Algorithme pour trouver une solution générale à un système d'équations linéaires. Résolution de systèmes d'équations linéaires. Systèmes incompatibles. Systèmes avec une solution générale. Solutions privées

Systèmes d'équations reçus large application dans le secteur économique avec modélisation mathématique divers processus. Par exemple, lors de la résolution de problèmes de gestion et de planification de la production, d'itinéraires logistiques (problème de transport) ou de placement d'équipements.

Les systèmes d'équations sont utilisés non seulement en mathématiques, mais également en physique, en chimie et en biologie, pour résoudre des problèmes liés à la détermination de la taille d'une population.

Système équations linéaires nommer deux ou plusieurs équations à plusieurs variables pour lesquelles il est nécessaire de trouver une solution commune. Une telle séquence de nombres pour laquelle toutes les équations deviennent de vraies égalités ou prouvent que la séquence n'existe pas.

Équation linéaire

Les équations de la forme ax+by=c sont dites linéaires. Les désignations x, y sont les inconnues dont il faut trouver la valeur, b, a sont les coefficients des variables, c est le terme libre de l'équation.
Résoudre une équation en la traçant ressemblera à une ligne droite dont tous les points sont des solutions du polynôme.

Types de systèmes d'équations linéaires

Les exemples les plus simples sont considérés comme des systèmes d'équations linéaires à deux variables X et Y.

F1(x, y) = 0 et F2(x, y) = 0, où F1,2 sont des fonctions et (x, y) sont des variables de fonction.

Résoudre un système d'équations - cela signifie trouver des valeurs (x, y) auxquelles le système se transforme en une véritable égalité ou établir que les valeurs appropriées de x et y n'existent pas.

Une paire de valeurs (x, y), écrites sous la forme des coordonnées d'un point, est appelée solution d'un système d'équations linéaires.

Si les systèmes ont une solution commune ou qu’aucune solution n’existe, ils sont appelés équivalents.

Les systèmes homogènes d'équations linéaires sont des systèmes dont le membre droit est égal à zéro. Si la partie droite après le signe égal a une valeur ou est exprimée par une fonction, un tel système est hétérogène.

Le nombre de variables peut être bien supérieur à deux, nous devrions alors parler d'un exemple de système d'équations linéaires avec trois variables ou plus.

Face aux systèmes, les écoliers supposent que le nombre d’équations doit nécessairement coïncider avec le nombre d’inconnues, mais ce n’est pas le cas. Le nombre d'équations dans le système ne dépend pas des variables, il peut y en avoir autant que vous le souhaitez.

Méthodes simples et complexes pour résoudre des systèmes d'équations

Il n'existe pas de méthode analytique générale pour résoudre de tels systèmes ; toutes les méthodes sont basées sur solutions numériques. Le cours de mathématiques scolaire décrit en détail des méthodes telles que la permutation, l'addition algébrique, la substitution, ainsi que les méthodes graphiques et méthode matricielle, solution par méthode gaussienne.

La tâche principale lors de l'enseignement des méthodes de résolution est d'apprendre à analyser correctement le système et à trouver l'algorithme de solution optimal pour chaque exemple. L'essentiel n'est pas de mémoriser un système de règles et d'actions pour chaque méthode, mais de comprendre les principes d'utilisation d'une méthode particulière

Résolution d'exemples de systèmes d'équations linéaires du programme de 7e année lycée assez simple et expliqué en détail. Dans tout manuel de mathématiques, cette section reçoit suffisamment d’attention. La résolution d'exemples de systèmes d'équations linéaires par la méthode de Gauss et Cramer est étudiée plus en détail dans les premières années de l'enseignement supérieur.

Résolution de systèmes par la méthode de substitution

Les actions de la méthode de substitution visent à exprimer la valeur d'une variable en fonction de la seconde. L'expression est substituée dans l'équation restante, puis elle est réduite à une forme à une variable. L'action est répétée en fonction du nombre d'inconnues dans le système

Donnons une solution à un exemple de système d'équations linéaires de classe 7 utilisant la méthode de substitution :

Comme le montre l'exemple, la variable x a été exprimée par F(X) = 7 + Y. L'expression résultante, substituée dans la 2ème équation du système à la place de X, a permis d'obtenir une variable Y dans la 2ème équation . La résolution de cet exemple est simple et vous permet d’obtenir la valeur Y. Dernière étape Il s'agit d'une vérification des valeurs reçues.

Il n'est pas toujours possible de résoudre un exemple de système d'équations linéaires par substitution. Les équations peuvent être complexes et exprimer la variable en termes de seconde inconnue sera trop fastidieux pour des calculs ultérieurs. Lorsqu’il y a plus de 3 inconnues dans le système, la résolution par substitution est également inappropriée.

Solution d'un exemple de système d'équations inhomogènes linéaires :

Solution utilisant l'addition algébrique

Lorsqu'ils recherchent des solutions à des systèmes à l'aide de la méthode d'addition, ils effectuent l'addition et la multiplication terme par terme des équations par différents numéros. Le but ultime opérations mathématiques est une équation à une variable.

Pour les candidatures cette méthode la pratique et l’observation sont nécessaires. Résoudre un système d'équations linéaires à l'aide de la méthode d'addition lorsqu'il y a 3 variables ou plus n'est pas facile. L'addition algébrique est pratique à utiliser lorsque les équations contiennent des fractions et des décimales.

Algorithme de solution :

Multipliez les deux côtés de l’équation par un certain nombre. À la suite de l'opération arithmétique, l'un des coefficients de la variable devrait devenir égal à 1.
Ajoutez l'expression obtenue terme par terme et trouvez l'une des inconnues.
Remplacez la valeur résultante dans la 2ème équation du système pour trouver la variable restante.

Méthode de solution en introduisant une nouvelle variable

Une nouvelle variable peut être introduite si le système nécessite de trouver une solution pour pas plus de deux équations ; le nombre d'inconnues ne doit pas non plus être supérieur à deux.

La méthode est utilisée pour simplifier l'une des équations en introduisant une nouvelle variable. La nouvelle équation est résolue pour l'inconnue introduite et la valeur résultante est utilisée pour déterminer la variable d'origine.

L'exemple montre qu'en introduisant une nouvelle variable t, il a été possible de réduire la 1ère équation du système à un trinôme quadratique standard. Vous pouvez résoudre un polynôme en trouvant le discriminant.

Il faut trouver la valeur discriminante par formule bien connue: D = b2 - 4*a*c, où D est le discriminant souhaité, b, a, c sont les facteurs du polynôme. DANS derrière dans cet exemple a=1, b=16, c=39, donc D=100. Si le discriminant est supérieur à zéro, alors il existe deux solutions : t = -b±√D / 2*a, si le discriminant est inférieur à zéro, alors il existe une solution : x = -b / 2*a.

La solution pour les systèmes résultants est trouvée par la méthode d’addition.

