутаг дэвсгэр хаана байна; орон зайн хувьд

бүс нутгийн хэмжээ хаана байна.

Хэсэг эсвэл мужид хамаарах цэгүүдийн тоог Пуассоны хуваарилалтын хувьд тогтмол нягтын нөхцөл () чухал биш гэдгийг анхаарна уу. Хэрэв бусад хоёр нөхцөл хангагдсан бол Пуассоны хууль хүчинтэй хэвээр байгаа бөгөөд зөвхөн а параметр нь өөр илэрхийлэл болно: энэ нь нягтыг тухайн бүсийн урт, талбай эсвэл эзэлхүүнээр үржүүлснээр бус харин сегмент, талбай эсвэл эзэлхүүн дэх хувьсах нягтрал. (Энэ талаар дэлгэрэнгүйг n° 19.4-с үзнэ үү)

Шугаман, хавтгай эсвэл эзэлхүүн дээр тархсан санамсаргүй цэгүүд байгаа нь Пуассоны тархалт үүсэх цорын ганц нөхцөл биш юм. Жишээлбэл, Пуассоны хууль нь бином тархалтыг хязгаарлаж байгааг нотолж болно.

, (5.9.12)

Хэрэв туршилтын тоо хязгааргүй, магадлал нь тэг болж, бүтээгдэхүүн нь тогтмол утгыг хадгалж байвал:

Үнэн хэрэгтээ, бином тархалтын энэхүү хязгаарлах шинж чанарыг дараах байдлаар бичиж болно.

. (5.9.14)

Харин (5.9.13) нөхцөлөөс ингэж гарч байна

(5.9.15)-ыг (5.9.14) орлуулснаар бид тэгш байдлыг олж авна

, (5.9.16)

Үүнийг бид сая нэг удаа нотолсон.

Хоёр гишүүний хуулийн энэхүү хязгаарлах шинж чанарыг практикт ихэвчлэн ашигладаг. Үүнийг үйлдвэрлэсэн гэж үзье олон тооныбие даасан туршилтууд, тус бүр нь үйл явдлын магадлал маш бага байдаг. Дараа нь үйл явдал яг нэг удаа гарч ирэх магадлалыг тооцоолохын тулд та ойролцоогоор томъёог ашиглаж болно.

, (5.9.17)

ойролцоогоор орлох Пуассон хуулийн параметр хаана байна бином тархалт.

Пуассоны хуулийн энэхүү шинж чанараас - олон тооны туршилт, үйл явдлын магадлал багатай хоёртын тархалтыг илэрхийлэхийн тулд түүний нэрийг статистикийн сурах бичигт ихэвчлэн ашигладаг: ховор үзэгдлийн хууль гэж нэрлэдэг.

Пуассоны тархалттай холбоотой хэд хэдэн жишээг практикийн янз бүрийн салбараас авч үзье.

Жишээ 1. Автомат телефон станц нь нэг цагт дуудлагын дундаж нягтралтай дуудлага хүлээн авдаг. Аль ч цаг хугацааны дуудлагын тоог Пуассоны хуулийн дагуу хуваарилдаг гэж үзвэл хоёр минутын дотор буудалд яг гурван дуудлага ирэх магадлалыг ол.

Шийдэл. Хоёр минутын дундаж дуудлагын тоо:

м.кв. Байгаа онохын тулд дор хаяж нэг фрагментийг оноход хангалттай. Хагарлын цэгийн өгөгдсөн байрлалд бай онох магадлалыг ол.

Шийдэл. . (5.9.4) томъёог ашиглан бид дор хаяж нэг фрагментийг цохих магадлалыг олно.

(Утгыг тооцоолохын тулд экспоненциал функцБид хавсралтын 2-р хүснэгтийг ашигладаг).

