සංඛ්යාත්මක අසමානතා සහ ඒවායේ ගුණාංග. මාර්ගගත ගණක යන්ත්‍රය. අසමානතා විසඳීම: රේඛීය, චතුරස්රාකාර සහ භාගික
සියලුම තාත්වික සංඛ්යා කට්ටල තුනක එකතුවක් ලෙස නිරූපණය කළ හැකිය: ධන සංඛ්යා කට්ටලය, සෘණ සංඛ්යා කට්ටලය සහ එක් අංකයකින් සමන්විත කට්ටලය - සංඛ්යා ශුන්‍යය. අංකය බව දැක්වීමට ඒධනාත්මක, පටිගත කිරීම භාවිතා කරන්න a > 0, සෘණ අංකයක් දැක්වීමට වෙනත් අංකනයක් භාවිතා කරන්න ඒ< 0 .
ධන සංඛ්‍යාවල එකතුව සහ ගුණිතය ද ධන සංඛ්යා වේ. අංකය නම් ඒසෘණ, පසුව අංකය -ඒධනාත්මක (සහ අනෙක් අතට). ඕනෑම ධන සංඛ්‍යාවක් සඳහා ධන තාර්කික සංඛ්‍යාවක් ඇත ආර්, කුමක් ද ආර්< а . මෙම කරුණු අසමානතා න්‍යායට යටින් පවතී.
නිර්වචනය අනුව, අසමානතාවය a > b (හෝ, එයම වන්නේ කුමක්ද, b< a) имеет место в том и только в том случае, если а - b >0, එනම් a - b අංකය ධන නම්.
විශේෂයෙන්ම අසමානතාවය සලකා බලන්න ඒ< 0 . මෙම අසමානතාවයෙන් අදහස් කරන්නේ කුමක්ද? ඉහත නිර්වචනයට අනුව, එයින් අදහස් වන්නේ එයයි 0 - a > 0, i.e. -a > 0හෝ, වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, අංකය කුමක්ද -ඒධනාත්මකව. නමුත් මෙය සිදු වන්නේ නම් සහ අංකය නම් පමණි ඒසෘණ. එබැවින් අසමානතාවය ඒ< 0 යන්නෙන් අදහස් වන්නේ අංකයයි නමුත් සෘණ.
අංකනය ද බොහෝ විට භාවිතා වේ ab(නැතහොත්, සමාන වන්නේ කුමක්ද, බා).
වාර්තාව ab, නිර්වචනය අනුව, එය එක්කෝ අදහස් වේ a > b, හෝ a = b. අපි වාර්තාව සලකා බැලුවහොත් abඅවිනිශ්චිත ප්රකාශයක් ලෙස, පසුව ගණිතමය තර්කනයේ අංකනයේදී අපට ලිවිය හැකිය
(a b) [(a > b) V (a = b)]
උදාහරණ 1.අසමානතා 5 0, 0 0 ඇත්තද?
අසමානතාවය 5 0 යනු තාර්කික සම්බන්ධක "හෝ" (විසන්ධි කිරීම) මගින් සම්බන්ධ කර ඇති සරල ප්රකාශ දෙකකින් සමන්විත සංකීර්ණ ප්රකාශයකි. 5 > 0 හෝ 5 = 0. පළමු ප්‍රකාශය 5 > 0 සත්ය වේ, දෙවන ප්‍රකාශය 5 = 0 අසත්‍ය වේ. විසංයෝජනයක නිර්වචනය අනුව, එවැනි සංකීර්ණ ප්රකාශයක් සත්ය වේ.
ඇතුල්වීම 00 ඒ හා සමානව සාකච්ඡා කෙරේ.
පෝරමයේ අසමානතා a > b, a< b අපි ඒවා දැඩි ලෙස හඳුන්වනු ඇත, සහ ආකෘතියේ අසමානතාවයන් ab,ab- දැඩි නොවේ.
අසමානතා a > bසහ c > d(හෝ ඒ< b සහ සමග< d ) එකම අර්ථයේ අසමානතා සහ අසමානතා ලෙස හැඳින්වේ a > bසහ c< d - ප්රතිවිරුද්ධ අර්ථයේ අසමානතා. මෙම පද දෙක (එකම සහ ප්රතිවිරුද්ධ අර්ථයේ අසමානතා) යොමු වන්නේ අසමානතා ලිවීමේ ස්වරූපයට පමණක් වන අතර, මෙම අසමානතාවයන් විසින් ප්රකාශ කරන ලද කරුණු නොවේ. ඉතින්, අසමානතාවය සම්බන්ධයෙන් ඒ< b අසමානතාවය සමග< d යනු එකම අර්ථයේ අසමානතාවයකි, සහ අංකනය තුළ d>c(එකම අර්ථය) - ප්රතිවිරුද්ධ අර්ථයේ අසමානතාවය.
පෝරමයේ අසමානතාවයන් සමඟ a>b, abඊනියා ද්විත්ව අසමානතාවයන් භාවිතා කරනු ලැබේ, එනම්, ආකෘතියේ අසමානතාවයන් ඒ< с < b
, ac< b
, ඒ< cb
,
ඒcb. නිර්වචනය අනුව, වාර්තාවක්
ඒ< с < b
(1)
අසමානතා දෙකම පවතින බවයි.
ඒ< с සහ සමග< b.
අසමානතාවයන්ට සමාන අර්ථයක් ඇත acb, ac< b, а < сb.
ද්විත්ව අසමානතාවය (1) පහත පරිදි ලිවිය හැකිය:
(ඒ< c < b) [(a < c) & (c < b)]
සහ ද්විත්ව අසමානතාවය a ≤ c ≤ bපහත දැක්වෙන ආකාරයෙන් ලිවිය හැකිය:
(a c b) [(a< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)]
මෙම ලිපියේ අකුරු බවට එකඟ වී, අසමානතා පිළිබඳ මූලික ගුණාංග සහ ක්‍රියාකාරී රීති ඉදිරිපත් කිරීමට අපි දැන් ඉදිරියට යමු. a, b, cසැබෑ සංඛ්යා සඳහා පෙනී සිටින්න, සහ nයන්නෙන් අදහස් වන්නේ ස්වභාවික අංකයයි.
1) a > b සහ b > c නම්, a > c (සංක්‍රාන්තිතාව).
සාක්ෂි.
