Параллелепипедийн эсрэг талын ирмэгүүд. Хайрцагны төрлүүд

Параллелограмм гэдэг нь грекээр хавтгай гэсэн утгатай. Параллелепипед бол суурь нь параллелограмм болох призм юм. Ташуу, шулуун, тэгш өнцөгт параллелепипед гэсэн таван төрлийн параллелограмм байдаг. Шоо болон ромбоэдрон нь параллелепипедт багтдаг бөгөөд түүний төрөл зүйл юм.

Үндсэн ойлголт руу шилжихээсээ өмнө зарим тодорхойлолтыг өгье.

• Параллелепипедийн диагональ нь бие биенийхээ эсрэг байрлах параллелепипедийн оройг нэгтгэдэг сегмент юм.
• Хэрэв хоёр нүүр нь нийтлэг ирмэгтэй бол тэдгээрийг зэргэлдээ ирмэг гэж нэрлэж болно. Хэрэв нийтлэг ирмэг байхгүй бол нүүрийг эсрэг гэж нэрлэдэг.
• Нэг нүүрэн дээр байрладаггүй хоёр оройг эсрэг гэж нэрлэдэг.

Параллелепипед ямар шинж чанартай вэ?

1. Эсрэг тал дээр хэвтэж буй параллелепипедийн нүүрнүүд хоорондоо параллель бөгөөд хоорондоо тэнцүү байна.
2. Хэрэв та нэг оройноос нөгөө орой руу диагональ зурвал эдгээр диагональуудын огтлолцлын цэг нь тэдгээрийг хагасаар хуваана.
3. Суурьтай ижил өнцөгт байрлах параллелепипедийн талууд тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл, кодиректорын талуудын өнцөг нь хоорондоо тэнцүү байх болно.

Параллелепипед ямар төрлүүд байдаг вэ?

Одоо параллелепипед гэж юу болохыг олж мэдье. Дээр дурдсанчлан энэ дүрс нь хэд хэдэн төрөл байдаг: шулуун, тэгш өнцөгт, ташуу параллелепипед, түүнчлэн шоо, ромбоэдрон. Тэд бие биенээсээ юугаараа ялгаатай вэ? Энэ нь тэдгээрийг бүрдүүлдэг хавтгай, тэдгээрийн бүрдүүлдэг өнцгүүдийн тухай юм.

Параллелепипедийн жагсаасан төрөл бүрийг нарийвчлан авч үзье.

• Нэрнээс нь харахад налуу хайрцаг нь налуу нүүртэй, тухайлбал суурьтай харьцуулахад 90 градусын өнцөгт ороогүй нүүрнүүдтэй байдаг.
• Харин зөв параллелепипедийн хувьд суурь ба нүүрний хоорондох өнцөг нь ердөө ерэн градус байна. Ийм учраас энэ төрлийн параллелепипед ийм нэртэй байдаг.
• Хэрэв параллелепипедийн бүх нүүр нь ижил квадрат байвал энэ зургийг шоо гэж үзэж болно.
• Тэгш өнцөгт параллелепипед нь түүнийг бүрдүүлдэг онгоцнуудаас болж нэрээ авсан. Хэрэв тэдгээр нь бүгд тэгш өнцөгт (суурийг оруулаад) байвал энэ нь куб хэлбэртэй байна. Энэ төрлийн параллелепипед нь тийм ч түгээмэл биш юм. Грек хэлээр ромбоэдрон гэдэг нь нүүр, суурь гэсэн утгатай. Энэ бол гурван хэмжээст дүрсний нэр бөгөөд нүүр нь ромб хэлбэртэй байдаг.

Параллелепипедийн үндсэн томъёо

Параллелепипедийн эзэлхүүн нь суурийн талбайн үржвэр ба суурийн перпендикуляр өндөртэй тэнцүү байна.

Хажуугийн гадаргуугийн талбай нь суурийн периметр ба өндрийн бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байх болно.
Үндсэн тодорхойлолт, томъёог мэдсэнээр та үндсэн талбай, эзэлхүүнийг тооцоолж болно. Та өөрийн сонгосон суурийг сонгож болно. Гэхдээ дүрмээр бол тэгш өнцөгтийг суурь болгон ашигладаг.

