අහඹු විචල්‍ය දෙකක එකතුව බෙදා හැරීමේ නියමය. බෙදාහැරීමේ නීති දෙකක සංයුතිය. ස්වාධීන අහඹු විචල්‍යවල එකතුව බෙදා හැරීම

අර්ථ දැක්වීම. අහඹු විචල්‍ය Х 1 , Х 2 , ..., Х n ඕනෑම x 1, x 2 , ..., x n සිදුවීම් ස්වාධීන නම් ස්වාධීන ලෙස හැඳින්වේ.

(ω: X 1 (ω)< x},{ω: Х 2 (ω) < x},…, {ω: Х n (ω) < x n }.

එය ස්වාධීන අහඹු විචල්‍යයන් සඳහා වන නිර්වචනයෙන් කෙලින්ම අනුගමනය කරයි X 1, X 2, …, X nබෙදා හැරීමේ කාර්යය n-dimensional random variable x = X 1, X 2, …, X nඅහඹු විචල්‍යවල ව්‍යාප්ති ශ්‍රිතවල ගුණිතයට සමාන වේ X 1, X 2, …, X n

එෆ්(x 1 , x2, …, x n) = එෆ්(x 1)එෆ්(x2)…එෆ්(x n). (1)

අපි සමානාත්මතාවය වෙනස් කරමු (1) nවරින් වර x 1 , x2, …, x n, අපිට ලැබෙනවා

පි(x 1 , x2, …, x n) = පි(x 1)පි(x2)…පි(x n). (2)

සසම්භාවී විචල්‍යවල ස්වාධීනත්වය පිළිබඳ තවත් අර්ථ දැක්වීමක් ලබා දිය හැකිය.

එක් අහඹු විචල්‍යයක බෙදා හැරීමේ නීතිය අනෙකුත් අහඹු විචල්‍යයන් ගෙන ඇති හැකි අගයන් මත රඳා නොපවතී නම්, එවැනි අහඹු විචල්‍යයන් සමස්ථයෙන් ස්වාධීන ලෙස හැඳින්වේ.

උදාහරණයක් ලෙස, විවිධ සංස්කරණවල ලොතරැයි ටිකට් දෙකක් මිලදී ගනු ලැබේ. ඉඩ x- පළමු ටිකට් පතේ ජයග්‍රහණ ප්‍රමාණය, වයි- දෙවන ටිකට් සඳහා ජයග්රහණ ප්රමාණය. අහඹු විචල්යයන් xහා වයි- ස්වාධීන, එක් ටිකට් පතක් දිනා ගැනීම අනෙකේ බෙදා හැරීමේ නීතියට බලපාන්නේ නැත. නමුත් ප්‍රවේශපත්‍ර එකම ගැටලුවක් නම්, එසේ නම් xහා වයි- යැපෙන.

සසම්භාවී විචල්‍ය දෙකක් ස්වාධීන ලෙස හැඳින්වේ, ඒවායින් එකක බෙදා හැරීමේ නියමය අනෙක් විචල්‍යය ගෙන ඇති හැකි අගයන් මත පදනම්ව වෙනස් නොවේ නම්.

ප්රමේයය 1(convolutions) හෝ "අහඹු විචල්‍ය 2 ක එකතුවේ ඝනත්වය පිළිබඳ ප්‍රමේයය".

ඉඩ x = (X 1;X 2) යනු ස්වාධීන අඛණ්ඩ ද්විමාන සසම්භාවී විචල්‍යයකි, වයි = X 1+ X 2. එවිට බෙදාහැරීමේ ඝනත්වය

සාක්ෂි. එසේ නම්, එසේ නම් බව පෙන්විය හැක

කොහෙද x = (x 1 , x 2 , …, X n) එවිට නම් x = (x 1 , x 2), පසුව බෙදා හැරීමේ කාර්යය වයි = x 1 + x 2 පහත පරිදි අර්ථ දැක්විය හැක (රූපය 1) -

නිර්වචනයට අනුකූලව, ශ්රිතය යනු අහඹු විචල්යයේ බෙදාහැරීමේ ඝනත්වය Y = X 1 + X 2 , i.e.

py (ටී) = ඔප්පු කළ යුතු දේ.

ස්වාධීන විවික්ත අහඹු විචල්‍ය දෙකක එකතුවේ සම්භාවිතා ව්‍යාප්තිය සොයා ගැනීම සඳහා සූත්‍රයක් ලබා ගනිමු.

ප්රමේයය 2.ඉඩ x 1 , x 2 - ස්වාධීන විවික්ත අහඹු විචල්‍ය,

සාක්ෂි. සිදුවීමක් සිතා බලන්න A x = {x 1 +x 2 = x) නොගැලපෙන සිදුවීම් එකතුවක් ලෙස

A x = å( x 1 = xමම ; x 2 = x– xමම).

නිසා x 1 , x 2 - එවිට ස්වාධීන පී(x 1 = xමම ; x 2 = x– x i) = පී(x 1 = xමම) පී(x 2 = x-xමම පසුව

පී(A x) = පී(å( x 1 = xමම ; x 2 = x - x i)) = å( පී(x 1 = x i) පී(x 2 = x-xමම))

Q.E.D.

උදාහරණ 1ඉඩ x 1 , x 2 - පරාමිති සහිත සාමාන්‍ය ව්‍යාප්තියක් ඇති ස්වාධීන අහඹු විචල්‍යයන් එන්(0;1); x 1 , x 2 ~ එන්(0;1).

අපි ඒවායේ එකතුවේ ව්‍යාප්ති ඝනත්වය සොයා ගනිමු (අපි දක්වන්නෙමු x 1 = x, වයි = x 1 +x 2)

අනුකලනය යනු පරාමිති සහිත සාමාන්‍ය අහඹු විචල්‍යයක ව්‍යාප්ති ඝනත්වය බව දැකීම පහසුය. ඒ=, , i.e. අනුකලනය 1 වේ.

කාර්යය py(ටී) යනු a = 0, s = පරාමිතීන් සහිත සාමාන්‍ය ව්‍යාප්තියේ ඝනත්වයයි. මේ අනුව, පරාමිති (0,1) සහිත ස්වාධීන සාමාන්‍ය අහඹු විචල්‍යවල එකතුවට පරාමිති (0,) සමඟ සාමාන්‍ය ව්‍යාප්තියක් ඇත, i.e. වයි = x 1 + x 2 ~ එන්(0;).

උදාහරණ 2. Poisson ව්‍යාප්තිය සහිත විවික්ත ස්වාධීන අහඹු විචල්‍ය දෙකක් ලබා දීමට ඉඩ දෙන්න

කොහෙද k, m, n = 0, 1, 2, …,¥.

ප්‍රමේයය 2 මගින් අපට ඇත්තේ:

උදාහරණය 3ඉඩ x 1, x 2 - ඝාතීය ව්‍යාප්තිය සහිත ස්වාධීන අහඹු විචල්‍ය . ඝනත්වය සොයා ගනිමු වයි= x 1 +x 2 .

දක්වන්න x = x 1. සිට x 1, x 2 ස්වාධීන අහඹු විචල්‍ය වේ, එවිට අපි "සංකල්ප ප්‍රමේයය" භාවිතා කරමු.

එකතුව නම් ( Х i l පරාමිතිය සමඟ ඝාතීය ව්‍යාප්තියක් ඇත), එවිට වයි= Erlang බෙදාහැරීම නමින් ව්‍යාප්තියක් ඇත ( n- 1) ඇණවුම. පෝලිමේ න්‍යාය පිළිබඳ පළමු කෘතිවල දුරකථන හුවමාරු ක්‍රියාකාරිත්වය ආදර්ශනය කිරීමෙන් මෙම නීතිය ලබා ගන්නා ලදී.

ගණිතමය සංඛ්‍යාලේඛනවලදී, ස්වාධීන සාමාන්‍ය අහඹු විචල්‍යවල ශ්‍රිත වන අහඹු විචල්‍යයන් සඳහා බෙදා හැරීමේ නීති බොහෝ විට භාවිතා වේ. අහඹු සංසිද්ධි ආකෘති නිර්මාණය කිරීමේදී බහුලව දක්නට ලැබෙන නීති තුනක් සලකා බලමු.

ප්රමේයය 3.අහඹු විචල්‍යයන් ස්වාධීන නම් x 1, ..., X n, එවිට මෙම අහඹු විචල්‍යවල ශ්‍රිත ද ස්වාධීන වේ වයි 1 = f 1 (x 1), ...,Y n = f n(X n).

පියර්සන් බෙදා හැරීම(2 සිට - බෙදා හැරීම). ඉඩ x 1, ..., X nපරාමිති සහිත ස්වාධීන සාමාන්ය අහඹු විචල්ය වේ ඒ= 0, s = 1. අහඹු විචල්‍යයක් සම්පාදනය කරන්න

මේ ක්රමයෙන්,

x > 0 සඳහා ඝනත්වයට ආකෘතිය ඇති බව පෙන්විය හැක, එහිදී k n යනු කොන්දේසිය සපුරාලීම සඳහා යම් සංගුණකයකි. n ® ¥ ලෙස, පියර්සන් ව්‍යාප්තිය සාමාන්‍ය ව්‍යාප්තියට නැඹුරු වේ.

Х 1 , Х 2 , …, Хn ~ N(a,s), පසුව සසම්භාවී විචල්‍ය ~ N(0,1) කරමු. එබැවින්, සසම්භාවී විචල්‍යයට නිදහසේ අංශක n සමඟ c 2 ව්‍යාප්තියක් ඇත.

Pearson ව්‍යාප්තිය වගුගත කර ඇති අතර ගණිතමය සංඛ්‍යාලේඛනවල විවිධ යෙදුම්වල භාවිතා වේ (උදාහරණයක් ලෙස, බෙදා හැරීමේ නියමය අනුකූල වන බවට උපකල්පනය පරීක්ෂා කිරීමේදී).

ප්‍රායෝගිකව, බොහෝ විට අහඹු විචල්‍ය එකතුව සඳහා බෙදා හැරීමේ නියමය සොයා ගැනීම අවශ්‍ය වේ.

