විචලන පේළි. සාමාන්ය අගයන්. සම්මත අපගමනය. ගණිත මධ්යන්යයේ මධ්යන්ය දෝෂය. නියැදියේ සංඛ්යානමය ව්‍යාප්තිය. වෙනස්කම් මාලාවේ ප්රධාන ලක්ෂණ
සංඛ්යාන මාලාවබෙදා හැරීම- මෙය ජනගහන ඒකක නිශ්චිත වෙනස් ගුණාංගයකට අනුව කණ්ඩායම් වලට බෙදා හැරීමකි.බෙදාහැරීමේ මාලාවක් ගොඩනැගීමට යටින් පවතින ලක්ෂණය මත පදනම්ව, ඇත ගුණාංග සහ විචලනය බෙදාහැරීමේ මාලාව.
පොදු ලක්ෂණයක් පැවතීම සංඛ්යානමය ජනගහනයක් ගොඩනැගීමට පදනම වන අතර එය විස්තරයක හෝ මිනුම්වල ප්‍රතිඵල වේ. පොදු ලක්ෂණපර්යේෂණ වස්තූන්.
සංඛ්‍යාලේඛනවල අධ්යයන විෂයය වන්නේ වෙනස්වන (විවිධ) ලක්ෂණ හෝ සංඛ්යානමය ලක්ෂණ ය.
සංඛ්යානමය ලක්ෂණ වර්ග.
බෙදාහැරීමේ ශ්රේණි ගුණාංග ශ්රේණි ලෙස හැඳින්වේ.ගුණාත්මක පදනමක් මත ගොඩනගා ඇත. ආරෝපණය- මෙය නමක් ඇති ලකුණකි (උදාහරණයක් ලෙස, වෘත්තියක්: මැහුම් ශිල්පියෙකු, ගුරුවරයෙකු, ආදිය).
බෙදාහැරීමේ මාලාව වගු ආකාරයෙන් සකස් කිරීම සිරිතකි. වගුවේ. 2.8 බෙදාහැරීමේ ගුණාංග මාලාවක් පෙන්වයි.
වගුව 2.8 - රුසියානු සමූහාණ්ඩුවේ එක් කලාපයක පුරවැසියන්ට නීතිඥයින් විසින් සපයනු ලබන නීති ආධාර වර්ග බෙදා හැරීම.
විචල්ය ශ්රේණි යනු බෙදාහැරීමේ ශ්රේණි වේප්‍රමාණාත්මක පදනමක් මත ගොඩනගා ඇත. ඕනෑම විචල්ය ශ්‍රේණියක් මූලද්රව්ය දෙකකින් සමන්විත වේ: ප්‍රභේද සහ සංඛ්යාත.
ප්‍රභේද යනු විචල්ය ශ්‍රේණියක් තුළ ගන්නා විශේෂාංගයක තනි අගයන් වේ.
සංඛ්යාත යනු තනි ප්‍රභේදවල හෝ එක් එක් කාණ්ඩයේ සංඛ්යා වේ විචලනය මාලාවක්, i.e. මේවා බෙදාහැරීමේ ශ්‍රේණියක ඇතැම් විකල්ප කොපමණ වාරයක් සිදුවේදැයි පෙන්වන සංඛ්යා වේ. සියලුම සංඛ්යාතවල එකතුව සමස්ත ජනගහනයේ ප්රමාණය, එහි පරිමාව තීරණය කරයි.
සංඛ්යාත සංඛ්යාත ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර, එය ඒකකයක භාගවලින් හෝ සමස්තයේ ප්‍රතිශතයක් ලෙස ප්‍රකාශ වේ. ඒ අනුව, සංඛ්යාතවල එකතුව 1 හෝ 100% ට සමාන වේ. සත්‍ය දත්ත මත පදනම්ව බෙදා හැරීමේ නීතියේ ස්වරූපය ඇගයීමට විචල්ය ශ්‍රේණිය අපට ඉඩ සලසයි.
ලක්ෂණයේ විචලනයේ ස්වභාවය අනුව, ඇත විවික්ත සහ විරාම විචලන මාලාව.
විවික්ත විචල්ය මාලාවක උදාහරණයක් වගුවේ දක්වා ඇත. 2.9
වගුව 2.9 - රුසියානු සමූහාණ්ඩුවේ 1989 දී තනි මහල් නිවාසවල වාසය කරන ලද කාමර සංඛ්යාව අනුව පවුල් බෙදා හැරීම.
විචල්ය මාලාව
හිදී ජනගහනයසමහර ප්‍රමාණාත්මක ලක්ෂණ විමර්ශනය කෙරේ. පරිමාවේ නියැදියක් අහඹු ලෙස එයින් උපුටා ගනී n, එනම්, නියැදියේ ඇති මූලද්රව්ය සංඛ්යාව වේ n. සංඛ්යාන සැකසීමේ පළමු අදියරේදී, පරාසයකසාම්පල, i.e. අංක ඇණවුම් කිරීම x 1, x 2, ..., x nනැගීම. එක් එක් නිරීක්ෂිත අගය x iකියලා විකල්පය. සංඛ්යාතය m iඅගයේ නිරීක්ෂණ ගණන වේ x iසාම්පලයේ. සාපේක්ෂ සංඛ්යාතය (සංඛ්යාත) w iසංඛ්යාත අනුපාතය වේ m iනියැදි ප්රමාණයට n: .විචල්ය ශ්‍රේණියක් අධ්යයනය කරන විට, සමුච්චිත සංඛ්යාතය සහ සමුච්චිත සංඛ්යාතය යන සංකල්ප ද භාවිතා වේ. ඉඩ xයම් අංකයක්. එවිට විකල්ප ගණන , එහි අගයන් අඩුය x, සමුච්චිත සංඛ්යාතය ලෙස හැඳින්වේ: x i සඳහා
ගුණාංගයක් එහි තනි අගයන් (විචල්‍යයන්) යම් සීමිත ප්‍රමාණයකින් (සාමාන්යයෙන් පූර්ණ සංඛ්‍යාවකින්) එකිනෙකින් වෙනස් වන්නේ නම් විවික්ත විචල්ය ලෙස හැඳින්වේ. එවැනි ලක්ෂණයක විචල්ය ශ්‍රේණියක් විවික්ත විචල්ය ශ්‍රේණියක් ලෙස හැඳින්වේ.
වගුව 1. සංඛ්යාතවල විවික්ත විචල්ය ශ්රේණියේ සාමාන්ය දර්ශනය
| විශේෂාංග අගයන් | x i | x 1 | x2 | … | x n |
| සංඛ්යාත | m i | m 1 | m2 | … | m n |
ගුණාංගයක් එහි අගයන් අත්තනෝමතික ලෙස කුඩා ප්‍රමාණයකින් එකිනෙකින් වෙනස් වන්නේ නම් අඛණ්ඩව වෙනස් වන ලෙස හැඳින්වේ, i.e. ලකුණට යම් කාල පරතරයක් තුළ ඕනෑම අගයක් ගත හැකිය. එවැනි ලක්ෂණයක් සඳහා අඛණ්ඩ විචල්ය ශ්‍රේණියක් විරාම ශ්‍රේණියක් ලෙස හැඳින්වේ.
වගුව 2. සංඛ්යාතවල විරාම විචලන මාලාවේ සාමාන්ය දර්ශනය
වගුව 3. විචලන මාලාවේ ග්‍රැෆික් රූප
| පේළිය | බහුඅස්ර හෝ හිස්ටෝග්රෑම් | ආනුභවික බෙදා හැරීමේ කාර්යය | |
| විවික්ත |  |  |  |
| පරතරය |  |  |  |
විචල්ය ශ්‍රේණිවල ග්‍රැෆික් නිරූපණය සඳහා, බහුඅස්රය, හිස්ටෝග්රෑම්, සමුච්චිත වක්රය සහ ආනුභවික ව්‍යාප්ති ශ්‍රිතය බොහෝ විට භාවිතා වේ.
වගුවේ. 2.3 (1994 අප්රේල් මාසයේ සාමාන්ය ඒක පුද්ගල ආදායමේ ප්රමාණය අනුව රුසියාවේ ජනගහනය කාණ්ඩගත කිරීම) ඉදිරිපත් කර ඇත විරාම විචලන මාලාව.
චිත්රක නිරූපණයක් භාවිතයෙන් බෙදාහැරීමේ ශ්රේණි විශ්ලේෂණය කිරීම පහසු වන අතර එමඟින් බෙදා හැරීමේ හැඩය විනිශ්චය කිරීමට ද හැකි වේ. විචල්ය ශ්‍රේණිවල සංඛ්යාතවල වෙනස් වීමේ ස්වභාවය පිළිබඳ දෘශ්‍ය නිරූපණයක් ලබා දී ඇත බහුඅස්ර සහ හිස්ටෝග්රෑම්.