Энэ хичээлээр хүн бүр "Тэгш өнцөгт хайрцаг" сэдвийг судлах боломжтой болно. Хичээлийн эхэнд бид дурын ба шулуун параллелепипед гэж юу болохыг давтаж, тэдгээрийн эсрэг талын нүүр ба параллелепипедийн диагональуудын шинж чанарыг эргэн санах болно. Дараа нь кубоид гэж юу болохыг авч үзээд түүний үндсэн шинж чанаруудыг авч үзэх болно.

Сэдэв: Шугаман ба хавтгайн перпендикуляр байдал

Хичээл: Кубоид

ABCD ба A 1 B 1 C 1 D 1 хоёр тэнцүү параллелограмм ба ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 дөрвөн параллелограммаас бүрдэх гадаргууг гэнэ. параллелепипед(Зураг 1).

Цагаан будаа. 1 Параллелепипед

Энэ нь: бидэнд ABCD ба A 1 B 1 C 1 D 1 (суурь) хоёр тэнцүү параллелограммууд байдаг бөгөөд тэдгээр нь зэрэгцээ хавтгайд байрладаг тул хажуугийн ирмэгүүд AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 параллель байна. Тиймээс параллелограммуудаас бүрдэх гадаргууг гэж нэрлэдэг параллелепипед.

Тиймээс параллелепипедийн гадаргуу нь параллелепипедийг бүрдүүлдэг бүх параллелограммын нийлбэр юм.

1. Параллелепипедийн эсрэг талын нүүрнүүд нь параллель ба тэнцүү байна.

(тоонууд нь тэнцүү, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийг давхарлах замаар нэгтгэж болно)

Жишээлбэл:

ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (тодорхойлолтоор тэнцүү параллелограммууд),

AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (AA 1 B 1 B ба DD 1 C 1 C нь параллелепипедийн эсрэг талын нүүр тул),

AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (AA 1 D 1 D ба BB 1 C 1 C нь параллелепипедийн эсрэг талын нүүр тул).

2. Параллелепипедийн диагональууд нэг цэгт огтлолцож, энэ цэгийг хоёр хуваана.

Параллелепипедийн диагональ AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B нь нэг O цэгт огтлолцох ба диагональ бүрийг энэ цэгээр хагасаар хуваана (Зураг 2).

Цагаан будаа. 2 Параллелепипедийн диагональууд нь огтлолцох цэгийг огтолж, хоёр хуваана.

3. Параллелепипедийн тэнцүү ба зэрэгцээ ирмэгийн гурван дөрвөлжин байдаг: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.

Тодорхойлолт. Хажуугийн ирмэг нь сууринд перпендикуляр байвал параллелепипедийг шулуун гэж нэрлэдэг.

Хажуугийн ирмэг AA 1 нь сууринд перпендикуляр байх ёстой (Зураг 3). Энэ нь AA 1 шулуун нь суурийн хавтгайд байрлах AD ба AB шулуунуудад перпендикуляр байна гэсэн үг юм. Тиймээс тэгш өнцөгтүүд нь хажуугийн нүүрэнд байрладаг. Мөн суурь нь дурын параллелограммууд юм. ∠BAD = φ гэж тэмдэглэвэл φ өнцөг нь дурын байж болно.

Цагаан будаа. 3 Баруун талын хайрцаг

Тиймээс баруун хайрцаг нь хажуугийн ирмэгүүд нь хайрцагны суурьтай перпендикуляр байрладаг хайрцаг юм.

Тодорхойлолт. Параллелепипедийг тэгш өнцөгт гэж нэрлэдэг.хэрэв түүний хажуугийн ирмэг нь сууринд перпендикуляр байвал. Суурь нь тэгш өнцөгт юм.

Параллелепипед АВСДА 1 В 1 С 1 D 1 тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна (Зураг 4) хэрэв:

1. AA 1 ⊥ ABCD (хажуугийн ирмэг нь суурийн хавтгайд перпендикуляр, өөрөөр хэлбэл шулуун параллелепипед).

2. ∠BAD = 90°, өөрөөр хэлбэл суурь нь тэгш өнцөгт юм.

Цагаан будаа. 4 Кубоид

Тэгш өнцөгт хайрцаг нь дурын хайрцагны бүх шинж чанартай байдаг.Гэхдээ байдаг нэмэлт шинж чанарууд, эдгээр нь куб хэлбэрийн тодорхойлолтоос гаралтай.