Méthode visuelle pour résoudre des systèmes

Convient pour 3 systèmes d'équations. La méthode consiste à construire des graphiques de chaque équation incluse dans le système sur l'axe des coordonnées. Les coordonnées des points d'intersection des courbes et seront décision générale systèmes.

La méthode graphique présente un certain nombre de nuances. Examinons plusieurs exemples de résolution visuelle de systèmes d'équations linéaires.

Comme le montre l'exemple, pour chaque ligne deux points ont été construits, les valeurs de la variable x ont été choisies arbitrairement : 0 et 3. Sur la base des valeurs de x, les valeurs de y ont été trouvées : 3 et 0. Les points de coordonnées (0, 3) et (3, 0) ont été marqués sur le graphique et reliés par une ligne.

Les étapes doivent être répétées pour la deuxième équation. Le point d'intersection des droites est la solution du système.

L'exemple suivant nécessite de trouver solution graphique systèmes d'équations linéaires : 0,5x-y+2=0 et 0,5x-y-1=0.

Comme le montre l'exemple, le système n'a pas de solution, car les graphiques sont parallèles et ne se coupent pas sur toute leur longueur.

Les systèmes des exemples 2 et 3 sont similaires, mais une fois construits, il devient évident que leurs solutions sont différentes. Il faut rappeler qu’il n’est pas toujours possible de dire si un système a une solution ou non ; il faut toujours construire un graphe.

La matrice et ses variétés

Les matrices sont utilisées pour écrire de manière concise un système d’équations linéaires. Une matrice est un tableau type spécial rempli de chiffres. n*m a n lignes et m colonnes.

Une matrice est carrée lorsque le nombre de colonnes et de lignes sont égaux. Une matrice-vecteur est une matrice d'une colonne avec une infinité numéro possible lignes. Une matrice avec des uns le long d’une des diagonales et d’autres éléments nuls est appelée identité.

Une matrice inverse est une matrice lorsqu'elle est multipliée par laquelle celle d'origine se transforme en une matrice unitaire ; une telle matrice n'existe que pour la matrice carrée d'origine.

Règles pour convertir un système d'équations en matrice

En ce qui concerne les systèmes d'équations, les coefficients et les termes libres des équations sont écrits sous forme de nombres matriciels ; une équation est une ligne de la matrice.

Une ligne matricielle est dite non nulle si au moins un élément de la ligne est non nul. Par conséquent, si dans l'une des équations le nombre de variables diffère, il est alors nécessaire d'entrer zéro à la place de l'inconnue manquante.

Les colonnes de la matrice doivent correspondre strictement aux variables. Cela signifie que les coefficients de la variable x ne peuvent être écrits que dans une colonne, par exemple la première, le coefficient de l'inconnu y - uniquement dans la seconde.

Lors de la multiplication d'une matrice, tous les éléments de la matrice sont multipliés séquentiellement par un nombre.

Options pour trouver la matrice inverse

La formule pour trouver la matrice inverse est assez simple : K -1 = 1 / |K|, où K -1 - matrice inverse, et |K| est le déterminant de la matrice. |K| ne doit pas être égal à zéro, alors le système a une solution.

Le déterminant se calcule facilement pour une matrice deux par deux : il suffit de multiplier les éléments diagonaux les uns par les autres. Pour l'option « trois par trois », il existe une formule |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + une 3 b 2 c 1 . Vous pouvez utiliser la formule ou vous rappeler que vous devez prendre un élément de chaque ligne et de chaque colonne afin que le nombre de colonnes et de lignes d'éléments ne se répète pas dans le travail.

Résolution d'exemples de systèmes d'équations linéaires à l'aide de la méthode matricielle

La méthode matricielle de recherche d'une solution vous permet de réduire les saisies fastidieuses lors de la résolution de systèmes comportant un grand nombre de variables et d'équations.

Dans l'exemple, a nm sont les coefficients des équations, la matrice est un vecteur x n sont des variables et b n sont des termes libres.

Résolution de systèmes par la méthode gaussienne

En mathématiques supérieures, la méthode gaussienne est étudiée avec la méthode Cramer, et le processus de recherche de solutions aux systèmes est appelé méthode de solution Gauss-Cramer. Ces méthodes sont utilisées pour trouver systèmes variables avec un grand nombre d'équations linéaires.

La méthode de Gauss est très similaire aux solutions par substitution et addition algébrique, mais est plus systématique. Dans le cours scolaire, la solution par la méthode gaussienne est utilisée pour les systèmes de 3 et 4 équations. Le but de la méthode est de réduire le système à la forme d'un trapèze inversé. Au moyen de transformations algébriques et de substitutions, la valeur d'une variable se retrouve dans l'une des équations du système. La deuxième équation est une expression à 2 inconnues, tandis que 3 et 4 sont respectivement à 3 et 4 variables.

Après avoir amené le système à la forme décrite, la solution supplémentaire est réduite à la substitution séquentielle de variables connues dans les équations du système.

Dans les manuels scolaires de la 7e année, un exemple de solution par la méthode Gauss est décrit comme suit :

Comme le montre l'exemple, à l'étape (3), deux équations ont été obtenues : 3x 3 -2x 4 =11 et 3x 3 +2x 4 =7. La résolution de l'une des équations vous permettra de connaître l'une des variables x n.

Le théorème 5, mentionné dans le texte, stipule que si l'une des équations du système est remplacée par une équivalente, alors le système résultant sera également équivalent à celui d'origine.

La méthode Gauss est difficile à comprendre pour les étudiants lycée, mais c'est l'un des plus façons intéressantes développer l'ingéniosité des enfants qui étudient dans le cadre du programme étude approfondie dans les cours de mathématiques et de physique.

Pour faciliter l'enregistrement, les calculs sont généralement effectués comme suit :

Les coefficients des équations et termes libres sont écrits sous la forme d'une matrice, où chaque ligne de la matrice correspond à l'une des équations du système. sépare côté gaucheéquations à partir de la droite. Les chiffres romains indiquent le nombre d'équations du système.

Notez d’abord la matrice à travailler, puis toutes les actions réalisées avec l’une des lignes. La matrice résultante est écrite après le signe "flèche" et les opérations algébriques nécessaires sont poursuivies jusqu'à ce que le résultat soit obtenu.

Le résultat devrait être une matrice dans laquelle l'une des diagonales est égale à 1 et tous les autres coefficients sont égaux à zéro, c'est-à-dire que la matrice est réduite à une forme unitaire. Il ne faut pas oublier d'effectuer des calculs avec des nombres des deux côtés de l'équation.

Cette méthode d'enregistrement est moins lourde et permet de ne pas se laisser distraire par la liste de nombreuses inconnues.

L'utilisation gratuite de n'importe quelle méthode de résolution nécessitera de la prudence et une certaine expérience. Toutes les méthodes ne sont pas de nature appliquée. Certaines méthodes pour trouver des solutions sont plus préférables dans un domaine particulier de l'activité humaine, tandis que d'autres existent à des fins pédagogiques.

