Тойргийн хөндлөн огтлолын талбайн тооцоолуур. В5 асуудлын талбайг дугуйл

Тойргийн талбайг хэрхэн олох вэ? Эхлээд радиусыг ол. Энгийн бөгөөд төвөгтэй асуудлыг шийдэж сур.

Тойрог бол хаалттай муруй юм. Тойргийн шугамын аль ч цэг нь төв цэгээс ижил зайд байх болно. Тойрог байна хавтгай дүрс, тиймээс талбайг олоход асуудлыг шийдэх нь энгийн. Энэ нийтлэлд бид гурвалжин, трапец, дөрвөлжин хэлбэрээр бичээстэй тойргийн талбайг хэрхэн олохыг авч үзэх бөгөөд эдгээр дүрсийн эргэн тойронд дүрсэлсэн болно.

Өгөгдсөн зургийн талбайг олохын тулд та радиус, диаметр, π тоо гэж юу болохыг мэдэх хэрэгтэй.

Радиус Рнь тойргийн төвөөр хязгаарлагдсан зай юм. Нэг тойргийн бүх R-радиусын уртууд тэнцүү байх болно.

Диаметр Dтөв цэгийг дайран өнгөрөх тойрог дээрх дурын хоёр цэгийн хоорондох шугам юм. Энэ сегментийн урт нь R-радиусын уртыг 2-оор үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.

π тоотогтмол утга бөгөөд энэ нь 3.1415926-тай тэнцүү байна. Математикийн хувьд энэ тоог ихэвчлэн 3.14 хүртэл дугуйрдаг.

Радиусыг ашиглан тойргийн талбайг олох томъёо:

R-радиусаар тойргийн S талбайг олох даалгавруудыг шийдвэрлэх жишээ:

Даалгавар:Тойргийн радиус нь 7 см бол түүний талбайг ол.

Шийдэл: S=πR², S=3.14*7², S=3.14*49=153.86 см².

Хариулт:Тойргийн талбай нь 153.86 см².

Тойргийн S-талбайг D-диаметрээр олох томъёо нь:

Хэрэв D нь мэдэгдэж байгаа бол S-г олох даалгавруудыг шийдвэрлэх жишээ:

————————————————————————————————————————-

Даалгавар:Хэрэв D нь 10 см бол тойргийн S-ийг ол.

Шийдэл: P=π*d²/4, P=3.14*10²/4=3.14*100/4=314/4=78.5 см².

Хариулт:Хавтгай дугуй дүрсний талбай нь 78.5 см² юм.

Хэрэв тойрог нь мэдэгдэж байвал S тойргийг олно уу:

Эхлээд радиус гэж юу болохыг ол. Тойрог томъёогоор тооцоолно: L=2πR, тус тус R радиус нь L/2π-тэй тэнцүү байна. Одоо бид R-ээр дамжуулан томьёог ашиглан тойргийн талбайг олно.

Асуудлын жишээн дээрх шийдлийг авч үзье.

———————————————————————————————————————-

Даалгавар: L тойрог нь мэдэгдэж байгаа бол тойргийн талбайг ол - 12 см.

Шийдэл:Эхлээд бид радиусыг олно: R=L/2π=12/2*3.14=12/6.28=1.91.

Одоо бид радиусаар дамжин өнгөрөх талбайг олно: S=πR²=3.14*1.91²=3.14*3.65=11.46 см².

Хариулт:Тойргийн талбай нь 11.46 см².

Дөрвөлжин дотор бичсэн тойргийн талбайг олоход хялбар байдаг. Талбайн тал нь тойргийн диаметр юм. Радиусыг олохын тулд талыг 2-т хуваах хэрэгтэй.

Квадрат дотор бичсэн тойргийн талбайг олох томъёо нь:

Квадрат дотор бичсэн тойргийн талбайг олох асуудлыг шийдэх жишээ:

———————————————————————————————————————

Даалгавар №1:Дөрвөлжин дүрсийн тал нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд энэ нь 6 сантиметртэй тэнцүү юм. Бичсэн тойргийн S талбайг ол.

Шийдэл: S=π(a/2)²=3.14(6/2)²=3.14*9=28.26 см².