Тэгэхээр, куб хэлбэртэйхажуу ирмэг нь суурьтай перпендикуляр байрладаг параллелепипед юм. Кубоидын суурь нь тэгш өнцөгт юм.

1. Кубоидод зургаан нүүр бүгд тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна.

ABCD ба A 1 B 1 C 1 D 1 нь тодорхойлолтоор тэгш өнцөгт юм.

2. Хажуугийн хавирга нь суурьтай перпендикуляр байдаг. Энэ нь куб хэлбэрийн бүх хажуугийн нүүр нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна гэсэн үг юм.

3. Кубоидын бүх хоёр өнцөгт өнцөг нь зөв өнцөг юм.

Жишээлбэл, АВ ирмэгтэй тэгш өнцөгт параллелепипедийн хоёр талт өнцгийг, өөрөөр хэлбэл ABB 1 ба ABC хавтгайн хоорондох хоёр талт өнцгийг авч үзье.

AB нь ирмэг бөгөөд A 1 цэг нь нэг хавтгайд - ABB 1 хавтгайд, нөгөө нь D цэг нь A 1 B 1 C 1 D 1 хавтгайд байрладаг. Дараа нь авч үзсэн хоёр өнцөгт өнцгийг мөн дараах байдлаар тэмдэглэж болно: ∠А 1 АВD.

AB ирмэг дээрх А цэгийг ав. АА 1 нь ABB-1 хавтгайд АВ ирмэгтэй перпендикуляр, AD нь ABC хавтгайд АВ ирмэгтэй перпендикуляр байна. Эндээс ∠A 1 AD нь өгөгдсөн хоёр талт өнцгийн шугаман өнцөг юм. ∠A 1 AD \u003d 90 °, энэ нь AB ирмэг дээрх хоёр өнцөгт өнцөг нь 90 ° байна гэсэн үг юм.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн аль ч хоёр өнцөгт өнцөг зөв байх нь үүнтэй адил батлагдсан.

Кубоидын диагональ квадрат нийлбэртэй тэнцүү байнатүүний гурван хэмжээст квадратууд.

Анхаарна уу. Кубоидын нэг оройноос гарч буй гурван ирмэгийн урт нь куб хэлбэрийн хэмжүүр юм. Тэдгээрийг заримдаа урт, өргөн, өндөр гэж нэрлэдэг.

Өгөгдсөн: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - тэгш өнцөгт параллелепипед (Зураг 5).

Нотлох: .

Цагаан будаа. 5 Кубоид

Нотолгоо:

CC 1 шулуун нь ABC хавтгайд перпендикуляр, улмаар AC шулуунтай байна. Тэгэхээр CC 1 A гурвалжин нь тэгш өнцөгт гурвалжин юм. Пифагорын теоремын дагуу:

ABC тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье. Пифагорын теоремын дагуу:

Харин BC ба AD нь тэгш өнцөгтийн эсрэг тал юм. Тэгэхээр BC = AD. Дараа нь:

Учир нь , a , дараа нь. CC 1 = AA 1 тул юуг батлах шаардлагатай байсан.

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн диагональууд тэнцүү байна.

ABC параллелепипедийн хэмжээсийг a, b, c (6-р зургийг үз), дараа нь AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 = гэж тэмдэглэе.

Параллелепипед бол геометрийн дүрс бөгөөд бүх 6 нүүр нь параллелограмм юм.

Эдгээр параллелограммын төрлөөс хамааран байдаг дараах төрлүүдпараллелепипед:

• Чигээрээ;
• налуу;
• тэгш өнцөгт.

Баруун параллелепипед нь дөрвөлжин призм бөгөөд ирмэг нь суурь хавтгайтай 90 ° өнцөг үүсгэдэг.

Тэгш өнцөгт параллелепипед нь дөрвөн өнцөгт призм бөгөөд бүх нүүр нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байдаг. Шоо бол бүх нүүр ба ирмэгүүд нь тэнцүү дөрвөн өнцөгт призм юм.

Зургийн онцлог нь түүний шинж чанарыг урьдчилан тодорхойлдог. Үүнд дараах 4 мэдэгдлийг багтаасан болно.

