Як розв'язати рівняння параболи. Парабола - властивості та графік квадратичної функції

Багато технічних, економічних та соціальних питань прогнозуються за допомогою кривих. Найбільш використовуваним типом серед них є парабола, а точніше її половина. Важливою складовою будь-якої параболічної кривої є її вершина, визначення точних координат якої іноді відіграє ключову роль у самому відображенні перебігу процесу, але й наступних висновків. Про те, як знайти її точні координати, і йтиметься у цій статті.

Початок пошуку

Перед тим як перейти до пошуку координат вершини параболи, ознайомимося із самим визначенням та його властивостями. У класичному розумінні параболою називається таке розташування точок, які видалені на однаковій відстані від конкретної точки(фокус, точка F), а також від прямої, яка не проходить через точку F. Розглянемо дане визначенняНайбільш предметно малюнку 1.

Малюнок 1. Класичний вид параболи

На малюнку зображено класична форма. Фокусом є точка F. Директриса в даному випадкубуде вважатися пряма осі Y (виділена червоним кольором). З визначення можна переконатися, що будь-яка точка кривої, крім фокусу, має собі подібну з іншого боку, віддалену на такому ж відстань від осі симетрії, як і сама. Більше того, відстань від будь-якої з точок на параболі дорівнює відстані до директорки. Забігаючи вперед, скажімо, що центр функції не обов'язково повинен бути на початку координат, а гілки можуть бути спрямовані в різні боки.

Парабола, як і будь-яка інша функція, має свій запис у вигляді формули:

У зазначеній формулі буква «s» позначає параметр параболи, яка дорівнює відстані від фокусу до директриси. Також є й інша форма запису, зазначено ГМТ, що має вигляд:

Така формула використовується при вирішенні завдань з галузі математичного аналізуі застосовується частіше, ніж традиційна (через зручність). Надалі орієнтуватимемося на другий запис.

Це цікаво!: Доведення

Розрахунок коефіцієнтів та основних точок параболи

До основних параметрів прийнято відносити розташування вершини на осі абсцис, координати вершини на осі ординат, параметр директриси.

Чисельне значення координати вершини на осі абсцис

Якщо рівняння параболи задано в класичному вигляді(1), то значення абсциси в точці, що шукається дорівнюватиме половині значення параметра s(Половині відстані між директрисою і фокусом). Якщо функція представлена ​​у вигляді (2), то x нульове розраховується за формулою:

Тобто, дивлячись на цю формулу, можна стверджувати, що вершина перебуватиме в правій половині щодо осі y у тому випадку, якщо один з параметрів a або b буде меншим за нуль.

Рівняння директриси визначається наступним рівнянням:

Значення вершини на осі ординат

Чисельне значення місцезнаходження вершини для формули (2) на осі ординат можна знайти за такою формулою:

Звідси можна зробити висновок, що якщо а<0, то вершина кривої перебуватиме у верхній півплощині, інакше – у нижній. При цьому точки параболи будуть володіти тими самими властивостями, що були згадані раніше.

Якщо дана класична форма запису, то раціональнішим буде обчислення значення розташування вершини на осі абсцис, а через нього і наступне значення ординати. Зазначимо, що для форми запису (2), вісь симетрії параболи, у класичному уявленні, співпадатиме з віссю ординат.

Важливо!При вирішенні завдань з використанням рівняння параболи насамперед виділіть основні значення, які вже відомі. Більш того, не зайвим буде, якщо будуть визначені параметри, що відсутні. Такий підхід заздалегідь дасть більший «простір для маневру» та раціональніше рішення. На практиці намагайтеся використати запис (2). Вона більш проста для сприйняття (не доведеться перевертати координати Декарта), до того ж переважна кількість завдань пристосована саме під таку форму запису.

Побудова кривої параболічного типу

Використовуючи поширену форму запису, перед тим, як побудувати параболу, потрібно знайти її вершину. Простіше кажучи, необхідно виконати такий алгоритм:

1. Знайти координату вершину на осі X.
2. Знайти координату розташування вершини осі Y.
3. Підставляючи різні значення залежної змінної X, знайти відповідні значення Y і побудувати криву.

Тобто. алгоритм не є нічого складного, основний акцент робиться на тому, як знайти вершину параболи. Подальший процес побудови вважатимуться механічним.

За умови, що дано три точки, координати яких відомі, насамперед необхідно скласти рівняння самої параболи, а потім повторити порядок дій, описаний раніше. Т.к. в рівнянні (2) присутні 3 коефіцієнти, то, використовуючи координати точок, обчислимо кожне з них:

(5.1).

(5.2).

(5.3).

У формулах (5.1), (5.2), (5.3) застосовуються відповідно до тих точок, які відомі (наприклад А (, B (, C (.) Таким шляхом знаходимо рівняння параболи по 3 точках. З практичного боку такий підхід не є самим « приємним», проте він дає чіткий результат, на основі якого згодом будується сама крива.

При побудові параболи завжди має бути вісь симетрії.Формула осі симетрії для запису (2) матиме такий вигляд:

Тобто. знайти вісь симетрії, якою симетричні всі точки кривої, не складно. Точніше, вона дорівнює першій координаті вершини.

Наочні приклади

Приклад 1. Допустимо, маємо рівняння параболи:

Потрібно знайти координати вершини параболи, і навіть перевірити, чи належить точка D (10; 5) даної кривої.