Solution. UNE= . Trouvons r(A). Parce que matrice Et a la commande 3x4, alors ordre le plus élevé mineurs est égal à 3. De plus, tous les mineurs du troisième ordre sont égaux à zéro (vérifiez-le vous-même). Moyens, r(UNE)< 3. Возьмем главный mineur de base = -5-4 = -9 ≠ 0. Donc r(A) =2.

Considérons matrice AVEC = .

Tierce mineure commande ≠ 0. Donc r(C) = 3.

Puisque r(A) ≠ r(C) , alors le système est incohérent.

Exemple 2. Déterminer la compatibilité d'un système d'équations

Résolvez ce système s’il s’avère cohérent.

Solution.

UNE = , C = . Il est évident que r(A) ≤ 3, r(C) ≤ 4. Puisque detC = 0, alors r(C)< 4. Considérons mineure troisième commande, situé dans le coin supérieur gauche de la matrice A et C : = -23 ≠ 0. Donc r(A) = r(C) = 3.

Nombre inconnu dans le système n=3. Cela signifie que le système a une solution unique. Dans ce cas, la quatrième équation représente la somme des trois premières et peut être ignorée.

D'après les formules de Cramer nous obtenons x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23.

2.4. Méthode matricielle. Méthode gaussienne

système néquations linéaires Avec n les inconnues peuvent être résolues méthode matricielle selon la formule X = A -1 B (à Δ ≠ 0), qui est obtenu à partir de (2) en multipliant les deux parties par A -1.

Exemple 1. Résoudre un système d'équations

méthode matricielle (dans la section 2.2, ce système a été résolu en utilisant les formules de Cramer)

Solution. Δ = 10 ≠ 0 A = - matrice non dégénérée.

= (vérifiez-le vous-même en effectuant les calculs nécessaires).

A -1 = (1/Δ)х= .

X = A -1 V = x= .

Répondre: .

D'un point de vue pratique méthode matricielle et formules Kramer sont associés à une grande quantité de calculs, la préférence est donc donnée Méthode gaussienne, qui consiste en l'élimination séquentielle des inconnues. Pour ce faire, le système d'équations est réduit à un système équivalent avec une matrice triangulaire étendue (tous les éléments situés en dessous de la diagonale principale sont égaux à zéro). Ces actions sont appelées mouvement vers l’avant. A partir du système triangulaire résultant, les variables sont trouvées par substitutions successives (inverse).

Exemple 2. Résoudre le système en utilisant la méthode de Gauss

(Ci-dessus, ce système a été résolu en utilisant la formule de Cramer et la méthode matricielle).

Solution.

Déménagement direct. Écrivons la matrice étendue et, à l'aide de transformations élémentaires, réduisons-la à une forme triangulaire :

~ ~ ~ ~ .

On a système

Mouvement inversé. De la dernière équation on trouve X 3 = -6 et remplacez cette valeur dans la deuxième équation :

X 2 = - 11/2 - 1/4X 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

X 1 = 2 -X 2 + X 3 = 2+4-6 = 0.

Répondre: .

2.5. Solution générale d'un système d'équations linéaires

Soit un système d'équations linéaires = b je(je=). Soit r(A) = r(C) = r, c'est-à-dire le système est collaboratif. Tout mineur d'ordre r autre que zéro est mineure de base. Sans perte de généralité, nous supposerons que mineur de base est situé dans les r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) premières lignes et colonnes de la matrice A. dernier monsieuréquations du système, on écrit le système raccourci :

ce qui est équivalent à celui d'origine. Nommons les inconnues x 1 ,….xr de base, et x r +1 ,…, x r free et déplacez les termes contenant des inconnues libres vers côté droitéquations du système tronqué. On obtient un système par rapport aux inconnues de base :

qui pour chaque ensemble de valeurs d'inconnues libres x r +1 = С 1 ,…, x n = С n-r n'a qu'une seule solution x 1 (C 1 ,…, C n-r),…, x r (C 1 ,…, C n-r), trouvé par la règle de Cramer.

Solution correspondante le raccourci, et donc le système original a la forme :

X(C 1 ,…, Cn-r) = - solution générale du système.

Si dans la solution générale on attribue des valeurs numériques aux inconnues libres, on obtient la solution système linéaire, dit privé.

Exemple. Établir la compatibilité et trouver une solution générale du système

Solution. UNE = , C = .

Donc Comment r(UNE)= r(C) = 2 (voyez ceci par vous-même), alors le système d'origine est cohérent et a un nombre infini de solutions (puisque r< 4).

Cependant, dans la pratique, deux autres cas sont répandus :

– Le système est incohérent (n'a pas de solutions) ;
– Le système est cohérent et propose une infinité de solutions.

Note : Le terme « cohérence » implique que le système a au moins une certaine solution. Dans un certain nombre de problèmes, il est nécessaire d'examiner d'abord la compatibilité du système ; comment procéder, voir l'article sur rang des matrices.

Pour ces systèmes, la plus universelle de toutes les méthodes de solution est utilisée - Méthode gaussienne. En fait, la méthode « scolaire » conduira également à la réponse, mais en mathématiques supérieures, il est d'usage d'utiliser la méthode gaussienne élimination séquentielle inconnu. Ceux qui ne sont pas familiers avec l'algorithme de la méthode gaussienne, veuillez d'abord étudier la leçon Méthode gaussienne pour les nuls.

Les transformations matricielles élémentaires elles-mêmes sont exactement les mêmes, la différence sera dans la fin de la solution. Tout d'abord, regardons quelques exemples où le système n'a pas de solutions (incohérentes).

Exemple 1

Qu’est-ce qui attire immédiatement l’attention dans ce système ? Le nombre d'équations est inférieur au nombre de variables. Si le nombre d'équations est inférieur au nombre de variables, alors nous pouvons immédiatement dire que le système est soit incohérent, soit qu'il a une infinité de solutions. Et il ne reste plus qu'à le découvrir.

Le début de la solution est tout à fait ordinaire - nous écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, la mettons sous une forme pas à pas :

(1) Sur l’étape en haut à gauche, nous devons obtenir +1 ou –1. Il n'y a pas de tels nombres dans la première colonne, donc réorganiser les lignes ne donnera rien. L'unité devra s'organiser, et cela peut se faire de plusieurs manières. J'ai fait ceci : à la première ligne, nous ajoutons la troisième ligne, multipliée par -1.

(2) Nous obtenons maintenant deux zéros dans la première colonne. À la deuxième ligne, nous ajoutons la première ligne multipliée par 3. À la troisième ligne, nous ajoutons la première ligne multipliée par 5.

(3) Une fois la transformation terminée, il est toujours conseillé de voir s'il est possible de simplifier les chaînes résultantes ? Peut. Nous divisons la deuxième ligne par 2, obtenant en même temps le –1 requis à la deuxième étape. Divisez la troisième ligne par –3.

(4) Ajoutez la deuxième ligne à la troisième ligne.

