Знайти точку перетину прямих. Геометричні алгоритми. Координати точки перетину графіків функцій

Якщо дві прямі не паралельні, то вони неухильно перетнуться в одній точці. Виявити координати крапкиперетину 2-х прямих можна як графічним, і арифметичним методом, Залежно від того, які дані надає завдання.

Вам знадобиться

• - Дві прямі на кресленні;
• - Рівняння 2-х прямих.

Інструкція

1. Якщо прямі вже написані на графіку, виявіть рішення графічним методом. Для цього продовжіть обидві або одну з прямих так, щоб вони перетнулися. Після цього позначте точку перетину і опустіть перпендикуляр на вісь абсцис (як водиться, ох).

2. За допомогою шкали поділів, помічених на осі, знайдіть значення x для цієї точки. Якщо вона знаходиться на позитивному напрямку осі (праворуч від нульової позначки), то її значення буде правильним, у протилежному випадку – негативним.

3. Правильно також знайдіть ординату точки перетину. Якщо проекція точки розташована вище за нульову позначку – вона правильна, якщо нижче – негативна. Запишіть координати точки у вигляді (х, у) – це рішення рішення.

4. Якщо прямі задані у вигляді формул у=kх+b, ви можете вирішити задачу графічним методом: накресліть прямі на координатній сітці і виявіть рішення описаним вище методом.

5. Спробуйте знайти рішення задачі, застосовуючи дані формули. Для цього складіть із цих рівнянь систему та розв'яжіть її. Якщо рівняння дано як у=kх+b, примітивно прирівняйте обидві частини з і виявіть х. Після цього підставте значення х одне з рівнянь і виявіть у.

6. Можна знайти рішення шляхом Крамера. У такому разі приведіть рівняння до виду А1х+В1у+С1=0 та А2х+В2у+С2=0. Відповідно до формули Крамера х=-(С1В2-С2В1)/(А1В2-А2В1), а у=-(А1С2-А2С1)/(А1В2-А2В1). Зверніть увагу, якщо знаменник дорівнює нулю, то прямі паралельні або збігаються і, відповідно, не перетинаються.

7. Якщо вам дано прямі в просторі в канонічному вигляді, перед тим, як почати пошук рішення, перевірте, чи прямі не паралельні. Для цього оцініть показники перед t, якщо вони пропорційні, скажімо, x=-1+3t, y=7+2t, z=2+t та x=-1+6t, y=-1+4t, z=-5 +2t, то прямі паралельні. Крім того, прямі можуть схрещуватися, у цьому випадку система не матиме рішення.

8. Якщо ви дізналися, що прямі перетинаються, знайдіть точку перетину. Спочатку прирівняйте змінні з різних прямих, умовно замінивши t на u для першої прямої та на v для 2-ї прямої. Скажімо, якщо вам дано прямі x=t-1, y=2t+1, z=t+2 та x=t+1, y=t+1, z=2t+8 ви отримаєте вирази типу u-1=v +1, 2u+1=v+1, u+2=2v+8.

9. Виразіть з одного рівняння u, підставте в інше та виявіть v (у даному завданні u=-2,v=-4). Тепер, щоб знайти точку перетину, підставте отримані значення замість t (байдуже, у перше чи друге рівняння) і отримайте координати точки x=-3, y=-3, z=0.

Для розгляду 2-х перетинаються прямихДосить розгляду їх у площині, оскільки дві прямі, що перетинаються, лежать в одній площині. Знаючи рівняння цих прямих, можна знайти координату їх точки перетину .

Вам знадобиться

• рівняння прямих

Інструкція

1. У декартових координатах загальне рівняння прямої виглідить так: Ax+By+C = 0. Нехай дві прямі перетинаються. Рівняння першої прямий має вигляд Ax+By+C = 0, 2-ї прямий – Dx+Ey+F = 0. Усі показники (A, B, C, D, E, F) мали бути зацікавленими заданы. Чтобы виявити точку перетинуцих прямихНеобхідно вирішити систему цих 2-х лінійних рівнянь.

2. Для вирішення перше рівняння комфортно помножити на E, а друге – на B. У результаті рівняння матимуть вигляд: AEx+BEy+CE = 0, DBx+EBy+FB = 0. Пізніше віднімання другого рівняння з першого вийде: (AE- DB) x = FB-CE. Звідси, x = (FB-CE)/(AE-DB). За аналогією перше рівняння початкової системиможна помножити на D, друге – на A, потім знову від першого відняти другого. У результаті, y = (CD-FA)/(AE-DB). Отримані значення x і y будуть координатами точки перетину прямих .

3. Рівняння прямихтакож можуть записуватись через кутовий показник k, рівний тангенсукута нахилу прямої. І тут рівняння прямої має вигляд y = kx+b. Нехай зараз рівняння першої прямої - y = k1 * x + b1, а 2-ї прямої - y = k2 * x + b2.

