Довірчий інтервал показує. Довірчий інтервал. Довірча ймовірність

Довірчий інтервал– граничні значення статистичної величини, яка із заданою довірчою ймовірністю γ буде у цьому інтервалі при вибірці більшого обсягу. Позначається як P(θ - ε. На практиці вибирають довірчу ймовірністьγ із досить близьких до одиниці значень γ = 0.9, γ = 0.95, γ = 0.99.

Призначення сервісу. За допомогою цього сервісу визначаються:

• довірчий інтервал для генерального середнього; довірчий інтервал для дисперсії;
• довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення; довірчий інтервал для генеральної частки;

Отримане рішення зберігається в файлі Word(Див. приклад). Нижче наведено відеоінструкцію, як заповнювати вихідні дані.

Приклад №1. У колгоспі із загального стада у 1000 голів овець вибірковій контрольній стрижці зазнали 100 овець. В результаті було встановлено середній настриг вовни 4,2 кг на одну вівцю. Визначити з ймовірністю 0,99 середню квадратичну помилку вибірки щодо середнього настригу вовни однією вівцю і межі, у яких укладена величина настрига, якщо дисперсія дорівнює 2,5 . Вибірка неповторна.
Приклад №2. З партії імпортованої продукції посаді Московської Північної митниці було взято як випадкової повторної вибірки 20 проб продукту «А». В результаті перевірки встановлено середню вологість продукту «А» у вибірці, яка дорівнювала 6 % при середньому квадратичному відхиленні 1 %.
Визначте з ймовірністю 0,683 межі середньої вологості продукту в усій партії імпортованої продукції.
Приклад №3. Опитування 36 студентів показало, що середня кількість підручників, прочитаних ними за навчальний рік, виявилося рівним 6. Вважаючи, що кількість підручників, прочитаних студентом за семестр, має нормальний закон розподілу із середнім квадратичним відхиленням, рівним 6, знайти: А) з надійністю 0,99 інтервальну оцінку для математичного очікуванняцієї випадкової величини; Б) з якою ймовірністю можна стверджувати, що середня кількість підручників, прочитаних студентом за семестр, обчислена за даною вибіркою, відхилиться від математичного очікування з абсолютної величинине більше ніж на 2.

Класифікація довірчих інтервалів

По виду оцінюваного параметра:

За типом вибірки:

1. Довірчий інтервал для безкінечної вибірки;
2. Довірчий інтервал для кінцевої вибірки;

Вибірка називається повторноюякщо відібраний об'єкт перед вибором наступного повертається в генеральну сукупність. Вибірка називається безповторноюякщо відібраний об'єкт у генеральну сукупність не повертається. Насправді зазвичай мають справу з безповторними вибірками.

Розрахунок середньої помилки вибірки при випадковому відборі

Розбіжність між значеннями показників, отриманих за вибіркою, та відповідними параметрами генеральної сукупностіназивається помилкою репрезентативності.
Позначення основних параметрів генеральної та вибіркової сукупності.

Формули середньої помилки вибірки
повторний відбір		безповторний відбір
для середньої	для частки	для середньої	для частки

Співвідношення між межею помилки вибірки (Δ), що гарантується з деякою ймовірністю Р(t),і середньою помилкоювибірки має вигляд: або Δ = t·μ, де t- Коефіцієнт довіри, що визначається залежно від рівня ймовірності Р(t) по таблиці інтегральної функції Лапласа.

Формули розрахунку чисельності вибірки при власне-випадковому способі відбору

ДОВІРНІ ІНТЕРВАЛИ ДЛЯ ЧАСТОТ І ДОЛІЙ

© 2008 р.

Національний інститут громадського здоров'я, м. Осло, Норвегія

У статті описується та обговорюється розрахунок довірчих інтервалів для частот та часток за методами Вальда, Вілсона, Клоппера – Пірсона, за допомогою кутового перетворенняі методом Вальда з корекцією по Агрести – Коуллу. Викладений матеріал дає загальні відомостіпро способи розрахунку довірчих інтервалів для частот і часток і покликаний викликати інтерес читачів журналу як до використання довірчих інтервалів при поданні результатів власних досліджень, а й до прочитання спеціалізованої літератури перед початком роботи над майбутніми публікаціями.

Ключові слова : довірчий інтервал, частота, частка

В одній з попередніх публікацій коротко згадувалося опис якісних даних і повідомлялося, що їх інтервальна оцінка переважно точковою для опису частоти народження характеристики, що вивчається в генеральній сукупності . Справді, оскільки дослідження проводяться з використанням вибіркових даних, проекція результатів на генеральну сукупність має містити елемент неточності вибіркової оцінки. Довірчий інтервал є мірою точності параметра, що оцінюється. Цікаво, що у деяких книгах з основ статистики для медиків тема довірчих інтервалів для частот повністю ігнорується. У статті ми розглянемо кілька способів розрахунку довірчих інтервалів для частот, маючи на увазі такі характеристики вибірки, як безповторність і репрезентативність, і навіть незалежність спостережень друг від друга. Під частотою в цій статті розуміється не абсолютне число, що показує, скільки разів зустрічається в сукупності те чи інше значення, а відносна величина, що визначає частку учасників дослідження, у яких зустрічається ознака, що вивчається.

