Équations homogènes linéaires du second ordre à coefficients constants. Équations différentielles du second ordre et des ordres supérieurs. DE linéaire du second ordre à coefficients constants. Exemples de solutions

Équation différentielle linéaire du second ordre est appelée une équation de la forme

y"" + p(X)y" + q(X)y = F(X) ,

où y est la fonction à trouver, et p(X) , q(X) et F(X) sont des fonctions continues sur un certain intervalle ( un B) .

Si un partie droite l'équation est nulle ( F(X) = 0 ), alors l'équation est appelée équation homogène linéaire . De telles équations seront principalement consacrées à la partie pratique de cette leçon. Si le côté droit de l'équation n'est pas égal à zéro ( F(X) ≠ 0 ), alors l'équation est appelée .

Dans les tâches, nous devons résoudre l'équation par rapport à y"" :

y"" = −p(X)y" − q(X)y + F(X) .

Linéaire équations différentielles deuxième ordre ont une solution unique Problèmes de Cauchy .

Équation différentielle homogène linéaire du second ordre et sa solution

Considérons une équation différentielle homogène linéaire du second ordre :

y"" + p(X)y" + q(X)y = 0 .

Si un y1 (X) et y2 (X) sont des solutions particulières de cette équation, alors les affirmations suivantes sont vraies :

1) y1 (X) + y 2 (X) - est aussi une solution de cette équation ;

2) Cy1 (X) , où C- une constante arbitraire (constante), est aussi une solution à cette équation.

Il résulte de ces deux énoncés que la fonction

C1 y 1 (X) + C 2 y 2 (X)

est aussi une solution de cette équation.

Une question juste se pose : est-ce que cette solution solution générale d'une équation différentielle homogène linéaire du second ordre , c'est-à-dire une telle solution dans laquelle, pour différentes valeurs C1 et C2 est-il possible d'avoir toutes les solutions possibles de l'équation ?

La réponse à cette question est : c'est possible, mais sous certaines conditions. ce condition sur quelles propriétés des solutions particulières devraient avoir y1 (X) et y2 (X) .

Et cette condition est appelée condition indépendance linéaire décisions privées.

Théorème. Fonction C1 y 1 (X) + C 2 y 2 (X) est une solution générale d'une équation différentielle homogène linéaire du second ordre si les fonctions y1 (X) et y2 (X) sont linéairement indépendants.

Définition. Les fonctions y1 (X) et y2 (X) sont dits linéairement indépendants si leur rapport est une constante non nulle :

y1 (X)/y 2 (X) = k ; k = constante ; k ≠ 0 .

Cependant, établir par définition si ces fonctions sont linéairement indépendantes est souvent très difficile. Il existe un moyen d'établir l'indépendance linéaire en utilisant le déterminant de Wronsky O(X) :

Si le déterminant de Wronsky n'est pas égal à zéro, alors les solutions sont linéairement indépendantes . Si le déterminant de Wronsky est égal à zéro, alors les solutions sont linéairement dépendantes.

Exemple 1 Trouver décision communeéquation différentielle homogène linéaire.

La solution. On intègre deux fois et, comme il est facile de le voir, pour que la différence de la dérivée seconde de la fonction et de la fonction elle-même soit égale à zéro, les solutions doivent être associées à un exposant dont la dérivée est égale à elle-même. Autrement dit, les solutions privées sont et .

Puisque le déterminant de Vronsky

n'est pas égal à zéro, alors ces solutions sont linéairement indépendantes. Par conséquent, la solution générale de cette équation peut être écrite comme

Équations différentielles linéaires homogènes du second ordre à coefficients constants : théorie et pratique

Équation différentielle homogène linéaire du second ordre avec coefficients constants est appelée une équation de la forme

y"" + py" + qy = 0 ,

où p et q sont des valeurs constantes.

Le fait qu'il s'agisse d'une équation du second ordre est indiqué par la présence de la dérivée seconde de la fonction souhaitée, et son homogénéité est indiquée par zéro sur le côté droit. Les quantités déjà mentionnées ci-dessus sont appelées coefficients constants.

