Définition de la fonction de transfert. Pour déterminer la fonction de transfert générale, nous écrivons une expression pour la variable de sortie du système

La transformation de Laplace du DE permet d'introduire un concept commode de la fonction de transfert caractérisant les propriétés dynamiques du système.

Par exemple, l'équation de l'opérateur

3s 2 Y(s) + 4sY(s) + Y(s) = 2sX(s) + 4X(s)

peut être converti en prenant X(s) et Y(s) hors parenthèses et en divisant l'un par l'autre :

Y(s)*(3s 2 + 4s + 1) = X(s)*(2s + 4)

L'expression résultante est appelée la fonction de transfert.

fonction de transfert est le rapport de l'image de l'action de sortie Y(s) à l'image de l'entrée X(s) dans des conditions initiales nulles.

(2.4)

Fonction de transmission est une fonction fractionnaire-rationnelle d'une variable complexe :

où B(s) = b 0 + b 1 s + b 2 s 2 + … + b m s m - polynôme numérateur,

А(s) = a 0 + a 1 s + a 2 s 2 + … + a n s n est le polynôme dénominateur.

La fonction de transfert a un ordre, qui est déterminé par l'ordre du polynôme dénominateur (n).

De (2.4) il s'ensuit que l'image du signal de sortie peut être trouvée comme

Y(s) = W(s)*X(s).

Étant donné que la fonction de transfert du système détermine complètement ses propriétés dynamiques, la tâche initiale de calcul de l'ASR est réduite à la détermination de sa fonction de transfert.

Exemples de liens types

Dans TAU, on distingue un groupe de liens les plus simples, généralement appelés typiques. Les caractéristiques statiques et dynamiques des liaisons standards ont été étudiées de manière assez complète. Les liens typiques sont largement utilisés pour déterminer les caractéristiques dynamiques des objets de contrôle. Par exemple, connaissant la réponse transitoire construite à l'aide d'un dispositif d'enregistrement, il est souvent possible de déterminer à quel type de liens appartient l'objet de contrôle, et, par conséquent, sa fonction de transfert, équation différentielle etc., c'est-à-dire modèle d'objet. Liens typiques Tout lien complexe peut être représenté comme une combinaison des liens les plus simples.

Les liens typiques les plus simples incluent :

amplifiant,

inertielle (apériodique du 1er ordre),

intégrant (réel et idéal),

différencier (réel et idéal),

apériodique du 2ème ordre,

oscillatoire,

différé.

1) Lien de renforcement.

La liaison amplifie le signal d'entrée de K fois. L'équation de lien y \u003d K * x, la fonction de transfert W (s) \u003d K. Le paramètre K est appelé Gain .

Le signal de sortie d'un tel lien répète exactement le signal d'entrée, amplifié par K fois (voir Figure 1.18).

Sous l'action de l'étape h(t) = K.

Des exemples de telles liaisons sont : les transmissions mécaniques, les capteurs, les amplificateurs sans inertie, etc.

2) Intégration.

2.1) Intégrateur idéal.

La valeur de sortie d'un intégrateur idéal est proportionnelle à l'intégrale de la valeur d'entrée :

; W(s) =

Lorsqu'une liaison à action étagée x(t) = 1 est appliquée à l'entrée, le signal de sortie augmente constamment (voir Figure 1.19) :

Ce lien est astatique, c'est-à-dire n'a pas d'état stable.

Un exemple d'un tel lien est un récipient rempli de liquide. paramètre d'entrée- le débit du liquide entrant, la sortie - le niveau. Initialement, le récipient est vide et en l'absence de débit, le niveau est nul, mais si vous ouvrez l'alimentation en liquide, le niveau commence à augmenter de manière régulière.

2.2) Véritable intégrateur.

La fonction de transfert de ce lien a la forme

La réponse transitoire, contrairement à la liaison idéale, est une courbe (voir Fig. 1.20) :

h(t) = K . (t - T) + K . T e - t / T .

Un exemple d'intégrateur est un moteur courant continu avec excitation indépendante, si la tension d'alimentation du stator est prise comme action d'entrée et l'angle de rotation du rotor est pris comme action de sortie. Si aucune tension n'est appliquée au moteur, le rotor ne bouge pas et son angle de rotation peut être pris égal à zéro. Lorsqu'une tension est appliquée, le rotor commence à tourner, et l'angle de sa rotation d'abord lentement en raison de l'inertie, puis augmente rapidement jusqu'à ce qu'une certaine vitesse de rotation soit atteinte.

3) Différenciation.

3.1) Le différenciateur idéal.

La valeur de sortie est proportionnelle à la dérivée temporelle de l'entrée :

Avec une entrée pas à pas, la sortie est une impulsion (fonction d) : h(t) = K . d(t).

3.2) Véritable différenciation.

Les liens de différenciation idéaux ne sont pas physiquement réalisables. La plupart des objets qui sont des liens différenciateurs renvoient à de vrais liens différenciateurs dont les fonctions de transfert ont la forme

Réponse transitoire: .

Exemple de lien : générateur électrique. Le paramètre d'entrée est l'angle de rotation du rotor, le paramètre de sortie est la tension. Si le rotor est tourné d'un certain angle, une tension apparaîtra sur les bornes, mais si le rotor ne tourne pas davantage, la tension tombera à zéro. Il ne peut pas chuter brusquement en raison de la présence d'inductance dans l'enroulement.

4) Apériodique (inertie).

