Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн х нь магадлалын тархалтын хуультай байдаг. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн тархалтын хууль

Санамсаргүй хувьсагчТуршилт бүрийн үр дүнд санамсаргүй шалтгаанаас хамааран урьд нь үл мэдэгдэх нэг утгыг авдаг хувьсагчийг хувьсагч гэж нэрлэдэг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг латин том үсгээр тэмдэглэнэ: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Тэдний төрлөөс хамааран санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дараах байдлаар тодорхойлж болно. салангидТэгээд Үргэлжилсэн.

Дискрет санамсаргүй утга - энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд утга нь тоолж болох, өөрөөр хэлбэл төгсгөлтэй эсвэл тоолох боломжтой. Тооцооллын хувьд бид санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгыг дугаарлаж болно гэсэн үг юм.

Жишээ 1 . Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн жишээ энд байна:

a) $n$ шидэлтээр байг онох тоо, энд байж болох утгууд нь $0,\1,\\цэгүүд,\n$ байна.

б) зоос шидэх үед буурсан бэлгэ тэмдгийн тоо, энд байж болох утгууд нь $0,\1,\\цэг,\n$ байна.

в) онгоцонд ирж буй хөлөг онгоцны тоо (тооцоох утгын багц).

d) PBX-д ирж буй дуудлагын тоо (тоолох утгуудын багц).

1. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын хууль.

$X$ салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь $x_1,\dots,\ x_n$ утгуудыг $p\left(x_1\right),\\dots,\ p\left(x_n\right)$ магадлалтайгаар авч болно. Эдгээр утгууд ба тэдгээрийн магадлалын хоорондын уялдаа холбоог нэрлэдэг дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль. Дүрмээр бол энэ захидал харилцааг хүснэгт ашиглан зааж өгсөн бөгөөд эхний мөрөнд $x_1,\dots,\ x_n$ утгуудыг, хоёр дахь мөрөнд $p_1,\dots,\p_n$-д харгалзах магадлалыг агуулна. эдгээр үнэт зүйлс.

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \цэгүүд & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(массив)$

Жишээ 2 . Санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь үхрийг шидэх үед авсан онооны тоо гэж үзье. Ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ дараах утгуудыг авч болно: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Эдгээр бүх утгын магадлал 1/6 доллартай тэнцүү байна. Тэгвэл $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын хууль:

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(массив)$

Сэтгэгдэл. $X$ дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуульд $1,\ 2,\ \цэг,\ 6$ үйл явдлууд нь бүхэл бүтэн бүлэг үйл явдлуудыг бүрдүүлдэг тул магадлалын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү байх ёстой, өөрөөр хэлбэл $. \нийлбэр(p_i)=1$.

2. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлттүүний "төв" утгыг тогтоодог. Дискрет санамсаргүй хувьсагчийн хувьд хүлээгдэж буй үнэ цэнэ$x_1,\dots ,\ x_n$ утгуудын үржвэрүүдийн нийлбэрээр эдгээр утгуудад харгалзах $p_1,\dots,\ p_n$ магадлалаар тооцно, өөрөөр хэлбэл: $M\left(X\right) )=\нийлбэр^n_(i=1 )(p_ix_i)$. Англи хэл дээрх уран зохиолд $E\left(X\right)$ гэсэн өөр тэмдэглэгээг ашигладаг.

Математикийн хүлээлтийн шинж чанарууд$M\зүүн(X\баруун)$:

1. $M\left(X\right)$ нь хамгийн жижиг ба хоёрын хооронд байрлана хамгийн өндөр үнэ цэнэсанамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$.
2. Тогтмол хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь тогтмолтой тэнцүү, i.e. $M\зүүн(C\баруун)=C$.
3. Тогтмол хүчин зүйлийг математик хүлээлтийн тэмдгээс гаргаж авч болно: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн математик хүлээлт нь тэдгээрийн математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт нь тэдгээрийн математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Жишээ 3 . $2$ жишээнээс $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг олъё.

$$M\зүүн(X\баруун)=\нийлбэр^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\(6)-аас дээш)+2\cdot ((1)\(6) )+3\cdot ((1)\(6)-аас дээш)+4\cdot ((1)\(6)-аас дээш)+5\cdot ((1)\(6)-аас дээш)+6\cdot ((1) )\ дээш (6))=3.5.$$

$M\left(X\right)$ нь $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамгийн бага ($1$) ба хамгийн том ($6$) утгуудын хооронд байрлаж байгааг бид анзаарч болно.

Жишээ 4 . $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт $M\left(X\right)=2$-тэй тэнцүү байгаа нь мэдэгдэж байна. $3X+5$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг ол.

Дээрх шинж чанаруудыг ашигласнаар бид $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\-г авна. cdot 2 +5=$11.

Жишээ 5 . $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт $M\left(X\right)=4$-тэй тэнцүү байгаа нь мэдэгдэж байна. $2X-9$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг ол.

Дээрх шинж чанаруудыг ашигласнаар бид $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\-г авна. cdot 4 -9=-1$.

3. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс.

Математикийн ижил хүлээлттэй санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд нь дундаж утгуудын эргэн тойронд өөр өөрөөр тархаж болно. Жишээлбэл, хоёр оюутны бүлэгт GPAмагадлалын онолын шалгалтын хувьд энэ нь 4-тэй тэнцсэн боловч нэг бүлэгт бүгд сайн оюутнууд, нөгөө бүлэгт зөвхөн С, онц сурлагатай оюутнууд гарч ирэв. Тиймээс санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанар нь түүний математик хүлээлтийн эргэн тойронд санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын тархалтыг харуулах шаардлагатай байна. Энэ шинж чанар нь тархалт юм.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс$X$ нь дараахтай тэнцүү:

$$D\зүүн(X\баруун)=\нийлбэр^n_(i=1)(p_i(\зүүн(x_i-M\зүүн(X\баруун)\баруун))^2).\ $$

Англи хэлний уран зохиолд $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ гэсэн тэмдэглэгээг ашигладаг. Ихэнхдээ $D\left(X\right)$ хэлбэлзлийг $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) томъёогоор тооцдог. зүүн(X \баруун)\баруун))^2$.

Тархалтын шинж чанарууд$D\зүүн(X\баруун)$:

1. Дисперс нь үргэлж тэгээс их буюу тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. $D\зүүн(X\баруун)\ge 0$.
2. Тогтмолын хэлбэлзэл нь тэг, өөрөөр хэлбэл. $D\зүүн(C\баруун)=0$.
3. Тогтмол хүчин зүйлийг квадратаар хуваасан тохиолдолд тархалтын тэмдгээс гаргаж болно, өөрөөр хэлбэл. $D \ зүүн (CX \ баруун) = C ^ 2D \ зүүн (X \ баруун) $.
4. Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн дисперс нь тэдгээрийн дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү, i.e. $D\зүүн(X+Y\баруун)=D\зүүн(X\баруун)+D\зүүн(Y\баруун)$.
5. Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн ялгааны дисперс нь тэдгээрийн хэлбэлзлийн нийлбэртэй тэнцүү, i.e. $D\зүүн(X-Y\баруун)=D\зүүн(X\баруун)+D\зүүн(Y\баруун)$.

Жишээ 6 . $2$ жишээнээс $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг тооцоолъё.

$$D\зүүн(X\баруун)=\нийлбэр^n_(i=1)(p_i(\зүүн(x_i-M\зүүн(X\баруун)\баруун))^2)=((1)\ дээш (6))\cdot (\зүүн(1-3.5\баруун))^2+((1)\(6) дээр)\cdot (\зүүн(2-3.5\баруун))^2+ \цэг +( (1)\(6)-аас дээш)\cdot (\зүүн(6-3,5\баруун))^2=((35)\(12))\ойролцоогоор 2,92.$$

Жишээ 7 . $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс нь $D\left(X\right)=2$-тэй тэнцүү гэдгийг мэддэг. $4X+1$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг ол.