4. Якщо прирівняти праві частини цих 2-х рівнянь, то вийде: k1 * x + b1 = k2 * x + b2. Звідси легко отримати, що x = (b1-b2)/(k2-k1). Після підстановки цього значення x у кожну з рівнянь, вийде: y = (k2*b1-k1*b2)/(k2-k1). Значення x та y будуть задавати координати точки перетину прямих.У разі, якщо дві прямі паралельні або совпадають, то вони не мають загальних точок або мають дуже багато загальних точок відповідно. У цих випадках k1 = k2 знаменники для координат точок перетинубудуть звертатися в нуль, отже, система не матиме класичного рішення. Система може мати лише одне класичне рішення, Що безумовно, тому що дві несхожі і не паралельні один одному прямі можуть мати лише одну точку перетину .

Відео на тему

Нехай дані дві прямі і потрібно знайти їх точку перетину. Так як ця точка належить кожній із двох даних прямих, то її координати повинні задовольняти як рівняння першої прямої, так і рівняння другої прямої.

Отже, щоб знайти координати точки перетину двох прямих, слід розв'язати систему рівнянь

Приклад 1. Знайти точку перетину прямих та

Рішення. Координати шуканої точки перетину ми знайдемо, розв'язавши систему рівнянь

Точка перетину М має координати

Покажемо, як збудувати пряму за її рівнянням. Для побудови прямої достатньо знати дві її точки. Щоб побудувати кожну з цих точок, ми задаємося довільним значенням однієї з координат, а потім з рівняння знаходимо відповідне значення іншої координати.

Якщо в загальному рівнянніпрямий обидва коефіцієнти при поточних координатах не дорівнюють нулю, то для побудови цієї прямої найкраще знаходити точки її перетину з осями координат.

Приклад 2. Побудувати пряму.

Рішення. Знаходимо точку перетину даної прямої з віссю абсцис. Для цього вирішуємо спільно їх рівняння:

і отримуємо. Таким чином, знайдено точку М (3; 0) перетину даної прямої з віссю абсцис (рис. 40).

Вирішуючи потім спільно рівняння даної прямої та рівняння осі ординат

ми знаходимо точку перетину прямої з віссю ординат. Нарешті, будуємо пряму за її двома точками М і

Урок із серії «Геометричні алгоритми»

Здрастуйте, дорогий читачу!

Продовжимо знайомитись з геометричними алгоритмами. На минулому уроці ми виявили рівняння прямої лінії за координатами двох точок. У нас вийшло рівняння виду:

Сьогодні ми напишемо функцію, яка за рівняннями двох прямих ліній знаходитиме координати їхньої точки перетину (якщо така є). Для перевірки рівності дійсних чисел будемо використовувати спеціальну функцію RealEq().

Крапки на площині описуються парою дійсних чисел. При використанні речового типу операції порівняння краще оформити спеціальними функціями.

Причина відома: на типі Real у системі програмування Паскаль немає відношення порядку, тому записи виду a = b, де a та b речові числа, краще не використовувати.
Сьогодні ми введемо у вжиток функцію RealEq() для реалізації операції "=" (суворо одно):

Function RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (Строго одно) begin RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Завдання. Встановлено рівняння двох прямих: і . Знайти точку їхнього перетину.

Рішення. Очевидне рішення полягає в тому, щоб вирішити систему рівнянь прямих: Давайте перепишемо цю систему дещо інакше:
(1)

Введемо позначення: , , . Тут D - визначник системи, а - визначники, що виходять в результаті заміни стовпця коефіцієнтів за відповідним невідомим стовпцем вільних членів. Якщо , то система (1) є певною, тобто має єдине рішення. Це рішення можна знайти за такими формулами: , , які називаються формулами Крамера. Нагадаю, як обчислюється визначник другого порядку. У визначнику розрізняють дві діагоналі: головну та побічну. Головна діагональ складається з елементів, взятих у напрямку від лівого верхнього кута визначника в нижній правий кут. Побічна діагональ – з правого верхнього до нижнього лівого. Визначник другого порядку дорівнює добутку елементів головної діагоналі мінус добуток елементів побічної діагоналі.

У програмному коді для перевірки перевірки рівності використовується функція RealEq(). Обчислення над речовими числами виробляються з точністю до _Eps = 1e-7.

Program geom2; Const _Eps: Real = 1e-7; (точність обчислень) var a1, b1, c1, a2, b2, c2, x, y, d, dx, dy: Real; Function RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (Строго одно) begin RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Ми склали програму, за допомогою якої можна, знаючи рівняння ліній, знайти координати їхньої точки перетину.

