Тэгш өнцөгт трапецын томьёоны талыг ол. Тэгш өнцөгт ба тэгш өнцөгт трапец: шинж чанар, шинж чанар

Анхаарна уу. Энэ бол геометрийн асуудлуудтай (тэгш өнцөгт трапецын хэсэг) хичээлийн нэг хэсэг юм. Хэрэв та энд байхгүй геометрийн асуудлыг шийдэх шаардлагатай бол энэ талаар форум дээр бичээрэй. Бодлогод "квадрат язгуур" тэмдгийн оронд sqrt() функцийг ашигладаг бөгөөд sqrt нь квадрат язгуур тэмдэг бөгөөд радикал илэрхийлэлийг хаалтанд тэмдэглэсэн байдаг. Энгийн радикал илэрхийллийн хувьд тэмдгийг ашиглаж болно "√"

Тэгш өнцөгт трапецын шинж чанарууд

• У тэгш өнцөгт трапецба хоёр өнцөг нь зөв байх ёстой
• Аль аль нь зөв өнцөгТэгш өнцөгт трапецын хэлбэр нь зэргэлдээх оройнуудад хамаарах нь зайлшгүй юм
• Аль аль нь зөв өнцөгтэгш өнцөгт трапецын хувьд тэдгээр нь заавал нэг талтай зэргэлдээ байх ёстой
• Тэгш өнцөгт трапецын диагональууднэг талдаа тэгш өнцөгт гурвалжин үүсгэнэ
• Хажуугийн уртСуурийн перпендикуляр трапецын хэмжээ нь түүний өндөртэй тэнцүү байна
• Тэгш өнцөгт трапец дээр суурь нь зэрэгцээ байна, нэг тал нь сууринд перпендикуляр, хоёр дахь тал нь суурийн налуу байна
• Тэгш өнцөгт трапец дээр хоёр өнцөг нь зөв, нөгөө хоёр нь хурц ба мохоо байна

Даалгавар

IN тэгш өнцөгт трапецхамгийн том тал нь суурийн нийлбэртэй тэнцүү, өндөр нь 12 см Талууд нь трапецын сууриудтай тэнцүү тэгш өнцөгтийн талбайг ол.

Шийдэл.
Трапецийг ABCD гэж тэмдэглэе. Трапецын суурийн уртыг a (том суурь AD) ба b (бага суурь BC) гэж тэмдэглэе. Энэ нь зөв өнцөгтэй байг

∠А.

Талууд нь трапецын суурьтай тэнцүү тэгш өнцөгтийн талбай нь тэнцүү байх болно.
S = ab

ABCD трапецын дээд суурийн С оройноос бид CK өндрийг доод суурь руу буулгана. Трапецын өндрийг асуудлын нөхцлөөс мэдэж болно. Дараа нь Пифагорын теоремын дагуу
CK 2 + KD

2 = CD 2

Трапецын хамгийн том хажуу тал нь суурийн нийлбэртэй тэнцүү тул CD = a + b болно.
Трапец нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй тул трапецын дээд суурийн өндрөөр доод суурийг хоёр сегмент болгон хуваана.

AD = AK + KD. Эхний сегментийн утга нь трапецын бага суурьтай тэнцүү, учир нь өндөр нь ABCK тэгш өнцөгтийг үүсгэсэн, өөрөөр хэлбэл BC = AK = b, тиймээс KD нь суурийн уртын зөрүүтэй тэнцүү байх болно. тэгш өнцөгт трапец KD = a - b.
тэр бол
12 2 + (а - б) 2 = (а + б) 2
хаана
144 + a 2 - 2ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2
144 = 4ab

Тэгш өнцөгтийн талбай нь S = ab (дээрээс харна уу) тул
144 = 4S
S = 144/4 = 36

Хариулт: 36 см

2 .

Трапец байна онцгой тохиолдолнэг хос тал нь параллель байх дөрвөн өнцөгт. "Трапец" гэсэн нэр томъёо нь "ширээ", "ширээ" гэсэн утгатай τράπεζα гэсэн грек үгнээс гаралтай. Энэ нийтлэлд бид трапецын төрлүүд, түүний шинж чанаруудыг авч үзэх болно. Үүнээс гадна бид хэрхэн тооцоолохыг олж мэдэх болно бие даасан элементүүдЭнэ Жишээ нь, тэгш өнцөгт трапецын диагональ, төвийн шугам, талбай гэх мэт. Материалыг энгийн түгээмэл геометрийн хэв маягаар, өөрөөр хэлбэл хялбархан хүртээмжтэй хэлбэрээр үзүүлэв.

Ерөнхий мэдээлэл

Эхлээд дөрвөн өнцөгт гэж юу болохыг олж мэдье. Энэ тоодөрвөн тал, дөрвөн орой агуулсан олон өнцөгтийн онцгой тохиолдол юм. Зэргэлдээгүй дөрвөн өнцөгтийн хоёр оройг эсрэг гэж нэрлэдэг. Зэргэлдээгүй хоёр талын хувьд мөн адил зүйлийг хэлж болно. Дөрвөн өнцөгтийн үндсэн төрлүүд нь параллелограмм, тэгш өнцөгт, ромб, дөрвөлжин, трапец, дельтоид юм.

Тиймээс трапецууд руу буцаж орцгооё. Бид аль хэдийн хэлсэнчлэн энэ зураг хоёр зэрэгцээ талтай. Тэдгээрийг суурь гэж нэрлэдэг. Нөгөө хоёр (параллель бус) нь хажуу талууд юм. Шалгалтын материал болон төрөл бүрийн туршилтуудИхэнх тохиолдолд та трапецтай холбоотой асуудлуудыг олох боломжтой бөгөөд үүнийг шийдвэрлэхийн тулд оюутнууд хөтөлбөрт тусгаагүй мэдлэгтэй байхыг шаарддаг. Сургуулийн геометрийн хичээл нь оюутнуудад өнцөг ба диагональуудын шинж чанарууд, мөн адил тэгш өнцөгт трапецын дунд шугамын талаар танилцуулдаг. Гэхдээ үүнээс гадна дурдсан геометрийн дүрс нь өөр шинж чанартай байдаг. Гэхдээ тэдний талаар хэсэг хугацааны дараа дэлгэрэнгүй...

Трапецын төрлүүд

Энэ дүрсийн олон төрөл байдаг. Гэсэн хэдий ч ихэнхдээ тэдгээрийн хоёрыг авч үзэх нь заншилтай байдаг - тэгш өнцөгт ба тэгш өнцөгт.

1. Тэгш өнцөгт трапец гэдэг нь аль нэг тал нь суурийн перпендикуляр байрласан дүрс юм. Түүний хоёр өнцөг нь үргэлж ерэн градустай тэнцүү байдаг.

2. Талууд нь хоорондоо тэнцүү геометрийн дүрсийг ижил тэгш өнцөгт трапец гэнэ. Энэ нь суурийн өнцөг нь хосоороо тэнцүү байна гэсэн үг юм.

Трапецын шинж чанарыг судлах арга зүйн үндсэн зарчим

Гол зарчим нь даалгавар гэж нэрлэгддэг аргыг ашиглах явдал юм. Үнэн хэрэгтээ энэ дүрсийн шинэ шинж чанарыг геометрийн онолын хичээлд нэвтрүүлэх шаардлагагүй юм. Тэдгээрийг янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэх явцад олж, томъёолж болно (илүү зохимжтой систем). Үүний зэрэгцээ багш нь боловсролын үйл явцын явцад оюутнуудад ямар үүрэг даалгавар өгөх ёстойг мэддэг байх нь маш чухал юм. Түүгээр ч зогсохгүй трапецын шинж чанар бүрийг даалгаврын системийн гол даалгавар болгон төлөөлж болно.

Хоёрдахь зарчим бол трапецын "гайхалтай" шинж чанарыг судлах спираль зохион байгуулалт юм. Энэ нь сургалтын үйл явцад тухайн зүйлийн бие даасан шинж чанарт буцаж очих гэсэн үг юм геометрийн дүрс. Энэ нь оюутнуудад тэдгээрийг санахад хялбар болгодог. Жишээлбэл, дөрвөн цэгийн өмч. Үүнийг ижил төстэй байдлыг судлах, дараа нь вектор ашиглах үед нотлох боломжтой. Зургийн хажуу талуудтай зэргэлдээх гурвалжнуудын эквивалентийг зөвхөн ижил шулуун дээр байрлах талууд руу татсан ижил өндөртэй гурвалжны шинж чанарыг ашиглахаас гадна S = 1/2() томъёог ашиглан нотолж болно. ab*sinα). Нэмж дурдахад та бичээстэй трапец эсвэл тэгш өнцөгт гурвалжин дээр ажиллаж болно.

Сургуулийн хичээлийн агуулгад геометрийн дүрсийн "хичээлээс гадуурх" шинж чанарыг ашиглах нь тэдгээрийг заах даалгаварт суурилсан технологи юм. Бусад сэдвүүдийг судлахдаа судалж буй шинж чанаруудыг байнга дурдах нь оюутнуудад трапецын талаар илүү гүнзгий мэдлэг олж авах боломжийг олгож, даалгасан асуудлыг амжилттай шийдвэрлэх боломжийг олгодог. Ингээд энэ гайхалтай дүрийг судалж эхэлцгээе.