Дээрх шинж чанаруудыг ашиглан бид $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0=-г олно. 16D\ зүүн(X\баруун)=16\cdot 2=32$.

Жишээ 8 . $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс нь $D\left(X\right)=3$-тай тэнцүү гэдгийг мэддэг. $3-2X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг ол.

Дээрх шинж чанаруудыг ашиглан бид $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)=-г олно. 4D\ зүүн(X\баруун)=4\cdot 3=12$.

4. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тархалтын цуваа хэлбэрээр илэрхийлэх арга нь цорын ганц арга биш бөгөөд хамгийн чухал нь тархалтын цуваа ашиглан тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тодорхойлох боломжгүй тул бүх нийтийнх биш юм. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг илэрхийлэх өөр нэг арга байдаг - түгээлтийн функц.

Түгээлтийн функц$X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг $F\left(x\right)$ функц гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь $x$, өөрөөр хэлбэл $F\-ээс бага утгыг авах магадлалыг тодорхойлдог. зүүн(x\баруун)=P\зүүн(X< x\right)$

Түгээлтийн функцийн шинж чанарууд:

1. $0\le F\left(x\баруун)\le 1$.
2. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь $\left(\alpha;\ \beta \right)$ интервалаас утгыг авах магадлал нь түүний төгсгөлд байгаа түгээлтийн функцийн утгуудын зөрүүтэй тэнцүү байна. интервал: $P\left(\альфа< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - буурахгүй.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty) F\left(x) \баруун)=1\ )$.

Жишээ 9 . $2$ жишээнээс $X$ дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийн $F\left(x\right)$ тархалтын функцийг олцгооё.

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(массив)$

Хэрэв $x\le 1$ бол мэдээж $F\left(x\right)=0$ (үүнд $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X)< 1\right)=0$).

Хэрэв 1 доллар< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Хэрэв 2 доллар< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Хэрэв 3 доллар< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Хэрэв 4 доллар< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Хэрэв 5 доллар< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Хэрэв $x > 6$ бол $F\left(x\right)=P\left(X=1\баруун)+P\left(X=2\баруун)+P\зүүн(X=3\баруун) +P\зүүн(X=4\баруун)+P\зүүн(X=5\баруун)+P\зүүн(X=6\баруун)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Тэгэхээр $F(x)=\left\(\эхлэх(матриц))
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, at\ 1< x\le 2,\\
1/3, \ at\ 2< x\le 3,\\
1/2, at\ 3< x\le 4,\\
2/3, \ at\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ at\ 4< x\le 5,\\
1,\ for\ x > 6.
\төгсгөл(матриц)\баруун.$

Энэ хуудсан дээр бид боловсролын шийдлүүдийн жишээг цуглуулсан Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн талаархи асуудлууд. Энэ бол нэлээд өргөн хүрээтэй хэсэг юм: тархалтын янз бүрийн хуулиуд (биномиаль, геометр, гипергеометр, Пуассон болон бусад), шинж чанар, тоон шинж чанаруудыг судалж, тархалтын цуврал бүрийн хувьд график дүрслэлийг барьж болно: магадлалын олон өнцөгт (полигон), тархалтын функц.

Та тархалтын хуулийг гаргахын тулд магадлалын онолын өмнөх хэсгүүдийн мэдлэгийг ашиглах, дараа нь математикийн хүлээлт, дисперс, дундажийг тооцоолох шаардлагатай дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн талаархи шийдвэрүүдийн жишээг доороос олж болно. стандарт хэлбэлзэл, түгээлтийн функцийг бүтээх, DSV-ийн талаархи асуултуудад хариулах гэх мэт.

Магадлалын тархалтын түгээмэл хуулиудын жишээ:

DSV шинж чанарын тооцоолуур

• DSV-ийн математикийн хүлээлт, тархалт, стандарт хазайлтын тооцоо.

DSV-тэй холбоотой асуудлыг шийдсэн

Геометрийн ойролцоо хуваарилалт

Даалгавар 1.Тээврийн хэрэгслийн зам дагуу 4 гэрлэн дохио байдаг бөгөөд тус бүр нь 0.5 магадлалтайгаар тээврийн хэрэгслийн цааш явахыг хориглодог. Эхний зогсоолын өмнө машины хажуугаар өнгөрсөн гэрлэн дохионы тоог хуваарилах цувааг ол. Энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба дисперс нь юу вэ?

Даалгавар 2.Анчин эхний цохилт хүртэл тоглоом руу буудсан боловч дөрөвөөс илүүгүй удаа буудаж чаддаг. Нэг сумаар бай онох магадлал 0.7 бол алдсаны тоог хуваарилах хуулийг гарга. Энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг ол.

Даалгавар 3. 3 сумтай буудагч эхний цохилт хүртэл бай руу бууддаг. Эхний, хоёр, гурав дахь цохилтын цохилтын магадлал 0.6, 0.5, 0.4 байна. С.В. $\xi$ - үлдсэн хайрцагны тоо. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цувааг эмхэтгэж, математикийн хүлээлт, дисперс, дундажийг ол стандарт хэлбэлзэл r.v., r.v. тархалтын функцийг байгуулж, $P(|\xi-m| \le \sigma$)-г ол.

Даалгавар 4.Хайрцаг нь стандарт 7, гэмтэлтэй 3 эд ангитай. Тэд буцааж өгөхгүйгээр стандарт хэсэг гарч ирэх хүртэл хэсгүүдийг дараалан гаргаж авдаг. $\xi$ нь олж авсан гэмтэлтэй хэсгүүдийн тоо юм.
$\xi$ дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль гаргаж, түүний математик хүлээлт, дисперс, стандарт хазайлтыг тооцож, тархалтын олон өнцөгт болон тархалтын функцийн графикийг зур.

Бие даасан үйл явдлуудтай даалгавар

Даалгавар 5.Магадлалын онолоор дахин шалгалт өгөхөөр 3 оюутан ирсэн. Эхний хүн шалгалтанд тэнцэх магадлал 0.8, хоёр дахь нь 0.7, гурав дахь нь 0.9 байна. Шалгалтанд тэнцсэн оюутнуудын $\xi$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цувааг олж, тархалтын функцийг графикаар зурж, $M(\xi), D(\xi)$-г ол.

Даалгавар 6.Байгаа нэг сумаар онох магадлал 0.8 бөгөөд буудсан болгонд 0.1-ээр буурдаг. Гурван удаа буудсан тохиолдолд байг онох тоог хуваарилах хуулийг гарга. Хүлээгдэж буй утга, хэлбэлзэл, S.K.O-г ол. энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүн. Тархалтын функцийн графикийг зур.

Даалгавар 7.Зорилтот руу 4 удаа буудаж байна. Цохих магадлал дараах байдлаар нэмэгдэнэ: 0.2, 0.4, 0.6, 0.7. $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг ол - цохилтын тоо. $X \ge 1$ байх магадлалыг ол.

Даалгавар 8.Хоёр тэгш хэмтэй зоос шидэж, зоосны дээд талын хоёр талын сүлдний тоог тоолно. Бид $X$-ийн санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үздэг - хоёр зоос дээрх сүлдний тоо. $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг бичиж, түүний математик хүлээлтийг ол.

