Хоёр хувьсагчийн функцийн нөхцөлт экстремумыг судал. Орон нутгийн экстрема
Тодорхойлолт 1: Функцийг тухайн цэгийн хөрш байгаа бол тухайн цэг дээр локал максимумтай гэж хэлнэ. Мкоординатуудтай (х, у)тэгш бус байдал биелэгдсэн: . Энэ тохиолдолд, өөрөөр хэлбэл, функцийн өсөлт< 0.
Тодорхойлолт 2: Функцийг тухайн цэгийн хөрш байгаа бол тухайн цэг дээр локал минимумтай гэж хэлнэ. Мкоординатуудтай (х, у)тэгш бус байдал биелэгдсэн: . Энэ тохиолдолд, өөрөөр хэлбэл, функцийн өсөлт > 0 байна.
Тодорхойлолт 3: Орон нутгийн хамгийн бага ба дээд цэгүүдийг дуудна экстремум цэгүүд.
Нөхцөлт туйл
Олон хувьсагчийн функцийн экстремумыг хайхад ихэвчлэн гэж нэрлэгддэг функцтэй холбоотой асуудал гарч ирдэг. нөхцөлт туйл.Энэ ойлголтыг хоёр хувьсагчийн функцийн жишээгээр тайлбарлаж болно.
Функц ба мөрийг өгье Лгадаргуу дээр 0xy. Даалгавар бол шугамлах явдал юм Лийм цэгийг олоорой P(x, y),функцийн утга нь шугамын цэгүүд дэх энэ функцын утгуудтай харьцуулахад хамгийн том эсвэл хамгийн бага байна Лцэгийн ойролцоо байрладаг П. Ийм цэгүүд Пдуудсан нөхцөлт экстремум цэгүүдшугамын функцууд Л. Ердийн экстремум цэгээс ялгаатай нь нөхцөлт экстремум цэг дээрх функцын утгыг түүний зарим хөршийн бүх цэгүүдэд биш, зөвхөн шугаман дээр байрлах функцүүдийн утгатай харьцуулна. Л.
Ердийн экстремумын цэг нь тодорхой байна (тэд бас хэлдэг болзолгүй экстремум) мөн энэ цэгийг дайран өнгөрөх аливаа шулууны нөхцөлт экстремум цэг юм. Мэдээжийн хэрэг, эсрэгээр нь үнэн биш: нөхцөлт экстремум цэг нь ердийн экстремум цэг биш байж болно. Үүнийг энгийн жишээгээр тайлбарлая. Функцийн график нь дээд тархи юм (Хавсралт 3 (Зураг 3)).
Энэ функц нь гарал үүслийн дээд талтай; энэ нь дээд талтай тохирч байна Мтархи. Хэрэв шугам Лцэгүүдийг дайран өнгөрөх шугам байдаг ГЭХДЭЭболон AT(түүний тэгшитгэл x+y-1=0), тэгвэл энэ шугамын цэгүүдийн хувьд функцын хамгийн их утга нь цэгүүдийн дунд байрлах цэгт хүрдэг нь геометрийн хувьд тодорхой байна. ГЭХДЭЭболон AT.Энэ нь өгөгдсөн шугам дээрх функцийн нөхцөлт экстремумын (хамгийн их) цэг юм; энэ нь бөмбөрцгийн бөмбөрцгийн М 1 цэгтэй тохирч байгаа бөгөөд энд ямар ч энгийн экстремумын тухай асуудал байж болохгүйг зургаас харж болно.
Хаалттай муж дахь функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох асуудлын эцсийн хэсэгт бид энэ мужийн хил дээрх функцийн экстремаль утгуудыг олох ёстой гэдгийг анхаарна уу. зарим мөрөнд, улмаар нөхцөлт экстремумын асуудлыг шийднэ.
Одоо x ба y хувьсагчид (x, y) = 0 тэгшитгэлээр хамааралтай байх нөхцөлд Z= f(x, y) функцийн нөхцөлт экстремумын цэгүүдийн практик хайлт руу орцгооё. хязгаарлалтын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Хэрэв холболтын тэгшитгэлээс y-ийг х: y \u003d (x) хэлбэрээр тодорхой илэрхийлж чадвал бид Z \u003d f (x, (x)) \u003d Ф (x) нэг хувьсагчийн функцийг авна.
Энэ функц экстремумд хүрэх x-ийн утгыг олж, дараа нь холболтын тэгшитгэлээс y-ийн харгалзах утгыг тодорхойлсны дараа бид нөхцөлт экстремумын хүссэн цэгүүдийг олж авна.
Тэгэхээр дээрх жишээн дээр x+y-1=0 харилцааны тэгшитгэлээс y=1-x байна. Эндээс
x = 0.5 үед z хамгийн ихдээ хүрч байгааг шалгахад хялбар байдаг; гэхдээ дараа нь y = 0.5 холболтын тэгшитгэлээс бид геометрийн тооцооллоос олдсон P цэгийг яг авна.
Нөхцөлт экстремумын асуудал нь хязгаарлалтын тэгшитгэлийг төлөөлөх боломжтой байсан ч маш энгийнээр шийдэгддэг. параметрийн тэгшитгэл x=x(t), y=y(t). Энэ функцэд x, y-ийн илэрхийлэлүүдийг орлуулснаар бид нэг хувьсагчийн функцийн экстремумыг олох асуудалд дахин ирдэг.
Хэрэв хязгаарлалтын тэгшитгэл нь түүнээс их байвал цогц үзэмжмөн бид нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар тодорхой илэрхийлэх боломжгүй, параметрийн тэгшитгэлээр орлуулах боломжгүй бол нөхцөлт экстремумыг олох асуудал улам хэцүү болно. Бид z= f(x, y) функцийн илэрхийлэлд хувьсагч (x, y) = 0 байна гэж үзсээр байх болно. z= f(x, y) функцийн нийт дериватив нь дараахтай тэнцүү байна.
Ялгах дүрмээр олдсон y` дериватив хаана байна далд функц. Нөхцөлт экстремумын цэгүүдэд олдсон нийт дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой; Энэ нь x ба y-тэй холбоотой нэг тэгшитгэлийг өгдөг. Тэд мөн хязгаарлалтын тэгшитгэлийг хангах ёстой тул бид хоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн системийг олж авна.
