Гурван өнцөгт гурвалжны талбай. Гурвалжны талбайг яаж олох вэ

Геометрийн зарим даалгаврууд, эсвэл илүү нарийвчлалтай, планиметрийн хувьд өгөгдсөн дүрсийн талбайг олохыг шаарддаг. Ямар ч дүрсийн талбай байж болно эцсийн зорилгоасуудал, түүнчлэн илүү ихийг орлуулахад шаардлагатай завсрын тооцоолол нарийн төвөгтэй томъёо. Ихэнхдээ ийм асуудалд гурвалжны талбайг олохыг хүсдэг. Анхны өгөгдөл өөр байж болно. Зарим тохиолдолд гурвалжны зарим тал ба түүнд татсан өндрийн утгыг мэддэг, бусад тохиолдолд гурвалжны периметр гэх мэт.

Гурван тал нь мэдэгдэж байгаа бол гурвалжны талбайг олохыг танаас хүссэн гэж бодъё. Ийм гурвалжны талбайг олохын тулд Хероны томъёог ашигладаг. Энэ томьёог ашиглан талбайг тодорхойлохын тулд эхлээд гурвалжны хагас периметрийг (n) тооцоолох хэрэгтэй. Гурван талын утгыг мэдэж байгаа тул үүнийг хийх нь энгийн зүйл юм. Та гурвалжны бүх талыг нэгтгэх хэрэгтэй - энэ нь түүний периметр байх болно, дараа нь үүссэн утгыг хоёр хуваана. Үүний дараа хагас периметрийн утгаас гурвалжны өгөгдсөн гурван тал бүрийн уртын утгыг ээлжлэн хасах шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл n-ээс a-г хасах, дараа нь n-ээс b-ийг хасах, мөн, эцэст нь n-ээс c-г хасна.

Олж авсан гурван ялгааг хооронд нь үржүүлж, энэ бүтээгдэхүүнийг хагас периметрийн утгаараа дахин үржүүлнэ. Дээрх бүх үйлдлийг хийж, үржүүлгийн үр дүнг хүлээн авсны дараа энэ үр дүнгээс гаргаж авах шаардлагатай Квадрат язгуур. Квадрат язгуурыг гаргасны дараа олж авах тоо нь талбай болно өгөгдсөн гурвалжин. Товчоор хэлбэл, гурвалжны талбайн томъёо нь: талбай (S) \u003d квадрат язгуур (n * (n-a) * (n-b) * (n-s)) байх болно. Томьёогоос ойлгосноор гурвалжинг олох асуулт мэдэгдэж байгаа үнэ цэнэталууд маш амархан.

Жишээлбэл, гурвалжны талбайг 3 тал нь мэддэг бол яаж олох вэ: a тал нь 3 сантиметр, b тал нь 4 сантиметр, в тал нь 2 сантиметр. Энэ гурвалжны периметр нь a + b + c \u003d 3 сантиметр + 4 сантиметр + 2 сантиметр \u003d 9 см-тэй тэнцүү байх болно. Тэгэхээр хагас периметр нь 9: 2 \u003d 4.5 сантиметр байна. Бид: S \u003d квадрат үндэсийг авна. (4.5 сантиметр * (4.5 сантиметр - 3 сантиметр) * (4.5 сантиметр - 4 сантиметр) * (4.5 сантиметр - 2 сантиметр)) \u003d 2.9 квадрат сантиметр

Гэхдээ талуудын утгууд нь мэдэгдээд зогсохгүй асуудлын нөхцлөөс хамааран тэд тэнцүү байна гэж заасан бол яах вэ? Энэ тохиолдолд гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ, хэрэв бүх талууд нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд тэдгээр нь тэнцүү бол? Мэдээжийн хэрэг та үүнийг дээр дурдсан Хэроны томьёог ашиглан тооцоолж болно, гэхдээ ийм гурвалжинд өөр томьёо гаргавал яагаад нэмэлт тооцоо хийх хэрэгтэй вэ, энэ нь Хэроны томъёоноос хамаагүй хялбар юм. Энэ томьёоны дагуу та эхлээд 3-ын тооны язгуурыг тооцоолж, дараа нь гурвалжны хажуугийн уртын утгыг 2-р зэрэглэл болгон өсгөж, энэ утгыг 3-ын язгуураар 2-р зэрэгт үржүүлж, Үржүүлгийн үр дүнд олж авсан бүтээгдэхүүнийг 4-т хуваана. Та өгөгдсөн гурвалжны талбайг авна. Энэ томъёог бичихдээ дараах байдлаар харагдана: S=(a^2*root(3)) /4