За допомогою цього онлайн калькулятора можна знайти точку перетину прямих на площині. Надається докладне рішення з поясненнями. Для знаходження координат точки перетину прямих задайте вигляд рівняння прямих ("канонічний", "параметричний" або "загальний"), введіть коефіцієнти рівнянь прямих у комірки та натискайте на кнопку "Вирішити". Теоретичну частину та чисельні приклади дивіться нижче.

×

Попередження

Очистити всі комірки?

Закрити Очистити

Інструкція щодо введення даних.Числа вводяться як цілих чисел (приклади: 487, 5, -7623 тощо.), десяткових чисел (напр. 67., 102.54 тощо.) чи дробів. Дроб треба набирати у вигляді a/b, де a і b (b>0) цілі або десяткові числа. Приклади 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 тощо.

Точка перетину прямих на площині – теорія, приклади та рішення

1. Крапка перетину прямих, заданих у загальному вигляді.

Oxy L 1 і L 2:

Побудуємо розширену матрицю:

Якщо B" 2 = 0 і С" 2 = 0, то система лінійних рівнянь має множину рішень. Отже прямі L 1 і L 2 збігаються. Якщо B" 2 = 0 і С" 2 ≠0, то система несумісна і, отже, прямі паралельні і не мають спільної точки. Якщо ж B" 2 ≠0, то система лінійних рівнянь має єдине рішення. З другого рівняння знаходимо y: y=С" 2 /B" 2 і підставляючи отримане значення перше рівняння знаходимо x: x=−З 1 −B 1 y. Отримали точку перетину прямих L 1 і L 2: M(x, y).

2. Крапка перетину прямих, заданих у канонічному вигляді.

Нехай задана декартова прямокутна система координат Oxyі нехай у цій системі координат задані прямі L 1 і L 2:

Відкриємо дужки та зробимо перетворення:

Аналогічним методом отримаємо загальне рівняння прямої (7):

З рівнянь (12) випливає:

Як знайти точку перетину прямих, заданих у канонічному вигляді, описано вище.

4. Точка перетину прямих, заданих у різних видах.

Нехай задана декартова прямокутна система координат Oxyі нехай у цій системі координат задані прямі L 1 і L 2:

Знайдемо t:

A 1 x 2 +A 1 mt+B 1 y 2 +B 1 pt+C 1 =0,

Вирішимо систему лінійних рівнянь щодо x, y. Для цього скористаємося методом Гауса. Отримаємо:

Приклад 2. Знайти точку перетину прямих L 1 і L 2:

L 1: 2x+3y+4=0,

(20)

(21)

Для знаходження точки перетину прямих L 1 і L 2 потрібно вирішити систему лінійних рівнянь (20) та (21). Уявимо рівняння в матричному вигляді.

При вирішенні деяких геометричних завдань методом координат доводиться знаходити координати точки перетину прямих. Найчастіше доводиться шукати координати точки перетину двох прямих на площині, проте іноді виникає потреба у визначенні координат точки перетину двох прямих у просторі. У цій статті ми розберемося зі знаходженням координат точки, в якій перетинаються дві прямі.

Навігація на сторінці.

Крапка перетину двох прямих – визначення.

Давайте спочатку дамо визначення точки перетину двох прямих.

Таким чином, щоб знайти координати точки перетину двох прямих, визначених на площині загальними рівняннями, потрібно вирішити систему, що складається з рівнянь заданих прямих.

Розглянемо рішення прикладу.

приклад.

Знайдіть точку перетину двох прямих, визначених у прямокутній системі координат на площині рівняннями x-9y+14=0 та 5x-2y-16=0 .

Рішення.

Нам дано два загальні рівняння прямих, складемо з них систему: . Рішення отриманої системи рівнянь легко знаходяться, якщо дозволити її перше рівняння щодо змінної x і підставити цей вираз до другого рівняння:

Знайдене рішення системи рівнянь дає нам шукані координати точки перетину двох прямих.

Відповідь:

M 0 (4, 2) x-9y+14=0 та 5x-2y-16=0 .

Отже, знаходження координат точки перетину двох прямих, визначених загальними рівняннями на площині, зводиться до розв'язання системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими змінними. А як бути, якщо прямі на площині задані не загальними рівняннями, а рівняннями іншого виду (дивіться види рівняння прямої на площині)? У цих випадках можна спочатку привести рівняння прямих до загального вигляду, а вже після цього знаходити координати точки перетину.

приклад.

та .

Рішення.