Дээрх бүх шинж чанаруудыг санах нь энгийн бөгөөд тэдгээрийг ойлгоход хялбар бөгөөд геометрийн биеийн төрөл, онцлогт үндэслэн логикоор гаргаж авдаг. Гэсэн хэдий ч энгийн хэллэгүүд нь ердийн USE даалгавруудыг шийдвэрлэхэд маш их хэрэгтэй байж болох бөгөөд шалгалтыг давахад шаардагдах цагийг хэмнэх болно.

Параллелепипед томъёо

Асуудлын хариултыг олохын тулд зөвхөн зургийн шинж чанарыг мэдэх нь хангалтгүй юм. Мөн геометрийн биеийн талбай, эзэлхүүнийг олохын тулд зарим томъёо хэрэгтэй байж магадгүй юм.

Суурийн талбайг параллелограмм эсвэл тэгш өнцөгтийн харгалзах үзүүлэлт гэж бас олдог. Та параллелограммын суурийг өөрөө сонгож болно. Дүрмээр бол асуудлыг шийдэхдээ тэгш өнцөгт дээр суурилсан призмтэй ажиллах нь илүү хялбар байдаг.

Туршилтын даалгаварт параллелепипедийн хажуугийн гадаргууг олох томъёо шаардлагатай байж болно.

Ердийн USE даалгавруудыг шийдвэрлэх жишээ

Дасгал 1.

Өгсөн: 3, 4, 12 см хэмжээтэй куб хэлбэртэй.
ШаардлагатайЗургийн гол диагональуудын аль нэгний уртыг ол.
Шийдэл: Геометрийн асуудлыг шийдэх аливаа шийдэл нь зөв бөгөөд тодорхой зураг зурахаас эхлэх ёстой бөгөөд үүн дээр "өгөгдсөн" болон хүссэн утгыг зааж өгнө. Доорх зураг нь жишээ юм зөв дизайнажлын нөхцөл.

Хийсэн зургийг судалж, геометрийн биеийн бүх шинж чанарыг санаж, бид цорын ганц зүйлд хүрнэ зөв замшийдлүүд. Параллелепипедийн 4-р шинж чанарыг ашигласнаар бид дараах илэрхийллийг олж авна.

Энгийн тооцоолол хийсний дараа бид b2=169 илэрхийллийг олж авна, тиймээс b=13. Даалгаврын хариулт олдсон тул хайж олох, зурахад 5 минутаас хэтрэхгүй хугацаа шаардагдана.

Ихэнхдээ оюутнууд "Энэ нь амьдралд надад ямар хэрэг болох вэ?" Гэж уурлаж асуудаг. Сэдэв бүрийн аль ч сэдвээр. Параллелепипедийн эзлэхүүний тухай сэдэв нь үл хамаарах зүйл биш юм. Мөн энд зүгээр л хэлэх боломжтой: "Энэ нь хэрэг болно."

Жишээлбэл, илгээмж шуудангийн хайрцагт багтах эсэхийг яаж мэдэх вэ? Мэдээжийн хэрэг та туршилт, алдаагаар зөвийг нь сонгож болно. Хэрэв тийм боломж байхгүй бол яах вэ? Дараа нь тооцоолол нь аврах ажилд ирнэ. Хайрцагны багтаамжийг мэдсэнээр та илгээмжийн эзэлхүүнийг (дор хаяж ойролцоогоор) тооцоолж, асуултанд хариулж болно.

Параллелепипед ба түүний төрлүүд

Хэрэв бид түүний нэрийг эртний Грек хэлнээс шууд орчуулбал энэ нь параллель онгоцуудаас бүрдсэн дүрс болох нь харагдаж байна. Параллелепипедийн ижил төстэй тодорхойлолтууд байдаг.

• параллелограмм хэлбэрийн суурьтай призм;
• олон өнцөгт, нүүр бүр нь параллелограмм.

Түүний төрлүүд нь аль дүрс нь түүний суурь дээр байрлах, хажуугийн хавирга хэрхэн чиглүүлж байгаагаас хамааран ялгагдана. AT ерөнхий тохиолдолтухай ярьж байна ташуу параллелепипедсуурь ба бүх нүүр нь параллелограммууд. Хэрэв өмнөх үзэмжийн хажуугийн нүүрнүүд тэгш өнцөгт хэлбэртэй бол түүнийг аль хэдийн дуудах шаардлагатай болно шууд. Мөн цагт тэгш өнцөгтМөн суурь нь 90º өнцөгтэй.