Рішення: Насамперед перевіримо належність згаданої точки найкривішої

Звідки робимо висновок, що вказана точка не належить заданій кривій. Знайдемо координати вершини параболи. З формул (4) та (5) отримуємо таку послідовність:

Виходить, що координати на вершині, в точці, наступні (-1,25; -7,625). Це говорить про те, що наша парабола бере свій початок у 3-й чверті декартової системикоординат.

Приклад 2. Знайти вершину параболи, знаючи три точки, які їй належать: A(2;3), B(3;5), C(6;2). Використовуючи формули (5.1), (5.2), (5.3), знайдемо коефіцієнти рівняння параболи. Отримаємо таке:

Використовуючи отримані значення, отримаємо такі рівняння:

На малюнку задана функція буде виглядати так (рисунок 2):

Малюнок 2. Графік параболи, що проходить через 3 точки

Тобто. графік параболи, який проходить за трьома заданими точками, матиме вершину в 1-й чверті. Проте гілки цієї кривої спрямовані вниз, тобто. є зміщення параболи від початку координат. Таку побудову можна було передбачити, звернувши увагу на коефіцієнти a, b, c.

Зокрема, якщо<0, то ветки» будут направлены вниз. При a>1 крива буде розтягнута, а якщо менше 1 – стиснута.

Константа c відповідає за «рух» кривої вздовж осі ординат. Якщо c>0, то парабола «повзе» нагору, інакше – вниз. Щодо коефіцієнта b, то визначити ступінь впливу можна лише змінивши форму запису рівняння, привівши її до такого вигляду:

Якщо коефіцієнт b>0, то координати вершини параболи будуть зміщені вправо на одиниць b, якщо менше - то на одиниць b вліво.

Важливо!Використання прийомів визначення зміщення параболи на координатній площині часом допомагає економити час під час вирішення завдань або дізнатися про можливе перетин параболи з іншого кривою ще до побудови. Зазвичай дивляться лише на коефіцієнт a, оскільки саме він дає чітку відповідь на поставлене запитання.

Як знайти вершину параболи

Корисне відео: як легко скласти рівняння параболи з графіка

Висновок

Такий як процес алгебри, як визначення вершин параболи, не є складним, але при цьому досить трудомісткий. На практиці намагаються використати саме другу форму запису з метою полегшення розуміння графічного рішеннята рішення загалом. Тому рекомендуємо використовувати саме такий підхід, і якщо не пам'ятати формули координати вершини, то хоча б мати шпаргалку.

Заняття 10 . Криві другого порядку.

10.1. Еліпс. Канонічне рівняння. Напівосі, ексцентриситет, графік.

10.2. Гіперболу. Канонічне рівняння. Напівосі, ексцентриситет, асимптоти, графік.

10.3. Парабола. Канонічне рівняння. Параболи параметрів, графік.

Кривими другого порядку на площині називаються лінії, неявне завдання яких має вигляд:

де
- задані речові числа,
- Координати точок кривої. Найбільш важливими лініями серед кривих другого ладу є еліпс, гіпербола, парабола.

10.1. Еліпс. Канонічне рівняння. Напівосі, ексцентриситет, графік.

Визначення еліпса.Еліпсом називається плоска крива, яка має суму відстаней від двох фіксованих точок.
площині до будь-якої точки

(Тобто). Крапки
називаються фокусами еліпса.

Канонічне рівняння еліпса:
. (2)

(або вісь
) проходить через фокуси
, а початок координат – точка - знаходиться в центрі відрізка
(Рис.1). Еліпс (2) симетричний щодо осей координат та початку координат (центру еліпса). Постійні
,
називаються півосями еліпса.

Якщо еліпс заданий рівнянням (2), то фокуси еліпса так.

1) Спочатку визначаємо, де лежать фокуси: фокуси лежать на тій координатній осі, на якій розташовані більші півосі.

2) Потім обчислюється фокусна відстань (відстань від фокусів до початку координат).

При
фокуси лежать на осі
;
;
.

При
фокуси лежать на осі
;
;
.

Ексцентриситетомеліпса називається величина: (при
);(при
).

У еліпса завжди
. Ексцентриситет є характеристикою стиснення еліпса.

Якщо еліпс (2) перемістити так, що центр еліпса потрапить до точки

,
, то рівняння отриманого еліпса має вигляд

.

10.2. Гіперболу. Канонічне рівняння. Напівосі, ексцентриситет, асимптоти, графік.

Визначення гіперболи.Гіперболою називається плоска крива, яка має абсолютну величину різниці відстаней від двох фіксованих точок.
площині до будь-якої точки
цією кривою є постійна величина, яка не залежить від точки
(Тобто). Крапки
називаються фокусами гіперболи.

Канонічне рівняння гіперболи:
або
. (3)

Таке рівняння виходить, якщо координатна вісь
(або вісь
) проходить через фокуси
, а початок координат – точка - знаходиться в центрі відрізка
. Гіперболи (3) симетричні щодо осей координат та початку координат. Постійні
,
називаються півосями гіперболи.

Фокус гіперболи знаходяться так.

У гіперболи
фокуси лежать на осі
:
(Рис. 2.а).

У гіперболи
фокуси лежать на осі
:
(Рис. 2.б)

Тут - фокусна відстань (відстань від фокусів до початку координат). Воно обчислюється за такою формулою:
.

Ексцентриситетомгіперболи називається величина:

(для
);(для
).