У біомедичних дослідженнях найчастіше використовуються 95% довірчі інтервали. Цей довірчий інтервал є область, у яку потрапляє справжнє значення частки 95 % випадків. Іншими словами, можна з 95% надійністю сказати, що справжнє значення частоти народження ознаки в генеральній сукупності перебуватиме в межах 95% довірчого інтервалу.

У більшості посібників зі статистики для дослідників від медицини повідомляється, що помилка частоти розраховується за допомогою формули

де p – частота народження ознаки у вибірці (величина від 0 до 1). У більшості вітчизняних наукових статей вказується значення частоти ознак ознаки у вибірці (р), а також її помилка (s) у вигляді p ± s. Доцільніше, проте, представляти 95% довірчий інтервал для частоти ознак ознаки в генеральній сукупності, який включатиме значення від

до.

У деяких посібниках рекомендується при малих вибірках замінювати значення 1,96 значення t для N – 1 ступенів свободи, де N – кількість спостережень у вибірці. Значення t знаходиться за таблицями для t-розподілу, що є практично у всіх посібниках зі статистики. Використання розподілу t для методу Вальда не дає видимих ​​переваг у порівнянні з іншими методами, розглянутими нижче, і тому деякими авторами не вітається.

Наведений вище метод розрахунку довірчих інтервалів для частот або часток носить ім'я Вальда на честь Авраама Вальда (Abraham Wald, 1902-1950), оскільки широке застосуванняйого почалося після публікації Вальда та Вольфовіца в 1939 році. Однак сам метод був запропонований П'єром Симоном Лапласом (1749-1827) ще 1812 року.

Метод Вальда дуже популярний, проте його застосування пов'язане із суттєвими проблемами. Метод не рекомендується при малих обсягах вибірок, а також у випадках, коли частота народження ознаки прагне до 0 або 1 (0 % або 100 %) і просто неможливо для частот 0 і 1. Крім того, апроксимація нормального розподілу, яка використовується при розрахунку помилки , «не працює» у випадках, коли n · p< 5 или n · (1 – p) < 5 . Более консервативные статистики считают, что n · p и n · (1 – p) должны быть не менее 10 . Более детальное рассмотрение метода Вальда показало, что полученные с его помощью доверительные интервалы в большинстве случаев слишком узки, то есть их применение ошибочно создает слишком оптимистичную картину, особенно при удалении частоты встречаемости признака от 0,5, или 50 % . К тому же при приближении частоты к 0 или 1 доверительный интревал может принимать отрицательные значения или превышать 1, что выглядит абсурдно для частот. Многие авторы совершенно справедливо не рекомендуют применять данный метод не только в уже упомянутых случаях, но и тогда, когда частота встречаемости признака менее 25 % или более 75 % . Таким образом, несмотря на простоту расчетов, метод Вальда может применяться лишь в очень ограниченном числе случаев. Зарубежные исследователи более категоричны в своих выводах и однозначно рекомендуют не применять этот метод для небольших выборок , а ведь именно с такими выборками часто приходится иметь дело исследователям-медикам.

Оскільки нова змінна має нормальний розподіл, нижня та верхня межі 95 % довірчого інтервалу для змінної φ дорівнюватимуть φ-1,96 і φ+1,96left">

Замість 1,96 для малих вибірок рекомендується підставляти значення t для N – 1 ступенів свободи. Цей методне дає негативних значеньі дозволяє точніше оцінити довірчі інтервали для частот, ніж метод Вальда. Крім того, він описаний у багатьох вітчизняних довідниках по медичної статистикищо, щоправда, не призвело до його широкому використаннюу медичних дослідженнях. Розрахунок довірчих інтервалів з використанням кутового перетворення не рекомендується за частот, що наближаються до 0 або 1 .

На цьому опис способів оцінки довірчих інтервалів у більшості книг з основ статистики для дослідників-медиків зазвичай закінчується, причому ця проблема характерна не тільки для вітчизняної, а й для зарубіжної літератури. Обидва методи ґрунтуються на центральній граничній теоремі, яка має на увазі наявність великої вибірки.

Зважаючи на недоліки оцінки довірчих інтервалів за допомогою вищезазначених методів, Клоппер (Clopper) та Пірсон (Pearson) запропонували у 1934 році спосіб розрахунку так званого точного довірчого інтервалу з урахуванням біномного розподілудосліджуваного ознаки. Цей метод доступний у багатьох онлайн-калькуляторах, проте довірчі інтервали, отримані таким чином, здебільшого надто широкі. У той самий час цей метод рекомендується застосовувати у випадках, коли необхідна консервативна оцінка. Ступінь консервативності методу збільшується зі зменшенням обсягу вибірки, особливо при N< 15 . описывает применение функции биномиального распределения для анализа качественных данных с использованием MS Excel, в том числе и для определения доверительных интервалов, однако расчет последних для частот в электронных таблицах не «затабулирован» в удобном для пользователя виде, а потому, вероятно, и не используется большинством исследователей.

На думку багатьох статистиків, найбільш оптимальну оцінку довірчих інтервалів для частот здійснює метод Вілсона (Wilson), запропонований ще в 1927 році, але практично не використовується у вітчизняних біомедичних дослідженнях. Даний метод не тільки дозволяє оцінити довірчі інтервали як для дуже малих і дуже великих частот, але і застосовується для малого числа спостережень. У загальному виглядідовірчий інтервал за формулою Вілсона має вигляд від

де приймає значення 1,96 при розрахунку 95% довірчого інтервалу, N - кількість спостережень, а р - частота ознаки у вибірці. Цей метод доступний в онлайн-калькуляторах, тому його застосування не є проблематичним. і не рекомендують використовувати цей метод при n · p< 4 или n · (1 – p) < 4 по причине слишком грубого приближения распределения р к нормальному в такой ситуации, однако зарубежные статистики считают метод Уилсона применимым и для малых выборок .

