Calculez la limite d'une suite de nombres en ligne avec une solution. Limite de fonction

Limite de fonction à l'infini :
|f(x) - un|< ε при |x| >N

Définition de la limite de Cauchy
Soit la fonction f (X) est défini dans un certain voisinage d'un point à l'infini, pour |x| > Le nombre a est appelé la limite de la fonction F (X) pour x tendant vers l'infini (), le cas échéant, arbitrairement petit nombre positif ε > 0 , il existe un nombre N ε >K, dépendant de ε , tel que pour tout x, |x| > N ε , les valeurs de la fonction appartiennent au voisinage ε du point a :
|f (x) - un|< ε .
La limite d'une fonction à l'infini s'écrit :
.
Ou à .

La notation suivante est également souvent utilisée :
.

Nous écrivons cette définition en utilisant les symboles logiques de l'existence et de l'universalité :
.
Ici, on suppose que les valeurs appartiennent à la portée de la fonction.

Limites unilatérales

Limite gauche de la fonction à l'infini :
|f(x) - un|< ε при x < -N

Il arrive souvent qu'une fonction ne soit définie que pour des valeurs positives ou valeurs négatives variable x (plus précisément, au voisinage du point ou ). Aussi les limites à l'infini pour les valeurs positives et négatives de x peuvent avoir diverses significations. Ensuite, des limites unilatérales sont utilisées.

Limite gauche à l'infini ou la limite lorsque x tend vers moins l'infini () est définie comme suit :
.
Limite droite à l'infini ou limite lorsque x tend vers plus l'infini () :
.
Les limites unilatérales à l'infini sont souvent écrites comme ceci :
; .

Limite de fonction infinie à l'infini

Limite de fonction infinie à l'infini :
|f(x)| > M pour |x| >N

Définition de la limite infinie selon Cauchy
Soit la fonction f (X) est défini dans un certain voisinage d'un point à l'infini, pour |x| > K , où K est un nombre positif. Limite de la fonction f (X) quand x tend vers l'infini (), est égal à l'infini, le cas échéant, arbitrairement un grand nombre M > 0 , il existe un nombre N M >K, dépendant de M , tel que pour tout x, |x| > N M , les valeurs de la fonction appartiennent au voisinage du point à l'infini :
|f (x) | > M.
La limite infinie quand x tend vers l'infini est notée comme suit :
.
Ou à .

En utilisant les symboles logiques d'existence et d'universalité, la définition de la limite infinie d'une fonction peut s'écrire comme suit :
.

Les définitions des limites infinies de certains signes égaux à et sont introduites de la même manière :
.
.

Définitions des limites unilatérales à l'infini.
Limites à gauche.
.
.
.
Les bonnes limites.
.
.
.

Définition de la limite d'une fonction selon Heine

Soit la fonction f (X) est défini sur un voisinage du point à l'infini x 0 , où ou ou .
Le nombre a (fini ou à l'infini) est appelé la limite de la fonction f (X) au point x 0 :
,
si pour toute séquence (xn), convergeant vers x 0 : ,
dont les éléments appartiennent au voisinage , la séquence (f(xn)) converge vers un :
.

Si nous prenons le voisinage d'un point non signé à l'infini comme voisinage : , alors nous obtenons la définition de la limite de la fonction lorsque x tend vers l'infini, . Si l'on prend le voisinage gauche ou droit du point à l'infini x 0 : ou , alors nous obtenons la définition de la limite lorsque x tend vers moins l'infini et plus l'infini, respectivement.

Les définitions Heine et Cauchy de la limite sont équivalentes.

Exemples

Exemple 1

En utilisant la définition de Cauchy, montrez que
.

Introduisons la notation :
.
Trouvez le domaine de la fonction . Puisque le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont des polynômes, la fonction est définie pour tous les x sauf pour les points où le dénominateur s'annule. Trouvons ces points. On résout une équation quadratique. ;
.
Racines d'équation :
; .
Depuis , puis et .
Par conséquent, la fonction est définie pour . C'est ce que nous utiliserons à l'avenir.

Nous écrivons la définition de la limite finie d'une fonction à l'infini selon Cauchy :
.
Transformons la différence :
.
Diviser le numérateur et le dénominateur par et multiplier par -1 :
.

Laisser .
Alors
;
;
;
.

Donc, nous avons trouvé qu'à ,
.
.
D'où il suit que
à , et .

Puisqu'il est toujours possible d'augmenter, on prend . Alors pour tout,
à .
Cela signifie que .

