පැරබෝලා සමීකරණය සොයන්න. පැරබෝලා - චතුරස්රාකාර ශ්රිතයක ගුණ සහ ප්රස්ථාරය
අපි සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් හඳුන්වා දෙන්නෙමු, එහිදී . අක්ෂය නාභිගත කිරීම හරහා යාමට ඉඩ දෙන්න එෆ් පරාවලය සහ ඩිරෙක්ට්රික්ස් වෙත ලම්බක වන අතර අක්ෂය නාභිගත කිරීම සහ ඩිරෙක්ට්රික්ස් අතර මැදින් ගමන් කරයි. නාභිගත කිරීම සහ ඩිරෙක්ට්රික්ස් අතර දුරින් දක්වන්න. එවිට directrix සමීකරණය.
එම සංඛ්‍යාව පැරබෝලාවේ නාභි පරාමිතිය ලෙස හැඳින්වේ. පැරබෝලාවේ වත්මන් ලක්ෂ්යය වේවා. හයිපර්බෝලා ලක්ෂ්‍යයක නාභීය අරය වේවා, ලක්ෂ්යයේ සිට ඩිරෙක්ට්රික්ස් වෙත ඇති දුරයි. ඉන්පසු( ඇඳීම 27.)
ඇඳීම 27.
පැරබෝලා නිර්වචනය අනුව. ප්රතිඵලයක් වශයෙන්,
අපි සමීකරණය වර්ග කරමු, අපට ලැබෙන්නේ:
(15)
මෙහි (15) යනු අක්ෂයේ සහ සම්භවය හරහා ගමන් කරන පරාවල සමමිතිකයක කැනොනිකල් සමීකරණයයි.
පැරබෝලා වල ගුණාංග විමර්ශනය කිරීම
1) පැරබෝලා මුදුන:
සමීකරණය (15) ඉලක්කම් වලින් තෘප්තිමත් වන අතර, එම නිසා, පැරබෝලා සම්භවය හරහා ගමන් කරයි.
2) පැරබෝලා සමමිතිය:
එය පරාවලයකට, එනම් සැබෑ සමානාත්මතාවයකට අයිති වේවා. ලක්ෂ්යය අක්ෂය වටා ඇති ලක්ෂ්‍යයට සමමිතික වේ, එබැවින් පරාවලය x-අක්ෂයේ සමමිතික වේ.
පැරබෝලා විකේන්ද්රිකතාව:
අර්ථ දැක්වීම 4.2.පැරබෝලා වල විකේන්ද්‍රියතාවය එකකට සමාන සංඛ්‍යාවකි.
නිර්වචනය අනුව පරාබෝලාවකි.
4) පරාවලයක ස්පර්ශකය:
ස්පර්ශක ලක්ෂ්යයේ ඇති පරාවලයට ස්පර්ශකය ලබා දෙන්නේ සමීකරණය මගිනි
කොහෙද ( ඇඳීම 28.)
ඇඳීම 28.
පැරබෝලා පින්තූරයක්
ඇඳීම 29.
ESO-Mathcad භාවිතා කිරීම:
ඇඳීම 30.)
ඇඳීම 30.
අ) ICT භාවිතයෙන් තොරව ඉදිකිරීම්: පරාවලයක් තැනීම සඳහා, අපි O ලක්ෂ්යයේ කේන්ද්‍රයක් සහ ඒකක ඛණ්ඩයක් සහිත සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් සකස් කරමු. අපි OX අක්ෂය කෙරෙහි අවධානය යොමු කරමු, මන්ද අපි එය අඳින්නෙමු, සහ පරාවලයේ සෘජුකෝණය. අපි ලක්ෂ්‍යයක සහ අරයක රවුමක ඉදිකිරීම් සිදු කරමු දුර ප්රමාණයට සමාන වේසරල රේඛාවේ සිට පැරබෝලාවේ ඩිරෙක්ට්රික්ස් දක්වා. රවුම ලක්ෂ්‍යයෙන් රේඛාව ඡේදනය කරයි. අපි පැරබෝලාවක් ගොඩනඟමු එවිට එය මූලාරම්භය හරහා සහ ලක්ෂ්‍ය හරහා ගමන් කරයි. ( ඇඳීම 31.)
ඇඳීම 31.
ආ) ESO-Mathcad භාවිතා කිරීම:
ප්රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන සමීකරණයට පෝරමය ඇත: . Mathcad හි දෙවන පෙළ රේඛාවක් තැනීමට, අපි සමීකරණය පෝරමයට ගෙන එන්නෙමු: .( ඇඳීම 32.)
ඇඳීම 32.
මූලික ගණිතයේ දෙවන පෙළ රේඛා පිළිබඳ න්‍යාය පිළිබඳ වැඩ සාරාංශ කිරීම සහ ගැටළු විසඳීමේදී රේඛා පිළිබඳ තොරතුරු භාවිතා කිරීමේ පහසුව සඳහා, අපි දෙවන පෙළ රේඛා පිළිබඳ සියලු දත්ත වගු අංක 1 හි නිගමනය කරමු.
වගු අංක 1.
ප්‍රාථමික ගණිතයේ දෙවන පෙළ රේඛා
|
2 වන අනුපිළිවෙලෙහි නම |
කවය |
ඉලිප්සය |
හයිපර්බෝලා |
පැරබෝලා |
|
ලාක්ෂණික ගුණාංග | ||||
|
රේඛා සමීකරණය | ||||
|
විකේන්ද්රිකත්වය | ||||
|
ලක්ෂ්යයේ ස්පර්ශක සමීකරණය (x 0 ; y 0 ) | ||||
|
අවධානය යොමු කරන්න | ||||
|
රේඛා විෂ්කම්භය |
k යනු බෑවුමයි |
කේ බෑවුම කොහෙද |
කේ බෑවුම කොහෙද |
දෙවන පෙළ රේඛා අධ්‍යයනය කිරීමේදී ICT භාවිතා කිරීමේ හැකියාව
අද නූතන සමාජයේ ජීවිතයේ සියලු අංශ ආවරණය කර ඇති තොරතුරුකරණ ක්‍රියාවලියට ප්‍රමුඛතා ක්ෂේත්‍ර කිහිපයක් ඇත, ඇත්ත වශයෙන්ම අධ්‍යාපනයේ තොරතුරු ඇතුළත් වේ. එය තොරතුරු සහ සන්නිවේදන තාක්ෂණය (ICT) භාවිතය හරහා මානව බුද්ධිමය ක්‍රියාකාරකම් ගෝලීය තාර්කිකකරණය සඳහා මූලික පදනම වේ.
පසුගිය ශතවර්ෂයේ 90 දශකයේ මැද භාගය සහ අද දක්වා රුසියාවේ පුද්ගලික පරිගණකවල ස්කන්ධ ස්වභාවය සහ ලබා ගැනීම, විදුලි සංදේශ පුළුල් ලෙස භාවිතා කිරීම මගින් සංලක්ෂිත වේ, එමඟින් අධ්‍යාපනයේ සංවර්ධිත තොරතුරු තාක්ෂණයන් අධ්යාපන ක්‍රියාවලියට හඳුන්වා දීමට හැකි වේ. එය වැඩිදියුණු කිරීම සහ නවීකරණය කිරීම, දැනුමේ ගුණාත්මකභාවය වැඩිදියුණු කිරීම, ඉගෙනීම සඳහා අභිප්රේරණය වැඩි කිරීම, අධ්යාපනය පුද්ගලීකරණය කිරීමේ මූලධර්මය උපරිම ලෙස භාවිතා කිරීම. අධ්‍යාපනයේ තොරතුරු තාක්ෂණය අධ්‍යාපනයේ තොරතුරුකරණයේ මෙම අදියරේදී අවශ්ය මෙවලමකි.
තොරතුරු තාක්ෂණය තොරතුරු වෙත ප්‍රවේශ වීමට පහසුකම් සැලසීම සහ අධ්යාපන ක්‍රියාකාරකම්වල විචල්‍යතාවය, එහි පුද්ගලීකරණය සහ අවකලනය සඳහා ඇති ඉඩකඩ විවෘත කරනවා පමණක් නොව, සියලුම ඉගෙනුම් විෂයයන් නව ආකාරයකින් සංවිධානය කිරීමට, ගොඩනැගීමට ඉඩ සලසයි. අධ්යාපන පද්ධතියඑහිදී ශිෂ්‍යයා අධ්‍යාපනික ක්‍රියාකාරකම්වල ක්රියාකාරී හා සමාන සහභාගිවන්නෙකු වනු ඇත.
විෂය පාඩම් රාමුව තුළ නව තොරතුරු තාක්ෂණයන් ගොඩනැගීම පාඩමේ ගුණාත්මකභාවය වැඩිදියුණු කිරීම සඳහා නව මෘදුකාංග සහ ක්‍රමවේද සංකීර්ණ නිර්මාණය කිරීමේ අවශ්‍යතාවය උත්තේජනය කරයි. එබැවින්, අධ්යාපන ක්‍රියාවලියේදී තොරතුරු තාක්‍ෂණ මෙවලම් සාර්ථක සහ අරමුණු සහගත ලෙස භාවිතා කිරීම සඳහා, ගුරුවරුන් දැන සිටිය යුතුය සාමාන්ය විස්තරයමෘදුකාංග සහ යෙදුම් මෙවලම්වල ක්‍රියාකාරීත්වයේ මූලධර්ම සහ උපදේශාත්මක හැකියාවන්, පසුව, ඔවුන්ගේ අත්දැකීම් සහ නිර්දේශ මත පදනම්ව, අධ්යාපන ක්‍රියාවලියට ඒවා "කාවැද්ද" කරන්න.
ගණිතය අධ්‍යයනය දැනට විශේෂාංග ගණනාවක් සහ සංවර්ධන දුෂ්කරතා සමඟ සම්බන්ධ වී ඇත. පාසල් අධ්යාපනයඅපේ රටේ.
ගණිත අධ්‍යාපනයේ ඊනියා අර්බුදය මතුවිය. එහි හේතු පහත පරිදි වේ:
සමාජයේ සහ විද්‍යාවේ ප්‍රමුඛතා වෙනස් කිරීමේදී, එනම් වර්තමානයේ මානව ශාස්ත්‍රවල ප්‍රමුඛතාවයේ වැඩි වීමක් දක්නට ලැබේ;
පාසලේ ගණිත පාඩම් ගණන අඩු කිරීමේදී;
ජීවිතයෙන් ගණිත අධ්‍යාපනයේ අන්තර්ගතය හුදකලා කිරීමේදී;
සිසුන්ගේ හැඟීම් සහ චිත්තවේගයන් කෙරෙහි කුඩා බලපෑමක් තුළ.
