Призмийн талаар мэдэх ёстой бүх зүйл (2019). Гурвалжин призмийн эзэлхүүн: ерөнхий төрлийн томьёо ба ердийн призмийн томъёо

Математикийн шалгалтанд бэлдэж буй сургуулийн сурагчид шулуун ба ердийн призмийн талбайг олох асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар суралцах нь гарцаагүй. Олон жилийн дадлага нь олон оюутнууд геометрийн ийм даалгаврыг нэлээд хэцүү гэж үздэгийг баталж байна.

Үүний зэрэгцээ ямар ч түвшний сургалттай ахлах ангийн сурагчид ердийн ба шууд призмийн талбай, эзэлхүүнийг олох чадвартай байх ёстой. Зөвхөн энэ тохиолдолд тэд шалгалтанд тэнцсэн үр дүнд үндэслэн өрсөлдөх чадвартай оноо авах боломжтой болно.

Санаж байх ёстой гол цэгүүд

• Призмийн хажуугийн ирмэг нь сууринд перпендикуляр байвал түүнийг шулуун гэж нэрлэдэг. Энэ зургийн бүх хажуугийн нүүр нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна. Шулуун призмийн өндөр нь түүний ирмэгтэй давхцдаг.
• Энгийн призм нь ердийн олон өнцөгтийг агуулсан суурьтай хажуугийн ирмэгүүд нь перпендикуляр байдаг призм юм. Энэ зургийн хажуугийн нүүрнүүд нь тэнцүү тэгш өнцөгтүүд юм. Зөв призм үргэлж шулуун байдаг.

Школковотой хамт улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх нь таны амжилтын түлхүүр юм!

Хичээлийг аль болох хялбар, үр дүнтэй болгохын тулд манай математикийн порталыг сонго. Ингээд бүтнээр нь толилуулж байна шаардлагатай материалбаталгаажуулалтын шалгалтанд бэлтгэхэд тань туслах болно.

"Школково" боловсролын төслийн мэргэжилтнүүд энгийнээс нарийн төвөгтэй рүү шилжихийг санал болгож байна: эхлээд бид онол, үндсэн томъёо, теорем, шийдлийн үндсэн асуудлуудыг өгч, дараа нь аажмаар шинжээчийн түвшний даалгавар руу шилждэг.

Үндсэн мэдээллийг системчилсэн бөгөөд "Онолын лавлагаа" хэсэгт тодорхой тусгасан болно. Хэрэв та шаардлагатай материалыг аль хэдийн давтаж чадсан бол шулуун призмийн талбай, эзэлхүүнийг олох асуудлыг шийдвэрлэх дадлага хийхийг зөвлөж байна. "Каталог" хэсэгт танилцуулсан болно том сонголтянз бүрийн бэрхшээлтэй дасгалууд.

Шулуун ба ердийн призмийн талбайг эсвэл яг одоо тооцоолохыг хичээ. Аливаа ажлыг задлах. Хэрэв энэ нь хүндрэл учруулаагүй бол та мэргэжилтнүүдийн түвшний дасгалууд руу аюулгүйгээр шилжиж болно. Хэрэв тодорхой бэрхшээлүүд гарсаар байвал Школково математикийн порталын хамт онлайнаар шалгалтанд тогтмол бэлдэхийг зөвлөж байна, мөн "Шууд ба ердийн призм" сэдэвт даалгаврууд танд хялбар байх болно.

Таны хувийн нууц бидэнд чухал. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын бодлогыг уншаад асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг:

• Та сайт дээр өргөдөл гаргахад бид цуглуулж магадгүй янз бүрийн мэдээлэлтаны нэр, утасны дугаар, хаяг зэрэг орно Имэйлгэх мэт.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

• Манайх цуглуулсан хувийн мэдээлэлтантай холбоо барьж, танд мэдэгдэх боломжийг бидэнд олгоно өвөрмөц саналууд, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээ.
• Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээж болно.
• Бид мөн хувийн мэдээллийг аудит хийх, мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийх гэх мэт дотоод зорилгоор ашиглаж болно төрөл бүрийн судалгааүзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, үйлчилгээнийхээ талаар танд зөвлөмж өгөх.
• Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй урамшуулалд оролцох юм бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээлэл өгөх

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

• Шаардлагатай бол - хууль тогтоомжийн дагуу, шүүхийн журмаар, шүүхийн журмаар болон / эсвэл олон нийтийн хүсэлт, хүсэлтийг үндэслэн төрийн байгууллагуудОХУ-ын нутаг дэвсгэр дээр - хувийн мэдээллээ задруулах. Хэрэв бид аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтэд ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой. чухал тохиолдлууд.
• Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх эсвэл худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох гуравдагч этгээдийн өв залгамжлагчид шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, буруугаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хадгалах

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын талаар ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

Призмийн эзэлхүүн гэж юу вэ, түүнийг хэрхэн олох вэ

Призмийн эзэлхүүн нь түүний суурийн талбайг өндрөөр нь үржүүлсэн үржвэр юм.

