Résolvez le bourbier de manière matricielle. La règle de Cramer. Méthode de la matrice inverse
Mission de service. A l'aide de ce calculateur en ligne, les inconnues (x 1 , x 2 , ..., x n ) sont calculées dans le système d'équations. La décision est prise méthode matrice inverse . Où:- le déterminant de la matrice A est calculé ;
- par additions algébriques, on trouve la matrice inverse A -1 ;
- un modèle de solution est créé dans Excel ;
Instruction. Pour obtenir une solution par la méthode de la matrice inverse, il est nécessaire de préciser la dimension de la matrice. Ensuite, dans la nouvelle boîte de dialogue, remplissez la matrice A et le vecteur résultat B .
Voir aussi Solution des équations matricielles.Algorithme de solution
- Le déterminant de la matrice A est calculé. Si le déterminant est nul, alors la fin de la solution. Le système a un nombre infini de solutions.
- Lorsque le déterminant est différent de zéro, la matrice inverse A -1 est trouvée par additions algébriques.
- Le vecteur décision X =(x 1 , x 2 , ..., x n ) est obtenu en multipliant la matrice inverse par le vecteur résultat B .
Ajouts algébriques.
| A 1.1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| A 1.3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| A 2.1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| A 2.2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| A 2.3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| A 3.1 = (-1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Examen:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
Les équations en général, les équations algébriques linéaires et leurs systèmes, ainsi que les méthodes pour les résoudre, occupent une place particulière en mathématiques, tant théoriques qu'appliquées.
Cela est dû au fait que la grande majorité des problèmes physiques, économiques, techniques et même tâches pédagogiques peut être décrit et résolu à l'aide de diverses équations et de leurs systèmes. À Ces derniers temps a acquis une popularité particulière parmi les chercheurs, les scientifiques et les praticiens modélisation mathématique dans presque tous les domaines, ce qui s'explique par ses avantages évidents par rapport à d'autres méthodes bien connues et éprouvées pour l'étude des objets nature différente, en particulier le soi-disant systèmes complexes. Il existe une grande variété diverses définitions modèle mathématique donné par les scientifiques dans des moments différents, mais à notre avis, le plus réussi est la déclaration suivante. Un modèle mathématique est une idée exprimé par l'équation. Ainsi, la capacité de composer et de résoudre des équations et leurs systèmes est une caractéristique intégrale d'un spécialiste moderne.
Pour résoudre des systèmes linéaires équations algébriques les méthodes les plus couramment utilisées sont : Cramer, Jordan-Gauss et la méthode matricielle.
Méthode matricielle solutions - une méthode de résolution de systèmes d'équations algébriques linéaires avec un déterminant non nul à l'aide d'une matrice inverse.
Si nous écrivons les coefficients pour les valeurs inconnues xi dans la matrice A, collectons les valeurs inconnues dans le vecteur de la colonne X et collectons les termes libres dans le vecteur de la colonne B, alors le système d'équations algébriques linéaires peut être écrit comme suit équation matricielle A · X = B, qui n'a de solution unique que si le déterminant de la matrice A n'est pas égal à zéro. Dans ce cas, la solution du système d'équations peut être trouvée de la manière suivante X = UN-une · B, où UN-1 - matrice inverse.
La méthode de résolution matricielle est la suivante.
Laissez le système équations linéaires Avec n inconnue:
Elle peut être réécrite sous forme matricielle : HACHE = B, où UN- la matrice principale du système, B et X- des colonnes de membres libres et de solutions du système, respectivement :
Multipliez cette équation matricielle à gauche par UN-1 - matrice inverse de la matrice UN: UN -1 (HACHE) = UN -1 B
Car UN -1 UN = E, on a X= UN -1 B. Le côté droit de cette équation donnera une colonne de solutions au système original. La condition d'applicabilité pour cette méthode (ainsi que pour l'existence d'une solution en général n'est pas système homogèneéquations linéaires avec le nombre d'équations égal au nombre d'inconnues) est la non-dégénérescence de la matrice UN. Nécessaire et condition suffisante c'est l'inégalité zéro du déterminant de la matrice UN: det UN≠ 0.
Pour un système homogène d'équations linéaires, c'est-à-dire lorsque le vecteur B = 0 , vraiment règle inverse: système HACHE = 0 a une solution non triviale (c'est-à-dire non nulle) uniquement si det UN= 0. Une telle connexion entre les solutions de systèmes homogènes et non homogènes d'équations linéaires est appelée l'alternative de Fredholm.
