Знайти рівняння параболи. Парабола - властивості та графік квадратичної функції
Введемо прямокутну систему координат, де . Нехай вісь проходить через фокус F параболи і перпендикулярний директрисі, а вісь проходить посередині між фокусом та директивою. Позначимо через відстань між фокусом та директрисою. Тоді рівняння директриси.
Число-називаєтьсяфокальним параметромпараболи. Нехай – поточна точка параболи. Нехай - фокальний радіус точки гіперболи. - Відстань від точки до директриси. Тоді( креслення 27.)
Креслення 27.
За визначенням параболи. Отже,
Зведемо рівняння у квадрат, отримаємо:
(15)
де (15) канонічне рівняння параболи, симетричної щодо осі та проходить через початок координат.
Дослідження властивостей параболи
1) Вершина параболи:
Рівняння (15) задовольняють числа і, отже, парабола проходить через початок координат.
2) Симетрія параболи:
Нехай належить параболі, тобто вірна рівність. Точка симетрична точці щодо осі, отже, парабола симетрична щодо осі абсцис.
Ексцентриситет параболи:
Визначення 4.2.Ексцентриситетом параболи називається число , що дорівнює одиниці.
Так як за визначенням параболи.
4) Стосовна параболи:
Дотична до параболи в точці торкання визначається рівнянням
Де ( креслення 28.)
Креслення 28.
Зображення параболи
Креслення 29.
З використанням ЕСО- Mathcad:
креслення 30.)
Креслення 30.
a) Побудова без використання ІКТ: Для побудови параболи задаємо прямокутну систему координат із центром у точці О та одиничний відрізок. Зазначаємо на осі ОХ фокус, так як, проводимо таку, що, і директрису параболи. Виконуємо побудову кола в точці радіусом рівною відстанівід прямої до директриси параболи. Окружність перетинає пряму в точках. Будуємо параболу так, щоб вона проходила через початок координат і через точки. креслення 31.)
Креслення 31.
b)З використанням ЕСО- Mathcad:
Отримане рівняння має вигляд: . Для побудови лінії другого порядку у програмі Mathcad наводимо рівняння до виду: .( креслення 32.)
Креслення 32.
Щоб узагальнити роботу з теорії ліній другого порядку елементарної математики й у зручності використання інформації про лініях під час вирішення завдань, укласти всі дані про лініях другого порядку таблицю № 1.
Таблиця №1.
Лінії другого порядку в елементарній математиці
|
Назва лінії 2-го порядку |
Окружність |
Еліпс |
Гіперболу |
Парабола |
|
Характеристичні властивості | ||||
|
Рівняння лінії | ||||
|
Ексцентриситет | ||||
|
Рівняння дотичної в точці (x 0 ; y 0 ) | ||||
|
Фокус | ||||
|
Діаметри ліній |
Де k-кутовий коефіцієнт |
Де k кутовий коефіцієнт |
Де k кутовий коефіцієнт |
Можливості використання ІКТ у вивченні ліній другого порядку
Процес інформатизації, що охопив сьогодні всі сторони життя сучасного суспільства, має кілька пріоритетних напрямків, до яких, безумовно, слід зарахувати інформатизацію освіти. Вона є першоосновою глобальної раціоналізації інтелектуальної діяльності за рахунок використання інформаційно-комунікаційних технологій (ІКТ).
Середина 90-х років минулого століття і до сьогоднішнього дня, характеризується масовістю і доступністю персональних комп'ютерів в Росії, широким використанням телекомунікацій, що дозволяє впроваджувати інформаційні технології навчання, що розробляються, в освітній процес, удосконалюючи і модернізуючи його, покращуючи якість знань, підвищуючи мотивацію до навчання, максимально використовуючи принцип індивідуалізації навчання. Інформаційні технології навчання є необхідним інструментом на даному етапі інформатизації освіти.
Інформаційні технології не лише полегшують доступ до інформації та відкривають можливості варіативності навчальної діяльності, її індивідуалізації та диференціації, а й дозволяють по-новому організувати взаємодію всіх суб'єктів навчання, побудувати освітню систему, в якій учень був би активним та рівноправним учасником освітньої діяльності.
Формування нових інформаційних технологій у рамках предметних уроків стимулюють потребу у створенні нових програмно-методичних комплексів, спрямованих на якісне підвищення ефективності уроку. Тому, для успішного та цілеспрямованого використання у навчальному процесі засобів інформаційних технологій, викладачі повинні знати Загальний описпринципів функціонування та дидактичні можливості програмно-прикладних засобів, а потім, виходячи зі свого досвіду та рекомендацій, "вбудовувати" їх у навчальний процес.
Вивчення математики в даний час пов'язане з цілою низкою особливостей та труднощів розвитку шкільної освітив нашій країні.
З'явилася так звана криза математичної освіти. Причини його полягають у наступному:
У зміні пріоритетів у суспільстві та у науці, тобто нині йде зростання пріоритету гуманітарних наук;
скорочення кількості уроків математики в школі;
у відірваності змісту математичної освіти від життя;
У малому вплив на почуття та емоції учнів.
Сьогодні залишається відкритим питання: «Як найефективніше використовувати потенційні можливості сучасних інформаційних і комунікаційних технологій під час навчання школярів, зокрема, під час навчання математики?».