Түүгээр ч барахгүй геометрийн хувьд тэд сүүлчийнх нь бүх ирмэгүүд параллель байгаа нь мэдэгдэхүйц байхаар дүрслэхийг хичээдэг. Дашрамд хэлэхэд математикч, зураачдын хоорондох гол ялгаа энд ажиглагдаж байна. Сүүлийнх нь хэтийн төлөвийн хуулийн дагуу биеийг дамжуулах нь чухал юм. Мөн энэ тохиолдолд ирмэгүүдийн зэрэгцээ байдал нь бүрэн үл үзэгдэх болно.

Оруулсан тэмдэглэгээний тухай

Доорх томъёонд хүснэгтэд заасан тэмдэглэгээ хүчинтэй байна.

Ташуу хайрцагны томъёо

Бүс нутгийн хувьд эхний болон хоёрдугаарт:

Гурав дахь нь хайрцагны эзэлхүүнийг тооцоолоход зориулагдсан:

Суурь нь параллелограмм тул түүний талбайг тооцоолохын тулд та тохирох илэрхийллийг ашиглах хэрэгтэй болно.

Кубоидын томъёо

Эхний догол мөртэй адил - талбайн хоёр томъёо:

Мөн эзлэхүүний хувьд өөр нэг зүйл:

Эхний даалгавар

Нөхцөл байдал. Эзлэхүүнийг олох тэгш өнцөгт параллелепипед өгөгдсөн. Диагональ нь мэдэгдэж байгаа - 18 см - бөгөөд энэ нь хажуугийн нүүрний хавтгай ба хажуугийн ирмэгтэй тус тус 30 ба 45 градусын өнцөг үүсгэдэг.

Шийдэл.Асуудлын асуултанд хариулахын тулд та гурван тэгш өнцөгт гурвалжны бүх талыг олох хэрэгтэй. Тэд эзлэхүүнийг тооцоолоход шаардлагатай ирмэгийн утгыг өгөх болно.

Эхлээд та 30º өнцөг хаана байгааг олж мэдэх хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд параллелограммын үндсэн диагональ зурсан оройноос хажуугийн нүүрний диагональ зурах хэрэгтэй. Тэдний хоорондох өнцөг нь танд хэрэгтэй зүйл байх болно.

Суурийн аль нэг талыг өгөх эхний гурвалжин нь дараах байдалтай байна. Энэ нь хүссэн тал болон зурсан хоёр диагональуудыг агуулдаг. Энэ нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй. Одоо та эсрэг талын хөл (суурь тал) ба гипотенузын (диагональ) харьцааг ашиглах хэрэгтэй. Энэ нь 30º-ийн синустай тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл, суурийн үл мэдэгдэх талыг диагональ нь 30º эсвэл ½-ийн синусаар үржүүлсэнээр тодорхойлогдоно. Үүнийг "а" үсгээр тэмдэглэнэ үү.

Хоёр дахь нь мэдэгдэж буй диагональ ба 45º хэлбэртэй ирмэгийг агуулсан гурвалжин байх болно. Энэ нь мөн тэгш өнцөгт хэлбэртэй бөгөөд та хөлний гипотенузын харьцааг дахин ашиглаж болно. Өөрөөр хэлбэл, хажуугийн ирмэгийг диагональ руу чиглүүлнэ. Энэ нь 45º косинустай тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл, "c" нь диагональ ба косинусын 45º-ийн үржвэр гэж тооцогддог.

c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (см).

Ижил гурвалжинд та өөр хөл олох хэрэгтэй. Гурав дахь үл мэдэгдэх - "д"-ийг тооцоолохын тулд энэ нь зайлшгүй шаардлагатай. Үүнийг "x" үсгээр тэмдэглэнэ үү. Пифагорын теоремыг ашиглан тооцоолоход хялбар байдаг.

x \u003d √ (18 2 - (9 √ 2) 2) \u003d 9 √ 2 (см).

Одоо бид өөр нэг тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзэх хэрэгтэй. Энэ нь аль хэдийн агуулж байна алдартай үдэшлэгүүд"s", "x" ба тоолох шаардлагатай "in":

c \u003d √ ((9 √ 2) 2 - 9 2 \u003d 9 (см).