ක්‍රමයක් ඇති වේවා (X b X 2)අඛණ්ඩ s දෙකක්. තුල. සහ ඔවුන්ගේ එකතුව

අපි බෙදාහැරීමේ ඝනත්වය c සොයා ගනිමු. තුල. U. පෙර ඡේදයේ පොදු විසඳුමට අනුව, අපි ගුවන් යානයේ කලාපය සොයා ගනිමු x + x 2 (රූපය 9.4.1):

y සම්බන්ධයෙන් මෙම ප්‍රකාශනය වෙනස් කිරීම, අපි ap එකක් ලබා ගනිමු. අහඹු විචල්යය Y \u003d X + X 2:

φ (x b x 2) = Xj + x 2 ශ්‍රිතය එහි තර්ක සම්බන්ධයෙන් සමමිතික වන බැවින්

සමඟ නම්. තුල. xහා x 2 ස්වාධීන වේ, පසුව සූත්‍ර (9.4.2) සහ (9.4.3) පෝරමය ගනී:

නඩුවේදී ස්වාධීන විට සී. තුල. x xහා X 2,බෙදාහැරීමේ නීතිවල සංයුතිය ගැන කතා කරන්න. නිපැයුම සංයුතියබෙදාහැරීමේ නීති දෙකක් - මෙයින් අදහස් කරන්නේ ස්වාධීන c දෙකක එකතුවක් සඳහා බෙදා හැරීමේ නීතිය සොයා ගැනීමයි. c., මෙම නීතිවලට අනුව බෙදා හරිනු ලැබේ. බෙදාහැරීමේ නීතිවල සංයුතිය නම් කිරීම සඳහා සංකේතාත්මක අංකනය භාවිතා වේ

එය අත්‍යවශ්‍යයෙන්ම සූත්‍ර (9.4.4) හෝ (9.4.5) මගින් දැක්වේ.

උදාහරණ 1. තාක්ෂණික උපාංග දෙකක (TD) කාර්යය සලකා බලනු ලැබේ. පළමුව, TU එහි අසමත් වීමෙන් පසුව (අසාර්ථක වීම) TU 2 හි ක්රියාකාරිත්වයට ඇතුළත් වේ. අතිකාල TU TU TU 2 - x xහා x 2 - A,1 සහ පරාමිති සහිත ඝාතීය නීති අනුව ස්වාධීන වන අතර බෙදා හරිනු ලැබේ X 2 .එබැවින්, කාලය වයි TU වලින් සමන්විත TU හි කරදරයකින් තොරව ක්‍රියාත්මක වේ! සහ TU 2 සූත්රය මගින් තීරණය කරනු ලැබේ

එය p.r සොයා ගැනීමට අවශ්ය වේ. අහඹු විචල්යය Y,එනම්, පරාමිතීන් සහිත ඝාතීය නීති දෙකක සංයුතිය සහ X 2 .

විසඳුමක්. සූත්‍රය (9.4.4) මගින් අපට ලැබෙන්නේ (y > 0)

එකම පරාමිතීන් සහිත ඝාතීය නීති දෙකක සංයුතියක් තිබේ නම් (?c = x 2 = Y), පසුව (9.4.8) ප්‍රකාශනයේ 0/0 වර්ගයේ අවිනිශ්චිතතාවයක් ලබා ගනී, එය පුළුල් කිරීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:

මෙම ප්‍රකාශනය ප්‍රකාශනය (6.4.8) සමඟ සසඳන විට, සමාන ඝාතීය නීති දෙකක (?c =) සංයුතිය බව අපට ඒත්තු ගොස් ඇත. x 2 = x)දෙවන අනුපිළිවෙල Erlang නීතිය (9.4.9) වේ. විවිධ පරාමිතීන් සහිත ඝාතීය නීති දෙකක් සම්පාදනය කරන විට x xසහ A-2 ලබා ගනී දෙවන පෙළ සාමාන්‍යකරණය කරන ලද Erlang නීතිය (9.4.8). ?

ගැටළුව 1. තත්පර දෙකක වෙනස බෙදා හැරීමේ නීතිය. තුල. සමඟ පද්ධතිය. තුල. (X සහ X 2)ඒකාබද්ධ r.p./(x x x 2) ඇත. p.r එකක් සොයා ගන්න. ඔවුන්ගේ වෙනස්කම් Y=X - X 2 .

විසඳුමක්. සමඟ පද්ධතිය සඳහා තුල. (X b - X 2)ආදිය වනු ඇත / (x b - x 2),එනම් අපි වෙනස එකතුව සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කළෙමු. එබැවින්, ඒ.ආර්. අහඹු විචල්‍ය U හි පෝරමය ඇත (බලන්න (9.4.2), (9.4.3)):

අ සමඟ. තුල. X x iX 2 ස්වාධීන, එසේ නම්

උදාහරණ 2. f.r සොයන්න. ස්වාධීන ඝාතීය ලෙස බෙදා හරින ලද s දෙකක වෙනස. තුල. පරාමිතීන් සමඟ x xහා X 2 .

විසඳුමක්. සූත්රය (9.4.11) අනුව අපට ලැබේ

සහල්. 9.4.2 සහල්. 9.4.3

රූප සටහන 9.4.2 p. g(y). අපි ස්වාධීන ඝාතීය ලෙස බෙදා හරින ලද s දෙකක වෙනස සලකා බැලුවහොත්. තුල. එකම සැකසුම් සමඟ (ඒ-අයි= x 2 = නමුත්,),එවිට g(y) \u003d / 2 - දැනටමත් හුරුපුරුදුය

Laplace ගේ නීතිය (රූපය 9.4.3). ?

උදාහරණ 3. ස්වාධීන c දෙකක එකතුව සඳහා බෙදා හැරීමේ නීතිය සොයන්න. තුල. xහා X 2,පරාමිති සමඟ පොයිසන් නීතියට අනුව බෙදා හරිනු ලැබේ xහා a 2 .

විසඳුමක්. සිදුවීමක සම්භාවිතාව සොයන්න (X x + x 2 = t) (t = 0, 1,

එබැවින්, එස්. තුල. Y= X x + x 2 පරාමිතිය සමඟ පොයිසන් නීතියට අනුව බෙදා හරිනු ලැබේ a x2) - a x + a 2. ?

උදාහරණ 4. ස්වාධීන c දෙකක එකතුව සඳහා බෙදා හැරීමේ නීතිය සොයන්න. තුල. x xහා X 2,පරාමිතීන් සහිත ද්විපද නීති අනුව බෙදා හරිනු ලැබේ p x ri p 2, පිපිළිවෙලින්.

විසඳුමක්. සමඟ සිතන්න. තුල. x xපරිදි:

කොහෙද X 1) -සිදුවීම් දර්ශකය නමුත්වූ" අත්දැකීම:

සමඟ බෙදා හැරීමේ පරාසය. තුල. X,- ආකෘතිය ඇත

අපි s සඳහා සමාන නියෝජනයක් කරන්නෙමු. තුල. X 2:එහිදී X] 2) - සිදුවීම් දර්ශකය නමුත් y"-වැනි අත්දැකීමෙන්:

ප්රතිඵලයක් වශයෙන්,

X කොහෙද? 1)+(2) සිදුවීම් දර්ශකය නම් නමුත්:

ඒ අනුව අපි ඒ බව පෙන්වා දී තිබෙනවා තුල. මාමණ්ඩි මුදල (u + n 2)සිදුවීම් දර්ශක නමුත්, එය අනුගමනය කරන්නේ කොතැනින්ද යන්නයි. තුල. ^පරාමිතීන් සහිත ද්විපද නීතියට අනුව බෙදා හැර ඇත ( n x + n 2), පි.

සම්භාවිතාව නම් බව සලකන්න ආර්විවිධ අත්හදා බැලීම් මාලාවක දී, ස්වාධීන s දෙකක් එකතු කිරීමේ ප්රතිඵලයක් ලෙස වෙනස් වේ. c., ද්විපද නීති අනුව බෙදාහරින ලද, එය c හැරෙනවා. c., ද්විපද නීතියට අනුව බෙදා හැර නැත. ?

උදාහරණ 3 සහ 4 අත්තනෝමතික පද ගණනකට පහසුවෙන් සාමාන්‍යකරණය වේ. පරාමිති සමඟ පොයිසන්ගේ නීති සම්පාදනය කරන විට a b a 2, ..., හිදී Poisson's නියමය නැවතත් පරාමිතිය සමඟ ලබා ගනී a (t) \u003d a x + a 2 + ... + හා T.

පරාමිති සහිත ද්විපද නීති සම්පාදනය කරන විට (n ආර්); (i 2, R) , (n t, p)නැවතත් අපි පරාමිති සහිත ද්විපද නීතිය ලබා ගනිමු ("("), ආර්),කොහෙද n (t) \u003d u + n 2 + ... + ආදිය

අපි Poisson නීතියේ සහ ද්විපද නීතියේ වැදගත් ගුණාංග ඔප්පු කර ඇත: "ස්ථාවර දේපල". බෙදාහැරීමේ නීතිය ලෙස හැඳින්වේ තිරසාර,එකම වර්ගයේ නීති දෙකක සංයුතිය එකම වර්ගයේ නීතියක් ඇති කරයි නම් (මෙම නීතියේ පරාමිතීන් පමණක් වෙනස් වේ). 9.7 උපවගන්තියේ අපි සාමාන්‍ය නීතියට සමාන ස්ථායිතා ගුණයක් ඇති බව පෙන්වමු.

එක් ගැටළුවක් විසඳීමට ඉහත සාමාන්‍ය ක්‍රමය භාවිතා කරමු, එනම් අහඹු විචල්‍ය දෙකක එකතුව සඳහා බෙදා හැරීමේ නියමය සොයා ගැනීමට. බෙදා හැරීමේ ඝනත්වය f(x,y) සහිත අහඹු විචල්‍ය දෙකක (X,Y) පද්ධතියක් ඇත. X සහ Y සසම්භාවී විචල්‍යවල එකතුව සලකා බලන්න: Z අගය බෙදා හැරීමේ නීතිය සොයා ගන්න. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි xOy තලය මත රේඛාවක් ගොඩනඟමු, එහි සමීකරණය (රූපය 7). මෙය අක්ෂවල z ට සමාන කොටස් කපා හරින සරල රේඛාවකි. සරල රේඛාව xy තලය කොටස් දෙකකට බෙදයි; දකුණට සහ ඊට ඉහළින්; වම් සහ පහළ.

මෙම නඩුවේ D කලාපය යනු xOy තලයේ පහළ වම් කොටස වන අතර එය රූපයේ දැක්වේ. 7. සූත්‍රය (16) අනුව අපට ඇත්තේ:

මෙම ප්‍රකාශනය අභ්‍යන්තර අනුකලයේ ඉහළ සීමාවේ ඇතුළත් z විචල්‍යයට අදාළව වෙනස් කිරීම, අපට ලැබෙන්නේ:

සසම්භාවී විචල්‍ය දෙකක එකතුවේ ව්‍යාප්ති ඝනත්වය සඳහා වන සාමාන්‍ය සූත්‍රය මෙයයි.

X සහ Y සම්බන්ධයෙන් ගැටලුවේ සමමිතිය හේතු නිසා, අපට එම සූත්‍රයේ තවත් අනුවාදයක් ලිවිය හැකිය:

පළමු එකට සමාන වන අතර ඒ වෙනුවට භාවිතා කළ හැක.

