Comment diviser les centièmes. Opérations avec des décimaux

Beaucoup d'élèves du secondaire oublient comment faire une division longue. Ordinateurs, calculatrices, Téléphones portables et d'autres appareils sont devenus si étroitement intégrés dans nos vies que l'élémentaire opérations mathématiques conduisent parfois à la stupeur. Et comment les gens se sont-ils passés de tous ces avantages il y a quelques décennies ? Vous devez d'abord vous souvenir des principaux concepts mathématiques nécessaires à la division. Ainsi, le dividende est le nombre qui sera divisé. Le diviseur est le nombre par lequel diviser. Ce qui en résulte est appelé privé. Pour la division en ligne, un symbole similaire à deux-points est utilisé - ":", et lors de la division en colonne, l'icône "∟" est utilisée, elle est également appelée coin d'une autre manière.

Il convient également de rappeler que toute division peut être vérifiée par multiplication. Pour vérifier le résultat de la division, il suffit de le multiplier par un diviseur, en conséquence, vous devriez obtenir un nombre qui correspond au dividende (a : b \u003d c ; donc, c * b \u003d a). Maintenant, qu'est-ce qu'une fraction décimale. Un nombre décimal est obtenu en divisant une unité par 0,0, 1000, etc. L'écriture de ces nombres et les opérations mathématiques avec eux sont exactement les mêmes qu'avec des nombres entiers. Lors de la division fractions décimales il n'est pas nécessaire de se rappeler où se trouve le dénominateur. Tout devient si clair lors de l'écriture d'un nombre. Tout d'abord, un entier est écrit, et après la virgule décimale, ses dixièmes, centièmes, millièmes sont écrits. Le premier chiffre après la virgule correspond aux dizaines, le deuxième aux centaines, le troisième aux milliers, etc.

Chaque élève doit savoir comment diviser des nombres décimaux par des nombres décimaux. Si le dividende et le diviseur sont multipliés par le même nombre, la réponse, c'est-à-dire le quotient, ne changera pas. Si la fraction décimale est multipliée par 0,0, 1000, etc., la virgule après l'entier changera de position - elle se déplacera vers la droite d'autant de chiffres qu'il y a de zéros dans le nombre par lequel elle a été multipliée. Par exemple, lors de la multiplication d'un nombre décimal par 10, la virgule se déplacera d'un nombre vers la droite. 2,9 : 6,7 - nous multiplions à la fois le diviseur et le divisible par 100, nous obtenons 6,9 : 3687. Il est préférable de multiplier de sorte que lorsqu'il est multiplié par celui-ci, au moins un nombre (diviseur ou dividende) n'a pas de chiffres après la virgule , c'est-à-dire faire d'au moins un nombre un entier. Quelques autres exemples d'enveloppement de virgules après un entier : 9.2 : 1.5 = 2492 : 2.5 ; 5.4:4.8 = 5344:74598.

Attention, la fraction décimale ne changera pas de valeur si des zéros lui sont affectés à droite, par exemple 3,8 = 3,0. De plus, la valeur de la fraction ne changera pas si les zéros à la toute fin du nombre en sont supprimés à droite : 3,0 = 3,3. Cependant, les zéros au milieu du nombre ne peuvent pas être supprimés - 3.3. Comment diviser un nombre décimal par entier naturel dans une colonne ? Pour diviser une fraction décimale en un nombre naturel dans une colonne, vous devez faire l'entrée appropriée avec un coin, diviser. Dans une virgule privée, vous devez la mettre lorsque la division d'un entier est terminée. Par exemple, 5,4|2 14 7,2 18 18 0 4 4 0 Si le premier chiffre du dividende est inférieur au diviseur, les chiffres suivants sont utilisés jusqu'à ce que la première action soit possible.

À ce cas, le premier chiffre du dividende est 1, il ne peut pas être divisé par 2, par conséquent, deux chiffres 1 et 5 sont utilisés à la fois pour la division : 15 est divisé par 2 avec le reste, il s'avère en privé 7, et 1 reste Ensuite, nous utilisons le chiffre suivant du dividende - 8. Nous descendons à 1 et divisons 18 par 2. Dans le quotient, nous écrivons le nombre 9. Il ne reste plus rien dans le reste, nous écrivons donc 0 Le nombre restant 4 du dividende descend et se divise par le diviseur, c'est-à-dire par 2. Dans le quotient, nous écrivons 2, et le reste est à nouveau 0. Le résultat d'une telle division est le nombre 7,2. C'est ce qu'on appelle le privé. Il est assez facile de résoudre la question de savoir comment diviser une fraction décimale par une fraction décimale dans une colonne, si vous connaissez quelques astuces. Diviser des nombres décimaux dans votre tête est parfois assez difficile, c'est pourquoi la division longue est utilisée pour faciliter le processus.