У гіперболи завжди
.

Асимптотами гіпербол(3) є дві прямі:
. Обидві гілки гіперболи необмежено наближаються до асимптотів зі зростанням .

Побудова графіка гіперболи слід проводити так: спочатку по півосях
будуємо допоміжний прямокутник із сторонами, паралельними осям координат; потім через протилежні вершини цього прямокутника проводимо прямі, це асимптоти гіперболи; нарешті зображаємо гілки гіперболи, вони стосуються середин відповідних сторін допоміжного прямокутника і наближаються зі зростанням до асимптотів (рис. 2).

Якщо гіперболи (3) перемістити так, що їхній центр потрапить у точку
, а півосі залишаться паралельними осям
,
, то рівняння отриманих гіперболів запишуться у вигляді

,
.

10.3. Парабола. Канонічне рівняння. Параболи параметрів, графік.

Визначення параболи.Параболою називається плоска крива, яка має для будь-якої точки
цієї кривої відстань від
до фіксованої точки площині (званої фокусом параболи) дорівнює відстані від
до фіксованої прямої на площині(названою директрисою параболи) .

Канонічне рівняння параболи:
, (4)

де - Постійна, звана параметромпараболи.

Крапка
параболи (4) називається вершиною параболи. Ось
є віссю симетрії. Фокус параболи (4) знаходиться в точці
, рівняння директриси
. Графіки параболи (4) зі значеннями
і
наведено на рис. 3.а та 3.б відповідно.

Рівняння
також визначає параболу на площині
, у якої порівняно з параболою (4), осі
,
помінялися місцями.

Якщо параболу (4) перемістити так, що її вершина потрапить до точки
, а вісь симетрії залишиться паралельна осі
, то рівняння отриманої параболи мають вигляд

.

Перейдемо до прикладів.

Приклад 1. Крива другого порядку задана рівнянням
. Дати назву цій кривій. Знайти її фокуси та ексцентриситет. Зобразити криву та її фокуси на площині
.

Рішення. Дана крива є еліпсом із центром у точці
та півосями
. У цьому легко переконатись, якщо провести заміну
. Це перетворення означає перехід від заданої декартової системи координат
до нової декартової системи координат
, у якої осі
паралельні осям
,
. Це перетворення координат називається зсувом системи
в точку . У новій системікоординат
рівняння кривої перетворюється на канонічне рівняння еліпса
, його графік наведено на рис. 4.

Знайдемо фокуси.
тому фокуси
еліпса розташовані на осі
.. У системі координат
:
. Т.к.
, в старій системікоординат
фокуси мають координати.

Приклад 2. Дати назву кривої другого порядку і навести її графік.

Рішення. Виділимо повні квадрати за доданками, що містять змінні і .

Тепер рівняння кривої можна переписати так:

Отже, задана крива є еліпсом із центром у точці
та півосями
. Отримані відомості дають змогу намалювати його графік.

Приклад 3. Дати назву та навести графік лінії
.

Рішення. . Це – канонічне рівняння еліпса з центром у точці
та півосями
.

Оскільки,
, робимо висновок: задане рівняння визначає на площині
нижню половину еліпса (рис. 5).

Приклад 4. Дати назву кривої другого порядку
. Знайти її фокуси, ексцентриситет. Наведіть графік цієї кривої.

- канонічне рівняння гіперболи з півосями
.

Фокусна відстань.

Знак "мінус" стоїть перед доданком з тому фокуси
гіперболи лежать на осі
:. Гілки гіперболи розташовуються над та під віссю
.

- Ексцентриситет гіперболи.

Асимптоти гіперболи: .

Побудова графіка цієї гіперболи здійснюється відповідно до викладеного вище порядку дій: будуємо допоміжний прямокутник, проводимо асимптоти гіперболи, малюємо гілки гіперболи (див. рис.2.б).

Приклад 5. З'ясувати вид кривої, заданої рівнянням
та побудувати її графік.

- гіпербола з центром у точці
та півосями.

Т.к. , укладаємо: задане рівняння визначає ту частину гіперболи, яка лежить Праворуч від прямої
. Гіперболу краще намалювати у допоміжній системі координат
, отриманої із системи координат
зрушенням
, а потім жирною лінією виділити потрібну частину гіперболи

Приклад 6. З'ясувати вигляд кривої та намалювати її графік.

Рішення. Виділимо повний квадрат за доданками зі змінною :

Перепишемо рівняння кривої.

Це – рівняння параболи з вершиною у точці
. Перетворенням зрушення рівняння параболи наводиться до канонічного вигляду
, з якого видно, що-параметрпараболи. Фокус параболи в системі
має координати
,, а в системі
(Згідно з перетворенням зсуву). Графік параболи наведено на рис. 7.

Домашнє завдання.

1. Намалювати еліпси, задані рівняннями:
Знайти їх півосі, фокусна відстань, ексцентриситет і вказати на графіках еліпсів розташування їх фокусів.

2. Намалювати гіперболи, задані рівняннями:
Знайти їх півосі, фокусна відстань, ексцентриситет і вказати на графіках гіпербол розташування їх фокусів. Написати рівняння асимптот даних гіпербол.

3. Намалювати параболи, задані рівняннями:
. Знайти їх параметр, фокусна відстань та вказати на графіках парабол місце розташування фокусу.

