Хөвч хөндүүлсэн пирамидын эзэлхүүн. Бүрэн ба таслагдсан пирамидын эзэлхүүний томъёо. Хеопсийн пирамидын эзэлхүүн

• 09.10.2014

  Зурагт үзүүлсэн урьдчилан өсгөгч нь микрофон, CD тоглуулагч, радио магнитофон гэх мэт 4 төрлийн дууны эх үүсвэрт ашиглах зориулалттай. Үүний зэрэгцээ уг өсгөгч нь мэдрэгчийг 50мВ-аас өөрчлөх боломжтой нэг оролттой. 500 мВ. өсгөгчийн гаралтын хүчдэл 1000мВ байна. Холбож байна өөр өөр эх сурвалж SA1 шилжүүлэгчийг солих үед бид үргэлж дохио авах болно ...

• 20.09.2014

  PSU нь 15 ... 20 ваттын хүчин чадалтай ачаалалд зориулагдсан. Эх үүсвэрийг нэг циклийн импульсийн өндөр давтамжийн хөрвүүлэгчийн схемийн дагуу хийдэг. 20 ... 40 кГц давтамжтай ажилладаг осцилляторыг транзистор дээр угсардаг. Давтамжийг C5 багтаамжаар тохируулна. VD5, VD6, C6 элементүүд нь осцилляторыг эхлүүлэх хэлхээг бүрдүүлдэг. онд хоёрдогч хэлхээгүүр Шулуутгагчийн дараа чип дээр ердийн шугаман тогтворжуулагч байдаг бөгөөд энэ нь танд ...

• 28.09.2014

  Зураг дээр давтамжийг хүчдэлээр удирддаг K174XA11 чип дээрх генераторыг харуулж байна. C1 багтаамжийг 560-аас 4700pF болгон өөрчлөх үед та авах боломжтой өргөн хамрах хүрээдавтамж, харин давтамжийг R4 эсэргүүцлийг өөрчлөх замаар тохируулдаг. Жишээлбэл, зохиогч C1 \u003d 560pF үед генераторын давтамжийг R4 ашиглан 600 Гц-ээс 200 кГц болгон өөрчлөх боломжтой болохыг олж мэдэв.

• 03.10.2014

  Энэхүү нэгж нь хүчирхэг ULF-ийг тэжээх зориулалттай бөгөөд ± 27V гаралтын хүчдэлд зориулагдсан тул гар тус бүр дээр 3А хүртэл ачаалал өгдөг. PSU нь KT825-KT827 иж бүрэн нийлмэл транзистор дээр хийгдсэн хоёр туйлт юм. Тогтворжуулагчийн хоёр гар нь ижил схемийн дагуу хийгдсэн боловч нөгөө гарт (үүнийг харуулаагүй) конденсаторуудын туйлшрал өөрчлөгдөж, нөгөө гарны транзисторыг ашигладаг ...

Орон зайн тоонуудын эзлэхүүнийг тооцоолох чадвар нь геометрийн хэд хэдэн практик асуудлыг шийдвэрлэхэд чухал ач холбогдолтой юм. Хамгийн түгээмэл хэлбэрүүдийн нэг бол пирамид юм. Энэ өгүүлэлд бид пирамидуудыг бүрэн ба тайруулсан аль алиныг нь авч үзэх болно.

Пирамид нь гурван хэмжээст дүрс юм

Египетийн пирамидуудын талаар хүн бүр мэддэг тул ямар дүрсийг хэлэлцэх талаар сайн санаатай байдаг. Гэсэн хэдий ч Египетийн чулуун байгууламжууд нь асар том пирамидын ангиллын онцгой тохиолдол юм.

Геометрийн объект гэж тооцогддог ерөнхий тохиолдолнь олон өнцөгт суурь бөгөөд орой бүр нь суурийн хавтгайд хамаарахгүй орон зайн аль нэг цэгтэй холбогддог. Энэ тодорхойлолтнэг n-гон ба n гурвалжингаас бүрдэх дүрс рүү хөтөлнө.