Хариулт:Хавтгай дугуй дүрсний талбай нь 28.26 см² юм.

————————————————————————————————————————

Даалгавар №2: Нэг тал нь a=4 см бол дөрвөлжин дүрст сийлсэн тойргийн S ба түүний радиусыг ол.

Ингэж шийдээрэй: Эхлээд R=a/2=4/2=2 см-ийг ол.

Одоо S=3.14*2²=3.14*4=12.56 см² тойргийн талбайг олъё.

Хариулт:Хавтгай дугуй дүрсний талбай нь 12.56 см² юм.

Квадратаар хүрээлэгдсэн дугуй дүрсний талбайг олох нь арай илүү хэцүү байдаг. Гэхдээ томъёог мэдсэнээр та энэ утгыг хурдан тооцоолж болно.

Дөрвөлжин дүрсийг тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн S-ийг олох томъёо:

Дөрвөлжин зургийн ойролцоо дүрсэлсэн тойргийн талбайг олох даалгавруудыг шийдвэрлэх жишээ:

Даалгавар

Гурвалжны дүрс дээр сийлсэн тойрог нь гурвалжны гурван талыг шүргэж байгаа тойрог юм. Дугуйг ямар ч гурвалжин дүрс дээр бичиж болно, гэхдээ зөвхөн нэг. Тойргийн төв нь гурвалжны өнцгийн биссектрисын огтлолцох цэг байх болно.

Тэгш өнцөгт гурвалжинд дүрслэгдсэн тойргийн талбайг олох томъёо нь:

Радиус нь мэдэгдэж байгаа үед талбайг S=πR² томъёогоор тооцоолж болно.

Бичсэн тойргийн талбайг олох томъёо зөв гурвалжин:

Даалгавруудыг шийдвэрлэх жишээ:

Даалгавар №1

Хэрэв энэ асуудалд та мөн 4 см радиустай тойргийн талбайг олох шаардлагатай бол үүнийг S=πR² томъёогоор хийж болно.

Даалгавар №2

Шийдэл:

Одоо та радиусыг мэдэж байгаа тул тойргийн талбайг радиусын хувьд олох боломжтой. Дээрх томъёог үзнэ үү.

Даалгавар №3

Тэгш өнцөгт ба тэгш өнцөгт гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн талбай: томъёо, асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Тойргийн талбайг олох бүх томъёо нь эхлээд түүний радиусыг олох хэрэгтэй болдог. Радиусыг мэддэг бол дээр дурдсанчлан талбайг олоход хялбар байдаг.

Тэгш өнцөгтийн эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн талбай ба тэгш өнцөгт гурвалжиндараах томъёогоор олно.

Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ:

Хэроны томъёог ашиглан асуудлыг шийдэх өөр нэг жишээ энд байна.

Иймэрхүү асуудлыг шийдэх нь хэцүү боловч хэрэв та бүх томъёог мэддэг бол тэдгээрийг эзэмшиж болно. Сурагчид 9-р ангидаа ийм асуудлыг шийддэг.

Тэгш өнцөгт ба тэгш өнцөгт трапец хэлбэрээр дүрсэлсэн тойргийн талбай: томъёо, асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Адил талт трапец нь хоёр тэнцүү талтай. Тэгш өнцөгт трапецын өнцөг нь 90º-тэй тэнцүү байна. Асуудлыг шийдэх жишээн дээр тэгш өнцөгт ба тэгш өнцөгт трапец хэлбэрээр бичсэн тойргийн талбайг хэрхэн олох талаар авч үзье.

Жишээлбэл, ижил өнцөгт трапец хэлбэрээр тойрог бичээстэй бөгөөд энэ нь контактын цэг дээр нэг талыг m ба n сегментүүдэд хуваадаг.

Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд та дараах томъёог ашиглах хэрэгтэй.

Бичсэн тойргийн талбайг олох тэгш өнцөгт трапец, дараах томъёоны дагуу үйлдвэрлэв.

