රේඛාවල ඡේදනය වන ස්ථානය සොයා ගන්න. ජ්යාමිතික ඇල්ගොරිතම. ශ්රිතවල ප්රස්ථාරවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක

රේඛා දෙකක් සමාන්තර නොවේ නම්, ඒවා එක් ස්ථානයක දැඩි ලෙස ඡේදනය වේ. සොයාගන්න ඛණ්ඩාංක ලකුණුපේළි 2 ක ඡේදනය චිත්රක සහ දෙකම ඉඩ ඇත අංක ගණිත ක්රමය, කාර්යය සපයන දත්ත මත පදනම්ව.

ඔබට අවශ්ය වනු ඇත

• - චිත්රයේ සරල රේඛා දෙකක්;
• - සරල රේඛා 2 ක සමීකරණ.

උපදෙස්

1. ප්‍රස්ථාරයේ රේඛා වඩාත් සමීපව ඇඳ තිබේ නම්, විසඳුම සොයා ගන්න ග්රැෆික් ක්රමය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඡේදනය වන පරිදි පේළි දෙකම හෝ එකක් දිගටම කරගෙන යන්න. ඊට පසු, ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය සලකුණු කර එහි සිට ලම්බකව x-අක්ෂයට පහත් කරන්න (ඔහ්, සුපුරුදු පරිදි).

2. අක්ෂයේ ලකුණු ලකුණ භාවිතා කරමින්, එම ලක්ෂ්‍යය සඳහා x අගය සොයන්න. එය අක්ෂයේ ධනාත්මක දිශාවට (ශුන්‍ය ලකුණේ දකුණට) නම්, එහි අගය නිවැරදි වනු ඇත, එසේ නොමැති නම් එය ඍණ වේ.

3. ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඕඩිනේටය ද සත්‍ය හඳුනා ගන්න. ලක්ෂ්‍යයේ ප්‍රක්ෂේපණය ශුන්‍ය ලකුණට ඉහළින් පිහිටා තිබේ නම්, එය නිවැරදි ය; එය පහත නම්, එය සෘණ වේ. ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක පෝරමයේ (x, y) ලියන්න - මෙය ගැටලුවට විසඳුමයි.

4. රේඛා y=kx+b සූත්‍ර ආකාරයෙන් ලබා දී ඇත්නම්, ඔබට ප්‍රස්ථාරිකව ගැටළුව විසඳා ගත හැකිය: සම්බන්ධීකරණ ජාලයේ රේඛා අඳින්න සහ ඉහත විස්තර කර ඇති ක්‍රමය භාවිතා කර විසඳුම සොයා ගන්න.

5. මෙම සූත්‍ර යෙදීමෙන් ගැටලුවට විසඳුමක් සෙවීමට උත්සාහ කරන්න. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, මෙම සමීකරණ පද්ධතියක් සාදා එය විසඳන්න. සමීකරණ y=kx+b ලෙස ලබා දෙන්නේ නම්, ප්‍රාථමිකව දෙපැත්තම x ට සමාන කර x සොයන්න. ඉන්පසු x අගය එක් සමීකරණයකට සම්බන්ධ කර y සොයා ගන්න.

6. Cramer ගේ ක්රමය මගින් විසඳුම සොයා ගැනීමට අවසර ඇත. මෙම අවස්ථාවේදී, සමීකරණ A1x + B1y + C1 \u003d 0 සහ A2x + B2y + C2 \u003d 0 ආකෘතියට ගෙන එන්න. ක්‍රේමර්ගේ සූත්‍රයට අනුව, x \u003d - (C1B2-C2B1) / (A1B2-A2B1), සහ y \u003d - (A1C2-A2C1) / (A1B2-A2B1). අවධානය යොමු කරන්න, හරය ශුන්‍යයට සමාන නම්, රේඛා සමාන්තර හෝ සමපාත වන අතර, ඒ අනුව, ඡේදනය නොවන්න.

7. ඔබට කැනොනිකල් ආකාරයෙන් අභ්‍යවකාශයේ රේඛා ලබා දී ඇත්නම්, ඔබ විසඳුමක් සෙවීමට පෙර, රේඛා සමාන්තර දැයි පරීක්ෂා කරන්න. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, x=-1+3t, y=7+2t, z=2+t සහ x=-1+6t, y=-1+4t, ට සමානුපාතික නම් t ට පෙර ඝාතකයන් ඇගයීමට ලක් කරන්න. z=-5 +2t, එවිට රේඛා සමාන්තර වේ. ඊට අමතරව, රේඛා ඡේදනය විය හැක, මෙම අවස්ථාවෙහිදී පද්ධතියට විසඳුමක් නොලැබේ.