Хажуугийн урт нь 3 сантиметртэй тэнцүү гурвалжин байг. Энэ томьёог ашиглан та ийм гурвалжны талбайг авах боломжтой: S \u003d (3 ^ 2 * үндэс (3)) / 4 \u003d 3.9 квадрат сантиметр. Тодорхой гурвалжны талбайн утгыг зөв тооцоолсон эсэхийг шалгахын тулд та Хэроны томъёог ашиглан нэмэлт тооцоолол хийж, үр дүнг харьцуулж болно.

Хагас периметр (p) \u003d (3 + 3 + 3) / 2 \u003d 4.5 сантиметр. Хероны томъёоны дагуу: S \u003d квадрат үндэс (4.5 сантиметр * (4.5 сантиметр - 3 сантиметр) * (4.5 сантиметр - 3 сантиметр) * (4.5 сантиметр - 3 сантиметр)) \u003d 3.9 цент квадрат. Өөр өөр томъёогоор олдсон талбайн хоёр утга давхцаж байна. Тиймээс гурвалжны талбай зөв байна. Бусад аливаа асуудлыг шийдэхдээ нөхцөл дэх өгөгдлийг анхаарч үзэх хэрэгтэй бөгөөд эдгээр өгөгдөлд тохирох томъёог ашиглана уу.

Гурвалжин гэдэг нь нэг шулуун дээр оршдоггүй цэгүүдийг холбосон гурван шулуун шугамаас бүрдэх ийм геометрийн дүрс юм. Шугамын холболтын цэгүүд нь латин үсгээр (жишээлбэл, A, B, C) тэмдэглэгдсэн гурвалжны оройнууд юм. Гурвалжны холбосон шулуун шугамуудыг сегмент гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийг ихэвчлэн латин үсгээр тэмдэглэдэг. Гурвалжингийн дараах төрлүүд байдаг.

• Тэгш өнцөгт.
• мохоо.
• Хурц өнцөгт.
• Олон талт.
• Тэгш талт.
• Хоёр талт.

Гурвалжны талбайг тооцоолох ерөнхий томъёо

Урт ба өндрийн гурвалжны талбайн томъёо

S=a*h/2,
Энд a - талбайг олох гурвалжны хажуугийн урт, h - суурь руу татсан өндрийн урт.

Хероны томъёо

S=√p*(p-a)*(p-b)*(p-c),
Энд √ квадрат язгуур, p нь гурвалжны хагас периметр, a,b,c гурвалжны тал бүрийн урт. Гурвалжны хагас периметрийг p=(a+b+c)/2 томъёогоор тооцоолж болно.

Сегментийн өнцөг ба уртын хувьд гурвалжны талбайн томъёо

S = (a*b*sin(α))/2,
хаана b,c байнагурвалжны талуудын урт, sin (α) нь хоёр талын өнцгийн синус юм.

Гурвалжны талбайн томьёог бичээстэй тойрог ба гурван талын радиусаар өгөв

S=p*r,
Энд p нь талбайг олох гурвалжны хагас периметр, r нь энэ гурвалжинд сийлсэн тойргийн радиус юм.

Гурвалжны талбайн томьёо нь гурван тал ба түүнийг тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн радиусыг өгсөн.

S= (a*b*c)/4*R,
a,b,c нь гурвалжны тал бүрийн урт, R нь гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиус юм.

Цэгүүдийн декарт координат дахь гурвалжны талбайн томъёо

Цэгүүдийн декартын координатууд нь xOy систем дэх координатууд бөгөөд энд x нь абсцисса, у нь ординат юм. Хавтгай дээрх xOy декартын координатын системийг О цэг дээр нийтлэг жишиг цэгтэй Ox ба Oy харилцан перпендикуляр тоон тэнхлэгүүд гэж нэрлэдэг. Хэрэв энэ хавтгай дээрх цэгүүдийн координатыг A (x1, y1), B (x2, y2) ба C (x3, y3 ), дараа нь та дараах томъёог ашиглан гурвалжны талбайг тооцоолж болно. вектор бүтээгдэхүүнхоёр вектор.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
хаана || модуль гэсэн үг.

Тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ

Тэгш өнцөгт гурвалжин нь 90 градусын өнцөгтэй гурвалжин юм. Гурвалжин нь зөвхөн нэг ийм өнцөгтэй байж болно.

