Formule pour trouver la somme des premiers nombres d'une progression arithmétique. Progression arithmétique avec exemples

Tâches pour progression arithmétique existait déjà dans l'Antiquité. Ils sont apparus et ont exigé une solution parce qu’ils avaient un besoin pratique.

Ainsi, l'un des papyrus de l'Égypte ancienne à contenu mathématique, le papyrus Rhind (XIXe siècle avant JC), contient la tâche suivante : diviser dix mesures de pain entre dix personnes, à condition que la différence entre chacune d'elles soit d'un huitième de la mesure."

Et dans les travaux mathématiques des Grecs anciens, il existe des théorèmes élégants liés à la progression arithmétique. Ainsi, Hypsiclès d'Alexandrie (IIe siècle, qui compila de nombreux problèmes intéressants et ajouta le quatorzième livre aux Éléments d'Euclide), formulait l'idée : « Dans une progression arithmétique qui a un nombre pair de termes, la somme des termes de la 2e moitié est supérieur à la somme des termes du 1er sur le carré 1/2 nombres de membres."

La séquence est désignée par un. Les numéros d'une séquence sont appelés ses membres et sont généralement désignés par des lettres avec des indices qui indiquent numéro de série ce membre (a1, a2, a3... se lit : « un 1er », « un 2ème », « un 3ème » et ainsi de suite).

La séquence peut être infinie ou finie.

Qu'est-ce qu'une progression arithmétique ? Nous entendons par là celui obtenu en ajoutant le terme précédent (n) avec le même nombre d, qui est la différence de la progression.

Si d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, alors cette progression est considérée comme croissante.

Une progression arithmétique est dite finie si seuls ses premiers termes sont pris en compte. À très grandes quantités membres est déjà une progression sans fin.

Toute progression arithmétique est définie par la formule suivante :

an =kn+b, tandis que b et k sont des nombres.

L'affirmation inverse est absolument vraie : si une suite est donnée par une formule similaire, alors c'est exactement une progression arithmétique qui a les propriétés :

Chaque terme de la progression est la moyenne arithmétique du terme précédent et du suivant.
Inverse : si, à partir du 2ème, chaque terme est la moyenne arithmétique du terme précédent et du suivant, soit si la condition est remplie, alors cette séquence est une progression arithmétique. Cette égalité est aussi un signe de progression, c'est pourquoi on l'appelle habituellement propriété caractéristique de progression.
De la même manière, le théorème qui reflète cette propriété est vrai : une suite n'est une progression arithmétique que si cette égalité est vraie pour l'un des termes de la suite, en commençant par le 2ème.

La propriété caractéristique de quatre nombres quelconques d'une progression arithmétique peut être exprimée par la formule an + am = ak + al, si n + m = k + l (m, n, k sont des nombres de progression).

Dans une progression arithmétique, tout (Nième) terme nécessaire peut être trouvé à l'aide de la formule suivante :

Par exemple : le premier terme (a1) d'une progression arithmétique est donné et égal à trois, et la différence (d) est égale à quatre. Il vous faut trouver le quarante-cinquième terme de cette progression. a45 = 1+4(45-1)=177

La formule an = ak + d(n - k) permet de déterminer nième mandat une progression arithmétique à travers l'un de ses kèmes termes, à condition qu'elle soit connue.

La somme des termes d'une progression arithmétique (c'est-à-dire les n premiers termes d'une progression finie) se calcule comme suit :

Sn = (a1+an)n/2.

Si le 1er terme est également connu, alors une autre formule convient pour le calcul :

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

La somme d'une progression arithmétique contenant n termes est calculée comme suit :

Le choix des formules de calcul dépend des conditions des problèmes et des données initiales.

Série naturelle de nombres quelconques, tels que 1,2,3,...,n,...- exemple le plus simple progression arithmétique.

En plus de la progression arithmétique, il existe également une progression géométrique qui a ses propres propriétés et caractéristiques.

Premier niveau

Progression arithmétique. Théorie détaillée avec exemples (2019)

Séquence numérique

Alors asseyons-nous et commençons à écrire quelques chiffres. Par exemple:
Vous pouvez écrire n'importe quel nombre, et il peut y en avoir autant que vous le souhaitez (dans notre cas, il y en a). Peu importe le nombre de nombres que nous écrivons, nous pouvons toujours dire lequel est le premier, lequel est le deuxième, et ainsi de suite jusqu'au dernier, c'est-à-dire que nous pouvons les numéroter. Voici un exemple de séquence de nombres :

Séquence numérique
Par exemple, pour notre séquence :

Le numéro attribué est spécifique à un seul numéro de la séquence. En d’autres termes, il n’y a pas de nombres de trois secondes dans la séquence. Le deuxième nombre (comme le ème nombre) est toujours le même.
Le nombre avec nombre est appelé le ème terme de la séquence.

Nous appelons généralement la séquence entière par une lettre (par exemple,), et chaque membre de cette séquence est la même lettre avec un indice égal au numéro de ce membre : .

Dans notre cas:

Disons que nous avons séquence de nombres, dans lequel la différence entre les nombres adjacents est la même et égale.
Par exemple:

etc.
Cette suite de nombres est appelée progression arithmétique.
Le terme « progression » a été introduit par l'auteur romain Boèce au 6ème siècle et était compris de manière plus générale. dans un sens large, comme une séquence de nombres infinie. Le nom « arithmétique » a été transféré de la théorie des proportions continues, étudiée par les anciens Grecs.

Il s'agit d'une séquence de nombres dont chaque membre est égal au précédent ajouté au même nombre. Ce nombre est appelé la différence d'une progression arithmétique et est désigné.

