Зорилгын функцийн тэгшитгэлийн градиент шугамууд нь чиглэлийг заана. Функцийн градиентийг хэрхэн олох вэ

Градиент функцууднь вектор хэмжигдэхүүн бөгөөд үүнийг олох нь функцийн хэсэгчилсэн деривативын тодорхойлолттой холбоотой юм. Градиентын чиглэл нь скаляр талбайн нэг цэгээс нөгөө цэг хүртэл функцийн хамгийн хурдан өсөлтийн замыг заана.

Заавар

1. Функцийн градиент дээрх асуудлыг шийдэхийн тулд аргуудыг ашигладаг дифференциал тооцоо, тухайлбал, гурван хувьсагчийн хувьд нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативыг олох. Функц өөрөө болон түүний бүх хэсэгчилсэн деривативууд нь функцийн мужид тасралтгүй байх шинж чанартай гэж үздэг.

2. Градиент нь вектор бөгөөд түүний чиглэл нь F функцын хамгийн хурдан өсөлтийн чиглэлийг заадаг.Үүний тулд график дээр векторын төгсгөл болох M0 ба M1 хоёр цэгийг сонгосон. Градиентийн утга нь M0 цэгээс M1 цэг хүртэлх функцийн өсөлтийн хурдтай тэнцүү байна.

3. Функц нь энэ векторын бүх цэгүүдэд ялгаатай байдаг тул координатын тэнхлэг дээрх векторын проекцууд нь түүний бүх хэсэгчилсэн деривативууд юм. Дараа нь градиент томьёо дараах байдалтай байна: grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, энд i, j, k нь нэгж вектор координатууд юм. Өөрөөр хэлбэл функцийн градиент нь координат нь түүний хэсэгчилсэн дериватив grad F = (?F/?х, ?F/?y, ?F/?z) вектор юм.

4. Жишээ 1. F = sin (x z?) / y функцийг өгье. (?/6, 1/4, 1) цэг дээр түүний градиентийг олох шаардлагатай.

5. Шийдэл. Аливаа хувьсагчтай холбоотой хэсэгчилсэн деривативуудыг тодорхойлно уу: F'_x \u003d 1 / y cos (x z?) z?; F'_y \u003d sin (x z?) (-1) 1 / (y?); F '_z \u003d 1/y cos(x z?) 2 x z.

6. Алдартай цэгийн координатуудыг орлуул: F'_x = 4 cos(?/6) = 2 ?3; F'_y = нүгэл(?/6) (-1) 16 = -8; F'_z \u003d 4 cos (? / 6) 2? / 6 \u003d 2? /? 3.

7. Функцийн градиент томьёог хэрэглэнэ: grad F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.

8. Жишээ 2. (1, 2, 1) цэг дээрх F = y arсtg (z / x) функцийн градиентийн координатыг ол.

9. Шийдэл. F'_x \u003d 0 arctg (z / x) + y (arctg (z / x)) '_x \u003d y 1 / (1 + (z / x)?) (-z / x?) \u003d -y z / (x? (1 + (z/x)?)) = -1;F'_y = 1 arctg(z/x) = arctg 1 = ?/4;F'_z = 0 arctg(z/x) ) + y (arctg(z/x))'_z = y 1/(1 + (z/x)?) 1/x = y/(x (1 + (z/x)?)) = 1.град = (- 1, ?/4, 1).

Скаляр талбайн градиент нь вектор хэмжигдэхүүн юм. Тиймээс үүнийг олохын тулд скаляр талбайн хуваагдлын талаархи мэдлэг дээр үндэслэн харгалзах векторын бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тодорхойлох шаардлагатай.

Заавар

1. Скаляр талбайн градиент гэж юу болохыг дээд математикийн сурах бичгээс уншаарай. Таны мэдэж байгаагаар энэ вектор хэмжигдэхүүн нь скаляр функцийн хамгийн их задралын хурдаар тодорхойлогддог чиглэлтэй байдаг. Өгөгдсөн вектор хэмжигдэхүүний ийм мэдрэмжийг түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тодорхойлох илэрхийллээр зөвтгөдөг.

2. Вектор бүр нь түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн утгуудаар тодорхойлогддог гэдгийг санаарай. Вектор бүрэлдэхүүн хэсэг нь үнэндээ энэ векторын нэг буюу өөр координатын тэнхлэгт проекц юм. Тиймээс хэрэв гурван хэмжээст орон зайг авч үзвэл вектор нь гурван бүрэлдэхүүн хэсэгтэй байх ёстой.

3. Зарим талбарын градиент болох векторын бүрэлдэхүүн хэсгүүд хэрхэн тодорхойлогддогийг бич. Ийм векторын бүх координат нь координатыг нь тооцож байгаа хувьсагчийн скаляр потенциалын деривативтай тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв та талбайн градиент векторын "x" бүрэлдэхүүн хэсгийг тооцоолох шаардлагатай бол скаляр функцийг "x" хувьсагчаас ялгах хэрэгтэй. Дериватив нь quotient байх ёстой гэдгийг анхаарна уу. Энэ нь ялгахдаа түүнд оролцдоггүй үлдсэн хувьсагчдыг тогтмол гэж үзэх ёстой гэсэн үг юм.

4. Скаляр талбайн илэрхийлэл бич. Алдартай адил энэ нэр томъёотус бүр нь зөвхөн хэд хэдэн хувьсагчийн скаляр функцийг илэрхийлдэг бөгөөд энэ нь мөн скаляр хэмжигдэхүүн юм. Скаляр функцийн хувьсагчийн тоо нь орон зайн хэмжээгээр хязгаарлагддаг.

5. Хувьсагч бүрийн хувьд скаляр функцийг тусад нь ялгана. Үүний үр дүнд та гурван шинэ функцтэй болно. Скаляр талбайн градиент векторын илэрхийлэлд дурын функцийг бич. Хүлээн авсан функцүүдийн аль нэг нь үнэхээр өгөгдсөн координатын нэгж векторын үзүүлэлт юм. Тиймээс эцсийн градиент вектор нь функцийн дериватив болох илтгэгчтэй олон гишүүнт шиг харагдах ёстой.

Градиентыг дүрслэхтэй холбоотой асуудлыг авч үзэхдээ тус бүрийг скаляр талбар гэж үзэх нь илүү түгээмэл байдаг. Тиймээс бид зохих тэмдэглэгээг нэвтрүүлэх хэрэгтэй.

Танд хэрэгтэй болно

• - өсөлт;
• - үзэг.

Заавар

1. Функцийг u=f(x, y, z) гурван аргументаар өгье. Үлдсэн аргументуудыг засах замаар олж авсан функцийн хэсэгчилсэн деривативыг жишээ нь x-тэй холбоотой энэ аргументийн дериватив гэж тодорхойлдог. Үлдсэн аргументууд нь адилхан. Хэсэгчилсэн дериватив тэмдэглэгээг дараах байдлаар бичнэ: df / dx \u003d u’x ...

2. Нийт дифференциал нь du \u003d (df / dx) dx + (df / dy) dy + (df / dz) dz-тэй тэнцүү байх болно.Хэсэгчилсэн деривативыг координатын тэнхлэгийн чиглэлд дериватив гэж ойлгож болно. Иймээс M(x, y, z) цэг дээрх өгөгдсөн s векторын чиглэлтэй холбоотой деривативыг олох тухай асуулт гарч ирнэ (s чиглэл нь нэгж вектор-ort s^o-г зааж байгааг мартаж болохгүй). Энэ тохиолдолд аргументуудын дифференциал вектор нь (dx, dy, dz)=(dscos(альфа), dscos(бета), dscos(гамма)) байна.

3. Харагдах байдлыг харгалзан үзвэл нийт дифференциал du, M цэг дээрх s чиглэлийн дериватив нь: (du/ds)|M=((df/dx)|M)cos(alpha)+ ((df/dy) байна гэж дүгнэж болно. |M)cos (бета) + ((df / dz) | M) cos (гамма).Хэрэв s = s (sx, sy, sz) бол чиглэлийн косинусууд (cos (альфа), cos (бета), cos. (гамма)) тооцоолсон (Зураг 1а-г үз).