Эхний тэгшитгэлийг пропорциональ хэлбэрээр бичиж, шинэ туслах үл мэдэгдэхийг оруулснаар энэ системийг илүү тохиромжтой систем болгон хувиргацгаая.
(тохь тухтай байлгах үүднээс хасах тэмдэг урд талд байрлуулсан). Эдгээр тэгшитгэлээс дараахь системд шилжихэд хялбар байдаг.
f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),
(x, y) = 0 хязгаарлалтын тэгшитгэлийн хамт x, y, ба үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлдэг.
Эдгээр тэгшитгэл (*) нь санахад хамгийн хялбар байдаг дараагийн дүрэм: функцийн нөхцөлт экстремумын цэг байж болох цэгүүдийг олохын тулд
Z= f(x, y) хязгаарлалтын тэгшитгэл (x, y) = 0 бол туслах функц үүсгэх шаардлагатай.
F(x,y)=f(x,y)+(x,y)
Энэ функцийн экстремум цэгүүдийг олохын тулд зарим нэг тогтмол байна, тэгшитгэл бичнэ үү.
Тодорхойлсон тэгшитгэлийн систем нь дүрмээр бол зөвхөн шаардлагатай нөхцлийг хангадаг, жишээлбэл. Энэ системийг хангасан x ба y хос бүр нь нөхцөлт экстремум цэг байх албагүй. Би нөхцөлт экстремум цэгүүдэд хангалттай нөхцөл өгөхгүй; Ихэнх тохиолдолд асуудлын тодорхой агуулга нь олсон цэг нь юу болохыг харуулж байна. Нөхцөлт экстремумын асуудлыг шийдвэрлэх тайлбарласан техникийг Лагранжийн үржүүлэгчийн арга гэж нэрлэдэг.
Хэд хэдэн хувьсагчийн функцүүдийн экстремум. Экстремум үүсэх зайлшгүй нөхцөл. Экстремум үүсэх хангалттай нөхцөл. Нөхцөлт экстремум. Лагранж үржүүлэгчийн арга. Хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох.
Лекц 5
Тодорхойлолт 5.1.Цэг M 0 (x 0, y 0)дуудсан хамгийн дээд цэгфункцууд z = f(x, y),хэрэв f (x o, y o) > f(x, y)бүх онооны хувьд (х, у) М 0.
Тодорхойлолт 5.2.Цэг M 0 (x 0, y 0)дуудсан хамгийн бага цэгфункцууд z = f(x, y),хэрэв f (x o, y o) < f(x, y)бүх онооны хувьд (х, у)цэгийн зарим хөршөөс М 0.
Тайлбар 1. Хамгийн их ба хамгийн бага оноог дуудна экстремум цэгүүдхэд хэдэн хувьсагчийн функцууд.
Тайлбар 2. Дурын тооны хувьсагчийн функцийн экстремум цэгийг ижил төстэй байдлаар тодорхойлно.
Теорем 5.1(шаардлагатай экстремум нөхцөл). Хэрвээ M 0 (x 0, y 0)функцийн экстремум цэг юм z = f(x, y),тэгвэл энэ үед энэ функцийн нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд тэгтэй тэнцүү буюу байхгүй байна.
Баталгаа.
Хувьсагчийн утгыг засъя цагттоолох y = y 0. Дараа нь функц f(x, y0)нэг хувьсагчийн функц байх болно X, Үүний төлөө x = x 0туйлын цэг юм. Тиймээс Фермагийн теоремоор эсвэл байхгүй. Үүнтэй ижил нотолгоо нотлогдсон.
Тодорхойлолт 5.3.Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн мужид хамаарах функцийн хэсэгчилсэн дериватив нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй цэгүүдийг гэнэ. суурин цэгүүдэнэ функц.
Сэтгэгдэл. Тиймээс экстремум нь зөвхөн суурин цэгүүдэд хүрч болох боловч тэдгээр нь тус бүрт ажиглагдах албагүй.
Теорем 5.2(экстремум үүсэх хангалттай нөхцөл). цэгийн зарим нэг хөрш үзье M 0 (x 0, y 0), энэ нь функцийн суурин цэг юм z = f(x, y),Энэ функц нь 3-р зэрэглэлийг багтаасан тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай. Дараа нь тэмдэглэнэ үү:
1) f(x, y)цэг дээр байна М 0хамгийн их бол AC-B² > 0, А < 0;
2) f(x, y)цэг дээр байна М 0хамгийн бага бол AC-B² > 0, А > 0;
3) эгзэгтэй цэгт экстремум байхгүй бол AC-B² < 0;
4) хэрэв AC-B² = 0, нэмэлт судалгаа шаардлагатай.
Баталгаа.
Функцийн хоёр дахь эрэмбийн Тейлорын томьёог бичье f(x, y),хөдөлгөөнгүй цэг дээр эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд тэгтэй тэнцүү байна гэдгийг санаарай.
хаана 
Хэрэв сегмент хоорондын өнцөг М 0 М, хаана М (x 0 +Δ x, y 0 +Δ цагт), болон O тэнхлэг Xφ, дараа нь Δ гэж тэмдэглэнэ x =Δ ρ
cos φ,
Δ у=Δρsinφ. Энэ тохиолдолд Тейлорын томъёо дараах хэлбэртэй байна. Let Дараа нь бид хаалтанд байгаа илэрхийллийг хувааж, үржүүлж болно ГЭХДЭЭ. Бид авах:
Одоо дөрөвийг авч үзье боломжит тохиолдлууд:
1) AC-B² > 0, А < 0. Тогда , и 
хангалттай бага Δρ-ийн хувьд. Тиймээс зарим хороололд M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ у)< f(x0, y0), тэр бол М 0хамгийн дээд цэг юм.
2) зөвшөөр AC-B² > 0, A > 0.Дараа нь 
, ба М 0хамгийн бага цэг юм.
3) зөвшөөр AC-B² < 0, А> 0. φ = 0 цацрагийн дагуух аргументуудын өсөлтийг авч үзье.Тэгвэл (5.1)-ээс гарна. 