8. රේඛා ඡේදනය වන බව ඔබ සොයා ගන්නේ නම්, ඒවායේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යය සොයා ගන්න. පළමුව, පළමු පේළිය සඳහා t සහ 2 වන පේළිය සඳහා v සමඟ කොන්දේසි සහිතව විචල්‍යයන් වෙනස් රේඛා වලින් සමාන කරන්න. ඔබට රේඛා x=t-1, y=2t+1, z=t+2 සහ x=t+1, y=t+1, z=2t+8 වැනි රේඛා ලබා දුන්නොත් ඔබට u-1 වැනි ප්‍රකාශන ලැබේ යැයි සිතමු. =v +1, 2u+1=v+1, u+2=2v+8.

9. එක් සමීකරණයකින් u ප්‍රකාශ කරන්න, තවත් සමීකරණයකට ආදේශ කර v සොයන්න (මෙම ගැටලුවේදී u=-2,v=-4). දැන්, ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය සොයා ගැනීම සඳහා, t වෙනුවට ලබාගත් අගයන් ආදේශ කරන්න (වෙනසක් නැත, පළමු හෝ දෙවන සමීකරණයේ) සහ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක ලබා ගන්න x=-3, y=-3, z=0 .

ඡේදනය 2 සලකා බැලීමට සෘජුඡේදනය වන රේඛා දෙක එකම තලයක පිහිටා ඇති බැවින් ඒවා තලයක සලකා බැලීම ප්‍රමාණවත් වේ. මේවායේ සමීකරණ දැනගෙන සෘජු, එය ඔවුන්ගේ ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංකය සොයා ගැනීමට අවසර ඇත මංසන්ධි .

ඔබට අවශ්ය වනු ඇත

• රේඛා සමීකරණ

උපදෙස්

1. කාටිසියානු ඛණ්ඩාංකවල, සරල රේඛාවක සාමාන්‍ය සමීකරණය මෙලෙස දිස්වේ: Ax + By + C = 0. රේඛා දෙකක් ඡේදනය වීමට ඉඩ දෙන්න. පළමු පේළියේ සමීකරණයේ Ax + By + C = 0 ආකෘතිය ඇත, 2 වන පේළිය - Dx + Ey + F = 0. සියලුම දර්ශක (A, B, C, D, E, F) නියම කළ යුතුය. කරුණක් සොයා ගැනීමට මංසන්ධිමේ සෘජුමෙම රේඛීය සමීකරණ 2 හි පද්ධතිය විසඳීම අවශ්ය වේ.

2. එය විසඳීම සඳහා, පළමු සමීකරණය E මගින්ද, දෙවැන්න B මගින්ද ගුණ කිරීම පහසු වේ. ප්‍රතිඵලයක් වශයෙන්, සමීකරණ මෙලෙස දිස්වනු ඇත: AEx + BEy + CE = 0, DBx + EBy + FB = 0. අඩු කිරීමෙන් පසු පළමු සමීකරණයෙන් දෙවන සමීකරණය, ඔබට ලැබෙන්නේ: (AE- DB)x = FB-CE. Otsel, x = (FB-CE)/(AE-DB) ප්‍රතිසමයෙන්, පළමු සමීකරණය ආරම්භක පද්ධතියඑය D, දෙවන - A මගින් ගුණ කිරීමට ඉඩ දෙනු ලැබේ, ඉන්පසු නැවතත් පළමුවැන්නෙන් දෙවැන්න අඩු කරන්න. ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, y = (CD-FA)/(AE-DB) ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන x සහ y අගයන් ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක වනු ඇත. මංසන්ධි සෘජු .

3. සමීකරණ සෘජුකෝණික ඝාතක k අනුවද ලිවිය හැක, ස්පර්ශකසරල රේඛාවක ආනතියේ කෝණය. මෙම අවස්ථාවේදී, සරල රේඛාවක සමීකරණය y = kx+b ආකෘතිය ඇත. දැන් පළමු පේළියේ සමීකරණය y = k1*x+b1 වන අතර 2 වන පේළිය y = k2*x+b2 වේ.