Essayez de déterminer quelles suites de nombres sont une progression arithmétique et lesquelles ne le sont pas :

un)
b)
c)
d)

J'ai compris? Comparons nos réponses :
Est progression arithmétique - b, c.
N'est pas progression arithmétique - a, d.

Revenons à la progression donnée () et essayons de trouver la valeur de son ème terme. Existe deux moyen de le trouver.

1. Méthode

On peut ajouter le numéro de progression à la valeur précédente jusqu'à atteindre le ème terme de la progression. C'est bien que nous n'ayons pas grand chose à résumer - seulement trois valeurs :

Ainsi, le ème terme de la progression arithmétique décrite est égal à.

2. Méthode

Et s’il fallait trouver la valeur du ème terme de la progression ? La sommation nous prendrait plus d'une heure, et ce n'est pas un fait que nous ne ferions pas d'erreurs en additionnant des nombres.
Bien entendu, les mathématiciens ont trouvé une méthode selon laquelle il n’est pas nécessaire d’ajouter la différence d’une progression arithmétique à la valeur précédente. Regardez de plus près l'image dessinée... Vous avez sûrement déjà remarqué un certain motif, à savoir :

Voyons par exemple en quoi consiste la valeur du ième terme de cette progression arithmétique :

Autrement dit:

Essayez de trouver vous-même la valeur d'un membre d'une progression arithmétique donnée.

As-tu calculé ? Comparez vos notes avec la réponse :

Veuillez noter que vous avez obtenu exactement le même nombre que dans la méthode précédente, lorsque nous avons ajouté séquentiellement les termes de la progression arithmétique à la valeur précédente.
Essayons de "dépersonnaliser" cette formule- emmenons-la à Forme générale et on obtient :

Équation de progression arithmétique.

Les progressions arithmétiques peuvent être croissantes ou décroissantes.

En augmentant- des progressions dans lesquelles chaque valeur suivante des termes est supérieure à la précédente.
Par exemple:

Descendant- des progressions dans lesquelles chaque valeur ultérieure des termes est inférieure à la précédente.
Par exemple:

La formule dérivée est utilisée dans le calcul des termes en termes croissants et décroissants d'une progression arithmétique.
Vérifions cela en pratique.
On nous donne une progression arithmétique composée des nombres suivants : Vérifions quel sera le ème nombre de cette progression arithmétique si nous utilisons notre formule pour le calculer :

Depuis lors:

Ainsi, nous sommes convaincus que la formule fonctionne à la fois en progression arithmétique décroissante et croissante.
Essayez de trouver vous-même les ième et ième termes de cette progression arithmétique.

Comparons les résultats :

Propriété de progression arithmétique

Compliquons le problème - nous en dériverons la propriété de progression arithmétique.
Disons qu'on nous donne la condition suivante :
- progression arithmétique, trouver la valeur.
Facile, dites-vous et commencez à compter selon la formule que vous connaissez déjà :

Laissez, ah, alors :

Absolument raison. Il s'avère que nous trouvons d'abord, puis l'ajoutons au premier nombre et obtenons ce que nous recherchons. Si la progression est représentée par de petites valeurs, alors cela n’a rien de compliqué, mais que se passe-t-il si on nous donne des nombres dans la condition ? D'accord, il est possible de se tromper dans les calculs.
Demandez-vous maintenant s'il est possible de résoudre ce problème en une seule étape en utilisant n'importe quelle formule ? Bien sûr que oui, et c’est ce que nous allons essayer de faire ressortir maintenant.

Notons le terme requis de la progression arithmétique car la formule pour le trouver nous est connue - c'est la même formule que nous avons dérivée au début :
, Alors:

le terme précédent de la progression est :
le terme suivant de la progression est :

Résumons les termes précédents et suivants de la progression :

Il s'avère que la somme des termes de progression précédents et suivants est la double valeur du terme de progression situé entre eux. En d’autres termes, pour trouver la valeur d’un terme de progression avec des valeurs précédentes et successives connues, vous devez les additionner et diviser par.

C'est vrai, nous avons le même numéro. Sécurisons le matériel. Calculez vous-même la valeur de la progression, ce n’est pas du tout difficile.

Bien joué! Vous savez presque tout sur la progression ! Il ne reste plus qu'à découvrir une formule qui, selon la légende, a été facilement déduite par l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps, le « roi des mathématiciens » - Karl Gauss...

Lorsque Carl Gauss avait 9 ans, un enseignant, occupé à vérifier le travail des élèves d'autres classes, lui a confié la tâche suivante en classe : « Calculer la somme de tous les nombres naturels de à (selon d'autres sources à) inclus. » Imaginez la surprise du professeur lorsqu'un de ses élèves (c'était Karl Gauss) a donné une minute plus tard la bonne réponse à la tâche, tandis que la plupart des camarades de classe du casse-cou, après de longs calculs, ont reçu le mauvais résultat...

Le jeune Carl Gauss a remarqué une certaine tendance que vous pouvez facilement remarquer aussi.
Disons que nous avons une progression arithmétique composée de -èmes termes : nous devons trouver la somme de ces termes de la progression arithmétique. Bien sûr, nous pouvons additionner manuellement toutes les valeurs, mais que se passe-t-il si la tâche nécessite de trouver la somme de ses termes, comme le recherchait Gauss ?

Décrivons la progression qui nous est donnée. Examinez de plus près les nombres en surbrillance et essayez d'effectuer diverses opérations mathématiques avec eux.

L'as tu essayé? Qu'avez-vous remarqué ? Droite! Leurs sommes sont égales

Maintenant, dites-moi, combien y a-t-il de telles paires au total dans la progression qui nous est donnée ? Bien sûr, exactement la moitié de tous les chiffres.
Partant du fait que la somme de deux termes d'une progression arithmétique est égale et que les paires similaires sont égales, on obtient que la somme totale est égale à :
.
Ainsi, la formule de la somme des premiers termes de toute progression arithmétique sera :

Dans certains problèmes, nous ne connaissons pas le ème terme, mais nous connaissons la différence de progression. Essayez de remplacer la formule du ème terme par la formule de somme.
Qu'est-ce que vous obtenez?