Хоёр хөл дээрх тэгш өнцөгт гурвалжны талбайн томъёо

S=a*b/2,
Үүнд: a,b нь хөлний урт. Хөл нь зөв өнцгөөр зэргэлдээх талууд гэж нэрлэгддэг.

Гипотенуз ба хурц өнцгийг өгөгдсөн тэгш өнцөгт гурвалжны талбайн томьёо

S = a*b*sin(α)/ 2,
Үүнд: a, b нь гурвалжны хөл, sin(α) нь a, b шулуунуудын огтлолцох өнцгийн синус юм.

Тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг хөл ба эсрэг талын өнцгөөр тодорхойлох томъёо

S = a*b/2*tg(β),
Үүнд: a, b нь гурвалжны хөл, tg(β) нь a, b хөлүүдийн холбогдсон өнцгийн тангенс юм.

Хоёр талт гурвалжны талбайг хэрхэн тооцоолох вэ

Хоёр тал нь ижил тэгш өнцөгт гурвалжин юм. Эдгээр талуудыг талууд гэж нэрлэдэг ба нөгөө тал нь суурь юм. Талбайг тооцоолохын тулд тэгш өнцөгт гурвалжиндараах томъёоны аль нэгийг ашиглаж болно.

Хоёр талт гурвалжны талбайг тооцоолох үндсэн томъёо

S=h*c/2,
Энд c нь гурвалжны суурь, h нь гурвалжны суурь руу буулгасан өндөр.

Хажуу тал ба суурь дээрх ижил өнцөгт гурвалжны томъёо

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
Энд c нь гурвалжны суурь, a нь тэгш өнцөгт гурвалжны аль нэг талын утга юм.

Тэгш талт гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ

Бүх талууд нь тэнцүү гурвалжинг тэгш талт гурвалжин гэнэ. Тэгш талт гурвалжны талбайг тооцоолохын тулд та дараах томъёог ашиглаж болно.
S = (√3*a*a)/4,
Үүнд: a нь тэгш талт гурвалжны хажуугийн урт.

Дээрх томъёонууд нь гурвалжны шаардлагатай талбайг тооцоолох боломжийг танд олгоно. Гурвалжны хоорондох зайг тооцоолохын тулд гурвалжны төрөл, тооцоололд ашиглагдах боломжтой өгөгдлийг харгалзан үзэх шаардлагатай гэдгийг санах нь чухал юм.

Эсрэг оройноос) ба үүссэн бүтээгдэхүүнийг хоёр хуваана. Хэлбэрийн хувьд энэ нь иймэрхүү харагдаж байна:

S = ½ * a * h,

хаана:
S нь гурвалжны талбай,
a нь түүний хажуугийн урт,
h нь энэ тал руу буулгасан өндөр.

Хажуугийн урт ба өндрийг ижил нэгжээр харуулах ёстой. Энэ тохиолдолд гурвалжны талбай нь харгалзах "" нэгжид гарч ирнэ.

Жишээ.
Нэг талдаа масштабтай гурвалжин 20 см урт, эсрэг талын оройноос 10 см урттай перпендикуляр доошлоно.
Гурвалжны талбай шаардлагатай.
Шийдэл.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (см²).

Хэрэв та масштабтай гурвалжны аль ч хоёр талын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг мэддэг бол дараах томъёог ашиглана уу.

S = ½ * a * b * sinγ,

Үүнд: a, b нь дурын хоёр талын урт, γ нь тэдгээрийн хоорондох өнцөг юм.

Практикт, жишээлбэл, газрыг хэмжихдээ дээрх томъёог ашиглах нь заримдаа хэцүү байдаг, учир нь нэмэлт барилга байгууламж, өнцгийг хэмжих шаардлагатай байдаг.

Хэрэв та гурвалжны гурван талын уртыг мэддэг бол Хэроны томъёог ашиглана уу.

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c нь гурвалжны талуудын урт,
р – хагас периметр: p = (a+b+c)/2.

Хэрэв бүх талуудын уртаас гадна гурвалжинд дүрслэгдсэн тойргийн радиус мэдэгдэж байвал дараах жижиг томьёог ашиглана уу.

Үүнд: r нь бичээстэй тойргийн радиус (p нь хагас периметр).

Хязгаарлагдсан тойргийн масштабтай гурвалжны талбай ба түүний талуудын уртыг тооцоолохын тулд дараах томъёог ашиглана уу.