කොන්දේසිය අනුව සිට a > bසහ b > c, පසුව සංඛ්යා a - bසහ b - cධනාත්මක වන අතර එම නිසා අංකය a - c = (a - b) + (b - c), ධන සංඛ්යා එකතුව ලෙස, ද ධන වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ, අර්ථ දැක්වීම අනුව, එයයි a > c.
2) a > b නම්, ඕනෑම c සඳහා a + c > b + c අසමානතාවය පවතී.
සාක්ෂි.
නිසා a > b, පසුව අංකය a - bධනාත්මකව. එබැවින්, අංකය (a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - bධනාත්මක ද වේ, i.e.
a + c > b + c.
3) a + b > c නම්, a > b - c,එනම්, මෙම පදයේ ලකුණ ප්රතිවිරුද්ධ ලෙස වෙනස් කිරීමෙන් ඕනෑම පදයක් අසමානතාවයේ එක් කොටසකින් තවත් කොටසකට මාරු කළ හැකිය.
සාක්ෂිය දේපල වලින් පහත දැක්වේ 2) එය අසමානතාවයේ දෙපැත්තටම ප්රමාණවත් වේ a + b > cඅංකය එකතු කරන්න - බී.
4) a > b සහ c > d නම්, a + c > b + d,එනම් එකම අර්ථයේ අසමානතා දෙකක් එකතු කළ විට එකම අර්ථයේ අසමානතාවයක් ලැබේ.
සාක්ෂි.
අසමානතාවයේ නිර්වචනය අනුව, වෙනස පෙන්නුම් කිරීම ප්රමාණවත්ය
(a + c) - (b + c)ධනාත්මක. මෙම වෙනස පහත පරිදි ලිවිය හැකිය:
(a + c) - (b + d) = (a - b) + (c - d).
අංකයේ තත්ත්වය අනුව සිට a - bසහ c - dධනාත්මක වේ, එසේ නම් (a + c) - (b + d)ධනාත්මක අංකයක් ද ඇත.
ප්රතිවිපාකය. 2) සහ 4) රීති වලින් එය පහත දැක්වේ ඊළඟ රීතියඅසමානතා අඩු කිරීම: නම් a > b, c > d, එම a - d > b - c(සාක්ෂි සඳහා අසමානතාවයේ දෙපැත්තම යෙදීම ප්රමාණවත් වේ a + c > b + dඅංකය එකතු කරන්න - ඇ - ඩී).
5) a > b නම්, c > 0 සඳහා අපට ac > bc සහ c සඳහා ඇත< 0 имеем ас < bc.
වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, අසමානතාවයේ දෙපැත්තම ගුණ කරන විට, ධනාත්මක සංඛ්‍යාවක් වත්, අසමානතාවයේ ලකුණ ආරක්ෂා වේ (එනම්, එකම අර්ථය සහිත අසමානතාවයක් ලබා ගනී), නමුත් ගුණ කිරීමේදී සෘණ අංකයක්අසමානතා ලකුණ ප්රතිවිරුද්ධ දෙයට වෙනස් වේ (එනම්, ප්රතිවිරුද්ධ අර්ථයේ අසමානතාවයක් ලබා ගනී.
සාක්ෂි.
නම් a > b, එම a - bධන අංකයකි. එබැවින්, වෙනසෙහි ලකුණ ac-bc = කැබ් රථය)අංකයේ ලකුණට ගැලපේ සමග: නම් සමගධනාත්මක අංකයක්, එවිට වෙනස ac - bcධනාත්මක වන අතර එබැවින් ac > bc, සහ නම් සමග< 0 , එවිට මෙම වෙනස ඍණාත්මක වන අතර එබැවින් bc - acධනාත්මක, i.e. bc > ac.
6) a > b > 0 සහ c > d > 0 නම්, ac > bd,එනම්, එකම අර්ථයේ අසමානතා දෙකක සියලුම පද ධනාත්මක නම්, මෙම අසමානතාවයන් පදයෙන් ගුණ කළ විට, එකම අර්ථයේ අසමානතාවයක් ලැබේ.
සාක්ෂි.
අපිට තියෙනවා ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d). නිසා c > 0, b > 0, a - b > 0, c - d > 0, පසුව ac - bd > 0, i.e ac > bd.
අදහස් දක්වන්න.එම තත්ත්වය බව ඔප්පු කිරීමෙන් පැහැදිලි වේ d > 0දේපල සැකසීමේදී 6) වැදගත් නොවේ: මෙම දේපල වලංගු වීමට නම්, කොන්දේසි සපුරාලීම ප්රමාණවත් වේ a > b > 0, c > d, c > 0. (අසමානතාවයන් සපුරා ඇත්නම් a > b, c > d) අංක a, b, cසියල්ල ධනාත්මක නොවනු ඇත, එවිට අසමානතාවය ac > bdඉටු නොවිය හැක. උදාහරණයක් ලෙස, කවදාද ඒ = 2, බී =1, c= -2, ඈ= -3 අප සතුව ඇත a > b, c > ඈ, නමුත් අසමානතාවය ac > bd(එනම් -4 > -3) අසාර්ථක විය. මේ අනුව, දේපල 6) සැකසීමේදී a, b, c අංක ධනාත්මක විය යුතු බවට අවශ්‍යතාවය අත්‍යවශ්‍ය වේ.
7) a ≥ b > 0 සහ c > d > 0 නම්, (අසමානතා බෙදීම).
සාක්ෂි.
අපිට තියෙනවා 
දකුණු පැත්තේ භාගයේ අංකනය ධන වේ (ගුණාංග 5 බලන්න), 6)), හරය ද ධන වේ. එබැවින්,. මෙය දේපල ඔප්පු කරයි 7).
අදහස් දක්වන්න.වැදගත් කරුණක් සටහන් කරමු විශේෂ අවස්ථාවක්රීතිය 7), a = b = 1 විට ලබා ගනී: c > d > 0 නම්, එවිට. මේ අනුව, අසමානතාවයේ නියමයන් ධනාත්මක නම්, ප්රතිවිරෝධතා වෙත ගමන් කරන විට අපි ප්රතිවිරුද්ධ අර්ථයේ අසමානතාවයක් ලබා ගනිමු. මෙම රීතිය 7 හි ද පවතින බව පරීක්ෂා කිරීමට අපි පාඨකයන්ට ආරාධනා කරමු) ab > 0 සහ c > d > 0 නම්, (අසමානතා බෙදීම).