Гурван хэмжигдэхүүн бүгд мэдэгдэж байна. Та эзлэхүүний томъёог ашиглаж, тооцоолж болно:

V \u003d 9 * 9 * 9√2 \u003d 729√2 (см 3).

Хариулт:параллелепипедийн эзэлхүүн 729√2 см 3 .

Хоёр дахь даалгавар

Нөхцөл байдал. Параллелепипедийн эзэлхүүнийг ол. Тэрээр параллелограммын суурь дээр байрлах 3 ба 6 см-ийн талууд, түүнчлэн түүний хурц өнцөг - 45º-ийг мэддэг. Хажуугийн хавирга нь суурь руу 30º налуу бөгөөд 4 см-тэй тэнцүү байна.

Шийдэл.Асуудлын асуултанд хариулахын тулд та налуу параллелепипедийн эзэлхүүний хувьд бичсэн томъёог авах хэрэгтэй. Гэхдээ энэ хоёр хэмжээ нь тодорхойгүй байна.

Суурийн талбай, өөрөөр хэлбэл параллелограммыг мэдэгдэж буй талууд ба тэдгээрийн хоорондох хурц өнцгийн синусыг үржүүлэх шаардлагатай томъёогоор тодорхойлно.

S o \u003d 3 * 6 нүгэл 45º \u003d 18 * (√2) / 2 \u003d 9 √2 (см 2).

Хоёр дахь үл мэдэгдэх зүйл бол өндөр юм. Суурийн дээрх дөрвөн оройн аль нэгээс нь зурж болно. Үүнийг тэгш өнцөгт гурвалжнаас олж болно, түүний өндөр нь хөл, хажуугийн ирмэг нь гипотенуз юм. Энэ тохиолдолд 30º өнцөг нь үл мэдэгдэх өндрийн эсрэг байрлана. Тиймээс та хөлний гипотенузын харьцааг ашиглаж болно.

n \u003d 4 * гэм 30º \u003d 4 * 1/2 \u003d 2.

Одоо бүх утгууд мэдэгдэж байгаа бөгөөд та эзлэхүүнийг тооцоолж болно:

V \u003d 9 √2 * 2 \u003d 18 √2 (см 3).

Хариулт:эзэлхүүн нь 18 √2 см 3 .

Гурав дахь даалгавар

Нөхцөл байдал. Хэрэв параллелепипед нь шулуун байх нь тодорхой бол түүний эзлэхүүнийг ол. Суурийн талууд нь параллелограммыг үүсгэдэг ба 2 ба 3 см-тэй тэнцүү бөгөөд тэдгээрийн хоорондох хурц өнцөг нь 60º байна. Параллелепипедийн жижиг диагональ нь суурийн том диагональтай тэнцүү байна.

Шийдэл.Параллелепипедийн эзэлхүүнийг олохын тулд бид суурийн талбай ба өндрийн томъёог ашиглана. Хоёр хэмжигдэхүүн нь тодорхойгүй боловч тооцоолоход хялбар байдаг. Эхнийх нь өндөр юм.

Параллелепипедийн жижиг диагональ нь том суурьтай ижил хэмжээтэй тул тэдгээрийг ижил d үсгээр тэмдэглэж болно. Параллелограммын хамгийн том өнцөг нь 120º, учир нь энэ нь хурц өнцөгтэй 180º-ийг үүсгэдэг. Суурийн хоёр дахь диагональыг "х" үсгээр тэмдэглэе. Одоо суурийн хоёр диагональуудын хувьд косинусын теоремуудыг бичиж болно:

d 2 \u003d a 2 + in 2 - 2av cos 120º,

x 2 \u003d a 2 + in 2 - 2ab cos 60º.

Квадратгүйгээр утгыг олох нь утгагүй бөгөөд тэр цагаас хойш тэд дахин хоёр дахь зэрэглэлд нэмэгдэх болно. Өгөгдлийг орлуулсны дараа дараахь зүйл гарч ирнэ.

d 2 \u003d 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º \u003d 4 + 9 + 12 * ½ \u003d 19,

x 2 \u003d a 2 + in 2 - 2ab cos 60º \u003d 4 + 9 - 12 * ½ \u003d 7.