Exemple solutions d'un système non homogène d'équations algébriques linéaires.
Assurons-nous que le déterminant de la matrice, composé des coefficients des inconnues du système d'équations algébriques linéaires, n'est pas égal à zéro.
L'étape suivante consiste à calculer additions algébriques pour les éléments de la matrice constituée des coefficients des inconnues. Ils seront nécessaires pour trouver la matrice inverse.
La calculateur en ligne résout un système d'équations linéaires par la méthode matricielle. Donné très solution détaillée. Pour résoudre un système d'équations linéaires, sélectionnez le nombre de variables. Choisissez une méthode pour calculer la matrice inverse. Entrez ensuite les données dans les cellules et cliquez sur le bouton "Calculer".
×
Avertissement
Effacer toutes les cellules ?
Fermer Effacer
Instruction de saisie de données. Les nombres sont saisis sous forme de nombres entiers (exemples : 487, 5, -7623, etc.), de nombres décimaux (par exemple, 67, 102,54, etc.) ou de fractions. La fraction doit être saisie sous la forme a/b, où a et b sont des nombres entiers ou Nombres décimaux. Exemples 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, etc.
Méthode matricielle pour résoudre des systèmes d'équations linéaires
Considérons le système d'équations linéaires suivant :
Compte tenu de la définition de la matrice inverse, nous avons UN −1 UN=E, où E est la matrice identité. Par conséquent, (4) peut s'écrire comme suit :
Ainsi, pour résoudre le système d'équations linéaires (1) (ou (2)), il suffit de multiplier l'inverse par UN matrice par vecteur de contrainte b.
Exemples de résolution d'un système d'équations linéaires par la méthode matricielle
Exemple 1. Résolvez le système d'équations linéaires suivant en utilisant la méthode matricielle :
Trouvons l'inverse de la matrice A par la méthode de Jordan-Gauss. DE côté droit matrices UNécrire matrice d'identité:
Excluons les éléments de la 1ère colonne de la matrice sous la diagonale principale. Pour ce faire, ajoutez les lignes 2,3 à la ligne 1, multipliées respectivement par -1/3, -1/3 :
Excluons les éléments de la 2e colonne de la matrice sous la diagonale principale. Pour ce faire, additionnez la ligne 3 avec la ligne 2 multipliée par -24/51 :
Excluons les éléments de la 2e colonne de la matrice au-dessus de la diagonale principale. Pour ce faire, additionnez la ligne 1 avec la ligne 2, multipliée par -3/17 :
Séparez le côté droit de la matrice. La matrice résultante est l'inverse de UN :
Forme matricielle d'écriture d'un système d'équations linéaires : hache=b, où
Calculer tous les compléments algébriques de la matrice UN:
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 .
|
La matrice inverse est calculée à partir de l'expression suivante.
Dans la première partie, nous avons examiné quelques matériel théorique, la méthode de substitution et la méthode d'addition terme à terme des équations du système. À tous ceux qui sont venus sur le site via cette page, je vous recommande de lire la première partie. Peut-être que certains visiteurs trouveront le matériel trop simple, mais au cours de la résolution de systèmes d'équations linéaires, j'ai fait un certain nombre de remarques et de conclusions très importantes concernant la solution Problèmes mathématiques en général.
Et maintenant, nous allons analyser la règle de Cramer, ainsi que la solution d'un système d'équations linéaires utilisant la matrice inverse (méthode matricielle). Tous les matériaux sont présentés simplement, en détail et clairement, presque tous les lecteurs pourront apprendre à résoudre des systèmes en utilisant les méthodes ci-dessus.
Nous considérons d'abord en détail la règle de Cramer pour un système de deux équations linéaires à deux inconnues. Pourquoi? - Après tout le système le plus simple peut être résolu par la méthode scolaire, par addition de terme !
Le fait est que même si parfois, mais il y a une telle tâche - résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues en utilisant les formules de Cramer. Deuxièmement, un exemple plus simple vous aidera à comprendre comment utiliser la règle de Cramer pour plus cas difficile– systèmes de trois équations à trois inconnues.
De plus, il existe des systèmes d'équations linéaires à deux variables, qu'il convient de résoudre exactement selon la règle de Cramer !
Considérons le système d'équations
A la première étape, on calcule le déterminant , on l'appelle le principal déterminant du système.
