Як дізнатися чи є тотожністю рівність. Тотожності, визначення, позначення, приклади. Літерні та числові тотожності

Тотожність у математиці - дуже часто використовується поняття. Розрізняють поняття тотожних рівностей, тотожних виразів і тотожних перетворень, давайте докладніше розберемо, що означає кожне з цих понять.

Тотожні вирази в математиці

Розглянемо три простих алгебраїчних вирази:

• $ 5x + 10 $;
• $(x + 2) \cdot 5$
• $\frac(20x + 40)(4)$

Незалежно від значень $x$, всі три вирази між собою рівні.

Для того, щоб довести це, використовуємо елементарні перетворення, які дозволяються в математиці, і отримаємо, що $5x + 10 = 5x + 10 = 5x + 10$, тобто всі три вирази рівні між собою. При спрощенні стає очевидним, що незалежно від вибраного $x$ ці вирази завжди дорівнюватимуть.

Ми підходимо безпосередньо до визначення тотожних виразів:

Визначення 1

Вирази називаються тотожними один з одним, якщо за будь-яких значень змінних вони завжди рівні між собою.

Наприклад, можна сказати, що вираз $5x + 10$ тотожним виразам $(x + 2) \cdot 5$ і $\frac(20x + 40)(4)$.

Варто також звернути увагу, що не завжди вирази тотожні для всіх можливих значень змінних, наприклад, вирази $\frac(y^2-4)(y-2)$ і $y+2$ тотожні для будь-яких $y$, крім $ y = 2 $.

При значенні грека, рівному двом, перше з цих двох виразів втрачає сенс, тому що на нуль ділити не можна, а в знаменнику при цьому значенні виходить нуль.

Дані вирази можна назвати тотожними при всіх допустимих значеннях змінної $ y $, тобто ці вирази тотожні за всіх $ y $, при яких обидва вирази не втратить свій зміст. Такі вирази називаються тотожними на заданій множині значень.

Поняття «тотожність» та «тотожна рівність»

Що таке тотожність в алгебрі?

Визначення 2

Тотожність у математиці - це рівність, яке завжди виконується чи, інакше кажучи, є справедливим всім множин значень його змінних.

Якщо два і більше тотожні вирази записати безпосередньо поруч один з одним через знак «рівно» - то вийде тотожна рівність, тобто тотожність.

До однакових рівностей відносяться перемісний закон додавання $a+b =b + a$ і поєднаний закон множення $(ab) \cdot c = a \cdot (bc)$, тому що вони є вірними незалежно від значення змінних $a, b , C $. Формули для скороченого запису різниці квадратів, квадратів різниці та квадратів суми є іншими прикладами тотожних рівностей.

Іноді тотожностями називаються не тільки вирази, що містять будь-які змінні, але і всі арифметично вірні рівності типу $2+2=4$.

Не будь-яку рівність, що містить змінні, можна назвати тотожністю. Наприклад, рівність $y+5 = 7$ дотримується лише за $y= 2$, за будь-якого іншого значення $y$ воно не дотримується і тому тотожністю його назвати не можна.

Знак тотожності в математиці

Визначення 3

Найчастіше тотожності записують через знак "рівно" - "$=$", знак "тотожно" - "≡" іноді використовують для особливого виділення в мові тотожності будь-якої рівності. Зазвичай знак тотожності використовується значно рідше ніж знак рівності.

Тотожні перетворення

Дуже часто для того, щоб спростити процес обчислення будь-яких виразів, а також для їх порівняння та зручнішої підстановки змінних до рівності використовують різні математичні перетворення. Ці перетворення називаються тотожними перетвореннямиоскільки вони не змінюють кінцеві значення виразів і рівностей.

Визначення 4

Тотожні перетворення - це перетворення і заміни одного виразу іншим, тотожним йому, які не змінюють кінцеве значення виразів і призводять до порушення тотожності рівностей.

Будь-який вираз при будь-яких допустимих значеннях змінних, що використовуються в ньому, набуває будь-якого значення. З цього можна дійти невтішного висновку, що застосування різних законів, дотримуються для арифметичних процесів призводить до перетворення вихідного вираз у нове, тотожне початковому выражению.

Приклад 1

Які вирази тотожні?

1. $(10 + 3)$ і $13 \cdot (1 +5)$.
2. $(x^2 + y^2)$ і $(x – y)(x+y)$.
3. $ 8 $ і $ (2 \ cdot 3 + 16 - 14) $.
4. $7 + 4$ та $6 + 6$.