Комп'ютер – чудовий помічник у вивченні такої теми, як “Квадратична функція”, тому що, використовуючи спеціальні програми, можна будувати графіки різних функцій, дослідити функцію, легко визначити координати точок перетину, обчислити площі замкнутих фігур тощо. Наприклад, на уроці алгебри в 9-му класі, присвяченому перетворенню графіка (розтягування, стискування, перенесення координатних осей) можна побачити лише застиглий результат побудови, а на екрані монітора простежується вся динаміка послідовних дій вчителя та учня.
Комп'ютер, як жодне технічний засіб, точно, наочно і цікаво відкриває перед учнем ідеальні математичні моделі, тобто. те, чого має прагнути дитина у своїх практичних діях.
Скільки труднощів доводиться відчувати вчителю математики для того, щоб переконати учнів у тому, що стосується графіка квадратичні функціїу точці дотику практично зливається з графіком функції. На комп'ютері цей факт продемонструвати дуже просто-досить звузити інтервал по осі Ох і виявити, що в дуже маленькій околиці точки торкання графік функції і дотична збігаються. Всі ці дії відбуваються на очах учнів. Цей приклад дає поштовх до активних роздумів на уроці. Використання комп'ютера можливе як під час пояснення нового матеріалу під час уроку, і на етапі контролю. За допомогою цих програм, наприклад My Test, учень самостійно може перевірити свій рівень знань з теорії, виконати теоретико-практичні завдання. Програми зручні своєю універсальністю. Вони можуть бути використані і для самоконтролю, і для контролю з боку вчителя.
Розумна інтеграція математики та комп'ютерних технологій дозволить багатше і глибше поглянути на процес вирішення завдання, перебіг осмислення математичних закономірностей. Крім того, комп'ютер допоможе сформувати графічну, математичну та розумову культуру учнів, а також за допомогою комп'ютера можна підготувати дидактичні матеріали: картки, листи опитування, тести та ін. творчий підхід.
Таким чином, є необхідність у застосуванні наскільки можна комп'ютера під час уроків математики ширше, ніж є. Використання інформаційних технологій сприятиме підвищенню якості знань, розширить горизонти вивчення квадратичної функції, а значить, допоможе знайти нові перспективи для підтримки інтересу учнів до предмета і до теми, а отже, і до кращого, більш уважного ставлення до нього. Сьогодні сучасні інформаційні технології стають найважливішим інструментом модернізації школи загалом – від управління до виховання та забезпечення доступності освіти.
Параболою називається геометричне місце точок площини, рівновіддалених від заданої точки F і заданої прямої d, не проходить через задану точку. Це геометричне визначення висловлює директоріальна властивість параболи.
Директоріальна властивість параболи
Точка F називається фокусом параболи, пряма d - директриса параболи, середина O перпендикуляра, опущеного з фокусу на директрису, - вершиною параболи, відстань p від фокусу до директриси - параметром параболи, а відстань \frac(p)(2) від вершини її фокус - фокусною відстанню(Рис.3.45, а). Пряма, перпендикулярна директрисі і проходить через фокус, називається віссю параболи (фокальною віссю параболи). Відрізок FM , що з'єднує довільну точку M параболи з її фокусом, називається фокальним радіусомточки M. Відрізок, що з'єднує дві точки параболи, називається хордою параболи.
Для довільної точки параболи відношення відстані до фокусу до відстані до директриси дорівнює одиниці. Порівнюючи директоріальні властивості еліпса, гіперболи та параболи, укладаємо, що ексцентриситет параболиза визначенням дорівнює одиниці (e = 1).
Геометричне визначення параболи, що виражає її директоріальне властивість, еквівалентно її аналітичному визначенню - лінії, що задається канонічним рівнянням параболи:
Дійсно, введемо прямокутну систему координат (рис.3.45 б). Вершину O параболи приймемо початок системи координат; пряму, що проходить через фокус перпендикулярно директрисі, приймемо за вісь абсцис (позитивний напрямок на ній від точки O до точки F); пряму, перпендикулярну осі абсцис і проходить через вершину параболи, приймемо за вісь ординат (напрямок на осі ординат вибирається так, щоб прямокутна системакоординат Oxy виявилася правою).
Складемо рівняння параболи, використовуючи її геометричне визначення, що виражає директоріальну властивість параболи. У вибраній системі координат визначаємо координати фокусу F\!\left(\frac(p)(2);\,0\right)та рівняння директриси x=-\frac(p)(2) . Для довільної точки M(x,y) , що належить параболі, маємо:
FM=MM_d,
де M_d\!\left(\frac(p)(2);\,y\right)- ортогональна проекція точки M(x, y) на директрису. Записуємо це рівняння у координатній формі:
\sqrt((\left(x-\frac(p)(2)\right)\)^2+y^2}=x+\frac{p}{2}. !}
Зводимо обидві частини рівняння квадрат: (\left(x-\frac(p)(2)\right)\^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} !}. Наводячи подібні члени, отримуємо канонічне рівняння параболи
Y^2=2cdot pcdot x,тобто. обрана система координат є канонічною.
Проводячи міркування у зворотному порядку, можна показати, що всі точки, координати яких задовольняють рівнянню (3.51), і тільки вони належать геометричному місцю точок, званому параболою. Таким чином, аналітичне визначення параболи еквівалентне його геометричному визначенню, що виражає директоріальну властивість параболи.
Рівняння параболи у полярній системі координат
Рівняння параболи в полярній системі координат Frvarphi (рис.3.45,в) має вигляд
R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),де p - Парабола параметр, а e = 1 - її ексцентриситет.
