විචල්‍ය කිහිපයක ශ්‍රිතයක ප්‍රාදේශීය අන්ත ලක්ෂ්ය නිර්ණය කිරීම. කාර්යයන්හි දේශීය අන්තය
උපරිම සහ අවම ලකුණු
ශ්රේෂ්ඨතම ගත වන ලකුණු හෝ කුඩාම අගයනිර්වචනයේ වසම මත; එවැනි ලකුණු ලෙස හැඳින්වේ නිරපේක්ෂ උපරිම හෝ නිරපේක්ෂ අවම ලකුණු ද. f ස්ථලකයක් මත අර්ථ දක්වා තිබේ නම් අවකාශය X, පසුව ලක්ෂ්යය x 0කියලා දේශීය උපරිම ලක්ෂ්යය (දේශීය අවම), එවැනි ලක්ෂ්යයක් තිබේ නම් x 0,මෙම අසල්වැසි කාරණයේදී සලකා බලනු ලබන කාර්යය සීමා කිරීම සඳහා බව x 0නිරපේක්ෂ උපරිම (අවම) ලක්ෂ්යය වේ. දැඩි සහ දැඩි නොවන උපරිම (අවම) (නිරපේක්ෂ සහ දේශීය යන දෙකම) ලකුණු ඇත. උදාහරණයක් ලෙස, dot called f ශ්‍රිතයක දැඩි නොවන (දැඩි) ප්‍රාදේශීය උපරිමයක ලක්ෂ්යයක්, ලක්ෂ්යයේ එවැනි අසල්වැසි ප්රදේශයක් පවතී නම් x 0,සෑම කෙනෙකුටම අදාළ වන (පිළිවෙලින් f(x)
පරිමිත-මාන වසම් මත අර්ථ දක්වා ඇති ශ්‍රිත සඳහා, අවකල කලනය අනුව, දී ඇති ලක්ෂ්යයක් දේශීය උපරිම (අවම) ලක්ෂ්යයක් වීම සඳහා කොන්දේසි සහ ලකුණු ඇත. f ශ්රිතය සංඛ්‍යා අක්ෂයේ x 0 ලක්ෂ්යයේ නිශ්චිත අසල්වැසි ප්රදේශයක අර්ථ දැක්වීමට ඉඩ දෙන්න. නම් x 0 -දැඩි නොවන දේශීය උපරිම (අවම) ලක්ෂ්යයක් වන අතර මේ අවස්ථාවේදී f"( x 0),
එවිට එය බිංදුවට සමාන වේ.
දී ඇති ශ්‍රිතයක් f ලක්ෂ්‍යයක අසල්වැසි ප්රදේශයක අවකලනය කළ හැකි නම් x 0,හැර, සමහර විට, මෙම ලක්ෂ්යය, එය අඛණ්ඩව පවතින අතර, ලක්ෂ්යයේ එක් එක් පැත්තෙහි f" ව්‍යුත්පන්නය x 0මෙම අසල්වැසි ස්ථානයේ නියත ලකුණක් රඳවා තබා ගනී, පසුව සඳහා x 0දැඩි දේශීය උපරිම (දේශීය අවම) ලක්ෂ්යයක් විය, ව්‍යුත්පන්නයට ලකුණ ප්ලස් සිට සෘණ දක්වා වෙනස් කිරීම අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් වේ, එනම් f" (x)>0 සඳහා x<.x 0සහ f"(x)<0 при x>x 0(පිළිවෙලින් සෘණ සිට ප්ලස් දක්වා: f"(X) <0
x හි<x 0සහ f"(x)>0 at x>x 0).
කෙසේ වෙතත්, ලක්ෂ්‍යයක අසල්වැසි ප්රදේශයක වෙනස් කළ හැකි සෑම කාර්යයක් සඳහාම නොවේ x 0,මෙම අවස්ථාවේදී ව්යුත්පන්න වෙනස් වීමේ ලකුණ ගැන කතා කළ හැකිය. . "
f ශ්රිතය ලක්ෂ්‍යයක තිබේ නම් x 0 ටීව්යුත්පන්න, සහ පසුව පිණිස x 0දැඩි දේශීය උපරිම ලක්ෂ්යයක් විය, එය ඒකාකාර වීම අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් වන අතර එය f (m) ( x 0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (x 0)>0.
ශ්රිතය f( x 1 ..., x n] ලක්ෂ්‍යයක n-මාන අසල්වැසි ප්රදේශයක අර්ථ දක්වා ඇති අතර මෙම අවස්ථාවේදී අවකලනය වේ. x (0) යනු දැඩි නොවන දේශීය උපරිම (අවම) ලක්ෂ්යයක් නම්, මෙම ලක්ෂ්යයේ f ශ්රිතය ශුන්‍යයට සමාන වේ. මෙම කොන්දේසිය f ශ්රිතයේ 1 වන අනුපිළිවෙලෙහි සියලුම අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන්ගේ මෙම ලක්ෂ්යයේ ශුන්‍යයට සමානාත්මතාවයට සමාන වේ. ශ්‍රිතයකට x(0) හි 2 වන අඛණ්ඩ අර්ධ ව්යුත්පන්න තිබේ නම්, එහි x(0) හි සියලුම 1 වන ව්‍යුත්පන්නයන් අතුරුදහන් වන අතර, x(0) හි 2 වන අනුපිළිවෙල අවකලනය සෘණ (ධනාත්මක) චතුරස්‍ර ආකාරයක් වේ නම්, x (0) වේ. දැඩි දේශීය උපරිම (අවම) ලක්ෂ්යයක්. තාර්කික වෙනස්කම් සඳහා යම් සීමාවන් පැනවූ විට, M. සහ M.T අවකල ශ්‍රිත සඳහා ප්‍රසිද්ධ වේ: සම්බන්ධතා සමීකරණ තෘප්තිමත් වේ. වඩාත් සංකීර්ණ ව්‍යුහයක් ඇති සැබෑ ශ්‍රිතයක උපරිම (අවම) සඳහා අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් කොන්දේසි ගණිතයේ විශේෂ අංශවල අධ්‍යයනය කෙරේ: උදාහරණයක් ලෙස, උත්තල විශ්ලේෂණය, ගණිතමය වැඩසටහන්කරණය(මෙයද බලන්න උපරිම කිරීම සහ කාර්යයන් අවම කිරීම).
M. සහ m.t බහුවිධ මත අර්ථ දක්වා ඇති කාර්යයන් අධ්‍යයනය කෙරේ සාමාන්යයෙන් වෙනස්කම් ගණනය කිරීම,සහ M. සහ m.t මත දක්වා ඇති කාර්යයන් සඳහා ක්රියාකාරී අවකාශයන්, එනම් ක්‍රියාකාරීත්වය සඳහා, in වෙනස්කම් ගණනය කිරීම.ද ඇත විවිධ ක්රම m සහ m.t හි සංඛ්‍යාත්මක ආසන්න නිර්ණය.
ලිට්.: Il'in V. A., Poznya k E. G., Fundamentals ගණිතමය විශ්ලේෂණය, 3 වන සංස්කරණය, 1 කොටස, එම්., 1971; KudryavtsevL. L. D. Kudryavtsev.