4. අපි මෙම සමීකරණ 2 හි නිවැරදි කොටස් සමාන කළහොත්, අපට ලැබෙන්නේ: k1*x+b1 = k2*x+b2. මෙතැන් සිට x = (b1-b2)/(k2-k1) ලබා ගැනීම පහසුය. පසුව, මෙම x අගය ඕනෑම සමීකරණයකට ආදේශ කිරීමෙන් ප්‍රතිඵලයක් ලෙස: y = (k2*b1-k1*b2)/(k2-k1). x සහ y අගයන් ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සකසයි මංසන්ධි සෘජු.රේඛා දෙකක් සමාන්තර හෝ සමපාත වේ නම්, ඒවාට පිළිවෙළින් පොදු ලක්ෂ්‍ය හෝ අනන්ත පොදු ලක්ෂ්‍ය නොමැත. මෙම අවස්ථා වලදී, k1 = k2, ලක්ෂ්යවල ඛණ්ඩාංක සඳහා හරයන් මංසන්ධිඅතුරුදහන් වනු ඇත, එබැවින් පද්ධතියට සම්භාව්‍ය විසඳුමක් නොමැත, පද්ධතියට තිබිය හැක්කේ එකක් පමණි සම්භාව්ය විසඳුම, එය කොන්දේසි විරහිත ය, මන්ද අහඹු නොවන සහ සමාන්තර නොවන රේඛා දෙකකට තිබිය හැක්කේ එක් ලක්ෂයක් පමණි මංසන්ධි .

සම්බන්ධ වීඩියෝ දර්ශන

රේඛා දෙකක් ලබා දීමට ඉඩ දෙන්න, ඒවායේ ඡේදනය වන ස්ථානය සොයා ගැනීමට අවශ්ය වේ. මෙම ලක්ෂ්‍යය ලබා දී ඇති රේඛා දෙකටම අයත් වන බැවින්, එහි ඛණ්ඩාංක පළමු පේළියේ සමීකරණය සහ දෙවන පේළියේ සමීකරණය යන දෙකම තෘප්තිමත් කළ යුතුය.

මේ අනුව, රේඛා දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීම සඳහා, සමීකරණ පද්ධතිය විසඳිය යුතුය.

උදාහරණ 1. රේඛා ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යය සොයන්න සහ

විසඳුමක්. සමීකරණ පද්ධතිය විසඳීමෙන් අපි අපේක්ෂිත ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගනිමු

ඡේදනය වන ස්ථානය M හි ඛණ්ඩාංක ඇත

එහි සමීකරණයෙන් සරල රේඛාවක් ගොඩනඟන්නේ කෙසේදැයි අපි පෙන්වමු. රේඛාවක් ඇඳීම සඳහා, එහි කරුණු දෙකක් දැන ගැනීමට ප්රමාණවත් වේ. මෙම එක් එක් ලක්ෂ්යය සැලසුම් කිරීම සඳහා, අපි එහි එක් ඛණ්ඩාංකයකට අත්තනෝමතික අගයක් ලබා දෙන අතර, පසුව සමීකරණයෙන් අපි අනෙක් ඛණ්ඩාංකයේ අනුරූප අගය සොයා ගනිමු.

ඇතුලේ නම් සාමාන්ය සමීකරණයවත්මන් ඛණ්ඩාංකවල සංගුණක දෙකම ශුන්‍යයට සමාන නොවන බැවින්, මෙම රේඛාව ඉදිකිරීම සඳහා ඛණ්ඩාංක අක්ෂ සමඟ එහි ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍ය සොයා ගැනීම වඩාත් සුදුසුය.

උදාහරණ 2. සරල රේඛාවක් සාදන්න.

විසඳුමක්. x අක්ෂය සමඟ මෙම රේඛාවේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය සොයන්න. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි ඔවුන්ගේ සමීකරණ එකට විසඳන්නෙමු:

අපි ලබා ගන්නවා . මේ අනුව, abscissa අක්ෂය සමඟ මෙම සරල රේඛාවේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යය M (3; 0) සොයා ගන්නා ලදී (රූපය 40).

පසුව ලබා දී ඇති රේඛාවේ සමීකරණය සහ y-අක්ෂයේ සමීකරණය ඒකාබද්ධව විසඳීම

y අක්ෂය සමඟ රේඛාවේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය අපට හමු වේ. අවසාන වශයෙන්, අපි එහි ලක්ෂ්‍ය දෙකෙන් රේඛාවක් සාදන්නෙමු M සහ

"ජ්යාමිතික ඇල්ගොරිතම" මාලාවෙන් පාඩම

ආයුබෝවන් හිතවත් පාඨකයා!