Вважається, що крім методу Вілсон метод Вальда з корекцією по Агресті - Коуллу також дає оптимальну оцінку довірчого інтервалу для частот. Корекція по Агрести – Коуллу являє собою заміну у формулі Вальда частоти народження ознаки у вибірці (р) на р`, при розрахунку якої до чисельника додається 2, а до знаменника додається 4, тобто p` = (X + 2) / (N + 4), де Х – кількість учасників дослідження, у яких є ознака, що вивчається, а N – обсяг вибірки . Така модифікація призводить до результатів, дуже схожих на результати застосування формули Вілсона, за винятком випадків, коли частота події наближається до 0% або 100%, а вибірка мала. Крім вищезгаданих способів розрахунку довірчих інтервалів для частот були запропоновані поправки на безперервність як для методу Вальда, так і для методу Вілсона для малих вибірок, проте дослідження показали, що їх застосування є недоцільним.

Розглянемо застосування описаних способів розрахунку довірчих інтервалів на двох прикладах. У першому випадку ми вивчаємо велику вибірку, що складається з 1000 випадково відібраних учасників дослідження, з яких 450 мають ознака, що вивчається (це може бути фактор ризику, результат або будь-яка інша ознака), що становить частоту 0,45, або 45%. У другому випадку дослідження проводиться з використанням малої вибірки, припустимо, всього 20 осіб, причому ознака, що вивчається, є всього у 1 учасника дослідження (5%). Довірчі інтервалиметодом Вальда, методом Вальда з корекцією по Агрести – Коуллу, методом Вилсона розраховувалися з допомогою онлайн-калькулятора, розробленого Jeff Sauro (http://www. /wald. htm). Довірчі інтервали за методом Вілсона з поправкою на безперервність розраховувалися за допомогою калькулятора, запропонованого порталом Wassar Stats: http://faculty.vassar.edu/lowry/prop1.html. Розрахунки за допомогою кутового перетворення Фішера проводилися «вручну» з використанням критичного значення t для 19 та 999 ступенів свободи відповідно. Результати розрахунків представлені у таблиці для обох прикладів.

Довірчі інтервали, розраховані шістьма різними способамидля двох прикладів, описаних у тексті

Спосіб розрахунку довірчого інтервалу	Р=0,0500, чи 5%	95% ДІ для X=450, N=1000, Р=0,4500, або 45%
	–0,0455–0,2541
Вальда з корекцією по Агресті – Коуллу	<,0001–0,2541
Вілсона з корекцією на безперервність
«Точний метод» Клоппера – Пірсона
Кутове перетворення	<0,0001–0,1967

Як видно з таблиці, для першого прикладу довірчий інтервал, розрахований за «загальноприйнятим» методом Вальда входить у негативну область, для частот бути неспроможна. На жаль, подібні казуси нерідкі у вітчизняній літературі. Традиційний спосіб представлення даних у вигляді частоти та її помилки частково маскує цю проблему. Наприклад, якщо частота народження ознаки (у відсотках) представлена ​​як 2,1 ± 1,4, то це не настільки «ріже око», як 2,1 % (95 % ДІ: –0,7; 4,9), хоч і означає те саме. Метод Вальда з корекцією по Агресті - Коуллу і розрахунок за допомогою кутового перетворення дають нижню межу, що прагне нуля. Метод Вілсона з поправкою на безперервність і «точний метод» дають ширші довірчі інтервали ніж метод Вілсона. Для другого прикладу всі методи дають приблизно однакові довірчі інтервали (відмінності з'являються тільки в тисячних), що не дивно, так як частота події в цьому прикладі не сильно відрізняється від 50%, а обсяг вибірки досить великий.

Для читачів, що зацікавилися даною проблемою, можна порекомендувати роботи R. G. Newcombe та Brown, Cai та Dasgupta, в яких наводяться плюси та мінуси застосування 7 та 10 різних методів розрахунку довірчих інтервалів відповідно. З вітчизняних посібників рекомендується книга і , в якій, крім докладного опису теорії, представлені методи Вальда, Вілсона, а також спосіб розрахунку довірчих інтервалів з урахуванням біномного розподілу частот. Крім безкоштовних онлайн-калькуляторів (http://www. /wald. htm та http://faculty. vassar. edu/lowry/prop1.html) довірчі інтервали для частот (і не тільки!) можна розраховувати за допомогою програми CIA ( Confidence Intervals Analysis), яку можна завантажити з http://www. medschool. soton. ac. uk/cia/ .

У наступній статті будуть розглянуті одновимірні методи порівняння якісних даних.