Гэсэн хэдий ч призмийн суурь нь гурвалжин, дөрвөлжин эсвэл өөр олон өнцөгт хэлбэртэй байж болохыг бид мэднэ.

Тиймээс призмийн эзэлхүүнийг олохын тулд та призмийн суурийн талбайг тооцоолж, дараа нь энэ талбайг өндрөөр нь үржүүлэх хэрэгтэй.

Өөрөөр хэлбэл, призмийн суурь дээр гурвалжин байгаа бол эхлээд гурвалжны талбайг олох хэрэгтэй. Хэрэв призмийн суурь нь дөрвөлжин эсвэл өөр олон өнцөгт байвал эхлээд квадрат эсвэл өөр олон өнцөгтийн талбайг олох хэрэгтэй.

Призмийн өндөр нь призмийн сууринд татсан перпендикуляр гэдгийг санах нь зүйтэй.

Призм гэж юу вэ

Одоо призмийн тодорхойлолтыг санацгаая.

Призм нь хоёр нүүр (суурь) нь зэрэгцээ хавтгайд байрладаг, эдгээр нүүрний гаднах бүх ирмэгүүд нь параллель байдаг олон өнцөгт юм.

Энгийнээр хэлэхэд:

Призм нь хоёр тэгш суурьтай, хавтгай нүүртэй аливаа геометрийн дүрс юм.

Призмийн нэр нь түүний суурийн хэлбэрээс хамаарна. Призмийн суурь нь гурвалжин бол ийм призмийг гурвалжин гэж нэрлэдэг. Олон өнцөгт призм бол суурь нь олон өнцөгт хэлбэртэй геометрийн дүрс юм. Призм бол бас нэг төрлийн цилиндр юм.

Призмийн төрлүүд юу вэ

Дээрх зургийг харвал призм нь шулуун, тогтмол ба ташуу хэлбэртэй болохыг харж болно.

Дасгал хийх

1. Зөв призм гэж юу вэ?
2. Яагаад ингэж нэрлэдэг вэ?
3. Суурь нь жирийн олон өнцөгт призмийг юу гэж нэрлэдэг вэ?
4. Энэ зургийн өндөр хэд вэ?
5. Ирмэг нь перпендикуляр биш призмийг юу гэж нэрлэдэг вэ?
6. Гурвалжин призмийг тодорхойл.
7. Призм параллелепипед байж чадах уу?
8. Ямар геометрийн дүрсийг хагас тогтмол олон өнцөгт гэж нэрлэдэг вэ?

Призм ямар элементүүдээс бүрддэг вэ?

Призм нь доод ба дээд суурь, хажуугийн нүүр, ирмэг, орой зэрэг элементүүдээс бүрдэнэ.

Призмийн суурь хоёулаа хавтгайд байрладаг бөгөөд хоорондоо параллель байна.
Пирамидын хажуу талууд нь параллелограммууд юм.
Хажуугийн гадаргуупирамид нь хажуугийн нүүрний нийлбэр юм.
Хажуугийн нүүрний нийтлэг талууд нь энэ зургийн хажуугийн ирмэгээс өөр зүйл биш юм.
Пирамидын өндөр нь суурийн хавтгайг холбосон сегмент бөгөөд тэдгээрт перпендикуляр байна.

Призмийн шинж чанарууд

Призм шиг геометрийн дүрс нь хэд хэдэн шинж чанартай байдаг. Эдгээр шинж чанаруудыг нарийвчлан авч үзье:

Нэгдүгээрт, призмийн суурийг тэнцүү олон өнцөгт гэж нэрлэдэг;
Хоёрдугаарт, призмийн хажуугийн нүүрийг параллелограмм хэлбэрээр үзүүлэв;
Гуравдугаарт, энэ геометрийн дүрсирмэгүүд нь зэрэгцээ ба тэнцүү;
Дөрөвдүгээрт, призмийн нийт гадаргуугийн талбай нь:

Одоо хажуугийн гадаргуугийн талбай, нотолгоог тооцоолох томъёог өгдөг теоремыг авч үзье.