Хоёр талт трапецын элементүүд ба шинж чанарууд

Өмнө дурьдсанчлан энэ геометрийн дүрс нь тэнцүү талуудтай. Үүнийг мөн зөв трапец гэж нэрлэдэг. Яагаад ийм гайхалтай, яагаад ийм нэртэй болсон бэ? Энэ зургийн онцлог нь зөвхөн суурийн талууд ба өнцөг нь тэнцүү төдийгүй диагональууд юм. Үүнээс гадна ижил өнцөгт трапецын өнцгийн нийлбэр нь 360 градус байна. Гэхдээ энэ нь бүгд биш юм! Бүх мэдэгдэж байгаа трапецын дотроос зөвхөн ижил өнцөгтийг тойрог гэж тодорхойлж болно. Энэ нь энэ зургийн эсрэг талын өнцгүүдийн нийлбэр нь 180 градустай тэнцүү байгаатай холбоотой бөгөөд зөвхөн энэ нөхцөлд л дөрвөлжин тойргийг дүрсэлж болно. Харгалзан үзэж буй геометрийн дүрсийн дараагийн шинж чанар нь суурийн оройноос энэ суурийг агуулсан шулуун шугамын эсрэг оройн проекц хүртэлх зай нь дунд шугамтай тэнцүү байх явдал юм.

Одоо ижил өнцөгт трапецын өнцгийг хэрхэн олохыг олж мэдье. Зургийн талуудын хэмжээсийг мэддэг бол энэ асуудлыг шийдэх арга замыг авч үзье.

Шийдэл

Ихэвчлэн дөрвөн өнцөгтийг A, B, C, D үсгээр тэмдэглэдэг бөгөөд BS ба AD нь суурь юм. Хоёр талт трапецын хувьд талууд тэнцүү байна. Бид тэдгээрийн хэмжээ нь X-тэй тэнцүү, суурийн хэмжээ нь Y ба Z-тэй тэнцүү байна (тус тус бүр жижиг ба том). Тооцооллыг хийхийн тулд B өнцгөөс H өндрийг зурах шаардлагатай. Үр дүн нь ABN тэгш өнцөгт гурвалжин бөгөөд энд AB нь гипотенуз, BN ба AN нь хөл юм. Бид AN хөлний хэмжээг тооцоолно: бид том сууриас жижигийг хасч, үр дүнг 2-т хуваана. Бид үүнийг томъёогоор бичнэ: (Z-Y)/2 = F. Одоо хурц өнцгийг тооцоолохын тулд. гурвалжны хувьд бид ашиглах болно cos функц. Бид дараах оруулгыг авна: cos(β) = X/F. Одоо бид өнцгийг тооцоолно: β=arcos (X/F). Цаашилбал, нэг өнцгийг мэдсэнээр бид хоёр дахь өнцгийг тодорхойлж чадна, үүний тулд бид энгийн арифметик үйлдлийг гүйцэтгэдэг: 180 - β. Бүх өнцгийг тодорхойлсон.

Энэ асуудлыг шийдэх хоёр дахь шийдэл бий. Эхлээд бид булангаас өндөрт буулгана H. Бид хөл BN-ийн утгыг тооцоолно. Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузын квадрат гэдгийг бид мэднэ нийлбэртэй тэнцүү байнахөлний квадратууд. Бид дараахийг авна: BN = √(X2-F2). Дараа нь бид ашигладаг тригонометрийн функцтг. Үүний үр дүнд бид: β = arctan (BN/F). Хурц өнцөг олдсон. Дараа нь бид үүнийг эхний аргын адилаар тодорхойлно.

Хоёр талт трапецын диагональуудын шинж чанар

Эхлээд дөрвөн дүрмийг бичье. Хэрэв тэгш өнцөгт трапецын диагональууд перпендикуляр байвал:

Зургийн өндөр нь суурийн нийлбэрийг хоёроор хуваасантай тэнцүү байх болно;

Түүний өндөр ба дунд шугам нь тэнцүү;

Тойргийн төв нь цэг юм;

Хэрэв хажуу талыг шүргэлтийн цэгээр H ба M сегментүүдэд хуваасан бол энэ нь тэнцүү байна квадрат язгуурэдгээр сегментийн бүтээгдэхүүн;

Холбоо барих цэгүүд, трапецын орой ба бичээстэй тойргийн төвөөс үүссэн дөрвөн өнцөгт нь тал нь радиустай тэнцүү квадрат юм;

Зургийн талбай нь суурийн үржвэр ба суурийн нийлбэр ба түүний өндрийн хагасын үржвэртэй тэнцүү байна.

Үүнтэй төстэй трапецууд

Энэ сэдэв нь түүний шинж чанарыг судлахад маш тохиромжтой. Жишээ нь, диагональууд нь трапецийг дөрвөн гурвалжинд хуваадаг бөгөөд суурьтай зэргэлдээх нь ижил төстэй, хажуу талуудтай зэргэлдээх нь тэнцүү хэмжээтэй байна. Энэ мэдэгдлийг трапецийг диагональаар нь хуваасан гурвалжны шинж чанар гэж нэрлэж болно. Энэхүү мэдэгдлийн эхний хэсэг нь хоёр өнцгөөр ижил төстэй байдлын тэмдгээр нотлогддог. Хоёрдахь хэсгийг батлахын тулд доор өгөгдсөн аргыг ашиглах нь дээр.

Теоремын баталгаа

ABSD (AD ба BS нь трапецын суурь) дүрсийг VD ба AC диагональд хуваасныг бид хүлээн зөвшөөрч байна. Тэдний огтлолцлын цэг нь O. Бид дөрвөн гурвалжин авдаг: AOS - доод суурь дээр, BOS - дээд суурь дээр, ABO ба SOD хажуу талдаа. Хэрэв BO ба OD хэрчмүүд нь тэдгээрийн суурь бол SOD ба BOS гурвалжин нь нийтлэг өндөртэй байна. Бид тэдгээрийн талбайн ялгаа (P) нь эдгээр сегментүүдийн хоорондох зөрүүтэй тэнцүү болохыг олж мэдсэн: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Тиймээс PSOD = PBOS/K. Үүний нэгэн адил BOS ба AOB гурвалжин нь нийтлэг өндөртэй байдаг. Бид CO ба OA сегментүүдийг үндэс болгон авдаг. Бид PBOS/PAOB = CO/OA = K ба PAOB = PBOS/K-г авна. Үүнээс үзэхэд PSOD = PAOB байна.

Материалыг нэгтгэхийн тулд оюутнуудад трапецийг диагональд нь хуваасан үүссэн гурвалжны талбайн хоорондын холболтыг дараах асуудлыг шийдэх замаар олохыг зөвлөж байна. BOS ба AOD гурвалжин нь ижил талбайтай байдаг нь трапецын талбайг олох шаардлагатай байдаг. PSOD = PAOB тул PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD гэсэн үг. BOS ба AOD гурвалжнуудын ижил төстэй байдлаас үзэхэд BO/OD = √(PBOS/PAOD) байна. Тиймээс PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Бид PSOD = √(PBOS*PAOD) авна. Дараа нь PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

Ижил төстэй шинж чанарууд

Энэ сэдвийг үргэлжлүүлэн хөгжүүлснээр нэг нь нөгөөгөө нотолж чадна сонирхолтой шинж чанаруудтрапец. Тиймээс ижил төстэй байдлыг ашиглан энэ геометрийн дүрсийн диагональуудын огтлолцолоос үүссэн цэгээр дамжин өнгөрөх сегментийн шинж чанарыг суурьтай параллель нотолж болно. Үүний тулд дараах асуудлыг шийдье: О цэгийг дайран өнгөрөх RK хэрчмийн уртыг олох шаардлагатай. AOD ба BOS гурвалжнуудын ижил төстэй байдлаас AO/OS = AD/BS байна. AOP ба ASB гурвалжнуудын ижил төстэй байдлаас үзэхэд AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD) байна. Эндээс бид RO=BS*BP/(BS+BP)-ийг авна. Үүний нэгэн адил DOC ба DBS гурвалжнуудын ижил төстэй байдлаас үзэхэд OK = BS*AD/(BS+AD) байна. Эндээс бид RO=OK ба RK=2*BS*AD/(BS+AD) гэсэн утгыг авна. Диагональуудын огтлолцлын цэгийг дайран өнгөрч, суурьтай параллель, хоёр хажуу талыг холбосон сегментийг огтлолцох цэгээр хагасаар хуваана. Түүний урт нь зургийн суурийн гармоник дундаж юм.