Avec cette division, toutes les mêmes règles s'appliquent que lors de la division d'une fraction décimale par un nombre entier ou lors de la division en une chaîne. A gauche dans la ligne, écrivez le dividende, puis mettez le symbole "coin" puis écrivez le diviseur et commencez à diviser. Pour faciliter la division et le transfert vers un endroit pratique, une virgule après un nombre entier peut être multipliée par des dizaines, des centaines ou des milliers. Par exemple, 9,2 : 1,5 \u003d 24920 : 125. Attention, les deux fractions sont multipliées par 0,0, 1000. Si le dividende a été multiplié par 10, alors le diviseur est également multiplié par 10. Dans cet exemple le dividende et le diviseur ont tous deux été multipliés par 100. Ensuite, le calcul est effectué de la même manière que dans l'exemple de division d'une fraction décimale par un nombre naturel. Afin de diviser par 0,1 ; 0,1 ; 0,1, etc., il faut multiplier à la fois le diviseur et le dividende par 0,0, 1000.

Assez souvent, lors de la division dans un quotient, c'est-à-dire dans la réponse, des fractions infinies sont obtenues. Dans ce cas, il faut arrondir le nombre aux dixièmes, centièmes ou millièmes. Dans ce cas, la règle s'applique, si après le nombre auquel vous devez arrondir la réponse est inférieur ou égal à 5, alors la réponse est arrondie vers le bas, si plus de 5 - vers le haut. Par exemple, vous souhaitez arrondir le résultat de 5,5 à des millièmes. Cela signifie que la réponse après la virgule doit se terminer par le chiffre 6. Après 6, il y a 9, ce qui signifie que la réponse est arrondie et nous obtenons 5,7. Mais s'il était nécessaire d'arrondir la réponse 5,5 non pas aux millièmes, mais aux dixièmes, la réponse ressemblerait à ceci - 5,2. Dans ce cas, 2 n'a pas été arrondi car il est suivi de 3 et il est inférieur à 5.

Dans cet article, nous allons analyser une action aussi importante avec des fractions décimales que la division. On formule d'abord principes généraux, nous analyserons ensuite comment diviser correctement les fractions décimales par une colonne à la fois en d'autres fractions et en nombres naturels. Ensuite, nous analyserons la division des fractions ordinaires en décimales et vice versa, et à la fin nous verrons comment diviser correctement les fractions se terminant par 0, 1, 0, 01, 100, 10, etc.

Ici, nous ne prenons que les cas avec des fractions positives. S'il y a un moins avant la fraction, alors pour agir avec, vous devez étudier le matériel sur la division des nombres rationnels et réels.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Toutes les fractions décimales, à la fois finies et périodiques, ne sont qu'une forme spéciale d'écriture des fractions ordinaires. Par conséquent, les mêmes principes s'appliquent à eux qu'à leurs fractions ordinaires correspondantes. Ainsi, nous réduisons tout le processus de division des fractions décimales à leur remplacement par des fractions ordinaires, suivi d'un calcul par des méthodes déjà connues de nous. Prenons un exemple précis.

Exemple 1

Divisez 1,2 par 0,48.

La solution

Nous écrivons les fractions décimales sous la forme de fractions ordinaires. Nous serons en mesure de:

1 , 2 = 12 10 = 6 5

0 , 48 = 48 100 = 12 25 .

Ainsi, nous devons diviser 6 5 par 12 25 . Nous croyons:

1, 2 : 0, 48 = 6 2 : 12 25 = 6 5 25 12 = 6 25 5 12 = 5 2

À partir de la fraction impropre résultante, vous pouvez sélectionner la partie entière et obtenir nombre mixte 2 1 2, ou vous pouvez le représenter sous la forme d'une fraction décimale afin qu'il corresponde aux nombres d'origine : 5 2 \u003d 2, 5. Comment faire cela, nous l'avons déjà écrit plus tôt.

Réponse: 1 , 2: 0 , 48 = 2 , 5 .

Exemple 2

Calculez combien seront 0 , (504) 0 , 56 .

La solution

Tout d'abord, nous devons convertir une fraction décimale périodique en fraction ordinaire.

0 , (504) = 0 , 504 1 - 0 , 001 = 0 , 504 0 , 999 = 504 999 = 56 111

Après cela, nous traduirons également la fraction décimale finale sous une autre forme : 0, 56 = 56 100. Nous avons maintenant deux nombres avec lesquels il nous sera facile d'effectuer les calculs nécessaires :

0 , (504) : 1 , 11 = 56 111 : 56 100 = 56 111 100 56 = 100 111

Nous avons un résultat que nous pouvons également convertir en décimal. Pour ce faire, divisez le numérateur par le dénominateur en utilisant la méthode des colonnes :

Réponse: 0 , (504) : 0 , 56 = 0 , (900) .

Si, dans l'exemple de la division, nous avons rencontré des fractions décimales non périodiques, alors nous agirons un peu différemment. Nous ne pouvons pas les ramener aux fractions ordinaires habituelles, donc lors de la division, nous devons d'abord les arrondir à un certain chiffre. Cette action doit être effectuée à la fois avec le dividende et avec le diviseur : nous arrondirons également la fraction finie ou périodique existante dans un souci de précision.

Exemple 3

Trouvez combien sera 0, 779 ... / 1, 5602.

La solution

Tout d'abord, nous arrondissons les deux fractions aux centièmes. C'est ainsi que nous passons de fractions infinies non récurrentes à des décimales finies :

0 , 779 … ≈ 0 , 78

1 , 5602 ≈ 1 , 56

On peut continuer les calculs et obtenir un résultat approximatif : 0, 779... : 1, 5602 ≈ 0, 78 : 1, 56 = 78100 : 156100 = 78100 100156 = 78156 = 12 = 0,5.