Аливаа пирамид нь n+1 нүүр, 2*n ирмэг, n+1 оройноос бүрдэнэ. Харж байгаа зураг нь төгс олон өнцөгт тул тэмдэглэсэн элементүүдийн тоо Эйлерийн тэгшитгэлд захирагдана.

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Суурь дээр байрлах олон өнцөгт нь пирамидын нэрийг өгдөг, жишээлбэл, гурвалжин, таван өнцөгт гэх мэт. Пирамидын багц өөр өөр үндэслэлдоорх зурагт үзүүлэв.

Зургийн n гурвалжин холбогдсон цэгийг пирамидын орой гэж нэрлэдэг. Хэрэв түүнээс суурь руу перпендикуляр буулгаж, түүнийг геометрийн төвд огтолж байвал ийм дүрсийг шулуун шугам гэж нэрлэнэ. Хэрэв энэ нөхцөл хангагдаагүй бол налуу пирамид байна.

Суурь нь тэгш талт (тэнцүү өнцөгт) n-гоноос үүссэн шулуун дүрсийг тогтмол гэж нэрлэдэг.

Пирамидын эзэлхүүний томъёо

Пирамидын эзэлхүүнийг тооцоолохын тулд бид интеграл тооцооллыг ашигладаг. Үүнийг хийхийн тулд бид дүрсийг суурьтай параллель хөндлөн огтлолцсон хавтгайгаар хязгааргүй тооны нимгэн давхаргад хуваана. Доорх зураг нь h өндөртэй, хажуугийн урт нь L дөрвөлжин пирамидыг харуулж байна. нимгэн давхаргахэсгүүд.

Ийм давхарга бүрийн талбайг дараахь томъёогоор тооцоолж болно.

A(z) = A 0 *(h-z) 2 / ц 2 .

Энд A 0 нь суурийн талбай, z нь босоо координатын утга юм. Хэрэв z = 0 бол томъёо нь A 0 утгыг өгдөг болохыг харж болно.

Пирамидын эзэлхүүний томъёог авахын тулд та зургийн бүх өндрийн интегралыг тооцоолох хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

A(z) хамаарлыг орлуулж, эсрэг деривативыг тооцоолоход бид дараах илэрхийлэлд хүрнэ.

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * цаг.

Бид пирамидын эзэлхүүний томъёог олж авсан. V-ийн утгыг олохын тулд зургийн өндрийг суурийн талбайгаар үржүүлж, үр дүнг гурваар хуваахад хангалттай.

Үүссэн илэрхийлэл нь дурын төрлийн пирамидын эзлэхүүнийг тооцоолоход хүчинтэй гэдгийг анхаарна уу. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь налуу байж болох бөгөөд түүний суурь нь дурын n-gon байж болно.

ба түүний хэмжээ

Дээрх догол мөрөнд хүлээн авсан ерөнхий томъёо-тэй пирамидын хувьд эзлэхүүнийг зааж өгч болно зөв суурь. Ийм суурийн талбайг дараахь томъёогоор тооцоолно.

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Энд L нь n оройтой жирийн олон өнцөгтийн хажуугийн урт юм. Пи тэмдэг нь pi тоо юм.

Ерөнхий томъёонд A 0-ийн илэрхийлэлийг орлуулснаар бид эзлэхүүнийг олж авна зөв пирамид:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Жишээлбэл, гурвалжин пирамидын хувьд энэ томъёо нь дараах илэрхийлэлд хүргэдэг.

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * цаг.

Ердийн дөрвөлжин пирамидын хувьд эзлэхүүний томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * цаг.

Ердийн пирамидын эзлэхүүнийг тодорхойлохын тулд тэдгээрийн суурийн тал ба зургийн өндрийг мэдэх шаардлагатай.

Пирамид таслагдсан

Бид дурын пирамид авч, түүний хажуугийн гадаргуугийн оройг агуулсан хэсгийг таслав гэж бодъё. Үлдсэн дүрсийг таслагдсан пирамид гэж нэрлэдэг. Энэ нь аль хэдийн хоёр n өнцөгт суурь ба тэдгээрийг холбосон n трапецуудаас бүрддэг. Хэрэв огтлох хавтгай нь зургийн суурьтай параллель байсан бол параллель ижил төстэй суурьтай таслагдсан пирамид үүснэ. Өөрөөр хэлбэл, тэдгээрийн аль нэгнийх нь талуудын уртыг нөгөөгийн уртыг зарим k коэффициентээр үржүүлэх замаар олж авч болно.