, өөрөөр хэлбэл, энэ цацрагийн дагуу шилжих үед функц нэмэгддэг. Хэрэв бид ийм туяа дагуу хөдөлвөл tg φ 0 \u003d -A / B,тэгээд 
, тиймээс энэ туяа дагуу хөдөлж байх үед функц буурдаг. Тэгэхээр гол нь М 0туйлын цэг биш.
3`) Хэзээ AC-B² < 0, А < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится
өмнөхтэй төстэй.
3``) Хэрэв AC-B² < 0, А= 0, тэгвэл . Үүнд . Дараа нь хангалттай бага φ-ийн хувьд илэрхийлэл 2 Б cos + C sinφ 2-той ойролцоо AT, өөрөөр хэлбэл, энэ нь тогтмол тэмдгийг хадгалж, sinφ нь цэгийн ойролцоо тэмдгийг өөрчилдөг М 0.Энэ нь функцийн өсөлт нь хөдөлгөөнгүй цэгийн ойролцоо тэмдэгийг өөрчилдөг гэсэн үг бөгөөд энэ нь экстремум цэг биш юм.
4) Хэрэв AC-B² = 0, мөн 
, 
, өөрөөр хэлбэл өсөлтийн тэмдгийг 2α 0 тэмдгээр тодорхойлно. Үүний зэрэгцээ экстремум байгаа эсэх асуудлыг тодруулахын тулд нэмэлт судалгаа хийх шаардлагатай байна.
Жишээ. Функцийн экстремум цэгүүдийг олъё z=x² - 2 xy + 2y² + 2 x.Тогтмол цэгүүдийг хайхын тулд бид системийг шийддэг 
. Тиймээс хөдөлгөөнгүй цэг нь (-2,-1) байна. Хаана A = 2, AT = -2, FROM= 4. Дараа нь AC-B² = 4 > 0 тул суурин цэг дээр экстремум, тухайлбал хамгийн бага (үүнээс хойш) хүрнэ. А > 0).
Тодорхойлолт 5.4.Хэрэв функц аргументтай бол f (x 1 , x 2 ,…, x n)хэлбэрээр нэмэлт нөхцлөөр хязгаарлагдана мтэгшитгэл ( м< n) :
φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ м ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)
φ i функцууд тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай бол (5.2) тэгшитгэлийг гэнэ. холболтын тэгшитгэл.
Тодорхойлолт 5.5.Функцийн экстремум f (x 1 , x 2 ,…, x n)нөхцөлд (5.2) гэж нэрлэдэг нөхцөлт экстремум.
Сэтгэгдэл. Бид хоёр хувьсагчийн функцийн нөхцөлт экстремумын дараах геометрийн тайлбарыг санал болгож болно: функцийн аргументуудыг үзье. f(x,y)φ тэгшитгэлээр холбогдоно (х, у)= 0, О хавтгайд зарим муруйг тодорхойлох ху. Энэ муруйн цэг бүрээс О хавтгайд перпендикуляруудыг сэргээсэн хугадаргууг гатлахаас өмнө z = f (x, y),бид φ муруйн дээрх гадаргуу дээр байрлах орон зайн муруйг олж авна (х, у)= 0. Асуудал нь үүссэн муруйн экстремум цэгүүдийг олох явдал бөгөөд энэ нь мэдээжийн хэрэг ерөнхий тохиолдолфункцийн болзолгүй экстремум цэгүүдтэй давхцаж болохгүй f(x,y).
Хоёр хувьсагчийн функцэд шаардлагатай нөхцөлт экстремум нөхцөлийг урьдчилан дараах тодорхойлолтыг оруулан тодорхойлъё.
Тодорхойлолт 5.6.Чиг үүрэг L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +
+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ м φ м (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)
хаана λ би -гэж нэрлэдэг зарим тогтмолууд Лагранж функц, болон тоонууд λi– тодорхойгүй Лагранж үржүүлэгч.
Теорем 5.3(шаардлагатай нөхцөлт экстремум нөхцөл). Функцийн нөхцөлт экстремум z = f(x, y)хязгаарлалтын тэгшитгэл байгаа тохиолдолд φ ( x, y)= 0-д зөвхөн Лагранжийн функцийн суурин цэгүүдэд хүрч болно L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).
Баталгаа. Хязгаарлалтын тэгшитгэл нь далд хамаарлыг тодорхойлдог цагт-аас X, тиймээс бид үүнийг таамаглах болно цагт-аас функц байдаг X: у = у(х).Дараа нь zнарийн төвөгтэй функц байдаг X, түүний эгзэгтэй цэгүүдийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно. 
. (5.4) Хязгаарлалтын тэгшитгэлээс илэрнэ 
. (5.5)
Бид тэгш байдлыг (5.5) зарим λ тоогоор үржүүлээд (5.4) нэмнэ. Бид авах:
, эсвэл .
Сүүлчийн тэгш байдал нь хөдөлгөөнгүй цэгүүдэд байх ёстой бөгөөд үүнээс дараах нь:
(5.6)
Гурван үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийн системийг олж авна. x, yба λ, эхний хоёр тэгшитгэл нь Лагранжийн функцийн суурин цэгийн нөхцөл болно. Системээс (5.6) туслах үл мэдэгдэх λ-г хасч, анхны функц нөхцөлт экстремум байж болох цэгүүдийн координатыг олно.
Тайлбар 1. Олдсон цэг дээр нөхцөлт экстремум байгаа эсэхийг 5.2 теоремын аналогиар Лагранжийн функцийн хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг судалж шалгаж болно.
Тайлбар 2. Функцийн нөхцөлт туйлд хүрч болох цэгүүд f (x 1 , x 2 ,…, x n)нөхцөлд (5.2) системийн шийдэл гэж тодорхойлж болно 
(5.7)
Жишээ. Функцийн нөхцөлт экстремумыг ол z = xyнөхцөлөөр x + y= 1. Лагранж функцийг зохио L(x, y) = xy + λ (x + y –)нэг). Дараа нь систем (5.6) дараах байдалтай байна.
Эндээс -2λ=1, λ=-0.5, x = y = -λ = 0.5. Хаана L (x, y)хэлбэрээр төлөөлж болно L(x, y) = - 0,5 (x-y)² + 0.5 ≤ 0.5, тиймээс олдсон суурин цэг дээр L (x, y)дээд талтай ба z = xy -нөхцөлт дээд.