Tout le monde a probablement remarqué la mauvaise ligne résultant de transformations élémentaires : . Il est clair qu’il ne peut en être ainsi. En effet, réécrivons la matrice résultante revenons au système d’équations linéaires :

Si, à la suite de transformations élémentaires, une chaîne de la forme est obtenue, où est un nombre différent de zéro, alors le système est incohérent (n'a pas de solutions).

Comment écrire la fin d’une tâche ? Dessinons à la craie blanche : « à la suite de transformations élémentaires, une chaîne de la forme , où » est obtenue et donnons la réponse : le système n'a pas de solutions (incohérent).

Si, selon la condition, il est nécessaire de RECHERCHER la compatibilité du système, alors il est nécessaire de formaliser la solution dans un style plus solide en utilisant le concept rang matriciel et théorème de Kronecker-Capelli.

Veuillez noter qu'il n'y a pas d'inversion de l'algorithme gaussien ici - il n'y a pas de solutions et il n'y a tout simplement rien à trouver.

Exemple 2

Résoudre un système d'équations linéaires

Ceci est un exemple pour décision indépendante. Solution complète et la réponse à la fin de la leçon. Je vous rappelle encore que votre solution peut différer de la mienne ; l'algorithme gaussien n'a pas une forte « rigidité ».

Un autre caractéristique technique solutions : les transformations élémentaires peuvent être stoppées Immediatement, dès qu'une ligne comme , où . Considérons exemple conditionnel: supposons qu'après la première transformation la matrice soit obtenue . La matrice n'a pas encore été réduite à une forme échelonnée, mais il n'est pas nécessaire de procéder à d'autres transformations élémentaires, puisqu'une ligne de la forme est apparue, où . Il faut immédiatement répondre que le système est incompatible.

Lorsqu'un système d'équations linéaires n'a pas de solution, c'est presque un cadeau, car une solution courte est obtenue, parfois littéralement en 2-3 étapes.

Mais tout dans ce monde est équilibré, et un problème dans lequel le système a une infinité de solutions n’est que plus long.

Exemple 3

Résoudre un système d'équations linéaires

Il y a 4 équations et 4 inconnues, donc le système peut soit avoir une seule solution, soit n'avoir aucune solution, soit avoir une infinité de solutions. Quoi qu’il en soit, la méthode gaussienne nous amènera de toute façon à la réponse. C'est sa polyvalence.

Le début est à nouveau standard. Écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, mettons-la sous une forme pas à pas :

C'est tout, et tu avais peur.

(1) Veuillez noter que tous les nombres de la première colonne sont divisibles par 2, donc 2 convient parfaitement sur l'étape en haut à gauche. À la deuxième ligne, nous ajoutons la première ligne, multipliée par –4. À la troisième ligne, nous ajoutons la première ligne, multipliée par –2. À la quatrième ligne, nous ajoutons la première ligne, multipliée par –1.

Attention! Beaucoup pourraient être tentés par la quatrième ligne soustraire Première ligne. Cela peut être fait, mais ce n'est pas nécessaire : l'expérience montre que la probabilité d'erreur dans les calculs augmente plusieurs fois. Ajoutez simplement : à la quatrième ligne, ajoutez la première ligne multipliée par –1 – exactement!

(2) Les trois dernières lignes sont proportionnelles, deux d'entre elles peuvent être supprimées.

Là encore, nous devons montrer attention accrue, mais les lignes sont-elles vraiment proportionnelles ? Par mesure de sécurité (surtout pour une théière), ce serait une bonne idée de multiplier la deuxième ligne par –1, et de diviser la quatrième ligne par 2, ce qui donnerait trois lignes identiques. Et seulement après cela, supprimez-en deux.

Grâce à des transformations élémentaires, la matrice étendue du système est réduite à une forme pas à pas :

Lors de la rédaction d'une tâche dans un cahier, il est conseillé de prendre les mêmes notes au crayon pour plus de clarté.

Réécrivons le système d'équations correspondant :

Il n’y a ici aucune odeur de solution unique « ordinaire » au système. Il n’y a pas non plus de mauvaise ligne. Cela signifie qu'il s'agit du troisième cas restant : le système a une infinité de solutions. Parfois, selon la condition, il est nécessaire d'enquêter sur la compatibilité du système (c'est-à-dire prouver qu'une solution existe), vous pouvez lire à ce sujet dans le dernier paragraphe de l'article Comment trouver le rang d’une matrice ? Mais pour l’instant, revenons sur les bases :

Un ensemble infini de solutions à un système est brièvement écrit sous la forme de ce qu'on appelle solution générale du système .

On trouve la solution générale du système en utilisant l'inverse de la méthode gaussienne.

Nous devons d'abord définir quelles variables nous avons basique, et quelles variables gratuit. Vous n’avez pas à vous soucier des termes de l’algèbre linéaire, rappelez-vous simplement qu’il existe de tels termes. variables de base Et variables libres.

Les variables de base « reposent » toujours strictement sur les étapes de la matrice.
Dans cet exemple, les variables de base sont et

Les variables libres sont tout restant variables qui n’ont pas reçu de pas. Dans notre cas il y en a deux : – les variables libres.

Maintenant tu as besoin Tous variables de base exprimer Seulement par variables libres.

L’inverse de l’algorithme gaussien fonctionne traditionnellement de bas en haut.
A partir de la deuxième équation du système, nous exprimons la variable de base :

Examinons maintenant la première équation : . Nous y substituons d’abord l’expression trouvée :

Il reste à exprimer la variable de base en termes de variables libres :

En fin de compte, nous avons obtenu ce dont nous avions besoin - Tous les variables de base ( et ) sont exprimées Seulement par variables libres :

En fait, la solution générale est prête :

Comment écrire correctement la solution générale ?
Les variables libres sont écrites dans la solution générale « par elles-mêmes » et strictement à leur place. DANS dans ce cas les variables libres doivent être écrites en deuxième et quatrième positions :
.

Les expressions résultantes pour les variables de base et doit évidemment être écrit en première et troisième positions :

Donner des variables gratuites valeurs arbitraires, vous pouvez en trouver une infinité solutions privées. Les valeurs les plus populaires sont les zéros, car la solution particulière est la plus simple à obtenir. Remplaçons par la solution générale :

– solution privée.

Une autre paire intéressante est celle-là, remplaçons-les dans la solution générale :

– une autre solution privée.

Il est facile de voir que le système d’équations a une infinité de solutions(puisqu'on peut donner des variables libres n'importe lequel valeurs)

Chaque la solution particulière doit satisfaire pour chaqueéquation du système. C'est la base d'une vérification « rapide » de l'exactitude de la solution. Prenons, par exemple, une solution particulière et remplacez-la dans le côté gauche de chaque équation du système d'origine :

Tout doit être réuni. Et quelle que soit la solution particulière que vous recevez, tout devrait également être en accord.

Mais, à proprement parler, vérifier une solution particulière est parfois trompeur, c'est-à-dire une solution particulière peut satisfaire chaque équation du système, mais la solution générale elle-même est en réalité trouvée de manière incorrecte.