Та энэ талаар бодож үзсэн үү сонирхолтой баримтПризм нь зөвхөн геометрийн бие биш, бидний эргэн тойрон дахь бусад объект байж болно. Тэр ч байтугай жирийн цасан ширхгээс хамаарч температурын горимзургаан талт дүрс хэлбэрээр мөсөн призм болж хувирах боломжтой.

Гэхдээ кальцитын талстууд нь хуваагдмал хэсгүүдэд хуваагдаж, параллелепипед хэлбэртэй байдаг өвөрмөц үзэгдэлтэй байдаг. Хамгийн гайхалтай нь кальцитийн талстыг хэр жижиг буталсан ч үр дүн нь үргэлж ижил байдаг бөгөөд тэдгээр нь жижиг параллелепипед болж хувирдаг.

Призм нь П.Пикассо, Брак, Грисс болон бусад агуу зураачдын бүтээсэн уран зургийн үндэс болсон тул геометрийн биеийг харуулж, зөвхөн математикт төдийгүй урлагийн салбарт алдартай болсон юм.

Янз бүрийн призмүүд бие биенээсээ ялгаатай. Үүний зэрэгцээ тэд маш олон нийтлэг зүйлтэй байдаг. Призмийн суурийн талбайг олохын тулд энэ нь ямар хэлбэртэй болохыг олж мэдэх хэрэгтэй.

Ерөнхий онол

Призм нь талууд нь параллелограмм хэлбэртэй аливаа олон өнцөгт юм. Түүнээс гадна, ямар ч олон өнцөгт нь түүний суурь дээр байж болно - гурвалжингаас n-gon хүртэл. Түүнээс гадна призмийн суурь нь үргэлж бие биетэйгээ тэнцүү байдаг. Хажуугийн нүүрэнд хамаарахгүй зүйл - тэдгээр нь хэмжээгээрээ ихээхэн ялгаатай байж болно.

Асуудлыг шийдэхдээ зөвхөн призмийн суурийн талбай биш юм. Хажуугийн гадаргууг, өөрөөр хэлбэл суурь биш бүх нүүрийг мэдэх шаардлагатай байж магадгүй юм. Бүрэн гадаргуу нь аль хэдийн призмийг бүрдүүлдэг бүх нүүрний нэгдэл байх болно.

Заримдаа даалгаварт өндөр гарч ирдэг. Энэ нь суурьтай перпендикуляр байна. Олон өнцөгтийн диагональ нь нэг нүүрэнд хамаарахгүй дурын хоёр оройг хосоор холбосон сегмент юм.

Шулуун эсвэл налуу призмийн суурийн талбай нь тэдгээрийн болон хажуугийн нүүрний хоорондох өнцөгөөс хамаардаггүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Хэрэв тэдгээр нь дээд ба доод нүүрэнд ижил дүрстэй бол тэдгээрийн талбайнууд тэнцүү байх болно.

гурвалжин призм

Үүний суурь дээр гурван оройтой дүрс, өөрөөр хэлбэл гурвалжин байдаг. Энэ нь ялгаатай нь мэдэгдэж байна. Хэрэв дараа нь түүний талбай нь хөлний бүтээгдэхүүний хагасаар тодорхойлогддог гэдгийг санах нь хангалттай юм.

Математик тэмдэглэгээ нь дараах байдалтай байна: S = ½ av.

Суурийн талбайг олохын тулд ерөнхий үзэл, томъёонууд нь ашигтай байдаг: Херон ба хажуугийн талыг нь түүнд татсан өндөрт аваачих.

Эхний томъёог дараах байдлаар бичих ёстой: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). Энэ оруулга нь хагас периметрийг (p), өөрөөр хэлбэл гурван талын нийлбэрийг хоёроор хуваана.

Хоёрдугаарт: S = ½ n a * a.

Хэрэв та гурвалжин призмийн суурийн талбайг тогтмол болохыг мэдэхийг хүсвэл гурвалжин нь тэгш талт болж хувирна. Энэ нь өөрийн гэсэн томьёотой: S = ¼ a 2 * √3.