Хоёр хувьсагчийн функцийн экстремумын хангалттай нөхцөл
1. Функц нь цэгийн зарим хөршид тасралтгүй дифференциал болох ба тасралтгүй хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативтэй (цэвэр ба холимог) байг.
2. Хоёрдахь эрэмбийн тодорхойлогчоор тэмдэглэ
extremum variable лекцийн функц
Теорем
Хэрэв координаттай цэг нь функцийн суурин цэг байвал:
A) At , энэ нь орон нутгийн экстремум цэг бөгөөд, at орон нутгийн дээд хэмжээ, - орон нутгийн доод хэмжээ;
C) цэг нь орон нутгийн экстремум цэг биш үед;
C) хэрэв, магадгүй хоёулаа.
Баталгаа
Бид функцийн Тейлорын томьёог бичээд хоёр гишүүнээр хязгаарладаг.
Теоремын нөхцлийн дагуу цэг нь хөдөлгөөнгүй байдаг тул хоёр дахь эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд нь тэгтэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. болон. Дараа нь
Тэмдэглэх
Дараа нь функцийн өсөлт нь дараах хэлбэртэй болно.
Хоёр дахь эрэмбийн (цэвэр ба холимог) хэсэгчилсэн деривативуудын тасралтгүй байдлын улмаас теоремын нөхцөлийн дагуу бид дараахь зүйлийг бичиж болно.
Хаана эсвэл; ,
1. Let and, өөрөөр хэлбэл, эсвэл.
2. Функцийн өсөлтийг үржүүлж, хуваахад бид дараахь зүйлийг авна.
3. Буржгар хаалтанд байгаа илэрхийллийг нийлбэрийн бүтэн квадрат хүртэл нөхнө үү.
4. Буржгар хаалт дахь илэрхийлэл нь сөрөг биш, учир нь
5. Иймд хэрэв ба эндээс, ба, тэгвэл ба, тиймээс гэсэн тодорхойлолтын дагуу цэг нь орон нутгийн минимумын цэг болно.
6. Хэрэв ба гэсэн утгатай бол, тэгээд тодорхойлолтын дагуу координаттай цэг нь орон нутгийн максимум цэг болно.
2. Квадрат гурвалжин, түүний ялгах, .
3. Хэрэв тийм бол олон гишүүнтийн цэгүүд байна
4. I-д олж авсан илэрхийллийн дагуу цэг дээрх функцийн нийт өсөлтийг бид дараах хэлбэрээр бичнэ.
5. Хоёрдахь эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативын тасралтгүй байдлын улмаас цэг дээрх теоремын нөхцөлөөр бид ингэж бичиж болно.
Иймээс аль ч цэгийн хувьд квадрат гурвалжин тэгээс их байх цэгийн хөрш байдаг:
6. авч үзэх - цэгийн хөрш.
Ямар ч үнэ цэнийг сонгоцгооё, тэгэхээр гол нь энэ. Функцийн өсөлтийн томъёонд гэж үзвэл
Бид юу авах вэ:
7. Тэр цагаас хойш.
8. Үндэсний талаар мөн адил мэтгэлцэхэд бид цэгийн аль ч хөршид цэг байдаг тул тухайн цэгийн хөршид тэмдэг хадгалдаггүй тул цэг дээр экстремум байдаггүй.
Хоёр хувьсагчийн функцийн нөхцөлт экстремум
Хоёр хувьсагчийн функцийн экстремумыг хайхдаа нөхцөлт экстремум гэж нэрлэгддэг асуудалтай холбоотой асуудал ихэвчлэн гарч ирдэг. Энэ ойлголтыг хоёр хувьсагчийн функцийн жишээгээр тайлбарлаж болно.
0xy хавтгайд функц ба L шулууныг өгье. Даалгавар бол L шугаман дээр байрлах P (x, y) цэгийг олох явдал бөгөөд энэ үед функцийн утга нь энэ функцийн утгуудтай харьцуулахад хамгийн том эсвэл хамгийн бага байх нь L шугамын ойролцоо байрладаг. P цэг. Ийм P цэгүүдийг L шулуун дээрх нөхцөлт экстремум цэгийн функцууд гэж нэрлэдэг. Ердийн экстремум цэгээс ялгаатай нь нөхцөлт экстремум цэг дээрх функцийн утгыг бүх цэг дээр биш функцийн утгатай харьцуулдаг. түүний ойр орчмын зарим хэсэг, гэхдээ зөвхөн L шугам дээр байрладаг.
Ердийн экстремумын цэг (тэд мөн болзолгүй экстремум гэж хэлдэг) энэ цэгийг дайран өнгөрөх аливаа шугамын нөхцөлт экстремумын цэг болох нь тодорхой байна. Мэдээжийн хэрэг, эсрэгээр нь үнэн биш: нөхцөлт экстремум цэг нь ердийн экстремум цэг биш байж болно. Юу хэлснийг жишээгээр тайлбарлая.
Жишээ №1.Функцийн график нь дээд тархи юм (Зураг 2).
Цагаан будаа. 2.
Энэ функц нь гарал үүслийн дээд талтай; энэ нь бөмбөрцгийн M оройтой тохирч байна. Хэрэв L шугам нь А ба В цэгүүдийг (түүний тэгшитгэл) дайран өнгөрдөг шулуун шугам юм бол энэ шугамын цэгүүдийн хувьд функцийн хамгийн их утга нь А ба В цэгүүдийн дунд байрлах цэгт хүрдэг нь геометрийн хувьд тодорхой байна. B. Энэ шугам дээрх нөхцөлт экстремум (хамгийн их) цэгийн функцууд; энэ нь бөмбөрцгийн бөмбөрцгийн М 1 цэгтэй тохирч байгаа бөгөөд энд энгийн экстремумын тухай асуудал байж болохгүйг зургаас харж болно.
Хаалттай муж дахь функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох асуудлын эцсийн хэсэгт энэ мужийн хил дээрх функцийн экстремаль утгуудыг олох шаардлагатайг анхаарна уу. зарим мөрөнд, улмаар нөхцөлт экстремумын асуудлыг шийднэ.
