Comment trouver des solutions générales d'une matrice en utilisant la méthode gaussienne. Méthode de Gauss (exclusion successive des inconnues). Exemples de solutions pour les nuls
L'un des moyens les plus simples de résoudre le système équations linéaires est une technique basée sur le calcul de déterminants ( La règle de Cramer). Son avantage est qu'il vous permet d'enregistrer immédiatement la solution, c'est particulièrement pratique dans les cas où les coefficients du système ne sont pas des nombres, mais certains paramètres. Son inconvénient est la lourdeur des calculs dans le cas un grand nombreéquations, de plus, la règle de Cramer n'est pas directement applicable aux systèmes dans lesquels le nombre d'équations ne coïncide pas avec le nombre d'inconnues. Dans de tels cas, il est généralement utilisé Méthode de Gauss.
Les systèmes d'équations linéaires qui ont le même ensemble de solutions sont appelés équivalent. Il est évident que l'ensemble des solutions système linéaire ne change pas si des équations sont échangées, ou si l'une des équations est multipliée par un nombre non nul, ou si une équation est ajoutée à une autre.
Méthode de Gauss (méthode d'élimination successive des inconnues) réside dans le fait qu'à l'aide de transformations élémentaires, le système se réduit à un système pas à pas équivalent. Tout d'abord, à l'aide de la 1ère équation, X 1 de toutes les équations suivantes du système. Ensuite, en utilisant la 2ème équation, nous éliminons X 2 de la 3e et toutes les équations suivantes. Ce processus, appelé méthode de Gauss directe, continue jusqu'à ce qu'il ne reste plus qu'une inconnue du côté gauche de la dernière équation xn. Après cela, il est fait Inverse gaussien– en résolvant la dernière équation, on trouve xn; après cela, en utilisant cette valeur, à partir de l'avant-dernière équation, nous calculons xn-1 etc Dernière nous trouvons X 1 de la première équation.
Les transformations gaussiennes sont commodément effectuées en effectuant des transformations non pas avec les équations elles-mêmes, mais avec les matrices de leurs coefficients. Considérez la matrice :
appelé étendu matrice système, car en plus de la matrice principale du système, il comprend une colonne de membres libres. La méthode de Gauss est basée sur la réduction de la matrice principale du système à une forme triangulaire (ou trapézoïdal dans le cas de systèmes non carrés) à l'aide de transformations de lignes élémentaires (!) de la matrice étendue du système.
Exemple 5.1. Résolvez le système en utilisant la méthode de Gauss :
La solution. Écrivons la matrice augmentée du système et, en utilisant la première ligne, après cela, nous mettrons le reste des éléments à zéro :
nous obtenons des zéros dans les 2e, 3e et 4e lignes de la première colonne :
Maintenant, nous avons besoin que tous les éléments de la deuxième colonne sous la 2e ligne soient égaux à zéro. Pour ce faire, vous pouvez multiplier la deuxième ligne par -4/7 et ajouter à la 3ème ligne. Cependant, afin de ne pas traiter les fractions, nous allons créer une unité dans la 2e ligne de la deuxième colonne et uniquement
Maintenant, pour obtenir une matrice triangulaire, vous devez mettre à zéro l'élément de la quatrième ligne de la 3ème colonne, pour cela vous pouvez multiplier la troisième ligne par 8/54 et l'ajouter à la quatrième. Cependant, afin de ne pas traiter les fractions, nous allons échanger les 3e et 4e lignes et les 3e et 4e colonnes, et seulement après cela, nous réinitialiserons l'élément spécifié. Notez que lorsque les colonnes sont réorganisées, les variables correspondantes sont permutées, et il faut s'en souvenir ; les autres transformations élémentaires avec des colonnes (addition et multiplication par un nombre) ne peuvent pas être effectuées !
La dernière matrice simplifiée correspond à un système d'équations équivalent à celui d'origine :
À partir de là, en utilisant le cours inverse de la méthode de Gauss, nous trouvons à partir de la quatrième équation X 3 = -1 ; à partir du troisième X 4 = -2, à partir de la seconde X 2 = 2 et de la première équation X 1 = 1. Sous forme matricielle, la réponse s'écrit
Nous avons considéré le cas où le système est défini, c'est-à-dire lorsqu'il n'y a qu'une seule solution. Voyons ce qui se passe si le système est incohérent ou indéterminé.
Exemple 5.2. Explorez le système en utilisant la méthode gaussienne :
La solution. Nous écrivons et transformons la matrice augmentée du système
On écrit un système simplifié d'équations :
Ici, dans la dernière équation, il s'est avéré que 0=4, c'est-à-dire contradiction. Par conséquent, le système n'a pas de solution, c'est-à-dire elle est incompatible. à
Exemple 5.3. Explorez et résolvez le système en utilisant la méthode gaussienne :
La solution. Nous écrivons et transformons la matrice étendue du système :
À la suite des transformations, seuls des zéros ont été obtenus dans la dernière ligne. Cela signifie que le nombre d'équations a diminué de un :
Ainsi, après simplifications, il reste deux équations, et quatre inconnues, soit deux "extra" inconnus. Laissez "superflu", ou, comme on dit, variables libres, sera X 3 et X quatre. Alors
En supposant X 3 = 2un et X 4 = b, on a X 2 = 1–un et X 1 = 2b–un; ou sous forme matricielle
Une solution ainsi écrite s'appelle général, puisque, en donnant les paramètres un et b diverses significations, vous pouvez tout décrire solutions possibles systèmes. un
Résolution de systèmes d'équations linéaires par la méthode de Gauss. Supposons que nous ayons besoin de trouver une solution au système à partir de néquations linéaires avec n variables inconnues
dont le déterminant de la matrice principale est différent de zéro.
L'essence de la méthode de Gauss consiste en l'exclusion successive de variables inconnues : premièrement, la x1 de toutes les équations du système, en partant de la seconde, puis x2 de toutes les équations, en commençant par la troisième, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'il ne reste que la variable inconnue dans la dernière équation xn. Un tel processus de transformation des équations du système pour l'élimination successive des variables inconnues est appelé méthode de Gauss directe. Après l'achèvement du mouvement vers l'avant de la méthode de Gauss, à partir de la dernière équation, nous trouvons xn, en utilisant cette valeur de l'avant-dernière équation est calculée xn-1, et ainsi de suite, à partir de la première équation on trouve x1. Le processus de calcul des variables inconnues lors du passage de la dernière équation du système à la première s'appelle méthode de Gauss inverse.