4. М цэгийг хувьсагч гэж үзвэл чиглэлийн деривативын тодорхойлолтыг цэгийн үржвэр болгон дахин бичиж болно: (du/ds)=((df/dx, df/dy,df/dz), (cos(alpha) , cos(бета), cos (гамма)))=(grad u, s^o). Энэ илэрхийлэл нь скаляр талбарт объектив байх болно. Хэрэв хялбар функцийг авч үзвэл gradf нь f(x, y, z) хэсэгчилсэн деривативуудтай давхцаж буй координаттай вектор юм.gradf(x,y,z)=((df/dx, df/dy, df/ dz) )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k. Энд (i, j, k) нь тэгш өнцөгт декартын координатын систем дэх координатын тэнхлэгүүдийн нэгж векторууд юм.

5. Хэрэв бид Hamilton Nabla дифференциал вектор операторыг ашигладаг бол gradf-ийг энэ оператор векторыг скаляр f-ээр үржүүлсэн байдлаар бичиж болно (1б-р зургийг үз). Градф-ийг чиглэлтэй деривативтай холбох үүднээс эдгээр векторууд ортогональ байвал (gradf, s^o)=0 тэгшитгэлийг зөвшөөрнө. Иймээс gradf нь ихэвчлэн скаляр талбайн хамгийн хурдан метаморфозын чиглэл гэж тодорхойлогддог. Дифференциал үйлдлүүдийн үүднээс (gradf бол тэдгээрийн нэг нь) gradf-ийн шинж чанарууд нь функцүүдийн ялгах шинж чанарыг яг давтдаг. Ялангуяа f=uv бол gradf=(vgradu+ugradv).

Холбоотой видеонууд

ГрадиентЭнэ нь график засварлагчдын дүрсийг нэг өнгийг нөгөөд жигд шилжүүлэх замаар дүүргэдэг хэрэгсэл юм. ГрадиентСилуэт нь эзэлхүүний үр дүнг өгч, гэрэлтүүлгийг дуурайж, объектын гадаргуу дээрх гэрлийн тусгал, гэрэл зургийн арын хэсэгт нар жаргах үр дүнг өгч чадна. Энэ хэрэгсэл байна өргөн хэрэглээ, улмаар гэрэл зураг боловсруулах эсвэл зураг зурахдаа тэр үүнийг хэрхэн ашиглах талаар ихээхэн суралцах болно.

Танд хэрэгтэй болно

• Компьютер, график засварлагч Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net эсвэл бусад.

Заавар

1. Хөтөлбөрт зургийг нээх эсвэл шинээр үүсгэх. Силуэт хийх эсвэл зураг дээрх хүссэн хэсгийг сонгоно уу.

2. График засварлагчийн хэрэгслийн самбар дээрх Gradient хэрэгслийг асаана уу. Сонгосон хэсэг эсвэл дүрсний доторх цэг дээр хулганы курсорыг байрлуулж, градиентийн 1-р өнгө эхэлнэ. Хулганы зүүн товчийг дараад удаан дарна уу. Курсорыг градиент эцсийн өнгө рүү шилжих цэг рүү шилжүүлнэ. Хулганы зүүн товчийг суллана уу. Сонгосон дүрсийг градиент дүүргэлтээр дүүргэх болно.

3. Градиент y тодорхой дүүргэх цэг дээр ил тод байдал, өнгө, тэдгээрийн харьцааг тохируулах боломжтой. Үүнийг хийхийн тулд Gradient Edit цонхыг нээнэ үү. Photoshop дээр засварлах цонхыг нээхийн тулд Сонголтуудын самбар дээрх градиент жишээн дээр дарна уу.

4. Нээгдсэн цонхонд жишээнүүд гарч ирнэ боломжтой сонголтуудградиент дүүргэлт. Сонголтуудын аль нэгийг засахын тулд хулганы товшилтоор сонгоно уу.

5. Градиентын жишээг цонхны доод талд гулсагчтай өргөн цар хүрээтэй хэлбэрээр харуулав. Гулсуурууд нь градиент нь заасан харгалзах цэгүүдийг зааж өгөх бөгөөд гулсагч хоорондын зайд өнгө нь эхний цэг дээр заасан цэгээс 2-р цэгийн өнгө хүртэл жигд шилждэг.

6. Хуваарийн дээд хэсэгт байрлах гулсагчууд нь градиентийн ил тод байдлыг тохируулдаг. Ил тод байдлыг өөрчлөхийн тулд хүссэн гулсагч дээр дарна уу. Масштабын доор талбар гарч ирэх бөгөөд үүнд шаардлагатай ил тод байдлын түвшинг хувиар оруулна.

7. Хуваарийн доод хэсэгт байрлах гулсагчууд нь градиентийн өнгийг тохируулдаг. Тэдгээрийн аль нэг дээр дарснаар та хүссэн өнгийг сонгох боломжтой болно.

8. Градиентолон шилжилтийн өнгө байж болно. Өөр өнгө тохируулахын тулд дээр дарна уу чөлөөт зайжингийн доод хэсэгт. Үүн дээр өөр гулсагч гарч ирнэ. Үүний тулд хүссэн өнгөө тохируулна уу. Хэмжээ нь өөр нэг цэг бүхий градиентийн жишээг харуулах болно. Хүссэн хослолдоо хүрэхийн тулд та гулсагчийг хулганы зүүн товчийг дарж хөдөлгөж болно.

9. ГрадиентХавтгай дүрсийг дүрслэх хэд хэдэн төрөл байдаг. Тойрог бөмбөлөг хэлбэртэй болгохын тулд радиаль градиент, конус хэлбэрийг өгөхийн тулд конус хэлбэрийн градиент хэрэглэсэн гэж үзье. Гадаргууг товойсон мэт хуурмаг байдлыг өгөхийн тулд гөлгөр градиентийг ашиглаж болох ба алмаазан градиентийг онцлох хэсгийг бий болгоход ашиглаж болно.