විවික්ත විචල්ය ශ්රේණි ප්‍රදර්ශනය කිරීමේදී බහුඅස්රය භාවිතා වේ.
නිදසුනක් වශයෙන්, මහල් නිවාස වර්ගය අනුව නිවාස තොග බෙදා හැරීම චිත්රක ලෙස අපි නිරූපණය කරමු (වගුව 2.10).
වගුව 2.10 - මහල් නිවාස වර්ග (කොන්දේසි සහිත සංඛ්යා) අනුව නාගරික ප්රදේශයේ නිවාස තොගය බෙදා හැරීම.
සහල්. නිවාස බෙදාහැරීමේ බහුඅස්රය
y-අක්ෂයේ, සංඛ්යාතවල අගයන් පමණක් නොව, විචල්ය ශ්‍රේණිවල සංඛ්යාත ද සැලසුම් කළ හැකිය.
විරාම විචල්ය ශ්‍රේණිය පෙන්වීමට හිස්ටෝග්‍රැමය ගනු ලැබේ. හිස්ටෝග්රෑම් එකක් තැනීමේදී, අන්තරාලවල අගයන් abscissa අක්ෂය මත සටහන් කර ඇති අතර, සංඛ්යාත අනුරූප කාල පරාසයන් මත ගොඩනගා ඇති සෘජුකෝණාස්‍ර මගින් නිරූපණය කෙරේ. සමාන කාල පරතරයන්හිදී තීරුවල උස සංඛ්‍යාතවලට සමානුපාතික විය යුතුය. හිස්ටෝග්රෑම් එකක් යනු ශ්‍රේණියක් එකිනෙකට යාබද තීරු ලෙස පෙන්වන ප්‍රස්ථාරයකි.
වගුවේ දක්වා ඇති විරාම බෙදා හැරීම් මාලාව චිත්‍රකව නිරූපණය කරමු. 2.11.
වගුව 2.11 - එක් පුද්ගලයෙකුට ජීවත්වන ඉඩ ප්රමාණය (කොන්දේසි සහිත සංඛ්යා) අනුව පවුල් බෙදා හැරීම.
| N p / p | එක් පුද්ගලයෙකුට ජීවත්වන ඉඩ ප්රමාණය අනුව පවුල් කණ්ඩායම් | ලබා දී ඇති ජීවන ඉඩ ප්රමාණය සහිත පවුල් සංඛ්යාව | සමුච්චිත පවුල් සංඛ්යාව |
| 1 | 3 – 5 | 10 | 10 |
| 2 | 5 – 7 | 20 | 30 |
| 3 | 7 – 9 | 40 | 70 |
| 4 | 9 – 11 | 30 | 100 |
| 5 | 11 – 13 | 15 | 115 |
| සමස්ත | 115 | ---- | |
සහල්. 2.2 එක් පුද්ගලයෙකුට ජීවත්වන ඉඩ ප්රමාණය අනුව පවුල් බෙදා හැරීමේ ඉතිහාස සටහන
සමුච්චිත ශ්රේණියේ දත්ත භාවිතා කරමින් (වගුව 2.11), අපි ගොඩනඟමු බෙදාහැරීමේ සමුච්චිත.
සහල්. 2.3 එක් පුද්ගලයෙකුට ජීවත්වන ඉඩ ප්රමාණය අනුව පවුල් සමුච්චිත ව්‍යාප්තිය
සමුච්චිත ස්වරූපයෙන් විචල්ය ශ්‍රේණියක් නිරූපණය කිරීම විචල්ය ශ්රේණි සඳහා විශේෂයෙන් ඵලදායී වන අතර, ඒවායේ සංඛ්යාත ශ්රේණියේ සංඛ්යාතවල එකතුවේ භාග හෝ ප්‍රතිශත ලෙස ප්‍රකාශ වේ.
අපි විචල්ය ශ්රේණියේ ග්‍රැෆික් නිරූපණයේ අක්ෂ සමුච්චිත ස්වරූපයෙන් වෙනස් කළහොත් අපට ලැබේ ඔගිවු. අත්තික්කා මත. 2.4 වගුවේ ඇති දත්තවල පදනම මත ගොඩනගා ඇති ogive පෙන්වයි. 2.11.
සෘජුකෝණාස්‍රයේ පැතිවල මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය සොයා ගැනීමෙන් සහ මෙම ලක්ෂ්‍ය සරල රේඛා සමඟ සම්බන්ධ කිරීමෙන් හිස්ටෝග්රෑම් බෙදාහැරීමේ බහුඅස්‍රයක් බවට පරිවර්තනය කළ හැකිය. ප්රතිඵලයක් ලෙස බෙදාහැරීමේ බහුඅස්රය රූපයේ දැක්වේ. 2.2 තිත් රේඛාව.
අසමාන කාල අන්තරයන් සහිත විචල්ය ශ්‍රේණියක ව්‍යාප්තිය පිළිබඳ ඉතිහාස සටහනක් තැනීමේදී, ඕඩිනේට් අක්ෂය දිගේ, සංඛ්යාත යොදනු නොලැබේ, නමුත් අදාළ කාල පරාසයන්හි ලක්ෂණයේ ව්‍යාප්තිය ඝනත්වය.
බෙදාහැරීමේ ඝනත්වය යනු ඒකක පරතරය පළල අනුව ගණනය කරන ලද සංඛ්යාතය වේ, i.e. ඒකක අන්තර අගයකට එක් එක් කාණ්ඩයේ ඒකක කීයක් තිබේද යන්න. බෙදාහැරීමේ ඝනත්වය ගණනය කිරීමේ උදාහරණයක් වගුවේ දක්වා ඇත. 2.12
වගුව 2.12 - සේවක සංඛ්යාව අනුව ව්යවසාය බෙදා හැරීම (සංඛ්යා කොන්දේසි සහිතයි)
| N p / p | සේවක සංඛ්යාව අනුව ව්යවසාය කණ්ඩායම්, pers. | ව්යවසායන් සංඛ්යාව | විරාම ප්රමාණය, pers. | බෙදා හැරීමේ ඝනත්වය |
| නමුත් | 1 | 2 | 3=1/2 | |
| 1 | 20 දක්වා | 15 | 20 | 0,75 |
| 2 | 20 – 80 | 27 | 60 | 0,25 |
| 3 | 80 – 150 | 35 | 70 | 0,5 |
| 4 | 150 – 300 | 60 | 150 | 0,4 |
| 5 | 300 – 500 | 10 | 200 | 0,05 |
| සමස්ත | 147 | ---- | ---- |
විචල්ය ශ්‍රේණිවල චිත්රක නිරූපණයක් සඳහා ද භාවිතා කළ හැක සමුච්චිත වක්රය. සමුච්චිත (එකතු වල වක්රය) ආධාරයෙන්, සමුච්චිත සංඛ්යාත මාලාවක් දර්ශණය වේ. සමුච්චිත සංඛ්යාත තීරණය කරනු ලබන්නේ කණ්ඩායම් අනුව සංඛ්යාත අනුක්‍රමිකව සාරාංශ කිරීම සහ සලකන ලද අගයට වඩා වැඩි නොවන විශේෂාංග අගයන් ජනගහනයේ ඒකක කීයක් තිබේ දැයි පෙන්වයි.
සහල්. 2.4 එක් පුද්ගලයෙකුට ජීවත්වන ඉඩ ප්රමාණය අනුව පවුල්වල Ogiva බෙදා හැරීම
විරාම විචල්ය ශ්‍රේණියක සමුච්චය ගොඩනඟන විට, ශ්රේණියේ ප්‍රභේද abscissa අක්ෂය ඔස්සේ ද, සමුච්චිත සංඛ්යාත ordinate අක්ෂය ඔස්සේ ද සැලසුම් කෙරේ.
පේළි හැදුවා ප්රමාණයෙන්, ලෙස හැඳින්වේ විචල්ය.
බෙදාහැරීමේ මාලාව සමන්විත වේ විකල්ප(ලාක්ෂණික අගයන්) සහ සංඛ්යාත(කණ්ඩායම් ගණන). සාපේක්ෂ අගයන් (කොටස්, ප්රතිශතය) ලෙස ප්රකාශිත සංඛ්යාත ලෙස හැඳින්වේ සංඛ්යාත. සියලුම සංඛ්යාතවල එකතුව බෙදාහැරීමේ ශ්රේණියේ පරිමාව ලෙස හැඳින්වේ.
වර්ගය අනුව, බෙදාහැරීමේ මාලාව බෙදා ඇත විවික්ත(විශේෂාංගයේ අඛණ්ඩ අගයන් මත ගොඩනගා ඇත) සහ පරතරය(අඛණ්ඩ ලක්ෂණ අගයන් මත ගොඩනගා ඇත).