Үүнд: R нь хүрээлэгдсэн тойргийн радиус.

Хэрэв гурвалжны аль нэг тал ба гурван өнцгийн урт нь мэдэгдэж байгаа бол (зарчмын хувьд хоёр нь хангалттай - гурав дахь нь гурвалжны гурван өнцгийн нийлбэрийн тэгшитгэлээс тооцогдоно - 180º), дараа нь ашиглана уу. томъёо:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

энд α нь а талын эсрэг талын өнцгийн утга;
β, γ нь гурвалжны үлдсэн хоёр өнцгийн утгууд юм.

олох хэрэгцээ янз бүрийн элементүүд, түүний дотор талбай гурвалжин, манай эринээс олон зууны өмнө одон орон судлаачдын дунд гарч ирсэн Эртний Грек. Дөрвөлжин гурвалжинтооцоолж болно янз бүрийн арга замуудашиглах өөр өөр томъёо. Тооцооллын арга нь аль элементээс хамаарна гурвалжинмэдэгдэж байна.

Заавар

Хэрэв нөхцөл байдлаас бид b, c хоёр тал ба тэдгээрийн үүсгэсэн өнцгийн утгыг мэдэж байвал талбай гурвалжин ABC-ийг дараах томъёогоор олно.
S = (bcsin?)/2.

Хэрэв нөхцөл байдлаас бид a, b хоёр тал ба тэдгээрийн үүсгээгүй өнцгийн утгыг мэдэж байгаа бол талбай гурвалжин ABC-ийг дараах байдлаар олно.
Өнцөг олох уу?, нүгэл үү? = bsin? / a, цааш нь хүснэгтэд бид өнцгийг өөрөө тодорхойлно.
Өнцөг олох уу? = 180°-?-?.
Талбайг өөрөө олоорой S = (absin?)/2.

Хэрэв нөхцөл байдлаас бид зөвхөн гурван талын утгыг мэддэг бол гурвалжин a, b ба c, дараа нь талбай гурвалжин ABC-ийг дараах томъёогоор олно.
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) , энд p нь хагас периметр p = (a+b+c)/2

Хэрэв асуудлын нөхцөл байдлаас бид өндрийг мэдэж байгаа бол гурвалжин h ба энэ өндрийг доошлуулсан тал, дараа нь талбай гурвалжин ABC томъёогоор:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Хэрэв бид талуудын үнэ цэнийг мэддэг бол гурвалжин a, b, c ба өгөгдсөн ойролцоо хүрээлэгдсэн радиус гурвалжин R, дараа нь энэ талбай гурвалжин ABC-ийг дараахь томъёогоор тодорхойлно.
S = abc/4R.
Хэрэв гурван тал a, b, c ба дотор нь бичигдсэн радиус нь мэдэгдэж байгаа бол талбайг тодорхойлно гурвалжин ABC-ийг дараах томъёогоор олно.
S = pr, энд p нь хагас периметр, p = (a+b+c)/2.

Хэрэв ABC тэгш талт бол талбайг дараах томъёогоор олно.
S = (a^2v3)/4.
Хэрэв ABC гурвалжин нь тэгш өнцөгт байвал талбайг дараах томъёогоор тодорхойлно.
S = (cv(4a^2-c^2))/4, энд c гурвалжин.
Хэрэв ABC гурвалжин нь тэгш өнцөгт гурвалжин бол талбайг дараахь томъёогоор тодорхойлно.
S = ab/2, a ба b нь хөл юм гурвалжин.
Хэрэв ABC гурвалжин нь тэгш өнцөгт гурвалжин бол талбайг дараах томъёогоор тодорхойлно.
S = c^2/4 = a^2/2, энд c нь гипотенуз юм гурвалжин, a=b - хөл.

Холбоотой видеонууд

Эх сурвалжууд:

• гурвалжны талбайг хэрхэн хэмжих вэ

Зөвлөгөө 3: Хэрэв та өнцгийг мэддэг бол гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ

Зөвхөн нэг параметрийг (өнцгийн утга) мэдэх нь талбайг олоход хангалтгүй юм tre дөрвөлжин . Хэрэв ямар нэгэн нэмэлт хэмжээс байгаа бол талбайг тодорхойлохын тулд өнцгийн утгыг мэдэгдэж буй хувьсагчийн аль нэг болгон ашигладаг томъёоны аль нэгийг сонгож болно. Хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг хэд хэдэн томъёог доор жагсаав.