Par conséquent, la vérification de la solution générale est plus approfondie et plus fiable. Comment vérifier la solution générale résultante ?

Ce n'est pas difficile, mais assez fastidieux. Nous devons prendre des expressions basique variables, dans ce cas et , et remplacez-les dans le côté gauche de chaque équation du système.

À gauche de la première équation du système :

À gauche de la deuxième équation du système :

Le côté droit de l’équation originale est obtenu.

Exemple 4

Résolvez le système en utilisant la méthode gaussienne. Trouvez la solution générale et deux solutions particulières. Vérifiez la solution générale.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Ici, d'ailleurs, encore une fois, le nombre d'équations est inférieur au nombre d'inconnues, ce qui signifie qu'il est immédiatement clair que le système sera soit incohérent, soit aura un nombre infini de solutions. Qu’est-ce qui est important dans le processus de décision lui-même ? Attention, et encore attention. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Et quelques exemples supplémentaires pour renforcer le matériel

Exemple 5

Résoudre un système d'équations linéaires. Si le système a une infinité de solutions, trouvez deux solutions particulières et vérifiez la solution générale

Solution: Écrivons la matrice étendue du système et, à l'aide de transformations élémentaires, mettons-la sous une forme pas à pas :

(1) Ajoutez la première ligne à la deuxième ligne. À la troisième ligne, nous ajoutons la première ligne multipliée par 2. À la quatrième ligne, nous ajoutons la première ligne multipliée par 3.
(2) À la troisième ligne, nous ajoutons la deuxième ligne, multipliée par –5. À la quatrième ligne, nous ajoutons la deuxième ligne, multipliée par –7.
(3) Les troisième et quatrième lignes sont les mêmes, on en supprime une.

C'est d'une telle beauté :

Les variables de base se trouvent donc sur les marches - les variables de base.
Il n’y a qu’une seule variable libre qui n’a pas obtenu de pas :

Inverse:
Exprimons les variables de base via une variable libre :
De la troisième équation :

Considérons la deuxième équation et substituons-y l'expression trouvée :

Considérons la première équation et substituons les expressions trouvées par :

Oui, une calculatrice qui calcule des fractions ordinaires reste pratique.

La solution générale est donc :

Encore une fois, comment ça s’est passé ? La variable libre occupe seule la quatrième place qui lui revient. Les expressions résultantes pour les variables de base ont également pris leur place ordinale.

Vérifions immédiatement la solution générale. Le boulot est pour les noirs, mais je l'ai déjà fait, alors attrape-le =)

Nous substituons trois héros , , dans le côté gauche de chaque équation du système :

Les membres droits correspondants des équations sont obtenus, ainsi la solution générale est trouvée correctement.

Maintenant, à partir de la solution générale trouvée on obtient deux solutions particulières. La seule variable libre ici est le chef. Pas besoin de vous creuser la tête.

Qu'il en soit alors – solution privée.
Qu'il en soit alors – une autre solution privée.

Répondre: Décision commune : , solutions privées : , .

Je n'aurais pas dû me souvenir des Noirs... ...parce que toutes sortes de motivations sadiques me sont venues à l'esprit et je me suis souvenu du célèbre Photoshop dans lequel des hommes du Ku Klux Klan en robes blanches courent à travers le terrain après un footballeur noir. Je m'assois et je souris tranquillement. Tu sais à quel point c'est distrayant...

Beaucoup de mathématiques sont nuisibles, donc un exemple final similaire pour les résoudre vous-même.

Exemple 6

Trouver la solution générale du système d'équations linéaires.

J'ai déjà vérifié la solution générale, la réponse est fiable. Votre solution peut différer de la mienne, l'essentiel est que les solutions générales coïncident.

Beaucoup de gens ont probablement remarqué un moment désagréable dans les solutions : très souvent, en inversant la méthode de Gauss, il fallait bricoler fractions ordinaires. En pratique, c'est effectivement le cas ; les cas où il n'y a pas de fractions sont beaucoup moins fréquents. Soyez prêt mentalement et, surtout, techniquement.

Je m'attarderai sur certaines fonctionnalités de la solution qui n'ont pas été trouvées dans les exemples résolus.

La solution générale du système peut parfois inclure une ou plusieurs constantes, par exemple : . Ici l'une des variables de base est égale à un nombre constant : . Il n’y a rien d’exotique là-dedans, ça arrive. Évidemment, dans ce cas, toute solution particulière contiendra un cinq en première position.

Rarement, mais il existe des systèmes dans lesquels le nombre d'équations est supérieur au nombre de variables. La méthode gaussienne fonctionne dans les conditions les plus sévères : il faut calmement réduire la matrice étendue du système à une forme pas à pas en utilisant un algorithme standard. Un tel système peut être incohérent, peut avoir une infinité de solutions et, curieusement, peut avoir une seule solution.

DANS cas général l'équation linéaire est :

L'équation a une solution : si au moins un des coefficients des inconnues est différent de zéro. Dans ce cas, tout vecteur dimensionnel est appelé solution de l'équation si, en substituant ses coordonnées, l'équation devient une identité.

Caractéristiques générales du système d'équations résolu

Exemple 20.1

Décrire le système d'équations.

Solution:

1. Y-a-t-il une équation contradictoire ?(Si les coefficients, dans ce cas l'équation a la forme : et s'appelle controversé.)

Si un système contient quelque chose de contradictoire, alors un tel système est incohérent et n’a pas de solution.

2. Trouver toutes les variables autorisées. (L'inconnu s'appellepermis pour un système d'équations, s'il est inclus dans l'une des équations du système avec un coefficient de +1, mais n'est pas inclus dans les équations restantes (c'est-à-dire qu'il est inclus avec un coefficient égal à zéro).

3. Le système d'équations est-il résolu ? (Le système d'équations est dit résolu, si chaque équation du système contient une inconnue résolue, parmi laquelle il n'y en a pas de coïncidence)

Les inconnues résolues, prises une dans chaque équation du système, forment ensemble complet d'inconnues résolues systèmes. (dans notre exemple, c'est)

Les inconnues autorisées incluses dans l'ensemble complet sont également appelées basique(), et non inclus dans l'ensemble - gratuit ().

Dans le cas général, le système d’équations résolu a la forme :

A ce stade, l'essentiel est de comprendre de quoi il s'agit résolu inconnu(inclus dans la base et gratuit).

Général Particulier Solutions de base

Solution générale un système d'équations résolu est un ensemble d'expressions d'inconnues résolues à travers des termes libres et des inconnues libres :

Décision privée s'appelle une solution obtenue à partir d'une solution générale pour des valeurs spécifiques de variables libres et d'inconnues.

Solution basique est une solution particulière obtenue à partir de la solution générale pour les valeurs nulles des variables libres.

La solution de base (vecteur) s'appelle dégénérer, si le nombre de ses coordonnées est différent de zéro, moins de nombre inconnues résolues.
La solution de base s'appelle non dégénéré, si le nombre de ses coordonnées non nulles est égal au nombre d'inconnues autorisées du système inclus dans l'ensemble complet.