Одоо параллелепипедийн хажуугийн ирмэг болох өндөр нь гурвалжин дахь хөл болно. Гипотенуз нь биеийн мэдэгдэж буй диагональ байх ба хоёр дахь хөл нь "x" байх болно. Та Пифагорын теоремыг бичиж болно:

n 2 \u003d d 2 - x 2 \u003d 19 - 7 \u003d 12.

Эндээс: n = √12 = 2√3 (см).

Одоо хоёр дахь үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүн бол суурийн талбай юм. Үүнийг хоёр дахь асуудалд дурдсан томъёогоор тооцоолж болно.

S o \u003d 2 * 3 нүгэл 60º \u003d 6 * √3/2 \u003d 3 √3 (см 2).

Бүх зүйлийг эзэлхүүний томъёонд нэгтгэснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.

V = 3√3 * 2√3 = 18 (см 3).

Хариулт: V \u003d 18 см 3.

Дөрөв дэх даалгавар

Нөхцөл байдал. Дараах нөхцлийг хангасан параллелепипедийн эзэлхүүнийг олж мэдэх шаардлагатай: суурь нь 5 см-ийн талтай дөрвөлжин; хажуугийн нүүр нь ромб хэлбэртэй; суурийн дээрх оройн аль нэг нь сууринд байрлах бүх оройноос ижил зайд байна.

Шийдэл.Эхлээд та нөхцөл байдлыг шийдвэрлэх хэрэгтэй. Талбайн тухай эхний догол мөртэй асуулт байхгүй. Хоёр дахь нь ромбуудын тухай параллелепипед налуу байгааг тодорхой харуулж байна. Түүнээс гадна ромбын талууд ижил тул түүний бүх ирмэг нь 5 см-тэй тэнцүү байна. Гурав дахь нь үүнээс зурсан гурван диагональ тэнцүү болох нь тодорхой болно. Эдгээр нь хажуугийн нүүрэн дээр байрладаг хоёр бөгөөд сүүлчийнх нь параллелепипед дотор байдаг. Мөн эдгээр диагональ нь ирмэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл тэд бас 5 см урттай байдаг.

Эзлэхүүнийг тодорхойлохын тулд та налуу параллелепипедийн хувьд бичсэн томъёо хэрэгтэй болно. Дахин хэлэхэд, үүнд тодорхой тоо хэмжээ байхгүй байна. Гэсэн хэдий ч дөрвөлжин хэлбэртэй тул суурийн талбайг тооцоолоход хялбар байдаг.

S o \u003d 5 2 \u003d 25 (см 2).

Өндөр нь арай илүү хэцүү байдаг. Энэ нь гурван зурагт байх болно: параллелепипед, дөрвөлжин пирамидболон тэгш өнцөгт гурвалжин. Сүүлийн нөхцөл байдлыг ашиглах хэрэгтэй.

Энэ нь өндөр учраас хөл нь дотогш ордог зөв гурвалжин. Түүний доторх гипотенуз нь мэдэгдэж буй ирмэг байх бөгөөд хоёр дахь хөл нь дөрвөлжингийн диагоналын хагастай тэнцүү байна (өндөр нь бас медиан). Мөн суурийн диагональ олоход хялбар байдаг:

d = √(2 * 5 2) = 5√2 (см).

Өндөрийг ирмэгийн хоёр дахь зэрэг ба диагональын хагасын квадратын зөрүүгээр тооцоолох шаардлагатай бөгөөд квадрат үндсийг гаргаж авахаа бүү мартаарай.

n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2.5 √2 (см).

V \u003d 25 * 2.5 √2 \u003d 62.5 √2 (см 3).

Хариулт: 62.5 √2 (см 3).

куб хэлбэртэй

Кубоид нь бүх нүүр нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй тэгш өнцөгт хэлбэртэй дөрвөлжин хэлбэр юм.

Бидний эргэн тойронд харахад хангалттай бөгөөд бидний эргэн тойрон дахь объектууд параллелепипедтэй төстэй хэлбэртэй болохыг харах болно. Тэдгээр нь өнгөөрөө ялгаатай, масстай байж болно нэмэлт мэдээлэл, гэхдээ эдгээр нарийн ширийн зүйлсийг хаясан бол жишээлбэл, шүүгээ, хайрцаг гэх мэт нь ойролцоогоор ижил хэлбэртэй байна гэж хэлж болно.