Décrivons brièvement l'algorithme d'élimination des variables inconnues.
Nous supposerons que , puisque nous pouvons toujours y parvenir en réarrangeant les équations du système. Éliminer la variable inconnue x1 de toutes les équations du système, à partir de la seconde. Pour ce faire, ajoutez la première équation multipliée par à la deuxième équation du système, ajoutez la première multipliée par à la troisième équation, et ainsi de suite, jusqu'à nième ajouter la première équation, multipliée par . Le système d'équations après de telles transformations prendra la forme 
où un 
.
On arriverait au même résultat si on exprimait x1à travers d'autres variables inconnues dans la première équation du système et l'expression résultante a été substituée dans toutes les autres équations. Alors la variable x1 exclue de toutes les équations, à commencer par la seconde.
Ensuite, nous agissons de la même manière, mais seulement avec une partie du système résultant, qui est marqué sur la figure 
Pour ce faire, ajoutez la seconde multipliée par à la troisième équation du système, ajoutez la seconde multipliée par à la quatrième équation, et ainsi de suite, jusqu'à nième ajouter la deuxième équation, multipliée par . Le système d'équations après de telles transformations prendra la forme 
où un 
. Alors la variable x2 exclus de toutes les équations, à commencer par la troisième.
Ensuite, nous procédons à l'élimination de l'inconnu x3, tandis que nous agissons de même avec la partie du système marquée sur la figure 
On continue donc le cours direct de la méthode de Gauss jusqu'à ce que le système prenne la forme 
A partir de ce moment, on commence le cours inverse de la méthode de Gauss : on calcule xn de la dernière équation comme , en utilisant la valeur obtenue xn trouver xn-1à partir de l'avant-dernière équation, et ainsi de suite, on trouve x1 de la première équation.
Exemple.
Résoudre le système d'équations linéaires 
Méthode gaussienne.
Dans cet article, la méthode est considérée comme un moyen de résoudre des systèmes d'équations linéaires (SLAE). La méthode est analytique, c'est-à-dire qu'elle permet d'écrire un algorithme de résolution dans vue générale, puis substituez-y les valeurs d'exemples spécifiques. Contrairement à la méthode matricielle ou aux formules de Cramer, lors de la résolution d'un système d'équations linéaires à l'aide de la méthode de Gauss, vous pouvez également travailler avec celles qui ont une infinité de solutions. Ou ils ne l'ont pas du tout.
Que veut dire Gauss ?
Vous devez d'abord écrire notre système d'équations dans Il ressemble à ceci. Le système est pris :
Les coefficients sont écrits sous la forme d'un tableau et à droite dans une colonne séparée - membres libres. La colonne avec les membres libres est séparée pour plus de commodité. La matrice qui inclut cette colonne est appelée étendue.
Ensuite, la matrice principale avec des coefficients doit être réduite à la partie supérieure forme triangulaire. C'est le point principal de la résolution du système par la méthode de Gauss. En termes simples, après certaines manipulations, la matrice devrait ressembler à ceci, de sorte qu'il n'y ait que des zéros dans sa partie inférieure gauche :
Ensuite, si vous écrivez à nouveau la nouvelle matrice sous la forme d'un système d'équations, vous remarquerez que la dernière ligne contient déjà la valeur de l'une des racines, qui est ensuite substituée dans l'équation ci-dessus, une autre racine est trouvée, et ainsi de suite.
Cette description de la solution par la méthode de Gauss dans le sens le plus de façon générale. Et que se passe-t-il si tout à coup le système n'a pas de solution ? Ou y en a-t-il une infinité ? Pour répondre à ces questions et à bien d'autres, il est nécessaire de considérer séparément tous les éléments utilisés dans la solution par la méthode de Gauss.
Les matrices, leurs propriétés
Aucun sens caché pas dans la matrice. C'est simple moyen pratique enregistrer des données pour des opérations ultérieures avec eux. Même les écoliers ne devraient pas en avoir peur.
La matrice est toujours rectangulaire, car c'est plus pratique. Même dans la méthode de Gauss, où tout se résume à construire une matrice triangulaire, un rectangle apparaît dans l'entrée, uniquement avec des zéros à l'endroit où il n'y a pas de nombres. Les zéros peuvent être omis, mais ils sont implicites.
La matrice a une taille. Sa "largeur" est le nombre de lignes (m), sa "longueur" est le nombre de colonnes (n). Ensuite, la taille de la matrice A (les lettres latines majuscules sont généralement utilisées pour leur désignation) sera notée A m×n . Si m=n, alors cette matrice est carrée, et m=n est son ordre. Ainsi, tout élément de la matrice A peut être désigné par le numéro de sa ligne et de sa colonne : a xy ; x - numéro de ligne, modifications, y - numéro de colonne, modifications.
B n'est pas le point principal de la solution. En principe, toutes les opérations peuvent être effectuées directement avec les équations elles-mêmes, mais la notation s'avérera beaucoup plus lourde et il sera beaucoup plus facile de s'y perdre.
Déterminant
La matrice a également un déterminant. C'est très caractéristique importante. Découvrir sa signification maintenant n'en vaut pas la peine, vous pouvez simplement montrer comment il est calculé, puis dire quelles propriétés de la matrice il détermine. La façon la plus simple de trouver le déterminant est d'utiliser les diagonales. Des diagonales imaginaires sont dessinées dans la matrice ; les éléments situés sur chacun d'eux sont multipliés, puis les produits résultants sont ajoutés: diagonales avec une pente vers la droite - avec un signe "plus", avec une pente vers la gauche - avec un signe "moins".
Il est extrêmement important de noter que le déterminant ne peut être calculé que pour une matrice carrée. Pour une matrice rectangulaire, vous pouvez procéder comme suit : choisissez le plus petit du nombre de lignes et du nombre de colonnes (que ce soit k), puis marquez au hasard k colonnes et k lignes dans la matrice. Les éléments situés à l'intersection des colonnes et des lignes sélectionnées constitueront un nouveau Matrice Carrée. Si le déterminant d'une telle matrice est un nombre autre que zéro, on l'appelle la base mineure de la matrice rectangulaire d'origine.