සාක්ෂි. එම.
ලකුණ භාවිතයෙන් ලියා ඇති අසමානතාවයේ ගුණාංග කිහිපයක් අපි ඉහත ඔප්පු කර ඇත්තෙමු > (තව). කෙසේ වෙතත්, මෙම සියලු ගුණාංග ලකුණ භාවිතයෙන් සකස් කළ හැකිය < (අඩු), අසමානතාවයේ සිට බී< а අර්ථ දැක්වීම අනුව, අසමානතාවයට සමාන වේ a > b. ඊට අමතරව, සත්‍යාපනය කිරීමට පහසු වන පරිදි, ඉහත ඔප්පු කර ඇති ගුණාංග ද දැඩි නොවන අසමානතා සඳහා සංරක්ෂණය කර ඇත. උදාහරණයක් ලෙස, දේපල 1) දැඩි නොවන අසමානතා සඳහා ඇත ඊළඟ දර්ශනය: නම් ab සහ bc, එම ac.
ඇත්ත වශයෙන්ම, ඉහත අසමානතාවයේ පොදු ගුණාංග සීමා නොකරයි. ද ඇත සම්පූර්ණ රේඛාවඅසමානතා සාමාන්ය දැක්මබලය, ඝාතීය, ලඝුගණක සහ ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත. සාමාන්ය ප්රවේශයමේ ආකාරයේ අසමානතා ලිවීම සඳහා පහත පරිදි වේ. යම් කාර්යයක් නම් y = f(x)කොටස මත ඒකාකාරී ලෙස වැඩි වේ [a, b], පසුව x 1 > x 2 සඳහා (මෙම කොටසට x 1 සහ x 2 අයත් වේ) අපට f (x 1) > f(x 2) ඒ හා සමානව, කාර්යය නම් y = f(x)පරතරය මත ඒකාකාරී ලෙස අඩු වේ [a, b], එහෙනම් කවද්ද x 1 > x 2 (කොහේ x 1සහ x 2 මෙම කොටසට අයත් වේ) අප සතුව ඇත f(x 1)< f(x 2 ) ඇත්ත වශයෙන්ම, පවසා ඇති දේ ඒකාකාරීත්වයේ නිර්වචනයට වඩා වෙනස් නොවේ, නමුත් මෙම තාක්ෂණය අසමානතාවයන් මතක තබා ගැනීම සහ ලිවීම සඳහා ඉතා පහසු වේ.
උදාහරණයක් ලෙස, ශ්‍රිතයේ ඕනෑම ස්වාභාවික සංඛ්‍යාවක් සඳහා y = x nකිරණ දිගේ ඒකාකාරී ලෙස වැඩි වේ . පහත උදාහරණය එවැනි වරහන් භාවිතා කරයි.
අපි පිළිතුර ලියන්නෙමු: x ≥ -0,5 කාල පරතරයන්හිදී:
x ∈ [-0.5; +∞)
කියවන්නේ: x ඍණ 0.5 සිට පරතරයට අයත් වේ, ඇතුළු, plus අනන්තය දක්වා.
අනන්තය කිසි විටෙකත් සක්‍රිය කළ නොහැක. එය අංකයක් නොවේ, එය සංකේතයකි. එබැවින්, එවැනි අංකනයන්හි, අනන්තය සෑම විටම වරහන් එකකට යාබදව පවතී.
මෙම පටිගත කිරීමේ ආකෘතිය අවකාශයන් කිහිපයකින් සමන්විත සංකීර්ණ පිළිතුරු සඳහා පහසු වේ. නමුත් - අවසාන පිළිතුරු සඳහා පමණි. තව දුරටත් විසඳුමක් අපේක්ෂා කරන අතරමැදි ප්රතිඵලවලදී, සරල අසමානතාවයේ ස්වරූපයෙන් සුපුරුදු ආකෘතිය භාවිතා කිරීම වඩා හොඳය. අපි මේ සම්බන්ධයෙන් අදාළ මාතෘකා තුළ කටයුතු කරන්නෙමු.
අසමානතාවයන් සහිත ජනප්රිය කාර්යයන්.
රේඛීය අසමානතාවයන්ම සරලයි. එමනිසා, කාර්යයන් බොහෝ විට වඩාත් අපහසු වේ. එබැවින් එය සිතා බැලීම අවශ්ය විය. මෙය, ඔබ එය භාවිතා නොකළේ නම්, ඉතා ප්රසන්න නොවේ.) නමුත් එය ප්රයෝජනවත් වේ. මම එවැනි කාර්යයන් සඳහා උදාහරණ පෙන්වන්නම්. ඔබට ඒවා ඉගෙන ගැනීමට නොවේ, එය අනවශ්‍යයි. එවැනි උදාහරණ හමුවීමේදී බිය නොවී සිටීම සඳහා. ටිකක් සිතන්න - එය සරලයි!)
1. අසමානතාවයට විසඳුම් දෙකක් සොයන්න 3x - 3< 0
කුමක් කළ යුතුද යන්න පැහැදිලි නැතිනම්, ගණිතයේ ප්රධාන රීතිය මතක තබා ගන්න:
ඔබට අවශ්ය දේ ඔබ නොදන්නේ නම්, ඔබට කළ හැකි දේ කරන්න!)
x < 1
සහ කුමක් ද? විශේෂ දෙයක් නැහැ. ඔවුන් අපෙන් අසන්නේ කුමක්ද? අසමානතාවයකට විසඳුම වන නිශ්චිත සංඛ්යා දෙකක් සොයා ගැනීමට අපෙන් ඉල්ලා සිටිමු. එම. පිළිතුරට ගැලපේ. දෙක ඕනෑමඅංක. ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙය අවුල් සහගතය.) 0 සහ 0.5 යුගලය සුදුසු වේ. යුවලක් -3 සහ -8. මෙම ජෝඩු අනන්ත ගණනක් ඇත! කුමන පිළිතුර නිවැරදිද?!
මම පිළිතුරු දෙමි: සියල්ල! ඕනෑම සංඛ්යා යුගලයක්, ඒ සෑම එකක්ම එකකට වඩා අඩු, නිවැරදි පිළිතුර වනු ඇත.ඔබට අවශ්ය එක ලියන්න. අපි ඉදිරියට යමු.