Відповідь:

Тотожними є вирази під номером 2 і 3, у разі виразів під номером 2 зліва дана скорочена формула різниці квадратів, а справа - розгорнута. У разі третього виразу потрібно спростити вираз праворуч:

$ (2 \ cdot 3 + 16 - 14) = 6 + 16 - 14 = 8 $

Почнемо розмову про тотожність, дамо визначення поняття, введемо позначення, розглянемо приклади тотожностей.

Що являє собою тотожність

Почнемо з визначення поняття тотожності.

Визначення 1

Тотожність являє собою рівність, яка вірна за будь-яких значень змінних. Фактично, тотожністю є будь-яка числова рівність.

У міру аналізу теми ми можемо уточнювати і доповнювати дане визначення. Наприклад, якщо згадати поняття допустимих значень змінних та ОДЗ, то визначення тотожності можна дати в такий спосіб.

Визначення 2

Тотожність- це вірна числова рівність, а також рівність, яка буде вірною при всіх допустимих значеннях змінних, що входять до його складу.

Про будь-які значення змінних щодо тотожності йдеться у посібниках і підручниках з математики для 7 класу, оскільки шкільна програма для семикласників передбачає проведення дій лише з цілими висловлюваннями (одно- і многочленами). Вони мають сенс за будь-яких значень змінних, які входять до їх складу.

Програма 8 класу розширюється з допомогою розгляду виразів, які мають сенс лише значень змінних з ОДЗ. У зв'язку з цим визначення тотожності змінюється. Фактично, тотожність стає окремим випадком рівності, тому що не кожна рівність є тотожністю.

Знак тотожності

Запис рівності передбачає наявність знака рівності «=», від якого праворуч і ліворуч розташовуються деякі числа або вирази. Знак тотожності має вигляд трьох паралельних ліній «≡». Він також має назву знака тотожної рівності.

Зазвичай запис тотожності нічим відрізняється від запису звичайної рівності. Знак тотожності може бути застосований для того, щоб наголосити, що перед нами не проста рівність, а тотожність.

Приклади тотожностей

Звернемося до прикладів.

Приклад 1

Числові рівності 2 ≡ 2 і – 3 ≡ – 3 це приклади тотожностей. Згідно з визначенням, даним вище, будь-яка вірна числова рівність за визначенням є тотожністю, а наведені рівністі вірні. Їх також можна записати в такий спосіб 2 ≡ 2 і - 3 ≡ - 3 .

Приклад 2

Тотожності можуть містити не тільки числа, а й змінні.

Приклад 3

Візьмемо рівність 3 · (x + 1) = 3 · x + 3. Ця рівність є вірною за будь-якого значення змінної x . Підтверджує цей факт розподільна властивість множення щодо додавання. Це означає, що наведена рівність є тотожністю.

Приклад 4

Візьмемо тотожність y · (x − 1) ≡ (x − 1) · x: x · y 2: y .Розглянемо область допустимих значень змінних x та y . Це будь-які числа, окрім нуля.

Приклад 5

Візьмемо рівності x + 1 = x − 1 , a + 2 · b = b + 2 · а і | x | = x. Існує ряд значень змінних, у яких ці рівності неправильні. Наприклад, при x = 2рівність x + 1 = x − 1звертається в неправильну рівність 2 + 1 = 2 − 1 . Та й взагалі, рівність x + 1 = x − 1не досягається за жодних значень змінної x .

У другому випадку рівність a + 2 · b = b + 2 · aневірно в будь-яких випадках, коли змінні a та b мають різні значення. Візьмемо a = 0і b = 1і отримаємо неправильну рівність 0 + 2 · 1 = 1 + 2 · 0.

Рівність, в якій | x |- Модуль змінної x , також не є тотожністю, так як воно неправильне для негативних значень x .

Це означає, що наведені рівності є тотожностями.

Приклад 6

У математиці ми маємо справу з тотожностями. Роблячи записи дій, що проводяться з числами, ми працюємо з тотожністю. Тотожними є записи властивостей ступенів, властивостей коренів та інші.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

ЛЕКЦІЯ №3 Доказ тотожностей

Мета: 1. Повторити визначення тотожності та тотожно рівних виразів.

2.Ввести поняття тотожного перетворення виразів.

3. Множення багаточлена на багаточлен.

4. Розкладання многочлена на множники способом угруповання.

Нехай кожен день і щогодини

Нам нове добуде,

Нехай добрим буде розум у нас,

А серце буде розумним!

У математиці існує безліч понять. Одна з них тотожність.