La précision du résultat dépendra du degré d'arrondi.

Réponse: 0 , 779 … : 1 , 5602 ≈ 0 , 5 .

Comment diviser un nombre naturel par un nombre décimal et vice versa

L'approche de la division dans ce cas est presque la même: nous remplaçons les fractions finies et périodiques par des fractions ordinaires et arrondissons les fractions infinies non périodiques. Commençons par l'exemple de la division avec un nombre naturel et une fraction décimale.

Exemple 4

Divisez 2,5 par 45.

La solution

Apportons 2, 5 sous la forme d'une fraction ordinaire: 255 10 \u003d 51 2. Ensuite, il suffit de le diviser par un nombre naturel. Nous savons déjà comment faire ceci :

25, 5 : 45 = 51 2 : 45 = 51 2 1 45 = 17 30

Si nous traduisons le résultat en notation décimale, alors on obtient 0 , 5 (6) .

Réponse: 25 , 5: 45 = 0 , 5 (6) .

La méthode de division par une colonne est bonne non seulement pour les nombres naturels. Par analogie, nous pouvons également l'utiliser pour les fractions. Ci-dessous, nous indiquerons la séquence d'actions à effectuer pour cela.

Définition 1

Pour diviser une colonne de fractions décimales par des nombres naturels, vous devez :

1. Ajoutez quelques zéros à la fraction décimale à droite (pour la division, nous pouvons en ajouter n'importe quel nombre dont nous avons besoin).

2. Diviser une fraction décimale par un nombre naturel à l'aide d'un algorithme. Lorsque la division de la partie entière de la fraction est terminée, nous mettons une virgule dans le quotient résultant et continuons à compter.

Le résultat d'une telle division peut être une fraction décimale périodique finie ou infinie. Cela dépend du reste : si c'est zéro, alors le résultat sera fini, et si les restes commencent à se répéter, alors la réponse sera une fraction périodique.

Prenons quelques tâches à titre d'exemple et essayons de compléter ces étapes avec des numéros spécifiques.

Exemple 5

Calculez combien sera 65 , 14 4 .

La solution

Nous utilisons la méthode des colonnes. Pour ce faire, ajoutez deux zéros à la fraction et obtenez la fraction décimale 65, 1400, qui sera égale à l'original. Maintenant, nous écrivons une colonne pour diviser par 4 :

Le nombre résultant sera le résultat de la division de la partie entière dont nous avons besoin. Nous mettons une virgule, la séparant, et continuons:

Nous avons atteint le reste zéro, par conséquent, le processus de division est terminé.

Réponse: 65 , 14: 4 = 16 , 285 .

Exemple 6

Divisez 164,5 par 27.

La solution

On divise d'abord la partie fractionnaire et on obtient :

Nous séparons le chiffre obtenu par une virgule et continuons à diviser :

Nous voyons que les restes ont commencé à se répéter périodiquement, et les nombres neuf, deux et cinq ont commencé à alterner dans le quotient. Nous nous arrêterons là et écrirons la réponse sous la forme d'une fraction périodique 6, 0 (925) .

Réponse: 164 , 5: 27 = 6 , 0 (925) .

Une telle division peut être réduite au processus de recherche d'une fraction décimale privée et d'un nombre naturel déjà décrit ci-dessus. Pour ce faire, nous devons multiplier le dividende et le diviseur par 10, 100, etc. pour que le diviseur devienne un nombre naturel. Ensuite, nous effectuons la séquence d'actions ci-dessus. Cette approche est possible grâce aux propriétés de division et de multiplication. Sous forme littérale, nous les avons écrits comme ceci :

a : b = (a 10) : (b 10) , a : b = (a 100) : (b 100) et ainsi de suite.

Formulons la règle :

Définition 2

Pour diviser une fraction décimale finale par une autre, vous devez :

1. Déplacez la virgule dans le dividende et le diviseur vers la droite du nombre de caractères nécessaires pour transformer le diviseur en nombre naturel. S'il n'y a pas assez de signes dans le dividende, nous y ajoutons des zéros du côté droit.

2. Après cela, nous divisons la fraction par une colonne par le nombre naturel résultant.

Examinons un problème spécifique.

Exemple 7

Divisez 7 287 par 2, 1.

Solution : Pour faire du diviseur un nombre naturel, nous devons déplacer la virgule d'un caractère vers la droite. Nous sommes donc passés à la division de la fraction décimale 72, 87 par 21. Écrivons les nombres obtenus dans une colonne et calculons

Réponse: 7 , 287: 2 , 1 = 3 , 47

Exemple 8

Calculez 16 , 3 0 , 021 .

La solution

Nous devrons déplacer la virgule à trois chiffres. Il n'y a pas assez de chiffres dans le diviseur pour cela, ce qui signifie que vous devez utiliser des zéros supplémentaires. Nous pensons que le résultat final sera :

Nous voyons la répétition périodique des résidus 4 , 19 , 1 , 10 , 16 , 13 . Le quotient répète 1 , 9 , 0 , 4 , 7 et 5 . Alors notre résultat est la décimale périodique 776 , (190476) .