2. අසමානතාවය විසඳන්න:
4x - 3 ≠ 0
මෙම ආකෘතියේ කාර්යයන් දුර්ලභ ය. නමුත්, සහායක අසමානතා ලෙස, ODZ සොයා ගැනීමේදී, උදාහරණයක් ලෙස, හෝ ශ්‍රිතයක අර්ථ දැක්වීමේ වසම සොයා ගැනීමේදී, ඒවා සෑම විටම සිදු වේ. එවැනි රේඛීය අසමානතාවයක් සාමාන්ය රේඛීය සමීකරණයක් ලෙස විසඳිය හැකිය. "=" ලකුණ හැර සෑම තැනකම පමණි ( සමාන) ලකුණක් දමන්න " ≠ " (සමාන නොවේ) අසමානතා ලකුණක් සමඟ ඔබ පිළිතුරට ප්‍රවේශ වන ආකාරය මෙයයි:
x ≠ 0,75
වඩාත් සංකීර්ණ උදාහරණ වලදී, දේවල් වෙනස් ලෙස කිරීම වඩා හොඳය. සමානාත්මතාවයෙන් අසමානතාවය ඇති කරන්න. මෙවැනි:
4x - 3 = 0
එය උගන්වා ඇති පරිදි සන්සුන්ව විසඳා පිළිතුර ලබා ගන්න:
x = 0.75
ප්රධාන දෙය නම්, අවසානයේ දී, අවසාන පිළිතුර ලිවීමේදී, අපට x සොයාගත් බව අමතක නොකරන්න. සමානාත්මතාවය.සහ අපට අවශ්ය - අසමානතාවය.එමනිසා, අපට මෙම X අවශ්ය නොවේ.) තවද අපි එය නිවැරදි සංකේතය සමඟ ලියා තැබිය යුතුය:
x ≠ 0,75
මෙම ප්රවේශය අඩු දෝෂ ඇති කරයි. ස්වයංක්‍රීයව සමීකරණ විසඳන අය. සහ සමීකරණ විසඳන්නේ නැති අය සඳහා, අසමානතා, ඇත්ත වශයෙන්ම, කිසිදු ප්රයෝජනයක් නැත ...) ජනප්රිය කාර්යයක තවත් උදාහරණයක්:
3. අසමානතාවයට කුඩාම නිඛිල විසඳුම සොයන්න:
3(x - 1) < 5x + 9
පළමුව අපි අසමානතාවය සරලව විසඳන්නෙමු. අපි වරහන් විවෘත කරමු, ඒවා ගෙනයමු, සමාන ඒවා ගෙනෙමු ... අපට ලැබෙන්නේ:
x > - 6
ඒක ඒ විදියට හරි ගියේ නැද්ද!? ඔබ සංඥා අනුගමනය කළාද? සාමාජිකයින්ගේ සංඥා පිටුපස සහ අසමානතාවයේ ලකුණ පිටුපස ...
අපි නැවත සිතමු. පිළිතුර සහ කොන්දේසිය යන දෙකටම ගැළපෙන නිශ්චිත අංකයක් අපට සොයාගත යුතුය "කුඩාම පූර්ණ සංඛ්යාව".එය වහාම ඔබට උදා නොවන්නේ නම්, ඔබට ඕනෑම අංකයක් ගෙන එය තේරුම් ගත හැකිය. දෙකට වඩා අඩු හය? නිසැකවම! සුදුසු කුඩා අංකයක් තිබේද? ඇත්ත වශයෙන්. උදාහරණයක් ලෙස, බිංදුව -6 ට වඩා වැඩි ය. සහ ඊටත් වඩා අඩුද? අපට හැකි කුඩාම දේ අවශ්‍යයි! ඍණ තුන සෘණ හයට වඩා වැඩියි! ඔබට දැනටමත් රටාව අල්ලාගෙන මෝඩ ලෙස අංක හරහා යාම නැවැත්විය හැකිය, හරිද?)
-6 ට ආසන්න අංකයක් ගනිමු. උදාහරණයක් ලෙස, -5. පිළිතුර සම්පූර්ණයි, -5 > - 6. -5 ට අඩු නමුත් -6 ට වැඩි තවත් සංඛ්‍යාවක් සොයාගත හැකිද? ඔබට පුළුවන්, උදාහරණයක් ලෙස, -5.5 ... නවත්වන්න! අපිට කියනවා සමස්තවිසඳුමක්! පෙරළෙන්නේ නැත -5.5! සෘණ හය ගැන කුමක් කිව හැකිද? අහ්-ආහ්! අසමානතාවය දැඩි ය, සෘණ 6 ඍණ 6 ට වඩා අඩු නොවේ!
එබැවින් නිවැරදි පිළිතුර -5 වේ.
අගයන් තෝරා ගැනීමක් සමඟ බලාපොරොත්තු වන්න සාමාන්ය විසඳුමසියල්ල පැහැදිලිය. තවත් උදාහරණයක්:
4. අසමානතාවය විසඳන්න:
7 < 3x+1 < 13
වාව්! මෙම ප්රකාශනය හැඳින්වේ ත්රිත්ව අසමානතාවය.හරියටම කිවහොත්, මෙය අසමානතා පද්ධතියක සංක්ෂිප්ත ආකාරයකි. නමුත් එවැනි ත්රිත්ව අසමානතා තවමත් සමහර කාර්යයන් වලදී විසඳිය යුතුය ... එය කිසිදු පද්ධතියකින් තොරව විසඳිය හැකිය. එකම සමාන පරිවර්තනයන් අනුව.
අපි සරල කළ යුතුයි, මෙම අසමානතාවය පිරිසිදු X වෙත ගෙන එන්න. නමුත් ... කොහෙද මාරු කළ යුත්තේ කුමක්ද?! වමට සහ දකුණට ගමන් කරන බව මතක තබා ගැනීමට කාලය මෙයයි කෙටි යෙදුමපළමු අනන්‍යතා පරිවර්තනය.
ඒ සම්පූර්ණ ආකෘතියමේ වගේ ශබ්ද: ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් හෝ ප්‍රකාශනයක් සමීකරණයේ (අසමානතාවය) දෙපැත්තටම එකතු/අඩු කළ හැක.
මෙහි කොටස් තුනක් ඇත. එබැවින් අපි කොටස් තුනටම සමාන පරිවර්තනයන් යොදන්නෙමු!