ගණිත විශ්වකෝෂය. - එම්.: සෝවියට් විශ්වකෝෂය. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
වෙනත් ශබ්ද කෝෂවල ඇති "උපරිම සහ අවම ලකුණු" මොනවාදැයි බලන්න:
කාලය-විවික්ත පාලන ක්‍රියාවලීන් සඳහා පොන්ට්‍රියාජින්ගේ විවික්ත උපරිම මූලධර්මය. එවැනි ක්‍රියාවලියක් සඳහා, පරිමිත වෙනස ක්‍රියාකරු රඳවා නොගත හැක, නමුත් එහි අඛණ්ඩ ප්‍රතිසමය සඳහා, පරිමිත වෙනස ක්‍රියාකරු අවකලනයකින් ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමෙන් ලබා ගනී... ... ගණිතමය විශ්වකෝෂය
විශ්ලේෂණ මොඩියුලයේ ප්‍රධාන ගුණාංග වලින් එකක් ප්‍රකාශ කරන ප්‍රමේයයක්. කාර්යයන්. F(z) නිත්‍ය විශ්ලේෂණ හෝ සමරූපී, D-සංකීර්ණ සංඛ්‍යා අවකාශයේ ඩොමේනයක සංකීර්ණ විචල්‍යවල ශ්‍රිතයක් වන අතර, M.m.p in... ... ගණිතමය විශ්වකෝෂය
සැබෑ අගයන් ගන්නා ශ්‍රිතයක විශාලතම සහ ඒ අනුව කුඩාම අගයන්. සලකා බලනු ලබන ශ්රිතයේ අර්ථ දැක්වීමේ වසමේ ලක්ෂ්යය, එය උපරිම හෝ අවම අගයක් ගන්නා විට, එය හැඳින්වේ. පිළිවෙලින් උපරිම ලක්ෂ්යයක් හෝ අවම ලක්ෂ්යයක්... ... ගණිතමය විශ්වකෝෂය
ශ්‍රිතයක උපරිම සහ අවම, ලක්ෂ්‍යයක උපරිම සහ අවම බලන්න... ගණිතමය විශ්වකෝෂය
උපරිම හෝ අවම වන අඛණ්ඩ ශ්‍රිතයක අගය (උපරිම සහ අවම ලකුණු බලන්න). lE යන යෙදුම... ගණිතමය විශ්වකෝෂය
දර්ශකය- (දර්ශකය) දර්ශකය වේ තොරතුරු පද්ධතිය, ද්‍රව්‍ය, උපාංගය, ඕනෑම පරාමිතියක වෙනස්කම් පෙන්වන උපාංගය, ඒවා මොනවාද සහ ඒවා බාගත කළ හැක්කේ කොතැනින්ද? MACD දර්ශක විස්තරය,... ... ආයෝජක විශ්වකෝෂය
මෙම පදයට වෙනත් අර්ථයන් ඇත, Extremum (අර්ථ) බලන්න. ගණිතයේ Extremum (lat. අන්ත අන්ත) යනු දී ඇති කට්ටලයක ශ්‍රිතයක උපරිම හෝ අවම අගයයි. අන්තයට ළඟා වන ස්ථානය... ... විකිපීඩියාව
අවකල ගණනයව්‍යුත්පන්න සහ අවකලනය පිළිබඳ සංකල්ප සහ ඒවා ශ්‍රිත අධ්‍යයනයට අදාළ වන ආකාරය අධ්‍යයනය කරන ගණිතමය විශ්ලේෂණ අංශයකි. අන්තර්ගතය 1 එක් විචල්‍යයක ශ්‍රිතවල අවකල ගණනය ... විකිපීඩියා
Lemniscate සහ එහි නාභිගත කිරීම් Bernoulli's lemniscate යනු තල වීජීය වක්‍රයකි. ලක්ෂ්‍යවල පිහිටීම, නිෂ්පාදන ... විකිපීඩියාව ලෙස අර්ථ දක්වා ඇත
අපසරනය- (අපසරනය) දර්ශකයක් ලෙස අපසරනය MACD අපසරනය සමඟ වෙළඳ උපායමාර්ගය අන්තර්ගත අන්තර්ගත කොටස 1. මත. කොටස 2. අපසරනය කෙසේද. අපසරනය යනු අපසාරී දිගේ චලනය හැඳින්වීමට ආර්ථික විද්‍යාවේ භාවිතා කරන යෙදුමකි... ... ආයෝජක විශ්වකෝෂය
$E \subset \mathbb(R)^(n)$. $f$ තියෙනවා කියනවා දේශීය උපරිම $x_(0) \E$ ලක්ෂ්යයේදී, $x_(0)$ ලක්ෂ්යයේ $U$ නම් අසල්වැසි ප්රදේශයක් තිබේ නම්, එය සියලු $x \in U$ සඳහා $f\වම (x\දකුණ) අසමානතාවය ) \leqslant f සෑහීමකට පත්වේ \left(x_(0)\right)$.
දේශීය උපරිමය ලෙස හැඳින්වේ දැඩි , $x_(0)$ ට වඩා වෙනස් සියලුම $x \in U$ සඳහා $f\වම(x\දකුණ) ඇති පරිදි අසල්වැසි $U$ තෝරාගත හැකි නම්< f\left(x_{0}\right)$.
අර්ථ දැක්වීම
විවෘත කට්ටලය $E \subset \mathbb(R)^(n)$ මත $f$ සැබෑ ශ්‍රිතයක් වීමට ඉඩ දෙන්න. $f$ තියෙනවා කියනවා දේශීය අවම$x_(0) \E$ ලක්ෂ්යයේදී, $x_(0)$ ලක්ෂ්යයේ $U$ නම් අසල්වැසි ප්රදේශයක් තිබේ නම්, එය සියලු $x \in U$ සඳහා $f\වම (x\දකුණ) අසමානතාවය ) \geqslant f තෘප්තිමත් \වම(x_(0)\දකුණ)$.
$x_(0)$ ට වඩා වෙනස් $x \in U$ සඳහා $f\left(x\right) > f\left(x_) ඇති පරිදි අසල්වැසි $U$ තෝරා ගත හැකි නම් දේශීය අවමයක් දැඩි ලෙස හැඳින්වේ. (0)\දකුණ)$.
දේශීය අන්තය දේශීය අවම සහ දේශීය උපරිම යන සංකල්ප ඒකාබද්ධ කරයි.
ප්රමේයය ( අවශ්ය කොන්දේසියඅවකල ශ්රිතයේ අන්තය)
විවෘත කට්ටලය $E \subset \mathbb(R)^(n)$ මත $f$ සැබෑ ශ්‍රිතයක් වීමට ඉඩ දෙන්න. $x_(0) ලක්ෂ්යයේ නම් \E$ හි $f$ ශ්රිතය ඇත දේශීය අන්තයසහ මෙම අවස්ථාවේදී, $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ ශුන්‍යයට අවකලනයේ සමානාත්මතාවය සෑම දෙනාම ශුන්‍යයට සමාන වන බවට සමාන වේ, i.e. $$\ displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$
ඒක-මාන නඩුවේ මෙය - . $h$ යනු අත්තනෝමතික දෛශිකයක් වන $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$ සඳහන් කරමු. $\phi$ ශ්රිතය නිරපේක්ෂ අගයෙන් ප්රමාණවත් තරම් කුඩා $t$ අගයන් සඳහා අර්ථ දක්වා ඇත. ඊට අමතරව, එය , සහ $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$ සම්බන්ධයෙන් වෙනස් කළ හැක.