Список літератури

Банержі А.Медична статистика зрозумілою мовою: вступний курс / А. Банержі. - М.: Практична медицина, 2007. - 287 с. Медична статистика/. - М.: Медичне інформаційне агентство, 2007. - 475 с. Гланц.Медико-біологічна статистика/С. Гланц. - М.: Практика, 1998. Типи даних, перевірка розподілу та описова статистика // Екологія людини – 2008. – № 1. – С. 52–58. Жіжин К. С. Медична статистика: навчальний посібник / . - Ростов н / Д: Фенікс, 2007. - 160 с. Прикладна медична статистика / . - СПб. : Фоліант, 2003. - 428 с. Лакін Г. Ф. Біометрія/. - М.: Вища школа, 1990. - 350 с. Медик В. А. Математична статистика у медицині / , . - М.: Фінанси та статистика, 2007. - 798 с. Математична статистика у клінічних дослідженнях / , . - М.: ГЕОТАР-МЕД, 2001. - 256 с. Юнкерів В. І. Медико-статистична обробка даних медичних досліджень / . - СПб. : ВмедА, 2002. - 266 с. Agresti A. Approximate is better than exact for interval estimation of binomial proportions / A. Agresti, B. Coull // American statistician. - 1998. - N 52. - С. 119-126. Altman D. Statistics with confidence // D. Altman, D. Machin, T. Bryant, M. J. Gardner. - London: BMJ Books, 2000. - 240 p. Brown L. D. Interval estimation for binomial proportion / L. D. Brown, T. T. Cai, A. Dasgupta // Statistical science. - 2001. - N 2. - P. 101-133. Clopper CJ.Використання confidence або fiducial limits ілюструється в випадку binomial / C. J. Clopper, E. S. Pearson / / Biometrika. - 1934. - N 26. - P. 404-413. Garcia-Perez M. A. На конфіденційний період для binomial parameter / M. A. Garcia-Perez // Quality and quantity. - 2005. - N 39. - P. 467-481. Motulsky H. Intuitive biostatistics // H. Motulsky. - Oxford: Oxford University Press, 1995. - 386 p. Newcombe R. G.Двоє-сиденних confidence intervals for single proportion: Comparison of Seven Methods / R. G. Newcombe // Statistics in Medicine. - 1998. - N. 17. - P. 857-872. Sauro J.Прийнятий монтаж швидких слів від невеликих випадків, використовуючи індивідуальні confidence intervals: comparisons and recomendations / J. Sauro, J. R. Lewis // Proceedings of human factors and ergonomics social annual meeting. - Orlando, FL, 2005. Wald A.Конфіденційні обмеження для постійного розповсюдження функцій // A. Wald, J. Wolfovitz // Annals of Mathematical Statistics. - 1939. - N 10. - P. 105-118. Wilson E. B. Досвідчена інформація, право визнання, і статистична інформація / E. B. Wilson // Journal of American Statistical Association. - 1927. - N 22. - P. 209-212.

CONFIDENCE INTERVALS FOR PROPORTIONS

A. M. Grjibovski

National Institute of Public Health, Oslo, Norway

article presents several methods for calculations confidence intervals for binomial proportions, namely, Wald, Wilson, arcsine, Agresti-Coull and exact Clopper-Pearson methods. Уроки тільки загальні введення в проблему confidence interval estimation of binomial proportion and its aim is notly to stimulate the readers to used confidence intervals when presenting results of own empirical research, but also to encourage them to consult statistics books prior analysing own data and preparing manuscripts.

Key words: confidence interval, proportion

Контактна інформація:

– старший радник Національного інституту громадського здоров'я, м. Осло, Норвегія

Довірчий інтервал для математичного очікування - це такий обчислений за даними інтервал, який з певною ймовірністю містить математичне очікування генеральної сукупності. Природною оцінкою для математичного очікування є середнє арифметичне її спостережених значень. Тому далі протягом уроку ми користуватимемося термінами "середнє", "середнє значення". У завданнях розрахунку довірчого інтервалу найчастіше потрібна відповідь типу "Довірчий інтервал середнього числа [величина у конкретній задачі] знаходиться від [менше значення] до [більше значення]". З допомогою довірчого інтервалу можна оцінювати як середні значення, а й питому вагу тієї чи іншої ознаки генеральної сукупності. Середні значення, дисперсія, стандартне відхилення та похибка, через які ми будемо приходити до нових визначень та формул, розібрані на уроці Характеристики вибірки та генеральної сукупності .

Точкова та інтервальна оцінки середнього значення

Якщо середнє значення генеральної сукупності оцінюється числом (точкою), то оцінку невідомої середньої величини генеральної сукупності приймається конкретне середнє, яке розраховано за вибіркою спостережень. У разі значення середнього вибірки - випадкової величини - не збігається із середнім значенням генеральної сукупності. Тому, вказуючи середнє значення вибірки, одночасно потрібно вказувати помилку вибірки. В якості міри помилки вибірки використовується стандартна помилка, яка виражена в тих самих одиницях виміру, що і середнє. Тому найчастіше використовується наступний запис: .

Якщо оцінку середнього потрібно пов'язати з певною ймовірністю, то параметр генеральної сукупності, що цікавить, потрібно оцінювати не одним числом, а інтервалом. Довірчим інтервалом називають інтервал, у якому з певною ймовірністю Pперебуває значення оцінюваного показника генеральної сукупності. Довірчий інтервал, у якому з ймовірністю P = 1 - α знаходиться випадкова величина , розраховується так:

,

α = 1 - P, який можна знайти у додатку до практично будь-якої книги зі статистики.

Насправді середнє значення генеральної сукупності і дисперсія невідомі, тому дисперсія генеральної сукупності замінюється дисперсією вибірки , а середнє генеральної сукупності - середнім значенням вибірки . Таким чином, довірчий інтервал у більшості випадків розраховується так:

.