DSV-ийн тархалтын бусад асуудлууд ба хууль

Даалгавар 9.Хоёр сагсан бөмбөгчин сагсанд гурван цохилт хийдэг. Эхний сагсан бөмбөгчинд цохих магадлал 0.6, хоёр дахь нь 0.7 байна. Нэг ба хоёрдугаар сагсан бөмбөгчдийн амжилттай цохилтын тооны зөрүүг $X$ гэж үзье. $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цуваа, горим, тархалтын функцийг ол. Тархалтын олон өнцөгт ба тархалтын функцийн графикийг байгуул. Хүлээгдэж буй утга, хэлбэлзэл, стандарт хазайлтыг тооцоол. $(-2 \lt X \le 1)$ үйл явдлын магадлалыг ол.

Асуудал 10.Тодорхой боомтод ачихаар өдөр бүр ирж буй оршин суугч бус хөлөг онгоцны тоо нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ бөгөөд дараах байдлаар өгөгдсөн.
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
A) түгээлтийн цувралыг зааж өгсөн эсэхийг шалгах,
B) $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функцийг олох,
C) Хэрэв тухайн өдөр гурваас дээш хөлөг онгоц ирсэн бол нэмэлт жолооч, ачигч хөлслөх шаардлагатай тул боомт зардлыг хариуцна. Боомтод нэмэлт зардал гарах магадлал хэд вэ?
D) $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт, дисперс ба стандарт хазайлтыг ол.

Асуудал 11. 4 шидэх шоо. Бүх талд гарч ирэх онооны тооны нийлбэрийн математик хүлээлтийг ол.

Асуудал 12.Хоёулаа ээлжлэн сүлд гарч иртэл зоос шиддэг. Сүлд авсан тоглогч нөгөө тоглогчоос 1 рубль авдаг. Тоглогч бүрийн хувьд хожих математик хүлээлтийг ол.

1-р бүлэг. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн

§ 1. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай ойлголтууд.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль.

Тодорхойлолт : Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь туршилтын үр дүнд өөрийн боломжит багц утгуудаас зөвхөн нэг утгыг авдаг, урьдчилан мэдэгддэггүй, санамсаргүй шалтгаанаас хамаарна.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь дискрет ба тасралтгүй гэсэн хоёр төрөлтэй.

Тодорхойлолт : Х санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дуудна салангид (тасралттай) хэрэв түүний утгуудын багц нь төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй боловч тоолж болно.

Өөрөөр хэлбэл, салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудыг дахин дугаарлаж болно.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тархалтын хуулийг ашиглан тодорхойлж болно.

Тодорхойлолт : Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд ба тэдгээрийн магадлалын хоорондох захидал харилцааг нэрлэнэ.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн тархалтын хуулийг хүснэгт хэлбэрээр зааж өгч болох бөгөөд эхний мөрөнд санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгыг өсөх дарааллаар, хоёр дахь мөрөнд эдгээрийн харгалзах магадлалыг зааж өгсөн болно. үнэт зүйлс, жишээлбэл.

Энд р1+ р2+…+ рn=1

Ийм хүснэгтийг салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цуваа гэж нэрлэдэг.

Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын багц хязгааргүй бол p1+ p2+…+ pn+… цуврал нийлж, нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байна.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн тархалтын хуулийг графикаар дүрсэлж болно тэгш өнцөгт системкоординатууд (xi; pi), i=1,2,...n-тэй цэгүүдийг дараалан холбосон полилинийг байгуулна. Үүссэн мөрийг дуудна түгээлтийн полигон (Зураг 1).

Органик хими" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">органик хими тус тус 0.7 ба 0.8 байна. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн - оюутны тэнцэх шалгалтын тоог хуваарилах хуулийг гарга.

Шийдэл. Шалгалтын үр дүнд тооцсон санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь дараах утгуудын аль нэгийг авч болно: x1=0, x2=1, x3=2.

Эдгээр утгуудын магадлалыг олъё.Үйл явдлыг тэмдэглэе:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" өргөн "259" өндөр "66 src=">

Тиймээс X санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг хүснэгтээр өгөв.

Хяналт: 0.6+0.38+0.56=1.

§ 2. Түгээлтийн функц

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүрэн тодорхойлолтыг мөн тархалтын функцээр өгдөг.

Тодорхойлолт: Х дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц X санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь x-ээс бага утгыг авах магадлалыг x утга тус бүрээр тодорхойлдог F(x) функц гэж нэрлэдэг.

F(x)=P(X<х)

Геометрийн хувьд тархалтын функцийг санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь х цэгийн зүүн талд байрлах цэгээр тоон шулуун дээр дүрслэгдсэн утгыг авах магадлал гэж тайлбарладаг.

1)0≤ F(x) ≤1;

2) F(x) нь (-∞;+∞) дээр буурахгүй функц;

3) F(x) - x= xi (i=1,2,...n) цэгүүдэд зүүн талдаа үргэлжилсэн, бусад бүх цэгүүдэд тасралтгүй;

4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн тархалтын хуулийг хүснэгт хэлбэрээр өгвөл:

Дараа нь F(x) тархалтын функцийг дараах томъёогоор тодорхойлно.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">

x≤ x1-ийн хувьд 0,

x1 дээр р1< х≤ x2,

F(x)= x2 дээр р1 + р2< х≤ х3

x> xn-ийн хувьд 1.

Түүний графикийг 2-р зурагт үзүүлэв.

§ 3. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанар.

Тоон шинж чанаруудын нэг нь математикийн хүлээлт юм.

Тодорхойлолт: Математикийн хүлээлт M(X) Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь түүний бүх утгуудын үржвэр ба тэдгээрийн харгалзах магадлалын нийлбэр юм.

М(X) = ∑ xiри= x1р1 + x2р2+…+ xnрn

Математикийн хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утгын шинж чанар болдог.

Математикийн хүлээлтийн шинж чанарууд:

1)M(C)=C, энд C нь тогтмол утга;

2)M(C X)=C M(X),

3)M(X±Y)=M(X) ±M(Y);

4)M(X Y)=M(X) M(Y), энд X,Y нь бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн;

5)M(X±C)=M(X)±C, энд C нь тогтмол утга;

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын дундаж утгын ойролцоо тархалтын түвшинг тодорхойлохын тулд дисперсийг ашигладаг.

Тодорхойлолт: Зөрчил Д ( X ) санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтээс квадрат хазайлтын математик хүлээлт юм.

Тархалтын шинж чанарууд:

1)D(C)=0, энд C нь тогтмол утга;

2)D(X)>0, энд X нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн;

3)D(C X)=C2 D(X), энд C нь тогтмол утга;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), энд X,Y нь бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн;

Зөрчлийг тооцоолохын тулд дараах томъёог ашиглах нь ихэвчлэн тохиромжтой байдаг.

D(X)=M(X2)-(M(X))2,

Энд M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn

D(X) дисперс нь квадрат санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэмжээстэй бөгөөд энэ нь үргэлж тохиромжтой байдаггүй. Тиймээс √D(X) утгыг мөн санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын тархалтын үзүүлэлт болгон ашигладаг.

Тодорхойлолт: Стандарт хэлбэлзэл σ(X) Х санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дисперсийн квадрат язгуур гэнэ.

Даалгавар №2.Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь тархалтын хуулиар тодорхойлогддог.

P2, тархалтын функц F(x)-ийг олоод түүний графикийг мөн M(X), D(X), σ(X)-ийг зур.

Шийдэл: Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын магадлалын нийлбэр 1-тэй тэнцүү тул

Р2=1- (0.1+0.3+0.2+0.3)=0.1

F(x)=P(X) тархалтын функцийг олъё

Геометрийн хувьд энэ тэгш байдлыг дараах байдлаар тайлбарлаж болно: F(x) нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь х цэгийн зүүн талд байрлах цэгээр тооны тэнхлэгт дүрслэгдсэн утгыг авах магадлал юм.