Bien joué! Revenons maintenant au problème qui a été posé à Carl Gauss : calculez vous-même à quoi est égale la somme des nombres à partir du ème et la somme des nombres à partir du ème.

Combien as-tu reçu ?
Gauss a découvert que la somme des termes est égale, ainsi que la somme des termes. C'est ce que tu as décidé ?

En fait, la formule de la somme des termes d'une progression arithmétique a été prouvée par l'ancien scientifique grec Diophante au 3ème siècle, et tout au long de cette période, des gens pleins d'esprit ont pleinement utilisé les propriétés de la progression arithmétique.
Par exemple, imaginez L'Egypte ancienne et le plus grand projet de construction de l'époque - la construction d'une pyramide... La photo en montre un côté.

Où est la progression ici, dites-vous ? Regardez attentivement et trouvez une régularité dans le nombre de blocs de sable dans chaque rangée du mur de la pyramide.

Pourquoi pas une progression arithmétique ? Calculez combien de blocs sont nécessaires pour construire un mur si des blocs de briques sont placés à la base. J'espère que vous ne compterez pas en déplaçant votre doigt sur le moniteur, vous vous souvenez de la dernière formule et de tout ce que nous avons dit sur la progression arithmétique ?

DANS dans ce cas La progression ressemble à ceci : .
Différence de progression arithmétique.
Le nombre de termes d'une progression arithmétique.
Remplaçons nos données dans les dernières formules (calculons le nombre de blocs de 2 manières).

Méthode 1.

Méthode 2.

Et maintenant, vous pouvez calculer sur le moniteur : comparez les valeurs obtenues avec le nombre de blocs qui se trouvent dans notre pyramide. J'ai compris? Bravo, vous maîtrisez la somme des nièmes termes d'une progression arithmétique.
Bien sûr, on ne peut pas construire une pyramide à partir de blocs à la base, mais à partir de ? Essayez de calculer combien de briques de sable sont nécessaires pour construire un mur dans cette condition.
Avez-vous réussi ?
La bonne réponse est les blocs :

Entraînement

Tâches:

Masha se met en forme pour l'été. Chaque jour, elle augmente le nombre de squats. Combien de fois Masha fera-t-elle des squats par semaine si elle faisait des squats lors de la première séance d'entraînement ?
Quelle est la somme de tous les nombres impairs contenus.
Lors du stockage des journaux, les enregistreurs les empilent de telle manière que chacun couche supérieure contient un journal de moins que le précédent. Combien y a-t-il de rondins dans une maçonnerie, si les fondations de la maçonnerie sont constituées de rondins ?

Réponses:

Définissons les paramètres de la progression arithmétique. Dans ce cas
(semaines = jours).
Répondre: Dans deux semaines, Masha devrait faire des squats une fois par jour.
Premier nombre impair, dernier nombre.
Différence de progression arithmétique.
Le nombre de nombres impairs est la moitié, cependant, vérifions ce fait à l'aide de la formule pour trouver le ème terme d'une progression arithmétique :
Les nombres contiennent des nombres impairs.
Remplaçons les données disponibles dans la formule :
Répondre: La somme de tous les nombres impairs contenus dans est égale.
Rappelons-nous le problème des pyramides. Pour notre cas, a , puisque chaque couche supérieure est réduite d'un journal, alors au total, il y a un tas de couches, c'est-à-dire.
Remplaçons les données dans la formule :
Répondre: Il y a des rondins dans la maçonnerie.

Résumons-le

- une séquence de nombres dans laquelle la différence entre les nombres adjacents est la même et égale. Il peut être croissant ou décroissant.
Trouver une formule Le ème terme d'une progression arithmétique s'écrit par la formule - , où est le nombre de nombres dans la progression.
Propriété des membres d'une progression arithmétique- - où est le nombre de nombres en progression.
La somme des termes d'une progression arithmétique peut être trouvé de deux manières :

, où est le nombre de valeurs.

PROGRESSION ARITHMÉTIQUE. NIVEAU MOYEN

Séquence numérique

Asseyons-nous et commençons à écrire quelques chiffres. Par exemple:

Vous pouvez écrire n’importe quel nombre, et il peut y en avoir autant que vous le souhaitez. Mais nous pouvons toujours dire lequel est le premier, lequel est le deuxième, et ainsi de suite, c'est-à-dire que nous pouvons les numéroter. Ceci est un exemple de séquence de nombres.

Séquence numérique est un ensemble de nombres, chacun pouvant se voir attribuer un numéro unique.

En d’autres termes, chaque nombre peut être associé à un certain nombre naturel et unique. Et nous n’attribuerons ce numéro à aucun autre numéro de cet ensemble.

Le nombre avec nombre est appelé le ème membre de la séquence.

Nous appelons généralement la séquence entière par une lettre (par exemple,), et chaque membre de cette séquence est la même lettre avec un indice égal au numéro de ce membre : .

C'est très pratique si le ème terme de la séquence peut être spécifié par une formule. Par exemple, la formule

définit la séquence :

Et la formule est la séquence suivante :

Par exemple, une progression arithmétique est une suite (le premier terme ici est égal et la différence l'est). Ou (, différence).

formule du nième terme

On appelle récurrente une formule dans laquelle, pour connaître le ème terme, il faut connaître le ou plusieurs précédents :

Pour trouver, par exemple, le ième terme de la progression à l'aide de cette formule, il faudra calculer les neuf précédents. Par exemple, laissez-le. Alors:

Eh bien, est-ce que la formule est claire maintenant ?