Дөрвөн цэгийн өмч гэж нэрлэгддэг трапецын дараах шинж чанарыг авч үзье. Диагональуудын огтлолцлын цэгүүд (O), талуудын үргэлжлэл (E) огтлолцол, түүнчлэн суурийн дунд цэгүүд (T ба F) үргэлж нэг шулуун дээр байрладаг. Үүнийг ижил төстэй байдлын аргаар хялбархан баталж болно. Үүссэн гурвалжин BES ба AED нь ижил төстэй бөгөөд тэдгээр нь тус бүрт ET ба EJ медианууд E оройн өнцгийг тэнцүү хэсгүүдэд хуваадаг. Тиймээс E, T, F цэгүүд нэг шулуун дээр байрладаг. Үүнтэй адилаар T, O, Zh цэгүүд нь ижил шулуун дээр байрлана. Эндээс бид бүх дөрвөн цэг - E, T, O, F - нэг шулуун дээр байх болно гэж дүгнэж байна.

Ашиглаж байна ижил төстэй трапецууд, та сурагчдаас зургийг ижил төстэй хоёр хэсэгт хуваах сегментийн уртыг (LF) олохыг хүсч болно. Энэ сегмент нь суурьтай зэрэгцээ байх ёстой. Үүссэн трапецын ALFD ба LBSF нь ижил төстэй тул BS/LF = LF/AD болно. Үүнээс LF=√(BS*AD) гарч ирнэ. Трапецийг ижил төстэй хоёр хэсэгт хуваах сегмент нь зургийн суурийн уртын геометрийн дундажтай тэнцүү урттай болохыг бид олж мэдэв.

Ингээд авч үзье дараагийн өмчижил төстэй байдал Энэ нь трапецийг хоёр тэнцүү дүрс болгон хуваах сегмент дээр суурилдаг. ABSD трапецийг EH сегментээр ижил төстэй хоёр хэсэгт хуваана гэж бид таамаглаж байна. В оройноос өндрийг хассан бөгөөд энэ нь EN сегментээр B1 ба B2 гэсэн хоёр хэсэгт хуваагдана. Бид дараахыг авна: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 ба PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Дараа нь бид эхний тэгшитгэл нь (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2, хоёр дахь (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2 гэсэн системийг зохио. Үүнээс үзэхэд B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) ба BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Трапецийг хоёр тэнцүү болгон хуваах сегментийн урт нь суурийн уртын язгуур квадраттай тэнцүү болохыг олж мэдэв: √((BS2+AD2)/2).

Ижил төстэй байдлын үр дүн

Тиймээс бид үүнийг нотолсон:

1. Трапецын хажуу талуудын дунд цэгүүдийг холбосон хэрчим нь AD ба BS-тэй параллель байх ба BS ба AD-ийн арифметик дундажтай тэнцүү байна (трапецын суурийн урт).

2. AD ба BS параллель диагональуудын огтлолцлын О цэгийг дайран өнгөрөх шулуун нь AD ба BS тоонуудын гармоник дундажтай тэнцүү байна (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. Трапецийг ижил төстэй хэсгүүдэд хуваах сегмент нь BS ба AD суурийн геометрийн дундаж урттай байна.

4. Дүрсийг хоёр тэнцүү болгон хуваах элемент нь AD ба BS тоонуудын язгуур квадратын урттай байна.

Материалыг нэгтгэж, авч үзсэн сегментүүдийн хоорондын холболтыг ойлгохын тулд оюутан тэдгээрийг тодорхой трапецын хувьд барих хэрэгтэй. Тэрээр суурьтай параллель - зургийн диагональуудын огтлолцол - O цэгээр дамждаг дунд шугам ба сегментийг хялбархан харуулж чадна. Харин гурав, дөрөв дэх нь хаана байрлах вэ? Энэ хариулт нь оюутныг дундаж утгуудын хоорондын хүссэн хамаарлыг олж мэдэхэд хүргэнэ.

Трапецын диагональуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент

Энэ зургийн дараах шинж чанарыг анхаарч үзээрэй. MH хэрчмийг суурьтай параллель, диагональуудыг хоёр хуваасан гэж бид таамаглаж байна. Ш ба Ш огтлолцох цэгүүдийг нэрлэе. Энэ хэрчим нь суурийн зөрүүний талтай тэнцүү байна. Үүнийг илүү дэлгэрэнгүй авч үзье. MS нь ABS гурвалжны дунд шугам бөгөөд энэ нь BS/2-тэй тэнцүү байна. MSH нь ABD гурвалжны дунд шугам бөгөөд энэ нь AD/2-тэй тэнцүү байна. Дараа нь бид ShShch = MSh-MSh, тиймээс ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2 гэдгийг олж авна.

Таталцлын төв

Өгөгдсөн геометрийн дүрсийн хувьд энэ элемент хэрхэн тодорхойлогддогийг харцгаая. Үүнийг хийхийн тулд суурийг эсрэг чиглэлд сунгах шаардлагатай. Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Та доод суурийг дээд суурь руу нэмэх хэрэгтэй - аль ч чиглэлд, жишээлбэл, баруун тийш. Мөн бид доод хэсгийг дээд талынх нь уртаар зүүн тийш сунгана. Дараа нь бид тэдгээрийг диагональ байдлаар холбоно. Энэ сегментийн зургийн дунд шугамтай огтлолцох цэг нь трапецын хүндийн төв юм.

Бичсэн ба хүрээлэгдсэн трапецууд

Ийм тоонуудын онцлогуудыг жагсаая:

1. Трапецийг зөвхөн ижил өнцөгт байвал тойрог дотор бичиж болно.

2. Суурийн уртын нийлбэр нь талуудын уртын нийлбэртэй тэнцүү байх нөхцөлд трапецийг тойрог тойруулан дүрсэлж болно.

Тойргийн үр дагавар:

1. Тайлбарласан трапецын өндөр нь үргэлж хоёр радиустай тэнцүү байна.

2. Тодорхойлсон трапецын тал нь тойргийн төвөөс тэгш өнцөгт ажиглагдаж байна.

Эхний үр дүн нь тодорхой боловч хоёр дахь нь SOD өнцөг зөв гэдгийг батлах шаардлагатай бөгөөд энэ нь үнэндээ тийм ч хэцүү биш юм. Гэхдээ мэдлэг энэ өмчийнасуудлыг шийдвэрлэхдээ тэгш өнцөгт гурвалжинг ашиглах боломжийг танд олгоно.

Одоо тойрог дотор бичсэн ижил өнцөгт трапецын хувьд эдгээр үр дагаврыг тодорхойлъё. Өндөр нь зургийн суурийн геометрийн дундаж болохыг олж мэдэв: H=2R=√(BS*AD). Трапецын асуудлыг шийдвэрлэх үндсэн арга техникийг (хоёр өндрийг зурах зарчим) дадлага хийх явцад оюутан дараахь даалгаврыг шийдвэрлэх ёстой. BT нь ABSD-ийн тэгш өнцөгт дүрсийн өндөр гэж бид таамаглаж байна. AT ба TD сегментүүдийг олох шаардлагатай. Дээр дурдсан томъёог ашиглан үүнийг хийхэд хэцүү биш байх болно.

Одоо хүрээлэгдсэн трапецын талбайг ашиглан тойргийн радиусыг хэрхэн тодорхойлохыг олж мэдье. Бид өндрийг B оройноос AD суурь хүртэл бууруулна. Тойрог трапец хэлбэрээр бичдэг тул BS+AD = 2AB эсвэл AB = (BS+AD)/2 болно. ABN гурвалжнаас бид sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD)-ийг олно. PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Бид PABSD = (BS+BP)*R авна, үүнээс R = PABSD/(BS+BP) гарч ирнэ.

Трапецын дунд шугамын бүх томъёо

Одоо энэ геометрийн дүрсийн сүүлчийн элемент рүү шилжих цаг болжээ. Трапецын дунд шугам (M) нь юутай тэнцүү болохыг олж мэдье.

1. Суурийн тусламжтайгаар: M = (A+B)/2.

2. Өндөр, суурь, булангаар:

M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.

3. Өндөр, диагональ ба тэдгээрийн хоорондох өнцгөөр. Жишээлбэл, D1 ба D2 нь трапецын диагональ юм; α, β - тэдгээрийн хоорондох өнцөг:

M = D1*D2*sinα/2N = D1*D2*sinβ/2N.

4. Талбай ба өндрөөр: M = P/N.

\[(\Том(\текст(Чөлөөт трапец)))\]

Тодорхойлолт

Трапец гэдэг нь хоёр тал нь параллель, нөгөө хоёр тал нь зэрэгцээ биш гүдгэр дөрвөн өнцөгт юм.

Трапецын зэрэгцээ талуудыг суурь, нөгөө хоёр талыг хажуу тал гэж нэрлэдэг.

Трапецын өндөр нь нэг суурийн аль ч цэгээс нөгөө суурь руу татсан перпендикуляр юм.

Теоремууд: трапецын шинж чанарууд

1) Хажуу талын өнцгүүдийн нийлбэр нь \(180^\circ\) байна.

2) Диагональууд нь трапецийг дөрвөн гурвалжинд хуваадаг бөгөөд тэдгээрийн хоёр нь ижил төстэй, нөгөө хоёр нь тэнцүү хэмжээтэй байна.