ඒ නිසා අසමානතාවයේ මැද කොටස ඉවත් කරමු. සම්පූර්ණ මැද කොටසෙන් එකක් අඩු කරමු. අසමානතාවය වෙනස් නොවන පරිදි, අපි ඉතිරි කොටස් දෙකෙන් එකක් අඩු කරමු. මෙවැනි:
7 -1< 3x+1-1 < 13-1
6 < 3x < 12
එය වඩා හොඳයි, හරිද?) ඉතිරිව ඇත්තේ කොටස් තුන තුනකට බෙදීම පමණි:
2 < x < 4
එච්චරයි. පිළිතුර මෙයයි. X යනු දෙකේ (ඇතුළත් නොවන) සිට හතර දක්වා (ඇතුළත් නොවන) ඕනෑම අංකයක් විය හැක. මෙම පිළිතුර ද කාලාන්තරවල ලියා ඇත; එවැනි ඇතුළත් කිරීම් චතුරස්රාකාර අසමානතාවයන් වේ. එහිදී ඔවුන් වඩාත් පොදු දෙයකි.
පාඩම අවසානයේ මම වැදගත්ම දේ නැවත කියමි. රේඛීය අසමානතා විසඳීමේ සාර්ථකත්වය රඳා පවතින්නේ රේඛීය සමීකරණ පරිවර්තනය කිරීමට සහ සරල කිරීමට ඇති හැකියාව මතය. ඒ සමගම නම් අසමානතා ලකුණ සඳහා බලා සිටින්න,කිසිදු ගැටළුවක් ඇති නොවනු ඇත. මම ඔබට ප්‍රාර්ථනා කරන්නේ එයයි. ගැටළු නොමැත.)
ඔබ මෙම අඩවියට කැමති නම්...
මාර්ගය වන විට, මට ඔබ සඳහා තවත් රසවත් අඩවි කිහිපයක් තිබේ.)
ඔබට උදාහරණ විසඳීමට පුරුදු වී ඔබේ මට්ටම සොයා ගත හැකිය. ක්ෂණික සත්‍යාපනය සමඟ පරීක්ෂා කිරීම. අපි ඉගෙන ගනිමු - උනන්දුවෙන්!)
ඔබට කාර්යයන් සහ ව්‍යුත්පන්නයන් සමඟ දැන හඳුනා ගත හැකිය.
තාත්වික සංඛ්යා ක්ෂේත්‍රයට ඇණවුම් කිරීමේ ගුණය ඇත (6 වන වගන්තිය, පි. 35): ඕනෑම සංඛ්යා සඳහා a, b, එකක් සහ සම්බන්ධතා තුනෙන් එකක් පමණි: හෝ . මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ඇතුල් වීම a > b යන්නෙන් අදහස් වන්නේ වෙනස ධනාත්මක වන අතර ඇතුල් වීමේ වෙනස සෘණ වේ. සැබෑ සංඛ්යා ක්ෂේත්‍රය මෙන් නොව ක්ෂේත්‍රය සංකීර්ණ සංඛ්යාඇණවුම් කර නැත: සංකීර්ණ සංඛ්යා සඳහා "වැඩි" සහ "අඩු" යන සංකල්ප අර්ථ දක්වා නැත; එමනිසා, මෙම පරිච්ඡේදය තාත්වික සංඛ්යා සමඟ පමණක් කටයුතු කරයි.
අපි සම්බන්ධතා අසමානතා ලෙස හඳුන්වමු, අංක a සහ b යනු අසමානතාවයේ නියමයන් (හෝ කොටස්), සංඥා > (වඩා වැඩි) සහ අසමානතාවයන් a > b සහ c > d සමාන (හෝ එකම) අර්ථයේ අසමානතා ලෙස හැඳින්වේ; අසමානතා a > b සහ c අසමානතාවයේ නිර්වචනයේ සිට එය වහාම අනුගමනය කරයි
1) ශුන්‍යයට වඩා වැඩි කිසියම් ධන සංඛ්‍යාවක්;
2) ඕනෑම සෘණ අංකයක් බිංදුවට වඩා අඩුය;
3) ඕනෑම ධන අංකයක් ඕනෑම සෘණ අංකයකට වඩා වැඩි ය;
4) සෘණ සංඛ්යා දෙකකින්, නිරපේක්ෂ අගය කුඩා වන එක වැඩි වේ.
මෙම සියලු ප්රකාශයන් සරල ජ්යාමිතික අර්ථකථනයක් පිළිගනී. සංඛ්යා අක්ෂයේ ධනාත්මක දිශාව ආරම්භක ස්ථානයේ දකුණට යන්න; ඉන්පසුව, සංඛ්‍යාවල ලකුණු කුමක් වුවත්, ඒවායින් විශාල සංඛ්යාව කුඩා සංඛ්යාව නියෝජනය කරන ලක්ෂ්‍යයේ දකුණට වැටී ඇති ලක්ෂ්‍යයකින් නිරූපණය කෙරේ.
අසමානතාවයට පහත මූලික ගුණාංග ඇත.
1. අසමමිතිය (ආපසු හැරවිය නොහැකි): නම් , එසේ නම් , සහ අනෙක් අතට.
ඇත්ත වශයෙන්ම, වෙනස ධනාත්මක නම්, වෙනස සෘණ වේ. ඔවුන් පවසන්නේ අසමානතාවයේ නියමයන් නැවත සකස් කිරීමේදී අසමානතාවයේ අර්ථය ප්රතිවිරුද්ධ දෙයට වෙනස් කළ යුතු බවයි.
2. සංක්‍රාන්තිය: නම් , එසේ නම් . ඇත්ත වශයෙන්ම, වෙනස්කම්වල ධනාත්මක බව අනුව එය අනුගමනය කරයි
අසමානතා සංඥා වලට අමතරව අසමානතා සංඥා ද භාවිතා වේ.ඒවා පහත පරිදි අර්ථ දක්වා ඇත: ඇතුල්වීම යන්නෙන් අදහස් වන්නේ එක්කෝ හෝ එබැවින්, උදාහරණයක් ලෙස, ඔබට ලිවිය හැකි අතර, එසේම ය. සාමාන්‍යයෙන්, සංඥා භාවිතයෙන් ලියන අසමානතා දැඩි අසමානතා ලෙසද, සංඥා භාවිතයෙන් ලියන ලද ඒවා දැඩි නොවන අසමානතා ලෙසද හැඳින්වේ. ඒ අනුව, සංඥාම දැඩි හෝ දැඩි නොවන අසමානතාවයේ සංඥා ලෙස හැඳින්වේ. ඉහත සාකච්ඡා කර ඇති 1 සහ 2 ගුණාංග දැඩි නොවන අසමානතා සඳහා ද සත්ය වේ.