Тотожністю називають рівність, яка виконується за всіх значень змінних, що до нього входять.Деякі тотожності ми вже знаємо.

Наприклад, усі формули скороченого множенняє тотожності.

Формули скороченого множення

1. (a ± b)2 = a 2 ± 2 ab + b 2,

2. (a ± b)3 = a 3±3 a 2b + 3ab 2 ± b 3,

3. a 2 - b 2 = (a - b)(a + b),

4. a 3 ± b 3 = (a ± b)(a 2 ab + b 2).

Довести тотожність- Це означає встановити, що для будь-якого допустимого значення змінні його ліва частина дорівнює правій частині.

У алгебрі є кілька різних способів доказу тотожностей.

Способи доказу тотожностей

Виконати рівносильні перетворення лівої частини тотожності.Якщо у результаті отримаємо праву частину, тотожність вважається доведеним. Виконати рівносильні перетворення правої частини тотожності.Якщо у результаті отримаємо ліву частину, тоді тотожність вважається доведеною. Виконати рівносильні перетворення лівої та правої частини тотожності.Якщо в результаті отримаємо однаковий результат, тотожність вважається доведеною. З правої частини тотожності віднімаємо ліву частину.Виробляємо над різницею рівносильні перетворення. І якщо в результаті отримуємо нуль, то тотожність вважається доведеною. З лівої частини тотожності віднімають праву частину.Виробляємо над різницею рівносильні перетворення. І якщо в результаті отримуємо нуль, то тотожність вважається доведеною.

Слід також пам'ятати, що тотожність справедлива лише допустимих значень змінних.

Як бачите способів, досить багато. Який спосіб вибрати в даному конкретному випадку залежить від тотожності, яку вам необхідно довести. У міру того, як ви доводитимете різні тотожності, прийде і досвід у виборі способу доказу.

Тотожність - це рівняння, яке задовольняється тотожно, тобто справедливо для будь-яких допустимих значень змінних, що входять до нього. Довести тотожність - означає встановити, що з усіх допустимих значеннях змінних його ліва і права частини рівні.
Способи доведення тотожності:
1. Виконують перетворення лівої частини та отримують у результаті праву частину.
2. Виконують перетворення правої частини й у результаті отримують ліву часть.
3. Окремо перетворять праву і ліву частини і отримують і в першому і в другому випадку один і той же вираз.
4. Складають різницю лівої та правої частини та в результаті її перетворень отримують нуль.
Розглянемо кілька простих прикладів

приклад 1.Доведіть тотожність x·(a+b) + a·(b-x) = b·(a+x).

Рішення.

Так як у правій частині невеликий вираз, спробуємо перетворити ліву частину рівності.

x·(a+b) + a·(b-x) = x·a +x·b + a·b – a·x.

Наведемо подібні доданки та винесемо загальний множник за дужку.

x a + x b + a b - a x = x b + a b = b (a + x).

Отримали що ліва частина після перетворень стала такою самою як і права частина. Отже, ця рівність є тотожністю.

приклад 2.Доведіть тотожність: a² + 7 ·a + 10 = (a+5) · (a+2).

Рішення:

У цьому прикладі можна надійти в такий спосіб. Розкриємо дужки у правій частині рівності.

(a+5)·(a+2) = (a²) + 5·a +2·a +10 = a²+7·a + 10.

Бачимо, що після перетворень права частина рівності стала такою ж як і ліва частина рівності. Отже, ця рівність є тотожністю.

« Заміну одного виразу іншим, тотожно рівним йому, називають тотожним перетворенням виразу»

З'ясувати, яка рівність є тотожністю:

1. - (а - в) = - а - в;

2. 2 · (х + 4) = 2х - 4;

3. (х - 5) · (-3) = - 3х + 15.

4. рху (- р2 х2 у) = - р3 х3 у3.

«Щоб довести, що деяка рівність є тотожністю, або, як кажуть інакше, щоб довести тотожність, використовують тотожні перетворення виразів»

Рівність вірна за будь-яких значень змінних, називають тотожністю.Щоб довести, що деяка рівність є тотожністю, або, як кажуть інакше, щоб довести тотожністьвикористовують тотожні перетворення виразів.
Доведемо тотожність:
xy - 3y - 5x + 16 = (x - 3)(y - 5) + 1 Перетворимо ліву частину цієї рівності:
xy - 3y - 5x + 16 = (xy - 3y) + (- 5x + 15) +1 = y(x - 3) - 5(x -3) +1 = (y - 5)(x - 3) + 1 В результаті тотожного перетвореннялівої частини многочлена ми отримали його праву частину і тим самим довели, що ця рівність є тотожністю.
Для докази тотожностіперетворять його ліву частину на праву або його праву частину на ліву, або показують, що ліва і права частини вихідної рівності тотожно дорівнюють одному й тому ж виразу.