Тодорхойлолт 1.Тэгшитгэлийг хангадаг цэгийн нөхцөлт буюу харьцангуй максимум (хамгийн бага) хаана байна гэж тэд хэлдэг: хэрэв тэгшитгэлийг хангаж байгаа бол тэгш бус байдал.
Тодорхойлолт 2.Хэлбэрийн тэгшитгэлийг хязгаарлалтын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.
Теорем
Хэрэв функцүүд нь цэгийн ойролцоо тасралтгүй дифференциал болох ба хэсэгчилсэн дериватив ба цэг нь хязгаарлалтын тэгшитгэлийн хувьд функцийн нөхцөлт экстремумын цэг юм бол хоёрдугаар эрэмбийн тодорхойлогч тэгтэй тэнцүү байна.
Баталгаа
1. Теоремын нөхцөл, хэсэгчилсэн дериватив, функцийн утгын дагуу зарим тэгш өнцөгт
далд функцийг тодорхойлсон
Нэг цэг дэх хоёр хувьсагчийн нийлмэл функц нь орон нутгийн экстремум, тиймээс, эсвэл байна.
2. Үнэхээр нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал томьёоны инвариантын шинж чанарын дагуу
3. Холболтын тэгшитгэлийг энэ хэлбэрээр илэрхийлж болох бөгөөд энэ нь гэсэн үг
4. (2) тэгшитгэлийг (3)-аар үржүүлээд нэм
Тиймээс, хэзээ
дур зоргоороо. h.t.d.
Үр дагавар
Практикт хоёр хувьсагчийн функцийн нөхцөлт экстремум цэгүүдийг хайх нь тэгшитгэлийн системийг шийдэх замаар хийгддэг.
Тэгэхээр дээрх жишээн дээр №1 харилцааны тэгшитгэлээс бидэнд байна. Эндээс хамгийн дээд хэмжээнд хүрэхийг шалгахад хялбар байдаг. Харин дараа нь харилцааны тэгшитгэлээс. Бид геометрийн аргаар олдсон P цэгийг авдаг.
Жишээ №2.Хязгаарлалтын тэгшитгэлийн хувьд функцийн нөхцөлт экстремум цэгүүдийг ол.
Хэсэгчилсэн деривативуудыг олцгооё өгөгдсөн функцба холболтын тэгшитгэлүүд:
Хоёрдахь эрэмбийн тодорхойлогч хийцгээе:
Нөхцөлт экстремум цэгүүдийг олох тэгшитгэлийн системийг бичье.
Иймээс координаттай функцийн дөрвөн нөхцөлт экстремум цэг байна: .
Жишээ №3.Функцийн экстремум цэгүүдийг ол.
Хэсэгчилсэн деривативуудыг тэгтэй тэнцүүлэх нь: , бид нэг суурин цэгийг олдог - гарал үүсэл. Энд,. Тиймээс (0, 0) цэг нь экстремум цэг биш юм. Тэгшитгэл нь гиперболын параболоидын тэгшитгэл юм (Зураг 3), зураг (0, 0) цэг нь экстремум цэг биш гэдгийг харуулж байна.
Цагаан будаа. 3.
Хаалттай бүс дэх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утга
1. Хязгаарлагдмал хаалттай мужид функц тодорхойлогдсон ба үргэлжилсэн байх ёстой D.
2. Тухайн муж дахь тус тусын цэгээс бусад функц нь хязгаарлагдмал хэсэгчилсэн деривативтай байг.
3. Вейерштрассын теоремын дагуу энэ хэсэгт функц хамгийн том, хамгийн бага утгыг авах цэг байдаг.
4. Хэрэв эдгээр цэгүүд нь D мужын дотоод цэгүүд бол тэдгээр нь хамгийн их эсвэл хамгийн багатай байх нь ойлгомжтой.
5. Энэ тохиолдолд бидний сонирхож буй цэгүүд нь экстремум дээрх сэжигтэй цэгүүдийн нэг юм.
6. Гэсэн хэдий ч функц нь D мужийн хил дээр хамгийн их эсвэл хамгийн бага утгыг авч болно.
7. D талбайн функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утгыг олохын тулд экстремумын сэжигтэй бүх дотоод цэгүүдийг олж, тэдгээрт байгаа функцийн утгыг тооцоолж, дараа нь функцийн утгыг дараах хэсэгт харьцуулах шаардлагатай. талбайн хилийн цэгүүд бөгөөд олдсон бүх утгуудын хамгийн том нь хаалттай бүсэд хамгийн том байх болно D.
8. Орон нутгийн хамгийн их буюу минимумыг олох аргыг 1.2-р хэсэгт өмнө нь авч үзсэн. болон 1.3.
9. Бүс нутгийн хил дээрх функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг олох аргыг авч үзэх хэвээр байна.
10. Хоёр хувьсагчийн функцийн хувьд талбай нь ихэвчлэн муруй эсвэл хэд хэдэн муруйгаар хязгаарлагддаг.
11. Ийм муруй (эсвэл хэд хэдэн муруй) дагуу хувьсагч ба аль нэг нь бие биенээсээ хамааралтай, эсвэл хоёулаа нэг параметрээс хамаарна.
12. Ингээд хил дээр функц нэг хувьсагчаас хамааралтай болж хувирна.
13. Нэг хувьсагчийн функцийн хамгийн том утгыг олох аргыг өмнө нь авч үзсэн.
14. D мужийн хилийг параметрийн тэгшитгэлээр өгье.
Дараа нь энэ муруй дээр хоёр хувьсагчийн функц байх болно нарийн төвөгтэй функцпараметрээс: . Ийм функцийн хувьд хамгийн том ба хамгийн бага утгыг нэг хувьсагчийн функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг тодорхойлох аргаар тодорхойлно.
Нөхцөлт туйл.
Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн экстремум
Хамгийн бага квадрат арга.
Функцийг зөвшөөр болон= е(P), РИДИР nба цэгийг Р 0 ( а 1 , а 2 , ..., a p) –дотоодолонлогийн цэг D.
Тодорхойлолт 9.4.