Справді, як полюс полярної системи координат виберемо фокус F параболи, а як полярної осі - промінь з початком у точці F , перпендикулярний директрисі і не перетинає її (рис.3.45,в). Тоді для довільної точки M(r,\varphi) , що належить параболі, згідно з геометричним визначенням (директоріальної властивості) параболи, маємо MM_d=r . Оскільки MM_d=p+r\cos\varphi, отримуємо рівняння параболи в координатній формі:
P+r\cdot\cos\varphi \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-cos\varphi),
що і потрібно було довести. Зауважимо, що в полярних координатах рівняння еліпса, гіперболи та параболи збігаються, але описують різні лінії, оскільки відрізняються ексцентриситетами ( 0\leqslant e<1 для эллипса, e=1 для параболы, e>1 для гіпербол).
Геометричний зміст параметра в рівнянні параболи
Пояснимо геометричне значення параметра p в канонічному рівнянніпараболи. Підставляючи рівняння (3.51) x=\frac(p)(2) , отримуємо y^2=p^2 , тобто. y=pm p . Отже, параметр p - це половина довжини хорди параболи, що проходить через її фокус перпендикулярно до осі параболи.
Фокальним параметром параболи, так само як для еліпса та для гіперболи, називається половина довжини хорди, що проходить через її фокус перпендикулярно до фокальної осі (див. рис.3.45,в). З рівняння параболи в полярних координатах при \varphi=\frac(\pi)(2)отримуємо r = p, тобто. Парабола збігається з її фокальним параметром.
Зауваження 3.11.
1. Параметр p параболи характеризує її форму. Чим більше p, тим ширші гілки параболи, чим ближче p до нуля, тим гілки параболи вже (рис.3.46).
2. Рівняння y^2=-2px (при p>0) визначає параболу, яка розташована зліва від осі ординат (рис. 3.47,a). Це рівняння зводиться до канонічного за допомогою зміни напряму осі абсцис (3.37). На рис. 3.47,a зображені задана система координат Oxy і канонічна Ox"y".
3. Рівняння (y-y_0) ^ 2 = 2p (x-x_0), \, p> 0визначає параболу з вершиною O"(x_0,y_0), вісь якої паралельна осі абсцис (рис.3.47,6). Це рівняння зводиться до канонічного за допомогою паралельного перенесення (3.36).
Рівняння (x-x_0) ^ 2 = 2p (y-y_0), \, p> 0, також визначає параболу з вершиною O"(x_0,y_0) , вісь якої паралельна осі ординат (рис.3.47,в). Це рівняння зводиться до канонічного за допомогою паралельного перенесення (3.36) і перейменування координатних осей (3.38). На рис. 3.47,б,в зображені задані системи координат Oxy і канонічні системи координат Ox"y".
4. y=ax^2+bx+c,~a\ne0є параболою з вершиною в точці O"\!\left(-\frac(b)(2a);\,-\frac(b^2-4ac)(4a)\right), вісь якої паралельна осі ординат, гілки параболи спрямовані вгору (при a>0) або вниз (при a<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение
Y=a\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2-\frac(b^2)(4a)+c \quad \Leftrightarrow \quad \!\left(x+\frac(b) (2a)\right)^2=\frac(1)(a)\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right)\!,
яке наводиться до канонічного вигляду (y")^2=2px" , де p=\left|\frac(1)(2a)\right|, За допомогою заміни y"=x+\frac(b)(2a) і x"=\pm\!\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right).
Знак вибирається збігається зі знаком старшого коефіцієнта a. Ця заміна відповідає композиції: паралельного перенесення (3.36) з x_0=-\frac(b)(2a) та y_0=-\frac(b^2-4ac)(4a), перейменування координатних осей (3.38), а у випадку a<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 та a<0 соответственно.
5. Вісь абсцис канонічної системи координат є віссю симетрії параболиоскільки заміна змінної y на -y не змінює рівняння (3.51). Іншими словами, координати точки M(x,y) , що належить параболі, і координати точки M"(x,-y) , симетричній точці M щодо осі абсцис, задовольняють рівняння (3.S1). Осі канонічної системи координат називаються головними осями параболи.
Приклад 3.22. Зобразити параболу y^2=2x у канонічній системі координат Oxy. Знайти фокальний параметр, координати фокусу та рівняння директриси.
Рішення.Будуємо параболу, враховуючи її симетрію щодо осі абсцис (рис.3.49). При необхідності визначаємо координати деяких точок параболи. Наприклад, підставляючи x=2 рівняння параболи, отримуємо y^2=4~\Leftrightarrow~y=\pm2. Отже, точки з координатами (2; 2), \, (2; -2) належать параболі.
Порівнюючи задане рівняння з канонічним (3.S1), визначаємо фокальний параметр: p=1. Координати фокусу x_F=\frac(p)(2)=\frac(1)(2),~y_F=0, тобто. F\!\left(\frac(1)(2),\,0\right). Складаємо рівняння директриси x=-\frac(p)(2) , тобто. x=-\frac(1)(2) .
Загальні властивості еліпса, гіперболи, параболи
1. Директоріальне властивість можна використовувати як єдине визначення еліпса, гіперболи, параболи (див. рис.3.50): геометричне місце точок площини, для кожної з яких відношення відстані до заданої точки F (фокусу) до відстані до заданої прямої d (директриси), що не проходить через задану точку, постійно і дорівнює ексцентриситету e називається:
а) еліпсом, якщо 0 \ leqslant e<1 ;
б) гіперболою, якщо e> 1;
в) параболою, якщо e=1.