Жишээ 7. Дундаж нягтралэмгэг төрүүлэгч бичил биетүүд нэгд куб метрагаар нь 100. Туршилтанд 2 шоо метр авна. дм агаар. Үүнд дор хаяж нэг микроб илрэх магадлалыг ол.

Шийдэл. Эзлэхүүн дэх микробын тооны Пуассон тархалтын таамаглалыг хүлээн зөвшөөрч, бид дараахь зүйлийг олно.

Жишээ 8. Тодорхой бай руу 50 бие даасан буудлага хийдэг. Байгаа нэг сумаар онох магадлал 0.04. Дуран тархалтын хязгаарлах шинж чанарыг ашиглан (томьёо (5.9.17)) бай оногдох магадлалыг ойролцоогоор ол: нэг сум биш, нэг сум, хоёр сум.

Шийдэл. Бидэнд байгаа. Хавсралтын 8-р хүснэгтийг ашиглан бид магадлалыг олно.

Олон практик чухал хэрэглээнд том үүрэгПуассоны тархалтыг тоглодог. Олон тооны тоо салангид хэмжигдэхүүнүүддараах шинж чанаруудтай Пуассон процессын хэрэгжилт юм.

• Санамсаргүй туршилтын боломжит үр дүнгийн өгөгдсөн хязгаарт тодорхой үйл явдал хэдэн удаа тохиолдохыг бид сонирхож байна. Боломжит үр дүнгийн талбар нь цаг хугацааны интервал, сегмент, гадаргуу гэх мэт байж болно.
• Өгөгдсөн үйл явдлын магадлал нь боломжит үр дүнгийн бүх хэсэгт ижил байна.
• Боломжит үр дүнгийн нэг хэсэгт тохиолдох үйл явдлын тоо нь бусад бүс нутагт тохиолдох үйл явдлын тооноос үл хамаарна.
• Боломжит үр дагаврын талбар буурах тусам тухайн үйл явдал нэгээс олон удаа тохиолдох магадлал нь тэг болох хандлагатай байдаг.

Пуассон процессын утга учрыг илүү сайн ойлгохын тулд үдийн хоолны үеэр бизнесийн төв дүүрэгт байрлах банкны салбарт зочилсон үйлчлүүлэгчдийн тоог судалъя гэж бодъё. 12-13 цаг хүртэл. Та нэг минутын дотор ирэх үйлчлүүлэгчдийн тоог тодорхойлохыг хүсч байна гэж бодъё. Энэ нөхцөл байдал дээр дурдсан шинж чанаруудтай юу? Нэгдүгээрт, бидний сонирхож буй үйл явдал бол үйлчлүүлэгчийн ирэлт бөгөөд боломжит үр дүнгийн хүрээ нь нэг минутын интервал юм. Нэг минутын дотор банкинд хэдэн үйлчлүүлэгч ирэх вэ - аль нь ч биш, нэг, хоёр ба түүнээс дээш? Хоёрдугаарт, нэг минутын дотор үйлчлүүлэгч ирэх магадлал бүх нэг минутын интервалд ижил байна гэж үзэх нь үндэслэлтэй юм. Гуравдугаарт, нэг минутын завсарлагааны хугацаанд нэг үйлчлүүлэгч ирэх нь өөр нэг минутын завсарлагааны хугацаанд бусад үйлчлүүлэгч ирэхээс үл хамаарна. Эцэст нь, хэрэв хугацааны интервал тэг болох хандлагатай бол, жишээлбэл, 0.1 секундээс бага бол банкинд нэгээс олон үйлчлүүлэгч ирэх магадлал тэг болно. Тиймээс нэг минутын дотор өдрийн хоолны үеэр банкинд ирэх үйлчлүүлэгчдийн тоог Пуассоны хуваарилалтаар тодорхойлдог.