1) P 0 цэгийг дуудна хамгийн дээд цэг функцууд болон= е(P) хэрэв энэ U(P 0) Ì D цэгийн хөрш байгаа бол ямар ч P( цэгийн хувьд) X 1 , X 2 , ..., x n)н U(P 0) , Р¹Р 0 , нөхцөл е(P) £ е(P0) . Утга е(P 0) функцийг хамгийн их цэг дээр дууддаг функцийн дээд хэмжээ болон тэмдэглэсэн е(P 0) = хамгийн их е(P) .
2) P 0 цэгийг дуудна хамгийн бага цэг функцууд болон= е(P) хэрвээ энэ U(P 0)Ì D цэгийн хөрш байгаа бол ямар ч P( цэгийн хувьд) X 1 , X 2 , ..., x n)нU(P 0), Р¹Р 0 , нөхцөл е(P)³ е(P0) . Утга е(P 0) функцийг хамгийн бага цэгт гэж нэрлэдэг хамгийн бага функц болон тэмдэглэсэн е(P 0) = мин е(P).
Функцийн хамгийн бага ба хамгийн их цэгүүдийг дуудна туйлын цэгүүд, экстремум цэг дээрх функцийн утгуудыг дуудна функциональ экстремум.
Тодорхойлолтоос харахад тэгш бус байдал е(P) £ е(P0) , е(P)³ е(P 0) нь функцийн бүх мужид биш, зөвхөн Р 0 цэгийн тодорхой хэсэгт хийгдэх ёстой бөгөөд энэ нь функц нь ижил төрлийн хэд хэдэн экстремумтай (хэд хэдэн минимум, хэд хэдэн максимум) байж болно гэсэн үг юм. Тиймээс дээр тодорхойлсон экстремумуудыг нэрлэдэг орон нутгийн(орон нутгийн) эрс тэс.
Теорем 9.1.( шаардлагатай нөхцөл FNP extremum)
Хэрэв функц болон= е(X 1 , X 2 , ..., x n) нь P 0 цэгт экстремумтай бол энэ цэг дэх түүний нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй байна.
Баталгаа.Р 0 цэг дээр ( а 1 , а 2 , ..., a p) функц болон= е(P) дээд зэрэглэлийн туйлтай. Аргументуудыг засъя X 2 , ..., x n, оруулах X 2 =а 2 ,..., x n = a p. Дараа нь болон= е(P) = е 1 ((X 1 , а 2 , ..., a p) нь нэг хувьсагчийн функц юм Xнэг . Энэ функц байгаа тул X 1 = а 1 экстремум (хамгийн их), дараа нь е 1 ¢=0 эсвэл байхгүй үед X 1 =а 1 (нэг хувьсагчийн функцийн экстремум байх зайлшгүй нөхцөл). Гэхдээ , тэгвэл P 0 цэг - экстремумын цэгт байхгүй эсвэл байхгүй. Үүний нэгэн адил бид бусад хувьсагчийн хувьд хэсэгчилсэн деривативуудыг авч үзэж болно. CHTD.
Нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй функцийн домайн цэгүүдийг гэнэ. чухал цэгүүд энэ функц.
Теорем 9.1-ээс үзэхэд FNP-ийн экстремум цэгүүдийг функцийн эгзэгтэй цэгүүдээс хайх хэрэгтэй. Гэхдээ нэг хувьсагчийн функцийн хувьд, бүр биш чухал цэгтуйлын цэг юм.
Теорем 9.2
Р 0 нь функцийн чухал цэг байг болон= е(P) ба 
нь энэ функцийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциал юм. Дараа нь
Хэрвээ г 2 у(P 0) > 0-ийн хувьд Р 0 нь цэг болно хамгийн багафункцууд болон= е(P);
б) хэрэв г 2 у(P0)< 0 при , то Р 0 – точка дээд тал ньфункцууд болон= е(P);
в) хэрэв г 2 у(P 0) тэмдгээр тодорхойлогдоогүй бол P 0 нь экстремум цэг биш;
Бид энэ теоремыг нотлох баримтгүйгээр авч үздэг.
Теорем нь хэзээ гэсэн тохиолдлыг авч үзэхгүй болохыг анхаарна уу г 2 у(P 0) = 0 эсвэл байхгүй байна. Энэ нь ийм нөхцөлд P 0 цэг дээр экстремум байгаа эсэх асуудал нээлттэй хэвээр байна гэсэн үг юм - нэмэлт судалгаа, жишээлбэл, энэ үед функцийн өсөлтийг судлах шаардлагатай байна.
Илүү нарийвчилсан математикийн хичээлүүдэд энэ нь ялангуяа функцэд зориулагдсан болохыг нотолсон z = f(x,y) хоёр дахь эрэмбийн дифференциал нь хэлбэрийн нийлбэр болох хоёр хувьсагчийн
Р 0 чухал цэгт экстремум байгаа эсэхийг судлах ажлыг хялбаршуулж болно.
, , гэж тэмдэглэнэ. Тодорхойлогчийг зохио
.
Энэ нь:
г 2 z P 0 цэг дээр > 0, өөрөөр хэлбэл. P 0 - хамгийн бага цэг, хэрэв А(P 0) > 0 ба D(P 0) > 0;
г 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если А(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;
хэрэв D(P 0)< 0, то г 2 zР 0 цэгийн ойролцоо тэмдэг өөрчлөгдөх ба Р 0 цэгт экстремум байхгүй;
хэрэв D(Р 0) = 0 бол Р 0 эгзэгтэй цэгийн ойролцоох функцийг нэмэлт судалгаа хийх шаардлагатай.
Тиймээс функцийн хувьд z = f(x,y) хоёр хувьсагчтай, бид экстремумыг олох дараах алгоритмтай (үүнийг "алгоритм D" гэж нэрлэе):
1) Тодорхойлолтын домайныг олоорой D( е) функцууд.
2) Чухал цэгүүдийг олох, өөрөөр хэлбэл. D-аас оноо ( е) нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй байна.
3) Р 0 чухал цэг бүрт экстремумын хангалттай нөхцөлийг шалгана. Үүнийг хийхийн тулд олоорой , энд , , мөн D(Р 0) ба тооцоолно ГЭХДЭЭ(P 0) Дараа нь:
хэрэв D(Р 0) >0 бол Р 0 цэг дээр экстремум байна, үүнээс гадна хэрэв ГЭХДЭЭ(P 0) > 0 - тэгвэл энэ нь хамгийн бага бөгөөд хэрэв бол ГЭХДЭЭ(P 0)< 0 – максимум;
хэрэв D(P 0)< 0, то в точке Р 0 нет экстремума;
Хэрэв D(Р 0) = 0 бол нэмэлт судалгаа хийх шаардлагатай.