Ce lien correspond à DE et PF de la forme

; W(s) = .

Déterminons la nature du changement de la valeur de sortie de ce lien lorsqu'une action d'étape de la valeur x 0 est appliquée à l'entrée.

Image d'action d'étape : X(s) = . Puis l'image de la grandeur de sortie :

Y(s) = W(s) X(s) = = K x 0 .

Décomposons la fraction en fractions simples :

= + = = - = -

L'original de la première fraction selon le tableau : L -1 ( ) = 1, le second :

Puis nous obtenons enfin

y(t) = K x 0 (1 - ).

La constante T est appelée la constante de temps.

La plupart des objets thermiques sont des liens apériodiques. Par exemple, lors d'une demande d'entrée four électrique tension, sa température évoluera selon une loi similaire (voir Figure 1.22).

5) Liens du second ordre

Les liens ont DU et PF de la forme

W(s) = .

Lorsqu'une action étagée d'amplitude x 0 est appliquée à l'entrée, la courbe de transition aura l'un des deux types suivants : apériodique (à T 1 ³ 2T 2) ou oscillatoire (à T 1< 2Т 2).

À cet égard, les liens du second ordre sont distingués:

apériodique du 2ème ordre (T 1 ³ 2T 2),

inertiel (T 1< 2Т 2),

conservateur (T 1 \u003d 0).

6) Retardé.

Si, lorsqu'un certain signal est appliqué à l'entrée d'un objet, il ne répond pas immédiatement à ce signal, mais après un certain temps, on dit que l'objet a un retard.

Décalage est l'intervalle de temps entre le moment où le signal d'entrée change et le début du changement du signal de sortie.

Un lien en retard est un lien dont la valeur de sortie y répète exactement la valeur d'entrée x avec un certain retard t :

y(t) = x(t - t).

Fonction de transfert de lien :

W(s) = e - t s .

Exemples de retards : le mouvement du liquide dans le pipeline (quelle quantité de liquide a été pompée au début du pipeline, tant sera libérée à la fin, mais après un certain temps, tandis que le liquide se déplace dans le tuyau), le mouvement de cargaison le long du convoyeur (le retard est déterminé par la longueur du convoyeur et la vitesse de la bande), etc. .d.

Connexions de liaison

L'objet étudié étant divisé en liens afin de simplifier l'analyse du fonctionnement, après avoir déterminé les fonctions de transfert pour chaque lien, il s'agit de les combiner en une seule fonction de transfert de l'objet. Le type de la fonction de transfert de l'objet dépend de la séquence de connexion des liens :

1) Connexion série.

W environ \u003d W 1. W2. W 3 ...

À connexion série relie leurs fonctions de transfert multiplier.

2) Connexion parallèle.

W environ \u003d W 1 + W 2 + W 3 + ...

Lorsque les liens sont connectés en parallèle, leurs fonctions de transfert additionner.

3) Rétroaction

Fonction de transfert selon la tâche (x) :

"+" correspond à OS négatif,

"-" - positif.

Pour déterminer les fonctions de transfert d'objets qui ont des connexions de liens plus complexes, soit un agrandissement séquentiel du circuit est utilisé, soit ils sont convertis selon la formule de Meson.

Fonctions de transfert de l'ASR

Pour étudier et calculer le schéma structurel de l'ASR au moyen de transformations équivalentes, on aboutit au schéma le plus simple vue générale"objet - contrôleur" (voir Figure 1.27). Presque toutes les méthodes d'ingénierie pour calculer et déterminer les paramètres des réglages du régulateur sont appliquées pour une telle structure standard.

À cas général Tout ACP unidimensionnel avec rétroaction principale peut être réduit à cette forme en augmentant progressivement les liens.

Si la sortie du système y n'est pas appliquée à son entrée, alors on obtient un système de contrôle en boucle ouverte dont la fonction de transfert est définie comme le produit :

W ¥ = W p . W y

(W p - PF du contrôleur, W y - PF de l'objet de contrôle).

Illustration 1.28

Autrement dit, la séquence de liens W p et W y peut être remplacée par un lien avec W ¥ . fonction de transfert systeme ferme il est d'usage de le désigner par Ф (s). Il peut être exprimé en termes de W ¥ :

Cette fonction de transfert Ф з (s) détermine la dépendance de y sur x et est appelée fonction de transfert d'un système fermé le long du canal de l'influence principale (par affectation).

Pour ASR, il existe également des fonctions de transfert pour d'autres canaux :

Ф e (s) = = - par erreur,

Ф en (s) = = - par perturbation,

où W s.v. (s) est la fonction de transfert de l'objet de contrôle sur le canal de transmission des perturbations.

Il existe deux options pour prendre en compte les perturbations :

La perturbation a un effet additif sur l'action de contrôle (voir Figure 1.29, a) ;

La perturbation affecte les mesures du paramètre contrôlé (voir Figure 1.29,b).

Un exemple de la première option peut être l'influence des fluctuations de tension dans le réseau sur la tension fournie par le régulateur à l'élément chauffant de l'objet. Exemple de la deuxième option : erreurs dans les mesures de la variable contrôlée en raison de changements de température environnement. O – modèle de l'influence de l'environnement sur les mesures.

Illustration 1.30

Paramètres K 0 = 1, K 1 = 3, K 2 = 1,5, K 4 = 2, K 5 = 0,5.