Множення багаточлена на багаточлен

Помножимо багаточлен a + bна багаточлен c + d. Складемо твір цих багаточленів:
(a+b)(c+d).
Позначимо двочлен a + bбуквою xі перетворимо отриманий твір за правилом множення одночлена на многочлен:
(a+b)(c+d) = x(c+d) = xc + xd.
На вираз xc+xd.підставимо замість xбагаточлен a+bі знову скористаємося правилом множення одночлена на багаточлен:
xc + xd = (a + b) c + (a + b) d = ac + bc + ad + bd.
Отже: (a+b)(c+d) = ac + bc + ad + bd.
Твір багаточленів a + bі c + dми представили у вигляді багаточлена ac + bc + ad + bd. Цей багаточлен є сумою всіх одночленів, що виходять при множенні кожного члена багаточлена. a + bна кожен член багаточлена c + d.
Висновок: добуток будь-яких двох багаточленів можна подати у вигляді багаточлена.
Правило: щоб помножити багаточлен на багаточлен, потрібно кожен член одного багаточлена помножити на кожен член іншого багаточлена та отримані твори скласти.
Зауважимо, що при множенні багаточлена, що містить mчленів на багаточлен, що містить nчленів у творі до приведення подібних членів має вийти mnчленів. Цим можна скористатися контролю.

Розкладання многочлена на множники способом угруповання:

Раніше ми познайомилися з розкладанням багаточлена на множники шляхом винесення загального множника за дужки. Іноді вдається розкласти багаточлен на множники, використовуючи інший спосіб - угруповання його членів.
Розкладемо на множники багаточлен
ab - 2b + 3a - 6 Згрупуємо його так, щоб доданки в кожній групі мали спільний множник і винесемо цей множник за дужки:
ab - 2b + 3a - 6 = (ab - 2b) + (3a - 6) = b(a - 2) + 3(a - 2) Кожен доданок виразу має загальний множник (a - 2). Винесемо цей спільний множник за дужки:
b(a - 2) + 3(a - 2) = (b +3)(a - 2) У результаті ми розклали вихідний многочлен на множники:
ab - 2b + 3a - 6 = (b +3)(a - 2) Спосіб, який ми застосували для розкладання многочлена на множники називають способом угруповання.
Розкладання багаточлена ab - 2b + 3a - 6на множники можна виконати, групуючи його члени інакше:
ab - 2b + 3a - 6 = (ab + 3a) + (- 2b - 6) = a(b + 3) -2(b + 3) = (a - 2)(b + 3)

Повторити:

1. Методи підтвердження тотожностей.

2. Що називають тотожним перетворенням виразу.

3. Множення багаточлена на багаточлен.

4. Розкладання многочлена на множники способом угруповання

те, за допомогою чого одна річ абсолютно подібна до іншої. Розуміння зазвичай передбачає підбиття («ідентифікацію») нового знання під те, що ми вже знаємо. Саме в цьому сенсі тотожність – форма будь-якого розуміння. Мейєрсон бачив у синтезі всіх знань про універсум, в їх редукції до тотожності ідеал науки: саме наука має прийти в результаті до єдиної формули (представленої сьогодні формулою відносності), з якої ми зможемо вивести всі приватні закони науки. Цей ідеал постає швидше як філософський, ніж як науковий, тому що науковий прогрес веде скоріше до нескінченної диверсифікації методів науки (спеціалізація), і її безпосередня мета полягає скоріше у вічній можливості пізнання нових об'єктів, ніж уніфікації методів (ця робота з уніфікації становить мету роздуми про науку, епістемологію).