විචලන මාලාවතීරු දෙකක් (හෝ පේළි) නියෝජනය කරයි; ඉන් එකක් විචල්ය ගුණාංගයේ තනි අගයන් සපයයි, ප්‍රභේද ලෙස හැඳින්වේ සහ X මගින් දැක්වේ; සහ අනෙක් - එක් එක් විකල්පය කොපමණ වාර ගණනක් (කොපමණ වාරයක්) සිදු වේද යන්න පෙන්වන නිරපේක්ෂ සංඛ්යා. දෙවන තීරුවේ දර්ශක සංඛ්යාත ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර ඒවා සාම්ප්‍රදායිකව f මගින් දැක්වේ. නැවත වරක්, දෙවන තීරුවේ, සම්පූර්ණ සංඛ්යාත ප්‍රමාණයේ තනි ප්‍රභේදවල සංඛ්‍යාතයේ කොටස සංලක්ෂිත සාපේක්ෂ දර්ශක ද භාවිතා කළ හැකි බව අපි සටහන් කරමු. මෙම සාපේක්ෂ දර්ශක සංඛ්යාත ලෙස හඳුන්වන අතර සාම්ප්‍රදායිකව ω මගින් දක්වනු ලැබේ මෙම නඩුවේ සියලුම සංඛ්යාතවල එකතුව එකකට සමාන වේ. කෙසේ වෙතත්, සංඛ්යාත ද ප්‍රතිශතයක් ලෙස ප්‍රකාශ කළ හැකි අතර පසුව සියලු සංඛ්යාතවල එකතුව 100% ලබා දෙයි.
විචල්ය ශ්රේණියේ ප්‍රභේද විවික්ත අගයන් ලෙස ප්‍රකාශ කරන්නේ නම්, එවැනි විචල්ය ශ්‍රේණියක් ලෙස හැඳින්වේ. විවික්ත.
අඛණ්ඩ විශේෂාංග සඳහා, විචල්ය ශ්රේණි ඉදි කර ඇත පරතරය, එනම්, ඒවායේ ඇති ගුණාංගයේ අගයන් "සිට ... දක්වා ..." දක්වා ප්‍රකාශ වේ. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, එවැනි පරතරයක ඇති ගුණාංගයේ අවම අගයන් පරතරයේ පහළ සීමාව ලෙසද, උපරිමය - ඉහළ සීමාව ලෙසද හැඳින්වේ.
අන්තර් විචල්ය ශ්රේණි ද පුළුල් පරාසයක් තුළ වෙනස් වන විවික්ත විශේෂාංග සඳහා ගොඩනගා ඇත. විරාම මාලාව විය හැක සමානහා අසමානවිරාමයන්.
සමාන විරාමවල අගය තීරණය කරන්නේ කෙසේදැයි සලකා බලන්න. අපි පහත අංකනය හඳුන්වා දෙමු:
මම- විරාම අගය;
- ජනගහනයේ ඒකක සඳහා ගුණාංගයේ උපරිම අගය;
- ජනගහනයේ ඒකක සඳහා ගුණාංගයේ අවම අගය;
n-වෙන් කර ඇති කණ්ඩායම් ගණන.
n දන්නේ නම්.
වෙන් කරන ලද කණ්ඩායම් ගණන කල්තියා තීරණය කිරීමට අපහසු නම්, 1926 දී ස්ටර්ගස් විසින් යෝජනා කරන ලද සූත්රය ප්‍රමාණවත් ජනගහන ප්‍රමාණයකින් පරතරයේ ප්‍රශස්ත ප්රමාණය ගණනය කිරීමට නිර්දේශ කළ හැකිය:
n = 1+ 3.322 log N, N යනු ජනගහනයේ සිටින සංඛ්‍යාවයි.
අධ්යයන වස්තුවේ ලක්ෂණ සැලකිල්ලට ගනිමින්, එක් එක් තනි නඩුවේ අසමාන කාල පරතරයන්හි අගය තීරණය වේ.
නියැදියේ සංඛ්යානමය ව්‍යාප්තියවිකල්ප ලැයිස්තුව සහ ඒවාට අනුරූප සංඛ්යාත (හෝ සාපේක්ෂ සංඛ්යාත) අමතන්න.
නියැදියේ සංඛ්යානමය ව්‍යාප්තිය වගුවක ස්වරූපයෙන් දැක්විය හැකිය, එහි පළමු තීරුවේ විකල්ප ඇත, සහ දෙවන - මෙම විකල්පයන්ට අනුරූප වන සංඛ්යාත. නි, හෝ සාපේක්ෂ සංඛ්යාත පයි .
නියැදියේ සංඛ්යානමය ව්‍යාප්තිය
විරාම ශ්රේණි යනු විචල්ය ශ්රේණි ලෙස හැඳින්වේ, ඒවායේ ගොඩනැගීමට පාදක වන ලක්ෂණවල අගයන් යම් සීමාවන් (විරාමයන්) තුළ ප්‍රකාශ වේ. මෙම නඩුවේ සංඛ්යාතයන් ගුණාංගයේ තනි අගයන් වෙත යොමු නොවේ, නමුත් සම්පූර්ණ පරතරය වෙත.
අන්තරාල බෙදාහැරීමේ ශ්රේණි අඛණ්ඩ ප්‍රමාණාත්මක ලක්ෂණ අනුව මෙන්ම විවික්ත ලක්ෂණ අනුව සැලකිය යුතු පරාසයක් තුළ වෙනස් වේ.
විරාම ශ්‍රේණිය නියැදියේ සංඛ්යානමය ව්‍යාප්තිය මගින් නිරූපණය කළ හැකි අතර, කාල පරතරයන් සහ ඒවායේ අනුරූප සංඛ්යාත දක්වයි. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, මෙම විරාමයට වැටුණු ප්රභේදයේ සංඛ්යාතවල එකතුව විරාමයේ සංඛ්යාතය ලෙස ගනු ලැබේ.
ප්‍රමාණාත්මක අඛණ්ඩ ලක්ෂණ අනුව කාණ්ඩගත කිරීමේදී, පරතරයේ ප්රමාණය තීරණය කිරීම වැදගත් වේ.
නියැදි මධ්යන්ය සහ නියැදි විචලනයට අමතරව, විචල්ය ශ්රේණියේ අනෙකුත් ලක්ෂණ ද භාවිතා වේ.
විලාසිතාවැඩිම සංඛ්යාතය ඇති ප්රභේදය නම් කරන්න.
විචලන මාලාව - මෙය ඕනෑම ප්‍රමාණාත්මක ලක්ෂණයක අගය අනුව අධ්‍යයනයට ලක්වන සංසිද්ධිය ව්‍යාප්තිය පෙන්වන සංඛ්යාන මාලාවකි. නිදසුනක් වශයෙන්, වයස අනුව රෝගීන්, ප්රතිකාර කාලය, බර අනුව අලුත උපන් බිළිඳුන් යනාදිය.
විකල්පය - සමූහගත කිරීම සිදු කරනු ලබන ලක්ෂණයේ තනි අගයන් (නිවේදනය කර ඇත වී ) .
සංඛ්යාතය- එක් හෝ තවත් ප්‍රභේදයක් කොපමණ වාරයක් සිදු වේද යන්න දැක්වෙන අංකයක් (නිවේදනය කෙරේ පී ) . සියලුම සංඛ්යාතවල එකතුව පෙන්වයි මුළු සංඛ්යාව නිරීක්ෂණ සහ දක්වනු ලැබේ n . විචල්ය ශ්රේණියේ විශාලතම හා කුඩාම ප්රභේදය අතර වෙනස හැඳින්වේ විෂය පථය හෝ විස්තාරය .
වෙනස්කම් මාලාවක් ඇත:
1. අඛණ්ඩ (විවික්ත) සහ අඛණ්ඩ.
කාණ්ඩගත කිරීමේ ගුණාංගය භාගික අගයන්ගෙන් (බර, උස, ආදිය) ප්‍රකාශ කළ හැකි නම් ශ්‍රේණිය අඛණ්ඩ ලෙස සලකනු ලැබේ, කණ්ඩායම් ගුණාංගය පූර්ණ සංඛ්යාවක් ලෙස පමණක් ප්‍රකාශ කරන්නේ නම් අඛණ්ඩව (ආබාධිත දින, හෘද ස්පන්දන ගණන, ආදිය).
2. සරල සහ බර.
සරල විචල්ය ශ්‍රේණියක් යනු විචල්ය ගුණාංගයක ප්‍රමාණාත්මක අගය එක් වරක් සිදුවන ශ්‍රේණියකි. බරිත විචල්ය ශ්‍රේණියක, වෙනස්වන ගති ලක්ෂණයක ප්‍රමාණාත්මක අගයන් නිශ්චිත සංඛ්‍යාතයකින් පුනරාවර්තනය වේ.