Réponse: 16 , 3: 0 , 021 = 776 , (190476)

La méthode décrite par nous vous permet de faire le contraire, c'est-à-dire de diviser un nombre naturel par une fraction décimale finale. Voyons comment c'est fait.

Exemple 9

Calculez combien seront 3 5 , 4 .

La solution

Évidemment, nous devrons déplacer la virgule vers la droite d'un caractère. Après cela, nous pouvons commencer à diviser 30 , 0 par 54 . Écrivons les données dans une colonne et calculons le résultat :

La répétition du reste nous donne le nombre 0 , (5) , qui est un décimal périodique.

Réponse: 3: 5 , 4 = 0 , (5) .

Comment diviser des nombres décimaux par 1000, 100, 10, etc.

Selon les règles déjà étudiées pour diviser les fractions ordinaires, diviser une fraction en dizaines, centaines, milliers revient à la multiplier par 1/1000, 1/100, 1/10, etc. Il s'avère que pour effectuer la division , dans ce cas, il suffit de déplacer la virgule vers La bonne quantité chiffres. S'il n'y a pas assez de valeurs dans le nombre à transférer, vous devez ajouter le nombre requis de zéros.

Exemple 10

Ainsi, 56, 21 : 10 = 5, 621, et 0, 32 : 100 000 = 0, 0000032.

Dans le cas de nombres décimaux infinis, on fait de même.

Exemple 11

Par exemple, 3 , (56) : 1000 = 0 , 003 (56) et 593 , 374 ... : 100 = 5 , 93374 ... .

Comment diviser des nombres décimaux par 0,001, 0,01, 0,1, etc.

En utilisant la même règle, nous pouvons également diviser des fractions par valeurs indiquées. Cette action sera similaire à la multiplication par 1000 , 100 , 10 respectivement. Pour ce faire, nous déplaçons la virgule à un, deux ou trois chiffres, selon les conditions du problème, et ajoutons des zéros s'il n'y a pas assez de chiffres dans le nombre.

Exemple 12

Par exemple, 5 739 : 0, 1 = 57, 39 et 0, 21 : 0, 00001 = 21 000.

Cette règle s'applique également aux nombres décimaux infinis. Nous vous conseillons seulement de faire attention à la période de la fraction obtenue dans la réponse.

Donc, 7 , 5 (716) : 0 , 01 = 757 , (167) , car après avoir déplacé la virgule dans la notation décimale 7 , 5716716716 ... deux chiffres vers la droite, nous avons obtenu 757 , 167167 ... .

Si nous avons des fractions non périodiques dans l'exemple, alors tout est plus simple : 394 , 38283 ... : 0 , 001 = 394382 , 83 ... .

Comment diviser un nombre fractionnaire ou une fraction commune par un nombre décimal et vice versa

Nous réduisons également cette action aux opérations avec des fractions ordinaires. Pour ce faire, vous devez remplacer Nombres décimaux fractions ordinaires correspondantes et écrivez le nombre fractionnaire sous la forme d'une fraction impropre.

Si nous divisons une fraction non périodique par un nombre ordinaire ou mixte, nous devons faire le contraire en remplaçant fraction commune ou un nombre mixte avec leur fraction décimale correspondante.

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Si votre enfant ne peut en aucun cas apprendre à diviser des nombres décimaux, ce n'est pas une raison pour le considérer comme incapable de faire des mathématiques.

Très probablement, il n'a tout simplement pas compris comment cela a été fait. Il est nécessaire d'aider l'enfant et de la manière la plus simple, presque ludique, de lui parler des fractions et des opérations avec elles. Et pour cela, nous devons nous souvenir de quelque chose nous-mêmes.

Les expressions fractionnaires sont utilisées lorsqu'il s'agit de nombres non entiers. Si la fraction est inférieure à un, elle décrit une partie de quelque chose, si elle est supérieure, plusieurs parties entières et une autre pièce. Les fractions sont décrites par 2 valeurs : le dénominateur, qui explique en combien de parties égales le nombre est divisé, et le numérateur, qui indique de combien de parties nous parlons.

Disons que vous coupez un gâteau en 4 parts égales et que vous en donnez 1 à vos voisins. Le dénominateur sera 4. Et le numérateur dépend de ce que nous voulons décrire. Si nous parlons de combien a été donné aux voisins, alors le numérateur est 1, et si nous parlons de combien il reste, alors 3.

Dans l'exemple du secteur, le dénominateur est 4 et dans l'expression "1 jour - 1/7 de la semaine" - 7. Une expression fractionnaire avec n'importe quel dénominateur est une fraction ordinaire.

Les mathématiciens, comme tout le monde, essaient de se faciliter la vie. C'est pourquoi les fractions décimales ont été inventées. En eux, le dénominateur est 10 ou des multiples de 10 (100, 1000, 10 000, etc.), et ils s'écrivent comme suit : la composante entière du nombre est séparée de la fraction par une virgule. Par exemple, 5,1 correspond à 5 entiers et 1 dixième, et 7,86 correspond à 7 entiers et 86 centièmes.