Відмінне визначення

Неповне визначення ↓

ТОЧНІСТЬ

Поняття Т. є осн. поняттям філософії, логіки та математики, тому до нього відносяться всі труднощі, пов'язані з з'ясуванням та визначенням вихідних (основних, фундаментальних) понять науки. У комплексі питань, що належать до поняття Т., на особливу увагу заслуговують два: питання про Т. "... самого по собі. Визнаємо ми, що воно існує, або не визнаємо?" (Plato, Phaed. 74 b; рус. пров. тв., т. 2, 1970) і питання про Т. речей. (Т. речей виражають зазвичай символом "=", який зустрічається вперше у Р. Рекорду в його "The whetstone of witte", L., 1557.) Перше з цих питань є частиною питання про онтологіч. статус абстрактних об'єктів (див., напр., Ставлення, Універсалії), другий має самостійність. значення. Як би ці питання не вирішувалися у філософії, для логіки та математики їх вирішення завжди еквівалентне вирішенню питання про визначення поняття Т. Однак неважко переконатися, проаналізувавши будь-яке з відомих логічних (математичних) визначень Т. (замість зі способом його обґрунтування), що "ідея Т." і так чи інакше певне "поняття Т." - Це не одне і те ж. Ідея Т. п е д в а р яет будь-яке визначення поняття (предикату) Т., так само як і поняття "тотожні речі", що вводиться визначенням. Це пов'язано з тим, що судження про Т. к.-л. об'єктів завжди передбачає, що вже виконані (або мають бути виконані) якісь інші, допоміжні, але необхідні – аж ніяк не сторонні для цього судження – ототожнення. Саме у зв'язку з проблемою "допустимих ототожнення" філос. аналіз може стати корисною передумовою для логічного та матем. аналізу поняття Т. Принцип індивідуації Відповідно до філос. т. зр. слід розрізняти онтологічні., гносеологічні. та семантич. проблеми Т. речей. Онтологічна проблема Т. - це проблема Т. речей "самих по собі" або in se - по їхньому "внутрішньому обстановці" (Г. Кантор). Вона ставиться і вирішується на основі п р і н ц і п а і н д і в і д у а ц і (principium individuationis): всяка річ універсуму є єдностей. річ; двох різних речей, з яких брало кожна була б тією ж річчю, що й інша, не існує. Саме "...відповідно до початків індивідуації, які походять від матерії" ми приймаємо, що "... всяка самосуща річ, складена з матерії та форми, складена з індивідуальної форми та індивідуальної матерії" (Фома Аквінський, цит. за кн. .: "Антологія світової філософії", т. 1, ч. 2, М., 1969, с.847, 862). Принцип індивідуації не містить у собі жодної вказівки на те, як індивідуалізувати предмети універсуму або як вони індивідуалізовані самі по собі, оскільки це вже має місце; він лише постулює абстрактну можливість такої індивідуалізації. І це природно, якщо ми розуміємо його як принцип суто онтологічний. Питання, як індивідуалізувати предмети універсуму, є вже гносеологич. питання. Але в цьому випадку ніяка можлива індивідуалізація не виводить нас за межі того інтервалу абстракції, яким визначається універсум міркування (див. Універсум). Хоча принцип індивідуації є давнім філософом. твердженням про світ, його аналоги можна знайти і в (сучасних) власне наукових (математичних, фізичних та ін) теоріях. У зв'язку з цим можна послатися на ідею "субстанційних", або світових, точок (просторових точок у певний момент часу) у чотиривимірному (абстрактному) "світі Мінковського" і пов'язану з нею ідею просторово-часової моделі фізичної. реальності, що дозволяє індивідуалізувати кожен її об'єкт, або на принцип Паулі, або, нарешті, на гіпотезу Г. Кантора про те, що будь-які два елементи довільної множини помітні між собою. Можна навіть вважати, що принцип індивідуації лежить в основі всієї класич. математики з її - у певному сенсі онтологічним - "зрозумілим" постулатом упорядкованого (за величиною) числового континууму. Принцип Т. невиразний. Приймаючи принцип індивідуації, ми, як у повсякденній практиці, і у теорії, постійно ототожнюємо різні предмети, тобто. говоримо про різні предмети так, ніби вони були однією і тією ж річчю. Абстракція ототожнення різного, що виникає при цьому, була вперше явно відзначена Лейбніцем в його знаменитому принципі Т. нерозрізнених (Principium identitatis indiscernibilium). Здається протиріччя між принципом індивідуації і принципом Т. нерозрізнених легко пояснити. Суперечність виникає лише тоді, коли, вважаючи, що, напр., x і у – різні речі, у формулюванні принципу Т. нерозрізнених мають на увазі їхню абсолютну, або