Théorème (1)

Le système d'équations résolu est toujours cohérent(car il a au moins une solution) ; De plus, si le système ne possède pas d’inconnues libres,(c'est-à-dire que dans un système d'équations, toutes celles autorisées sont incluses dans la base) alors c'est défini(a une solution unique); s'il y a au moins une variable libre, alors le système n'est pas défini(a un nombre infini de solutions).

Exemple 1. Trouver la solution générale, fondamentale et toute solution particulière du système d'équations :

Solution:

1. Est-ce qu'on vérifie si le système est autorisé ?

Le système est résolu (puisque chacune des équations contient une inconnue résolue)

2. Nous incluons les inconnues autorisées dans l'ensemble - une pour chaque équation.

3. Nous écrivons la solution générale en fonction des inconnues autorisées que nous avons incluses dans l'ensemble.

4. Trouver une solution privée. Pour ce faire, nous assimilons les variables libres que nous n'avons pas incluses dans l'ensemble à des nombres arbitraires.

Répondre: solution privée(une des options)

5. Trouver la solution de base. Pour ce faire, nous assimilons à zéro les variables libres que nous n'avons pas incluses dans l'ensemble.

Transformations élémentaires d'équations linéaires

Les systèmes d'équations linéaires sont réduits à des systèmes résolus équivalents à l'aide de transformations élémentaires.

Théorème (2)

Si seulement multiplier l'équation du système par un nombre non nul, et laissez le reste des équations inchangé, alors . (c'est-à-dire que si vous multipliez les côtés gauche et droit de l'équation par le même nombre, vous obtenez une équation équivalente à celle-ci)

Théorème (3)

Si en ajouter un autre à n'importe quelle équation du système, et laissez toutes les autres équations inchangées, alors on obtient un système équivalent à celui-ci. (c'est-à-dire que si vous ajoutez deux équations (en ajoutant leurs côtés gauche et droit), vous obtiendrez une équation équivalente aux données)

Corollaire des théorèmes (2 et 3)

Si ajouter une autre équation à une équation multipliée par un certain nombre, et laissez toutes les autres équations inchangées, alors on obtient un système équivalent à celui-ci.

Formules pour recalculer les coefficients du système

Si nous avons un système d’équations et que nous voulons le transformer en un système d’équations résolu, la méthode Jordan-Gauss nous y aidera.

La Jordanie se transforme avec un élément résolvant permet d'obtenir pour un système d'équations l'inconnue résolue dans l'équation de nombre . (exemple 2).

La transformation de Jordan se compose de transformations élémentaires de deux types :

Disons que nous voulons faire de l'inconnue de l'équation inférieure une inconnue résolue. Pour ce faire, il faut diviser par , pour que la somme soit .

Exemple 2 Recalculons les coefficients du système

Lors de la division d'une équation avec un nombre par , ses coefficients sont recalculés à l'aide des formules :

Pour exclure de l'équation avec le nombre , vous devez multiplier l'équation avec le nombre par et ajouter à cette équation.

Théorème (4) Sur la réduction du nombre d'équations du système.

Si un système d'équations contient une équation triviale, alors elle peut être exclue du système et un système équivalent à celui d'origine sera obtenu.

Théorème (5) Sur l'incompatibilité du système d'équations.

Si un système d’équations contient une équation incohérente, alors elle est incohérente.

Algorithme de la méthode Jordan-Gauss

L'algorithme de résolution de systèmes d'équations à l'aide de la méthode Jordan-Gauss comprend un certain nombre d'étapes similaires, à chacune desquelles les actions sont effectuées dans l'ordre suivant :

Vérifie si le système est incohérent. Si un système contient une équation incohérente, alors il est incohérent.
La possibilité de réduire le nombre d'équations est vérifiée. Si le système contient une équation triviale, elle est barrée.
Si le système d'équations est résolu, notez la solution générale du système et, si nécessaire, les solutions particulières.
Si le système n'est pas résolu, alors dans une équation qui ne contient pas d'inconnue résolue, un élément de résolution est sélectionné et une transformation de Jordan est effectuée avec cet élément.
Revenez ensuite au point 1

Exemple 3 Résolvez un système d'équations en utilisant la méthode Jordan-Gauss.

Trouver: deux solutions générales et deux solutions de base correspondantes

Solution:

Les calculs sont présentés dans le tableau ci-dessous :

À droite du tableau se trouvent les actions sur les équations. Les flèches indiquent à quelle équation l'équation avec l'élément de résolution est ajoutée, multipliée par un facteur approprié.

Les trois premières lignes du tableau contiennent les coefficients des inconnues et les membres de droite du système d'origine. Les résultats de la première transformée de Jordan avec un élément résolvant égal à un sont donnés aux lignes 4, 5, 6. Les résultats de la deuxième transformée de Jordan avec un élément résolvant égal à (-1) sont donnés aux lignes 7, 8, 9. La troisième équation étant triviale, elle ne peut pas être considérée.

La méthode gaussienne, également appelée méthode d'élimination séquentielle des inconnues, est la suivante. A l'aide de transformations élémentaires, un système d'équations linéaires est amené sous une forme telle que sa matrice de coefficients s'avère être trapézoïdal (identique à triangulaire ou à gradins) ou proche du trapèze (course directe de la méthode gaussienne, ci-après simplement course droite). Un exemple d'un tel système et de sa solution se trouve dans la figure ci-dessus.

Dans un tel système, la dernière équation ne contient qu’une seule variable et sa valeur peut être trouvée sans ambiguïté. La valeur de cette variable est ensuite substituée dans l'équation précédente ( inverse de la méthode gaussienne , puis juste l'inverse), à partir de laquelle la variable précédente est trouvée, et ainsi de suite.

Dans un système trapézoïdal (triangulaire), comme on le voit, la troisième équation ne contient plus de variables oui Et X, et la deuxième équation est la variable X .

Une fois que la matrice du système a pris une forme trapézoïdale, il n'est plus difficile de comprendre la question de compatibilité du système, de déterminer le nombre de solutions et de trouver les solutions elles-mêmes.

Avantages de la méthode :

lors de la résolution de systèmes d'équations linéaires avec plus de trois équations et inconnues, la méthode de Gauss n'est pas aussi lourde que la méthode de Cramer, car la résolution avec la méthode de Gauss nécessite moins de calculs ;
la méthode de Gauss peut résoudre des systèmes indéterminés d'équations linéaires, c'est-à-dire avoir une solution générale (et nous les analyserons dans cette leçon), et en utilisant la méthode de Cramer, nous pouvons seulement affirmer que le système est indéterminé ;
vous pouvez résoudre des systèmes d'équations linéaires dans lesquels le nombre d'inconnues n'est pas égal au nombre d'équations (nous les analyserons également dans cette leçon) ;
La méthode est basée sur des méthodes élémentaires (scolaires) - la méthode de substitution d'inconnues et la méthode d'addition d'équations, que nous avons évoquées dans l'article correspondant.