À diagramme Des liens ASR correspondant au dispositif de contrôle se placent devant les liens de l'objet de contrôle et génèrent une action de contrôle sur l'objet u. Le schéma montre que les liaisons 1, 2 et 3 appartiennent au circuit régulateur, et les liaisons 4 et 5 appartiennent au circuit objet.

Etant donné que les liens 1, 2 et 3 sont connectés en parallèle, on obtient la fonction de transfert du contrôleur comme la somme des fonctions de transfert des liens :

Les liens 4 et 5 sont connectés en série, la fonction de transfert de l'objet de contrôle est donc définie comme le produit des fonctions de transfert des liens :

Fonction de transfert d'un système ouvert :

d'où l'on voit que le numérateur B(s) = 1,5. s 2 + 3 . s + 1, dénominateur (c'est-à-dire le polynôme caractéristique d'un système ouvert) А(s) = 2 . s 3 + 3 . s2 + s. Alors le polynôme caractéristique du système fermé est égal à :

D(s) = A(s) + B(s) = 2 . s 3 + 3 . s2 + s + 1,5. s 2 + 3 . s + 1 = 2 . s 3 + 4,5. s 2 + 4 . s + 1.

Fonctions de transfert d'un système fermé :

en mission ,

par erreur .

Lors de la détermination de la fonction de transfert à partir de la perturbation, W r.v. = W oy. Alors

. ¨

Nous supposerons que les processus se déroulant dans l'ACS sont décrits par des équations différentielles linéaires à coefficients constants. Ainsi, nous nous limitons à ACS linéaire avec des paramètres constants, c'est-à-dire paramètres qui ne dépendent pas du temps ou de l'état du système.

Soit pour un système dynamique (voir Fig.)

l'équation différentielle s'écrit sous forme d'opérateur

où D(P) et M(P) sont des polynômes en P.

P est l'opérateur de différenciation ;

x(t) est la coordonnée de sortie du système ;

g(t) – action d'entrée.

Transformons (1) selon Laplace, en supposant des conditions initiales nulles.

Introduisons la notation

;
,

nous obtenons, étant donné que

Nous utilisons la notation

, (5)

alors l'équation (3) prendra la forme :

. (6)

L'équation (6) relie l'image X(S) de la coordonnée de sortie du système à l'image G(S) de l'action d'entrée. Fonction Ф(S) caractérise les propriétés dynamiques du système. Comme il ressort de (4) et (5), cette fonction ne dépend pas de l'impact appliqué au système, mais dépend uniquement des paramètres du système. Considérant (6) la fonction F(S) peut s'écrire comme suit

Fonction Ф(S) est appelée la fonction de transfert du système. On peut voir à partir de (7) que la fonction de transfert est le rapport de l'image de Laplace de la coordonnée d'entrée du système à l'image de Laplace de l'action d'entrée aux conditions initiales nulles.

Connaître la fonction de transfert du système Ф(S) ayant déterminé l'image G(S) de l'impact g(t) appliqué au système, on peut trouver à partir de (6) l'image X(S) de la coordonnée de sortie du système x(t), puis, en passant de la image X(S) à l'original x(t), obtenir le processus de modification de la coordonnée de sortie du système lorsqu'une action d'entrée est appliquée à ce système.

Le polynôme au dénominateur de la fonction de transfert est appelé le polynôme caractéristique, et l'équation

équation caractéristique.

Pour un système décrit par une équation d'ordre n, l'équation caractéristique est une équation algébrique du degré n et a n racines, S 1 S 2 ... S n, parmi lesquelles il peut y avoir à la fois réelles et complexes- conjuguer.

La racine du polynôme au dénominateur de la fonction de transfert est appelée les pôles de cette fonction de transfert, et au numérateur - les zéros.

Nous représentons les polynômes sous la forme :

Alors la fonction de transfert

. (11)

Il s'ensuit que l'affectation des zéros et des pôles détermine la fonction de transfert à un facteur constant près .

Dans le cas où les parties réelles de tous les pôles de la fonction de transfert sont négatives, c'est-à-dire

, k=1,2…n, le système est dit stable. Dans celui-ci, la composante transitoire de la quantité de sortie (mouvement propre) décroît avec le temps.

Réponse en fréquence du système

Conversion de système linéaire du signal d'entrée harmonique

Fonction de transmission système automatique par rapport à l'action de commande g(t) est

(1)

Laissez l'impact

g(t) = A 1 sin ω 1 t,

Et il est nécessaire de déterminer le changement X(t) dans le processus stationnaire, c'est-à-dire Trouver une solution particulière de l'équation (1), considérée précédemment.

Notez qu'à la suite de l'application de l'impact, un processus transitoire se produit dans le système, qui tend vers 0 avec le temps, car le système est supposé stable. Nous ne le considérons pas. Une telle transition permet de considérer l'action g(t) comme donnée sur tout l'axe des temps (l'instant initial d'application de l'action de commande au système n'est pas considéré) et d'utiliser l'expression obtenue précédemment pour la caractéristique spectrale de la sinusoïde .

Pour déterminer x(t) en régime permanent, nous transformons les deux parties de l'équation différentielle (1) selon Fourier. Ce faisant, nous voulons dire que

;

remarquerez que

fonction de transfert dans laquelle S

Outre

Ensuite, la caractéristique spectrale des oscillations forcées de la variable contrôlée est déterminée à partir de (3) sous la forme

Dans (4) le facteur fonctionnel Ф(jω) prend en compte l'évolution de la caractéristique spectrale lors du passage de l'action g(t) dans un système dynamique linéaire.