Méthode de Gauss.
Si , alors le système a une solution unique, et pour trouver les racines, nous devons calculer deux autres déterminants :
et
En pratique, les qualificatifs ci-dessus peuvent également être désignés par la lettre latine.
Les racines de l'équation sont trouvées par les formules :
,
Exemple 7
Résoudre un système d'équations linéaires 
La solution: On voit que les coefficients de l'équation sont assez grands, du côté droit il y a décimales avec une virgule. La virgule est un invité assez rare dans les travaux pratiques en mathématiques ; j'ai tiré ce système d'un problème économétrique.
Comment résoudre un tel système ? Vous pouvez essayer d'exprimer une variable en fonction d'une autre, mais dans ce cas, vous obtiendrez sûrement des fractions de fantaisie terribles, avec lesquelles il est extrêmement gênant de travailler, et la conception de la solution aura l'air tout simplement horrible. Vous pouvez multiplier la deuxième équation par 6 et soustraire terme par terme, mais les mêmes fractions apparaîtront ici.
Que faire? Dans de tels cas, les formules de Cramer viennent à la rescousse.
;
;
Réponse: ,
Les deux racines ont des queues infinies et se trouvent approximativement, ce qui est tout à fait acceptable (et même banal) pour les problèmes d'économétrie.
Les commentaires ne sont pas nécessaires ici, car la tâche est résolue selon des formules toutes faites, cependant, il y a une mise en garde. Lors de l'utilisation cette méthode, obligatoire Le fragment de devoir est le fragment suivant : "donc le système a une solution unique". Sinon, l'examinateur peut vous punir pour avoir manqué de respect au théorème de Cramer.
Il ne sera pas superflu de vérifier, ce qui est pratique à réaliser sur une calculatrice : on substitue des valeurs approchées dans côté gauche chaque équation du système. En conséquence, avec une petite erreur, les nombres qui se trouvent sur le côté droit doivent être obtenus.
Exemple 8
Exprimez votre réponse de manière ordinaire fractions impropres. Faites un chèque.
Ceci est un exemple pour décision indépendante(Exemple finition et réponse à la fin de la leçon).
Passons à l'examen de la règle de Cramer pour un système de trois équations à trois inconnues : 
On retrouve le déterminant principal du système : 
Si , alors le système a une infinité de solutions ou est incohérent (n'a pas de solutions). Dans ce cas, la règle de Cramer n'aidera pas, vous devez utiliser la méthode de Gauss.
Si , alors le système a une solution unique, et pour trouver les racines, nous devons calculer trois autres déterminants : 
, 
, 
Et enfin, la réponse est calculée par les formules : 
Comme vous pouvez le voir, le cas "trois par trois" n'est fondamentalement pas différent du cas "deux par deux", la colonne de termes libres "parcourt" séquentiellement de gauche à droite le long des colonnes du déterminant principal.
Exemple 9
Résolvez le système à l'aide des formules de Cramer. 
La solution: Résolvons le système en utilisant les formules de Cramer. 
, donc le système a une solution unique.
Réponse: 
.
En fait, là encore, il n'y a rien de spécial à commenter, compte tenu du fait que la décision est prise selon des formules toutes faites. Mais il y a quelques notes.
Il arrive qu'à la suite de calculs, on obtienne de "mauvaises" fractions irréductibles, par exemple : .
Je recommande l'algorithme de "traitement" suivant. S'il n'y a pas d'ordinateur à portée de main, nous procédons comme suit :
1) Il peut y avoir une erreur dans les calculs. Dès que vous rencontrez un « mauvais » coup, vous devez immédiatement vérifier si la condition est-elle réécrite correctement. Si la condition est réécrite sans erreur, vous devez recalculer les déterminants à l'aide du développement dans une autre ligne (colonne).
2) Si aucune erreur n'a été trouvée à la suite de la vérification, il est fort probable qu'une faute de frappe ait été commise dans l'état du devoir. Dans ce cas, résolvez calmement et SOIGNEUSEMENT la tâche jusqu'à la fin, puis assurez-vous de vérifier et l'établir sur une copie propre après la décision. Bien sûr, vérifier une réponse fractionnaire est une tâche désagréable, mais ce sera un argument désarmant pour l'enseignant, qui, eh bien, aime vraiment mettre un moins pour toute mauvaise chose comme ça. La façon de traiter les fractions est détaillée dans la réponse de l'exemple 8.