අසමානතා එකක් හෝ කිහිපයක් මත සිදු කළ හැකි ක්රියාවන් අපි දැන් සලකා බලමු.
3. අසමානතාවයේ නියමයන්ට එම සංඛ්යාව එකතු කිරීමෙන් අසමානතාවයේ අර්ථය වෙනස් නොවේ.
සාක්ෂි. අසමානතාවයක් සහ අත්තනෝමතික අංකයක් ලබා දෙන්න. නිර්වචනය අනුව, වෙනස ධනාත්මක වේ. මෙම අංකයට ප්රතිවිරුද්ධ සංඛ්යා දෙකක් එකතු කරමු, එය වෙනස් නොකරනු ඇත, i.e.
මෙම සමානාත්මතාවය පහත පරිදි නැවත ලිවිය හැකිය:
මෙයින් පැහැදිලි වන්නේ වෙනස ධනාත්මක බවයි, එනම්
සහ ඔප්පු කළ යුතු වූයේ මෙයයි.
අසමානතාවයේ ඕනෑම සාමාජිකයෙකු ප්රතිවිරුද්ධ ලකුණ සමඟ එක් කොටසකින් තවත් කොටසකට විකෘති වීමේ හැකියාව සඳහා පදනම මෙයයි. උදාහරණයක් ලෙස, අසමානතාවයෙන්
එය අනුගමනය කරයි
4. අසමානතාවයේ නියමයන් එකම ධන අංකයකින් ගුණ කරන විට, අසමානතාවයේ අර්ථය වෙනස් නොවේ; අසමානතාවයේ නියමයන් එකම සෘණ අංකයකින් ගුණ කළ විට, අසමානතාවයේ අර්ථය ප්රතිවිරුද්ධයට වෙනස් වේ.
සාක්ෂි. එසේ නම් ධන සංඛ්‍යාවල ගුණිතය ධන වන බැවින්. අන්තිම අසමානතාවයේ වම් පැත්තේ වරහන් විවෘත කිරීම, අපි ලබා ගනිමු, i.e. නඩුව සමාන ආකාරයකින් සලකනු ලැබේ.
සංඛ්‍යාවකින් බෙදීම සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීමට සමාන වන අතර සංඛ්යා වලට සමාන සලකුණු ඇති බැවින් අසමානතාවයේ කොටස් ශුන්‍ය හැර වෙනත් ඕනෑම සංඛ්‍යාවකින් බෙදීම සම්බන්ධයෙන් එකම නිගමනයකට එළඹිය හැකිය.
5. අසමානතාවයේ නියමයන් ධනාත්මක වීමට ඉඩ දෙන්න. එවිට, එහි නියමයන් එකම ධනාත්මක බලයට නැංවූ විට, අසමානතාවයේ අර්ථය වෙනස් නොවේ.
සාක්ෂි. මෙම අවස්ථාවට ඉඩ දෙන්න, සංක්‍රාන්ති ගුණයෙන්, සහ . එවිට, ඒකාකාරී වැඩිවීම නිසා බලශක්ති කාර්යයසඳහා සහ ධනාත්මක අපට ලැබෙනු ඇත
විශේෂයෙන්, කොහෙද නම් - ස්වාභාවික අංකය, එතකොට අපිට ලැබෙනවා
එනම් ධනාත්මක පද සමඟ අසමානතාවයේ දෙපැත්තෙන් මූලය උපුටා ගැනීමේදී අසමානතාවයේ අර්ථය වෙනස් නොවේ.
අසමානතාවයේ නියමයන් සෘණාත්මක වීමට ඉඩ දෙන්න. එවිට එහි නියමයන් ඔත්තේ දක්වා ඉහළ දැමූ විට එය ඔප්පු කිරීම අපහසු නැත ස්වභාවික උපාධියඅසමානතාවයේ අරුත වෙනස් නොවනු ඇත, නමුත් ඒකාකාර ස්වභාවික බලයකට නැඟුණු විට, එය ප්රතිවිරුද්ධයට වෙනස් වනු ඇත. සෘණ පද සහිත අසමානතාවයෙන් ඔත්තේ අංශකයේ මුලද උකහා ගත හැක.
තවදුරටත්, අසමානතාවයේ නියමයන් තිබේ විවිධ සංඥා. එවිට එය ඔත්තේ බලයකට ඔසවන විට අසමානතාවයේ අරුත වෙනස් නොවන අතර එය ඉරට්ටේ බලයකට ඔසවන විට ඇතිවන අසමානතාවයේ අර්ථය ගැන කිසිවක් නිශ්චිත නැත. සාමාන්ය නඩුවඑය පැවසිය නොහැක. ඇත්ත වශයෙන්ම, සංඛ්‍යාවක් ඔත්තේ බලයකට ඔසවන විට, සංඛ්‍යාවේ ලකුණ ආරක්ෂා වන අතර එම නිසා අසමානතාවයේ අර්ථය වෙනස් නොවේ. අසමානතාවයක් ඒකාකාර බලයකට නැංවීමේදී ධනාත්මක පද සහිත අසමානතාවයක් ඇති වන අතර එහි අර්ථය රඳා පවතින්නේ නිරපේක්ෂ අගයන්මුල් අසමානතාවයේ නියමයන්, ප්‍රතිඵලය මුල් අර්ථයට සමාන අර්ථයේ අසමානතාවයක්, ප්රතිවිරුද්ධ අර්ථයේ අසමානතාවයක් සහ සමානාත්මතාවය පවා විය හැකිය!
පහත උදාහරණය භාවිතා කරමින් බලතලවලට අසමානතා මතු කිරීම ගැන පවසා ඇති සියල්ල පරීක්ෂා කිරීම ප්රයෝජනවත් වේ.