Баталгаа

1) Учир нь \(AD\зэрэгцээ МЭӨ\), тэгвэл \(\өнцөг BAD\) ба \(\өнцөг ABC\) нь эдгээр шулуун ба хөндлөн \(AB\) нэг талт байна. \(\өнцөг BAD +\өнцөг ABC=180^\circ\).

2) Учир нь \(AD\параллель BC\) ба \(BD\) нь секант бөгөөд дараа нь \(\өнцөг DBC=\өнцөг BDA\) хөндлөн хэвтэнэ.
Мөн \(\өнцөг BOC=\өнцөг AOD\) босоо байдлаар.
Тиймээс хоёр өнцгөөр \(\гурвалжин BOC \sim \гурвалжин AOD\).

Үүнийг баталцгаая \(S_(\гурвалжин AOB)=S_(\гурвалжин COD)\). Трапецын өндрийг \(h\) гэж үзье. Дараа нь \(S_(\triangle ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\гурвалжин ACD)\). Дараа нь: \

Тодорхойлолт

Трапецын дунд шугам нь талуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент юм.

Теорем

Трапецын дунд шугам нь суурьтай параллель бөгөөд тэдгээрийн хагас нийлбэртэй тэнцүү байна.

Нотолгоо*

1) Зэрэгцээ байдлыг баталцгаая.

\(M\) цэгээр \(MN"\зэрэгцээ AD\) (\(N"\CD\) шулуун шугамыг зуръя. Дараа нь, Фалесийн теоремын дагуу ( \(MN"\зэрэгцээ AD\зэрэгцээ МЭӨ, AM=MB\)) цэг \(N"\) нь \(CD\) сегментийн дунд байна. Энэ нь \(N\) ба \(N"\) цэгүүд давхцана гэсэн үг.

2) Томьёог баталцгаая.

\(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) хийцгээе. Болъё \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

Дараа нь Фалесийн теоремоор \(M"\) ба \(N"\) нь \(BB"\) ба \(CC"\) хэсгүүдийн дунд цэгүүд болно. Энэ нь \(MM"\) нь \(\гурвалжин ABB"\) дунд шугам, \(NN"\) нь \(\гурвалжин DCC"\) -ийн дунд шугам гэсэн үг юм. Тийм учраас: \

Учир нь \(MN\зэрэгцээ МЭ\зэрэгцээ МЭӨ\)ба \(BB", CC"\perp AD\), дараа нь \(B"M"N"C"\) ба \(BM"N"C\) тэгш өнцөгтүүд байна. Фалесийн теоремоор \(MN\параллель AD\) ба \(AM=MB\)-аас \(B"M"=M"B\) гарч ирнэ.Иймээс \(B"M"N"C "\) ба \(BM"N"C\) нь тэнцүү тэгш өнцөгтүүд тул \(M"N"=B"C"=BC\) .

Тиймээс:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\баруун)=\dfrac12\left(AD+BC\баруун)\]

Теорем: дурын трапецын шинж чанар

Суурийн дунд цэгүүд, трапецын диагональуудын огтлолцлын цэг, хажуугийн хажуугийн өргөтгөлүүдийн огтлолцлын цэгүүд нь ижил шулуун дээр байрладаг.

Нотолгоо*
"Гурвалжны ижил төстэй байдал" сэдвийг судалсны дараа нотлох баримттай танилцахыг зөвлөж байна.

1) \(P\), \(N\) ба \(M\) цэгүүд нэг шулуун дээр байгааг баталцгаая.

\(PN\) шулуун зуръя (\(P\) нь талуудын өргөтгөлүүдийн огтлолцлын цэг, \(N\) нь \(BC\) -ийн дунд хэсэг). Үүнийг \(AD\) талтай \(M\) цэгээр огтолцгооё. \(M\) нь \(AD\) -ийн дунд цэг гэдгийг баталцгаая.

\(\гурвалжин BPN\) болон \(\гурвалжин APM\) -ийг авч үзье. Тэдгээр нь хоёр өнцгөөр төстэй байна (\(\өнцөг APM\) – ерөнхий, \(\өнцөг PAM=\өнцөг PBN\) нь \(AD\зэрэгцээ МЭӨ\) ба \(AB\) секант). гэсэн утгатай: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

\(\гурвалжин CPN\) болон \(\гурвалжин DPM\) -ийг авч үзье. Тэдгээр нь хоёр өнцгөөр төстэй байна (\(\өнцгийн DPM\) – ерөнхий, \(\өнцгийн PDM=\өнцгийн PCN\) нь \(AD\зэрэгцээ МЭӨ\) ба \(CD\) секант). гэсэн утгатай: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Эндээс \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Гэхдээ \(BN=NC\) тиймээс \(AM=DM\) .

2) \(N, O, M\) цэгүүд нэг шулуун дээр байгааг баталцгаая.

\(N\) нь \(BC\)-ийн дунд цэг, \(O\) нь диагональуудын огтлолцлын цэг байг. Шулуун зуръя \(NO\) , энэ нь \(AD\) талтай \(M\) цэг дээр огтлолцоно. \(M\) нь \(AD\) -ийн дунд цэг гэдгийг баталцгаая.

\(\гурвалжин BNO\sim \гурвалжин DMO\)хоёр өнцгийн дагуу (\(\өнцөг OBN=\өнцөг ODM\) хөндлөн хэвтэх \(BC\зэрэгцээ AD\) ба \(BD\) секант; \(\өнцөг BON=\өнцөг DOM\) босоо байдлаар). гэсэн утгатай: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

Үүний нэгэн адил \(\гурвалжин CON\sim \гурвалжин AOM\). гэсэн утгатай: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

Эндээс \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Гэхдээ \(BN=CN\) тиймээс \(AM=MD\) .

\[(\Том(\текст(Isosceles trapezoid)))\]

Тодорхойлолт

Нэг өнцөг нь зөв байвал трапецийг тэгш өнцөгт гэж нэрлэдэг.

Хэрэв талууд нь тэнцүү бол трапецийг ижил өнцөгт гэж нэрлэдэг.

Теоремууд: ижил өнцөгт трапецын шинж чанарууд

1) Хоёр талт трапецын суурийн өнцөг нь тэнцүү байна.

2) Хоёр талт трапецын диагональууд тэнцүү байна.

3) Диагональ ба сууринаас үүссэн хоёр гурвалжин нь тэгш өнцөгт юм.

Баталгаа

1) \(ABCD\) ижил өнцөгт трапецийг авч үзье.

\(B\) ба \(C\) оройноос \(BM\) ба \(CN\) перпендикуляруудыг \(AD\) тал руу тус тус буулгана. \(BM\perp AD\) ба \(CN\perp AD\) тул \(BM\parallel CN\) ; \(AD\параллель BC\) , тэгвэл \(MBCN\) нь параллелограмм тул \(BM = CN\) .

Ингээд авч үзье зөв гурвалжин\(ABM\) ба \(CDN\) . Тэдний гипотенузууд тэнцүү ба \(BM\) хөл нь \(CN\) -тэй тэнцүү тул эдгээр гурвалжнууд тэнцүү байх тул \(\өнцөг DAB = \өнцгийн CDA\) .

2)

Учир нь \(AB=CD, \өнцөг A=\өнцөг D, AD\)- ерөнхий, дараа нь эхний тэмдгийн дагуу. Тиймээс \(AC=BD\) .

3) Учир нь \(\гурвалжин ABD=\гурвалжин ACD\), дараа нь \(\өнцгийн BDA=\өнцгийн CAD\) . Тиймээс \(\ гурвалжин AOD\) гурвалжин нь ижил өнцөгт байна. Үүний нэгэн адил \(\гурвалжин BOC\) нь ижил хажуу талтай болох нь батлагдсан.

Теоремууд: ижил өнцөгт трапецын шинж тэмдэг

1) Хэрэв трапецын суурь нь тэнцүү өнцөгтэй бол энэ нь ижил өнцөгт байна.

2) Хэрэв трапецын диагональ нь тэнцүү бол энэ нь ижил өнцөгт байна.

Баталгаа

\(\өнцөг A = \өнцөг D\) байх \(ABCD\) трапецийг авч үзье.

Зурагт үзүүлсэн шиг \(AED\) гурвалжин руу трапецийг гүйцээцгээе. \(\өнцөг 1 = \өнцөг 2\) тул \(AED\) гурвалжин нь ижил өнцөгт байх ба \(AE = ED\) . \(1\) ба \(3\) өнцгүүд нь \(AD\) ба \(BC\) зэрэгцээ шугамуудын харгалзах өнцөгтэй тэнцүү байна \(AB\). Үүний нэгэн адил, \(2\) ба \(4\) өнцгүүд тэнцүү, гэхдээ \(\өнцөг 1 = \өнцөг 2\), дараа нь \(\өнцөг 3 = \өнцөг 1 = \өнцөг 2 = \өнцөг 4\), тиймээс \(BEC\) гурвалжин нь мөн адил тэгш өнцөгт ба \(BE = EC\) .

Эцэст нь \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), өөрөөр хэлбэл \(AB = CD\) бөгөөд энэ нь нотлох шаардлагатай зүйл юм.