Dans chaque ligne, nous ajoutons, multiplié par un certain nombre. Lequel? Très simple : c'est le numéro du membre actuel moins :

Beaucoup plus pratique maintenant, non ? Nous vérifions:

Décider vous-même:

Dans une progression arithmétique, trouvez la formule du nième terme et trouvez le centième terme.

Solution:

Le premier terme est égal. Quelle est la différence? Voici quoi :

(C'est pourquoi on l'appelle différence car elle est égale à la différence des termes successifs de la progression).

Donc la formule :

Alors le centième terme est égal à :

Quelle est la somme de tous les nombres naturels de à ?

Selon la légende, le grand mathématicien Carl Gauss, alors qu'il avait 9 ans, aurait calculé ce montant en quelques minutes. Il a remarqué que la somme du premier et dernier rendez-vous est égal, la somme du deuxième et de l'avant-dernier est la même, la somme du troisième et du 3ème à partir de la fin est la même, et ainsi de suite. Combien y a-t-il de telles paires au total ? C'est vrai, exactement la moitié du nombre de tous les nombres, bien sûr. Donc,

La formule générale de la somme des premiers termes de toute progression arithmétique sera :

Exemple:
Trouver la somme de tous nombres à deux chiffres, multiples.

Solution:

Le premier de ces chiffres est le suivant. Chaque numéro suivant est obtenu en ajoutant au numéro précédent. Ainsi, les nombres qui nous intéressent forment une progression arithmétique avec le premier terme et la différence.

Formule du ème terme pour cette progression :

Combien de termes y a-t-il dans la progression s’ils doivent tous être à deux chiffres ?

Très facile: .

Le dernier terme de la progression sera égal. Alors la somme :

Répondre: .

Maintenant, décidez vous-même :

Chaque jour, l'athlète court plus de mètres que la veille. Combien de kilomètres au total parcourra-t-il en une semaine s'il courait des km m le premier jour ?
Un cycliste parcourt chaque jour plus de kilomètres que la veille. Le premier jour, il a parcouru des kilomètres. Combien de jours faut-il parcourir pour parcourir un kilomètre ? Combien de kilomètres parcourra-t-il lors du dernier jour de son voyage ?
Le prix d'un réfrigérateur dans un magasin diminue du même montant chaque année. Déterminez de combien le prix d'un réfrigérateur a diminué chaque année si, mis en vente pour des roubles, six ans plus tard, il était vendu pour des roubles.

Réponses:

Le plus important ici est de reconnaître la progression arithmétique et de déterminer ses paramètres. Dans ce cas, (semaines = jours). Il faut déterminer la somme des premiers termes de cette progression :
.
Répondre:
Ici, il est donné : , doit être trouvé.
Évidemment, vous devez utiliser la même formule de somme que dans le problème précédent :
.
Remplacez les valeurs :
La racine ne convient évidemment pas, donc la réponse est.
Calculons le chemin parcouru au cours du dernier jour à l'aide de la formule du ème terme :
(km).
Répondre:
Donné: . Trouver: .
Rien de plus simple :
(frotter).
Répondre:

PROGRESSION ARITHMÉTIQUE. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

Il s'agit d'une séquence de nombres dans laquelle la différence entre les nombres adjacents est la même et égale.

La progression arithmétique peut être croissante () et décroissante ().

Par exemple:

Formule pour trouver le nième terme d'une progression arithmétique

s'écrit par la formule, où est le nombre de nombres en progression.

Propriété des membres d'une progression arithmétique

Il permet de retrouver facilement un terme d'une progression si ses termes voisins sont connus - où est le nombre de nombres dans la progression.

Somme des termes d'une progression arithmétique

Il existe deux façons de connaître le montant :

Où est le nombre de valeurs.

Eh bien, le sujet est terminé. Si vous lisez ces lignes, c’est que vous êtes très cool.

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Qu'est-ce qu'une progression arithmétique ?

Pour comprendre cela, il est nécessaire de définir la progression en question, ainsi que de fournir les formules de base qui seront utilisées plus tard pour résoudre les problèmes.

On sait que dans certaines progressions algébriques le 1er terme est égal à 6, et le 7ème terme est égal à 18. Il faut trouver la différence et restituer cette suite au 7ème terme.

Utilisons la formule pour déterminer le terme inconnu : a n = (n - 1) * d + a 1 . Remplaçons-y les données connues de la condition, c'est-à-dire les nombres a 1 et a 7, nous avons : 18 = 6 + 6 * d. A partir de cette expression vous pouvez facilement calculer la différence : d = (18 - 6) /6 = 2. Ainsi, nous avons répondu à la première partie du problème.

Pour restituer la séquence au 7ème terme, vous devez utiliser la définition d'une progression algébrique, c'est-à-dire a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, et ainsi de suite. En conséquence, on restitue la séquence entière : a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , un 6 = 14 + 2 = 16, un 7 = 18.

Exemple n°3 : établir une progression

Compliquons encore les choses état plus fort Tâches. Nous devons maintenant répondre à la question de savoir comment trouver une progression arithmétique. L'exemple suivant peut être donné : deux nombres sont donnés, par exemple - 4 et 5. Il est nécessaire de créer une progression algébrique pour que trois termes supplémentaires soient placés entre ceux-ci.

Avant de commencer à résoudre ce problème, vous devez comprendre quelle place les nombres donnés occuperont dans la progression future. Puisqu'il y aura trois autres termes entre eux, alors a 1 = -4 et a 5 = 5. Après avoir établi cela, passons au problème, qui est similaire au précédent. Encore une fois, pour le nième terme nous utilisons la formule, nous obtenons : a 5 = a 1 + 4 * d. De : d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Ce que nous obtenons ici n’est pas une valeur entière de la différence, mais c’est un nombre rationnel, donc les formules de progression algébrique restent les mêmes.