Exemple 2

Laisser .
En utilisant la définition de la limite de Cauchy, montrez que :
1) ;
2) .

1) Solution pour x tendant vers moins l'infini

Puisque , alors la fonction est définie pour tout x .
Écrivons la définition de la limite de la fonction à égal à moins l'infini :
.

Laisser . Alors
;
.

Donc, nous avons trouvé qu'à ,
.
On entre des nombres positifs et :
.
Il s'ensuit que pour tout nombre positif M , il existe un nombre , de sorte que pour ,
.

Cela signifie que .

2) Solution pour x tendant vers plus l'infini

Transformons la fonction d'origine. Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction et appliquez la formule de la différence des carrés :
.
Nous avons:

.
Écrivons la définition de la limite droite de la fonction pour :
.

Introduisons la notation : .
Transformons la différence :
.
Multipliez le numérateur et le dénominateur par :
.

Laisser
.
Alors
;
.

Donc, nous avons trouvé qu'à ,
.
On entre des nombres positifs et :
.
D'où il suit que
à et .

Puisque cela vaut pour tout nombre positif, alors
.

Références:
CM. Nikolsky. Bien analyse mathematique. Tome 1. Moscou, 1983.

Notions de limites de séquences et de fonctions. Lorsqu'il s'agit de trouver la limite d'une suite, elle s'écrit : lim xn=a. Dans une telle suite de suites, xn tend vers a, et n tend vers l'infini. Une séquence est généralement représentée comme une série, par exemple :
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Les séquences sont divisées en ascendantes et descendantes. Par exemple:
xn=n^2 - séquence croissante
yn=1/n - séquence
Ainsi, par exemple, la limite de la suite xn=1/n^ :
lim1/n^2=0

x→∞
Cette limite est nulle car n→∞ et la suite 1/n^2 tend vers zéro.

Habituellement, la variable x tend vers une limite finie a, de plus, x se rapproche constamment de a, et la valeur de a est constante. Cela s'écrit : limx = a, tandis que n peut aussi tendre à la fois vers zéro et vers l'infini. Il y a des fonctions infinies, pour elles la limite tend vers l'infini. Dans d'autres cas, lorsque, par exemple, la fonction de ralentissement du train, il est possible d'avoir une limite tendant vers zéro.
Les limites ont plusieurs propriétés. En règle générale, toute fonction n'a qu'une seule limite. C'est la propriété principale de la limite. D'autres sont listés ci-dessous :
* Limite de montant est égal à la somme limites:
lim(x+y)=limx+calcaire
* La limite du produit est égale au produit des limites :
lim(xy)=limx*limy
* La limite du quotient est égale au quotient des bornes :
lim(x/y)=lim x/lim y
* Le facteur constant est extrait du signe limite :
lim(Cx)=C lim x
Étant donné une fonction 1 /x où x →∞, sa limite est nulle. Si x→0, alors la limite d'une telle fonction est égale à ∞.
Pour fonctions trigonométriques sont disponibles à partir de ces règles. Puisque la fonction sin x tend toujours vers un lorsqu'elle s'approche de zéro, l'identité vaut pour elle :
lim sin x/x=1

Dans un certain nombre de fonctions, lors du calcul des limites dont l'incertitude se pose - une situation dans laquelle la limite ne peut pas être calculée. la seule issue de cette situation devient L'Hopital. Il existe deux types d'incertitudes :
* incertitude de la forme 0/0
* incertitude de la forme ∞/∞
Par exemple, compte tenu de la limite le genre suivant: lim f(x)/l(x), de plus, f(x0)=l(x0)=0. Dans ce cas, il existe une incertitude de la forme 0/0. Pour résoudre un tel problème, les deux fonctions sont différenciées, après quoi la limite du résultat est trouvée. Pour les incertitudes de la forme 0/0, la limite est :
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (pour x→0)
La même règle est vraie pour les incertitudes de type ∞/∞. Mais dans ce cas, l'égalité suivante est vraie : f(x)=l(x)=∞
A l'aide de la règle de L'Hopital, on peut trouver les valeurs de toutes les limites dans lesquelles des incertitudes apparaissent. État requisà

volume - l'absence d'erreurs dans la recherche de dérivés. Ainsi, par exemple, la dérivée de la fonction (x^2)" est égale à 2x. Nous pouvons en conclure que :
f"(x)=nx^(n-1)