Дээрх зурагт тайрсан жирийн нэгийг харуулж байна.Түүний дээд суурь нь доод талынх шиг ердийн зургаан өнцөгт хэлбэртэй байгааг харж болно.

Дээрхтэй төстэй интеграл тооцоолол ашиглан гаргаж болох томъёо нь:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

Энд A 0 ба A 1 нь доод (том) ба дээд (жижиг) суурийн талбайнууд юм. Хувьсагч h нь таслагдсан пирамидын өндрийг илэрхийлнэ.

Хеопсийн пирамидын эзэлхүүн

Египетийн хамгийн том пирамидын эзэлхүүнийг тодорхойлох асуудлыг шийдэх нь сонирхолтой юм.

1984 онд Британийн египет судлаач Марк Лехнер, Жон Гудман нар Хеопс пирамидын яг нарийн хэмжээг тогтоожээ. Түүний анхны өндөр нь 146.50 метр (одоогоор 137 метр) байв. Бүтцийн дөрвөн тал тус бүрийн дундаж урт 230.363 метр байв. Пирамидын суурь өндөр нарийвчлалдөрвөлжин байна.

Өгөгдсөн тоонуудыг ашиглан энэхүү аварга том чулууны эзэлхүүнийг тодорхойлъё. Пирамид нь ердийн дөрвөлжин хэлбэртэй тул түүний хувьд томъёо хүчинтэй байна.

Тоонуудыг оруулаад бид дараахь зүйлийг авна.

V 4 \u003d 1/3 * (230.363) 2 * 146.5 ≈ 2591444 м 3.

Хеопсийн пирамидын хэмжээ бараг 2.6 сая м 3 байна. Харьцуулбал, Олимпийн усан сан нь 2.5 мянган м 3 эзэлхүүнтэй гэдгийг бид тэмдэглэж байна. Өөрөөр хэлбэл, Cheops пирамидыг бүхэлд нь дүүргэхийн тулд 1000 гаруй ийм усан сан хэрэгтэй болно!

Пирамид. Таслагдсан пирамид

Пирамиднэг нүүр нь олон өнцөгт хэлбэртэй олон өнцөгт гэж нэрлэгддэг ( суурь ), бусад бүх нүүр нь нийтлэг оройтой гурвалжин ( хажуугийн нүүрнүүд ) (Зураг 15). Пирамид гэж нэрлэдэг зөв , хэрэв түүний суурь нь ердийн олон өнцөгт бөгөөд пирамидын орой нь суурийн төв рүү чиглэсэн байвал (Зураг 16). Бүх ирмэгүүд нь тэнцүү гурвалжин пирамид гэж нэрлэгддэг тетраэдр .

Хажуугийн хавиргапирамид нь сууринд хамаарахгүй хажуугийн нүүрний тал гэж нэрлэгддэг Өндөр пирамид нь түүний оройноос суурийн хавтгай хүртэлх зай юм. Ердийн пирамидын бүх хажуугийн ирмэгүүд хоорондоо тэнцүү, бүх хажуугийн нүүрүүд тэнцүү байна тэгш өнцөгт гурвалжин. Оройноос зурсан ердийн пирамидын хажуугийн гадаргуугийн өндрийг гэнэ апотема . диагональ хэсэг Пирамидын зүсэлтийг нэг нүүрэнд хамаарахгүй хоёр хажуугийн ирмэгээр дамжин өнгөрөх хавтгай гэж нэрлэдэг.

Хажуугийн гадаргуугийн талбайПирамидыг бүх талын нүүрний талбайн нийлбэр гэж нэрлэдэг. талбай бүрэн гадаргуу бүх хажуугийн нүүр ба суурийн талбайн нийлбэр юм.