Перед знаходженням координат точки перетину заданих прямих наведемо їх рівняння до загального вигляду. Перехід від параметричних рівнянь прямої до загального рівняння цієї прямої виглядає так:

Тепер проведемо необхідні дії з канонічним рівнянням прямої:

Таким чином, шукані координати точки перетину прямих є рішенням системи рівнянь виду . Використовуємо для її вирішення:

Відповідь:

M 0 (-5, 1)

Існує ще один спосіб знаходження координат точки перетину двох прямих на площині. Його зручно застосовувати, коли одна з прямих задана параметричними рівняннями виду , а інша – рівнянням прямої іншого виду. В цьому випадку в інше рівняння замість змінних x та y можна підставити вирази і , Звідки можна буде отримати значення , яке відповідає точці перетину заданих прямих. При цьому точка перетину прямих має координати.

Знайдемо координати точки перетину прямих із попереднього прикладу цим способом.

приклад.

Визначте координати точки перетину прямих та .

Рішення.

Підставимо в рівняння прямої вирази:

Розв'язавши отримане рівняння, отримуємо . Це значення відповідає загальній точці прямих та . Обчислюємо координати точки перетину, підставивши параметричні рівняння прямої:
.

Відповідь:

M 0 (-5, 1).

Для повноти картини слід обговорити ще один момент.

Перед знаходженням координат точки перетину двох прямих на площині корисно переконатися, що задані прямі дійсно перетинаються. Якщо з'ясується, що вихідні прямі збігаються або паралельні, то про знаходження координат точки перетину таких прямих не може бути мови.

Можна, звичайно, обійтися і без такої перевірки, а одразу скласти систему рівнянь виду і вирішити її. Якщо система рівнянь має єдине рішення, воно дає координати точки, у якій вихідні прямі перетинаються. Якщо система рівнянь рішень немає, можна робити висновок про паралельність вихідних прямих (оскільки немає такої пари дійсних чисел x і y , яка б задовольняла одночасно обом рівнянням заданих прямих). З наявності нескінченної множини рішень системи рівнянь випливає, що вихідні прямі мають нескінченно багато загальних точок, тобто збігаються.

Розглянемо приклади, які підходять під ці ситуації.

приклад.

З'ясуйте, чи прямі і , і якщо перетинаються, то знайдіть координати точки перетину.

Рішення.

Заданим рівнянням прямих відповідають рівняння і . Вирішимо систему, складену з цих рівнянь .

Очевидно, що рівняння системи лінійно виражаються один через одного (друге рівняння системи виходить з першого множенням обох його частин на 4), отже, система рівнянь має безліч рішень. Таким чином, рівняння визначають одну і ту ж пряму, і ми не можемо говорити про знаходження координат точки перетину цих прямих.

Відповідь:

Рівняння і визначають у прямокутній системі координат Oxy ту саму пряму, тому ми можемо говорити про знаходження координат точки перетину.

приклад.

Знайдіть координати точки перетину прямих і якщо це можливо.

Рішення.

Умова завдання припускає, що прямі можуть бути такими, що не перетинаються. Складемо систему даних рівнянь. Застосуємо для її вирішення, тому що він дозволяє встановити спільність або несумісність системи рівнянь, а у разі її спільності знайти рішення:

Останнє рівняння системи після прямого ходу методу Гауса звернулося в неправильну рівність, отже, система рівнянь немає рішень. Звідси можна дійти невтішного висновку, що вихідні прямі паралельні, і ми можемо говорити про знаходження координат точки перетину цих прямих.

Другий спосіб розв'язання.

Давайте з'ясуємо, чи перетинаються задані прямі.

- нормальний вектор прямий , а вектор є нормальним вектором прямої . Перевіримо виконання і : рівність Правильно, оскільки , отже, нормальні вектори заданих прямих колінеарні. Тоді ці прямі паралельні або збігаються. Отже, ми можемо знайти координати точки перетину вихідних прямих.

Відповідь:

Координати точки перетину заданих прямих знайти неможливо, оскільки ці прямі паралельні.

приклад.

Знайдіть координати точки перетину прямих 2x-1=0 і якщо вони перетинаються.

Рішення.

Складемо систему із рівнянь, які є загальними рівняннями заданих прямих: . Визначник основної матриці цієї системи рівнянь відмінний від нуля Тому система рівнянь має єдине рішення, що свідчить про перетин заданих прямих.

Для знаходження координат точки перетину прямих нам потрібно вирішити систему:

Отримане рішення дає нам координати точки перетину прямих, тобто, 2x-1=0 та .

Відповідь:

Знаходження координат точки перетину двох прямих у просторі.

Координати точки перетину двох прямих тривимірному просторі знаходяться аналогічно.

Розглянемо рішення прикладів.

приклад.

Знайдіть координати точки перетину двох прямих, заданих у просторі рівняннями і .

Рішення.

Складемо систему рівнянь із рівнянь заданих прямих: . Рішення цієї системи дасть нам шукані координати точки перетину прямих у просторі. Знайдемо рішення записаної системи рівнянь.

Основна матриця системи має вигляд , а розширена - .

Визначимо А і ранг матриці T. Використовуємо