Холбоотой видеонууд

Холбоотой видеонууд

Хэрэв орон зайн эсвэл огторгуйн хэсэг болгонд тодорхой хэмжигдэхүүний утгыг тодорхойлсон бол энэ хэмжигдэхүүний орон өгөгдсөн гэж хэлдэг. Хэрэв авч үзсэн утга нь скаляр бол талбарыг скаляр гэж нэрлэдэг, i.e. тоон утгаараа сайн тодорхойлогддог. Жишээлбэл, температурын талбар. Скаляр талбар нь u = /(M) цэгийн скаляр функцээр өгөгдөнө. Хэрэв декартын координатын системийг орон зайд оруулбал x, yt z гэсэн гурван хувьсагчийн функц байна - М цэгийн координат: Тодорхойлолт. Скаляр талбайн түвшний гадаргуу нь f(M) функц ижил утгыг авах цэгүүдийн багц юм. Түвшингийн гадаргуугийн тэгшитгэлийн жишээ 1. Скаляр талбайн түвшний гадаргууг олох ВЕКТОР ШИНЖИЛГЭЭ Скаляр талбайн түвшний гадаргуу ба түвшний шугамууд Скаляр талбайн чиглэлийн дериватив градиент Градиентын үндсэн шинж чанарууд Инвариант Градиентийн тодорхойлолт Gradient-ийн тодорхойлолт a Gradient-ийн тодорхойлолтоор a Gradient a level - гадаргуугийн тэгшитгэл байх болно. Энэ нь эх цэг дээр төвлөрсөн бөмбөрцгийн тэгшитгэл (Ф 0-тэй) юм. Аль нэг хавтгайтай параллель бүх хавтгайд ижил талбар байвал скаляр талбайг хавтгай гэж нэрлэдэг. Хэрэв заасан хавтгайг xOy хавтгай гэж авбал талбайн функц нь z координатаас хамаарахгүй, өөрөөр хэлбэл энэ нь зөвхөн x ба у аргументуудын функц, мөн утгын утгатай байх болно. Түвшингийн шугамын тэгшитгэл - Жишээ 2. Скаляр талбайн түвшний шугамуудыг олох Түвшингийн шугамыг тэгшитгэлээр өгөгдсөн c = 0 үед бид хос шугамыг олж авна, бид гиперболын бүлгийг авна (Зураг 1). 1.1. Чиглэлийн дериватив u = /(Af) скаляр функцээр тодорхойлогдсон скаляр орон байг. Afo цэгийг авч I вектороор тодорхойлсон чиглэлийг сонгоё.М0М вектор 1 вектортой параллель байхаар өөр M цэгийг авъя (Зураг 2). MoM векторын уртыг А/ гэж, D1 шилжилтэнд харгалзах /(Af) - /(Afo) функцийн өсөлтийг Ди гэж тэмдэглэе. Харьцаа нь нэгж уртын скаляр талбайн өгөгдсөн чиглэл рүү шилжих дундаж хурдыг тодорхойлно.М0М вектор I вектортой үргэлж параллель байхаар тэг рүү чиглүүлье.Тодорхойлолт. Хэрэв D/O-ийн хувьд (5) хамаарлын хязгаарлагдмал хязгаар байгаа бол түүнийг I чиглэлийн өгөгдсөн Afo цэг дээрх функцийн дериватив гэж нэрлэх ба zr!^ тэмдгээр тэмдэглэнэ. Тэгэхээр, тодорхойлолтоор, Энэ тодорхойлолт нь координатын системийн сонголттой холбоогүй, өөрөөр хэлбэл **вариант шинж чанартай байдаг. Декартын координатын систем дэх чиглэлтэй холбоотой деривативын илэрхийлэлийг олцгооё. Функцийг / цэг дээр ялгах боломжтой байг. Нэг цэг дээр /(Af) утгыг авч үзье. Дараа нь функцийн нийт өсөлтийг дараах хэлбэрээр бичиж болно: хаана ба тэмдэг нь хэсэгчилсэн деривативуудыг Afo цэг дээр тооцоолно гэсэн үг юм. Эндээс jfi, ^ хэмжигдэхүүнүүд нь векторын чиглэлийн косинусууд юм. MoM болон I векторууд хамтран чиглэсэн тул тэдгээрийн чиглэлийн косинусууд нь ижил байна: деривативууд нь функцийн дериватив ба координатын тэнхлэгүүдийн гадаад nno-той чиглэлийн дагуух nno- Жишээ 3. Цэг рүү чиглэсэн функцийн деривативыг ол. Вектор нь урттай. Түүний чиглэлийн косинусууд: (9) томьёогоор бид байх болно. Энэ нь тухайн цэг дэх скаляр талбарыг насны тодорхой чиглэлд илэрхийлнэ- Хавтгай талбайн хувьд I чиглэлийн деривативыг томъёогоор тооцоолно. Энд a нь Ө тэнхлэгтэй I векторын үүсгэсэн өнцөг. Zmmchmm 2. Өгөгдсөн цэгийн I чиглэлийн дагуу деривативыг тооцоолох томъёо (9) PrISchr цэг дээр I вектор шүргэгч муруй дагуу M цэг Mo цэг рүү чиглэж байсан ч Afo хүчинтэй хэвээр байна 4. Тооцоол. Afo(l, 1) цэг дээрх скаляр талбайн дериватив. энэ муруйн чиглэлд (абсцисса нэмэгдэх чиглэлд) параболад хамаарах. Нэг цэг дэх параболын чиглэл ] нь энэ цэг дэх параболын шүргэгчийн чиглэл юм (Зураг 3). Afo цэг дээрх параболын шүргэгч нь Ox тэнхлэгтэй o өнцөг үүсгэнэ. Дараа нь тангенсийн косинусыг хаанаас чиглүүлж байгаагаас цэг дээр утгуудыг тооцоолъё. Бидэнд (10) томъёогоор Now байна. Тойргийн чиглэлийн цэг дээрх скаляр талбайн деривативыг ол. Тойргийн вектор тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна. Тойрогтой шүргэгч m нэгж векторыг олно.Цэг нь параметрийн утгатай тохирч байна. Скаляр талбайн градиент Скаляр талбарыг дифференциалагдах боломжтой гэж үзсэн скаляр функцээр тодорхойл. Тодорхойлолт. Өгөгдсөн M цэг дэх скаляр талбайн градиент нь grad тэмдгээр тэмдэглэгдсэн, тэгшитгэлээр тодорхойлогддог вектор юм. Энэ вектор нь функц / болон түүний деривативыг тооцоолох M цэгээс хоёуланд нь хамаарах нь тодорхой байна. 1-ийг чиглэлийн нэгж вектор болговоос чиглэлтэй деривативын томъёог дараах байдлаар бичиж болно. 1-р чиглэлд функцийн дериватив нь тэнцүү байна цэгийн бүтээгдэхүүннэгж вектор дахь u(M) функцийн градиентийн 1° чиглэлийн I. 2.1. Градиентийн үндсэн шинж чанарууд Теорем 1. Скаляр талбайн градиент нь түвшний гадаргуутай перпендикуляр (эсвэл талбай тэгш бол түвшний шугам). (2) Дурын M цэгээр дамжуулан u = const түвшний гадаргууг зурж, M цэгийг дайран өнгөрөх энэ гадаргуу дээр L гөлгөр муруйг сонгоё (Зураг 4). I цэгт L муруйн шүргэгч вектор байя. Түвшингийн гадаргуу дээр Mj ∈ L цэгийн хувьд u(M) = u(M|) учир нөгөө талаас = (gradu, 1°) байна. . Тийм ч учраас. Энэ нь grad ба ба 1° векторууд ортогональ байна гэсэн үг.Тиймээс grad ба вектор нь М цэг дээрх түвшний гадаргуутай аль ч шүргэгчтэй ортогональ байна.Иймд энэ нь М цэг дээрх түвшний гадаргуутай өөрөө ортогональ байна.Теорем 2 .Градиент нь талбайн функцийг нэмэгдүүлэх чиглэлд чиглэнэ. Өмнө нь бид скаляр талбайн градиент нь u(M) функцын өсөлт эсвэл түүний бууралт руу чиглэж болохуйц тэгш гадаргуу руу чиглүүлж байгааг нотолсон. Ти(M) функцийн өсөлтийн чиглэлд чиглэсэн түвшний гадаргуугийн нормаль n-ээр тэмдэглэж, энэ нормын чиглэлд u функцийн деривативыг ол (Зураг 5). Бид оноос хойш Зураг 5-ын нөхцлийн дагуу ВЕКТОР ШИНЖИЛГЭЭ Скаляр талбар Гадаргуу ба түвшний шугам Чиглэлийн дериватив Скаляр талбайн градиент Градиентийн үндсэн шинж чанарууд Градиентийн хувьсах бус тодорхойлолт Градиентыг тооцоолох дүрмүүд Дараа нь градиент ба чиглэгддэг. хэвийн n-ийг сонгосон чиглэлтэй ижил чиглэл, өөрөөр хэлбэл u(M) функцийг нэмэгдүүлэх чиглэлд. Теорем 3. Градиентын урт нь талбайн өгөгдсөн цэг дэх чиглэлтэй харьцуулахад хамгийн том деривативтай тэнцүү байна, (энд өгөгдсөн M цэгээс цэг хүртэлх бүх боломжит чиглэлд max $-г авна). Бидэнд 1 ба grad n векторуудын хоорондох өнцөг хаана байна. Хамгийн том утга нь Жишээ 1. Тухайн цэг дээрх скаляр талбайн хамгийн том имонионы чиглэлийг мөн заасан цэг дээрх энэ хамгийн том өөрчлөлтийн хэмжээг ол. Скаляр талбайн хамгийн их өөрчлөлтийн чиглэлийг вектороор заана. Бид ийм байна Энэ вектор нь талбайн нэг цэг хүртэл хамгийн их өсөлтийн чиглэлийг тодорхойлдог. Энэ үеийн талбайн хамгийн том өөрчлөлтийн утга нь 2.2 байна. Градиентийн хувьсах бус тодорхойлолт Судалж буй объектын шинж чанарыг тодорхойлдог, координатын системийн сонголтоос хамаарахгүй хэмжигдэхүүнүүдийг тухайн объектын инвариантууд гэнэ. Жишээлбэл, муруйн урт нь энэ муруйн инвариант боловч х тэнхлэгтэй муруйтай шүргэгчийн өнцөг нь өөрчлөгддөггүй. Дээр нотлогдсон скаляр талбайн градиентийн гурван шинж чанарт үндэслэн бид дараахь зүйлийг өгч болно инвариант тодорхойлолтградиент. Тодорхойлолт. Скаляр талбайн градиент нь талбайн функцийг нэмэгдүүлэх чиглэлд түвшний гадаргуугийн хэвийн дагуу чиглэсэн вектор бөгөөд хамгийн том чиглэлийн деривативтай тэнцүү урттай (өгөгдсөн цэг дээр). Өсөн нэмэгдэж буй талбарт чиглэсэн нэгж хэвийн вектор байг. Дараа нь Жишээ 2. Зайны градиент - зарим нэг тогтмол цэг ба M(x,y,z) - одоогийн цэгийг ол. 4 Бидэнд нэгж чиглэлийн вектор хаана байна. c нь тогтмол тоо байх градиентийг тооцоолох дүрэм. Дээрх томьёог градиент болон деривативын шинж чанарын тодорхойлолтоос шууд олж авна. Бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмээр Нотолгоо нь өмчийн баталгаатай төстэй. F(u) ялгах боломжтой байг. скаляр функц. Дараа нь 4 Градиентийн тодорхойлолтоор бид баруун талд байгаа бүх нэр томъёонд ялгах дүрмийг хэрэглэнэ. нарийн төвөгтэй функц. Ялангуяа Формула (6) нь томьёоны хавтгайгаас энэ хавтгайн хоёр тогтмол цэг хүртэл явагдана. Fj ба F] фокустай дурын эллипсийг авч үзээд эллипсийн нэг фокусаас гарч буй аливаа гэрлийн туяа эллипсээс ойсны дараа түүний нөгөө фокус руу ордог болохыг нотол. Функцийн (7) түвшний шугамууд нь ВЕКТОР ШИНЖИЛГЭЭ Скаляр талбар Гадаргуу ба түвшний шугам Чиглэлийн дериватив Скаляр талбайн градиент Градиентийн үндсэн шинж чанарууд Градиентын хувьсах бус тодорхойлолт Градиент тооцох дүрэм Тэгшитгэл (8) цэг дээр голомттой эллипсийн бүлгийг дүрсэлнэ. F) ба Fj. Жишээ 2-ын үр дүнгээс харахад бидэнд байна ба радиус векторууд. F| голомтоос P(x, y) цэг рүү татсан ба Fj ба иймээс эдгээр радиус векторуудын хоорондох өнцгийн биссектриса дээр байрладаг (Зураг 6). Тооромо 1-ийн дагуу PQ градиент нь цэг дээрх эллипс (8) -тай перпендикуляр байна. Тиймээс 6-р зураг. Дурын цэгийн эллипсийн (8) нормаль нь энэ цэг рүү татсан радиус векторуудын хоорондох өнцгийг хоёр хуваана. Эндээс, тусгалын өнцөг нь тусгалын өнцөгтэй тэнцүү байна гэсэн баримтаас бид олж авна: эллипсийн нэг фокусаас гарч буй гэрлийн цацраг нь эллипсийн нөгөө фокус руу унах нь гарцаагүй.