Теоремууд

1. Хэрэв пирамидын бүх хажуугийн ирмэгүүд нь суурийн хавтгайд адилхан налуу байвал пирамидын орой нь суурийн ойролцоох хүрээлэгдсэн тойргийн төв рүү чиглэсэн байна.

2. Хэрэв пирамид бүх хажуугийн ирмэгтэй бол тэнцүү урттай, дараа нь пирамидын дээд хэсэг нь суурийн ойролцоох хүрээлэгдсэн тойргийн төв рүү чиглэнэ.

3. Хэрэв пирамидын бүх нүүр нь суурийн хавтгайд тэгш налуу байвал пирамидын орой нь сууринд сийлсэн тойргийн төв рүү чиглэсэн байна.

Дурын пирамидын эзэлхүүнийг тооцоолохын тулд томъёо зөв байна.

хаана В- эзлэхүүн;

S гол- суурь талбай;

Хпирамидын өндөр.

Энгийн пирамидын хувьд дараах томъёонууд үнэн байна.

хаана х- суурийн периметр;

h a- үг хэллэг;

Х- өндөр;

S дүүрэн

S тал

S гол- суурь талбай;

Внь ердийн пирамидын эзэлхүүн юм.

таслагдсан пирамидпирамидын суурьтай зэрэгцээ огтлох хавтгай ба суурь хооронд хаалттай пирамидын хэсгийг гэж нэрлэдэг (Зураг 17). Зөв зүсэгдсэн пирамид пирамидын суурьтай параллель суурь ба огтлох хавтгайн хооронд бэхлэгдсэн ердийн пирамидын хэсэг гэж нэрлэдэг.

Суурьтаслагдсан пирамид - ижил төстэй олон өнцөгтүүд. Хажуугийн нүүр - трапец. Өндөр Таслагдсан пирамидыг суурийн хоорондох зай гэж нэрлэдэг. Диагональ Таслагдсан пирамид нь нэг нүүрэн дээр байрладаггүй оройг нь холбосон сегмент юм. диагональ хэсэг Таслагдсан пирамидын хэсгийг нэг нүүрэнд хамаарахгүй хоёр хажуугийн ирмэгээр дамжин өнгөрөх хавтгай гэж нэрлэдэг.

Таслагдсан пирамидын хувьд дараах томъёонууд хүчинтэй байна.

(4)

хаана С 1 , С 2 - дээд ба доод суурийн хэсгүүд;

S дүүрэннийт гадаргуугийн талбай;

S талхажуугийн гадаргуугийн талбай;

Х- өндөр;

Внь таслагдсан пирамидын эзэлхүүн юм.

Энгийн тайрсан пирамидын хувьд дараах томъёо үнэн байна.

хаана х 1 , х 2 - суурь периметр;

h a- ердийн тайрсан пирамидын үг.

Жишээ 1Баруун талд гурвалжин пирамидСуурийн хоёр өнцөгт өнцөг нь 60º байна. Суурийн хавтгайд хажуугийн ирмэгийн налуу өнцгийн тангенсыг ол.

Шийдэл.Зураг зурцгаая (Зураг 18).

Пирамид нь тогтмол бөгөөд энэ нь суурь нь тэгш талт гурвалжин бөгөөд бүх хажуугийн гадаргуу нь ижил тэгш өнцөгт гурвалжин юм. Суурийн хоёр өнцөгт өнцөг нь пирамидын хажуугийн гадаргуугийн суурийн хавтгайд налуугийн өнцөг юм. Шугаман өнцөг нь өнцөг байх болно ахоёр перпендикулярын хооронд: i.e. Пирамидын оройг гурвалжингийн төвд (хүрээлэн тойргийн төв ба гурвалжин дахь бичээстэй тойргийн төв) төсөөлдөг. ABC). Хажуугийн хавирганы налуу өнцөг (жишээлбэл С.Б) нь ирмэг ба түүний суурийн хавтгай дээрх проекцын хоорондох өнцөг юм. Хавирганы хувьд С.Бэнэ өнцөг нь өнцөг болно SBD. Шүргэгчийг олохын тулд та хөлийг мэдэх хэрэгтэй SOболон ОБ. Сегментийн уртыг үзье Б.Д 3 байна а. цэг Ошугамын сегмент Б.Дгэсэн хэсгүүдэд хуваагдана: мөн From we find SO: Бидний олж мэдсэнээр:

Хариулт:

Жишээ 2Суурийн диагональ нь см ба см, өндөр нь 4 см бол ердийн таслагдсан дөрвөлжин пирамидын эзлэхүүнийг ол.