Représentons la fonction complexe Ф(jω) sous forme démonstrative

et trouver x(t) en utilisant la formule de transformée de Fourier inverse :

en utilisant les propriétés de filtrage de la fonction delta, et en tenant compte de (5), nous aurons

Car
,,

(6)

Il s'ensuit qu'en régime permanent, la réponse x(t) d'un automate linéaire à des influences sinusoïdales est également une sinusoïde. Les fréquences de coin des signaux d'entrée et de sortie sont les mêmes. L'amplitude en sortie du système est A 1 │ Ф(jω)│, et la phase initiale est arg Ф(jω).

Si l'entrée du système linéaire reçoit une action périodique sous la forme

puis, en utilisant le principe de superposition, qui est valable pour un système linéaire, on trouve que dans ce cas le mouvement stationnaire forcé du système

(7)

De plus, la valeur de ω ici doit recevoir des valeurs discrètes, c'est-à-dire supposons ω=kω 1

Connaissant les spectres de fréquence du signal à l'entrée, on peut facilement déterminer les spectres de fréquence du signal à l'entrée du système. Si, par exemple, le spectre de fréquence d'amplitude À k du signal d'entrée g(t) est connu, alors le spectre de fréquence d'amplitude du signal de sortie est À k │ Ф(jkω 1 ) │.

Dans les expressions considérées, la fonction Ф(jω) caractérise les propriétés dynamiques du système automatique lui-même et ne dépend pas de la nature des actions appliquées au système. Il peut être facilement obtenu à partir de la fonction de transfert en remplaçant formellement S par jω

Fonction Ф(jω)à partir d'un argument continu ω est appelée la caractéristique amplitude-phase du système AFC par rapport à l'action de commande g(t) appliquée au système.

Sur la base de (3), l'AFC peut également être défini comme le rapport des caractéristiques spectrales du signal à son entrée. Module AFC  Ф(j )  caractérise l'évolution de l'amplitude du signal harmonique lorsque celui-ci traverse le système, et son argument est le déphasage du signal.

Fonction  Ф(j )  a reçu le nom de la caractéristique amplitude-fréquence (AFC), et la fonction arg Ф(j ) – caractéristique phase-fréquence (PFC).

Soit l'action g(t) appliquée au système automatique une harmonique complexe de fréquence  1 , c'est-à-dire

La réponse du système à un tel impact en régime permanent est déterminée par l'égalité

Ou en utilisant la formule d'Euler

et aussi que

;

Nous trouvons l'intégrale du côté droit de l'égalité en utilisant les propriétés de filtrage de la fonction delta.

détermine sous une forme complexe la réponse stationnaire du système à l'impact sous la forme d'une harmonique complexe de fréquence 1.

L'AFC peut être utilisée non seulement pour analyser les fluctuations en régime permanent à la sortie d'un système automatique, mais également pour déterminer le processus de régulation dans son ensemble. Dans ce dernier cas, l'instant t 0 de l'application au système de commande est commodément considéré comme étant l'instant zéro et des formules de transformée de Fourier unilatérales peuvent être utilisées. Après avoir déterminé la caractéristique spectrale
et trouver la caractéristique spectrale de la variable contrôlée par la formule

L'évolution de la valeur contrôlée x(t) après l'application de l'action g(t) est trouvée par la formule de la transformée de Fourier inverse.

La transformation de Laplace du DE permet d'introduire un concept commode de la fonction de transfert caractérisant les propriétés dynamiques du système.

Par exemple, l'équation de l'opérateur

3s 2 Y(s) + 4sY(s) + Y(s) = 2sX(s) + 4X(s)

peut être converti en prenant X(s) et Y(s) hors parenthèses et en divisant l'un par l'autre :

Y(s)*(3s 2 + 4s + 1) = X(s)*(2s + 4)

L'expression résultante est appelée la fonction de transfert.

fonction de transfert est le rapport de l'image de l'action de sortie Y(s) à l'image de l'entrée X(s) dans des conditions initiales nulles.

(2.4)

La fonction de transfert est une fonction fractionnaire-rationnelle d'une variable complexe :

où B(s) = b 0 + b 1 s + b 2 s 2 + … + b m s m - polynôme numérateur,

А(s) = a 0 + a 1 s + a 2 s 2 + … + a n s n est le polynôme dénominateur.

La fonction de transfert a un ordre, qui est déterminé par l'ordre du polynôme dénominateur (n).

De (2.4) il s'ensuit que l'image du signal de sortie peut être trouvée comme

Y(s) = W(s)*X(s).

2.6.2 Exemples de liens types

Dans TAU, on distingue un groupe de liens les plus simples, généralement appelés typiques. Les caractéristiques statiques et dynamiques des liaisons standards ont été étudiées de manière assez complète. Les liens typiques sont largement utilisés pour déterminer les caractéristiques dynamiques des objets de contrôle. Par exemple, connaissant la réponse transitoire construite à l'aide d'un dispositif d'enregistrement, il est souvent possible de déterminer à quel type de liens appartient l'objet de contrôle et, par conséquent, sa fonction de transfert, son équation différentielle, etc., c'est-à-dire modèle d'objet. Liens typiques Tout lien complexe peut être représenté comme une combinaison des liens les plus simples.