Болъё З= Ф(М) нь тухайн цэгийн зарим хөршид тодорхойлогдсон функц юм M(y; x);Л={ Cos; Cos} – нэгж вектор (33-р зурагт 1=  , 2= ); Лцэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугам юм М; M1(x1; y1), энд x1=x+x ба y1=y+y- шулуун дээрх цэг Л;  Л- сегментийн хэмжээ MM1;  З= Ф(x+x, y+y)-Ф(X, Ю) - функцын өсөлт Ф(М) цэг дээр М(х; у).

Тодорхойлолт. Харьцааны хязгаар, хэрэв байгаа бол түүнийг дуудна Дериватив функц З = Ф ( М ) цэг дээр М ( X ; Ю ) векторын чиглэлд Л .

Зориулалт.

Хэрэв функц бол Ф(М) цэг дээр ялгах боломжтой М(х; у), дараа нь цэг дээр М(х; у)аль ч чиглэлд дериватив байдаг Л-аас ирж байна М; дараах томъёогоор тооцоолно.

(8)

Хаана Cos Тэгээд Cos- векторын чиглэлийн косинусууд Л.

Жишээ 46. Функцийн деривативыг тооцоол З= X2 + Ю2 Xцэг дээр М(1; 2)векторын чиглэлд MM1, хаана М1- координат бүхий цэг (3; 0).

. Нэгж векторыг олъё Л, ийм чиглэлтэй:

Хаана Cos= ; Cos=- .

Бид цэг дээрх функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг тооцоолно М(1; 2):

(8) томъёогоор бид олж авна

Жишээ 47. Функцийн деривативыг ол У = xy2 З3 цэг дээр М(3; 2; 1)Вектор чиглэлд М.Н, хаана Н(5; 4; 2) .

. Вектор ба түүний чиглэлийн косинусуудыг олцгооё.

Цэг дэх хэсэгчилсэн деривативын утгыг тооцоол М:

Үүний үр дүнд,

Тодорхойлолт. Градиент ФункцүүдЗ= Ф(М) M(x; y) цэг дээр координатууд нь M(x; y) цэг дээр авсан харгалзах хэсэгчилсэн деривативуудтай тэнцүү вектор байна.

Зориулалт.

Жишээ 48. Функцийн градиентийг ол З= X2 +2 Ю2 -5 цэг дээр М(2; -1).

Шийдэл. Бид хэсэгчилсэн деривативуудыг олдог: болон тэдний үнэ цэнэ М(2; -1):

Жишээ 49. Нэг цэг дээрх функцийн градиентийн хэмжээ ба чиглэлийг ол

Шийдэл.Хэсэгчилсэн деривативуудыг олж, тэдгээрийн утгыг M цэг дээр тооцоолъё.

Үүний үр дүнд,

Гурван хувьсагчийн функцийн чиглэлийн деривативыг ижил төстэй байдлаар тодорхойлно У= Ф(X, Ю, З) , томъёог гаргаж авсан

Градиент гэсэн ойлголтыг танилцуулж байна

Үүнийг бид онцолж байна Градиент функцийн үндсэн шинж чанарууд эдийн засгийн оновчлолын шинжилгээнд илүү чухал: градиентийн чиглэлд функц нэмэгддэг. AT эдийн засгийн даалгаварпрограм олох дараах шинж чанаруудградиент:

1) Функцийг өгье З= Ф(X, Ю) Тодорхойлолтын хүрээнд хэсэгчилсэн деривативтай . Зарим зүйлийг анхаарч үзээрэй M0(x0, y0)тодорхойлолтын домэйноос. Энэ цэг дэх функцийн утгыг байг Ф(X0 , Ю0 ) . Функцийн графикийг авч үзье. Цэгээр дамжуулан (X0 , Ю0 , Ф(X0 , Ю0 )) гурван хэмжээст орон зайд бид функцийн графикийн гадаргуутай шүргэгч хавтгай зурна. Дараа нь цэг дээр тооцоолсон функцийн градиент (x0, y0), геометрийн хувьд цэгт холбогдсон вектор гэж үздэг (X0 , Ю0 , Ф(X0 , Ю0 )) , шүргэгч хавтгайд перпендикуляр байх болно. Геометрийн дүрслэлийг Зураг дээр үзүүлэв. 34.

2) Градиент функц Ф(X, Ю) цэг дээр M0(x0, y0)цэг дээрх функцийн хамгийн хурдан өсөлтийн чиглэлийг заана М0. Түүнчлэн, градиенттай хурц өнцөг үүсгэдэг аливаа чиглэл нь тухайн цэг дээрх функцийн өсөлтийн чиглэл юм М0. Өөрөөр хэлбэл, цэгээс жижиг хөдөлгөөн (x0, y0)функцийн градиентийн чиглэлд энэ цэг дэх функцийг нэмэгдүүлэхэд хүргэдэг бөгөөд хамгийн их хэмжээгээр.