онтологічну, нерозрізненість, а саме, коли думають, що нерозрізненість x і у передбачає , Що x і в "самі по собі" не відрізняються за будь-якою ознакою. Однак, якщо мати на увазі відносну або гносеологічну, нерозрізненість x і у, напр. їхня нерозрізненість "для нас", хоча б ту, з якою ми можемо зустрітися в результаті практично здійсненного порівняння х і у (див. Про це в ст. Порівняння), то ніякого протиріччя не виникає. Якщо розрізняти поняття "річ", або предмет універсуму "сам собою", і "об'єкт", або предмет універсуму в пізнанні, в практиці, у відношенні до інших предметів, то сумісність принципу Т. нерозрізнений і принцип індивідуації повинен означати, що немає тотожних речей, але є тотожні об'єкти. Очевидно, що з онтологіч. т. зр., вираженої у принципі індивідуації, Т. представляється абстракцією і, отже, ідеалізацією. Тим не менш воно має об'єктивну підставу в умовах існування речей: практика переконує нас у тому, що існують ситуації, в яких брало "різні" речі поводяться як "одна і та ж" річ. У цьому сенсі принцип Т. невиразних висловлює емпірично підтверджуваний, заснований на досвіді, факт нашої діяльності, що абстрагує. Тому "ототожнення різного" за принципом Лейбніца не слід розуміти як спрощення або огрубіння дійсності, не відповідне, взагалі кажучи, і стінному порядку. Інтервал абстракції ототожнення. Нерозрізненість об'єктів, ототожнюваних згідно з принципом Т. нерозрізняються, може виражатися операційно - в їх "поведінці", тлумачитися в термінах властивостей, взагалі визначатися сукупністю деяких фіксиров. умов нерозрізненості. Ця сукупність умов (функцій або предикатів), щодо яких брало к.-л. предмети універсуму невиразні, визначає інтервал абстракції про одержання цих предметів. Так, якщо на безлічі предметів визначено властивість А і предмет x ним володіє, то для ототожнення х і в інтервалі абстракції, що визначається властивістю А, необхідно і достатньо, щоб предмет також мав властивість А, що символічно можна виразити наступною аксіомою: A( x)? ((x = y)? A (y)). Зауважимо, що за наявності "надлишкової" інформації про явне (природно - "поза" даного інтервалу абстракції) відмінність предметів їх ототожнення "всередині" даного інтервалу абстракції може навіть здаватися парадоксальним. Типовий приклад з теорії множин - "парадокс Сколема". Якщо дивитися "зсередини" інтервалу абстракції, що визначається властивістю А, то х і у - абсолютно один і той же об'єкт, а не два предмети, як передбачається в наведеному вище міркуванні. Справа в тому, що міркування про Т. двох і, отже, різних предметів можливе тільки в деякому метаінтервалі, що вказує також на можливість індивідуалізації x і у. Очевидно, що нерозрізненість x і еквівалентна тут їх взаємозамінності щодо властивості А, але, зрозуміло, не щодо будь-якої властивості. У цьому вкажу на абстракцію актуальної помітності, що випливає з принципу індивідуації і пов'язану з таким тлумаченням цього принципу, при якому він зводиться до твердження про існування умов, в яких брало індивідуалізація завжди здійсненна (напр. , умов, в яких брало x і у вже не будуть взаємозамінні, що і дозволить, природно, говорити про їх індивідуальність). У цьому сенсі принцип індивідуації відрізняється тим самим характером, як і т.зв. "Чисті" постулати існування в математиці, і може розглядатися як абстракція індивідуалізації. Не кажучи вже про "абстрактні" матем. об'єктах, очевидно, що й " конкретних " физич. предметів природи умови індивідуалізації будь-якого їх зовсім не завжди можуть бути знайдені або явно вказані в к.-л. конструктивному значенні. Понад те, завдання їх розвідки іноді принципово нездійсненна, як це свідчить, напр., принцип " неподільності квантових станів " і зумовлена ​​ним, запропонована самої природою, невизначеність у описі " індивідуального поведінки " елементарних частинок. Доповнення. Інтервал абстракції ототожнення може бути настільки (але як завгодно) широкий, що до нього увійдуть всі (вихідні) поняття (функції або предикати) аналізованої в тому чи іншому випадку теорії. Тоді кажуть, що х=у для будь-якого поняття А. У цьому випадку і квантор "для будь-якого", і Т. мають відносний характер - вони p е л я т і в і з і р о в а н і безліччю понять теорії, яке обмежено, у свою чергу, осмисленістю цих понять (інтервалом значення) по відношенню до предметів універсуму даної теорії. Наприклад, предикат "червоний" не визначений