අද පවතී විවෘත ප්රශ්නය: "ගණිතය ඉගැන්වීම ඇතුළුව පාසල් දරුවන්ට ඉගැන්වීමේ දී නවීන තොරතුරු සහ සන්නිවේදන තාක්ෂණයන්හි විභවයන් වඩාත් ඵලදායී ලෙස භාවිතා කරන්නේ කෙසේද?".
පරිගණකයක් යනු "චතුරස්තර ශ්රිතය" වැනි මාතෘකාවක් අධ්‍යයනය කිරීමේදී විශිෂ්ට සහායකයෙකි, මන්ද විශේෂ වැඩසටහන් භාවිතා කිරීමෙන් ඔබට විවිධ කාර්යයන් සැලසුම් කළ හැකිය, ශ්‍රිතයක් ගවේෂණය කළ හැකිය, ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යවල ඛණ්ඩාංක පහසුවෙන් තීරණය කළ හැකිය, සංවෘත රූපවල ප්‍රදේශ ගණනය කළ හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස, 9 වන ශ්‍රේණියේ වීජ ගණිත පාඩමක, ප්‍රස්ථාරයේ පරිවර්තනය (දිගු කිරීම, සම්පීඩනය, ඛණ්ඩාංක අක්ෂ මාරු කිරීම) සඳහා කැප කර ඇති අතර, ඔබට දැකිය හැක්කේ ඉදිකිරීම් වල ශීත කළ ප්‍රති result ලය සහ අනුක්‍රමික ක්‍රියාවන්හි සමස්ත ගතිකතාවයන් පමණි. මොනිටරයේ තිරය මත ගුරුවරයා සහ ශිෂ්‍යයා සොයා ගත හැක.
අන් කිසිවකට සමාන නොවන පරිගණකයක් තාක්ෂණික ක්රම, නිවැරදිව, දෘශ්‍යමය වශයෙන් සහ උද්වේගකර ලෙස ශිෂ්‍යයා සඳහා කදිම ගණිතමය ආකෘති විවෘත කරයි, i.e. දරුවා තම ප්රායෝගික ක්රියාවන් සඳහා උත්සාහ කළ යුතු දේ.
ප්‍රස්ථාරයට ස්පර්ශ වන බව සිසුන්ට ඒත්තු ගැන්වීම සඳහා ගණිතය ගුරුවරයෙකුට කොපමණ දුෂ්කරතා අත්විඳිය යුතුද? චතුරස්රාකාර ශ්රිතයස්පර්ශ වන ස්ථානයේ දී ශ්රිතයේ ප්රස්ථාරය සමඟ ප්රායෝගිකව ඒකාබද්ධ වේ. පරිගණකයක් මත මෙම කරුණ නිරූපණය කිරීම ඉතා පහසු වේ - එය Ox අක්ෂය දිගේ පරතරය පටු කිරීමට ප්රමාණවත් වන අතර ස්පර්ශක ලක්ෂ්යයේ ඉතා කුඩා අසල්වැසි ප්රදේශයක, ශ්රිතයේ ප්රස්ථාරය සහ ස්පර්ශක සමපාත වේ. මේ සියලු කටයුතු සිදු වන්නේ සිසුන් ඉදිරියේය. මෙම උදාහරණය පාඩම තුළ ක්රියාකාරී පරාවර්තනය සඳහා උත්තේජනයක් ලබා දෙයි. පාඩමේ නව තොරතුරු පැහැදිලි කිරීමේදී සහ පාලන අදියරේදී පරිගණකයක් භාවිතා කළ හැකිය. මෙම වැඩසටහන් ආධාරයෙන්, උදාහරණයක් ලෙස "මගේ පරීක්ෂණය", ශිෂ්යයාට ස්වාධීනව න්යායික දැනුමේ මට්ටම පරීක්ෂා කිරීම, න්යායික හා ප්රායෝගික කාර්යයන් ඉටු කළ හැකිය. වැඩසටහන් ඔවුන්ගේ බහුකාර්යතාව සඳහා පහසු වේ. ඒවා ස්වයං පාලනය සඳහා සහ ගුරු පාලනය සඳහා දෙකම භාවිතා කළ හැකිය.
ගණිතය සහ පරිගණක තාක්ෂණය සාධාරණ ලෙස ඒකාබද්ධ කිරීම මඟින් ගැටලුවක් විසඳීමේ ක්‍රියාවලිය, ගණිතමය රටා අවබෝධ කර ගැනීමේ ක්‍රියාවලිය වඩාත් පොහොසත් හා ගැඹුරින් බැලීමට ඉඩ සලසයි. ඊට අමතරව, පරිගණකය සිසුන්ගේ ග්‍රැෆික්, ගණිතමය සහ මානසික සංස්කෘතිය ගොඩනැගීමට උපකාරී වන අතර, පරිගණකය භාවිතයෙන් ඔබට උපදේශාත්මක ද්‍රව්‍ය සකස් කළ හැකිය: කාඩ්පත්, සමීක්ෂණ පත්‍රිකා, පරීක්ෂණ ආදිය. ඒ සමඟම දරුවන්ට ස්වාධීනව කිරීමට අවස්ථාව ලබා දෙන්න. මාතෘකාව පිළිබඳ පරීක්ෂණ සංවර්ධනය කිරීම, එම කාලය තුළ උනන්දුව සහ නිර්මාණශීලීත්වය.
මේ අනුව, පරිගණකය හැකි නම්, ගණිත පාඩම් වලදී වඩා පුළුල් ලෙස භාවිතා කිරීමේ අවශ්‍යතාවයක් පවතී. තොරතුරු තාක්ෂණය භාවිතා කිරීම දැනුමේ ගුණාත්මක භාවය වැඩිදියුණු කිරීමටත්, චතුරස්‍ර ශ්රිතය අධ්‍යයනය කිරීමේ ක්ෂිතිජය පුළුල් කිරීමටත්, එම නිසා විෂය සහ මාතෘකාව පිළිබඳ සිසුන්ගේ උනන්දුව පවත්වා ගැනීමටත්, එම නිසා වඩා හොඳ, වඩා අවධානයෙන් සිටින ආකල්පයකට නව ඉදිරිදර්ශන සොයා ගැනීමටත් උපකාර වනු ඇත. ඒකට. අද, නවීන තොරතුරු තාක්ෂණයන් සමස්තයක් ලෙස පාසල නවීකරණය කිරීම සඳහා වඩාත්ම වැදගත් මෙවලම බවට පත්වෙමින් තිබේ - කළමනාකරණයේ සිට අධ්යාපනය දක්වා සහ අධ්‍යාපනයේ පවතින බව සහතික කිරීම.
පැරබෝලා යනු තලයක ඇති ලක්ෂ්‍ය F සහ ලබා දී ඇති ලක්ෂ්‍යයකට සමාන දුරින් සහ ලබා දී ඇති රේඛාවක් හරහා ගමන් නොකරන ස්ථානයයි. ලබා දී ඇති ලක්ෂ්යය. මෙම ජ්යාමිතික අර්ථ දැක්වීම ප්රකාශ කරයි parabola නාමාවලි දේපල.
පැරබෝලාවක නාමාවලි ගුණය
F ලක්ෂ්යය පරාවලයේ නාභිය ලෙසද, d රේඛාව පරාවලයේ ඩිරෙක්ට්රික් ලෙසද හැඳින්වේ, නාභිගත කිරීමේ සිට ඩිරෙක්ට්රික්ස් වෙත පහත වැටුණු ලම්බකයේ O මධ්‍ය ලක්ෂ්යය පරාවලයේ ශීර්ෂයයි, නාභියෙන් ඇති දුර p ඩිරෙක්ට්රික්ස් වෙත යනු පරාවලයේ පරාමිතිය වන අතර, පරාවලයේ ශීර්ෂයේ සිට ඇයගේ අවධානයට ඇති දුර \frac(p)(2) වේ නාභීය දිග(රූපය 3.45, a). සෘජු රේඛාවට ලම්බකව සහ නාභිගත කිරීම හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාව පරාවලයේ අක්ෂය (පරබෝලාවේ නාභීය අක්ෂය) ලෙස හැඳින්වේ. පැරබෝලාවේ අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයක් M සම්බන්ධ කරන FM කොටස එහි නාභිගත කිරීම ලෙස හැඳින්වේ නාභීය අරයලකුණු එම්. පරාවලයේ ලක්ෂ්‍ය දෙකක් සම්බන්ධ කරන රේඛා ඛණ්ඩය පරාවලයේ ස්වරය ලෙස හැඳින්වේ.
පැරබෝලාවේ අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයක් සඳහා, නාභිගත කිරීමට ඇති දුර හා ඩිරෙක්ට්රික්ස් වෙත ඇති දුර අනුපාතය එකකට සමාන වේ. ඉලිප්සයේ නාමාවලි ගුණාංග සංසන්දනය කිරීම, අධිබල සහ පරාවල, අපි එය නිගමනය කරමු පැරබෝලා විකේන්ද්රිකතාවඅර්ථ දැක්වීම අනුව එකකට සමාන වේ (e=1) .
පැරබෝලා වල ජ්යාමිතික අර්ථ දැක්වීම, එහි නාමාවලි ගුණය ප්රකාශ කිරීම, එහි විශ්ලේෂණාත්මක නිර්වචනයට සමාන වේ - පැරබෝලාවේ කැනොනිකල් සමීකරණය මගින් ලබා දෙන රේඛාව:
ඇත්ත වශයෙන්ම, අපි සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් හඳුන්වා දෙමු (රූපය 3.45, b). අපි ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ මූලාරම්භය ලෙස පරාවලයේ O ශීර්ෂය ගනිමු; ඩිරෙක්ට්රික්ස් වෙත ලම්බකව නාභිගත කිරීම හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාව, අපි abscissa අක්ෂය ලෙස ගනිමු (O ලක්ෂ්යයේ සිට F ලක්ෂ්යය දක්වා එය මත ධනාත්මක දිශාව); abscissa අක්ෂයට ලම්බකව සරල රේඛාවක් සහ පරාවලයේ ශීර්ෂය හරහා ගමන් කරන විට, අපි ordinate අක්ෂය ලෙස ගනිමු (Ordinate අක්ෂයේ දිශාව තෝරා ගනු ලැබේ සෘජුකෝණාස්රාකාර පද්ධතිය Oxy ඛණ්ඩාංක නිවැරදි විය).