උදාහරණ 1. අවශ්ය නම්, අසමානතා ලකුණ ප්රතිවිරුද්ධ හෝ සමාන ලකුණට වෙනස් කරමින්, පහත දැක්වෙන අසමානතා දක්වන ලද බලයට නංවන්න.
a) 3 > 2 සිට 4 බලය දක්වා; ආ) 3 උපාධිය දක්වා;
ඇ) 3 උපාධිය දක්වා; ඈ) 2 උපාධිය දක්වා;
e) 5 බලයට; e) 4 උපාධිය දක්වා;
g) 2 > -3 සිට 2 බලයට; h) 2 බලයට,
6. අසමානතාවයේ නියමයන් ධනාත්මක හෝ සෘණ යන දෙකම නම්, අසමානතාවයේ සිට අපට අසමානතාවයකට යා හැකිය, එවිට ඒවායේ ප්‍රතිවර්තන අතර ප්රතිවිරුද්ධ අර්ථයේ අසමානතාවයක් ඇත:
සාක්ෂි. a සහ b එකම ලකුණක් නම්, ඔවුන්ගේ නිෂ්පාදනය ධනාත්මක වේ. අසමානතාවයෙන් බෙදන්න
එනම්, ලබා ගැනීමට අවශ්ය වූ දේ.
අසමානතාවයේ නියමයන්ට ප්රතිවිරුද්ධ සංඥා තිබේ නම්, ප්‍රතිව්‍යංගවල සංඥා ප්‍රමාණවලම සංඥාවලට සමාන බැවින් ඒවායේ ප්‍රතිවර්තන අතර අසමානතාවයට එකම අර්ථයක් ඇත.
උදාහරණ 2. පහත අසමානතා භාවිතා කරමින් අවසාන දේපල 6 පරීක්ෂා කරන්න:
7. අසමානතාවයේ ලඝුගණකය සිදු කළ හැක්කේ අසමානතාවයේ නියමයන් ධනාත්මක වූ විට පමණි (සෘණ සංඛ්යා සහ ශුන්‍ය ලඝුගණක නොමැත).
ඉඩ . එවිට පවතිනු ඇත
සහ කවදාද පවතිනු ඇත
මෙම ප්‍රකාශවල නිවැරදිභාවය පදනම් වන්නේ ලඝුගණක ශ්‍රිතයේ ඒකාකාරී බව මත වන අතර එය පාදය නම් වැඩි වන අතර අඩු වේ
ඉතින් ධන පද වලින් සමන්විත අසමානතාවයක ලඝුගණකය එකකට වඩා වැඩි පාදයකට ගෙන යාමේදී, දී ඇති අර්ථයට සමාන අසමානතාවයක් ඇති වන අතර, ලඝුගණකය එකකට වඩා අඩු ධන පදනමකට ගෙන යාමේදී, අසමානතාවය ප්රතිවිරුද්ධ අර්ථය සෑදී ඇත.
8. නම්, එසේ නම්, නමුත්, එසේ නම්.
මෙය වහාම ඒකාකාරීත්වයේ ගුණාංග වලින් අනුගමනය කරයි ඝාතීය ශ්රිතය(පි. 42), එය නඩුවේ වැඩි වන අතර නම් අඩු වේ
එකම අර්ථයේ කාලානුරූප අසමානතා එකතු කරන විට, දත්ත වලට සමාන අර්ථයක අසමානතාවයක් සෑදේ.
සාක්ෂි. මෙම ප්‍රකාශය අසමානතා දෙකක් සඳහා ඔප්පු කරමු, නමුත් එකතු කළ අසමානතා ගණනකට එය සත්ය වේ. අසමානතාවයන් ලබා දෙන්න
නිර්වචනය අනුව, සංඛ්යා ධනාත්මක වනු ඇත; එවිට ඔවුන්ගේ එකතුව ද ධනාත්මක වේ, i.e.
කොන්දේසි වෙනස් ලෙස කාණ්ඩගත කිරීම, අපට ලැබේ
ඒ නිසා
සහ ඔප්පු කළ යුතු වූයේ මෙයයි.
විවිධ අර්ථවල අසමානතා දෙකක් හෝ වැඩි ගණනක් එකතු කිරීමෙන් ලබා ගන්නා අසමානතාවයක අර්ථය ගැන සාමාන්ය නඩුවේදී නිශ්චිත යමක් පැවසිය නොහැක.
10. එක් අසමානතාවයකින්, පදයෙන් පදයක්, ප්රතිවිරුද්ධ අර්ථයේ තවත් අසමානතාවයක් අඩු කළහොත්, පළමු අර්ථය හා සමාන අසමානතාවයක් සෑදේ.
සාක්ෂි. විවිධ අර්ථ ඇති අසමානතා දෙකක් දෙමු. ඒවායින් දෙවැන්න, ආපසු හැරවිය නොහැකි ගුණාංගය අනුව, පහත පරිදි නැවත ලිවිය හැකිය: d > c. අපි දැන් එකම අර්ථයේ අසමානතා දෙකක් එකතු කර අසමානතාවය ලබා ගනිමු
එකම අර්ථය. පසුකාලීනව අපි සොයා ගනිමු
සහ ඔප්පු කළ යුතු වූයේ මෙයයි.
එක් අසමානතාවයකින් තවත් අසමානතාවයකින් එකම අර්ථයෙන් ලබා ගන්නා අසමානතාවයේ අර්ථය ගැන සාමාන්ය නඩුවේදී නිශ්චිත යමක් පැවසිය නොහැක.
න්යාය:
අසමානතා විසඳීමේදී පහත සඳහන් නීති භාවිතා කරනු ලැබේ:
1. අසමානතාවයේ ඕනෑම පදයක් එක් කොටසකින් මාරු කළ හැකිය
අසමානතාවය ප්රතිවිරුද්ධ ලකුණ සමඟ තවත් එකක් බවට පත් කරයි, නමුත් අසමානතාවයේ ලකුණ වෙනස් නොවේ.
2. අසමානතාවයේ දෙපැත්තම එකකින් ගුණ කළ හැකිය හෝ බෙදිය හැකිය
සහ අසමානතා ලකුණ වෙනස් නොකර එකම ධනාත්මක අංකය.
3. අසමානතාවයේ දෙපැත්තම එකකින් ගුණ කළ හැකිය හෝ බෙදිය හැකිය
සහ එම සෘණ අංකය, අසමානතා ලකුණ වෙනස් කිරීම
ප්රතිවිරුද්ධ.
අසමානතාවය විසඳන්න - 8 x + 11<
−
3
x
−
4
විසඳුමක්.
1. ශිෂ්ණය චලනය කරමු - 3 xවී වම් පැත්තඅසමානතා සහ පදය 11
- වී දකුණු පැත්තඅසමානතාවයන්, ඒ සමඟම අපි සංඥා ප්රතිවිරුද්ධ ඒවාට වෙනස් කරමු - 3 xසහ දී 11
.