Si vous avez un ordinateur à portée de main, utilisez un programme automatisé pour le vérifier, qui peut être téléchargé gratuitement au tout début de la leçon. Au fait, il est plus avantageux d'utiliser le programme tout de suite (avant même de commencer la solution), vous verrez immédiatement l'étape intermédiaire à laquelle vous vous êtes trompé ! La même calculatrice calcule automatiquement la solution du système en utilisant la méthode matricielle.
Deuxième remarque. De temps en temps, il existe des systèmes dans les équations dont certaines variables manquent, par exemple : 
Ici dans la première équation il n'y a pas de variable , dans la seconde il n'y a pas de variable . Dans de tels cas, il est très important d'écrire correctement et SOIGNEUSEMENT le principal déterminant : 
– des zéros sont mis à la place des variables manquantes.
Soit dit en passant, il est rationnel d'ouvrir des déterminants avec des zéros dans la ligne (colonne) dans laquelle se trouve zéro, car il y a nettement moins de calculs.
Exemple 10
Résolvez le système à l'aide des formules de Cramer. 
Ceci est un exemple d'auto-résolution (échantillon de finition et réponse à la fin de la leçon).
Pour le cas d'un système de 4 équations à 4 inconnues, les formules de Cramer s'écrivent selon des principes similaires. Vous pouvez voir un exemple en direct dans la leçon sur les propriétés déterminantes. Réduction de l'ordre du déterminant - cinq déterminants du 4ème ordre sont tout à fait résolubles. Bien que la tâche rappelle déjà beaucoup la chaussure d'un professeur sur la poitrine d'un étudiant chanceux.
Solution du système utilisant la matrice inverse
La méthode de la matrice inverse est essentiellement cas particulier équation matricielle(Voir l'exemple n ° 3 de la leçon spécifiée).
Pour étudier cette section, vous devez être capable de développer les déterminants, de trouver la matrice inverse et d'effectuer une multiplication matricielle. Les liens pertinents seront donnés au fur et à mesure de l'explication.
Exemple 11
Résoudre le système avec la méthode matricielle 
La solution: On écrit le système sous forme matricielle :
, où 
Veuillez regarder le système d'équations et les matrices. Par quel principe nous écrivons des éléments dans des matrices, je pense que tout le monde comprend. Le seul commentaire : si certaines variables manquaient dans les équations, alors des zéros devraient être mis aux endroits correspondants dans la matrice.
On trouve la matrice inverse par la formule :
, où est la matrice transposée des compléments algébriques des éléments correspondants de la matrice .
Traitons d'abord le déterminant :
Ici, le déterminant est développé par la première ligne.
Attention! Si , alors la matrice inverse n'existe pas et il est impossible de résoudre le système par la méthode matricielle. Dans ce cas, le système est résolu par élimination des inconnues (méthode de Gauss).
Maintenant, vous devez calculer 9 mineurs et les écrire dans la matrice des mineurs 
Référence: Il est utile de connaître la signification des indices doubles en algèbre linéaire. Le premier chiffre est le numéro de la ligne dans laquelle se trouve l'élément. Le deuxième chiffre est le numéro de la colonne dans laquelle se trouve l'élément : 
C'est-à-dire qu'un double indice indique que l'élément est dans la première ligne, troisième colonne, alors que, par exemple, l'élément est dans la 3ème ligne, 2ème colonne
Thème 2. SYSTÈMES D'ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES LINÉAIRES.
Concepts de base.
Définition 1. système méquations linéaires avec n inconnu est un système de la forme :
où et sont des nombres.
Définition 2. La solution du système (I) est un tel ensemble d'inconnues, dans lequel chaque équation de ce système se transforme en une identité.
Définition 3. Le système (I) est appelé découper s'il a au moins une solution et incompatible s'il n'a pas de solutions. Le système commun s'appelle certain s'il a une solution unique, et incertain Par ailleurs.
Définition 4. Équation de type
appelé zéro, et une équation de la forme
appelé incompatible. Évidemment, un système d'équations contenant une équation incohérente est incohérent.
Définition 5. Les deux systèmes d'équations linéaires sont appelés équivalent si toute solution d'un système est une solution d'un autre et, inversement, toute solution du second système est une solution du premier.
Notation matricielle pour un système d'équations linéaires.
Considérons le système (I) (voir §1).