Формулу довірчого інтервалу можна використовувати для оцінки середньої генеральної сукупності, якщо

• відоме стандартне відхилення генеральної сукупності;
• або стандартне відхилення генеральної сукупності невідоме, але обсяг вибірки – більше 30.

Середнє значення вибірки є незміщеною оцінкою середньої генеральної сукупності. У свою чергу, дисперсія вибірки не є незміщеною оцінкою дисперсії генеральної сукупності. Для отримання незміщеної оцінки дисперсії генеральної сукупності у формулі дисперсії вибірки обсяг вибірки nслід замінити на n-1.

приклад 1.Зібрано інформацію зі 100 випадково обраних кафе в деякому місті про те, що середня кількість працівників у них становить 10,5 зі стандартним відхиленням 4,6. Визначити довірчий інтервал 95% від числа працівників кафе.

де - критичне значення стандартного нормального розподілу рівня значимості α = 0,05 .

Таким чином, довірчий інтервал 95% середньої кількості працівників кафе становив від 9,6 до 11,4.

приклад 2.Для випадкової вибірки з генеральної сукупності з 64 спостережень обчислено такі сумарні величини:

сума значень у спостереженнях,

сума квадратів відхилення значень від середнього .

Обчислити довірчий інтервал 95% для математичного очікування.

обчислимо стандартне відхилення:

,

обчислимо середнє значення:

.

Підставляємо значення вираз для довірчого інтервалу:

де - критичне значення стандартного нормального розподілу рівня значимості α = 0,05 .

Отримуємо:

Таким чином, довірчий інтервал 95% для математичного очікування цієї вибірки становив від 7,484 до 11,266.

приклад 3.Для випадкової вибірки з генеральної сукупності зі 100 спостережень обчислено середнє значення 15,2 та стандартне відхилення 3,2. Обчислити довірчий інтервал 95% для математичного очікування, потім довірчий інтервал 99%. Якщо потужність вибірки та її варіація залишаються незмінними, а збільшується довірчий коефіцієнт, то довірчий інтервал звузиться чи розшириться?

Підставляємо дані значення вираз для довірчого інтервалу:

де - критичне значення стандартного нормального розподілу рівня значимості α = 0,05 .

Отримуємо:

.

Таким чином, довірчий інтервал 95% для середньої даної вибірки становив від 14,57 до 15,82.

Знову підставляємо дані значення вираз для довірчого інтервалу:

де - критичне значення стандартного нормального розподілу рівня значимості α = 0,01 .

Отримуємо:

.

Таким чином, довірчий інтервал 99% для середньої даної вибірки становив від 14,37 до 16,02.

Як бачимо, при збільшенні довірчого коефіцієнта збільшується також критичне значення стандартного нормального розподілу, а отже початкова і кінцева точки інтервалу розташовані далі від середнього, і таким чином довірчий інтервал для математичного очікування збільшується.

Точкова та інтервальна оцінки частки

Питому вагу деякої ознаки вибірки можна інтерпретувати як точкову оцінку частки pцієї ж ознаки в генеральній сукупності. Якщо ж цю величину потрібно пов'язати з ймовірністю, слід розрахувати довірчий інтервал частки pознаки у генеральній сукупності з ймовірністю P = 1 - α :

.

приклад 4.У деякому місті два кандидати Aі Bпретендують на посаду мера Випадково було опитано 200 жителів міста, з яких 46% відповіли, що голосуватимуть за кандидата A, 26% - за кандидата Bта 28% не знають, за кого голосуватимуть. Визначити довірчий інтервал 95% для частки жителів міста, які підтримують кандидата A.

Одним із методів вирішення статистичних завдань є обчислення довірчого інтервалу. Він використовується як краща альтернатива точковій оцінці при невеликому обсязі вибірки. Слід зазначити, що процес обчислення довірчого інтервалу досить складний. Але інструменти програми Ексель дозволяють дещо спростити його. Давайте дізнаємось, як це виконується на практиці.

Цей метод використовується для інтервальної оцінки різних статистичних величин. Головне завдання цього розрахунку – позбавиться невизначеностей точкової оцінки.

В Екселі існують два основні варіанти зробити обчислення за допомогою даного методу: коли дисперсія відома і коли вона невідома. У першому випадку для обчислень застосовується функція ДОВІР.НОРМ, а в другому - ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ.

Спосіб 1: функція ДОВЕРИТ.НОРМ

Оператор ДОВІР.НОРМ, що відноситься до статистичної групи функцій, вперше з'явився в Excel 2010. У попередніх версіях цієї програми використовується його аналог ДОВЕРИТЬ. Завданням цього оператора є розрахунок довірчого інтервалу із нормальним розподілом для середньої генеральної сукупності.

Його синтаксис виглядає так:

ДОВІР.НОРМ(альфа;стандартне_вимк.;розмір)

"Альфа"- аргумент, що вказує на рівень значущості, який застосовується для розрахунку довірчого рівня. Довірчий рівень дорівнює наступному виразу:

(1-«Альфа») * 100

"Стандартне відхилення"- Це аргумент, суть якого зрозуміла з найменування. Це стандартне відхилення пропонованої вибірки.

«Розмір»- Аргумент, що визначає величину вибірки.

Усі аргументи цього оператора є обов'язковими.