Une petite digression - pas pour vos enfants, mais pour vous-même. Il est d'usage dans notre pays de séparer la partie fractionnaire par une virgule. A l'étranger, selon une tradition établie, il est d'usage de le séparer par un point. Par conséquent, si vous rencontrez un tel balisage dans un texte étranger, ne soyez pas surpris.

Division de fractions

Chaque opération arithmétique avec des nombres similaires a ses propres caractéristiques, mais nous allons maintenant essayer d'apprendre à diviser des fractions décimales. Il est possible de diviser une fraction par un nombre naturel ou par une autre fraction.

Afin de faciliter la maîtrise de cette opération arithmétique, il est important de retenir une chose simple.

En apprenant à manier la virgule, vous pouvez utiliser les mêmes règles de division que pour les entiers.

Pensez à diviser une fraction par un nombre naturel. La technologie de division en colonne devrait déjà vous être connue à partir du matériel précédemment couvert. La procédure se déroule de manière similaire. Le dividende est divisible par le diviseur. Dès que le tour atteint le dernier signe avant la virgule, la virgule est également placée dans le privé, puis la division se déroule de la manière habituelle.

Autrement dit, mis à part la démolition de la virgule - la division la plus courante, et la virgule n'est pas très difficile.

Division d'une fraction par une fraction

Les exemples dans lesquels vous devez diviser une valeur fractionnaire par une autre semblent être très compliqués. Mais en fait, ils ne sont pas du tout difficiles à gérer. Il sera beaucoup plus facile de diviser une fraction décimale par une autre si vous vous débarrassez de la virgule dans le diviseur.

Comment faire? Si vous devez disposer 90 crayons dans 10 boîtes, combien y aura-t-il de crayons dans chacune d'elles ? 9. Multiplions les deux nombres par 10 - 900 crayons et 100 boîtes. Combien dans chacun ? 9. Le même principe s'applique lors de la division d'un nombre décimal.

Le diviseur supprime complètement la virgule, tandis que le dividende déplace la virgule vers la droite d'autant de caractères qu'il y en avait auparavant dans le diviseur. Et puis la division habituelle en colonne est effectuée, dont nous avons discuté ci-dessus. Par exemple:

25,6/6,4 = 256/64 = 4;

10,24/1,6 = 102,4/16 =6,4;

100,725/1,25 =10072,5/125 =80,58.

Le dividende doit être multiplié et multiplié par 10 jusqu'à ce que le diviseur devienne un entier. Par conséquent, il peut avoir des zéros supplémentaires à droite.

40,6/0,58 =4060/58=70.

Aucun problème avec ça. Rappelez-vous l'exemple du crayon - la réponse ne change pas si vous augmentez les deux nombres du même montant. Une fraction ordinaire est plus difficile à diviser, surtout s'il n'y a pas de facteurs communs au numérateur et au dénominateur.

Diviser la décimale à cet égard est beaucoup plus pratique. La partie la plus délicate ici est l'astuce de la virgule, mais comme nous l'avons vu, c'est facile à réaliser. En étant capable de transmettre cela à votre enfant, vous lui apprenez ainsi à diviser des fractions décimales.

Ayant maîtrisé cette règle simple, votre fils ou votre fille se sentiront beaucoup plus en confiance dans les cours de mathématiques et, qui sait, peut-être se laisseront-ils emporter par cette matière. entrepôt mathématique l'esprit se manifeste rarement dès la petite enfance, parfois vous avez besoin d'un coup de pouce, d'intérêt.

En aidant votre enfant à faire ses devoirs, vous améliorerez non seulement ses performances scolaires, mais élargirez également le cercle de ses intérêts, ce dont il vous sera reconnaissant au fil du temps.

A l'école, ces gestes sont étudiés du plus simple au plus complexe. Par conséquent, il est absolument nécessaire de bien maîtriser l'algorithme pour effectuer ces opérations sur exemples simples. Ainsi, plus tard, il n'y aura aucune difficulté à diviser les fractions décimales en une colonne. Après tout, c'est la version la plus difficile de ces tâches.

Ce sujet nécessite une étude cohérente. Les lacunes dans les connaissances sont ici inacceptables. Ce principe devrait être appris par chaque élève déjà en première année. Par conséquent, si vous sautez plusieurs leçons d'affilée, vous devrez maîtriser vous-même la matière. Sinon, plus tard, il y aura des problèmes non seulement avec les mathématiques, mais aussi avec d'autres matières qui y sont liées.

Deuxième état requis le succès en mathématiques consiste à passer aux exemples de division longue seulement après avoir maîtrisé l'addition, la soustraction et la multiplication.

Il sera difficile pour un enfant de diviser s'il n'a pas appris la table de multiplication. Au fait, il vaut mieux l'apprendre de la table de Pythagore. Il n'y a rien de superflu, et la multiplication est plus facile à digérer dans ce cas.

Comment les nombres naturels sont-ils multipliés dans une colonne ?