3. සමූහගත (විරාමය) සහ සමූහගත නොකළ.
සමූහගත ශ්‍රේණියක යම් කාල පරතරයක් තුළ ප්රමාණයෙන් ඒවා ඒකාබද්ධ කරන කණ්ඩායම්වලට විකල්ප ඇත. සමූහගත නොකළ ශ්‍රේණියක, එක් එක් ප්රභේදය යම් සංඛ්‍යාතයකට අනුරූප වේ.
4. ඉරට්ටේ සහ ඔත්තේ.
ඉරට්ටේ විචල්ය ශ්‍රේණිවල, සංඛ්යාතවල එකතුව හෝ සම්පූර්ණ නිරීක්ෂණ සංඛ්යාව ඉරට්ටේ සංඛ්යාවක් ලෙස, ඔත්තේ විචල්ය ශ්‍රේණිවල, ඔත්තේ සංඛ්යාවක් ලෙස ප්‍රකාශ කෙරේ.
5. සමමිතික සහ අසමමිතික.
සමමිතික විචල්ය ශ්‍රේණියක් තුළ, සියලු වර්ගවල සාමාන්ය සමපාත වේ හෝ ඉතා සමීප වේ (මාදිලිය, මධ්‍යස්ථ, අංක ගණිත මධ්යන්යය).
අධ්යයනය කරනු ලබන සංසිද්ධිවල ස්වභාවය අනුව, සංඛ්යානමය අධ්යයනයේ නිශ්චිත කාර්යයන් සහ අරමුණු මත මෙන්ම, මූලාශ්ර ද්රව්යයේ අන්තර්ගතය මත, සනීපාරක්ෂක සංඛ්යා ලේඛනවල පහත දැක්වෙන සාමාන්ය වර්ග භාවිතා වේ:
ව්යුහාත්මක සාමාන්යයන් (මාදිලිය, මධ්යන්ය);
අංක ගණිත මධ්යන්ය;
සාමාන්ය හර්මොනික්;
ජ්යාමිතික මධ්යන්ය;
මධ්යම ප්රගතිශීලී.
විලාසිතා (එම් පිළිබඳ ) - අධ්යයනය කරන ලද ජනගහනයේ බහුලව දක්නට ලැබෙන විචල්ය ලක්ෂණයේ අගය, i.e. ඉහළම සංඛ්යාතයට අනුරූප වන විකල්පය. එය කිසිදු ගණනය කිරීමකට යොමු නොවී, විචල්ය ශ්රේණියේ ව්‍යුහය මගින් සෘජුවම සොයාගත හැකිය. එය සාමාන්යයෙන් අංක ගණිත මධ්යන්යයට ඉතා ආසන්න අගයක් වන අතර ප්රායෝගිකව ඉතා පහසු වේ.
මධ්යන්ය (එම් ඊ ) - විචල්ය ශ්‍රේණිය (ශ්රේණිගත කිරීම, එනම් විකල්පයේ අගයන් ආරෝහණ හෝ අවරෝහණ අනුපිළිවෙලින් සකසා ඇත) සමාන අර්ධ දෙකකට බෙදීම. මධ්යන්යය ගණනය කරනු ලබන්නේ ඊනියා ඔත්තේ ශ්රේණි භාවිතා කර ඇති අතර, සංඛ්යාතයන් අනුක්රමයෙන් සාරාංශ කිරීමෙන් ලබා ගනී. සංඛ්යාතවල එකතුව ඉරට්ටේ සංඛ්‍යාවකට අනුරූප වේ නම්, මධ්‍යස්ථය සාම්ප්‍රදායිකව සාමාන්ය අගයන් දෙකේ අංක ගණිත මධ්යන්යය ලෙස ගනු ලැබේ.
ප්රකාරය සහ මධ්‍යස්ථය විවෘත ජනගහනයක් සම්බන්ධයෙන් යොදනු ලැබේ, i.e. විශාලතම හෝ කුඩාම විකල්පයන්ට නිශ්චිත ප්‍රමාණාත්මක ලක්ෂණයක් නොමැති විට (උදාහරණයක් ලෙස, වයස අවුරුදු 15 ට අඩු, 50 සහ ඊට වැඩි, ආදිය). මෙම අවස්ථාවේදී, අංක ගණිත මධ්යන්යය (පරාමිතික ලක්ෂණ) ගණනය කළ නොහැක.
සාමාන්යය මම අංක ගණිතය - වඩාත් පොදු අගය. සාමාන්යයෙන් අංක ගණිත මධ්යන්යය දක්වන්නේ එම්.
සරල අංක ගණිත මධ්යන්යය සහ බර මධ්යන්යය අතර වෙනස හඳුනා ගන්න.
සරල අංක ගණිත මධ්යන්යය ගණනය කරන ලද:
- එම අවස්ථා වලදී සම්පූර්ණත්වය එක් එක් ඒකකය සඳහා ගුණාංගයක් පිළිබඳ සරල දැනුම ලැයිස්තුවක් මගින් නිරූපණය වන විට;
- එක් එක් ප්රභේදයේ පුනරාවර්තන සංඛ්යාව තීරණය කළ නොහැකි නම්;
- එක් එක් ප්රභේදයේ පුනරාවර්තන සංඛ්යා එකිනෙකට සමීප නම්.
සරල ගණිත මධ්යන්යය සූත්රය මගින් ගණනය කරනු ලැබේ:
එහිදී V - ගුණාංගයේ තනි අගයන්; n යනු තනි අගයන් ගණන; 
- සාරාංශයේ ලකුණ.
මේ අනුව, සරල සාමාන්යය යනු නිරීක්ෂණ ගණනට ප්රභේදයේ එකතුවේ අනුපාතයයි.
උදාහරණයක්: නියුමෝනියාවෙන් පෙළෙන රෝගීන් 10 දෙනෙකු සඳහා ඇඳේ රැඳී සිටීමේ සාමාන්ය කාලය තීරණය කරන්න:
දින 16 - 1 රෝගියා; 17-1; 18-1; 19-1; 20-1; 21-1; 22-1; 23-1; 26-1; 31-1.
ඇඳ-දිනය.
අංක ගණිතමය බර සහිත සාමාන්යය ලක්ෂණයේ තනි අගයන් පුනරාවර්තනය වන අවස්ථාවන්හිදී ගණනය කරනු ලැබේ. එය ක්රම දෙකකින් ගණනය කළ හැකිය:
1. සූත්රය අනුව සෘජුව (අංක ගණිත මධ්යන්ය හෝ සෘජු ක්‍රමය):
,
P යනු එක් එක් විකල්පයේ නිරීක්ෂණවල සංඛ්යාතය (අවස්ථා ගණන) වේ.
මේ අනුව, බරිත අංක ගණිත මධ්යන්යය යනු නිරීක්ෂණ ගණනට සංඛ්‍යාතයෙන් ප්රභේදයේ නිෂ්පාදනවල එකතුවේ අනුපාතයයි.
2. කොන්දේසි සහිත සාමාන්යයෙන් බැහැරවීම් ගණනය කිරීමෙන් (මොහොතෙහි ක්රමයට අනුව).
බර අංක ගණිත මධ්යන්යය ගණනය කිරීමේ පදනම වන්නේ:
- ප්‍රමාණාත්මක ලක්ෂණයක ප්‍රභේද අනුව කාණ්ඩගත ද්‍රව්‍ය;
— සියලුම විකල්ප ලාක්ෂණික අගයේ (ශ්රේණිගත ශ්රේණියේ) ආරෝහණ හෝ අවරෝහණ අනුපිළිවෙලට සකස් කළ යුතුය.
මොහොතක ක්‍රමය අනුව ගණනය කිරීම සඳහා, පූර්වාවශ්‍යතාව වන්නේ සියලු විරාමවල ප්‍රමාණයම වේ.
අවස්ථා ක්රමයට අනුව, අංක ගණිත මධ්යන්යය ගණනය කරනු ලබන්නේ සූත්‍රයෙනි:
,
එහිදී M o යනු කොන්දේසි සහිත සාමාන්යය, එය බොහෝ විට ඉහළම සංඛ්යාතයට අනුරූප වන ලක්ෂණයේ අගය ලෙස ගනු ලැබේ, i.e. බොහෝ විට පුනරාවර්තනය වන (ප්රකාරය).
i - විරාම අගය.
a - විශාල කොන්දේසි සහිත සාමාන්ය විකල්පයක් සඳහා + ලකුණක් සහිත සහ - (-1, -2, ආදිය) සමඟ අනුක්‍රමික සංඛ්යා මාලාවක් (1, 2, ආදිය) වන සාමාන්‍යයේ කොන්දේසි වලින් කොන්දේසි සහිත අපගමනය සාමාන්‍යයට වඩා අඩු විකල්පයක් සඳහා අත්සන් කරන්න. කොන්දේසි සහිත සාමාන්යය ලෙස ගත් ප්‍රභේදයෙන් කොන්දේසි සහිත අපගමනය 0 වේ.