À résoudre une équation différentielle homogène linéaire du second ordre à coefficients constants , il faut d'abord résoudre l'équation dite caractéristique de la forme

k² + pq + q = 0 ,

qui, comme on peut le voir, est une équation quadratique ordinaire.

En fonction de la décision équation caractéristique trois options différentes sont possibles solution d'une équation différentielle homogène linéaire du second ordre à coefficients constants , que nous allons maintenant analyser. Pour une certitude totale, nous supposerons que toutes les solutions particulières ont été testées par le déterminant de Vronsky et dans tous les cas, il n'est pas égal à zéro. Les sceptiques, cependant, peuvent le vérifier par eux-mêmes.

Racines de l'équation caractéristique - réelles et différentes

Autrement dit, . Dans ce cas, la solution d'une équation différentielle homogène linéaire du second ordre à coefficients constants a la forme

Exemple 2. Résoudre une équation différentielle homogène linéaire

Exemple 3. Résoudre une équation différentielle homogène linéaire

La solution. L'équation caractéristique a la forme , ses racines et sont réelles et différentes. Les solutions particulières correspondantes de l'équation : et . La solution générale de cette équation différentielle a la forme

Racines de l'équation caractéristique - réelles et égales

C'est-à-dire, . Dans ce cas, la solution d'une équation différentielle homogène linéaire du second ordre à coefficients constants a la forme

Exemple 4. Résoudre une équation différentielle homogène linéaire

La solution. Équation caractéristique a des racines égales. Les solutions particulières correspondantes de l'équation : et . La solution générale de cette équation différentielle a la forme

Exemple 5. Résoudre une équation différentielle homogène linéaire

La solution. L'équation caractéristique a des racines égales. Les solutions particulières correspondantes de l'équation : et . La solution générale de cette équation différentielle a la forme

Équations différentielles du 2ème ordre

§une. Méthodes pour abaisser l'ordre d'une équation.

L'équation différentielle du 2ème ordre a la forme :

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( ou différentiel" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">équation différentielle du 2e ordre). Problème de Cauchy pour l'équation différentielle du 2e ordre (1..gif" width="85" height= "25 src= ">.gif" largeur="85" hauteur="25 src=">.gif" hauteur="25 src=">.

Laissez l'équation différentielle du 2e ordre ressembler à : https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height=" 25 src=">.gif" largeur="265" hauteur="28 src=">.

Ainsi, l'équation du 2ème ordre https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height =" 25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">. En le résolvant, nous obtenons l'intégrale générale de l'équation différentielle d'origine, en fonction de deux constantes arbitraires : https://pandia.ru/text/78/516/images/image020_23.gif" width="95" height="25 src =">. gif" width="76" height="25 src=">.

La solution.

Puisqu'il n'y a pas d'argument explicite dans l'équation d'origine https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">.gif" width="35" height="25 src=">..gif" largeur="35" hauteur="25 src=">.gif" largeur="82" hauteur="38 src="> ..gif" largeur="99" hauteur="38 src=">.

Depuis https://pandia.ru/text/78/516/images/image029_18.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="42" height="38 src= "> .gif" largeur="34" hauteur="25 src=">.gif" largeur="68" hauteur="35 src=">..gif" hauteur="25 src=">.

Soit l'équation différentielle du 2e ordre : https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">..gif" width="161" height=" 25 src=">.gif" largeur="34" hauteur="25 src=">.gif" largeur="33" hauteur="25 src=">..gif" largeur="225" hauteur="25 src =">..gif" largeur="150" hauteur="25 src=">.

Exemple 2 Trouvez la solution générale de l'équation : https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="107" height ="25 src=">..gif" largeur="100" hauteur="27 src=">.gif" largeur="130" hauteur="37 src=">.gif" largeur="34" hauteur= "25 src=">.gif" largeur="183" hauteur="36 src=">.