Afin que chacun comprenne la simplicité avec laquelle les systèmes trapézoïdaux (triangulaires, en escalier) d'équations linéaires sont résolus, nous présentons une solution à un tel système utilisant le mouvement inverse. Une solution rapide à ce système a été présentée dans l'image au début de la leçon.

Exemple 1. Résolvez un système d'équations linéaires en utilisant l'inverse :

Solution. Dans ce système trapézoïdal la variable z peut être trouvé uniquement à partir de la troisième équation. Nous substituons sa valeur dans la deuxième équation et obtenons la valeur de la variable oui:

Nous connaissons maintenant les valeurs de deux variables - z Et oui. Nous les substituons dans la première équation et obtenons la valeur de la variable X:

À partir des étapes précédentes, nous écrivons la solution du système d’équations :

Pour obtenir un tel système trapézoïdal d'équations linéaires, que nous avons résolu très simplement, il faut utiliser un trait vers l'avant associé à des transformations élémentaires du système d'équations linéaires. Ce n'est pas non plus très difficile.

Transformations élémentaires d'un système d'équations linéaires

En répétant la méthode scolaire consistant à additionner algébriquement les équations d'un système, nous avons découvert qu'à l'une des équations du système, nous pouvons ajouter une autre équation du système et que chacune des équations peut être multipliée par certains nombres. On obtient ainsi un système d’équations linéaires équivalent à celui-ci. Dans celui-ci, une équation ne contenait déjà qu'une seule variable, dont la valeur est remplacée par d'autres équations et nous arrivons à une solution. Une telle addition est un des types de transformation élémentaire du système. Lors de l'utilisation de la méthode gaussienne, nous pouvons utiliser plusieurs types de transformations.

L'animation ci-dessus montre comment le système d'équations se transforme progressivement en un système trapézoïdal. C'est-à-dire celui que vous avez vu dans la toute première animation et vous êtes convaincu qu'il est facile d'y trouver les valeurs de toutes les inconnues. Comment effectuer une telle transformation et, bien sûr, des exemples seront discutés plus en détail.

Lors de la résolution de systèmes d'équations linéaires avec un nombre quelconque d'équations et d'inconnues dans le système d'équations et dans la matrice étendue du système Peut:

réorganiser les lignes (cela a été mentionné au tout début de cet article) ;
si d'autres transformations aboutissent à des lignes égales ou proportionnelles, elles peuvent être supprimées, sauf une ;
supprimer les lignes « zéro » où tous les coefficients sont égaux à zéro ;
multiplier ou diviser n'importe quelle chaîne par un certain nombre ;
à n’importe quelle ligne, ajoutez une autre ligne, multipliée par un certain nombre.

Grâce aux transformations, nous obtenons un système d'équations linéaires équivalent à celui-ci.

Algorithme et exemples de résolution d'un système d'équations linéaires avec une matrice carrée du système à l'aide de la méthode de Gauss

Considérons d'abord la résolution de systèmes d'équations linéaires dans lesquels le nombre d'inconnues est égal au nombre d'équations. La matrice d'un tel système est carrée, c'est-à-dire que le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes.

Exemple 2. Résoudre un système d'équations linéaires en utilisant la méthode de Gauss

Lors de la résolution de systèmes d'équations linéaires à l'aide de méthodes scolaires, nous multipliions l'une des équations terme par terme par un certain nombre, de sorte que les coefficients de la première variable des deux équations soient des nombres opposés. Lors de l'ajout d'équations, cette variable est éliminée. La méthode Gauss fonctionne de la même manière.

Pour simplifier apparence solutions créons une matrice étendue du système:

Dans cette matrice, les coefficients des inconnues sont situés à gauche avant la ligne verticale, et les termes libres sont situés à droite après la ligne verticale.

Pour faciliter la division des coefficients des variables (pour obtenir la division par unité) Échangeons les première et deuxième lignes de la matrice système. On obtient un système équivalent à celui-ci, puisque dans un système d'équations linéaires les équations peuvent être interverties :

Utiliser la nouvelle première équation éliminer la variable X de la deuxième et de toutes les équations suivantes. Pour ce faire, à la deuxième ligne de la matrice, nous ajoutons la première ligne multipliée par (dans notre cas par ), à la troisième ligne - la première ligne multipliée par (dans notre cas par ).

Ceci est possible parce que

S'il y avait plus de trois équations dans notre système, nous devrions alors ajouter à toutes les équations suivantes la première ligne, multipliée par le rapport des coefficients correspondants, pris avec un signe moins.

En conséquence, nous obtenons une matrice équivalente à ce système nouveau systèmeéquations dans lesquelles toutes les équations, à partir de la seconde ne contient pas de variable X :

Pour simplifier la deuxième ligne du système résultant, multipliez-la par et obtenez à nouveau la matrice d'un système d'équations équivalent à ce système :

Maintenant, en gardant inchangée la première équation du système résultant, en utilisant la deuxième équation, nous éliminons la variable oui de toutes les équations suivantes. Pour ce faire, à la troisième ligne de la matrice système, nous ajoutons la deuxième ligne, multipliée par (dans notre cas par ).

S'il y avait plus de trois équations dans notre système, nous devions alors ajouter une deuxième ligne à toutes les équations suivantes, multipliée par le rapport des coefficients correspondants pris avec un signe moins.

En conséquence, on obtient à nouveau la matrice d'un système équivalent à ce système d'équations linéaires :

Nous avons obtenu un système trapézoïdal équivalent d'équations linéaires :

Si le nombre d'équations et de variables est supérieur à celui de notre exemple, le processus d'élimination séquentielle des variables se poursuit jusqu'à ce que la matrice du système devienne trapézoïdale, comme dans notre exemple de démonstration.

Nous trouverons la solution « dès la fin » - le mouvement inverse. Pour ça à partir de la dernière équation, nous déterminons z:
.
En substituant cette valeur dans l'équation précédente, nous trouverons oui:

De la première équation nous trouverons X:

Réponse : la solution de ce système d'équations est .

: dans ce cas la même réponse sera donnée si le système a une solution unique. Si le système a un nombre infini de solutions, alors telle sera la réponse, et c'est le sujet de la cinquième partie de cette leçon.

Résolvez vous-même un système d'équations linéaires en utilisant la méthode gaussienne, puis examinez la solution

Ici encore, nous avons un exemple d'un système cohérent et défini d'équations linéaires, dans lequel le nombre d'équations est égal au nombre d'inconnues. La différence entre notre exemple de démonstration et l'algorithme est qu'il existe déjà quatre équations et quatre inconnues.

Exemple 4. Résolvez un système d'équations linéaires en utilisant la méthode de Gauss :

Vous devez maintenant utiliser la deuxième équation pour éliminer la variable des équations suivantes. Réalisons travail préparatoire. Pour rendre le rapport des coefficients plus pratique, vous devez en obtenir un dans la deuxième colonne de la deuxième ligne. Pour ce faire, soustrayez le troisième de la deuxième ligne et multipliez la deuxième ligne obtenue par -1.