Хэрэв x≤-1 бол (-∞;x) дээр энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний ганц утга байхгүй тул F(x)=0;

Хэрэв -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;

Хэрэв 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток

(-∞;x) x1=-1 ба x2=0 гэсэн хоёр утга байна;

Хэрэв 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

Хэрэв 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

Хэрэв x>3 бол F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0.1 +0.1 +0.3+0.2+0.3=1, учир нь x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 гэсэн дөрвөн утга (-∞;x) ба x5=3 интервалд ордог.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> x≤-1 дээр 0,

-1 үед 0.1<х≤0,

0-д 0.2<х≤1,

F(x)= 1-д 0.5<х≤2,

2 цагт 0.7<х≤3,

x>3 үед 1

F(x) функцийг графикаар илэрхийлье (Зураг 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" өргөн "158 өндөр = 29" өндөр "29">≈1.2845.

§ 4. Хоёр гишүүнт тархалтын хууль

дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн, Пуассоны хууль.

Тодорхойлолт: бином салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль гэж нэрлэдэг X - n бие даасан давтан туршилтын үед А үйл явдал тохиолдох тоо, тус бүрт А үйл явдал p магадлалтай эсвэл q = 1-p магадлалаар тохиолдохгүй. Дараа нь P(X=m) - n туршилтаар А үйл явдлын яг m удаа тохиолдох магадлалыг Бернулли томъёогоор тооцоолно.

Р(Х=m)=Сmnpmqn-m

Хоёртын хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн математикийн хүлээлт, тархалт ба стандарт хазайлтыг дараах томъёогоор олно.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Туршилт бүрт "тав гаргах" А үйл явдлын магадлал ижил бөгөөд 1/6-тай тэнцүү байна. , өөрөөр хэлбэл P(A)=p=1/6, дараа нь P(A)=1-p=q=5/6, энд

- "А" оноо авч чадаагүй.

Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь дараах утгыг авч болно: 0;1;2;3.

Бид Бернуллигийн томъёог ашиглан X-ийн боломжит утгуудын магадлалыг олно.

Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216;

Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216;

Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216;

Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216.

Тэр. X санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль дараах хэлбэртэй байна.

Хяналт: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.

Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанарыг олцгооё.

M(X)=np=3 (1/6)=1/2,

D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12,

Даалгавар No4.Автомат машин эд ангиудыг тамгалдаг. Үйлдвэрлэсэн эд анги нь гэмтэлтэй байх магадлал 0.002 байна. Сонгогдсон 1000 хэсгээс дараах магадлалыг ол.

a) 5 гэмтэлтэй;

б) дор хаяж нэг нь гэмтэлтэй.

Шийдэл: n=1000 тоо нь их, гэмтэлтэй хэсэг үүсэх магадлал p=0.002 бага, авч үзэж буй үйл явдлууд (хэсэг нь гэмтэлтэй болсон) бие даасан байдаг тул Пуассоны томъёо дараах байдалтай байна.

Рn(m)= д- λ λм

λ=np=1000 0.002=2-ийг олъё.

a) 5 гэмтэлтэй хэсэг байх магадлалыг ол (m=5):

Р1000(5)= д-2 25 = 32 0,13534 = 0,0361

б) Дор хаяж нэг гэмтэлтэй хэсэг байх магадлалыг ол.

А үйл явдал - "сонгосон хэсгүүдийн дор хаяж нэг нь гэмтэлтэй" нь үйл явдлын эсрэг юм - "сонгосон бүх хэсгүүд нь гэмтэлтэй биш." Тиймээс P(A) = 1-P(). Тиймээс хүссэн магадлал нь тэнцүү байна: P(A)=1-P1000(0)=1- д-2 20 = 1- e-2=1-0.13534≈0.865.

Бие даасан ажилд зориулсан даалгавар.

1.1

1.2. Тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь тархалтын хуулиар тодорхойлогддог.

p4, тархалтын функц F(X)-ийг олоод түүний графикийг, мөн M(X), D(X), σ(X)-ийг зур.

1.3. Хайрцагт 9 тэмдэглэгээ байгаа бөгөөд 2 нь бичихээ больсон. Санамсаргүй байдлаар 3 тэмдэглэгээ аваарай. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь авсан тэмдэглэгээнүүдийн дунд бичих тэмдэглэгээний тоо юм. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг зур.

1.4. Номын сангийн тавиур дээр санамсаргүй байдлаар байрлуулсан 6 сурах бичиг байдгаас 4 нь хавтастай. Номын санч санамсаргүй байдлаар 4 сурах бичгийг авдаг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь авсан сурах бичгүүдийн дунд хавтасласан сурах бичгийн тоо юм. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг зур.

1.5. Тасалбар дээр хоёр даалгавар байна. Магадлал зөв шийдвэрэхний асуудал 0.9, хоёр дахь нь 0.7 байна. Санамсаргүй хувьсагч X нь тасалбар дахь зөв шийдэгдсэн асуудлын тоо юм. Тархалтын хуулийг гаргаж, энэ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба дисперсийг тооцож, мөн F(x) тархалтын функцийг олоод графикийг байгуул.

1.6. Гурван буудагч бай руу буудаж байна. Нэг удаагийн сумаар бай онох магадлал нь эхний харваач 0.5, хоёр дахь нь 0.8, гурав дахь нь 0.7 байна. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь хэрэв буудагчид нэг удаад нэг удаа буудсан тохиолдолд бай онох тоо юм. M(X),D(X) тархалтын хуулийг ол.

1.7. Сагсан бөмбөгийн тоглогч бөмбөгийг сагсанд шидэхэд шидэлт болгонд онох магадлал 0.8 байна. Оносон болгондоо 10 оноо авдаг бөгөөд алдсан тохиолдолд түүнд оноо өгөхгүй. Сагсан бөмбөгчний 3 цохилтоор авсан онооны тоо болох X санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хуваарилах хуулийг гарга. M(X),D(X), түүнчлэн 10-аас дээш оноо авах магадлалыг ол.

1.8. Картууд дээр нийт 5 эгшиг, 3 гийгүүлэгч үсэг бичигдсэн байна. 3 картыг санамсаргүй байдлаар сонгох ба авсан картыг буцааж өгөх болгонд. Санамсаргүй хувьсагч X нь авсан эгшгийн тоо юм. Тархалтын хуулийг гаргаж M(X),D(X),σ(X)-ийг ол.

1.9. Дунджаар гэрээний 60% Даатгалын компанидаатгалын тохиолдол гарсантай холбогдуулан даатгалын дүнг төлдөг. Санамсаргүй байдлаар сонгосон дөрвөн гэрээний дунд даатгалын төлбөрийг төлсөн гэрээний тоо болох X санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хуваарилах хуулийг гарга. Энэ хэмжигдэхүүний тоон шинж чанарыг ол.

1.10. Радио станц нь дуудлагын дохиог (дөрвөөс илүүгүй) тодорхой интервалаар хоёр талын харилцаа холбоо тогтоох хүртэл илгээдэг. Дуудлагын дохионы хариуг хүлээн авах магадлал 0.3 байна. Санамсаргүй хувьсагч X нь илгээсэн дуудлагын тэмдгийн тоо юм. Тархалтын хуулийг гаргаж F(x)-ыг ол.

1.11. 3 түлхүүр байдаг бөгөөд тэдгээрийн зөвхөн нэг нь түгжээнд таардаг. Хэрэв оролдсон түлхүүр нь дараагийн оролдлогуудад оролцохгүй бол түгжээг онгойлгох оролдлогын тоо X санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хуваарилах хуулийг гарга. M(X),D(X)-ийг ол.