Заавар

Хэрэв хоёр талаас үүссэн өнцгөөс (γ) гадна tre дөрвөлжин , эдгээр талуудын урт (A ба B) нь бас мэдэгдэж байна, тэгвэл дөрвөлжин(S) тоонуудыг хажуугийн урт ба энэ мэдэгдэж буй өнцгийн синусын хагасын үржвэрээр тодорхойлж болно: S=½×A×B×sin(γ).

Заавар

Намуудба булангуудыг үндсэн элементүүд гэж үздэг а. Гурвалжин нь гурван тал, нэг тал ба хоёр өнцөг, эсвэл хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг гэсэн үндсэн элементүүдийн аль нэгээр нь бүрэн тодорхойлогддог. Оршихын төлөө гурвалжин a,b,c гурван талаар тодорхойлогддог, тэгш бус байдал гэж нэрлэгддэг тэгш бус байдлыг хангах нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм. гурвалжин:
a+b > c
a+c > b
b+c > a.

Барилгын хувьд гурвалжин a,b,c гурван тал дээр CB=a хэрчмээс C цэгээс b радиустай тойргийг луужингаар хэрхэн зурах шаардлагатай. Дараа нь ижил төстэй байдлаар B цэгээс радиустай тойрог зур талтай тэнцүүв. Тэдний огтлолцлын цэг А нь хүссэн хэсгийн гурав дахь орой юм гурвалжин ABC, энд AB=c, CB=a, CA=b - талууд гурвалжин. Хэрэв a, b, c талууд тэгш бус байдлыг хангаж байвал асуудал нь байна гурвалжин 1-р алхамд заасан.

Ийм байдлаар баригдсан S талбай гурвалжин ABC-тэй мэдэгдэж байгаа талууд a, b, c -ийг Хероны томъёогоор тооцоолно.
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
энд a, b, c талууд байна гурвалжин, p нь хагас периметр.
p = (a+b+c)/2

Хэрэв гурвалжин тэгш талт бол түүний бүх талууд тэнцүү байна (a=b=c). гурвалжинтомъёогоор тооцоолно:
S=(a^2 v3)/4

Хэрэв гурвалжин нь тэгш өнцөгт, өөрөөр хэлбэл нэг өнцөг нь 90 °, түүнийг бүрдүүлж буй талууд нь хөл бол гурав дахь тал нь гипотенуз юм. AT Энэ тохиолдолд дөрвөлжинхоёр хуваагдсан хөлийн үржвэртэй тэнцүү байна.
S=ab/2

Олох дөрвөлжин гурвалжин, та олон томъёоны аль нэгийг ашиглаж болно. Ямар өгөгдөл аль хэдийн мэдэгдэж байгаагаас хамааран томьёог сонгоно уу.

Танд хэрэгтэй болно

• гурвалжны талбайг олох томъёоны талаархи мэдлэг

Заавар

Хэрэв та талуудын аль нэгнийх нь утгыг мэдэж байгаа бол эсрэг талын булангаас энэ тал руу буулгасан өндрийн утгыг мэдэж байгаа бол та талбайг дараах байдлаар олох боломжтой: S = a*h/2, S нь ​гурвалжин, a нь гурвалжны талуудын нэг бөгөөд h - өндөр, а тал руу.

Гурвалжны гурван тал нь мэдэгдэж байгаа бол түүний талбайг тодорхойлох тодорхой арга бий. Тэр бол Хероны томъёо юм. Бичлэгийг хялбарчлахын тулд завсрын утгыг нэвтрүүлсэн - хагас периметр: p \u003d (a + b + c) / 2, энд a, b, c - . Тэгвэл Хэроны томъёо дараах байдалтай байна: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^1, ^ экспоненциал.

Та гурвалжны нэг тал ба гурван өнцгийг мэддэг гэж бодъё. Дараа нь гурвалжны талбайг олоход хялбар байдаг: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), энд β нь a талын эсрэг өнцөг, α ба γ нь хажуугийн хажуугийн өнцөг юм.

Холбоотой видеонууд

тэмдэглэл

Хамгийн ерөнхий томъёо, энэ нь бүх тохиолдолд тохиромжтой - энэ бол Хероны томъёо юм.