Градиентийн эсрэг талын векторыг авч үзье. гэж нэрлэдэг эсрэг градиент . Энэ векторын координатууд нь:

Антиградиент функц Ф(X, Ю) цэг дээр M0(x0, y0)цэг дээрх функцийн хамгийн хурдан буурах чиглэлийг заана М0. Антиградиенттай хурц өнцөг үүсгэсэн аливаа чиглэл нь тухайн цэгт функц буурч байгаа чиглэл юм.

3) Функцийг судлахдаа ийм хосыг олох шаардлагатай болдог (х, у)функц нь ижил утгыг авдаг функцийн хамрах хүрээнээс. Цэгүүдийн багцыг анхаарч үзээрэй (X, Ю) функцийн хамрах хүрээнээс гадуур Ф(X, Ю) , ийм Ф(X, Ю)= Const, орц хаана байна “ Const” гэдэг нь функцийн утга нь тогтмол бөгөөд функцийн мужаас зарим тоотой тэнцүү байна гэсэн үг.

Тодорхойлолт. Функцийн түвшний шугам У = Ф ( X , Ю ) шугам гэж нэрлэдэгФ(X, Ю)=С онгоцондXOy, функц нь тогтмол байх цэгүүдэдУ= C.

Түвшингийн шугамыг бие даасан хувьсагчийн өөрчлөлтийн хавтгайд муруй шугам хэлбэрээр геометрийн хэлбэрээр дүрсэлсэн байдаг. Түвшингийн шугамыг олж авахыг дараах байдлаар төсөөлж болно. Багцыг анхаарч үзээрэй FROM, координат бүхий гурван хэмжээст орон зайн цэгүүдээс бүрддэг (X, Ю, Ф(X, Ю)= Const), Энэ нь нэг талаас функцийн графикт хамаарна З= Ф(X, Ю), нөгөө талаас тэд координатын хавтгайтай параллель хавтгайд хэвтэж байна ХЭРХЭН, мөн үүнээс өгөгдсөн тогтмолтой тэнцүү утгаар тусгаарлана. Дараа нь түвшний шугам барихын тулд функцийн графикийн гадаргууг хавтгайгаар огтолход хангалттай. З= Constмөн огтлолцлын шугамыг хавтгай дээр буулгана ХЭРХЭН. Дээрх үндэслэл нь хавтгай дээр түвшний шугамыг шууд барих боломжийн үндэслэл юм ХЭРХЭН.

Тодорхойлолт. Түвшингийн шугамын багцыг нэрлэдэг Түвшингийн шугамын зураг.

Түвшингийн шугамын алдартай жишээ бол ижил өндөртэй түвшин юм байр зүйн зурагцаг агаарын зураг дээрх ижил барометрийн даралтын шугамууд.

Тодорхойлолт. Функцийн өсөлтийн хурд хамгийн их байх чиглэлийг нэрлэнэ "давуу" чиглэл, эсвэл Хамгийн хурдан өсөлтийн чиглэл.

"Давуулагдсан" чиглэлийг функцийн градиент вектороор өгнө. Зураг дээр. 35-т хязгаарлалт байхгүй үед хоёр хувьсагчийн функцийг оновчтой болгох асуудлын хамгийн их, хамгийн бага, эмээлийн цэгийг харуулав. Зургийн доод хэсэгт хамгийн хурдан өсөлтийн түвшний шугам, чиглэлийг харуулав.

Жишээ 50. Онцлог түвшний шугамыг олох У= X2 + Ю2 .

Шийдэл.Түвшингийн шугамын гэр бүлийн тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна X2 + Ю2 = C (C>0) . Өгөх FROMөөр өөр бодит утгууд, бид гарал үүсэл дээр төвлөрсөн төвлөрсөн тойргийг олж авдаг.

Түвшингийн шугам барих. Тэдний дүн шинжилгээ олдог өргөн хэрэглээмикро болон макро түвшний эдийн засгийн асуудлууд, тэнцвэрийн онол ба үр дүнтэй шийдлүүд. Изокостууд, изоквантууд, хайхрамжгүй байдлын муруйнууд - эдгээр нь бүгд эдийн засгийн янз бүрийн функцүүдэд зориулагдсан түвшний шугамууд юм.

Жишээ 51. Дараахь эдийн засгийн нөхцөл байдлыг авч үзье. Бүтээгдэхүүний үйлдвэрлэлийг тайлбарлая Кобб-Дуглас функц Ф(X, Ю)=10х1/3у2/3, хаана X- хөдөлмөрийн хэмжээ At- хөрөнгийн хэмжээ. Нөөц авахад зориулж 30 ам.доллар гаргасан. нэгж, хөдөлмөрийн үнэ 5 c.u. нэгж, капитал - 10 c.u. нэгж Бид өөрөөсөө асуулт асууя: эдгээр нөхцөлд авч болох хамгийн том гарц юу вэ? Энд "өгөгдсөн нөхцөл" нь өгөгдсөн технологи, нөөцийн үнэ, үйлдвэрлэлийн функцийн төрлийг хэлнэ. Өмнө дурьдсанчлан функц Кобб-Дугласхувьсагч бүрт монотон нэмэгдэж байна, өөрөөр хэлбэл нөөцийн төрөл бүрийн өсөлт нь гарцыг нэмэгдүүлэхэд хүргэдэг. Ийм нөхцөлд хөрөнгө мөнгөтэй л бол эх үүсвэрээ нэмэгдүүлэх боломжтой гэдэг нь ойлгомжтой. 30 c.u үнэтэй нөөцийн багцууд. нэгж нөхцөлийг хангана:

5x + 10y = 30,

Өөрөөр хэлбэл, тэд функцийн түвшний шугамыг тодорхойлдог:

Г(X, Ю) = 5x + 10y.

Нөгөө талаас, түвшний шугамын тусламжтайгаар Кобб-Дуглас функцууд (Зураг 36) функцын өсөлтийг харуулах боломжтой: түвшний шугамын аль ч цэг дээр градиентийн чиглэл нь хамгийн их өсөлтийн чиглэл бөгөөд нэг цэг дээр градиент барихад хангалттай. Энэ цэг дээр түвшний шугам руу шүргэгч зурж, шүргэгч рүү перпендикуляр зурж, градиентийн чиглэлийг заана. Зураг дээрээс. 36-аас харахад Кобб-Дуглас функцийн түвшний шугамын градиент дагуух хөдөлгөөн нь түвшний шугамтай шүргэх хүртэл хийгдэх ёстой. 5x + 10y = 30. Тиймээс түвшний шугам, градиент, градиент шинж чанаруудын тухай ойлголтыг ашиглан хандлагыг боловсруулж болно хамгийн сайн ашиглахгарцыг нэмэгдүүлэх үүднээс нөөц .

Тодорхойлолт. Функцийн түвшний гадаргуу У = Ф ( X , Ю , З ) гадаргуу гэж нэрлэдэгФ(X, Ю, З)=С, цэгүүдэд функц тогтмол хэвээр байнаУ= C.

Жишээ 52. Онцлог түвшний гадаргууг олох У= X2 + З2 - Ю2 .

Шийдэл.Түвшин гадаргуугийн гэр бүлийн тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна X2 + З2 - Ю2 =C. Хэрвээ C=0, тэгвэл бид авна X2 + З2 - Ю2 =0 - конус; хэрэв C<0 , дараа нь X2 + З2 - Ю2 =C -Хоёр хуудас гиперболоидын гэр бүл.

Зарим ухагдахуун, нэр томьёог нарийн хязгаарт хатуу ашигладаг бол бусад тодорхойлолтууд нь эрс эсэргүүцдэг хэсэгт байдаг. Жишээлбэл, "градиент" гэсэн ойлголтыг физикч, математикч, маникюр эсвэл "Фотошоп"-ын мэргэжилтэн ашигладаг. Үзэл баримтлалын хувьд градиент гэж юу вэ? Үүнийг олж мэдье.