P - සංඛ්යාත.
- සම්පූර්ණ නිරීක්ෂණ ගණන හෝ n.
උදාහරණයක්: 8-හැවිරිදි පිරිමි ළමයින්ගේ සාමාන්ය උස සෘජුවම තීරණය කරන්න (වගුව 1).
වගුව 1
|
උස සෙ.මී |
පිරිමි පී |
මධ්යම විකල්පය V | |
මධ්යම ප්රභේදය, අන්තරයේ මැද, යාබද කණ්ඩායම් දෙකක ආරම්භක අගයන්හි අර්ධ එකතුව ලෙස අර්ථ දැක්වේ:
; 
ආදිය
VP නිශ්පාදනය ලබා ගන්නේ කේන්ද්‍රීය ප්‍රභේද සංඛ්යාත මගින් ගුණ කිරීමෙනි 
;
ආදිය එවිට ප්රතිඵලය නිෂ්පාදන එකතු කර ලබා ගන්න 
, නිරීක්ෂණ ගණන (100) මගින් බෙදනු ලබන අතර බර අංක ගණිත මධ්යන්යය ලබා ගනී.
සෙමී.
පහත වගුව 2 සම්පාදනය කර ඇති මොහොතක ක්‍රමය භාවිතයෙන් අපි එකම ගැටළුව විසඳන්නෙමු:
වගුව 2
|
උස සෙ.මී. (V) |
පිරිමි පී | ||
n=100 
අපි 122 M o ලෙස ගනිමු, මන්ද නිරීක්ෂණ 100 න් 33 දෙනෙකුගේ උස සෙන්ටිමීටර 122 කි. ඉහත කරුණු වලට අනුකූලව කොන්දේසි සහිත සාමාන්යයෙන් අපි කොන්දේසි සහිත අපගමනය (අ) සොයා ගනිමු. එවිට අපි සංඛ්යාත (aP) මගින් කොන්දේසි සහිත අපගමනයක ගුණිතය ලබාගෙන ලබාගත් අගයන් සාරාංශ කරමු ( 
) ප්රතිඵලය 17 වනු ඇත. අවසාන වශයෙන්, අපි දත්ත සූත්‍රයට ආදේශ කරමු:
විචල්ය ලක්ෂණයක් අධ්යයනය කරන විට, සාමාන්ය අගයන් ගණනය කිරීමට පමණක් සීමා නොවිය යුතුය. අධ්යයනය කරන ලද ලක්ෂණවල විවිධත්වයේ මට්ටම සංලක්ෂිත දර්ශක ගණනය කිරීම ද අවශ්ය වේ. සංඛ්යාන ජනගහනයේ සියලුම ඒකක සඳහා එක් හෝ තවත් ප්‍රමාණාත්මක ගුණාංගයක අගය සමාන නොවේ.
විචල්ය ශ්රේණියේ ලක්ෂණය වන්නේ සම්මත අපගමනය ( 
), එය අංක ගණිත මධ්යන්යයට සාපේක්ෂව අධ්යයනය කරන ලද ලක්ෂණවල විසිරීම (විසුරුම) පෙන්නුම් කරයි, i.e. විචල්ය ශ්රේණියේ උච්චාවචනය සංලක්ෂිත කරයි. එය සූත්රය මගින් සෘජුවම තීරණය කළ හැකිය:
සම්මත අපගමනය, සංඛ්යාතවල එකතුවෙන් බෙදූ සංඛ්යාත අනුව අංක ගණිත මධ්යන්ය (V-M) 2 සිට එක් එක් විකල්පයේ වර්ග අපගමනයන්හි නිෂ්පාදන එකතුවේ වර්ගමූලයට සමාන වේ ( 
).
ගණනය කිරීමේ උදාහරණය: දිනකට සායනයෙහි නිකුත් කරන ලද රෝගී කොළ සාමාන්ය සංඛ්යාව තීරණය කරන්න (වගුව 3).
වගුව 3
|
අසනීප දින ගණන නිකුත් කරන ලද පත්රිකා දිනකට වෛද්‍යවරයා (V) |
වෛද්‍යවරුන් සංඛ්යාව (P) | ||||
; 
හරය තුළ, නිරීක්ෂණ සංඛ්යාව 30 ට වඩා අඩු වන විට, එය අවශ්ය වේ 
ඒකකයක් ඉවතට ගන්න.
ශ්‍රේණිය සමාන කාල පරතරයකින් කාණ්ඩගත කර ඇත්නම්, සම්මත අපගමනය අවස්ථා ක්‍රමය මගින් තීරණය කළ හැකිය:
,
i යනු විරාමයේ අගය;
- කොන්දේසි සහිත සාමාන්යයෙන් කොන්දේසි සහිත අපගමනය;
P - අනුරූප විරාමවල සංඛ්යාත ප්රභේදය;
සම්පූර්ණ නිරීක්ෂණ ගණන වේ.
ගණනය කිරීමේ උදාහරණය : චිකිත්සක ඇඳක (මොහොතෙහි ක්රමයට අනුව) රෝගීන් රැඳී සිටින සාමාන්ය කාලසීමාව තීරණය කරන්න (වගුව 4):
වගුව 4
|
දින ගණන ඇඳ රැඳී සිටීම (V) |
අසනීප (P) |
|
|
|
;
බෙල්ජියම් සංඛ්‍යාලේඛනඥ A. Quetelet විසින් ස්කන්ධ සංසිද්ධිවල වෙනස්කම් K. Gauss සහ P. Laplace විසින් එකවරම පාහේ සොයා ගන්නා ලද දෝෂ බෙදා හැරීමේ නීතියට අවනත වන බව සොයා ගන්නා ලදී. මෙම ව්‍යාප්තිය නියෝජනය කරන වක්රය සීනුවක හැඩය ඇත. සාමාන්ය බෙදාහැරීමේ නීතියට අනුව, ලක්ෂණයේ තනි අගයන්හි විචල්‍යතාවය ඇත 
, ජනගහනයේ සියලුම ඒකක වලින් 99.73% ආවරණය කරයි.
ඔබ ගණිත මධ්යන්යයට 2 එකතු කළහොත් සහ අඩු කළහොත් ගණනය කරනු ලැබේ 
, එවිට විචල්ය ශ්රේණියේ සියලුම සාමාජිකයින්ගෙන් 95.45% ලබා ගත් අගයන් තුළ සිටින අතර, අවසාන වශයෙන්, අපි අංක ගණිත මධ්යන්යයට 1 එකතු කර අඩු කළහොත් 
, එවිට මෙම විචල්ය ශ්රේණියේ සියලුම සාමාජිකයින්ගෙන් 68.27% ලබා ගත් අගයන් තුළ වනු ඇත. විශාලත්වය සහිත වෛද්ය විද්යාවෙහි 
1
සම්මත සංකල්පය සමඟ සම්බන්ධ වේ. අංක ගණිත මධ්‍යන්‍යයෙන් අපගමනය 1 ට වඩා වැඩි ය 
, නමුත් 2 ට වඩා අඩුය 
උපසාමාන්‍ය වන අතර අපගමනය 2 ට වඩා වැඩි වේ 
අසාමාන්‍ය (සාමාන්‍යයට වඩා වැඩි හෝ පහළින්).
සනීපාරක්ෂක සංඛ්යා ලේඛනවලදී, භෞතික සංවර්ධනය, සෞඛ්ය සේවා ආයතනවල ක්රියාකාරකම් තක්සේරු කිරීම සහ මහජන සෞඛ්යය තක්සේරු කිරීම පිළිබඳ අධ්යයනය කිරීමේදී තුන්-සිග්මා රීතිය භාවිතා වේ. ජාතික ආර්ථිකයේ ප්‍රමිති සැකසීමේදී එම රීතියම බහුලව භාවිතා වේ.
මේ අනුව, සම්මත අපගමනය සේවය කරන්නේ:
- විචල්ය මාලාවක් විසුරුවා හැරීමේ මිනුම්;
- විවිධත්වයේ සංගුණකය මගින් තීරණය කරනු ලබන ගුණාංගවල විවිධත්වයේ ලක්ෂණ:
විචලනයේ සංගුණකය 20% ට වඩා වැඩි නම් - ශක්තිමත් විවිධත්වය, 20 සිට 10% දක්වා - මධ්යම, 10% ට වඩා අඩු - අක්ෂරවල දුර්වල විවිධත්වය. විචලනයේ සංගුණකය, යම් දුරකට, ගණිත මධ්යන්යයේ විශ්වසනීයත්වය සඳහා නිර්ණායකයකි.