සාමාන්ය නීතිවල සංයුතිය පිළිබඳ උදාහරණයක්. සාමාන්‍ය නීතිවලට යටත්ව X සහ Y ස්වාධීන අහඹු විචල්‍ය දෙකක් සලකා බලන්න:

මෙම නීතිවල සංයුතියක් නිෂ්පාදනය කිරීම අවශ්‍ය වේ, එනම්, ප්‍රමාණයේ බෙදා හැරීමේ නීතිය සොයා ගැනීමට: .

බෙදා හැරීමේ නීති සංයුතිය සඳහා අපි පොදු සූත්‍රය යොදන්නෙමු:

අපි අනුකලනයේ ඝාතකයේ වරහන් විවෘත කර සමාන නියමයන් ගෙන එන්නේ නම්, අපට ලැබෙන්නේ:

අප දැනටමත් මුහුණ දී ඇති සූත්‍රයට මෙම ප්‍රකාශන ආදේශ කිරීම

පරිවර්තනයෙන් පසු අපට ලැබෙන්නේ:

මෙය විසරණ මධ්‍යස්ථානයක් සහිත සාමාන්‍ය නීතියක් මිස අන් කිසිවක් නොවේ

සහ සම්මත අපගමනය

පහත සඳහන් ගුණාත්මක තර්කය ආධාරයෙන් එම නිගමනයට වඩා පහසුවෙන් ළඟා විය හැකිය.

වරහන් විවෘත නොකර සහ අනුකලනය (17) හි පරිවර්තන සිදු නොකර, අපි වහාම නිගමනයට පැමිණෙන්නේ ඝාතකය පෝරමයේ x ට සාපේක්ෂව හතරැස් ත්‍රිපදයක් බවයි.

z හි අගය කිසිසේත් A සංගුණකයට ඇතුළත් නොවන විට, B සංගුණකය පළමු උපාධියට ඇතුළත් වන අතර C සංගුණකය වර්ග කර ඇත. මෙය මනසේ තබාගෙන (18) සූත්‍රය යෙදීමෙන්, අපි නිගමනය කරන්නේ g(z) යනු ඝාතීය ශ්‍රිතයක් වන අතර එහි ඝාතකය z ට සාපේක්ෂව වර්ග ත්‍රිපදයක් වන අතර ව්‍යාප්ති ඝනත්වය; මේ ආකාරයේ සාමාන්ය නීතියට අනුරූප වේ. මෙසේ, අපි; අපි සම්පූර්ණයෙන්ම ගුණාත්මක නිගමනයකට පැමිණෙමු: z බෙදා හැරීමේ නීතිය සාමාන්‍ය විය යුතුය. මෙම නීතියේ පරාමිතීන් සොයා ගැනීමට - සහ - අපි ගණිතමය අපේක්ෂාවන් එකතු කිරීමේ ප්‍රමේය සහ විචල්‍ය එකතු කිරීමේ ප්‍රමේයය භාවිතා කරමු. ගණිතමය අපේක්ෂාවන් එකතු කිරීමේ ප්රමේයය මගින්. විසරණ එකතු කිරීමේ ප්‍රමේයය හෝ සූත්‍රය (20) අනුගමනය කරන්නේ කොතැනින්ද යන්නයි.

මූල-මධ්‍යන්‍ය-චතුරස්‍ර අපගමනවල සිට ඒවාට සමානුපාතික විය හැකි අපගමනය දක්වා ගමන් කිරීම, අපට ලැබෙන්නේ: .

මේ අනුව, අපි පහත රීතියට පැමිණ ඇත: සාමාන්‍ය නීති සම්පාදනය කරන විට, සාමාන්‍ය නීතියක් නැවත ලබා ගන්නා අතර, ගණිතමය අපේක්ෂාවන් සහ විචලනයන් (හෝ වර්ග කළ හැකි අපගමනයන්) සාරාංශ කරනු ලැබේ.

සාමාන්‍ය නීති සඳහා සංයුති රීතිය ස්වාධීන අහඹු විචල්‍යවල අත්තනෝමතික සංඛ්‍යාවකට සාමාන්‍යකරණය කළ හැක.

n ස්වාධීන අහඹු විචල්‍ය තිබේ නම්: විසිරුම් මධ්‍යස්ථාන සහ සම්මත අපගමනය සහිත සාමාන්‍ය නීතිවලට යටත් වේ, එවිට අගය පරාමිතීන් සහිත සාමාන්‍ය නීතියට ද යටත් වේ.

සූත්‍රය (22) වෙනුවට, සමාන සූත්‍රයක් භාවිතා කළ හැක:

අහඹු විචල්‍ය පද්ධතිය (X, Y) සාමාන්‍ය නීතියට අනුව බෙදා හරිනු ලැබුවද, X, Y ප්‍රමාණ රඳා පවතී නම්, සාමාන්‍ය සූත්‍රය (6.3.1) මත පදනම්ව පෙර පරිදිම ඔප්පු කිරීම පහසුය. ප්‍රමාණයේ බෙදා හැරීමේ නීතිය ද සාමාන්‍ය නීතියක් බව. විසිරුම් මධ්‍යස්ථාන තවමත් වීජීය වශයෙන් එකතු කර ඇත, නමුත් සම්මත අපගමනය සඳහා රීතිය වඩාත් සංකීර්ණ වේ: , එහිදී, r යනු X සහ Y අගයන්හි සහසම්බන්ධතා සංගුණකය වේ.

රඳා පවතින අහඹු විචල්‍යයන් කිහිපයක් එකතු කරන විට, ඒවායේ සම්පුර්ණයෙන්ම සාමාන්‍ය නීතියට අවනත වන අතර, එකතුවේ බෙදා හැරීමේ නියමය ද පරාමිතීන් සමඟ සාමාන්‍ය වේ.

හෝ විය හැකි අපගමනය

X i, X j යන ප්‍රමාණවල සහසම්බන්ධතා සංගුණකය කොහිද, සහ සමාකලනය ප්‍රමාණවල විවිධ යුගල වශයෙන් සංයෝජන දක්වා විහිදේ.

සාමාන්‍ය නීතියේ ඉතා වැදගත් දේපලක් අපි දැක ඇත්තෙමු: සාමාන්‍ය නීති ඒකාබද්ධ වූ විට, යමෙකු නැවත සාමාන්‍ය නීතියක් ලබා ගනී. මෙය ඊනියා "ස්ථාවර දේපල" වේ. බෙදාහැරීමේ නීතියක් ස්ථායී යැයි කියනුයේ, මේ ආකාරයේ නීති දෙකක් සම්පාදනය කිරීමෙන්, එම වර්ගයේම නීතියක් නැවත ලබා ගන්නේ නම් ය. සාමාන්‍ය නීතිය ස්ථාවර බව අප ඉහත පෙන්වා දී ඇත. ඉතා සුළු බෙදාහැරීමේ නීති ස්ථාවරත්වයේ දේපල ඇත. ඒකාකාර ඝනත්වයේ නියමය අස්ථායී ය: 0 සිට 1 දක්වා කොටස්වල ඒකාකාර ඝනත්වයේ නීති දෙකක් සම්පාදනය කරන විට, අපි සිම්ප්සන්ගේ නියමය ලබා ගත්තෙමු.

සාමාන්‍ය නීතියක ස්ථායිතාව ප්‍රායෝගිකව එහි පුළුල් භාවිතය සඳහා අත්‍යවශ්‍ය කොන්දේසිවලින් එකකි. කෙසේ වෙතත්, ස්ථාවරත්වයේ දේපල, සාමාන්ය එකට අමතරව, වෙනත් බෙදාහැරීමේ නීති ද ඇත. සාමාන්‍ය නීතියේ ලක්ෂණයක් නම්, ප්‍රායෝගිකව අත්තනෝමතික බෙදාහැරීමේ නීති ප්‍රමාණවත් තරම් විශාල සංඛ්‍යාවක් සම්පාදනය කළ විට, නියමයන් බෙදාහැරීමේ නීති කුමක් වුවත්, සම්පූර්ණ නීතිය සාමාන්‍ය නීතියට අත්තනෝමතික ලෙස සමීප වීමයි. නිදසුනක් ලෙස, 0 සිට 1 දක්වා කොටස්වල ඒකාකාර ඝනත්වයේ නීති තුනක සංයුතිය රචනා කිරීමෙන් මෙය නිදර්ශනය කළ හැකිය. ප්රතිඵලයක් ලෙස බෙදාහැරීමේ නීතිය g(z) රූපයේ දැක්වේ. 8. චිත්‍රයෙන් පෙනෙන පරිදි, g (z) ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය සාමාන්‍ය නීතියේ ප්‍රස්ථාරයට බෙහෙවින් සමාන ය.

සම්භාවිතා න්‍යායේ අතිශය වැදගත් වස්තුවක් වන්නේ ස්වාධීන අහඹු විචල්‍යවල එකතුවයි. එය සම්භාවිතා න්‍යායේ විශ්ලේෂණ ක්‍රම සංවර්ධනය සඳහා පදනම දැමූ ස්වාධීන අහඹු විචල්‍යවල එකතුව බෙදා හැරීම අධ්‍යයනය කිරීමයි.

ස්වාධීන අහඹු විචල්‍යවල එකතුව බෙදා හැරීම

මෙම කොටසේදී, ස්වාධීන අහඹු විචල්‍යවල එකතුවේ බෙදා හැරීමේ ශ්‍රිතය ගණනය කිරීමට ඉඩ සලසන සාමාන්‍ය සූත්‍රයක් අපි ලබා ගනිමු, සහ උදාහරණ කිහිපයක් සලකා බලමු.

ස්වාධීන අහඹු විචල්‍ය දෙකක එකතුව බෙදා හැරීම. සංවෘත සූත්‍රය

බෙදා හැරීමේ ශ්‍රිත සහිත ස්වාධීන අහඹු විචල්‍යයන්

පිළිවෙලින්

එවිට බෙදාහැරීමේ කාර්යය එෆ්අහඹු විචල්‍යවල එකතුව

පහත සූත්‍රය භාවිතයෙන් ගණනය කළ හැක ( convolution සූත්රය)

මෙය සනාථ කිරීම සඳහා, අපි Fubini ගේ ප්රමේයය භාවිතා කරමු.

සූත්‍රයේ දෙවන කොටසද එලෙසම ඔප්පු වේ.

ස්වාධීන අහඹු විචල්‍ය දෙකක එකතුවේ ව්‍යාප්ති ඝනත්වය

සසම්භාවී විචල්‍ය දෙකෙහිම ව්‍යාප්තියට ඝනත්වය තිබේ නම්, මෙම අහඹු විචල්‍යවල එකතුවේ ඝනත්වය සූත්‍රය මගින් ගණනය කළ හැක.