Avant de procéder à la résolution du système d'équations par la méthode de Gauss, cela ne fait pas de mal de calculer le déterminant. S'il s'avère être nul, alors nous pouvons immédiatement dire que la matrice a soit un nombre infini de solutions, soit qu'il n'y en a pas du tout. Dans un cas aussi triste, vous devez aller plus loin et vous renseigner sur le rang de la matrice.
Classement du système
Il existe une chose telle que le rang d'une matrice. C'est l'ordre maximum de son déterminant non nul (en se souvenant d'environ mineur de base, on peut dire que le rang de la matrice est l'ordre de la base mineure).
Selon la façon dont les choses se passent avec le rang, SLAE peut être divisé en :
- Découper. À des systèmes conjoints, le rang de la matrice principale (constituée uniquement de coefficients) coïncide avec le rang de la matrice étendue (avec une colonne de termes libres). De tels systèmes ont une solution, mais pas nécessairement une, par conséquent, les systèmes conjoints sont en outre divisés en:
- - certain- avoir une solution unique. Dans certains systèmes, le rang de la matrice et le nombre d'inconnues (ou le nombre de colonnes, ce qui revient au même) sont égaux ;
- - indéfini - avec un nombre infini de solutions. Le rang des matrices pour de tels systèmes est inférieur au nombre d'inconnues.
- Incompatible. À de tels systèmes, les rangs des matrices principale et étendue ne coïncident pas. Les systèmes incompatibles n'ont pas de solution.
La méthode de Gauss est bonne en ce qu'elle permet d'obtenir soit une preuve non ambiguë de l'incohérence du système (sans calculer les déterminants de grandes matrices), soit une solution générale pour un système à un nombre infini de solutions.
Transformations élémentaires
Avant de passer directement à la solution du système, il est possible de le rendre moins encombrant et plus pratique pour les calculs. Ceci est réalisé par des transformations élémentaires - de sorte que leur mise en œuvre ne change en rien la réponse finale. Il convient de noter que certaines des transformations élémentaires ci-dessus ne sont valables que pour des matrices dont la source était précisément le SLAE. Voici une liste de ces transformations :
- Permutation de chaîne. Il est évident que si nous modifions l'ordre des équations dans l'enregistrement système, cela n'affectera en rien la solution. Par conséquent, il est également possible d'intervertir les lignes dans la matrice de ce système, sans oublier bien entendu la colonne des membres libres.
- Multiplication de tous les éléments d'une chaîne par un certain facteur. Très utile! Avec lui, vous pouvez réduire les grands nombres dans la matrice ou supprimer les zéros. L'ensemble de solutions, comme d'habitude, ne changera pas et il deviendra plus pratique d'effectuer d'autres opérations. L'essentiel est que le coefficient ne soit pas égal à zéro.
- Supprimer les lignes avec des coefficients proportionnels. Cela découle en partie du paragraphe précédent. Si deux lignes ou plus de la matrice ont des coefficients proportionnels, alors en multipliant / divisant l'une des lignes par le coefficient de proportionnalité, deux (ou, encore une fois, plus) lignes absolument identiques sont obtenues, et vous pouvez supprimer les lignes supplémentaires, ne laissant que une.
- Suppression de la ligne nulle. Si, au cours des transformations, une chaîne est obtenue quelque part dans laquelle tous les éléments, y compris le membre libre, sont nuls, alors une telle chaîne peut être appelée zéro et rejetée de la matrice.
- Ajouter aux éléments d'une ligne les éléments d'une autre (dans les colonnes correspondantes), multipliés par un certain coefficient. La transformation la plus obscure et la plus importante de toutes. Cela vaut la peine de s'y attarder plus en détail.
Ajouter une chaîne multipliée par un facteur
Pour faciliter la compréhension, il vaut la peine de démonter ce processus étape par étape. Deux lignes sont extraites de la matrice :
une 11 une 12 ... une 1n | b1
une 21 une 22 ... une 2n | b 2
Supposons que vous deviez ajouter le premier au second, multiplié par le coefficient "-2".
un" 21 \u003d un 21 + -2 × un 11
un" 22 \u003d un 22 + -2 × un 12
un" 2n \u003d un 2n + -2 × un 1n
Ensuite, dans la matrice, la deuxième ligne est remplacée par une nouvelle et la première reste inchangée.
une 11 une 12 ... une 1n | b1
une" 21 une" 22 ... une" 2n | b 2
Il est à noter que le facteur de multiplication peut être choisi de manière à ce que, du fait de l'addition de deux chaînes, l'un des éléments de la nouvelle chaîne soit égal à zéro. Par conséquent, il est possible d'obtenir une équation dans le système, où il y aura une inconnue de moins. Et si vous obtenez deux de ces équations, alors l'opération peut être refaite et obtenir une équation qui contiendra déjà deux inconnues de moins. Et si à chaque fois nous nous tournons vers zéro un coefficient pour toutes les lignes inférieures à celle d'origine, alors nous pouvons, comme les étapes, descendre tout en bas de la matrice et obtenir une équation avec une inconnue. C'est ce qu'on appelle résoudre le système en utilisant la méthode gaussienne.
En général
Qu'il y ait un système. Il a m équations et n racines inconnues. Vous pouvez l'écrire comme ceci :
La matrice principale est compilée à partir des coefficients du système. Une colonne de membres libres est ajoutée à la matrice étendue et séparée par une barre pour plus de commodité.
- la première ligne de la matrice est multipliée par le coefficient k = (-a 21 / a 11);
- la première ligne modifiée et la deuxième ligne de la matrice sont ajoutées ;
- au lieu de la deuxième ligne, le résultat de l'addition du paragraphe précédent est inséré dans la matrice ;
- maintenant le premier coefficient de nouvelle seconde droite est un 11 × (-a 21 / a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.
Maintenant, la même série de transformations est effectuée, seules les première et troisième lignes sont impliquées. Ainsi, à chaque étape de l'algorithme, l'élément a 21 est remplacé par a 31 . Puis tout est répété pour un 41 , ... un m1 . Le résultat est une matrice où le premier élément des lignes est égal à zéro. Maintenant, nous devons oublier la ligne numéro un et exécuter le même algorithme à partir de la deuxième ligne :
- coefficient k \u003d (-a 32 / a 22);
- la deuxième ligne modifiée est ajoutée à la ligne "courante" ;
- le résultat de l'addition est substitué dans les troisième, quatrième, etc. lignes, tandis que la première et la deuxième restent inchangées ;
- dans les lignes de la matrice, les deux premiers éléments sont déjà égaux à zéro.