කණ්ඩායම් ක්‍රමය ඔබට මැනීමට ද ඉඩ සලසයි විචලනය(විචල්යතාව, උච්චාවචනය) සංඥා. සාපේක්ෂව කුඩා ජනගහන ඒකක සංඛ්යාවක් සමඟ, විචලනය මනිනු ලබන්නේ ජනගහනය සෑදෙන ශ්රේණිගත ඒකක මාලාවක් මත ය. පේළිය ලෙස හැඳින්වේ ශ්රේණිගත කර ඇතඒකක ආරෝහණ (බැසීමේ) ලක්ෂණයෙන් සකසා ඇත්නම්.
කෙසේ වෙතත්, විවිධත්වයේ සංසන්දනාත්මක ලක්ෂණයක් අවශ්ය වූ විට ශ්රේණිගත ශ්රේණි තරමක් ඇඟවුම් කරයි. මීට අමතරව, බොහෝ අවස්ථාවන්හිදී නිශ්චිත මාලාවක ස්වරූපයෙන් නිරූපණය කිරීමට ප්රායෝගිකව අපහසු වන ඒකක විශාල සංඛ්යාවක් සමන්විත සංඛ්යානමය සමස්ථයන් සමඟ කටයුතු කිරීමට සිදු වේ. මේ සම්බන්ධයෙන්, සංඛ්‍යාලේඛන දත්ත සමඟ මූලික සාමාන්ය දැනුමක් සඳහා සහ විශේෂයෙන් සං signs ා වල විචලනය අධ්යයනය කිරීමට පහසුකම් සැලසීම සඳහා, අධ්යයනය කරන ලද සංසිද්ධි සහ ක්‍රියාවලීන් සාමාන්යයෙන් කණ්ඩායම් වලට ඒකාබද්ධ කර ඇති අතර කණ්ඩායම් කිරීමේ ප්‍රති results ල කණ්ඩායම් වගු ආකාරයෙන් සකස් කරනු ලැබේ. .
කණ්ඩායම් වගුවේ තීරු දෙකක් පමණක් තිබේ නම් - තෝරාගත් විශේෂාංගය (විකල්ප) සහ කණ්ඩායම් ගණන (සංඛ්යාත හෝ සංඛ්යාත) අනුව කණ්ඩායම් ලෙස හැඳින්වේ. ආසන්න බෙදා හැරීම.
බෙදා හැරීමේ පරාසය -එක් ගුණාංගයකට අනුව සරලම ආකාරයේ ව්යුහාත්මක කාණ්ඩගත කිරීම, ගුණාංගයේ ප්‍රභේද සහ සංඛ්යාත අඩංගු තීරු දෙකක් සහිත කණ්ඩායම් වගුවක ප්‍රදර්ශනය කෙරේ. බොහෝ අවස්ථාවන්හිදී, එවැනි ව්යුහාත්මක කණ්ඩායමක් සමඟ, i.e. බෙදාහැරීමේ ශ්රේණි සම්පාදනය කිරීමත් සමඟ ආරම්භක සංඛ්යානමය ද්‍රව්‍ය අධ්යයනය ආරම්භ වේ.
තෝරාගත් කණ්ඩායම් සංඛ්‍යාතවලින් පමණක් නොව අනෙකුත් සංඛ්යානමය දර්ශක මගින්ද සංලක්ෂිත වන්නේ නම් බෙදාහැරීමේ මාලාවක ස්වරූපයෙන් ව්යුහාත්මක කණ්ඩායම්කරණය සැබෑ ව්යුහාත්මක කණ්ඩායමක් බවට පත් කළ හැකිය. බෙදාහැරීමේ ශ්රේණියේ ප්රධාන අරමුණ වන්නේ විශේෂාංගවල විවිධත්වය අධ්යයනය කිරීමයි. බෙදාහැරීමේ ශ්රේණියේ න්‍යාය ගණිතමය සංඛ්‍යාලේඛන මගින් විස්තරාත්මකව වර්ධනය වේ.
බෙදාහැරීමේ මාලාව බෙදා ඇත ආරෝපණය(උදාහරණ වශයෙන්, ලිංගිකත්වය, ජාතිකත්වය, විවාහක තත්ත්වය ආදිය අනුව ජනගහනය බෙදීම) සහ විචල්ය(ප්‍රමාණාත්මක ලක්ෂණ අනුව කාණ්ඩගත කිරීම).
විචලන මාලාවයනු තීරු දෙකක් අඩංගු කණ්ඩායම් වගුවකි: එක් ප්‍රමාණාත්මක ගුණාංගයක් අනුව ඒකක සමූහයක් සහ එක් එක් කාණ්ඩයේ ඒකක ගණන. විචල්ය ශ්රේණියේ විරාම සාමාන්යයෙන් සමාන සහ වසා ඇත. විචල්ය ශ්‍රේණිය යනු සාමාන්ය ඒක පුද්ගල මුදල් ආදායම අනුව රුසියානු ජනගහනයේ පහත දැක්වෙන කාණ්ඩගත කිරීමයි (වගුව 3.10).
වගුව 3.10
2004-2009 දී සාමාන්ය ඒක පුද්ගල ආදායම අනුව රුසියාවේ ජනගහනය බෙදා හැරීම
|
සාමාන්ය ඒක පුද්ගල මුදල් ආදායම අනුව ජනගහන කණ්ඩායම්, රුබ්./මාසය |
සමූහයේ ජනගහනය, මුළු සංඛ්‍යාවෙන්% |
|||||
|
8 000,1-10 000,0 |
||||||
|
10 000,1-15 000,0 |
||||||
|
15 000,1-25 000,0 |
||||||
|
25,000.0 ට වැඩි |
||||||
|
සියලුම ජනගහනය |
||||||
විචල්ය ශ්රේණි, අනෙක් අතට, විවික්ත හා විරාමයට බෙදා ඇත. විවික්තවිචල්‍ය ශ්‍රේණිය පටු සීමාවන් තුළ වෙනස් වන විවික්ත ලක්ෂණවල ප්‍රභේද ඒකාබද්ධ කරයි. විවික්ත විචල්ය මාලාවක් සඳහා උදාහරණයක් වන්නේ ඔවුන් සිටින දරුවන්ගේ සංඛ්යාව අනුව රුසියානු පවුල් බෙදා හැරීමයි.
අන්තරයවිචල්‍ය ශ්රේණි පුළුල් පරාසයක් තුළ වෙනස් වන අඛණ්ඩ විශේෂාංග හෝ විවික්ත විශේෂාංගවල ප්‍රභේද ඒකාබද්ධ කරයි. විරාම ශ්‍රේණිය යනු සාමාන්ය ඒක පුද්ගල මුදල් ආදායම අනුව රුසියානු ජනගහනයේ ව්යාප්තියේ විචල්ය ශ්‍රේණියයි.
විවික්ත විචල්ය ශ්රේණි ප්රායෝගිකව බොහෝ විට භාවිතා නොවේ. මේ අතර, ඒවා සම්පාදනය කිරීම අපහසු නැත, මන්ද කණ්ඩායම්වල සංයුතිය තීරණය වන්නේ අධ්යයනය කරන ලද කණ්ඩායම් ලක්ෂණ ඇත්ත වශයෙන්ම ඇති විශේෂිත ප්‍රභේද මගිනි.
විරාම විචල්ය ශ්රේණි වඩාත් පුලුල්ව පැතිර ඇත. ඒවා සම්පාදනය කිරීමේදී, කණ්ඩායම් ගණන මෙන්ම ස්ථාපිත කළ යුතු කාල පරතරයන්ගේ ප්රමාණය පිළිබඳ දුෂ්කර ප්‍රශ්නය පැන නගී.
මෙම ගැටළුව විසඳීම සඳහා වන මූලධර්ම සංඛ්යානමය කණ්ඩායම් ගොඩනැගීමේ ක්‍රමවේදය පිළිබඳ පරිච්ඡේදයේ දක්වා ඇත (3.3 ඡේදය බලන්න).
විචල්ය ශ්රේණි යනු විවිධ තොරතුරු සංයුක්ත ස්වරූපයකට කඩා වැටීමේ හෝ සම්පීඩනය කිරීමේ මාධ්‍යයකි; ඒවා විචලනයේ ස්වභාවය පිළිබඳව තරමක් පැහැදිලි විනිශ්චයක් කිරීමට, අධ්‍යයනයට ලක්ව ඇති කට්ටලයට ඇතුළත් කර ඇති සංසිද්ධිවල සලකුණු වල වෙනස්කම් අධ්යයනය කිරීමට භාවිතා කළ හැකිය. නමුත් විචල්ය ශ්රේණියේ වැදගත්ම වැදගත්කම වන්නේ ඒවායේ පදනම මත විචලනයේ විශේෂ සාමාන්‍යකරණ ලක්ෂණ ගණනය කිරීමයි (7 වන පරිච්ඡේදය බලන්න).