3. L'ordre du degré est réduit s'il est possible de le transformer en une forme telle que les deux parties de l'équation deviennent des dérivées totales selon https://pandia.ru/text/78/516/images/image052_13.gif " largeur="92" hauteur=" 25 src=">..gif" largeur="98" hauteur="48 src=">.gif" largeur="138" hauteur="25 src=">.gif" largeur="282" hauteur="25 src=">, (2.1)

où https://pandia.ru/text/78/516/images/image060_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> - fonctions prédéfinies, continue sur l'intervalle sur lequel on cherche la solution. En supposant a0(x) ≠ 0, diviser par (2..gif" width="215" height="25 src="> (2.2)

Supposons sans preuve que (2..gif" width="82" height="25 src=">.gif" width="38" height="25 src=">.gif" width="65" height=" 25 src=">, alors l'équation (2.2) est dite homogène, et l'équation (2.2) est dite inhomogène dans le cas contraire.

Considérons les propriétés des solutions au lodu d'ordre 2.

Définition. Combinaison linéaire de fonctions https://pandia.ru/text/78/516/images/image071_10.gif" width="93" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src = ">.gif" largeur="195" hauteur="25 src=">, (2.3)

puis leur combinaison linéaire https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> en (2.3) et montrer que le résultat est une identité :

https://pandia.ru/text/78/516/images/image078_10.gif" width="368" height="25 src=">.

Puisque les fonctions https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> sont des solutions de l'équation (2.3), alors chacune des parenthèses dans la dernière équation est identiquement égale à zéro, ce qui devait être prouvé.

Conséquence 1. Il découle du théorème prouvé à https://pandia.ru/text/78/516/images/image080_10.gif" width="77" height="25 src="> - solution de l'équation (2..gif " width=" 97" height="25 src=">.gif" width="165" height="25 src="> est appelé linéairement indépendant sur un intervalle si aucune de ces fonctions n'est représentée comme une combinaison linéaire de toutes les autres.

En cas de deux fonctions https://pandia.ru/text/78/516/images/image085_11.gif" width="119" height="25 src=">, c'est-à-dire.gif" width="77" height= "47 src=">.gif" largeur="187" hauteur="43 src=">.gif" largeur="42" hauteur="25 src=">. Ainsi, le déterminant de Wronsky pour deux fonctions linéairement indépendantes ne peut pas être identiquement égal à zéro.

Laissez https://pandia.ru/text/78/516/images/image091_10.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> .gif" width="605" height="50">..gif" width="18" height="25 src="> satisfaire l'équation (2..gif" width="42" height="25 src = "> – solution de l'équation (3.1)..gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width= "162 " height="42 src=">.gif" width="51" height="25 src="> est identique. Ainsi,

https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">, dans lequel le déterminant des solutions linéairement indépendantes de l'équation (2..gif " width= "42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> Les deux facteurs du côté droit de la formule (3.2) sont différents de zéro.

§quatre. La structure de la solution générale au lod du 2ème ordre.

Théorème. Si https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> sont des solutions linéairement indépendantes de l'équation (2..gif" width=" 19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src=">est une solution à l'équation (2.3), découle du théorème sur les propriétés des solutions lodu du 2ème ordre..gif " largeur="85" hauteur="25 src=">.gif" largeur="19" hauteur="25 src=">.gif" largeur="220" hauteur="47">

Les constantes https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> de ce système d'équations algébriques linéaires sont déterminées de manière unique, puisque le déterminant de ce système est https: //pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src="> :

https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">. gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5 ..gif" width="77" height="25 src=">. D'après le paragraphe précédent, la solution générale au lodu d'ordre 2 est facilement déterminée si deux solutions partielles linéairement indépendantes de cette équation sont connues. Une méthode simple pour trouver des solutions partielles à une équation à coefficients constants proposée par L. Euler..gif" width="25" height="26 src=">, on obtient équation algébrique, qui est appelée caractéristique :

https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> sera une solution à l'équation (5.1) uniquement pour les valeurs de k qui sont les racines de l'équation caractéristique (5.2)..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width= "205" height="47 src="> et la solution générale (5..gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="74" height="26 src=" >..gif" width="83 " height="26 src=">. Vérifier que cette fonction satisfait l'équation (5.1)..gif" width="190" height="26 src=">. En substituant ces expressions dans équation (5.1), on obtient

https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, car.gif" width="137" height="26 src=" >.