S'il y a une difficulté à résoudre des exemples dans une colonne pour la division et la multiplication, alors il est nécessaire de commencer à résoudre le problème avec la multiplication. Parce que la division est l'inverse de la multiplication :

Avant de multiplier deux nombres, vous devez les regarder attentivement. Choisissez celui avec plus de chiffres (plus long), notez-le d'abord. Placez le second en dessous. De plus, les numéros de la catégorie correspondante doivent être sous la même catégorie. Autrement dit, le chiffre le plus à droite du premier nombre doit être au-dessus du chiffre le plus à droite du second.
Multipliez le chiffre le plus à droite du nombre du bas par chaque chiffre du nombre du haut, en commençant par la droite. Écrivez la réponse sous la ligne de manière à ce que son dernier chiffre soit sous celui par lequel elle a été multipliée.
Répétez la même chose avec l'autre chiffre du numéro du bas. Mais le résultat de la multiplication doit être décalé d'un chiffre vers la gauche. Dans ce cas, son dernier chiffre sera sous celui par lequel il a été multiplié.

Continuez cette multiplication dans une colonne jusqu'à ce que les nombres du deuxième multiplicateur soient épuisés. Maintenant, ils doivent être pliés. Ce sera la réponse souhaitée.

Algorithme de multiplication dans une colonne de fractions décimales

Premièrement, il est supposé imaginer que ce ne sont pas des fractions décimales qui sont données, mais des fractions naturelles. Autrement dit, supprimez-les des virgules, puis procédez comme décrit dans le cas précédent.

La différence commence lorsque la réponse est écrite. À ce stade, il est nécessaire de compter tous les nombres qui se trouvent après la virgule décimale dans les deux fractions. C'est le nombre d'entre eux dont vous avez besoin pour compter à partir de la fin de la réponse et y mettre une virgule.

Il convient d'illustrer cet algorithme par un exemple : 0,25 x 0,33 :

Comment commencer à apprendre à diviser ?

Avant de résoudre des exemples de division dans une colonne, il est censé se souvenir des noms des nombres qui se trouvent dans l'exemple de division. Le premier d'entre eux (celui qui divise) est le divisible. Le second (divisé par lui) est un diviseur. La réponse est privée.

Après cela sur un simple exemple de ménage Expliquons l'essence de cette opération mathématique. Par exemple, si vous prenez 10 bonbons, il est facile de les répartir également entre maman et papa. Mais que se passe-t-il si vous devez les distribuer à vos parents et à votre frère ?

Après cela, vous pourrez vous familiariser avec les règles de division et les maîtriser sur exemples concrets. Les plus simples au début, puis les plus complexes.

Algorithme pour diviser les nombres en une colonne

Premièrement, nous présentons la procédure pour les nombres naturels divisibles par un nombre à un chiffre. Ils serviront également de base aux diviseurs à plusieurs chiffres ou aux fractions décimales. Ce n'est qu'alors qu'il est censé apporter de petites modifications, mais nous en reparlerons plus tard :

Avant de faire une division dans une colonne, vous devez savoir où se trouvent le dividende et le diviseur.
Notez le dividende. À sa droite se trouve un diviseur.
Dessinez un coin à gauche et en bas près du dernier coin.
Déterminez le dividende incomplet, c'est-à-dire le nombre qui sera le minimum pour la division. Habituellement, il se compose d'un chiffre, maximum de deux.
Choisissez le nombre qui sera écrit en premier dans la réponse. Il doit s'agir du nombre de fois où le diviseur rentre dans le dividende.
Notez le résultat de la multiplication de ce nombre par un diviseur.
Écrivez-le sous un diviseur incomplet. Effectuez une soustraction.
Portez au reste le premier chiffre après la partie qui a déjà été divisée.
Choisissez à nouveau le numéro de la réponse.
Répétez la multiplication et la soustraction. Si le reste est nul et que le dividende est terminé, l'exemple est terminé. Sinon, répétez les étapes : démolir le nombre, relever le nombre, multiplier, soustraire.

Comment résoudre une division longue s'il y a plus d'un chiffre dans le diviseur ?

L'algorithme lui-même coïncide complètement avec ce qui a été décrit ci-dessus. La différence sera le nombre de chiffres du dividende incomplet. Il devrait maintenant y en avoir au moins deux, mais s'ils s'avèrent être moins diviseur, alors il est censé fonctionner avec les trois premiers chiffres.

Il y a une autre nuance dans cette division. Le fait est que le reste et le chiffre qui y est porté ne sont parfois pas divisibles par un diviseur. Ensuite, il est censé attribuer un chiffre supplémentaire dans l'ordre. Mais en même temps, la réponse doit être zéro. Si la division est faite nombres à trois chiffres dans une colonne, vous devrez peut-être démolir plus de deux chiffres. Ensuite, la règle est introduite : les zéros dans la réponse doivent être un de moins que le nombre de chiffres retirés.

Vous pouvez envisager une telle division en utilisant l'exemple - 12082 : 863.

Le divisible incomplet est le nombre 1208. Le nombre 863 n'y est placé qu'une seule fois. Par conséquent, en réponse, il est censé mettre 1, et écrire 863 sous 1208.
Après soustraction, le reste est 345.
Pour lui, vous devez démolir le numéro 2.
Dans le nombre 3452, 863 correspond à quatre fois.
Quatre doivent être écrits en réponse. De plus, multiplié par 4, ce nombre est obtenu.
Le reste après soustraction est nul. C'est-à-dire que la division est terminée.