La solution limites des fonctions en ligne. Trouver la valeur limite d'une fonction ou d'une séquence fonctionnelle en un point, calculer limiter valeur de la fonction à l'infini. déterminer la convergence d'une série de nombres et beaucoup plus peut être fait grâce à notre un service en ligne- . Nous vous permettons de trouver des limites de fonction en ligne rapidement et avec précision. Vous entrez vous-même la variable de fonction et la limite à laquelle elle aspire, notre service fait tous les calculs pour vous, donnant une réponse précise et simple. Et pour trouver la limite en ligne vous pouvez entrer à la fois des séries numériques et fonctions analytiques, contenant des constantes dans une expression littérale. Dans ce cas, la limite de fonction trouvée contiendra ces constantes comme arguments constants dans l'expression. Notre service résout tout tâches difficiles Par emplacement limites en ligne, il suffit de préciser la fonction et le point auquel il faut calculer limite de fonction. L'informatique limites en ligne, vous pouvez utiliser diverses méthodes et les règles de leur solution, tout en comparant le résultat avec solution limite en ligne sur www.site, ce qui conduira à la réussite de la tâche - vous éviterez vos propres erreurs et fautes de frappe. Ou vous pouvez nous faire entièrement confiance et utiliser nos résultats dans votre travail, sans consacrer d'efforts et de temps supplémentaires à des calculs indépendants de la limite de fonction. Nous autorisons la saisie de valeurs limites telles que l'infini. Vous devez entrer un terme commun de la suite numérique et www.site calculera la valeur limiter en ligneà plus ou moins l'infini.

L'un des concepts de base de l'analyse mathématique est limite de fonction et limite de séquence en un point et à l'infini, il est important de pouvoir résoudre correctement limites. Avec notre service, ce ne sera pas difficile. Une décision est prise limites en ligne en quelques secondes, la réponse est précise et complète. L'étude du calcul commence par passage à la limite, limites sont utilisés dans presque toutes les sections des mathématiques supérieures, il est donc utile d'avoir un serveur à portée de main pour solutions limites en ligne qui est le site.

Fonction y=f (X) on appelle la loi (règle) selon laquelle, chaque élément x de l'ensemble X est associé à un et un seul élément y de l'ensemble Y .

Élément x ∈ X appelé argument de la fonction ou variable indépendante.
élément y ∈ Y appelé valeur de la fonction ou variable dépendante.

L'ensemble X est appelé portée de la fonction.
Ensemble d'éléments y ∈ Y, qui ont des préimages dans l'ensemble X , s'appelle zone ou ensemble de valeurs de fonction.

La fonction proprement dite s'appelle limité par le haut (par le bas), s'il existe un nombre M tel que l'inégalité suivante soit vraie pour tout :
.
La fonction nombre s'appelle limité, s'il existe un nombre M tel que pour tout :
.

face supérieure ou borne supérieure exacte la fonction réelle est appelée le plus petit des nombres qui limite la plage de ses valeurs par le haut. C'est-à-dire qu'il s'agit d'un nombre s pour lequel, pour tout et pour tout , il existe un tel argument dont la valeur de la fonction dépasse s′ : .
La borne supérieure de la fonction peut être notée comme suit :
.

Respectivement face inférieure ou limite inférieure précise La fonction réelle est appelée le plus grand des nombres qui limite la plage de ses valeurs par le bas. C'est-à-dire qu'il s'agit d'un nombre i pour lequel pour tout et pour tout , il existe un tel argument , dont la valeur de la fonction est inférieure à i′ : .
La borne inférieure d'une fonction peut être notée comme suit :
.

Détermination de la limite d'une fonction

Définition de la limite de Cauchy d'une fonction

Limites des fonctions finies aux extrémités

Soit la fonction définie dans un certain voisinage du point final, sauf, peut-être, pour le point lui-même. au point , si pour tout il existe tel , dépendant de , que pour tout x , pour lequel , l'inégalité
.
La limite d'une fonction est notée comme suit :
.
Ou à .

En utilisant les symboles logiques d'existence et d'universalité, la définition de la limite d'une fonction peut s'écrire comme suit :
.

Limites unilatérales.
Limite gauche au point (limite gauche):
.
Limite droite en un point (limite droite) :
.
Les limites à gauche et à droite sont souvent désignées comme suit :
; .

Limites finies d'une fonction aux points à l'infini

Les limites aux points infiniment distants sont définies de la même manière.
.
.
.
Ils sont souvent appelés :
; ; .

Utilisation du concept de voisinage d'un point

Si nous introduisons le concept de voisinage ponctué d'un point , alors nous pouvons donner une définition unifiée de la limite finie d'une fonction aux points finis et à l'infini :
.
Ici pour les terminaux
; ;
.
Tous les voisinages de points à l'infini sont perforés :
; ; .