1.12. Найдвартай байдлын үүднээс гурван төхөөрөмжийн бие даасан туршилтыг дараалан хийдэг. Бүр дараагийн төхөөрөмжөмнөх нь найдвартай болсон тохиолдолд л шалгана. Төхөөрөмж бүрийн туршилтыг давах магадлал 0.9 байна. Туршсан төхөөрөмжүүдийн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-тоо хуваарилах хуулийг гарга.

1.13 .Х дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь x1=1, x2, x3, and x1 гэсэн гурван боломжит утгатай байна.<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.

1.14. Электрон төхөөрөмжийн блок нь 100 ижил элементийг агуулдаг. Т хугацааны туршид элемент бүрийн эвдрэл гарах магадлал 0.002 байна. Элементүүд нь бие даан ажилладаг. T хугацаанд хоёроос илүүгүй элемент бүтэлгүйтэх магадлалыг ол.

1.15. Сурах бичиг 50 мянган хувь хэвлэгджээ. Сурах бичиг буруу хавсаргасан байх магадлал 0.0002. Цуглуулга нь дараахь зүйлийг агуулсан байх магадлалыг ол.

а) дөрвөн гэмтэлтэй ном,

б) хоёроос бага гэмтэлтэй ном.

1 .16. АТС-д минут тутамд ирж буй дуудлагын тоог Пуассоны хуулийн дагуу λ=1.5 параметртэй хуваарилдаг. Нэг минутын дараа дараахь зүйл ирэх магадлалыг ол.

a) хоёр дуудлага;

б) дор хаяж нэг дуудлага.

1.17.

Z=3X+Y бол M(Z),D(Z)-ийг ол.

1.18. Хоёр бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулиудыг өгөв.

Z=X+2Y бол M(Z),D(Z)-ийг ол.

Хариултууд:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1. p3=0.4; x≤-2 үед 0,

-2 үед 0.3<х≤0,

F(x)= 0-д 0.5<х≤2,

2 цагт 0.9<х≤5,

x>5 үед 1

1.2. p4=0.1; x≤-1 үед 0,

-1 үед 0.3<х≤0,

0-д 0.4<х≤1,

F(x)= 1-д 0.6<х≤2,

2 цагт 0.7<х≤3,

x>3 үед 1

M(X)=1; D(X)=2.6; σ(X) ≈1.612.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0-д x≤0,

0-д 0.03<х≤1,

F(x)= 1-д 0.37<х≤2,

x>2-д 1

M(X)=2; D(X)=0.62

M(X)=2.4; D(X)=0.48, P(X>10)=0.896

1. 8 .

M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(X) ≈

M(X)=2.4; D(X)=0.96

https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.

M(X)=2; D(X)=2/3

1.14. 1.22 e-0.2≈0.999

1.15. a) 0.0189; b) 0.00049

1.16. a) 0.0702; б) 0.77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

2-р бүлэг. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн

Тодорхойлолт: Үргэлжилсэн Тэд бүх боломжит утгууд нь тоон шугамын төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй хүрээг бүрэн дүүргэх хэмжигдэхүүнийг нэрлэдэг.

Мэдээжийн хэрэг, тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын тоо хязгааргүй байдаг.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг түгээлтийн функц ашиглан тодорхойлж болно.

Тодорхойлолт:Ф түгээлтийн функц X тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг F(x) функц гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь утга тус бүрийг xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> тодорхойлдог. Р

Түгээлтийн функцийг заримдаа хуримтлагдсан тархалтын функц гэж нэрлэдэг.

Түгээлтийн функцийн шинж чанарууд:

1)1≤ F(x) ≤1

2) Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд тархалтын функц нь аль ч цэг дээр тасралтгүй бөгөөд тусдаа цэгүүдээс бусад газар бүрт дифференциалагдах боломжтой.

3) Санамсаргүй хэмжигдэхүүн X (a;b), [a;b], [a;b] интервалуудын аль нэгэнд орох магадлал нь F(x) функцийн утгуудын зөрүүтэй тэнцүү байна. a ба b цэгүүдэд, өөрөөр хэлбэл. R(a)<Х

4) Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нэг тусдаа утгыг авах магадлал 0 байна.

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

Түгээлтийн функцийг ашиглан тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тодорхойлох нь цорын ганц арга биш юм. Магадлалын тархалтын нягт (тархалтын нягт) гэсэн ойлголтыг танилцуулъя.

Тодорхойлолт : Магадлалын тархалтын нягт е ( x ) Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь түүний тархалтын функцийн дериватив, өөрөөр хэлбэл:

Магадлалын нягтын функцийг заримдаа дифференциал тархалтын функц эсвэл дифференциал тархалтын хууль гэж нэрлэдэг.

f(x) магадлалын нягтын тархалтын графикийг нэрлэнэ магадлалын тархалтын муруй .

Магадлалын нягтын тархалтын шинж чанарууд:

1) f(x) ≥0, xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" өргөн="14" өндөр ="62 src="> 0 үед x≤2,

f(x)= c(x-2) 2-т<х≤6,

x>6-д 0.

Олно: a) c-ийн утгыг; б) тархалтын функц F(x) ба графикийг зурах; в) P(3≤x<5)

Шийдэл:

+ ∞

a) Нормчиллын нөхцлөөс c-ийн утгыг олно: ∫ f(x)dx=1.

Тиймээс -∞

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 x

хэрэв 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))=

1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2;

Gif" өргөн "14" өндөр "62"> x≤2 үед 0,

F(x)= (x-2)2/16 дээр 2<х≤6,

x>6-д 1.

F(x) функцийн графикийг 3-р зурагт үзүүлэв

https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> x≤0 үед 0,

0-д F(x)= (3 арктан х)/π<х≤√3,

x>√3-ийн хувьд 1.

f(x) дифференциал тархалтын функцийг ол.

Шийдэл: f(x)= F’(x) тул

https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" өргөн "118" өндөр "24">

Тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд өмнө нь авч үзсэн математикийн хүлээлт ба дисперсийн бүх шинж чанарууд нь тасралтгүй хэмжигдэхүүнүүдэд мөн хүчинтэй байна.

Даалгавар №3.Санамсаргүй хувьсагч X өгөгдсөн дифференциал функц f(x):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2

X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞

D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 -

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38">

P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

4/6-1/6+1-2/3=5/6.

Бие даасан шийдлийн асуудлууд.

2.1. Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь тархалтын функцээр тодорхойлогддог:

x≤0 үед 0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤ π/6-д 0,

F(x)= - π/6 үед cos 3x<х≤ π/3,

x> π/3 хувьд 1.

f(x) дифференциал тархалтын функцийг ол, мөн түүнчлэн

Р(2π /9<Х< π /2).

2.3.

x≤2 үед 0,

f(x)= c x 2 үед<х≤4,

x>4-д 0.

2.4. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь тархалтын нягтралаар тодорхойлогддог.

x≤0 үед 0,

f(x)= 0-д c √x<х≤1,

x>1-д 0.

Олно: a) c тоо; b) M(X), D(X).

2.5.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> x дээр,

x үед 0.

Олно: a) F(x) ба түүний графикийг байгуул; b) M(X),D(X), σ(X); в) дөрөв дэх магадлал бие даасан туршилтууд X утга нь (1;4) интервалд хамаарах утгыг яг 2 дахин авна.

2.6. Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн магадлалын тархалтын нягтыг дараах байдлаар өгөв.

f(x)= 2(x-2) x үед,

x үед 0.

Олно: a) F(x) ба түүний графикийг байгуул; b) M(X),D(X), σ (X); в) бие даасан гурван туршилтын үед X-ийн утга нь тухайн сегментийн утгаас яг 2 дахин их байх магадлал.

