Нарийн төвөгтэй аргументуудын деривативын хүснэгт. Дериватив гэж юу вэ

Огноо: 2014.11.20

Дериватив гэж юу вэ?

Дериватив хүснэгт.

Дериватив нь дээд математикийн үндсэн ойлголтуудын нэг юм. Энэ хичээлээр бид энэ ойлголтыг танилцуулах болно. Математикийн хатуу томъёолол, нотолгоогүйгээр танилцацгаая.

Энэхүү танилцуулга нь танд дараах боломжийг олгоно.

Дериватив бүхий энгийн ажлуудын мөн чанарыг ойлгох;

Эдгээр маш энгийн ажлуудыг амжилттай шийдвэрлэх;

Илүү ноцтой дериватив хичээлүүдэд бэлд.

Нэгдүгээрт, тааламжтай гэнэтийн бэлэг.

Деривативын хатуу тодорхойлолт нь хязгаарын онол дээр суурилдаг бөгөөд энэ нь нэлээд төвөгтэй юм. Сэтгэл дундуур байна. Гэхдээ деривативын практик хэрэглээ нь дүрмээр бол ийм өргөн, гүн гүнзгий мэдлэг шаарддаггүй!

Сургууль, их сургуулийн ихэнх ажлыг амжилттай гүйцэтгэхийн тулд мэдэхэд хангалттай хэдхэн нэр томъёо- даалгаврыг ойлгох, мөн хэдхэн дүрэм- үүнийг шийдэхийн тулд. Тэгээд л болоо. Энэ нь намайг аз жаргалтай болгодог.

Бид бие биетэйгээ танилцах уу?)

Нэр томъёо, нэр томъёо.

Анхан шатны математикт олон тооны математик үйлдлүүд байдаг. Нэмэх, хасах, үржүүлэх, нэмэгдүүлэх, логарифм гэх мэт. Хэрэв эдгээр үйлдлүүд дээр дахин нэг үйлдлийг нэмбэл анхан шатны математик илүү өндөр болно. Энэ шинэ үйл ажиллагаа гэж нэрлэгддэг ялгах.Энэ үйлдлийн тодорхойлолт, утгыг тусдаа хичээлүүдэд авч үзэх болно.

Энд дифференциал гэдэг нь зөвхөн функц дээрх математикийн үйлдэл гэдгийг ойлгох нь чухал юм. Бид ямар ч функцийг авдаг ба тодорхой дүрэм, үүнийг хувиргана. Үр дүн нь байх болно шинэ шинж тэмдэг. Энэ шинэ функцийг дараах нэрээр нэрлэдэг. дериватив.

Ялгаварлах- функц дээрх үйлдэл.

Деривативэнэ үйл ажиллагааны үр дүн юм.

Яг л жишээ нь, нийлбэрнэмэлтийн үр дүн юм. Эсвэл хувийнхуваагдлын үр дүн юм.

Нэр томьёог мэдэж байгаа тул та ядаж даалгавруудыг ойлгож чадна.) Үг хэллэг нь дараах байдалтай байна. функцийн деривативыг олох; деривативыг авах; функцийг ялгах; деривативыг тооцоолохгэх мэт. Энэ бүгд адилхан.Мэдээжийн хэрэг, деривативыг олох (ялгаалах) нь даалгаврыг шийдвэрлэх алхамуудын зөвхөн нэг нь болох илүү төвөгтэй ажлууд байдаг.

Деривативыг функцын баруун дээд талд зураасаар тэмдэглэнэ. Үүн шиг: у"эсвэл f"(x)эсвэл S"(t)гэх мэт.

унших y харвалт, x-ээс ef харвалт, te-ээс es харвалт,За ойлголоо...)

Анхны тоо нь тодорхой функцийн деривативыг мөн илэрхийлж болно, жишээлбэл: (2х+3)", (х 3 )" , (синкс)"гэх мэт. Ихэнхдээ деривативыг дифференциал ашиглан тэмдэглэдэг боловч бид энэ хичээл дээр ийм тэмдэглэгээг авч үзэхгүй.

Бид даалгавруудыг ойлгож сурсан гэж бодъё. Үлдсэн зүйл байхгүй - тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах.) Би танд дахин сануулъя: деривативыг олох нь тодорхой дүрмийн дагуу функцийг хувиргах.Эдгээр дүрмүүд нь гайхмаар цөөхөн байдаг.