අපි දිගටම ජ්යාමිතික ඇල්ගොරිතම සමඟ දැන හඳුනා ගන්නෙමු. පසුගිය පාඩමේදී, අපි ලකුණු දෙකක ඛණ්ඩාංකවල සරල රේඛාවක සමීකරණය සොයා ගත්තෙමු. අපට පෝරමයේ සමීකරණයක් ඇත:

අද අපි සරල රේඛා දෙකක සමීකරණ භාවිතා කරමින්, ඒවායේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ (ඇත්නම්) ඛණ්ඩාංක සොයා ගන්නා ශ්‍රිතයක් ලියන්නෙමු. තාත්වික සංඛ්‍යාවල සමානාත්මතාවය පරීක්ෂා කිරීම සඳහා, අපි RealEq() විශේෂ ශ්‍රිතය භාවිතා කරමු.

තලයේ ඇති ලක්ෂ්‍ය තාත්වික සංඛ්‍යා යුගලයකින් විස්තර කෙරේ. සැබෑ වර්ගය භාවිතා කරන විට, විශේෂ කාර්යයන් සමඟ සැසඳීමේ මෙහෙයුම් සංවිධානය කිරීම වඩා හොඳය.

හේතුව දන්නා කරුණකි: පැස්කල් ක්‍රමලේඛන පද්ධතියේ සැබෑ වර්ගයට අනුපිළිවෙල සම්බන්ධයක් නොමැත, එබැවින් a සහ b තාත්වික සංඛ්‍යා වන a = b ආකෘතියේ වාර්තා භාවිතා නොකිරීම වඩා හොඳය.
අද අපි "=" (දැඩි ලෙස සමාන) මෙහෙයුම ක්‍රියාත්මක කිරීම සඳහා RealEq() ශ්‍රිතය හඳුන්වා දෙන්නෙමු:

Function RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (දැඩි ලෙස සමාන) ආරම්භ කරන්න RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

කාර්යයක්. සරල රේඛා දෙකක සමීකරණ ලබා දී ඇත: සහ . ඔවුන්ගේ ඡේදනය වන ස්ථානය සොයා ගන්න.

විසඳුමක්. පැහැදිලි විසඳුම වන්නේ රේඛා සමීකරණ පද්ධතිය විසඳීමයි: අපි මෙම පද්ධතිය ටිකක් වෙනස් ලෙස නැවත ලියමු:
(1)

අපි අංකනය හඳුන්වා දෙන්නෙමු:, , . මෙහි D යනු පද්ධතියේ නිර්ණායකය වන අතර, අනුරූප නොදන්නා සඳහා සංගුණක තීරුව නිදහස් පද තීරුවක් සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමෙන් ලබා ගන්නා නිර්ණායක වේ. , එසේ නම්, පද්ධතිය (1) නිශ්චිත වේ, එනම්, එය අද්විතීය විසඳුමක් ඇත. මෙම විසඳුම පහත සඳහන් සූත්‍ර මගින් සොයාගත හැකිය: , , යනුවෙන් හඳුන්වනු ලැබේ ක්රේමර්ගේ සූත්ර. දෙවන අනුපිළිවෙල නිර්ණායකය ගණනය කරන්නේ කෙසේදැයි මම ඔබට මතක් කරමි. නිර්ණායකය විකර්ණ දෙකක් අතර වෙනස හඳුනා ගනී: ප්‍රධාන සහ ද්විතියික. ප්‍රධාන විකර්ණය නිර්ණායකයේ ඉහළ වම් කෙළවරේ සිට පහළ දකුණු කෙළවර දක්වා දිශාවට ගන්නා ලද මූලද්‍රව්‍ය වලින් සමන්විත වේ. පැති විකර්ණ - ඉහළ දකුණේ සිට පහළ වමට. දෙවන අනුපිළිවෙල නිර්ණායකය ප්‍රධාන විකර්ණයේ මූලද්‍රව්‍යවල ගුණිතයට සමාන වන අතර ද්විතියික විකර්ණයේ මූලද්‍රව්‍යවල ගුණිතය අඩු වේ.

සමානාත්මතාවය පරීක්ෂා කිරීමට කේතය RealEq() ශ්‍රිතය භාවිතා කරයි. තාත්වික සංඛ්‍යා මත ගණනය කිරීම් _Eps=1e-7 දක්වා නිරවද්‍යතාවයෙන් සිදු කෙරේ.