Ajoutons maintenant la différence trouvée à 1 et restaurons les termes manquants de la progression. On obtient : a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, ce qui a coïncidé avec les conditions du problème.

Exemple n°4 : premier terme de progression

Continuons à donner des exemples de progression arithmétique avec solutions. Dans tous les problèmes précédents, le premier nombre de la progression algébrique était connu. Considérons maintenant un problème d'un type différent : donnons deux nombres, où a 15 = 50 et a 43 = 37. Il faut trouver par quel nombre commence cette suite.

Les formules utilisées jusqu'à présent supposent la connaissance de a 1 et d. Dans l’énoncé du problème, on ne sait rien de ces chiffres. Néanmoins, nous écrirons des expressions pour chaque terme sur lequel des informations sont disponibles : a 15 = a 1 + 14 * d et a 43 = a 1 + 42 * d. Nous avons reçu deux équations dans lesquelles il y a 2 quantités inconnues (a 1 et d). Cela signifie que le problème se réduit à résoudre un système d’équations linéaires.

La façon la plus simple de résoudre ce système est d’exprimer un 1 dans chaque équation, puis de comparer les expressions résultantes. Première équation : a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d ; deuxième équation : a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. En égalisant ces expressions, nous obtenons : 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, d'où la différence d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (seulement 3 décimales sont données).

Connaissant d, vous pouvez utiliser l'une des 2 expressions ci-dessus pour un 1. Par exemple, d'abord : a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Si vous avez des doutes sur le résultat obtenu, vous pouvez le vérifier, par exemple, déterminer le 43ème terme de la progression, qui est précisé dans la condition. On obtient : a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. La petite erreur est due au fait que les calculs ont été arrondis au millième.

Exemple n°5 : montant

Examinons maintenant plusieurs exemples avec des solutions pour la somme d'une progression arithmétique.

Soit une progression numérique de la forme suivante : 1, 2, 3, 4, ...,. Comment calculer la somme de 100 de ces nombres ?

Grâce au développement de la technologie informatique, il est possible de résoudre ce problème, c'est-à-dire d'ajouter tous les nombres séquentiellement, ce que l'ordinateur fera dès qu'une personne appuie sur la touche Entrée. Cependant, le problème peut être résolu mentalement si vous faites attention au fait que la série de nombres présentée est une progression algébrique et que sa différence est égale à 1. En appliquant la formule de la somme, nous obtenons : S n = n * (a 1 + une n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Il est intéressant de noter que ce problème est appelé « gaussien » car dans début XVIII siècle, le célèbre Allemand, alors qu'il n'avait que 10 ans, était capable de le résoudre dans sa tête en quelques secondes. Le garçon ne connaissait pas la formule de la somme d'une progression algébrique, mais il a remarqué que si l'on additionne les nombres aux extrémités de la séquence par paires, on obtient toujours le même résultat, c'est-à-dire 1 + 100 = 2 + 99. = 3 + 98 = ..., et puisque ces sommes seront exactement 50 (100 / 2), alors pour obtenir la bonne réponse il suffit de multiplier 50 par 101.

Exemple n°6 : somme de termes de n à m

Un de plus exemple typique la somme d'une progression arithmétique est la suivante : étant donné une série de nombres : 3, 7, 11, 15, ..., il faut trouver à quoi sera égale la somme de ses termes de 8 à 14.

Le problème est résolu de deux manières. La première consiste à trouver les termes inconnus de 8 à 14, puis à les additionner séquentiellement. Comme il y a peu de termes, cette méthode ne demande pas beaucoup de travail. Néanmoins, il est proposé de résoudre ce problème en utilisant une deuxième méthode, plus universelle.

L'idée est d'obtenir une formule pour la somme de la progression algébrique entre les termes m et n, où n > m sont des nombres entiers. Dans les deux cas, on écrit deux expressions pour la somme :

S m = m * (un m + un 1) / 2.
S n = n * (un n + un 1) / 2.

Puisque n > m, il est évident que la 2ème somme inclut la première. La dernière conclusion signifie que si nous prenons la différence entre ces sommes et y ajoutons le terme a m (dans le cas de la différence, il est soustrait de la somme S n), nous obtiendrons la réponse nécessaire au problème. On a : S mn = S n - S m + a m = n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + un m * (1- m/2). Il est nécessaire de substituer des formules pour a n et a m dans cette expression. On obtient alors : S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

La formule résultante est quelque peu lourde, cependant, la somme S mn ne dépend que de n, m, a 1 et d. Dans notre cas, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. En substituant ces nombres, nous obtenons : S mn = 301.

Comme le montrent les solutions ci-dessus, tous les problèmes sont basés sur la connaissance de l’expression du nième terme et de la formule de la somme de l’ensemble des premiers termes. Avant de commencer à résoudre l'un de ces problèmes, il est recommandé de lire attentivement la condition, de comprendre clairement ce que vous devez trouver, puis de procéder ensuite à la solution.

Un autre conseil est de rechercher la simplicité, c'est-à-dire que si vous pouvez répondre à une question sans utiliser de calculs mathématiques complexes, c'est exactement ce que vous devez faire, car dans ce cas, la probabilité de commettre une erreur est moindre. Par exemple, dans l'exemple d'une progression arithmétique avec la solution n°6, on pourrait s'arrêter à la formule S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, et casser tâche commune en sous-tâches distinctes (dans ce cas, trouvez d'abord les termes a n et a m).

Si vous avez des doutes sur le résultat obtenu, il est recommandé de le vérifier, comme cela a été fait dans certains des exemples donnés. Nous avons découvert comment trouver une progression arithmétique. Si vous comprenez, ce n'est pas si difficile.