Толь бичгүүд юу гэж хэлдэг вэ?

"Градиент" гэж юу вэ гэдгийг тусгай сэдэвчилсэн толь бичгүүд өөрсдийн онцлогтой холбон тайлбарладаг. Латин хэлнээс орчуулсан энэ үг нь "явж, ургадаг" гэсэн утгатай. Мөн "Википедиа" энэ ойлголтыг "хэмжээг нэмэгдүүлэх чиглэлийг харуулсан вектор" гэж тодорхойлдог. Тайлбар толь бичгүүдэд бид энэ үгийн утгыг "ямар нэгэн үнэ цэнийг нэг утгаар өөрчлөх" гэж үздэг. Үзэл баримтлал нь тоон болон чанарын аль алиныг нь агуулж болно.

Товчхондоо, энэ нь аливаа үнэ цэнийг нэг утгаар жигд аажмаар шилжүүлэх, тоо хэмжээ, чиглэлийн дэвшилтэт, тасралтгүй өөрчлөлт юм. Векторыг математикч, цаг уурчид тооцоолдог. Энэ ойлголтыг одон орон судлал, анагаах ухаан, урлаг, компьютер графикт ашигладаг. Ижил нэр томъёоны дор огт өөр төрлийн үйл ажиллагаа тодорхойлогддог.

Математикийн функцууд

Математикийн функцийн градиент гэж юу вэ? Энэ нь скаляр талбар дахь функцийн өсөлтийн чиглэлийг нэг утгаас нөгөө утга руу заадаг. Градиентын хэмжээг хэсэгчилсэн деривативын тодорхойлолтыг ашиглан тооцоолно. График дээрх функцийн өсөлтийн хамгийн хурдан чиглэлийг олохын тулд хоёр цэгийг сонгоно. Тэд векторын эхлэл ба төгсгөлийг тодорхойлдог. Нэг цэгээс нөгөө цэгт үнэ цэнэ өсөх хурд нь градиентийн хэмжээ юм. Энэ үзүүлэлтийн тооцоонд суурилсан математик функцийг вектор компьютерийн графикт ашигладаг бөгөөд тэдгээрийн объектууд нь математикийн объектын график дүрс юм.

Физикийн хувьд градиент гэж юу вэ?

Градиент гэдэг ойлголт нь физикийн олон салбарт түгээмэл байдаг: оптикийн градиент, температур, хурд, даралт гэх мэт. Энэ салбарт уг ойлголт нь нэгжийн утгын өсөлт, бууралтын хэмжүүрийг илэрхийлдэг. Энэ нь хоёр үзүүлэлтийн зөрүүгээр тооцогдоно. Зарим хэмжигдэхүүнийг илүү нарийвчлан авч үзье.

Боломжит градиент гэж юу вэ? Электростатик оронтой ажиллахдаа хүчдэл (хүч) ба потенциал (эрчим хүч) гэсэн хоёр шинж чанарыг тодорхойлдог. Эдгээр янз бүрийн хэмжигдэхүүнүүд нь хүрээлэн буй орчинтой холбоотой байдаг. Хэдийгээр тэд өөр өөр шинж чанарыг тодорхойлсон ч бие биетэйгээ холбоотой хэвээр байна.

Хүчний талбайн хүчийг тодорхойлохын тулд боломжит градиентийг ашигладаг - талбайн шугамын чиглэлд потенциалын өөрчлөлтийн хурдыг тодорхойлдог утга. Хэрхэн тооцоолох вэ? Цахилгаан талбайн хоёр цэгийн потенциалын зөрүүг боломжит градиенттай тэнцүү эрчим хүчний векторыг ашиглан мэдэгдэж буй хүчдэлээс тооцоолно.

Цаг уурч, газарзүйчдийн нэр томъёо

Температур, даралт, салхины хурд, хүч зэрэг цаг уурын янз бүрийн үзүүлэлтүүдийн хэмжээ, чиглэлийн өөрчлөлтийг тодорхойлоход цаг уурчид анх удаа градиент гэсэн ойлголтыг ашигласан. Энэ нь янз бүрийн хэмжигдэхүүнүүдийн тоон өөрчлөлтийн хэмжүүр юм. Максвелл энэ нэр томъёог математикт нэлээд хожуу нэвтрүүлсэн. Цаг агаарын нөхцөл байдлын тодорхойлолтод босоо болон хэвтээ градиент гэсэн ойлголтууд байдаг. Тэдгээрийг илүү нарийвчлан авч үзье.

Босоо температурын градиент гэж юу вэ? Энэ нь 100 м-ийн өндөрт тооцоолсон гүйцэтгэлийн өөрчлөлтийг харуулсан утга бөгөөд энэ нь үргэлж эерэг байдаг хэвтээ байдлаас ялгаатай нь эерэг эсвэл сөрөг байж болно.

Градиент нь газар дээрх налуугийн хэмжээ буюу өнцгийг харуулдаг. Энэ нь тодорхой хэсэг дэх замын проекцын өндөр ба уртын харьцаагаар тооцоологддог. Хувиар илэрхийлнэ.

Эмнэлгийн үзүүлэлтүүд

"Температурын градиент" гэсэн тодорхойлолтыг эмнэлгийн нэр томъёоноос бас олж болно. Энэ нь дотоод эрхтнүүд болон биеийн гадаргуугийн харгалзах үзүүлэлтүүдийн ялгааг харуулдаг. Биологийн хувьд физиологийн градиент нь хөгжлийн аль ч үе шатанд аливаа эрхтэн, организмын физиологийн өөрчлөлтийг тогтоодог. Анагаах ухаанд бодисын солилцооны үзүүлэлт нь бодисын солилцооны эрчим юм.

Зөвхөн физикчид төдийгүй эмч нар энэ нэр томъёог ажилдаа ашигладаг. Кардиологийн даралтын градиент гэж юу вэ? Энэ үзэл баримтлал нь зүрх судасны тогтолцооны харилцан уялдаатай аль ч хэсэгт цусны даралтын зөрүүг тодорхойлдог.

Автоматизмын градиент буурч байгаа нь зүрхний өдөөлтийг сууринаас дээд тал руу чиглүүлэх давтамж буурч байгаагийн үзүүлэлт бөгөөд автоматаар үүсдэг. Нэмж дурдахад зүрх судасны эмч нар систолын долгионы далайцын зөрүүг хянах замаар артерийн гэмтэл, түүний зэрэглэлийг тодорхойлдог. Өөрөөр хэлбэл импульсийн далайцын градиентийг ашиглана.

Хурдны градиент гэж юу вэ?

Тодорхой хэмжигдэхүүний өөрчлөлтийн хурдыг ярихдаа цаг хугацаа, орон зайн өөрчлөлтийн хурдыг ингэж ойлгодог. Өөрөөр хэлбэл, хурдны градиент нь цаг хугацааны үзүүлэлттэй холбоотой орон зайн координатын өөрчлөлтийг тодорхойлдог. Энэ үзүүлэлтийг цаг уур судлаач, одон орон судлаач, химич нар тооцоолдог. Шингэний давхаргын шилжилтийн хурдны градиентийг газрын тос, байгалийн хийн салбарт хоолойгоор дамжуулан шингэний өсөх хурдыг тооцоолохын тулд тодорхойлдог. Тектоник хөдөлгөөний ийм үзүүлэлт бол сейсмологичдын тооцоолсон хэсэг юм.

Эдийн засгийн функцууд

Онолын чухал дүгнэлтийг батлахын тулд градиент гэсэн ойлголтыг эдийн засагчид өргөнөөр ашигладаг. Хэрэглэгчийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ хэрэглээний функцийг ашигладаг бөгөөд энэ нь олон хувилбараас давуу талыг илэрхийлэхэд тусалдаг. "Төсвийн хязгаарлалтын функц" гэдэг нь хэрэглэгчийн багцыг илэрхийлэхэд хэрэглэгддэг нэр томъёо юм. Энэ хэсгийн градиентийг оновчтой хэрэглээг тооцоолоход ашигладаг.