පරාවලයේ අධ්‍යක්ෂ ගුණය ප්රකාශ කරන එහි ජ්යාමිතික නිර්වචනය භාවිතා කරමින් අපි පරාවලයක සමීකරණය සම්පාදනය කරමු. තෝරාගත් ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය තුළ, අපි අවධානය යොමු කිරීමේ ඛණ්ඩාංක තීරණය කරමු F\!\වම (\frac(p)(2);\,0\දකුණ)සහ ඩිරෙක්ට්රික්ස් සමීකරණය x=-\frac(p)(2) . පැරබෝලාවකට අයත් M(x,y) අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයක් සඳහා, අපට ඇත්තේ:
FM=MM_d,
කොහෙද M_d\!\වම (\frac(p)(2);\,y\දකුණ)- ඩිරෙක්ට්රික්ස් වෙත M(x,y) ලක්ෂ්යයේ විකලාංග ප්‍රක්ෂේපණය. අපි මෙම සමීකරණය ඛණ්ඩාංක ආකාරයෙන් ලියන්නෙමු:
\sqrt((\වම(x-\frac(p)(2)\දකුණ)\^2+y^2}=x+\frac{p}{2}. !}
අපි සමීකරණයේ දෙපැත්තම වර්ග කරමු: (\වම(x-\frac(p)(2)\දකුණ)\^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} !}. සමාන කොන්දේසි ගෙන ඒම, අපට ලැබේ කැනොනිකල් පැරබෝලා සමීකරණය
Y^2=2\cdot p\cdot x,එම. තෝරාගත් ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය කැනොනිකල් වේ.
ප්‍රතිලෝම අනුපිළිවෙලින් තර්ක කිරීමෙන්, ඛණ්ඩාංක සමීකරණය (3.51) තෘප්තිමත් කරන සියලුම ලක්ෂ්‍යයන් පමණක් පැරබෝලා ලෙස හැඳින්වෙන ලක්ෂ්යවල ස්ථානයට අයත් වන බව පෙන්විය හැක. මේ අනුව, පරාවලයක විශ්ලේෂණාත්මක අර්ථ දැක්වීම එහි ජ්යාමිතික නිර්වචනයට සමාන වන අතර එය පරාවලයක නාමාවලි ගුණය ප්රකාශ කරයි.
ධ්‍රැවීය ඛණ්ඩාංකවල පැරබෝලා සමීකරණය
ධ්‍රැවීය ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ පැරබෝලා සමීකරණය Fr \ varphi (රූපය 3.45, c) ආකෘතිය ඇත
R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),මෙහි p යනු පරාවලයේ පරාමිතිය වන අතර e=1 යනු එහි විකේන්ද්‍රියතාවයයි.
ඇත්ත වශයෙන්ම, ධ්‍රැවීය ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ධ්‍රැවය ලෙස, අපි පරාවලයේ නාභිගත F තෝරා ගනිමු, සහ ධ්‍රැවීය අක්ෂය ලෙස - F ලක්ෂ්යයේ මූලාරම්භය සහිත කිරණ, ඩිරෙක්ට්රික්ස් වෙත ලම්බකව සහ එය හරස් නොකරයි (රූපය 3.45, c) එවිට පරාවලයකට අයත් M(r,\varphi) අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයක් සඳහා, පරාවලයක ජ්යාමිතික නිර්වචනයට (ඩිරෙක්ටෝරියල් ගුණය) අනුව, අපට MM_d=r . මන්දයත් MM_d=p+r\cos\varphi, අපි පරාවල සමීකරණය ඛණ්ඩාංක ආකාරයෙන් ලබා ගනිමු:
P+r\cdot\cos\varphi \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-\cos\varphi),
Q.E.D. ධ්‍රැවීය ඛණ්ඩාංක වලදී, ඉලිප්සයක, අතිධ්‍රැව, සහ පරාවලයක සමීකරණ සමපාත වන නමුත්, ඒවා විකේන්ද්‍රියතාවයෙන් වෙනස් වන බැවින් විවිධ රේඛා විස්තර කරන බව සලකන්න ( 0\leqslant e<1 для эллипса, e=1 для параболы, e>1 හයිපර්බෝල් සඳහා).
පැරබෝලා සමීකරණයේ පරාමිතියෙහි ජ්යාමිතික අර්ථය
අපි පැහැදිලි කරමු පරාමිතියෙහි ජ්යාමිතික අර්ථය p in කැනොනිකල් සමීකරණයපැරබෝලා. x=\frac(p)(2) සමීකරණයට (3.51) ආදේශ කිරීමෙන් අපට y^2=p^2 ලැබේ, i.e. y=\pm p . එබැවින්, p පරාමිතිය පරාවලයේ අක්ෂයට ලම්බකව එහි නාභිගත කිරීම හරහා ගමන් කරන පරාවල ස්වරයෙහි දිගෙන් අඩකි.
පැරබෝලාවේ නාභි පරාමිතිය, මෙන්ම ඉලිප්සයක් සහ හයිපර්බෝලා සඳහා, නාභීය අක්ෂයට ලම්බකව එහි නාභිගත කිරීම හරහා ගමන් කරන ස්වරයෙන් අඩක් ලෙස හැඳින්වේ (රූපය 3.45, c බලන්න). හි ධ්‍රැවීය ඛණ්ඩාංකවල පැරබෝලා සමීකරණයෙන් \varphi=\frac(\pi)(2)අපට r=p ලැබේ, i.e. parabola පරාමිතිය එහි නාභි පරාමිතිය සමඟ සමපාත වේ.
සටහන් 3.11.
1. පැරබෝලාවක p පරාමිතිය එහි හැඩය සංලක්ෂිත කරයි. p වැඩි වන තරමට පැරබෝලාවේ අතු පුළුල් වන තරමට p ශුන්‍යයට සමීප වන තරමට පැරබෝලාවේ අතු පටු වේ (රූපය 3.46).
2. සමීකරණය y^2=-2px (p>0 සඳහා) y-අක්ෂයේ වම් පසින් පිහිටා ඇති පරාවලයක් නිර්වචනය කරයි (රූපය 3.47, a). මෙම සමීකරණය x-අක්ෂයේ (3.37) දිශාව වෙනස් කිරීමෙන් කැනොනිකල් එකට අඩු වේ. අත්තික්කා මත. 3.47,a දී ඇති ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය Oxy සහ කැනොනිකල් Ox"y" පෙන්වයි.
3. සමීකරණය (y-y_0)^2=2p(x-x_0),\,p>0 abscissa අක්ෂයට සමාන්තර අක්ෂය O "(x_0, y_0) සහිත parabola නිර්වචනය කරයි (රූපය 3.47.6). මෙම සමීකරණය සමාන්තර පරිවර්තනය (3.36) භාවිතයෙන් කැනොනිකල් එකට අඩු කරයි.
සමීකරණය (x-x_0)^2=2p(y-y_0),\,p>0, O "(x_0, y_0) ශීර්ෂය සහිත පරාවලයක් ද නිර්වචනය කරයි, එහි අක්ෂය ඕඩිනේට් අක්ෂයට සමාන්තර වේ (රූපය 3.47, c). සමාන්තර පරිවර්තනය (3.36) සහ නැවත නම් කිරීම මගින් මෙම සමීකරණය කැනොනිකල් එකට අඩු වේ. ඛණ්ඩාංක අක්ෂ (3.38) fig. 3.47, b, c හි දී ඇති ඛණ්ඩාංක පද්ධති Oxy සහ කැනොනිකල් ඛණ්ඩාංක පද්ධති Ox "y" පෙන්වයි.
4. y=ax^2+bx+c,~a\ne0ලක්ෂ්යයේ අග්‍රය සහිත පරාවලයකි O"\!\වම(-\frac(b)(2a);\,-\frac(b^2-4ac)(4a)\දකුණ), එහි අක්ෂය y-අක්ෂයට සමාන්තර වන අතර, පරාවලයේ අතු ඉහළට (a>0 සඳහා) හෝ පහළට (a සඳහා) යොමු කෙරේ.<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение
Y=a\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2-\frac(b^2)(4a)+c \quad \Leftrightarrow \quad \!\left(x+\frac(b) (2a)\දකුණ)^2=\frac(1)(a)\වම(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\දකුණ)\!,
එය කැනොනිකල් ස්වරූපයට අඩු කර ඇත (y")^2=2px" , එහිදී p=\වම|\frac(1)(2a)\දකුණ|, y"=x+\frac(b)(2a) සහ ආදේශ කිරීමෙන් x"=\pm\!\වම(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\දකුණ).
ලකුණ තෝරාගෙන ඇත්තේ ප්‍රමුඛ සංගුණකයේ ලකුණට ගැලපීම සඳහාය. මෙම ආදේශනය සංයුතියට අනුරූප වේ: සමාන්තර පරිවර්තනය (3.36) x_0=-\frac(b)(2a) සහ y_0=-\frac(b^2-4ac)(4a), ඛණ්ඩාංක අක්ෂ නැවත නම් කිරීම (3.38), සහ නඩුවේ a<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 සහ ඒ<0 соответственно.
5. කැනොනිකල් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ abscissa අක්ෂය වේ පැරබෝලා සමමිතියේ අක්ෂය, විචල්‍යය y සිට -y දක්වා වෙනස් කිරීමෙන් සමීකරණය වෙනස් නොවේ (3.51). වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, පරාවලයට අයත් M (x, y) ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක සහ abscissa අක්ෂය පිළිබඳ M ලක්ෂ්‍යයට සමමිතික M "(x, -y) ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක, සමීකරණය තෘප්තිමත් කරයි (3. S1) කැනොනිකල් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ අක්ෂ ලෙස හැඳින්වේ පැරබෝලාවේ ප්‍රධාන අක්ෂය.
උදාහරණය 3.22. කැනොනිකල් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ Oxy හි පැරබෝලා y^2=2x අඳින්න. නාභීය පරාමිතිය, නාභිගත ඛණ්ඩාංක සහ ඩිරෙක්ට්රික් සමීකරණය සොයා ගන්න.
විසඳුමක්.අපි abscissa අක්ෂය (රූපය 3.49) ගැන එහි සමමිතිය සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපි පරාලයක් ගොඩනඟමු. අවශ්ය නම්, අපි පරාවලයේ සමහර ලක්ෂ්යවල ඛණ්ඩාංක තීරණය කරමු. උදාහරණයක් ලෙස, පැරබෝලා සමීකරණයට x=2 ආදේශ කිරීම, අපට ලැබේ y^2=4~\Leftrightarrow~y=\pm2. එබැවින් ඛණ්ඩාංක (2;2),\,(2;-2) සහිත ලක්ෂ්‍ය අයත් වන්නේ පරාවලයටය.
ලබා දී ඇති සමීකරණය කැනොනිකල් එක (3.S1) සමඟ සංසන්දනය කරමින්, අපි නාභීය පරාමිතිය තීරණය කරමු: p=1 . නාභිගත ඛණ්ඩාංක x_F=\frac(p)(2)=\frac(1)(2),~y_F=0, i.e. F\!\වම (\frac(1)(2),\,0\දකුණ). අපි x=-\frac(p)(2) directrix සමීකරණය සම්පාදනය කරමු, i.e. x=-\frac(1)(2) .