Эх сурвалжууд:

Зөвлөгөө 3: Гурван тал нь өгөгдсөн гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ

Гурвалжны талбайг олох нь сургуулийн планиметрийн хамгийн түгээмэл ажлуудын нэг юм. Гурвалжны гурван талыг мэдэх нь ямар ч гурвалжны талбайг тодорхойлоход хангалттай. Онцгой тохиолдолд болон тэгш талт гурвалжны хувьд хоёр ба нэг талын уртыг мэдэхэд хангалттай.

Танд хэрэгтэй болно

• гурвалжны хажуугийн урт, Хэроны томъёо, косинусын теорем

Заавар

Гурвалжны талбайн хувьд Хероны томъёо дараах байдалтай байна: S = sqrt (p (p-a) (p-b) (p-c)). Хэрэв та хагас периметр p-г будвал дараахийг авна: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) /2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Та мөн гурвалжны талбайн томъёог авч үзэх замаар, жишээлбэл, косинусын теоремыг ашиглан гаргаж авч болно.

Косинусын хуулиар AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Оруулсан тэмдэглэгээг ашигласнаар эдгээр нь дараах хэлбэртэй байж болно: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Тиймээс cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Гурвалжны талбайг мөн S = a*c*sin(ABC)/2 томъёогоор хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг олно. ABC өнцгийн синусыг үндсэн утгыг ашиглан түүгээр илэрхийлж болно тригонометрийн ижилсэл: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Талбайн томьёонд синусыг орлуулж, будсанаар бид ABC гурвалжны талбайн томъёонд хүрч чадна.

Холбоотой видеонууд

Учир нь засварын ажилхэмжих шаардлагатай байж болно дөрвөлжинхана. Тооцоолоход илүү хялбар байдаг шаардлагатай хэмжээбудаг эсвэл ханын цаас. Хэмжилтийн хувьд соронзон хальсны хэмжүүр эсвэл сантиметр соронзон хальс ашиглах нь хамгийн сайн арга юм. Хэмжилтийг дараа нь хийх ёстой ханазэрэгцүүлсэн байна.

Танд хэрэгтэй болно

• - рулет;
• - шат.

Заавар

Тоолох дөрвөлжинхананы хувьд та таазны яг өндрийг мэдэж, шалан дээрх уртыг хэмжих хэрэгтэй. Үүнийг дараах байдлаар гүйцэтгэнэ: нэг сантиметрийг авч, тавцан дээр тавь. Ихэвчлэн нэг сантиметр нь бүхэл бүтэн уртад хангалтгүй байдаг тул буланд бэхлээд дараа нь тайл. хамгийн их урт. Энэ үед харандаагаар тэмдэглэгээ хийж, үр дүнг бичиж, хамгийн сүүлийн хэмжилтийн цэгээс эхлэн ижил аргаар хэмжилт хийнэ.

Стандарт таазердийн байдлаар - байшингаас хамааран 2 метр 80 сантиметр, 3 метр, 3 метр 20 сантиметр. Хэрэв байшинг 50-аад оноос өмнө барьсан бол бодит өндөр нь заасан хэмжээнээс арай доогуур байх магадлалтай. Хэрэв та тооцоолж байгаа бол дөрвөлжинзасварын ажилд зориулж, дараа нь жижиг маржин гэмтээхгүй - стандартад үндэслэн анхаарч үзээрэй. Хэрэв та жинхэнэ өндрийг мэдэх шаардлагатай хэвээр байвал хэмжилт хий. Энэ зарчим нь уртыг хэмжихтэй төстэй боловч танд шат хэрэгтэй болно.

Үүссэн тоонуудыг үржүүлээрэй - энэ бол дөрвөлжинчиний хана. Үнэн, цагт будах ажилэсвэл хасах хэрэгтэй дөрвөлжинхаалга ба цонхны нээлхий. Үүнийг хийхийн тулд нээлхийн дагуу нэг сантиметрийг тавина. Хэрэв бид дараа нь солих гэж байгаа хаалганы тухай ярьж байгаа бол үүнийгээ ашиглана уу хаалганы хүрээ, зөвхөн харгалзан үзнэ дөрвөлжиннээлт нь өөрөө. Цонхны талбайг түүний хүрээний периметрийн дагуу тооцоолно. Дараа нь дөрвөлжинЦонх, хаалганы нээлхийг тооцоолж, үр дүнг олж авсан өрөөний нийт талбайгаас хасна.