4. Рівняння
визначає частину кривої 2-го порядку. Знайти канонічне рівняння цієї кривої, записати її назву, побудувати її графік та виділити на ньому ту частину кривої, яка відповідає вихідному рівнянню.

Як побудувати параболу? Існує кілька способів побудови графіка квадратичні функції. Кожен із них має свої плюси та мінуси. Розглянемо два способи.

Почнемо з побудови графіка квадратичної функції виду y=x²+bx+c та y=-x²+bx+c.

приклад.

Побудувати графік функції y=x2+2x-3.

Рішення:

y=x²+2x-3 – квадратична функція. Графік - парабола гілками вгору. Координати вершини параболи

Від вершини (-1;-4) будуємо графік параболи y=x²(як від початку координат. Замість (0;0) — вершина (-1;-4). Від (-1;-4) йдемо вправо на 1 одиницю і вгору на 1 одиницю, потім ліворуч на 1 і вгору на 1; цих 7 точок недостатньо, далі - 4 вправо, 16 - вгору і т. д.).

Графік квадратичної функції y = -x² + bx + c парабола, гілки якої спрямовані вниз. Для побудови графіка шукаємо координати вершини та від неї будуємо параболу y = -x².

приклад.

Побудувати графік функції y=-x²+2x+8.

Рішення:

y=-x²+2x+8 – квадратична функція. Графік - парабола гілками вниз. Координати вершини параболи

Від вершини будуємо параболу y = -x² (1 - вправо, 1 вниз; 1 - вліво, 1 - вниз; 2 - вправо, 4 - вниз; 2 - вліво, 4 - вниз і т. Д.):

Цей спосіб дозволяє побудувати параболу швидко і не викликає труднощів, якщо ви вмієте будувати графіки функцій y=x² та y=-x². Нестача: якщо координати вершини дробові числабудувати графік не дуже зручно. Якщо потрібно знати точні значенняточок перетину графіка з віссю Ох, доведеться додатково розв'язати рівняння x²+bx+c=0 (або -x²+bx+c=0), навіть якщо ці точки безпосередньо можна визначити за малюнком.

Інший спосіб побудови параболи - по точках, тобто можна знайти кілька точок графіка і через них провести параболу (з урахуванням того, що пряма x = хₒ є її віссю симетрії). Зазвичай беруть вершину параболи, точки перетину графіка з осями координат і 1-2 додаткові точки.

Побудувати графік функції y=x2+5x+4.

Рішення:

y=x²+5x+4 – квадратична функція. Графік - парабола гілками вгору. Координати вершини параболи

тобто вершина параболи - точка (-2,5; -2,25).

Шукаємо. У точці перетину із віссю Ох y=0: x²+5x+4=0. Коріння квадратного рівняннях1=-1, х2=-4, тобто отримали дві точки графіці (-1; 0) та (-4; 0).

У точці перетину графіка із віссю Оy х=0: y=0²+5∙0+4=4. Отримали точку (0; 4).

Для уточнення графіка можна знайти додаткову точку. Візьмемо х=1, тоді y=1²+5∙1+4=10, тобто ще одна точка графіка – (1; 10). Зазначаємо ці точки на координатній площині. З урахуванням симетрії параболи щодо прямої, що проходить через її вершину, відзначимо ще дві точки: (-5; 6) і (-6; 10) і проведемо через них параболу:

Побудувати графік функції y=-x²-3x.

Рішення:

y=-x²-3x – квадратична функція. Графік - парабола гілками вниз. Координати вершини параболи

Вершина (-1,5; 2,25) - перша точка параболи.

У точках перетину графіка з віссю абсцис y=0, тобто розв'язуємо рівняння -x²-3x=0. Його коріння - х = 0 і х = -3, тобто (0; 0) і (-3; 0) - ще дві точки графіка. Точка (о; 0) є також точкою перетину параболи з віссю ординат.

При х=1 y=-1²-3∙1=-4, тобто (1; -4) — додаткова точка для побудови графіка.

Побудова параболи за точками — більш трудомісткий у порівнянні з першим спосіб. Якщо парабола не перетинає вісь Oх, додаткових точок потрібно більше.

Перш ніж продовжити побудову графіків квадратичних функцій виду y=ax²+bx+c, розглянемо побудову графіків функцій з допомогою геометричних перетворень. Графіки функцій виду y=x²+c також найзручніше будувати, використовуючи одне з таких перетворень — паралельне перенесення.

Рубрика: |

Параболою називається геометричне місце точок площини, рівновіддалених від заданої точки F і заданої прямої d, не проходить через задану точку. Це геометричне визначення висловлює директоріальна властивість параболи.

Директоріальна властивість параболи

Точка F називається фокусом параболи, пряма d - директриса параболи, середина O перпендикуляра, опущеного з фокусу на директрису, - вершиною параболи, відстань p від фокусу до директриси - параметром параболи, а відстань \frac(p)(2) від вершини її фокус - фокусною відстанню(Рис.3.45, а). Пряма, перпендикулярна директрисі і проходить через фокус, називається віссю параболи (фокальною віссю параболи). Відрізок FM , що з'єднує довільну точку M параболи з її фокусом, називається фокусним радіусом точки M . Відрізок, що з'єднує дві точки параболи, називається хордою параболи.

Для довільної точки параболи відношення відстані до фокусу до відстані до директриси дорівнює одиниці. Порівнюючи директоріальні властивості і параболи, укладаємо, що ексцентриситет параболиза визначенням дорівнює одиниці (e = 1).