L'algorithme doit être répété jusqu'à ce que le coefficient k = (-a m,m-1 /a mm) apparaisse. Cela signifie que l'algorithme a été exécuté pour la dernière fois uniquement pour l'équation inférieure. Maintenant, la matrice ressemble à un triangle ou a une forme étagée. La ligne du bas contient l'égalité a mn × x n = b m . Le coefficient et le terme libre sont connus, et la racine s'exprime par eux : x n = b m /a mn. La racine résultante est remplacée dans la ligne du haut pour trouver x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . Et ainsi de suite par analogie: dans chaque ligne suivante, il y a une nouvelle racine et, ayant atteint le "sommet" du système, vous pouvez trouver de nombreuses solutions. Ce sera le seul.
Quand il n'y a pas de solution
Si dans l'une des lignes de la matrice, tous les éléments, à l'exception du terme libre, sont égaux à zéro, alors l'équation correspondant à cette ligne ressemble à 0 = b. Il n'a pas de solution. Et puisqu'une telle équation est incluse dans le système, alors l'ensemble des solutions du système entier est vide, c'est-à-dire qu'il est dégénéré.
Quand il y a une infinité de solutions
Il peut s'avérer que dans la matrice triangulaire réduite, il n'y a pas de lignes avec un élément - le coefficient de l'équation, et un - un membre libre. Il n'y a que des chaînes qui, une fois réécrites, ressembleraient à une équation à deux variables ou plus. Cela signifie que le système a un nombre infini de solutions. Dans ce cas, la réponse peut être donnée sous la forme d'une solution générale. Comment faire?
Toutes les variables de la matrice sont divisées en basic et free. De base - ce sont ceux qui se tiennent "sur le bord" des lignes de la matrice étagée. Le reste est gratuit. Dans la solution générale, les variables de base sont écrites en termes de variables libres.
Pour plus de commodité, la matrice est d'abord réécrite dans un système d'équations. Ensuite, dans le dernier d'entre eux, où il ne restait exactement qu'une seule variable de base, elle reste d'un côté et tout le reste est transféré de l'autre. Ceci est fait pour chaque équation avec une variable de base. Ensuite, dans le reste des équations, si possible, au lieu de la variable de base, l'expression obtenue pour celle-ci est substituée. Si le résultat est à nouveau une expression contenant une seule variable de base, elle est à nouveau exprimée à partir de là, et ainsi de suite, jusqu'à ce que chaque variable de base soit écrite sous la forme d'une expression à variables libres. C'est la solution générale de SLAE.
Vous pouvez également trouver la solution de base du système - donnez aux variables libres n'importe quelle valeur, puis pour ce cas particulier, calculez les valeurs des variables de base. Il existe une infinité de solutions particulières.
Solution avec des exemples spécifiques
Voici le système d'équations.
Pour plus de commodité, il est préférable de créer immédiatement sa matrice
On sait qu'en résolvant par la méthode de Gauss, l'équation correspondant à la première ligne restera inchangée à la fin des transformations. Par conséquent, il sera plus rentable si l'élément supérieur gauche de la matrice est le plus petit - alors les premiers éléments des lignes restantes après les opérations deviendront zéro. Cela signifie que dans la matrice compilée, il sera avantageux de mettre la seconde à la place de la première ligne.
deuxième ligne : k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3
un" 21 \u003d un 21 + k × un 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0
un" 22 \u003d un 22 + k × un 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7
une" 23 = une 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11
b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24
troisième ligne : k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
une" 3 1 = une 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0
une" 3 2 = une 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9
une" 3 3 = une 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57
Maintenant, pour ne pas se confondre, il est nécessaire d'écrire la matrice avec les résultats intermédiaires des transformations.
Il est évident qu'une telle matrice peut être rendue plus pratique pour la perception à l'aide de certaines opérations. Par exemple, vous pouvez supprimer tous les "moins" de la deuxième ligne en multipliant chaque élément par "-1".
Il convient également de noter que dans la troisième rangée, tous les éléments sont des multiples de trois. Ensuite, vous pouvez raccourcir la chaîne par ce nombre, en multipliant chaque élément par "-1/3" (moins - en même temps, pour supprimer valeurs négatives).
Semble beaucoup plus agréable. Maintenant, nous devons laisser la première ligne et travailler avec la deuxième et la troisième. La tâche consiste à ajouter la deuxième ligne à la troisième ligne, multipliée par un coefficient tel que l'élément a 32 devienne égal à zéro.
k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 fraction commune, et alors seulement, lorsque les réponses sont reçues, décider s'il faut arrondir et traduire dans une autre forme d'enregistrement)
une" 32 = une 32 + k × une 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0
un" 33 \u003d un 33 + k × un 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7
b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7
La matrice est réécrite avec de nouvelles valeurs.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Comme vous pouvez le voir, la matrice résultante a déjà une forme étagée. Par conséquent, d'autres transformations du système par la méthode de Gauss ne sont pas nécessaires. Ce qui peut être fait ici est de supprimer le coefficient global "-1/7" de la troisième ligne.
Maintenant tout est beau. Le point est petit - écrivez à nouveau la matrice sous la forme d'un système d'équations et calculez les racines
x + 2y + 4z = 12(1)
7a + 11z = 24 (2)
L'algorithme par lequel les racines seront maintenant trouvées est appelé le mouvement inverse dans la méthode de Gauss. L'équation (3) contient la valeur de z :
y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9
Et la première équation permet de trouver x :
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3
Nous avons le droit d'appeler un tel système conjoint, et même défini, c'est-à-dire ayant une solution unique. La réponse est écrite sous la forme suivante :
x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.
Un exemple de système indéfini
La variante de résolution d'un certain système par la méthode de Gauss a été analysée, il faut maintenant considérer le cas si le système est indéfini, c'est-à-dire qu'une infinité de solutions peuvent être trouvées pour celui-ci.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
La forme même du système est déjà alarmante, car le nombre d'inconnues est n = 5, et le rang de la matrice du système est déjà exactement inférieur à ce nombre, car le nombre de lignes est m = 4, c'est-à-dire le plus grand ordre du déterminant carré est 4. Cela signifie qu'il existe une infinité de solutions, et qu'il faut chercher sa forme générale. La méthode de Gauss pour les équations linéaires permet de le faire.