Бид тэгш өнцөгт параллелепипед гэсэн ойлголттой бараг өдөр бүр тааралддаг! Эргэн тойрноо хараад, тэгш өнцөгт хайрцагнууд хаана байгааг надад хэлээч? Номыг хараарай, учир нь энэ нь яг ийм хэлбэр юм! Тоосго нь ижил хэлбэртэй, Шүдэнзний хайрцаг, модон блок, яг одоо ч гэсэн та тэгш өнцөгт хайрцаг дотор байна, учир нь анги бол үүний хамгийн тод тайлбар юм. геометрийн дүрс.

Дасгал:Та параллелепипедийн ямар жишээг нэрлэж чадах вэ?

Кубоидыг илүү нарийвчлан авч үзье. Тэгээд бид юу харж байна вэ?

Нэгдүгээрт, энэ дүрс нь куб хэлбэрийн нүүр болох зургаан тэгш өнцөгтөөс үүссэн болохыг бид харж байна;

Хоёрдугаарт, кубоид нь найман орой, арван хоёр ирмэгтэй. Кубоидын ирмэг нь түүний нүүрний хажуу талууд, шоо хэлбэрийн орой нь нүүрний орой юм.

Дасгал:

1. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн нүүр тус бүрийг юу гэж нэрлэдэг вэ? 2. Параллелограммыг ямар үзүүлэлтээр хэмжиж болох вэ? 3. Эсрэг нүүр царайг тодорхойлох.

Параллелепипедийн төрлүүд

Гэхдээ параллелепипедүүд нь зөвхөн тэгш өнцөгт төдийгүй шулуун ба налуу байж болох бөгөөд шулуун шугамууд нь тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт бус, шоо гэж хуваагддаг.

Даалгавар: Зургийг хараад ямар параллелепипедүүд байгааг хэл. Кубоид нь кубаас юугаараа ялгаатай вэ?

Кубоидын шинж чанарууд

Тэгш өнцөгт параллелепипед нь хэд хэдэн чухал шинж чанартай байдаг.

Нэгдүгээрт, энэ геометрийн дүрсийн диагональ квадрат нь түүний өндөр, өргөн, урт гэсэн гурван үндсэн параметрийн квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Хоёрдугаарт, түүний дөрвөн диагональ бүгд ижил байна.

Гуравдугаарт, хэрэв параллелепипедийн гурван параметр бүгд ижил, өөрөөр хэлбэл урт, өргөн, өндөр нь тэнцүү бол ийм параллелепипедийг шоо гэж нэрлэдэг бөгөөд түүний бүх нүүр нь ижил квадраттай тэнцүү байна.

Дасгал хийх

1. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн нүүр нь тэнцүү үү? Хэрэв байгаа бол тэдгээрийг зурган дээр харуул. 2. Юунаас геометрийн хэлбэрүүдтэгш өнцөгт параллелепипедийн нүүрнүүд мөн үү? 3. Тэнцүү царайг бие биентэйгээ уялдуулан байрлуулах нь юу вэ? 4. Энэ дүрсийн ижил нүүрний хосуудын тоог нэрлэнэ үү. 5. Кубоидын урт, өргөн, өндрийг харуулсан ирмэгийг ол. Та хэд тоосон бэ?

Даалгавар

Ээждээ төрсөн өдрийн бэлгийг сайхан зохион байгуулахын тулд Таня тэгш өнцөгт параллелепипед хэлбэртэй хайрцаг авав. Энэ хайрцагны хэмжээ 25см*35см*45см байна. Энэ багцыг үзэсгэлэнтэй болгохын тулд Таня үүнийг сайхан цаасаар бүрхэхээр шийдсэн бөгөөд үнэ нь 1 дм2 тутамд 3 гривен юм. Боодлын цаасанд хэр их мөнгө зарцуулах шаардлагатай вэ?

Алдарт хуурмагчин Дэвид Блэйн туршилтын хүрээнд Темза мөрний дээгүүр өлгөөтэй шилэн хайрцагт 44 хоног өнгөрснийг та мэдэх үү. Энэ 44 хоногт тэр хоол идээгүй, зөвхөн ус уусан. Сайн дурын хорих ангидаа Дэвид зөвхөн бичгийн хэрэгсэл, дэр, гудас, алчуур зэргийг авчээ.