Геометричне визначення параболи, що виражає її директоріальне властивість, еквівалентно її аналітичному визначенню - лінії, що задається канонічним рівняннямпараболи:

Справді, введемо прямокутну системукоординат (рис.3.45 б). Вершину O параболи приймемо початок системи координат; пряму, що проходить через фокус перпендикулярно директрисі, приймемо за вісь абсцис (позитивний напрямок на ній від точки O до точки F); пряму, перпендикулярну до осі абсцис і проходить через вершину параболи, приймемо за вісь ординат (напрямок на осі ординат вибирається так, щоб прямокутна система координат Oxy виявилася правою).

Складемо рівняння параболи, використовуючи її геометричне визначення, що виражає директоріальну властивість параболи. У вибраній системі координат визначаємо координати фокусу F\!\left(\frac(p)(2);\,0\right)та рівняння директриси x=-\frac(p)(2) . Для довільної точки M(x,y) , що належить параболі, маємо:

FM=MM_d,

де M_d\!\left(\frac(p)(2);\,y\right)- ортогональна проекція точки M(x, y) на директрису. Записуємо це рівняння у координатній формі:

\sqrt((\left(x-\frac(p)(2)\right)\)^2+y^2}=x+\frac{p}{2}. !}

Зводимо обидві частини рівняння квадрат: (\left(x-\frac(p)(2)\right)\^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} !}. Наводячи подібні члени, отримуємо канонічне рівняння параболи

y^2=2cdot pcdot x,тобто. обрана система координат є канонічною.

Проводячи міркування у зворотному порядку, можна показати, що всі точки, координати яких задовольняють рівнянню (3.51), і тільки вони належать геометричному місцю точок, званому параболою. Таким чином, аналітичне визначення параболи еквівалентне його геометричному визначенню, що виражає директоріальну властивість параболи.

Рівняння параболи у полярній системі координат

Рівняння параболи в полярній системі координат Frvarphi (рис.3.45,в) має вигляд

r = frac (p) (1-e \ cdot \ cos \ varphi),де p - Парабола параметр, а e = 1 - її ексцентриситет.

Справді, як полюс полярної системи координат виберемо фокус F параболи, а як полярної осі - промінь з початком у точці F , перпендикулярний директрисі і не перетинає її (рис.3.45,в). Тоді для довільної точки M(r,\varphi) , що належить параболі, згідно з геометричним визначенням (директоріальної властивості) параболи, маємо MM_d=r . Оскільки MM_d=p+r\cos\varphi, отримуємо рівняння параболи в координатній формі:

p+r\cdot\cos\varphi \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-cos\varphi),

що й потрібно було довести. Зауважимо, що в полярних координатах рівняння еліпса, гіперболи та параболи збігаються, але описують різні лінії, оскільки відрізняються ексцентриситетами (0\leqslant e<1 для , e=1 для параболы, e>1 для ).

Геометричний зміст параметра в рівнянні параболи

Пояснимо геометричне значення параметра p у канонічному рівнянні параболи. Підставляючи рівняння (3.51) x=\frac(p)(2) , отримуємо y^2=p^2 , тобто. y=pm p . Отже, параметр p - це половина довжини хорди параболи, що проходить через її фокус перпендикулярно до осі параболи.

Фокальним параметром параболи, так само як для еліпса та для гіперболи, називається половина довжини хорди, що проходить через її фокус перпендикулярно до фокальної осі (див. рис.3.45,в). З рівняння параболи в полярних координатах при \varphi=\frac(\pi)(2)отримуємо r = p, тобто. Парабола збігається з її фокальним параметром.

Зауваження 3.11.

1. Параметр p параболи характеризує її форму. Чим більше p, тим ширші гілки параболи, чим ближче p до нуля, тим гілки параболи вже (рис.3.46).

2. Рівняння y^2=-2px (при p>0) визначає параболу, яка розташована зліва від осі ординат (рис. 3.47,a). Це рівняння зводиться до канонічного за допомогою зміни напряму осі абсцис (3.37). На рис. 3.47,a зображені задана система координат Oxy і канонічна Ox"y".

3. Рівняння (y-y_0) ^ 2 = 2p (x-x_0), \, p> 0визначає параболу з вершиною O"(x_0,y_0), вісь якої паралельна осі абсцис (рис.3.47,6). Це рівняння зводиться до канонічного за допомогою паралельного перенесення (3.36).

Рівняння (x-x_0) ^ 2 = 2p (y-y_0), \, p> 0, також визначає параболу з вершиною O"(x_0,y_0) , вісь якої паралельна осі ординат (рис.3.47,в). Це рівняння зводиться до канонічного за допомогою паралельного перенесення (3.36) і перейменування координатних осей (3.38). На рис. 3.47,б,в зображені задані системи координат Oxy і канонічні системи координат Ox"y".

4. y=ax^2+bx+c,~a\ne0є параболою з вершиною в точці O"\!\left(-\frac(b)(2a);\,-\frac(b^2-4ac)(4a)\right), вісь якої паралельна осі ординат, гілки параболи спрямовані вгору (при a>0) або вниз (при a<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение

y=a\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2-\frac(b^2)(4a)+c \quad \Leftrightarrow \quad \!\left(x+\frac(b) (2a)\right)^2=\frac(1)(a)\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right)\!,

яке наводиться до канонічного вигляду (y")^2=2px" , де p=\left|\frac(1)(2a)\right|, за допомогою заміни y"=x+\frac(b)(2a)і x"=\pm\!\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right).