අපි විවිධ නියැදි අගයන් කියමු විකල්පඅගයන් මාලාවක් සහ දක්වන්න: x 1 , x 2,…. මුලින්ම අපි හදමු පරාසයකවිකල්ප, i.e. ඒවා ආරෝහණ හෝ අවරෝහණ අනුපිළිවෙලට සකසන්න. එක් එක් විකල්පය සඳහා, එහි බර පෙන්නුම් කරයි, i.e. මුළු ජනගහනයට මෙම විකල්පයේ දායකත්වය සංලක්ෂිත අංකයකි. සංඛ්යාත හෝ සංඛ්යාත බර ලෙස ක්රියා කරයි.
සංඛ්යාතය n i විකල්පය x iසලකා බලන ලද නියැදි ජනගහනය තුළ මෙම විකල්පය කොපමණ වාර ගණනක් සිදුවේදැයි පෙන්වන අංකයක් ලෙස හැඳින්වේ.
සංඛ්යාතය හෝ සාපේක්ෂ සංඛ්යාතය w i විකල්පය x iසියලුම ප්‍රභේදවල සංඛ්යාතවල එකතුවට ප්‍රභේදයක සංඛ්‍යාතයේ අනුපාතයට සමාන සංඛ්යාවක් හැඳින්වේ. සංඛ්යාතය පෙන්නුම් කරන්නේ නියැදි ජනගහණයේ ඒකකවලින් කුමන කොටසකට ලබා දී ඇති ප්‍රභේදයක් තිබේද යන්නයි.
ආරෝහණ (හෝ අවරෝහණ) අනුපිළිවෙලින් ලියා ඇති අනුරූප බර (සංඛ්යාත හෝ සංඛ්යාත) සහිත විකල්ප අනුපිළිවෙල ලෙස හැඳින්වේ. විචල්ය මාලාවක්.
විචල්ය ශ්රේණි විවික්ත සහ විරාම වේ.
විවික්ත විචල්ය ශ්‍රේණියක් සඳහා, ගුණාංගයේ ලක්ෂ්‍ය අගයන් නියම කර ඇත, විරාම ශ්රේණි සඳහා, ගුණාංග අගයන් විරාම ස්වරූපයෙන් දක්වා ඇත. විචල්ය ශ්රේණියේ සංඛ්යාත හෝ සාපේක්ෂ සංඛ්යාත (සංඛ්යාත) ව්‍යාප්තිය පෙන්විය හැක, එක් එක් විකල්පය සඳහා දක්වන අගය අනුව - සංඛ්යාතය හෝ සංඛ්යාතය.
සංඛ්යාත ව්යාප්තියේ විවික්ත විචලන මාලාවපෙනෙන්නේ:
සංඛ්යාත සොයාගනු ලබන්නේ සූත්‍රයෙනි, i = 1, 2, ..., එම්.
w 1 +w 2 + … + w m = 1.
උදාහරණයක් 4.1. ලබා දී ඇති සංඛ්යා කට්ටලයක් සඳහා
4, 6, 6, 3, 4, 9, 6, 4, 6, 6
සංඛ්යාත සහ සංඛ්යාත ව්‍යාප්තිවල විවික්ත විචල්ය මාලාවක් ගොඩනඟන්න.
විසඳුමක් . ජනගහනයේ පරිමාව වේ n= 10. විවික්ත සංඛ්යාත ව්‍යාප්ති ශ්රේණියේ ආකෘතිය ඇත
විරාම ශ්‍රේණියට සමාන පටිගත කිරීමක් ඇත.
සංඛ්යාත ව්යාප්තියේ අන්තර් විචල්ය ශ්‍රේණියලෙස ලියා ඇත:
සියලුම සංඛ්යාතවල එකතුව මුළු නිරීක්ෂණ ගණනට සමාන වේ, i.e. මුළු පරිමාව: n = n 1 +n 2 + … + nඑම් .
සාපේක්ෂ සංඛ්යාත (සංඛ්යාත) බෙදා හැරීමේ අන්තර් විචල්ය මාලාවපෙනෙන්නේ:
සංඛ්යාතය සූත්රය මගින් සොයා ගැනේ , i = 1, 2, ..., එම්.
සියලුම සංඛ්යාතවල එකතුව එකකට සමාන වේ: w 1 +w 2 + … + w m = 1.
බොහෝ විට ප්රායෝගිකව, විරාම ශ්රේණි භාවිතා වේ. සංඛ්යානමය නියැදි දත්ත විශාල ප්‍රමාණයක් තිබේ නම් සහ ඒවායේ අගයන් අත්තනෝමතික ලෙස කුඩා ප්‍රමාණයකින් එකිනෙකට වෙනස් වේ නම්, මෙම දත්ත සඳහා වන විවික්ත ශ්‍රේණිය වැඩිදුර පර්යේෂණ සඳහා තරමක් අපහසු සහ අපහසු වනු ඇත. මෙම අවස්ථාවේදී, දත්ත සමූහකරණය භාවිතා කරනු ලැබේ, i.e. ගුණාංගයේ සියලුම අගයන් අඩංගු පරතරය අර්ධ කාල පරතරයන් කිහිපයකට බෙදා ඇති අතර, එක් එක් පරතරය සඳහා සංඛ්යාතය ගණනය කිරීමෙන්, විරාම ශ්‍රේණියක් ලබා ගනී. අර්ධ විරාමවල දිග සමාන වනු ඇතැයි උපකල්පනය කරමින්, විරාම ශ්‍රේණියක් තැනීමේ යෝජනා ක්‍රමය වඩාත් විස්තරාත්මකව ලියා තබමු.
2.2 විරාම මාලාවක් ගොඩනැගීම
විරාම මාලාවක් තැනීමට, ඔබට අවශ්ය වන්නේ:
විරාම ගණන තීරණය කරන්න;
පරතරයේ දිග තීරණය කරන්න;
අක්ෂයේ විරාම වල පිහිටීම තීරණය කරන්න.
තීරණය කිරීම සඳහා විරාම ගණන කේ ස්ටර්ගස් සූත්‍රයක් ඇත, ඒ අනුව
,
කොහෙද n- සමස්තයේ පරිමාව.
උදාහරණයක් ලෙස, ලාක්ෂණික අගයන් (විචල්ය) 100 ක් තිබේ නම්, ඉන්ටර්වල් ශ්‍රේණියක් තැනීම සඳහා විරාම ගණනට සමාන කාල පරතරයන් ගැනීම රෙකමදාරු කරනු ලැබේ.
කෙසේ වෙතත්, බොහෝ විට ප්රායෝගිකව කාල පරතරයන් ගණන පර්යේෂකයා විසින්ම තෝරා ගනු ලැබේ, මෙම සංඛ්යාව ඉතා විශාල නොවිය යුතු බව සලකන අතර එමඟින් ශ්‍රේණිය අපහසු නොවන නමුත් ඉතා කුඩා නොවන අතර එමඟින් සමහර ගුණාංග නැති නොවේ. බෙදා හැරීම.
විරාම දිග h පහත සූත්රය මගින් තීරණය කරනු ලැබේ:
,
කොහෙද xඋපරිම සහ x min යනු පිළිවෙලින් විකල්පවල විශාලතම සහ කුඩාම අගයන් වේ.
වටිනාකම 
කියලා මහා පරිමාණයෙන්පේළිය.
අන්තරයන් තමන් විසින්ම ගොඩනඟා ගැනීම සඳහා, ඔවුන් විවිධ ආකාරවලින් ඉදිරියට යයි. පහසුම ක්රම වලින් එකක් පහත දැක්වේ. අගය පළමු අන්තරයේ ආරම්භය ලෙස ගනු ලැබේ 
. එවිට විරාමවල ඉතිරි මායිම් සූත්රය මගින් සොයා ගැනේ. පැහැදිලිවම, අවසාන විරාමයේ අවසානය ඒ m+1 කොන්දේසිය සපුරාලිය යුතුය
අන්තරාලවල සියලුම මායිම් සොයාගත් පසු, මෙම විරාමවල සංඛ්යාත (හෝ සංඛ්යාත) තීරණය කරනු ලැබේ. මෙම ගැටළුව විසඳීම සඳහා, ඔවුන් සියලු විකල්පයන් දෙස බලා නිශ්චිත කාල පරාසයකට වැටෙන විකල්ප ගණන තීරණය කරයි. උදාහරණයක් භාවිතා කරමින් විරාම ශ්‍රේණියක සම්පූර්ණ ඉදිකිරීම අපි සලකා බලමු.