Функцийн деривативыг олохын тулд та гурван зүйлийг л мэдэх хэрэгтэй. Бүх ялгаварлал дээр тулгуурласан гурван багана. Энд гурван халим байна:

1. Деривативын хүснэгт (ялгаалах томъёо).

3. Комплекс функцийн дериватив.

Дарааллаар нь эхэлцгээе. Энэ хичээлээр бид деривативын хүснэгтийг авч үзэх болно.

Дериватив хүснэгт.

Дэлхий хязгааргүй олон функцтэй. Энэ багцын дунд хамгийн чухал функцууд байдаг практик хэрэглээ. Эдгээр функцууд нь байгалийн бүх хуулиудад байдаг. Тоосго гэх мэт эдгээр функцүүдээс та бусад бүх зүйлийг барьж болно. Энэ ангиллын функцийг нэрлэдэг үндсэн функцууд.Сургуульд эдгээр функцуудыг судалдаг - шугаман, квадрат, гипербола гэх мэт.

Функцуудыг "эхнээс нь" ялгах, i.e. деривативын тодорхойлолт ба хязгаарын онол дээр үндэслэсэн нь нэлээд цаг хугацаа шаардсан зүйл юм. Математикчид ч гэсэн хүмүүс, тийм ээ, тийм ээ!) Тиймээс тэд амьдралаа хялбаршуулсан (мөн бид). Тэд бидний өмнө энгийн функцүүдийн деривативуудыг тооцоолсон. Үр дүн нь бүх зүйл бэлэн болсон деривативын хүснэгт юм.)

Энэ бол хамгийн алдартай функцүүдэд зориулагдсан хавтан юм. Зүүн - үндсэн функц, баруун талд нь түүний дериватив байна.

	Чиг үүрэг y	y функцийн дериватив у"
1	C (тогтмол)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n нь дурын тоо)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	гэм х	(sinx)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	а x
	д x
5	бүртгэл а x
	ln x ( a = e)

Энэ деривативын хүснэгтийн гурав дахь бүлгийн функцүүдэд анхаарлаа хандуулахыг би зөвлөж байна. Дериватив эрчим хүчний функц- хамгийн түгээмэл биш бол хамгийн түгээмэл томъёонуудын нэг! Санамж тодорхой байна уу?) Тийм ээ, деривативын хүснэгтийг цээжээр мэдэх нь зүйтэй юм. Дашрамд хэлэхэд энэ нь санагдах шиг хэцүү биш юм. Илүү олон жишээг шийдэхийг хичээ, хүснэгт өөрөө санах болно!)

Хай хүснэгтийн утгадериватив, таны мэдэж байгаагаар даалгавар бол хамгийн хэцүү биш юм. Тиймээс ийм даалгаварт нэмэлт чипүүд ихэвчлэн байдаг. Даалгаврын томъёололд эсвэл хүснэгтэд байхгүй бололтой анхны функцэд ...

Хэд хэдэн жишээг харцгаая:

1. y = x функцийн деривативыг ол 3

Хүснэгтэнд ийм функц байхгүй байна. Гэхдээ чадлын функцийн дериватив байдаг ерөнхий үзэл(гурав дахь бүлэг). Манай тохиолдолд n=3 байна. Тиймээс бид n-ийн оронд гурвалсан тоог орлуулж, үр дүнг анхааралтай бичнэ үү.

(х 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Энэ бол бүх зүйл.

Хариулт: y" = 3x 2

2. y = sinx функцийн деривативын утгыг х = 0 цэгт ол.

Энэ даалгавар нь эхлээд синусын деривативыг олж, дараа нь утгыг орлуулах ёстой гэсэн үг юм x = 0ижил дериватив руу. Энэ дарааллаар байна!Үгүй бол тэд анхны функцэд тэгийг шууд орлуулах тохиолдол гардаг ... Биднээс анхны функцийн утгыг биш харин утгыг олохыг хүсдэг. түүний дериватив.Дериватив нь аль хэдийн шинэ функц болсныг сануулъя.

Хавтан дээр бид синус ба холбогдох деривативыг олдог.

y" = (sinx)" = cosx

Деривативт тэгийг орлуулна уу:

y"(0) = cos 0 = 1

Энэ хариулт байх болно.