2) \(AC=BD\) гэж үзье. Учир нь \(\гурвалжин AOD\sim \гурвалжин BOC\), дараа нь бид тэдгээрийн ижил төстэй байдлын коэффициентийг \(k\) гэж тэмдэглэнэ. Хэрэв \(BO=x\) бол \(OD=kx\) . \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) -тай төстэй.

Учир нь \(AC=BD\) , дараа нь \(x+kx=y+ky \Баруун сум x=y\) . Энэ нь \(\гурвалжин AOD\) нь хоёр талт ба \(\өнцгийн OAD=\өнцгийн ODA\) гэсэн үг юм.

Тиймээс эхний шинж тэмдгийн дагуу \(\гурвалжин ABD=\гурвалжин ACD\) (\(AC=BD, \өнцгийн OAD=\өнцгийн ODA, AD\)- ерөнхий). Тэгэхээр, \(AB=CD\), яагаад.

МЭӨ V зуунд эртний Грекийн гүн ухаантан Зенон Элеа өөрийн алдартай апориа томъёолсон бөгөөд хамгийн алдартай нь "Ахиллес ба яст мэлхий" апориа юм. Энэ нь дараах байдалтай байна.

Ахиллес яст мэлхийгээс арав дахин хурдан гүйж, түүнээс мянган алхмын ард байна гэж бодъё. Ахиллес энэ зайг гүйхэд шаардагдах хугацаанд яст мэлхий нэг чиглэлд зуун алхам мөлхөх болно. Ахиллес зуун алхам гүйхэд яст мэлхий дахиад арван алхам мөлхдөг гэх мэт. Энэ үйл явц эцэс төгсгөлгүй үргэлжлэх бөгөөд Ахиллес яст мэлхийг хэзээ ч гүйцэхгүй.

Энэ үндэслэл нь дараагийн бүх үеийнхний хувьд логик цочрол болсон. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Тэд бүгд нэг талаараа Зеногийн апориа гэж үзсэн. Цочрол маш хүчтэй байсан тул " ... өнөөдрийг хүртэл хэлэлцүүлэг үргэлжилж байгаа бөгөөд шинжлэх ухааны нийгэмлэг парадоксуудын мөн чанарын талаар нэгдсэн саналд хүрч чадаагүй байна ... асуудлыг судлахад оролцсон; математик шинжилгээ, олонлогийн онол, физик, философийн шинэ хандлага; Тэдгээрийн аль нь ч асуудлыг шийдэх нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн шийдэл болсонгүй ..."[Википедиа, "Зеногийн апориа". Хүн бүр хууртагдаж байгааг ойлгодог, гэхдээ хууран мэхлэлт юунаас бүрддэгийг хэн ч ойлгодоггүй.

Математикийн үүднээс авч үзвэл, Зено өөрийн апориадаа хэмжигдэхүүнээс -д шилжихийг тодорхой харуулсан. Энэ шилжилт нь байнгын бус хэрэглээг илэрхийлдэг. Миний ойлгож байгаагаар хувьсах хэмжлийн нэгжийг ашиглах математикийн төхөөрөмж хараахан боловсруулагдаагүй эсвэл Зеногийн апорид ашиглагдаагүй байна. Бидний ердийн логикийг ашиглах нь биднийг урхинд оруулдаг. Бид сэтгэхүйн инерцийн улмаас цаг хугацааны тогтмол нэгжийг харилцан хамааралтай үнэ цэнэд ашигладаг. Физик талаас нь харвал энэ нь Ахиллес яст мэлхийг гүйцэх тэр мөчид бүрэн зогстол цаг удааширч байгаа мэт харагдаж байна. Хэрэв цаг хугацаа зогсвол Ахиллес яст мэлхийг гүйцэж чадахгүй.

Хэрэв бид ердийн логикоо эргүүлбэл бүх зүйл байрандаа орно. Ахиллес тогтмол хурдтайгаар гүйдэг. Түүний замын дараагийн хэсэг бүр өмнөхөөсөө арав дахин богино байна. Үүний дагуу үүнийг даван туулахад зарцуулсан хугацаа өмнөхөөсөө арав дахин бага байна. Хэрэв бид энэ нөхцөлд "хязгааргүй" гэсэн ойлголтыг хэрэглэвэл "Ахиллес яст мэлхийг хязгааргүй хурдан гүйцэх болно" гэж хэлэх нь зөв байх болно.

Энэ логик урхинаас хэрхэн зайлсхийх вэ? Цагийн тогтмол нэгжид үлдэж, харилцан адилгүй нэгж рүү бүү шилжинэ. Зеногийн хэлээр энэ нь дараах байдалтай байна.

Ахиллес мянган алхам гүйхэд яст мэлхий нэг зүгт зуун алхам мөлхөх болно. Эхнийхтэй тэнцэх дараагийн хугацааны интервалд Ахиллес дахиад мянган алхам гүйж, яст мэлхий зуун алхам мөлхөх болно. Одоо Ахиллес яст мэлхийнээс найман зуун алхмын өмнө байна.

Энэ хандлага нь бодит байдлыг ямар ч логик парадоксгүйгээр хангалттай дүрсэлдэг. Гэхдээ тийм биш бүрэн шийдэлАсуудлууд. Эйнштейний гэрлийн хурдыг үл тоомсорлодог тухай мэдэгдэл нь Зеногийн "Ахиллес ба яст мэлхий" апориатай тун төстэй юм. Бид энэ асуудлыг судалж, дахин бодож, шийдвэрлэх ёстой хэвээр байна. Мөн шийдлийг хязгааргүй олон тоогоор биш, хэмжилтийн нэгжээр хайх ёстой.

Зеногийн өөр нэг сонирхолтой апориа нь нисдэг сумны тухай өгүүлдэг.

Нисдэг сум цаг мөч бүрт амарч, цаг мөч бүрт амарч байдаг тул хөдөлгөөнгүй байдаг.

Энэ апорид логик парадоксыг маш энгийнээр даван туулдаг - цаг мөч бүрт нисдэг сум сансар огторгуйн өөр өөр цэгүүдэд амарч байгаа бөгөөд энэ нь үнэндээ хөдөлгөөн юм гэдгийг тодруулахад хангалттай. Энд бас нэг зүйлийг анхаарах хэрэгтэй. Зам дээрх машины нэг гэрэл зургаас түүний хөдөлгөөний баримт, түүнд хүрэх зайг тодорхойлох боломжгүй юм. Машин хөдөлж байгаа эсэхийг тодорхойлохын тулд цаг хугацааны өөр өөр цэгээс нэг цэгээс авсан хоёр гэрэл зураг хэрэгтэй боловч тэдгээрийн хоорондох зайг тодорхойлж чадахгүй. Машин хүртэлх зайг тодорхойлохын тулд танд сансар огторгуйн өөр өөр цэгүүдээс авсан хоёр гэрэл зураг хэрэгтэй, гэхдээ тэдгээрээс та хөдөлгөөний баримтыг тодорхойлж чадахгүй (мэдээжийн хэрэг, танд тооцоололд нэмэлт мэдээлэл хэрэгтэй, тригонометр танд туслах болно. ). Миний онцлохыг хүссэн зүйл Онцгой анхаарал, цаг хугацааны хоёр цэг, орон зайн хоёр цэг нь судалгаа хийх өөр өөр боломжийг олгодог тул андуурч болохгүй өөр зүйл юм.

2018 оны 7-р сарын 4, Лхагва гараг

Багц ба олон багцын ялгааг Википедиа дээр маш сайн дүрсэлсэн байдаг. Харцгаая.

Таны харж байгаагаар "ижил олонлогт хоёр ижил элемент байх боломжгүй" боловч хэрэв олонлогт ижил элементүүд байгаа бол ийм олонлогийг "олон олонлог" гэж нэрлэдэг. Ухаантай хүмүүс ийм утгагүй логикийг хэзээ ч ойлгохгүй. Энэ бол "бүрэн" гэдэг үгнээс оюун ухаангүй ярьдаг тоть, сургасан сармагчингийн түвшин юм. Математикчид энгийн сургагч багшийн үүрэг гүйцэтгэж, утгагүй санаагаа бидэнд номлодог.

Эрт урьд цагт гүүрийг барьсан инженерүүд гүүрний туршилт хийж байхдаа гүүрэн доор завинд сууж байжээ. Хэрэв гүүр нурсан бол дунд зэргийн инженер өөрийн бүтээлийн нуранги дор нас баржээ. Хэрвээ гүүр ачааллыг даах чадвартай бол авъяаслаг инженер бусад гүүрүүдийг барьсан.

Математикчид “намайг бод, би гэртээ байна” гэх, эс тэгвээс “математик хийсвэр ойлголтуудыг судалдаг” гэсэн хэллэгийн ард хэрхэн нуугдаж байсан ч тэдгээрийг бодит байдалтай салшгүй холбодог хүйн ​​зангилаа байдаг. Энэ хүйн ​​бол мөнгө. Хэрэглэх боломжтой математикийн онолматематикчдад өөрсдөд нь тавьдаг.