Avant de commencer à décider problèmes de progression arithmétique, considérons ce qu'est une suite de nombres, puisqu'une progression arithmétique est cas particulier séquence de nombres.

Une séquence de numéros est un ensemble de numéros dont chaque élément possède son propre numéro de série.. Les éléments de cet ensemble sont appelés membres de la séquence. Le numéro d'ordre d'un élément de séquence est indiqué par un index :

Le premier élément de la séquence ;

Le cinquième élément de la séquence ;

- le « nième » élément de la séquence, c'est-à-dire élément "en file d'attente" au numéro n.

Il existe une relation entre la valeur d'un élément de séquence et son numéro de séquence. On peut donc considérer une séquence comme une fonction dont l’argument est le numéro ordinal de l’élément de la séquence. En d'autres termes, nous pouvons dire que la séquence est fonction de l'argument naturel :

La séquence peut être définie de trois manières :

1 . La séquence peut être spécifiée à l'aide d'un tableau. Dans ce cas, nous définissons simplement la valeur de chaque membre de la séquence.

Par exemple, quelqu'un a décidé de se lancer dans la gestion personnelle de son temps et, pour commencer, de compter combien de temps il passe sur VKontakte au cours de la semaine. En inscrivant l'heure dans le tableau, il recevra une séquence composée de sept éléments :

La première ligne du tableau indique le numéro du jour de la semaine, la seconde - l'heure en minutes. Nous voyons que lundi, quelqu'un a passé 125 minutes sur VKontakte, c'est-à-dire jeudi - 248 minutes, et vendredi seulement 15.

2 . La séquence peut être spécifiée à l’aide de la formule du nième terme.

Dans ce cas, la dépendance de la valeur d'un élément de séquence sur son numéro est exprimée directement sous forme de formule.

Par exemple, si , alors

Pour trouver la valeur d'un élément de séquence avec un nombre donné, nous substituons le numéro de l'élément dans la formule du nième terme.

Nous faisons la même chose si nous devons trouver la valeur d’une fonction si la valeur de l’argument est connue. Nous substituons la valeur de l'argument dans l'équation de la fonction :

Si, par exemple, , Que

Notons encore une fois que dans une séquence, contrairement à une fonction numérique arbitraire, l'argument ne peut être qu'un nombre naturel.

3 . La séquence peut être spécifiée à l'aide d'une formule qui exprime la dépendance de la valeur du numéro de membre de séquence n sur les valeurs des membres précédents. Dans ce cas, il ne suffit pas de connaître uniquement le numéro du membre de la séquence pour trouver sa valeur. Nous devons spécifier le ou les premiers membres de la séquence.

Par exemple, considérons la séquence ,

On peut trouver les valeurs des membres de la séquence en séquence, à partir du troisième :

Autrement dit, à chaque fois, pour trouver la valeur du nième terme de la suite, on revient aux deux précédents. Cette méthode de spécification d'une séquence est appelée récurrent, du mot latin récurrent- revenir.

Nous pouvons maintenant définir une progression arithmétique. Une progression arithmétique est un cas particulier simple d’une séquence de nombres.

Progression arithmétique est une suite numérique dont chaque membre, à partir du second, est égal au précédent ajouté au même nombre.

Le numéro est appelé différence de progression arithmétique. La différence d'une progression arithmétique peut être positive, négative ou égale à zéro.

Si titre="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} en augmentant.

Par exemple, 2 ; 5 ; 8 ; onze;...

Si , alors chaque terme d’une progression arithmétique est inférieur au précédent, et la progression est décroissant.

Par exemple, 2 ; -1; -4 ; -7;...

Si , alors tous les termes de la progression sont égaux au même nombre, et la progression est Stationnaire.

Par exemple, 2;2;2;2;...

La propriété principale d'une progression arithmétique :

Regardons le dessin.

On voit ça

, et en même temps

En additionnant ces deux égalités, on obtient :

Divisons les deux côtés de l'égalité par 2 :

Ainsi, chaque membre de la progression arithmétique, à partir du second, est égal à la moyenne arithmétique des deux voisins :

De plus, puisque

, et en même temps

, Que

, et donc

Chaque terme d'une progression arithmétique, commençant par title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Formule du ème terme.

On voit que les termes de la progression arithmétique satisfont les relations suivantes :

et enfin

Nous avons formule du nième terme.

IMPORTANT! Tout membre d'une progression arithmétique peut être exprimé par et. Connaissant le premier terme et la différence d'une progression arithmétique, vous pouvez trouver n'importe lequel de ses termes.

La somme de n termes d'une progression arithmétique.

Dans une progression arithmétique arbitraire, les sommes des termes équidistants des extrêmes sont égales entre elles :

Considérons une progression arithmétique à n termes. Soit la somme des n termes de cette progression égale à .

Classons les termes de la progression d'abord par ordre croissant de nombres, puis par ordre décroissant :

Ajoutons par paires :

La somme dans chaque parenthèse est , le nombre de paires est n.

On a:

Donc, la somme de n termes d'une progression arithmétique peut être trouvée à l'aide des formules :

Considérons résoudre des problèmes de progression arithmétique.

1 . La suite est donnée par la formule du nième terme : . Montrer que cette suite est une progression arithmétique.

Montrons que la différence entre deux termes adjacents de la suite est égale au même nombre.

Nous avons constaté que la différence entre deux membres adjacents de la séquence ne dépend pas de leur nombre et est une constante. Par définition, cette suite est donc une progression arithmétique.

2 . Étant donné une progression arithmétique -31 ; -27;...

a) Trouvez 31 termes de la progression.

b) Détermine si le nombre 41 est inclus dans cette progression.