ඉලිප්සයක සාමාන්ය ගුණ, අධිබල, පැරබෝලා
1. ඩිරෙක්ටරි ගුණය ඉලිප්සියක, හයිපර්බෝලාවක, පරාවලයක තනි නිර්වචනයක් ලෙස භාවිතා කළ හැක (රූපය 3.50 බලන්න): තලයේ ඇති ලක්ෂ්යවල පිහිටීම, ඒ සෑම එකක් සඳහාම දී ඇති ලක්ෂ්‍යයකට ඇති දුර අනුපාතය F (අවධානය) ලබා දී ඇති සරල රේඛාවකට ඇති දුර d (directrix), දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක් හරහා නොයනු ඇත, නියත හා සමාන වේ විකේන්ද්රිකතාවය e ලෙස හැඳින්වේ:
අ) 0\leqslant e නම් ඉලිප්සයක්<1 ;
ආ) හයිපර්බෝලා, e>1 නම්;
c) පරාබෝලා නම් e=1.
2. ඉලිප්සාව, හයිපර්බෝලා, පැරබෝලා තල මගින් වෘත්තාකාර කේතුවක කොටස් වලින් ලබා ගන්නා අතර එබැවින් ඒවා හැඳින්වේ. කේතුකාකාර කොටස්. මෙම ගුණය ඉලිප්සයක්, හයිපර්බෝලාවක්, පැරබෝලාවක් සඳහා ජ්යාමිතික නිර්වචනයක් ලෙසද සේවය කළ හැක.
3. ඉලිප්සයක පොදු ගුණාංග, අධිබල සහ පරාබෝලා ඇතුළත් වේ ද්වි අංශයේ දේපලඔවුන්ගේ ස්පර්ශක. යටතේ ස්පර්ශකඑහි සමහර ලක්ෂ්‍යයක ඇති රේඛාවට K යනු දෙවන KM හි සීමාකාරී ස්ථානය ලෙස වටහා ගනු ලැබේ, M ලක්ෂ්යය, සලකා බලන රේඛාවේ ඉතිරිව, K ලක්ෂයට නැඹුරු වන විට. ස්පර්ශක රේඛාවට ලම්බකව සහ සම්බන්ධතා ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන රේඛාවක් ලෙස හැඳින්වේ සාමාන්යමෙම රේඛාවට.
ඉලිප්සයකට, හයිපර්බෝලාවට සහ පරාවලයකට ස්පර්ශක (සහ සාමාන්ය) ද්වි අංශයේ ගුණය පහත පරිදි සකස් කර ඇත: ස්පර්ශක (සාමාන්ය) ඉලිප්සයකට හෝ හයිපර්බෝලා ස්පර්ශක ලක්ෂ්යයේ නාභීය අරය සමඟ සමාන කෝණ සාදයි(රූපය 3.51, a, b); පරාවලයට ස්පර්ශක (සාමාන්ය) ස්පර්ශක ලක්ෂ්යයේ නාභි අරය සමග සමාන කෝණ සාදයි(රූපය 3.51, c). වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, K ලක්ෂ්යයේ ඇති ඉලිප්සයට ස්පර්ශකය වන්නේ ත්‍රිකෝණයේ බාහිර කෝණය F_1KF_2 හි ද්වි අංශයයි (සහ සාමාන්ය යනු ත්‍රිකෝණයේ අභ්‍යන්තර කෝණයේ F_1KF_2 ද්වි අංශයයි); හයිපර්බෝලාවේ ස්පර්ශකය F_1KF_2 ත්‍රිකෝණයේ අභ්‍යන්තර කෝණයෙහි ද්වි අංශයයි (සහ සාමාන්ය යනු බාහිර කෝණයේ ද්වි අංශයයි); පරාවලයට ස්පර්ශකය යනු FKK_d ත්‍රිකෝණයේ අභ්‍යන්තර කෝණයෙහි ද්වි අංශයයි (සහ සාමාන්ය යනු බාහිර කෝණයේ ද්වි අංශයයි). පරාවලයකට ස්පර්ශකයේ ද්වි අංශයේ ගුණය ඉලිප්සයක් සහ අතිධ්වනියක් සඳහා වන ආකාරයටම සූත්‍රගත කළ හැක, පරාවලයට අනන්තයේ දෙවන අවධානයක් ඇතැයි අප උපකල්පනය කළහොත්.
4. ද්වි අංශයේ ගුණ අදහස් වේ ඉලිප්සයේ දෘෂ්‍ය ගුණ, හයිපර්බෝලා සහ පැරබෝලා, "අවධානය" යන යෙදුමේ භෞතික අර්ථය පැහැදිලි කිරීම. නාභි අක්ෂය වටා ඉලිප්සයක්, හයිපර්බෝලාවක් හෝ පරාවලයක් භ්‍රමණය වීමෙන් සෑදෙන පෘෂ්ඨයන් අපි සිතමු. මෙම පෘෂ්ඨයන් සඳහා පරාවර්තක ආලේපනයක් යොදනු ලැබුවහොත්, ඉලිප්සීය, අධිබල සහ පරාවලයික දර්පණ ලබා ගනී. දෘෂ්‍ය විද්‍යාවේ නීතියට අනුව, දර්පණයක ආලෝක කදම්භයක සිදුවීම් කෝණය පරාවර්තක කෝණයට සමාන වේ, i.e. සිදුවීම සහ පරාවර්තනය කරන ලද කිරණ මතුපිටට සාමාන්ය කෝණ සමඟ සමාන කෝණ සාදන අතර කිරණ සහ භ්‍රමණ අක්ෂය දෙකම එකම තලයක ඇත. මෙයින් අපට පහත ගුණාංග ලැබේ:
- ආලෝක ප්‍රභවය ඉලිප්සාකාර දර්පණයේ එක් කේන්ද්‍රයක තිබේ නම්, දර්පණයෙන් පරාවර්තනය වන ආලෝක කිරණ වෙනත් අවධානයකින් එකතු වේ (රූපය 3.52, a);
- ආලෝක ප්‍රභවය අධිබල දර්පණයේ එක් කේන්ද්‍රයක තිබේ නම්, දර්පණයෙන් පරාවර්තනය වන ආලෝක කිරණ වෙනත් නාභියකින් පැමිණි ආකාරයට අපසරනය වේ (රූපය 3.52, b);
- ආලෝක ප්‍රභවය පරාවලයික දර්පණයක නාභිගත වන්නේ නම්, දර්පණයෙන් පරාවර්තනය වන ආලෝක කිරණ, නාභීය අක්ෂයට සමාන්තරව යයි (රූපය 3.52, c).
5. විෂ්කම්භය ගුණඉලිප්සය, හයිපර්බෝලා සහ පැරබෝලා පහත පරිදි සකස් කළ හැක:
– ඉලිප්සයේ සමාන්තර ස්වරවල මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය (අධිශ්‍රාවය) ඉලිප්සයේ කේන්ද්රය හරහා ගමන් කරන එකම සරල රේඛාවක පිහිටා ඇත;
– පරාවලයේ සමාන්තර ස්වරවල මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය සරල රේඛාවක පිහිටා ඇත, පරාවලයේ සමමිතික අක්ෂයට සම්බන්ධ වේ.
ඉලිප්සියක සියලුම සමාන්තර ස්වරවල මධ්‍ය ලක්ෂ්යවල පිහිටීම (අධිශ්‍රාවය, පැරබෝලා) ලෙස හැඳින්වේ. ඉලිප්සාකාර විෂ්කම්භය (අධිබල, පැරබෝලා)මෙම chords වලට සම්බන්ධ කරන්න.
පටු අර්ථයෙන් විෂ්කම්භය අර්ථ දැක්වීම මෙයයි (උදාහරණ 2.8 බලන්න). මීට පෙර, විෂ්කම්භය පිළිබඳ නිර්වචනය පුළුල් අර්ථයකින් ලබා දී ඇති අතර, ඉලිප්සයක විෂ්කම්භය, හයිපර්බෝලා, පැරබෝලා සහ අනෙකුත් දෙවන අනුපිළිවෙල රේඛාවල සියලු සමාන්තර ස්වරවල මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය අඩංගු සරල රේඛාවකි. පටු අර්ථයකින්, ඉලිප්සයක විෂ්කම්භය එහි කේන්ද්රය හරහා ගමන් කරන ඕනෑම ස්වරයක් වේ (රූපය 3.53, a); හයිපර්බෝලාවක විෂ්කම්භය යනු හයිපර්බෝලා මධ්‍යය හරහා ගමන් කරන ඕනෑම සරල රේඛාවක් (අසමිතුරු හැර) හෝ එවැනි සරල රේඛාවක කොටසකි (රූපය 3.53.6); පරාවලයක විෂ්කම්භය යනු පරාවලයේ යම් ස්ථානයක සිට සමමිතියේ අක්ෂය සමඟ කොලීනියර් වලින් නිකුත් වන කිරණ වේ (රූපය 3.53, c).
විෂ්කම්භය දෙකක්, ඒ සෑම එකක්ම අනෙක් විෂ්කම්භයට සමාන්තරව සියලුම ස්වර දෙක දෙකට බෙදන අතර, ඒවා සංයුජ ලෙස හැඳින්වේ. Fig. 3.53 හි, තද රේඛා මගින් ඉලිප්සියක, හයිපර්බෝලා සහ පරාවලයක සංයුජ විෂ්කම්භය පෙන්වයි.
K ලක්ෂ්යයේ ඇති ඉලිප්සයකට (අධිබල, පරාබෝලා) ස්පර්ශකය M_1M_2 සමාන්තර අංශු M_1 සහ M_2 යන ලක්ෂ්‍යයන්, සලකා බලන රේඛාවේ ඉතිරිව, K ලක්ෂ්‍යයට නැඹුරු වන විට සීමාකාරී පිහිටීම ලෙස අර්ථ දැක්විය හැක. මෙම නිර්වචනයෙන් පහත දැක්වෙන්නේ ස්වර වලට සමාන්තර ස්පර්ශක විෂ්කම්භයේ අවසානය හරහා මෙම ස්වර වලට සංයෝජනය වන බවයි.
6. ඉලිප්සය, හයිපර්බෝලා සහ පැරබෝලා වලට ඉහත කී කරුණු වලට අමතරව ජ්යාමිතික ගුණ සහ භෞතික යෙදුම් රාශියක් ඇත. උදාහරණයක් ලෙස, Fig. 3.50 ආකර්ශනීය කේන්ද්රය F ආසන්නයේ පිහිටා ඇති අභ්‍යවකාශ වස්තූන්ගේ චලිතයේ ගමන් පථවල නිදර්ශනයක් ලෙස සේවය කළ හැකිය.
ඔබගේ බ්‍රවුසරයේ Javascript අක්‍රිය කර ඇත.ගණනය කිරීම් සිදු කිරීම සඳහා ActiveX පාලන සක්රිය කළ යුතුය!