2. Еліпс, гіпербола, парабола виходять у перерізах кругового конуса площинами і тому називаються конічними перерізами. Ця властивість також може бути геометричним визначенням еліпса, гіперболи, параболи.
3. До загальних властивостей еліпса, гіперболи і параболи можна віднести біссекторіальна властивістьїх дотичних. Під дотичноїдо лінії в деякій її точці K розуміється граничне положення сіючої KM, коли точка M, залишаючись на лінії, що розглядається, прагне до точки K. Пряма, перпендикулярна дотичної до лінії і проходить через точку дотику, називається нормаллюдо цієї лінії.
Біссекторіальна властивість дотичних (і нормалей) до еліпсу, гіперболі та параболі формулюється таким чином: дотична (нормаль) до еліпсу або гіперболі утворює рівні кути з фокальними радіусами точки дотику.(Рис.3.51, а, б); дотична (нормаль) до параболи утворює рівні кути з фокальним радіусом точки дотику та перпендикуляром, опущеним з неї на директрису(Рис.3.51, в). Іншими словами, дотична до еліпса в точці K є бісектриса зовнішнього кута трикутника F_1KF_2 (а нормаль - бісектриса внутрішнього кута F_1KF_2 трикутника); дотична до гіперболи є бісектрисою внутрішнього кута трикутника F_1KF_2 (а нормаль - бісектрисою зовнішнього кута); дотична до параболи є бісектрисою внутрішнього кута трикутника FKK_d (а нормаль - бісектрисою зовнішнього кута). Біссекторіальну властивість дотичної до параболи можна сформулювати так само, як для еліпса та гіперболи, якщо вважати, що парабола має другий фокус у нескінченно віддаленій точці.
4. З біссекторіальних властивостей випливають оптичні властивості еліпса, гіперболи та параболи, що пояснюють фізичне значення терміна "фокус". Уявімо собі поверхні, утворені обертанням еліпса, гіперболи або параболи навколо фокальної осі. Якщо на ці поверхні нанести відбивне покриття, то виходять еліптичне, гіперболічне та параболічне дзеркала. Відповідно до закону оптики, кут падіння променя світла на дзеркало дорівнює куту віддзеркалення, тобто. падаючий і відбитий промені утворюють рівні кути з нормаллю до поверхні, причому обидва промені та вісь обертання знаходяться в одній площині. Звідси отримуємо такі характеристики:
– якщо джерело світла перебуває у одному з фокусів еліптичного дзеркала, то промені світла, відбившись від дзеркала, збираються у іншому фокусі (рис.3.52,а);
- якщо джерело світла знаходиться в одному з фокусів гіперболічного дзеркала, то промені світла, відбившись від дзеркала, розходяться так, якби вони виходили з іншого фокусу (рис.3.52, б);
– якщо джерело світла перебуває у фокусі параболічного дзеркала, то промені світла, відбившись від дзеркала, йдуть паралельно фокальної осі (рис.3.52,в).
5. Діаметральна властивістьеліпса, гіперболи та параболи можна сформулювати наступним чином:
– середини паралельних хорд еліпса (гіпербол) лежать на одній прямій, що проходить через центр еліпса (гіпербол);
– середини паралельних хорд параболи лежать на прямій, колінеарній осі симетрії параболи.
Геометричне місце середин усіх паралельних хорд еліпса (гіперболи, параболи) називають діаметром еліпса (гіперболи, параболи), поєднаним до цих хордів.
Це визначення діаметра у вузькому значенні (див. приклад 2.8). Раніше було дано визначення діаметра у широкому сенсі, де діаметром еліпса, гіперболи, параболи, а також інших ліній другого порядку називається пряма, що містить середини всіх паралельних хорд. У вузькому значенні діаметром еліпса є будь-яка хорда, що проходить через його центр (рис.3.53 а); діаметром гіперболи є будь-яка пряма, що проходить через центр гіперболи (за винятком асимптот), або частина такої прямої (рис.3.53,6); діаметром параболи є будь-який промінь, що виходить з деякої точки параболи та колінеарної осі симетрії (рис.3.53,в).
Два діаметри, кожен з яких ділить навпіл всі хорди, паралельні іншому діаметру, називаються сполученими. На рис.3.53 напівжирними лініями зображені поєднані діаметри еліпса, гіперболи, параболи.
Дотичну до еліпсу (гіперболі, параболі) в точці K можна визначити як граничне положення паралельних сіючих M_1M_2 , коли точки M_1 і M_2 , залишаючись на лінії, що розглядається, прагнуть точки K . З цього визначення випливає, що дотична, паралельна хордам проходить через кінець діаметра, пов'язаного до цих хордів.
6. Еліпс, гіпербола та парабола мають, крім наведених вище, численні геометричні властивості та фізичні програми. Наприклад, рис.3.50 може бути ілюстрацією траєкторій руху космічних об'єктів, що у околиці центру F тяжіння.
У вашому браузері вимкнено Javascript.Щоб розрахувати, необхідно дозволити елементи ActiveX!
Параболою називається геометричне місце точок площини, рівновіддалених від заданої точки F і заданої прямої d не проходить через задану точку. Це геометричне визначення висловлює директоріальна властивість параболи.