$f$ ට x $0$ ලක්ෂ්යයේදී දේශීය උපරිමයක් තිබිය යුතුය. මෙහි තේරුම $t = 0$ හි $\phi$ ශ්‍රිතයට දේශීය උපරිමයක් ඇති අතර, Fermat's ප්රමේයය අනුව, $(\phi)’ \left(0\right)=0$.
ඉතින්, අපිට $df \left(x_(0)\right) = 0$, i.e. $x_(0)$ ලක්ෂ්යයේ $f$ ශ්රිතය ඕනෑම දෛශිකයක $h$ ශුන්‍යයට සමාන වේ.
අර්ථ දැක්වීම
අවකලනය ශුන්ය වන ලක්ෂ්ය, i.e. සියලුම අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් ශුන්‍යයට සමාන වන ඒවා නිශ්චල ලෙස හැඳින්වේ. විවේචනාත්මක කරුණු
$f$ යනු $f$ අවකලනය කළ නොහැකි හෝ බිංදුවට සමාන වන ලක්ෂ්ය වේ. ලක්ෂ්යය නිශ්චල නම්, මෙම අවස්ථාවේදී ශ්‍රිතයට අන්තයක් ඇති බව මෙයින් අනුගමනය නොකෙරේ.
උදාහරණ 1.
$f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. එවිට $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, එබැවින් $\left(0,0\right)$ යනු නිශ්චල ලක්ෂ්‍යයකි, නමුත් ශ්‍රිතයට මෙම අවස්ථාවේදී අන්තයක් නොමැත. ඇත්ත වශයෙන්ම, $f \left(0,0\right) = 0$, නමුත් $\left(0,0\right)$ ලක්ෂ්යයේ ඕනෑම අසල්වැසි ප්රදේශයක ශ්රිතය ධන සහ සෘණ අගයන් ගන්නා බව දැකීම පහසුය.
උදාහරණ 2.
$f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ ශ්රිතයේ මූලාරම්භයේ නිශ්චල ලක්ෂ්යයක් ඇත, නමුත් මෙම ස්ථානයේ අන්තයක් නොමැති බව පැහැදිලිය.
ප්රමේයය (අන්තය සඳහා ප්රමාණවත් කොන්දේසිය).
විවෘත කට්ටලය $E \subset \mathbb(R)^(n)$ මත $f$ ශ්රිතය දෙවරක් අඛණ්ඩව අවකලනය වීමට ඉඩ දෙන්න. E$ හි $x_(0) නිශ්චල ලක්ෂ්යයක් වන අතර $$\ displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1) ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ එහෙනම්
- $Q_(x_(0))$ – නම්, $x_(0)$ ලක්ෂ්යයේ $f$ ශ්‍රිතයට දේශීය අන්තයක් ඇත, එනම්, පෝරමය ධනාත්මක නම් අවමයක් සහ පෝරමය නම් උපරිමය සෘණ නිශ්චිත;
- $Q_(x_(0))$ යන චතුරස්‍ර ආකාරය නිර්වචනය කර නොමැති නම්, $x_(0)$ ලක්ෂ්යයේ $f$ ශ්‍රිතයට අන්තයක් නොමැත.
ටේලර්ගේ සූත්‍රය අනුව ප්‍රසාරණය භාවිතා කරමු (12.7 පි. 292). $x_(0)$ ලක්ෂ්යයේ ඇති පළමු අනුපිළිවෙල අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් ශුන්‍යයට සමාන බව සලකන විට, අපි $$\ displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ ලබා ගනිමු. දකුණ) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_ (j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ එහිදී $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, සහ $\epsilon \left(h\ right) \rightarrow 0$ $h \rightarrow 0$ සඳහා, පසුව දකුණු කොටසප්‍රමාණවත් තරම් කුඩා දිග $h$ ඕනෑම දෛශිකයක් සඳහා ධනාත්මක වනු ඇත.
එබැවින්, $x_(0)$ ලක්ෂ්යයේ නිශ්චිත අසල්වැසි ප්රදේශයක $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ $ නම් පමණක් පවතින අසමානතාවය බව අපි නිගමනය කර ඇත්තෙමු. x \neq x_ (0)$ (අපි $x=x_(0)+h$\right දානවා). මෙයින් අදහස් කරන්නේ $x_(0)$ ලක්ෂ්යයේ දී ශ්‍රිතයට දැඩි දේශීය අවමයක් ඇති බවත්, ඒ අනුව අපගේ ප්‍රමේයයේ පළමු කොටස ඔප්පු වී ඇති බවත්ය.
දැන් $Q_(x_(0))$ – යැයි සිතමු අවිනිශ්චිත ස්වරූපය. එවිට දෛශික $h_(1)$, $h_(2)$ $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>$0. එවිට අපට ලැබෙන්නේ $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ ප්රමාණවත් තරම් කුඩා $t>0$ සඳහා, දකුණු අත පැත්ත ධනාත්මකයි. මෙයින් අදහස් කරන්නේ $x_(0)$ ලක්ෂ්යයේ ඕනෑම අසල්වැසි ස්ථානයක $f$ ශ්රිතය $f \left(x\right)$ $f \left(x_(0)\right)$ ට වඩා වැඩි අගයන් ගන්නා බවයි.
ඒ හා සමානව, $x_(0)$ ලක්ෂ්යයේ ඕනෑම අසල්වැසි ස්ථානයක $f$ ශ්රිතය $f \left(x_(0)\right)$ ට වඩා අඩු අගයක් ගන්නා බව අපට පෙනී යයි. මෙය පෙර එක සමඟින් අදහස් වන්නේ $x_(0)$ ලක්ෂ්යයේ $f$ ශ්‍රිතයට අන්තයක් නොමැති බවයි.
අපි සලකා බලමු විශේෂ අවස්ථාවක්$\left(x_(0),y_(0)\right)$ ලක්ෂ්යයේ නිශ්චිත අසල්වැසි ප්රදේශයක නිර්වචනය කර ඇති සහ අඛණ්ඩව අර්ධ වශයෙන් ඇති විචල්‍ය දෙකක $f \left(x,y\right)$ ශ්‍රිතයක් සඳහා මෙම ප්රමේයය මෙම අසල්වැසි ප්‍රදේශයේ පළමු සහ දෙවන ඇණවුම් වල ව්‍යුත්පන්නයන්. $\left(x_(0),y_(0)\right)$ යනු ස්ථාවර ලක්ෂ්යයක් යැයි උපකල්පනය කර $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ (2)) \left(x_(0) ,y_(0)\දකුණ), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) ), y_(0)\ right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ) .$$ එවිට පෙර ප්රමේයය පහත ස්වරූපය ගනී.
ප්රමේයය
$\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$ කරමු. ඉන්පසු:
- $\Delta>0$ නම්, $f$ ශ්‍රිතයට $\left(x_(0),y_(0)\right)$ ලක්ෂ්යයේ දේශීය අන්තයක් ඇත, එනම් $a_(11)> නම් අවමය 0$ , සහ උපරිම නම් $a_(11)<0$;
- $\Delta නම්<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.
ගැටළු විසඳීමේ උදාහරණ
බොහෝ විචල්‍යවල ශ්‍රිතයක අන්තය සෙවීම සඳහා ඇල්ගොරිතම:
- ස්ථාවර ස්ථාන සොයා ගැනීම;
- සියලුම නිශ්චල ස්ථානවල 2 වන අනුපිළිවෙල අවකලනය සොයා ගන්න
- බොහෝ විචල්‍යවල ශ්‍රිතයක අන්තය සඳහා ප්රමාණවත් කොන්දේසිය භාවිතා කරමින්, අපි එක් එක් නිශ්චල ලක්ෂ්යයේ 2 වන අනුපිළිවෙල අවකලනය සලකා බලමු.