Procédons maintenant à l'élimination proprement dite de la variable des troisième et quatrième équations. Pour ce faire, ajoutez la deuxième ligne multipliée par , à la troisième ligne, et la deuxième ligne multipliée par , à la quatrième ligne.

Maintenant, en utilisant la troisième équation, nous éliminons la variable de la quatrième équation. Pour ce faire, ajoutez la troisième ligne à la quatrième ligne, multipliée par . Nous obtenons une matrice trapézoïdale étendue.

Nous avons obtenu un système d’équations équivalent à ce système:

Par conséquent, les systèmes résultants et donnés sont compatibles et définis. Décision finale on retrouve « depuis la fin ». A partir de la quatrième équation, nous pouvons exprimer directement la valeur de la variable « x-quatre » :

Nous substituons cette valeur dans la troisième équation du système et obtenons

Enfin, la substitution de valeur

La première équation donne

où trouve-t-on « x en premier » :

Réponse : ce système d'équations a une solution unique .

Vous pouvez également vérifier la solution du système sur une calculatrice en utilisant la méthode de Cramer : dans ce cas, la même réponse sera donnée si le système a une solution unique.

Résolution de problèmes appliqués par la méthode de Gauss à partir de l'exemple d'un problème sur les alliages

Des systèmes d'équations linéaires sont utilisés pour modéliser des objets réels dans le monde physique. Résolvons l'un de ces problèmes : les alliages. Problèmes similaires - problèmes de mélanges, de coût ou densité spécifique produits individuels dans un groupe de produits, etc.

Exemple 5. Trois pièces d'alliage ont une masse totale de 150 kg. Le premier alliage contient 60 % de cuivre, le deuxième - 30 %, le troisième - 10 %. De plus, dans les deuxième et troisième alliages pris ensemble, il y a 28,4 kg de cuivre de moins que dans le premier alliage, et dans le troisième alliage, il y a 6,2 kg de cuivre de moins que dans le deuxième. Trouvez la masse de chaque morceau de l’alliage.

Solution. Nous composons un système d'équations linéaires :

On multiplie les deuxième et troisième équations par 10, on obtient un système équivalent d'équations linéaires :

Nous créons une matrice étendue du système :

Attention, tout droit. En ajoutant (dans notre cas, en soustrayant) une ligne multipliée par un nombre (nous l'appliquons deux fois), les transformations suivantes se produisent avec la matrice étendue du système :

Le déménagement direct est terminé. Nous avons obtenu une matrice trapézoïdale expansée.

Nous appliquons le mouvement inverse. Nous trouvons la solution dès la fin. On voit ça.

De la deuxième équation on trouve

De la troisième équation -

Vous pouvez également vérifier la solution du système sur une calculatrice en utilisant la méthode de Cramer : dans ce cas, la même réponse sera donnée si le système a une solution unique.

La simplicité de la méthode de Gauss est attestée par le fait qu'il n'a fallu que 15 minutes au mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss pour l'inventer. En plus de la méthode qui porte son nom, le dicton « Nous ne devons pas confondre ce qui nous semble incroyable et contre nature avec ce qui est absolument impossible » est connu des travaux de Gauss - une sorte de brèves instructions faire des découvertes.

Dans de nombreux problèmes appliqués, il peut ne pas y avoir de troisième contrainte, c'est-à-dire une troisième équation, il faut alors résoudre un système de deux équations à trois inconnues en utilisant la méthode gaussienne, ou, à l'inverse, il y a moins d'inconnues que d'équations. Nous allons maintenant commencer à résoudre de tels systèmes d'équations.

En utilisant la méthode gaussienne, vous pouvez déterminer si un système est compatible ou incompatible néquations linéaires avec n variables.

La méthode de Gauss et les systèmes d'équations linéaires avec un nombre infini de solutions

L’exemple suivant est un système cohérent mais indéterminé d’équations linéaires, c’est-à-dire ayant un nombre infini de solutions.

Après avoir effectué des transformations dans la matrice étendue du système (réorganisation des lignes, multiplication et division des lignes par un certain nombre, ajout d'un autre à une ligne), des lignes du formulaire pourraient apparaître

Si dans toutes les équations ayant la forme

Les termes libres sont égaux à zéro, cela signifie que le système est indéfini, c'est-à-dire qu'il a un nombre infini de solutions, et les équations de ce type sont « superflues » et nous les excluons du système.

Exemple 6.

Solution. Créons une matrice étendue du système. Ensuite, en utilisant la première équation, nous éliminons la variable des équations suivantes. Pour cela, ajoutez aux deuxième, troisième et quatrième lignes la première, multipliée par :

Ajoutons maintenant la deuxième ligne aux troisième et quatrième.

On arrive alors au système

Les deux dernières équations se sont transformées en équations de la forme. Ces équations sont satisfaites pour toute valeur des inconnues et peuvent être écartées.

Pour satisfaire la deuxième équation, on peut choisir des valeurs arbitraires pour et , alors la valeur pour sera déterminée de manière unique : . À partir de la première équation, la valeur de se trouve également de manière unique : .

Le système donné et le dernier sont cohérents, mais incertains, et les formules

pour arbitraire et donnez-nous toutes les solutions d’un système donné.

Méthode de Gauss et systèmes d'équations linéaires sans solutions

L’exemple suivant est un système d’équations linéaires incohérent, c’est-à-dire qui n’a pas de solution. La réponse à de tels problèmes se formule ainsi : le système n’a pas de solutions.

Comme déjà mentionné à propos du premier exemple, après avoir effectué des transformations, des lignes du formulaire pourraient apparaître dans la matrice étendue du système

correspondant à une équation de la forme

Si parmi elles il y a au moins une équation avec un terme libre non nul (c'est-à-dire ), alors ce système d'équations est incohérent, c'est-à-dire qu'il n'a pas de solutions et sa solution est complète.

Exemple 7. Résolvez le système d'équations linéaires en utilisant la méthode de Gauss :

Solution. Nous composons une matrice étendue du système. En utilisant la première équation, nous excluons la variable des équations suivantes. Pour ce faire, ajoutez la première ligne multipliée par à la deuxième ligne, la première ligne multipliée par la troisième ligne et la première ligne multipliée par la quatrième ligne.

Vous devez maintenant utiliser la deuxième équation pour éliminer la variable des équations suivantes. Pour obtenir des rapports entiers de coefficients, nous échangeons les deuxième et troisième lignes de la matrice étendue du système.

Pour exclure les troisième et quatrième équations, ajoutez la deuxième multipliée par , à la troisième ligne, et la seconde multipliée par , à la quatrième ligne.

Maintenant, en utilisant la troisième équation, nous éliminons la variable de la quatrième équation. Pour ce faire, ajoutez la troisième ligne à la quatrième ligne, multipliée par .

Le système donné est donc équivalent au suivant :

Le système résultant est incohérent, puisque sa dernière équation ne peut être satisfaite par aucune valeur des inconnues. Ce système n’a donc aucune solution.