අහඹු විචල්‍යයක (හෝ ) ව්‍යාප්තියට ඝනත්වයක් තිබේ නම්, මෙම අහඹු විචල්‍යවල එකතුවේ ඝනත්වය සූත්‍රය මගින් ගණනය කළ හැක.

මෙම ප්‍රකාශයන් සනාථ කිරීම සඳහා ඝනත්වයේ නිර්වචනය භාවිතා කිරීම ප්‍රමාණවත් වේ.

බහු විකෘති කිරීම්

පරිමිත ස්වාධීන අහඹු විචල්‍ය සංඛ්‍යාවක එකතුව ගණනය කිරීම සිදු කරනු ලබන්නේ සංකෝචන සූත්‍රයේ අනුක්‍රමික යෙදුම භාවිතා කරමිනි. එකතුව බෙදා හැරීමේ කාර්යය කේබෙදා හැරීමේ ශ්‍රිතයක් සහිත ස්වාධීන සමානව බෙදා හරින ලද අහඹු විචල්‍යයන් එෆ්

කියලා කේ- බෙදා හැරීමේ ශ්‍රිතයේ ගුණාකාර සංකලනය එෆ්සහ දැක්වේ

ස්වාධීන අහඹු විචල්‍යවල එකතුවන්ගේ ව්‍යාප්තිය ගණනය කිරීමේ උදාහරණ

මෙම ඡේදයේ, අවස්ථා පිළිබඳ උදාහරණ ලබා දී ඇත, අහඹු විචල්යයන් සාරාංශ කරන විට, බෙදා හැරීමේ ස්වරූපය සංරක්ෂණය කර ඇත. සාධනය යනු සමීකරණය සහ අනුකලනය ගණනය කිරීම පිළිබඳ අභ්‍යාස වේ.

ස්වාධීන අහඹු විචල්‍යවල එකතුව. සාමාන්ය බෙදාහැරීමේ

ස්වාධීන අහඹු විචල්‍යවල එකතුව ද්විපද ව්‍යාප්තිය

ස්වාධීන අහඹු විචල්‍යවල එකතුව විෂ ව්‍යාප්තිය

ස්වාධීන අහඹු විචල්‍යවල එකතුව ගැමා ව්‍යාප්තිය

විෂ ක්රියාවලිය

පරාමිතිය සමඟ ඝාතීය ව්‍යාප්තියක් ඇති ස්වාධීන අනන්‍ය ලෙස බෙදා හරින ලද අහඹු විචල්‍ය අනුපිළිවෙලකි

ලකුණුවල අහඹු අනුපිළිවෙල

සෘණ නොවන අර්ධ අක්ෂය මත හැඳින්වේ Poisson (ලක්ෂ්ය) ක්රියාවලිය.

අපි ලකුණු ගණන බෙදා හැරීම ගණනය කරමු

පරතරය තුළ විෂ ක්රියාවලිය (0,t)

සමාන, එසේ

නමුත් අහඹු විචල්‍යයේ ව්‍යාප්තිය

යනු k ඇණවුමේ Erlang බෙදාහැරීමකි, එසේ

මේ අනුව, පොයිසන් ක්‍රියාවලියේ ලක්ෂ්‍ය සංඛ්‍යාව පරතරයේ (o,t) බෙදා හැරීම පරාමිතිය සහිත විෂ ව්‍යාප්තියකි.

අහඹු සිදුවීම් සිදුවීමේ අවස්ථා අනුකරණය කිරීමට Poisson ක්‍රියාවලිය භාවිතා කරයි - විකිරණශීලී ක්ෂය වීමේ ක්‍රියාවලිය, දුරකථන හුවමාරුවට ඇමතුම් ලැබෙන අවස්ථා, සේවා පද්ධතියේ ගනුදෙනුකරුවන්ගේ පෙනුමේ අවස්ථා, උපකරණ අසමත් වීමේ අවස්ථා.

සමහර අහඹු සිදුවීම්වල අහිතකර මූල්‍ය බලපෑම අවම කිරීම සඳහා තීරණ ගන්නා රක්ෂණය භාවිතා කළ හැකිය.

නමුත් මෙම සලකා බැලීම ඉතා සාමාන්‍ය දෙයකි, මන්ද තීරණ ගන්නෙකු විසින් දේපල, ඉතුරුම් හෝ ආදායමට හානි වලින් ආරක්ෂාව අපේක්ෂා කරන පුද්ගලයෙකු සහ එකම ආකාරයේ හානියකින් ආරක්ෂාව අපේක්ෂා කරන සංවිධානයක් යන දෙකම අදහස් කළ හැකිය.

ඇත්ත වශයෙන්ම, එවැනි සංවිධානයක් තනි සේවාදායකයෙකු සමඟ හෝ එහි රක්ෂණ කළඹ සමඟ සිදුවී ඇති බොහෝ රක්‍ෂිත සිදුවීම් හේතුවෙන් මූල්‍ය පාඩු වලින් ආරක්ෂා වීමට මාර්ග සොයන රක්ෂණ සමාගමක් විය හැකිය. මෙම ආරක්ෂාව ලෙස හැඳින්වේ නැවත රක්ෂණය.

ආකෘති දෙකෙන් එකක් සලකා බලන්න (එනම් තනි අවදානම් ආකෘතිය) රක්ෂණ අනුපාත සහ සංචිත තීරණය කිරීමේදී මෙන්ම ප්‍රතිරක්‍ෂණයේදීද බහුලව භාවිතා වේ.

මගින් දක්වන්න එස්එහි අවදානම් වලින් කොටසක් සඳහා රක්ෂණ සමාගමේ අහඹු පාඩු ප්‍රමාණය. මේ අවස්ථාවේ දී එස්යනු අහඹු විචල්‍යයක් වන අතර ඒ සඳහා අපට සම්භාවිතා ව්‍යාප්තිය තීරණය කළ යුතුය. ඓතිහාසික වශයෙන්, r.v බෙදාහැරීම් සඳහා. එස්පෝස්ටලේට් කට්ටල දෙකක් විය. පුද්ගල අවදානම් ආකෘතිය නිර්වචනය කරයි එස්පහත ආකාරයෙන්:

එහිදී r.v. අංකය සමඟ රක්ෂණ වස්තුවෙන් සිදුවන පාඩු අදහස් වේ මම,ඒ nමුළු රක්ෂණ වස්තු ගණන දක්වයි.

සාමාන්‍යයෙන් ඒවා ස්වාධීන අහඹු විචල්‍යයන් යැයි උපකල්පනය කෙරේ, මන්ද මෙම අවස්ථාවේ දී ගණිතමය ගණනය කිරීම් සරල වන අතර ඒවා අතර සම්බන්ධතාවයේ ස්වභාවය පිළිබඳ තොරතුරු අවශ්‍ය නොවේ. දෙවන ආකෘතිය සාමූහික අවදානම් ආකෘතියයි.

පුද්ගල අවදානම් පිළිබඳ සලකා බැලූ ආකෘතිය කාලයත් සමඟ මුදල්වල වටිනාකමෙහි වෙනස්කම් පිළිබිඹු නොකරයි. මෙය සිදු කරනුයේ ආකෘතිය සරල කිරීම සඳහා වන අතර, ලිපියේ මාතෘකාව කෙටි කාල පරතරයක් ගැන සඳහන් කරන්නේ එබැවිනි.

අපි සංවෘත ආකෘති පමණක් සලකා බලමු, i.e. රක්ෂණ වස්තු සංඛ්යාව ඇති ඒවා nසූත්‍රයේ (1.1) සලකා බලන කාල පරතරයේ ආරම්භයේදීම දන්නා සහ ස්ථාවර වේ. රක්ෂණ පද්ධතියෙන් හෝ සංක්‍රමණය වීම පිළිබඳ උපකල්පන අප හඳුන්වා දෙන්නේ නම්, අපට විවෘත ආකෘතියක් ලැබේ.

තනි ගෙවීම් විස්තර කරන අහඹු විචල්‍යයන්

පළමුව, අපි ජීවිත රක්‍ෂණය සම්බන්ධ ප්‍රධාන විධිවිධාන සිහිපත් කරමු.

වසරක කාලයක් සඳහා මරණ රක්‍ෂණයක් සිදුවුවහොත්, එම මුදල ගෙවීමට රක්ෂණකරු භාර ගනී බී, රක්ෂණ ගිවිසුම අවසන් වූ දින සිට වසරක් ඇතුළත රක්ෂණ ඔප්පුහිමියා මිය ගියහොත් සහ රක්ෂණ ඔප්පුහිමියා මේ වසරේ ජීවත් වන්නේ නම් කිසිවක් නොගෙවන්නේ නම්.

නිශ්චිත වර්ෂය තුළ රක්ෂිත සිදුවීමක් සිදුවීමේ සම්භාවිතාව මගින් දැක්වේ.

රක්ෂණ ගෙවීම් විස්තර කරන අහඹු විචල්‍යයට සම්භාවිතා ශ්‍රිතය මගින් නියම කළ හැකි ව්‍යාප්තියක් ඇත

(2.1)

හෝ අනුරූප බෙදාහැරීමේ කාර්යය

(2.2)

සූත්‍රයෙන් (2.1) සහ අවස්ථාවන්හි නිර්වචනයෙන්, අපි ලබා ගනිමු

(2.4)

මෙම සූත්‍ර ලිවීමෙන් ද ලබාගත හැකිය xපරිදි

මරණයකදී ගෙවනු ලබන නියත අගයක් වන අතර, එය මරණයේදී 1 අගය සහ වෙනත් ආකාරයකින් 0 ගන්නා අහඹු විචල්‍යයකි.

මේ අනුව, සහ , සහ r.v හි මධ්යන්ය අගය සහ විචලනය. සමාන සහ පිළිවෙලින්, සහ r.v හි මධ්යන්ය අගය සහ විචලනය. සමාන වේ සහ ඉහත සූත්‍ර සමග සමපාත වේ.

පරාසය (0,1) සහිත අහඹු විචල්‍යයක් ක්‍රියාකාරී මාදිලිවල බහුලව භාවිතා වේ.

සම්භාවිතා න්‍යාය පිළිබඳ පෙළපොත්වල එය හැඳින්වේ දර්ශකය, බර්නූලි අහඹු ලෙසවටිනාකම හෝ ද්විපද සසම්භාවී විචල්‍යයතනි පරීක්ෂණ නිර්මාණය තුළ.

අපි ඇයව අමතන්නෙමු දර්ශකයසංක්ෂිප්ත හේතූන් මත සහ එය අදාළ සිදුවීමේ ආරම්භය හෝ ආරම්භය නොවන බව පෙන්නුම් කරන බැවිනි.