- අන්ත $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$ සඳහා ශ්රිතය විමර්ශනය කරන්න.
විසඳුමක්අපි 1 වන අනුපිළිවෙල අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් සොයා ගනිමු: $$\ displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ අපි පද්ධතිය සකස් කර විසඳමු: $$\ displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x = 0\ end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) — x = 0 \end(cases)$$ 2වන සමීකරණයෙන් අපි $x=4 \cdot y^(2)$ ප්‍රකාශ කරමු - එය 1 වන සමීකරණයට ආදේශ කරන්න: $$\ displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \right )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ ප්‍රතිඵලයක් වශයෙන්, ස්ථාවර ලක්ෂ්ය 2ක් ලැබේ:
1) $y=0 \Rightarrow x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
2) $\ displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\දකුණ)$
අන්තයක් සඳහා ප්රමාණවත් කොන්දේසිය තෘප්තිමත් වේද යන්න පරීක්ෂා කර බලමු:
$$\ displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
1) ලක්ෂ්යය සඳහා $M_(1)= \left(0,0\right)$:
$$\ displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
$A_(1) \cdot B_(1) — C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
2) ලක්ෂ්ය $M_(2)$ සඳහා:
$$\ displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
$A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, එනම් $M_(2)$ ලක්ෂ්යයේ අන්තයක් පවතින අතර $A_(2)> සිට 0$, එවිට මෙය අවම වේ.
පිළිතුර: ලක්ෂ්යය $\ displaystyle M_(2)\left(1,\frac(1)(2)\right)$ යනු $f$ ශ්රිතයේ අවම ලක්ෂ්යය වේ. - $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$ සඳහා ශ්රිතය විමර්ශනය කරන්න.
විසඳුමක්අපි නිශ්චල ලකුණු සොයා ගනිමු: $$\ displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x - 2.$$
අපි පද්ධතිය රචනා කර විසඳමු: $$\ displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases ) \ Rightarrow \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\end(අවස්ථා) \Rightarrow x = -1$$
$M_(0) \left(-1, 2\right)$ යනු ස්ථාවර ලක්ෂ්‍යයකි.
අන්තය සඳහා ප්රමාණවත් කොන්දේසිය සපුරා ඇත්දැයි පරීක්ෂා කරමු: $$\ displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0 ; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
$A \cdot B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
පිළිතුර: අන්තයන් නොමැත.
කාල සීමාව: 0
සංචාලනය (රැකියා අංක පමණි)
කාර්ය 4න් 0ක් සම්පූර්ණ කර ඇත
විස්තර
ඔබ දැන් කියවූ මාතෘකාව පිළිබඳ ඔබේ දැනුම පරීක්ෂා කිරීමට මෙම ප්‍රශ්නාවලිය ගන්න: බහු විචල්‍යවල ක්‍රියාකාරකම්වල දේශීය අන්තය.
ඔබ දැනටමත් පරීක්ෂණයට මුහුණ දී ඇත. ඔබට එය නැවත ආරම්භ කළ නොහැක.
පරීක්ෂණ පූරණය වෙමින්...
පරීක්ෂණය ආරම්භ කිරීම සඳහා ඔබ ලොග් වීම හෝ ලියාපදිංචි විය යුතුය.
මෙය ආරම්භ කිරීමට ඔබ පහත පරීක්ෂණ සම්පූර්ණ කළ යුතුය:
ප්රතිපල
නිවැරදි පිළිතුරු: 4 න් 0
ඔබේ වේලාව:
කාලය ඉවරයි
ඔබ ලකුණු 0 න් 0 ක් ලබා ගත්තා (0)
ඔබේ ප්‍රතිඵලය ප්‍රමුඛ පුවරුවේ සටහන් කර ඇත
- පිළිතුර සමඟ
- නැරඹුම් ලකුණක් සමඟ
කාර්යය 4න් 2
2 .
ලකුණු ගණන: 1$f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$ ශ්‍රිතයට අන්තයක් තිබේද?
කාර්යය 4න් 1
1 .
ලකුණු ගණන: 1අන්ත සඳහා $f$ ශ්රිතය විමර්ශනය කරන්න: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$
හරි
වැරදි
ශ්රිතය අභ්‍යන්තර ලක්ෂ්යයේ ඇතැයි කියනු ලැබේ 
කලාපයේ ඩී
දේශීය උපරිම(අවම), ලක්ෂ්යයේ එවැනි අසල්වැසි ප්රදේශයක් තිබේ නම් 
, එක් එක් කරුණ සඳහා 
අසමානතාවය රකින
ශ්‍රිතයක් ලක්ෂ්‍යයක තිබේ නම් 
දේශීය උපරිම හෝ දේශීය අවම, එවිට අපි එය මේ මොහොතේ ඇති බව කියමු දේශීය අන්තය(හෝ අන්තයක් පමණි).
ප්රමේයය
(අන්තයක පැවැත්ම සඳහා අවශ්ය කොන්දේසිය) අවකලනය ශ්රිතය ලක්ෂ්යයේ අන්තයකට ළඟා වන්නේ නම් 
, පසුව ශ්රිතයේ එක් එක් පළමු අනුපිළිවෙල අර්ධ ව්‍යුත්පන්නය 
මෙම අවස්ථාවේදී එය ශුන්ය වේ.
සියලුම පළමු අනුපිළිවෙල අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් අතුරුදහන් වන ලක්ෂ්ය ලෙස හැඳින්වේ ශ්රිතයේ ස්ථාවර ලක්ෂ්ය
. මෙම ලක්ෂ්‍යවල ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය විසඳීමෙන් සොයාගත හැකිය 
සමීකරණ
.
අවකලනය කළ හැකි ශ්‍රිතයක අන්තයක පැවැත්ම සඳහා අවශ්ය කොන්දේසිය කෙටියෙන් පහත පරිදි සකස් කළ හැක.
තනි ලක්ෂ්ය වලදී සමහර අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් අනන්ත අගයන් ඇති හෝ නොපවතින අවස්ථා තිබේ (ඉතිරි ඒවා ශුන්‍යයට සමාන වේ). එවැනි ලකුණු ලෙස හැඳින්වේ කාර්යයේ තීරණාත්මක කරුණු.මෙම කරුණු නිශ්චල ඒවා මෙන් අන්තයක් සඳහා "සැක සහිත" ලෙසද සැලකිය යුතුය.
විචල්‍ය දෙකක ශ්‍රිතයක නම්, අන්තය සඳහා අවශ්ය කොන්දේසිය, එනම් අන්ත ලක්ෂ්යයේ අර්ධ ව්‍යුත්පන්නවල (අවකලනය) ශුන්‍යයට සමානත්වය, ජ්‍යාමිතික අර්ථකථනයක් ඇත: මතුපිටට ස්පර්ශක තලය 
අන්ත ලක්ෂ්යයේ දී ගුවන් යානයට සමාන්තර විය යුතුය 
.