Функція ДОВЕРИТЬмає такі самі аргументи і можливості, що й попередня. Її синтаксис такий:

ДОВЕРИТ(альфа;стандартное_откл;размер)

Як бачимо, відмінності лише у найменуванні оператора. Зазначена функція з метою сумісності залишена в Excel 2010 і новіших версіях у спеціальній категорії «Сумісність». У версіях Excel 2007 і раніше вона присутня в основній групі статистичних операторів.

Кордон довірчого інтервалу визначається за допомогою формули наступного виду:

X+(-)ДОВЕРИТ.НОРМ

Де X– це середнє вибіркове значення, розташоване посередині обраного діапазону.

Тепер розглянемо, як розрахувати довірчий інтервал на конкретному прикладі. Було проведено 12 випробувань, внаслідок яких було отримано різні результати, занесені до таблиці. Це і є наша сукупність. Стандартне відхилення дорівнює 8. Нам потрібно розрахувати інтервал довіри при рівні довіри 97%.

1. Виділяємо комірку, куди виводитиметься результат обробки даних. Клацаємо по кнопці "Вставити функцію".



2. З'являється Майстер функцій. Переходимо до категорії «Статистичні»та виділяємо найменування «ДОВЕРИТ.НОРМ». Після цього клацаємо по кнопці "OK".



3. Відкривається віконце аргументів. Його поля закономірно відповідають найменуванням аргументів.
   Встановлюємо курсор у перше поле – "Альфа". Тут слід вказати рівень значимості. Як ми пам'ятаємо, рівень довіри в нас дорівнює 97%. Водночас ми говорили, що він розраховується таким шляхом:

   (1-рівень довіри)/100

   Тобто, підставивши значення, отримуємо:

   Шляхом нехитрих розрахунків дізнаємось, що аргумент "Альфа"дорівнює 0,03 . Вводимо це значення в полі.

   Як відомо, за умовою стандартне відхилення одно 8 . Тому в полі "Стандартне відхилення"просто записуємо це число.

   В полі «Розмір»Необхідно запровадити кількість елементів проведених випробувань. Як ми пам'ятаємо, їх 12 . Але щоб автоматизувати формулу і не редагувати її щоразу при проведенні нового випробування, давайте задамо це значення не звичайним числом, а за допомогою оператора РАХУНОК. Отже, встановлюємо курсор у полі «Розмір», а потім клацаємо по трикутнику, який розміщений ліворуч від рядка формул.

   З'являється список функцій, що нещодавно використовуються. Якщо оператор РАХУНОКзастосовувався вами нещодавно, то він має бути в цьому списку. У такому разі потрібно просто клікнути за його найменуванням. В іншому випадку, якщо ви його не виявите, то переходите по пункту «Інші функції…».



4. З'являється вже знайомий нам Майстер функцій. Знову переміщуємося до групи «Статистичні». Виділяємо там найменування «РАХУНОК». Клацаємо по кнопці "OK".



5. З'являється вікно аргументів вищезазначеного оператора. Ця функція призначена для того, щоб обчислювати кількість осередків у вказаному діапазоні, що містять числові значення. Синтаксис її наступний:

   РАХУНОК (значення1; значення2; ...)

   Група аргументів «Значення»є посилання на діапазон, в якому потрібно розрахувати кількість заповнених числовими даними осередків. Усього може налічуватися до 255 подібних аргументів, але в нашому випадку знадобиться лише один.

   Встановлюємо курсор у полі «Значення1»і, затиснувши ліву кнопку миші, виділяємо на аркуші діапазон, який містить нашу сукупність. Потім його адреса буде відображено у полі. Клацаємо по кнопці "OK".



6. Після цього додаток здійснить обчислення і виведе результат у той осередок, де він знаходиться сам. У конкретному випадку формула вийшла такого виду:

   ДОВЕРИТ.НОРМ(0,03;8;РАХУНОК(B2:B13))

   Загальний результат обчислень склав 5,011609 .



7. Але це ще не все. Як ми пам'ятаємо, межа довірчого інтервалу обчислюється шляхом складання та віднімання від середнього вибіркового значення результату обчислення ДОВІР.НОРМ. У такий спосіб розраховується відповідно права та ліва межа довірчого інтервалу. Саме середнє вибіркове значення можна розрахувати за допомогою оператора Відмінник.

   Цей оператор призначений для розрахунку середнього арифметичного значення вибраного діапазону чисел. Він має наступний досить простий синтаксис:

   СРЗНАЧ(число1; число2; ...)

   Аргумент «Кількість»може бути як окремим числовим значенням, так і посиланням на комірки або навіть цілі діапазони, що їх містять.

   Отже, виділяємо комірку, в яку виводитиметься розрахунок середнього значення, і клацаємо по кнопці "Вставити функцію".



8. Відкривається Майстер функцій. Знову переходимо до категорії «Статистичні»та вибираємо зі списку найменування «СРЗНАЧ». Як завжди, клацаємо по кнопці "OK".



9. Запускається вікно аргументів. Встановлюємо курсор у полі «Число1»і із затиснутою лівою кнопкою миші виділяємо весь діапазон значень. Після того, як координати відобразились у полі, клацаємо по кнопці "OK".



10. Після цього Відмінниквиводить результат розрахунку елемент листа.