3. Функцийг ялгана уу:

Юу урам зориг өгдөг вэ?) Деривативын хүснэгтэд ийм функц хаагдаагүй байна.

Функцийг ялгах нь зөвхөн энэ функцийн деривативыг олох явдал гэдгийг сануулъя. Хэрэв та анхан шатны тригонометрийг мартсан бол бидний функцийн деривативыг олох нь нэлээд төвөгтэй байдаг. Хүснэгт нь тус болохгүй ...

Гэхдээ хэрэв бид харах юм бол бидний үүрэг давхар өнцгийн косинус, дараа нь бүх зүйл тэр даруй сайжирна!

Тийм тийм! Анхны функцийг хувиргах гэдгийг санаарай ялгахын өмнөнэлээд хүлээн зөвшөөрөгдөхүйц! Мөн энэ нь амьдралыг ихээхэн хөнгөвчлөхөд хүргэдэг. Давхар өнцгийн косинусын томъёоны дагуу:

Тэдгээр. бидний төвөгтэй функц бол юу ч биш юм у = кокс. Мөн энэ бол хүснэгтийн функц юм. Бид нэн даруй авна:

Хариулт: y" = - sin x.

Ахисан түвшний төгсөгчид болон оюутнуудад зориулсан жишээ:

4. Функцийн деривативыг ол:

Мэдээжийн хэрэг деривативын хүснэгтэд ийм функц байхгүй. Гэхдээ хэрэв та анхан шатны математикийг санаж байвал хүч чадалтай үйлдлүүд ... Тэгвэл энэ функцийг хялбарчлах бүрэн боломжтой. Үүн шиг:

Аравны нэгийн х нь аль хэдийн хүснэгтийн функц юм! Гурав дахь бүлэг, n=1/10. Томъёоны дагуу шууд бичээд:

Тэгээд л болоо. Энэ хариулт байх болно.

Анхны халимыг ялгах - деривативын хүснэгтэд бүх зүйл тодорхой болно гэж найдаж байна. Үлдсэн хоёр халимтай харьцах хэвээр байна. Дараагийн хичээлээр бид ялгах дүрмийг сурах болно.

"A авах" видео хичээл нь танд хэрэгтэй бүх сэдвүүдийг багтаасан болно амжилттай хүргэлт 60-65 оноогоор математикт ХЭРЭГЛЭЭ. Профайлын 1-13-р бүх даалгаврыг математикт ашиглах. Мөн математикийн үндсэн хэрэглээг давахад тохиромжтой. Шалгалтаа 90-100 оноотой өгөхийг хүсвэл 1-р хэсгийг 30 минутанд алдаагүй шийдэх хэрэгтэй!

10-11-р анги, багш нарт зориулсан шалгалтанд бэлтгэх курс. Математикийн шалгалтын 1-р хэсэг (эхний 12 бодлого) болон 13-р асуудал (тригонометр) шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх зүйл. Энэ бол Улсын нэгдсэн шалгалтын 70 гаруй оноо бөгөөд зуун оноотой оюутан ч, хүмүүнлэгч ч тэдэнгүйгээр хийж чадахгүй.

Шаардлагатай бүх онол. Түргэн арга замуудшалгалтын шийдэл, занга, нууц. FIPI Банкны даалгаврын 1-р хэсгийн холбогдох бүх ажлуудад дүн шинжилгээ хийсэн. Уг сургалт нь USE-2018 стандартын шаардлагыг бүрэн хангасан.

Хичээл нь тус бүр 2.5 цагийн 5 том сэдэвтэй. Сэдэв бүрийг эхнээс нь энгийн бөгөөд ойлгомжтойгоор өгсөн болно.

Олон зуун шалгалтын даалгавар. Текстийн бодлого ба магадлалын онол. Асуудлыг шийдэх энгийн бөгөөд санахад хялбар алгоритмууд. Геометр. Онол, лавлах материал, бүх төрлийн USE даалгаврын дүн шинжилгээ. Стереометр. Шийдвэрлэх заль мэх, хэрэгтэй хууран мэхлэлт, орон зайн төсөөллийг хөгжүүлэх. Тригонометрийг эхнээс нь - 13-р даалгавар руу. Шатлахын оронд ойлгох. Нарийн төвөгтэй ойлголтуудын визуал тайлбар. Алгебр. Үндэс, хүч ба логарифм, функц ба дериватив. Уусмалын суурь сорилттой даалгаваруудШалгалтын 2 хэсэг.