Знак вибирається збігається зі знаком старшого коефіцієнта a. Ця заміна відповідає композиції: паралельного перенесення (3.36) з x_0=-\frac(b)(2a)і y_0=-\frac(b^2-4ac)(4a), перейменування координатних осей (3.38), а у випадку a<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 та a<0 соответственно.

5. Вісь абсцис канонічної системи координат є віссю симетрії параболиоскільки заміна змінної y на -y не змінює рівняння (3.51). Іншими словами, координати точки M(x,y) , що належить параболі, і координати точки M"(x,-y) , симетричній точці M щодо осі абсцис, задовольняють рівняння (3.S1). Осі канонічної системи координат називаються головними осями параболи.

Приклад 3.22. Зобразити параболу y^2=2x у канонічній системі координат Oxy. Знайти фокальний параметр, координати фокусу та рівняння директриси.

Рішення.Будуємо параболу, враховуючи її симетрію щодо осі абсцис (рис.3.49). При необхідності визначаємо координати деяких точок параболи. Наприклад, підставляючи x=2 рівняння параболи, отримуємо y^2=4~\Leftrightarrow~y=\pm2. Отже, точки з координатами (2; 2), \, (2; -2) належать параболі.

Порівнюючи задане рівняння з канонічним (3.S1), визначаємо фокальний параметр: p=1. Координати фокусу x_F=\frac(p)(2)=\frac(1)(2),~y_F=0, тобто. F\!\left(\frac(1)(2),\,0\right). Складаємо рівняння директриси x=-\frac(p)(2) , тобто. x=-\frac(1)(2) .

Загальні властивості еліпса, гіперболи, параболи

1. Директоріальне властивість можна використовувати як єдине визначення еліпса, гіперболи, параболи (див. рис.3.50): геометричне місце точок площини, для кожної з яких відношення відстані до заданої точки F (фокусу) до відстані до заданої прямої d (директриси), що не проходить через задану точку, постійно і дорівнює ексцентриситету e називається:

а) якщо 0\leqslant e<1 ;

б) , якщо e> 1;

в) параболою, якщо e=1.

2. Еліпс, гіпербола, парабола виходять у перерізах кругового конуса площинами і тому називаються конічними перерізами. Ця властивість також може бути геометричним визначенням еліпса, гіперболи, параболи.

3. До загальних властивостей еліпса, гіперболи і параболи можна віднести біссекторіальна властивістьїх дотичних. Під дотичноїдо лінії в деякій її точці K розуміється граничне положення сіючої KM, коли точка M, залишаючись на лінії, що розглядається, прагне до точки K. Пряма, перпендикулярна дотичної до лінії і проходить через точку дотику, називається нормаллюдо цієї лінії.

Біссекторіальна властивість дотичних (і нормалей) до еліпсу, гіперболі та параболі формулюється таким чином: дотична (нормаль) до еліпсу або гіперболі утворює рівні кути з фокальними радіусами точки дотику.(Рис.3.51, а, б); дотична (нормаль) до параболи утворює рівні кути з фокальним радіусом точки дотику та перпендикуляром, опущеним з неї на директрису(Рис.3.51, в). Іншими словами, дотична до еліпса в точці K є бісектриса зовнішнього кута трикутника F_1KF_2 (а нормаль - бісектриса внутрішнього кута F_1KF_2 трикутника); дотична до гіперболи є бісектрисою внутрішнього кута трикутника F_1KF_2 (а нормаль - бісектрисою зовнішнього кута); дотична до параболи є бісектрисою внутрішнього кута трикутника FKK_d (а нормаль - бісектрисою зовнішнього кута). Біссекторіальну властивість дотичної до параболи можна сформулювати так само, як для еліпса та гіперболи, якщо вважати, що парабола має другий фокус у нескінченно віддаленій точці.

4. З біссекторіальних властивостей випливають оптичні властивості еліпса, гіперболи та параболи, що пояснюють фізичне значення терміна "фокус". Уявімо собі поверхні, утворені обертанням еліпса, гіперболи або параболи навколо фокальної осі. Якщо на ці поверхні нанести відбивне покриття, то виходять еліптичне, гіперболічне та параболічне дзеркала. Відповідно до закону оптики, кут падіння променя світла на дзеркало дорівнює куту віддзеркалення, тобто. падаючий і відбитий промені утворюють рівні кути з нормаллю до поверхні, причому обидва промені та вісь обертання знаходяться в одній площині. Звідси отримуємо такі характеристики:

– якщо джерело світла перебуває у одному з фокусів еліптичного дзеркала, то промені світла, відбившись від дзеркала, збираються у іншому фокусі (рис.3.52,а);

- якщо джерело світла знаходиться в одному з фокусів гіперболічного дзеркала, то промені світла, відбившись від дзеркала, розходяться так, якби вони виходили з іншого фокусу (рис.3.52, б);

– якщо джерело світла перебуває у фокусі параболічного дзеркала, то промені світла, відбившись від дзеркала, йдуть паралельно фокальної осі (рис.3.52,в).

5. Діаметральна властивістьеліпса, гіперболи та параболи можна сформулювати наступним чином:

– середини паралельних хорд еліпса (гіпербол) лежать на одній прямій, що проходить через центр еліпса (гіпербол);

– середини паралельних хорд параболи лежать на прямій, колінеарній осі симетрії параболи.