20. අන්තයක පැවැත්ම සඳහා ප්රමාණවත් කොන්දේසි
යම් අවස්ථාවක අන්තයක පැවැත්ම සඳහා අවශ්ය කොන්දේසිය සපුරාලීම එහි අන්තයක් තිබීම කිසිසේත්ම සහතික නොවේ. උදාහරණයක් ලෙස, අපට සෑම තැනකම වෙනස් කළ හැකි ශ්රිතය ගත හැකිය 
. එහි අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් සහ ශ්රිතය යන දෙකම ලක්ෂ්යයේ දී අතුරුදහන් වේ 
. කෙසේ වෙතත්, මෙම ලක්ෂ්යයේ ඕනෑම අසල්වැසි ප්රදේශයක ධනාත්මක දෙකම ඇත (විශාල 
), සහ සෘණ (කුඩා 
) මෙම ශ්රිතයේ අගයන්. එමනිසා, මෙම අවස්ථාවේදී, නිර්වචනය අනුව, අන්තයක් නිරීක්ෂණය නොකෙරේ. එබැවින්, අන්තයක් යැයි සැක කරන ලක්ෂ්යයක් අධ්‍යයනයට ලක්වන ශ්රිතයේ අන්ත ලක්ෂ්යයක් වන ප්රමාණවත් කොන්දේසි දැනගැනීම අවශ්ය වේ.
විචල්‍ය දෙකක ශ්‍රිතයක සිද්ධිය සලකා බලමු. අපි හිතමු කාර්යය කියලා 
කිසියම් ලක්ෂයක අසල්වැසි ප්‍රදේශය ඇතුළුව දෙවන අනුපිළිවෙල දක්වා අර්ථ දක්වා ඇති, අඛණ්ඩ සහ අඛණ්ඩ අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් ඇත 
, එය ශ්රිතයේ නිශ්චල ලක්ෂ්යය වේ 
, එනම්, කොන්දේසි තෘප්තිමත් කරයි
,
.
අපි පහත අංකනය හඳුන්වා දෙමු:
ප්රමේයය
(අන්තයක පැවැත්ම සඳහා ප්රමාණවත් කොන්දේසි) කාර්යයට ඉඩ දෙන්න 
ඉහත කොන්දේසි තෘප්තිමත් කරයි, එනම්: ස්ථාවර ලක්ෂ්‍යයක සමහර අසල්වැසි ප්‍රදේශවල එය වෙනස් කළ හැකිය 
සහ ලක්ෂ්‍යයේදීම දෙගුණයක් අවකලනය වේ 
. එවිට නම්
නම් 
පසුව කාර්යය 
ලක්ෂ්යයේ 
ළඟා වේ
දේශීය උපරිමහිදී 
සහ
දේශීය අවමහිදී 
.
පොදුවේ, කාර්යය සඳහා 
ලක්ෂ්යයේ පැවැත්ම සඳහා ප්රමාණවත් කොන්දේසියක් 
දේශීයඅවම(උපරිම) වේ ධනාත්මක(සෘණ) දෙවන අවකලනයේ නිශ්චිතභාවය.
වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, පහත ප්රකාශය සත්ය වේ.
ප්රමේයය
.
ලක්ෂ්යයේ නම් 
කාර්යය සඳහා 
ශුන්‍යයට සමාන නොවන ඕනෑම දෙයක් සඳහා එකවර 
, එවිට මෙම අවස්ථාවේදී ශ්රිතය ඇත අවම(සමාන උපරිම, නම් 
).
උදාහරණ 18.ශ්‍රිතයක දේශීය අන්ත ලක්ෂ්ය සොයන්න 
විසඳුමක්. ශ්රිතයේ අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් සොයාගෙන ඒවා ශුන්‍යයට සම කරමු:
මෙම ක්‍රමය විසඳීමෙන්, අපට හැකි අන්ත කරුණු දෙකක් සොයාගත හැකිය:
මෙම කාර්යය සඳහා දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් සොයා ගනිමු:
පළමු නිශ්චල ලක්ෂ්යයේදී, එබැවින්, සහ 
එබැවින් මෙම අවස්ථාවේදී අතිරේක පර්යේෂණ අවශ්ය වේ. කාර්යය අගය 
මෙම අවස්ථාවේදී ශුන්ය වේ: 
තව දුරටත්,
හිදී 
ඒ
හිදී 
එබැවින්, ලක්ෂ්යයේ ඕනෑම අසල්වැසි ප්රදේශයක 
කාර්යය 
අගයන් විශාල ලෙස ගනී 
, සහ කුඩා 
, සහ, එබැවින්, ලක්ෂ්යයේ 
කාර්යය 
, නිර්වචනය අනුව, දේශීය අන්තයක් නොමැත.
දෙවන නිශ්චල ස්ථානයේ 
එබැවින්, එබැවින්, සිට 
පසුව ලක්ෂ්යයේ 
ශ්‍රිතයට දේශීය උපරිමයක් ඇත.
$E \subset \mathbb(R)^(n)$. $f$ තියෙනවා කියනවා දේශීය උපරිම$x_(0) \E$ ලක්ෂ්යයේදී, $x_(0)$ ලක්ෂ්යයේ $U$ නම් අසල්වැසි ප්රදේශයක් තිබේ නම්, එය සියලු $x \in U$ සඳහා $f\වම (x\දකුණ) අසමානතාවය ) \leqslant f සෑහීමකට පත්වේ \left(x_(0)\right)$.
දේශීය උපරිමය ලෙස හැඳින්වේ දැඩි , $x_(0)$ ට වඩා වෙනස් සියලුම $x \in U$ සඳහා $f\වම(x\දකුණ) ඇති පරිදි අසල්වැසි $U$ තෝරාගත හැකි නම්< f\left(x_{0}\right)$.
අර්ථ දැක්වීම
විවෘත කට්ටලය $E \subset \mathbb(R)^(n)$ මත $f$ සැබෑ ශ්‍රිතයක් වීමට ඉඩ දෙන්න. $f$ තියෙනවා කියනවා දේශීය අවම$x_(0) \E$ ලක්ෂ්යයේදී, $x_(0)$ ලක්ෂ්යයේ $U$ නම් අසල්වැසි ප්රදේශයක් තිබේ නම්, එය සියලු $x \in U$ සඳහා $f\වම (x\දකුණ) අසමානතාවය ) \geqslant f තෘප්තිමත් \වම(x_(0)\දකුණ)$.
$x_(0)$ ට වඩා වෙනස් $x \in U$ සඳහා $f\left(x\right) > f\left(x_) ඇති පරිදි අසල්වැසි $U$ තෝරා ගත හැකි නම් දේශීය අවමයක් දැඩි ලෙස හැඳින්වේ. (0)\දකුණ)$.
දේශීය අන්තය දේශීය අවම සහ දේශීය උපරිම යන සංකල්ප ඒකාබද්ධ කරයි.
ප්රමේයය (අවකල්‍ය ශ්‍රිතයක අන්තය සඳහා අවශ්ය කොන්දේසිය)
විවෘත කට්ටලය $E \subset \mathbb(R)^(n)$ මත $f$ සැබෑ ශ්‍රිතයක් වීමට ඉඩ දෙන්න. $x_(0) \in E$ ලක්ෂ්යයේ $f$ ශ්‍රිතයට මෙම අවස්ථාවේදී දේශීය අන්තයක් තිබේ නම්, $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ ශුන්ය අවකලනයට සමාන වන්නේ සියල්ල ශුන්‍යයට සමාන වේ යන කාරනයට සමාන වේ, i.e. $$\ displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$
ඒක-මාන නඩුවේ මෙය - . $h$ යනු අත්තනෝමතික දෛශිකයක් වන $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$ සඳහන් කරමු. $\phi$ ශ්රිතය නිරපේක්ෂ අගයෙන් ප්රමාණවත් තරම් කුඩා $t$ අගයන් සඳහා අර්ථ දක්වා ඇත. ඊට අමතරව, එය , සහ $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$ සම්බන්ධයෙන් වෙනස් කළ හැක.