2.7. f(x) функц нь дараах байдлаар өгөгдсөн.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" өргөн="43" өндөр="38 src=">.jpg" өргөн="16" өндөр="15">[-√ 3/2; √3/2].

2.8. f(x) функц нь дараах байдлаар өгөгдсөн.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" өргөн="45" өндөр="36 src="> .jpg" өргөн="16" өндөр="15">[- π /4 ; π /4].

Олно: a) ямар нэг санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн магадлалын нягтрал байх функц байх c тогтмолын утгыг; б) тархалтын функц F(x).

2.9. (3;7) интервал дээр төвлөрсөн Х санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг F(x)= тархалтын функцээр тодорхойлно. Ийм магадлалыг ол

санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь дараах утгыг авна: a) 5-аас бага, б) 7-оос багагүй.

2.10. Санамсаргүй хувьсагч X, интервал дээр төвлөрч (-1;4),

F(x)= тархалтын функцээр өгөгдөнө. Ийм магадлалыг ол

санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь дараах утгыг авна: a) 2-оос бага, б) 4-өөс багагүй.

2.11.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">.

Олно: a) c тоо; b) M(X); в) магадлал P(X> M(X)).

2.12. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дифференциал тархалтын функцээр тодорхойлно.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" өргөн="60" өндөр="38 src=">.jpg" өргөн="16 өндөр=15" өндөр="15"> .

Олно: a) M(X); б) магадлал P(X≤M(X))

2.13. Rem тархалтыг магадлалын нягтар тодорхойлно.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> x ≥0.

f(x) нь үнэхээр магадлалын нягтын функц гэдгийг батал.

2.14. Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн магадлалын тархалтын нягтыг дараах байдлаар өгөв.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src=">(Зураг 4) (Зураг 5)

2.16. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хуулийн дагуу хуваарилдаг. зөв гурвалжин"(0;4) интервалд (Зураг 5). Бүх тооны шулуун дээрх f(x) магадлалын нягтын аналитик илэрхийллийг ол.

Хариултууд

x≤0 үед 0,

f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤ π/6-д 0,

π/6 үед F(x)= 3sin 3x<х≤ π/3,

x> π/3-ийн хувьд 0. Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X байна нэгдсэн хуульХэрэв магадлалын тархалтын нягт нь f(x) энэ интервал дээр тогтмол бөгөөд түүний гадна талд 0-тэй тэнцүү байвал X-ийн бүх боломжит утгыг агуулсан тодорхой интервал (a;b) дээрх тархалт.

x≤a-ийн хувьд 0,

a-ийн хувьд f(x)=<х

x≥b-ийн хувьд 0.

f(x) функцийн графикийг Зураг дээр үзүүлэв. 1

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤a-д 0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=.

Даалгавар №1.Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн сегмент дээр жигд тархсан байна. Олно:

a) магадлалын тархалтын нягт f(x) ба графикийг зурах;

б) тархалтын функц F(x) ба графикийг зурах;

c) M(X),D(X), σ(X).

Шийдэл: Дээр авч үзсэн томьёог ашиглан a=3, b=7 гэсэн томъёогоор бид дараахь зүйлийг олно.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> 3≤х≤7,

x>7-д 0

Түүний графикийг байгуулъя (Зураг 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> x≤3 үед 0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">Зураг 4

D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> x үед 0<0,

x≥0-ийн хувьд f(x)= λе-λх.

Экспоненциал хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн тархалтын функцийг дараах томъёогоор тодорхойлно.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">fig..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ (Х)=

Тиймээс математикийн хүлээлт ба экспоненциал тархалтын стандарт хазайлт нь хоорондоо тэнцүү байна.

X-ийн (a;b) интервалд орох магадлалыг дараах томъёогоор тооцоолно.

П(а<Х

Даалгавар №2.Төхөөрөмжийн эвдрэлгүй ажиллах дундаж хугацаа 100 цаг байна.Төхөөрөмжийн гэмтэлгүй ажиллах хугацаа нь экспоненциал тархалтын хуультай гэж үзвэл дараахь зүйлийг ол.

a) магадлалын тархалтын нягт;

б) түгээлтийн функц;

в) төхөөрөмжийн гэмтэлгүй ажиллах хугацаа 120 цагаас хэтрэх магадлал.

Шийдэл: Нөхцөлийн дагуу математикийн тархалт M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 at x байна.<0,

a) x≥0-ийн хувьд f(x)= 0.01e -0.01x.

b) x үед F(x)= 0<0,

x≥0 үед 1-e -0.01x.

в) Хүссэн магадлалыг түгээлтийн функцээр олно.

P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1.2)= e -1.2≈0.3.

§ 3.Хэвийн хуваарилалтын хууль

Тодорхойлолт: Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X байна хэвийн тархалтын хууль (Гауссын хууль), Хэрэв түүний тархалтын нягт нь дараах хэлбэртэй байвал:

,

Энд m=M(X), σ2=D(X), σ>0.

Хэвийн тархалтын муруйг нэрлэнэ хэвийн буюу Гауссын муруй (Зураг 7)

Ердийн муруй нь x=m шулуунтай харьцуулахад тэгш хэмтэй, x=a үед хамгийн их утгатай, тэнцүү байна.

Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэвийн хуулийн дагуу тархсан тархалтын функцийг Лаплас функцээр Ф (х) томъёогоор илэрхийлнэ.

,

Лаплас функц хаана байна.

Сэтгэгдэл: Ф(х) функц нь сондгой (Ф(-х)=-Ф(х)) бөгөөд үүнээс гадна x>5 хувьд Ф(х) ≈1/2 гэж үзэж болно.

F(x) тархалтын функцийн графикийг Зураг дээр үзүүлэв. 8

https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" өргөн "218" өндөр "33">

Тийм магадлал үнэмлэхүй үнэ цэнэхазайлт бага байна эерэг тооδ-ийг дараах томъёогоор тооцоолно.

Ялангуяа m=0-ийн хувьд дараахь тэгшитгэлийг хангана.

"Гурван сигма дүрэм"

Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь m ба σ параметртэй хэвийн тархалтын хуультай бол түүний утга (a-3σ; a+3σ) интервалд байх нь бараг тодорхой болно, учир нь

https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" өргөн "157" өндөр "57 src=">a)

б) томъёог ашиглая:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" өргөн "369" өндөр "38 src=">

Ф(х) функцийн утгуудын хүснэгтээс Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413-ыг олно.

Тэгэхээр, хүссэн магадлал:

P(28

Бие даасан ажилд зориулсан даалгавар

3.1. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн (-3;5) интервалд жигд тархсан байна. Олно:

б) тархалтын функц F(x);

в) тоон үзүүлэлтүүд;

d) магадлал P(4<х<6).

3.2. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн сегмент дээр жигд тархсан байна. Олно:

a) тархалтын нягт f(x);

б) тархалтын функц F(x);

в) тоон үзүүлэлтүүд;

г) магадлал P(3≤х≤6).

3.3. Хурдны зам дээр автомат гэрлэн дохио байдаг бөгөөд ногоон гэрэл 2 минут, шар 3 секунд, улаан 30 секунд асдаг. Машин хурдны замаар санамсаргүй байдлаар явдаг. Машин гэрлэн дохионы хажуугаар зогсолтгүй өнгөрөх магадлалыг ол.

3.4. Метроны галт тэрэг 2 минутын зайтай тогтмол явдаг. Зорчигч санамсаргүй цагт тавцан руу ордог. Зорчигч галт тэргийг 50 секундээс илүү хүлээх магадлал хэд вэ? Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг олоорой - галт тэрэг хүлээх хугацаа.