на безлічі натуральних чисел і тому до нього не можуть належати слова "для будь-якого предикату", коли говорять про Т. в арифметиці. Такі думки про граніювання по суті справи завжди мають місце в додатках теорії, чим і виключаються протиріччя, пов'язані з порушенням інтервалу абстракції ототожнення. Оскільки у ототожненнях мають на увазі лише предикати цієї теорії – інтервал абстракції ототожнення фіксовано. Предмети універсуму, невиразні щодо кожного предикату теорії, невиразні абсолютно в даному інтервалі-абстракції і можуть розглядатися як "один і той же" об'єкт, що якраз і відповідає звичайному тлумаченню Т. Якщо щодо кожного такого предикату невиразні всі предмети універсуму, то останній в цьому випадку буде нам одночленной сукупністю, хоча у ін. інтервалі абстракції може і бути таким. Так, якщо умова А - тавтологія, то в предметної області всі предмети тотожні в інтервалі А. Інакше кажучи, тавтології не можуть служити критерієм помітності об'єктів, вони як би проектують універсум в точку, виробляючи абстракцію ототожнення елементів множини будь-якої потужності, різні елементи в "один і той же" абстрактний об'єкт. Тому не дивно, що до аксіом "чистого" предикатів обчислення першого ступеня можна без суперечності приєднувати формулу?хА(х)^/xA(x), що виражає тотожність (або абсолютну нерозрізненість) всіх предметів універсуму. Очевидно, ця неповнота чистого обчислення предикатів (елементарної логіки) обумовлена ​​саме його неонтологічному характері. . У цих випадках Т., оскільки йдеться про ототожнення тільки в даній системі понять, може бути введено кінцевим списком аксіом Т. для конкретних функцій та предикатів цієї теорії. Але постулюючи т.ч. ті чи інші ототожнення, ми як би формуємо універсум відповідно до принципу Т. невиразних. Значить універсум у цьому сенсі є епістемологічним. поняттям, що залежать від наших абстракцій. Питання, що вважати "одним і тим же" об'єктом, яке число "різних" індивідуумів у предметній області (яка потужність області індивідуумів), - це у відомому сенсі питання про те, як ми застосовуємо наші абстракції і які саме, а також яка об'єктивна область їх застосування. Зокрема це завжди питання про інтервал абстракції. Ось чому з нашої т. зр. вказівку на інтервал абстракції ототожнення у визначенні Т. слід вважати необхідною умовою осмисленого застосування "поняття Т.". Поняття "інтервал абстракції ототожнення" є гносеологічним. доповненням до поняття абстракції ототожнення та, у певному сенсі (змістовним), його уточненням. Крім того, вводячи поняття Т. в інтервалі абстракції, ми легко досягаємо необхідної спільності в побудові теорії Т., уникаючи звичайного "множення понять", пов'язаного з розрізненням термінів "тотожний", "подібний", "рівний", "еквівалентний" та ін. У зв'язку з вищесказаним визначення предикату Т. у формулюванні Гільберта - Бернайса, що задається, як відомо, умовами: 1) х = х 2) х = y? (A(x)? А(у)), можна інтерпретувати так, що умова 2) виражатиме Т. предметів універсуму в інтервалі абстракції, що визначається безліччю аксіом, що задаються схемою аксіом 2). Що ж до умови 1), то, висловлюючи властивість рефлексивності Т., воно у сенсі відповідає принципу індивідуації. Принаймні, очевидно, що з принципу індивідуації не випливає заперечення умови х=х, оскільки між принципом індивідуації та традиц. принципом Т. (абстрактним Т. - lex identitatis), що виражається формулою х = х, є наступна певна "зв'язок за змістом": якби індивідуальний предмет універсуму не був тотожний із самим собою, то він не був би самим собою, а був би іншим предметом, що, звичайно, веде до заперечення принципу індивідуації (пор. - Маркс К. і Енгельс Ф., Соч., 2 видавництва, т. 20, с. 530). Т.ч., принцип індивідуації передбачає затвердження х = х, яке є його необхідною умовою - логічної основної поняття індивідуального. Достатньо констатувати сумісність х = х з принципом індивідуації, щоб, ґрунтуючись на сумісності 1) і 2), стверджувати сумісність принципу індивідуації з принципом Т. нерозрізнених, а беручи до уваги незалежність 1) та 2), дійти висновку про незалежність цих же принципів , принаймні, у цьому випадку. Та обставина, що принцип індивідуації у зазначеному значенні відповідає традиціям. закону Т. (див. Тотожності закон), представляє особливий інтерес з т. зр. проблеми "реалізованості" абстрактного Т. у природі, а отже. та онтологіч. статус абстракцій