රක්ෂණ ගෙවීමේ වටිනාකම අහඹු විචල්‍යයක් වන අතර සලකා බලන කාල පරතරය තුළ රක්ෂණ සිදුවීම් කිහිපයක් සිදුවිය හැකි වඩාත් සාමාන්‍ය මාදිලි සඳහා සෙවීමට අපි යොමු වෙමු.

සෞඛ්ය රක්ෂණය, වාහන සහ අනෙකුත් දේපල රක්ෂණය සහ වගකීම් රක්ෂණය වහාම බොහෝ උදාහරණ සපයයි. සූත්රය සාමාන්යකරණය කිරීම (2.5), අපි සකස් කරමු

සලකා බලන කාල පරතරය තුළ රක්ෂණ ගෙවීම් විස්තර කරන අහඹු විචල්‍යයක්, r.v. මෙම කාල පරතරයේ මුළු ගෙවීම් ප්‍රමාණය සහ r.v. අවම වශයෙන් එක් රක්‍ෂිත සිදුවීමක් හෝ සිදුවී ඇති සිද්ධිය සඳහා දර්ශකයකි.

එවැනි සිදුවීමක දර්ශකයක් වීම, r.v. පැවැත්ම නිවැරදි කරයි () නැත්නම් අඩුව () මෙම කාල පරතරය තුළ රක්ෂිත සිදුවීම්, නමුත් එහි රක්ෂිත සිදුවීම් ගණන නොවේ.

මගින් සම්භාවිතාව දිගටම දක්වනු ඇත.

අපි උදාහරණ කිහිපයක් සාකච්ඡා කර අහඹු විචල්‍ය ව්‍යාප්තිය සහ යම් ආකෘතියක් තුළ තීරණය කරමු.

අපි මුලින්ම සලකා බලමු අවුරුද්දක මරණ රක්ෂණය, මරණය හදිසි අනතුරක් නම් අමතර ප්‍රතිලාභයක් සමඟ.

නිශ්චිත භාවය සඳහා, අපි හිතමු මරණය සිදුවූයේ හදිසි අනතුරකින් නම්, ගෙවීමේ මුදල 50,000 ක් වනු ඇත, වෙනත් හේතු නිසා මරණය සිදු වුවහොත්, ගෙවීමේ මුදල 25,000 ක් වනු ඇත.

යම් වයසක, සෞඛ්‍ය තත්වයේ සහ වෘත්තියේ යෙදී සිටින පුද්ගලයෙකුට, වර්ෂය තුළ හදිසි අනතුරක් හේතුවෙන් මිය යාමේ සම්භාවිතාව 0.0005 ක් වන අතර වෙනත් හේතූන් නිසා මිය යාමේ සම්භාවිතාව 0.0020 ක් යැයි උපකල්පනය කරමු. සූත්‍ර ස්වරූපයෙන්, එය මේ ආකාරයෙන් පෙනේ:

හි හැකි සියලුම අගයන් සාරාංශගත කිරීම, අපි ලබා ගනිමු

,

කොන්දේසි සහිත බෙදා හැරීම c. තුල. කොන්දේසියේ ස්වරූපය ඇත

250 ක කොන්දේසි විරහිත අඩු කළ හැකි සහ 2000 ක උපරිම ගෙවීමක් සමඟ මෝටර් රථ ගැටුම් රක්ෂණය (ඔහුගේ මෝටර් රථයට සිදු වූ හානිය සඳහා මෝටර් රථයේ හිමිකරුට ගෙවන වන්දි) දැන් සලකා බලන්න.

පැහැදිලිකම සඳහා, අපි පුද්ගලයෙකු සඳහා සලකා බලන කාල සීමාව තුළ එක් රක්ෂිත සිදුවීමක් සිදුවීමේ සම්භාවිතාව 0.15 ක් වන අතර, එකකට වඩා ගැටුම් ඇතිවීමේ සම්භාවිතාව ශුන්‍යයට සමාන වේ:

, .

r.v බෙදාහැරීම සරල කිරීම සඳහා එක් කාල පරිච්ඡේදයක් තුළ රක්‍ෂිත සිදුවීම් එකකට වඩා සිදු නොවිය හැකි බවට යථාර්ථවාදී නොවන උපකල්පනය සිදු කෙරේ. .

රක්ෂණ හිමිකම් කීපයක එකතුව බෙදා හැරීම සලකා බැලීමෙන් පසුව අපි මෙම උපකල්පනය මීළඟ කොටසින් ඉවත් කරන්නෙමු.

රක්ෂණකරුගේ ගෙවීම්වල වටිනාකම මිස මෝටර් රථයට සිදු වූ හානිය නොවන බැවින්, අපට ලක්ෂණ දෙකක් සලකා බැලිය හැකිය, සහ.

පළමුව, මෙම සිදුවීමට හානිය කොන්දේසි විරහිත අඩු කළ හැකි 250 ට වඩා අඩු වන ගැටුම් ඇතුළත් වේ.

දෙවනුව, r.v බෙදා හැරීම. 2000 ට සමාන උපරිම රක්ෂණ ගෙවීම් ප්රමාණයේ ලක්ෂ්යයේ සම්භාවිතා ස්කන්ධයේ "කැටියක්" ඇත.

මෙම ලක්ෂ්‍යයේ සංකේන්ද්‍රණය වී ඇති සම්භාවිතා ස්කන්ධය 0.1ක් යැයි උපකල්පනය කරන්න. තවද, 0 සිට 2000 දක්වා පරතරය තුළ රක්ෂණ ගෙවීම්වල වටිනාකම සමානුපාතික ඝනත්ව ශ්‍රිතයක් සහිත අඛණ්ඩ ව්‍යාප්තියකින් ආකෘතිගත කළ හැකි යැයි සිතමු. (ප්‍රායෝගිකව, වාරික බෙදා හැරීම නියෝජනය කිරීමට තෝරා ගන්නා අඛණ්ඩ වක්‍රය පෙර කාල පරිච්ඡේදයේ වාරික අධ්‍යයනයේ ප්‍රතිඵලයකි.)

r.v හි කොන්දේසි සහිත ව්‍යාප්තිය පිළිබඳ මෙම උපකල්පන සාරාංශ කිරීම. කොන්දේසිය යටතේ, අපි 0 සිට 2000 දක්වා පරාසයක ධනාත්මක ඝනත්වයක් සහ 2000 ලක්ෂයේ දී සම්භාවිතා ස්කන්ධයේ යම් "කැටියක්" ඇති මිශ්‍ර ආකාරයේ ව්‍යාප්තියකට පැමිණෙමු. මෙය රූපයේ ප්‍රස්ථාරයෙන් දැක්වේ. 2.2.1.

මෙම කොන්දේසි සහිත ව්‍යාප්තියේ බෙදා හැරීමේ කාර්යය මේ ආකාරයෙන් පෙනේ:

Fig.2.1. r.v හි බෙදා හැරීමේ කාර්යය I = 1 කොන්දේසිය යටතේ B

මෝටර් රථ රක්ෂණය සමඟ සලකා බැලූ උදාහරණයේ ගණිතමය අපේක්ෂාව සහ විචලනය අපි ආකාර දෙකකින් ගණනය කරමු.

පළමුව, අපි r.v බෙදා හැරීම ලියන්නෙමු. ගණනය කිරීමට සහ එය භාවිතා කරන්න. r.v හි බෙදා හැරීමේ කාර්යය හරහා දැක්වීම. , අපිට තියනවා

සදහා x<0

මෙය මිශ්ර බෙදාහැරීමකි. රූපයේ දැක්වෙන පරිදි. 2.2, එයට විවික්ත (2000 ලක්ෂ්‍යයේ සම්භාවිතා ස්කන්ධ "පොකුරක්") සහ අඛණ්ඩ කොටසක් ඇත. එවැනි බෙදා හැරීමේ ශ්‍රිතයක් සම්භාවිතා ශ්‍රිතයේ සංකලනයකට අනුරූප වේ

සහල්. 2.2 r.v හි බෙදා හැරීමේ කාර්යය X=IB

සහ ඝනත්ව කාර්යයන්

විශේෂයෙන්, සහ . ඒක තමයි .

කොන්දේසි සහිත ගණිතමය අපේක්ෂාවන් සමඟ අහඹු විචල්‍යවල අවස්ථා සම්බන්ධ කරන සූත්‍ර ගණනාවක් තිබේ. ගණිතමය අපේක්ෂාව සහ විචලනය සඳහා, මෙම සූත්‍රවල ස්වරූපය ඇත

(2.10)

(2.11)

මෙම සමානාත්මතාවයේ වම් පැත්තෙහි ප්රකාශනයන් සෘජුවම ගණනය කරනු ලබන්නේ r.v බෙදා හැරීමෙන් බව උපකල්පනය කෙරේ. . දකුණු පස ඇති ප්‍රකාශන ගණනය කිරීමේදී, එනම්, සහ , r.v හි කොන්දේසිගත ව්‍යාප්තිය භාවිතා වේ. r.v හි ස්ථාවර අගයකින්. .

මෙම ප්රකාශනයන්, එබැවින්, r.v හි කාර්යයන් වේ. , සහ අපට r.v බෙදාහැරීම භාවිතයෙන් ඔවුන්ගේ මොහොත ගණනය කළ හැකිය. .

බොහෝ ක්‍රියාකාරී මාදිලිවල කොන්දේසි සහිත බෙදාහැරීම් භාවිතා වන අතර මෙමගින් ඉහත සූත්‍ර සෘජුවම යෙදිය හැක. අපගේ ආකෘතියේ. R.v සලකා බැලීමේදී. ලෙස සහ ආර්.වී. ලෙස, අපට ලැබේ

(2.12)

, (2.14)

, (2.15)

සහ කොන්දේසි සහිත ගණිතමය අපේක්ෂාවන් සලකා බලන්න

(2.16)

(2.17)

සූත්‍ර (2.16) සහ (2.17) r.v හි ශ්‍රිතයක් ලෙස අර්ථ දැක්වේ. , එය පහත සූත්‍රය ලෙස ලිවිය හැකිය:

සිට, එවිට (2.21)

අප සතුව සහ (2.22)

සූත්‍ර (2.21) සහ (2.22) ඒකාබද්ධ කළ හැකිය: (2.23)

මේ අනුව, (2.24)

(2.21), (2.20), සහ (2.24) (2.12) සහ (2.13) බවට ආදේශ කිරීම, අපට ලැබේ

ගණනය කිරීම සඳහා ලැබුණු සූත්‍ර යොදමු සහ මෝටර් රථ රක්ෂණයේ උදාහරණයක් (Fig. 2.2). r.v හි ඝනත්ව ශ්රිතයේ සිට. තත්ත්වය තුළ සූත්රය මගින් ප්රකාශිත වේ

හා P(B=2000|I=1)= 0.1, අපට තිබේ

අවසාන වශයෙන්, උපකල්පනය කිරීම q= 0.15, සූත්‍ර (2.25) සහ (2.26) වලින් අපි පහත සමානකම් ලබා ගනිමු:

තවත් රක්ෂණ තත්වයක් විස්තර කිරීමට, අපට r.v සඳහා වෙනත් මාදිලි ඉදිරිපත් කළ හැකිය. .