Limites de fonction infinies

Définition
Soit la fonction définie dans un voisinage ponctué d'un point (fini ou à l'infini). Limite de la fonction f (X) comme x → x 0 égal à l'infini, si pour tout nombre arbitrairement grand M > 0 , il existe un nombre δ M > 0 , dépendant de M , que pour tout x appartenant à un δ M - voisinage poinçonné du point : , l'inégalité suivante est vraie :
.
La limite infinie est définie comme suit :
.
Ou à .

En utilisant les symboles logiques d'existence et d'universalité, la définition de la limite infinie d'une fonction peut s'écrire comme suit :
.

Il est également possible d'introduire des définitions de bornes infinies de certains signes égaux à et :
.
.

Définition universelle de la limite d'une fonction

En utilisant le concept de voisinage d'un point, on peut donner une définition universelle de la limite finie et infinie d'une fonction, applicable aussi bien aux points finis (bilatéral et unilatéral) qu'aux points infiniment distants :
.

Définition de la limite d'une fonction selon Heine

Soit la fonction définie sur un ensemble X : .
Le nombre a est appelé la limite de la fonction au point :
,
si pour toute suite convergeant vers x 0 :
,
dont les éléments appartiennent à l'ensemble X : ,
.

Nous écrivons cette définition en utilisant les symboles logiques de l'existence et de l'universalité :
.

Si l'on prend comme ensemble X le voisinage gauche du point x 0 , alors on obtient la définition de la limite gauche. S'il est droitier, alors nous obtenons la définition de la bonne limite. Si on prend le voisinage d'un point à l'infini comme ensemble X, alors on obtient la définition de la limite d'une fonction à l'infini.

Théorème
Les définitions de Cauchy et Heine de la limite d'une fonction sont équivalentes.
Preuve

Propriétés et théorèmes de la limite d'une fonction

De plus, nous supposons que les fonctions considérées sont définies dans le voisinage correspondant du point , qui est un nombre fini ou l'un des symboles : . Il peut également s'agir d'un point limite unilatéral, c'est-à-dire avoir la forme ou . Le voisinage est bilatéral pour une limite bilatérale et unilatéral pour une limite unilatérale.

Propriétés de base

Si les valeurs de la fonction f (X) changer (ou rendre indéfini) en un nombre fini de points x 1 , x 2 , x 3 , ... x n, alors ce changement n'affectera pas l'existence et la valeur de la limite de la fonction en un point arbitraire x 0 .

S'il existe une limite finie , alors il existe un tel voisinage ponctué du point x 0 , sur laquelle la fonction f (X) limité:
.

Soit la fonction au point x 0 limite de fin autre que zéro :
.
Alors, pour tout nombre c de l'intervalle , il existe un tel voisinage poinçonné du point x 0 pourquoi,
, si ;
, si .

Si, sur un voisinage ponctué du point , est une constante, alors .

S'il existe des limites finies et et sur un voisinage ponctué du point x 0
,
alors .

Si , et sur un voisinage du point
,
alors .
En particulier, si sur un voisinage d'un point
,
alors si , alors et ;
si , alors et .

Si sur un voisinage ponctué du point x 0 :
,
et il existe des limites égales finies (ou infinies d'un certain signe) :
, alors
.

Les preuves des principales propriétés sont données sur la page
"Propriétés de base des limites d'une fonction".

Propriétés arithmétiques de la limite d'une fonction

Soit les fonctions et définies dans un voisinage ponctué du point . Et qu'il y ait des limites finies :
et .
Et soit C une constante, c'est-à-dire un nombre donné. Alors
;
;
;
, si .

Si donc .

Les preuves des propriétés arithmétiques sont données sur la page
"Propriétés arithmétiques des limites d'une fonction".

Critère de Cauchy pour l'existence d'une limite d'une fonction

Théorème
Pour une fonction définie sur un voisinage ponctué d'un point fini ou à l'infini x 0 , avait une limite finie en ce point, il faut et il suffit que pour tout ε > 0 il y avait un tel voisinage perforé du point x 0 , que pour tout point et à partir de ce voisinage, l'inégalité suivante est vraie :
.

Limite de fonction complexe

Théorème limite fonction complexe
Laissez la fonction avoir une limite et mappez le voisinage ponctué du point sur le voisinage ponctué du point . Laissez la fonction être définie sur ce voisinage et ayez une limite dessus.
Ici - points terminaux ou infiniment distants : . Les quartiers et leurs limites correspondantes peuvent être bilatéraux ou unilatéraux.
Alors il y a une limite de la fonction complexe et elle est égale à :
.