Dénoter:
Matrice des coefficients pour les inconnues
Matrice - colonne de membres gratuits
Matrice - colonne d'inconnues
.
Définition 1. La matrice s'appelle la matrice principale du système(I), et la matrice est la matrice augmentée du système (I).
Par la définition de l'égalité matricielle, le système (I) correspond à l'égalité matricielle :
.
Côté droit cette égalité par la définition du produit de matrices ( voir définition 3 § 5 chapitre 1) peut être factorisé :
, c'est à dire.
Égalité (2) appelé notation matricielle du système (I).
Résolution d'un système d'équations linéaires par la méthode de Cramer.
Soit dans le système (I) (voir §1) m=n, c'est à dire. le nombre d'équations est égal au nombre d'inconnues, et la matrice principale du système est non dégénérée, c'est-à-dire . Alors le système (I) du §1 a une solution unique
où ∆ = det A appelé le principal déterminant du système(I), ∆ je est obtenu à partir du déterminant Δ en remplaçant je-ème colonne à la colonne des membres libres du système (I).
Exemple Résolvez le système par la méthode de Cramer :
.
Par formules (3)
.
On calcule les déterminants du système :
,
,
.
Pour obtenir le déterminant, nous avons remplacé la première colonne du déterminant par une colonne de termes libres ; en remplaçant la 2ème colonne du déterminant par une colonne de membres libres, on obtient ; de même, en remplaçant la 3e colonne du déterminant par une colonne de membres libres, on obtient . Solution système :
Résolution de systèmes d'équations linéaires à l'aide d'une matrice inverse.
Soit dans le système (I) (voir §1) m=n et la matrice principale du système est non dégénérée. On écrit le système (I) sous forme matricielle ( voir §2):
car matrice UN est non dégénérée, alors elle a une matrice inverse ( voir théorème 1 §6 du chapitre 1). Multiplier les deux côtés de l'équation (2) à la matrice, alors
Par définition de la matrice inverse . De l'égalité (3) Nous avons
Résoudre le système en utilisant la matrice inverse
.
Dénoter
Dans l'exemple (§ 3) nous avons calculé le déterminant , donc la matrice UN a une matrice inverse. Alors en force (4) , c'est à dire.
. (5)
Trouver la matrice ( voir §6 chapitre 1)
, 
, 
,
, 
, 
,
,
.
Méthode de Gauss.
Soit le système d'équations linéaires donné :
. (JE)
Il est nécessaire de trouver toutes les solutions du système (I) ou de s'assurer que le système est incohérent.
Définition 1.Appelons la transformation élémentaire du système(I) l'une des trois actions :
1) suppression de l'équation zéro ;
2) ajouter aux deux parties de l'équation les parties correspondantes de l'autre équation, multipliées par le nombre l ;
3) permuter les termes dans les équations du système de sorte que les inconnues avec les mêmes nombres dans toutes les équations occupent les mêmes places, c'est-à-dire si, par exemple, dans la 1ère équation on a changé les 2ème et 3ème termes, alors il faut faire la même chose dans toutes les équations du système.
La méthode de Gauss consiste dans le fait que le système (I) à l'aide de transformations élémentaires est réduit à un système équivalent, dont la solution est trouvée directement ou dont l'insolvabilité est établie.
Comme décrit au §2, le système (I) est uniquement déterminé par sa matrice étendue, et toute transformation élémentaire du système (I) correspond à une transformation élémentaire de la matrice étendue :
.
La transformation 1) correspond à supprimer la ligne zéro dans la matrice , la transformation 2) équivaut à ajouter à la ligne correspondante de la matrice son autre ligne multipliée par le nombre l, la transformation 3) équivaut à réorganiser les colonnes de la matrice .
Il est aisé de voir qu'au contraire, à chaque transformation élémentaire de la matrice correspond une transformation élémentaire du système (I). Compte tenu de ce qui a été dit, au lieu d'opérations avec le système (I), nous allons travailler avec la matrice augmentée de ce système.
Dans la matrice, la 1ère colonne est constituée des coefficients à x1, 2ème colonne - à partir des coefficients à x2 etc. En cas de réarrangement des colonnes, il convient de tenir compte du fait que cette condition est violée. Par exemple, si nous échangeons les 1ère et 2ème colonnes, alors maintenant dans la 1ère colonne, il y aura des coefficients à x2, et dans la 2ème colonne - coefficients à x1.
Nous allons résoudre le système (I) par la méthode de Gauss.