Директоріальна властивість параболи
Точка F називається фокусом параболи, пряма d - директриса параболи, середина O перпендикуляра, опущеного з фокусу на директрису, - вершиною параболи, відстань p від фокусу до директриси - параметром параболи, а відстань \frac(p)(2) від вершини її фокус - фокусною відстанню (рис.3.45, а). Пряма, перпендикулярна директрисі і проходить через фокус, називається віссю параболи (фокальною віссю параболи). Відрізок FM , що з'єднує довільну точку M параболи з її фокусом, називається фокусним радіусом точки M . Відрізок, що з'єднує дві точки параболи, називається хордою параболи.
Для довільної точки параболи відношення відстані до фокусу до відстані до директриси дорівнює одиниці. Порівнюючи директоріальні властивості і параболи, укладаємо, що ексцентриситет параболиза визначенням дорівнює одиниці (e = 1).
Геометричне визначення параболи, що виражає її директоріальне властивість, еквівалентно її аналітичному визначенню - лінії, що задається канонічним рівнянням параболи:
Дійсно, введемо прямокутну систему координат (рис.3.45 б). Вершину O параболи приймемо початок системи координат; пряму, що проходить через фокус перпендикулярно директрисі, приймемо за вісь абсцис (позитивний напрямок на ній від точки O до точки F); пряму, перпендикулярну до осі абсцис і проходить через вершину параболи, приймемо за вісь ординат (напрямок на осі ординат вибирається так, щоб прямокутна система координат Oxy виявилася правою).
Складемо рівняння параболи, використовуючи її геометричне визначення, що виражає директоріальну властивість параболи. У вибраній системі координат визначаємо координати фокусу F\!\left(\frac(p)(2);\,0\right)та рівняння директриси x=-\frac(p)(2) . Для довільної точки M(x,y) , що належить параболі, маємо:
FM=MM_d,
де M_d\!\left(\frac(p)(2);\,y\right)- ортогональна проекція точки M(x, y) на директрису. Записуємо це рівняння у координатній формі:
\sqrt((\left(x-\frac(p)(2)\right)\)^2+y^2}=x+\frac{p}{2}. !}
Зводимо обидві частини рівняння квадрат: (\left(x-\frac(p)(2)\right)\^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} !}. Наводячи подібні члени, отримуємо канонічне рівняння параболи
y^2=2cdot pcdot x,тобто. обрана система координат є канонічною.
Проводячи міркування у зворотному порядку, можна показати, що всі точки, координати яких задовольняють рівнянню (3.51), і тільки вони належать геометричному місцю точок, званому параболою. Таким чином, аналітичне визначення параболи еквівалентне його геометричному визначенню, що виражає директоріальну властивість параболи.
Рівняння параболи у полярній системі координат
Рівняння параболи в полярній системі координат Frvarphi (рис.3.45,в) має вигляд
r = frac (p) (1-e \ cdot \ cos \ varphi),де p - Парабола параметр, а e = 1 - її ексцентриситет.
Справді, як полюс полярної системи координат виберемо фокус F параболи, а як полярної осі - промінь з початком у точці F , перпендикулярний директрисі і не перетинає її (рис.3.45,в). Тоді для довільної точки M(r,\varphi) , що належить параболі, згідно з геометричним визначенням (директоріальної властивості) параболи, маємо MM_d=r . Оскільки MM_d=p+r\cos\varphi, отримуємо рівняння параболи в координатній формі:
p+r\cdot\cos\varphi \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-cos\varphi),
що і потрібно було довести. Зауважимо, що в полярних координатах рівняння еліпса, гіперболи та параболи збігаються, але описують різні лінії, оскільки відрізняються ексцентриситетами (0\leqslant e<1 для , e=1 для параболы, e>1 для ).
Геометричний зміст параметра в рівнянні параболи
Пояснимо геометричне значення параметра p у канонічному рівнянні параболи. Підставляючи рівняння (3.51) x=\frac(p)(2) , отримуємо y^2=p^2 , тобто. y=pm p . Отже, параметр p - це половина довжини хорди параболи, що проходить через її фокус перпендикулярно до осі параболи.
Фокальним параметром параболи, так само як для еліпса та для гіперболи, називається половина довжини хорди, що проходить через її фокус перпендикулярно до фокальної осі (див. рис.3.45,в). З рівняння параболи в полярних координатах при \varphi=\frac(\pi)(2)отримуємо r = p, тобто. Парабола збігається з її фокальним параметром.
Зауваження 3.11.
1. Параметр p параболи характеризує її форму. Чим більше p, тим ширші гілки параболи, чим ближче p до нуля, тим гілки параболи вже (рис.3.46).
2. Рівняння y^2=-2px (при p>0) визначає параболу, яка розташована зліва від осі ординат (рис. 3.47,a). Це рівняння зводиться до канонічного за допомогою зміни напряму осі абсцис (3.37). На рис. 3.47,a зображені задана система координат Oxy і канонічна Ox"y".
3. Рівняння (y-y_0) ^ 2 = 2p (x-x_0), \, p> 0визначає параболу з вершиною O"(x_0,y_0), вісь якої паралельна осі абсцис (рис.3.47,6). Це рівняння зводиться до канонічного за допомогою паралельного перенесення (3.36).
Рівняння (x-x_0) ^ 2 = 2p (y-y_0), \, p> 0, також визначає параболу з вершиною O"(x_0,y_0) , вісь якої паралельна осі ординат (рис.3.47,в). Це рівняння зводиться до канонічного за допомогою паралельного перенесення (3.36) і перейменування координатних осей (3.38). На рис. 3.47,б,в зображені задані системи координат Oxy і канонічні системи координат Ox"y".