උදාහරණය: ගුවන් අනතුරු හේතුවෙන් සිදුවන මරණ සංඛ්‍යාව පිළිබඳ ආකෘතිය

උදාහරණයක් ලෙස, ගුවන් සමාගමක මෙහෙයුමක වසරක කාලයක් තුළ ගුවන් අනතුරු හේතුවෙන් සිදුවන මරණ සංඛ්‍යාව පිළිබඳ ආකෘතියක් සලකා බලන්න.

අපට එක් ගුවන් ගමනක් සඳහා සිදුවන මරණ සංඛ්‍යාව විස්තර කරන අහඹු විචල්‍යයකින් ආරම්භ කළ හැකි අතර, පසුව මෙම අහඹු විචල්‍ය වසරක් තුළ ඇති සියලුම ගුවන් ගමන් සඳහා සාරාංශ කරන්න.

එක් ගුවන් ගමනක් සඳහා, සිද්ධිය ගුවන් අනතුරක ආරම්භය පෙන්නුම් කරයි. මෙම ව්‍යසනය සිදු වූ මරණ සංඛ්‍යාව සසම්භාවී විචල්‍ය දෙකක නිෂ්පාදනයෙන් නිරූපණය කෙරෙනු ඇති අතර , ගුවන් යානා පැටවීමේ සාධකය කොහිද, එනම් කඩා වැටෙන අවස්ථාවේ යානයේ සිටි පුද්ගලයින් සංඛ්‍යාව සහ මිනිසුන් අතර මරණ අනුපාතය වේ. මණ්ඩලය.

r.v සඳහා සංඛ්‍යාලේඛනවලට වඩා වෙනම සංඛ්‍යාලේඛන සහ ප්‍රවේශ විය හැකි බැවින්, මරණ සංඛ්‍යාව මේ ආකාරයෙන් ඉදිරිපත් කෙරේ. . එබැවින්, යානයේ සිටින පුද්ගලයින් අතර මරණ අනුපාතය සහ යානයේ සිටින පුද්ගලයින්ගේ සංඛ්‍යාව බොහෝ විට සම්බන්ධ වුවද, පළමු ආසන්න වශයෙන් එය r.v. සහ ස්වාධීන.

ස්වාධීන අහඹු විචල්‍යවල එකතුව

පුද්ගල අවදානම් ආකෘතියේ දී, රක්ෂණ සමාගමක් විසින් සිදු කරනු ලබන රක්ෂණ ගෙවීම් බොහෝ පුද්ගලයින් සඳහා ගෙවීම් එකතුව ලෙස ඉදිරිපත් කෙරේ.

ස්වාධීන අහඹු විචල්‍යවල එකතුවෙහි ව්‍යාප්තිය තීරණය කිරීම සඳහා ක්‍රම දෙකක් සිහිපත් කරන්න. රූපයේ දැක්වෙන නියැදි අවකාශයේ අහඹු විචල්‍ය දෙකක එකතුව පළමුව සලකා බලන්න. 3.1

සහල්. 2.3.1. සිදුවීම

මෙම රේඛාව යටතේ ඇති රේඛාව සහ ප්රදේශය සිදුවීමක් නියෝජනය කරයි. එබැවින්, r.v හි බෙදා හැරීමේ කාර්යය. එස්පෝරමය ඇත (3.1)

විවික්ත ඍණ නොවන අහඹු විචල්‍ය දෙකක් සඳහා, අපට සම්පූර්ණ සම්භාවිතා සූත්‍රය භාවිතා කර (3.1) ලෙස ලිවිය හැක.

අ xහා වයිස්වාධීන වේ, අවසාන එකතුව ලෙස නැවත ලිවිය හැක

(3.3)

මෙම බෙදා හැරීමේ ශ්‍රිතයට අනුරූප වන සම්භාවිතා ශ්‍රිතය සූත්‍රයෙන් සොයාගත හැක

(3.4)

අඛණ්ඩ සෘණ නොවන සසම්භාවී විචල්‍ය සඳහා, සූත්‍ර (3.2), (3.3) සහ (3.4) වලට අනුරූප සූත්‍රවල ස්වරූපය ඇත.

අහඹු විචල්‍ය එකක් හෝ දෙකම ඇති විට xහා වයිමිශ්‍ර ආකාරයේ ව්‍යාප්තියක් ඇත (එය තනි අවදානම් ආකෘති සඳහා සාමාන්‍ය වේ), සූත්‍ර සමාන වේ, නමුත් වඩාත් අපහසු වේ. සෘණ අගයන් ද ගත හැකි අහඹු විචල්‍යයන් සඳහා, ඉහත සූත්‍රවල ඓක්‍යයන් සහ අනුකලනය y සිට දක්වා ඇති සියලුම අගයන් මත ගනු ලැබේ.

සම්භාවිතා න්‍යායේ දී, සූත්‍ර (3.3) සහ (3.6) හි ක්‍රියාකාරිත්වය බෙදා හැරීමේ ශ්‍රිත දෙකක සංකෝචනය ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර සහ එය මගින් දක්වනු ලැබේ. සූත්‍ර (3.4) සහ (3.7) භාවිතා කරමින් සම්භාවිතා හෝ ඝනත්ව ශ්‍රිත යුගලයක් සඳහා ද සංකලන මෙහෙයුම අර්ථ දැක්විය හැක.

සසම්භාවී විචල්‍ය දෙකකට වඩා වැඩි එකතුවෙහි ව්‍යාප්තිය තීරණය කිරීම සඳහා, අපට පරිවර්තන ක්‍රියාවලියේ පුනරාවර්තන භාවිතා කළ හැක. සදහා , ස්වාධීන අහඹු විචල්‍යයන් ඇති තැන, r.v. හි බෙදා හැරීමේ ශ්‍රිතය දක්වයි, සහ r.v හි බෙදා හැරීමේ ශ්‍රිතය වේ. , අපි ගන්නම්

උදාහරණ 3.1 විවික්ත අහඹු විචල්‍ය තුනක් සඳහා මෙම ක්‍රියා පටිපාටිය නිරූපණය කරයි.

උදාහරණය 3.1.අහඹු විචල්‍යයන් , සහ ස්වාධීන වන අතර පහත වගුවේ තීරු (1), (2) සහ (3) මගින් අර්ථ දක්වා ඇති බෙදාහැරීම් ඇත.

අපි r.v හි සම්භාවිතා ශ්‍රිතය සහ බෙදා හැරීමේ ශ්‍රිතය ලියමු.

විසඳුමක්.වගුව උදාහරණයට පෙර හඳුන්වා දුන් අංකනය භාවිතා කරයි:

තීරු (1)-(3) පවතින තොරතුරු අඩංගු වේ.

තීරු (4) තීරු (1) සහ (2) (3.4) භාවිතයෙන් ලබා ගනී.

තීරු (5) තීරු (3) සහ (4) (3.4) භාවිතයෙන් ලබා ගනී.

තීරුව (5) හි නිර්වචනය r.v සඳහා සම්භාවිතා ශ්රිතය නිර්ණය කිරීම සම්පූර්ණ කරයි. . තීරුවේ (8) එහි ව්‍යාප්ති ශ්‍රිතය යනු ඉහළ සිට ආරම්භ වන තීරුවේ (5) අර්ධ එකතුවකි.

පැහැදිලිකම සඳහා, අපි තීරු (6), තීරු (1) සඳහා බෙදා හැරීමේ ශ්‍රිතය, තීරු (7), තීරු (1) සහ (6) භාවිතයෙන් (2.3.3) සහ තීරුව (8) සෘජුවම ලබා ගත හැකිය. ) තීරු (3) සහ (7) සඳහා සමානව තීරණය වේ. තීරුව (5) තීරුව (8) සිට අනුක්‍රමික අඩු කිරීම මගින් තීරණය කළ හැක.

අපි අඛණ්ඩ අහඹු විචල්‍යයන් සහිත උදාහරණ දෙකක් සලකා බලමු.

උදාහරණ 3.2.ඉඩ r.v. පරතරය (0,2) මත ඒකාකාර බෙදාහැරීමක් ඇති අතර, r.v. r.v මත රඳා නොපවතී. සහ පරතරය (0,3) මත ඒකාකාර ව්යාප්තියක් ඇත. අපි r.v හි බෙදා හැරීමේ කාර්යය නිර්වචනය කරමු.

විසඳුමක්. r.v බෙදාහැරීමේ සිට. සහ අඛණ්ඩව, අපි සූත්‍රය (3.6) භාවිතා කරමු:

ඉන්පසු

r.v හි නියැදි අවකාශය සහ රූපයේ දැක්වේ. 3.2 සෘජුකෝණාස්රාකාර ප්රදේශයේ යුගලයේ හැකි සියලු අගයන් අඩංගු වේ සහ . අපට උනන්දුවක් දක්වන සිදුවීම, අගයන් පහක් සඳහා රූපයේ දැක්වේ s.

එක් එක් අගය සඳහා, රේඛාව අක්ෂය ඡේදනය කරයි වයිලක්ෂ්යයේ sසහ ලක්ෂ්‍යයක රේඛාවක්. මෙම අවස්ථා පහ සඳහා ශ්‍රිත අගයන් පහත සූත්‍රය මගින් විස්තර කෙරේ:

සහල්. 3.2 ඒකාකාර බෙදාහැරීම් දෙකක සංකලනය

උදාහරණය 3.3.අපි ස්වාධීන r.v තුනක් සලකා බලමු. . r.v සඳහා ඝාතීය ව්‍යාප්තියක් ඇත සහ . අපි r.v හි ඝනත්ව ශ්රිතය සොයා ගනිමු. convolution මෙහෙයුම යෙදීමෙන්.

විසඳුමක්.අපිට තියනවා

සූත්රය (3.7) තුන් වරක් භාවිතා කිරීම, අපි ලබා ගනිමු

ස්වාධීන සසම්භාවී විචල්‍යවල එකතුවෙහි ව්‍යාප්තිය තීරණය කිරීම සඳහා තවත් ක්‍රමයක් පදනම් වන්නේ ශ්‍රිත උත්පාදනය කිරීමේ මොහොතෙහි සුවිශේෂත්වය මත වන අතර එය r.v. සම්බන්ධතාවය මගින් තීරණය වේ .