Энэ хичээлээр бид томъёо, ялгах дүрмийг хэрхэн ашиглах талаар сурах болно.

Жишээ. Функцийн деривативыг ол.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Дүрмийг хэрэглэх I, томьёо 4, 2 ба 1. Бид авах:

y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x6 -2x+5. Бид ижил томъёо, томъёог ашиглан ижил төстэй байдлаар шийддэг 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Дүрмийг хэрэглэх I, томьёо 3, 5 болон 6 болон 1.

Дүрмийг хэрэглэх IV, томьёо 5 болон 1 .

Тав дахь жишээнд дүрмийн дагуу Iнийлбэрийн дериватив нь деривативуудын нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд бид дөнгөж сая 1-р гишүүний деривативыг олсон (жишээ нь 4 ), тиймээс бид деривативуудыг олох болно 2 дахьболон 3 дахьнөхцөл, ба 1-рнэр томъёо, бид тэр даруй үр дүнг бичиж болно.

Ялгах 2 дахьболон 3 дахьтомъёоны дагуу нэр томъёо 4 . Үүнийг хийхийн тулд бид хуваагч дахь гурав, дөрөв дэх зэрэглэлийн үндсийг сөрөг илтгэгчтэй зэрэглэл болгон хувиргаж, дараа нь дагуу. 4 томъёогоор бид хүчнүүдийн деривативуудыг олдог.

Хараач жишээ өгсөнба үр дүн. Та загварыг барьж чадсан уу? Сайн байна. Энэ нь бид шинэ томьёотой болсон бөгөөд үүнийг деривативын хүснэгтэд нэмж болно гэсэн үг юм.

Зургаа дахь жишээг шийдэж, өөр нэг томьёо гаргая.

Бид дүрмийг ашигладаг IVболон томъёо 4 . Бид үүссэн фракцуудыг багасгадаг.

Бид харж байна энэ функцба түүний дериватив дээр. Та мэдээжийн хэрэг загварыг ойлгож, томъёог нэрлэхэд бэлэн байна.

Шинэ томъёо сурах!

Жишээ.

1. Аргументын өсөлт ба функцийн нэмэгдлийг y= ол x2хэрэв аргументийн анхны утга байсан бол 4 , мөн шинэ 4,01 .

Шийдэл.

Шинэ аргументын утга x \u003d x 0 + Δx. Өгөгдлийг орлуулна уу: 4.01=4+Δx, улмаар аргументийн өсөлт Δх=4.01-4=0.01. Тодорхойлолтоор функцийн өсөлт нь функцийн шинэ болон өмнөх утгуудын зөрүүтэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). Бидэнд функц байгаа болохоор y=x2, дараа нь Δу\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Хариулт: аргументийн өсөлт Δх=0.01; функцийн өсөлт Δу=0,0801.

Функцийн өсөлтийг өөр аргаар олох боломжтой байсан: Δy\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4.01) -y (4) \u003d 4.01 2 -4 2 \u003d 16.0801-16 \u003d 0.0801.

2. Функцийн графикт шүргэгчийн налуу өнцгийг ол y=f(x)цэг дээр x 0, хэрэв f "(x 0) \u003d 1.

Шийдэл.

Холбоо барих цэг дэх деривативын үнэ цэнэ x 0ба шүргэгчийн налуугийн тангенсийн утга (үүсмэлийн геометрийн утга). Бидэнд байгаа: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45 °,учир нь tg45°=1.

Хариулт: Энэ функцийн графикт шүргэгч нь Окс тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй тэнцүү өнцөг үүсгэнэ 45°.

3. Функцийн деривативын томъёог гарга y=xn.

Ялгаварлахфункцийн деривативыг олох үйлдэл юм.

Деривативыг олохдоо үүсмэл зэрэглэлийн томъёог гаргаж авсантай адил деривативын тодорхойлолтыг үндэслэн гаргаж авсан томъёог ашигладаг. (x n)" = nx n-1.