Математикийн хичээлийг маш сайн сурсан, одоо цалингаа өгөөд кассанд сууж байна. Тэгэхээр нэг математикч мөнгөө авахаар манайд ирдэг. Бид түүнд бүх дүнг тоолж, өөр өөр овоолго хэлбэрээр ширээн дээр тавьж, ижил мөнгөн дэвсгэртийг оруулав. Дараа нь бид овоо бүрээс нэг дэвсгэрт авч, математикчдаа түүний "математикийн цалин" -ыг өгнө. Ижил элементгүй олонлог нь ижил элементтэй олонлогтой тэнцүү биш гэдгийг нотлох үед л үлдсэн үнэт цаасыг хүлээн авах болно гэдгийг математикчд тайлбарлая. Эндээс л зугаа цэнгэл эхэлдэг.

Юуны өмнө, депутатуудын логик ажиллах болно: "Үүнийг бусдад хэрэглэж болно, гэхдээ надад биш!" Дараа нь тэд ижил мөнгөн дэвсгэртүүд өөр өөр үнэт цаасны дугаартай байдаг тул тэдгээрийг ижил элемент гэж үзэх боломжгүй гэж биднийг тайвшруулж эхэлнэ. За, цалингаа зоосоор тоолъё - зоосон дээр ямар ч тоо байхгүй. Энд математикч физикийн тухай дурсан санаж эхэлнэ: янз бүрийн зоосон мөнгө өөр өөр хэмжээтэй, атомын талст бүтэц, зохион байгуулалт нь зоос бүрийн хувьд өвөрмөц байдаг ...

Одоо надад хамгийн их байна сонирхол Асуу: олон олонлогийн элементүүд олонлогийн элементүүд болон эсрэгээр хувирах шугам хаана байх вэ? Ийм шугам байхгүй - бүх зүйлийг бөө нар шийддэг, шинжлэх ухаан энд хэвтэхэд ойрхон ч биш юм.

Энд харах. Бид ижил талбай бүхий хөлбөмбөгийн цэнгэлдэхүүдийг сонгодог. Талбайн талбайнууд ижил байна - энэ нь бид олон багцтай гэсэн үг юм. Гэхдээ эдгээр ижил цэнгэлдэх хүрээлэнгүүдийн нэрийг харвал нэр нь өөр учраас олон гарч ирнэ. Таны харж байгаагаар ижил элементүүдийн багц нь олонлог ба олон багц юм. Аль нь зөв бэ? Тэгээд энд математикч-бөө-хурц хүн ханцуйнаасаа бүрээ гаргаж ирээд багц эсвэл олон багцын тухай ярьж эхлэв. Ямар ч байсан тэр бидний зөв гэдэгт итгүүлэх болно.

Орчин үеийн бөө нар олонлогийн онолыг бодит байдалтай уялдуулан хэрхэн ажилладагийг ойлгохын тулд нэг олонлогийн элементүүд нөгөө олонлогийн элементүүдээс юугаараа ялгаатай вэ гэсэн нэг асуултад хариулахад хангалттай. Би та нарт "нэг бүхэл бүтэн биш гэж төсөөлж болохуйц" эсвэл "ганц бүхэлдээ төсөөлшгүй" зүйлгүйгээр харуулах болно.

2018 оны 3-р сарын 18, Ням гараг

Тооны цифрүүдийн нийлбэр гэдэг нь математикт огт хамааралгүй бөө нарын хэнгэрэгтэй бүжиг юм. Тийм ээ, математикийн хичээл дээр бид тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олж, түүнийгээ ашиглахыг заадаг, гэхдээ ийм учраас тэд бөө юм, үр хойчдоо ур чадвар, мэргэн ухааныг зааж сургах, тэгэхгүй бол бөө нар зүгээр л үхэх болно.

Танд нотлох баримт хэрэгтэй байна уу? Википедиа нээгээд "Тооны цифрүүдийн нийлбэр" гэсэн хуудсыг хайж олоод үзээрэй. Тэр байхгүй. Аливаа тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олох томьёо математикт байдаггүй. Эцсийн эцэст тоо бол бидний тоо бичдэг график тэмдэг бөгөөд математикийн хэлээр даалгавар нь иймэрхүү сонсогддог: "Аливаа тоог илэрхийлэх график тэмдгийн нийлбэрийг ол." Математикчид энэ асуудлыг шийдэж чадахгүй ч бөө нар амархан шийдэж чадна.

Өгөгдсөн тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олохын тулд юу хийж, яаж хийхийг олж мэдье. Ингээд 12345 тоотой болцгооё. Энэ тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олохын тулд юу хийх хэрэгтэй вэ? Бүх алхамуудыг дарааллаар нь авч үзье.

1. Цаасан дээр тоог бич. Бид юу хийсэн бэ? Бид энэ тоог график тооны тэмдэг болгон хөрвүүлсэн. Энэ бол математикийн үйлдэл биш юм.

2. Бид үр дүнгийн нэг зургийг хэд хэдэн зураг болгон хуваасан. Зургийг тайрах нь математикийн үйлдэл биш юм.

3. График тэмдэгтүүдийг тоо болгон хувиргах. Энэ бол математикийн үйлдэл биш юм.

4. Үүссэн тоонуудыг нэмнэ. Одоо энэ бол математик.

12345 тооны цифрүүдийн нийлбэр нь 15. Математикчдын хэрэглэдэг бөө нарын заадаг “зүсэх, оёх дамжаа” юм. Гэхдээ энэ нь бүгд биш юм.

Математикийн үүднээс авч үзвэл ямар тооны системд тоо бичих нь хамаагүй. Тэгэхээр, in өөр өөр системүүдТооцооллын хувьд ижил тооны цифрүүдийн нийлбэр өөр байх болно. Математикийн хувьд тооны системийг тоон баруун талд байрлах доод үсэг болгон заадаг. 12345 гэсэн том тоогоор би толгойгоо хуурахыг хүсэхгүй байна, нийтлэл дэх 26 дугаарыг авч үзье. Энэ тоог хоёртын, наймтын, аравтын, арван зургаатын тооллын системд бичье. Бид алхам бүрийг микроскопоор харахгүй. Үр дүнг харцгаая.

Таны харж байгаагаар янз бүрийн тооны системд ижил тооны цифрүүдийн нийлбэр өөр өөр байдаг. Энэ үр дүн нь математиктай ямар ч холбоогүй юм. Хэрэв та тэгш өнцөгтийн талбайг метр, сантиметрээр тодорхойлсон бол огт өөр үр дүн гарахтай адил юм.

Тэг нь бүх тооны системд адилхан харагддаг бөгөөд цифрүүдийн нийлбэр байдаггүй. Энэ бол үүнийг батлах өөр нэг үндэслэл юм. Математикчдад зориулсан асуулт: математикт тоо биш зүйлийг яаж тодорхойлдог вэ? Математикчдын хувьд тооноос өөр юу ч байхгүй гэж үү? Би үүнийг бөө нарт зөвшөөрч болох ч эрдэмтдэд зөвшөөрөөгүй. Бодит байдал зөвхөн тоон дээр тогтдоггүй.

Хүлээн авсан үр дүнг тооллын систем нь тоонуудын хэмжүүрийн нэгж гэдгийг нотлох баримт гэж үзэх ёстой. Эцсийн эцэст бид өөр өөр хэмжүүр бүхий тоонуудыг харьцуулж болохгүй. Хэрэв ижил хэмжигдэхүүнийг өөр өөр хэмжих нэгжүүдтэй ижил үйлдэл хийхэд хүргэдэг өөр өөр үр дүнТэднийг харьцуулж үзээд математиктай ямар ч холбоогүй гэсэн үг.

Жинхэнэ математик гэж юу вэ? Энэ бол үр дүн юм математик үйл ажиллагаатоон хэмжээ, ашигласан хэмжих нэгж, үйлдлийг хэн гүйцэтгэхээс хамаарахгүй.

Хаалган дээр гарын үсэг зурна уу Тэр хаалгыг онгойлгоод:

Өө! Энэ эмэгтэйчүүдийн бие засах газар биш гэж үү?
- Залуу эмэгтэй! Энэ бол сүнснүүдийн тэнгэрт өргөмжлөгдөх үеийн ариун байдлыг судлах лаборатори юм! Дээрээс нь гал болон дээш сум. Өөр ямар бие засах газар вэ?

Эмэгтэй... Дээд талын гэрэлт цагираг, доош сум нь эрэгтэй.

Хэрэв дизайны урлагийн ийм бүтээл таны нүдний өмнө өдөрт хэд хэдэн удаа анивчдаг бол

Дараа нь та машиндаа гэнэт хачин дүрсийг олж хараад гайхах зүйл алга.

Би хувьдаа баас хийж буй хүнд хасах дөрвөн градусыг харахыг хичээдэг (нэг зураг) (хэд хэдэн зургийн найрлага: хасах тэмдэг, дөрөв, градусын тэмдэглэгээ). Би энэ охиныг физик мэдэхгүй тэнэг гэж бодохгүй байна. Тэр зүгээр л график дүрсийг мэдрэх хүчтэй хэвшмэл ойлголттой. Үүнийг математикчид бидэнд байнга заадаг. Энд нэг жишээ байна.