Хэрэв хажуу тал нь мэдэгдэж байгаа бол та энэ утгыг ашиглан радиусыг олох боломжтой. Трапецын хажуугийн өндөр нь тойргийн диаметртэй тэнцүү бөгөөд радиус нь хагас диаметртэй байна. Үүний дагуу радиус нь R=d/2 байна.

Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ:

Эсрэг өнцгүүдийн нийлбэр нь 180º бол трапецийг тойрог хэлбэрээр бичиж болно. Тиймээс зөвхөн тэгш өнцөгт трапецийг бичиж болно. Тэгш өнцөгт эсвэл ижил өнцөгт трапецын эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн талбайг тооцоолох радиусыг дараахь томъёогоор тооцоолно.

Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ:

Шийдэл:Том бааз Энэ тохиолдолдтойрог бичээстэй тул төвөөр дамжин өнгөрдөг тэгш өнцөгт трапец. Төв нь энэ суурийг яг хагасаар хуваадаг. Хэрэв суурь AB нь 12 бол R радиусыг дараах байдлаар олж болно: R=12/2=6.

Хариулт:Радиус нь 6.

Геометрийн хувьд томьёог мэдэх нь чухал. Гэхдээ бүгдийг нь санах боломжгүй тул олон шалгалтанд ч гэсэн тусгай маягт ашиглахыг зөвшөөрдөг. Гэсэн хэдий ч олох боломжтой байх нь чухал юм зөв томъёотодорхой асуудлыг шийдвэрлэх. Томьёог зөв орлуулах, үнэн зөв хариулт авахын тулд тойргийн радиус, талбайг олох янз бүрийн асуудлыг шийдэж дадлага хий.

Видео: Математик | Тойрог ба түүний хэсгүүдийн талбайг тооцоолох

Заавар

Радиусыг олохын тулд pi ашиглана уу алдартай газартойрог. Энэ тогтмол нь тойргийн диаметр ба түүний хүрээний урт (тойрог) хоорондын харьцааг тодорхойлдог. Тойргийн тойрог нь түүний тусламжтайгаар бүрхэх боломжтой хавтгайн хамгийн их талбай бөгөөд диаметр нь хоёр радиустай тэнцүү тул радиустай талбай нь бие биентэйгээ ижил харьцаатай байдаг. Pi тоогоор илэрхийлнэ. Энэ тогтмол (π) нь тойргийн талбай (S) ба квадрат радиус (r) гэж тодорхойлогддог. Үүнээс үзэхэд радиусыг дараах байдлаар илэрхийлж болно Квадрат язгуурталбайг Pi-д хуваах коэффициентээс: r=√(S/π).

Эрастофен хамгийн алдартай номын сан болох Александрийн номын санг удаан хугацаанд удирдаж байжээ эртний ертөнц. Тэрээр манай гарагийн хэмжээг тооцоолохын зэрэгцээ хэд хэдэн чухал шинэ бүтээл, нээлтүүдийг хийсэн. тодорхойлох энгийн аргыг зохион бүтээжээ анхны тоонууд, одоо "Erastothenes' шигшүүр" гэж нэрлэдэг.

Тэрээр "дэлхийн газрын зураг" зурж, тэр үед эртний Грекчүүдэд мэдэгдэж байсан дэлхийн бүх хэсгийг харуулсан. Газрын зураг нь тухайн үедээ хамгийн шилдэг нь гэж тооцогддог байв. Уртраг, өргөргийн систем, хуанли боловсруулсан үсрэнгүй он жилүүд. Цэргийн бөмбөрцөг зохион бүтээсэн механик төхөөрөмжЭртний одон орон судлаачид тэнгэр дэх оддын харагдах хөдөлгөөнийг харуулах, урьдчилан таамаглахад ашигладаг байсан. Мөн тэрээр 675 одыг багтаасан оддын каталогийг эмхэтгэсэн.

Эх сурвалжууд:

• Грекийн эрдэмтэн Киренийн Эратосфен дэлхийд анх удаа дэлхийн радиусыг тооцоолжээ.
• Эратосфен "Дэлхийн тойргийн тооцоо"
• Эратосфен

Геометрийн хувьд эргэн тойрондөгөгдсөн цэгээс ихгүй зайд байрлах төв гэж нэрлэгддэг нэг цэгээс салсан хавтгай дээрх бүх цэгүүдийн багцыг түүний радиус гэж нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд тойргийн гаднах хил хязгаар нь байна тойрог, хэрэв радиусын урт нь тэгтэй тэнцүү бол, тойрогцэг хүртэл доройтдог.