Энд томъёонууд байна.

Дериватив хүснэгтаман томъёололыг дуудах замаар цээжлэхэд хялбар байх болно:

1. Тогтмол утгын дериватив нь тэг байна.

2. X цус харвалт нэгтэй тэнцүү байна.

3. Тогтмол хүчин зүйлийг деривативын тэмдгээс гаргаж авч болно.

4. Зэрэглэлийн дериватив нь энэ зэрэглэлийн илтгэгчийн үржвэртэй ижил суурьтай градусын үржвэртэй тэнцүү боловч илтгэгч нь нэгээр бага байна.

5. Үндэсний дериватив нь ижил язгуурын хоёрт хуваагдсантай тэнцүү байна.

6. Нэгдлийн деривативыг х-д хуваасан нь хасах нэгийг х-д хуваасан квадрат юм.

7. Синусын дериватив нь косинустай тэнцүү байна.

8. Косинусын дериватив нь хасах синустай тэнцүү байна.

9. Шүргэгчийн дериватив нь косинусын квадратад хуваагдсантай тэнцүү байна.

10. Котангенсын дериватив нь хасах нэгийг синусын квадратад хуваасан байна.

Бид заадаг ялгах дүрэм.

1. Алгебрийн нийлбэрийн дериватив нь дериватив нөхцлүүдийн алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

2. Бүтээгдэхүүний дериватив нь эхний хүчин зүйлийн деривативын хоёр дахь үржвэрийг нэмсэн эхний хүчин зүйлийн деривативын үржвэртэй тэнцүү байна.

3. "y"-ийн деривативыг "ve"-д хуваасан нь бутархайтай тэнцүү бөгөөд түүний хуваарьт "y" нь "ve"-ээр үржүүлсэн "y" -ийг хасах "y, цус харвалтаар үржүүлсэн", хуваарьт - "ve квадрат" гэсэн үг юм. ”.

4. онцгой тохиолдолтомъёо 3.

Хамтдаа сурцгаая!

1 хуудасны 1 1

"А авах" видео хичээл нь математикийн шалгалтыг 60-65 оноогоор амжилттай өгөхөд шаардлагатай бүх сэдвүүдийг багтаасан болно. Профайлын 1-13-р бүх даалгаврыг математикт ашиглах. Мөн математикийн үндсэн хэрэглээг давахад тохиромжтой. Шалгалтаа 90-100 оноотой өгөхийг хүсвэл 1-р хэсгийг 30 минутанд алдаагүй шийдэх хэрэгтэй!

10-11-р анги, багш нарт зориулсан шалгалтанд бэлтгэх курс. Математикийн шалгалтын 1-р хэсэг (эхний 12 бодлого) болон 13-р асуудал (тригонометр) шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх зүйл. Энэ бол Улсын нэгдсэн шалгалтын 70 гаруй оноо бөгөөд зуун оноотой оюутан ч, хүмүүнлэгч ч тэдэнгүйгээр хийж чадахгүй.

Шаардлагатай бүх онол. Шалгалтын хурдан шийдэл, занга, нууц. FIPI Банкны даалгаврын 1-р хэсгийн холбогдох бүх ажлуудад дүн шинжилгээ хийсэн. Уг сургалт нь USE-2018 стандартын шаардлагыг бүрэн хангасан.

Хичээл нь тус бүр 2.5 цагийн 5 том сэдэвтэй. Сэдэв бүрийг эхнээс нь энгийн бөгөөд ойлгомжтойгоор өгсөн болно.

Олон зуун шалгалтын даалгавар. Текстийн бодлого ба магадлалын онол. Асуудлыг шийдэх энгийн бөгөөд санахад хялбар алгоритмууд. Геометр. Онол, лавлах материал, бүх төрлийн USE даалгаврын дүн шинжилгээ. Стереометр. Шийдвэрлэх заль мэх, хэрэгтэй хууран мэхлэлт, орон зайн төсөөллийг хөгжүүлэх. Тригонометрийг эхнээс нь - 13-р даалгавар руу. Шатлахын оронд ойлгох. Нарийн төвөгтэй ойлголтуудын визуал тайлбар. Алгебр. Үндэс, хүч ба логарифм, функц ба дериватив. Шалгалтын 2-р хэсгийн нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэх үндэс.