Le théorème limite de la fonction complexe s'applique lorsque la fonction n'est pas définie en un point ou a une valeur autre que la valeur limite. Pour appliquer ce théorème, il faut qu'il y ait un voisinage poinçonné du point sur lequel l'ensemble des valeurs de la fonction ne contienne pas le point :
.

Si la fonction est continue au point , alors le signe limite peut être appliqué à l'argument fonction continue:
.
Voici un théorème correspondant à ce cas.

Théorème sur la limite d'une fonction continue d'une fonction
Soit une limite de la fonction g (t) comme t → t 0 , et il est égal à x 0 :
.
Ici point t 0 peut être fini ou à l'infini : .
Et laissez la fonction f (X) continue à x 0 .
Alors il y a une limite de la fonction composée f (g(t)), et il est égal à f (x0):
.

Les preuves des théorèmes sont données sur la page
"La limite et la continuité d'une fonction complexe".

Fonctions infinitésimales et infiniment grandes

Des fonctions infiniment petites

Définition
Une fonction est dite infinitésimale si
.

Somme, différence et produit d'un nombre fini de fonctions infiniment petites pour est une fonction infinitésimale pour .

Le produit d'une fonction bornée sur un voisinage ponctué du point , à un infinitésimal pour est une fonction infinitésimale de pour .

Pour qu'une fonction ait une limite finie, il faut et il suffit que
,
où est une fonction infinitésimale pour .

"Propriétés des fonctions infinitésimales".

Fonctions infiniment grandes

Définition
La fonction est dite infiniment grande pour si
.

Somme ou différence fonction limitée, sur un voisinage ponctué du point , et une fonction infiniment grande pour est infiniment grande fonctionnalitéà .

Si la fonction est infiniment grande en , et que la fonction est bornée, sur un voisinage ponctué du point , alors
.

Si la fonction , sur un voisinage ponctué du point , satisfait l'inégalité :
,
et la fonction est infiniment petite pour :
, et (sur un voisinage ponctué du point ), alors
.

Les preuves de propriété sont présentées dans la section
"Propriétés des fonctions infiniment grandes".

Relation entre fonctions infiniment grandes et infiniment petites

La connexion entre les fonctions infiniment grandes et infiniment petites découle des deux propriétés précédentes.

Si la fonction est infiniment grande en , alors la fonction est infiniment petite en .

Si la fonction est infiniment petite pour , et , alors la fonction est infiniment grande pour .

La relation entre une fonction infinitésimale et une fonction infiniment grande peut être exprimée symboliquement :
, .

Si une fonction infinitésimale a un signe défini en , c'est-à-dire qu'elle est positive (ou négative) sur un voisinage ponctué du point , alors ce fait peut être exprimé comme suit :
.
De même, si une fonction infiniment grande a un certain signe en , alors ils écrivent :
.

Puis le lien symbolique entre l'infinitésimal et l'infini grandes fonctionnalités peut être complété par les relations suivantes :
, ,
, .

Des formules supplémentaires concernant les symboles de l'infini peuvent être trouvées sur la page
"Les points à l'infini et leurs propriétés".

Limites des fonctions monotones

Définition
Une fonction définie sur un ensemble de nombres réels X est appelée strictement croissant, si pour tout tel que l'inégalité suivante est vraie :
.
En conséquence, pour strictement décroissant fonction, l'inégalité suivante est vraie :
.
Pour non décroissant:
.
Pour non croissant:
.

Ceci implique qu'une fonction strictement croissante est également non décroissante. Une fonction strictement décroissante est également non croissante.

La fonction s'appelle monotone s'il est non décroissant ou non croissant.

Théorème
Soit la fonction non décroissante sur l'intervalle , où .
S'il est borné par le haut par le nombre M : , alors il existe une limite finie . S'il n'est pas délimité au-dessus, alors .
S'il est borné par le bas par le nombre m : , alors il existe une limite finie . S'il n'est pas délimité ci-dessous, alors .

Si les points a et b sont à l'infini, alors dans les expressions les signes limites signifient que .
Ce théorème peut être formulé de manière plus compacte.

Soit la fonction non décroissante sur l'intervalle , où . Il existe alors des limites unilatérales aux points a et b :
;
.

Un théorème similaire pour une fonction non croissante.