වැඩසටහන geom2; Const _Eps: Real=1e-7;(ගණනය කිරීමේ නිරවද්‍යතාවය) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real; Function RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (දැඩි ලෙස සමාන) ආරම්භ කරන්න RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

රේඛාවල සමීකරණ දැනගෙන ඒවායේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සොයාගත හැකි වැඩසටහනක් අපි සම්පාදනය කර ඇත්තෙමු.

මෙම මාර්ගගත කැල්කියුලේටරය ආධාරයෙන් ඔබට ගුවන් යානයේ රේඛා ඡේදනය වන ස්ථානය සොයාගත හැකිය. පැහැදිලි කිරීම් සහිත සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් ලබා දී ඇත. රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීමට, රේඛාවල සමීකරණයේ වර්ගය සඳහන් කරන්න ("කැනොනිකල්", "පරාමිතික" හෝ "සාමාන්‍ය"), සෛල තුළට රේඛාවල සමීකරණවල සංගුණක ඇතුළත් කර ක්ලික් කරන්න "විසඳන්න" බොත්තම. පහත න්‍යායාත්මක කොටස සහ සංඛ්‍යාත්මක උදාහරණ බලන්න.

×

අවවාදයයි

සියලුම සෛල හිස් කරන්නද?

Close Clear

දත්ත ඇතුළත් කිරීමේ උපදෙස්.සංඛ්‍යා සම්පූර්ණ සංඛ්‍යා (උදාහරණ: 487, 5, -7623, ආදිය), දශම සංඛ්‍යා (උදා. 67., 102.54, ආදිය) හෝ භාග ලෙස ඇතුළත් කර ඇත. භාගය a/b ආකාරයෙන් ටයිප් කළ යුතු අතර, a සහ b (b>0) නිඛිල හෝ දශම සංඛ්‍යා වේ. උදාහරණ 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, ආදිය.

තලයේ රේඛා ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය - න්‍යාය, උදාහරණ සහ විසඳුම්

1. සාමාන්ය ආකාරයෙන් ලබා දී ඇති සරල රේඛා ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යය.

ඔක්සි එල් 1 සහ එල් 2:

අපි වැඩි කළ අනුකෘතියක් ගොඩනඟමු:

අ බී" 2=0 සහ සිට" 2 =0, එවිට රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියට බොහෝ විසඳුම් ඇත. එබැවින් සෘජු එල් 1 සහ එල් 2 තරගය. අ බී" 2=0 සහ සිට" 2 ≠0, එවිට පද්ධතිය නොගැලපෙන අතර, එබැවින්, රේඛා සමාන්තර වන අතර පොදු ලක්ෂ්යයක් නොමැත. නම් බී" 2 ≠0, එවිට රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියට අද්විතීය විසඳුමක් ඇත. දෙවන සමීකරණයෙන් අපි සොයා ගනිමු y: y=සිට" 2 /බී" 2 සහ ප්රතිඵලය වන අගය පළමු සමීකරණයට ආදේශ කිරීම, අපි සොයා ගනිමු x: x=−සිට 1 −බී 1 y. රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යය ලබා ගන්න එල් 1 සහ එල් 2: එම්(x, y).

2. කැනොනිකල් ආකාරයෙන් ලබා දී ඇති රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යය.

Cartesian සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් ලබා දෙමු ඔක්සිසහ මෙම ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය තුළ රේඛා ලබා දීමට ඉඩ දෙන්න එල් 1 සහ එල් 2:

අපි වරහන් විවෘත කර පරිවර්තනයන් කරමු:

සමාන ක්රමයක් මගින්, අපි සරල රේඛාවේ පොදු සමීකරණය ලබා ගනිමු (7):

සමීකරණ (12) වලින් එය පහත දැක්වේ:

කැනොනිකල් ආකාරයෙන් ලබා දී ඇති රේඛාවල ඡේදනය වන ස්ථානය සොයා ගන්නේ කෙසේද යන්න ඉහත විස්තර කර ඇත.

4. විවිධ දර්ශනවල අර්ථ දක්වා ඇති රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය.