4. y=ax^2+bx+c,~a\ne0є параболою з вершиною в точці O"\!\left(-\frac(b)(2a);\,-\frac(b^2-4ac)(4a)\right), вісь якої паралельна осі ординат, гілки параболи спрямовані вгору (при a>0) або вниз (при a<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение
y=a\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2-\frac(b^2)(4a)+c \quad \Leftrightarrow \quad \!\left(x+\frac(b) (2a)\right)^2=\frac(1)(a)\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right)\!,
яке наводиться до канонічного вигляду (y")^2=2px" , де p=\left|\frac(1)(2a)\right|, за допомогою заміни y"=x+\frac(b)(2a)і x"=\pm\!\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right).
Знак вибирається збігається зі знаком старшого коефіцієнта a. Ця заміна відповідає композиції: паралельного перенесення (3.36) з x_0=-\frac(b)(2a)і y_0=-\frac(b^2-4ac)(4a), перейменування координатних осей (3.38), а у випадку a<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 та a<0 соответственно.
5. Вісь абсцис канонічної системи координат є віссю симетрії параболиоскільки заміна змінної y на -y не змінює рівняння (3.51). Іншими словами, координати точки M(x,y) , що належить параболі, і координати точки M"(x,-y) , симетричній точці M щодо осі абсцис, задовольняють рівняння (3.S1). Осі канонічної системи координат називаються головними осями параболи.
Приклад 3.22. Зобразити параболу y^2=2x у канонічній системі координат Oxy. Знайти фокальний параметр, координати фокусу та рівняння директриси.
Рішення.Будуємо параболу, враховуючи її симетрію щодо осі абсцис (рис.3.49). При необхідності визначаємо координати деяких точок параболи. Наприклад, підставляючи x=2 рівняння параболи, отримуємо y^2=4~\Leftrightarrow~y=\pm2. Отже, точки з координатами (2; 2), \, (2; -2) належать параболі.
Порівнюючи задане рівняння з канонічним (3.S1), визначаємо фокальний параметр: p=1. Координати фокусу x_F=\frac(p)(2)=\frac(1)(2),~y_F=0, тобто. F\!\left(\frac(1)(2),\,0\right). Складаємо рівняння директриси x=-\frac(p)(2) , тобто. x=-\frac(1)(2) .
Загальні властивості еліпса, гіперболи, параболи
1. Директоріальне властивість можна використовувати як єдине визначення еліпса, гіперболи, параболи (див. рис.3.50): геометричне місце точок площини, для кожної з яких відношення відстані до заданої точки F (фокусу) до відстані до заданої прямої d (директриси), що не проходить через задану точку, постійно і дорівнює ексцентриситету e називається:
а) якщо 0\leqslant e<1 ;
б) , якщо e> 1;
в) параболою, якщо e=1.
2. Еліпс, гіпербола, парабола виходять у перерізах кругового конуса площинами і тому називаються конічними перерізами. Ця властивість також може бути геометричним визначенням еліпса, гіперболи, параболи.
3. До загальних властивостей еліпса, гіперболи і параболи можна віднести біссекторіальна властивістьїх дотичних. Під дотичноїдо лінії в деякій її точці K розуміється граничне положення сіючої KM, коли точка M, залишаючись на лінії, що розглядається, прагне до точки K. Пряма, перпендикулярна дотичної до лінії і проходить через точку дотику, називається нормаллюдо цієї лінії.
Біссекторіальна властивість дотичних (і нормалей) до еліпсу, гіперболі та параболі формулюється таким чином: дотична (нормаль) до еліпсу або гіперболі утворює рівні кути з фокальними радіусами точки дотику.(Рис.3.51, а, б); дотична (нормаль) до параболи утворює рівні кути з фокальним радіусом точки дотику та перпендикуляром, опущеним з неї на директрису(Рис.3.51, в). Іншими словами, дотична до еліпса в точці K є бісектриса зовнішнього кута трикутника F_1KF_2 (а нормаль - бісектриса внутрішнього кута F_1KF_2 трикутника); дотична до гіперболи є бісектрисою внутрішнього кута трикутника F_1KF_2 (а нормаль - бісектрисою зовнішнього кута); дотична до параболи є бісектрисою внутрішнього кута трикутника FKK_d (а нормаль - бісектрисою зовнішнього кута). Біссекторіальну властивість дотичної до параболи можна сформулювати так само, як для еліпса та гіперболи, якщо вважати, що парабола має другий фокус у нескінченно віддаленій точці.
4. З біссекторіальних властивостей випливають оптичні властивості еліпса, гіперболи та параболи, що пояснюють фізичне значення терміна "фокус". Уявімо собі поверхні, утворені обертанням еліпса, гіперболи або параболи навколо фокальної осі. Якщо на ці поверхні нанести відбивне покриття, то виходять еліптичне, гіперболічне та параболічне дзеркала. Відповідно до закону оптики, кут падіння променя світла на дзеркало дорівнює куту віддзеркалення, тобто. падаючий і відбитий промені утворюють рівні кути з нормаллю до поверхні, причому обидва промені та вісь обертання знаходяться в одній площині. Звідси отримуємо такі характеристики:
– якщо джерело світла перебуває у одному з фокусів еліптичного дзеркала, то промені світла, відбившись від дзеркала, збираються у іншому фокусі (рис.3.52,а);
- якщо джерело світла знаходиться в одному з фокусів гіперболічного дзеркала, то промені світла, відбившись від дзеркала, розходяться так, якби вони виходили з іншого фокусу (рис.3.52, б);
– якщо джерело світла перебуває у фокусі параболічного дзеркала, то промені світла, відбившись від дзеркала, йдуть паралельно фокальної осі (рис.3.52,в).