Геометричне місце середин усіх паралельних хорд еліпса (гіперболи, параболи) називають діаметром еліпса (гіперболи, параболи), поєднаним до цих хордів.

Це визначення діаметра у вузькому значенні (див. приклад 2.8). Раніше було дано визначення діаметра у широкому сенсі, де діаметром еліпса, гіперболи, параболи, а також інших ліній другого порядку називається пряма, що містить середини всіх паралельних хорд. У вузькому значенні діаметром еліпса є будь-яка хорда, що проходить через його центр (рис.3.53 а); діаметром гіперболи є будь-яка пряма, що проходить через центр гіперболи (за винятком асимптот), або частина такої прямої (рис.3.53,6); діаметром параболи є будь-який промінь, що виходить з деякої точки параболи та колінеарної осі симетрії (рис.3.53,в).

Два діаметри, кожен з яких ділить навпіл всі хорди, паралельні іншому діаметру, називаються сполученими. На рис.3.53 напівжирними лініями зображені поєднані діаметри еліпса, гіперболи, параболи.

Дотичну до еліпсу (гіперболі, параболі) в точці K можна визначити як граничне положення паралельних сіючих M_1M_2 , коли точки M_1 і M_2 , залишаючись на лінії, що розглядається, прагнуть точки K . З цього визначення випливає, що дотична, паралельна хордам проходить через кінець діаметра, пов'язаного до цих хордів.

6. Еліпс, гіпербола та парабола мають, крім наведених вище, численні геометричні властивості та фізичні програми. Наприклад, рис.3.50 може бути ілюстрацією траєкторій руху космічних об'єктів, що у околиці центру F тяжіння.

Визначення 1. Параболою називається безліч усіх точок площини, кожна з яких однаково віддалена від цієї точки, званої фокусом, і від цієї прямої, що не проходить через дану точку і називається директрисою.

Складемо рівняння параболи з фокусом у цій точці Fі директрисою якої є пряма d,не проходить через F.Виберемо прямокутну систему координат у такий спосіб: вісь Охпроведемо через фокус Fперпендикулярно до директриси dу напрямку від dдо F,а початок координат Пророзташуємо посередині між фокусом та директрисою (рис. 1).

Визначення 2.Відстань від фокусу Fдо директорки dназивається параметром параболи і позначається через р (р> 0).

З рис. 1 видно, що p = FK,отже, фокус має координати F (р/2; 0), а рівняння директриси має вигляд х= – р/2,або

Нехай М(х; у)- Довільна точка параболи. З'єднаємо точку Мз Fі проведемо MN d.Безпосередньо із рис. 1 видно, що

а за формулою відстані між двома точками

Згідно з визначенням параболи, MF = MN, (1)

отже, (2)

Рівняння (2) є шуканим рівнянням параболи. Для спрощення рівняння (2) перетворимо його так:

тобто,

Координати хі украпки Мпараболи задовольняють умові (1), отже, і рівнянню (3).

Визначення 3.Рівняння (3) називається канонічним рівнянням параболи.

2. Дослідження форми параболи за її рівнянням.Визначимо форму параболи з її канонічного рівняння (3).

1) Координати точки Про (0; 0)задовольняють рівнянню (3), отже, парабола, яка визначається цим рівнянням, проходить через початок координат.

2) Оскільки в рівняння (3) змінна увходить тільки парною мірою, то парабола у 2 = 2рхсиметрична щодо осі абсцис.

3) Оскільки р > 0, то з (3) випливає х ≥ 0. Отже, парабола у 2 = 2рхрозташована праворуч від осі Оу.

4) При зростанні абсциси хвід 0 до +∞ ордината узмінюється від 0 до ± ∞, тобто. точки параболи необмежено віддаляються як від осі Ох, так і від осі Оу.

Парабола у 2 = 2рхмає форму, зображену на рис. 2.

Визначення 4.Ось Охназивається віссю симетрії параболи. Крапка Про (0; 0)перетину параболи з віссю симетрії називається вершиною параболи. Відрізок FMназивається фокальним радіусом крапки М.

Зауваження. Для складання рівняння параболи виду у 2 = 2рхми спеціально вибрали прямокутну систему координат (див. п. 1). Якщо ж систему координат вибрати іншим чином, то й рівняння параболи матиме інший вигляд.

а

Так, наприклад, якщо направити вісь Охвід фокусу до директорки (рис. 3, а

у 2 = -2рх. (4)

F(-р/2; 0), а директорка dзадана рівнянням х = р/2.

Якщо вісь Оупроведемо через фокус F dу напрямку від dдо F, а початок координат Пророзташуємо посередині між фокусом і директрисою (рис. 3, б), то рівняння параболи приклад вид

х 2 = 2ру . (5)

Фокус такої параболи має координати. F (0; р/2), а директорка dзадана рівнянням у=-р/2.

Якщо вісь Оупроведемо через фокус Fперпендикулярно до директриси dу напрямку від Fдо d(Рис. 3, в), то рівняння параболи набуде вигляду

х 2 = -2ру (6)

Координати її фокусу будуть F (0; -р/2), а рівнянням директриси dбуде у = р/2.

Про рівняння (4), (5), (6) говорять, що вони мають найпростіший вигляд.