Өрөөний урт ба өргөнийг хэмжилтийг хамтад нь хийдэг тул сантиметр эсвэл соронзон хэмжүүр засах нь илүү хялбар бөгөөд үүний дагуу илүү ихийг авах боломжтой гэдгийг анхаарна уу. яг үр дүн. Таны авсан тоо үнэн зөв эсэхийг шалгахын тулд ижил хэмжилтийг хэд хэдэн удаа хийнэ.

Холбоотой видеонууд

Гурвалжны эзэлхүүнийг олох нь үнэхээр энгийн ажил биш юм. Гурвалжин бол хоёр хэмжээст дүрс, өөрөөр хэлбэл. Энэ нь бүхэлдээ нэг хавтгайд байрладаг бөгөөд энэ нь ердөө л эзлэхүүнгүй гэсэн үг юм. Мэдээжийн хэрэг, та байхгүй зүйлийг олж чадахгүй. Гэхдээ бууж өгөхгүй байцгаая! Бид дараах таамаглалыг гаргаж болно - хоёр хэмжээст дүрсийн эзэлхүүн, энэ бол түүний талбай юм. Бид гурвалжны талбайг хайж байна.

Танд хэрэгтэй болно

• хуудас, харандаа, захирагч, тооны машин

Заавар

Цаасан дээр захирагч, харандаагаар зур. Гурвалжныг сайтар судалж үзээд онгоцон дээр зурсан тул энэ нь үнэхээр байхгүй гэдэгт итгэлтэй байж болно. Гурвалжны талуудыг тэмдэглэ: нэг тал нь "a", нөгөө тал нь "b", гурав дахь тал нь "c" байна. Гурвалжны оройг "A", "B", "C" үсгээр тэмдэглэ.

Гурвалжны аль ч талыг захирагчаар хэмжиж, үр дүнг бич. Үүний дараа эсрэг талын оройноос хэмжсэн тал руу перпендикулярыг сэргээж, ийм перпендикуляр нь гурвалжны өндөр байх болно. Зурагт үзүүлсэн тохиолдолд перпендикуляр "h" нь "А" оройноос "c" тал руу сэргээгддэг. Үүссэн өндрийг захирагчаар хэмжиж, хэмжилтийн үр дүнг тэмдэглэнэ.

Энэ нь танд яг перпендикулярыг сэргээхэд хэцүү байж магадгүй юм. Энэ тохиолдолд та өөр томъёог ашиглах хэрэгтэй. Гурвалжны бүх талыг захирагчаар хэмжинэ. Үүний дараа "p" гурвалжны хагас периметрийг тооцоолж, талуудын үүссэн уртыг нэмж, тэдгээрийн нийлбэрийг хагасаар хуваана. Хагас периметрийн утгыг эзэмшсэнээр та Хэроны томъёог ашиглаж болно. Үүнийг хийхийн тулд та дараах язгуурыг авах хэрэгтэй: p(p-a)(p-b)(p-c).

Та гурвалжны хүссэн хэсгийг авлаа. Гурвалжны эзэлхүүнийг олох асуудал шийдэгдээгүй ч дээр дурдсанчлан эзлэхүүн нь . Та 3D ертөнцөөс үндсэндээ гурвалжин болох эзлэхүүнийг олох боломжтой. Хэрэв бид анхны гурвалжин гурван хэмжээст пирамид болсон гэж төсөөлвөл ийм пирамидын эзэлхүүн нь түүний суурийн урт ба бидний хүлээн авсан гурвалжны талбайн үржвэр болно.

тэмдэглэл

Хэмжилтийг илүү нарийвчлалтай хийх тусам тооцоолол илүү нарийвчлалтай болно.

Эх сурвалжууд:

• All-to-All Calculator - Лавлагаа портал
• 2019 онд гурвалжингийн хэмжээ

Декартын координатын систем дэх гурвалжинг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог гурван цэг нь түүний оройнууд юм. Координатын тэнхлэг тус бүртэй харьцуулахад тэдгээрийн байрлалыг мэдэхийн тулд та үүнээс ямар ч параметрийг тооцоолж болно хавтгай дүрс, үүнд периметрээр хязгаарлагдана дөрвөлжин. Үүнийг хэд хэдэн аргаар хийж болно.