Les solutions privées https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> sont linéairement indépendantes, car.gif" width="166" height= "26 src=">.gif" largeur="45" hauteur="25 src=">..gif" largeur="65" hauteur="33 src=">.gif" largeur="134" hauteur =" 25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src=">.

Les deux crochets du côté gauche de cette égalité sont identiques à zéro..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src="> est le solution de l'équation (5.1) ..gif" width="129" height="25 src="> ressemblera à ceci :

https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)

représenté comme la somme de la solution générale https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)

et toute solution particulière https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> sera une solution à l'équation (6.1)..gif" largeur=" 272" hauteur="25 src="> f(x). Cette égalité est une identité car..gif" width="128" height="25 src="> f(x). Par conséquent.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width= "138" height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src="> sont des solutions linéairement indépendantes de cette équation. De cette façon:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">. gif" width="51" height="25 src=">, et un tel déterminant, comme nous l'avons vu ci-dessus, est différent de zéro..gif" width="19" height="25 src="> du système d'équations (6 ..gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="140" height="25 src ="> sera la solution de l'équation

https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> dans l'équation (6.5), on obtient

https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f (x) (7.1)

où https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> de l'équation (7.1) dans le cas où le côté droit f(x) a type particulier. Cette méthode est appelée méthode des coefficients indéfinis et consiste à sélectionner une solution particulière en fonction de la forme du côté droit de f(x). Considérez les bonnes parties du formulaire suivant :

1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src="> peut être zéro. Indiquons la forme sous laquelle la solution particulière doit être prise dans ce cas.

a) Si le numéro est https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height=" 25 src=">.

La solution.

Pour l'équation https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src = ">..gif" largeur="101" hauteur="25 src=">.gif" largeur="153" hauteur="25 src=">.gif" largeur="383" hauteur="25 src= ">.

Nous raccourcissons les deux parties par https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src="> dans les parties gauche et droite de l'égalité

https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">

À partir du système d'équations résultant, nous trouvons : https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src=">, et la solution générale équation donnée il y a:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,

où https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">.

La solution.

L'équation caractéristique correspondante a la forme :

https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">. gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src=">. Enfin on a l'expression suivante pour la solution générale :

https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> excellent à partir de zéro. Indiquons la forme d'une solution particulière dans ce cas.

a) Si le numéro est https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src=">,

où https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> est la racine de l'équation caractéristique pour l'équation (5..gif" width ="229 "hauteur="25 src=">,

où https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" height="25 src=">.

La solution.

Les racines de l'équation caractéristique de l'équation https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" hauteur="25 src=">.

Le côté droit de l'équation donnée dans l'exemple 3 a une forme spéciale : f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src= ">.gif " largeur="55" hauteur="25 src=">.gif" largeur="229" hauteur="25 src=">.

Pour définir https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src=" > et remplacer dans l'équation donnée :

Apporter des termes similaires, assimiler des coefficients à https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="100" height= "25 src=">.

La solution générale finale de l'équation donnée est : https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width="47 " height ="25 src=">.gif" width="10" height="25 src="> respectivement, et l'un de ces polynômes peut être égal à zéro. Indiquons la forme d'une solution particulière dans ce général Cas.

a) Si le numéro est https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51">, (7.2)

où https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">.

b) Si le nombre est https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src=">, alors une solution particulière ressemblera à :

https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. Dans l'expression (7..gif" width="121" height= " 25 src=">.

Exemple 4 Indiquez le type de solution particulière pour l'équation

https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . La solution générale du lod a la forme :

https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">.