Les liens typiques les plus simples incluent :

amplifiant,

inertielle (apériodique du 1er ordre),

intégrant (réel et idéal),

différencier (réel et idéal),

apériodique du 2ème ordre,

oscillatoire,

en retard.

1) Lien de renforcement.

La liaison amplifie le signal d'entrée de K fois. L'équation de lien y \u003d K * x, la fonction de transfert W (s) \u003d K. Le paramètre K est appelé Gain .

Le signal de sortie d'un tel lien répète exactement le signal d'entrée, amplifié par K fois (voir Figure 1.18).

Sous l'action de l'étape h(t) = K.

Des exemples de telles liaisons sont : les transmissions mécaniques, les capteurs, les amplificateurs sans inertie, etc.

2) Intégration.

2.1) Intégrateur idéal.

La valeur de sortie d'un intégrateur idéal est proportionnelle à l'intégrale de la valeur d'entrée :

; W(s) =

Lorsqu'une liaison à action étagée x(t) = 1 est appliquée à l'entrée, le signal de sortie augmente constamment (voir Figure 1.19) :

Ce lien est astatique, c'est-à-dire n'a pas d'état stable.

Un exemple d'un tel lien est un récipient rempli de liquide. Le paramètre d'entrée est le débit du liquide entrant, le paramètre de sortie est le niveau. Initialement, le récipient est vide et en l'absence de débit, le niveau est nul, mais si vous ouvrez l'alimentation en liquide, le niveau commence à augmenter de manière régulière.

2.2) Véritable intégrateur.

P la fonction de transfert de ce lien a la forme

W(s) =
.

La réponse transitoire, contrairement à la liaison idéale, est une courbe (voir Fig. 1.20) :

h(t) = K . (t - T) + K . T e - t / T .

Un exemple de lien d'intégration est un moteur à courant continu à excitation indépendante, si la tension d'alimentation du stator est prise comme action d'entrée et l'angle de rotation du rotor est pris comme action de sortie. Si aucune tension n'est appliquée au moteur, le rotor ne bouge pas et son angle de rotation peut être pris égal à zéro. Lorsqu'une tension est appliquée, le rotor commence à tourner, et l'angle de sa rotation d'abord lentement en raison de l'inertie, puis augmente rapidement jusqu'à ce qu'une certaine vitesse de rotation soit atteinte.

3) Différencier.

3.1) Le différenciateur idéal.

La valeur de sortie est proportionnelle à la dérivée temporelle de l'entrée :

; W(s) = K*s

Avec un signal d'entrée échelonné, le signal de sortie est une impulsion (fonction ) : h(t) = K . (t).

3.2) Véritable différenciation.

W(s) =
.

Réponse transitoire:
.

4) Apériodique (inertie).

Ce lien correspond à DE et PF de la forme

; W(s) =
.

Déterminons la nature du changement de la valeur de sortie de ce lien lorsqu'une action d'étape de la valeur x 0 est appliquée à l'entrée.

Image d'action d'étape : X(s) = . Puis l'image de la grandeur de sortie :

Y(s) = W(s) X(s) =
= Kx0
.

Décomposons la fraction en fractions simples :

=
+ =
= -
= -

L'original de la première fraction selon le tableau : L -1 () = 1, le second :

L-1 ( } = .

Puis nous obtenons enfin

y(t) = K x 0 (1 - ).

La constante T est appelée la constante de temps.

La plupart des objets thermiques sont des liens apériodiques. Par exemple, lorsqu'une tension est appliquée à l'entrée d'un four électrique, sa température changera selon une loi similaire (voir Figure 1.22).

5) Liens du second ordre

Les liens ont DU et PF de la forme

W(s) =
.

Lorsqu'une action échelonnée d'amplitude x 0 est appliquée à l'entrée, la courbe de transition aura l'un des deux types suivants : apériodique (à T 1  2T 2) ou oscillatoire (à T 1< 2Т 2).

À cet égard, les liens du second ordre sont distingués:

apériodique du 2ème ordre (T 1  2T 2),

inertiel (T 1< 2Т 2),

conservateur (T 1 \u003d 0).

6) Retardé.

Si, lorsqu'un certain signal est appliqué à l'entrée d'un objet, il ne répond pas immédiatement à ce signal, mais après un certain temps, on dit que l'objet a un retard.

Décalage est l'intervalle de temps entre le moment où le signal d'entrée change et le début du changement du signal de sortie.

Un lien en retard est un lien dont la valeur de sortie y répète exactement la valeur d'entrée x avec un certain retard  :

y(t) = x(t - ).

Fonction de transfert de lien :

W(s) \u003d e -  s.

Le but ultime de l'analyse ACS est de résoudre (si possible) ou d'étudier l'équation différentielle du système dans son ensemble. Habituellement, les équations des liens individuels qui font partie de l'ACS sont connues, et un problème intermédiaire se pose d'obtenir l'équation différentielle du système à partir du DE connu de ses liens. À forme classique représentation de DE, cette tâche se heurte à des difficultés considérables. L'utilisation du concept de fonction de transfert le simplifie grandement.

Soit un système décrit par un DE de la forme.