UN) On voit ça ;

Écrivons la formule du nième terme de notre progression.

En général

Dans notre cas , C'est pourquoi

On a:

b) Supposons que le nombre 41 soit membre de la séquence. Trouvons son numéro. Pour ce faire, résolvons l'équation :

Nous avons la valeur naturelle de n, donc oui, le nombre 41 fait partie de la progression. Si la valeur trouvée de n ne serait pas entier naturel, alors nous répondrions que le nombre 41 n'est PAS membre de la progression.

3 . a) Entre les nombres 2 et 8, insérez 4 nombres afin qu'ils forment avec ces nombres une progression arithmétique.

b) Trouver la somme des termes de la progression résultante.

UN) Insérons quatre nombres entre les nombres 2 et 8 :

Nous avons une progression arithmétique avec 6 termes.

Trouvons la différence de cette progression. Pour ce faire, on utilise la formule du nième terme :

Il est désormais facile de trouver la signification des nombres :

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

Réponse : a) oui ; b) 30

4. Le camion transporte une charge de pierre concassée pesant 240 tonnes, augmentant ainsi la cadence de transport du même nombre de tonnes chaque jour. On sait que 2 tonnes de pierre concassée ont été transportées le premier jour. Déterminez combien de tonnes de pierre concassée ont été transportées le douzième jour si tous les travaux ont été achevés en 15 jours.

Selon l’état du problème, la quantité de pierre concassée transportée par le camion augmente du même nombre chaque jour. Nous avons donc affaire à une progression arithmétique.

Formulons ce problème en termes de progression arithmétique.

Durant la première journée, 2 tonnes de pierre concassée ont été transportées : a_1=2.

L'ensemble des travaux a été réalisé en 15 jours : .

Le camion transporte un lot de pierre concassée pesant 240 tonnes :

Nous devons trouver.

Tout d’abord, trouvons la différence de progression. Utilisons la formule de la somme de n termes d'une progression.

Dans notre cas:

Par exemple, la séquence \(2\); \(5\); \(8\); \(onze\); \(14\)... est une progression arithmétique, car chaque élément suivant diffère du précédent par trois (peut être obtenu à partir du précédent en ajoutant trois) :

Dans cette progression, la différence \(d\) est positive (égale à \(3\)), et donc chaque terme suivant est supérieur au précédent. De telles progressions sont appelées en augmentant.

Cependant, \(d\) peut aussi être nombre négatif. Par exemple, en progression arithmétique \(16\); \(dix\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... la différence de progression \(d\) est égale à moins six.

Et dans ce cas, chaque élément suivant sera plus petit que le précédent. Ces progressions sont appelées décroissant.

Notation de progression arithmétique

La progression est indiquée par une petite lettre latine.

Les nombres qui forment une progression sont appelés membres(ou éléments).

Ils sont désignés par la même lettre qu'une progression arithmétique, mais avec un index numérique égal au numéro de l'élément dans l'ordre.

Par exemple, la progression arithmétique \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) se compose des éléments \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) et ainsi de suite.

Autrement dit, pour la progression \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Résoudre des problèmes de progression arithmétique

En principe, les informations présentées ci-dessus sont déjà suffisantes pour résoudre presque tous les problèmes de progression arithmétique (y compris ceux proposés à l'OGE).

Exemple (OGE). La progression arithmétique est spécifiée par les conditions \(b_1=7; d=4\). Recherchez \(b_5\).
Solution:

Répondre: \(b_5=23\)

Exemple (OGE). Les trois premiers termes d'une progression arithmétique sont donnés : \(62; 49; 36…\) Trouver la valeur du premier terme négatif de cette progression..
Solution:

	On nous donne les premiers éléments de la suite et savons qu'il s'agit d'une progression arithmétique. Autrement dit, chaque élément diffère de son voisin par le même nombre. Découvrons lequel en soustrayant le précédent de l'élément suivant : \(d=49-62=-13\).
	Nous pouvons maintenant restaurer notre progression vers le (premier élément négatif) dont nous avons besoin.
	Prêt. Vous pouvez écrire une réponse.

Répondre: \(-3\)

Exemple (OGE). Étant donné plusieurs éléments consécutifs d'une progression arithmétique : \(…5; x; 10; 12.5...\) Trouver la valeur de l'élément désigné par la lettre \(x\).
Solution:

	Pour trouver \(x\), nous devons savoir à quel point l’élément suivant diffère du précédent, c’est-à-dire la différence de progression. Trouvons-le à partir de deux éléments voisins connus : \(d=12.5-10=2.5\).
	Et maintenant, nous pouvons facilement trouver ce que nous cherchons : \(x=5+2.5=7.5\).
	Prêt. Vous pouvez écrire une réponse.

Répondre: \(7,5\).

Exemple (OGE). La progression arithmétique est définie par les conditions suivantes : \(a_1=-11\) ; \(a_(n+1)=a_n+5\) Trouvez la somme des six premiers termes de cette progression.
Solution:

Nous devons trouver la somme des six premiers termes de la progression. Mais nous ne connaissons pas leur signification ; on ne nous donne que le premier élément. On calcule donc d’abord les valeurs une à une, en utilisant ce qui nous est donné :

\(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\)
\(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\)
\(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\)
Et après avoir calculé les six éléments dont nous avons besoin, nous trouvons leur somme.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\)
\(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Le montant requis a été trouvé.

Répondre: \(S_6=9\).

Exemple (OGE). En progression arithmétique \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Trouvez la différence de cette progression.
Solution:

Répondre: \(d=7\).

Formules importantes pour la progression arithmétique

Comme vous pouvez le constater, de nombreux problèmes de progression arithmétique peuvent être résolus simplement en comprenant l'essentiel - qu'une progression arithmétique est une chaîne de nombres et que chaque élément suivant de cette chaîne est obtenu en ajoutant le même nombre au précédent (le différence de progression).