Autres coefficients https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src=" > il existe une solution particulière à l'équation avec côté droit f1(x), et Variation" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">variations de constantes arbitraires (méthode de Lagrange).

La recherche directe d'une solution particulière à une droite, sauf dans le cas d'une équation à coefficients constants, et de surcroît à termes constants particuliers, présente de grandes difficultés. Par conséquent, pour trouver la solution générale du lindu, on utilise généralement la méthode de variation de constantes arbitraires, qui permet toujours de trouver la solution générale du lindu en quadratures, si système fondamental solutions de l'équation homogène correspondante. Cette méthode est la suivante.

D'après ce qui précède, la solution générale de l'équation homogène linéaire est :

https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> – pas constante, mais quelques fonctions encore inconnues de f(x). . doit être pris dans l'intervalle. En fait, dans ce cas, le déterminant de Wronsky est non nul en tout point de l'intervalle, c'est-à-dire que dans tout l'espace, c'est la racine complexe de l'équation caractéristique..gif" width="20" height="25 src="> solutions particulières linéairement indépendantes de la forme :

Dans la formule de solution générale, cette racine correspond à une expression de la forme.

Équation différentielle homogène linéaire du second ordre à coefficients constants a une solution générale
, où et solutions particulières linéairement indépendantes de cette équation.

Forme générale des solutions d'une équation différentielle homogène du second ordre à coefficients constants
, dépend des racines de l'équation caractéristique
.

Les racines de la caractéristique équations	Type de solution générale
Les racines et valide et divers
Les racines == valide et identique
Racines complexes ,

Exemple

Trouver la solution générale des équations différentielles linéaires homogènes du second ordre à coefficients constants :

La solution:
.

Après l'avoir résolu, nous trouverons les racines
,
valable et différent. La solution générale est donc :
.

La solution: Faisons l'équation caractéristique :
.

Après l'avoir résolu, nous trouverons les racines

valide et identique. La solution générale est donc :
.

La solution: Faisons l'équation caractéristique :
.

Après l'avoir résolu, nous trouverons les racines
complexe. La solution générale est donc :

Équation différentielle linéaire inhomogène du second ordre à coefficients constants a la forme

Où
. (1)

La solution générale d'une équation différentielle linéaire inhomogène du second ordre a la forme
, où
est une solution particulière de cette équation, est une solution générale de l'équation homogène correspondante, c'est-à-dire équations.

Type de solution privée
équation non homogène(1) en fonction du côté droit
:

Partie droite	Solution privée
– polynôme de degré	, où est le nombre de racines de l'équation caractéristique égale à zéro.
	, où = est la racine de l'équation caractéristique.
	Où est un nombre égal au nombre de racines de l'équation caractéristique coïncidant avec .
	où est le nombre de racines de l'équation caractéristique coïncidant avec .

Considérons différents types de membres droits d'une équation différentielle linéaire non homogène :

1.
, où est un polynôme de degré . Alors une solution particulière
peut être recherché dans le formulaire
, où

, un est le nombre de racines de l'équation caractéristique égale à zéro.

Exemple

Trouver une solution générale
.

La solution:

B) Puisque le côté droit de l'équation est un polynôme du premier degré et aucune des racines de l'équation caractéristique
non égal à zéro (
), puis on cherche une solution particulière sous la forme où et sont des coefficients inconnus. Différencier deux fois
et en remplaçant
,
et
dans l'équation originale, nous trouvons.

Équation des coefficients aux mêmes puissances des deux côtés de l'équation
,
, nous trouvons
,
. Ainsi, une solution particulière de cette équation a la forme
, et sa solution générale.

2. Laissez le côté droit ressembler
, où est un polynôme de degré . Alors une solution particulière
peut être recherché dans le formulaire
, où
est un polynôme de même degré que
, un - un nombre indiquant combien de fois est la racine de l'équation caractéristique.

Exemple

Trouver une solution générale
.