Пуассоны тархалт нь λ (Грек үсгээр "lambda") тэмдгээр тэмдэглэгдсэн нэг параметртэй байдаг - боломжит үр дүнгийн тухайн бүс дэх амжилттай туршилтуудын дундаж тоо. Пуассоны тархалтын дисперс нь мөн λ, стандарт хазайлт нь . Амжилттай туршилтын тоо XПуассоны санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь 0-ээс хязгааргүй хооронд хэлбэлздэг. Пуассоны тархалтыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Хаана P(X)- магадлал Xамжилттай туршилт, λ - хүлээгдэж буй амжилтын тоо, д- суурь байгалийн логарифм, 2.71828-тай тэнцүү, X- нэгж цагийн амжилтын тоо.

Өөрийнхөө жишээ рүү буцъя. Үдийн цайны завсарлагаанаар нэг минутад дунджаар гурван үйлчлүүлэгч банкинд ирдэг гэж бодъё. Тухайн үед хоёр харилцагч банкинд ирэх магадлал хэд вэ? Банкинд хоёроос дээш харилцагч ирэх магадлал хэд вэ?

λ = 3 параметртэй (1) томъёог хэрэглэцгээе. Тэгвэл өгөгдсөн минутын дотор хоёр үйлчлүүлэгч банкинд ирэх магадлал нь тэнцүү байна.

Банкинд хоёроос дээш харилцагч ирэх магадлал нь P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + … + P(X = ∞) -тэй тэнцүү байна. Бүх магадлалын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байх ёстой тул томьёоны баруун талд байгаа цувааны нөхцөлүүд нь X ≤ 2 үйл явдалд нэмэгдэх магадлалыг илэрхийлнэ. Өөрөөр хэлбэл, энэ цувааны нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байна – P(X ≤ 2). Тиймээс P(X>2) = 1 – P(X≤2) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]. Одоо (1) томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг авна.

Ийнхүү нэг минутын дотор хоёроос илүүгүй харилцагч банкинд ирэх магадлал 0.423 (буюу 42.3%), нэг минутын дотор хоёроос дээш харилцагч банкинд ирэх магадлал 0.577 (эсвэл 57.7%) байна.

Ялангуяа λ параметр нь хангалттай том бол ийм тооцоо нь уйтгартай мэт санагдаж магадгүй юм. Нарийн төвөгтэй тооцооллоос зайлсхийхийн тулд Пуассоны олон магадлалыг тусгай хүснэгтээс олж болно (Зураг 1). Жишээлбэл, нэг минутад дунджаар гурван үйлчлүүлэгч банкинд ирдэг бол тухайн минутанд хоёр үйлчлүүлэгч ирэх магадлал нь шугамын уулзварт байна. X= 2 ба багана λ = 3. Тиймээс 0.2240 буюу 22.4% -тай тэнцүү байна.

Цагаан будаа. 1. λ = 3 үед Пуассоны магадлал

Одоо =POISSON.DIST() функцтэй Excel-тэй бол хэн ч хүснэгт ашиглах магадлал багатай (Зураг 2). Энэ функц нь амжилттай туршилтын тоо гэсэн гурван параметртэй X, амжилттай туршилтын дундаж хүлээгдэж буй тоо λ, параметр Интеграл, хоёр утгыг авна: ХУДАЛ – энэ тохиолдолд амжилттай туршилтын тооны магадлалыг тооцоолно X(Зөвхөн X), ҮНЭН – энэ тохиолдолд амжилттай туршилтын тооны магадлал 0-ээс X.

Цагаан будаа. 2. λ = 3 үед Пуассоны тархалтын магадлалыг Excel дээр тооцоолох

Пуассоны тархалтыг ашиглан бином тархалтыг ойртуулах

Хэрэв тоо nтом бөгөөд тоо Р- жижиг, хоёр нэрийн тархалтыг Пуассоны тархалтыг ашиглан ойртуулж болно. Тоо өндөр байх тусам nТэгээд бага тоо Р, ойртох нарийвчлал өндөр байх болно. Дараах Пуассон загварыг бином тархалтыг ойролцоогоор тооцоолоход ашигладаг.