4) Олдсон экстремум цэгүүдэд функцийн утгыг тооцоол.
Жишээ 1.
Функцийн экстремумыг ол z = x 3 + 8y 3 – 3xy .
Шийдэл.Энэ функцийн домэйн нь бүхэл бүтэн координатын хавтгай юм. Чухал цэгүүдийг олцгооё.
, 
, 
Þ Р 0 (0,0) , .
Хангалттай экстремум нөхцлүүдийн биелэлтийг шалгацгаая. Олъё
6X, = -3, = 48цагтболон 
= 288ху – 9.
Дараа нь D (P 0) \u003d 288 × 0 × 0 - 9 \u003d -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.
D(Р 1) = 36-9>0 - Р 1 цэг дээр экстремум байгаа бөгөөд үүнээс хойш ГЭХДЭЭ(P 1) = 3 >0, тэгвэл энэ экстремум нь хамгийн бага байна. Тиймээс мин z=z(P1) = 
.
Жишээ 2
Функцийн экстремумыг ол 
.
Шийдэл: D( е) = R 2. Чухал цэгүүд: 
; цагт байхгүй цагт= 0, тиймээс P 0 (0,0) нь энэ функцийн чухал цэг юм.
2, = 0, = , = , гэхдээ D(Р 0) тодорхойлогдоогүй тул түүний тэмдгийг судлах боломжгүй.
Үүнтэй ижил шалтгаанаар теорем 9.2-ыг шууд хэрэглэх боломжгүй г 2 zэнэ үед байхгүй.
Функцийн өсөлтийг анхаарч үзээрэй е(x, y) цэг дээр Р 0 . Хэрэв Д е =е(P) - е(P 0)>0 "P, тэгвэл P 0 нь хамгийн бага цэг, хэрэв D бол е < 0, то Р 0 – точка максимума.
Манай тохиолдолд байгаа
Д е = е(x, y) – е(0, 0) = е(0+D x,0+D y) – е(0, 0) = .
Д x= 0.1 ба D y= -0.008 бид D-г авна е = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0.1 ба D y= 0.001 D е= 0.01 + 0.1 > 0, өөрөөр хэлбэл. Р 0 цэгийн ойролцоо D нөхцөл байхгүй е <0 (т.е. е(x, y) < е(0, 0) ба тиймээс P 0 нь хамгийн их цэг биш), D нөхцөл биш е>0 (жишээ нь. е(x, y) > е(0, 0) ба дараа нь Р 0 нь хамгийн бага цэг биш юм). Тиймээс экстремумын тодорхойлолтоор өгөгдсөн функцхэт туйлшралгүй.
Нөхцөлт туйл.
Функцийн авч үзсэн экстремумыг нэрлэнэ болзолгүй, учир нь функцийн аргументуудад хязгаарлалт (нөхцөл) ногдуулдаггүй.
Тодорхойлолт 9.2.Функцийн экстремум болон = е(X 1 , X 2 , ... , x n), түүний аргументууд байх нөхцөлөөр олсон X 1 , X 2 , ... , x n j 1 тэгшитгэлийг хангах X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j т(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, энд P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( е), гэж нэрлэдэг нөхцөлт экстремум .
Тэгшитгэл j к(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , к = 1, 2,..., м, гэж нэрлэдэг холболтын тэгшитгэл.
Функцуудыг анхаарч үзээрэй z = f(x,y) хоёр хувьсагчийн. Хэрэв зөвхөн нэг хязгаарлалтын тэгшитгэл байгаа бол i.e. , дараа нь нөхцөлт экстремумыг олох нь экстремумыг функцийн бүх мужаас биш, харин D(-д байрлах зарим муруй дээр хайж байна гэсэн үг юм. е) (өөрөөр хэлбэл, гадаргуугийн хамгийн өндөр эсвэл хамгийн доод цэгүүдийг хайдаггүй z = f(x,y), мөн энэ гадаргууг цилиндртэй огтлолцох цэгүүдийн дундах хамгийн өндөр буюу хамгийн бага цэгүүд , Зураг 5).
Функцийн нөхцөлт экстремум z = f(x,y) хоёр хувьсагчийг дараах байдлаар олж болно( арилгах арга). Тэгшитгэлээс хувьсагчийн аль нэгийг нөгөөгийнх нь функцээр илэрхийлнэ (жишээ нь, бичнэ), хувьсагчийн энэ утгыг функцэд орлуулж, сүүлийг нь нэг хувьсагчийн функц болгон бичнэ үү (хэрэглэсэн тохиолдолд). 
). Нэг хувьсагчийн үр дүнд үүссэн функцийн экстремумыг ол.
НӨХЦӨЛТ ЭКСТРИМ
Хамгийн бага буюу хамгийн их утга, бусад зарим функцууд (функцууд) өгөгдсөн зөвшөөрөгдөх багцаас утгыг авах нөхцөлд өгөгдсөн функцээр (эсвэл функциональ) хүрдэг. Хэрэв нөхцөл хязгаарлагдмал бол мэдрэмжбие даасан хувьсагчид (функцууд) өөрчлөлт байхгүй бол тэд болзолгүй экстремумын тухай ярьдаг.
Сонгодог W. e-д зориулсан даалгавар. гэдэг нь хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн минимумыг тодорхойлох асуудал юм
Бусад функцууд өгөгдсөн утгыг авах тохиолдолд:
Энэ G асуудалд векторын утгууд үйлчилдэг g=(g 1 , ...,г м),
орсон нэмэлт нөхцөл(2), тогтмол цэг байдаг c=(c 1 , ..., т-тэй) m хэмжээст Евклидийн орон зайд
Хэрэв (2)-д тэнцүү тэмдгийн хамт тэгш бус байдлын тэмдгийг зөвшөөрнө
Энэ нь асуудалд хүргэдэг шугаман бус програмчлал(13). (1), (3) асуудалд g вектор функцийн зөвшөөрөгдөх утгын G багц нь m 1-ээр тодорхойлсон (n-m 1) хэмжээст хэт гадаргууд хамаарах тодорхой муруй шугам юм. , м 1
U.v. дээрх асуудлын (1), (3) онцгой тохиолдол. даалгавар юм шугаман програмчлал,Үүнд бүх авч үзсэн функцууд f ба gi x l-д шугаман байна , ... , x х.Шугаман програмчлалын асуудалд вектор функцийн боломжит утгуудын G-ийн багц g,хувьсагчдын хүрээг хязгаарлах нөхцөлүүд x 1 , .....x n,нь (3) дахь m 1 тэгш байдлын төрлийн нөхцлөөр тодорхойлогдсон (n-t 1) хэмжээст гипер хавтгайд хамаарах .