La solution:

A) Trouver la solution générale de l'équation homogène correspondante
. Pour ce faire, on écrit l'équation caractéristique
. Trouvons les racines de la dernière équation
. Par conséquent, la solution générale de l'équation homogène a la forme
.

équation caractéristique

, où est un coefficient inconnu. Différencier deux fois
et en remplaçant
,
et
dans l'équation originale, nous trouvons. Où
, C'est
ou
.

Ainsi, une solution particulière de cette équation a la forme
, et sa solution générale
.

3. Laissez le côté droit ressembler à , où
et - numéros donnés. Alors une solution particulière
peut être recherché dans le formulaire où et sont des coefficients inconnus, et est un nombre égal au nombre de racines de l'équation caractéristique coïncidant avec
. Si dans une expression de fonction
inclure au moins une des fonctions
ou
, puis dans
doit toujours être saisi tous les deux les fonctions.

Exemple

Trouver une solution générale.

La solution:

B) Puisque le côté droit de l'équation est une fonction
, alors le nombre de contrôle de cette équation, il ne coïncide pas avec les racines
équation caractéristique
. On cherche alors une solution particulière sous la forme

Où et sont des coefficients inconnus. En différenciant deux fois, on obtient. Remplacer
,
et
dans l'équation originale, on trouve

En rassemblant des termes semblables, on obtient

On égalise les coefficients à
et
sur les côtés droit et gauche de l'équation, respectivement. On obtient le système
. En le résolvant, on trouve
,
.

Ainsi, une solution particulière de l'équation différentielle originale a la forme .

La solution générale de l'équation différentielle originale a la forme .

L'équation

où et sont des fonctions continues dans l'intervalle est appelée une équation différentielle linéaire du second ordre inhomogène, les fonctions et sont ses coefficients. Si dans cet intervalle, alors l'équation prend la forme :

et est appelée une équation différentielle linéaire homogène du second ordre. Si l'équation (**) a les mêmes coefficients et que l'équation (*), alors on parle d'équation homogène correspondant à une équation non homogène (*).

Équations différentielles linéaires homogènes du second ordre

Soit dans l'équation linéaire

Et sont des nombres réels constants.

Nous chercherons une solution particulière de l'équation sous la forme d'une fonction , où est le réel ou nombre complexeêtre déterminé. En différenciant par rapport à , on obtient :

En remplaçant dans l'équation différentielle d'origine, on obtient :

Ainsi, compte tenu de , nous avons :

Cette équation est appelée équation caractéristique d'une équation différentielle linéaire homogène. L'équation caractéristique permet également de trouver . C'est une équation du second degré, donc elle a deux racines. Notons-les par et . Trois cas sont possibles :

1) Les racines sont réelles et différentes. Dans ce cas, la solution générale de l'équation est :

Exemple 1

2) Les racines sont réelles et égales. Dans ce cas, la solution générale de l'équation est :

Exemple2

Vous avez atterri sur cette page en essayant de résoudre un problème lors d'un examen ou d'un test ? Si vous n'avez toujours pas réussi l'examen - la prochaine fois, organisez à l'avance sur le site Web l'aide en ligne en mathématiques supérieures.

L'équation caractéristique a la forme :

Solution de l'équation caractéristique :

Solution générale de l'équation différentielle originale :

3) Racines complexes. Dans ce cas, la solution générale de l'équation est :

Exemple 3

L'équation caractéristique a la forme :

Solution de l'équation caractéristique :

Solution générale de l'équation différentielle originale :

Équations différentielles linéaires du second ordre inhomogènes

Considérons maintenant la solution de quelques types d'une équation linéaire inhomogène du second ordre à coefficients constants

où et sont des nombres réels constants, est une fonction continue connue dans l'intervalle . Pour trouver la solution générale d'une telle équation différentielle, il est nécessaire de connaître la solution générale de l'équation différentielle homogène correspondante et la solution particulière. Considérons quelques cas :

On cherche aussi une solution particulière de l'équation différentielle sous la forme d'un trinôme carré :

Si 0 est une racine unique de l'équation caractéristique, alors

Si 0 est une racine double de l'équation caractéristique, alors

La situation est similaire si est un polynôme de degré arbitraire

Exemple 4

On résout l'équation homogène correspondante.