පැරබෝලා යනු දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් නොකරන d සහ දී ඇති ලක්ෂ්‍යයකට සමාන දුරින් තලයක ඇති ලක්ෂ්යවල පිහිටීමයි. මෙම ජ්යාමිතික අර්ථ දැක්වීම ප්රකාශ කරයි parabola නාමාවලි දේපල.
පැරබෝලාවක නාමාවලි ගුණය
F ලක්ෂ්යය පරාවලයේ නාභිය ලෙසද, d රේඛාව පරාවලයේ ඩිරෙක්ට්රික් ලෙසද හැඳින්වේ, නාභිගත කිරීමේ සිට ඩිරෙක්ට්රික්ස් වෙත පහත වැටුණු ලම්බකයේ O මධ්‍ය ලක්ෂ්යය පරාවලයේ ශීර්ෂයයි, නාභියෙන් ඇති දුර p ඩිරෙක්ට්රික්ස් වෙත යනු පරාවලයේ පරාමිතිය වන අතර, පරාවලයේ ශීර්ෂයේ සිට එහි අවධානයට ඇති දුර \frac(p)(2) - නාභීය දුර (රූපය 3.45, a). සෘජු රේඛාවට ලම්බකව සහ නාභිගත කිරීම හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාව පරාවලයේ අක්ෂය (පරබෝලාවේ නාභීය අක්ෂය) ලෙස හැඳින්වේ. පැරබෝලාවේ අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයක් M සම්බන්ධ කරන FM කොටස එහි නාභිගත කිරීම සමඟ M ලක්ෂ්යයේ නාභීය අරය ලෙස හැඳින්වේ. පරාවලයේ ලක්ෂ්‍ය දෙකක් සම්බන්ධ කරන රේඛා ඛණ්ඩය පරාවලයේ ස්වරය ලෙස හැඳින්වේ.
පැරබෝලාවේ අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයක් සඳහා, නාභිගත කිරීමට ඇති දුර හා ඩිරෙක්ට්රික්ස් වෙත ඇති දුර අනුපාතය එකකට සමාන වේ. , සහ parabolas හි නාමාවලි ගුණාංග සංසන්දනය කරමින්, අපි එය නිගමනය කරමු පැරබෝලා විකේන්ද්රිකතාවඅර්ථ දැක්වීම අනුව එකකට සමාන වේ (e=1) .
පැරබෝලා වල ජ්යාමිතික අර්ථ දැක්වීම, එහි නාමාවලි ගුණය ප්රකාශ කිරීම, එහි විශ්ලේෂණාත්මක නිර්වචනයට සමාන වේ - පැරබෝලාවේ කැනොනිකල් සමීකරණය මගින් ලබා දෙන රේඛාව:
ඇත්ත වශයෙන්ම, අපි සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් හඳුන්වා දෙමු (රූපය 3.45, b). අපි ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ මූලාරම්භය ලෙස පරාවලයේ O ශීර්ෂය ගනිමු; ඩිරෙක්ට්රික්ස් වෙත ලම්බකව නාභිගත කිරීම හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාව, අපි abscissa අක්ෂය ලෙස ගනිමු (O ලක්ෂ්යයේ සිට F ලක්ෂ්යය දක්වා එය මත ධනාත්මක දිශාව); abscissa අක්ෂයට ලම්බකව සරල රේඛාවක් සහ පරාවලයේ ශීර්ෂය හරහා ගමන් කරමින්, අපි ordinate අක්ෂය ලෙස ගනිමු (Oxy සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය නිවැරදි වන පරිදි ordinate අක්ෂයේ දිශාව තෝරා ඇත).
පරාවලයේ අධ්‍යක්ෂ ගුණය ප්රකාශ කරන එහි ජ්යාමිතික නිර්වචනය භාවිතා කරමින් අපි පරාවලයක සමීකරණය සම්පාදනය කරමු. තෝරාගත් ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය තුළ, අපි අවධානය යොමු කිරීමේ ඛණ්ඩාංක තීරණය කරමු F\!\වම (\frac(p)(2);\,0\දකුණ)සහ ඩිරෙක්ට්රික්ස් සමීකරණය x=-\frac(p)(2) . පැරබෝලාවකට අයත් M(x,y) අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයක් සඳහා, අපට ඇත්තේ:
FM=MM_d,
කොහෙද M_d\!\වම (\frac(p)(2);\,y\දකුණ)- ඩිරෙක්ට්රික්ස් වෙත M(x,y) ලක්ෂ්යයේ විකලාංග ප්‍රක්ෂේපණය. අපි මෙම සමීකරණය ඛණ්ඩාංක ආකාරයෙන් ලියන්නෙමු:
\sqrt((\වම(x-\frac(p)(2)\දකුණ)\^2+y^2}=x+\frac{p}{2}. !}
අපි සමීකරණයේ දෙපැත්තම වර්ග කරමු: (\වම(x-\frac(p)(2)\දකුණ)\^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} !}. සමාන කොන්දේසි ගෙන ඒම, අපට ලැබේ කැනොනිකල් පැරබෝලා සමීකරණය
y^2=2\cdot p\cdot x,එම. තෝරාගත් ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය කැනොනිකල් වේ.
ප්‍රතිලෝම අනුපිළිවෙලින් තර්ක කිරීමෙන්, ඛණ්ඩාංක සමීකරණය (3.51) තෘප්තිමත් කරන සියලුම ලක්ෂ්‍යයන් පමණක් පැරබෝලා ලෙස හැඳින්වෙන ලක්ෂ්යවල ස්ථානයට අයත් වන බව පෙන්විය හැක. මේ අනුව, පරාවලයක විශ්ලේෂණාත්මක අර්ථ දැක්වීම එහි ජ්යාමිතික නිර්වචනයට සමාන වන අතර එය පරාවලයක නාමාවලි ගුණය ප්රකාශ කරයි.
ධ්‍රැවීය ඛණ්ඩාංකවල පැරබෝලා සමීකරණය
ධ්‍රැවීය ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ පැරබෝලා සමීකරණය Fr \ varphi (රූපය 3.45, c) ආකෘතිය ඇත
r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),මෙහි p යනු පරාවලයේ පරාමිතිය වන අතර e=1 යනු එහි විකේන්ද්‍රියතාවයයි.
ඇත්ත වශයෙන්ම, ධ්‍රැවීය ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ධ්‍රැවය ලෙස, අපි පරාවලයේ නාභිගත F තෝරා ගනිමු, සහ ධ්‍රැවීය අක්ෂය ලෙස - F ලක්ෂ්යයේ මූලාරම්භය සහිත කිරණ, ඩිරෙක්ට්රික්ස් වෙත ලම්බකව සහ එය හරස් නොකරයි (රූපය 3.45, c) එවිට පරාවලයකට අයත් M(r,\varphi) අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයක් සඳහා, පරාවලයක ජ්යාමිතික නිර්වචනයට (ඩිරෙක්ටෝරියල් ගුණය) අනුව, අපට MM_d=r . මන්දයත් MM_d=p+r\cos\varphi, අපි පරාවල සමීකරණය ඛණ්ඩාංක ආකාරයෙන් ලබා ගනිමු:
p+r\cdot\cos\varphi \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-\cos\varphi),
Q.E.D. ධ්‍රැවීය ඛණ්ඩාංක වලදී, ඉලිප්සයක, අතිධ්‍රැව, සහ පරාවලයක සමීකරණ සමපාත වන නමුත්, ඒවා විකේන්ද්‍රියතාවයෙන් වෙනස් වන බැවින්, විවිධ රේඛා විස්තර කරන බව සලකන්න (0\leqslant e<1 для , e=1 для параболы, e>1 සඳහා ).
පැරබෝලා සමීකරණයේ පරාමිතියෙහි ජ්යාමිතික අර්ථය
අපි පැහැදිලි කරමු පරාමිතියෙහි ජ්යාමිතික අර්ථයකැනොනිකල් පැරබෝලා සමීකරණයේ p. x=\frac(p)(2) සමීකරණයට (3.51) ආදේශ කිරීමෙන් අපට y^2=p^2 ලැබේ, i.e. y=\pm p . එබැවින්, p පරාමිතිය පරාවලයේ අක්ෂයට ලම්බකව එහි නාභිගත කිරීම හරහා ගමන් කරන පරාවල ස්වරයෙහි දිගෙන් අඩකි.
පැරබෝලාවේ නාභි පරාමිතිය, මෙන්ම ඉලිප්සයක් සහ හයිපර්බෝලා සඳහා, නාභීය අක්ෂයට ලම්බකව එහි නාභිගත කිරීම හරහා ගමන් කරන ස්වරයෙන් අඩක් ලෙස හැඳින්වේ (රූපය 3.45, c බලන්න). හි ධ්‍රැවීය ඛණ්ඩාංකවල පැරබෝලා සමීකරණයෙන් \varphi=\frac(\pi)(2)අපට r=p ලැබේ, i.e. parabola පරාමිතිය එහි නාභි පරාමිතිය සමඟ සමපාත වේ.
සටහන් 3.11.
1. පැරබෝලාවක p පරාමිතිය එහි හැඩය සංලක්ෂිත කරයි. p වැඩි වන තරමට පැරබෝලාවේ අතු පුළුල් වන තරමට p ශුන්‍යයට සමීප වන තරමට පැරබෝලාවේ අතු පටු වේ (රූපය 3.46).
2. සමීකරණය y^2=-2px (p>0 සඳහා) y-අක්ෂයේ වම් පසින් පිහිටා ඇති පරාවලයක් නිර්වචනය කරයි (රූපය 3.47, a). මෙම සමීකරණය x-අක්ෂයේ (3.37) දිශාව වෙනස් කිරීමෙන් කැනොනිකල් එකට අඩු වේ. අත්තික්කා මත. 3.47,a දී ඇති ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය Oxy සහ කැනොනිකල් Ox"y" පෙන්වයි.
3. සමීකරණය (y-y_0)^2=2p(x-x_0),\,p>0 abscissa අක්ෂයට සමාන්තර අක්ෂය O "(x_0, y_0) සහිත parabola නිර්වචනය කරයි (රූපය 3.47.6). මෙම සමීකරණය සමාන්තර පරිවර්තනය (3.36) භාවිතයෙන් කැනොනිකල් එකට අඩු කරයි.
සමීකරණය (x-x_0)^2=2p(y-y_0),\,p>0, O "(x_0, y_0) ශීර්ෂය සහිත පරාවලයක් ද නිර්වචනය කරයි, එහි අක්ෂය ඕඩිනේට් අක්ෂයට සමාන්තර වේ (රූපය 3.47, c). සමාන්තර පරිවර්තනය (3.36) සහ නැවත නම් කිරීම මගින් මෙම සමීකරණය කැනොනිකල් එකට අඩු වේ. ඛණ්ඩාංක අක්ෂ (3.38) fig. 3.47, b, c හි දී ඇති ඛණ්ඩාංක පද්ධති Oxy සහ කැනොනිකල් ඛණ්ඩාංක පද්ධති Ox "y" පෙන්වයි.