Тойргийн талбайг тодорхойлох

Хэрэв шаардлагатай бол тойргийн талбайтомъёог ашиглан тооцоолж болно:

С

pr 2

D2

r- тойргийн радиус

Д- тойргийн диаметр

С- тойргийн талбай

π - 3.14

Энэ геометрийн дүрсинженерийн болон архитектурын аль алинд нь маш түгээмэл байдаг. Машин, механизмын дизайнерууд янз бүрийн хэсгүүдийг боловсруулдаг бөгөөд тэдгээрийн ихэнх хэсэг нь нарийн байдаг тойрог. Жишээлбэл, эдгээр нь босоо ам, саваа, саваа, цилиндр, тэнхлэг, поршений гэх мэт. Эдгээр эд ангиудыг үйлдвэрлэхэд хоосон зайг ашигладаг төрөл бүрийн материал(металл, мод, хуванцар), тэдгээрийн хэсгүүд нь мөн яг нарийн илэрхийлэгддэг тойрог. Хөгжүүлэгчид ихэвчлэн тооцоолох шаардлагатай байдаг нь ойлгомжтой тойргийн талбайдиаметр эсвэл радиусаар дамжуулан энгийн математикийн томьёоэрт дээр үед нээсэн.

Яг тэр үед дугуй элементүүдархитектурт идэвхтэй, өргөн хэрэглэгдэж эхэлсэн. Үүний хамгийн тод жишээ бол цирк нь төрөл бүрийн зугаа цэнгэлийн арга хэмжээ зохион байгуулах зориулалттай барилга юм. Тэдний талбайнууд нь хэлбэртэй байдаг тойрог, мөн тэд анх удаа эртний үед баригдаж эхэлсэн. Яг л " тойрог» -аас орчуулав Латингэсэн үг" тойрог". Эрт дээр үед цирк байсан бол театрчилсан тоглолтуудгладиаторуудын тулаан болдог байсан бол одоо тэд зөвхөн амьтны сургагч, акробат, илбэчин, алиалагч гэх мэт циркийн үзүүлбэрүүдийг зохион байгуулдаг газар болжээ. Стандарт диаметрциркийн талбай нь 13 метр бөгөөд энэ нь санамсаргүй зүйл биш юм: үнэн хэрэгтээ тэр л шаардлагатай хамгийн бага хэмжээгээр хангадаг. геометрийн параметрүүдциркийн морьдыг тойрон давхих талбай. Хэрэв бид тооцоолвол тойргийн талбайдиаметрээр дамжуулан циркийн талбайн хувьд энэ утга нь 113.04 хавтгай дөрвөлжин метр юм.

Тойрог хэлбэртэй байж болох архитектурын элементүүд нь цонх юм. Мэдээжийн хэрэг, ихэнх тохиолдолд тэдгээр нь тэгш өнцөгт эсвэл дөрвөлжин хэлбэртэй байдаг (ихэвчлэн энэ нь архитектор, барилгачдад илүү хялбар байдагтай холбоотой), гэхдээ зарим барилгад дугуй цонхыг олж болно. Түүнээс гадна ийм байдлаар тээврийн хэрэгсэлагаар, далай гэх мэт голын завьихэнх тохиолдолд тэд байдаг.

Ширээ, сандал гэх мэт тавилга үйлдвэрлэхэд дугуй хэлбэртэй элементүүдийг ашиглах нь ердийн зүйл биш юм. Тэр ч байтугай ойлголт байдаг дугуй ширээний ”, энэ нь бүтээлч хэлэлцүүлэг гэсэн үг бөгөөд энэ үеэр янз бүрийн иж бүрэн хэлэлцүүлэг явагдана чухал асуудлуудтэдгээрийг шийдвэрлэх арга замыг боловсруулах. Байгаа countertops өөрсдөө үйлдвэрлэлийн хувьд дугуй хэлбэртэй, дараа нь нэлээд өндөр ур чадвартай ажилчдын оролцоотойгоор тусгай багаж хэрэгсэл, тоног төхөөрөмжийг үйлдвэрлэхэд ашигладаг.