3.5. Түгээлтийн функцээр өгөгдсөн экспоненциал тархалтын дисперс ба стандарт хазайлтыг ол.

X үед F(x)= 0<0,

x≥0-ийн хувьд 1-8х.

3.6. Үргэлжилсэн санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь магадлалын тархалтын нягтаар тодорхойлогддог.

x үед f(x)= 0<0,

x≥0 үед 0.7 e-0.7x.

a) Харгалзан авч буй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг нэрлэнэ үү.

б) Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний F(X) тархалтын функц болон тоон шинж чанарыг ол.

3.7. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг магадлалын тархалтын нягтаар тодорхойлсон экспоненциал хуулийн дагуу хуваарилна.

x үед f(x)= 0<0,

x≥0 үед 0.4 e-0.4 x.

Туршилтын үр дүнд X (2.5;5) интервалаас утгыг авах магадлалыг ол.

3.8. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь тархалтын функцээр тодорхойлсон экспоненциал хуулийн дагуу тархдаг.

X үед F(x)= 0<0,

x≥0 үед 1-0.6x

Туршилтын үр дүнд X сегментээс утгыг авах магадлалыг ол.

3.9. Хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээгдэж буй утга ба стандарт хазайлт нь 8 ба 2 байна.Ол:

a) тархалтын нягт f(x);

b) туршилтын үр дүнд X (10;14) интервалаас утгыг авах магадлал.

3.10. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь математикийн хүлээлт 3.5, дисперс нь 0.04 байхаар хэвийн тархсан байна. Олно:

a) тархалтын нягт f(x);

б) туршилтын үр дүнд X сегментээс утгыг авах магадлал.

3.11. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь M(X)=0, D(X)=1 гэсэн хэвийн тархалттай байна. |X|≤0.6 эсвэл |X|≥0.6 үйл явдлын аль нь илүү магадлалтай вэ?

3.12. X санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь M(X)=0 ба D(X)=1-ээр хэвийн тархсан байна.Нэг тестийн явцад аль интервалаас (-0.5;-0.1) эсвэл (1;2) утгыг авах магадлал өндөр вэ?

3.13. Хувьцааны одоогийн үнийг M(X)=10 дентэй хэвийн тархалтын хуулийг ашиглан загварчилж болно. нэгж ба σ (X)=0.3 ден. нэгж Олно:

a) одоогийн хувьцааны үнэ 9.8 денээс байх магадлал. нэгж 10.4 хоног хүртэл нэгж;

б) "гурван сигма дүрэм" -ийг ашиглан одоогийн хувьцааны үнэ байрлах хил хязгаарыг ол.

3.14. Бодисыг системчилсэн алдаагүйгээр жинлэнэ. Санамсаргүй жинлэлтийн алдаа нь σ=5g дундаж квадрат харьцаатай хэвийн хуульд хамаарна. Дөрвөн бие даасан туршилтанд гурван жинлэлтийн алдаа 3r үнэмлэхүй утгад гарахгүй байх магадлалыг ол.

3.15. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь M(X)=12.6-тай хэвийн тархалттай байна. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн (11.4;13.8) интервалд орох магадлал 0.6826 байна. σ стандарт хазайлтыг ол.

3.16. Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь M(X)=12 ба D(X)=36-тай хэвийн тархсан. Туршилтын үр дүнд X санамсаргүй хэмжигдэхүүн орох интервалыг 0.9973 магадлалаар ол.

3.17. Автомат машинаар үйлдвэрлэсэн эд анги нь түүний хяналттай параметрийн X хазайлт нь нэрлэсэн утгаас 2 хэмжилтийн модулиас хэтэрсэн тохиолдолд гэмтэлтэй гэж тооцогддог. X санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь M(X)=0, σ(X)=0.7 байхаар хэвийн тархсан гэж үздэг. Машин нь гэмтэлтэй эд ангиудын хэдэн хувийг үйлдвэрлэдэг вэ?

3.18. Хэсгийн X параметр нь нэрлэсэн утгатай тэнцүү 2 математик хүлээлт, 0.014 стандарт хазайлтаар хэвийн тархсан байна. Х-ийн нэрлэсэн утгаас хазайх нь нэрлэсэн үнийн дүнгийн 1%-иас хэтрэхгүй байх магадлалыг ол.

Хариултууд

https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" өргөн "14" өндөр "110 src=">

b) x≤-3-ийн хувьд 0,

F(x)= зүүн">

3.10. a)f(x)=,

b) Р(3.1≤Х≤3.7) ≈0.8185.

3.11. |x|≥0.6.

3.12. (-0,5;-0,1).

3.13. a) P(9.8≤Х≤10.4) ≈0.6562.

3.14. 0,111.

3.15. σ=1.2.

3.16. (-6;30).

3.17. 0,4%.

Магадлалын онолын хамгийн чухал ойлголтуудын нэг бол үзэл баримтлал юм санамсаргүй хувьсагч.

Санамсаргүйдуудсан хэмжээТуршилтын үр дүнд урьдчилан мэдэгдээгүй, санамсаргүй шалтгаанаас хамаардаг тодорхой утгыг авдаг бөгөөд үүнийг урьдчилан тооцох боломжгүй юм.

Санамсаргүй хувьсагчдыг латин цагаан толгойн том үсгээр тэмдэглэнэ X, Ю, Згэх мэт эсвэл баруун доод индекс бүхий латин цагаан толгойн том үсгээр, санамсаргүй хэмжигдэхүүний авч болох утгуудыг - Латин цагаан толгойн харгалзах жижиг үсгээр бичнэ. x, y, zгэх мэт.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай ойлголт нь санамсаргүй үйл явдлын тухай ойлголттой нягт холбоотой. Санамсаргүй үйл явдалтай холбогдохСанамсаргүй хэмжигдэхүүнээр тодорхой тоон утгыг авах нь магадлалаар тодорхойлогддог санамсаргүй үйл явдалд оршдог. .

Практикт санамсаргүй хэмжигдэхүүний хоёр үндсэн төрөл байдаг:

1. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн;

2. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь санамсаргүй үйл явдлын тоон функц юм.

Жишээлбэл, санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь үхэл шидэх үед авсан онооны тоо эсвэл судалгааны бүлгээс санамсаргүй байдлаар сонгосон оюутны өндөр юм.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнУрьдчилан жагсааж болох бие биенээсээ алслагдсан утгуудыг л авдаг санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг.

Хуваарилалтын хууль(тархалтын функц ба тархалтын цуваа эсвэл магадлалын нягтрал) нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний зан төлөвийг бүрэн дүрсэлдэг. Гэхдээ хэд хэдэн асуудлын хувьд асуусан асуултанд хариулахын тулд судалж буй хэмжигдэхүүний зарим тоон шинж чанарыг (жишээлбэл, түүний дундаж утга ба түүнээс хазайх боломжтой) мэдэхэд хангалттай. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний үндсэн тоон шинж чанарыг авч үзье.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуульхарилцаа бүрийг нэрлэдэг , санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд ба тэдгээрийн харгалзах магадлалын хоорондын холбоог тогтоох .

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг дараах байдлаар илэрхийлж болно хүснэгтүүд:

			…	…
			…	…

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгуудын магадлалын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл.

Хуваарилалтын хуулийг дүрсэлж болно графикаар: санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудыг абсцисса тэнхлэгийн дагуу, эдгээр утгын магадлалыг ордны тэнхлэгийн дагуу зурсан; үүссэн цэгүүд нь сегментүүдээр холбогддог. Баригдсан polyline гэж нэрлэдэг түгээлтийн полигон.