Cartesian සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් ලබා දෙමු ඔක්සිසහ මෙම ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය තුළ රේඛා ලබා දීමට ඉඩ දෙන්න එල් 1 සහ එල් 2:

අපි සොයා බලමු ටී:

ඒ 1 x 2 +ඒ 1 එම්ටී+බී 1 y 2 +බී 1 පිටී+සී 1 =0,

සම්බන්ධයෙන් අපි රේඛීය සමීකරණ පද්ධතිය විසඳන්නෙමු x, y. මෙය සිදු කිරීම සඳහා අපි Gauss ක්රමය භාවිතා කරමු. අපට ලැබෙන්නේ:

උදාහරණ 2. රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය සොයන්න එල් 1 සහ එල් 2:

එල් 1: 2x+3y+4=0,

(20)

(21)

රේඛා ඡේදනය වන ස්ථානය සොයා ගැනීමට එල් 1 සහ එල් 2 රේඛීය සමීකරණ පද්ධතිය (20) සහ (21) විසඳීමට අවශ්ය වේ. අපි න්‍යාස ස්වරූපයෙන් සමීකරණ නියෝජනය කරමු.

ඛණ්ඩාංක ක්රමය භාවිතා කරමින් සමහර ජ්යාමිතික ගැටළු විසඳන විට, රේඛා ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ. බොහෝ විට, කෙනෙකුට තලයේ රේඛා දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සෙවිය යුතුය, නමුත් සමහර විට අභ්‍යවකාශයේ රේඛා දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක තීරණය කිරීම අවශ්‍ය වේ. මෙම ලිපියෙන් අපි රේඛා දෙකක් ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීමට කටයුතු කරමු.

පිටු සංචලනය.

පේළි දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යය අර්ථ දැක්වීමකි.

අපි මුලින්ම රේඛා දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය නිර්වචනය කරමු.

මේ අනුව, සාමාන්‍ය සමීකරණ මගින් තලය මත අර්ථ දක්වා ඇති රේඛා දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීම සඳහා, දී ඇති රේඛා සමීකරණ වලින් සමන්විත පද්ධතියක් විසඳීම අවශ්‍ය වේ.

උදාහරණයක් ලෙස විසඳුමක් සලකා බලමු.

උදාහරණයක්.

x-9y+14=0 සහ 5x-2y-16=0 සමීකරණ මගින් තලයේ සෘජුකෝණාස්‍රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක අර්ථ දක්වා ඇති රේඛා දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය සොයන්න.

විසඳුමක්.

අපට රේඛා වල සාමාන්‍ය සමීකරණ දෙකක් ලබා දී ඇත, අපි ඒවායින් පද්ධතියක් සම්පාදනය කරන්නෙමු: . එහි පළමු සමීකරණය x විචල්‍යයට අදාළව විසඳා මෙම ප්‍රකාශනය දෙවන සමීකරණයට ආදේශ කළහොත් ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන සමීකරණ පද්ධතියේ විසඳුම් පහසුවෙන් සොයාගත හැකිය:

සමීකරණ පද්ධතියේ සොයාගත් විසඳුම අපට රේඛා දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ අපේක්ෂිත ඛණ්ඩාංක ලබා දෙයි.

පිළිතුර:

M 0 (4, 2) x-9y+14=0 සහ 5x-2y-16=0 .

එබැවින්, තලයේ සාමාන්‍ය සමීකරණ මගින් අර්ථ දක්වා ඇති රේඛා දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීම, නොදන්නා විචල්‍ය දෙකක් සහිත රේඛීය සමීකරණ දෙකක පද්ධතියක් විසඳීම දක්වා අඩු වේ. නමුත් තලයේ සරල රේඛා ලබා දෙන්නේ සාමාන්‍ය සමීකරණ මගින් නොව, වෙනත් වර්ගයක සමීකරණ මගින් නම් (තලයේ සරල රේඛාවක සමීකරණයේ වර්ග බලන්න)? මෙම අවස්ථා වලදී, ඔබට පළමුව රේඛා සමීකරණ සාමාන්‍ය ස්වරූපයකට ගෙන යා හැකි අතර ඉන් පසුව පමණක් ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගන්න.

උදාහරණයක්.

හා .

විසඳුමක්.