Шийдэл.Таслагдсан пирамидын эзэлхүүнийг олохын тулд бид (4) томъёог ашиглана. Суурийн талбайг олохын тулд тэдгээрийн диагональуудыг мэдэхийн тулд суурийн квадратуудын талыг олох хэрэгтэй. Суурийн талууд нь тус тус 2 см ба 8 см байна. Энэ нь суурийн талбайг хэлнэ гэсэн үг бөгөөд бүх өгөгдлийг томьёонд орлуулснаар бид таслагдсан пирамидын эзэлхүүнийг тооцоолно.

Хариулт: 112 см3.

Жишээ 3Суурийн талууд нь 10 см ба 4 см, пирамидын өндөр нь 2 см байх энгийн гурвалжин зүсэгдсэн пирамидын хажуугийн гадаргууг ол.

Шийдэл.Зураг зурцгаая (Зураг 19).

Энэ пирамидын хажуугийн нүүр нь хоёр талт трапец юм. Трапецын талбайг тооцоолохын тулд та суурь ба өндрийг мэдэх хэрэгтэй. Суурь нь нөхцөлөөр өгөгдсөн бөгөөд зөвхөн өндөр нь тодорхойгүй хэвээр байна. Хаанаас нь олоорой ГЭХДЭЭ 1 Эцэгээс перпендикуляр ГЭХДЭЭ 1 доод суурийн хавтгай дээр, А 1 Д-аас перпендикуляр ГЭХДЭЭ 1 дээр АС. ГЭХДЭЭ 1 Э\u003d 2 см, учир нь энэ нь пирамидын өндөр юм. олохын тулд Д.Эбид нэмэлт зураг зурах бөгөөд үүнд дээд талын үзэмжийг дүрслэх болно (Зураг 20). Цэг О- дээд ба доод суурийн төвүүдийн проекц. оноос хойш (20-р зургийг үз) болон Нөгөө талаас БОЛЖ БАЙНА УУнь бичээстэй тойргийн радиус ба ОМнь бичээстэй тойргийн радиус юм:

MK=DE.

-аас Пифагорын теоремын дагуу

Хажуугийн нүүрний хэсэг:

Хариулт:

Жишээ 4Пирамидын ёроолд суурь нь тэгш өнцөгт трапец байдаг аболон б (а> б). Хажуугийн нүүр бүр нь пирамидын суурийн хавтгайтай тэнцүү өнцөг үүсгэдэг j. Пирамидын нийт гадаргуугийн талбайг ол.

Шийдэл.Зураг зурцгаая (Зураг 21). Пирамидын нийт гадаргуугийн талбай SABCDЭнэ нь трапецын талбай ба талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна A B C D.

Хэрэв пирамидын бүх нүүр нь суурийн хавтгайд тэгш налуу байвал орой нь сууринд сийлсэн тойргийн төв рүү чиглэнэ гэсэн мэдэгдлийг бид ашигладаг. Цэг О- оройн проекц Спирамидын ёроолд. Гурвалжин SODгурвалжны ортогональ проекц юм CSDсуурь хавтгай руу. Ортогональ проекцын талбайн теоремоор хавтгай дүрсбид авах:

Үүнтэй адилаар гэсэн үг Тиймээс трапецын талбайг олоход асуудал багассан A B C D. Трапец зур A B C Dтусад нь (Зураг 22). Цэг Отрапец хэлбэрээр бичээстэй тойргийн төв юм.