дөрвөлжин призм

Түүний суурь нь мэдэгдэж байгаа дөрвөн өнцөгтийн аль нэг нь юм. Энэ нь тэгш өнцөгт эсвэл дөрвөлжин, параллелепипед эсвэл ромб байж болно. Аль ч тохиолдолд призмийн суурийн талбайг тооцоолохын тулд танд өөрийн томъёо хэрэгтэй болно.

Хэрэв суурь нь тэгш өнцөгт бол түүний талбайг дараах байдлаар тодорхойлно: S = av, энд a, b нь тэгш өнцөгтийн талууд юм.

Дөрвөн өнцөгт призмийн тухай ярихад ердийн призмийн суурийн талбайг квадратын томъёогоор тооцоолно. Учир нь тэр суурь дээр хэвтэж байгаа хүн юм. S \u003d a 2.

Суурь нь параллелепипед байх тохиолдолд дараахь тэгш байдал шаардлагатай болно: S \u003d a * n a. Параллелепипедийн нэг тал ба өнцгийн аль нэгийг нь өгсөн байдаг. Дараа нь өндрийг тооцоолохын тулд нэмэлт томъёог ашиглах шаардлагатай болно: na \u003d b * sin A. Түүнээс гадна, А өнцөг нь "b" талтай зэргэлдээх бөгөөд өндөр нь энэ өнцгийн эсрэг na байна.

Хэрэв ромбус призмийн суурь дээр байрладаг бол параллелограммын талбайг тодорхойлохын тулд ижил томьёо хэрэгтэй болно (энэ нь түүний онцгой тохиолдол юм). Гэхдээ та үүнийг бас ашиглаж болно: S = ½ d 1 d 2. Энд d 1 ба d 2 нь ромбын хоёр диагональ юм.

Тогтмол таван өнцөгт призм

Энэ тохиолдол нь олон өнцөгтийг гурвалжин болгон хуваах явдал бөгөөд тэдгээрийн талбайг олоход хялбар байдаг. Хэдийгээр тоонууд нь өөр өөр тооны оройтой байж болно.

Призмийн суурь нь ердийн таван өнцөгт тул түүнийг таван тэгш талт гурвалжинд хувааж болно. Дараа нь призмийн суурийн талбай нь нэг гурвалжны талбайтай тэнцүү байна (томъёог дээрээс харж болно), таваар үржүүлнэ.

Ердийн зургаан өнцөгт призм

Таван өнцөгт призмийг тодорхойлсон зарчмын дагуу суурь зургаан өнцөгтийг 6 тэгш талт гурвалжинд хуваах боломжтой. Ийм призмийн суурийн талбайн томъёо нь өмнөхтэй төстэй юм. Зөвхөн дотор нь зургаа дахин үржүүлэх хэрэгтэй.

Томъёо нь иймэрхүү харагдах болно: S = 3/2 ба 2 * √3.

Даалгаврууд

№ 1. Тогтмол шулуун шугам өгөгдсөн. Түүний диагональ нь 22 см, олон өнцөгтийн өндөр нь 14 см. Призмийн суурь ба бүх гадаргуугийн талбайг тооцоол.

Шийдэл.Призмийн суурь нь дөрвөлжин боловч түүний тал нь тодорхойгүй байна. Та түүний утгыг призмийн диагональ (d) ба түүний өндөртэй (h) хамааралтай квадрат (x) диагональаас олж болно. x 2 \u003d d 2 - n 2. Нөгөө талаас, энэ "x" сегмент нь хөл нь квадратын талтай тэнцүү гурвалжны гипотенуз юм. Өөрөөр хэлбэл, x 2 \u003d a 2 + a 2. Тиймээс 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2 байна.

d-ийн оронд 22-ын тоог орлуулж, "n"-ийг - 14-ээр соливол дөрвөлжингийн тал нь 12 см байна. Одоо үндсэн талбайг олоход хялбар боллоо: 12 * 12 \u003d 144 см 2 .

Бүх гадаргуугийн талбайг олохын тулд та суурийн талбайн утгыг хоёр дахин нэмж, талыг нь дөрөв дахин нэмэгдүүлэх хэрэгтэй. Сүүлийнх нь тэгш өнцөгтийн томьёогоор олоход хялбар байдаг: олон өнцөгтийн өндөр ба суурийн хажуу талыг үржүүлнэ. Өөрөөр хэлбэл, 14 ба 12, энэ тоо нь 168 см 2-тэй тэнцүү байх болно. Призмийн нийт гадаргуугийн талбай 960 см 2 байна.