දී ඇති රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීමට පෙර, අපි ඒවායේ සමීකරණ සාමාන්‍ය ස්වරූපයකට ගෙන එන්නෙමු. පරාමිතික සමීකරණ සිට සරල රේඛාවකට මාරු වීම මෙම සරල රේඛාවේ පොදු සමීකරණයට පහත පරිදි වේ:

දැන් අපි රේඛාවේ කැනොනිකල් සමීකරණය සමඟ අවශ්‍ය ක්‍රියා සිදු කරන්නෙමු:

මේ අනුව, රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ අපේක්ෂිත ඛණ්ඩාංක යනු පෝරමයේ සමීකරණ පද්ධතියේ විසඳුමයි. . එය විසඳීමට අපි භාවිතා කරමු:

පිළිතුර:

M 0 (-5, 1)

ගුවන් යානයේ රේඛා දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීමට තවත් ක්රමයක් තිබේ. පෝරමයේ පරාමිතික සමීකරණ මගින් එක් පේළියක් ලබා දී ඇති විට එය භාවිතා කිරීම පහසුය , සහ අනෙක - වෙනස් ස්වරූපයක සරල රේඛාවක සමීකරණය. මෙම අවස්ථාවේදී, වෙනත් සමීකරණයකදී, x සහ y විචල්‍යයන් වෙනුවට, ඔබට ප්‍රකාශන ආදේශ කළ හැකිය. හා , ලබා දී ඇති රේඛාවල ඡේදනය වන ස්ථානයට අනුරූප වන අගය ලබා ගැනීමට හැකි වනු ඇත. මෙම අවස්ථාවේදී, රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යය ඛණ්ඩාංක ඇත .

මේ ආකාරයට පෙර උදාහරණයෙන් රේඛා ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගනිමු.

උදාහරණයක්.

රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක තීරණය කරන්න හා .

විසඳුමක්.

සෘජු ප්‍රකාශනයේ සමීකරණයේ ආදේශ කරන්න:

ප්රතිඵලය සමීකරණය විසඳීම, අපි ලබා ගනිමු. මෙම අගය රේඛාවල පොදු ලක්ෂ්යයට අනුරූප වේ හා . සරල රේඛාව පරාමිතික සමීකරණවලට ආදේශ කිරීමෙන් අපි ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක ගණනය කරමු:
.

පිළිතුර:

M 0 (-5, 1) .

පින්තූරය සම්පූර්ණ කිරීම සඳහා, තවත් එක් කරුණක් සාකච්ඡා කළ යුතුය.

තලයේ රේඛා දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීමට පෙර, ලබා දී ඇති රේඛා සැබවින්ම ඡේදනය වන බවට වග බලා ගැනීම ප්‍රයෝජනවත් වේ. මුල් රේඛා සමපාත හෝ සමාන්තරව පවතින බව පෙනේ නම්, එවැනි රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීම පිළිබඳ ප්‍රශ්නයක් තිබිය නොහැක.

ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔබට එවැනි චෙක්පතකින් තොරව කළ හැකි අතර, වහාම පෝරමයේ සමීකරණ පද්ධතියක් සම්පාදනය කරන්න සහ එය විසඳන්න. සමීකරණ පද්ධතියට අද්විතීය විසඳුමක් තිබේ නම්, එය මුල් රේඛා ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක ලබා දෙයි. සමීකරණ පද්ධතියට විසඳුම් නොමැති නම්, මුල් රේඛා සමාන්තර බව අපට නිගමනය කළ හැකිය (දී ඇති රේඛාවල සමීකරණ දෙකම එකවර තෘප්තිමත් කළ හැකි තාත්වික සංඛ්‍යා x සහ y යුගලයක් නොමැති බැවින්). සමීකරණ පද්ධතියට අසීමිත විසඳුම් සමූහයක් තිබීමෙන්, එය අනුගමනය කරන්නේ මුල් රේඛාවලට අනන්තවත් පොදු කරුණු ඇති බවයි, එනම් ඒවා සමපාත වේ.

මෙම තත්වයන්ට ගැලපෙන උදාහරණ දෙස බලමු.

උදාහරණයක්.

රේඛා සහ ඡේදනය වේද යන්න සොයා බලන්න, ඒවා ඡේදනය වන්නේ නම්, ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගන්න.

විසඳුමක්.

ලබා දී ඇති රේඛා සමීකරණ සමීකරණවලට අනුරූප වේ හා . මෙම සමීකරණ වලින් සමන්විත පද්ධතිය විසඳා ගනිමු .

පද්ධතියේ සමීකරණ එකිනෙක හරහා රේඛීයව ප්‍රකාශ වන බව පැහැදිලිය (පද්ධතියේ දෙවන සමීකරණය එහි කොටස් දෙකම 4 න් ගුණ කිරීමෙන් පළමුවැන්නෙන් ලබා ගනී), එබැවින් සමීකරණ පද්ධතියට අසීමිත විසඳුම් තිබේ. මේ අනුව, සමීකරණ සහ එකම රේඛාව නිර්වචනය කරන අතර, මෙම රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීම ගැන කතා කළ නොහැක.