Tout d'abord, comme d'habitude, la matrice augmentée est compilée.
Deuxième ligne : coefficient k = (-a 21 / a 11) = -3. Dans la troisième ligne, le premier élément est avant les transformations, vous n'avez donc pas besoin de toucher à quoi que ce soit, vous devez le laisser tel quel. Quatrième ligne : k = (-a 4 1 /a 11) = -5
En multipliant les éléments de la première ligne par chacun de leurs coefficients à tour de rôle et en les ajoutant aux lignes souhaitées, on obtient la matrice le genre suivant:
Comme vous pouvez le voir, les deuxième, troisième et quatrième lignes sont constituées d'éléments proportionnels les uns aux autres. Les deuxième et quatrième sont généralement les mêmes, donc l'un d'eux peut être supprimé immédiatement, et le reste multiplié par le coefficient "-1" et obtenir le numéro de ligne 3. Et encore une fois, laissez l'une des deux lignes identiques.
Il s'est avéré une telle matrice. Le système n'a pas encore été écrit, il est nécessaire ici de déterminer les variables de base - se tenant aux coefficients a 11 \u003d 1 et a 22 \u003d 1, et libre - tout le reste.
La deuxième équation n'a qu'une seule variable de base - x 2 . On peut donc l'exprimer à partir de là, en passant par les variables x 3 , x 4 , x 5 , qui sont libres.
Nous substituons l'expression résultante dans la première équation.
Il s'est avéré une équation dans laquelle la seule variable de base est x 1. Faisons-en la même chose qu'avec x 2 .
Toutes les variables de base, dont il y en a deux, sont exprimées en termes de trois variables libres, vous pouvez maintenant écrire la réponse sous une forme générale.
Vous pouvez également spécifier l'une des solutions particulières du système. Dans de tels cas, en règle générale, les zéros sont choisis comme valeurs pour les variables libres. Alors la réponse sera :
16, 23, 0, 0, 0.
Un exemple de système incompatible
La solution des systèmes d'équations incohérents par la méthode de Gauss est la plus rapide. Elle se termine dès qu'à l'une des étapes on obtient une équation qui n'a pas de solution. C'est-à-dire que l'étape avec le calcul des racines, qui est assez longue et morne, disparaît. Le système suivant est considéré :
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Comme d'habitude, la matrice est compilée :
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Et il est réduit à une forme étagée :
k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Après la première transformation, la troisième ligne contient une équation de la forme
n'ayant pas de solution. Par conséquent, le système est incohérent et la réponse est l'ensemble vide.
Avantages et inconvénients de la méthode
Si vous choisissez la méthode pour résoudre SLAE sur papier avec un stylo, la méthode envisagée dans cet article semble la plus attrayante. Dans les transformations élémentaires, il est beaucoup plus difficile de s'embrouiller que si vous devez rechercher manuellement le déterminant ou une matrice inverse délicate. Cependant, si vous utilisez des programmes pour travailler avec des données de ce type, par exemple des feuilles de calcul, il s'avère que ces programmes contiennent déjà des algorithmes pour calculer les principaux paramètres des matrices - déterminants, mineurs, inverses, etc. Et si vous êtes sûr que la machine calculera ces valeurs elle-même et ne se trompera pas, il est plus opportun d'utiliser méthode matricielle ou les formules de Cramer, car leur application commence et se termine par le calcul des déterminants et matrices inverses.
Application
Étant donné que la solution gaussienne est un algorithme et que la matrice est en fait un tableau à deux dimensions, elle peut être utilisée en programmation. Mais puisque l'article se positionne comme un guide "pour les nuls", il faut dire que l'endroit le plus simple pour mettre la méthode, ce sont les tableurs, par exemple Excel. Là encore, tout SLAE saisi dans un tableau sous forme de matrice sera considéré par Excel comme un tableau à deux dimensions. Et pour les opérations avec eux, il existe de nombreuses commandes intéressantes : addition (vous ne pouvez ajouter que des matrices de même taille !), Multiplication par un nombre, multiplication de matrices (également avec certaines restrictions), trouver les matrices inverses et transposées et, le plus important , en calculant le déterminant. Si cette tâche chronophage est remplacée par une seule commande, il est beaucoup plus rapide de déterminer le rang d'une matrice et donc d'établir sa compatibilité ou son incohérence.
Ici, vous pouvez résoudre gratuitement un système d'équations linéaires Méthode de Gauss en ligne grandes tailles en nombres complexes avec une solution très détaillée. Notre calculateur peut résoudre en ligne des systèmes conventionnels définis et indéfinis d'équations linéaires en utilisant la méthode gaussienne, qui a un nombre infini de solutions. Dans ce cas, dans la réponse, vous recevrez la dépendance de certaines variables à travers d'autres, libres. Vous pouvez également vérifier la compatibilité du système d'équations en ligne en utilisant la solution gaussienne.
À propos de la méthode
Lors de la résolution d'un système d'équations linéaires méthode en ligne Gauss effectue les étapes suivantes.
- On écrit la matrice augmentée.
- En fait, la solution est divisée en étapes avant et arrière de la méthode gaussienne. Le mouvement direct de la méthode de Gauss s'appelle la réduction de la matrice à une forme étagée. Le mouvement inverse de la méthode de Gauss est la réduction d'une matrice à une forme spéciale en escalier. Mais en pratique, il est plus pratique de mettre immédiatement à zéro ce qui est à la fois au-dessus et en dessous de l'élément en question. Notre calculateur utilise exactement cette approche.
- Il est important de noter que lors de la résolution par la méthode de Gauss, la présence dans la matrice d'au moins une ligne nulle avec un non nul côté droit(colonne des membres libres) indique l'incompatibilité du système. La solution du système linéaire dans ce cas n'existe pas.
Pour mieux comprendre le fonctionnement de l'algorithme gaussien en ligne, entrez un exemple, sélectionnez "très solution détaillée et recherchez sa solution en ligne.