5. Діаметральна властивістьеліпса, гіперболи та параболи можна сформулювати наступним чином:
– середини паралельних хорд еліпса (гіпербол) лежать на одній прямій, що проходить через центр еліпса (гіпербол);
– середини паралельних хорд параболи лежать на прямій, колінеарній осі симетрії параболи.
Геометричне місце середин усіх паралельних хорд еліпса (гіперболи, параболи) називають діаметром еліпса (гіперболи, параболи), поєднаним до цих хордів.
Це визначення діаметра у вузькому значенні (див. приклад 2.8). Раніше було дано визначення діаметра у широкому сенсі, де діаметром еліпса, гіперболи, параболи, а також інших ліній другого порядку називається пряма, що містить середини всіх паралельних хорд. У вузькому значенні діаметром еліпса є будь-яка хорда, що проходить через його центр (рис.3.53 а); діаметром гіперболи є будь-яка пряма, що проходить через центр гіперболи (за винятком асимптот), або частина такої прямої (рис.3.53,6); діаметром параболи є будь-який промінь, що виходить з деякої точки параболи та колінеарної осі симетрії (рис.3.53,в).
Два діаметри, кожен з яких ділить навпіл всі хорди, паралельні іншому діаметру, називаються сполученими. На рис.3.53 напівжирними лініями зображені поєднані діаметри еліпса, гіперболи, параболи.
Дотичну до еліпсу (гіперболі, параболі) в точці K можна визначити як граничне положення паралельних сіючих M_1M_2 , коли точки M_1 і M_2 , залишаючись на лінії, що розглядається, прагнуть точки K . З цього визначення випливає, що дотична, паралельна хордам проходить через кінець діаметра, пов'язаного до цих хордів.
6. Еліпс, гіпербола та парабола мають, крім наведених вище, численні геометричні властивості та фізичні програми. Наприклад, рис.3.50 може бути ілюстрацією траєкторій руху космічних об'єктів, що у околиці центру F тяжіння.
Розглянемо на площині пряму і точку, що не лежить на цій прямій. І еліпс, і гіперболаможуть бути визначені єдиним чином як геометричне місце точок, для яких відношення відстані до даної точки до відстані до даної прямої є постійна
чину ε. При 01 - гіпербола. Параметр ε є ексцентриситетом як еліпса, так і гіперболи. З можливих позитивних значень параметра один, а саме = 1, виявляється незадіяним. Цьому значенню відповідає геометричне місце точок, рівновіддалених від цієї точки і від цієї прямої.
Визначення 8.1.Геометричне місце точок площини, рівновіддалених від фіксованої точки та від фіксованої прямої, називають параболою.
Фіксовану точку називають фокусом параболи, А пряму - директрисою параболи. При цьому вважають, що ексцентриситет параболидорівнює одиниці.
З геометричних міркувань випливає, що парабола симетрична щодо прямої, перпендикулярної директрисі і параболи, що проходить через фокус. Цю пряму називають віссю симетрії параболи або просто віссю параболи. Парабола перетинається зі своєю віссю симетрії у єдиній точці. Цю точку називають вершиною параболи. Вона розташована всередині відрізка, що з'єднує фокус параболи з точкою перетину її осі з директрисою (рис. 8.3).
Рівняння параболи.Для виведення рівняння параболи виберемо на площині початок координату вершині параболи, як осі абсцис- вісь параболи, позитивний напрямок якої задається положенням фокуса (див. рис. 8.3). Цю систему координат називають канонічноїдля аналізованої параболи, а відповідні змінні - канонічними.
Позначимо відстань від фокусу до директорки через p. Його називають фокальним параметром параболи.
Тоді фокус має координати F(p/2; 0), а директриса d описується рівнянням x = p/2. Геометричне місце точок M(x; y), рівновіддалених від точки F і від прямої d, визначається рівнянням
Зведемо рівняння (8.2) у квадрат і наведемо такі. Отримаємо рівняння
яке називають канонічним рівнянням параболи.
Зазначимо, що зведення у квадрат в даному випадку- еквівалентне перетворення рівняння (8.2), оскільки обидві частини рівняння невід'ємні, як і вираз під радикалом.
Перегляд параболи.Якщо параболу у 2 = x, вид якої вважаємо відомим, стиснути з коефіцієнтом 1/(2р) вздовж осі абсцис, то вийде парабола загального вигляду, що описується рівнянням (8.3).
Приклад 8.2.Знайдемо координати фокусу та рівняння директриси параболи, якщо вона проходить через точку, канонічні координати якої (25; 10).
У канонічних координатах рівняння параболи має вигляд 2 = 2px. Оскільки точка (25; 10) знаходиться на параболі, то 100 = 50p і тому p = 2. Отже, у 2 = 4x є канонічним рівнянням параболи, x = - 1 – рівнянням її директриси, а фокус знаходиться у точці (1; 0 ).
Оптична властивість параболи.Парабола має таке оптична властивість. Якщо у фокус параболи помістити джерело світла, всі світлові промені після відбиття від параболи будуть паралельні осі параболи (рис. 8.4). Оптична властивість означає, що у будь-якій точці M параболи нормальний вектордотичної становить з фокальним радіусом MF і віссю абсцис однакові кути.
Функція виду, де називається квадратичною функцією.
Графік квадратичної функції – парабола.