Үүний нэгэн адил, практикийг илэрхийлэх функцүүдийн ихэнх оновчлолын асуудлууд сонирхол, U. e дээр даалгавар болгон буурсан байна. (см. Изопериметрийн бодлого, Бөгжний бодлого, Лагранжийн бодлого, Маннерийн бодлого).
Яг л математикийн адил. програмчлал, вариацын тооцооны үндсэн асуудлууд ба оновчтой удирдлагын онол нь гүдгэр д.
АНУ-д асуудал шийдвэрлэх үед, ялангуяа онолын талаар авч үзэх үед. C. e. дээрх асуудлуудтай холбоотой асуултууд, энэ нь тодорхойгүй ашиглах нь маш ашигтай болж хувирав Лагранжийн үржүүлэгч,асуудлыг багасгах боломжийг U. e. шаардлагатай оновчтой нөхцлүүдийг болзолгүй, хялбарчлах асуудалд. Лагранжийн үржүүлэгчийг ашиглах нь ихэнх сонгодог бүтээлүүдийн үндэс юм U. e. дахь асуудлыг шийдвэрлэх аргууд.
Гэрэл.: Hadley J., Nonlinear and , trans. Англи хэлнээс, М., 1967; Bliss G.A., Вариацын тооцооллын талаархи лекцүүд, транс. Англи хэлнээс, М., 1950; Понтрягин L. S. [болон бусад], Математикийн оновчтой процессууд, 2-р хэвлэл, М., 1969.
I. B. Вапнярский.
Математикийн нэвтэрхий толь бичиг. - М .: Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичиг. I. M. Виноградов. 1977-1985 он.
Бусад толь бичгүүдээс "CONDITIONAL EXTREME" гэж юу болохыг харна уу:
Харьцангуй экстремум, n + m хувьсагчийн f (x1,..., xn + m) функцийн экстремум, эдгээр хувьсагчдад m илүү холболтын тэгшитгэл (нөхцөл) хамаарна гэж үзвэл: φk (x1,..., xn +) m) = 0, 1≤ k ≤ m (*) (Экстремумыг үзнэ үү).… …
Нээлттэй олонлог болон өгөгдсөн функцүүд байг. Болъё. Эдгээр тэгшитгэлийг хязгаарлалтын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг (нэр томъёог механикаас авсан). G ... Википедиа дээр функц тодорхойлогддог байг
- (Латин extremum extreme гэсэн үг) тасралтгүй функцийн утга f (x) нь хамгийн их эсвэл хамгийн бага байна. Илүү нарийвчлалтай: x0 цэг дээр үргэлжилсэн f (x) функц нь энэ цэгийн хөрш (x0 + δ, x0 δ) байвал x0 дээр хамгийн их (хамгийн багадаа) байна, ... ... Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг
Энэ нэр томъёо нь өөр утгатай, Extreme (утга) -ыг үзнэ үү. Математикийн экстремум (Латин extremum extreme) нь тухайн олонлог дээрх функцийн хамгийн их буюу хамгийн бага утга юм. Экстремум хүрэх цэг нь ... ... Википедиа
Хэд хэдэн хувьсагч ба функциональ функцүүдийн нөхцөлт экстремумын асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг функц. L. f-ийн тусламжтайгаар. Шаардлагатай оновчтой нөхцлийг нөхцөлт экстремумын бодлогод бичнэ. Зөвхөн хувьсагчийг илэрхийлэх шаардлагагүй... Математик нэвтэрхий толь бичиг
Нэг буюу хэд хэдэн функцийн сонголтоос хамааран хувьсагчийн функцүүдийн хэт (дээд ба хамгийн бага) утгыг олоход зориулагдсан математикийн шинжлэх ухаан. болон. Энэ нь тухайн бүлгийн байгалийн хөгжил юм. … Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг
Нөхцөлт экстремумын асуудлыг судлахад Лагранжийн функцийг бүтээдэг хувьсагчид. L. m. ба Лагранжийн функцийг ашиглах нь нөхцөлт экстремумын асуудлуудад шаардлагатай оновчтой нөхцлийг жигд хэлбэрээр авах боломжийг олгодог ... Математик нэвтэрхий толь бичиг
Вариацын тооцоо нь функциональ шинж чанарын өөрчлөлтийг судалдаг функциональ шинжилгээний салбар юм. Хувьслын тооцооллын хамгийн ердийн ажил бол өгөгдсөн функцэд хүрэх функцийг олох явдал юм ... ... Википедиа
Математикийн хэсэг нь эдгээрт ногдуулсан янз бүрийн хязгаарлалтын (фаз, дифференциал, интеграл гэх мэт) дор нэг буюу хэд хэдэн функцийг сонгохоос хамаарах функцүүдийн экстремумыг олох аргуудыг судлахад зориулагдсан ... ... Математик нэвтэрхий толь бичиг
Вариацын тооцоо нь функционалуудын өөрчлөлтийг судалдаг математикийн салбар юм. Хувилбарын тооцооллын хамгийн ердийн ажил бол функц нь туйлын утгад хүрэх функцийг олох явдал юм. Арга ... ... Википедиа
Номууд
- Хяналтын онолын лекц. Боть 2. Оновчтой хяналт, V. Boss. Оновчтой хяналтын онолын сонгодог асуудлуудыг авч үзсэн. Танилцуулга нь хязгаарлагдмал хэмжээст орон зайн оновчлолын үндсэн ойлголтуудаас эхэлдэг: нөхцөлт ба болзолгүй экстремум, ...