$f$ ට x $0$ ලක්ෂ්යයේදී දේශීය උපරිමයක් තිබිය යුතුය. මෙහි තේරුම $t = 0$ හි $\phi$ ශ්‍රිතයට දේශීය උපරිමයක් ඇති අතර, Fermat's ප්රමේයය අනුව, $(\phi)’ \left(0\right)=0$.
ඉතින්, අපිට $df \left(x_(0)\right) = 0$, i.e. $x_(0)$ ලක්ෂ්යයේ $f$ ශ්රිතය ඕනෑම දෛශිකයක $h$ ශුන්‍යයට සමාන වේ.
අර්ථ දැක්වීම
අවකලනය ශුන්ය වන ලක්ෂ්ය, i.e. සියලුම අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් ශුන්‍යයට සමාන වන ඒවා නිශ්චල ලෙස හැඳින්වේ. විවේචනාත්මක කරුණු$f$ යනු $f$ අවකලනය කළ නොහැකි හෝ බිංදුවට සමාන වන ලක්ෂ්ය වේ. ලක්ෂ්යය නිශ්චල නම්, මෙම අවස්ථාවේදී ශ්‍රිතයට අන්තයක් ඇති බව මෙයින් අනුගමනය නොකෙරේ.
උදාහරණ 1.
$f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. එවිට $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, එබැවින් $\left(0,0\right)$ යනු නිශ්චල ලක්ෂ්‍යයකි, නමුත් ශ්‍රිතයට මෙම අවස්ථාවේදී අන්තයක් නොමැත. ඇත්ත වශයෙන්ම, $f \left(0,0\right) = 0$, නමුත් $\left(0,0\right)$ ලක්ෂ්යයේ ඕනෑම අසල්වැසි ප්රදේශයක ශ්රිතය ධන සහ සෘණ අගයන් ගන්නා බව දැකීම පහසුය.
උදාහරණ 2.
$f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ ශ්රිතයේ මූලාරම්භයේ නිශ්චල ලක්ෂ්යයක් ඇත, නමුත් මෙම ස්ථානයේ අන්තයක් නොමැති බව පැහැදිලිය.
ප්රමේයය (අන්තය සඳහා ප්රමාණවත් කොන්දේසිය).
විවෘත කට්ටලය $E \subset \mathbb(R)^(n)$ මත $f$ ශ්රිතය දෙවරක් අඛණ්ඩව අවකලනය වීමට ඉඩ දෙන්න. E$ හි $x_(0) නිශ්චල ලක්ෂ්යයක් වන අතර $$\ displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1) ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ එහෙනම්
- $Q_(x_(0))$ – නම්, $x_(0)$ ලක්ෂ්යයේ $f$ ශ්‍රිතයට දේශීය අන්තයක් ඇත, එනම්, පෝරමය ධනාත්මක නම් අවමයක් සහ පෝරමය නම් උපරිමය සෘණ නිශ්චිත;
- $Q_(x_(0))$ යන චතුරස්‍ර ආකාරය නිර්වචනය කර නොමැති නම්, $x_(0)$ ලක්ෂ්යයේ $f$ ශ්‍රිතයට අන්තයක් නොමැත.
ටේලර්ගේ සූත්‍රය අනුව ප්‍රසාරණය භාවිතා කරමු (12.7 පි. 292). $x_(0)$ ලක්ෂ්යයේ ඇති පළමු අනුපිළිවෙල අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් ශුන්‍යයට සමාන බව සලකන විට, අපි $$\ displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ ලබා ගනිමු. දකුණ) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_ (j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ එහිදී $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, සහ $h \rightarrow 0$ සඳහා $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$, එවිට දකුණු පස ප්රමාණවත් තරම් කුඩා දිග $h$ ඕනෑම දෛශිකයක් සඳහා ධන වනු ඇත.
එබැවින්, $x_(0)$ ලක්ෂ්යයේ නිශ්චිත අසල්වැසි ප්රදේශයක $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ $ නම් පමණක් පවතින අසමානතාවය බව අපි නිගමනය කර ඇත්තෙමු. x \neq x_ (0)$ (අපි $x=x_(0)+h$\right දානවා). මෙයින් අදහස් කරන්නේ $x_(0)$ ලක්ෂ්යයේ දී ශ්‍රිතයට දැඩි දේශීය අවමයක් ඇති බවත්, ඒ අනුව අපගේ ප්‍රමේයයේ පළමු කොටස ඔප්පු වී ඇති බවත්ය.
අපි දැන් $Q_(x_(0))$ යනු අවිනිශ්චිත ආකාරයක් යැයි උපකල්පනය කරමු. එවිට දෛශික $h_(1)$, $h_(2)$ $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>$0. එවිට අපට ලැබෙන්නේ $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ ප්රමාණවත් තරම් කුඩා $t>0$ සඳහා, දකුණු අත පැත්ත ධනාත්මකයි. මෙයින් අදහස් කරන්නේ $x_(0)$ ලක්ෂ්යයේ ඕනෑම අසල්වැසි ස්ථානයක $f$ ශ්රිතය $f \left(x\right)$ $f \left(x_(0)\right)$ ට වඩා වැඩි අගයන් ගන්නා බවයි.
ඒ හා සමානව, $x_(0)$ ලක්ෂ්යයේ ඕනෑම අසල්වැසි ස්ථානයක $f$ ශ්රිතය $f \left(x_(0)\right)$ ට වඩා අඩු අගයක් ගන්නා බව අපට පෙනී යයි. මෙය පෙර එක සමඟින් අදහස් වන්නේ $x_(0)$ ලක්ෂ්යයේ $f$ ශ්‍රිතයට අන්තයක් නොමැති බවයි.
$\left(x_(0),y_(0)\right ලක්ෂ්යයේ යම් අසල්වැසි ප්රදේශයක අර්ථ දක්වා ඇති විචල්‍ය දෙකක $f \left(x,y\right)$ ශ්රිතය සඳහා මෙම ප්‍රමේයයේ විශේෂ අවස්ථාවක් සලකා බලමු. )$ සහ පළමු සහ දෙවන ඇණවුම්වල අඛණ්ඩ අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් තිබීම. $\left(x_(0),y_(0)\right)$ යනු ස්ථාවර ලක්ෂ්යයක් යැයි උපකල්පනය කර $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ (2)) \left(x_(0) ,y_(0)\දකුණ), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) ), y_(0)\ right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ) .$$ එවිට පෙර ප්රමේයය පහත ස්වරූපය ගනී.
ප්රමේයය
$\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$ කරමු. ඉන්පසු:
- $\Delta>0$ නම්, $f$ ශ්‍රිතයට $\left(x_(0),y_(0)\right)$ ලක්ෂ්යයේ දේශීය අන්තයක් ඇත, එනම් $a_(11)> නම් අවමය 0$ , සහ උපරිම නම් $a_(11)<0$;
- $\Delta නම්<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.