4. y=ax^2+bx+c,~a\ne0ලක්ෂ්යයේ අග්‍රය සහිත පරාවලයකි O"\!\වම(-\frac(b)(2a);\,-\frac(b^2-4ac)(4a)\දකුණ), එහි අක්ෂය y-අක්ෂයට සමාන්තර වන අතර, පරාවලයේ අතු ඉහළට (a>0 සඳහා) හෝ පහළට (a සඳහා) යොමු කෙරේ.<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение
y=a\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2-\frac(b^2)(4a)+c \quad \Leftrightarrow \quad \!\left(x+\frac(b) (2a)\දකුණ)^2=\frac(1)(a)\වම(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\දකුණ)\!,
එය කැනොනිකල් ස්වරූපයට අඩු කර ඇත (y")^2=2px" , එහිදී p=\වම|\frac(1)(2a)\දකුණ|, ප්රතිස්ථාපනය කිරීමෙන් y"=x+\frac(b)(2a)හා x"=\pm\!\වම(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\දකුණ).
ලකුණ තෝරාගෙන ඇත්තේ ප්‍රමුඛ සංගුණකයේ ලකුණට ගැලපීම සඳහාය. මෙම ආදේශනය සංයුතියට අනුරූප වේ: සමාන්තර පරිවර්තනය (3.36) සමඟ x_0=-\frac(b)(2a)හා y_0=-\frac(b^2-4ac)(4a), ඛණ්ඩාංක අක්ෂ නැවත නම් කිරීම (3.38), සහ නඩුවේ a<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 සහ ඒ<0 соответственно.
5. කැනොනිකල් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ abscissa අක්ෂය වේ පැරබෝලා සමමිතියේ අක්ෂය, විචල්‍යය y සිට -y දක්වා වෙනස් කිරීමෙන් සමීකරණය වෙනස් නොවේ (3.51). වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, පරාවලයට අයත් M (x, y) ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක සහ abscissa අක්ෂය පිළිබඳ M ලක්ෂ්‍යයට සමමිතික M "(x, -y) ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක, සමීකරණය තෘප්තිමත් කරයි (3. S1) කැනොනිකල් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ අක්ෂ ලෙස හැඳින්වේ පැරබෝලාවේ ප්‍රධාන අක්ෂය.
උදාහරණය 3.22. කැනොනිකල් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ Oxy හි පැරබෝලා y^2=2x අඳින්න. නාභීය පරාමිතිය, නාභිගත ඛණ්ඩාංක සහ ඩිරෙක්ට්රික් සමීකරණය සොයා ගන්න.
විසඳුමක්.අපි abscissa අක්ෂය (රූපය 3.49) ගැන එහි සමමිතිය සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපි පරාලයක් ගොඩනඟමු. අවශ්ය නම්, අපි පරාවලයේ සමහර ලක්ෂ්යවල ඛණ්ඩාංක තීරණය කරමු. උදාහරණයක් ලෙස, පැරබෝලා සමීකරණයට x=2 ආදේශ කිරීම, අපට ලැබේ y^2=4~\Leftrightarrow~y=\pm2. එබැවින් ඛණ්ඩාංක (2;2),\,(2;-2) සහිත ලක්ෂ්‍ය අයත් වන්නේ පරාවලයටය.
ලබා දී ඇති සමීකරණය කැනොනිකල් එක (3.S1) සමඟ සංසන්දනය කරමින්, අපි නාභීය පරාමිතිය තීරණය කරමු: p=1 . නාභිගත ඛණ්ඩාංක x_F=\frac(p)(2)=\frac(1)(2),~y_F=0, i.e. F\!\වම (\frac(1)(2),\,0\දකුණ). අපි x=-\frac(p)(2) directrix සමීකරණය සම්පාදනය කරමු, i.e. x=-\frac(1)(2) .
ඉලිප්සයක සාමාන්ය ගුණ, අධිබල, පැරබෝලා
1. ඩිරෙක්ටරි ගුණය ඉලිප්සියක, හයිපර්බෝලාවක, පරාවලයක තනි නිර්වචනයක් ලෙස භාවිතා කළ හැක (රූපය 3.50 බලන්න): තලයේ ඇති ලක්ෂ්යවල පිහිටීම, ඒ සෑම එකක් සඳහාම දී ඇති ලක්ෂ්‍යයකට ඇති දුර අනුපාතය F (අවධානය) ලබා දී ඇති සරල රේඛාවකට ඇති දුර d (directrix), දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක් හරහා නොයනු ඇත, නියත හා සමාන වේ විකේන්ද්රිකතාවය e ලෙස හැඳින්වේ:
අ) 0\leqslant නම් e<1 ;
ආ) e>1 නම්;
c) පරාබෝලා නම් e=1.
2. ඉලිප්සාව, හයිපර්බෝලා, පැරබෝලා තල මගින් වෘත්තාකාර කේතුවක කොටස් වලින් ලබා ගන්නා අතර එබැවින් ඒවා හැඳින්වේ. කේතුකාකාර කොටස්. මෙම ගුණය ඉලිප්සයක්, හයිපර්බෝලාවක්, පැරබෝලාවක් සඳහා ජ්යාමිතික නිර්වචනයක් ලෙසද සේවය කළ හැක.
3. ඉලිප්සයක පොදු ගුණාංග, අධිබල සහ පරාබෝලා ඇතුළත් වේ ද්වි අංශයේ දේපලඔවුන්ගේ ස්පර්ශක. යටතේ ස්පර්ශකඑහි සමහර ලක්ෂ්‍යයක ඇති රේඛාවට K යනු දෙවන KM හි සීමාකාරී ස්ථානය ලෙස වටහා ගනු ලැබේ, M ලක්ෂ්යය, සලකා බලන රේඛාවේ ඉතිරිව, K ලක්ෂයට නැඹුරු වන විට. ස්පර්ශක රේඛාවට ලම්බකව සහ සම්බන්ධතා ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන රේඛාවක් ලෙස හැඳින්වේ සාමාන්යමෙම රේඛාවට.
ඉලිප්සයකට, හයිපර්බෝලාවට සහ පරාවලයකට ස්පර්ශක (සහ සාමාන්ය) ද්වි අංශයේ ගුණය පහත පරිදි සකස් කර ඇත: ස්පර්ශක (සාමාන්ය) ඉලිප්සයකට හෝ හයිපර්බෝලා ස්පර්ශක ලක්ෂ්යයේ නාභීය අරය සමඟ සමාන කෝණ සාදයි(රූපය 3.51, a, b); පරාවලයට ස්පර්ශක (සාමාන්ය) ස්පර්ශක ලක්ෂ්යයේ නාභි අරය සමග සමාන කෝණ සාදයි(රූපය 3.51, c). වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, K ලක්ෂ්යයේ ඇති ඉලිප්සයට ස්පර්ශකය වන්නේ ත්‍රිකෝණයේ බාහිර කෝණය F_1KF_2 හි ද්වි අංශයයි (සහ සාමාන්ය යනු ත්‍රිකෝණයේ අභ්‍යන්තර කෝණයේ F_1KF_2 ද්වි අංශයයි); හයිපර්බෝලාවේ ස්පර්ශකය F_1KF_2 ත්‍රිකෝණයේ අභ්‍යන්තර කෝණයෙහි ද්වි අංශයයි (සහ සාමාන්ය යනු බාහිර කෝණයේ ද්වි අංශයයි); පරාවලයට ස්පර්ශකය යනු FKK_d ත්‍රිකෝණයේ අභ්‍යන්තර කෝණයෙහි ද්වි අංශයයි (සහ සාමාන්ය යනු බාහිර කෝණයේ ද්වි අංශයයි). පරාවලයකට ස්පර්ශකයේ ද්වි අංශයේ ගුණය ඉලිප්සයක් සහ අතිධ්වනියක් සඳහා වන ආකාරයටම සූත්‍රගත කළ හැක, පරාවලයට අනන්තයේ දෙවන අවධානයක් ඇතැයි අප උපකල්පනය කළහොත්.
4. ද්වි අංශයේ ගුණ අදහස් වේ ඉලිප්සයේ දෘෂ්‍ය ගුණ, හයිපර්බෝලා සහ පැරබෝලා, "අවධානය" යන යෙදුමේ භෞතික අර්ථය පැහැදිලි කිරීම. නාභි අක්ෂය වටා ඉලිප්සයක්, හයිපර්බෝලාවක් හෝ පරාවලයක් භ්‍රමණය වීමෙන් සෑදෙන පෘෂ්ඨයන් අපි සිතමු. මෙම පෘෂ්ඨයන් සඳහා පරාවර්තක ආලේපනයක් යොදනු ලැබුවහොත්, ඉලිප්සීය, අධිබල සහ පරාවලයික දර්පණ ලබා ගනී. දෘෂ්‍ය විද්‍යාවේ නීතියට අනුව, දර්පණයක ආලෝක කදම්භයක සිදුවීම් කෝණය පරාවර්තක කෝණයට සමාන වේ, i.e. සිදුවීම සහ පරාවර්තනය කරන ලද කිරණ මතුපිටට සාමාන්ය කෝණ සමඟ සමාන කෝණ සාදන අතර කිරණ සහ භ්‍රමණ අක්ෂය දෙකම එකම තලයක ඇත. මෙයින් අපට පහත ගුණාංග ලැබේ:
- ආලෝක ප්‍රභවය ඉලිප්සාකාර දර්පණයේ එක් කේන්ද්‍රයක තිබේ නම්, දර්පණයෙන් පරාවර්තනය වන ආලෝක කිරණ වෙනත් අවධානයකින් එකතු වේ (රූපය 3.52, a);
- ආලෝක ප්‍රභවය අධිබල දර්පණයේ එක් කේන්ද්‍රයක තිබේ නම්, දර්පණයෙන් පරාවර්තනය වන ආලෝක කිරණ වෙනත් නාභියකින් පැමිණි ආකාරයට අපසරනය වේ (රූපය 3.52, b);
- ආලෝක ප්‍රභවය පරාවලයික දර්පණයක නාභිගත වන්නේ නම්, දර්පණයෙන් පරාවර්තනය වන ආලෝක කිරණ, නාභීය අක්ෂයට සමාන්තරව යයි (රූපය 3.52, c).