Жишээ. 4 сумтай анчин эхний цохилтоо хийх эсвэл бүх сумаа дуусгах хүртэл тоглоом руу бууддаг. Эхний цохилтонд онох магадлал 0.7, дараагийн цохилт бүрт 0.1-ээр буурдаг. Анчны зарцуулсан сумны тоог хуваарилах хууль гарга.

Шийдэл. 4 сумтай анчин дөрвөн сум, дараа нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг буудаж чаддаг тул X- анчны зарцуулсан сумны тоо нь 1, 2, 3, 4 гэсэн утгыг авч болно. Харгалзах магадлалыг олохын тулд бид үйл явдлуудыг танилцуулж байна.

-"-тэй цохих би-өө буудсан”, ;

- "хэзээ санаж байна би- om shot”, болон үйл явдлууд болон хосоороо бие даасан байдаг.

Асуудлын нөхцлөөс хамааран бидэнд дараахь зүйлс байна.

,

Бие даасан үйл явдлуудын үржүүлэх теорем, үл нийцэх үйл явдлуудын хувьд нэмэх теоремыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олно.

(анчин эхний сумаар бай оносон);

(анчин хоёр дахь сумаар бай оносон);

(анчин гурав дахь сумаар бай оносон);

(анчин дөрөв дэх сумаар бай оносон эсвэл дөрвөн удаа бүгдийг алдсан).

Шалгах: - үнэн.

Ийнхүү санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль Xхэлбэртэй байна:

	0,7	0,18	0,06	0,06

Жишээ.Нэг ажилчин гурван машин ажиллуулдаг. Нэг цагийн дотор эхний машинд тохируулга хийх шаардлагагүй байх магадлал 0.9, хоёр дахь нь 0.8, гурав дахь нь 0.7 байна. Нэг цагийн дотор тохируулах шаардлагатай машинуудын тоог хуваарилах хуулийг гарга.

Шийдэл.Санамсаргүй утга X- Нэг цагийн дотор тохируулах шаардлагатай машинуудын тоо нь 0.1, 2, 3 утгыг авч болно. Харгалзах магадлалыг олохын тулд бид дараах үйл явдлуудыг танилцуулж байна.

- “би- машин нэг цагийн дотор тохируулга хийх шаардлагатай болно," ;

- “би- машин нэг цагийн дотор тохируулга хийх шаардлагагүй болно," .

Асуудлын нөхцлийн дагуу бид дараах байдалтай байна.

, .

Дискрет санамсаргүйХувьсагч нь зөвхөн бие биенээсээ алслагдсан утгуудыг авдаг, урьдчилан жагсааж болох санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд юм.
Хуваарилалтын хууль
Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд ба тэдгээрийн харгалзах магадлалын хоорондын холбоог тогтоодог харилцаа юм.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын цуваа нь түүний боломжит утгууд ба харгалзах магадлалын жагсаалт юм.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц нь дараах функц юм.
,
X аргументын утга тус бүрийн хувьд X санамсаргүй хэмжигдэхүүн энэ x-ээс бага утгыг авах магадлалыг тодорхойлох.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлт
,
дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга хаана байна; - санамсаргүй хэмжигдэхүүн X утгыг хүлээн авах магадлал.
Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь боломжит утгуудын тоолж болох багцыг авдаг бол:
.
Бие даасан n туршилтаар үйл явдлын тохиолдлын тоог тооцоолох математикийн хүлээлт:
,

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт ба стандарт хазайлт
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт:
эсвэл .
n бие даасан туршилтын явцад тохиолдсон үйл явдлын тооны хэлбэлзэл
,
Энд p нь үйл явдал болох магадлал.
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний стандарт хазайлт:
.

Жишээ 1
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн (DRV) X-ийн магадлалын тархалтын хуулийг зур - n = 8 хос шоо шидэхэд хамгийн багадаа нэг “зургаан”-ын k тохиолдлын тоо. Түгээлтийн олон өнцөгтийг байгуул. Тархалтын тоон шинж чанарыг ол (тархалтын горим, математикийн хүлээлт M(X), дисперс D(X), стандарт хазайлт s(X)). Шийдэл:Тэмдэглэгээг танилцуулъя: А үйл явдал - "хос шоо шидэх үед дор хаяж нэг удаа зургаа гарч ирнэ." А үйл явдлын P(A) = p магадлалыг олохын тулд эхлээд эсрэг үйл явдлын Ā - “хос шоо шидэх үед зургаа хэзээ ч гарч байгаагүй” үйл явдлын P(Ā) = q магадлалыг олох нь илүү тохиромжтой.
Нэг үхлийг шидэх үед "зургаа" гарч ирэхгүй байх магадлал 5/6 тул магадлалын үржүүлэх теоремын дагуу
P(Ā) = q = =.
тус тус,
P(A) = p = 1 – P(Ā) =.
Асуудлын тестүүд нь Бернулли схемийн дагуу явагддаг тул d.s.v. хэмжээ X- тоо кХоёр шоо шидэх үед дор хаяж нэг зургаа гарах нь магадлалын тархалтын хоёртын хуульд захирагдана.

Энд = -ийн хослолын тоо n By к.

Энэ асуудалд хийсэн тооцооллыг хүснэгт хэлбэрээр хялбархан танилцуулж болно.
Магадлалын тархалт d.s.v. X º к (n = 8; х = ; q = )

к
Pn(к)

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын олон өнцөгт (полигон). Xзурагт үзүүлэв:

Цагаан будаа. Магадлалын тархалтын олон өнцөгт d.s.v. X=к.
Босоо шугам нь тархалтын математикийн хүлээлтийг харуулж байна М(X).

d.s.v-ийн магадлалын тархалтын тоон шинж чанарыг олъё. X. Түгээлтийн горим нь 2 (энд П 8(2) = 0.2932 дээд тал нь). Тодорхойлолтоор математикийн хүлээлт нь дараахтай тэнцүү байна.
М(X) = = 2,4444,
Хаана xk = к– d.s.v-ийн авсан үнэ цэнэ. X. Зөрчил Д(X) бид дараах томъёог ашиглан тархалтыг олно.
Д(X) = = 4,8097.
Стандарт хазайлт (RMS):
с( X) = = 2,1931.

Жишээ 2
Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xхуваарилалтын хуулиар өгөгдсөн

F(x) тархалтын функцийг олоод график зур.

Шийдэл.Хэрэв , дараа нь (гурав дахь шинж чанар).
Хэрэв тийм бол. Үнэхээр, X 0.3 магадлалтайгаар 1 утгыг авч болно.
Хэрэв тийм бол. Үнэхээр, хэрэв энэ нь тэгш бус байдлыг хангаж байвал
, дараа нь хэзээ тохиолдож болох үйл явдлын магадлалтай тэнцүү байна X 1 (энэ үйл явдлын магадлал 0,3) эсвэл 4 (энэ үйл явдлын магадлал 0,1) утгыг авна. Энэ хоёр үйл явдал үл нийцэх тул нэмэх теоремын дагуу үйл явдлын магадлал нь 0.3+0.1=0.4 магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна. Хэрэв тийм бол. Үнэн хэрэгтээ үйл явдал тодорхой учраас түүний магадлал нэгтэй тэнцүү байна. Тиймээс түгээлтийн функцийг аналитик байдлаар дараах байдлаар бичиж болно.

Энэ функцийн график:
Эдгээр утгуудад тохирох магадлалыг олцгооё. Нөхцөлөөр төхөөрөмжүүдийн эвдрэлийн магадлал тэнцүү байна: баталгаат хугацааны туршид төхөөрөмжүүд ажиллах магадлал тэнцүү байна.




Хуваарилалтын хууль нь дараахь хэлбэртэй байна.