Carl Friedrich Gauss, le plus grand mathématicien, a longtemps hésité, choisissant entre la philosophie et les mathématiques. C'est peut-être précisément un tel état d'esprit qui lui a permis de "partir" si sensiblement dans la science mondiale. Notamment en créant la "Méthode de Gauss"...
Depuis près de 4 ans, les articles de ce site traitent de l'éducation scolaire, principalement du point de vue de la philosophie, des principes de (mal)compréhension introduits dans l'esprit des enfants. Le temps est venu pour plus de détails, d'exemples et de méthodes ... Je crois que c'est l'approche du familier, déroutant et important domaines de la vie donne les meilleurs résultats.
Nous, les humains, sommes tellement arrangés que peu importe combien vous parlez de la pensée abstraite, mais entente toujours passe par des exemples. S'il n'y a pas d'exemples, alors il est impossible de saisir les principes ... Comme il est impossible d'être au sommet d'une montagne autrement qu'en parcourant toute sa pente depuis le pied.
Pareil pour l'école : pour l'instant histoires vivantes pas assez, nous continuons instinctivement à le considérer comme un lieu où l'on apprend aux enfants à comprendre.
Par exemple, enseigner la méthode de Gauss...
Méthode de Gauss en 5e année de l'école
Je fais une réserve tout de suite : la méthode de Gauss a bien plus application large, par exemple, lors de la résolution systèmes d'équations linéaires. Ce dont nous allons parler se passe en 5ème. ce début, ayant compris lequel, il est beaucoup plus facile de comprendre plus "d'options avancées". Dans cet article, nous parlons de méthode (méthode) de Gauss pour trouver la somme d'une série
Voici un exemple que mon plus jeune fils a apporté de l'école, fréquentant la 5e année d'un gymnase de Moscou.
Démonstration scolaire de la méthode de Gauss
Professeur de mathématiques utilisant tableau blanc interactif (méthodes modernes formation) a montré aux enfants une présentation de l'histoire de la "création de la méthode" par le petit Gauss.
L'instituteur a fouetté le petit Carl (une méthode obsolète, désormais inutilisée dans les écoles) pour avoir été,
au lieu d'ajouter séquentiellement des nombres de 1 à 100 pour trouver leur somme remarqué que des paires de nombres également espacés des bords d'une progression arithmétique s'additionnent pour donner le même nombre. par exemple, 100 et 1, 99 et 2. Après avoir compté le nombre de ces paires, le petit Gauss a presque instantanément résolu le problème proposé par le professeur. Pour lequel il a été soumis à l'exécution devant un public étonné. Pour le reste, penser était irrespectueux.
Qu'a fait le petit Gauss développé Le sens du nombre? Remarqué une caractéristique série de nombres à pas constant (progression arithmétique). Et exactement ça en fit plus tard un grand scientifique, capable de remarquer, possédant sentiment, instinct de compréhension.
C'est la valeur des mathématiques, qui développe capacité à voir général en particulier - la pensée abstraite . Par conséquent, la plupart des parents et des employeurs faire instinctivement des maths discipline importante ...
« Les mathématiques devraient être enseignées plus tard, afin de mettre l'esprit en ordre.
M.V. Lomonossov".
Cependant, les adeptes de ceux qui ont fouetté les futurs génies ont transformé la Méthode en quelque chose d'opposé. Comme mon superviseur l'a dit il y a 35 ans : "Ils ont appris la question." Ou, comme mon plus jeune fils l'a dit hier à propos de la méthode de Gauss : "Peut-être que ça ne vaut pas la peine d'en faire une grande science, hein ?"
Les conséquences de la créativité des "scientifiques" sont visibles au niveau du courant mathématiques scolaires, le niveau de son enseignement et la compréhension de la "Reine des Sciences" par la majorité.
Cependant, continuons...
Méthodes d'explication de la méthode de Gauss en 5e année de l'école
Un professeur de mathématiques dans un gymnase de Moscou, expliquant la méthode de Gauss à la manière de Vilenkin, a compliqué la tâche.
Et si la différence (étape) d'une progression arithmétique n'était pas un, mais un autre nombre ? Par exemple, 20.
La tâche qu'il a confiée aux élèves de cinquième année :
20+40+60+80+ ... +460+480+500
Avant de se familiariser avec la méthode du gymnase, penchons-nous sur le Web : comment font les professeurs des écoles - tuteurs en mathématiques ? ..
Méthode de Gauss : Explication #1
Un tuteur bien connu sur sa chaîne YOUTUBE donne le raisonnement suivant :
"écrivons les nombres de 1 à 100 comme ceci :
d'abord une série de nombres de 1 à 50, et strictement en dessous une autre série de nombres de 50 à 100, mais dans l'ordre inverse"
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
"Veuillez noter : la somme de chaque paire de nombres des rangées du haut et du bas est la même et est égale à 101 ! Comptons le nombre de paires, c'est 50 et multiplions la somme d'une paire par le nombre de paires ! Voilà : la réponse est prête !".
"Si tu n'as pas compris, ne t'inquiète pas !", a répété le professeur trois fois pendant l'explication. "Vous réussirez cette méthode en 9e !"
Méthode de Gauss : Explication #2
Un autre tuteur, moins connu (à en juger par le nombre de vues) utilise plus approche scientifique, offrant un algorithme de résolution de 5 points qui doivent être exécutés séquentiellement.
Pour les non-initiés : le 5 fait partie des nombres de Fibonacci traditionnellement considérés comme magiques. La méthode en 5 étapes est toujours plus scientifique que la méthode en 6 étapes, par exemple. ... Et ce n'est pas un accident, très probablement, l'auteur est un adepte caché de la théorie de Fibonacci
Dana progression arithmétique: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
Algorithme pour trouver la somme des nombres d'une série à l'aide de la méthode de Gauss :
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
En même temps, vous devez vous souvenir de plus une règle : un doit être ajouté au quotient résultant : sinon nous obtiendrons un résultat inférieur d'un au nombre réel de paires : 42 + 1 = 43.
C'est la somme souhaitée de la progression arithmétique de 4 à 256 avec une différence de 6 !
Méthode Gauss: explication en 5e année du gymnase de Moscou
Et voici comment il fallait résoudre le problème de trouver la somme d'une série :
20+40+60+ ... +460+480+500
en 5e année du gymnase de Moscou, le manuel de Vilenkin (selon mon fils).