5. විෂ්කම්භය ගුණඉලිප්සය, හයිපර්බෝලා සහ පැරබෝලා පහත පරිදි සකස් කළ හැක:
– ඉලිප්සයේ සමාන්තර ස්වරවල මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය (අධිශ්‍රාවය) ඉලිප්සයේ කේන්ද්රය හරහා ගමන් කරන එකම සරල රේඛාවක පිහිටා ඇත;
– පරාවලයේ සමාන්තර ස්වරවල මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය සරල රේඛාවක පිහිටා ඇත, පරාවලයේ සමමිතික අක්ෂයට සම්බන්ධ වේ.
ඉලිප්සියක සියලුම සමාන්තර ස්වරවල මධ්‍ය ලක්ෂ්යවල පිහිටීම (අධිශ්‍රාවය, පැරබෝලා) ලෙස හැඳින්වේ. ඉලිප්සාකාර විෂ්කම්භය (අධිබල, පැරබෝලා)මෙම chords වලට සම්බන්ධ කරන්න.
පටු අර්ථයෙන් විෂ්කම්භය අර්ථ දැක්වීම මෙයයි (උදාහරණ 2.8 බලන්න). මීට පෙර, විෂ්කම්භය පිළිබඳ නිර්වචනය පුළුල් අර්ථයකින් ලබා දී ඇති අතර, ඉලිප්සයක විෂ්කම්භය, හයිපර්බෝලා, පැරබෝලා සහ අනෙකුත් දෙවන අනුපිළිවෙල රේඛාවල සියලු සමාන්තර ස්වරවල මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය අඩංගු සරල රේඛාවකි. පටු අර්ථයකින්, ඉලිප්සයක විෂ්කම්භය එහි කේන්ද්රය හරහා ගමන් කරන ඕනෑම ස්වරයක් වේ (රූපය 3.53, a); හයිපර්බෝලාවක විෂ්කම්භය යනු හයිපර්බෝලා මධ්‍යය හරහා ගමන් කරන ඕනෑම සරල රේඛාවක් (අසමිතුරු හැර) හෝ එවැනි සරල රේඛාවක කොටසකි (රූපය 3.53.6); පරාවලයක විෂ්කම්භය යනු පරාවලයේ යම් ස්ථානයක සිට සමමිතියේ අක්ෂය සමඟ කොලීනියර් වලින් නිකුත් වන කිරණ වේ (රූපය 3.53, c).
විෂ්කම්භය දෙකක්, ඒ සෑම එකක්ම අනෙක් විෂ්කම්භයට සමාන්තරව සියලුම ස්වර දෙක දෙකට බෙදන අතර, ඒවා සංයුජ ලෙස හැඳින්වේ. Fig. 3.53 හි, තද රේඛා මගින් ඉලිප්සියක, හයිපර්බෝලා සහ පරාවලයක සංයුජ විෂ්කම්භය පෙන්වයි.
K ලක්ෂ්යයේ ඇති ඉලිප්සයකට (අධිබල, පරාබෝලා) ස්පර්ශකය M_1M_2 සමාන්තර අංශු M_1 සහ M_2 යන ලක්ෂ්‍යයන්, සලකා බලන රේඛාවේ ඉතිරිව, K ලක්ෂ්‍යයට නැඹුරු වන විට සීමාකාරී පිහිටීම ලෙස අර්ථ දැක්විය හැක. මෙම නිර්වචනයෙන් පහත දැක්වෙන්නේ ස්වර වලට සමාන්තර ස්පර්ශක විෂ්කම්භයේ අවසානය හරහා මෙම ස්වර වලට සංයෝජනය වන බවයි.
6. ඉලිප්සය, හයිපර්බෝලා සහ පැරබෝලා වලට ඉහත කී කරුණු වලට අමතරව ජ්යාමිතික ගුණ සහ භෞතික යෙදුම් රාශියක් ඇත. උදාහරණයක් ලෙස, Fig. 3.50 ආකර්ශනීය කේන්ද්රය F ආසන්නයේ පිහිටා ඇති අභ්‍යවකාශ වස්තූන්ගේ චලිතයේ ගමන් පථවල නිදර්ශනයක් ලෙස සේවය කළ හැකිය.
තලයේ රේඛාවක් සහ මෙම රේඛාවේ නොපවතින ලක්ෂ්‍යයක් සලකා බලන්න. හා ඉලිප්සය, හා හයිපර්බෝලාදී ඇති ලක්ෂ්‍යයකට ඇති දුර අනුපාතය දී ඇති සරල රේඛාවකට ඇති දුර නියතයක් වන ලක්ෂ්යවල පිහිටීම ලෙස ඒකාබද්ධ ආකාරයකින් අර්ථ දැක්විය හැකිය.
නිලය ε. 0 1 දී - අධිබෝලය. පරාමිතිය ε වේ ඉලිප්සයේ සහ හයිපර්බෝලා දෙකෙහිම විකේන්ද්‍රියතාවය. ε පරාමිතියේ හැකි ධනාත්මක අගයන්ගෙන් එකක්, එනම් ε = 1, භාවිතයට නොගත් බව පෙනේ. මෙම අගය ලබා දී ඇති ලක්ෂ්‍යයට සහ ලබා දී ඇති රේඛාවෙන් සමාන වූ ලක්ෂ්යවල පිහිටීමට අනුරූප වේ.
අර්ථ දැක්වීම 8.1.ස්ථාවර ලක්ෂ්‍යයක සිට ස්ථාවර රේඛාවකින් සමාන දුරින් පිහිටි තලයක ලක්ෂ්යවල පිහිටීම හැඳින්වේ පැරබෝලා
ස්ථාවර ලක්ෂ්යය ලෙස හැඳින්වේ පැරබෝලාවේ අවධානය, සහ සරල රේඛාව පැරබෝලා හි සෘජුකය. ඒ සමගම, එය උපකල්පනය කරයි පැරබෝලා විකේන්ද්රිකතාවඑකකට සමාන වේ.
ජ්යාමිතික සලකා බැලීම් වලින් එය අනුගමනය කරන්නේ පරාවලය සෘජු රේඛාවකට ලම්බකව සහ පරාවලයේ නාභිය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක් සම්බන්ධයෙන් සමමිතික බවයි. මෙම රේඛාව පැරබෝලා හෝ සරලව සමමිතියේ අක්ෂය ලෙස හැඳින්වේ පැරබෝලා අක්ෂය. පැරබෝලා එහි සමමිතික අක්ෂය සමඟ එක් ලක්ෂ්‍යයකින් ඡේදනය වේ. මෙම ලක්ෂ්යය ලෙස හැඳින්වේ පැරබෝලා මුදුනේ. එය ඩිරෙක්ට්රික්ස් (රූපය 8.3) සමඟ එහි අක්ෂයේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යය සමඟ පරාවලයේ අවධානයට සම්බන්ධ වන කොටස මැද පිහිටා ඇත.
පැරබෝලා සමීකරණය.පැරබෝලා සමීකරණය ව්‍යුත්පන්න කිරීම සඳහා, අපි තලය මත තෝරා ගනිමු සම්භවයපැරබෝලා මුදුනේ, ලෙස abscissa- පරාවලයේ අක්ෂය, අවධානය යොමු කිරීමේ පිහිටීම මගින් ලබා දෙන ධනාත්මක දිශාව (රූපය 8.3 බලන්න). මෙම ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය ලෙස හැඳින්වේ කැනොනිකල්සලකා බලනු ලබන පැරබෝලා සඳහා, සහ අනුරූප විචල්‍ය වේ කැනොනිකල්.
අපි යොමුවේ සිට ඩිරෙක්ට්රික්ස් වෙත ඇති දුර p ලෙස දක්වමු. ඔහු කැඳවනු ලැබේ parabola නාභීය පරාමිතිය.
එවිට අවධානයට F(p/2; 0) ඛණ්ඩාංක ඇති අතර ඩිරෙක්ට්රික්ස් d x = - p/2 සමීකරණයෙන් විස්තර කෙරේ. M(x;y) ලක්ෂ්යවල ස්ථානය F ලක්ෂ්යයේ සිට සහ d රේඛාවේ සිට සමාන දුරින්, සමීකරණය මගින් ලබා දේ.
අපි සමීකරණය (8.2) වර්ග කර සමාන ඒවා ලබා දෙන්නෙමු. අපි සමීකරණය ලබා ගනිමු
යනුවෙන් හඳුන්වනු ලැබේ පැරබෝලාවේ කැනොනිකල් සමීකරණය.
වර්ග කිරීම බව සලකන්න මෙම නඩුව- සමීකරණයේ සමාන පරිවර්තනය (8.2), රැඩිකල් යටතේ ප්‍රකාශනය මෙන් සමීකරණයේ කොටස් දෙකම සෘණ නොවන බැවින්.
පැරබෝලා වර්ගය.අප දන්නා යැයි සලකන පැරබෝලා y 2 \u003d x, abscissa දිගේ 1 / (2p) සංගුණකයකින් සම්පීඩිත නම්, අපට සාමාන්ය ස්වරූපයක පරාවලයක් ලැබේ, එය සමීකරණය (8.3) මගින් විස්තර කෙරේ.
උදාහරණ 8.2.එය කැනොනිකල් ඛණ්ඩාංක (25; 10) ඇති ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරන්නේ නම්, පරාවලයේ ඩිරෙක්ට්රික්ස් හි නාභිගත කිරීමේ ඛණ්ඩාංක සහ සමීකරණය සොයා ගනිමු.
කැනොනිකල් ඛණ්ඩාංකවල, පැරබෝලා සමීකරණයට y 2 = 2px ආකෘතිය ඇත. ලක්ෂ්යය (25; 10) පරාවලය මත ඇති බැවින්, 100 = 50p සහ එම නිසා p = 2. එබැවින්, y 2 = 4x යනු පරාවලයේ කැනොනිකල් සමීකරණය වේ, x = - 1 යනු එහි සෘජුකෝණාස්‍රයේ සමීකරණය වන අතර, අවධානය යොමු වන්නේ ලක්ෂ්යයේ (1; 0 ).
පැරබෝලාවක දෘශ්ය ගුණය.පැරබෝලා පහත සඳහන් දේ ඇත දෘශ්ය ගුණය. ආලෝක ප්‍රභවයක් පැරබෝලාවේ නාභිගතව තැබුවහොත්, පරාවලයෙන් පරාවර්තනය වීමෙන් පසු සියලුම ආලෝක කිරණ පරාවලයේ අක්ෂයට සමාන්තර වේ (රූපය 8.4). ඔප්ටිකල් ගුණය යනු පැරබෝලාවේ ඕනෑම අවස්ථාවක එම් සාමාන්ය දෛශිකයස්පර්ශකය නාභීය අරය MF සහ abscissa අක්ෂය සමඟ එකම කෝණ සාදයි.
පෝරමයේ කාර්යය , එහිදී හඳුන්වනු ලැබේ චතුරස්රාකාර ශ්රිතය.