Cependant, il arrive parfois que prendre une décision « frontale » soit très gênant. Par exemple, imaginez que dans le tout premier exemple, nous devions trouver non pas le cinquième élément \(b_5\), mais le trois cent quatre-vingt-sixième \(b_(386)\). Devons-nous ajouter quatre \(385\) fois ? Ou imaginez que dans l’avant-dernier exemple, vous deviez trouver la somme des soixante-treize premiers éléments. Vous en aurez marre de compter...

Par conséquent, dans de tels cas, ils ne résolvent pas les problèmes de manière frontale, mais utilisent des formules spéciales dérivées de la progression arithmétique. Et les principales sont la formule du nième terme de la progression et la formule de la somme des \(n\) premiers termes.

Formule du \(n\)ième terme : \(a_n=a_1+(n-1)d\), où \(a_1\) est le premier terme de la progression ;
\(n\) – numéro de l'élément requis ;
\(a_n\) – terme de la progression de numéro \(n\).

Cette formule nous permet de trouver rapidement même le trois centième ou le millionième élément, en ne connaissant que le premier et la différence de progression.

Exemple. La progression arithmétique est spécifiée par les conditions : \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Recherchez \(b_(246)\).
Solution:

Répondre: \(b_(246)=1850\).

Formule pour la somme des n premiers termes : \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), où

\(a_n\) – le dernier terme additionné ;

Exemple (OGE). La progression arithmétique est spécifiée par les conditions \(a_n=3.4n-0.6\). Trouver la somme des premiers \(25\) termes de cette progression.
Solution:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Pour calculer la somme des vingt-cinq premiers termes, nous devons connaître la valeur du premier et du vingt-cinquième termes. Notre progression est donnée par la formule du nième terme en fonction de son numéro (pour plus de détails, voir). Calculons le premier élément en substituant un à \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Trouvons maintenant le vingt-cinquième terme en substituant vingt-cinq au lieu de \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Eh bien, nous pouvons maintenant facilement calculer le montant requis.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		La réponse est prête.

Répondre: \(S_(25)=1090\).

Pour la somme \(n\) des premiers termes, vous pouvez obtenir une autre formule : il suffit de \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) au lieu de \(a_n\) remplacez-le par la formule \(a_n=a_1+(n-1)d\). On a:

Formule pour la somme des n premiers termes : \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), où

\(S_n\) – la somme requise des premiers éléments \(n\) ;
\(a_1\) – le premier terme additionné ;
\(d\) – différence de progression ;
\(n\) – nombre d’éléments au total.

Exemple. Trouver la somme des premiers termes \(33\)-ex de la progression arithmétique : \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Solution:

Répondre: \(S_(33)=-231\).

Problèmes de progression arithmétique plus complexes

Vous disposez désormais de toutes les informations dont vous avez besoin pour résoudre presque tous les problèmes de progression arithmétique. Terminons le sujet en considérant des problèmes dans lesquels il faut non seulement appliquer des formules, mais aussi réfléchir un peu (en mathématiques cela peut être utile ☺)

Exemple (OGE). Trouver la somme de tous les termes négatifs de la progression : \(-19.3\) ; \(-19\); \(-18,7\)…
Solution:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		La tâche est très similaire à la précédente. Nous commençons à résoudre la même chose : nous trouvons d’abord \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Maintenant, j'aimerais remplacer \(d\) dans la formule pour la somme... et voilà petite nuance– nous ne savons pas \(n\). En d’autres termes, nous ne savons pas combien de termes il faudra ajouter. Comment le savoir ? Réfléchissons. Nous arrêterons d’ajouter des éléments lorsque nous atteindrons le premier élément positif. Autrement dit, vous devez connaître le numéro de cet élément. Comment? Écrivons la formule pour calculer n'importe quel élément d'une progression arithmétique : \(a_n=a_1+(n-1)d\) pour notre cas.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Nous avons besoin que \(a_n\) devienne supérieur à zéro. Voyons à quel moment \(n\) cela va se produire.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(\|:0,3\)		Nous divisons les deux côtés de l’inégalité par \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		On transfère moins un, sans oublier de changer les panneaux
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Calculons...
\(n>65 333…\)		...et il s'avère que le premier élément positif aura le numéro \(66\). En conséquence, le dernier négatif a \(n=65\). Juste au cas où, vérifions ça.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Nous devons donc ajouter les premiers éléments \(65\).
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		La réponse est prête.

Répondre: \(S_(65)=-630,5\).

Exemple (OGE). La progression arithmétique est spécifiée par les conditions : \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Trouvez la somme du \(26\)ème à l'élément \(42\) inclus.
Solution:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Dans ce problème, vous devez également trouver la somme des éléments, mais en commençant non pas par le premier, mais par le \(26\)ème. Pour un tel cas, nous n’avons pas de formule. Comment décider ? C'est simple : pour obtenir la somme du \(26\)ème au \(42\)ème, vous devez d'abord trouver la somme du \(1\)ème au \(42\)ème, puis soustraire à partir de là, la somme du premier au \(25\)ième (voir photo).
	Pour notre progression \(a_1=-33\), et la différence \(d=4\) (après tout, ce sont les quatre qu'on ajoute à l'élément précédent pour trouver le suivant). Sachant cela, on trouve la somme des premiers éléments \(42\)-y.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Maintenant la somme des premiers éléments \(25\).
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Et enfin, nous calculons la réponse.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Répondre: \(S=1683\).

Pour la progression arithmétique, il existe plusieurs autres formules que nous n'avons pas envisagées dans cet article en raison de leur faible utilité pratique. Cependant, vous pouvez facilement les trouver.