Après avoir montré la présentation, le professeur de mathématiques a montré quelques exemples gaussiens et a donné à la classe la tâche de trouver la somme des nombres d'une série avec un pas de 20.
Cela nécessitait les éléments suivants :
Comme vous pouvez le voir, il est plus compact et technique efficace: le nombre 3 fait aussi partie de la suite de Fibonacci
Mes commentaires sur la version scolaire de la méthode de Gauss
Le grand mathématicien aurait définitivement choisi la philosophie s'il avait prévu en quoi ses disciples feraient de sa « méthode ». professeur d'allemand qui a fouetté Karl avec des tiges. Il aurait vu le symbolisme et la spirale dialectique et la bêtise éternelle des "professeurs" essayer de mesurer l'harmonie de la pensée mathématique vivante avec l'algèbre de l'incompréhension ....
Au fait, savez-vous. que notre système éducatif est enraciné dans l'école allemande des 18e et 19e siècles ?
Mais Gauss a choisi les mathématiques.
Quelle est l'essence de sa méthode ?
À simplification. À observer et capter modèles simples de nombres. À transformer l'arithmétique scolaire sèche en activité intéressante et amusante , activant le désir de continuer dans le cerveau, et ne bloquant pas l'activité mentale coûteuse.
Est-il possible de calculer la somme des nombres d'une progression arithmétique avec l'une des "modifications de la méthode de Gauss" ci-dessus immédiatement? Selon les "algorithmes", le petit Karl aurait eu la garantie d'éviter la fessée, de cultiver une aversion pour les mathématiques et de réprimer ses élans créatifs dans l'œuf.
Pourquoi le tuteur a-t-il conseillé avec tant d'insistance aux élèves de cinquième année de "ne pas avoir peur des malentendus" de la méthode, les convainquant qu'ils résoudraient "de tels" problèmes déjà en 9e année ? Action psychologiquement illettrée. C'était une bonne idée de noter: "À plus tard déjà en 5e année, vous pouvez résoudre des problèmes que vous ne passerez qu'en 4 ans ! Quels braves gens vous êtes !"
Pour utiliser la méthode gaussienne, le niveau 3 de la classe est suffisant quand les enfants normaux savent déjà additionner, multiplier et diviser 2-3 nombres significatifs. Des problèmes surgissent en raison de l'incapacité des enseignants adultes qui "n'entrent pas" à expliquer les choses les plus simples dans un langage humain normal, pas seulement mathématique ... Ils ne sont pas capables d'intéresser les mathématiques et découragent complètement même les "capables".
Ou, comme l'a dit mon fils, "en faire une grande science".
Méthode de Gauss, mes explications
Ma femme et moi avons expliqué cette "méthode" à notre enfant, paraît-il, avant même l'école...
La simplicité au lieu de la complexité ou un jeu de questions - réponses
""Regardez, voici les nombres de 1 à 100. Que voyez-vous?"
Il ne s'agit pas de ce que l'enfant voit. L'astuce consiste à le faire paraître.
"Comment pouvez-vous les mettre ensemble?" Le fils s'est rendu compte que de telles questions ne sont pas posées "comme ça" et que vous devez regarder la question "d'une manière ou d'une autre différemment de ce qu'il fait habituellement"
Peu importe si l'enfant voit la solution tout de suite, c'est peu probable. Il est important qu'il cessé d'avoir peur de regarder, ou comme je dis: "a déplacé la tâche". C'est le début du chemin vers la compréhension
« Qu'est-ce qui est le plus simple : ajouter, par exemple, 5 et 6 ou 5 et 95 ? Une question directrice... Mais après tout, toute formation revient à "guider" une personne vers une "réponse" - de quelque manière que ce soit acceptable pour elle.
À ce stade, il peut déjà y avoir des suppositions sur la façon "d'économiser" sur les calculs.
Nous n'avons fait qu'un indice : la méthode de comptage « frontal, linéaire » n'est pas la seule possible. Si l'enfant a tronqué cela, il inventera plus tard de nombreuses autres méthodes de ce type, parce que c'est intéressant!!! Et il évitera certainement le "malentendu" des mathématiques, n'en ressentira pas de dégoût. Il a remporté la victoire !
Si un bébé découvert que l'addition de paires de nombres qui totalisent une centaine est une tâche insignifiante, alors "progression arithmétique avec différence 1"- une chose plutôt morne et sans intérêt pour un enfant - du coup lui a donné vie . Du chaos est venu l'ordre, et c'est toujours enthousiaste : c'est ainsi que nous sommes!
Une question à remplir : pourquoi, après la perspicacité reçue par l'enfant, l'enfoncer à nouveau dans le cadre d'algorithmes secs, de surcroît fonctionnellement inutiles dans ce cas ?!
Pourquoi faire une réécriture stupide des numéros d'ordre dans un cahier : pour que même les capables n'aient pas une seule chance de comprendre ? Statistiquement, bien sûr, mais l'éducation de masse est centrée sur les "statistiques"...
Où est passé zéro ?
Et pourtant, additionner des nombres qui totalisent 100 est bien plus acceptable pour l'esprit que de donner 101...
La "méthode de Gauss scolaire" exige exactement ceci : plier sans réfléchiréquidistant du centre de la progression d'une paire de nombres, peu importe ce que.
Et si vous regardiez ?
Pourtant, zéro la plus grande invention l'humanité, qui a plus de 2 000 ans. Et les professeurs de mathématiques continuent de l'ignorer.
Il est beaucoup plus facile de convertir une série de nombres commençant à 1 en une série commençant à 0. La somme ne changera pas, n'est-ce pas ? Vous devez arrêter de "penser dans les manuels" et commencer à chercher ... Et de voir que les paires de somme 101 peuvent être complètement remplacées par des paires de somme 100 !
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
Comment abolir la « règle plus 1 » ?
Pour être honnête, j'ai entendu parler d'une telle règle pour la première fois par ce tuteur YouTube ...
Que dois-je encore faire lorsque je dois déterminer le nombre de membres d'une série ?
En regardant la séquence :
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
et lorsqu'il est complètement fatigué, puis sur une ligne plus simple :
1, 2, 3, 4, 5
et je me dis : si vous soustrayez un de 5, vous obtenez 4, mais je suis assez clair voir 5 numéros ! Par conséquent, vous devez en ajouter un ! Sens du nombre développé en école primaire, suggère : même s'il y a tout un Google de membres de la série (10 à la puissance centième), le schéma restera le même.