මෙම ගණිතමය අපේක්ෂාව සියල්ලන්ටම සීමිත නම් ටීසම්භවය අඩංගු යම් විවෘත පරතරයකින්, එවිට r.v හි බෙදා හැරීමේ අවස්ථාවන්හි එකම උත්පාදක කාර්යය වේ. r.v හි බෙදා හැරීමේ අවස්ථාවන්හි උත්පාදක ශ්‍රිතය වන, හැර වෙනත් කාර්යයක් නොමැති බව යන අර්ථයෙන්. .

මෙම සුවිශේෂත්වය පහත පරිදි භාවිතා කළ හැක: එකතුව සඳහා

ඒවා ස්වාධීන නම්, සූත්‍රයේ (3.8) නිෂ්පාදනයේ අපේක්ෂාව සමාන වේ ..., ඒ නිසා

අවස්ථා (3.9) උත්පාදක ශ්‍රිතයට අනුරූප වන එකම ව්‍යාප්තිය සඳහා පැහැදිලි ප්‍රකාශනයක් සෙවීම r.v හි ව්‍යාප්තිය සොයා ගැනීම සම්පූර්ණ කරයි. . එය පැහැදිලිව සඳහන් කිරීමට නොහැකි නම්, එය සංඛ්‍යාත්මක ක්‍රම මගින් සෙවිය හැක.

උදාහරණ 3.4. උදාහරණ 3.3 වෙතින් අහඹු විචල්‍යයන් සලකා බලන්න. අපි r.v හි ඝනත්ව ශ්රිතය නිර්වචනය කරමු. , r.v හි මොහොතවල උත්පාදන කාර්යය භාවිතා කිරීම. .

විසඳුමක්.සමානාත්මතාවයට අනුව (3.9), ලෙස ලිවිය හැකි ය සරල කොටස් වලට වියෝජනය කිරීමේ ක්රමය භාවිතා කිරීම. විසඳුම වේ . නමුත් පරාමිතිය සමඟ ඝාතීය ව්‍යාප්තියේ අවස්ථාවන්හි උත්පාදක ශ්‍රිතය වේ, එවිට r.v හි ඝනත්ව ශ්‍රිතය වේ. ආකෘතිය ඇත

උදාහරණය 3.5. අහඹු ක්රියාවලීන් අධ්යයනය කිරීමේදී, ප්රතිලෝම Gaussian ව්යාප්තිය හඳුන්වා දෙන ලදී. එය r.v බෙදා හැරීමක් ලෙස භාවිතා කරයි. හිදී, රක්ෂණ ගෙවීම් ප්රමාණය. ප්‍රතිලෝම Gaussian ව්‍යාප්තියේ අවස්ථා වල ඝනත්ව ශ්‍රිතය සහ උත්පාදන ශ්‍රිතය සූත්‍ර මගින් ලබා දී ඇත.

අපි r.v බෙදාහැරීම සොයා ගනිමු. , කොහෙද r.v. ස්වාධීන වන අතර එකම ප්‍රතිලෝම Gaussian බෙදාහැරීම් ඇත.

විසඳුමක්.සූත්‍රය (3.9) භාවිතා කරමින්, අපි r.v. අවස්ථා වල උත්පාදන කාර්යය සඳහා පහත ප්‍රකාශනය ලබා ගනිමු. :

මොහොතෙහි උත්පාදක ශ්‍රිතය අද්විතීය ව්‍යාප්තියකට අනුරූප වන අතර, එය පරාමිති සහ ප්‍රතිලෝම ගවුසියානු ව්‍යාප්තියක් ඇති බව දැකිය හැක.

එකතුව බෙදා හැරීම සඳහා ආසන්න ගණනය කිරීම්

ස්වාධීන අහඹු විචල්‍යවල එකතුව බෙදා හැරීම සඳහා සංඛ්‍යාත්මක අගයන් සෙවීම සඳහා මධ්‍යම සීමාව ප්‍රමේයය ක්‍රමයක් ලබා දෙයි. සාමාන්‍යයෙන් මෙම ප්‍රමේයය සූත්‍රගත වන්නේ ස්වාධීන සහ අනන්‍ය ලෙස බෙදා හරින ලද අහඹු විචල්‍යවල එකතුව සඳහා ය. .

ඕනෑම n සඳහා, r.v බෙදා හැරීම. කොහෙද = , ගණිතමය අපේක්ෂාව 0 සහ විචලනය 1 ඇත. දන්නා පරිදි, එවැනි බෙදාහැරීම්වල අනුපිළිවෙල (සඳහා n= 1, 2, ...) සම්මත සාමාන්‍ය ව්‍යාප්තියට නැඹුරු වේ. කවදා ද nවිශාල, මෙම ප්‍රමේයය r.v ව්‍යාප්තිය ආසන්න කිරීමට යොදනු ලැබේ. මධ්යන්ය සමඟ සාමාන්ය බෙදා හැරීම μ සහ විසුරුම. ඒ හා සමානව, එකතුව බෙදා හැරීම nසසම්භාවී විචල්‍ය මධ්‍යන්‍ය සහ විචල්‍යයන් සහිත සාමාන්‍ය ව්‍යාප්තියකින් ආසන්න වේ.

එවැනි ආසන්න කිරීමක කාර්යක්ෂමතාවය පද ගණන මත පමණක් නොව, සාමාන්ය එකට නියමයන් බෙදා හැරීමේ සමීපත්වය මත රඳා පවතී. බොහෝ ප්‍රාථමික සංඛ්‍යාලේඛන පාඨමාලා පවසන්නේ ආසන්න අගය සාධාරණ වීමට නම් n අවම වශයෙන් 30 විය යුතු බවයි.

කෙසේ වෙතත්, සමාකරණ ආකෘති නිර්මාණයේදී භාවිතා වන සාමාන්‍යයෙන් බෙදා හරින ලද අහඹු විචල්‍ය ජනනය කිරීමේ එක් වැඩසටහනක් සාමාන්‍ය අහඹු විචල්‍යයක් ක්‍රියාත්මක කරන්නේ සාමාන්‍ය 12 ස්වාධීන අහඹු විචල්‍යයන් පරතරය (0,1) පුරා ඒකාකාරව බෙදා හරිනු ලැබේ.

බොහෝ පුද්ගල අවදානම් ආකෘතීන්හි, එකතුවට ඇතුළත් කර ඇති අහඹු විචල්‍යයන් සමානව බෙදා හැර නොමැත. මෙය ඊළඟ කොටසේ උදාහරණ මගින් නිරූපණය කෙරේ.

මධ්‍යම සීමාව ප්‍රමේයය අසමාන ලෙස බෙදා හරින ලද අහඹු විචල්‍යවල අනුපිළිවෙලට ද විහිදේ.

පුද්ගල අවදානම් ආකෘතියේ සමහර යෙදුම් නිදර්ශනය කිරීම සඳහා, සංඛ්‍යාත්මක විසඳුම් ලබා ගැනීම සඳහා අපි ස්වාධීන අහඹු විචල්‍යවල එකතුවෙහි ව්‍යාප්තියේ සාමාන්‍ය ආසන්න කිරීමක් භාවිතා කරමු. අ , එවිට

සහ තවදුරටත්, නම් r.v. ස්වාධීන, එසේ නම්

අදාළ යෙදුම සඳහා, අපට අවශ්‍ය වන්නේ:

• තනි අලාභ අනුකරණය කරන අහඹු විචල්‍යවල සාමාන්‍යයන් සහ විචල්‍යයන් සොයා ගන්න,
• සමස්තයක් ලෙස රක්ෂණ සමාගමේ පාඩුවල සාමාන්‍ය සහ විචලනය ලබා ගැනීම සඳහා ඒවා සාරාංශ කරන්න,
• සාමාන්ය දළ වශයෙන් භාවිතා කරන්න.

පහත අපි මෙම ක්‍රියා අනුපිළිවෙල නිදර්ශනය කරමු.

රක්ෂණ සඳහා අයදුම්පත්

මෙම කොටස උදාහරණ හතරක් සමඟ සාමාන්‍ය ආසන්නයේ භාවිතය නිදර්ශනය කරයි.

උදාහරණය 5.1.ජීවිත රක්‍ෂණ සමාගමක් මරණ සම්භාවිතාව 0.02 හෝ 0.01 වන පුද්ගලයන්ට ඒකක 1 සහ 2 ක ගෙවීම් සහිත වසරක මරණ රක්‍ෂණ ගිවිසුමක් පිරිනමයි. පහත වගුවේ දැක්වෙන්නේ පුද්ගලයින් සංඛ්‍යාවයි nkගෙවීමට අනුකූලව පිහිටුවා ඇති එක් එක් පන්ති හතරේ ආ කේසහ රක්ෂිත සිදුවීමක සම්භාවිතාව qk:

කේ	q k	ආ කේ	nk
1	0,02	1	500
2	0,02	2	500
3	0,10	1	300
4	0,10	2	500

රක්‍ෂණ සමාගමට පුද්ගලයන් 1800 කින් යුත් මෙම කණ්ඩායමෙන් මෙම කණ්ඩායම සඳහා වන මුළු රක්ෂණ ගෙවීම් බෙදා හැරීමේ සියයට 95 ට සමාන මුදලක් අයකර ගැනීමට අවශ්‍ය වේ. ඊට අමතරව, එම මුදලින් එක් එක් පුද්ගලයාගේ කොටස පුද්ගලයාගේ අපේක්ෂිත රක්ෂණ ගෙවීමට සමානුපාතික වීම ඇයට අවශ්‍ය වේ.

සාමාන්‍ය ගෙවීම සමාන වන අංකය සහිත පුද්ගලයාගේ කොටස විය යුතුය. 95 වැනි ප්රතිශතයේ අවශ්යතාවයෙන් එය අනුගමනය කරයි. අතිරික්ත අගය, , අවදානම් වාරිකය වන අතර, සාපේක්ෂ අවදානම් වාරිකය ලෙස හැඳින්වේ. අපි ගණනය කරමු.