- Энэ бол төвөөс ижил зайд байрлах цэгүүдийн багц болох хавтгай дүрс юм. Тэд бүгд ижил зайд байрладаг бөгөөд тойрог үүсгэдэг.

Тойргийн төвийг тойргийнхоо цэгүүдээр холбосон шугамын хэрчмийг гэнэ радиус. Тойрог бүрт бүх радиусууд хоорондоо тэнцүү байна. Тойрог дээрх хоёр цэгийг холбож, төвийг дайран өнгөрөх шулууныг нэрлэдэг диаметр. Тойргийн талбайн томъёог математикийн тогтмол - π тоо ашиглан тооцоолно.

Энэ сонирхолтой байна : pi тоо. нь тойргийн тойргийн уртыг диаметрийн урттай харьцуулсан харьцаа бөгөөд тогтмол утга юм. π = 3.1415926 утгыг 1737 онд Л.Эйлерийн ажлын дараа ашигласан.

Тойргийн талбайг тогтмол π ашиглан тооцоолж болно. ба тойргийн радиус. Радиусын хувьд тойргийн талбайн томъёо дараах байдалтай байна.

Радиусыг ашиглан тойргийн талбайг тооцоолох жишээг авч үзье. R = 4 см радиустай тойрог өгье. Зургийн талбайг олъё.

Манай тойргийн талбай 50.24 хавтгай дөрвөлжин метр болно. см.

Томъёо байдаг диаметрээр дамжин өнгөрөх тойргийн талбай. Мөн шаардлагатай параметрүүдийг тооцоолоход өргөн хэрэглэгддэг. Эдгээр томъёог олоход ашиглаж болно.

Тойргийн талбайг диаметрээр нь тооцоолж, түүний радиусыг мэдэх жишээг авч үзье. R = 4 см радиустай тойрог өгье.Эхлээд радиусаас хоёр дахин их диаметрийг олъё.


Одоо бид дээрх томъёог ашиглан тойргийн талбайг тооцоолох жишээнд өгөгдлийг ашиглаж байна.

Таны харж байгаагаар үр дүнд нь бид эхний тооцоололтой ижил хариултыг авдаг.

Тойргийн талбайг тооцоолох стандарт томъёоны талаархи мэдлэг нь ирээдүйд амархан тодорхойлоход тусална салбарын бүсмөн дутуу хэмжигдэхүүнийг олоход хялбар байдаг.

Тойргийн талбайн томъёог тогтмол утга π ба тойргийн радиусын квадратын үржвэрээр тооцдог гэдгийг бид аль хэдийн мэддэг болсон. Радиусыг тойргийн тойргийн хэмжээгээр илэрхийлж, тойргийн талбайн томъёонд байгаа илэрхийллийг тойргийн хэмжээгээр орлуулж болно.
Одоо бид энэ тэгшитгэлийг тойргийн талбайг тооцоолох томъёонд орлуулж, тойргийн тойргоор тойргийн талбайг олох томъёог авна.

Тойргийн дагуу тойргийн талбайг тооцоолох жишээг авч үзье. l = 8 см урттай тойргийг өгье. Гарсан томьёоны утгыг орлуулъя.

Тойргийн нийт талбай нь 5 хавтгай дөрвөлжин метр болно. см.

Квадратыг тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн талбай

Дөрвөлжингийн эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн талбайг олоход маш хялбар байдаг.

Энэ нь зөвхөн квадратын тал, энгийн томъёоны мэдлэгийг шаарддаг. Дөрвөлжингийн диагональ нь хүрээлэгдсэн тойргийн диагональтай тэнцүү байх болно. А талыг мэдэж байгаа тул үүнийг Пифагорын теоремыг ашиглан олж болно: эндээс.
Бид диагональыг олсны дараа радиусыг тооцоолж болно: .
Дараа нь бид бүх зүйлийг дөрвөлжин тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн талбайн үндсэн томъёонд орлуулна.