1А нь "хасах дөрвөн градус" эсвэл "нэг а" биш юм. Энэ нь "баасан хүн" буюу арван зургаатын тооллын "хорин зургаа" гэсэн тоо юм. Энэ тооны системд байнга ажилладаг хүмүүс тоо, үсгийг нэг график тэмдэг болгон автоматаар хүлээн авдаг.

Энэ нийтлэлд бид трапецын шинж чанарыг аль болох бүрэн тусгахыг хичээх болно. Ялангуяа бид ярих болно ерөнхий шинж тэмдэгба трапецын шинж чанарууд, түүнчлэн бичээстэй трапецын шинж чанарууд ба трапецын дотор бичээстэй тойргийн тухай. Бид мөн адил тэгш өнцөгт ба тэгш өнцөгт трапецын шинж чанаруудын талаар ярих болно.

Хэлэлцсэн шинж чанаруудыг ашиглан асуудлыг шийдэх жишээ нь үүнийг толгойдоо цэгцэлж, материалыг илүү сайн санахад тусална.

Трапец ба бүх зүйл

Эхлэхийн тулд трапец гэж юу болох, түүнтэй өөр ямар ойлголтууд холбоотой болохыг товч дурдъя.

Тиймээс трапец бол дөрвөлжин дүрс бөгөөд хоёр тал нь хоорондоо параллель байдаг (эдгээр нь суурь). Мөн энэ хоёр нь зэрэгцээ биш - эдгээр нь талууд юм.

Трапецын хувьд өндрийг бууруулж болно - суурьтай перпендикуляр. Төвийн шугам ба диагональ зурсан байна. Мөн трапецын аль ч өнцгөөс биссектрис зурах боломжтой.

тухай янз бүрийн шинж чанарууд, эдгээр бүх элементүүд болон тэдгээрийн хослолуудтай холбоотой, бид одоо ярих болно.

Трапецын диагональуудын шинж чанарууд

Илүү ойлгомжтой болгохын тулд уншиж байхдаа ACME трапецын зургийг цаасан дээр зурж, диагональ зур.

1. Хэрэв та диагональ тус бүрийн дунд цэгүүдийг (эдгээр цэгүүдийг X ба T гэж нэрлэе) олж, тэдгээрийг холбовол сегментийг авна. Трапецын диагональуудын нэг шинж чанар нь HT сегмент нь дунд шугам дээр байрладаг явдал юм. Мөн түүний уртыг суурийн зөрүүг хоёроор хуваах замаар олж авч болно. ХТ = (a – b)/2.
2. Бидний өмнө ижил трапецын ACME байна. Диагональууд нь О цэг дээр огтлолцоно.Трапецын сууриудтай хамт диагональуудын хэрчмүүдээс үүссэн AOE ба MOK гурвалжнуудыг харцгаая. Эдгээр гурвалжин нь ижил төстэй. Гурвалжны ижил төстэй байдлын k коэффициентийг трапецын суурийн харьцаагаар илэрхийлнэ. k = AE/KM.
   AOE ба MOK гурвалжны талбайн харьцааг k 2 коэффициентээр тодорхойлно.
3. Ижил трапец, ижил диагональууд О цэг дээр огтлолцдог. Зөвхөн энэ удаад бид диагональуудын сегментүүд трапецын талуудтай хамт үүссэн гурвалжнуудыг авч үзэх болно. AKO ба EMO гурвалжны талбайн хэмжээ тэнцүү - талбайнууд нь ижил байна.
4. Трапецын өөр нэг шинж чанар нь диагональ барих явдал юм. Тиймээс, хэрэв та АК ба ME-ийн талуудыг жижиг суурийн чиглэлд үргэлжлүүлбэл эрт орой хэзээ нэгэн цагт тэд тодорхой цэг дээр огтлолцох болно. Дараа нь трапецын суурийн дундуур шулуун шугам зур. Энэ нь X ба T цэгүүд дээр сууриудтай огтлолцдог.
   Хэрэв бид одоо XT шугамыг сунгах юм бол энэ нь трапецын О диагональуудын огтлолцох цэг, X ба T суурийн хажуугийн өргөтгөл ба дунд хэсгийн огтлолцох цэгийг хооронд нь холбох болно.
5. Диагональуудын огтлолцох цэгээр бид трапецын суурийг холбосон сегментийг зурах болно (T нь бага KM суурь дээр, X нь том AE дээр байрладаг). Диагональуудын огтлолцлын цэг нь энэ сегментийг дараах харьцаагаар хуваана. TO/OX = KM/AE.
6. Одоо диагональуудын огтлолцлын цэгээр бид трапецын суурьтай параллель сегментийг (a ба b) зурах болно. Уулзвар цэг нь үүнийг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваана. Та томьёог ашиглан сегментийн уртыг олох боломжтой 2ab/(a + b).

Трапецын дунд шугамын шинж чанарууд

Трапецын дунд шугамыг суурьтай параллель зур.

1. Трапецын дунд шугамын уртыг суурийн уртыг нэмж, хагас болгон хуваах замаар тооцоолж болно. m = (a + b)/2.
2. Хэрэв та трапецын хоёр суурийн дундуур аль нэг сегментийг (жишээлбэл, өндөр) зурвал дунд шугам нь үүнийг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваана.

Трапецын биссектрисын шинж чанар

Трапецын дурын өнцгийг сонгоод биссектриса зур. Жишээлбэл, манай трапецын ACME-ийн KAE өнцгийг авч үзье. Барилга угсралтын ажлыг өөрөө хийж дууссаны дараа биссектрис нь хажуугийнхтай ижил урттай сегментийг сууринаас (эсвэл зургийн гадна шулуун шугамын үргэлжлэл) таслаж байгаа эсэхийг хялбархан шалгаж болно.

Трапец хэлбэрийн өнцгийн шинж чанарууд

1. Хажуугийн хажуугийн хоёр хос өнцгийн алийг нь ч сонгох нь хос дахь өнцгүүдийн нийлбэр нь үргэлж 180 0: α + β = 180 0 ба γ + δ = 180 0 байна.
2. Трапецын суурийн дунд цэгүүдийг TX сегментээр холбоно. Одоо трапецын суурийн өнцгүүдийг харцгаая. Хэрэв тэдгээрийн аль нэгнийх нь өнцгийн нийлбэр нь 90 0 байвал TX сегментийн уртыг суурийн уртын зөрүүг үндэслэн хагас болгон хувааж хялбархан тооцоолж болно. TX = (AE – KM)/2.
3. Хэрэв трапецын өнцгийн хажуу талуудаар параллель шугамууд татагдах юм бол тэдгээр нь өнцгийн талуудыг пропорциональ хэсгүүдэд хуваана.

Адил хажуу талт трапецын шинж чанарууд

1. Хоёр талт трапецын аль ч суурийн өнцөг нь тэнцүү байна.
2. Одоо бидний ярьж буй зүйлийг төсөөлөхөд хялбар болгохын тулд трапецийг дахин бүтээ. AE суурийг анхааралтай ажиглаарай - эсрэг талын M суурийн орой нь AE-г агуулсан шугамын тодорхой цэг рүү проекц байна. А оройноос М оройн проекцын цэг хүртэлх зай ба ижил тэгш өнцөгт трапецын дунд шугамын хоорондох зай тэнцүү байна.
3. Хоёр талт трапецын диагональуудын шинж чанарын талаар хэдэн үг хэлье - тэдгээрийн урт нь тэнцүү байна. Мөн эдгээр диагональуудын трапецын суурь руу хазайх өнцөг нь ижил байна.
4. Дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талын өнцгүүдийн нийлбэр нь 180 0 байх тул зөвхөн ижил өнцөгт трапецын эргэн тойронд тойргийг дүрсэлж болно. шаардлагатай нөхцөлүүний төлөө.
5. Хоёр талт трапецын шинж чанар нь өмнөх догол мөрөөс гардаг - хэрэв трапецын ойролцоо тойрог дүрслэх боломжтой бол энэ нь тэгш өнцөгт юм.
6. Хоёр талт трапецын шинж чанараас трапецын өндрийн шинж чанарыг дагаж мөрддөг: хэрэв түүний диагональууд нь зөв өнцгөөр огтлолцдог бол өндрийн урт нь суурийн нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна. h = (a + b)/2.
7. Дахин хэлэхэд TX сегментийг трапецын суурийн дунд цэгүүдээр зурна - ижил тэгш өнцөгт трапецын хувьд суурьтай перпендикуляр байна. Үүний зэрэгцээ TX нь тэгш өнцөгт трапецын тэгш хэмийн тэнхлэг юм.
8. Энэ удаад трапецын эсрэг оройноос өндрийг том суурь руу буулгана (үүнийг a гэж нэрлэе). Та хоёр сегментийг авах болно. Хэрэв суурийн уртыг нэмж, хагасаар хуваавал нэгийн уртыг олж болно. (a + b)/2. Том баазаас жижигийг нь хасаад гарсан зөрүүг хоёр хуваахад бид хоёр дахь нь болно. (а – б)/2.