පිළිතුර:

සමීකරණ සහ සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ Oxy හි එකම සරල රේඛාව තීරණය කරයි, එබැවින් අපට ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීම ගැන කතා කළ නොහැක.

උදාහරණයක්.

රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සොයන්න හා , හැකි නම්.

විසඳුමක්.

ගැටලුවේ තත්වය රේඛා ඡේදනය නොවිය හැකි බව පිළිගනී. අපි මෙම සමීකරණ පද්ධතියක් සකස් කරමු. එහි විසඳුම සඳහා අදාළ වේ, එය ඔබට සමීකරණ පද්ධතියේ ගැළපුම හෝ නොගැලපීම තහවුරු කිරීමට ඉඩ සලසයි, සහ එය අනුකූල නම්, විසඳුමක් සොයා ගන්න:

ගවුස් ක්‍රමයේ සෘජු ගමන් මාර්ගයෙන් පසු පද්ධතියේ අවසාන සමීකරණය වැරදි සමානාත්මතාවයක් බවට පත් විය, එබැවින් සමීකරණ පද්ධතියට විසඳුම් නොමැත. මෙයින් අපට මුල් රේඛා සමාන්තර බව නිගමනය කළ හැකි අතර, මෙම රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීම ගැන කතා කළ නොහැක.

දෙවන විසඳුම.

ලබා දී ඇති රේඛා ඡේදනය වේද යන්න සොයා බලමු.

- සාමාන්ය රේඛා දෛශිකය , සහ දෛශිකය රේඛාවේ සාමාන්ය දෛශිකයකි . අපි ක්රියාත්මක කිරීම පරීක්ෂා කරමු හා : සමානාත්මතාවය එය සත්‍ය වේ, මක්නිසාද යත්, ලබා දී ඇති රේඛාවල සාමාන්‍ය දෛශික කෝලිනියර් වේ. එවිට, මෙම රේඛා සමාන්තර හෝ සමපාත වේ. මේ අනුව, මුල් රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක සොයාගත නොහැක.

පිළිතුර:

මෙම රේඛා සමාන්තර බැවින් දී ඇති රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සොයාගත නොහැක.

උදාහරණයක්.

2x-1=0 රේඛාවල ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සහ ඒවා ඡේදනය වන්නේ නම් සොයන්න.

විසඳුමක්.

දී ඇති රේඛාවල පොදු සමීකරණ වන සමීකරණ පද්ධතියක් අපි සම්පාදනය කරමු: . මෙම සමීකරණ පද්ධතියේ ප්‍රධාන න්‍යාසයේ නිර්ණායකය ශුන්‍යයට වඩා වෙනස් වේ , එබැවින් සමීකරණ පද්ධතියට අද්විතීය විසඳුමක් ඇත, එය ලබා දී ඇති රේඛාවල ඡේදනය පෙන්නුම් කරයි.

රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීමට, අපි පද්ධතිය විසඳිය යුතුය:

ප්රතිඵලය වන විසඳුම අපට රේඛා ඡේදනය වන ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක ලබා දෙයි, එනම්, 2x-1=0 සහ .

පිළිතුර:

අවකාශයේ රේඛා දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීම.

ත්‍රිමාන අවකාශයේ රේඛා දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සමාන ලෙස දක්නට ලැබේ.

අපි උදාහරණ සලකා බලමු.

උදාහරණයක්.

සමීකරණ මගින් අවකාශයේ දී ඇති රේඛා දෙකක ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සොයන්න හා .

විසඳුමක්.

දී ඇති රේඛාවල සමීකරණ වලින් අපි සමීකරණ පද්ධතියක් සම්පාදනය කරමු: . මෙම පද්ධතියේ විසඳුම අභ්‍යවකාශයේ රේඛා ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ අපේක්ෂිත ඛණ්ඩාංක අපට ලබා දෙනු ඇත. ලිඛිත සමීකරණ පද්ධතියේ විසඳුම අපි සොයා ගනිමු.

පද්ධතියේ ප්රධාන අනුකෘතිය ආකෘතිය ඇත , සහ දීර්ඝ .

අපි නිර්වචනය කරමු A සහ අනුකෘතියේ ශ්‍රේණිය T . අපි පාවිච්චි කරන්නේ