Хариулт.Призмийн суурийн талбай 144 см2. Бүх гадаргуу - 960 см 2.

No 2. Дана Суурийн хэсэгт 6 см-ийн талтай гурвалжин байрладаг.Энэ тохиолдолд хажуугийн нүүрний диагональ нь 10 см байна Талбайг тооцоолно: суурь ба хажуугийн гадаргуу.

Шийдэл.Призм нь тогтмол тул түүний суурь нь тэгш талт гурвалжин юм. Тиймээс түүний талбай нь 6-ийн квадратыг ¼, квадрат язгуур нь 3-тай тэнцүү болж хувирна. Энгийн тооцоолол нь үр дүнд хүргэдэг: 9√3 см 2. Энэ бол призмийн нэг суурийн талбай юм.

Хажуугийн бүх нүүр нь адилхан бөгөөд 6 ба 10 см-ийн талтай тэгш өнцөгтүүд юм.Тэдний талбайг тооцоолохын тулд эдгээр тоог үржүүлэхэд хангалттай. Дараа нь тэдгээрийг гурваар үржүүл, учир нь призм нь яг маш олон хажуугийн нүүртэй байдаг. Дараа нь хажуугийн гадаргуугийн талбайг 180 см 2 шархлуулна.

Хариулт.Талбай: суурь - 9√3 см 2, призмийн хажуугийн гадаргуу - 180 см 2.

Суурийн талбай нь S, өндөр нь тэнцүү тэгш өнцөгт призмийн эзэлхүүнийг олох шаардлагатай. h= AA' = BB' = CC' (Зураг 306).

Бид призмийн суурийг тусад нь зурж, өөрөөр хэлбэл ABC гурвалжинг (Зураг 307, а) зурж, тэгш өнцөгт болгон дуусгахын тулд B оройгоор KM шулуун шугамыг зурна || AC ба А ба С цэгүүдээс бид AF ба CE перпендикуляруудыг энэ шулуун руу буулгана. Бид ACEF тэгш өнцөгтийг авдаг. ABC гурвалжны BD өндрийг зурахад ACEF тэгш өнцөгт 4 хуваагдаж байгааг бид харж байна. зөв гурвалжин. Түүнээс гадна \(\Дельта\)БҮХ = \(\Дельта\)BCD ба \(\Дельта\)BAF = \(\Дельта\)МУУ. Тиймээс ACEF тэгш өнцөгтийн талбай хоёр дахин их байна илүү их талбай ABC гурвалжин, өөрөөр хэлбэл 2S-тэй тэнцүү.

ABC суурьтай энэ призм дээр бид ALL ба BAF суурьтай призмүүдийг нэмээд өндөртэй h(Зураг 307, b). Бид ACEF суурьтай тэгш өнцөгт параллелепипед авдаг.

Хэрэв бид энэ параллелепипедийг BD ба BB' шулуунаар дайран өнгөрөх хавтгайгаар зүсвэл тэгш өнцөгт параллелепипед нь BCD, ALL, BAD, BAF суурьтай 4 призмээс бүрдэхийг харна.

BCD ба ALL суурьтай призмүүдийг нэгтгэж болно, учир нь тэдгээрийн суурь нь тэнцүү (\(\Дельта\)BCD = \(\Дельта\)МЭӨ) ба нэг хавтгайд перпендикуляр байрлах хажуугийн ирмэгүүд нь мөн тэнцүү байна. Тиймээс эдгээр призмүүдийн эзэлхүүн тэнцүү байна. BAD ба BAF суурьтай призмүүдийн эзэлхүүн нь мөн тэнцүү байна.

Тиймээс, ABC суурьтай өгөгдсөн гурвалжин призмийн эзэлхүүн нь ACEF суурьтай тэгш өнцөгт параллелепипедийн эзэлхүүний тал хувьтай тэнцүү байна.

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн эзэлхүүн нь түүний суурийн талбай ба өндрийн үржвэртэй тэнцүү гэдгийг бид мэднэ. Энэ тохиолдолд 2S-тэй тэнцүү h. Иймээс энэхүү тэгш өнцөгт гурвалжин призмийн эзэлхүүн нь S-тэй тэнцүү байна h.

Тэгш өнцөгт призмийн эзэлхүүн нь түүний суурийн талбай ба өндрийн үржвэртэй тэнцүү байна.