La réponse dans l'exemple est 14.

Et si le dividende se termine par zéro ?

Ou quelques zéros ? Dans ce cas, un reste nul est obtenu, et il y a encore des zéros dans le dividende. Ne désespérez pas, tout est plus facile qu'il n'y paraît. Il suffit d'attribuer à la réponse tous les zéros restés indivis.

Par exemple, vous devez diviser 400 par 5. Le dividende incomplet est 40. Cinq y est placé 8 fois. Cela signifie que la réponse est censée s'écrire 8. Lors de la soustraction, il n'y a pas de reste. Autrement dit, la division est terminée, mais il reste zéro dans le dividende. Il faudra l'ajouter à la réponse. Ainsi, diviser 400 par 5 donne 80.

Que faire si vous devez diviser un nombre décimal ?

Encore une fois, ce nombre ressemble à un nombre naturel, sinon pour la virgule séparant la partie entière de la partie fractionnaire. Cela suggère que la division des fractions décimales dans une colonne est similaire à celle décrite ci-dessus.

La seule différence sera le point-virgule. Il est censé être répondu immédiatement, dès que le premier chiffre de la partie fractionnaire est noté. D'une autre manière, on peut dire comme ceci: la division de la partie entière est terminée - mettez une virgule et continuez la solution plus loin.

Lors de la résolution d'exemples de division dans une colonne avec des fractions décimales, vous devez vous rappeler que n'importe quel nombre de zéros peut être attribué à la partie après la virgule décimale. Parfois, cela est nécessaire pour compléter les chiffres jusqu'à la fin.

Division de deux décimales

Cela peut sembler compliqué. Mais seulement au début. Après tout, comment effectuer une division dans une colonne de fractions par un nombre naturel est déjà clair. Nous devons donc réduire cet exemple à la forme déjà familière.

Rendre facile. Vous devez multiplier les deux fractions par 10, 100, 1 000 ou 10 000, ou peut-être un million si la tâche l'exige. Le multiplicateur est censé être choisi en fonction du nombre de zéros dans la partie décimale du diviseur. Autrement dit, il s'avère que vous devrez diviser une fraction par un nombre naturel.

Et ce sera dans pire cas. Après tout, il se peut que le dividende de cette opération devienne un entier. Ensuite, la solution de l'exemple avec division en une colonne de fractions sera réduite à options simples: opérations avec des nombres naturels.

Par exemple : 28,4 divisé par 3,2 :

Premièrement, ils doivent être multipliés par 10, car dans le deuxième nombre, il n'y a qu'un seul chiffre après la virgule. Multiplier donnera 284 et 32.
Ils sont censés être divisés. Et à la fois le nombre entier est 284 par 32.
Le premier nombre correspondant à la réponse est 8. En le multipliant, on obtient 256. Le reste est 28.
La division de la partie entière est terminée et une virgule est censée être placée dans la réponse.
Démolir jusqu'au reste 0.
Reprenez 8.
Reste : 24. Ajoutez-y un autre 0.
Maintenant, vous devez en prendre 7.
Le résultat de la multiplication est 224, le reste est 16.
Démolissez un autre 0. Prenez 5 et obtenez exactement 160. Le reste est 0.

Division terminée. Le résultat de l'exemple 28.4:3.2 est 8.875.

Et si le diviseur est 10, 100, 0,1 ou 0,01 ?

Comme pour la multiplication, la division longue n'est pas nécessaire ici. Il suffit juste de déplacer la virgule dans le bon sens d'un certain nombre de chiffres. De plus, selon ce principe, vous pouvez résoudre des exemples avec des nombres entiers et des fractions décimales.

Ainsi, si vous devez diviser par 10, 100 ou 1000, la virgule est déplacée vers la gauche d'autant de chiffres qu'il y a de zéros dans le diviseur. Autrement dit, lorsqu'un nombre est divisible par 100, la virgule doit se déplacer vers la gauche de deux chiffres. Si le dividende est un nombre naturel, on suppose que la virgule se trouve à la fin de celui-ci.

Cette action produit le même résultat que si le nombre devait être multiplié par 0,1, 0,01 ou 0,001. Dans ces exemples, la virgule est également déplacée vers la gauche du nombre de chiffres, égale à la longueur partie fractionnaire.

Lors de la division par 0,1 (etc.) ou de la multiplication par 10 (etc.), la virgule doit se déplacer vers la droite d'un chiffre (ou deux, trois, selon le nombre de zéros ou la longueur de la partie fractionnaire).

Il convient de noter que le nombre de chiffres indiqué dans le dividende peut ne pas être suffisant. Ensuite, les zéros manquants peuvent être affectés à gauche (dans la partie entière) ou à droite (après la virgule décimale).

Division de fractions périodiques

Dans ce cas, vous ne pourrez pas obtenir la réponse exacte lors de la division en colonne. Comment résoudre un exemple si une fraction avec un point est rencontrée ? Ici, il faut passer aux fractions ordinaires. Et ensuite effectuer leur division selon les règles précédemment étudiées.