Équation caractéristique :

La solution générale de l'équation homogène :

Trouvons une solution particulière de la dif-équation inhomogène :

En substituant les dérivées trouvées dans l'équation différentielle d'origine, nous obtenons :

La solution particulière recherchée :

Solution générale de l'équation différentielle originale :

On cherche une solution particulière sous la forme , où est un coefficient indéterminé.

En substituant et dans l'équation différentielle originale, nous obtenons une identité, à partir de laquelle nous trouvons le coefficient.

Si est la racine de l'équation caractéristique, alors nous recherchons une solution particulière de l'équation différentielle originale sous la forme , quand est une racine simple, et , quand est une racine double.

Exemple 5

Équation caractéristique :

La solution générale de l'équation différentielle homogène correspondante est :

Trouvons une solution particulière de l'équation différentielle inhomogène correspondante :

La solution générale de l'équation différentielle :

Dans ce cas, on cherche une solution particulière sous la forme d'un binôme trigonométrique :

où et sont des coefficients incertains

En remplaçant et dans l'équation différentielle originale, on obtient une identité, à partir de laquelle on trouve les coefficients.

Ces équations déterminent les coefficients et sauf dans le cas où (ou quand sont les racines de l'équation caractéristique). Dans ce dernier cas, on cherche une solution particulière de l'équation différentielle sous la forme :

Exemple6

Équation caractéristique :

La solution générale de l'équation différentielle homogène correspondante est :

Trouvons une solution particulière de la dif-équation inhomogène

En remplaçant dans l'équation différentielle d'origine, on obtient :

Solution générale de l'équation différentielle originale :

Convergence des séries de nombres
Une définition de la convergence d'une série est donnée et les problèmes d'étude de la convergence des séries numériques sont examinés en détail - critères de comparaison, critère de convergence d'Alembert, critère de convergence de Cauchy et critère de convergence intégrale de Cauchy⁡.

Convergence absolue et conditionnelle d'une série
La page traite des séries alternées, de leur convergence conditionnelle et absolue, du test de convergence de Leibniz pour les séries alternées - contient brève théorie sur le sujet et un exemple de résolution du problème.

Dans certains problèmes de physique, un lien direct entre les grandeurs décrivant le processus ne peut être établi. Mais il est possible d'obtenir une égalité contenant les dérivées des fonctions étudiées. C'est ainsi que surgissent les équations différentielles et la nécessité de les résoudre pour trouver une fonction inconnue.

Cet article est destiné à ceux qui sont confrontés au problème de la résolution d'une équation différentielle dans laquelle la fonction inconnue est fonction d'une variable. La théorie est construite de telle manière qu'avec une compréhension nulle des équations différentielles, vous pouvez faire votre travail.

Chaque type d'équations différentielles est associé à une méthode de résolution avec des explications détaillées et des solutions d'exemples et de problèmes typiques. Il vous suffit de déterminer le type d'équation différentielle de votre problème, de trouver un exemple similaire analysé et d'effectuer des actions similaires.

Pour résoudre avec succès des équations différentielles de votre part, vous aurez également besoin de la capacité de trouver des ensembles de primitives ( intégrales indéfinies) de diverses fonctions. Si nécessaire, nous vous recommandons de vous référer à la section.

Considérons d'abord les types d'équations différentielles ordinaires du premier ordre qui peuvent être résolues par rapport à la dérivée, puis nous passerons aux EDO du second ordre, puis nous nous attarderons sur les équations d'ordre supérieur et terminerons avec les systèmes d'équations différentielles.

Rappelons que si y est une fonction de l'argument x .

Équations différentielles du premier ordre.

Les équations différentielles les plus simples du premier ordre de la forme .