Тойрог дотор бичсэн трапецын шинж чанарууд

Бид аль хэдийн тойрог хэлбэрээр бичсэн трапецын тухай ярьж байгаа тул энэ асуудлыг илүү нарийвчлан авч үзье. Ялангуяа тойргийн төв нь трапецтай харьцуулахад хаана байна. Энд бас харандаа авч, доор хэлэлцэх зүйлээ зурах цаг гаргахыг зөвлөж байна. Ингэснээр та илүү хурдан ойлгож, илүү сайн санах болно.

1. Тойргийн төвийн байрлалыг трапецын диагональ түүний хажуу тийш хазайх өнцгөөр тодорхойлно. Жишээлбэл, диагональ нь трапецын оройноос хажуу тийшээ зөв өнцгөөр сунгаж болно. Энэ тохиолдолд том суурь нь тойргийн төвийг яг дундуур нь огтолдог (R = ½AE).
2. Диагональ ба хажуу талууд нь хурц өнцгөөр уулзаж болно - дараа нь тойргийн төв нь трапецын дотор байна.
3. Хэрэв трапецын диагональ ба хажуугийн хооронд мохоо өнцөг байгаа бол хүрээлэгдсэн тойргийн төв нь трапецын гадна, түүний том суурийн гадна байж болно.
4. ACME трапецын диагональ ба том суурийн (бичсэн өнцөг) үүссэн өнцөг нь түүнд тохирох төв өнцгийн хагас юм. MAE = ½MOE.
5. Хязгаарлагдсан тойргийн радиусыг олох хоёр аргын талаар товчхон дурдъя. Нэгдүгээр арга: зурсан зургаа анхааралтай хараарай - та юу харж байна вэ? Диагональ нь трапецийг хоёр гурвалжин болгон хувааж байгааг та амархан анзаарч болно. Радиусыг гурвалжны хажуугийн эсрэг талын өнцгийн синусын харьцааг хоёроор үржүүлснээр олж болно. Жишээлбэл, R = AE/2*sinAME. Томьёог гурвалжны аль ч талд ижил төстэй байдлаар бичиж болно.
6. Хоёрдугаар арга: трапецын диагональ, хажуу ба суурийн хэсгээс үүссэн гурвалжны талбайгаар хүрээлэгдсэн тойргийн радиусыг ол. R = AM*ME*AE/4*S AME.

Тойрог тойрон хүрээлэгдсэн трапецын шинж чанарууд

Хэрэв нэг нөхцөл хангагдсан бол та дугуйг трапец хэлбэрээр байрлуулж болно. Энэ талаар доороос уншина уу. Мөн энэ тоонуудын хослол нь хэд хэдэн сонирхолтой шинж чанартай байдаг.

1. Хэрэв тойрог нь трапец хэлбэрээр бичигдсэн бол түүний дунд шугамын уртыг талуудын уртыг нэмж, нийлбэрийг хагас болгон хуваах замаар хялбархан олох боломжтой. m = (c + d)/2.
2. Тойрог тойруулан хүрээлэгдсэн ACME трапецын хувьд суурийн уртын нийлбэр нь талуудын уртын нийлбэртэй тэнцүү байна. AK + ME = KM + AE.
3. Трапецын суурийн энэ шинж чанараас эсрэг заалт нь дараах байдалтай байна: суурийн нийлбэр нь түүний талуудын нийлбэртэй тэнцүү трапецын дотор тойрог бичиж болно.
4. Трапец хэлбэрээр бичээстэй r радиустай тойргийн шүргэгч цэг нь хажуу талыг хоёр хэрчим болгон хуваадаг тул тэдгээрийг a, b гэж нэрлэе. Тойргийн радиусыг дараахь томъёогоор тооцоолж болно. r = √ab.
5. Бас нэг өмч. Төөрөгдөл гаргахгүйн тулд энэ жишээг өөрөө зур. Бидэнд дугуй тойруулан дүрсэлсэн хуучин сайн ACME трапец байна. Энэ нь О цэг дээр огтлолцдог диагональуудыг агуулдаг. Диагональ ба хажуу талуудын сегментүүдээс үүссэн AOK ба EOM гурвалжин нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна.
   Гипотенуз руу буулгасан эдгээр гурвалжны өндөр (жишээлбэл, трапецын хажуу тал) нь бичээстэй тойргийн радиустай давхцдаг. Мөн трапецын өндөр нь бичээстэй тойргийн диаметртэй давхцдаг.

Тэгш өнцөгт трапецын шинж чанарууд

Нэг өнцөг нь зөв байвал трапецийг тэгш өнцөгт гэж нэрлэдэг. Мөн түүний шинж чанарууд нь энэ нөхцөл байдлаас үүдэлтэй.

1. Тэгш өнцөгт трапецын аль нэг тал нь сууриндаа перпендикуляр байдаг.
2. Зэргэлдээх трапецын өндөр ба хажуу тал зөв өнцөг, тэнцүү байна. Энэ нь тэгш өнцөгт трапецын талбайг тооцоолох боломжийг танд олгоно ( ерөнхий томъёо S = (a + b) * h/2) зөвхөн өндрөөр биш, харин зөв өнцгөөр зэргэлдээх хажуугаар дамжина.
3. Тэгш өнцөгт трапецын хувьд дээр дурдсан трапецын диагональуудын ерөнхий шинж чанарууд хамааралтай.

Трапецын зарим шинж чанарын нотолгоо

Хоёр талт трапецын суурь дээрх өнцгийн тэгш байдал:

• Энд бидэнд дахин AKME трапец хэрэгтэй болно гэж та аль хэдийн таамагласан байх - ижил өнцөгт трапец зур. М оройноос AK (MT || AK) талтай параллель MT шулуун зурна.

Үүссэн дөрвөлжин AKMT нь параллелограмм байна (AK || MT, KM || AT). ME = KA = MT тул ∆ MTE нь ижил өнцөгт, MET = MTE.

АК || MT, тиймээс MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME хаана байна.

Q.E.D.

Одоо ижил өнцөгт трапецын (диагональуудын тэгш байдал) шинж чанарт үндэслэн бид үүнийг баталж байна трапецын ACME нь тэгш өнцөгт юм:

• Эхлээд MX – MX || шулуун шугамыг зуръя KE. Бид KMHE параллелограммыг (суурь – MX || KE ба KM || EX) авдаг.

AM = KE = MX, MAX = MEA тул ∆AMX нь ижил өнцөгт байна.

MH || KE, KEA = MXE, тиймээс MAE = MXE.

AM = KE ба AE нь хоёр гурвалжны нийтлэг тал учраас AKE ба EMA гурвалжнууд хоорондоо тэнцүү байна. Мөн MAE = MXE. Бид AK = ME гэж дүгнэж болох бөгөөд эндээс AKME трапецын тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна.

Даалгаврыг хянана

ACME трапецын суурь нь 9 см ба 21 см, хажуугийн KA нь 8 см-тэй тэнцүү, жижиг суурьтай 150 0 өнцөг үүсгэдэг. Та трапецын талбайг олох хэрэгтэй.

Шийдэл: K оройноос бид өндрийг трапецын том суурь хүртэл бууруулна. Тэгээд трапецын өнцгийг харж эхэлцгээе.

AEM болон KAN өнцөг нь нэг талт байна. Энэ нь нийтдээ 180 0 өгдөг гэсэн үг. Тиймээс KAN = 30 0 (трапецын өнцгийн шинж чанарт үндэслэн).

Одоо тэгш өнцөгт ∆ANC-г авч үзье (энэ цэг нь нэмэлт нотлох баримтгүйгээр уншигчдад ойлгомжтой гэж би бодож байна). Үүнээс бид KH трапецын өндрийг олох болно - гурвалжинд энэ нь 30 0 өнцгийн эсрэг байрлах хөл юм. Тиймээс KN = ½AB = 4 см.

Бид трапецын талбайг томъёогоор олно: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2.

Дараах үг

Хэрэв та энэ өгүүллийг анхааралтай, нухацтай судалж үзсэн бол гартаа харандаагаар өгөгдсөн бүх шинж чанаруудын трапецийг зурж, практик дээр дүн шинжилгээ хийхээс залхуураагүй бол материалыг сайн эзэмшсэн байх ёстой.

Мэдээжийн хэрэг, энд олон янзын, заримдаа бүр будлиантай мэдээлэл байдаг: тайлбарласан трапецын шинж чанарыг бичээстэй шинж чанаруудтай төөрөлдүүлэх нь тийм ч хэцүү биш юм. Гэхдээ ялгаа асар их байгааг та өөрөө харсан.

Одоо та бүхний нарийвчилсан дүгнэлттэй байна ерөнхий шинж чанаруудтрапецууд. Түүнчлэн тэгш өнцөгт ба тэгш өнцөгт трапецын өвөрмөц шинж чанар, шинж чанарууд. Энэ нь шалгалт, шалгалтанд бэлтгэхэд ашиглахад маш тохиромжтой. Өөрөө туршиж үзээд холбоосыг найзуудтайгаа хуваалцаарай!

blog.site, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоосыг оруулах шаардлагатай.