චතුරස්රාකාර ශ්රිතයේ ප්රස්ථාරය - පරාබෝලා.
අවස්ථා සලකා බලන්න:
නඩුව I, ක්ලැසිකල් පැරබෝලා
එනම්,,
ගොඩනැගීමට, සූත්‍රයට x අගයන් ආදේශ කිරීමෙන් වගුව පුරවන්න:
ලකුණු ලකුණු කරන්න (0;0); (1;1); (-1;1) ආදිය. ඛණ්ඩාංක තලය මත (අපි ගන්නා පියවර කුඩා වන විට x අගයන් (මෙම අවස්ථාවේදී, පියවර 1), සහ අපි වැඩි x අගයන් ගන්නා විට, වක්‍රය සුමට වන තරමට, අපට පරාබෝලාවක් ලැබේ:
අපි නඩුව ගත්තොත් , , , ඒ කියන්නේ අපිට අක්ෂයේ (ගොනා) පරාවල සමමිතිකයක් ලැබෙන බව දැකීම පහසුයි. සමාන වගුවක් පිරවීමෙන් මෙය සත්‍යාපනය කිරීම පහසුය:
II අවස්ථාව, "a" එකකට වඩා වෙනස්
ගත්තොත් මොකද වෙන්නේ , , ? පැරබෝලාගේ හැසිරීම වෙනස් වන්නේ කෙසේද? මාතෘකාව සමඟින්="(!LANG:QuickLaTeX.com විසින් ඉදිරිපත් කරන ලදී" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}
පළමු පින්තූරය (ඉහළ බලන්න) පැහැදිලිව පෙන්නුම් කරන්නේ පරාල (1;1), (-1;1) සඳහා වගුවේ ඇති ලකුණු (1;4), (1;-4) බවට පරිවර්තනය වී ඇති බවයි. එකම අගයන් සමඟ, එක් එක් ලක්ෂ්යයේ ඕඩිනේටය 4 න් ගුණ කරනු ලැබේ. මෙය මුල් වගුවේ සියලුම ප්‍රධාන ලක්ෂ්‍යවලට සිදුවේ. පින්තූර 2 සහ 3 අවස්ථා වලදී අපි ඒ හා සමානව තර්ක කරමු.
පැරබෝලා "පළුල්" වූ විට:
අපි නැවත සලකා බලමු:
1)සංගුණකයේ ලකුණ ශාඛා වල දිශාවට වගකිව යුතුය. මාතෘකාව සමඟින්="(!LANG:QuickLaTeX.com විසින් ඉදිරිපත් කරන ලදී" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}
2) නිරපේක්ෂ වටිනාකම සංගුණකය (මොඩියුලස්) පරාවලයේ "ප්රසාරණය", "සම්පීඩනය" සඳහා වගකිව යුතුය. විශාල වන තරමට පැරබෝලා පටු වන තරමට කුඩා |a|, පැරබෝලා පුළුල් වේ.
නඩුව III, "C" දිස්වේ
දැන් අපි සෙල්ලම් කරමු (එනම්, අපි නඩුව සලකා බලමු ), අපි පෝරමයේ පරාවලයන් සලකා බලමු. ලකුණ මත පදනම්ව, පැරබෝලා අක්ෂය දිගේ ඉහළට හෝ පහළට ගමන් කරන බව අනුමාන කිරීම පහසුය (ඔබට සැමවිටම මේසය වෙත යොමු විය හැක):
IV නඩුව, "b" දිස්වේ
පැරබෝලා අක්ෂයෙන් "ඉරීම" සහ අවසානයේ සම්පූර්ණ ඛණ්ඩාංක තලය දිගේ "ඇවිදින්න" කවදාද? එය සමාන වීම නතර වූ විට.
මෙන්න, පැරබෝලාවක් සෑදීමට, අපට අවශ්යයි ශීර්ෂය ගණනය කිරීම සඳහා සූත්රය: , .
එබැවින් මෙම අවස්ථාවේදී (ලක්ෂ්යයේ මෙන් (0; 0) නව පද්ධතියඛණ්ඩාංක) අපි දැනටමත් අපගේ බලය තුළ ඇති පරාවලයක් ගොඩනඟමු. අපි නඩුව සමඟ කටයුතු කරන්නේ නම්, ඉහළ සිට අපි එක් ඒකක කොටසක් දකුණට, එක් ඉහළට වෙන් කරමු - ප්රතිඵලය වන ලක්ෂ්යය අපගේ වේ (ඒ හා සමානව, වමට පියවරක්, පියවරක් අපගේ ලක්ෂ්යය); අපි ගනුදෙනු කරන්නේ නම්, උදාහරණයක් ලෙස, ඉහළ සිට අපි එක කොටසක් දකුණට, දෙක - ඉහළට යනාදිය වෙන් කරමු.
උදාහරණයක් ලෙස, පැරබෝලාවේ ශීර්ෂය:
දැන් තේරුම් ගත යුතු ප්‍රධානම දෙය නම්, මෙම ශීර්ෂයේ දී අපි පරාවල සැකිල්ලට අනුව පරාවලයක් ගොඩනඟමු, මන්ද අපගේ නඩුවේදී ය.
පැරබෝලාවක් ඉදි කිරීමේදී ශීර්ෂයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීමෙන් පසු ඉතා වේපහත සඳහන් කරුණු සලකා බැලීම පහසුය:
1) පරාබෝලා ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කළ යුතුය . ඇත්ත වශයෙන්ම, සූත්‍රයට x=0 ආදේශ කිරීමෙන් අපට එය ලැබේ. එනම්, පැරබෝලා අක්ෂය (oy) සමඟ ඡේදනය වන ලක්ෂ්යයේ ඕඩිනේට්, මෙය වේ. අපගේ උදාහරණයේ (ඉහළ), පැරබෝලා y-අක්ෂය ඡේදනය කරයි , සිට .
2) සමමිතික අක්ෂය පැරබෝලා යනු සරල රේඛාවකි, එබැවින් පැරබෝලාවේ සියලුම ලක්ෂ්‍ය එය සමමිතික වේ. අපගේ උදාහරණයේ දී, අපි වහාම ලක්ෂ්යය (0; -2) ගෙන සමමිතියේ අක්ෂය ගැන පරාවල සමමිතිකයක් ගොඩනඟමු, අපට පැරබෝලා පසුකර යන ලක්ෂ්යය (4; -2) ලැබේ.
3) ට සමාන කරමින්, අපි අක්ෂය (ගොනා) සමඟ පරාවලයේ ඡේදනය වීමේ ස්ථාන සොයා ගනිමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි සමීකරණය විසඳන්නෙමු. වෙනස්කම් කරන්නා මත පදනම්ව, අපට එකක් (, ), දෙකක් ( title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com) ලැබේ." height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . පෙර උදාහරණයේ දී, අප සතුව ඇත්තේ වෙනස් කොට සැලකීමේ මූලය - පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් නොවේ, එය ගොඩනඟන විට, අපට මූලයන් සෙවීම ඇත්තෙන්ම තේරුමක් නැත, නමුත් අපට පැහැදිලිව පෙනෙන්නේ අපට ඡේදනය වන ස්ථාන දෙකක් ඇති බවයි. (ඔහ්) අක්ෂය (මාතෘකාව සිට = "(!LANG: QuickLaTeX.com විසින් නිරූපණය කරන ලදී" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}
ඉතින් අපි වැඩ කරමු
පැරබෝලා ආකෘතියෙන් ලබා දී ඇත්නම් එය ඉදිකිරීම සඳහා ඇල්ගොරිතම
1) ශාඛා වල දිශාව තීරණය කරන්න (a>0 - ඉහළ, a<0 – вниз)
2) සූත්රය මගින් පරාවලයේ ශීර්ෂයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගන්න.
3) නිදහස් පදය මගින් අපි පරාවලය අක්ෂය (oy) සමඟ ඡේදනය වන ලක්ෂ්යය සොයා ගනිමු, අපි පරාවලයේ සමමිතියේ අක්ෂයට අදාළව ලබා දී ඇති එකට සමමිතික ලක්ෂ්‍යයක් ගොඩනඟමු (එය සිදුවන්නේ එය බව සැලකිල්ලට ගත යුතුය. මෙම ලක්ෂ්යය සලකුණු කිරීම ලාභදායී නොවේ, උදාහරණයක් ලෙස, අගය විශාල බැවින් ... අපි මෙම කරුණ මඟ හැරියෙමු ...)
4) සොයාගත් ස්ථානයේ - පැරබෝලා මුදුනේ (නව ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ලක්ෂ්යයේ (0; 0) මෙන්), අපි පරාලයක් ගොඩනඟමු. මාතෘකාව = "(! LANG: QuickLaTeX.com විසින් ලබා දී ඇත" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}
5) පරාවලය අක්ෂය (oy) සමඟ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍ය අපට හමු වේ (ඒවා තවමත් “මතුපිටට” පැමිණ නොමැති නම්), සමීකරණය විසඳයි
උදාහරණ 1
උදාහරණය 2
සටහන 1.පැරබෝලා මුලින් අපට ලබා දී ඇත්තේ අංක කිහිපයක් (උදාහරණයක් ලෙස, ) ආකාරයෙන් නම්, එය තැනීම වඩාත් පහසු වනු ඇත, මන්ද අපට දැනටමත් සිරස් ඛණ්ඩාංක ලබා දී ඇත. මන්ද?
අපි හතරැස් ත්‍රිපදයක් ගෙන එහි සම්පූර්ණ චතුරස්‍රයක් තෝරා ගනිමු: බලන්න, මෙන්න අපට එය ලැබුණා, . අපි කලින් හැඳින්වූයේ පැරබෝලා මුදුනට, එනම් දැන්,.
උදාහරණ වශයෙන්, . අපි ගුවන් යානයේ පැරබෝලා මුදුන සලකුණු කරමු, අතු පහළට යොමු කර ඇති බව අපි තේරුම් ගනිමු, පරාවලය පුළුල් වේ (සාපේක්ෂ වශයෙන්). එනම්, අපි පියවර 1 ඉටු කරමු; 3; හතර; 5 parabola ඉදිකිරීම සඳහා ඇල්ගොරිතමයෙන් (ඉහත බලන්න).
සටහන 2.පරාවලය මෙයට සමාන ආකාරයෙන් ලබා දෙන්නේ නම් (එනම් රේඛීය සාධක දෙකක නිෂ්පාදනයක් ලෙස නිරූපණය කෙරේ), එවිට අපට වහාම පරාවලය (x) අක්ෂය සමඟ ඡේදනය වන ස්ථාන දකී. මෙම අවස්ථාවේදී - (0;0) සහ (4;0). ඉතිරිය සඳහා, අපි ඇල්ගොරිතමයට අනුව ක්රියා කරමු, වරහන් විවෘත කරමු.