එතකොට අපිට ලැබෙනවා
- 8 x + 3 x< − 4 − 11
- 5 x< − 15
2. අසමානතාවයේ දෙපැත්තටම බෙදමු - 5 x<
−
15
සෘණ අංකයකට −
5
, සහ අසමානතා ලකුණ <
, දක්වා වෙනස් වනු ඇත >
, i.e. අපි ප්රතිවිරුද්ධ අර්ථයේ අසමානතාවයට ගමන් කරමු.
අපට ලැබෙන්නේ:
- 5 x< − 15 | : (− 5 )
x > - 15 : (− 5 )
x > 3
x > 3- දී ඇති අසමානතාවයේ විසඳුම.
අවදානය යොමු කරන්න!
විසඳුමක් ලිවීම සඳහා විකල්ප දෙකක් තිබේ: x > 3හෝ සංඛ්යා පරතරයක් ලෙස.
අසමානතාවයට විසඳුම් කට්ටලය සංඛ්යා රේඛාවේ සලකුණු කර පිළිතුර සංඛ්යාත්මක පරතරයක ආකාරයෙන් ලියන්නෙමු.
x ∈ (3 ; + ∞ )
පිළිතුර: x > 3හෝ x ∈ (3 ; + ∞ )
වීජීය අසමානතා.
චතුරස්රාකාර අසමානතා. උසස් උපාධිවල තාර්කික අසමානතා.
අසමානතා විසඳීමේ ක්‍රම ප්රධාන වශයෙන් රඳා පවතින්නේ අසමානතාවය සෑදෙන කාර්යයන් කුමන පන්තියට අයත්ද යන්න මතය.
- මම. චතුරස්රාකාර අසමානතා, එනම්, ආකෘතියේ අසමානතාවයන්
ax 2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.
අසමානතාවය විසඳීම සඳහා ඔබට:
- හතරැස් ත්‍රිපදයේ සාධකය, එනම් පෝරමයේ අසමානතාවය ලියන්න
a (x - x 1) (x - x 2) > 0 (< 0).
- බහුපදයේ මූලයන් සංඛ්යා රේඛාවේ සටහන් කරන්න. මූලයන් තාත්වික සංඛ්යා කට්ටලය කාල පරතරයන්ට බෙදයි, ඒ සෑම එකක් තුළම අනුරූප වේ චතුරස්රාකාර ශ්රිතයනියත ලකුණක් වනු ඇත.
- එක් එක් කාල පරතරය තුළ (x - x 1) (x - x 2) ලකුණ නිර්ණය කර පිළිතුර ලියන්න.
හතරැස් ත්‍රිපදයකට මුල් නොමැති නම්, D සඳහා<0 и a>0 වර්ග ත්‍රිකෝණය ඕනෑම x සඳහා ධන වේ.
- අසමානතාවය විසඳන්න. x 2 + x - 6 > 0.
චතුරස්‍ර ත්‍රිකෝණය (x + 3) (x - 2) > 0 සාධකය කරන්න
පිළිතුර: x (-∞; -3) (2; +∞).
2) (x - 6) 2 > 0
මෙම අසමානතාවය x = 6 හැර ඕනෑම x සඳහා සත්ය වේ.
පිළිතුර: (-∞; 6) (6; +∞).
3) x² + 4x + 15< 0.
මෙහි ඩී< 0, a = 1 >0. හතරැස් ත්‍රිකෝණය සියලු x සඳහා ධන වේ.
පිළිතුර: x Î Ø.
අසමානතා විසඳන්න:
- 1 + x - 2x²< 0. Ответ:
- 3x² - 12x + 12 ≤ 0. පිළිතුර:
- 3x² - 7x + 5 ≤ 0. පිළිතුර:
- 2x² - 12x + 18 > 0. පිළිතුර:
- a හි කුමන අගයන් සඳහා අසමානතාවය සිදු කරයි
x² - ax > ඕනෑම x සඳහා රඳවා තිබේද? පිළිතුර:
- II. උසස් උපාධිවල තාර්කික අසමානතා,එනම්, ආකෘතියේ අසමානතාවයන් ය
a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 > 0 (<0), n>2.
ඉහළම මට්ටමේ බහුපදයක් සාධකගත කළ යුතුය, එනම් අසමානතාවය ආකෘතියෙන් ලිවිය යුතුය
a n (x - x 1) (x - x 2) ·…· (x - x n) > 0 (<0).
බහුපද අතුරුදහන් වන සංඛ්යා රේඛාවේ ලකුණු කරන්න.
එක් එක් පරතරය මත බහුපදයේ සලකුණු තීරණය කරන්න.
1) අසමානතාවය විසඳන්න x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x< 0.
x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x = x (x 3 - 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 - x 2 - 5x 2 + 5x +6x - 6) =x (x - 1)(x 2 -5x + 6) =
x (x - 1) (x - 2) (x - 3). එබැවින් x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0
පිළිතුර: (0; 1) (2; 3).
2) අසමානතාවය විසඳන්න (x -1) 5 (x + 2) (x - ½) 7 (2x + 1) 4<0.
බහුපද අතුරුදහන් වන සංඛ්යා අක්ෂයේ ලක්ෂ්‍ය සලකුණු කරමු. මේවා x = 1, x = -2, x = ½, x = - ½ වේ.
x = - ½ ලක්ෂ්‍යයේ දී, ද්විපද (2x + 1) ඉරට්ටේ බලයකට ඔසවන නිසා ලකුණේ වෙනසක් සිදු නොවේ, එනම් (2x + 1) 4 ප්රකාශනය x = ලක්ෂ්‍යය හරහා යන විට ලකුණ වෙනස් නොවේ. - ½.
පිළිතුර: (-∞; -2) (½; 1).
3) අසමානතාවය විසඳන්න: x 2 (x + 2) (x - 3) ≥ 0.
මෙම අසමානතාවය පහත කට්ටලයට සමාන වේ
(1) සඳහා විසඳුම x (-∞; -2) (3; +∞) වේ. (2) සඳහා විසඳුම x = 0, x = -2, x = 3. ලබාගත් විසඳුම් ඒකාබද්ධ කිරීමෙන්, අපි x О (-∞; -2] (0) (0) ) ලබා ගනිමු.