Écrivons plusieurs exemples d'un tel DE .

Équations différentielles peut être résolu par rapport à la dérivée en divisant les deux côtés de l'égalité par f(x) . Dans ce cas, on arrive à l'équation , qui sera équivalente à celle d'origine pour f(x) ≠ 0 . Des exemples de tels ODE sont .

S'il existe des valeurs de l'argument x pour lesquelles les fonctions f(x) et g(x) disparaissent simultanément, des solutions supplémentaires apparaissent. Solutions supplémentaireséquations étant donné x sont toutes les fonctions définies pour ces valeurs d'argument. Des exemples de telles équations différentielles sont .

Équations différentielles du second ordre.

Équations différentielles homogènes linéaires du second ordre à coefficients constants.

LODE à coefficients constants est un type très courant d'équations différentielles. Leur solution n'est pas particulièrement difficile. Tout d'abord, les racines de l'équation caractéristique sont trouvées . Pour p et q différents, trois cas sont possibles : les racines de l'équation caractéristique peuvent être réelles et différentes, réelles et confondues ou complexe conjugué. En fonction des valeurs des racines de l'équation caractéristique, la solution générale de l'équation différentielle s'écrit , ou , ou respectivement.

Par exemple, considérons une équation différentielle homogène linéaire du second ordre avec des coefficients constants. Les racines de son équation caractéristique sont k 1 = -3 et k 2 = 0. Les racines sont réelles et différentes, par conséquent, la solution générale de la LDE avec des coefficients constants est

Équations différentielles linéaires non homogènes du second ordre à coefficients constants.

La solution générale du LIDE du second ordre à coefficients constants y est recherchée comme la somme de la solution générale du LODE correspondant et une solution particulière de l'équation inhomogène originale, c'est-à-dire . Le paragraphe précédent est consacré à la recherche d'une solution générale à une équation différentielle homogène à coefficients constants. Et une solution particulière est déterminée soit par la méthode des coefficients indéfinis pour une certaine forme de la fonction f (x) , se tenant du côté droit de l'équation originale, soit par la méthode de variation des constantes arbitraires.

Comme exemples de LIDE du second ordre à coefficients constants, nous présentons

Comprendre la théorie et se familiariser avec décisions détaillées exemples que nous vous proposons sur la page d'équations différentielles inhomogènes linéaires du second ordre à coefficients constants.

Équations différentielles homogènes linéaires (LODE) et les équations différentielles inhomogènes linéaires du second ordre (LNDE).

Un cas particulier d'équations différentielles de ce type sont LODE et LODE à coefficients constants.

La solution générale de la LODE sur un certain intervalle est représentée par une combinaison linéaire de deux solutions particulières linéairement indépendantes y 1 et y 2 de cette équation, c'est-à-dire .

La principale difficulté réside précisément dans la recherche de solutions partielles linéairement indépendantes de ce type d'équation différentielle. Habituellement, des solutions particulières sont choisies parmi les systèmes suivants de fonctions linéairement indépendantes :

Cependant, des solutions particulières ne sont pas toujours présentées sous cette forme.

Un exemple de LODU est .

La solution générale de la LIDE est recherchée sous la forme , où est la solution générale de la LODE correspondante, et est une solution particulière de l'équation différentielle originale. Nous venons de parler de trouver, mais il peut être déterminé en utilisant la méthode de variation de constantes arbitraires.

Un exemple de LNDE est .

Équations différentielles d'ordre supérieur.

Équations différentielles admettant la réduction d'ordre.

Ordre de l'équation différentielle , qui ne contient pas la fonction désirée et ses dérivées jusqu'à l'ordre k-1, peut être réduite à n-k en remplaçant .

Dans ce cas, et l'équation différentielle d'origine se réduit à . Après avoir trouvé sa solution p(x), il reste à revenir au remplacement et à déterminer la fonction inconnue y .

Par exemple, l'équation différentielle après le remplacement devient une équation séparable, et son ordre est réduit du troisième au premier.