Заавар

Талбайг тооцоолохдоо Хэроны томъёог ашиглана уу гурвалжин. Энэ нь зургийн гурван талын хэмжээсийг багтаасан тул тооцоогоо эхлүүлээрэй. Тал бүрийн урт нь координатын тэнхлэг дээрх проекцуудын уртын квадратуудын нийлбэрийн үндэстэй тэнцүү байх ёстой. Хэрэв бид A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) ба C(X₃,Y₃,Z₃) координатуудыг тэмдэглэвэл тэдгээрийн талуудын уртыг дараах байдлаар илэрхийлж болно: AB = √((X₁-) X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Тооцооллыг хялбарчлахын тулд туслах хувьсагчийг оруулна уу - хагас периметр (P). Үүнээс үзэхэд энэ нь бүх талуудын уртын нийлбэрийн тал хувь юм: P \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-) Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

Талбайн тухай ойлголт

Аливаа геометрийн дүрс, ялангуяа гурвалжингийн талбайн тухай ойлголт нь дөрвөлжин гэх мэт дүрстэй холбоотой байх болно. Аливаа геометрийн дүрсийн нэгж талбайн хувьд бид тал нь нэгтэй тэнцүү квадрат талбайг авна. Бүрэн байдлыг хангахын тулд бид геометрийн хэлбэрийн талбайн тухай ойлголтын хоёр үндсэн шинж чанарыг санаж байна.

Өмч 1:Хэрвээ геометрийн дүрсүүдтэнцүү, тэдгээрийн талбай нь бас тэнцүү байна.

Үл хөдлөх хөрөнгө 2:Аливаа дүрсийг хэд хэдэн тоонд хувааж болно. Түүнээс гадна анхны зургийн талбай нь түүнийг бүрдүүлсэн бүх дүрсийн талбайн утгын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Жишээ авч үзье.

Жишээ 1

Гурвалжны нэг тал нь тэгш өнцөгтийн диагональ байх нь тодорхой бөгөөд нэг тал нь $5$ ($5$ нүднээс хойш), нөгөө тал нь $6$ ($6$ нүднээс хойш) урттай. Тиймээс энэ гурвалжны талбай нь ийм тэгш өнцөгтийн талтай тэнцүү байх болно. Тэгш өнцөгтийн талбай нь

Дараа нь гурвалжны талбай нь байна

Хариулт: 15 доллар.

Дараа нь гурвалжны талбайг олох хэд хэдэн аргыг авч үзье, тухайлбал өндөр ба суурийг ашиглан Хероны томъёо ба тэгш талт гурвалжны талбайг ашиглана.

Өндөр ба суурийг ашиглан гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ

Теорем 1

Гурвалжны талбайг хажуугийн уртыг тухайн тал руу татсан өндрийн үржвэрийн хагасын үржвэрээр олж болно.

Математикийн хувьд иймэрхүү харагдаж байна

$S=\frac(1)(2)αh$

Энд $a$ нь хажуугийн урт, $h$ нь түүнд татсан өндөр юм.

Баталгаа.

$AC=α$ $ABC$ гурвалжинг авч үзье. $BH$ өндрийг энэ тал руу татсан бөгөөд $h$-тай тэнцэнэ. Зураг 2-т үзүүлсэн шиг $AXYC$ квадрат хүртэл бүтээцгээе.

$AXBH$ тэгш өнцөгтийн талбай нь $h\cdot AH$, $HBYC$ тэгш өнцөгтийн талбай нь $h\cdot HC$ байна. Дараа нь

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Тиймээс 2-р өмчийн дагуу гурвалжны хүссэн талбай нь тэнцүү байна

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Теорем нь батлагдсан.

Жишээ 2

Хэрэв нүд нэгтэй тэнцүү талбайтай бол доорх зураг дээрх гурвалжны талбайг ол

Энэ гурвалжны суурь нь $9$ ($9$ нь $9$ нүд учраас). Өндөр нь бас 9 доллар. Дараа нь теорем 1-ээр бид олж авна

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$

Хариулт: 40.5 доллар.

Хероны томъёо

Теорем 2

$α$, $β$, $γ$ гурвалжны гурван талыг өгвөл түүний талбайг дараах байдлаар олж болно.

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

энд $ρ$ гэдэг нь энэ гурвалжны хагас периметр гэсэн үг.

Баталгаа.

Дараах зургийг авч үзье.

Пифагорын теоремоор бид $ABH$ гурвалжингаас олж авдаг

$CBH$ гурвалжнаас Пифагорын теоремоор бид байна

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Эдгээр хоёр харилцаанаас бид тэгш байдлыг олж авдаг

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

$ρ=\frac(α+β+γ)(2)$ тул $α+β+γ=2ρ$, тиймээс

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Теорем 1-ээр бид олж авна

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$