1. Barrez toutes les lignes nulles de la matrice, s'il y en a (c'est-à-dire, barrez toutes les équations nulles du système (I).
2. Vérifiez s'il existe une ligne parmi les lignes de la matrice dans laquelle tous les éléments sauf le dernier sont égaux à zéro (appelons une telle ligne incohérente). Évidemment, une telle ligne correspond à une équation incohérente dans le système (I), par conséquent, le système (I) n'a pas de solutions, et c'est là que le processus se termine.
3. Que la matrice ne contienne pas de lignes incohérentes (le système (I) ne contient pas d'équations incohérentes). Si un un 11 =0, puis nous trouvons dans la 1ère ligne un élément (sauf le dernier) qui est différent de zéro et réorganisons les colonnes de sorte qu'il n'y ait pas de zéro dans la 1ère ligne à la 1ère place. Nous supposons maintenant que (c'est-à-dire que nous échangeons les termes correspondants dans les équations du système (I)).
4. Multipliez la 1ère ligne par et ajoutez le résultat à la 2ème ligne, puis multipliez la 1ère ligne par et ajoutez le résultat à la 3ème ligne, etc. Évidemment, ce processus équivaut à éliminer l'inconnu x1 de toutes les équations du système (I), sauf la 1ère. Dans la nouvelle matrice, nous obtenons des zéros dans la 1ère colonne sous l'élément un 11:
.
5. Barrez toutes les lignes nulles de la matrice, le cas échéant, vérifiez s'il y a une ligne incohérente (si elle existe, alors le système est incohérent et la solution s'arrête là). Vérifions si un 22 / =0, si oui, alors nous trouvons un élément dans la 2ème ligne qui est différent de zéro et réorganisons les colonnes de sorte que . Ensuite, nous multiplions les éléments de la 2e ligne par 
et additionnez avec les éléments correspondants de la 3ème rangée, puis - les éléments de la 2ème rangée et ajoutez avec les éléments correspondants de la 4ème rangée, etc., jusqu'à ce que nous obtenions des zéros sous un 22 /
.
Les actions effectuées sont équivalentes à l'élimination de l'inconnu x2 de toutes les équations du système (I), sauf la 1ère et la 2ème. Puisque le nombre de lignes est fini, donc, après un nombre fini d'étapes, nous obtiendrons que soit le système est incohérent, soit nous arriverons à une matrice d'étape ( voir définition 2 §7 chapitre 1) :
,
Ecrivons le système d'équations correspondant à la matrice . Ce système est équivalent au système (I)
.
De la dernière équation nous exprimons ; nous substituons dans l'équation précédente, trouvons, etc., jusqu'à ce que nous obtenions .
Remarque 1. Ainsi, en résolvant le système (I) par la méthode de Gauss, on arrive à l'un des cas suivants.
1. Le système (I) est incohérent.
2. Le système (I) a une solution unique si le nombre de lignes de la matrice est égal au nombre d'inconnues ().
3. Le système (I) a un nombre infini de solutions si le nombre de lignes de la matrice moins que le nombre inconnue().
D'où le théorème suivant.
Théorème. Le système d'équations linéaires est soit incohérent, soit a une solution unique, soit il existe un ensemble infini de solutions.
Exemples. Résolvez le système d'équations par la méthode de Gauss ou prouvez son incohérence :
b) 
;
a) Réécrivons le système donné sous la forme :
.
Nous avons permuté les 1ère et 2ème équations du système d'origine pour simplifier les calculs (au lieu de fractions, nous n'opérerons qu'avec des entiers en utilisant une telle permutation).
Nous composons une matrice développée :
.
Il n'y a pas de lignes nulles ; pas de lignes incompatibles, ; nous excluons la 1ère inconnue de toutes les équations du système, à l'exception de la 1ère. Pour ce faire, on multiplie les éléments de la 1ère ligne de la matrice par "-2" et on les additionne aux éléments correspondants de la 2ème ligne, ce qui revient à multiplier la 1ère équation par "-2" et à l'ajouter à la 2ème équation. Ensuite, nous multiplions les éléments de la 1ère ligne par "-3" et les ajoutons aux éléments correspondants de la troisième ligne, c'est-à-dire multiplier la 2ème équation du système donné par "-3" et l'ajouter à la 3ème équation. Obtenir
.
La matrice correspond à un système d'équations). - (voir Définition 3 § 7 du Chapitre 1).