ගැටළු විසඳීමේ උදාහරණ
බොහෝ විචල්‍යවල ශ්‍රිතයක අන්තය සෙවීම සඳහා ඇල්ගොරිතම:
- ස්ථාවර ස්ථාන සොයා ගැනීම;
- සියලුම නිශ්චල ස්ථානවල 2 වන අනුපිළිවෙල අවකලනය සොයා ගන්න
- බොහෝ විචල්‍යවල ශ්‍රිතයක අන්තය සඳහා ප්රමාණවත් කොන්දේසිය භාවිතා කරමින්, අපි එක් එක් නිශ්චල ලක්ෂ්යයේ 2 වන අනුපිළිවෙල අවකලනය සලකා බලමු.
- අන්ත $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$ සඳහා ශ්රිතය විමර්ශනය කරන්න.
විසඳුමක්අපි 1 වන අනුපිළිවෙල අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් සොයා ගනිමු: $$\ displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ අපි පද්ධතිය සකස් කර විසඳමු: $$\ displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x = 0\ end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) — x = 0 \end(cases)$$ 2වන සමීකරණයෙන් අපි $x=4 \cdot y^(2)$ ප්‍රකාශ කරමු - එය 1 වන සමීකරණයට ආදේශ කරන්න: $$\ displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \right )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ ප්‍රතිඵලයක් වශයෙන්, ස්ථාවර ලක්ෂ්ය 2ක් ලැබේ:
1) $y=0 \Rightarrow x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
2) $\ displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\දකුණ)$
අන්තයක් සඳහා ප්රමාණවත් කොන්දේසිය තෘප්තිමත් වේද යන්න පරීක්ෂා කර බලමු:
$$\ displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
1) ලක්ෂ්යය සඳහා $M_(1)= \left(0,0\right)$:
$$\ displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
$A_(1) \cdot B_(1) — C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
2) ලක්ෂ්ය $M_(2)$ සඳහා:
$$\ displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
$A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, එනම් $M_(2)$ ලක්ෂ්යයේ අන්තයක් පවතින අතර $A_(2)> සිට 0$, එවිට මෙය අවම වේ.
පිළිතුර: ලක්ෂ්යය $\ displaystyle M_(2)\left(1,\frac(1)(2)\right)$ යනු $f$ ශ්රිතයේ අවම ලක්ෂ්යය වේ. - $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$ සඳහා ශ්රිතය විමර්ශනය කරන්න.
විසඳුමක්අපි නිශ්චල ලකුණු සොයා ගනිමු: $$\ displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x - 2.$$
අපි පද්ධතිය රචනා කර විසඳමු: $$\ displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases ) \ Rightarrow \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\end(අවස්ථා) \Rightarrow x = -1$$
$M_(0) \left(-1, 2\right)$ යනු ස්ථාවර ලක්ෂ්‍යයකි.
අන්තය සඳහා ප්රමාණවත් කොන්දේසිය සපුරා ඇත්දැයි පරීක්ෂා කරමු: $$\ displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0 ; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
$A \cdot B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
පිළිතුර: අන්තයන් නොමැත.
කාල සීමාව: 0
සංචාලනය (රැකියා අංක පමණි)
කාර්ය 4න් 0ක් සම්පූර්ණ කර ඇත
විස්තර
ඔබ දැන් කියවූ මාතෘකාව පිළිබඳ ඔබේ දැනුම පරීක්ෂා කිරීමට මෙම ප්‍රශ්නාවලිය ගන්න: බහු විචල්‍යවල ක්‍රියාකාරකම්වල දේශීය අන්තය.
ඔබ දැනටමත් පරීක්ෂණයට මුහුණ දී ඇත. ඔබට එය නැවත ආරම්භ කළ නොහැක.
පරීක්ෂණ පූරණය වෙමින්...
පරීක්ෂණය ආරම්භ කිරීම සඳහා ඔබ ලොග් වීම හෝ ලියාපදිංචි විය යුතුය.
මෙය ආරම්භ කිරීමට ඔබ පහත පරීක්ෂණ සම්පූර්ණ කළ යුතුය:
ප්රතිපල
නිවැරදි පිළිතුරු: 4 න් 0
ඔබේ වේලාව:
කාලය ඉවරයි
ඔබ ලකුණු 0 න් 0 ක් ලබා ගත්තා (0)
ඔබේ ප්‍රතිඵලය ප්‍රමුඛ පුවරුවේ සටහන් කර ඇත
- පිළිතුර සමඟ
- නැරඹුම් ලකුණක් සමඟ
කාර්යය 4න් 2
2 .
ලකුණු ගණන: 1$f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$ ශ්‍රිතයට අන්තයක් තිබේද?
කාර්යය 4න් 1
1 .
ලකුණු ගණන: 1අන්ත සඳහා $f$ ශ්රිතය විමර්ශනය කරන්න: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$
හරි
වැරදි
අර්ථ දැක්වීම:ලක්ෂ්යය x0 ලක්ෂ්යයේ යම් ප්රදේශයක ශ්රිතය ශ්රේෂ්ඨතම (හෝ කුඩාම) අගය ගනී නම් ශ්‍රිතයක දේශීය උපරිම (හෝ අවම) ලක්ෂ්යයක් ලෙස හැඳින්වේ, i.e. x0 ලක්ෂ්යයේ යම් අසල්වැසි ප්‍රදේශයකින් සියලුම x සඳහා f(x) f(x0) (හෝ f(x) f(x0)) කොන්දේසිය තෘප්තිමත් වේ.
දේශීය උපරිම හෝ අවම ලක්ෂ්ය පොදු නාමයකින් එක්සත් වේ - ශ්‍රිතයක දේශීය අන්තයේ ලක්ෂ්ය.
දේශීය අන්ත ලක්ෂ්‍යවලදී, ශ්රිතය එහි උපරිම හෝ අවම අගයට ළඟා වන්නේ යම් ප්‍රාදේශීය කලාපයක පමණක් බව සලකන්න. уmaxуmin අගය අනුව අවස්ථා තිබිය හැක.
ශ්‍රිතයක දේශීය අන්තයක පැවැත්ම පිළිබඳ අවශ්ය සලකුණකි
ප්රමේයය . අඛණ්ඩ ශ්‍රිතයක් y = f(x) x0 ලක්ෂ්යයේ දේශීය අන්තයක් තිබේ නම්, මෙම අවස්ථාවේදී පළමු ව්‍යුත්පන්නය ශුන්ය හෝ නොපවතියි, i.e. දේශීය අන්තයක් පළමු ආකාරයේ තීරණාත්මක ස්ථානවල සිදු වේ.
දේශීය අන්ත ලක්ෂ්‍යවලදී, එක්කෝ ස්පර්ශකය 0x අක්ෂයට සමාන්තර වේ, නැතහොත් ස්පර්ශක දෙකක් ඇත (රූපය බලන්න). දේශීය අන්තයක් සඳහා තීරණාත්මක කරුණු අවශ්ය නමුත් ප්රමාණවත් නොවන බව සලකන්න. ප්‍රාදේශීය අන්තයක් හටගන්නේ පළමු ආකාරයේ තීරණාත්මක ස්ථානවලදී පමණි, නමුත් සියලුම තීරණාත්මක ස්ථානවල දේශීය අන්තයක් සිදු නොවේ.