Тойрог трапец хэлбэрээр бичиж болох тул Пифагорын теоремоор бид

- Энэ бол пирамидын суурь ба түүнтэй параллель зүсэлтээс үүссэн олон өнцөгт юм. Таслагдсан пирамид нь орой нь таслагдсан пирамид гэж бид хэлж чадна. Энэ зураг нь олон өвөрмөц шинж чанартай:

• Пирамидын хажуугийн нүүрнүүд нь трапец хэлбэртэй байдаг;
• Ердийн тайрсан пирамидын хажуугийн хавирга нь ижил урттай, ижил өнцгөөр суурь руу налуу;
• Суурь нь ижил төстэй олон өнцөгт хэлбэртэй;
• Ердийн тайрсан пирамид дээр нүүр царай нь адилхан байдаг тэгш өнцөгт трапецуудталбай нь тэнцүү байна. Тэд мөн нэг өнцгөөр суурь руу налуу байна.

Таслагдсан пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайн томъёо нь түүний хажуугийн талбайн нийлбэр юм.

Таслагдсан пирамидын талууд нь трапец хэлбэртэй байдаг тул параметрүүдийг тооцоолохдоо томъёог ашиглах шаардлагатай болно. трапецын талбай. Ердийн тайрсан пирамидын хувьд талбайг тооцоолох өөр томъёог ашиглаж болно. Суурийн бүх тал, нүүр, өнцөг нь тэнцүү тул суурийн периметр ба апотемийг хэрэглэж, мөн суурийн өнцгөөр талбайг гаргаж авах боломжтой.

Хэрэв ердийн таслагдсан пирамид дахь нөхцлийн дагуу апотем (хажуугийн өндөр) ба суурийн хажуугийн уртыг өгсөн бол талбайг периметрийн нийлбэрийн хагас үржвэрээр тооцоолж болно. үндэс ба үг:

Таслагдсан пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг тооцоолох жишээг авч үзье.
Тогтмол таван өнцөгт пирамид өгсөн. Апотем л\u003d 5 см, том суурь дахь нүүрний урт а\u003d 6 см, нүүр нь жижиг суурь дээр байна б\u003d 4 см. Таслагдсан пирамидын талбайг тооцоол.

Эхлээд суурийн периметрийг олъё. Бидэнд таван өнцөгт пирамид өгөгдсөн тул суурь нь таван өнцөгт гэдгийг бид ойлгодог. Энэ нь суурь нь таван ижил талтай дүрс гэсэн үг юм. Том суурийн периметрийг ол:

Үүнтэй адилаар бид жижиг суурийн периметрийг олно.

Одоо бид ердийн тайрсан пирамидын талбайг тооцоолж болно. Бид өгөгдлийг томъёонд орлуулна:

Тиймээс бид ердийн тайрсан пирамидын талбайг периметр ба апотемийн дагуу тооцоолсон.

Ердийн пирамидын хажуугийн гадаргууг тооцоолох өөр нэг арга бол томъёо юм Суурийн булангууд болон эдгээр суурийн талбайн дундуур.

Тооцооллын жишээг авч үзье. Гэдгийг санах өгөгдсөн томъёозөвхөн ердийн тайрсан пирамидад хамаарна.

Ердийн дөрвөлжин пирамид өгье. Доод суурийн нүүр a = 6 см, дээд талын нүүр b = 4 см.Суурийн хоёр талт өнцөг β = 60 ° байна. Энгийн таслагдсан пирамидын хажуугийн гадаргууг ол.

Эхлээд суурийн талбайг тооцоолъё. Пирамид нь тогтмол байдаг тул суурийн бүх нүүр нь хоорондоо тэнцүү байна. Суурь нь дөрвөлжин хэлбэртэй тул тооцоолох шаардлагатай болно гэдгийг бид ойлгож байна дөрвөлжин талбай. Энэ нь өргөн ба уртын үржвэр боловч квадрат нь эдгээр утгууд нь ижил байна. Том суурийн талбайг ол:


Одоо бид олсон утгыг ашиглан хажуугийн гадаргуугийн талбайг тооцоолно.

Хэд хэдэн энгийн томъёог мэдсэнээр бид янз бүрийн утгуудаар таслагдсан пирамидын хажуугийн трапецын талбайг хялбархан тооцоолсон.