2. Шулуун олон өнцөгт призмийн эзэлхүүн.

Шугамын эзэлхүүнийг олохын тулд олон өнцөгт призм, жишээлбэл, таван өнцөгт, суурь нь S ба өндөртэй h, гурвалжин призм болгон задалъя (Зураг 308).

Гурвалжин призмийн суурийн талбайг S 1, S 2, S 3, V-ээр дамжсан олон өнцөгт призмийн эзэлхүүнийг тэмдэглэвэл бид дараахь зүйлийг олж авна.

V = S 1 h+S2 h+ S 3 h, эсвэл

V = (S 1 + S 2 + S 3) h.

Эцэст нь: V = S h.

Үүний нэгэн адил суурь нь аль ч олон өнцөгттэй шулуун призмийн эзэлхүүний томьёог гаргаж авдаг.

гэсэн үг, Аливаа шулуун призмийн эзэлхүүн нь түүний суурийн талбай ба өндрийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Призмийн эзэлхүүн

Теорем. Призмийн эзэлхүүн нь суурийн талбайг өндрөөр үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.

Эхлээд бид энэ теоремыг гурвалжин призм, дараа нь олон өнцөгтийн хувьд батална.

1) Гурвалжин призмийн AA 1 ирмэгээр (Зураг 95) ABCA 1 B 1 C 1 нүүртэй параллель хавтгай BB 1 C 1 C, CC 1 ирмэгээр - AA 1 нүүртэй параллель хавтгайг зур. B 1 B; дараа нь призмийн хоёр суурийн хавтгайг зурсан хавтгайтай огтлолцох хүртэл үргэлжлүүлнэ.

Дараа нь бид BD 1 параллелепипедийг авах бөгөөд энэ нь AA 1 C 1 C диагональ хавтгайгаар гурвалжин хоёр призмд хуваагдана (тэдгээрийн аль нэгийг нь өгсөн). Эдгээр призмүүд тэнцүү гэдгийг баталцгаая. Үүнийг хийхийн тулд бид перпендикуляр хэсгийг зурна a B C D. Хэсэгт та диагональ болох параллелограммыг авна хөзрийн тамгахоёр тэнцүү гурвалжинд хуваагдана. Энэ призм нь ийм шулуун призмтэй тэнцүү бөгөөд түүний суурь нь \(\Дельта\) юм. abc, мөн өндөр нь ирмэг AA 1 байна. Өөр нэг гурвалжин призм нь суурь нь \(\Дельта\) шугамтай тэнцүү байна. adc, мөн өндөр нь ирмэг AA 1 байна. Харин тэгш суурьтай, тэгш өндөртэй хоёр шулуун призм нь тэнцүү (суулгах үед тэдгээрийг нэгтгэдэг тул) нь ABCA 1 B 1 C 1 ба ADCA 1 D 1 C 1 призмүүд тэнцүү гэсэн үг юм. Үүнээс үзэхэд энэ призмийн эзэлхүүн нь параллелепипед BD 1-ийн эзэлхүүний хагастай тэнцүү байна; Тиймээс призмийн өндрийг H-ээр тэмдэглэвэл бид дараахь зүйлийг авна.

$$ V_(\Delta ex) = \frac(S_(ABCD)\cdot H)(2) = \frac(S_(ABCD))(2)\cdot H = S_(ABC)\cdot H $$

2) Олон өнцөгт призмийн АА 1 ирмэгээр (Зураг 96) AA 1 C 1 C ба AA 1 D 1 D диагональ хавтгайг зур.

Дараа нь энэ призмийг хэд хэдэн гурвалжин призм болгон зүснэ. Эдгээр призмүүдийн эзлэхүүний нийлбэр нь хүссэн эзэлхүүн юм. Хэрэв бид тэдгээрийн суурийн талбайг -ээр тэмдэглэвэл б 1 , б 2 , б 3 ба H-ийн нийт өндрийг бид олж авна:

олон өнцөгт призмийн эзэлхүүн = б 1H+ б 2H+ б 3 H =( б 1 + б 2 + б 3) H =

= (ABCDE талбай) H.

Үр дагавар. Хэрэв V, B, H нь призмийн эзэлхүүн, суурийн талбай, өндрийг зохих нэгжээр илэрхийлсэн тоонууд бол батлагдсаны дагуу бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

Бусад материал