En introduisant la notation = p, où p est appelé l'opérateur, ou symbole, de différenciation, et en traitant maintenant ce symbole comme un nombre algébrique ordinaire, après avoir mis x out et x in hors parenthèses, on obtient l'équation différentielle de ce système sous forme d'opérateur :

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p +a 0)x sortie = (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x entrée. (3.38)

Polynôme en p, debout à la valeur de sortie,

D(p)=a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0 (3.39)

est appelé un opérateur propre, et le polynôme à la valeur d'entrée est appelé l'opérateur d'action

K(p) = b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0 . (3.40)

La fonction de transfert est le rapport de l'opérateur d'action à propre opérateur:

W(p) = K(p)/D(p) = x sortie / x entrée. (3.41)

Dans ce qui suit, nous utiliserons presque partout la forme opérateur d'écriture des équations différentielles.

Types de connexions de liaison et algèbre des fonctions de transfert.

L'obtention de la fonction de transfert de l'ACS nécessite la connaissance des règles de recherche des fonctions de transfert de groupes de liens dans lesquels les liens sont interconnectés d'une certaine manière. Il existe trois types de connexions.

1. Séquentiel, dans lequel la sortie du lien précédent est l'entrée du suivant (Fig. 3.12):

x sortie

Riz. 3.14. Connexion contre-parallèle.

Selon que le signal de retour x est ajouté au signal d'entrée xin ou soustrait de celui-ci, les retours positifs et négatifs sont distingués.

Toujours en se basant sur la propriété de la fonction de transfert, on peut écrire

W 1 (p) \u003d x en sortie / (x en ± x); W 2 (p) \u003d x / x sortie; W c \u003d x sortie / x entrée. (3.44)

En éliminant la coordonnée interne x des deux premières équations, on obtient la fonction de transfert pour une telle connexion :

W c (p) = W 1 (p)/ . (3.45)

Notez que dans la dernière expression, le signe plus correspond à négatif retour d'information.

Dans le cas où un lien a plusieurs entrées (comme par exemple un objet de régulation), plusieurs fonctions de transfert de ce lien correspondant à chacune des entrées sont considérées, par exemple si l'équation du lien a la forme

D(p)y = K x (p)x + K z (p)z (3.46)

où K x (p) et K z (p) sont les opérateurs d'action pour les entrées x et z, respectivement, alors ce lien a des fonctions de transfert pour les entrées x et z :

Wx(p) = Kx(p)/D(p); Wz (p) = Kz (p)/D(p). (3.47)

A l'avenir, afin de réduire les entrées dans les expressions des fonctions de transfert et les opérateurs correspondants, nous omettrons l'argument « p ».

Il résulte de la considération conjointe des expressions (3.46) et (3.47) que

y = Wxx + Wzz, (3.48)

c'est-à-dire que, dans le cas général, la valeur de sortie de tout lien à plusieurs entrées est égale à la somme des produits des valeurs d'entrée et des fonctions de transfert pour les entrées correspondantes.

Fonction de transfert d'ACS par perturbation.

vue normale structure du système de contrôle automatique, travaillant sur la déviation de la valeur contrôlée, est la suivante :

W o z =K z /D objet W o x =K x /D

W p y

-X

Fig.3.15. SAR fermé.

Faisons attention à la circonstance que l'action régulatrice arrive à l'objet avec un signe changé. La connexion entre la sortie de l'objet et son entrée via le contrôleur est appelée retour principal (contrairement aux retours supplémentaires possibles dans le contrôleur lui-même). Selon le sens très philosophique de la régulation, l'action du régulateur vise à réduction de déviation valeur réglable, et donc domicile Retour d'information est toujours négatif. Sur la fig. 3.15 :

W o z - fonction de transfert de l'objet en perturbation ;

W o x - fonction de transfert de l'objet sur l'action régulatrice ;

W p y - fonction de transfert du contrôleur par écart y.

Les équations différentielles de l'installation et du contrôleur ressemblent à ceci :

y=W o x x + W o z z

x = - W p y y. (3.49)

En substituant x de la deuxième équation à la première et au groupement, nous obtenons l'équation CAP :

(1+W o x W p y)y = W o z z . (3.50)

D'où la fonction de transfert de l'ACS par rapport à la perturbation

W c z \u003d y / z \u003d W o z / (1 + W o x W p y) . (3.51)

De la même manière, vous pouvez obtenir la fonction de transfert de l'ACS pour l'action de contrôle :

W c u = W o x W p u /(1+W o x W p y) , (3.52)

où W p u est la fonction de transfert du contrôleur pour l'action de contrôle.

3.4 Vibrations forcées et caractéristiques de fréquence de l'ACS.

À conditions réelles Le fonctionnement de l'ACS est souvent soumis à l'action de forces perturbatrices périodiques, qui s'accompagnent de changements périodiques des valeurs contrôlées et des actions de contrôle. Ce sont, par exemple, les oscillations du navire au cours des vagues, les oscillations de la vitesse de rotation hélice et d'autres quantités. Dans certains cas, les amplitudes d'oscillation des valeurs de sortie du système peuvent atteindre des valeurs inacceptables, ce qui correspond au phénomène de résonance. Les conséquences d'une résonance sont souvent préjudiciables au système qui la subit, par exemple chavirer un navire, détruire un moteur. Dans les systèmes de contrôle, de tels phénomènes sont possibles lorsque les propriétés des éléments changent en raison de l'usure, du remplacement, de la reconfiguration et des défaillances. Le besoin se fait alors sentir soit de définir des plages de fonctionnement sûres, soit de régler correctement l'ACS. Ces questions seront considérées ici dans leur application aux systèmes linéaires.

Soit un système ayant la structure suivante :

x=A x sinωt

y=A y sin(ωt+φ)

Fig.3.16. ACS en mode d'oscillations forcées.