взагалі. Принцип Т. невиразних у тому його тлумаченні, яке дано вище - як принцип Т. в інтервалі абстракції, - висловлює по суті філософську гносеологічну ідею Т., заснованого на понятті практики. Що ж до математики, де однак оперують з предикатом Т., з умовою, що тотожне можна замінювати тотожним (див. Правило заміни рівного рівним), то тут, приймаючи принцип індивідуації, тобто. вважаючи, що кожен матем. об'єкт в універсумі міркування індивідуальний, очевидно, легко можна уникнути рішення гносеологич. проблеми Т., тому що в пропозиціях матем. теорій матем. об'єкти фігурують не "самі по собі", а через своїх представників - символи, що позначають їх. Звідси можливість побудов, які істотно ігнорують умову індивідуальності цих об'єктів; Так, відома побудова взаємно-однозначної відповідності між сукупністю натуральних чисел та її частиною – сукупністю всіх парних чисел (парадокс Галілея) ігнорує єдиність кожного натурального числа, задовольняючись Т. його представників: інакше як можлива вказана побудова? Аналогічних побудов у математиці безліч. Затвердження "предмет x тотожний предмету y" математик зазвичай приписує наступний зміст: "символи x і у позначають один і той же предмет" або "символ x позначає той же предмет, який позначений символом у". Очевидно, що таке Т. ставиться швидше до мови відповідних обчислень (взагалі до формалізованої мови) і висловлює, по суті, випадок мовної синонімії, а зовсім не філософський гносеологічний. сенс Т. Проте характерно, що й у разі не вдається уникнути относит. ототожнення, заснованого на застосуванні принципу абстракції, оскільки синоніми виникають як результат абстракції ототожнення за позначенням (див. Синоніми у логіці). До того ж при інтерпретації обчислень будь-яке таке семантичне визначення Т. як "відносини між виразами мови" необхідно доповнювати роз'ясненням того, що? у цій семантич. формулюванні Т. означають слова "один і той самий предмет". У зв'язку з цим формулювання принципу Т., відоме як лейбніцовсько-расселівське (див. Рівність у логіці та математиці), навряд чи відповідає філос. т. зр. самого Лейбниця. Відомо, що Лейбніц приймав принцип індивідуації: "Якби два індивіди були зовсім... не помітні самі по собі, то...в цьому випадку не було б індивідуальної відмінності або різних індивідів" ("Нові досліди про людський розум", М .-Л., 1936, с. 202). Відомо також, що будь-яке нетривіальне вживання Т., що відповідає принципу Т. нерозрізнених, передбачає, що x і у - різні предмети, які лише відносно нерозрізняються, нерозрізняються в деякому інтервалі абстракції, що визначається або вирішальною здатністю наших засобів розрізнення, або прийнятої нами абстракцією ототожнення, або, нарешті, що задається природою. Але у формулюванні Рассела наявність необмежених. квантора спільності за предикатною змінною, надаючи визначенню абсолютний характер ("абсолютність" тут слід розуміти як антипод "відносності" в указ. вище сенсі), нав'язує ідею абс. нерозрізненості x і у, що суперечить принципу індивідуації, хоча з визначення Рассела виводиться формула х = х, яка, як було зазначено вище, сумісна і з принципом Т. нерозрізняються і з принципом індивідуації. У світлі ідеї Т. в інтервалі абстракції з'ясовується ще одна гносеологічна. роль принципу абстракції: якщо у визначенні Т. предикат (хоча б і довільний) характеризує клас абстракції предмета х, і у – елемент цього класу, то тотожність x і у силу принципу абстракції не передбачає, що x і у повинні бути одним і тим ж предметом в онтологічні. сенсі. З цієї т. зр., два предмети універсуму, що належать до одного класу абстракції, розглядаються як "один і той же" предмет не в онтологічному, а в гносеологічному. значенні: вони тотожні тільки як абстрактні представники одного класу абстракції і тільки в цьому значенні вони невиразні. У цьому, власне, і полягає діалектика поняття Т., і навіть відповідь питанням: " Як можуть бути тотожні різні предмети? " . Літ.:Жегалкін І. І., Арифметизація символічної логіки, "Матем. Зб.", 1929, т. 36, вип. 3–4; Яновська С. ?., Про так звані "визначення через абстракцію", в кн.: Зб. статей з філософії математики, М., 1936; Лазарєв Ф. Ст, Сходження від абстрактного до конкретного, в кн.: Зб. робіт аспірантів та студентів філософського факультету МДУ, М., 1962; Вейль Р., Доповнення, в сб: Прикладна комбінаторна математика, пров. з англ., М., 1968. М. Новосьолов. Москва.