උදාහරණයක් 4.2. පහත දැක්වෙන සංඛ්‍යාලේඛන සඳහා, ආරෝහණ අනුපිළිවෙලින් ලියා ඇති අතර, 5 ට සමාන විරාම ගණන සහිත විරාම මාලාවක් සාදන්න:
11, 12, 12, 14, 14, 15, 21, 21, 22, 23, 25, 38, 38, 39, 42, 42, 44, 45, 50, 50, 55, 56, 58, 60, 62, 63, 65, 68, 68, 68, 70, 75, 78, 78, 78, 78, 80, 80, 86, 88, 90, 91, 91, 91, 91, 91, 93, 93, 95, 96.
විසඳුමක්. සමස්ත n=50 ප්‍රභේද අගයන්.
ගැටළු තත්ත්වය තුළ කාල පරතරයන් ගණන නියම කර ඇත, i.e. කේ=5.
විරාම වල දිග වේ 
.
විරාම වල මායිම් නිර්වචනය කරමු:
ඒ 1 = 11 − 8,5 = 2,5; ඒ 2 = 2,5 + 17 = 19,5; ඒ 3 = 19,5 + 17 = 36,5;
ඒ 4 = 36,5 + 17 = 53,5; ඒ 5 = 53,5 + 17 = 70,5; ඒ 6 = 70,5 + 17 = 87,5;
ඒ 7 = 87,5 +17 = 104,5.
විරාම වල සංඛ්යාතය තීරණය කිරීම සඳහා, මෙම පරතරයට වැටෙන විකල්ප ගණන අපි ගණන් කරමු. උදාහරණයක් ලෙස, විකල්ප 11, 12, 12, 14, 14, 15 පළමු පරතරය 2.5 සිට 19.5 දක්වා වැටේ.ඒවායේ අංකය 6 වේ, එබැවින් පළමු පරතරයේ සංඛ්යාතය වේ. n 1=6. පළමු අන්තරයේ සංඛ්යාතය වේ 
. ප්‍රභේද 21, 21, 22, 23, 25, එහි සංඛ්යාව 5 වන අතර, 19.5 සිට 36.5 දක්වා වූ දෙවන පරතරයට වැටේ, එබැවින්, දෙවන විරාමයේ සංඛ්යාතය වේ n 2 =5, සහ සංඛ්යාතය 
. සියලුම කාල අන්තරයන් සඳහා සමාන සංඛ්යාත සහ සංඛ්යාත සොයා ගැනීමෙන්, අපි පහත විරාම ශ්රේණි ලබා ගනිමු.
සංඛ්යාත ව්යාප්තියේ විරාම ශ්‍රේණියට පෝරමය ඇත:
සංඛ්යාතවල එකතුව 6+5+9+11+8+11=50 වේ.
සංඛ්යාත ව්යාප්තියේ විරාම ශ්‍රේණියට පෝරමය ඇත:
සංඛ්යාතවල එකතුව 0.12+0.1+0.18+0.22+0.16+0.22=1 වේ. ■
විරාම ශ්‍රේණියක් තැනීමේදී, සලකා බලනු ලබන ගැටලුවේ නිශ්චිත කොන්දේසි මත පදනම්ව, වෙනත් නීති යෙදිය හැකිය, එනම්
1. අන්තරාල විචල්ය ශ්‍රේණිය විවිධ දිග වල අර්ධ විරාම වලින් සමන්විත විය හැක. අසමාන කාල අන්තරයන් මඟින් විශේෂාංගයක අසමාන ව්‍යාප්තියක් සහිත සංඛ්යානමය ජනගහනයක ගුණාංග හුදකලා කිරීමට හැකි වේ. නිදසුනක් ලෙස, අන්තරාලවල මායිම් නගරවල වැසියන්ගේ සංඛ්යාව තීරණය කරන්නේ නම්, මෙම ගැටලුවේදී දිගට අසමාන කාල පරතරයන් භාවිතා කිරීම යෝග්ය වේ. නිසැකවම, කුඩා නගර සඳහා, වැසියන්ගේ සංඛ්යාවෙහි කුඩා වෙනසක් ද වැදගත් වන අතර, විශාල නගර සඳහා, දස සහ සිය ගණනක වැසියන්ගේ වෙනසක් සැලකිය යුතු නොවේ. අර්ධ විරාමවල අසමාන දිග සහිත විරාම ශ්රේණි ප්රධාන වශයෙන් සාමාන්ය සංඛ්‍යාලේඛන න්‍යාය තුළ අධ්යයනය කරනු ලබන අතර ඒවා සලකා බැලීම මෙම අත්පොතෙහි විෂය පථයෙන් ඔබ්බට වේ.
2. ගණිතමය සංඛ්‍යාලේඛනවලදී, විරාම ශ්රේණි සමහර විට සලකා බලනු ලැබේ, ඒ සඳහා පළමු අන්තරයේ වම් මායිම –∞ ලෙස උපකල්පනය කරනු ලබන අතර, අවසාන අන්තරයේ දකුණු මායිම +∞ වේ. සංඛ්යානමය ව්‍යාප්තිය න්‍යායික ව්‍යාප්තියට සමීප කිරීම සඳහා මෙය සිදු කෙරේ.
3. විරාම ශ්‍රේණියක් තැනීමේදී, සමහර ප්‍රභේදයක අගය අන්තර මායිම සමඟ හරියටම සමපාත වන බව පෙනී යා හැක. මෙම නඩුවේ හොඳම දේ පහත පරිදි වේ. එවැනි එක් අහඹු සිදුවීමක් පමණක් තිබේ නම්, එහි සංඛ්යාතය සමඟ සලකා බලනු ලබන ප්රභේදය විරාම ශ්රේණියේ මැදට ආසන්නව පිහිටි විරාමයට වැටී ඇති බව සලකන්න, එවැනි ප්‍රභේද කිහිපයක් තිබේ නම්, එක්කෝ ඒවා සියල්ලම කාල පරතරයන්ට පවරනු ලැබේ. මෙම ප්රභේදයේ දකුණට හෝ සියල්ල වමට.
4. විරාම ගණන සහ ඒවායේ දිග තීරණය කිරීමෙන් පසුව, විරාමවල පිහිටීම වෙනත් ආකාරයකින් කළ හැකිය. විකල්පවල සලකා බැලූ සියලුම අගයන් වල අංක ගණිත මධ්යන්යය සොයන්න x cf. සහ මෙම නියැදි මධ්‍යයන්‍ය යම් කාල පරතරයක් තුළ ඇති ආකාරයට පළමු විරාමය ගොඩනඟන්න. මේ අනුව, අපි පරතරය ලබා ගනිමු x cf. - 0.5 hකලින් xසාමාන්ය + 0.5 h. ඉන්පසු වමට සහ දකුණට, විරාමයේ දිග එකතු කිරීම, අපි තෙක් ඉතිරි කාල පරතරයන් ගොඩනඟමු xවිනාඩි සහ x max පිළිවෙලින් පළමු සහ අවසාන කාල අන්තරයන්ට වැටෙන්නේ නැත.
5. අන්තරයන් විශාල සංඛ්යාවක් සහිත විරාම ශ්රේණි පහසුවෙන් සිරස් අතට ලියා ඇත, i.e. පළමු පේළියේ නොව පළමු තීරුවේ කාල පරතරයන් සහ දෙවන තීරුවේ සංඛ්යාත (හෝ සංඛ්යාත) වාර්තා කරන්න.
නියැදි දත්ත සමහර අහඹු විචල්‍යයක අගයන් ලෙස සැලකිය හැක x. අහඹු විචල්‍යයකට තමන්ගේම බෙදා හැරීමේ නීතියක් ඇත. විවික්ත සසම්භාවී විචල්‍යයක ව්‍යාප්ති නියමය බෙදාහැරීමේ ශ්‍රේණියක් ලෙසත්, අඛණ්ඩ එකක් සඳහා ව්‍යාප්ති ඝනත්ව ශ්‍රිතය භාවිතයෙන්ත් දැක්විය හැකි බව සම්භාවිතා න්‍යායෙන් දන්නා කරුණකි. කෙසේ වෙතත්, විවික්ත සහ අඛණ්ඩ අහඹු විචල්‍යයන් සඳහා පවතින විශ්ව ව්‍යාප්ති නීතියක් ඇත. මෙම බෙදාහැරීමේ නීතිය බෙදාහැරීමේ කාර්යයක් ලෙස ලබා දී ඇත එෆ්(x) = පී(x<x) නියැදි දත්ත සඳහා, ඔබට බෙදා හැරීමේ ශ්‍රිතයේ ප්‍රතිසමයක් නියම කළ හැකිය - ආනුභවික බෙදා හැරීමේ ශ්‍රිතය.
සමාන තොරතුරු.