Si le système est affecté par une action périodique x d'amplitude A x et de fréquence circulaire w, alors après la fin du processus transitoire, des oscillations de même fréquence d'amplitude A y et décalées par rapport aux oscillations d'entrée de l'angle de phase j être établi à la sortie. Les paramètres des oscillations de sortie (amplitude et déphasage) dépendent de la fréquence de la force motrice. La tâche consiste à déterminer les paramètres des oscillations de sortie à partir des paramètres connus des oscillations à l'entrée.

Conformément à la fonction de transfert de l'ACS illustrée à la Fig. 3.14, son équation différentielle a la forme

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)y=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x. (3.53)

Remplaçons dans (3.53) les expressions pour x et y montrées dans la Fig. 3.14 :

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y sin(wt+j)=

=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x sinwt. (3.54)

Si l'on considère le modèle d'oscillation décalé d'un quart de la période, alors dans l'équation (3.54) les fonctions sinus seront remplacées par des fonctions cosinus :

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y cos(wt+j)=

=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x coswt. (3.55)

Multipliez l'équation (3.54) par i = et additionnez le résultat avec (3.55) :

(a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0)A y =

= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x (coswt+isinwt). (3.56)

Application de la formule d'Euler

exp(±ibt)=cosbt±isinbt,

on met l'équation (3.56) sous la forme

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y exp=

= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x exp(iwt). (3.57)

Effectuons l'opération de différenciation temporelle fournie par l'opérateur p=d/dt :

A y exp=

Axexp(iwt). (3.58)

Après des transformations simples liées à la réduction par exp(iwt), on obtient

Partie droite l'expression (3.59) est similaire à l'expression de la fonction de transfert CAP et peut être obtenue à partir de celle-ci en remplaçant p=iw. Par analogie, on l'appelle la fonction de transfert complexe W(iw), ou la caractéristique amplitude-phase (AFC). Souvent, le terme réponse en fréquence est également utilisé. Il est clair que cette fraction est fonction de l'argument complexe et peut également être représentée sous cette forme :

W(iw) = M(w) + iN(w), (3.60)

où M(w) et N(w) sont respectivement les réponses en fréquence réelle et imaginaire.

Le rapport A y / A x est le module AFC et est fonction de la fréquence :

A y / A x \u003d R (w)

et s'appelle la caractéristique amplitude-fréquence (AFC). phase

le décalage j = j (w) est également fonction de la fréquence et est appelé la réponse en fréquence de phase (PFC). En calculant R(w) et j(w) pour la plage de fréquence (0…¥), il est possible de tracer le graphe AFC sur le plan complexe en coordonnées M(w) et iN(w) (Fig. 3.17).

R(ω)

ωcp

ω res

Fig.3.18. Caractéristiques amplitude-fréquence.

La réponse en fréquence du système 1 présente un pic de résonance correspondant à la plus grande amplitude des oscillations forcées. Le travail dans la zone proche de la fréquence de résonance peut être désastreux et souvent généralement inacceptable par les règles de fonctionnement d'un objet de régulation particulier. La réponse en fréquence de type 2 n'a pas de pic de résonance et pour systèmes mécaniques plus préférable. On peut également voir qu'avec l'augmentation de la fréquence, l'amplitude des oscillations de sortie diminue. Physiquement, cela s'explique facilement : tout système, en raison de ses propriétés inertielles inhérentes, est plus facilement soumis à des oscillations par les basses fréquences que par les hautes. À partir d'une certaine fréquence, les fluctuations de la sortie deviennent insignifiantes, et cette fréquence est appelée fréquence de coupure, et la plage de fréquences inférieure à la fréquence de coupure est appelée bande passante. En théorie régulation automatique la fréquence de coupure est prise comme étant celle à laquelle la valeur de réponse en fréquence est 10 fois inférieure à celle à fréquence nulle. La propriété du système à amortir les oscillations à haute fréquence est appelée la propriété du filtre passe-bas.

Considérons la méthodologie de calcul de la réponse en fréquence en utilisant l'exemple d'une liaison de second ordre, dont l'équation différentielle

(T 2 2 p 2 + T 1 p + 1)y = kx. (3.62)

Dans les problèmes d'oscillations forcées, plus de forme visuelleéquations

(p 2 +2xw 0 p + w 0 2)y = kw 0 2 x, (3.63)

où est appelée la fréquence propre des oscillations en l'absence d'amortissement, x =T 1 w 0 /2 est le coefficient d'amortissement.

La fonction de transfert ressemble alors à ceci :

En remplaçant p = iw on obtient la caractéristique amplitude-phase

Utilisation de la règle de division nombres complexes, on obtient l'expression de la réponse en fréquence :

Déterminons la fréquence de résonance à laquelle la réponse en fréquence atteint un maximum. Cela correspond au minimum du dénominateur de l'expression (3,66). En égalant à zéro la dérivée du dénominateur par rapport à la fréquence w, on a :

2(w 0 2 - w 2)(-2w) +4x 2 w 0 2 *2w = 0, (3.67)

d'où l'on obtient la valeur de la fréquence de résonance, qui n'est pas égale à zéro :

w coupé \u003d w 0 Ö 1 - 2x 2. (3.68)

Analysons cette expression, pour laquelle nous considérons des cas particuliers, qui correspondent à diverses significations coefficient d'atténuation.