Fuck les règles? ..
Alors que dans quelques - trois ans pour remplir tout l'espace entre le front et l'arrière de la tête et arrêter de penser ? Et si on gagnait du pain et du beurre ? Après tout, nous entrons par rangs égaux dans l'ère de l'économie numérique !
En savoir plus sur la méthode scolaire de Gauss : "pourquoi en faire de la science ? .."
Ce n'est pas en vain que j'ai posté une capture d'écran du carnet de mon fils...
« Qu'y avait-il dans la leçon ?
"Eh bien, j'ai tout de suite compté, levé la main, mais elle n'a pas demandé. Alors, pendant que les autres comptaient, j'ai commencé à faire DZ en russe pour ne pas perdre de temps. Puis, quand les autres ont fini d'écrire (?? ?), elle m'a appelé au tableau. J'ai dit la réponse.
"C'est vrai, montrez-moi comment vous l'avez résolu", a déclaré le professeur. J'ai montré. Elle a dit: "Faux, vous devez compter comme je l'ai montré!"
"C'est bien que je n'ai pas mis un diable. Et je me suis fait écrire le" cours de la solution "à leur manière dans un cahier. Pourquoi en faire une grande science ? .."
Le crime principal d'un professeur de mathématiques
à peine après ce cas Carl Gauss a éprouvé un grand respect pour le professeur de mathématiques. Mais s'il savait comment disciples de ce professeur pervertir l'essence de la méthode... il aurait hurlé d'indignation et, par l'intermédiaire de l'Organisation Mondiale de la Propriété Intellectuelle OMPI, aurait obtenu l'interdiction de l'utilisation de son honnête nom dans les manuels scolaires ! ..
Quoi erreur principale approche scolaire ? Ou, comme je l'ai dit, un crime professeurs d'école maths vs enfants ?
Algorithme mal compris
Que font les méthodologistes scolaires, dont la grande majorité ne sait pas penser ?
Créer des méthodes et des algorithmes (voir). ce une réaction défensive qui protège les enseignants de la critique ("Tout est fait selon..."), et les enfants de la compréhension. Et donc - du désir de critiquer les enseignants!(La deuxième dérivée de la "sagesse" bureaucratique, une approche scientifique du problème). Une personne qui n'en saisit pas le sens blâmera plutôt son propre malentendu, et non la bêtise du système scolaire.
Ce qui se passe : les parents blâment les enfants, et les enseignants... pareil pour les enfants qui « ne comprennent pas les mathématiques !..
Êtes-vous avisé?
Qu'a fait le petit Carl ?
Approche absolument non conventionnelle d'une tâche de modèle. C'est la quintessence de Son approche. ce la principale chose qui devrait être enseignée à l'école est de penser non pas avec des manuels, mais avec votre tête. Bien sûr, il y a aussi une composante instrumentale qui peut être utilisée... à la recherche de plus simple et méthodes efficaces comptes.
Méthode de Gauss selon Vilenkin
À l'école, ils enseignent que la méthode de Gauss consiste à
Quel, si le nombre d'éléments dans la ligne est impair, comme dans la tâche qui a été confiée au fils ? ..
Le "truc" est que dans ce cas vous devriez trouver le numéro "extra" de la série et l'ajouter à la somme des paires. Dans notre exemple, ce nombre est 260.
Comment découvrir ? Réécrire toutes les paires de nombres dans un cahier !(C'est pourquoi l'enseignant a fait faire aux enfants ce travail stupide, essayant d'enseigner la "créativité" en utilisant la méthode gaussienne... Et c'est pourquoi une telle "méthode" est pratiquement inapplicable aux grandes séries de données, Et c'est pourquoi ce n'est pas une gaussienne méthode).
Un peu de créativité dans la routine scolaire...
Le fils a agi différemment.
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
Facile, non ?
Mais dans la pratique, cela devient encore plus facile, ce qui vous permet de réserver 2 à 3 minutes pour la télédétection en russe, tandis que le reste "compte". De plus, il retient le nombre d'étapes de la méthodologie : 5, ce qui ne permet pas de reprocher à l'approche d'être non scientifique.
Évidemment, cette approche est plus simple, plus rapide et plus polyvalente, dans le style de la Méthode. Mais... non seulement le professeur n'a pas fait l'éloge, mais il m'a également forcé à le réécrire "dans le bon sens" (voir capture d'écran). Autrement dit, elle a fait une tentative désespérée pour étouffer l'impulsion créative et la capacité de comprendre les mathématiques dans l'œuf ! Apparemment, pour se faire embaucher plus tard comme tutrice... Elle a attaqué la mauvaise...
Tout ce que j'ai décrit si longuement et fastidieusement peut être expliqué à un enfant normal en une demi-heure maximum. Accompagné d'exemples.
Et pour qu'il ne l'oublie jamais.
Et ça va pas vers la compréhension...pas seulement les mathématiques.
Avouez-le : combien de fois dans votre vie avez-vous ajouté en utilisant la méthode de Gauss ? Et moi jamais !
Mais instinct de compréhension, qui se développe (ou s'éteint) dans le processus d'apprentissage méthodes mathématiquesà l'école... Oh !.. C'est vraiment une chose irremplaçable !
Surtout à l'ère de la numérisation universelle, dans laquelle nous sommes entrés tranquillement sous la stricte direction du Parti et du gouvernement.
Quelques mots pour la défense des enseignants...
Il est injuste et erroné de placer toute la responsabilité de ce style d'enseignement uniquement sur les enseignants. Le système est opérationnel.
Quelques les enseignants comprennent l'absurdité de ce qui se passe, mais que faire ? Loi sur l'éducation, normes d'éducation de l'État fédéral, méthodes, cartes technologiques leçons... Tout doit être fait « selon et basé sur » et tout doit être documenté. Écartez-vous - fait la queue pour le renvoi. Ne soyons pas hypocrites : le salaire des professeurs de Moscou est très bon... S'ils se font virer, où doivent-ils aller ?..
C'est pourquoi ce site pas sur l'éducation. Il est sur éducation individuelle, seulement manière possible sortir de la foule Génération Z ...