Que la fonction n'augmente pas sur l'intervalle , où . Ensuite, il y a des limites unilatérales :
;
.

La preuve du théorème est énoncée sur la page
"Limites des fonctions monotones".

Références:
LD Kudryavtsev. Cours d'analyse mathématique. Tome 1. Moscou, 2003.
CM. Nikolsky. Cours d'analyse mathématique. Tome 1. Moscou, 1983.

Limite de fonction- Numéro un sera la limite d'une valeur variable si, au cours de son changement, cette variable se rapproche indéfiniment un.

Ou en d'autres termes, le nombre UN est la limite de la fonction y=f(x)à ce point x0, si pour toute suite de points du domaine de définition de la fonction , différent de x0, et qui converge vers le point x 0 (lim x n = x0), la séquence de valeurs correspondantes de la fonction converge vers le nombre UN.

Graphe d'une fonction dont la limite avec un argument qui tend vers l'infini est L:

Sens MAIS est limite (valeur limite) de la fonction f(x)à ce point x0 si pour toute suite de points , qui converge vers x0, mais qui ne contient pas x0 comme l'un de ses éléments (c'est-à-dire dans le voisinage perforé x0), la séquence de valeurs de fonction converge vers UN.

La limite d'une fonction selon Cauchy.

Sens UN sera limite de fonction f(x)à ce point x0 si pour tout nombre non négatif pris en avant ε un nombre correspondant non négatif sera trouvé δ = δ(ε) tel que pour chaque argument X, remplissant la condition 0 < | x - x0 | < δ , l'inégalité | f(x) UNE |< ε .

Ce sera très simple si vous comprenez l'essence de la limite et les règles de base pour la trouver. que la limite de la fonction F(X)à X aspirant à unéquivaut à UN, s'écrit ainsi :

De plus, la valeur vers laquelle tend la variable X, peut être non seulement un nombre, mais aussi l'infini (∞), parfois +∞ ou -∞, ou il peut n'y avoir aucune limite du tout.

Pour comprendre comment trouver les limites d'une fonction, il est préférable de voir des exemples de solutions.

Il faut trouver les limites de la fonction F(x) = 1/Xà:

X→ 2, X→ 0, X→ ∞.

Trouvons la solution de la première limite. Pour ce faire, vous pouvez simplement remplacer X le nombre auquel il aspire, c'est-à-dire 2, on obtient :

Trouver la deuxième limite de la fonction. Remplacez ici dans forme pure 0 à la place X c'est impossible, car ne peut pas être divisé par 0. Mais on peut prendre des valeurs proches de zéro, par exemple 0,01 ; 0,001 ; 0,0001 ; 0.00001 et ainsi de suite, avec la valeur de la fonction F(X) augmentera : 100 ; 1000 ; 10000 ; 100000 et ainsi de suite. Ainsi, on peut comprendre que lorsque X→ 0 la valeur de la fonction qui est sous le signe limite augmentera indéfiniment, c'est-à-dire viser l'infini. Ce qui signifie:

Concernant la troisième limite. La même situation que dans le cas précédent, il est impossible de substituer ∞ dans sa forme la plus pure. Il faut considérer le cas d'une augmentation illimitée X. Nous substituons alternativement 1000; 10000 ; 100000 et ainsi de suite, nous avons que la valeur de la fonction F(x) = 1/X diminuera : 0,001 ; 0,0001 ; 0,00001 ; et ainsi de suite, tendant vers zéro. C'est pourquoi:

Il faut calculer la limite de la fonction

En commençant à résoudre le deuxième exemple, nous voyons l'incertitude. De là, nous trouvons le degré le plus élevé du numérateur et du dénominateur - c'est x3, nous le sortons des parenthèses au numérateur et au dénominateur, puis nous le réduisons :

Réponse

La première étape dans trouver cette limite, remplacez la valeur 1 au lieu de X, ce qui entraîne l'incertitude. Pour le résoudre, on décompose le numérateur en facteurs , on le fera en trouvant les racines équation quadratique x2 + 2x-3:

D \u003d 2 2 - 4 * 1 * (-3) \u003d 4 +12 \u003d 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2± 4) / 2→ x 1 \u003d -3;x2= 1.

Donc le numérateur serait :

Réponse

Il s'agit de la définition de sa valeur spécifique ou d'une zone spécifique où tombe la fonction, qui est limitée par la limite.

Pour décider des limites, suivez les règles :

Ayant compris l'essence et le principal limiter les règles de décision, Tu auras concept de base sur la façon de les résoudre.