3. Паралельне перенесення параболи.Нехай дана парабола з вершиною в точці Про (а; b)вісь симетрії якої паралельна осі Оу, а гілки спрямовані нагору (рис. 4). Потрібно скласти рівняння параболи.

(9)

Визначення 5.Рівняння (9) називається рівнянням параболи зі зміщеною вершиною.

Перетворимо це рівняння так:

Поклавши

будемо мати (10)

Неважко показати, що для будь-яких А, В, Сграфік квадратного тричлена (10) є параболу в сенсі визначення 1. Рівняння параболи виду (10) вивчалося в шкільному курсі алгебри.

ВПРАВИ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РІШЕННЯ

№1. Скласти рівняння кола:

a. з центром на початку координат та радіусом 7;

b. з центром у точці (-1;4) та радіусом 2.

Побудувати дані кола у прямокутній декартовій системі координат.

№2. Скласти канонічне рівняння еліпса з вершинами

та фокусами

№3. Побудувати еліпс, заданий канонічним рівнянням:

1) 2)

№4. Скласти канонічне рівняння еліпса з вершинами

та фокусами

№5. Скласти канонічне рівняння гіперболи з вершинами

та фокусами

№6. Скласти канонічне рівняння гіперболи, якщо:

1. відстань між фокусами, а між вершинами

2. дійсна піввісь, а ексцентриситет;

3. фокуси на осі, дійсна вісь 12, а уявна 8.

№7. Побудувати гіперболу, задану канонічним рівнянням:

1) 2) .

№8. Скласти канонічне рівняння параболи, якщо:

1) парабола розташована у правій напівплощині симетрично щодо осі та її параметр;

2) парабола розташована в лівій напівплощині симетрично щодо осі та її параметр.

Побудувати ці параболи, їх фокуси та директриси.

№9. Визначити тип лінії, якщо її рівняння:

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПРОВІРКИ

1. Вектори в просторі.

1.1. Що таке вектор?

1.2. Що таке абсолютна величина вектора?

1.3. Які види векторів у просторі Ви знаєте?

1.4. Які дії можна виконувати з ними?

1.5. Що таке координати вектора? Як їх знайти?

2. Події над векторами, заданими своїми координатами.

2.1. Які дії можна виконувати із векторами, заданими в координатній формі (правила, рівності, приклади); як знайти абсолютну величинутакого вектора.

2.2. Властивості:

2.2.1 колінеарних;

2.2.2 перпендикулярні;

2.2.3 компланарні;

2.2.4 рівних векторів.
(Формулювання, рівності).

3. Рівняння прямої. Прикладні завдання.

3.1. Які види рівняння прямої Ви знаєте (вміти записувати та інтерпретувати за записом);

3.2. Як дослідити на паралельність – перпендикулярність дві прямі, задані рівняннями з кутовим коефіцієнтом загальними рівняннями?

3.3. Як знайти відстань від точки до прямої між двома точками?

3.4. Як знайти кут між прямими, заданими загальними рівняннями прямою чи рівняннями з кутовим коефіцієнтом?

3.5. Як знайти координати середини відрізка та довжину цього відрізка?

4. Рівняння площини. Прикладні завдання.

4.1. Які види рівняння площини Ви знаєте (вміти записувати та інтерпретувати за записом)?

4.2. Як дослідити на паралельність – перпендикулярність прямі у просторі?

4.3. Як знайти відстань від точки до площини та кут між площинами?

4.4. Як дослідити взаємне розташуванняпрямий та площині у просторі?

4.5. Види рівняння прямої у просторі: загальне, канонічне, параметричне, що проходить через дві дані точки.

4.6. Як знайти кут між прямими та відстань між точками у просторі?

5. Лінії другого порядку.

5.1. Еліпс: визначення, фокуси, вершини, велика та мала осі, фокальні радіуси, ексцентриситет, рівняння директрис, найпростіші (або канонічні) рівняння еліпса; креслення.

5.2. Гіпербола: визначення, фокуси, вершини, дійсна та уявна осі, фокальні радіуси, ексцентриситет, рівняння директорис, найпростіші (або канонічні) рівняння гіперболи; креслення.

5.3. Парабола: визначення, фокус, директриса, вершина, параметр, вісь симетрії, найпростіші (або канонічні) рівняння параболи; креслення.

Примітка 4.1, 4.2, 4.3: Для кожної лінії 2-го порядку вміти описувати побудову.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОПРОВІРКИ

1. Дані точки: де N – номер студента за списком.

3) знайти відстань від точки М до площини Р.

4. Побудувати лінію другого порядку, задану своїм канонічним рівнянням:

.

ЛІТЕРАТУРА

1. Вища математика для економістів – Підручник для вузів під ред. Н.Ш. Кремер та ін, - Москва, ЮНІТІ, 2003.

2. Барковський В.В., Барковська Н.В. – Вища математика для економістів – Київ, ЦУЛ, 2002.

3. Суворов І.Ф. - курс вищої математики. - М., вища школа, 1967.

4. Тарасов Н.П. - курс вищої математики для технікумів. - М.; Наука, 1969.

5. Зайцев І.Л. - елементи вищої математики для технікумів. - М.; Наука, 1965.

6. Валуце Н.М., Ділігул Г.Д. - математика для технікумів. - М.; Наука, 1990р.

7. Шипачов В.С. - Вища математика. Підручник для вузів - М.: Вища школа, 2003.