өнгөний градиент

"Градиент" гэсэн нэр томъёо нь бүтээлч хүмүүст танил юм. Хэдийгээр тэд нарийн шинжлэх ухаанаас хол байдаг. Дизайнерын хувьд градиент гэж юу вэ? Нарийн шинжлэх ухаанд энэ нь аажмаар үнэ цэнийг нэгээр нэмэгдүүлдэг тул өнгөт энэ үзүүлэлт нь ижил өнгийн сүүдрийг цайвараас бараан, эсвэл эсрэгээр жигд, сунгасан шилжилтийг илэрхийлдэг. Уран бүтээлчид энэ үйл явцыг "суналт" гэж нэрлэдэг. Мөн ижил хүрээнд өөр өөр дагалддаг өнгө рүү шилжих боломжтой.

Өрөөнүүдийн өнгөт сүүдэрт градиент сунах нь дизайны аргуудын дунд хүчтэй байр суурь эзэлдэг. Шинэхэн ombre загвар нь гэрлээс харанхуй руу, цайвараас цайвар хүртэл сүүдэрт жигд урсах нь байшин, оффисын аль ч өрөөг үр дүнтэй хувиргадаг.

Оптикчид нарны шилэндээ тусгай линз хэрэглэдэг. Нүдний шилний градиент гэж юу вэ? Энэ бол дээд талаас доош өнгө нь бараан, цайвар өнгөтэй болж өөрчлөгдөхөд линзийг тусгай аргаар үйлдвэрлэх явдал юм. Энэхүү технологийг ашиглан хийсэн бүтээгдэхүүн нь нүдийг нарны цацрагаас хамгаалж, маш хурц гэрэлд ч гэсэн объектыг харах боломжийг олгодог.

Вэб дизайн дахь өнгө

Вэб дизайн, компьютер графикийн чиглэлээр ажилладаг хүмүүс "градиент" хэмээх бүх нийтийн хэрэгслийг маш сайн мэддэг бөгөөд үүний тусламжтайгаар олон янзын эффектүүд бий болдог. Өнгөний шилжилтийг онцлох зүйл, гоёмсог дэвсгэр, гурван хэмжээст болгон хувиргадаг. Өнгөний өөрчлөлт, гэрэл, сүүдэр үүсгэх нь вектор объектуудад эзлэхүүнийг нэмэгдүүлдэг. Энэ зорилгоор хэд хэдэн төрлийн градиентийг ашигладаг.

• Шугаман.
• Радиаль.
• конус хэлбэртэй.
• Толин тусгал.
• Ромбоид.
• дуу чимээний градиент.

градиент гоо сайхан

Гоо сайхны салонуудад зочилсон хүмүүсийн хувьд градиент гэж юу вэ гэсэн асуулт нь гайхах зүйл биш юм. Үнэн, энэ тохиолдолд математикийн хууль тогтоомж, физикийн үндэс суурийг мэдэх шаардлагагүй. Энэ бүхэн өнгөний шилжилтийн тухай юм. Үс, хумс нь градиентийн объект болдог. Францаар "ая" гэсэн утгатай омбре техник нь серфинг болон далайн эргийн бусад үйл ажиллагаанд дуртай спорт сонирхогчдын дунд моодонд оржээ. Байгалиасаа түлэгдэж ургасан үс нь хит болсон. Загварын эмэгтэйчүүд үсээ бараг мэдэгдэхүйц шилжилтээр үсээ будаж эхлэв.

Ombre техник нь хумсны салонуудыг өнгөрөөгүй. Хумс дээрх градиент нь хавтанг үндэснээс ирмэг хүртэл аажмаар гэрэлтүүлэх замаар өнгө үүсгэдэг. Мастерууд нь хэвтээ, босоо, шилжилтийн болон бусад сортуудыг санал болгодог.

Зүү зүү

"Градиент" гэсэн ойлголт нь зүү хийдэг эмэгтэйчүүдэд нөгөө талаас танил юм. Энэ төрлийн техникийг декупажийн хэв маягаар гараар хийсэн зүйлсийг бүтээхэд ашигладаг. Ийм байдлаар шинэ эртний зүйлсийг бий болгодог, эсвэл хуучин зүйлсийг сэргээдэг: шүүгээ, сандал, авдар гэх мэт. Decoupage нь өнгөт градиент дээр суурилсан stencil ашиглан хэв маягийг ашиглах явдал юм.

Даавууны уран бүтээлчид шинэ загвар өмсөгчдөд зориулж будах аргыг ийм маягаар эзэмшсэн. Градиент өнгө бүхий даашинзууд загварын тайзыг байлдан дагуулсан. Загварыг нэхмэлчид - сүлжмэлчид авдаг байв. Гөлгөр өнгөний шилжилттэй сүлжмэл хувцас нь амжилтанд хүрсэн.

"Градиент" гэсэн тодорхойлолтыг нэгтгэн дүгнэж хэлэхэд энэ нэр томъёо нь хүний ​​​​үйл ажиллагааны маш өргөн хүрээний талаар хэлж болно. "Вектор" гэсэн синонимоор солих нь үргэлж тохиромжтой байдаггүй, учир нь вектор нь функциональ, орон зайн ойлголт юм. Үзэл баримтлалын ерөнхий байдлыг тодорхойлдог зүйл бол тодорхой хугацааны туршид нэгжид ногдох тодорхой хэмжээ, бодис, физик үзүүлэлтийн аажмаар өөрчлөгдөх явдал юм. Өнгөний хувьд энэ нь аялгууны жигд шилжилт юм.

Хавтгай дээрх вектор нь чиглэсэн сегмент гэдгийг сургуулийн математикийн хичээлээс мэддэг. Түүний эхлэл ба төгсгөл нь хоёр координаттай байдаг. Векторын координатыг эцсийн координатаас эхлэлийн координатыг хасч тооцно.

Векторын тухай ойлголтыг мөн n хэмжээст орон зайд өргөтгөж болно (хоёр координатын оронд n координат байх болно).

Градиент gradz функц z=f(x 1 , x 2 , ... x n) нь цэг дээрх функцийн хэсэгчилсэн деривативын вектор, өөрөөр хэлбэл. координат бүхий вектор.

Функцийн градиент нь тухайн цэг дэх функцийн түвшний хамгийн хурдан өсөлтийн чиглэлийг тодорхойлдог болохыг баталж болно.

Жишээлбэл, z \u003d 2x 1 + x 2 функцийн хувьд (5.8-р зургийг үз) аль ч цэг дэх градиент нь координаттай байх болно (2; 1). Үүнийг янз бүрийн аргаар хавтгай дээр барьж, векторын эхлэл болгон дурын цэгийг авч болно. Жишээлбэл, та (0; 0) цэгийг (2; 1) цэг рүү, эсвэл (1; 0) цэгийг (3; 1), эсвэл (0; 3) цэгийг (2; 4) цэг рүү холбож болно. эсвэл t .P. (5.8-р зургийг үз). Ингэж барьсан бүх векторууд координаттай (2 - 0; 1 - 0) = = (3 - 1; 1 - 0) = (2 - 0; 4 - 3) = (2; 1) байна.

Баригдсан түвшний шугамууд нь 4 > 3 > 2 түвшний утгатай тохирч байгаа тул функцийн түвшин градиентийн чиглэлд өсөж байгааг Зураг 5.8-д тодорхой харуулав.

Зураг 5.8 - z \u003d 2x 1 + x 2 функцийн градиент

Өөр нэг жишээг авч үзье - z= 1/(x 1 x 2) функц. Түүний координатыг (-1 / (x 1 2 x 2); -1 / (x 1 x 2 2)) томъёогоор тодорхойлдог тул энэ функцийн градиент өөр өөр цэгүүдэд үргэлж ижил байхаа болино.

Зураг 5.9-д 2 ба 10-р түвшний z= 1/(x 1 x 2) функцийн түвшний шугамуудыг (1/(x 1 x 2) = 2 мөрийг тасархай шугамаар, 1/( мөрийг) үзүүлэв. x 1 x 2) = 10 нь хатуу шугам).