Розглянемо випадки:
I ВИПАДК, КЛАСИЧНА ПАРАБОЛА
Тобто , ,
Для побудови заповнюємо таблицю, підставляючи значення x формулу:
Зазначаємо точки (0; 0); (1; 1); (-1; 1) і т.д. на координатній площині (чим із меншим кроком ми беремо значення х (у даному випадку крок 1), і чим більше беремо значень х, тим плавніше буде крива), одержуємо параболу:
Неважко помітити, що й ми візьмемо випадок , , , тобто , ми отримаємо параболу, симетричну щодо осі (ох). Переконатись у цьому нескладно, заповнивши аналогічну таблицю:
II ВИПАД, «a» ВІДМІННО ВІД ОДИНИЦІ
Що ж буде, якщо ми братимемо , , ? Як зміниться поведінка параболи? При title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}
На першій картинці (див. вище) добре видно, що точки з таблиці для параболи (1; 1), (-1; 1) трансформувалися в точки (1; 4), (1; -4), тобто при тих же значення ординату кожної точки помножилася на 4. Це станеться з усіма ключовими точками вихідної таблиці. Аналогічно міркуємо у випадках картинок 2 та 3.
А при параболі «стане ширше» параболи:
Давайте підсумуємо:
1)Знак коефіцієнта відповідає за напрямок гілок. При title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}
2) Абсолютна величина коефіцієнта (модуля) відповідає за “розширення”, “стиснення” параболи. Чим більше , тим уже парабола, чим менше |a|, тим ширше парабола.
ІІІ ВИПАД, З'ЯВЛЯЄТЬСЯ «С»
Тепер давайте введемо в гру (тобто розглядаємо випадок, коли), розглядатимемо параболи виду. Неважко здогадатися (ви завжди можете звернутися до таблиці), що відбуватиметься зміщення параболи вздовж осі вгору або вниз залежно від знака:
IV ВИПАД, З'ЯВЛЯЄТЬСЯ «b»
Коли ж парабола "відірветься" від осі і, нарешті, "гулятиме" по всій координатній площині? Коли перестане бути рівним.
Тут для побудови параболи нам знадобиться формула для обчислення вершини: , .
Так ось у цій точці (як у точці (0; 0)) нової системикоординат) ми будуватимемо параболу, що вже нам під силу. Якщо маємо справу з нагодою , то від вершини відкладаємо один одиничний відрізок вправо, один вгору, - отримана точка - наша (аналогічно крок вліво, крок вгору - наша точка); якщо маємо справу з , наприклад, то від вершини відкладаємо один одиничний відрізок праворуч, два - вгору і т.д.
Наприклад, вершина параболи:
Тепер головне усвідомити, що в цій вершині ми будуватимемо параболу за шаблоном параболи, адже в нашому випадку.
При побудові параболи після знаходження координат вершини дужезручно враховувати такі моменти:
1) парабола обов'язково пройде через точку . Справді, підставивши формулу x=0, отримаємо, що . Тобто ордината точки перетину параболи з віссю (оу) це . У прикладі (вище), парабола перетинає вісь ординат у точці , оскільки .
2) віссю симетрії параболи є пряма , тому всі точки параболи будуть симетричні щодо неї. У нашому прикладі ми відразу беремо точку (0; -2) і будуємо їй симетричну щодо осі симетрії параболи, отримаємо точку (4; -2), через яку буде проходити парабола.
3) Прирівнюючи до ми дізнаємося точки перетину параболи з віссю (ох). Для цього вирішуємо рівняння. Залежно від дискримінанта, отримуватимемо одну (, ), дві (title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com)" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . У попередньому прикладі у нас корінь з дискримінанта - не ціле число, при побудові нам особливо немає сенсу знаходити коріння, але ми бачимо чітко, що дві точки перетину з віссю (ох) у нас будуть (бо title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}
Отже, давайте виробимо
Алгоритм для побудови параболи, якщо вона задана у вигляді
1) визначаємо напрямок гілок (а>0 – вгору, a<0 – вниз)
2) знаходимо координати вершини параболи за формулою , .
3) знаходимо точку перетину параболи з віссю (оу) по вільному члену , будуємо точку, симетричну даної щодо осі симетрії параболи (треба зауважити, буває, що цю точку невигідно відзначати, наприклад, тому, що значення велике ... пропускаємо цей пункт ...)
4) У знайденій точці – вершині параболи (як і точці (0;0) нової системи координат) будуємо параболу . Якщо title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}
5) Знаходимо точки перетину параболи з віссю (оу) (якщо вони самі “не спливли”), вирішуючи рівняння
Приклад 1
Приклад 2
Зауваження 1.Якщо ж парабола спочатку нам задана у вигляді де - деякі числа (наприклад, ), то побудувати її буде ще легше, тому що нам вже задані координати вершини . Чому?
Візьмемо квадратний тричлен і виділимо в ньому повний квадрат: Подивіться, ось ми отримали, що , . Ми з вами раніше називали вершину параболи, тобто тепер.
Наприклад, . Зазначаємо на площині вершину параболи, розуміємо, що гілки спрямовані вниз, парабола розширена (відносно). Тобто виконуємо пункти 1; 3; 4; 5 з алгоритму побудови параболи (див. вище).
Примітка 2.Якщо парабола задана у вигляді, подібному до цього (тобто представлений у вигляді добутку двох лінійних множників), то відразу видно точки перетину параболи з віссю (ох). У разі – (0;0) і (4;0). В іншому ж діємо згідно з алгоритмом, розкривши дужки.