11. Проводимо розрахунок правої межі довірчого інтервалу. Для цього виділяємо окремий осередок, ставимо знак «=» і складаємо вміст елементів аркуша, у яких розташовані результати обчислень функцій Відмінникі ДОВІР.НОРМ. Для того, щоб виконати розрахунок, натискаємо на клавішу Enter. У нашому випадку вийшла така формула:

    Результат обчислення: 6,953276



12. Таким же чином робимо обчислення лівої межі довірчого інтервалу, тільки цього разу від результату обчислення Відмінникзабираємо результат обчислення оператора ДОВІР.НОРМ. Виходить формула для прикладу наступного типу:

    Результат обчислення: -3,06994



13. Ми спробували докладно описати всі дії щодо обчислення довірчого інтервалу, тому детально розписали кожну формулу. Але можна всі дії поєднати в одній формулі. Обчислення правого кордону довірчого інтервалу можна записати так:

    СРЗНАЧ(B2:B13)+ДОВЕРИТ.НОРМ(0,03;8;РАХУНОК(B2:B13))



14. Аналогічне обчислення лівого кордону виглядатиме так:

    СРЗНАЧ(B2:B13)-ДОВЕРИТ.НОРМ(0,03;8;РАХУНОК(B2:B13))

Спосіб 2: функція ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ

Крім того, в Екселі є ще одна функція, яка пов'язана з обчисленням довірчого інтервалу ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ. Вона з'явилася лише починаючи з Excel 2010. Цей оператор виконує обчислення довірчого інтервалу генеральної сукупності з використанням розподілу Стьюдента. Його дуже зручно використовувати у тому випадку, коли дисперсія та, відповідно, стандартне відхилення невідомі. Синтаксис оператора такий:

ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ(альфа;стандартне_вимк.;розмір)

Як бачимо, назви операторів і в цьому випадку залишилися незмінними.

Подивимося, як розрахувати межі довірчого інтервалу з невідомим стандартним відхиленням на прикладі тієї самої сукупності, що ми розглядали в попередньому способі. Рівень довіри, як і минулого разу, візьмемо 97%.

1. Виділяємо комірку, в яку проводитиметься розрахунок. Клацаємо по кнопці "Вставити функцію".



2. У відкритому Майстри функційпереходимо до категорії «Статистичні». Вибираємо найменування «ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ». Клацаємо по кнопці "OK".



3. Здійснюється запуск вікна аргументів зазначеного оператора.

   В полі "Альфа", враховуючи, що рівень довіри становить 97%, записуємо число 0,03 . Вдруге на принципах розрахунку даного параметра зупинятись не будемо.

   Після цього встановлюємо курсор у полі "Стандартне відхилення". На цей раз цей показник нам невідомий і його потрібно розрахувати. Робиться це за допомогою спеціальної функції – СТАНДОТКЛОН.. Щоб викликати вікно цього оператора, клацаємо по трикутнику ліворуч від рядка формул. Якщо в списку не знаходимо потрібного найменування, то переходимо по пункту «Інші функції…».



4. Запускається Майстер функцій. Переміщуємось до категорії «Статистичні»і відзначаємо в ній найменування «СТАНДОТКЛОН.В». Потім клацаємо по кнопці "OK".



5. Відкриється вікно аргументів. Завданням оператора СТАНДОТКЛОН.є визначення стандартного відхилення під час вибірки. Його синтаксис виглядає так:

   СТАНДОТКЛОН.В(число1;число2;…)

   Неважко здогадатися, що аргумент «Кількість»- Це адреса елемента вибірки. Якщо вибірка розміщена єдиним масивом, можна, використавши лише один аргумент, дати посилання даний діапазон.

   Встановлюємо курсор у полі «Число1»і, як завжди, затиснувши ліву кнопку миші, виділяємо сукупність. Після того, як координати потрапили в поле, не поспішаємо натискати на кнопку "OK", оскільки результат вийде некоректним. Насамперед нам потрібно повернутися до вікна аргументів оператора ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ, щоб зробити останній аргумент. Для цього клацаємо за відповідним найменуванням у рядку формул.



6. Знову відкривається вікно аргументів вже знайомої функції. Встановлюємо курсор у полі «Розмір». Знову тиснемо на вже знайомий нам трикутник для переходу до вибору операторів. Як ви зрозуміли, нам потрібна найменування «РАХУНОК». Так як ми використовували цю функцію при обчисленнях в попередньому способі, в цьому списку вона є, так що просто клацаємо по ній. Якщо ж ви її не виявите, то дійте за алгоритмом, описаним у першому способі.



7. Потрапивши у вікно аргументів РАХУНОК, ставимо курсор у полі «Число1»і із затиснутою кнопкою миші виділяємо сукупність. Потім клацаємо по кнопці "OK".



8. Після цього програма здійснює розрахунок і виводить значення довірчого інтервалу.



9. Для визначення кордонів знову потрібно буде розрахувати середнє значення вибірки. Але, враховуючи те, що алгоритм розрахунку за допомогою формули Відмінниктой самий, що й у попередньому способі, і навіть результат не змінився, не будемо на цьому докладно зупинятись вдруге.



10. Склавши результати обчислення Відмінникі ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ, отримуємо правий кордон довірчого інтервалу



11. Відібравши від результатів розрахунку оператора Відмінникрезультат розрахунку ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ, маємо ліву межу довірчого інтервалу



12. Якщо розрахунок записати однією формулою, то обчислення правого кордону в нашому випадку виглядатиме так:

    СРЗНАЧ(B2:B13)+ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ(0,03;СТАНДОТКЛОН.В(B2:B13);РАХУНОК(B2:B13))



13. Відповідно, формула розрахунку лівої межі виглядатиме так:

    СРЗНАЧ(B2:B13)-ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ(0,03;СТАНДОТКЛОН.В(B2:B13);РАХУНОК(B2:B13))

Як бачимо, інструменти програми Excel дозволяють суттєво полегшити обчислення довірчого інтервалу та його меж. Для цього використовуються окремі оператори для вибірок, у яких дисперсія відома і невідома.