Хаана P(X)- магадлал Xөгөгдсөн параметрүүдтэй амжилт nТэгээд Р, n- дээжийн хэмжээ, Р- амжилтанд хүрэх бодит магадлал, д- натурал логарифмын суурь, X- түүврийн амжилтын тоо (X = 0, 1, 2, …, n).

Онолын хувьд Пуассон тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь 0-ээс ∞ хүртэлх утгыг авдаг. Гэсэн хэдий ч Пуассоны тархалтыг binomial тархалтыг ойролцоогоор тооцоолоход ашигладаг нөхцөлд Пуассоны санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь амжилтын тоо юм. nажиглалт - тооноос хэтрэхгүй n. Томъёо (2)-аас харахад тоо нэмэгдэж байна nболон тоо буурах Ролон тооны амжилтыг илрүүлэх магадлал буурч, тэг болох хандлагатай байна.

Дээр дурдсанчлан Пуассоны тархалтын хүлээлт μ ба дисперс σ 2 нь λ-тэй тэнцүү байна. Тиймээс Пуассоны тархалтыг ашиглан бином тархалтыг ойртуулахдаа (3) математикийн хүлээлтийг ойролцоолсон томъёог ашиглана.

(3) μ = E(X) = λ =n.p.

Стандарт хазайлтыг ойролцоогоор тооцоолохын тулд (4) томъёог ашиглана.

Томъёо (4)-ийг ашиглан тооцоолсон стандарт хазайлт нь хандлагатай байгааг анхаарна уу стандарт хэлбэлзэлбином загварт - амжилтанд хүрэх магадлал үед хтэг болох хандлагатай, үүний дагуу бүтэлгүйтэх магадлал 1 – хэв нэгдэлтэй байхыг эрмэлздэг.

Тодорхой үйлдвэрт үйлдвэрлэсэн дугуйны 8 хувь нь гэмтэлтэй гэж бодъё. Пуассоны тархалтыг binomial тархалтыг ойртуулахын тулд ашиглахыг харуулахын тулд бид 20 дугуйны түүврээс нэг гэмтэлтэй дугуйг олох магадлалыг тооцоолно. (2) томъёог хэрэглэцгээе, бид олж авна

Хэрэв бид үнэн хоёрын тархалтыг ойролцоогоор тооцоолохоос илүүтэйгээр тооцоолох юм бол бид дараах үр дүнг авах болно.

Гэсэн хэдий ч эдгээр тооцоо нь нэлээд уйтгартай байдаг. Гэсэн хэдий ч, хэрэв та Excel програмыг магадлалыг тооцоолоход ашигладаг бол Пуассоны тархалтын ойролцооллыг ашиглах нь илүүц болно. Зураг дээр. Зураг 3-аас харахад Excel-ийн тооцооллын нарийн төвөгтэй байдал ижил байна. Гэсэн хэдий ч, миний бодлоор энэ хэсэг нь зарим нөхцөлд бином тархалт ба Пуассоны тархалт ижил төстэй үр дүнг өгдөг гэдгийг ойлгоход хэрэгтэй.

Цагаан будаа. 3. Excel-ийн тооцооллын нарийн төвөгтэй байдлын харьцуулалт: (a) Пуассоны тархалт; (б) бином тархалт

Тиймээс, энэ болон өмнөх хоёр тэмдэглэлд гурван салангид тоон тархалтыг авч үзсэн: , болон Пуассон. Эдгээр хуваарилалтууд хоорондоо хэрхэн холбогдож байгааг илүү сайн ойлгохын тулд бид танилцуулж байна жижиг модасуултууд (Зураг 4).

Цагаан будаа. 4. Дискрет магадлалын тархалтын ангилал

Левин нар Менежерүүдэд зориулсан статистик номны материалыг ашигласан. – М.: Уильямс, 2004. – х. 320–328