1. x = 0. La fréquence de résonance est égale à la sienne et le module de réponse en fréquence va à l'infini. Il s'agit d'un cas de résonance dite mathématique.

2. . Comme la fréquence s'exprime nombre positif, et à partir de (68) pour ce cas soit zéro soit un nombre imaginaire est obtenu, il s'ensuit que pour de telles valeurs du coefficient d'amortissement, la réponse en fréquence n'a pas de pic de résonance (courbe 2 sur la Fig. 3.18).

3. . La réponse en fréquence a un pic de résonance, et avec une diminution du coefficient d'atténuation, la fréquence de résonance se rapproche de la sienne et le pic de résonance devient plus élevé et plus net.

Peut être converti en prenant X(s) et Y(s) hors parenthèses et en divisant l'un par l'autre :

L'expression résultante est appelée le transfert

(2.4)

fonction de transfert est le rapport de l'image de l'action de sortie Y(s) à l'image de l'entrée X(s) dans des conditions initiales nulles.

La fonction de transfert est une fonction fractionnaire-rationnelle d'une variable complexe :

La fonction de transfert a un ordre, qui est déterminé par l'ordre du polynôme dénominateur (n).

De (2.4) il s'ensuit que l'image du signal de sortie peut être trouvée comme

Y(s) = W(s)*X(s).

Exemples de liens types

Le lien du système est son élément, qui a certaines propriétés dans un sens dynamique. Les liens des systèmes de contrôle peuvent avoir une nature physique différente (liens électriques, pneumatiques, mécaniques, etc.), mais ils peuvent être décrits par le même contrôle, et le rapport des signaux d'entrée et de sortie dans les liens peut être décrit par le même fonctions de transfert. Dans TAU, on distingue un groupe de liens les plus simples, généralement appelés typiques. Les caractéristiques statiques et dynamiques des liaisons standards ont été étudiées de manière assez complète. Les liens typiques sont largement utilisés pour déterminer les caractéristiques dynamiques des objets de contrôle. Par exemple, connaissant la réponse transitoire construite à l'aide d'un dispositif d'enregistrement, il est souvent possible de déterminer à quel type de liens appartient l'objet de contrôle et, par conséquent, sa fonction de transfert, son équation différentielle, etc., c'est-à-dire modèle d'objet. Liens typiques. Tout lien complexe peut être représenté comme une combinaison des liens les plus simples.

Les liens typiques les plus simples incluent :

amplifiant,

inertielle (apériodique du 1er ordre),

intégrant (réel et idéal),

différencier (réel et idéal),

apériodique du 2ème ordre,

oscillatoire,

différé.

1) Lien de renforcement.

La liaison amplifie le signal d'entrée de K fois. L'équation de lien y \u003d K * x, la fonction de transfert W (s) \u003d K. Le paramètre K est appelé facteur d'amplification.

Le signal de sortie d'un tel lien répète exactement le signal d'entrée, amplifié par K fois (Fig. 1.18). y = Kx.

Avec action pas à pas h(t) = K.

Des exemples de telles liaisons sont : les transmissions mécaniques, les capteurs, les amplificateurs sans inertie, etc.

2) Intégration.

2.1) Intégrateur idéal.

La valeur de sortie d'un intégrateur idéal est proportionnelle à l'intégrale de la valeur d'entrée :

Lorsqu'un lien d'action pas à pas x(t) = 1 est appliqué à l'entrée, le signal de sortie augmente constamment (Fig. 1.19) :

h(t) = Kt.

Ce lien est astatique, c'est-à-dire n'a pas d'état stable.

2.2) Véritable intégration.

La fonction de transfert de ce lien a la forme (Fig. 1.20)

La réponse transitoire, contrairement à la liaison idéale, est une courbe

3) Différenciation.

3.1) Le différenciateur idéal.

La valeur de sortie est proportionnelle à la dérivée temporelle de l'entrée :

Avec une entrée pas à pas, la sortie est une impulsion (fonction d) : h(t) = Kδ(t).

3.2) Véritable différenciation.

Réponse transitoire (Fig. 1.21) :

4) Apériodique (inertie).

Image de l'action échelonnée : X(s) = Xo / s Puis l'image de la valeur de sortie :

Décomposons la fraction en fractions simples :

L'original de la première fraction selon le tableau :

La constante T est appelée la constante de temps. La plupart des objets thermiques sont des liens apériodiques. Par exemple, lorsqu'une tension est appliquée à l'entrée d'un four électrique, sa température changera selon une loi similaire (Fig. 1.22).

5) Liens du second ordre (Fig. 1.23)

Les liens ont DU et PF de la forme.

Lorsqu'une action échelonnée d'amplitude X0 est appliquée à l'entrée, la courbe de transition aura l'un des deux types suivants : apériodique (à T1 ≥ 2T2) ou oscillatoire (à T1< 2Т2).

À cet égard, les liens du second ordre sont distingués:

apériodique d'ordre 2 (T1 ≥ 2T2),

inertiel (T1< 2Т2),

Conservateur (T1 = 0).

6) Retardé.

Si, lorsqu'un certain signal est appliqué à l'entrée d'un objet, il ne répond pas immédiatement à ce signal, mais après un certain temps, on dit que l'objet a un retard.

Décalage est l'intervalle de temps entre le moment où le signal d'entrée change et le début du changement du signal de sortie.

lien en retard est un lien dont la valeur de sortie y répète exactement la valeur d'entrée x avec un certain retard t.