උදාහරණයක් ලෙස: cubic parabola y = x3 හි තීරනාත්මක ලක්ෂ්යයක් ඇත x0 = 0, එහි ව්‍යුත්පන්නය y/(0)=0, නමුත් තීරනාත්මක ලක්ෂ්යය x0=0 අන්ත ලක්ෂ්යයක් නොව, එහි ආවර්ත ලක්ෂ්‍යයකි (පහත බලන්න).
ශ්‍රිතයක දේශීය අන්තයක පැවැත්ම පිළිබඳ ප්රමාණවත් ලකුණකි
ප්රමේයය . තර්කය වමේ සිට දකුණට පළමු ආකාරයේ තීරණාත්මක ලක්ෂ්යයක් හරහා ගියහොත්, පළමු ව්‍යුත්පන්නය y / (x)
ලකුණ “+” සිට “-” දක්වා වෙනස් කරයි, එවිට මෙම තීරණාත්මක ලක්ෂ්යයේ y(x) අඛණ්ඩ ශ්‍රිතයට දේශීය උපරිමයක් ඇත;
ලකුණ “-” සිට “+” දක්වා වෙනස් කරයි, එවිට අඛණ්ඩ ශ්රිතය y(x) මෙම තීරණාත්මක ලක්ෂ්යයේදී දේශීය අවම අගයක් ඇත
ලකුණ වෙනස් නොවේ, එවිට මෙම තීරණාත්මක ලක්ෂ්යයේ දේශීය අන්තයක් නොමැත, මෙහි විභේදන ලක්ෂ්යයක් ඇත.
දේශීය උපරිමයක් සඳහා, ශ්රිතය වැඩි වන කලාපය (y/0) අඩුවන ශ්රිතයේ කලාපය (y/0) මගින් ප්‍රතිස්ථාපනය වේ. දේශීය අවමයක් සඳහා, ශ්රිතය අඩුවන කලාපය (y/0) වැඩිවන ශ්රිතයේ කලාපය (y/0) මගින් ප්‍රතිස්ථාපනය වේ.
උදාහරණය: ඒකාකාරී බව, අන්තය සඳහා y = x3 + 9x2 + 15x - 9 ශ්රිතය පරීක්ෂා කර ශ්රිතයේ ප්‍රස්ථාරයක් සාදන්න.
ව්‍යුත්පන්නය (y/) නිර්වචනය කර එය ශුන්‍යයට සම කිරීමෙන් පළමු ආකාරයේ තීරණාත්මක කරුණු සොයා ගනිමු: y/ = 3x2 + 18x + 15 =3(x2 + 6x + 5) = 0
වෙනස් කොට සැලකීම භාවිතා කර චතුරස්‍ර ත්‍රිකෝණය විසඳමු:
x2 + 6x + 5 = 0 (a=1, b=6, c=5) D=, x1k = -5, x2k = -1.
2) අපි සංඛ්‍යා අක්ෂය තීරනාත්මක ලක්ෂ්ය සමඟ කලාප 3 කට බෙදා ඒවායේ ව්‍යුත්පන්නයේ (y/) සලකුණු තීරණය කරමු. මෙම සං signs ා භාවිතා කරමින් අපි ශ්‍රිතවල ඒකාකාරී (වැඩි සහ අඩු) ප්‍රදේශ සොයා ගනිමු, සහ සලකුණු වෙනස් කිරීමෙන් අපි දේශීය අන්තයේ (උපරිම සහ අවම) ලක්ෂ්ය තීරණය කරන්නෙමු.
අපි පර්යේෂණ ප්‍රතිඵල වගුවක ආකාරයෙන් ඉදිරිපත් කරන්නෙමු, එයින් පහත නිගමනවලට එළඹිය හැක.
- 1. y /(-10) 0 අන්තරය මත ශ්රිතය ඒකාකාරී ලෙස වැඩි වේ (මෙම අන්තරය තුළ ගත් පාලන ලක්ෂ්යය x = -10 භාවිතා කරමින් y ව්‍යුත්පන්නයේ ලකුණ ඇස්තමේන්තු කර ඇත);
- 2. අන්තරය මත (-5 ; -1) y /(-2) 0 ශ්රිතය ඒකාකාරී ලෙස අඩු වේ (y ව්‍යුත්පන්නයේ ලකුණ x = -2 පාලන ලක්ෂ්යය භාවිතයෙන් ඇස්තමේන්තු කරන ලදී, මෙම කාල පරතරය තුළ ගන්නා ලදී);
- 3. y /(0) 0 අන්තරය මත, ශ්රිතය ඒකාකාරී ලෙස වැඩි වේ (මෙම අන්තරය තුළ ගන්නා ලද පාලන ලක්ෂ්යය x = 0 භාවිතා කරමින් y ව්‍යුත්පන්නයේ ලකුණ තක්සේරු කරන ලදී);
- 4. තීරණාත්මක ලක්ෂ්යය x1k = -5 හරහා ගමන් කරන විට, ව්යුත්පන්න ලකුණ “+” සිට “-” දක්වා වෙනස් වේ, එබැවින් මෙම ලක්ෂ්යය දේශීය උපරිම ලක්ෂ්‍යයකි.
- (ymax(-5) = (-5)3+9(-5)2 +15(-5)-9=-125 + 225 - 75 - 9 =16);
- 5. තීරණාත්මක ලක්ෂ්යය x2k = -1 හරහා ගමන් කරන විට, ව්යුත්පන්න ලකුණ “-” සිට “+” දක්වා වෙනස් වේ, එබැවින් මෙම ලක්ෂ්යය දේශීය අවම ලක්ෂ්‍යයකි.
- (ymin(-1) = -1 + 9 - 15 - 9 = - 16).
x -5 (-5 ; -1) -1
3) පාලන ලක්ෂ්‍යවල ක්රියාකාරී අගයන්හි අතිරේක ගණනය කිරීම් භාවිතා කරමින් අධ්‍යයනයේ ප්‍රතිඵල මත පදනම්ව අපි ප්‍රස්ථාරයක් සාදන්නෙමු:
Oxy සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් ඉදිකිරීම;
අපි උපරිම (-5; 16) සහ අවම (-1;-16) ලකුණු ඛණ්ඩාංක මගින් පෙන්වමු;
ප්‍රස්ථාරය පැහැදිලි කිරීම සඳහා, අපි පාලන ලක්ෂ්‍යවල ශ්රිතයේ අගය ගණනය කරමු, ඒවා උපරිම සහ අවම ලක්ෂ්‍යවල වම් සහ දකුණට සහ සාමාන්‍ය අන්තරය ඇතුළත තෝරා ගනිමු, උදාහරණයක් ලෙස: y(-6)=(-6)3 + 9(-6)2+15(-6 )-9=9; y(-3)=(-3)3+9(-3)2+15(-3)-9=0;
y(0)= -9 (-6;9); (-3;0) සහ (0;-9) - අපි ප්‍රස්ථාරය ඉදිකිරීමට සැලසුම් කරන ගණනය කළ පාලන ලක්ෂ්ය;
අපි උපරිම ලක්ෂ්යයේදී වක්‍රය උත්තල ආකාරයෙන් ඉහළට සහ අවම ලක්ෂ්යයේදී උත්තල පහළට සහ ගණනය කළ පාලන ලක්ෂ්ය හරහා ගමන් කරන ආකාරය පෙන්වමු.