Довірчий інтервал

Довірчий інтервал- термін, який використовується в математичній статистиці при інтервальній (на відміну від точкової) оцінки статистичних параметрів, що краще при невеликому обсязі вибірки. Довірчим називають інтервал, який покриває невідомий параметр із заданою надійністю.

Метод довірчих інтервалів розробив американський статистик Єжи Нейман, виходячи з ідей англійського статистика Рональда Фішера.

Визначення

Довірчим інтервалом параметра θ розподілу випадкової величини Xз рівнем довіри 100 p%, породженим вибіркою ( x 1 ,…,x n), називається інтервал з межами ( x 1 ,…,x n) та ( x 1 ,…,x n), які є реалізаціями випадкових величин L(X 1 ,…,X n) та U(X 1 ,…,X n), таких, що

.

Граничні точки довірчого інтервалу і називаються довірчими межами.

Інтерпретація довірчого інтервалу, заснована на інтуїції, буде такою: якщо pвелике (скажімо, 0,95 або 0,99), то довірчий інтервал майже напевно містить справжнє значення θ .

Ще одне тлумачення поняттю довірчого інтервалу: його можна як інтервал значень параметра θ , сумісні з досвідченими даними і не суперечать їм.

Приклади

• Довірчий інтервал для математичного очікування нормальної вибірки;
• Довірчий інтервал для дисперсії нормальної вибірки.

Байєсовський довірчий інтервал

У байєсовской статистиці існує схоже, але визначення деяких ключових деталях визначення довірчого інтервалу. Тут параметр, що оцінюється, сам вважається випадковою величиною з деяким заданим апріорним розподілом (у найпростішому випадку - рівномірним), а вибірка фіксована (у класичній статистиці все в точності навпаки). Байєсовський -довірчий інтервал - це інтервал, що покриває значення параметра з апостеріорною ймовірністю:

.

Як правило, класичний та байєсовський довірчі інтервали різняться. В англомовній літературі байєсівський довірчий інтервал прийнято називати терміном credible interval, а класичний - confidence interval.

Примітки

Джерела

Wikimedia Foundation. 2010 .

• Дітки (фільм)
• Колоніст

Дивитись що таке "Довірчий інтервал" в інших словниках:

Довірчий інтервал- інтервал, обчислений за вибірковими даними, який із заданою ймовірністю (довірчою) накриває невідоме справжнє значення параметра розподілу, що оцінюється. Джерело: ГОСТ 20522 96: Ґрунти. Методи статистичної обробки результатів … Словник-довідник термінів нормативно-технічної документації

довірчий інтервал- для скалярного параметра генеральної сукупності - це відрізок, що з великою ймовірністю містить цей параметр. Ця фраза без подальших уточнень безглузда. Оскільки межі довірчого інтервалу оцінюються за вибіркою, природно його… Словник соціологічної статистики

ДОВІРЧИЙ ІНТЕРВАЛ- метод оцінювання параметрів, який відрізняється від точкового оцінювання. Нехай задана вибірка x1, . . ., хn з розподілу з густиною ймовірності f(x, α), і а*=а*(x1, . . ., хn) оцінка α, g(a*, α) густина ймовірності оцінки. Шукаємо ... ... Геологічна енциклопедія

ДОВІРЧИЙ ІНТЕРВАЛ- (confidence interval) Інтервал, в якому достовірність значення параметра населення, отриманого на основі вибіркового обстеження, має певний ступінь ймовірності, наприклад 95%, що обумовлено самою вибіркою (sample). Ширина… … Економічний словник

довірчий інтервал- – інтервал, у якому перебуває справжнє значення визначається величини із заданою довірчою ймовірністю. Загальна хімія: підручник / А. В. Жолнін … Хімічні терміни

Довірчий інтервал ДІ- довірчий інтервал, ДІ * даверальний інтервал, ДІ * confidence interval інтервал значення ознаки, розрахований для к. л. параметра розподілу (напр., середнього значення ознаки) за вибіркою та з певною ймовірністю (напр., 95% для 95% … Генетика. Енциклопедичний словник

ДОВІРЧИЙ ІНТЕРВАЛ- поняття, що виникає в оцінці параметра статистич. розподілу інтервалом значень. Д. в. для параметра q, відповідний даному коеф. довіри Р, дорівнює такому інтервалу (q1, q2), що з будь-якому розподілі ймовірності нерівності… … Фізична енциклопедія

довірчий інтервал- - Тематики електрозв'язок, основні поняття EN confidence interval ... Довідник технічного перекладача

довірчий інтервал- pasikliovimo intervalas statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Dydžio verčių intervalas, kuriame su pasirinktąja tikimybe yra matavimo rezultato vertė. atitikmenys: англ. confidence interval vok. Vertrauensbereich, m rus. Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

довірчий інтервал- pasikliovimo intervalas statusas T sritis chemija apibrėžtis Dydžio verčių intervalas, kuriame su pasirinktąja tikimybe yra matavimo rezultatų vertė. atitikmenys: англ. confidence interval ukr. довірча область; довірчий інтервал … Chemijos terminų aiškinamasis žodynas