Par exemple, vous devez diviser 0, (3) par 0,6. La première fraction est périodique. Il est converti en fraction 3/9, qui après réduction donnera 1/3. La deuxième fraction est la décimale finale. Il est encore plus facile d'en écrire un ordinaire : 6/10, qui équivaut à 3/5. La règle de division des fractions ordinaires prescrit de remplacer la division par la multiplication et le diviseur par l'inverse d'un nombre. Autrement dit, l'exemple se résume à multiplier 1/3 par 5/3. La réponse est 5/9.

Si l'exemple a des fractions différentes...

Ensuite, il y a plusieurs solutions possibles. Tout d'abord, vous pouvez essayer de convertir une fraction ordinaire en nombre décimal. Ensuite, divisez déjà deux décimales selon l'algorithme ci-dessus.

Deuxièmement, chaque fraction décimale finale peut être écrite comme une fraction commune. Ce n'est pas toujours pratique. Le plus souvent, ces fractions s'avèrent énormes. Oui, et les réponses sont lourdes. Par conséquent, la première approche est considérée comme plus préférable.

37. Division décimale

Une tâche. L'aire du rectangle est de 2,88 dm 2 et sa largeur est de 0,8 dm. Quelle est la longueur du rectangle ?

Solution Depuis 2,88 dm 2 \u003d 288 cm 2 et 0,8 dm \u003d 8 cm, la longueur du rectangle est de 288: 8, soit 36 cm \u003d 3,6 dm. Nous avons trouvé un nombre 3,6 tel que 3,6 0,8 = 2,88. C'est le quotient de 2,88 divisé par 0,8.

La réponse 3.6 peut être obtenue sans convertir les décimètres en centimètres. Pour ce faire, multipliez le diviseur 0,8 et le dividende 2,88 par 10 (c'est-à-dire déplacez la virgule d'un chiffre vers la droite) et divisez 28,8 par 8. Nous obtenons à nouveau :.

Pour diviser un nombre par un nombre décimal, nécessaire:
1) dans le dividende et le diviseur, déplacer la virgule vers la droite d'autant de chiffres qu'il y a après la virgule dans le diviseur ;
2) ensuite effectuer la division par un nombre naturel.

Exemple 1 Divisez 12,096 par 2,24. Déplaçons la virgule de 2 chiffres vers la droite dans le dividende et le diviseur. Nous obtenons les nombres 1209,6 et 224.

Depuis , puis et .

Exemple 2 Divisez 4,5 par 0,125. Ici, il faut déplacer la virgule de 3 chiffres vers la droite dans le dividende et le diviseur. Puisqu'il n'y a qu'un seul chiffre après la virgule décimale dans le dividende, nous y ajouterons deux zéros à droite. Après avoir déplacé la virgule, on obtient les nombres 4500 et 125.

Depuis , puis et .

Les exemples 1 et 2 montrent que lorsqu'on divise un nombre par une fraction impropre, ce nombre diminue ou ne change pas, et lorsqu'on le divise par une fraction décimale propre, il augmente : , a.

Divisez 2,467 par 0,01. Après avoir déplacé la virgule dans le dividende et le diviseur de 2 chiffres vers la droite, nous obtenons que le quotient est 246,7 : 1, soit 246,7. Donc, et 2,467 : 0,01 = 246,7. De là, nous obtenons la règle:

Diviser un nombre décimal par 0,1 ; 0,01 ; 0,001, vous devez déplacer la virgule vers la droite d'autant de chiffres qu'il y a de zéros devant l'unité dans le diviseur (c'est-à-dire la multiplier par 10, 100, 1000).

S'il n'y a pas assez de nombres, vous devez d'abord ajouter quelques zéros à la fin de la fraction.

Par exemple, .

1443. Trouvez le quotient et testez par multiplication :

a) 0,8 : 0,5 ; b) 3,51 : 2,7 ; c) 14,335 : 0,61.

1444. Trouver le quotient et tester par division :

a) 0,096 : 0,12 ; 6) 0,126:0,9 ; c) 42.105 : 3,5.

1445. Effectuez la division :

1446. Notez les expressions :

a) le quotient de la division de la somme de a et 2,6 par la différence de b et 8,5 ;
b) la somme du quotient x et 3,7 et du quotient 3,1 et y.

1447. Lisez l'expression :

a) m : 12,8 - n : 4,9 ; b) (x + 0,7) : (y + 3,4) ; c) (a : b) (8 : c).

1448. Le pas d'un homme est de 0,8 m. Combien de pas doit-il faire pour parcourir une distance de 100 m ?

1449. Aliocha a parcouru 162,5 km en train en 2,6 heures. Quelle était la vitesse du train ?

1450. Trouver la masse de 1 cm 3 de glace si la masse de 3,5 cm 3 de glace est de 3,08 g.

1451. La corde a été coupée en deux parties. La longueur d'une partie est de 3,25 m et la longueur de l'autre partie est 1,3 fois inférieure à la première. Quelle était la longueur de la corde ?

1452. Le premier colis contenait 6,72 kg de farine, soit 2,4 fois plus que le deuxième colis. Combien de kilogrammes de farine étaient inclus dans les deux sacs ?

1453. Borya a passé 3,5 fois moins de temps à préparer des cours qu'à se promener. Combien de temps a-t-il fallu à Borya pour marcher et préparer ses cours si la marche a duré 2,8 heures ?