Зураг 5.9 - Төрөл бүрийн цэгүүд дэх z \u003d 1 / (x 1 x 2) функцийн градиент

Жишээлбэл, (0.5; 1) цэгийг аваад энэ цэг дэх градиентийг тооцоолно уу: (-1 / (0.5 2 * 1); -1 / (0.5 * 1 2)) \u003d (-4; - 2) . (0.5; 1) цэг нь 1 / (x 1 x 2) \u003d 2 түвшний шугам дээр байрладаг болохыг анхаарна уу, учир нь z \u003d f (0.5; 1) \u003d 1 / (0.5 * 1) \u003d 2. To Зураг 5.9-д (-4; -2) векторыг зурж (0.5; 1) цэгийг (-3.5; -1) цэгтэй холбоно, учир нь (-3.5 - 0.5; -1 - 1) = (-4; -2).

Ижил түвшний шулуун дээрх өөр нэг цэгийг авч үзье, жишээ нь (1; 0.5) цэг (z=f(1; 0.5) = 1/(0.5*1) = 2). Энэ цэг дэх градиентийг тооцоол (-1/(1 2 *0.5); -1/(1*0.5 2)) = (-2; -4). Зураг 5.9-д дүрслэхийн тулд бид (1; 0.5) цэгийг (-1; -3.5) цэгтэй холбоно, учир нь (-1 - 1; -3.5 - 0.5) = (-2; - дөрөв).

Ижил түвшний шугаман дээр дахиад нэг цэгийг авъя, гэхдээ одоо л эерэг биш координатын улиралд. Жишээ нь, цэг (-0.5; -1) (z=f(-0.5; -1) = 1/((-1)*(-0.5)) = 2). Энэ цэг дэх градиент нь (-1/((-0.5) 2 *(-1)); -1/((-0.5)*(-1) 2)) = (4; 2) байх болно. (-0.5; -1) цэгийг (3.5; 1) цэгтэй холбож Зураг 5.9-д дүрсэлье, учир нь (3.5 - (-0.5); 1 - (-1)) = (4 ; 2).

Харгалзан үзсэн бүх гурван тохиолдолд градиент нь функцын түвшний өсөлтийн чиглэлийг (1/(x 1 x 2) = 10 > 2 түвшний шугам руу) харуулж байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх түвшний шугам (түвшингийн гадаргуу) -д градиент үргэлж перпендикуляр байдгийг баталж болно.

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн экстремум

Үзэл баримтлалыг тодорхойлъё экстремумолон хувьсагчтай функцийн хувьд.

Олон хувьсагчийн функц f(X) X (0) цэгт байна. хамгийн их (хамгийн бага),хэрвээ энэ цэгийн ийм хөрш байгаа бол энэ хөршийн бүх X цэгүүдэд f(X)f(X (0)) () тэгш бус байдал оршино.

Хэрэв эдгээр тэгш бус байдал нь хатуу гэж хангагдсан бол экстремум гэж нэрлэдэг хүчтэй, хэрэв үгүй ​​бол дараа нь сул.

Ийм байдлаар тодорхойлсон экстремум нь гэдгийг анхаарна уу орон нутгийншинж чанар, учир нь эдгээр тэгш бус байдал нь зөвхөн экстремум цэгийн зарим хөршид хамаарна.

Дифференциалагдах функцийн z=f(x 1, . . ., x n) цэгийн локал экстремумын зайлшгүй нөхцөл нь энэ цэг дэх бүх нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудын тэгтэй тэнцүү байх явдал юм.
.

Эдгээр тэнцүү байх цэгүүдийг дуудна суурин.

Өөрөөр хэлбэл, экстремумын зайлшгүй нөхцөлийг дараах байдлаар томъёолж болно: экстремум цэг дээр градиент тэгтэй тэнцүү байна. Мөн илүү ерөнхий мэдэгдлийг батлах боломжтой - экстремум цэг дээр функцийн деривативууд бүх чиглэлд алга болно.

Суурин цэгүүдийг нэмэлт судалгаанд хамруулна - орон нутгийн экстремум оршин тогтнох хангалттай нөхцөл хангагдсан эсэх. Үүнийг хийхийн тулд хоёрдугаар эрэмбийн дифференциалын тэмдгийг тодорхойлно. Хэрэв нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш бол энэ нь үргэлж сөрөг (эерэг) байвал функц нь хамгийн их (хамгийн бага) байна. Хэрэв энэ нь зөвхөн 0 алхамаар алга болж чадахгүй бол экстремумын тухай асуулт нээлттэй хэвээр байна. Хэрэв эерэг ба сөрөг утгыг хоёуланг нь авч чадвал хөдөлгөөнгүй цэг дээр экстремум байхгүй болно.

Ерөнхийдөө дифференциалын тэмдгийг тодорхойлох нь нэлээд төвөгтэй асуудал бөгөөд бид энд авч үзэхгүй. Хоёр хувьсагчийн функцийн хувьд хөдөлгөөнгүй цэг дээр байгаа гэдгийг баталж болно
, дараа нь экстремум байдаг. Энэ тохиолдолд хоёр дахь дифференциалын тэмдэг нь тэмдэгтэй давхцдаг
, өөрөөр хэлбэл хэрэв
, тэгвэл энэ нь хамгийн дээд хэмжээ бөгөөд хэрэв
, тэгвэл энэ нь хамгийн бага байна. Хэрвээ
, тэгвэл энэ үед экстремум байхгүй бөгөөд хэрэв
, дараа нь экстремумын тухай асуулт нээлттэй хэвээр байна.

Жишээ 1. Функцийн экстремумыг ол
.

Логарифмын дифференциалын аргаар хэсэгчилсэн деривативуудыг олъё.

ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) – ln (1 + x 2) – ln (1 + y 2)

Үүнтэй адил
.

Тэгшитгэлийн системээс суурин цэгүүдийг олъё.

Ийнхүү дөрвөн суурин цэг (1; 1), (1; -1), (-1; 1) ба (-1; -1) олддог.

Хоёрдахь эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олцгооё.

ln (z x `) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)

Үүнтэй адил
;
.

Учир нь
, илэрхийллийн тэмдэг
зөвхөн хамаарна
. Эдгээр деривативуудын аль алинд нь хуваагч үргэлж эерэг байдаг тул та зөвхөн тоологчийн тэмдэг, тэр ч байтугай x (x 2 - 3) ба y (y 2 - 3) илэрхийллийн тэмдгийг авч үзэх боломжтой гэдгийг анхаарна уу. Үүнийг эгзэгтэй цэг бүрт тодорхойлж, хангалттай экстремум нөхцөлийн биелэлтийг шалгацгаая.

(1; 1) цэгийн хувьд бид 1*(1 2 - 3) = -2 болно< 0. Т.к. произведение двух отрицательных чисел
> 0, ба
< 0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он равен
= 2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) = = 8/4 = 2.

(1; -1) цэгийн хувьд бид 1*(1 2 - 3) = -2 болно< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 >0. Учир нь эдгээр тоонуудын үржвэр
< 0, в этой точке экстремума нет. Аналогично можно показать, что нет экстремума в точке (-1; 1).

(-1; -1) цэгийн хувьд бид (-1)*((-1) 2 - 3) = 2 > 0 болно. хоёр эерэг тооны үржвэр
> 0, ба
> 0, (-1; -1) цэг дээр та хамгийн бага хэмжээг олох боломжтой. Энэ нь 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1)-тэй тэнцүү байна. 2) ) = -8/4 = = -2.

Хай дэлхийнхамгийн их буюу хамгийн бага (функцийн хамгийн том эсвэл хамгийн бага утга) нь орон нутгийн экстремумаас арай илүү төвөгтэй байдаг, учир нь эдгээр утгыг зөвхөн суурин цэгүүдэд төдийгүй тодорхойлолтын хүрээний хил дээр олж авах боломжтой. Энэ бүсийн зааг дээрх функцийн зан төлөвийг судлах нь үргэлж амар байдаггүй.