විසඳුමක්.අගය තීරණය වන්නේ සම්බන්ධතාවය අනුව ය = 0.95, කොහෙද S = X 1 + X 2 + ... + X 1800 .මෙම සම්භාවිතා ප්‍රකාශය පහත ඒවාට සමාන වේ:

Sec හි මධ්‍යම සීමාව ප්‍රමේයය ගැන පැවසූ දෙයට අනුකූලව. 4, අපි r.v බෙදාහැරීම ආසන්න කරමු. සම්මත සාමාන්‍ය ව්‍යාප්තිය සහ එහි 95 වැනි ප්‍රතිශතය භාවිතා කරන්න, එයින් අපට ලැබෙන්නේ:

රක්ෂණ ඔප්පු හිමියන් බෙදා ඇති පන්ති හතර සඳහා, අපි පහත ප්‍රතිඵල ලබා ගනිමු:

කේ	q k	ආ කේ	සාමාන්ය b k q k	විචලනය b ​​2 k q k (1-q k)	nk
1	0,02	1	0,02	0,0196	500
2	0,02	2	0,04	0,0784	500
3	0,10	1	0,10	0,0900	300
4	0,10	2	0,20	0,3600	500

මේ ක්රමයෙන්,

එබැවින් සාපේක්ෂ අවදානම් වාරිකය වේ

උදාහරණය 5.2.මෝටර් රථ රක්ෂණ සමාගමක පාරිභෝගිකයින් පන්ති දෙකකට බෙදා ඇත:

පන්තිය	පන්තියේ අංකය	සිදුවීමේ සම්භාවිතාව රක්ෂිත සිදුවීම	රක්ෂණ ගෙවීම් බෙදා හැරීම, කැපූ ඝාතීය පරාමිතීන් බෙදා හැරීම
කේ				එල්
1	500	0,10	1	2,5
2	2000	0,05	2	5,0

කප්පාදු කරන ලද ඝාතීය ව්‍යාප්තිය බෙදා හැරීමේ ශ්‍රිතය මගින් අර්ථ දක්වා ඇත

මෙය ඝනත්ව ශ්රිතයක් සහිත මිශ්ර ආකාරයේ බෙදාහැරීමකි , සහ ලක්ෂ්‍යයක සම්භාවිතා ස්කන්ධයේ "පොකුරක්" එල්. මෙම බෙදා හැරීමේ ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය රූප සටහන 5.1 හි දැක්වේ.

සහල්. 5.1 කැපූ ඝාතීය ව්‍යාප්තිය

පෙර පරිදිම, රක්ෂණ ඔප්පු හිමියන්ගෙන් එකතු කරන ලද මුදල ඉක්මවන මුළු රක්ෂණ ගෙවීම් ප්රමාණය 0.05 ට සමාන විය යුතුය. සලකා බලනු ලබන එක් එක් පන්ති දෙකෙහිම සාපේක්ෂ අවදානම් වාරිකය සමාන විය යුතු යැයි අපි උපකල්පනය කරමු. අපි ගණනය කරමු.

විසඳුමක්.මෙම උදාහරණය පෙර උදාහරණයට බෙහෙවින් සමාන ය. එකම වෙනස වන්නේ රක්ෂණ ගෙවීම්වල අගයන් දැන් අහඹු විචල්‍යයන් වීමයි.

පළමුව, අපි කප්පාදු කරන ලද ඝාතීය ව්‍යාප්තියේ අවස්ථා සඳහා ප්‍රකාශන ලබා ගනිමු. මෙය (2.25) සහ (2.26) සූත්‍ර යෙදීම සඳහා සූදානම් වීමේ පියවරක් වනු ඇත:

කොන්දේසියේ දක්වා ඇති පරාමිති අගයන් භාවිතා කරමින් සහ සූත්‍ර (2.25) සහ (2.26) යෙදීමෙන්, අපි පහත ප්‍රතිඵල ලබා ගනිමු:

කේ	q k	µk	σ 2k	සාමාන්‍ය q k μk	විසරණය μ 2 k q k (1-q k)+σ 2 k q k	nk
1	0,10	0,9139	0,5828	0,09179	0,13411	500
2	0,05	0,5000	0,2498	0,02500	0,02436	2000

ඒ නිසා, එස්, රක්ෂණ ගෙවීම් මුළු මුදල, අවස්ථා ඇත

නිර්වචනය සඳහා කොන්දේසිය උදාහරණ 5.1 හි මෙන් ම පවතී, එනම්,

සාමාන්‍ය බෙදාහැරීමේ ආසන්න අගය නැවත භාවිතා කිරීමෙන් අපට ලැබේ

උදාහරණය 5.3.රක්ෂණ සමාගමේ කළඹට පහත වගුවට අනුව වසරක කාලයක් සඳහා මරණ රක්‍ෂණ ගිවිසුම් 16,000ක් ඇතුළත් වේ:

එක් එක් සේවාදායකයින් 16,000 (මෙම සිදුවීම් අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් ස්වාධීන යැයි උපකල්පනය කෙරේ) සඳහා රක්‍ෂිත සිදුවීමක සම්භාවිතාව 0.02 වේ. සමාගමට තමන්ගේම රඳවා ගැනීමේ අනුපාතයක් සැකසීමට අවශ්‍යයි. එක් එක් රක්ෂණ ඔප්පුහිමියෙකු සඳහා, තමන්ගේම රඳවා ගැනීමේ මට්ටම යනු මෙම සමාගම (පවරන සමාගම) ස්වාධීනව ගෙවීම් කරන පහත අගය වන අතර, මෙම අගය ඉක්මවන ගෙවීම් වෙනත් සමාගමක් (ප්‍රතිරක්ෂණකරු) විසින් ප්‍රතිරක්‍ෂණ කොන්ත්‍රාත්තුව යටතේ ආවරණය කෙරේ.

උදාහරණයක් ලෙස, තමන්ගේම රඳවා ගැනීමේ අනුපාතය 200,000 නම්, එක් එක් රක්‍ෂිතයා සඳහා සමාගම 20,000 දක්වා ආවරණයක් වෙන් කර ඇති අතර රක්ෂණ වාරික 20,000 ඉක්මවන එක් එක් රක්ෂණ ඔප්පුහිමියන් 4,500 න් 4,500 ක වාරිකය සහ 20,000 ක මුදල අතර වෙනස ආවරණය කිරීම සඳහා ප්‍රතිරක්‍ෂණයක් මිලදී ගනී.

සමාගම තීරණ නිර්ණායකයක් ලෙස තෝරා ගන්නේ තමන්ගේම අඩු කිරීම් මත ඉතිරි වී ඇති රක්ෂණ හිමිකම් සම්භාවිතාව අවම කිරීම සහ ප්‍රතිරක්ෂණ සඳහා ගෙවන මුදල 8,250,000 ඉක්මවනු ඇත. ඒකකයකට රක්ෂණ ගෙවීම්වල වටිනාකම 0.02).

අදාළ කළඹ වසා ඇති බව අපි විශ්වාස කරමු: වත්මන් වර්ෂය තුළ ඇති කර ගත් නව රක්ෂණ ගිවිසුම් විස්තර කරන ලද තීරණ ගැනීමේ ක්‍රියාවලියේදී සැලකිල්ලට නොගනී.

අර්ධ විසඳුම. 10,000 ගෙවීමේ ඒකකය ලෙස තෝරමින් මුලින්ම ගණනය කිරීම් සියල්ල සිදු කරමු.උදාහරණයක් ලෙස සිතන්නේ c. තුල. එස්තමන්ගේම අඩුකිරීම් මත ඉතිරිව ඇති ගෙවීම් ප්‍රමාණය, පහත පෝරමය ඇත:

මෙම රක්ෂණ ගෙවීම් සඳහා ඔබේම අඩු කිරීම මත ඉතිරි වේ එස්, ප්රතිරක්ෂණ වාරික ප්රමාණය එකතු කරනු ලැබේ. සමස්තයක් වශයෙන්, මෙම යෝජනා ක්රමයට අනුව මුළු ආවරණ ප්රමාණය වේ

තමන්ගේම අඩුකිරීම් මත ඉතිරිව ඇති මුදල සමාන වේ

මේ අනුව, මුළු ප්‍රතිරක්‍ෂණ අගය 35,000-24,000=11,000 වන අතර ප්‍රතිරක්‍ෂණ පිරිවැය

එබැවින්, 2 ට සමාන තමන්ගේම රඳවා ගැනීමේ මට්ටමින්, තමන්ගේම රඳවා තබා ගැනීම මත ඉතිරි වන රක්ෂණ ගෙවීම් සහ ප්‍රතිරක්ෂණ පිරිවැය වේ. තීරණ නිර්ණායකය පදනම් වී ඇත්තේ මෙම එකතුව 825 ඉක්මවීමේ සම්භාවිතාව මතය.

සාමාන්‍ය ව්‍යාප්තිය භාවිතා කරමින්, මෙම අගය ආසන්න වශයෙන් 0.0062 ට සමාන බව අපට ලැබේ.

අතිරික්ත අලාභ රක්ෂණය සඳහා වන රක්ෂණ ගෙවීම්වල සාමාන්‍ය අගයන්, ප්‍රතිරක්ෂණ වර්ගයක් ලෙස, සම්පූර්ණ රක්ෂණ ගෙවීම් බෙදා හැරීම ලෙස සාමාන්‍ය බෙදාහැරීම භාවිතා කිරීමෙන් දළ වශයෙන් ගණනය කළ හැකිය.

සම්පූර්ණ රක්ෂණ ගෙවීම් X හි මධ්‍යන්‍ය සහ විචල්‍යයන් සහිත සාමාන්‍ය ව්‍යාප්තියකට ඉඩ දෙන්න

උදාහරණය 5.4.උදාහරණයක් ලෙස 5.3 වැනි රක්ෂණ කළඹක් සලකා බලමු. ලාභ නොලබන අතිරික්තය සඳහා රක්ෂණ ගිවිසුම යටතේ රක්ෂණ ගෙවීම් ප්රමාණයේ ගණිතමය අපේක්ෂාව සොයා ගනිමු.

(අ) පුද්ගල ප්‍රතිරක්‍ෂණයක් නොමැති අතර කොන්දේසි විරහිත අඩු කළ හැකි මුදල 7,500,000 ලෙස සකසා ඇත.

(ආ) පුද්ගල රක්ෂණ ගිවිසුම් මත 20,000 ක පුද්ගලික රඳවා ගැනීමක් ස්ථාපිත කර ඇති අතර කළඹ සඳහා කොන්දේසි විරහිතව අඩු කළ හැකි මුදල 5,300,000 කි.

විසඳුමක්.

(අ) තනි පුද්ගල ප්‍රතිරක්‍ෂණයක් නොමැති විට සහ මුදල් ඒකකයක් ලෙස 10,000 දක්වා සංක්‍රමණය වීමේදී

සූත්‍රය යෙදීම (5.2) ලබා දෙයි

එය මුල් ඒකකවල එකතුව 43,770කි.

(ආ) ප්‍රදර්ශන 5.3 හි, අපි 10,000 ඒකකයක් ලෙස භාවිතා කරමින් 20,000 ක අඩු කළ හැකි මුළු වාරිකවල මධ්‍යන්‍ය සහ විචලනය පිළිවෙලින් 480 සහ 784 ලෙස ලබා ගනිමු. මේ අනුව, =28.

සූත්‍රය යෙදීම (5.2) ලබා දෙයි

එය මුල් ඒකකවල එකතුව 4140 වේ.